Спиндік жүйелердің теориясы

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 27 бет
Таңдаулыға:

Кіріспе

XIX ғасырдан бастап математиктер мен физиктердің зерттеу нысаны ретінде дербес туындылы сызықты дифференциалдық теңдеумен дифференциалды геометрия арасындағы байланысты зерттеу болды. Мысал ретінде минималды және псевдосфералық жазықтықты сипаттайтын Луивилль және sine-Гордон теңдеуін алуға болады. Солитондардың теориясы пайда болғаннан бастап дербес туындылы сызықты дифференциалдық теңдеумен дифференциалдық геометрияның арасындағы байланысты зерттеудің жаңа кезеңі басталды. Кейбір геометриялық теңдеулер, Луивилль, sine-Гордон және Тзитзейс теңдеулері кері есептің ажырау әдісі көмегімен интегралданатын болып шықты. Солитондық теңдеулердің бір қатар белгілі қасиеттері бар: солитондық шешімдер, сақталу заңының шесңз саны, топтардың шексіз симметриясы, Бэклунда және Дарбу түрлендірулері, арнайы гаммильтондық құрылым және т.б.
Қазір физикада солитондар теориясының маңызды көзі классикалық дифференциалдық геометрия болып табылады. XIX ғасырдың атақты геометрлерінің Дарбу, Бианки, Бэклунд, Ли және т.б. жұмыстарында белгілі солитондық теңдеулерінен басқа (Луивилль, sine-Гордон және т.б. теңдеулері) заманауи солитондар теориясының белгілі әдістерін (Бэклунда, Дарбу, және т.б. түрлендірулері) табуға болады. Дифференциалдық геометриямен солитондар теориясының байланысын зерттеу заманауи солитондар теориясының маңызды мәселесі болып табылады. Бұл (1+1) - өлшемде геометриялық аспектілердің интегралдануын түсінуге көмектескенімен қатар физикалық және математикалық тұрғыда көпөлшемде интегралданудың табиғатын түсіндіреді. Солитондар теориясының әдістері алгебралық, дифференциалдық және дискреттік геометрияның маңызды мәселелерін (Шотка мәселесі, қисықты координатта n - ортогональді жүйені қою мәселесі) шешу үшін қолданылуына болады. Соңғы жылдарда геометрияның (1+1) - өлшемде интегралданатын немесе солитондық геометрия деп аталатын жаңа бөлімін ашуға алып келген интегралданатын жүйенің геометриялық теориясы жақсы дамып келеді. Теориялық және математикалық физиканың, сонымен қатар, геометрияның маңызды мәселесі болып көпөлшемді солитондық (интегралданатын) геометрияның теориясын құру болып табылады.
Негізінде, замануи теориялық физиканың барлық фундаментальді теориялары геометриялық теория болып табылады. Осы айтылғанның классикалық мысалы болып Риманның геометриясына құралған Эйнштейннің жалпы салыстырмалық теориясы болып саналады. Геометриялық теорияның басқа мысалдары болып Янг - Миллстің калибрлік теориясы (элементар бөлшектердің заманауи теориясының негізі) және ішектің теориялары (барлық әсерлесудің теориясы) саналады. Бұл физикалық теориялар сызықты емес. Бұдан солитондар теориясы көзқарасымен физикалық теорияның геометриясын зерттеудің маңыздылығы шығады. Физиканың кейбір мәселелері геометриялық мәселелерге алып келеді және керісінше.
Физика мен математикада спиндік жүйелер немесе Ландау - Лифшиц теңдеулері (ЛЛТ) маңызды орын алады. Физикада олар магнетизмнің классикалық теориясының негізі болып саналады және магнетиктерде сызықты емес құбылыстарды зерттеуде қолданылады. Геометрияда спиндік жүйелер Гаусс - Вейнгарт теңдеуінің оның ортогональді формасымен үйлестіріледі. Осыда Гаусс - Вейнгарт теңдеуінің интегралдануы, Гаусс - Кодацци - Майнарди теңдеуі спиндік жүйенің геометриялық эквивалентін береді. Мысалы, егер Ландау - Лифшиц теңдеуін Гаусс - Вейнгарт теңдеуімен үйлестірсек, онда Гаусс - Кодацци - Майнарди теңдеуі Шредингердің сызықты емес теңдеуін (ШСЕТ) береді. Спиндік жүйелер сызықты емес эволюциялық теңдеуде G - интегралдануын табуда маңызды рөл атқарады. Қазір спиндік жүйелердің интегралдану теориясы солитондар теориясындағы жеке бөлім болып саналатынын айтуға болады. Физика және математика қажеттіліктері (әсіресе геометрия) көпөлшемде интегралданатын және интегралданбайтын спиндік жүйелердің жаңа табын құрумен зерттеуді маңызды мәселе деп шығарды.
Белгілі болғандай, интегралданудың бірнеше анықтамасымен аспектілері бар: классикалық және кванттық мағынада, шекті және шексіз өлшемді жағдайларда, интегралданудың геометриялық аспектілері және т.б. Интегралдануды терең зерттеу және анықтау, оның әртүрлі анықтамаларының байланысын анықтау солитондар теориясының маңызды мәселесі болып келеді. Сонымен қатар маңызды маңызды мәселелердің бірі болып интегралданудың геометриялық мағынасын анықтау болып келеді, әсіресе көпөлшемде, яғни сұрақтарға жауап: геометрияның көзқарасынан интегралдану не мағына береді, әсіресе көпөлшемде?
1985 жылы Р. Уорд барлық (1+1) - өлшемді солитондық теңдеулер калибрлік теория теңдеулерінің дербес жағдайы болып келетінін болжады, мысалы, Янг - Миллстің автодуальді теңдеуі. Янг - Миллстің автодуальді теңдеуінен басқа жаңа (2+1) - өлшемді солитондық теңдеулерді бөліп алу маңызды есеп болып қалады, сонымен қатар, көпөлшемді солитондық теңдеулерге интегралданатын геометрияны құру үшін Янг - Миллстің автодуальді теңдеуінің геометриясын зерттеу.
Физикадағы кез келген сызықты емес теория дәлдіктен ангормонизмді (сызықты еместік) елемуге дейін дұрыс және ангормонизмді есепке алу неге алып келетіні белгілі.
Дәстүрлі физикада ангормонизмдер әлсіз деп саналған және сол себептен сызықты теория терминдерінде сипатталған. Сызықты жуықтауда жүйенің азғындалған күйі кванттық толқындардың идеалды газы ретінде ұсынылған (квазибөлшектер: фонондар, магнондар). Ангормонизмдер бөлек толқындардың шашырауын шарттайды.
Бұл амал зерттеліп отырған жүйе әлсіз азғындалған кезде әділет. Егер азғындалу дәрежесі аз болмаса, онда сызықты теорияны қолдану мүмкін емес. Мызықты теория көрінісіне негізделген құбылыстарды сипаттау әдісі бақыланатын сызықты емес адекватты эффект бола алмайды.т бұл кезде сызықты емес құбылыстар туралы айтылады және солитондар теориясына негізделген жаңа математикалық зерттеу әдісі қолданылады. Қазір солитондық амал негізгі зерттеу әдістерінің бірі болып магнетизмнің теориясына кірді.
Қазіргі кезде солитонның жалпы анықтамасы жоқ. Солитон магниттелу өрісінің өзінше біртексіз азғындалуы болып келеді және өзінің динамикалық құрылысын сақтай отырып, орын ауыстыра алады. Солитонның бұндай анықтамасы оңашаланған толқын ұғымына эквивалентті және "solitary wave" аудармасына сәйкес келеді.
Солитондар табиғатта бар және тәжірибе түрінде зерттелуіне болады. Мысалыға квазибірөлшемді жүйелердегі солитонның идеал газының концепциясын магниттік жүйелерде тәжірибелік тексеруін өткізуге болады квазибірөлшемді ферромагнетиктер және антиферромагнетиктер. жылы Микеска сыртқы магнит өрісіндегі жеңіл жазықтық анизотропты квазибірөлшемді ферромагнетиктердің динамикасы sine-Гордон теңдеуіне алып келетінін көрсетті. Бұл теңдеудің солитондық шешімі бар.
Қазіргі кезде геометрия мен физиканың өзара әсерінің жаңаруы бақыланып келеді. Математика да, физика да өздерінің тәуелсіз жолдарымен келген кезде, олардың қызығушылықтарының жақындауы байқалды. Омы уақытқа дейін математика да, физика да бір біріне жақын есептерді зерттеген, бірақ әрқайсысының қзінің долы, өзінің тілі болды. Қазір бұл қашықтық калибрлік теория арқылы орнықты. Калибрлік теория көптеген физикалық ұғымдарға математикалық фундамент берді және көптеген математикалық ұғымдарды физикалық мағынамен толықтырды.
Ертеректе геометрия және физика классикалық физика деңгейінде әсерлескен, мысалға, Эйнштейннің салыстырмалы теорясында гравитациялық күштер римандық орамдылықтың қисықтығының теорясында түсіндірілді.
Ландау Лифшиц теңдеуімен Шредингердің сызықты емес теңдеуінің арасындағы эквиваленттілікті Лакшманандық эквивалент немесе L - эквиваленттілік деп атайды. Оның калибрлік эквиваленттіліктен (G - эквиваленттілік) айырмашылығы: G - эквиваленттілік Лакс көрінісіне ие болатын дербес туындылы сызықты дифференциалдық теңдеулер үшін орындалады. L - эквиваленттілік интегралданатын ғана емес, сонымен қатар интегралданбайтын дербес туындылы сызықты емес дифференциалдық теңдеулер үшін орындалады. Сонымен интегралданатын дербес туындылы сызықты емес дифференциалдық теңдеулер үшін L - эквиваленттілік дербес туындылы сызықты емес дифференциалдық теңдеулерді қарастыратын Лакс көрінісін қажет етпейді. Солитонды теңдеу термині толық интегралданатын жүйелер терминіне синоним ретінде қолданылады. Жекеленген толқын болатын сызықты емес теңдеулерді шешу келесі қасиеттерге ие: 1) таралу кезінде ол өзінің профилін сақтайды; 2) ол түпкі энергияға ие.
Дипломдық жұмыстың мақсаты: геометриялық интегралданатын спиндік жүйелерді, сонымен қатар олардың белгілі сызықты емес эволюциялық теңдеулермен байланысын зерттеу. Осы мақсатқа жету үшін келесі есептер қойылды:
oo (1+1) - және (2+1) - өлшемде спиндік жүйелердің интегралданатын сызықты емес моделдерін тұрғызу;
oo (1+1) - және (2+1) - өлшемде геометриялық эквивалентті сызықты емес эволюциялық теңдеулер, соның ішінде солитондық теңдеулерді алу.
Зерттеу нысаны: магниттік диэлектриктер және спиндік жүйенің сызықты емес модельдері.
Зерттеу жаңашылдығы:
oo (1+1) - және (2+1) - өлшемде спиндік жүйелер қарастырылды;
oo (1+1) - және (2+1) - өлшемде спиндік жүйелердің интегралданатын моделдері құрылды;
oo (1+1) - және (2+1) - өлшемде спиндік жүйелерге эквивалентті сызықты емес эволюциялық теңдеулер алынды.
Қорғауға шығарылған тұжырымдар:
oo спиндік жүйелердің интегралданатын модельдері басқа сызықты емес азғындалуларды, соны ішінде екпінді толқындарды белгілеуге мүмкіндік береді;
oo (1+1) - және (2+1) - өлшемдегі сызықты емес теңдеулермен спиндік жүйелердің арасында қойылған байланыс спиндік жүйелердің интегралданатынын көрсетеді;
Зерттеудің теориялық және тәжірибелік маңызы: Алынған нәтижелер физиканың және математикалық физиканың әртүрлі бөлімдерінде практикалық қолданылатын мәнге ие.
Алынған жаңа нәтижелер:
oo әртүрлі типтегі солитон анықталған магнетиктердегі сызықты емес азғындалудың табиғатын сипаттауда және анықтауда;
oo көпөлшемді интегралданатын жүйелерді құруда және жітеуде;
oo ішектер теориясында, гравитация теориясында, элементар бөлшектер теориясында сызықты емес әсерді сипаттайтын жаңа шешімдер алуда қолданылады.

Глоссарий:

Анизотропия заттың физикалық қасиеттерінің бағытқа тәуелділігі немесе кристалдардың өзіндік ерекшелігі.
Интегралдану қозғалыс интегралдарын бір бірімен байланыстыратын шексіз сандардың болуы.
Калибрлік эквиваленттілік екі сызықты емес теңдеулердің Лакс көрінісінің эквиваленттілігі.
Лакшманандық эквиваленттілік спиндік жүйелердің және кейбір дербес туындылы сызықты емес дифференциалдық теңдеулердің эквиваленттілігі.
Солитондар оңашаланған толқын. Өзі сияқты оңашаланған толқынмен соқтығысқан кезде өзінің бастапқы формасын және жылдамдығын сақтап қалады, өзгеретін тек қана фазасы.
Солитондық теңдеулер толық интегралданатын жүйелер.

Қысқартулар:

L - эквивалент - Лакшманан эквиваленті
ГМ - Гейзенберг моделі
КдФТ - Кортевег - де - Фриз теңдеуі
ЛК - Лакс көрінісі
мКдФТ - модифицирленген Кортевег - де - Фриз теңдеуі
мНВТ - модифицирленген Новиков - Веселов теңдеуі
НВТ - Новиков - Веселов теңдеуі
СЖ - Спиндік жүйелер
СФТ - Серре - Френе теңдеуі
ШСЕТ - Шредингердің сызықты емес теңдеуі

I ТАРАУ. Спиндік жүйелер

0.1. Спиндік жүйелердің теориясы
Магнетизм спиннің бұрыштық моментінің кванттық табиғатының салдары болып келеді. Спин - спиндік әсерлесуді сипаттайтын гамильтонның фундаментальді функциясы Гейзенберг әсерлесу нәтижесіндегі магниттік материалдарда спонтанды магниттелуге алып келеді және Паули принципінің салдары болып келеді. Егер Si=S1i,S2i,S3i i түйініндегі спин векторының бағытын беретін болса, онда Гейзенбергтің изотроптық гамильтонианы келесі түрде беріледі:

H=-Ji,jSi∙Sj; Si2=1 (1.1.1)

Ол қарапайым спиндік коммутациялық арақатынастармен толықтырылған: Sia,Sib=δijϵabcSic, мұндағы δij және ϵabc сәйкесінше қарапайым Кронекердің дельта функциясы және Леви - Чивитаның тензоры болып келеді. Бұл жерде суммадағы жақша ең жақын қоңсын білдіреді. Энергияның минимал кофигурациясына жеткен кез келген жүйенің тенденциясы (1.1.1) теңдеуінен біз J0 ферромагнетимзге алып келетін кезде көршілес спиндер параллель теңесетін тенденцияга ие және J0 фнтиферрамагнетизге алып келгенде антипараллель теңесетін тенденцияга ие. Жүйенің дербес жағдайы басқа қызық модельдерге, мысалы XY - моделіне, Изинга моделіне алып келеді. (1.1.1) Гамильтон функциясынан коммутациялық қатынасты пайдаланып, спин үшін динамикалық теңдеуді алуға болады:

Sait=JJϵabcSbiScj (1.1.2)

Спиндік жүйелердің динамикасы келесі ЛЛТ - мен анықталады:

St=S∆S (1.1.3)

мұндағы ∆ - лапласиан және S2=1. Кеңістіктік қисықты үздіксіз спиндік тізбекпен теңестіргеннен кейін және S(x, t) спин векторын e1 жанама бірлік векторымен,

S≡e1 (1.1.4)

және х кеңістіктік координатасын s қисықтың дұғасының ұзындығымен теңдестіргеннен кейін, эволюциялық теңдеу келесі түрге ие:

e1t=e1e1xx; e12=1 (1.1.5)

Енді қисықтардың дифференциалдық геометриясының геометриялық эквмваленттілігін қолданғаннан кейін бірөлшемді үздіксіз ЛЛТ интегралданатын ШЕСТ-не эквивалент болып келеді. 1 - суретте спиндік бірсолитонды шешім көрсетілген. Оның компоненттері мыналар:

S=μsechvvtanhvcos+sin, μsechvvtanhvsin-cos, 1-μvsech2μsechvvtanhvsin-cos (1.1.6)

мұндағы
=x+v2-2t, (1.1.7) μ=2vv2+2
=x-2t

мұндағы v, = consts.

1 - сурет. Спиндік толқын

Спиндік жүйелер физикамен математиканың көзқарасы бойынша классикалық модельдің маңызды бөлімі болып келеді. Интегралдану термині контекстке байланысты екі жағдайда қолданылады: жалпы шешімді құру мүмкіндігінде және шашыраудың кері есебі әдісін қолдану мүмкіндігінде. Спиндік жүйелердің теңдеулерінің белгілі интегралданатын жағдайларын қарастырайық.
Есептердің тек қана бір координаттан тәуелді болуы ең қарапайым жағдай болып келеді. Дегенменде бірөлшемді жағдайдың талдауы әрқашанда тривиалды емес. Изотроптық жағдайда өзіндік шешім бар. Бірөлшемді шешімді зерттеу өздігінен қызық болғанымен, шашыраудың кері есебі әдісіне фундаментальді маңызды. Риманның түрлендіруі әдісінде қалай болғанда да динамиканың базисін құрайтын сызықты емес теңдеудің нақты бір шешімі болуы керек (солитондардың қозғалысы, тұрақсыздықтың дамуы және т. б.).
Екіөлшемді жағдайда шешім уақыттан және кеңістіктік координаттың бірінен тәуелді болады. Екі координатқа тәуелді стауионарлық шешімнің жағдайын бөлек қарастырамыз. Екіөлшемді ЛЛТ n - өріс моделі секілді интегралданатын болып шықты. (2+1) - өлшемді теңдеулердің изотроптық жағдайы функция (S немесе n) r2=x12+x22 бастапқы координаттан және уақыттан тәуелді болғанда интегралданады.
Тәжірибелік зерттеулер бірөлшемді магнетиктерде солитонды түрдегі сызықты емес толқындардың барын көрсетеді. Магнетиктегі солитондық азғыруларды сипаттау үшін ЛЛТ, ШСЕТ қолданылады. Әлсіз азғындалған ферромагнетик жағдайына келесі теңдеулер жатады:
1) Захаров теңдеуі:

iφt+φxx-uφ=0
utt=uxx+φxx2

2) Маханьков теңдеуі:

iφt+φxx-uφ=0
utt=uxx+αu2xx+βuxxxx+φxx2

3) Захаров - Бенни - Яджима - Ойкава:

iφt+φxx-uφ=0
ut+ux+φx2=0

4) Нишикава теңдеуі:

iφt+φxx-uφ=0
ut+ux+αu2x+βuxxx+φx2=0

және олардың әртүрлі жалпыламалары. Егер ферромагнетиктердің азғындалуы әлсіз болмаса, онда магниттік ішкі жүйені шредингердің амплитудасымен емес магниттелудің векторымен сипаттаған дүрыс.

0.2. Гейзенбергтің изотропты үздіксіз магнетигінің моделі
Төмен температурадағы ферромагнетиктердің макроскопиялық теориясы криссталдың көлем бірлігінің магнит моментіне тең М магниттелу векторының көмегімен магнетиктің күйін сипаттау мүмкіндігіне негізделген. М - нің ұзындығы әрқашан сақталады және нөлдік жуықтауда номиналды магниттелумен сәйкес келеді: M2=M02=const, мұндағы M0=2μ0sa-3, мұнда μ0 - Бор магнетоны (μ00), s - спин атома, а3 - атомның көлемі (кристалдың элементар ұяшығының көлемі).
Гейзенбергтің изотропты үздіксіз магнетигінің моделі немесе изотропты ЛЛТ шашыраудың кері есебі әдісінің көмегімен интегралданатын белгілі моделдердің бірі. Оның түрі мынадай:

St=SSxx (1.2.1)

мұндағы S - спиндік вектор.

S2=S32+βS12+S22=1 (1.2.2)

=1 жағдайын қарастырайық. Пуасон жақшасын енгізейік:

Si, Sj=-ϵijkSkδx-y (1.2.3)

мұндағы ϵijk - 3рангтың толық антисиммктриялық тенозоры. ϵijk=1. Онда Гейзенберг моделінің (ГМ) фоормасы келесідей болады:

St=H, S (1.2.4)

мұндағы Гамильтон функциясы

H=12Sx2dx (1.2.5)

(1.2.1) теңдеуін зерттегенде әдетте келесі шекаралық шарттар қарастырылады:
а) Тез кемитін шекаралық шарттар:

limx--infinityS=S0=0, 0, 1

б) Периодты шекаралық шарттар:
Sx+2T=Sx

в) Доменді қабырға тектес шекаралық шарттар:

limx--+-infinityS=0, 0, +-1

г) Квазипериодты шекаралық шарттар:

Sx+2T=RSx

(1.2.5) энергия теңдеуімен қатар басқа да маңызды қозғалыс интегралдары бар, мысалыға х - пен қозғалатын импульс - генераторы:

P=S1S2x-S2S1x1+S3dx (1.2.6)

және толық спин

M=M1,M2, M3=-TTSxdx (1.2.7)

Mi толық спин компонеттері Пуассон жақшаларын қанағаттандырады:

Mi,Mj=-ϵijkMk (1.2.8)

Дифференциалдық геометрияның көмегімен ГМ-ң Шредингердің интегралданатын сызықты емес теңдеуіне эквивалент екені дәлелденген:

iqt+qxx+2βq2q=0 (1.2.9)

ГМ үшін Лакс көрінісі (ЛК) келесі түрде жазылады:

x=U (1.2.10a) t=V (1.2.10б)

мұндағы

U=2iS, V=i22S+2SxS (1.2.11)

мұндағы - спектраллді параметр және

S=S∙σ=j=13Sjσj (1.2.12)
және

S2=1 (1.2.13)

σj - Паули матрицалары

σ1=0110, σ2=0-ii0, σ3=100-1 (1.2.14)

(1.2.10) жүйесінің үйлесімділік шарты

Ut-Vx+U,V=0 (1.2.15)

келесі теңдеуді береді:

iSt=12S,Sxx (1.2.16)

Бұл теңдеу (1.2.1) теңдеуінің матрицалық түрі болып келеді.

II ТАРАУ. Жазық қисықтар және сызықты емес эволюциялық теңдеулер

2.1. Жазық қисықтардың қозғалысы және (1+1) - өлшемді солитондық теңдеулер
Эвклидтік жазықтықты қарастырайық. r=r(x,t) тегіс қисық берілсін, r - қисық нүктелерінің радиус векторы, х - қисық ұзындығы, t - деформация параметрі (уақыт). Екі бірлік векторын енгізейік: e1 - жанама векторы, e2 - нормал векторы. Онда деформацияланған жазық қисық үшін бұл векторлар келесі Серре - Френе теңдеуін қанағатттандырады:

e1e2x=0k-βk0e1e2, e1e2t=0ω-βω0e1e2 (2.1.1)

мұндағы k - қисықтың қисықтығы, кез келген функция, e12=β=+-1, e22=1. (2.1.1) жүйесінің бірінші теңдеуі эвклидтік (=1) немесе псевдоэвклидтік (=1) жазықтықтағы жазық қисық үшін қарапайым СФТ болып келеді. Жазық қисықтар қозғалысы мен =1 үшін (1+1) - өлшемде интегралданатын сызықты емес эволюциялық теңдеудің байланысы көптеген авторларлың зерттеу нысаны болды. Осы жерде біз келесі екі жағдайды қосатын мәселелерге жалпылама тәсіл келтірсек: =1 және (=1). (2.1.1) ден

kt=ωx (2.1.2)

болады.
Кейбір (1+1) - өлшемді солитондық теңдеулермен жазық қисықтардың дифференциалдық геометриясы ойларының терең байланысын көрсететін бірнеше мысал қарастырайық. Анығында, біз жазық қисықтардың қозғалысының интегралданатын жағдайын қалай бөліп көруге болатынын көрсетеміз. Қарапайым =1 жағдайымен шектелейік.

2.1.1. КдФТ және оның спиндік аналогы

Келесі спиндік жүйені қарастырайық:

St=Sxxx+aSx+bS (2.1.3)

мұндағы S=S1, S2, S2=β=+-1 және

a=32βk+βk2, b=3βkkx, k2=Sx2 (2.1.4)

Келесі теңестіру орындалсын делік

S≡e1 (2.1.5)

Онда (2.1.1) және (2.1.2) ден келесіні аламыз:

ω=kxx+32βk2 (2.1.6)

(2.1.6) ны (2.1.2) ге қойып, мынаны аламыз:

kt=k+3βkkx (2.1.7)

(2.1.7) теңдеуі КдФТ деп аталады. Осыдан біз (2.1.3) және ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.