Stud.kz

Өзара әсерлесуші бозондар моделі


Жұмыс түрі:  Курстық жұмыс
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 30 бет
Таңдаулыға:   

МАЗМҰНЫ

Кіріспе 3

I. Тарау. Екінші ретті квантталу тәсілі

1. 1. Гармоникалық осцилятор 6

1. 2. Гармоникалық осциляторға арналған толтырусанының көрінісі 12

II. Тарау. Өзара әсерлесуші бозондар жүйесі

2. 1. Өзара әсерлесуші бозондар жүйесіндегі квазибөлшектер 16

2. 2. Бозондық операторлардың алгебрасы 22

III. Тарау. Өзара әсерлесуші бозондар моделі.

3. 1. ӨӘБМ-нің s - d модификациясы 26

3. 2. Өзара әсерлесуші бозондар моделінің вибрациялық шегі 30

3. 3. Самари изотоптарын эксперименттік және теориялық деңгейлерде

салыстыру 34

Қорытынды 36

Әдебиеттер 37

Кіріспе

Көп жуйелі денелер қатарына жататын атом ядросы құрылымы жағынан күрделі орта болып табылады. Осы күнге дейін қолданып отырған ядролар меделдері оның шекті параметрлерін сипаттап бере алады. Мұндағы негізгі қиыншылық ядролық күштердің табығатын толық зерттелмегенде. Осы қиыншылықтарға байланысты ядролық моделдер шекті жағдайларға қолданылады. Жалпылама моделдер негізінде ядроның негізгі сипаттамалары теориялық шектеулер қою негізінде зерттеледі.

Ядро теориясының қазіргі кездегі дамуы кең көлемдегі математакалық әдіс және кванттық теория өрісінің физикалық идеясы, статистикалық физика негізінде құрылады. Ядро теориясының негізін қалауда теория бойынша мына жұмыстар негізге алынды, асқынаққыштық, жоғарғыөткізгіштік және ферми-сұйықтық. Боголюбов Н. Н. бірінші болып ядролық заттың асқынаққыштығының мүмкіндігін көрсетті. Атом ядросының жоғарғыөткізгіштегі корреляция теориясын Беляев С. Т. мен Соловьев В. Г. тәуелсіз жасап шағарғын. Осы булы корреляция теориясы ядролық құрылымның микроскоптық жіне жартылаймикроскоптық әдістің терең зерттелуінің негізі болды. Осы бағыттағы ең жемісті және нақты болып табылған А. Б. Мигдал жұмыстары болып табылады. Ол жұмыстар ферми сұйықтық теориясына негізделген. Олардың қосалқы бөліктерінің қасиетері арқылы ядроның сипатын білдіретін микроскоптық анықтаманы қабықшалы модел арқылы дамуды алды, осы көп бөлшектер теориясы аясында ядролық материя теориясы, Хартри - Фоктың жай әдісі, уақытқа тәуелді Хартри - Фок әдісі және оның квазибөлшектер әдісі қолданылады.

Микроскопиялық әдістен басқа атом ядросының теориясында феноменольды ұжымдық әдіс жасалды. Бәрінен бұрын бұл О. Бор мен Б. Моттельсонның моделі болып табылады. В. Грайнер жұмыстарынан динамикалық ұжымдық модел теңдеуінің шешімі алынды, β ж ә н е γ \beta\ және\ \gamma тербелістерін есепке ала отырып аксиальды - симметриялық атом ядросы үшін пайдаланды.

Ядролық ұжымдық қозғалыс теориясы өз дамуын бозон анықтамасы формасынан да тапты, яғни бозон типтес элементарлы квазибөлшектер терминдері мен олардың өзара қатынасы қарастырылды. Нуклонды квазибөлшектер суретінен шығушы (қалдық күш немесе соңғы фермижүйе теориясымен қабықты модел), тиімді бозон гамильтонианның сап түзеуі, фермион операторлар С. Т. Беляев және В. Г. Зелевинский, кейінен Т. И. Марумори және басқалар бозон айырылу тәсілін жасаған. Бұл жердегі фермионды кеңістік кемшіліксіз бозон кеңістігінен

көрінеді, онда ұжымдық сәнді шағын ұжымдық кеңістікте келесі диагонализацияны ерекше белгілеуге болады. Бұндай схемамен шындыққа

жанасатып есеп жасау өте күрделі және жұмысы да көп, оларды жүзеге асыру өзіне сәйкес есептегіш техникалар дамуымен жүзеге асатын болалы. Р. В. Джолас және басқалар өз жұмыстарында саптүзетудің микраскопиялық әдісі ядроның ұжымдық бозонды гамельтониан әдісінде көрсетілген. Бұл әдісте ұжымдық кватруполды желілік тармағымен ұжымдық емес байланыс ескерілмеген, бірақ келесі ұжымдық қозғалысты қарастыру, әлсіз тербеліс байланысының айналуымен немесе айналыстың азда болса жиілігі анық жүзеге асырылады. Өзара әсерлесуші бозондардың гамельтониан моделінің құрылымы мен параметрі арқылы толығымен анықталады. А. Арима мен Ф. Якелла ұсынған келесі көрсетілген әдістің жетілдірілуі, S-бозон кіргізілуімен қорытындыланады. Мөлшерлі оқиға топтарының теориясы әдісімен зертелгенде, вибрациялық ратационды немесе γ \gamma бірқалыпты емес тип спектріне әкелінетін бірнеше қосымша симметрия жүзеге асырылғанда, өте қолайлы болып табылады. Параметрлерін ауыстыра отырып, ауыспалы ядролардың интерполяциялық сипаттамасын алуға болады. К. Б. Бақтыбаев ұсынған, квазиспинді фармолизмге негізделген вибрациялық шек теңдеуі шешімінің тәуелсіз әдісі. Өзара қатынастағы моделдер бозонды шекті кездерде көбінесе өз құрамында гармонды дірілдеткіш және қатты ротатор ұстайды (дұрыс жолдан ауытқуын шеткі арнайы белгіленген бозон N санымен белгіленеді) және жүйелі сандар параметрі көмегімен ұжымдық көтерілген көп ядроның төмен жатқан спекторын сипаттауға болады. Атап айту керек, көп жағдайда бұл модел нәзік экспериментальды нәтеиже көрсетпейді (өршіген күйдің квадрупольды кезеңі, Е0 - өтулер және т. б. ) . Моделдің одан әрі дамуы, өзара қатынастағы «нейтронды» және «протонды» базондар кіруімен байланысты (МВБ - 2) . Бұндай схема жаңа параметрлердің кіргізілуін талап етеді, сонымен бірге тәжірибемен бірге айтарлықтай жақсару білінбейді.

Бірнеше жұмыс микроскоптық құрылымның өзара қатынастағы моделдер бозонына арналады. Бұл жұмыстың мәні мынада: фермионды жұптар ерешеленіп, олар артынан бозондық кеңістікте сай матрицалық элементермен сипаталған. Бірақ бұндай бағыт күрделі есептеулерді қажет етеді.

Өзара әсерлесуші бозондар моделінің физикалық жетіспеушіліктері диформациялы ядроларды қарастырғында айқын көрінеді. Аралық өту біршама анық емес жуйе бағдарын, ішкі күйге жақын жуықтау мүмкіндіктерін талап етеді. Бірақ бұл үшін фермион жұптарына барлық мүмкін кезеңдерге жетуге, S - және d - жұптарымен тоқтамай, рұқсат етілуі керек. Бұндай бозондық кеңістік кеңейуінің мысалы ретінде

біріккен қосымша S - және d - бозонмен g - бозонының L = 4 мен бірігіп қарастырылуы. Мұндай жалпылама әсерлесуші бозондар моделінің жұп жаратымды атом ядросының толық күйінің анықтамасын алуғаа мүмкіндік береді.

Өзара әсерлесуші бозондар моделі ұжымдық қозғалыстың шекті жағдайлары вибрациялы және ротациялы шекті қолдану арқылы самари изотопының ( 148 62 S m 86 \frac{148}{62\ }{Sm}_{86} , 150 62 S m 88 \frac{150}{62\ }{Sm}_{88} ) тәжірибелік даңгейлерін алғашқы негізгі үш жолақтарын сипаттауда жақсы нәтиже береді. Түлектік жұмыс барысында [ 1. 12 ] \lbrack 1. 12\rbrack әдебиеттер қолданылды.

I тарау. Екінші ретті квантталу тәсілі.

  1. Гармоникалық осциллятор

Көптерген физикалық жүйелердің потенциалдық энергиясы кеңістіктегі кейбір нүктелердің минимумына ие болады. Потенциалдық энергияны осы нүктеден ауытқу ережесі бойынша қатарға жіктеп, төмендегідей жазуға болады:

U = U (0) + 1 2 ( ∂ 2 U ∂ x 2 ) 0 x 2 \frac{1}{2}(\frac{\partial^{2\ }U}{{\partial x}^{2}}) _{0}x^{2} + . . . , (1. 1)

Мұндағы x - ( ∂ U ∂ x ) = 0 (\frac{\partial U}{\partial x}) = 0 шартымен анықталатын тепе-теңдіктен ауытқу. Егер μ \mu массалы бөлшек тепе-теңдік жағдайында әлсіз тербеліс озғалысына қатысса, онда (1. 1) қатардың тек бірінші екі мүшесін сақтап қалуға болады.

Жүйенің энергиясын U(0) мәнінен бастап есептейміз, ондағы классикалық Гамильтон функциясы мына түрде жазылады

H к л H_{кл} = p 2 2 μ \frac{p^{2}}{2\mu} + k 2 x 2 \frac{k}{2}x^{2} , (1. 2)

Мұндағы k = ( ∂ 2 U ∂ x 2 ) 0 {(\frac{\partial^{2\ }U}{{\partial x}^{2}}) }_{0} . Айталық (1. 2) потенциялық энергияның түрі x - тің улкен мәндерінде де сакталынады.

Гамильтон функциясын сипаттайтын бөлшектер қозғалысының классиалық теңдеуі (1. 2) мынадай қарапайым түрге ие бола алады:

x ( t ) = A cos ( ω t + β \omega t + \beta ), (1. 3)

мұндағы ω = k / μ \omega = \ \sqrt{k/\mu} .

Бұл жағдайда, яғни бөлшек тепе-теңдік жағдайында гармоникалық тербеліс жасайд, ал сәйкес жүйелерді гармоникалық осциллятор деп атайды. Мұндай қозғалыстың түріне қатар сфералық атом ядроларының беттік тербелісін және т. б. жатқызуға болады. (1. 2) және (1. 3) теңдеулерінде гармоникалық осциллятордың классикалық тербеліс энергиясы төмендегі өрнекпен анықталады

E= 1 2 μ A 2 ω 2 = μ ω 2 ( x 2 ) к л \frac{1}{2\ }\mu A^{2}\omega^{2} = \ \mu\omega^{2}(x^{2\ }) _{кл} (1. 4)

Яғни А тербеліс амплитудасының квадратына немесе ауытқу квадратының орташа мәніне тәуелді болады

( x 2 ) к л x^{2\ }) _{кл\ } = A 2 cos ⁡ 2 ¯ ( ω τ + β ) A^{2}\overline{\cos 2}(\omega\tau + \beta) = А 2 2 \frac{А^{2}}{2} . (1. 5)

Кванттық механика әдісімен гармоникалық осциллятордың стационарлық күйлерін анықтайық. (1. 2) теңдеудегі классикалық шамаларды координаттық көріністегі сәйкесінше операторлармен ауыстырып, Шредингер теңдеуін аламыз

{ d 2 d x 2 \left\{ \frac{d^{2}}{{dx}^{2}} \right. \ - ω 2 μ 2 x 2 h 2 + 2 μ E h 2 } ψ ( ξ ) \frac{\omega^{2}\mu^{2}x^{2}}{h^{2}} + \left. \ \frac{2\mu E}{h^{2}} \right\}\ \psi(\xi) (1. 6)

ψ ( ξ ) = v ( ξ ) exp ⁡ ( − ξ 2 / 2 ) \psi(\xi) = v(\xi) \exp{( - \xi^{2}}/2) мәнін (1. 6) - ға қойып, υ ( ξ ) \upsilon(\xi) функциясы үшін теңдеу жазамыз

$$\nu"\ - \ 2\ \xi\ \nu\ '\ + \ (\varepsilon - 1) v = 0, $$

Мұндағы штрих - ξ \xi бойынша дифференциалды көрсетеді.

ψ ( ξ ) \psi(\xi) - шексіздік емес болу үшін, міндетті түрде ν \nu шешімі ξ \xi қатысты соңғы ретті полиномдар болуы керек. Мұндай шешімдер ε \varepsilon -1=2n, n = 0, 1, 2, …

болған жағдайда жүзеге асады.

n-нің әр мәніне Эрмит полиномы деп аталатын n-ретri полином сәйкес келеді

Η n ( ξ ) = ( − 1 ) n e ξ 2 d n d ξ n e − ξ 2 Η_{n}(\xi) = ( - 1) ^{n}e^{\xi^{2}}\frac{d^{n}}{d\xi^{n}}e^{{- \xi}^{2}} .

Гармоникалық осциллятордың стационар күйлерінің нормаланған толқындық функциялары келесі түрде болады

ϕ n ( ξ ) = [ n ! 2 n π ] − 1 2 H n ( ξ ) e x p ( − ξ 2 / 2 ) \phi_{n}(\xi) = \lbrack n!2^{n}\sqrt{\pi}\rbrack^{- \frac{1}{2}}H_{n}(\xi) exp( - \xi^{2}/2) (1. 7)

(1. 5) пайдалана отырып, энергияның мәнін табамыз

E n = h ω ( n + 1 2 ) E_{n} = h\omega(n + \frac{1}{2}) (1. 8)

Оған (1. 7) бір функциясы сәйкес келеді, айну болмайды. Е n = h ω 2 \frac{h\omega}{2} негізгі күйдің энергиясы нөлдік энергия деп аталады.

Себебі, осциллятордың потенциалдық энергиясы инверсияның түрленуіне қатысты оған инвариантгы. Онда стационарлық күйлер тақ және жұп болып бөлінеді. Барлық n жұп күйлер - жұп күйлерге, ал n тақ күйлер тақ күйлерге жатады, олардың толқындық функциялары түрлендіру кезінде таңбаларын

Өзгертеді x → \rightarrow x. Егер де Эрмит полиномының алғашқы түрлерін анық жазып алатын болсақ, онда жоғарыда айтқанымызға оңай көз жеткізуге болады.

H 0 ( ξ ) = 1 , H 1 ( ξ ) = 2 ξ , H 2 ( ξ ) = 4 ξ 2 − 2 , H 3 ( ξ ) = 8 ξ 2 − 12 ξ H_{0}(\xi) = 1, \ \ \ \ \ \ H_{1}(\xi) = 2\xi, \ \ \ \ \ \ \ H_{2}(\xi) = 4\xi^{2} - 2, \ \ \ \ \ \ \ H_{3}(\xi) = 8\xi^{2} - 12\xi

Жалпы жағдайды жұп шарты (1. 7) теңдеумен анықталады.

Эрмит полиномдары қарапайым реккуренттік қатынастарды қанағаттандырады

ξ H n ( ξ ) = n H n − 1 ( ξ ) + 1 2 H n + 1 ( ξ ) \xi H_{n\ }(\xi) = nH_{n - 1}(\xi) + \frac{1}{2}H_{n + 1}(\xi) (1. 9)

d H n d ξ = 2 n H n − 1 ( ξ ) \frac{dH_{n}}{d\xi} = 2nH_{n - 1}(\xi) . (1. 10)

Бұларды білу есептеу жүргізгенде өзімізге пайдалы.

Мысалы, ψ ( ξ ) \psi(\xi) күйіндегі ξ \xi орташа мәні бойынша орташа ауытқу квадратына есептейік. Орташа мән төмендегідей болады

⟨ ξ ⟩ \left\langle \left. \ \xi \right\rangle \right. \ = ∫ − ∞ ∞ ψ n 2 ( ξ ) ξ d ξ = 0 \int_{- \infty}^{\infty}\psi_{n}^{2}(\xi) \xi d\xi = 0 .

Себебі интеграл астында ξ т а қ ф у н к ц и я с ы т ұ р . С о н д ы қ т а н \xi\ тақ\ функциясы\ тұр. \ Сондықтан

⟨ Δ ξ 2 ⟩ n = n 2 Ψ n − 1 n + 1 2 Ψ n + 1 \left\langle \Delta\left. \ \xi^{2} \right\rangle_{n} \right. \ = \ \sqrt{\frac{n}{2}}\Psi_{n - 1}\sqrt{\frac{n + 1}{2}}\Psi_{n + 1} (1. 12)

Осы қатынасты тағы да қолдана отырып

ξ 2 Ψ n ( ξ ) = 1 2 n ( n − 1 ) Ψ n − 2 + ( n + 1 2 ) Ψ n + 1 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) Ψ n + 2 \xi^{2}\Psi_{n}(\xi) = \frac{1}{2}\sqrt{n(n - 1) \Psi_{n - 2}} + \left( n + \frac{1}{2} \right) \Psi_{n} + \frac{1}{2}\sqrt{(n + 1) (n + 2) }\Psi_{n + 2} (1. 13)

Ψ n ( ξ ) \Psi_{n}(\xi) функциясының ортонормалдығын ескере отырып (1. 13) -ді (1. 11) -ге қоямыз

ξ 2 Ψ n ( ξ ) = 1 2 , н е м е с е ⟨ x 2 ⟩ n = ( n + 1 2 ) λ 2 μ ω . \xi^{2}\Psi_{n}(\xi) = \ \frac{1}{2}, \ немесе\ \left\langle \left. \ x^{2} \right\rangle_{n} \right. \ = \left( n + \frac{1}{2} \right) \frac{\lambda}{2\mu\omega}. (1. 14)

Соңғы өрнекті жазғанда (1. 5) теңдеуді ескердік. (1. 14) -ден нөлдік тербелістердің амплитудаларының квадратының орташа мэні келесі өрнекпен анықталатынын байқаймыз.

⟨ x 2 ⟩ 0 = λ 2 μ ω \left\langle \left. \ x^{2} \right\rangle_{0} \right. \ = \frac{\lambda}{2\mu\omega}\

(1. 14) -дің көмегімен (1. 8) формуланы келесі түрге түрлендіруге болады

E n = μ ω 2 ( x 2 ) n E_{n} = \ \mu\omega^{2}(x^{2}) _{n} (1. 15)

(1. 15) -мен (1. 4) - ді салыстыра отырып, біз классикалық жэне кванттық теориялардың энергиясы тепе-теңдік жағдайында ауытқу квадратының орташа мэні арқылы бірдей өрнектелетінін білеміз.

(1. 12) пайдалана отырып жэне Ψ n \Psi_{n} функциясының ортонормальдығын ескеріп, координата операторларының матрицалық элементтерін оңай есептеп шығуға болады

⟨ Ψ m x Ψ n ⟩ = ⟨ Ψ m x Ψ n ⟩ λ μ ω = { [ λ μ ω n 2 ] 1 2 δ m , n − 1 [ λ ( n + 1 ) 2 μ ω ] 1 2 δ m , n + 1 \left\langle \Psi_{m} \right. \ x\left. \ \Psi_{n} \right\rangle = \left\langle \Psi_{m} \right. \ x\left. \ \Psi_{n} \right\rangle\frac{\lambda}{\mu\omega} = \left\{ \frac{\left\lbrack \left. \ \frac{\lambda}{\mu\omega}\frac{n}{2} \right\rbrack^{\frac{1}{2}}\delta_{m, n - 1} \right. \ }{\left\lbrack \left. \ \frac{\lambda(n + 1) }{2\mu\omega} \right\rbrack^{\frac{1}{2}} \right. \ \delta_{m, n + 1}} \right. \

ξ \xi бойынша Ψ n \Psi_{n} функциясын дифференциалдап жэне (1. 10) ескере отырып, мынаны табамыз

∂ Ψ n ∂ ξ = 2 n 2 2 Ψ n − 1 − ξ Ψ n , \frac{\partial\Psi_{n}}{\partial\xi} = 2\sqrt{\frac{n}{2}}2\Psi_{n - 1} - \ \xi\Psi_{n}, (1. 16)

немесе

∂ Ψ n ∂ ξ = n 2 Ψ n − 1 − n − 1 2 Ψ n + 1 \frac{\partial\Psi_{n}}{\partial\xi} = \sqrt{\frac{n}{2}}\Psi_{n - 1} - \ \sqrt{\frac{n - 1}{2}}\Psi_{n + 1}

(1. 12) ескерсек (1. 16) қатынастан екі пайдалы қатынас шығады

1 2 ( ξ + ∂ ∂ ξ ) Ψ n = n Ψ n − 1 1 2 ( ξ − ∂ ∂ ξ ) Ψ n = n + 1 Ψ n + 1 } \left. \ \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \xi + \frac{\partial}{\partial\xi} \right) \Psi_{n} = \sqrt{n\Psi_{n - 1}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \xi - \frac{\partial}{\partial\xi} \right) \Psi_{n} = \sqrt{n + 1}\Psi_{n + 1}} \right\} (1. 17)

(1. 5) жэне р = -іһ ∂ ∂ ξ \ \frac{\partial}{\partial\xi} импульс операторымен төмендегі қатынас бойынша

байланысатын ρ ̂ ξ = − i ∂ ∂ ξ {\widehat{\rho}}_{\xi} = - i\frac{\partial}{\partial\xi} операторын енгіземіз

ρ ̂ x = μ ℏ ω ρ ̂ ξ {\widehat{\rho}}_{x} = \sqrt{\mu\hslash\omega}{\widehat{\rho}}_{\xi} (1. 18)

онда (1. 15) қатынасты келесі түрде жазуға болады

a ̂ Ψ n = n Ψ n − 1 , a ̂ + Ψ n = n + 1 Ψ n + 1 , \widehat{a}\Psi_{n} = \ \sqrt{n\Psi_{n - 1}}, \ {\widehat{a}}^{+}\Psi_{n} = \ \sqrt{n + 1}\Psi_{n + 1}, (1. 19)

мұндағы операторлар төмендегі теңдіктермен анықталған

a ̂ 1 2 ( ξ + ∂ ∂ ξ ) = 1 2 ( ξ + i p ξ ̂ ) \widehat{a}\ \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \xi + \frac{\partial}{\partial\xi} \right) = \ \frac{1}{\sqrt{2}}(\xi + i\left. \ \widehat{p\xi} \right) (1. 20)

a ̂ + 1 2 ( ξ + ∂ ∂ ξ ) = 1 2 ( ξ − i p ξ ̂ ) {\widehat{a}}^{+}\ \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \xi + \frac{\partial}{\partial\xi} \right) = \ \frac{1}{\sqrt{2}}(\xi - i\left. \ \widehat{p\xi} \right)

(1. 19) көмепмен a ̂ + {\widehat{a}}^{+}\ операторын жүйелі қолдана отырып, нөлдік күйдің

толқындық функциясын алуға болады:

Ψ n = 1 n ! ( a + ) n Ψ 0 \Psi_{n} = \sqrt{\frac{1}{n!}}(a^{+}) ^{n}\Psi_{0} (1. 21) Ψ 0 \Psi_{0} толқындық функциясының дэлдіктен көбейткішіне дейінгі нормалануының түрі (1. 19) a ̂ Ψ 0 \widehat{a}\Psi_{0} =0 шартынан алынуы мүмкін.

Координаталық көрініске (1. 21) a ̂ \widehat{a} операторыныц айқын түрін қоя отырып, дифференциалдық теңдеу аламыз

( ξ + ∂ ∂ ξ ) Ψ 0 ( ξ ) = 0 \xi + \frac{\partial}{\partial\xi}) \Psi_{0}(\xi) = 0

бүл теңдеу координаталық көріністе Ψ 0 ( ξ ) \Psi_{0}(\xi) функциясын анықтайды. Бүл теңдеудің шешімі қарапайым

Ψ 0 ( ξ ) = N 0 e − ξ 2 2 \Psi_{0}(\xi) = N_{0}e\frac{- \xi^{2}}{2}

(1. 20) пайдалана отырып операторлардың алмастыру қатынастарын қанағаттандыратын байқауға болады

[ a ̂ , a + ̂ ] \left\lbrack \widehat{a}, \widehat{a^{+}} \right\rbrack =1 (1. 22)

(1. 19) жүйелі түрде қолдана отырып, мына теңдіктерді дәлелдеуге болады

a ̂ a ̂ + Ψ n = ( n + 1 ) Ψ n , } \left. \ \widehat{a}{\widehat{a}}^{+}\Psi_{n} = (n + 1) \Psi_{n}\, \right\}

a ̂ a ̂ + Ψ n \widehat{a}{\widehat{a}}^{+}\Psi_{n} =n Ψ n \Psi_{n}\ \ (1. 23)

(1. 23) -ден a ̂ a ̂ + \widehat{a}{\widehat{a}}^{+} жэне a ̂ + a ̂ {\widehat{a}}^{+}\widehat{a}\ операторларының көбейтіндісінің меншікті

мэндері, сәйкесінше (n+1) жэне n -ге тең болатындығын табамыз. Осыдан, осы операторлардың матрицалары меншікті көріністерінде диагональды:

( a ̂ a ̂ + \widehat{a}{\widehat{a}}^{+} ) тп = (п+ 1) δ \delta тп , ( a ̂ \widehat{a} + a ̂ \widehat{a} ) тп = п δ \delta mn . (1. 24)

Егер де (1. 24) пайдаланатын болсақ, онда (1. 2) -дегі операторға көшу кезіндегі Гамильтон операторының меншікті мәнін оңай есептеуге болады. Шындығында да, (1. 5) және (1. 8) ескеріп, келесі өрнекті аламыз

H = ℏ ω 2 2 ( ξ ̂ 2 + p ̂ ξ 2 ) H = \ \frac{\hslash\omega^{2}}{2}({\widehat{\xi}}^{2} + {\widehat{p}}_{\xi}^{2})

Басқа жағынан қарайтын болсақ, (1. 24) операторлардың анықтамасы бойынша

a ̂ \widehat{a} + a ̂ \widehat{a} + a ̂ a ̂ + \widehat{a}{\widehat{a}}^{+} = ξ ̂ 2 + p ̂ ξ 2 {\widehat{\xi}}^{2} + {\widehat{p}}_{\ \ \ \xi}^{2}

Сондықтан,

H m n = ℏ ω 2 ( ξ ̂ 2 + p ̂ ξ 1 ) m n = ℏ ω 2 ( a ̂ + a ̂ + a ̂ a ̂ + ) m n = ℏ ω ( n + 1 2 ) δ m n + E n δ m n H_{mn} = \ \frac{\hslash\omega}{2}({\widehat{\xi}}^{2} + {\widehat{p}}_{\xi}^{1}) _{mn} = \ \frac{\hslash\omega}{2}\ (\widehat{a} + \widehat{a} + \widehat{a}{\widehat{a}}^{+}) _{mn} = \hslash\omega\left( n + \frac{1}{2} \right) \delta_{mn} + E_{n}\delta_{mn}

немесе

E n = ℏ ω ( n + 1 2 ) E_{n} = \ \hslash\omega(n + \frac{1}{2}) (1. 25)

1. 2. Гармоникалық осцилляторға арналған толтыру санының көрінісі

Толтыру санының көрінісімен танысуды біз бір өлшемді гармоникалық осцилляторды зерттеуден бастаймыз. Осы қарапайым мысалды қарастырған уақытта толтыру саны көрінісінде қолданылатын ұғымдар енгізеледі. Біз білетініміздей, гармоникалық осциллятордың гамильтонианын мына түрде жазуға болады

H ( ξ ) = ℏ ω 2 ( ξ 2 − d 2 d ξ 2 ) = ℏ ω 2 ( ξ 2 + p ̂ ξ 2 ) , (\xi) = \ \frac{\hslash\omega}{2}\left( \xi^{2} - \frac{d^{2}}{{d\xi}^{2}} \right) = \ \frac{\hslash\omega}{2}\ \left( \xi^{2} + {\widehat{p}}_{\ \ \ \xi}^{2} \right), (1. 2. 1)

мұндағы ξ \xi - өлшемсіз айнымалы, ол бөлшекті m -массасымен, ( ω \omega ) циклдік жиілікпен жэне х - координатасымен

ξ = x ( m ω ℏ ) 1 / 2 \xi = x(\frac{m\omega}{\hslash}) ^{1/2}

қатынасы арқылы байланысты.

ξ ̂ \widehat{\xi} = ξ \xi координата жэне p ̂ ξ {\widehat{p}}_{\xi} = -i ∂ ∂ ξ \frac{\partial}{\partial\xi} импульс операторларын екі басқа эрмиттік емес операторлар арқылы көрсетуге болады

a ̂ = 1 2 ( ξ + ∂ ∂ ξ ) = 1 2 ( ξ ̂ + i p ̂ ξ ) \widehat{a\ } = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \xi + \frac{\partial}{\partial\xi} \right) = \ \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \widehat{\xi} + i{\widehat{p}}_{\xi} \right) (1. 2. 2), a ̂ + = 1 2 ( ξ − ∂ ∂ ξ ) = 1 2 {\widehat{a\ }}^{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \xi - \frac{\partial}{\partial\xi} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} ( ξ ̂ − i p ̂ ξ ) \left( \widehat{\xi} - i{\widehat{p}}_{\xi} \right) (1. 2. 3)

(1. 2. 2), (1. 2. 3) алмастыру қатынасын қанағаттандырады

[ a ̂ , a + ̂ ] = a ̂ a ̂ + − a ̂ + a ̂ = 1 \left\lbrack \widehat{a}, \widehat{a^{+}} \right\rbrack = \widehat{a}{\widehat{a}}^{+} - {\widehat{a}}^{+}\widehat{a} = 1 (1. 2. 4)
Онда (1. 2. 1) гамильтониан мынадай түрде болады

H= 1 2 ℏ ω ( a ̂ a ̂ + a ̂ + a ) = ℏ ω \frac{1}{2}\hslash\omega\left( \widehat{a}{\widehat{a}}^{+}{\widehat{a}}^{+ a} \right) = \hslash\omega ( a ̂ + a ̂ + 1 2 {\widehat{a}}^{+}\widehat{a} + \frac{1}{2} ) (1. 2. 5)

Гармоникалық осцилляторға қатысты барлық басқа операторлар ξ \ \xi жэне

-і ∂ ∂ ξ \frac{\partial}{\partial\xi} функциясы болып табылады, сондықтан (1. 2. 2) жэне (1. 2. 3) -дің

көмегімен оларды а ̂ \widehat{а} жэне а ̂ + {\widehat{а}}^{+} операторлары арқылы өрнектеиміз.

Дербес жағдайда,

ξ = 1 2 ( a ̂ + a ̂ + ) , ∂ ∂ ξ = 1 2 ( a ̂ − a ̂ + ) \xi = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \widehat{a} + {\widehat{a}}^{+} \right), \ \frac{\partial}{\partial\xi} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \widehat{a} - {\widehat{a}}^{+} \right) (1. 26)

Біз білетініміздей, а ̂ \widehat{а} жене а ̂ + {\widehat{а}}^{+} эрмиттік операторларының ψ \psi п толқындық функциясына эсері төмендегі қатынастар бойынша анықталады

a ̂ ψ \widehat{a}\psi п= n ψ \sqrt{n}\psi п-1, a ¯ + ψ {\overline{a}}^{+}\psi п= n + 1 ψ n + 1 \sqrt{n + {1\psi}_{n + 1}}

(1. 2. 2) жэне (1. 2. 3) a ̂ \widehat{a} жане a ̂ + {\widehat{a}}^{+} эрмиттік емес операторларын координаталық көріністе анықтайды. Олар ∫ − ∞ ∞ ψ 8 ( ξ ) ψ ( ξ ) d ξ \int_{- \infty}^{\infty}\psi^{8}(\xi) \psi(\xi) d\xi нормаланған шарт бойынша

... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Атом ядросының физикасы- дәрістер жинағы
Ядролық физика
Қарапайым бөлшектердің түрлері
Жартылай иондалған классикалық гeлий плазмасының диэлeктрлік өтімділік тeнзоры
Турбуленттіліктің бастапқы деңгейінің әсерін сандық зерттеу
Кванттық механика туралы
Ядроның массалар ақауы және байланыс энергиясы
Адиабаталы жіктелген термодинамикалық жүйелер
Атом ядросының және қарапайым бөлшектер физикасының даму кезеңдері
Статистикалық физика, термодинамика және физикалық кинетика негіздері
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

google play appstore

instagram tiktok

Ақпарат

Қосымша


Email: info@stud.kz



Реферат Курстық жұмыс Диплом Материал Диссертация Практика Презентация Сабақ жоспары Мақал-мәтелдер 1‑10 бет 11‑20 бет 21‑30 бет 31‑60 бет 61+ бет Негізгі Бет саны Қосымша Іздеу Ештеңе табылмады :( Соңғы қаралған жұмыстар Қаралған жұмыстар табылмады Тапсырыс Антиплагиат Қаралған жұмыстар kz