Өзара әсерлесуші бозондар моделі
МАЗМҰНЫ
Кіріспе 3
I.Тарау. Екінші ретті квантталу тәсілі
1.1.Гармоникалық осцилятор 6
1.2.Гармоникалық осциляторға арналған толтырусанының көрінісі 12
II. Тарау. Өзара әсерлесуші бозондар жүйесі
2.1. Өзара әсерлесуші бозондар жүйесіндегі квазибөлшектер 16
2.2. Бозондық операторлардың алгебрасы 22
III. Тарау. Өзара әсерлесуші бозондар моделі.
3.1. ӨӘБМ-нің s - d модификациясы 26
3.2. Өзара әсерлесуші бозондар моделінің вибрациялық шегі 30
3.3. Самари изотоптарын эксперименттік және теориялық деңгейлерде
салыстыру 34
Қорытынды 36
Әдебиеттер 37
Кіріспе
Көп жуйелі денелер қатарына жататын атом ядросы құрылымы жағынан күрделі орта болып табылады. Осы күнге дейін қолданып отырған ядролар меделдері оның шекті параметрлерін сипаттап бере алады. Мұндағы негізгі қиыншылық ядролық күштердің табығатын толық зерттелмегенде. Осы қиыншылықтарға байланысты ядролық моделдер шекті жағдайларға қолданылады. Жалпылама моделдер негізінде ядроның негізгі сипаттамалары теориялық шектеулер қою негізінде зерттеледі.
Ядро теориясының қазіргі кездегі дамуы кең көлемдегі математакалық әдіс және кванттық теория өрісінің физикалық идеясы, статистикалық физика негізінде құрылады. Ядро теориясының негізін қалауда теория бойынша мына жұмыстар негізге алынды, асқынаққыштық, жоғарғыөткізгіштік және ферми-сұйықтық. Боголюбов Н.Н. бірінші болып ядролық заттың асқынаққыштығының мүмкіндігін көрсетті. Атом ядросының жоғарғыөткізгіштегі корреляция теориясын Беляев С.Т. мен Соловьев В.Г. тәуелсіз жасап шағарғын. Осы булы корреляция теориясы ядролық құрылымның микроскоптық жіне жартылаймикроскоптық әдістің терең зерттелуінің негізі болды. Осы бағыттағы ең жемісті және нақты болып табылған А.Б. Мигдал жұмыстары болып табылады. Ол жұмыстар ферми сұйықтық теориясына негізделген. Олардың қосалқы бөліктерінің қасиетері арқылы ядроның сипатын білдіретін микроскоптық анықтаманы қабықшалы модел арқылы дамуды алды, осы көп бөлшектер теориясы аясында ядролық материя теориясы, Хартри - Фоктың жай әдісі, уақытқа тәуелді Хартри - Фок әдісі және оның квазибөлшектер әдісі қолданылады.
Микроскопиялық әдістен басқа атом ядросының теориясында феноменольды ұжымдық әдіс жасалды. Бәрінен бұрын бұл О.Бор мен Б.Моттельсонның моделі болып табылады. В.Грайнер жұмыстарынан динамикалық ұжымдық модел теңдеуінің шешімі алынды, β және γ тербелістерін есепке ала отырып аксиальды - симметриялық атом ядросы үшін пайдаланды.
Ядролық ұжымдық қозғалыс теориясы өз дамуын бозон анықтамасы формасынан да тапты, яғни бозон типтес элементарлы квазибөлшектер терминдері мен олардың өзара қатынасы қарастырылды. Нуклонды квазибөлшектер суретінен шығушы (қалдық күш немесе соңғы фермижүйе теориясымен қабықты модел), тиімді бозон гамильтонианның сап түзеуі, фермион операторлар С.Т. Беляев және В.Г. Зелевинский, кейінен Т.И. Марумори және басқалар бозон айырылу тәсілін жасаған. Бұл жердегі фермионды кеңістік кемшіліксіз бозон кеңістігінен
көрінеді, онда ұжымдық сәнді шағын ұжымдық кеңістікте келесі диагонализацияны ерекше белгілеуге болады. Бұндай схемамен шындыққа
жанасатып есеп жасау өте күрделі және жұмысы да көп, оларды жүзеге асыру өзіне сәйкес есептегіш техникалар дамуымен жүзеге асатын болалы. Р.В. Джолас және басқалар өз жұмыстарында саптүзетудің микраскопиялық әдісі ядроның ұжымдық бозонды гамельтониан әдісінде көрсетілген. Бұл әдісте ұжымдық кватруполды желілік тармағымен ұжымдық емес байланыс ескерілмеген, бірақ келесі ұжымдық қозғалысты қарастыру, әлсіз тербеліс байланысының айналуымен немесе айналыстың азда болса жиілігі анық жүзеге асырылады. Өзара әсерлесуші бозондардың гамельтониан моделінің құрылымы мен параметрі арқылы толығымен анықталады. А.Арима мен Ф.Якелла ұсынған келесі көрсетілген әдістің жетілдірілуі, S-бозон кіргізілуімен қорытындыланады. Мөлшерлі оқиға топтарының теориясы әдісімен зертелгенде, вибрациялық ратационды немесе γ бірқалыпты емес тип спектріне әкелінетін бірнеше қосымша симметрия жүзеге асырылғанда, өте қолайлы болып табылады. Параметрлерін ауыстыра отырып, ауыспалы ядролардың интерполяциялық сипаттамасын алуға болады. К.Б.Бақтыбаев ұсынған, квазиспинді фармолизмге негізделген вибрациялық шек теңдеуі шешімінің тәуелсіз әдісі. Өзара қатынастағы моделдер бозонды шекті кездерде көбінесе өз құрамында гармонды дірілдеткіш және қатты ротатор ұстайды (дұрыс жолдан ауытқуын шеткі арнайы белгіленген бозон N санымен белгіленеді) және жүйелі сандар параметрі көмегімен ұжымдық көтерілген көп ядроның төмен жатқан спекторын сипаттауға болады. Атап айту керек, көп жағдайда бұл модел нәзік экспериментальды нәтеиже көрсетпейді (өршіген күйдің квадрупольды кезеңі, Е0 - өтулер және т.б.). Моделдің одан әрі дамуы, өзара қатынастағы нейтронды және протонды базондар кіруімен байланысты (МВБ - 2). Бұндай схема жаңа параметрлердің кіргізілуін талап етеді, сонымен бірге тәжірибемен бірге айтарлықтай жақсару білінбейді.
Бірнеше жұмыс микроскоптық құрылымның өзара қатынастағы моделдер бозонына арналады. Бұл жұмыстың мәні мынада: фермионды жұптар ерешеленіп, олар артынан бозондық кеңістікте сай матрицалық элементермен сипаталған. Бірақ бұндай бағыт күрделі есептеулерді қажет етеді.
Өзара әсерлесуші бозондар моделінің физикалық жетіспеушіліктері диформациялы ядроларды қарастырғында айқын көрінеді. Аралық өту біршама анық емес жуйе бағдарын, ішкі күйге жақын жуықтау мүмкіндіктерін талап етеді. Бірақ бұл үшін фермион жұптарына барлық мүмкін кезеңдерге жетуге, S - және d - жұптарымен тоқтамай, рұқсат етілуі керек. Бұндай бозондық кеңістік кеңейуінің мысалы ретінде
біріккен қосымша S - және d - бозонмен g - бозонының L = 4 мен бірігіп қарастырылуы. Мұндай жалпылама әсерлесуші бозондар моделінің жұп жаратымды атом ядросының толық күйінің анықтамасын алуғаа мүмкіндік береді.
Өзара әсерлесуші бозондар моделі ұжымдық қозғалыстың шекті жағдайлары вибрациялы және ротациялы шекті қолдану арқылы самари изотопының (14862 Sm86, 15062 Sm88) тәжірибелік даңгейлерін алғашқы негізгі үш жолақтарын сипаттауда жақсы нәтиже береді. Түлектік жұмыс барысында 1.12 әдебиеттер қолданылды.
I тарау. Екінші ретті квантталу тәсілі.
0.1. Гармоникалық осциллятор
Көптерген физикалық жүйелердің потенциалдық энергиясы кеңістіктегі кейбір нүктелердің минимумына ие болады. Потенциалдық энергияны осы нүктеден ауытқу ережесі бойынша қатарға жіктеп, төмендегідей жазуға болады:
U = U (0)+12(d2 Udx2)0x2+..., (1.1)
Мұндағы x - (dUdx)=0 шартымен анықталатын тепе-теңдіктен ауытқу. Егер μ массалы бөлшек тепе-теңдік жағдайында әлсіз тербеліс озғалысына қатысса, онда (1.1) қатардың тек бірінші екі мүшесін сақтап қалуға болады.
Жүйенің энергиясын U(0) мәнінен бастап есептейміз, ондағы классикалық Гамильтон функциясы мына түрде жазылады
Hкл= p22μ+k2x2, (1.2)
Мұндағы k = (d2 Udx2)0. Айталық (1.2) потенциялық энергияның түрі x - тің улкен мәндерінде де сакталынады.
Гамильтон функциясын сипаттайтын бөлшектер қозғалысының классиалық теңдеуі (1.2) мынадай қарапайым түрге ие бола алады:
x(t)= A cos (ωt+β), (1.3)
мұндағы ω= kμ.
Бұл жағдайда, яғни бөлшек тепе-теңдік жағдайында гармоникалық тербеліс жасайд, ал сәйкес жүйелерді гармоникалық осциллятор деп атайды. Мұндай қозғалыстың түріне қатар сфералық атом ядроларының беттік тербелісін және т.б. жатқызуға болады. (1.2) және (1.3) теңдеулерінде гармоникалық осциллятордың классикалық тербеліс энергиясы төмендегі өрнекпен анықталады
E=12 μA2ω2= μω2(x2 )кл (1.4)
Яғни А тербеліс амплитудасының квадратына немесе ауытқу квадратының орташа мәніне тәуелді болады
(x2 )кл = A2cos2ωτ+β=А22. (1.5)
Кванттық механика әдісімен гармоникалық осциллятордың стационарлық күйлерін анықтайық. (1.2) теңдеудегі классикалық шамаларды координаттық көріністегі сәйкесінше операторлармен ауыстырып, Шредингер теңдеуін аламыз
d2dx2 - ω2μ2x2h2+2μEh2 ψ(ξ) (1.6)
ψξ=vξexp(-ξ22) мәнін (1.6) - ға қойып, υ(ξ) функциясы үшін теңдеу жазамыз
ν" - 2 ξ ν ' + (ε-1)v=0,
Мұндағы штрих - ξ бойынша дифференциалды көрсетеді.
ψ(ξ) - шексіздік емес болу үшін, міндетті түрде ν шешімі ξ қатысты соңғы ретті полиномдар болуы керек. Мұндай шешімдер ε-1=2n, n = 0,1,2,...
болған жағдайда жүзеге асады.
n-нің әр мәніне Эрмит полиномы деп аталатын n-ретri полином сәйкес келеді
Ηnξ=(-1)neξ2dndξne-ξ2.
Гармоникалық осциллятордың стационар күйлерінің нормаланған толқындық функциялары келесі түрде болады
ϕnξ=[n!2nPI]-12Hn(ξ)exp(-ξ22) (1.7)
(1.5) пайдалана отырып, энергияның мәнін табамыз
En=hω(n+12) (1.8)
Оған (1.7) бір функциясы сәйкес келеді, айну болмайды. Еn =hω2 негізгі күйдің энергиясы нөлдік энергия деп аталады.
Себебі, осциллятордың потенциалдық энергиясы инверсияның түрленуіне қатысты оған инвариантгы. Онда стационарлық күйлер тақ және жұп болып бөлінеді. Барлық n жұп күйлер - жұп күйлерге, ал n тақ күйлер тақ күйлерге жатады, олардың толқындық функциялары түрлендіру кезінде таңбаларын
Өзгертеді x--x. Егер де Эрмит полиномының алғашқы түрлерін анық жазып алатын болсақ, онда жоғарыда айтқанымызға оңай көз жеткізуге болады.
H0ξ=1, H1ξ=2ξ, H2ξ=4ξ2-2, H3ξ=8ξ2-12ξ
Жалпы жағдайды жұп шарты (1.7) теңдеумен анықталады.
Эрмит полиномдары қарапайым реккуренттік қатынастарды қанағаттандырады
ξHn ξ=nHn-1ξ+12Hn+1(ξ) (1.9)
dHndξ=2nHn-1(ξ). (1.10)
Бұларды білу есептеу жүргізгенде өзімізге пайдалы.
Мысалы, ψξ күйіндегі ξ орташа мәні бойынша орташа ауытқу квадратына есептейік. Орташа мән төмендегідей болады
ξ=-infinityinfinityψn2ξξdξ=0.
Себебі интеграл астында ξ тақ функциясы тұр. Сондықтан
Δξ2n= n2Ψn-1n+12Ψn+1 (1.12)
Осы қатынасты тағы да қолдана отырып
ξ2Ψnξ=12nn-1Ψn-2+n+12Ψn+12(n+1)(n+2 )Ψn+2 (1.13)
Ψn(ξ) функциясының ортонормалдығын ескере отырып (1.13) - ді (1.11)-ге қоямыз
ξ2Ψnξ= 12, немесе x2n=n+12λ2μω. (1.14)
Соңғы өрнекті жазғанда (1.5) теңдеуді ескердік. (1.14)-ден нөлдік тербелістердің амплитудаларының квадратының орташа мэні келесі өрнекпен анықталатынын байқаймыз.
x20=λ2μω
(1.14)-дің көмегімен (1.8) формуланы келесі түрге түрлендіруге болады
En= μω2(x2)n (1.15)
(1.15)-мен (1.4) - ді салыстыра отырып, біз классикалық жэне кванттық теориялардың энергиясы тепе-теңдік жағдайында ауытқу квадратының орташа мэні арқылы бірдей өрнектелетінін білеміз.
(1.12) пайдалана отырып жэне Ψn функциясының ортонормальдығын ескеріп, координата операторларының матрицалық элементтерін оңай есептеп шығуға болады
ΨmxΨn=ΨmxΨnλμω=λμωn212δm,n-1λ(n+1)2 μω12δm,n+1
ξ бойынша Ψn функциясын дифференциалдап жэне (1.10) ескере отырып, мынаны табамыз
dΨndξ=2n22Ψn-1- ξΨn, (1.16)
немесе
dΨndξ=n2Ψn-1- n-12Ψn+1
(1.12) ескерсек (1.16) қатынастан екі пайдалы қатынас шығады
12ξ+ddξΨn=nΨn-112ξ-ddξΨn=n+1Ψn+1 (1.17)
(1.5) жэне р = -іһ ddξ импульс операторымен төмендегі қатынас бойынша
байланысатын ρξ=-iddξ операторын енгіземіз
ρx=μℏωρξ (1.18)
онда (1.15) қатынасты келесі түрде жазуға болады
aΨn= nΨn-1, a+Ψn= n+1Ψn+1, (1.19)
мұндағы операторлар төмендегі теңдіктермен анықталған
a 12ξ+ddξ= 12(ξ+ipξ (1.20)
a+ 12ξ+ddξ= 12(ξ-ipξ
(1.19) көмепмен a+ операторын жүйелі қолдана отырып, нөлдік күйдің
толқындық функциясын алуға болады:
Ψn=1n!(a+)nΨ0 (1.21) Ψ0 толқындық функциясының дэлдіктен көбейткішіне дейінгі нормалануының түрі (1.19) aΨ0 =0 шартынан алынуы мүмкін.
Координаталық көрініске (1.21) a операторыныц айқын түрін қоя отырып, дифференциалдық теңдеу аламыз
(ξ+ddξ)Ψ0ξ=0
бүл теңдеу координаталық көріністе Ψ0ξ функциясын анықтайды. Бүл теңдеудің шешімі қарапайым
Ψ0ξ=N0e-ξ22
(1.20) пайдалана отырып операторлардың алмастыру қатынастарын қанағаттандыратын байқауға болады
a,a+=1 (1.22)
(1.19) жүйелі түрде қолдана отырып, мына теңдіктерді дәлелдеуге болады
aa+Ψn=n+1Ψn ,
aa+Ψn=nΨn (1.23)
(1.23)-ден aa+ жэне a+a операторларының көбейтіндісінің меншікті
мэндері, сәйкесінше (n+1) жэне n-ге тең болатындығын табамыз. Осыдан, осы операторлардың матрицалары меншікті көріністерінде диагональды:
(aa+)тп = (п+ 1) δтп, (a+a)тп = пδmn. (1.24)
Егер де (1.24) пайдаланатын болсақ, онда (1.2)-дегі операторға көшу кезіндегі Гамильтон операторының меншікті мәнін оңай есептеуге болады. Шындығында да, (1.5) және (1.8) ескеріп ,келесі өрнекті аламыз
H= ℏω22(ξ2+pξ2)
Басқа жағынан қарайтын болсақ, (1.24) операторлардың анықтамасы бойынша
a[+] a +aa+ = ξ2+p ξ2
Сондықтан,
Hmn= ℏω2(ξ2+pξ1)mn= ℏω2 (a+a+aa+)mn=ℏωn+12δmn+Enδmn
немесе
En= ℏω(n+12) (1.25)
1.2.Гармоникалық осцилляторға арналған толтыру санының көрінісі
Толтыру санының көрінісімен танысуды біз бір өлшемді гармоникалық осцилляторды зерттеуден бастаймыз. Осы қарапайым мысалды қарастырған уақытта толтыру саны көрінісінде қолданылатын ұғымдар енгізеледі. Біз білетініміздей, гармоникалық осциллятордың гамильтонианын мына түрде жазуға болады
Hξ= ℏω2ξ2-d2dξ2= ℏω2 ξ2+p ξ2, (1.2.1)
мұндағы ξ - өлшемсіз айнымалы, ол бөлшекті m -массасымен, (ω) циклдік жиілікпен жэне х - координатасымен
ξ=x(mωℏ)12
қатынасы арқылы байланысты.
ξ = ξ координата жэне pξ =-iddξ импульс операторларын екі басқа эрмиттік емес операторлар арқылы көрсетуге болады
a =12ξ+ddξ= 12ξ+ipξ (1.2.2), a +=12ξ-ddξ=12 ξ-ipξ (1.2.3)
(1.2.2), (1.2.3) алмастыру қатынасын қанағаттандырады
a,a+=aa+-a+a=1 (1.2.4)
Онда (1.2.1) гамильтониан мынадай түрде болады
H=12ℏωaa+a+a=ℏω(a+a+12) (1.2.5)
Гармоникалық осцилляторға қатысты барлық басқа операторлар ξ жэне
-іddξ функциясы болып табылады, сондықтан (1.2.2) жэне (1.2.3)-дің
көмегімен оларды а жэне а+операторлары арқылы өрнектеиміз.
Дербес жағдайда,
ξ=12a+a+, ddξ=12a-a+ (1.26)
Біз білетініміздей, а жене а+ эрмиттік операторларының ψп толқындық функциясына эсері төмендегі қатынастар бойынша анықталады
aψп=nψп-1, a+ψп=n+1ψn+1
(1.2.2) жэне (1.2.3) a жане a+ эрмиттік емес операторларын координаталық көріністе анықтайды. Олар -infinityinfinityψ8ξψξdξ нормаланған шарт бойынша
көптеген ψξ функцияларына эсер етеді. Дербес жағдайда, (1.2.7) теңдік олардың энергия операторларының меншікті функцияларына эсер етуін анықтайды. Кванттық n санын көрсету толығымен осциллятордың стационарлық күйін сипаттайды. Бір квантгық қозуды (n = 1) бір фононды, екі квантты - екіфононды жэне т.с.с. деп атауға келісейік. Басқа сөзбен айтқанда, осциллятордың тербелісінің әр кванттық қозуын фонон деп атаймыз.
Онда п - кванттық саны тиісті күйдегі фонондардың санын анықтайтын болады. Барлық фонондардың энергиясы бірдей. Стационарлық күйлер толығымен фонон сандарының көрсетілуімен анықталады, сондықтан да ψnξ функциясынының орнына тәуелсіз айнымалысы фонондар саны болып табылатын функциямен сипаттауға болады. Бүл функцияны қысқаша түрде n символымен белгілейміз. a және a+ операторларының осы функцияға эсері келесі теңдіктермен анықталады.
an=nn-1 , a+n=n+1n+1 (1.2.8)
Осындай функция жэне операторлардың көрінісі кванттық сандардың көрінісі немесе толтыру сандары деп аталады. a және a+ операторлары n
толтыру санына эсер етеді. Сонымен бірге a операторы фонон сандарын бірге азайтып, фонон санын бірге азайту операторы немесе қысқаша, фонондарды жою операторы деп атайды. a+ операторы фонон санын бірге
арттырады жэне ол фонондардың туу операторы деп аталады. aжэне a+
операторлары толығымен (1.2.4) және (1.2.8) қатынастармен анықталады. Бүл операторлардың нақты түрін ескермеуге болады.
(1.2.8)-ді қолдана отырып, n=a+a операторының n функциясына әсері осы функцияны n-ге көбейткенге саяды. Басқа сөзбен айтқанда, фонон санының n операторы толтыру санының көрінісінде диагональды жэне оның меншікті мәндері берілген күйде фонон сандарына тең.
Гамильтониан операторы (1.2.5) - те тек n=a+a операторларынан тұрады, ал толтыру саны көрінісінде бүл оператор диагональды жэне оның
меншікті мэні En=ℏωn+12 жүйенің энергиясын анықтайды.
Толтыру саны көрінісінде негізгі күйдің меншікті функциясы 0 түрінде болса, a+ операторың n рет жүйелі түрде қолданып, n фононды күйдегі толқындық функцияны алуға болады
n= 1n!(a+)n0 (1.2.9)
Толтыру саны көрінісінде 0=1 деп алады, онда n функциясы (1.2.9) 1-ге нормаланады. 0 функциясымен сипатталатын жүйенің негізгі күйін жиі вакуумдық күй деп атайды. Вакуумдық күйді төмендегі шарт бойынша анықтауға болады
a0=0,
яғни фонондарды жою операторы вакуумдық күйге эсер етіп, нөлді береді. Вакуумдық күйдің энергиясы E0=12ℏω.
Демек, толтыру санының көрінісі осциллятордың тербелісін кванттық қозу -фонон тілінде сипаттаумен сэйкес келеді. Бүл жағдайда, барлық фонондар бірдей, оның күйі фонон сандарының көрсетілуімен анықталады. Сондықтан толқындық функциясы толтыру саны түсінігінде тек бір айнымалыға тәуелді болады, ол - фонондар саны.
Егерде Гамильтониан операторындағы (1.2.1) ξ және pξ операторларын
классикалық шамалармен ауыстырсақ, онда классикалық механиканың гамильтонианын аламыз
Hкл=ℏω2ξ2, мүндағы ξ жэне pξ - нақты түйіндес айнымалылар. Осы нақты айнымалылардан комплексті аинымалыға көшеиік.
A=12ξ-ipξ, a*=12(ξ+ipξ) (1.2.10)
онда Гамильтониан мына түрге түрленеді
Классикалық гамильтонианнан кванттық Гамильтон операторына (1.2.5) ауысуы симметриаланған гамильтониандағы
Hкл=ℏω2 (aa *+a * a).
a және a* комплексті шамаларды (1.2.4) алмастыру қатынастарын қанағаттандыратын a жэне a+ операторларымен ауыстыруға сэйкес келеді.
Осындай әдіспен біз Гамильтон операторын толтыру саны көрінісінде
аламыз. Осы классикалық гамильтонианнан кванттық гамильтонианға өтуі екінші ретті квантталу деген атауға ие болады. Бүл квантталу қарапайым квантталумен тепе-тең, олар координаталық көріністе координатадан және оларға түйіндес импульстардың сэйкес операторларға өтуінен жасалады. Толтыру саны көрінісінде гармоникалық осциллятор операторын шексіз матрица түрінде жазуға болады. Мысалы, эрмитгік емес фонондардың жою жене туу операторлары мынандай түрге ие болады
a=010002..0 ... ... ..0..30 ... ... a+=00.10.020.03 ... ... .0...
Бұл көріністе a және a+ операторларының эрмитгік түйіндес екені айқын көрсетілген. Фонон саны операторы диагональды матрицамен беріледі
n≡a+a=00010.0.00..2... (1.2. 11)
Стационарлы күйлердің толқындық күйлері бір бағаннан түратын атрицамен еріледі. 0=100... 1=010... 2=0010..
II тарау. Өзара әсерлесуші бозондар жүйесі
2.1. Өзара эсерлесуші бозондар жүйесіндегі квазибөлшектер
ξ- үш кеңістіктік координатасының жиынтығы жэне Бозе бөлшегінің і-спинінің проекциясы болсын.
N бірдей бөлшектер жүйесінің өзара парлық күштер бойынша эсерлесетін гамильтон операторы координаталық көріністе мынандай түрге ие болады:
Hкл=Σi=1NHшξi+ΣijW(ξiξj)
Мұндағы Hклξi - басқа бөлшектермен әсерлесуін ескермеген жағдайдағы бір бөлшектің Гамильтон операторы.
N бірдей бөлшектер жүйесінің күйі координаталық көріністе Шредингер теңдеуімен анықталады
(iℏddt)ψξ1,ξ2,...,ξN;t=0
мүндағы ψ - абстрактілі 4N өлшемді конфигурациялық кеңістікте толқындық функция болып табылады. Кванттық механика курсынан білетініміздей, бүл функция бөлшектер жүптарын алмастыруға қатысты симметриялы болу керек.
Жүйелердің қүрылысын зерттеу, көптеген тепе-тең бөлшектерден тұратын координаталық, импульстік және басқа көріністерде, әр бөлшектің күйі жеке-жеке қарастырылатын жағдайда, қажет емес детальдармен ақталынбайтындай қиындатылған.
Мұндай талап автоматты түрде екінші ретті квантталуда қанағаттандырылады.
Өзара эсерлесуші бозондарды сипаттау барысында осындай түрге көшумен танысу үшін, алдымен өзара эсерлеспейтін бозондар жүйесін қарастырамыз. Бүл жағдайда Гамильтон операторы әр бөлшекке қатысты операторлар қосындысы болып табылады
H0=ΣiHшξi (2.2)
εvi және φviξi қандайда бір ι бөлшектің Hклξi операторының меншікті
мәні және меншікті функциясы болсын. Жүйенің күйі координаталық көріністе жүйенің әр бөлшегі үшін v кванттық санын жинақтаумен анықталады. Бөлшектердің тепе-теңдігін ескеру толқындық функцияның жұп бөлшектердің орын ауыстыруына симметриясын талап етеді.
ni бөлшегі vi бір бөлшекті күйде, ал n2 -нің v2 күйде болатын күйге сәйкес
келетін жүйенің симметрияланған толқындық функциясын мына түрде жазамыз:
Φn2n2, ... ..ξ1...=(n2!n2!...N!)12ΣP φv1(ξ1)φv2ξ2...φvNξN, (2 .3)
мұндағы φv(ξ)- v кванттық санмен анықталатын күйдің нормаланған бір
бөлшекті толқындық функциясы; Σp р белгісімен мүмкін болатын бөлшектер
жүбының орын алмасуына толқындық функциясының көбейтілуі, симметриялау операциясы көрсетеді.
(2.3) толқындық функциясының түрі жэне оның 4N айнымалыдан тэуелділігі өте күрделі.
(2.2)-гі операторлармен сипатталатын өзара эсерлеспейтін тепе-теңдіктегі бөлшектер жүйесінде олардың әр күйі Шредингердің бір бөлшекті теңдеуіндегі күймен сәйкес келеді.
Hшξ- εv]φvξ=0, (2.4)
ал толық жүйеде бөлшектің күйі nv бөлшектер санымен, εv энергиясымен,
φv күйімен анықталады. Сондықтан да толтыру саны көрінісінде (2.2) оператор төмендегі операторға эквивалентті
H0=Σvεvav+av, (2.5)
егер де av+ және av φv (ξ)-күйіндегі сәйкес туу жэне жою операторлары болса, онда олар келесі алмастыру қатынастарын қанағаттандырады
av,aμ+=δvμ av,aμ=0, (2.6)
онда nv бөлшектер санының aμ+av операторы және (2.5)-гі операторының
...nv... мншікті функциясы жүйенің күйін толық сипаттайды.
(2.4)-ді ескере отырып, φv (ξ) ортонормаланған функцияны ескере отырып, (2.5) операторды былай жазуға болады
H0=ψ+(ξ)Hш(ξ)ψ(ξ)dξ (2.7)
Мұнда
ψξΣvavφv(ξ) (2.8)
(2.6) сәйкес орын алмастыру қатынастарын қанағаттандыратын функцияның операторы
ψξ,ψ+ξ' =δξ-ξ', ψξ,ψξ' =0 (2.9)
Осылай, оператордың координаталық көріністен толтыру саны көрінісіндегі операторларға көшу келесі бойынша жүзеге асады
Σi-1NHшξi--ψ+(ξ)Hш(ξ)ψ(ξ)dξ ( 2.10)
Егер де Jp(Q операторлық функциясының түрі (2.8) таңдалып алынатын болса, онда
ψ+ξHшξψξdξ= Σvεvaμ+av.
Бірақ, толтыру саны көрінісіне көшуі (2.10) түрлендірудің көмегімен де жүзеге асуы мүмкін, ал ψ(ξ) операторлық функциясы (2.9)
қанағаттандыратын болса, онда (2.8) теңдеу түрінде жазылады, оған кез келген толық жүйенің ортонормаланған бірбөлшекті функцияларын
қолдануга болады. Мысалы, Χsξ жүйенің толық ортонормаланған функциясы. Онда ψ(ξ) операторлық функциясы былай жазылады
ψ(ξ)= ΣvbsΧsξ (2.11)
Егер де bs-бозоныц операторлары болса, олар орын алмастыру (2.9) қатынастарын қанағаттандырады
[bs,bs+] = δss' , bs,bs'=0
(2.I)-ге (2.11)-ді қойып,
H0=ΣsLss'bs+bs, (2.12)
мұндағы Lss'Xs*ξHшXs'ξdξ.
(2.12) Гамильтон операторы ns=bs +bs бөлшектер санының операторымен
коммутацияланбайды, сондықтан Xsξ функциясымен анықталатын бір
бөлшекті күйде бөлшектер саны, бөлшектер арасында өзара әсерлесу жоқ кезінің кезінде де қозғалыс интегралы болып табылмайды. Сондықтан,
Xsξ функциясын бірбөлшекті күйлердің сипаттамасы ретінде таңдау
қолайлы деп есептеуге болмайды. Бірақ, біз (2.4)-дің шешімін білмесек, онда (2.12)-гі диагональды операторларға каноникалық түрлендірудің көмегімен диагональдауға болады. Ол үшін келесі әдісті пайдаланамыз.
(2.10)-гі (2.2)-ші координаталық көріністегі оператордан (2.5)-гі екінші ретті квантталу көріністегі операторларға көшіруге болады, егер де олар бір бөлшекті операторлардың қосындысы арқылы берілетін болса. Мысалы,
Fξ1,...,ξn=ΣiF(ξi)
мұндағы F(ξi) - i -бөлшектің координатасына әсер ететін оператор. Бөлшектердің ұқсас болу себебінен осы қосындыдағы қосылғыштар тек бөлшектің номерімен ерекшеленеді. Екінші квантталуға өту төмендегі түрлендіруге сэйкес келеді
ΣiFξi--F=ψξFξψξdξ, (2.13)
(2.13)-ден кейін (2.8)-дің мәні өзгереді
F=Σv,μav+aμvFμ,
мұндағы
vFμ=ψv*(ξ)Fξψμ(ξ)d(ξ)
егер де F(ξ) операторының және φv(ξ) функциясының түрі белгілі болса, онда оңай есептелетін матрицалық элементтер болып табылады. av+ және
av Бозе операторы nv... толтыру санынан тәуелді функцияларға әсер етеді.
Әрі қарай, координаталық көрінісі келесі түрге ие болатын операторларды қарастырайық:
gξ1,...,ξn=Σijgξiξj,
мұндағы g ξiξj- бөлшектің і және j координаталарына әсер ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Кіріспе 3
I.Тарау. Екінші ретті квантталу тәсілі
1.1.Гармоникалық осцилятор 6
1.2.Гармоникалық осциляторға арналған толтырусанының көрінісі 12
II. Тарау. Өзара әсерлесуші бозондар жүйесі
2.1. Өзара әсерлесуші бозондар жүйесіндегі квазибөлшектер 16
2.2. Бозондық операторлардың алгебрасы 22
III. Тарау. Өзара әсерлесуші бозондар моделі.
3.1. ӨӘБМ-нің s - d модификациясы 26
3.2. Өзара әсерлесуші бозондар моделінің вибрациялық шегі 30
3.3. Самари изотоптарын эксперименттік және теориялық деңгейлерде
салыстыру 34
Қорытынды 36
Әдебиеттер 37
Кіріспе
Көп жуйелі денелер қатарына жататын атом ядросы құрылымы жағынан күрделі орта болып табылады. Осы күнге дейін қолданып отырған ядролар меделдері оның шекті параметрлерін сипаттап бере алады. Мұндағы негізгі қиыншылық ядролық күштердің табығатын толық зерттелмегенде. Осы қиыншылықтарға байланысты ядролық моделдер шекті жағдайларға қолданылады. Жалпылама моделдер негізінде ядроның негізгі сипаттамалары теориялық шектеулер қою негізінде зерттеледі.
Ядро теориясының қазіргі кездегі дамуы кең көлемдегі математакалық әдіс және кванттық теория өрісінің физикалық идеясы, статистикалық физика негізінде құрылады. Ядро теориясының негізін қалауда теория бойынша мына жұмыстар негізге алынды, асқынаққыштық, жоғарғыөткізгіштік және ферми-сұйықтық. Боголюбов Н.Н. бірінші болып ядролық заттың асқынаққыштығының мүмкіндігін көрсетті. Атом ядросының жоғарғыөткізгіштегі корреляция теориясын Беляев С.Т. мен Соловьев В.Г. тәуелсіз жасап шағарғын. Осы булы корреляция теориясы ядролық құрылымның микроскоптық жіне жартылаймикроскоптық әдістің терең зерттелуінің негізі болды. Осы бағыттағы ең жемісті және нақты болып табылған А.Б. Мигдал жұмыстары болып табылады. Ол жұмыстар ферми сұйықтық теориясына негізделген. Олардың қосалқы бөліктерінің қасиетері арқылы ядроның сипатын білдіретін микроскоптық анықтаманы қабықшалы модел арқылы дамуды алды, осы көп бөлшектер теориясы аясында ядролық материя теориясы, Хартри - Фоктың жай әдісі, уақытқа тәуелді Хартри - Фок әдісі және оның квазибөлшектер әдісі қолданылады.
Микроскопиялық әдістен басқа атом ядросының теориясында феноменольды ұжымдық әдіс жасалды. Бәрінен бұрын бұл О.Бор мен Б.Моттельсонның моделі болып табылады. В.Грайнер жұмыстарынан динамикалық ұжымдық модел теңдеуінің шешімі алынды, β және γ тербелістерін есепке ала отырып аксиальды - симметриялық атом ядросы үшін пайдаланды.
Ядролық ұжымдық қозғалыс теориясы өз дамуын бозон анықтамасы формасынан да тапты, яғни бозон типтес элементарлы квазибөлшектер терминдері мен олардың өзара қатынасы қарастырылды. Нуклонды квазибөлшектер суретінен шығушы (қалдық күш немесе соңғы фермижүйе теориясымен қабықты модел), тиімді бозон гамильтонианның сап түзеуі, фермион операторлар С.Т. Беляев және В.Г. Зелевинский, кейінен Т.И. Марумори және басқалар бозон айырылу тәсілін жасаған. Бұл жердегі фермионды кеңістік кемшіліксіз бозон кеңістігінен
көрінеді, онда ұжымдық сәнді шағын ұжымдық кеңістікте келесі диагонализацияны ерекше белгілеуге болады. Бұндай схемамен шындыққа
жанасатып есеп жасау өте күрделі және жұмысы да көп, оларды жүзеге асыру өзіне сәйкес есептегіш техникалар дамуымен жүзеге асатын болалы. Р.В. Джолас және басқалар өз жұмыстарында саптүзетудің микраскопиялық әдісі ядроның ұжымдық бозонды гамельтониан әдісінде көрсетілген. Бұл әдісте ұжымдық кватруполды желілік тармағымен ұжымдық емес байланыс ескерілмеген, бірақ келесі ұжымдық қозғалысты қарастыру, әлсіз тербеліс байланысының айналуымен немесе айналыстың азда болса жиілігі анық жүзеге асырылады. Өзара әсерлесуші бозондардың гамельтониан моделінің құрылымы мен параметрі арқылы толығымен анықталады. А.Арима мен Ф.Якелла ұсынған келесі көрсетілген әдістің жетілдірілуі, S-бозон кіргізілуімен қорытындыланады. Мөлшерлі оқиға топтарының теориясы әдісімен зертелгенде, вибрациялық ратационды немесе γ бірқалыпты емес тип спектріне әкелінетін бірнеше қосымша симметрия жүзеге асырылғанда, өте қолайлы болып табылады. Параметрлерін ауыстыра отырып, ауыспалы ядролардың интерполяциялық сипаттамасын алуға болады. К.Б.Бақтыбаев ұсынған, квазиспинді фармолизмге негізделген вибрациялық шек теңдеуі шешімінің тәуелсіз әдісі. Өзара қатынастағы моделдер бозонды шекті кездерде көбінесе өз құрамында гармонды дірілдеткіш және қатты ротатор ұстайды (дұрыс жолдан ауытқуын шеткі арнайы белгіленген бозон N санымен белгіленеді) және жүйелі сандар параметрі көмегімен ұжымдық көтерілген көп ядроның төмен жатқан спекторын сипаттауға болады. Атап айту керек, көп жағдайда бұл модел нәзік экспериментальды нәтеиже көрсетпейді (өршіген күйдің квадрупольды кезеңі, Е0 - өтулер және т.б.). Моделдің одан әрі дамуы, өзара қатынастағы нейтронды және протонды базондар кіруімен байланысты (МВБ - 2). Бұндай схема жаңа параметрлердің кіргізілуін талап етеді, сонымен бірге тәжірибемен бірге айтарлықтай жақсару білінбейді.
Бірнеше жұмыс микроскоптық құрылымның өзара қатынастағы моделдер бозонына арналады. Бұл жұмыстың мәні мынада: фермионды жұптар ерешеленіп, олар артынан бозондық кеңістікте сай матрицалық элементермен сипаталған. Бірақ бұндай бағыт күрделі есептеулерді қажет етеді.
Өзара әсерлесуші бозондар моделінің физикалық жетіспеушіліктері диформациялы ядроларды қарастырғында айқын көрінеді. Аралық өту біршама анық емес жуйе бағдарын, ішкі күйге жақын жуықтау мүмкіндіктерін талап етеді. Бірақ бұл үшін фермион жұптарына барлық мүмкін кезеңдерге жетуге, S - және d - жұптарымен тоқтамай, рұқсат етілуі керек. Бұндай бозондық кеңістік кеңейуінің мысалы ретінде
біріккен қосымша S - және d - бозонмен g - бозонының L = 4 мен бірігіп қарастырылуы. Мұндай жалпылама әсерлесуші бозондар моделінің жұп жаратымды атом ядросының толық күйінің анықтамасын алуғаа мүмкіндік береді.
Өзара әсерлесуші бозондар моделі ұжымдық қозғалыстың шекті жағдайлары вибрациялы және ротациялы шекті қолдану арқылы самари изотопының (14862 Sm86, 15062 Sm88) тәжірибелік даңгейлерін алғашқы негізгі үш жолақтарын сипаттауда жақсы нәтиже береді. Түлектік жұмыс барысында 1.12 әдебиеттер қолданылды.
I тарау. Екінші ретті квантталу тәсілі.
0.1. Гармоникалық осциллятор
Көптерген физикалық жүйелердің потенциалдық энергиясы кеңістіктегі кейбір нүктелердің минимумына ие болады. Потенциалдық энергияны осы нүктеден ауытқу ережесі бойынша қатарға жіктеп, төмендегідей жазуға болады:
U = U (0)+12(d2 Udx2)0x2+..., (1.1)
Мұндағы x - (dUdx)=0 шартымен анықталатын тепе-теңдіктен ауытқу. Егер μ массалы бөлшек тепе-теңдік жағдайында әлсіз тербеліс озғалысына қатысса, онда (1.1) қатардың тек бірінші екі мүшесін сақтап қалуға болады.
Жүйенің энергиясын U(0) мәнінен бастап есептейміз, ондағы классикалық Гамильтон функциясы мына түрде жазылады
Hкл= p22μ+k2x2, (1.2)
Мұндағы k = (d2 Udx2)0. Айталық (1.2) потенциялық энергияның түрі x - тің улкен мәндерінде де сакталынады.
Гамильтон функциясын сипаттайтын бөлшектер қозғалысының классиалық теңдеуі (1.2) мынадай қарапайым түрге ие бола алады:
x(t)= A cos (ωt+β), (1.3)
мұндағы ω= kμ.
Бұл жағдайда, яғни бөлшек тепе-теңдік жағдайында гармоникалық тербеліс жасайд, ал сәйкес жүйелерді гармоникалық осциллятор деп атайды. Мұндай қозғалыстың түріне қатар сфералық атом ядроларының беттік тербелісін және т.б. жатқызуға болады. (1.2) және (1.3) теңдеулерінде гармоникалық осциллятордың классикалық тербеліс энергиясы төмендегі өрнекпен анықталады
E=12 μA2ω2= μω2(x2 )кл (1.4)
Яғни А тербеліс амплитудасының квадратына немесе ауытқу квадратының орташа мәніне тәуелді болады
(x2 )кл = A2cos2ωτ+β=А22. (1.5)
Кванттық механика әдісімен гармоникалық осциллятордың стационарлық күйлерін анықтайық. (1.2) теңдеудегі классикалық шамаларды координаттық көріністегі сәйкесінше операторлармен ауыстырып, Шредингер теңдеуін аламыз
d2dx2 - ω2μ2x2h2+2μEh2 ψ(ξ) (1.6)
ψξ=vξexp(-ξ22) мәнін (1.6) - ға қойып, υ(ξ) функциясы үшін теңдеу жазамыз
ν" - 2 ξ ν ' + (ε-1)v=0,
Мұндағы штрих - ξ бойынша дифференциалды көрсетеді.
ψ(ξ) - шексіздік емес болу үшін, міндетті түрде ν шешімі ξ қатысты соңғы ретті полиномдар болуы керек. Мұндай шешімдер ε-1=2n, n = 0,1,2,...
болған жағдайда жүзеге асады.
n-нің әр мәніне Эрмит полиномы деп аталатын n-ретri полином сәйкес келеді
Ηnξ=(-1)neξ2dndξne-ξ2.
Гармоникалық осциллятордың стационар күйлерінің нормаланған толқындық функциялары келесі түрде болады
ϕnξ=[n!2nPI]-12Hn(ξ)exp(-ξ22) (1.7)
(1.5) пайдалана отырып, энергияның мәнін табамыз
En=hω(n+12) (1.8)
Оған (1.7) бір функциясы сәйкес келеді, айну болмайды. Еn =hω2 негізгі күйдің энергиясы нөлдік энергия деп аталады.
Себебі, осциллятордың потенциалдық энергиясы инверсияның түрленуіне қатысты оған инвариантгы. Онда стационарлық күйлер тақ және жұп болып бөлінеді. Барлық n жұп күйлер - жұп күйлерге, ал n тақ күйлер тақ күйлерге жатады, олардың толқындық функциялары түрлендіру кезінде таңбаларын
Өзгертеді x--x. Егер де Эрмит полиномының алғашқы түрлерін анық жазып алатын болсақ, онда жоғарыда айтқанымызға оңай көз жеткізуге болады.
H0ξ=1, H1ξ=2ξ, H2ξ=4ξ2-2, H3ξ=8ξ2-12ξ
Жалпы жағдайды жұп шарты (1.7) теңдеумен анықталады.
Эрмит полиномдары қарапайым реккуренттік қатынастарды қанағаттандырады
ξHn ξ=nHn-1ξ+12Hn+1(ξ) (1.9)
dHndξ=2nHn-1(ξ). (1.10)
Бұларды білу есептеу жүргізгенде өзімізге пайдалы.
Мысалы, ψξ күйіндегі ξ орташа мәні бойынша орташа ауытқу квадратына есептейік. Орташа мән төмендегідей болады
ξ=-infinityinfinityψn2ξξdξ=0.
Себебі интеграл астында ξ тақ функциясы тұр. Сондықтан
Δξ2n= n2Ψn-1n+12Ψn+1 (1.12)
Осы қатынасты тағы да қолдана отырып
ξ2Ψnξ=12nn-1Ψn-2+n+12Ψn+12(n+1)(n+2 )Ψn+2 (1.13)
Ψn(ξ) функциясының ортонормалдығын ескере отырып (1.13) - ді (1.11)-ге қоямыз
ξ2Ψnξ= 12, немесе x2n=n+12λ2μω. (1.14)
Соңғы өрнекті жазғанда (1.5) теңдеуді ескердік. (1.14)-ден нөлдік тербелістердің амплитудаларының квадратының орташа мэні келесі өрнекпен анықталатынын байқаймыз.
x20=λ2μω
(1.14)-дің көмегімен (1.8) формуланы келесі түрге түрлендіруге болады
En= μω2(x2)n (1.15)
(1.15)-мен (1.4) - ді салыстыра отырып, біз классикалық жэне кванттық теориялардың энергиясы тепе-теңдік жағдайында ауытқу квадратының орташа мэні арқылы бірдей өрнектелетінін білеміз.
(1.12) пайдалана отырып жэне Ψn функциясының ортонормальдығын ескеріп, координата операторларының матрицалық элементтерін оңай есептеп шығуға болады
ΨmxΨn=ΨmxΨnλμω=λμωn212δm,n-1λ(n+1)2 μω12δm,n+1
ξ бойынша Ψn функциясын дифференциалдап жэне (1.10) ескере отырып, мынаны табамыз
dΨndξ=2n22Ψn-1- ξΨn, (1.16)
немесе
dΨndξ=n2Ψn-1- n-12Ψn+1
(1.12) ескерсек (1.16) қатынастан екі пайдалы қатынас шығады
12ξ+ddξΨn=nΨn-112ξ-ddξΨn=n+1Ψn+1 (1.17)
(1.5) жэне р = -іһ ddξ импульс операторымен төмендегі қатынас бойынша
байланысатын ρξ=-iddξ операторын енгіземіз
ρx=μℏωρξ (1.18)
онда (1.15) қатынасты келесі түрде жазуға болады
aΨn= nΨn-1, a+Ψn= n+1Ψn+1, (1.19)
мұндағы операторлар төмендегі теңдіктермен анықталған
a 12ξ+ddξ= 12(ξ+ipξ (1.20)
a+ 12ξ+ddξ= 12(ξ-ipξ
(1.19) көмепмен a+ операторын жүйелі қолдана отырып, нөлдік күйдің
толқындық функциясын алуға болады:
Ψn=1n!(a+)nΨ0 (1.21) Ψ0 толқындық функциясының дэлдіктен көбейткішіне дейінгі нормалануының түрі (1.19) aΨ0 =0 шартынан алынуы мүмкін.
Координаталық көрініске (1.21) a операторыныц айқын түрін қоя отырып, дифференциалдық теңдеу аламыз
(ξ+ddξ)Ψ0ξ=0
бүл теңдеу координаталық көріністе Ψ0ξ функциясын анықтайды. Бүл теңдеудің шешімі қарапайым
Ψ0ξ=N0e-ξ22
(1.20) пайдалана отырып операторлардың алмастыру қатынастарын қанағаттандыратын байқауға болады
a,a+=1 (1.22)
(1.19) жүйелі түрде қолдана отырып, мына теңдіктерді дәлелдеуге болады
aa+Ψn=n+1Ψn ,
aa+Ψn=nΨn (1.23)
(1.23)-ден aa+ жэне a+a операторларының көбейтіндісінің меншікті
мэндері, сәйкесінше (n+1) жэне n-ге тең болатындығын табамыз. Осыдан, осы операторлардың матрицалары меншікті көріністерінде диагональды:
(aa+)тп = (п+ 1) δтп, (a+a)тп = пδmn. (1.24)
Егер де (1.24) пайдаланатын болсақ, онда (1.2)-дегі операторға көшу кезіндегі Гамильтон операторының меншікті мәнін оңай есептеуге болады. Шындығында да, (1.5) және (1.8) ескеріп ,келесі өрнекті аламыз
H= ℏω22(ξ2+pξ2)
Басқа жағынан қарайтын болсақ, (1.24) операторлардың анықтамасы бойынша
a[+] a +aa+ = ξ2+p ξ2
Сондықтан,
Hmn= ℏω2(ξ2+pξ1)mn= ℏω2 (a+a+aa+)mn=ℏωn+12δmn+Enδmn
немесе
En= ℏω(n+12) (1.25)
1.2.Гармоникалық осцилляторға арналған толтыру санының көрінісі
Толтыру санының көрінісімен танысуды біз бір өлшемді гармоникалық осцилляторды зерттеуден бастаймыз. Осы қарапайым мысалды қарастырған уақытта толтыру саны көрінісінде қолданылатын ұғымдар енгізеледі. Біз білетініміздей, гармоникалық осциллятордың гамильтонианын мына түрде жазуға болады
Hξ= ℏω2ξ2-d2dξ2= ℏω2 ξ2+p ξ2, (1.2.1)
мұндағы ξ - өлшемсіз айнымалы, ол бөлшекті m -массасымен, (ω) циклдік жиілікпен жэне х - координатасымен
ξ=x(mωℏ)12
қатынасы арқылы байланысты.
ξ = ξ координата жэне pξ =-iddξ импульс операторларын екі басқа эрмиттік емес операторлар арқылы көрсетуге болады
a =12ξ+ddξ= 12ξ+ipξ (1.2.2), a +=12ξ-ddξ=12 ξ-ipξ (1.2.3)
(1.2.2), (1.2.3) алмастыру қатынасын қанағаттандырады
a,a+=aa+-a+a=1 (1.2.4)
Онда (1.2.1) гамильтониан мынадай түрде болады
H=12ℏωaa+a+a=ℏω(a+a+12) (1.2.5)
Гармоникалық осцилляторға қатысты барлық басқа операторлар ξ жэне
-іddξ функциясы болып табылады, сондықтан (1.2.2) жэне (1.2.3)-дің
көмегімен оларды а жэне а+операторлары арқылы өрнектеиміз.
Дербес жағдайда,
ξ=12a+a+, ddξ=12a-a+ (1.26)
Біз білетініміздей, а жене а+ эрмиттік операторларының ψп толқындық функциясына эсері төмендегі қатынастар бойынша анықталады
aψп=nψп-1, a+ψп=n+1ψn+1
(1.2.2) жэне (1.2.3) a жане a+ эрмиттік емес операторларын координаталық көріністе анықтайды. Олар -infinityinfinityψ8ξψξdξ нормаланған шарт бойынша
көптеген ψξ функцияларына эсер етеді. Дербес жағдайда, (1.2.7) теңдік олардың энергия операторларының меншікті функцияларына эсер етуін анықтайды. Кванттық n санын көрсету толығымен осциллятордың стационарлық күйін сипаттайды. Бір квантгық қозуды (n = 1) бір фононды, екі квантты - екіфононды жэне т.с.с. деп атауға келісейік. Басқа сөзбен айтқанда, осциллятордың тербелісінің әр кванттық қозуын фонон деп атаймыз.
Онда п - кванттық саны тиісті күйдегі фонондардың санын анықтайтын болады. Барлық фонондардың энергиясы бірдей. Стационарлық күйлер толығымен фонон сандарының көрсетілуімен анықталады, сондықтан да ψnξ функциясынының орнына тәуелсіз айнымалысы фонондар саны болып табылатын функциямен сипаттауға болады. Бүл функцияны қысқаша түрде n символымен белгілейміз. a және a+ операторларының осы функцияға эсері келесі теңдіктермен анықталады.
an=nn-1 , a+n=n+1n+1 (1.2.8)
Осындай функция жэне операторлардың көрінісі кванттық сандардың көрінісі немесе толтыру сандары деп аталады. a және a+ операторлары n
толтыру санына эсер етеді. Сонымен бірге a операторы фонон сандарын бірге азайтып, фонон санын бірге азайту операторы немесе қысқаша, фонондарды жою операторы деп атайды. a+ операторы фонон санын бірге
арттырады жэне ол фонондардың туу операторы деп аталады. aжэне a+
операторлары толығымен (1.2.4) және (1.2.8) қатынастармен анықталады. Бүл операторлардың нақты түрін ескермеуге болады.
(1.2.8)-ді қолдана отырып, n=a+a операторының n функциясына әсері осы функцияны n-ге көбейткенге саяды. Басқа сөзбен айтқанда, фонон санының n операторы толтыру санының көрінісінде диагональды жэне оның меншікті мәндері берілген күйде фонон сандарына тең.
Гамильтониан операторы (1.2.5) - те тек n=a+a операторларынан тұрады, ал толтыру саны көрінісінде бүл оператор диагональды жэне оның
меншікті мэні En=ℏωn+12 жүйенің энергиясын анықтайды.
Толтыру саны көрінісінде негізгі күйдің меншікті функциясы 0 түрінде болса, a+ операторың n рет жүйелі түрде қолданып, n фононды күйдегі толқындық функцияны алуға болады
n= 1n!(a+)n0 (1.2.9)
Толтыру саны көрінісінде 0=1 деп алады, онда n функциясы (1.2.9) 1-ге нормаланады. 0 функциясымен сипатталатын жүйенің негізгі күйін жиі вакуумдық күй деп атайды. Вакуумдық күйді төмендегі шарт бойынша анықтауға болады
a0=0,
яғни фонондарды жою операторы вакуумдық күйге эсер етіп, нөлді береді. Вакуумдық күйдің энергиясы E0=12ℏω.
Демек, толтыру санының көрінісі осциллятордың тербелісін кванттық қозу -фонон тілінде сипаттаумен сэйкес келеді. Бүл жағдайда, барлық фонондар бірдей, оның күйі фонон сандарының көрсетілуімен анықталады. Сондықтан толқындық функциясы толтыру саны түсінігінде тек бір айнымалыға тәуелді болады, ол - фонондар саны.
Егерде Гамильтониан операторындағы (1.2.1) ξ және pξ операторларын
классикалық шамалармен ауыстырсақ, онда классикалық механиканың гамильтонианын аламыз
Hкл=ℏω2ξ2, мүндағы ξ жэне pξ - нақты түйіндес айнымалылар. Осы нақты айнымалылардан комплексті аинымалыға көшеиік.
A=12ξ-ipξ, a*=12(ξ+ipξ) (1.2.10)
онда Гамильтониан мына түрге түрленеді
Классикалық гамильтонианнан кванттық Гамильтон операторына (1.2.5) ауысуы симметриаланған гамильтониандағы
Hкл=ℏω2 (aa *+a * a).
a және a* комплексті шамаларды (1.2.4) алмастыру қатынастарын қанағаттандыратын a жэне a+ операторларымен ауыстыруға сэйкес келеді.
Осындай әдіспен біз Гамильтон операторын толтыру саны көрінісінде
аламыз. Осы классикалық гамильтонианнан кванттық гамильтонианға өтуі екінші ретті квантталу деген атауға ие болады. Бүл квантталу қарапайым квантталумен тепе-тең, олар координаталық көріністе координатадан және оларға түйіндес импульстардың сэйкес операторларға өтуінен жасалады. Толтыру саны көрінісінде гармоникалық осциллятор операторын шексіз матрица түрінде жазуға болады. Мысалы, эрмитгік емес фонондардың жою жене туу операторлары мынандай түрге ие болады
a=010002..0 ... ... ..0..30 ... ... a+=00.10.020.03 ... ... .0...
Бұл көріністе a және a+ операторларының эрмитгік түйіндес екені айқын көрсетілген. Фонон саны операторы диагональды матрицамен беріледі
n≡a+a=00010.0.00..2... (1.2. 11)
Стационарлы күйлердің толқындық күйлері бір бағаннан түратын атрицамен еріледі. 0=100... 1=010... 2=0010..
II тарау. Өзара әсерлесуші бозондар жүйесі
2.1. Өзара эсерлесуші бозондар жүйесіндегі квазибөлшектер
ξ- үш кеңістіктік координатасының жиынтығы жэне Бозе бөлшегінің і-спинінің проекциясы болсын.
N бірдей бөлшектер жүйесінің өзара парлық күштер бойынша эсерлесетін гамильтон операторы координаталық көріністе мынандай түрге ие болады:
Hкл=Σi=1NHшξi+ΣijW(ξiξj)
Мұндағы Hклξi - басқа бөлшектермен әсерлесуін ескермеген жағдайдағы бір бөлшектің Гамильтон операторы.
N бірдей бөлшектер жүйесінің күйі координаталық көріністе Шредингер теңдеуімен анықталады
(iℏddt)ψξ1,ξ2,...,ξN;t=0
мүндағы ψ - абстрактілі 4N өлшемді конфигурациялық кеңістікте толқындық функция болып табылады. Кванттық механика курсынан білетініміздей, бүл функция бөлшектер жүптарын алмастыруға қатысты симметриялы болу керек.
Жүйелердің қүрылысын зерттеу, көптеген тепе-тең бөлшектерден тұратын координаталық, импульстік және басқа көріністерде, әр бөлшектің күйі жеке-жеке қарастырылатын жағдайда, қажет емес детальдармен ақталынбайтындай қиындатылған.
Мұндай талап автоматты түрде екінші ретті квантталуда қанағаттандырылады.
Өзара эсерлесуші бозондарды сипаттау барысында осындай түрге көшумен танысу үшін, алдымен өзара эсерлеспейтін бозондар жүйесін қарастырамыз. Бүл жағдайда Гамильтон операторы әр бөлшекке қатысты операторлар қосындысы болып табылады
H0=ΣiHшξi (2.2)
εvi және φviξi қандайда бір ι бөлшектің Hклξi операторының меншікті
мәні және меншікті функциясы болсын. Жүйенің күйі координаталық көріністе жүйенің әр бөлшегі үшін v кванттық санын жинақтаумен анықталады. Бөлшектердің тепе-теңдігін ескеру толқындық функцияның жұп бөлшектердің орын ауыстыруына симметриясын талап етеді.
ni бөлшегі vi бір бөлшекті күйде, ал n2 -нің v2 күйде болатын күйге сәйкес
келетін жүйенің симметрияланған толқындық функциясын мына түрде жазамыз:
Φn2n2, ... ..ξ1...=(n2!n2!...N!)12ΣP φv1(ξ1)φv2ξ2...φvNξN, (2 .3)
мұндағы φv(ξ)- v кванттық санмен анықталатын күйдің нормаланған бір
бөлшекті толқындық функциясы; Σp р белгісімен мүмкін болатын бөлшектер
жүбының орын алмасуына толқындық функциясының көбейтілуі, симметриялау операциясы көрсетеді.
(2.3) толқындық функциясының түрі жэне оның 4N айнымалыдан тэуелділігі өте күрделі.
(2.2)-гі операторлармен сипатталатын өзара эсерлеспейтін тепе-теңдіктегі бөлшектер жүйесінде олардың әр күйі Шредингердің бір бөлшекті теңдеуіндегі күймен сәйкес келеді.
Hшξ- εv]φvξ=0, (2.4)
ал толық жүйеде бөлшектің күйі nv бөлшектер санымен, εv энергиясымен,
φv күйімен анықталады. Сондықтан да толтыру саны көрінісінде (2.2) оператор төмендегі операторға эквивалентті
H0=Σvεvav+av, (2.5)
егер де av+ және av φv (ξ)-күйіндегі сәйкес туу жэне жою операторлары болса, онда олар келесі алмастыру қатынастарын қанағаттандырады
av,aμ+=δvμ av,aμ=0, (2.6)
онда nv бөлшектер санының aμ+av операторы және (2.5)-гі операторының
...nv... мншікті функциясы жүйенің күйін толық сипаттайды.
(2.4)-ді ескере отырып, φv (ξ) ортонормаланған функцияны ескере отырып, (2.5) операторды былай жазуға болады
H0=ψ+(ξ)Hш(ξ)ψ(ξ)dξ (2.7)
Мұнда
ψξΣvavφv(ξ) (2.8)
(2.6) сәйкес орын алмастыру қатынастарын қанағаттандыратын функцияның операторы
ψξ,ψ+ξ' =δξ-ξ', ψξ,ψξ' =0 (2.9)
Осылай, оператордың координаталық көріністен толтыру саны көрінісіндегі операторларға көшу келесі бойынша жүзеге асады
Σi-1NHшξi--ψ+(ξ)Hш(ξ)ψ(ξ)dξ ( 2.10)
Егер де Jp(Q операторлық функциясының түрі (2.8) таңдалып алынатын болса, онда
ψ+ξHшξψξdξ= Σvεvaμ+av.
Бірақ, толтыру саны көрінісіне көшуі (2.10) түрлендірудің көмегімен де жүзеге асуы мүмкін, ал ψ(ξ) операторлық функциясы (2.9)
қанағаттандыратын болса, онда (2.8) теңдеу түрінде жазылады, оған кез келген толық жүйенің ортонормаланған бірбөлшекті функцияларын
қолдануга болады. Мысалы, Χsξ жүйенің толық ортонормаланған функциясы. Онда ψ(ξ) операторлық функциясы былай жазылады
ψ(ξ)= ΣvbsΧsξ (2.11)
Егер де bs-бозоныц операторлары болса, олар орын алмастыру (2.9) қатынастарын қанағаттандырады
[bs,bs+] = δss' , bs,bs'=0
(2.I)-ге (2.11)-ді қойып,
H0=ΣsLss'bs+bs, (2.12)
мұндағы Lss'Xs*ξHшXs'ξdξ.
(2.12) Гамильтон операторы ns=bs +bs бөлшектер санының операторымен
коммутацияланбайды, сондықтан Xsξ функциясымен анықталатын бір
бөлшекті күйде бөлшектер саны, бөлшектер арасында өзара әсерлесу жоқ кезінің кезінде де қозғалыс интегралы болып табылмайды. Сондықтан,
Xsξ функциясын бірбөлшекті күйлердің сипаттамасы ретінде таңдау
қолайлы деп есептеуге болмайды. Бірақ, біз (2.4)-дің шешімін білмесек, онда (2.12)-гі диагональды операторларға каноникалық түрлендірудің көмегімен диагональдауға болады. Ол үшін келесі әдісті пайдаланамыз.
(2.10)-гі (2.2)-ші координаталық көріністегі оператордан (2.5)-гі екінші ретті квантталу көріністегі операторларға көшіруге болады, егер де олар бір бөлшекті операторлардың қосындысы арқылы берілетін болса. Мысалы,
Fξ1,...,ξn=ΣiF(ξi)
мұндағы F(ξi) - i -бөлшектің координатасына әсер ететін оператор. Бөлшектердің ұқсас болу себебінен осы қосындыдағы қосылғыштар тек бөлшектің номерімен ерекшеленеді. Екінші квантталуға өту төмендегі түрлендіруге сэйкес келеді
ΣiFξi--F=ψξFξψξdξ, (2.13)
(2.13)-ден кейін (2.8)-дің мәні өзгереді
F=Σv,μav+aμvFμ,
мұндағы
vFμ=ψv*(ξ)Fξψμ(ξ)d(ξ)
егер де F(ξ) операторының және φv(ξ) функциясының түрі белгілі болса, онда оңай есептелетін матрицалық элементтер болып табылады. av+ және
av Бозе операторы nv... толтыру санынан тәуелді функцияларға әсер етеді.
Әрі қарай, координаталық көрінісі келесі түрге ие болатын операторларды қарастырайық:
gξ1,...,ξn=Σijgξiξj,
мұндағы g ξiξj- бөлшектің і және j координаталарына әсер ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz
Реферат
Курстық жұмыс
Диплом
Материал
Диссертация
Практика
Презентация
Сабақ жоспары
Мақал-мәтелдер
1‑10 бет
11‑20 бет
21‑30 бет
31‑60 бет
61+ бет
Негізгі
Бет саны
Қосымша
Іздеу
Ештеңе табылмады :(
Соңғы қаралған жұмыстар
Қаралған жұмыстар табылмады
Тапсырыс
Антиплагиат
Қаралған жұмыстар
kz