Логарифмдік теңдеулерді және теңсіздіктерді шешу


Ең қарапайым логарифмдік теңдеуді қарастырайық . Логарифмдік функция (0;) аралығында өседі (не кемиді) және осы аралықта барлық нақты сандарды қабылдайды. Түбір туралы теорема бойынша, бұдан кез келген b үшін берілген теңдеудің түбірі бар және ол тек біреу ғана болатындығы шығады. Санның логарифмінің анықтамасынан аb саны сол шешім екендігі бірден табылады.
1-м ы с а л. Теңдеуді шешейік log2(х2 + 4х + 3) = 3.
Берілген теңдеуді х-тің х2 + 4х + 3 = 23 теңдігі орындалатындай мәндері ғана қанағаттандырады. Сонымен, х2 + 4х + 5 = 0 квадрат теңдеу шықты. Оның түбірлері: 1 мен — 5 сандары. Олай болса, берілген теңдеудің шешімі екі сан, олар: 1 мен — 5.
2-м ы с а л. Теңдеуді шешейік log5(2х + 3) =log5(х + 1). Бұл теңдеу х-тің тек 2х + 3 > 0 және х + 1 > 0 теңсіздіктер орындалатындай мәндерінде ғана анықталады. х-тің мәндері үшін берілген теңдеу 2х + 3 = х+1 теңдеуімен мәндес. Бұдан х = - 2 екенін табамыз. Ал х = -2 саны х+1 > 0 теңсіздігін қанағаттандырмайды. Олай болса, берілген теңдеудің түбірлері болмайды.
Ал осы теңдеуді басқаша шешуге болар еді. Берілген теңдеудің салдарына 2х + 3 = х + 1 ауысып, х = - 2 екенін табамыз. Теңдеулерді мәндестік бұзылмайтындай етіп түрлендірген жағдайда, табылған мәнді бастапқы теңдеуге қойып, тексеру қажет. Тап осы жағдайда log5(-1) =log5(-1) теңдігі тура емес (мұның мағынасы жоқ).
3-м ы с а л. Теңдеуді шешейік logx (х2-2х + 2) = 1.
Бұл теңдеуді х-тің тек х > 0 және х  1 (х — логарифмдік функцияның негізі) және х2-2х +2=х, яғни х2 -3х +2 = 0 теңдігі орындалатындай мәндері ғана қанағаттандырады. Осы табылған квадрат теңдеудің түбірлері 1 және 2 сандары болып табылады. Алайда х = 1 саны

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Материал
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 400 теңге

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






Логарифмдік теңдеулерді және теңсіздіктерді шешу

Ең қарапайым логарифмдік теңдеуді қарастырайық . Логарифмдік
функция (0;() аралығында өседі (не кемиді) және осы аралықта барлық нақты
сандарды қабылдайды. Түбір туралы теорема бойынша, бұдан кез келген b үшін
берілген теңдеудің түбірі бар және ол тек біреу ғана болатындығы шығады.
Санның логарифмінің анықтамасынан аb саны сол шешім екендігі бірден
табылады.
1-м ы с а л. Теңдеуді шешейік log2(х2 + 4х + 3) = 3.
Берілген теңдеуді х-тің х2 + 4х + 3 = 23 теңдігі орындалатындай
мәндері ғана қанағаттандырады. Сонымен, х2 + 4х + 5 = 0 квадрат теңдеу
шықты. Оның түбірлері: 1 мен — 5 сандары. Олай болса, берілген теңдеудің
шешімі екі сан, олар: 1 мен — 5.
2-м ы с а л. Теңдеуді шешейік log5(2х + 3) =log5(х + 1). Бұл теңдеу х-
тің тек 2х + 3 0 және х + 1 0 теңсіздіктер орындалатындай мәндерінде
ғана анықталады. х-тің мәндері үшін берілген теңдеу 2х + 3 = х+1 теңдеуімен
мәндес. Бұдан х = - 2 екенін табамыз. Ал х = -2 саны х+1 0 теңсіздігін
қанағаттандырмайды. Олай болса, берілген теңдеудің түбірлері болмайды.
Ал осы теңдеуді басқаша шешуге болар еді. Берілген теңдеудің
салдарына 2х + 3 = х + 1 ауысып, х = - 2 екенін табамыз. Теңдеулерді
мәндестік бұзылмайтындай етіп түрлендірген жағдайда, табылған мәнді
бастапқы теңдеуге қойып, тексеру қажет. Тап осы жағдайда log5(-1) =log5(-1)
теңдігі тура емес (мұның мағынасы жоқ).
3-м ы с а л. Теңдеуді шешейік logx (х2-2х + 2) = 1.
Бұл теңдеуді х-тің тек х 0 және х ( 1 (х — логарифмдік функцияның
негізі) және х2-2х +2=х, яғни х2 -3х +2 = 0 теңдігі орындалатындай мәндері
ғана қанағаттандырады. Осы табылған квадрат теңдеудің түбірлері 1 және 2
сандары болып табылады. Алайда х = 1 саны берілген теңдеудің шешімі бола
алмайды. Олай болса, тек 2 саны ғана берілген теңдеудің шешімі болады.
4-м ы с а л. Теңсіздікті шешейік .
-2 саны -іне тең. Сондықтан берілген теңсіздікті былай көшіріп
жазуға болады: .
Негізі — логарифмдік функция R+ жиынында анықталған және кемиді,
өйткені . Олай болса, екінші теңсіздікті 0 5 - 2х 9 шарты
орындалатындай х мәндері ғана қанағаттандырады, бұдан - 2 х 2,5 .
Сонымен, берілген теңсіздіктің шешімдер жиыны (-2; 2,5) интервалы
болмақ.
5-м ы с а л. Теңдеуді шешейік .
Екінші қосылғашты 5 негізіне көшіріп, ауыстыруын жасаймыз, сонда

Енді берілген теңдеуді түрінде көшіріп жазуға болады. Бұл квадрат
теңдеудің түбірлері 3 және - 1 сандары. Ауыстырылғаннан кейінгі log5х=3
және log5x = -1 теңндеулерін шешіп, мынаны табамыз: х = 53 = 125 және х=5-
1=0,2.
6-м ы с а л. Теңдеулер жүйесін шешейік:

Жүйенің бірінші теңдеуі у-х = 2 теңдеуімен, ал екіншісі
теңдеуімен мәндес және х0, у0. теңдеуіне у = х + 2 қойып,
табатынымыз: х(х + 2) = 48, бұдан х 2 + 2х - 48 = 0, ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Логарифмдік теңдеулерді шешу
Логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу
Логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістері
Модульді теңсіздіктерді шешу әдістері
Үшінші дәрежелі теңдеулерді шешу
Жеке туындылардағы дифференциал теңдеулерді шешу
Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу
Алгебралық теңдеулерді шешу алгоритмдері
Мектеп математикасындағы квадраттық теңдеулерді шешу жолдары
Бүтін сандар жиынында анықталмаған теңдеулерді шешу әдістері
Пәндер
Stud.kz
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рақмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Жабу / Закрыть