Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістері, мысалдары және жаттығулары

Логарифмдік теңдеулерді және теңсіздіктерді шешу

Ең қарапайым логарифмдік теңдеуді қарастырайық . Логарифмдік функция (0; ∞) аралығында өседі (не кемиді) және осы аралықта барлық нақты сандарды қабылдайды. Түбір туралы теорема бойынша, бұдан кез келген b үшін берілген теңдеудің түбірі бар және ол тек біреу ғана болатындығы шығады. Санның логарифмінің анықтамасынан а ^b саны сол шешім екендігі бірден табылады.

1-м ы с а л. Теңдеуді шешейік log ₂ (х ² + 4х + 3) = 3.

Берілген теңдеуді х -тің х ² + 4х + 3 = 2 ³ теңдігі орындалатындай мәндері ғана қанағаттандырады. Сонымен, х ² + 4х + 5 = 0 квадрат теңдеу шықты. Оның түбірлері: 1 мен - 5 сандары. Олай болса, берілген теңдеудің шешімі екі сан, олар: 1 мен - 5.

2-м ы с а л. Теңдеуді шешейік log ₅ (2 х + 3) =log ₅ ( х + 1) . Бұл теңдеу х -тің тек 2х + 3 > 0 және х + 1 > 0 теңсіздіктер орындалатындай мәндерінде ғана анықталады. х -тің мәндері үшін берілген теңдеу 2х + 3 = х +1 теңдеуімен мәндес. Бұдан х = - 2 екенін табамыз. Ал х = -2 саны х+ 1 > 0 теңсіздігін қанағаттандырмайды. Олай болса, берілген теңдеудің түбірлері болмайды.

Ал осы теңдеуді басқаша шешуге болар еді. Берілген теңдеудің салдарына 2х + 3 = х + 1 ауысып, х = - 2 екенін табамыз. Теңдеулерді мәндестік бұзылмайтындай етіп түрлендірген жағдайда, табылған мәнді бастапқы теңдеуге қойып, тексеру қажет. Тап осы жағдайда log ₅ (-1) =log ₅ (-1) теңдігі тура емес (мұның мағынасы жоқ) .

3-м ы с а л. Теңдеуді шешейік log x ( х ² -2х + 2) = 1.

Бұл теңдеуді х -тің тек х > 0 және х ≠ 1 (х - логарифмдік функцияның негізі) және х ² -2х + 2= х, яғни х ² -3х +2 = 0 теңдігі орындалатындай мәндері ғана қанағаттандырады. Осы табылған квадрат теңдеудің түбірлері 1 және 2 сандары болып табылады. Алайда х = 1 саны берілген теңдеудің шешімі бола алмайды. Олай болса, тек 2 саны ғана берілген теңдеудің шешімі болады.

4-м ы с а л. Теңсіздікті шешейік .

-2 саны -іне тең. Сондықтан берілген теңсіздікті былай көшіріп жазуға болады: .

Негізі - логарифмдік функция R ₊ жиынында анықталған және кемиді, өйткені . Олай болса, екінші теңсіздікті 0 < 5 - 2х < 9 шарты орындалатындай х мәндері ғана қанағаттандырады, бұдан - 2 < х < 2, 5 .

Сонымен, берілген теңсіздіктің шешімдер жиыны (-2; 2, 5) интервалы болмақ.

5-м ы с а л. Теңдеуді шешейік .

Екінші қосылғашты 5 негізіне көшіріп, ауыстыруын жасаймыз, сонда

Енді берілген теңдеуді түрінде көшіріп жазуға болады. Бұл квадрат теңдеудің түбірлері 3 және - 1 сандары. Ауыстырылғаннан кейінгі log ₅ х= 3 және log ₅ x = - 1 теңндеулерін шешіп, мынаны табамыз: х = 5 ³ = 125 және х=5 ^-1 =0, 2.

6-м ы с а л. Теңдеулер жүйесін шешейік:

Жүйенің бірінші теңдеуі у-х = 2 теңдеуімен, ал екіншісі теңдеуімен мәндес және х>0, у>0. теңдеуіне у = х + 2 қойып, табатынымыз: х(х + 2) = 48, бұдан х ² + 2 х - 48 = 0, яғни х= - 8 немесе х = 6. Ал х >0 болғандықтан, х = 6 шығады, ал ендеше, у= 8. Сонымен, берілген теңдеулер жүйесінің шешімі біреу ғана: х = 6, у = 8.

Енді тағы да a ^х = b (b > 0) түріндегі кез келген көрсеткіштік теңдеудің түбірін логарифмнің көмегімен жазуға болатынын ескерте кетейік. Ол түбірдің түрі мынадай: х = log _a b .

7-м ы с а л. Теңдеуді шешейік 5 ^{1-3 х} = 7.

Логарифмнің анықтамасы бойынша және .

Жаттығулар

Теңдеуді шеш (512 - 515) .

512. а) 9 ^х = 0, 7 ; б) (0, 3) ^х = 7 ; в) 2 ^х = 10 ; г) 10 ^х = π .

513. a) log ₅ х = 2; б) log _{0, 4} х = - 1; в) log ₉ х = г)

514. a) б) log _х ( х ² + 2х + 3) = log _х 6 .

в) log _{0, 3} (5 + 2х) = 1; г) log ₂ (3 - х) = 0.

515. а) (0, 2) ^{4- х} = 3 ; б) 5 ^х = 7 ; в) 3 ^{2-3 х} = 8 ; г) 7 ^2х = 4 .

Теңдікті шеш (516 - 517) .

516. a) log ₃ х > 2 ; б) log _{0, 5} х > - 2; в) log _{0, 7} х < 1; г) log _{2, 5} x < 2 .

517. а) log ₄ ( x - 2) < 2; б)

в) log ₅ (3 x + 1) > 2; г)

Теңдеуді шеш (518 - 520) .

518. a) log _а х = 2 log _а 3 + log _а 5; б)

в) г) .

519. a)

б)

в)

г)

520. a)

в)

521. Теңдеулер жүйесін шеш:

а) б)

в) г)

Теңдеуді шеш (522 - 524) .

522. a) б)

в) г)

Сандарды салыстыр (501 -503) .

501. а) log ₂ 3, 8 және log ₂ 4, 7; б) және ;

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс