Логарифмдік теңдеулерді және теңсіздіктерді шешу

Ең қарапайым логарифмдік теңдеуді қарастырайық . Логарифмдік функция (0;) аралығында өседі (не кемиді) және осы аралықта барлық нақты сандарды қабылдайды. Түбір туралы теорема бойынша, бұдан кез келген b үшін берілген теңдеудің түбірі бар және ол тек біреу ғана болатындығы шығады. Санның логарифмінің анықтамасынан аb саны сол шешім екендігі бірден табылады.
1-м ы с а л. Теңдеуді шешейік log2(х2 + 4х + 3) = 3.
Берілген теңдеуді х-тің х2 + 4х + 3 = 23 теңдігі орындалатындай мәндері ғана қанағаттандырады. Сонымен, х2 + 4х + 5 = 0 квадрат теңдеу шықты. Оның түбірлері: 1 мен — 5 сандары. Олай болса, берілген теңдеудің шешімі екі сан, олар: 1 мен — 5.
2-м ы с а л. Теңдеуді шешейік log5(2х + 3) =log5(х + 1). Бұл теңдеу х-тің тек 2х + 3 > 0 және х + 1 > 0 теңсіздіктер орындалатындай мәндерінде ғана анықталады. х-тің мәндері үшін берілген теңдеу 2х + 3 = х+1 теңдеуімен мәндес. Бұдан х = - 2 екенін табамыз. Ал х = -2 саны х+1 > 0 теңсіздігін қанағаттандырмайды. Олай болса, берілген теңдеудің түбірлері болмайды.
Ал осы теңдеуді басқаша шешуге болар еді. Берілген теңдеудің салдарына 2х + 3 = х + 1 ауысып, х = - 2 екенін табамыз. Теңдеулерді мәндестік бұзылмайтындай етіп түрлендірген жағдайда, табылған мәнді бастапқы теңдеуге қойып, тексеру қажет. Тап осы жағдайда log5(-1) =log5(-1) теңдігі тура емес (мұның мағынасы жоқ).
3-м ы с а л. Теңдеуді шешейік logx (х2-2х + 2) = 1.
Бұл теңдеуді х-тің тек х > 0 және х  1 (х — логарифмдік функцияның негізі) және х2-2х +2=х, яғни х2 -3х +2 = 0 теңдігі орындалатындай мәндері ғана қанағаттандырады. Осы табылған квадрат теңдеудің түбірлері 1 және 2 сандары болып табылады. Алайда х = 1 саны