Логарифмдік теңдеулерді және теңсіздіктерді шешу


Ең қарапайым логарифмдік теңдеуді қарастырайық . Логарифмдік функция (0;) аралығында өседі (не кемиді) және осы аралықта барлық нақты сандарды қабылдайды. Түбір туралы теорема бойынша, бұдан кез келген b үшін берілген теңдеудің түбірі бар және ол тек біреу ғана болатындығы шығады. Санның логарифмінің анықтамасынан аb саны сол шешім екендігі бірден табылады.
1-м ы с а л. Теңдеуді шешейік log2(х2 + 4х + 3) = 3.
Берілген теңдеуді х-тің х2 + 4х + 3 = 23 теңдігі орындалатындай мәндері ғана қанағаттандырады. Сонымен, х2 + 4х + 5 = 0 квадрат теңдеу шықты. Оның түбірлері: 1 мен — 5 сандары. Олай болса, берілген теңдеудің шешімі екі сан, олар: 1 мен — 5.
2-м ы с а л. Теңдеуді шешейік log5(2х + 3) =log5(х + 1). Бұл теңдеу х-тің тек 2х + 3 > 0 және х + 1 > 0 теңсіздіктер орындалатындай мәндерінде ғана анықталады. х-тің мәндері үшін берілген теңдеу 2х + 3 = х+1 теңдеуімен мәндес. Бұдан х = - 2 екенін табамыз. Ал х = -2 саны х+1 > 0 теңсіздігін қанағаттандырмайды. Олай болса, берілген теңдеудің түбірлері болмайды.
Ал осы теңдеуді басқаша шешуге болар еді. Берілген теңдеудің салдарына 2х + 3 = х + 1 ауысып, х = - 2 екенін табамыз. Теңдеулерді мәндестік бұзылмайтындай етіп түрлендірген жағдайда, табылған мәнді бастапқы теңдеуге қойып, тексеру қажет. Тап осы жағдайда log5(-1) =log5(-1) теңдігі тура емес (мұның мағынасы жоқ).
3-м ы с а л. Теңдеуді шешейік logx (х2-2х + 2) = 1.
Бұл теңдеуді х-тің тек х > 0 және х  1 (х — логарифмдік функцияның негізі) және х2-2х +2=х, яғни х2 -3х +2 = 0 теңдігі орындалатындай мәндері ғана қанағаттандырады. Осы табылған квадрат теңдеудің түбірлері 1 және 2 сандары болып табылады. Алайда х = 1 саны

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Көлемі: 6 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 200 теңге




Логарифмдік теңдеулерді және теңсіздіктерді шешу

Ең қарапайым логарифмдік теңдеуді қарастырайық . Логарифмдік
функция (0;() аралығында өседі (не кемиді) және осы аралықта барлық нақты
сандарды қабылдайды. Түбір туралы теорема бойынша, бұдан кез келген b үшін
берілген теңдеудің түбірі бар және ол тек біреу ғана болатындығы шығады.
Санның логарифмінің анықтамасынан аb саны сол шешім екендігі бірден
табылады.
1-м ы с а л. Теңдеуді шешейік log2(х2 + 4х + 3) = 3.
Берілген теңдеуді х-тің х2 + 4х + 3 = 23 теңдігі орындалатындай
мәндері ғана қанағаттандырады. Сонымен, х2 + 4х + 5 = 0 квадрат теңдеу
шықты. Оның түбірлері: 1 мен — 5 сандары. Олай болса, берілген теңдеудің
шешімі екі сан, олар: 1 мен — 5.
2-м ы с а л. Теңдеуді шешейік log5(2х + 3) =log5(х + 1). Бұл теңдеу х-
тің тек 2х + 3 0 және х + 1 0 теңсіздіктер орындалатындай мәндерінде
ғана анықталады. х-тің мәндері үшін берілген теңдеу 2х + 3 = х+1 теңдеуімен
мәндес. Бұдан х = - 2 екенін табамыз. Ал х = -2 саны х+1 0 теңсіздігін
қанағаттандырмайды. Олай болса, берілген теңдеудің түбірлері болмайды.
Ал осы теңдеуді басқаша шешуге болар еді. Берілген теңдеудің
салдарына 2х + 3 = х + 1 ауысып, х = - 2 екенін табамыз. Теңдеулерді
мәндестік бұзылмайтындай етіп түрлендірген жағдайда, табылған мәнді
бастапқы теңдеуге қойып, тексеру қажет. Тап осы жағдайда log5(-1) =log5(-1)
теңдігі тура емес (мұның мағынасы жоқ).
3-м ы с а л. Теңдеуді шешейік logx (х2-2х + 2) = 1.
Бұл теңдеуді х-тің тек х 0 және х ( 1 (х — логарифмдік функцияның
негізі) және х2-2х +2=х, яғни х2 -3х +2 = 0 теңдігі орындалатындай мәндері
ғана қанағаттандырады. Осы табылған квадрат теңдеудің түбірлері 1 және 2
сандары болып табылады. Алайда х = 1 саны берілген теңдеудің шешімі бола
алмайды. Олай болса, тек 2 саны ғана берілген теңдеудің шешімі болады.
4-м ы с а л. Теңсіздікті шешейік .
-2 саны -іне тең. Сондықтан берілген теңсіздікті былай көшіріп
жазуға болады: .
Негізі — логарифмдік функция R+ жиынында анықталған және кемиді,
өйткені . Олай болса, екінші теңсіздікті 0 5 - 2х 9 шарты
орындалатындай х мәндері ғана қанағаттандырады, бұдан - 2 х 2,5 .
Сонымен, берілген теңсіздіктің шешімдер жиыны (-2; 2,5) интервалы
болмақ.
5-м ы с а л. Теңдеуді шешейік .
Екінші қосылғашты 5 негізіне көшіріп, ауыстыруын жасаймыз, сонда

Енді берілген теңдеуді түрінде көшіріп жазуға болады. Бұл квадрат
теңдеудің түбірлері 3 және - 1 сандары. Ауыстырылғаннан кейінгі log5х=3
және log5x = -1 теңндеулерін шешіп, мынаны табамыз: х = 53 = 125 және х=5-
1=0,2.
6-м ы с а л. Теңдеулер жүйесін шешейік:

Жүйенің бірінші теңдеуі у-х = 2 теңдеуімен, ал екіншісі
теңдеуімен мәндес және х0, у0. теңдеуіне у = х + 2 қойып,
табатынымыз: х(х + 2) = 48, бұдан х 2 + 2х - 48 = 0, ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу
Логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістері
Модульді теңсіздіктерді шешу әдістері
Бүтін сандар жиынында анықталмаған теңдеулерді шешу әдістері
Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу
Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулерді шешу әдістері
Антье функциясына берілген теңдеулерді шешу
Мектеп математикасындағы квадраттық теңдеулерді шешу жолдары
Алгебралық теңдеулерді шешу алгоритмдері
Бүтін сандар жиынында теңдеулерді шешу
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор №1 болып табылады.

Байланыс

Qazaqstan
Phone: 777 614 50 20
WhatsApp: 777 614 50 20
Email: info@stud.kz
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь