Адиабаталы жіктелген термодинамикалық жүйелер
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
СемЕЙ қаласының ШӘКӘРІМ атындағы МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
3 деңгейлі СМК құжаты
ПОӘК
ПОӘК 042-18-38.1.64
03-2014
ПОӘК
Статистикалық физика және физикалық кинетика негіздері пәнінің оқу-әдістемелік материалдары
№2 басылым
25.06.2014ж.
ПӘННІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ
Статистикалық физика және физикалық кинетика негіздері
5В011000 - Физика мамандығы үшін
ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАРЫ
Семей
2014
Мазмұны
1
Глоссарий
3
2
Дәрістер
5
3
Практикалық сабақтар
73
4
Студенттердің өздік жұмыстары
81
1 ГЛОССАРИЙ
азғындалған газ - температурасы азғындау температурасынан төмен болган жағдайдағы кванттық газ
бозе-газ - спиндері нөлге немесе бүтін санға тең. Бозе - Эйнштейн статистикасына бағынатын бөлшектерден тұратын кванттық газ
бозе-эйнштейн статистикасы - бозондардан тұратын жүйеге қолданылатын кванттық статистика
бозе-эйнштейн конденсациясы - азғындау температурасынан төмен температурада көптеген бозондар ең төмен энергияға ие болатын күйді толтыратын құбылыс. Кез келен басқа күйде бозондар саны аз болады
бозе-эйнштейн үлестірілуі - өзара әрекеттеспейтін энергиясы болатын күйде орналасатын бозондар санының орташа мәні
,
мұндағы - химиялық потенциал, k - Больцман тұрақтысы
бозон - нөлдік немесе бүтін спинге ие болатын бөлшек немесе квазибөлшек. Бозон Бозе-Эйнштейн статистикасына бағынады
Больцман статистикасы - классикалық механика заңдары бойынша қозғалатын, көп өзара әрекеттеспейтін бөлшектердің физикалық қасиеттерін статистикалық түрде сипаттау
борндық жуықтау - микробөлшектердің шашырау теориясындағы, бөлшектердің шашырау амплитудасын бірінші жуықтауда есептеу әдісі
Больцман үлестірілуі - идеал газ бөлшектерінің р импульстер және координаталар бойынша тепе-тең үлестірілу функциясы
Больцманның кинетикалық теңдеуі - молекулалар өзара соқтығысуы нәтижесінде пайда болатын тепе-теңдікті сипаттайды
идеал газ - бөлшектредің өзара әрекеттесуі есептке алынбайтын газдың теориялық моделі
Гиббстің каноникалық үлестірілуі - ортамен жылулық тепе-теңдікте орналасқан және көлемі мен бөлшектер саны тұрақты жүйелердің статистикалық ансамблі күйлерінің ықттмалдықтарының үлестірілуі
кванттық статистика - көп бөлшектерден тұратын кванттық жүйелердің статистикалық физикасы
кинетикалық теңдеу - тепе-тең емес процестерді сипаттайды, ол үлестірілу функциясына арналған интегродифференциалды теңдеу
нақты газ - қасиеттері молекулалардан өзара әрекеттесуіне тәуелді газ
тепе-тең емес процестер - термодинамика және статфизикадағы тепе-тең емес күйлерді қамтитын физикалық процестер
тепе-тең емес күйлер - термодинамикадағы термодинамикалық тепе-теңдіктен, статфизикадағы статистикалық тепе-теңдіктен шығарылған жүйенің күйі
тасымалдау құбылысы - қайтымсыз процестер, олардың нәтижесінде физикалық жүйеде электр заряды, масса, импульс, энергия, энтропия және т.б. физикалық шамалар кеңістікте тасымалданады
тепе-тең күйлер - үлкен уақыт аралығында тұйықталған жүйенің тепе-тең күйге көшкен күйі. Бұл уақыт релаксация уақыты деп аталады
термодинамиканың бірінші бастамасы - жылулық құбылыстарға арналған энергияның сақталу заңы
Резерфорд формуласы - Кулон заңымен әрекеттесетін, релятивистік емес зарядталған нүктелік бөлшектердің шашырау қимасын анықтайды
релаксация - макроскопиялық физикалық жүйелерде тепе-теңдіктің пайда болу процесі
статистикалық салмақ - кванттық статистикадағы берілген энергияны кванттық күйлердің әр түрлі сандары. Статистикалық саламақ күй азғындауының еселігі деп те атайды
статистикалық механика - макроскопиялық денелердің қасиеттерін өте көптеген бөлшектерден (молекулалардан, атомдардан, электрондардан) тұратын жүйелер ретінде қарастыратын физиканың бөлімі. Статистикалық физикада ықтималдықтар теориясына негізделген статистикалық әдістер қолданылады
статистикалық қосынды - Z шама, ол , мұнда - n кванттық күйдегі энергия үлестірілу функциясы - ол
статистикалық физика - макроскопиялық денелердің қасиеттерін өте көптеген бөлшектерден (молекулалардан, атомдардан, электрондардан) тұратын жүйелер ретінде қарастыратын физиканың бөлімі. Статистикалық физикада ықтималдықтар теориясына негізделген статистикалық әдістер қолданылады
статистикалық ансамбль - дегеніміз бір-біріне тең емес күйлерде орналасқан көп нақты жүйелердің қосындысы деп атауға болады
статистикалық термодинамика - физикалық жүйелердің тепетеңдік күйлерін сақта-ғандағы жалпы физикалық қасиеттерін зертейтін теоретикалық физиканың бөлімі. Термодинамика екі бөлімнен құралады феноменологиылық және статистикалық термодинамикадан. Феноменологиялық термодинамикада өтіп жатқан жүйелердегі процесстерді қарастырғанда молекулалрдың ішкі құрамдары және молекулярлық процесстерінің механизмдары есептелмейді. Термодинамика мен статискалық физика материяның жылулық қозғалыстарын зерттейді. Сондай теоретикалық зерттеуде заттарда өтіп жатқан физикалық процесстерді анықтау үшін көп модельдік ұғымдар пайдаланды
термодинамика - жылулық қозғалыстың заңдылықтарын және оның заттың физикалық қасиеттеріне тигізетін ықпалын энергетикалық тұрғыдан қарастыратын ғылым
термостат - тұрақты температураны ұстайтын прибор
термодинамиканың екінші бастамасы - өздігінен температурасы төмен денеден температурасы жоғары денеге жылудың ауыса алмауы
термодинамикалық жүйе - көп материалдық нүктелердің қосындысы деп саналады. Материалдық нүктелер ылғи хаотикалық қозғалысқа қатнасадыда, бір- бірімен кинетикалық энергиямен, жылдам-дықпен, импульспен алмасады, бірақ олардың ішкі күй жағдайы өзгерілмейді
термодинамиканың үшінші бастамасы - абсолют нөлге ұмтылғанда тепе-тең күйде дененің энтропиясының нөлге ұмтылуы
ферми-газ - жартылай бүтін санды спинге ие болатын бөлшектреден тұратын кванттық газ. Ферми-газ ретінде металдағы электрондық газды алуға болдаы
ферми-деңгей - Ферми энергиясына сәйкес, фермиондар жүйесінің кейбір шартты энрегия деңгейі
ферми-энергиясы - абсолют нөл температурада, өзінен төмен орналасқан барлық деңгейлер фермиондармен толтырылатын энергияның мәні
Ферми-Дирак үлестірілуі - өзара әрекеттестігін есепке алмауға болатын теңбе-тең фермиондардың энергетикалық деңгейлер бойынша үлестірілуін сипаттайтын өрнек. Бұл күйге сәйкес келетін осындай бөлшектердің орта саны Ферми-Дирак үлестірілуімен анықталады:
фермион - жартылай бүтін спинге ие болатын бөлшек немесе квазибөлшек. Фермиондарға электрон, протон, нейтрон, кварктар және т.б. жатады
флуктуация - көп бөлшектерден тұратын жүйені сипаттайтын физикалық шамалардың орта мәндерінен кездейсоқ ауытқулары
Ферми-Дирак статистикасы - теңбе-тең фермиондар жүйелеріне арналған кванттық статистика
ферми беті - квазиимпульстер кеңістігінде өткізгіштік электрондары бар облысты, Т=0К температурада электрондары жоқ облыстан бөлетін изоэнергетикалық бет. Мұндағы - Ферми энергиясы
I ретті фазалық ауысу - ауысу жылуы бөлінетін және көлем секірмелі түрде өзгеретін ауысу
II ретті фазалық ауысу - бұл жағдайда ауысу жылуы болмайды және көлем секірмелі түрде өзгермейді
үлестірілу функциясы - ол - нормалау шартын қанағаттандырады:
үлкен каноникалық үлестірілу - мұнда - химиялық потенциал, - бөлшектер саны, - нормалау шартынан табылады
физика - материяның жалпы формалары және өзара түрленуі туралы ғылым, ол дәл ғылымдарға жатады және айналамыздағы процестермен құбылыстардың сандық заңдылықтарын зерттейді
физикалық заңдар - табиғатта болатын тұрақты қайталанатын объективті заңдылықтар
2. ДӘРІСТІҢ ҚЫСҚАША КОНСПЕКТІЛЕРІ
Кіріспе
Статискалық физиканы термодинамика мен салыстырғанда айтылғанымыз материяның жылулық қозғалысының модельдік немесе атомдык теориясы деп саналады. Статистиқалық теорияның негізіне заттың динамикалық моделін пайдаланып, сол моделдің микроскопиялық күйлерінің априорлық ыктималдығын болжайды. Әрі қарай белгілленген теория динамикалық микрожүйенің статискалық теориясы боп белгіленеді, яғни оның карастыратыны динамикалық шамалар мен микрокүйлер емес, тек қана олардың ыктималдығы және орташа мәндері.
Статистакалық физика екі үлкен бөлімдерден құралады: жүйелердің тепе-теңдік күйінің теориясы және тепе-теңдік емес процестердің теориясы. Бірінші жағдайда, термодинамикалық жүйелердің тепетеңдік күйін карастырғанда, статистиқалық физиканың пайдаланатын ықтималдыктар және арташа шамалар уақытқа тәуелсіз болады, ал екінші жағдайда ықтималдық және орташа шамалардың мәндері уақытқа тәуелді болады. Тағыда статистиқалық физиканың басқа екі бөлімін қарастыруға болады. Ол - классикалық және кванттық статистикалық физика.
Классикалық статистикалық физикада термодинамикалық жүйені кұрастыратын атомдар мен молекулалар тек қана механиқалық касиеттерге ие болдыда, яғни тек қана механикалық заңдарына бағынады деп саналады. Бұл жағдайда заттың классикалық мөделі құрастырладыда, соның статистикалық каситеттерін зерттейтін теория классикалық статистика деп аталады. Егерде термодинамикалық жүйені кұрастыратын бөлшектер кванттық касиеттерге ие болса, онда сол жүйенің статистикалық касиет-тернін қарастыратын теория кванттық статистика деп саналады. Термодинамикалық жүйлерде тепетеңдік емес процесстерін зерттеу үшін кинетикалық теорияны пайдаланады. Оларды классикалық немесе кванттық кинетика деп атайды.
Сондықтан, айтылғаннан қортындыны алсақ, статистиқалық физика төрт бөлімнен құралады:
1. классикалық статистика
2. классикалық кинетика
3. кванттық статистика
4. кванттық кинетика
Жалпылай, cтатискалық физиканың негізі американ физигі ДЖ. Гиббстің әдістемесіне орналасқан.
Тақырып: Физикадағы 2 әдіс. Лиувилл теоремасы. Статистикалық ансамбль, үлестірілу функциясы.
Көп бөлшектерден құралатын заттардың қасиеттерін зерттеуеге механикалық көзқарас пайдаланды. 18 ғасырда механика ғылыми түрінде ең жоғары деңгейіне жетті. Жалпы, барлық табиғатта өтетін құбылыстарды, бір біріне себепті салдары байланыс арқылы қарастырылды. Ондай көзқарас механикалық детерменизм деп аталды. Механикалық детерменизм бойынша барлық табиғатта өтетін құбылыстар бір- біріне себепті салдар боп саналды. Барлық Ньтонның механикасы механикалық детерменизм тұжырымынан құралада. Табиғатта кездесетін құбылыстардың себепті пікірліктен шыққан қатаң бірізділігі олардың әрқашан міндетті орындалатынын тағдырын белгілейді. Бұл жағдайларда кездейсоқ құбылыстар кездеспейтін боп саналады.Механикалық детерменизмның философтарына құбылыс әрқашанда салдар мен себептің қосындысы боп саналады. Әрине механикалаық детерменизм принципы біріншіден физикалық жүйенің күйін зерртеуге пайдаланды. Егер макроскопиялық көзқарасты алсақ, онда бір белгіленген физикалық жүйенің күйі анықталған болып шығда, егер сол жүйені құрайтын бөлшектердің мекен жайлары мен және олардың қозғалыстары белгілі болса, механикалық заңдары арқылы бөлшектердің, яғни физикалық жүйенің, болашақ жағдайларын анықтауға болады.
Онда детерменизм принцип бойынша физикалық жүйенің қазырғы қүйін біле тұрып, физикалық жүйенің күйлерінің уақыт бойынша өзгерісін анықтауға болады. Осы келтірілген детермениз принципы физикалық жүйенің күйін зерттеуге пайдаланатын нақты механикалық әдіс бөп саналады. Көп болшектерден құралатын физикалық жүйенің күйін механикалық қөзқарас арқылы шешілмейтін тұжырым мұндай қойылған мақсатты басқаша қарастыруға жол салады. Ондай, басқаша көзқарас ─ статистикалық тәсілі деп аталады. Осы жаңа белгіленген статистикалық тәсіл біріншіден көп бөлшектерден құралатын физикалық жүйенің өзінің меншікті статистикалық қасиеттері мен байланысты деп білу керек.
Сондықтан, физикалық көп бөлшектерден құралатын жүйлердің өзгешілік қаситеттерін анықтауға жәңа тәсілдерді қолдану керек. Ендігі қойылытын мақсат статистикалық тәсілдерді көп бөлщектерден құралатын физикалық жүйелердің қасиеттерін және оларда өтетін құбылыстарды зерттеуге пайдалану.
Мехниқалық заңдары бойынша кез келген жүйелердің физикалық қасиеттерін микроскопиялық түрінде анықтау үшін өте көп параметрлерінің мәндері белгілі болу керек екенін мен таныстық. Бірақ термодинамикалық тұжырымдыры бойынша физикалық жүйелердің(мыслы газдарды, сұйқтарды немесе сәулелену құбылыстары және т.б.) қасиеттерін макроскопиялық зерттеуге шектелген параметрлердің мәндерін білу керек. Егер белгіленген физикалық жүйе тепе-теңдік күйін сақтаса, онда олардың қасиеттерерін зерттеуге көбірек оңайлыққа түседі деп санауға болады. Мұндай жағдайда термодинамикалық жүйелердің физикалық жағдайлары қарапайымдай болады да, соны мен қоса оларға сәкес жүйенің параметрлері уақытқа тәуелді болмайды. Расында, егер бір моль газ тепе теңдік күйде болса, онда оның көлемі V, қысымы P және температурасы T оның толық күйін белегілейді. Егер белегіленген физикалық жүйе бұдан да бір аз күрделі болса да бәрі бір оның тепе-теңдік күйінде касиеттерін анықтауға онша көп парметрлердің мәндерін табуға қажетті емес.Көбінесе физикалық жүйелердің қаситтерін зерттегенде олардың макропара-метрлерінің мәндері өзгерілмейді деп саналады, яғни олар өздерінің тепе-теңдік күйін сақтайды. Мұндай жағдайда жүйенің қысымы, көлемі және температрурасы тұрақты болады да, ол термостатта орналсқан боп саналады
Тұрақты температурада және қысымда орналасқан газдың кез-келген тепе-теңдік күйіне өте көп молекулалрдың қозғалысы және мекен жайы сәйкес келеді. Расында, газ өз тепе-теңдік жағдайын сақтасада молекулалары тоқтамайтын хаотикалық, жылыулық (броундық) қозғалысқа қатынасып жатады. Өзара газ молекулалары бір-бірімен әрқашанда кинетикалық энергия, импульстер мен алмасып жатады. Сондықтан, физикалық жүйенің бір күйіне макроскопиялық көзқарасында өте көп (мыңдаған) микроскопиялық күйлері сәйкес келеді. Яғни микроскопиялық күйлері тоқтамайтын өзгерісте болады да, ал термодинамикалық жүйенің макроскопиялық күйі тұрақты боп саналады.
Басқаша, тепе-теңдік физикалық күйін сақтайтын термодинамикалық жүйенің макроскопиялық параметрлері микроскопиялық параметрлерінің функциясы боп саналады. Мысалы, газдың қысымы макроскопиялық параметр түрінде молекулалрдың құйылған ыдыстың қабырғасына микроскпиялық соқтығыстарының қосындысына тәуелді (микроскопиялық параметрлеріне).
Осыдан статистикалық ансамбль дегеніміз бір-біріне тең емес күйлерде орналасқан көп нақты жүйелердің қосындысы деп атауға болады.
Олар жүйенің бір күйіне сәйкес боп саналады. Бірақ бір-біріне тең емес жүйенің макрокүйлерінің сандары бір біріне тең емес микрокүйлер арқылы анықталады. Сонда қандай макрокүйлерге сәкес келетін микрокүйлердің саны жоғары болса, соншама сол микрокүйдің жағдайы орнықты болады. Осы белгіленген түсініктілер арқылы жүйенің термодинамикалық ықтималдығы деген ұғымы еңгізіледі.
Кез-келген жүйенің күйінің термодинамикалық ықтималдығы дегеніміз сол жүйенің күйіне сәйкес келетін микроскопиялық күйлерінің саны боп саналады. Сондықтан жүйенің термодинамикалық ықтималдығы дегеніміз сол жүйенің күйін белгілейтін микроскопиялық күйлерінің саны арқылы анықталатын болады. Осы анықтамадан жүйенің термодинамикалық ықтималдығының мәні әрқашанда бірден көп деп белгілеуге болады.
Белгіленген термодинамикалық ықтималдық ұғымы және математикалық статистиқалық заңдары көп бөлшектерден құралатын жүйелердің қасиеттерін зерттеуге статистиқалық физикада пайдаланады.
Ендігі қойылытан мақсат өткенде ең біріңші американ физигі Дж. Гиббс орнаған статистиқалық физиканың жалпы әдісіменен танысамыз.
Егер қарстырылатын термодинамикалық жүйе N материалдық нүктелерден құралатын болса, онда ол жүйеге арналған (5.2) Гамильтон өрнектерін шығарсақ десек, онда олардың шешімін 6N бірінші интеграл түрінде келтіруге болады:
p1c1,c2,...,c6N,t=0p2c1,c2,...,c6N, t=0 ... ... ... ... ... ... ... ... .p3Nc1,c2,...,c6N,t=0q1c1,c2,...,c6 N,t=0 ... ... ... ... ... ... ... .. ... .q3N(c1,c2,...,c6N,t)=0 (5.3)
Алынған 6N теңдеулер жүйенің фазалық кеңістігінде қозғалыс теңдеуі деп санауға ыңғайлы. Фазалық кеңістік деп 6N көпөлшемді жалпыланған координаталар мен импульстердің арқылы ойда елестетін кеңістік белгіленеді.
Статистикалық физикада фазалық кеңістіктің екі түрін қарастырады. Бірінші μ - кеңістік және екіншісі Γ - кеңістік. μ - кеңістік ол бір бөлшекке қатанасты фазалық қеңістік боп саналады. Бір бөлшектің еркін дәреже саны 3 тең болса, онда фазалық μ-кеңістікке 6 өлшемді кеңістік сәйкес келеді (3 жалпылыған координаталарды және 3 жалпыланған импульстерді есептегенде). Екіншісі Γ - кеңістік деп аталатын фазалық кеңістіктің, көп болшектерден құралатын физикалық жүйелерге еңгізледі. Осыдан, әрқашанда μ - кеңістік Γ - кеңістіктіктің бір бөлшекке арналған қарапайым түрі деп санауға болады.
Кез келген физикалық жүйенің микрокүйі(фазасы) ондай 6N көпөлшемді кеңістікте бір нүкте мен бейнеленеді. Онда барлық қеңістіктің көлемін жүйенің микрокүйлері толтырады да сондықтан ол фазалық қеңістік деп аталады. Егер карастырылатын жүйе байланысқан болса немесе бөлшектерінің ішкі еркін дәрежелік саны 3N емес f тең болса, онда жүйенің фазалық кеңістігі 2f -өлшемді болады. Яғни кез-келген термодинамикалық жүйеге меншікті қаситеттеріне сәйкес фазалық кеңістікті белгілеуге болады.
Нақты физикалық жұйе бір белгіленген уақытта бір күйінде болу керек. Ол күйі әрқашанда фазалық кеңістігінде белгілі нүктемен бейленеледі. Бірақ физикалық жүйені құрайтын бөлшектер тоқталмайтын қозғалысқа қатнасады, яғни жүйенің күйі ылғи өзгеріп отырады. Термодинамикалық жүйенің күйінің өзгерісі фазалық кеңістікте кей бір сызық пен белгіленеді ол фазалық траектория деп аталады. Алдында көрсетілген (5.3) 6N теңдеулер фазалық траекторяның параметрлік теңдеулері боп саналады.
Енді физикалық жүйенің фазалық траекториясынң қаситтерін анықтауға болады. Жүйенің кез-келген траекториясы фазалық қеңістікте 6N бастапқы шарттарымен анықталады (бір бастапқы нүкте мен), яғни жүйенің бөлшектерінің берілген бастапқы уақыт t = 0 болғанда 3N жалпыланған координаттардың мәндері мен және 3N жалпыланған импульстердің мәндері мен. Фазалық кеңістікте жүйенің траекториялары тұйық болсада, бір бірі мен ешқашанда қиылыспайды. Басқаша айтқанда фазалық кеңістіктің әр нүктесінен тек қана бір фазалық траектория өтеді. Бұл тұжырым механиқалық жүйеге арналған (5.2) теңдеулердің шешімдері бірдей бастапқы шарттарда бірмәнділік болу тиісті қасиеттерінен алынады.
Егер шектелген термодинамикалық жүйені қарастырсақ, онда оның толық энергиясы тұрақты болу керек, яғни:
E=Eq1,q2,...p1,p2,...= const (5.4)
Осы алынған өрнек жүйенің барлық параметрлерін бір-бірімен байланыстырады оны басқаша энергияның жүйенің фазалық кеңістегіндегі гипербет теңдеуі боп саналады. Оны жайында фазалық кеністіктегі энергияның беті деп атауға болады. Шектелген жүйенің қандай өзгерістері боласада оның фазалық траекторяисының барлық нүктелері жүйенің энергиясының гипербетінде орналасады. Бірақ жалпы түрінде бір ғана жүйенің өзгерісін зертемейді, соны мен қоса көп жүйелердің (ансамбілдердің) қосындысын қарастыру керек болады. Бұл жағдайларда ондай күрделі жүйе (ансамбль) фазалық көлемінде таралатылған боп саналады. Ондай күрделі фазалық көлем 2fN өлшемді болады. Зерттеуге ыңғайлы болу үшін элементарлық фазалық көлем деген ұғымын пайдаланады. Элементарлық фазалық көлем дегеніміз:
dΩ=dq1,dq2,...,dq3N,dp1,dp2, ...,dp3N (5.5)
Егер элементарлық фазалық көлемді барлық фазалық кеңістігіндегі қосындысын алсақ, онда шектелген жүйенің толық фазалық көлемі мынандай интегрлаға тең болады:
Ω=...dq1,dq2,...dp1,dp2... (5.6)
Мында фазалық кеңістіктің көлемі жалпыланған кооринаталар мен импульстерге тәуелді. Соны мен қоса ол жүйенің толық энергиясына тәуелді боп саналады. Әрине мұндай тұжырым жүйенің энегргиясының жалпыланған импульстерге және координаталарға тәелділіктен алынады. Яғни E=Eq1,q2,...p1,p2,..., сондықтан:
Ω=Ω(E) (5.7)
Егер энергияның E, E +dE интервалындағы өзгерісін алсақ, онда сол микроинтервалға сәйкес келетін фазалық кеңістіктіктің элементарлық көлемінің мөлшері тең болады:
dΩ= dΩdEdE (5.8)
Ендігі қойылытын мақсат статистикалық әдісті көп бөлшектерден құралатын термодинамикада танысқан ұғымдар арқылы жүйелердің қасиеттерін зерттеуге пайдалану.
Алдына Гиббс әдісін көп бөлшектерден құрлатын термодинамикалық жұйелердің қасиеттерін анықтауға пайдаланады деп белгіледік.
Біріншіден, физикалық жүйенің күйін фазалық қеңістік арқылы қарастырылса онда барлық жүйенің микрокүйлерінің геометриялық көрінісі қосындысы жүйенің толық макрокүйін белгілейді. Соны мен қоса көп фазалық нүктелердің қосындысын бір термодинамиқалық күйде орналасқан көп нақты жүйелердің қосындысы деп санауға болады. Онда көп физикалық жүйелердің, бір белгілеген күйіне сәйкес жиынтығын, статистикалық немесе фазалық ансамбль деп аталады. Яғни бір белгіленген фазалық ансамбльге жүйенің фазалық кеңістігінде белгіленген фазалаық нүктелердің тобы сәйкес келу керек. Егер, кез-келген фазалық кеңістігінің нүктесіне (жүйенің микрокүйіне) ықтималдық үлестірім функциясы арқылы сәйкес келетін ықтималдықты тағайындасақ, онда фазалық ансамбль ұғымы (елесі) арқылы термодинамикалық жүйенің күйінің термодинамикалық ықтымалдығын анықтауға болады. Басқаша айтқанда физикалық жүйенің фазалық кеңістігі және фазалық ансамбль ұғымдары математикалық ститстикалық заңдарын пайдалануға жол салады.
Стаистикалық ансамбльді құрайтын жұйелер кез-келегн түрінде фазалық кеңістігінде таралуы мүмкін. Жалпы тұрінде ол өзіне сәйкес фазалық кеңістігін көлем бойынша орналасады. Онда бір белгіленген dΩ элементарлық фазалық көлемінде орналасқан стаистикалық жүйенің саны dN сол көлемнің мәніне тура пропорционал болады:
dN=f(q1,q2,...p1,p2,...)dΩ (5.11)
Ақырғы теңдеуде орналасқан f(q1,q2,...p1,p2,...) функция жүйенің үлестірім функциясы Оны ρ= f(q1,q2,...p1,p2,...) деп белгілесек, онда элементарлық фазалық көлеміндегі жүйелердің саны:
dN=ρdΩ (5.12)
Мындағы үлестірім тығыздық функциясы ρ= f(q1,q2,...p1,p2,...) бірлік элементар-лық фазалық көлемінде орналасақан жүйелердің санын анықтайды.
Ал енді кез-келген жүйенің элементарлық фазалық көлеміне орналасуының ықтималдығын алсақ, онда
dw=dNN=ρNdΩ= χdΩ (5.12)
Осында χ= ρN дегеніміз ықтималдықтың тығыздық функциясы. Егер нормалау шартын пайдалансақ, онда:
dw= χdΩ= 1 (5.13)
Енді мынандай тұжырым бекітуге болады. Кез келген фазалық ансабільдің әр нүктесіне (күйіне) үлестірім функциясы тәуелді болады деп белгілінеді (немесе ықтималдық). Осыдан термодинамикалық жүйенің күйін dw ықтималдық пен және үлестірім функциясының χ тығыздығы мен сипаттауға болады.Яғни термодинами-калық жүйені фазалық қеңістігінде бір анықталмайтын нүктемен сиппаталмайды, соны мен қоса оның күйін белгілейтін ықтималдық және үлестірім функцияся тағайындалды.
Шектелген термодинамикалық физикалық жүйенің бөлшектерінің қозғалысы Гамильтон теңдеуіне бағынады. Физикалық жүйенің күйі өзгерседе бірақ фазалық кеңістіктің бір-біріне тең қөлемінде бөлшектердің саны бірдей болады. Ендігі мақсат осы теорема Лиувилля деп аталатын заң мен танысу.
Біріншіден көлем бойынша таратылған статистикалық ансамблдің - кеңістіктегі қозғалысы сұйықтың ағсындай өтеді деп санауға болады. Біздің статистикалық ансамбльдің күйі уақыт бойынша бір dΩ1 фазалық кеңістіктен екінші dΩ2 фазалық кеңістікте ауысады деп санайық. Онда бірінші фазалық кеңістікте статистикалық жүйелердің саны dN1= ρ1dΩ2 тең болады, ал екіншіде dN2= ρ2dΩ2 болады. Енді қарастырып отырған статистикалық ансамбль шектелген болса, онда бір фазалық кеңістіктен екінші фазалық кеңістікке тең фазалық стаистикалық ансамбльдің сандары ауысу керек. Яғни dN1= dN2, сондықтан:
ρ1dΩ2=ρ2dΩ2 (5.14)
Сурет188 18 сусурет18 18
Осындай көзқарас статистикалық ансамбльдердің фазалық нүктелерінің бір фазалық көлемнен екінші фазалық кеңістікке құйылу процесстерін гидродинамикадағы сұйықтардың құйылу процесстермен бірдей деп санауға мүмкіншілік береді. Әрі қарай жалғастыру үшін, біз Эйлердің гидрдинамикадағы сұйықтардың ағынына арналған үздіксіз теңдеуімен танысуымыз керек. Ол үшін сұйықтың ағысында қабырғалары dx, dy ,dz тең паралелипипед белгілейік. (Сурет 18)
Аққан сұйық координаталар бағыты мен ағынынң X,Y,Z осьтеріне u,v,w сәйкес жылдамдықтарының проекциялары мен құйылады да, сол бағыт пен белгіленген паралелипипед көлемінен шығады деп санайық. Онда Х осі бағытымен dt уақытында құйылатын сұйықтың мөлшері тең болады:
ρudtdydz,
Мында ρ - сұйықтың тығыздығы, ол сұйықтың ағынының жылдамдығының Х осінің проекциясына, координаталарға және уаықытқа тәуелді. Белгіленген паралелипипед көлемінен Х осі бойынша екінші қырынан ағылғын сұйықтың мөлшері тең болады:
(ρu+ d(ρu)dxdx)dtdydz
Мында Х осі бағыты бойыншы сұйықтың тығыздығы ρ және жылдамдығы u өзгеріп отырады. Осыдан Х осі бағыты бойынша пайда болатын сұйықтың артығы тең:
- d(ρu)dxdx)dtdydz
Осылайша басқа Y, Z осьтердің бағыты бойынша сұйықтың ағысын алсақ, онда жалпы белгіленген көлемдегі сұйықтың ағысының айырмасы тең болады:
d(ρu)dx+ d(ρv)dy+ d(ρw)dz dxdydzdt (5.15)
Осы алынған сұйықтың ағысының айырмасы сол белгілінген көлемдегі сұйықтың мәнінің dt уақытындағы өсімшесіне тең:
dρdtdtdxdydz (5.16)
сондықтан (5.15) және (5.16) бір-біріне теңестірсек,онда:
dρdt +d(ρu)dx+ d(ρv)dy+ d(ρw)dz =0 (5.17)
Осы алынған өрнек гидродинамикадағы Эйлердің үздіксіз теңдеуі деп аталады.
Оны жүйелердің фазалық кеңістігіндегі қозғалысын қарастыруға пайдалануға болады. Ол үшін стаистикалық ансамбльдың Γ - кеңістігінде fN - өлшемді жылдамдықтың векторын белгілеу кререк. Оның проекцияляры q1',q2',... p1',p2', ... тең болады. Статистикалық анасамбльдың бір еркін дәрежесіне qk',pk' проекциялардың мәндері сәйкес келеді деп, Эйлердің үздіксіз теңдеуін пайдалануға болады онда :
dρdt +d(ρqk')dqk+ d(ρpk')dpk = 0 (5.18)
Егер барлық еркін дәреже санана алынғанды пайдалансақ, онда:
dρdt +kd(ρqk')dqk+ d(ρpk')dpk=0
Жақшадағы көбейтінділердің туындыларын алсақ, онда:
dρdt +kqk'dρdqk+ pk'dρdpk+ρkdqk')dqk+ dpk'dpk = 0 (5.19)
Ақырғы өрнектегі бірінші және екінші косындылар ρ функцияның толық туындысы боп табылады. Оны былай белгілеп жазуға болады:
DρDt= dρdt +kqk'dρdqk+ pk'dρdpk (5.20)
Cондықтан (5.19) былай алуға болады:
DρDt+ ρkdqk')dqk+ dpk'dpk=0 (5.21)
Қарастырылған жүйе шектелген болса, онда (5.21) екінші қосындысы нольге тең болады. Расында шектелген жүйелердің жалпыланған координаталары мен импульстері әрқашанда Гамильтон теңдеуіне бағыныды. Яғни жалпыланған координаталардың бір :еркін дәреже санына арналған проекцияларын алсақ, онда:
dpkdt= -dHdqk және dqkdt= dHdpk (5.22)
Егер (5.22) жалпыланған координаталр pk, qk бойынша меншік туынды алсақ, онда:
dpk'dpk= -d2Hdqkdpk; dqk'dqk= d2Hdqkdpk (5.23)
Осыдан (5.21) екінші қосындысы нольге тең болады, яғни:
kdqk')dqk+ dpk'dpk = 0 (5.24)
Сондықтан (5.21) өрнек мынандай түріне келеді:
DρDt = 0 (5.25)
Осы өрнектен қарастырылып отырған статистикалық ансамбльге қатнасты екі өте маңызды екі тұжырым белгілей аламыз.
Біріншіден, (5.23) өрнек гидродинамикада белгілі сұйықтың қысылмайтын шартына сәйкес келеді. Ол:
dudx+dvdy+dwdz=0 (5.26)
Эйлер теңдеуінен аланады, егер сұйықтың тығыздығы тұрақты болады деп саналса және сұйықтың тығыздығы координаталрға тәуелді болмау керек. Яғни (5.18) dρdt =0 болу керек. Сондықтан жоғарғы көрсетілгеннен мынандай шешім тағайындалады: фазалық кеңістіктегі Гамильтон теңдеуіне бағынытын фазалық нүктелердің немесе жүйелердің жиынтығы фазалық кеңістікте қысылмайтын сұйық боп саналады.
Екіншіден (5.25) өрнек фазалық кеңістіктегі өзгерістегі статистикалық ансамбльге қатнасты ρ функциясы тұрақты боп дәлелденді. Сондықтан белгіленген шешімдерге қатнасты:
ρ1= ρ2 (5.26)
Яғни одан:
dΩ2= dΩ2 (5.27)
Осы алынған ақырғы тұжырымды элентарлық фазалық көлемінің сақталу шарты деп белгілеуге болады. ( Дж. Гиббс бойынша)
Статистикалық ансамбльдың күйі фазалық кеңістігінде қарастырылса онда оның элементарлық фазалық көлемі әрқашан тұрақты болады, бірақ оның түрі өзгеру мүмкін. Бұл белгілінген шарт Лиувилл теоремасы деп аталады. Бұл тұжырым статистикалық механианың ең маңызды нәтижесі деп саналады.
Ақыры Лиувилл теоремасы тағы бір үлкен маңызды тұжырым алынады. Оны анықтау үшін ρ функцияның дербес туындысының нольге теңдігін міндетті түрде белгілейік:
dρdt =0 (5.28)
Онда (5.25) теңдеуінен:
kqk'dρdqk+ pk'dρdpk=0 (5.29)
Осы алынған теңдік статистикалық ансамбльдың фазалық нүктелерінің кеңістіктегі қозғалысын стационарлық түріне сәйкес деп белгілейді. Соны мен қоса ρ үлестірім тығыздық функциясы фазалық кеңістігінде өзгермейтін болады. Яғни статистикалық ансамбльдың фазалық фазалық нүктелерінің стационарлық қозғалысында үлестірім тығыздық функцияның мәні фазалық кеңістігінің көлемінде тұрақты боп табылады. Басқаша: статистикалық ансамбль өзінің термодинамикалық тепе-теңдік күйін сақтайды. Онда (5.28) шарт статистикалық жүйенің термодинамикалық тепе-теңдік күйін сақталатынын белгілейтін ең жалпы шарт боп табылды. Яғни термодинамкалық жүйе немесе статистикалық ансамбль өзінің тепе-теңдік күйін сақтаса, онда үлестірім тығыздық функциясы уақытқа тәелді емес текқана жалпылынған координаталар мен импульстерге тәуелді болады:
ρ= f(q1,q2,...p1,p2,...)
Егер термодинамикалық жүйе өзінің тепе-теңдік күйін сақтаса, онда сол жүйені сипаттайтын шамалардың мәндері тұрақты деп саналатын. Бірақ кез келген термодинамикалық жүйе өзінің тепе-теңдік күйін мүлде өзгерілмейтін, тұрақты түрінде сақтай алмайды. Термодинамикалық жүйенің тұрақты күйінен әрқашанда ауытқуы байкалады. Ондай термодинамикалық жүйелердің өзінің тепе-теңдік күйінін ауытқу-лары флуктуация құбылысы деп аталады. Ондай құбылыстар көптеген тәжірибе арқы-лы анықталған. Мысалы, газдардағы, сұйықтардағы және қатты денелердегі тығыздарының жергілікті өзгерістері жарықтың молекулырлық шашырауына себеп болады. Жарықтың өте үлке шашылуы сұйықтардың сындық нүктесінде байқалады.Бұл құбылыс сындық опалисценция деп аталады. Сындық опалисценция және соны мен қоса барлық флуктуация құбылыстары (ток тізбегіндегі э.қ.к. өзбеті мен өзгерістірі, броундық қозғалыс және т.б.) өте көп мезгіл түсініксіз деп саналған. Флуктауция құбылыстарын толық теоретикалық зерттеуін тек қана статистикалық қөзқарасы мүмкіншшілік берді.
Флуктуация құбылысыпайда болуы және оны сипаттайтын физикалық шамалардың орташа мәндерінен ауытқуы пайда болуының ықтималдығы көрсетіп табу флуктуация теориясының негізгі мақсаты боп табылады.
Енді флуктуация құбылысының математикалық сипптамасын анықтайық:
1) F(x) - физикалық шаманың лездік мәні
2) F - физикалық шаманың орташа мәні
3) F- F - физикалық шаманың орташа мәнінен ауытқуы, соны мен қоса (F- ¯F) =F- F =0
4) F- F2 - физикалық шаманың орташа мәнінен квадраттық ауыткуы
5) F- F2 - физикалық шаманың орташа мәнінен квадраттық ауытқұының орташа мәні
6) F- F2 - физикалық шаманың орташа мәнінен ауыткуының орташа квадраттық
ауыткуы. Бұл сиппатамалар флуктауцияқұбылысының қарапайым жағдайны сәйкес келеді.
Флуктуация құбылысын сипаттау үшін көбінесе орташа квадраттық ауыткудың абсолюттік мәнін пайдаланады.Оны физиктер флуктуация деп атайды. Ол қарапайым түрінде тең болды:
∆=+-F- F2 (9.3)
Соны мен қоса физикада флуктуация құбылыстарын сипаттайтын қатнасты флуктуа-ция деген физикалық шама еңгізілген:
δ =F- F2 F2 (9.4)
Тақырып: Микроканоникалық үлестірілу. Энтропия.
Кез-келген термодинамикалық жүйе сыртқы заттардан мүлде шектелген боп саналсын. Онда оның толық энергиясы барлық процестерде тұрақты боп саналады. Ондай мүлде шектелген термодинамикалық жүйеге сәйкес келетін каноникалық үлестірім микроканоникалық үлестірімі деп аталады. Онда термодинамикалық жүйенің энергиясы:
E=const (6.4)
тұрақты болғандықтын, фазалық кеңістікте жүйенің фазалық треакториясының
барлық нүктелері энергияның гипербетінде орналасады. Мұндай жүйелерінің күйле-рінің өзгерісі Лиувилл теоремасына бағынбауы мүмкін, бірақ сондада жұйенің көп бөлшектерден құралғандықтын микроканоникалық үлестірімінің шарттарын бұзбай оны келесі талаптарға бағынатын көлемдік үлестірімімен ауыстыруға болады.
Белгіленген жүйені өте жіңішке фазалық кеңістіктің көлемінде орналассын деп санайық. Фазалық кеңістіктің қалыңдығының ауытқуы өзінің тұрақты мәнінен өте аз деп белгілейік. Мұндай қабатты үлестірімге келесі шарттар орындалады деп санауға болады:
1) Егер E E0 онда үлестірім функциясының фазалық тығыздығы ρ =0
2) Егер E0=E= E0+ dE0 онда ρ !=0
3) Егер E E0+ dE0 онда ρ =0
Осы көрсетілген шектіктерден үлестірім фүнкцияның тығыздығы тек қана өте жіңішке
энергияның интервалында E0+ dE0 нольдік мәнәнен жоғары боп табылады, ал сол көрсетілген энерияның интервалының сыртында нольге тең. dE0 энергияның қалың-дығында жүйенің үлестірім функцияның тығыздығы тұрақты боп саналады. Онда мұндай жіңішке қабат боойыншы таралған жүйенің күйлеріне Лиувилл теоремасын пайдалануға болады. Жүйенің жіңішке қабатта таратылған күйлереінң саны тең болады:
N= E0E0+dE0ρ0dΩ = ρ0ΩE0 (6.5)
Бұл секірмелі жіңішке қабатты жүйенің күйінің энергиясының өзгерісіне (N,E) диаграммада өте созылған үздіксіз кисық сәкес келеді. Яғни микроканоникалық үлустірімді ∆E0--0 каноникалық үлустірімінің шегі деп санауға болады. Бірақ мұндай ұлестірім функцияның түрінің ерекшілігінен оны жиі пайдалануға өте қийын. Кей бір жағдайларда изотермалық жүйелердің үлістірім функциясы пайдланады.Сурет 19
Қарстырылған үлестірім функцияның қасиетіне бағынатын Дирак өзінің кванттық механикасында пайдаланған δ - функциясын еске алуымыз керек. Біздің жағдайда ол келесі түрінде белгіленеді:
CδEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0=w(q1,q2...p1,p2 ...) (6.6)
Мындағы С тұрақты шаманың мәнін нормалау шартынан анықтыуға болады. Осыдан белгіленген жүйенің күйің жіңішке фазалық кеңістігінде орналасатын ықтималдығы тең болады:
wq1,q2...p1,p2 ...dΩ=1.
немесе:
CδEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0 dΩ=1
Арқарай δ функцияның қасиетін еске алсақ:
δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0 =0 егер E E0, және E E0+ dE0
δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0=const eгер E0=E= E0+ dE0
онда:
C= 1Ω(E,a) (6.7)
Яғни: ΩE,a= δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0 dΩ (6.8)
Осы алынған (6.15) микроканоникалық үлестірім функциясы арқылы термодинамикалық жүйенің кез келген физикалық шамалардың фазалық оташа мәндерін шығаруға болады:
F=ΩFq1,q2...p1,p2 ...1Ω(E,a)δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0 dΩ (6.9)
Ендігі қойылытын мақсат Ω(E,a) шаманың физиқалық мағнасын анықтау. Ол үшін энергияның E0=E= E0+ dE0 интервалында Ω(E,a) интегралын шығарайық:
ΓE,a= E0E0+ dE0Ω(E,a)dE =
ΩE0E0+ dE0δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0dEdΩ (6.10)
Интегралдың ішіндегі шама δ функцияның қасиеті арқылы бірге немесе нольге теңб яғни:
ΓE,a= ΩdΩ (6.11)
Сондықтан ΓE,a мәні көрсетілген энергияның интервалындағы фазалық кеңістіктің
көлеміне тең. Осыдын Ω(E,a) физикалық мағнасы көрсетілген энергияның интервалындағы фазалық кеңістіктің көлемі боп табылады.
Каноникалық үлестірім функциясының параметлерінің қасиеттері мен танысып енді олар мен байланысты басқа термодинамикалық потенциалдардың қасиеттерін анықтауға болады. Солардың арсында әрқашанда зор маңызды боп энтропия функциясы табылады. (6.59) өрнектен:
S=E- ψT=E- ψθk (6.69)
Бұл өрнекті басқаша алуға болады:
S= -kΓψ-Eθeψ-EθdΩ (6.70)
Каноникалық үлестірім функциясы берілген түрі арқылы:
ψ-Eθ=lnχ (6.71)
Онда (6.71) өрнекті басқаша жазуға болады:
S= -kΓlnχ∙χdΩ (6.72)
Егер шаманың орташа мәнінің анықтамасын еске алсақ, онда:
S= -klnχ (6.73)
Осыдан термодинамикалық жүйенің энтропиясын үлестірім функциясының тығыз-дығының логарифм функциясының орташасына тең деп анықтадық. Яғни термо-днимикалық жүйенің энтропиясы ешқандай механикалық параметрлер арқылы табыл-майды, ол тек қана жүйенің статистикалық қасиетіне тәуелді боп анықталды. Кезкелген термодинамикалық жүйенің энтропиясын механикалық аспаптар арқылы өлшеуге болмайды деп тұжырымдауға болады. Энтропияның қасиеттерін толықтау анықтау үшін кванттық механика көзқарасын пайдалану керек.
Термодинамикалық жүйелердің үздікті күйлерін қарастыруға болады. (6.73) өрнек арқылы үздікті күйлердің ықтималдығын еске алсақ, ондай жүйенің энтропиясы тең болады:
S= -klnχ=-ki=1NWiknWi (6.74)
Мында N дегеніміз жүйенің барлық мүмкіншілік болатын күйлерінің саны, Wi - i деп
белгіленгін жүйенің ықтималдығы. Бұл жағдайда жүйенің барлық күйлерінің ықтималдықтары бір-біріне тең деп сануға болады. Онда нормалау шартын пайдала-нып жалғастыруға болады:
Wi=1N
яғни:
S=-ki=1N1Nln1N=klnN (6.75)
Осы алынған өрнек бойынша термодинамикалық жүйенің энтропиясы жүйеның бар-лық мүмкін болатын күйлерінің санына пропорционал боп табылды. Термодина-микалық жүйенің барлық мүмкін болатын күйлерінің санын WT термодинамикалық ықтималдығы деп белгілегінбіз. Егер N орнына WT қойсақ, онда:
S=klnWT (6.76)
Өсы алынған теңдеу белгілі Больцманның пікірі деп атлады. Больцман бойынша жүйенің энтропиясы термодинамикалық ықтималдығының логарифымына пропорционал.
Кванттық механиканың қөзқарасы бойынша термодинамикалық жүйенің бөлшек-терінің еркін дәрәже саны 3N тең болса, онда бір кванттық күйіне сәйкес келетін минималдық көлемі h3N (h-Планк тұрықтысы). Онда N жүйенің күйлерінің саныны сәкес келетін фазалық кеңістіктің көлемі ∆Γ=Nh3N. Фазалық көлемді N арқылы ақырғы өрнекке еңгізсек, онда кваннтық термодинамикалық жүйенің энтропиясы тең болады:
S=klnN=kln ∆Γ-3kNlnh (6.77)
Көбінесе кездесетін процесстерде энтропияның текқана өзгерісіне мән беріледі, сондықтан термодинамикалық жүйенің энтропиясын кез-келген тұрақтысына дейін
қарастырады, сондықтан энтропияны фазалық кеңістіктің көлемінің логарифына тең деп санауға болады:
S=kln ∆Γ (6.74)
Осылай белгіленген энтропия термодинамикалық жүйенің күй функциясы боп саналады және ол әддитивтік шартына бағынады.
Термодинамикалық жүйе бір қалпынан өз беті мен екінші қалпына келуі күйінің ықтымалдығы мен байланысты. Ол үшін екінші күй қалпының ықтималдығы жоғары болу керек, немесе екінші жүйенің күй қалпының саны неғұрым көбірек болу керек. Яғни жүйенің екінші күй қалпының термодинамикаллық ықтималдығы жоғары боп табылды. Онда оған неғұрым үлкен фазалық кіңістік сәйкес болу керек, яғни неғұрым үлкен жүйенің энтропиясы. Бірақ термодинамикалық жүйе өз бетімен тек қана тепетеңдік емес қалпынан тепе-теңдік қалпына көшеді. Яғни термодинамикалық жүйенің энтропиясы тепе-теңдік емес процесстерде тек қана ұлғаяды. Бұл тұжырым белгілі термодинамиканың екінші бастамасына сәйкес келеді. Термодинамиканың екінші бастамасы бойынша егер термодинамикалық жүйе тепе-тенңдік емес процесстерге қатнасса оның энтропиясы әрқашанда ұлғаяды.
Егер жүйе термодинамикалық тепе-теңдікте орналасса, онда:
Мұнда Т - абсолют температура немесе температура деп аталады және Т1 =Т2 (тепе-теңдік күйі). Т - статистикалық сипатта болады.
Тақырып: Термодинамикалық параметрлер. Термодинамика заңдары.
Термодинамика дегеніміз физикалық жүйелердің тепетеңдік күйлерін сақта-ғандағы жалпы физикалық қасиеттерін зертейтін теоретикалық физиканың бөлімі. Термодинамика екі бөлімнен құралады феноменологиылық және статистикалық термодинамикадан. Феноменологиялық термодинамикада өтіп жатқан жүйелердегі процесстерді қарастырғанда молекулалрдың ішкі құрамдары және молекулярлық процесстерінің механизмдары есептелмейді. Термодинамика мен статискалық физика материяның жылулық қозғалыстарын зерттейді. Сондай теоретикалық зерттеуде заттарда өтіп жатқан физикалық процесстерді анықтау үшін көп модельдік ұғымдар пайдаланды. Соның бірі термодинамикалық жүйе. Термодинамиқалық жүй көп материалдық нүктелердің қосындысы деп саналады. Материалдық нүктелер ылғи хаотикалық қозғалысқа қатнасадыда, бір- бірімен кинетикалық энергиямен, жылдам-дықпен, импульспен алмасады, бірақ олардың ішкі күй жағдайы өзгерілмейді.
Кез келген термодинамикалық жүйенің касиеттері масса,химикалық косын-дысылар мен және басқа параметрлер мен сыртқы материалдық заттардан жекешен-дірлетін ыдыстың қабырғалары, сыртқы өрістер мен сипатталады. Яғни, термодимами-калық жүйенің сыртқы немесе ішкі параметрлері болуы мүмкін. Егер де термадинами-калық жүйенің күйі, сыртқы денелердің өзгерістеріне байланыс параметрлер мен белгі-лесек, ондай параметр сыртқы бөп аталады. Ал ішкі параметрлер, егер сыртқы денелер-дің күйі өзгермейтін болғанда, әрқашанда белегіленген термодинамикалық жүйенің меншікті күй жағдайы мен байланысты.
Мысалдар
1. Газ гравитациалық өрісінде. Газдың күйі тек қана құйылған ыдыстың қабырға-ларынан, температурадан тәелді емес, сонымен қоса газдың күйі сыртқы параметлерге тәелді ауырлық қүштің өрісіне. Ауырлық күштің өрісі сыртқы параметр боп табылады.
2.Газ электр өрісінде. Электр өрісінің кернеуі сыртқы параметр. Электр өрісінің кернеуінің мәні жүйеге қатнасы жоқ зарядтар мен байланысты. Ал газдың электри-калық күйі поляризациясы ішкі параметр болып табылады: ол малекулалардағы зарядтардың орналасуына тәуелді.
Ал қандай параметрлер сыртқы, кайсыс ішкі болуы сол термадинамикалық жүйені сыртқы ортадан жіктелуіне байланысты. Айтылғанымыз мына сурететте (сурет №1,а) көрсетілген. Егер газ көлемі V өзгермейтін цилиндірде орналасса, онда газдың көлемі V сыртқы, ал оған сәйкес газдың қысымы P ішкі параметр боп саналады. Екіншіде, (сурет 1,б) газдың көлемі жылжымалы поршень арқылы өзгеретін болса онда қысым Р сыртқы; ал көлем V ішкі параметр болып саналады.
AA
а) б)
Сурет 1
Термодинамикалық параметрлер интенсивтік пен экстенсивтік түрінде болуы мүмкін.Интенсивтік параметрлер термодинами-ка лық жүйенің бөлшектері-нің саныныан тәуелсіз бөла-ды олар тек қана жұйенің жалпы жылулық өзгерісіне тәуелді. Оларға кысым Р, көлем V, химикалық потенциал u жатады. Ал экстенсивтік параметлер, немесе аддитивтік пара-метрлер, интесивтік параметрлер тұрақты болғанда термадинамикалық жүйелерді құ-растыратын материалдық бөлшектерінің жалпы саныны пропорционал болады. Мыса-лы жүйенің энергиясы Е, энтропия S және т. б. Егер термодинамикалық жүйені сыртқы денелермен немесе сыртқы термо-динамикалық жүйелермен байланысын қарастырсақ онда оларды екі түріне бөлуге болады:
1. Адиабаталы жіктелген термодинамикалық жүйелер. Адиабаталы жіктелген термадинамикалық жүйенің энергиясы Е( сыртқы парметрлер a тұрақты болғанда) ешқашанда өзгеррілмейтін болады. Бірақ сыртқы денелердің күй жағдайлары өзгеріле беруі мүмкін
2. Сыртқы жүйелермен жылулық байланысқа қатнасатын термодинамикалық жүйе.
Ондай термодинамикалық жүйе сыртқы денелерден немесе жүйелерден атермалдық кабырғалармен жіктеледі. Ондай термодинамикалық жүйенің энергиясы сыртқы денелердің молекулалары мен соқтығысқанда өзгерілуі мүмкін.
Енді біз термодинамиканың негізгі жалпыланған аксиомаларын қарастырайық.
1.Термодинамикалық жүйенің тұрақты қүйі сақталу пастулаты. Кез келеген термодинамикалық жүйе өзгерілмейтін сыртқы параметрлермен жіктелсе, әрқашан өзінің тепе теңдік күйін өзгерілмейтін түрінде сақтайды, жәнеде сол қалпынан өз бетімен шыға алмайды.
1.Аддитивтік пастулаты.Осы пастулат бойынша термодинамикалық жүйенің жалпы энергиясы сол жүйенің (бөлшектерінің) энергияларының қосындысына тең боп саналады.
3.Температура болуы пастулаты. Осы пастулат бойынша температура арқы-лы термодинамикалық жүйелердің күйлерінің бір біріне тепе-теңдік қалпы белгіленеді. Бұл пастулат басқадай термодинамиканың нольдік бастамасы деп аталады. Осы пастулат бойынша екі термодинамикалық жүйені бірін біріне қосқанда олар тек қана температурасы бірдей тепе-теңдік күйін сақтайтын жаңа термодинамикалық жүйені құрастырады. Осы пастулат бойынша температура барлық термодинамикалық жүйелердің тепе-теңдік күйін белгілейтін жалпыланған интенсивтік параметр түрінде тағайындалады. Әрқашанда тепе-теңдік күйін сақтайтын термодинамикалық жүйенің ішкі парметрлері сыртқы парметрлермен температураның функциясы боп саналады.
4.Энергияның сақталу заңы. Бұл заң заттың барлық макроскопиялық өзгеріс-теріне таратылады. Осы заң бойынша термодинамикалық жүйенің энергиясы кездесетін процесстерде өзгерілмейтін боп саналады. Осы заң бойынша жылулық мөлшері деген ұғым еңгізіледі. Ол бір денеден екінші денеге таратылатын энергия боп саналады. Жылулықты мөлшері басқа денелерге текқана жылулық қатысу арқылы таратылады. Егер dE жүйенің энергиясының өзгерісі болса, ал dW= kAkda (akжәне Ak жалпыланған координаттармен күштер ) сыртқы денелердің жасаған елементарлық жұмысы болса, ал dQ сыртқы денелерден термодинамикалық жүйеге берілген жылу мөлшері болса, онда энергия сақталу заңы бойынша:
dQ = dE +dW (1.1)
Бұл заң термодинамиланың бірінші бастамасы деп аталады.
5. Термодинамиканың екінші бастамасы. Термодинамиканың екінші заңның ғылыми зерттегіштер бірнеше түрінде дәлелдеп кеткен. Неміс физигі Клаузиус бойынша жылулық мөлшері, яғни жылулық энергия, өз бетімен температурасы неғұрым төмен денеден температурасы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
СемЕЙ қаласының ШӘКӘРІМ атындағы МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
3 деңгейлі СМК құжаты
ПОӘК
ПОӘК 042-18-38.1.64
03-2014
ПОӘК
Статистикалық физика және физикалық кинетика негіздері пәнінің оқу-әдістемелік материалдары
№2 басылым
25.06.2014ж.
ПӘННІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ
Статистикалық физика және физикалық кинетика негіздері
5В011000 - Физика мамандығы үшін
ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАРЫ
Семей
2014
Мазмұны
1
Глоссарий
3
2
Дәрістер
5
3
Практикалық сабақтар
73
4
Студенттердің өздік жұмыстары
81
1 ГЛОССАРИЙ
азғындалған газ - температурасы азғындау температурасынан төмен болган жағдайдағы кванттық газ
бозе-газ - спиндері нөлге немесе бүтін санға тең. Бозе - Эйнштейн статистикасына бағынатын бөлшектерден тұратын кванттық газ
бозе-эйнштейн статистикасы - бозондардан тұратын жүйеге қолданылатын кванттық статистика
бозе-эйнштейн конденсациясы - азғындау температурасынан төмен температурада көптеген бозондар ең төмен энергияға ие болатын күйді толтыратын құбылыс. Кез келен басқа күйде бозондар саны аз болады
бозе-эйнштейн үлестірілуі - өзара әрекеттеспейтін энергиясы болатын күйде орналасатын бозондар санының орташа мәні
,
мұндағы - химиялық потенциал, k - Больцман тұрақтысы
бозон - нөлдік немесе бүтін спинге ие болатын бөлшек немесе квазибөлшек. Бозон Бозе-Эйнштейн статистикасына бағынады
Больцман статистикасы - классикалық механика заңдары бойынша қозғалатын, көп өзара әрекеттеспейтін бөлшектердің физикалық қасиеттерін статистикалық түрде сипаттау
борндық жуықтау - микробөлшектердің шашырау теориясындағы, бөлшектердің шашырау амплитудасын бірінші жуықтауда есептеу әдісі
Больцман үлестірілуі - идеал газ бөлшектерінің р импульстер және координаталар бойынша тепе-тең үлестірілу функциясы
Больцманның кинетикалық теңдеуі - молекулалар өзара соқтығысуы нәтижесінде пайда болатын тепе-теңдікті сипаттайды
идеал газ - бөлшектредің өзара әрекеттесуі есептке алынбайтын газдың теориялық моделі
Гиббстің каноникалық үлестірілуі - ортамен жылулық тепе-теңдікте орналасқан және көлемі мен бөлшектер саны тұрақты жүйелердің статистикалық ансамблі күйлерінің ықттмалдықтарының үлестірілуі
кванттық статистика - көп бөлшектерден тұратын кванттық жүйелердің статистикалық физикасы
кинетикалық теңдеу - тепе-тең емес процестерді сипаттайды, ол үлестірілу функциясына арналған интегродифференциалды теңдеу
нақты газ - қасиеттері молекулалардан өзара әрекеттесуіне тәуелді газ
тепе-тең емес процестер - термодинамика және статфизикадағы тепе-тең емес күйлерді қамтитын физикалық процестер
тепе-тең емес күйлер - термодинамикадағы термодинамикалық тепе-теңдіктен, статфизикадағы статистикалық тепе-теңдіктен шығарылған жүйенің күйі
тасымалдау құбылысы - қайтымсыз процестер, олардың нәтижесінде физикалық жүйеде электр заряды, масса, импульс, энергия, энтропия және т.б. физикалық шамалар кеңістікте тасымалданады
тепе-тең күйлер - үлкен уақыт аралығында тұйықталған жүйенің тепе-тең күйге көшкен күйі. Бұл уақыт релаксация уақыты деп аталады
термодинамиканың бірінші бастамасы - жылулық құбылыстарға арналған энергияның сақталу заңы
Резерфорд формуласы - Кулон заңымен әрекеттесетін, релятивистік емес зарядталған нүктелік бөлшектердің шашырау қимасын анықтайды
релаксация - макроскопиялық физикалық жүйелерде тепе-теңдіктің пайда болу процесі
статистикалық салмақ - кванттық статистикадағы берілген энергияны кванттық күйлердің әр түрлі сандары. Статистикалық саламақ күй азғындауының еселігі деп те атайды
статистикалық механика - макроскопиялық денелердің қасиеттерін өте көптеген бөлшектерден (молекулалардан, атомдардан, электрондардан) тұратын жүйелер ретінде қарастыратын физиканың бөлімі. Статистикалық физикада ықтималдықтар теориясына негізделген статистикалық әдістер қолданылады
статистикалық қосынды - Z шама, ол , мұнда - n кванттық күйдегі энергия үлестірілу функциясы - ол
статистикалық физика - макроскопиялық денелердің қасиеттерін өте көптеген бөлшектерден (молекулалардан, атомдардан, электрондардан) тұратын жүйелер ретінде қарастыратын физиканың бөлімі. Статистикалық физикада ықтималдықтар теориясына негізделген статистикалық әдістер қолданылады
статистикалық ансамбль - дегеніміз бір-біріне тең емес күйлерде орналасқан көп нақты жүйелердің қосындысы деп атауға болады
статистикалық термодинамика - физикалық жүйелердің тепетеңдік күйлерін сақта-ғандағы жалпы физикалық қасиеттерін зертейтін теоретикалық физиканың бөлімі. Термодинамика екі бөлімнен құралады феноменологиылық және статистикалық термодинамикадан. Феноменологиялық термодинамикада өтіп жатқан жүйелердегі процесстерді қарастырғанда молекулалрдың ішкі құрамдары және молекулярлық процесстерінің механизмдары есептелмейді. Термодинамика мен статискалық физика материяның жылулық қозғалыстарын зерттейді. Сондай теоретикалық зерттеуде заттарда өтіп жатқан физикалық процесстерді анықтау үшін көп модельдік ұғымдар пайдаланды
термодинамика - жылулық қозғалыстың заңдылықтарын және оның заттың физикалық қасиеттеріне тигізетін ықпалын энергетикалық тұрғыдан қарастыратын ғылым
термостат - тұрақты температураны ұстайтын прибор
термодинамиканың екінші бастамасы - өздігінен температурасы төмен денеден температурасы жоғары денеге жылудың ауыса алмауы
термодинамикалық жүйе - көп материалдық нүктелердің қосындысы деп саналады. Материалдық нүктелер ылғи хаотикалық қозғалысқа қатнасадыда, бір- бірімен кинетикалық энергиямен, жылдам-дықпен, импульспен алмасады, бірақ олардың ішкі күй жағдайы өзгерілмейді
термодинамиканың үшінші бастамасы - абсолют нөлге ұмтылғанда тепе-тең күйде дененің энтропиясының нөлге ұмтылуы
ферми-газ - жартылай бүтін санды спинге ие болатын бөлшектреден тұратын кванттық газ. Ферми-газ ретінде металдағы электрондық газды алуға болдаы
ферми-деңгей - Ферми энергиясына сәйкес, фермиондар жүйесінің кейбір шартты энрегия деңгейі
ферми-энергиясы - абсолют нөл температурада, өзінен төмен орналасқан барлық деңгейлер фермиондармен толтырылатын энергияның мәні
Ферми-Дирак үлестірілуі - өзара әрекеттестігін есепке алмауға болатын теңбе-тең фермиондардың энергетикалық деңгейлер бойынша үлестірілуін сипаттайтын өрнек. Бұл күйге сәйкес келетін осындай бөлшектердің орта саны Ферми-Дирак үлестірілуімен анықталады:
фермион - жартылай бүтін спинге ие болатын бөлшек немесе квазибөлшек. Фермиондарға электрон, протон, нейтрон, кварктар және т.б. жатады
флуктуация - көп бөлшектерден тұратын жүйені сипаттайтын физикалық шамалардың орта мәндерінен кездейсоқ ауытқулары
Ферми-Дирак статистикасы - теңбе-тең фермиондар жүйелеріне арналған кванттық статистика
ферми беті - квазиимпульстер кеңістігінде өткізгіштік электрондары бар облысты, Т=0К температурада электрондары жоқ облыстан бөлетін изоэнергетикалық бет. Мұндағы - Ферми энергиясы
I ретті фазалық ауысу - ауысу жылуы бөлінетін және көлем секірмелі түрде өзгеретін ауысу
II ретті фазалық ауысу - бұл жағдайда ауысу жылуы болмайды және көлем секірмелі түрде өзгермейді
үлестірілу функциясы - ол - нормалау шартын қанағаттандырады:
үлкен каноникалық үлестірілу - мұнда - химиялық потенциал, - бөлшектер саны, - нормалау шартынан табылады
физика - материяның жалпы формалары және өзара түрленуі туралы ғылым, ол дәл ғылымдарға жатады және айналамыздағы процестермен құбылыстардың сандық заңдылықтарын зерттейді
физикалық заңдар - табиғатта болатын тұрақты қайталанатын объективті заңдылықтар
2. ДӘРІСТІҢ ҚЫСҚАША КОНСПЕКТІЛЕРІ
Кіріспе
Статискалық физиканы термодинамика мен салыстырғанда айтылғанымыз материяның жылулық қозғалысының модельдік немесе атомдык теориясы деп саналады. Статистиқалық теорияның негізіне заттың динамикалық моделін пайдаланып, сол моделдің микроскопиялық күйлерінің априорлық ыктималдығын болжайды. Әрі қарай белгілленген теория динамикалық микрожүйенің статискалық теориясы боп белгіленеді, яғни оның карастыратыны динамикалық шамалар мен микрокүйлер емес, тек қана олардың ыктималдығы және орташа мәндері.
Статистакалық физика екі үлкен бөлімдерден құралады: жүйелердің тепе-теңдік күйінің теориясы және тепе-теңдік емес процестердің теориясы. Бірінші жағдайда, термодинамикалық жүйелердің тепетеңдік күйін карастырғанда, статистиқалық физиканың пайдаланатын ықтималдыктар және арташа шамалар уақытқа тәуелсіз болады, ал екінші жағдайда ықтималдық және орташа шамалардың мәндері уақытқа тәуелді болады. Тағыда статистиқалық физиканың басқа екі бөлімін қарастыруға болады. Ол - классикалық және кванттық статистикалық физика.
Классикалық статистикалық физикада термодинамикалық жүйені кұрастыратын атомдар мен молекулалар тек қана механиқалық касиеттерге ие болдыда, яғни тек қана механикалық заңдарына бағынады деп саналады. Бұл жағдайда заттың классикалық мөделі құрастырладыда, соның статистикалық каситеттерін зерттейтін теория классикалық статистика деп аталады. Егерде термодинамикалық жүйені кұрастыратын бөлшектер кванттық касиеттерге ие болса, онда сол жүйенің статистикалық касиет-тернін қарастыратын теория кванттық статистика деп саналады. Термодинамикалық жүйлерде тепетеңдік емес процесстерін зерттеу үшін кинетикалық теорияны пайдаланады. Оларды классикалық немесе кванттық кинетика деп атайды.
Сондықтан, айтылғаннан қортындыны алсақ, статистиқалық физика төрт бөлімнен құралады:
1. классикалық статистика
2. классикалық кинетика
3. кванттық статистика
4. кванттық кинетика
Жалпылай, cтатискалық физиканың негізі американ физигі ДЖ. Гиббстің әдістемесіне орналасқан.
Тақырып: Физикадағы 2 әдіс. Лиувилл теоремасы. Статистикалық ансамбль, үлестірілу функциясы.
Көп бөлшектерден құралатын заттардың қасиеттерін зерттеуеге механикалық көзқарас пайдаланды. 18 ғасырда механика ғылыми түрінде ең жоғары деңгейіне жетті. Жалпы, барлық табиғатта өтетін құбылыстарды, бір біріне себепті салдары байланыс арқылы қарастырылды. Ондай көзқарас механикалық детерменизм деп аталды. Механикалық детерменизм бойынша барлық табиғатта өтетін құбылыстар бір- біріне себепті салдар боп саналды. Барлық Ньтонның механикасы механикалық детерменизм тұжырымынан құралада. Табиғатта кездесетін құбылыстардың себепті пікірліктен шыққан қатаң бірізділігі олардың әрқашан міндетті орындалатынын тағдырын белгілейді. Бұл жағдайларда кездейсоқ құбылыстар кездеспейтін боп саналады.Механикалық детерменизмның философтарына құбылыс әрқашанда салдар мен себептің қосындысы боп саналады. Әрине механикалаық детерменизм принципы біріншіден физикалық жүйенің күйін зерртеуге пайдаланды. Егер макроскопиялық көзқарасты алсақ, онда бір белгіленген физикалық жүйенің күйі анықталған болып шығда, егер сол жүйені құрайтын бөлшектердің мекен жайлары мен және олардың қозғалыстары белгілі болса, механикалық заңдары арқылы бөлшектердің, яғни физикалық жүйенің, болашақ жағдайларын анықтауға болады.
Онда детерменизм принцип бойынша физикалық жүйенің қазырғы қүйін біле тұрып, физикалық жүйенің күйлерінің уақыт бойынша өзгерісін анықтауға болады. Осы келтірілген детермениз принципы физикалық жүйенің күйін зерттеуге пайдаланатын нақты механикалық әдіс бөп саналады. Көп болшектерден құралатын физикалық жүйенің күйін механикалық қөзқарас арқылы шешілмейтін тұжырым мұндай қойылған мақсатты басқаша қарастыруға жол салады. Ондай, басқаша көзқарас ─ статистикалық тәсілі деп аталады. Осы жаңа белгіленген статистикалық тәсіл біріншіден көп бөлшектерден құралатын физикалық жүйенің өзінің меншікті статистикалық қасиеттері мен байланысты деп білу керек.
Сондықтан, физикалық көп бөлшектерден құралатын жүйлердің өзгешілік қаситеттерін анықтауға жәңа тәсілдерді қолдану керек. Ендігі қойылытын мақсат статистикалық тәсілдерді көп бөлщектерден құралатын физикалық жүйелердің қасиеттерін және оларда өтетін құбылыстарды зерттеуге пайдалану.
Мехниқалық заңдары бойынша кез келген жүйелердің физикалық қасиеттерін микроскопиялық түрінде анықтау үшін өте көп параметрлерінің мәндері белгілі болу керек екенін мен таныстық. Бірақ термодинамикалық тұжырымдыры бойынша физикалық жүйелердің(мыслы газдарды, сұйқтарды немесе сәулелену құбылыстары және т.б.) қасиеттерін макроскопиялық зерттеуге шектелген параметрлердің мәндерін білу керек. Егер белгіленген физикалық жүйе тепе-теңдік күйін сақтаса, онда олардың қасиеттерерін зерттеуге көбірек оңайлыққа түседі деп санауға болады. Мұндай жағдайда термодинамикалық жүйелердің физикалық жағдайлары қарапайымдай болады да, соны мен қоса оларға сәкес жүйенің параметрлері уақытқа тәуелді болмайды. Расында, егер бір моль газ тепе теңдік күйде болса, онда оның көлемі V, қысымы P және температурасы T оның толық күйін белегілейді. Егер белегіленген физикалық жүйе бұдан да бір аз күрделі болса да бәрі бір оның тепе-теңдік күйінде касиеттерін анықтауға онша көп парметрлердің мәндерін табуға қажетті емес.Көбінесе физикалық жүйелердің қаситтерін зерттегенде олардың макропара-метрлерінің мәндері өзгерілмейді деп саналады, яғни олар өздерінің тепе-теңдік күйін сақтайды. Мұндай жағдайда жүйенің қысымы, көлемі және температрурасы тұрақты болады да, ол термостатта орналсқан боп саналады
Тұрақты температурада және қысымда орналасқан газдың кез-келген тепе-теңдік күйіне өте көп молекулалрдың қозғалысы және мекен жайы сәйкес келеді. Расында, газ өз тепе-теңдік жағдайын сақтасада молекулалары тоқтамайтын хаотикалық, жылыулық (броундық) қозғалысқа қатынасып жатады. Өзара газ молекулалары бір-бірімен әрқашанда кинетикалық энергия, импульстер мен алмасып жатады. Сондықтан, физикалық жүйенің бір күйіне макроскопиялық көзқарасында өте көп (мыңдаған) микроскопиялық күйлері сәйкес келеді. Яғни микроскопиялық күйлері тоқтамайтын өзгерісте болады да, ал термодинамикалық жүйенің макроскопиялық күйі тұрақты боп саналады.
Басқаша, тепе-теңдік физикалық күйін сақтайтын термодинамикалық жүйенің макроскопиялық параметрлері микроскопиялық параметрлерінің функциясы боп саналады. Мысалы, газдың қысымы макроскопиялық параметр түрінде молекулалрдың құйылған ыдыстың қабырғасына микроскпиялық соқтығыстарының қосындысына тәуелді (микроскопиялық параметрлеріне).
Осыдан статистикалық ансамбль дегеніміз бір-біріне тең емес күйлерде орналасқан көп нақты жүйелердің қосындысы деп атауға болады.
Олар жүйенің бір күйіне сәйкес боп саналады. Бірақ бір-біріне тең емес жүйенің макрокүйлерінің сандары бір біріне тең емес микрокүйлер арқылы анықталады. Сонда қандай макрокүйлерге сәкес келетін микрокүйлердің саны жоғары болса, соншама сол микрокүйдің жағдайы орнықты болады. Осы белгіленген түсініктілер арқылы жүйенің термодинамикалық ықтималдығы деген ұғымы еңгізіледі.
Кез-келген жүйенің күйінің термодинамикалық ықтималдығы дегеніміз сол жүйенің күйіне сәйкес келетін микроскопиялық күйлерінің саны боп саналады. Сондықтан жүйенің термодинамикалық ықтималдығы дегеніміз сол жүйенің күйін белгілейтін микроскопиялық күйлерінің саны арқылы анықталатын болады. Осы анықтамадан жүйенің термодинамикалық ықтималдығының мәні әрқашанда бірден көп деп белгілеуге болады.
Белгіленген термодинамикалық ықтималдық ұғымы және математикалық статистиқалық заңдары көп бөлшектерден құралатын жүйелердің қасиеттерін зерттеуге статистиқалық физикада пайдаланады.
Ендігі қойылытан мақсат өткенде ең біріңші американ физигі Дж. Гиббс орнаған статистиқалық физиканың жалпы әдісіменен танысамыз.
Егер қарстырылатын термодинамикалық жүйе N материалдық нүктелерден құралатын болса, онда ол жүйеге арналған (5.2) Гамильтон өрнектерін шығарсақ десек, онда олардың шешімін 6N бірінші интеграл түрінде келтіруге болады:
p1c1,c2,...,c6N,t=0p2c1,c2,...,c6N, t=0 ... ... ... ... ... ... ... ... .p3Nc1,c2,...,c6N,t=0q1c1,c2,...,c6 N,t=0 ... ... ... ... ... ... ... .. ... .q3N(c1,c2,...,c6N,t)=0 (5.3)
Алынған 6N теңдеулер жүйенің фазалық кеңістігінде қозғалыс теңдеуі деп санауға ыңғайлы. Фазалық кеңістік деп 6N көпөлшемді жалпыланған координаталар мен импульстердің арқылы ойда елестетін кеңістік белгіленеді.
Статистикалық физикада фазалық кеңістіктің екі түрін қарастырады. Бірінші μ - кеңістік және екіншісі Γ - кеңістік. μ - кеңістік ол бір бөлшекке қатанасты фазалық қеңістік боп саналады. Бір бөлшектің еркін дәреже саны 3 тең болса, онда фазалық μ-кеңістікке 6 өлшемді кеңістік сәйкес келеді (3 жалпылыған координаталарды және 3 жалпыланған импульстерді есептегенде). Екіншісі Γ - кеңістік деп аталатын фазалық кеңістіктің, көп болшектерден құралатын физикалық жүйелерге еңгізледі. Осыдан, әрқашанда μ - кеңістік Γ - кеңістіктіктің бір бөлшекке арналған қарапайым түрі деп санауға болады.
Кез келген физикалық жүйенің микрокүйі(фазасы) ондай 6N көпөлшемді кеңістікте бір нүкте мен бейнеленеді. Онда барлық қеңістіктің көлемін жүйенің микрокүйлері толтырады да сондықтан ол фазалық қеңістік деп аталады. Егер карастырылатын жүйе байланысқан болса немесе бөлшектерінің ішкі еркін дәрежелік саны 3N емес f тең болса, онда жүйенің фазалық кеңістігі 2f -өлшемді болады. Яғни кез-келген термодинамикалық жүйеге меншікті қаситеттеріне сәйкес фазалық кеңістікті белгілеуге болады.
Нақты физикалық жұйе бір белгіленген уақытта бір күйінде болу керек. Ол күйі әрқашанда фазалық кеңістігінде белгілі нүктемен бейленеледі. Бірақ физикалық жүйені құрайтын бөлшектер тоқталмайтын қозғалысқа қатнасады, яғни жүйенің күйі ылғи өзгеріп отырады. Термодинамикалық жүйенің күйінің өзгерісі фазалық кеңістікте кей бір сызық пен белгіленеді ол фазалық траектория деп аталады. Алдында көрсетілген (5.3) 6N теңдеулер фазалық траекторяның параметрлік теңдеулері боп саналады.
Енді физикалық жүйенің фазалық траекториясынң қаситтерін анықтауға болады. Жүйенің кез-келген траекториясы фазалық қеңістікте 6N бастапқы шарттарымен анықталады (бір бастапқы нүкте мен), яғни жүйенің бөлшектерінің берілген бастапқы уақыт t = 0 болғанда 3N жалпыланған координаттардың мәндері мен және 3N жалпыланған импульстердің мәндері мен. Фазалық кеңістікте жүйенің траекториялары тұйық болсада, бір бірі мен ешқашанда қиылыспайды. Басқаша айтқанда фазалық кеңістіктің әр нүктесінен тек қана бір фазалық траектория өтеді. Бұл тұжырым механиқалық жүйеге арналған (5.2) теңдеулердің шешімдері бірдей бастапқы шарттарда бірмәнділік болу тиісті қасиеттерінен алынады.
Егер шектелген термодинамикалық жүйені қарастырсақ, онда оның толық энергиясы тұрақты болу керек, яғни:
E=Eq1,q2,...p1,p2,...= const (5.4)
Осы алынған өрнек жүйенің барлық параметрлерін бір-бірімен байланыстырады оны басқаша энергияның жүйенің фазалық кеңістегіндегі гипербет теңдеуі боп саналады. Оны жайында фазалық кеністіктегі энергияның беті деп атауға болады. Шектелген жүйенің қандай өзгерістері боласада оның фазалық траекторяисының барлық нүктелері жүйенің энергиясының гипербетінде орналасады. Бірақ жалпы түрінде бір ғана жүйенің өзгерісін зертемейді, соны мен қоса көп жүйелердің (ансамбілдердің) қосындысын қарастыру керек болады. Бұл жағдайларда ондай күрделі жүйе (ансамбль) фазалық көлемінде таралатылған боп саналады. Ондай күрделі фазалық көлем 2fN өлшемді болады. Зерттеуге ыңғайлы болу үшін элементарлық фазалық көлем деген ұғымын пайдаланады. Элементарлық фазалық көлем дегеніміз:
dΩ=dq1,dq2,...,dq3N,dp1,dp2, ...,dp3N (5.5)
Егер элементарлық фазалық көлемді барлық фазалық кеңістігіндегі қосындысын алсақ, онда шектелген жүйенің толық фазалық көлемі мынандай интегрлаға тең болады:
Ω=...dq1,dq2,...dp1,dp2... (5.6)
Мында фазалық кеңістіктің көлемі жалпыланған кооринаталар мен импульстерге тәуелді. Соны мен қоса ол жүйенің толық энергиясына тәуелді боп саналады. Әрине мұндай тұжырым жүйенің энегргиясының жалпыланған импульстерге және координаталарға тәелділіктен алынады. Яғни E=Eq1,q2,...p1,p2,..., сондықтан:
Ω=Ω(E) (5.7)
Егер энергияның E, E +dE интервалындағы өзгерісін алсақ, онда сол микроинтервалға сәйкес келетін фазалық кеңістіктіктің элементарлық көлемінің мөлшері тең болады:
dΩ= dΩdEdE (5.8)
Ендігі қойылытын мақсат статистикалық әдісті көп бөлшектерден құралатын термодинамикада танысқан ұғымдар арқылы жүйелердің қасиеттерін зерттеуге пайдалану.
Алдына Гиббс әдісін көп бөлшектерден құрлатын термодинамикалық жұйелердің қасиеттерін анықтауға пайдаланады деп белгіледік.
Біріншіден, физикалық жүйенің күйін фазалық қеңістік арқылы қарастырылса онда барлық жүйенің микрокүйлерінің геометриялық көрінісі қосындысы жүйенің толық макрокүйін белгілейді. Соны мен қоса көп фазалық нүктелердің қосындысын бір термодинамиқалық күйде орналасқан көп нақты жүйелердің қосындысы деп санауға болады. Онда көп физикалық жүйелердің, бір белгілеген күйіне сәйкес жиынтығын, статистикалық немесе фазалық ансамбль деп аталады. Яғни бір белгіленген фазалық ансамбльге жүйенің фазалық кеңістігінде белгіленген фазалаық нүктелердің тобы сәйкес келу керек. Егер, кез-келген фазалық кеңістігінің нүктесіне (жүйенің микрокүйіне) ықтималдық үлестірім функциясы арқылы сәйкес келетін ықтималдықты тағайындасақ, онда фазалық ансамбль ұғымы (елесі) арқылы термодинамикалық жүйенің күйінің термодинамикалық ықтымалдығын анықтауға болады. Басқаша айтқанда физикалық жүйенің фазалық кеңістігі және фазалық ансамбль ұғымдары математикалық ститстикалық заңдарын пайдалануға жол салады.
Стаистикалық ансамбльді құрайтын жұйелер кез-келегн түрінде фазалық кеңістігінде таралуы мүмкін. Жалпы тұрінде ол өзіне сәйкес фазалық кеңістігін көлем бойынша орналасады. Онда бір белгіленген dΩ элементарлық фазалық көлемінде орналасқан стаистикалық жүйенің саны dN сол көлемнің мәніне тура пропорционал болады:
dN=f(q1,q2,...p1,p2,...)dΩ (5.11)
Ақырғы теңдеуде орналасқан f(q1,q2,...p1,p2,...) функция жүйенің үлестірім функциясы Оны ρ= f(q1,q2,...p1,p2,...) деп белгілесек, онда элементарлық фазалық көлеміндегі жүйелердің саны:
dN=ρdΩ (5.12)
Мындағы үлестірім тығыздық функциясы ρ= f(q1,q2,...p1,p2,...) бірлік элементар-лық фазалық көлемінде орналасақан жүйелердің санын анықтайды.
Ал енді кез-келген жүйенің элементарлық фазалық көлеміне орналасуының ықтималдығын алсақ, онда
dw=dNN=ρNdΩ= χdΩ (5.12)
Осында χ= ρN дегеніміз ықтималдықтың тығыздық функциясы. Егер нормалау шартын пайдалансақ, онда:
dw= χdΩ= 1 (5.13)
Енді мынандай тұжырым бекітуге болады. Кез келген фазалық ансабільдің әр нүктесіне (күйіне) үлестірім функциясы тәуелді болады деп белгілінеді (немесе ықтималдық). Осыдан термодинамикалық жүйенің күйін dw ықтималдық пен және үлестірім функциясының χ тығыздығы мен сипаттауға болады.Яғни термодинами-калық жүйені фазалық қеңістігінде бір анықталмайтын нүктемен сиппаталмайды, соны мен қоса оның күйін белгілейтін ықтималдық және үлестірім функцияся тағайындалды.
Шектелген термодинамикалық физикалық жүйенің бөлшектерінің қозғалысы Гамильтон теңдеуіне бағынады. Физикалық жүйенің күйі өзгерседе бірақ фазалық кеңістіктің бір-біріне тең қөлемінде бөлшектердің саны бірдей болады. Ендігі мақсат осы теорема Лиувилля деп аталатын заң мен танысу.
Біріншіден көлем бойынша таратылған статистикалық ансамблдің - кеңістіктегі қозғалысы сұйықтың ағсындай өтеді деп санауға болады. Біздің статистикалық ансамбльдің күйі уақыт бойынша бір dΩ1 фазалық кеңістіктен екінші dΩ2 фазалық кеңістікте ауысады деп санайық. Онда бірінші фазалық кеңістікте статистикалық жүйелердің саны dN1= ρ1dΩ2 тең болады, ал екіншіде dN2= ρ2dΩ2 болады. Енді қарастырып отырған статистикалық ансамбль шектелген болса, онда бір фазалық кеңістіктен екінші фазалық кеңістікке тең фазалық стаистикалық ансамбльдің сандары ауысу керек. Яғни dN1= dN2, сондықтан:
ρ1dΩ2=ρ2dΩ2 (5.14)
Сурет188 18 сусурет18 18
Осындай көзқарас статистикалық ансамбльдердің фазалық нүктелерінің бір фазалық көлемнен екінші фазалық кеңістікке құйылу процесстерін гидродинамикадағы сұйықтардың құйылу процесстермен бірдей деп санауға мүмкіншілік береді. Әрі қарай жалғастыру үшін, біз Эйлердің гидрдинамикадағы сұйықтардың ағынына арналған үздіксіз теңдеуімен танысуымыз керек. Ол үшін сұйықтың ағысында қабырғалары dx, dy ,dz тең паралелипипед белгілейік. (Сурет 18)
Аққан сұйық координаталар бағыты мен ағынынң X,Y,Z осьтеріне u,v,w сәйкес жылдамдықтарының проекциялары мен құйылады да, сол бағыт пен белгіленген паралелипипед көлемінен шығады деп санайық. Онда Х осі бағытымен dt уақытында құйылатын сұйықтың мөлшері тең болады:
ρudtdydz,
Мында ρ - сұйықтың тығыздығы, ол сұйықтың ағынының жылдамдығының Х осінің проекциясына, координаталарға және уаықытқа тәуелді. Белгіленген паралелипипед көлемінен Х осі бойынша екінші қырынан ағылғын сұйықтың мөлшері тең болады:
(ρu+ d(ρu)dxdx)dtdydz
Мында Х осі бағыты бойыншы сұйықтың тығыздығы ρ және жылдамдығы u өзгеріп отырады. Осыдан Х осі бағыты бойынша пайда болатын сұйықтың артығы тең:
- d(ρu)dxdx)dtdydz
Осылайша басқа Y, Z осьтердің бағыты бойынша сұйықтың ағысын алсақ, онда жалпы белгіленген көлемдегі сұйықтың ағысының айырмасы тең болады:
d(ρu)dx+ d(ρv)dy+ d(ρw)dz dxdydzdt (5.15)
Осы алынған сұйықтың ағысының айырмасы сол белгілінген көлемдегі сұйықтың мәнінің dt уақытындағы өсімшесіне тең:
dρdtdtdxdydz (5.16)
сондықтан (5.15) және (5.16) бір-біріне теңестірсек,онда:
dρdt +d(ρu)dx+ d(ρv)dy+ d(ρw)dz =0 (5.17)
Осы алынған өрнек гидродинамикадағы Эйлердің үздіксіз теңдеуі деп аталады.
Оны жүйелердің фазалық кеңістігіндегі қозғалысын қарастыруға пайдалануға болады. Ол үшін стаистикалық ансамбльдың Γ - кеңістігінде fN - өлшемді жылдамдықтың векторын белгілеу кререк. Оның проекцияляры q1',q2',... p1',p2', ... тең болады. Статистикалық анасамбльдың бір еркін дәрежесіне qk',pk' проекциялардың мәндері сәйкес келеді деп, Эйлердің үздіксіз теңдеуін пайдалануға болады онда :
dρdt +d(ρqk')dqk+ d(ρpk')dpk = 0 (5.18)
Егер барлық еркін дәреже санана алынғанды пайдалансақ, онда:
dρdt +kd(ρqk')dqk+ d(ρpk')dpk=0
Жақшадағы көбейтінділердің туындыларын алсақ, онда:
dρdt +kqk'dρdqk+ pk'dρdpk+ρkdqk')dqk+ dpk'dpk = 0 (5.19)
Ақырғы өрнектегі бірінші және екінші косындылар ρ функцияның толық туындысы боп табылады. Оны былай белгілеп жазуға болады:
DρDt= dρdt +kqk'dρdqk+ pk'dρdpk (5.20)
Cондықтан (5.19) былай алуға болады:
DρDt+ ρkdqk')dqk+ dpk'dpk=0 (5.21)
Қарастырылған жүйе шектелген болса, онда (5.21) екінші қосындысы нольге тең болады. Расында шектелген жүйелердің жалпыланған координаталары мен импульстері әрқашанда Гамильтон теңдеуіне бағыныды. Яғни жалпыланған координаталардың бір :еркін дәреже санына арналған проекцияларын алсақ, онда:
dpkdt= -dHdqk және dqkdt= dHdpk (5.22)
Егер (5.22) жалпыланған координаталр pk, qk бойынша меншік туынды алсақ, онда:
dpk'dpk= -d2Hdqkdpk; dqk'dqk= d2Hdqkdpk (5.23)
Осыдан (5.21) екінші қосындысы нольге тең болады, яғни:
kdqk')dqk+ dpk'dpk = 0 (5.24)
Сондықтан (5.21) өрнек мынандай түріне келеді:
DρDt = 0 (5.25)
Осы өрнектен қарастырылып отырған статистикалық ансамбльге қатнасты екі өте маңызды екі тұжырым белгілей аламыз.
Біріншіден, (5.23) өрнек гидродинамикада белгілі сұйықтың қысылмайтын шартына сәйкес келеді. Ол:
dudx+dvdy+dwdz=0 (5.26)
Эйлер теңдеуінен аланады, егер сұйықтың тығыздығы тұрақты болады деп саналса және сұйықтың тығыздығы координаталрға тәуелді болмау керек. Яғни (5.18) dρdt =0 болу керек. Сондықтан жоғарғы көрсетілгеннен мынандай шешім тағайындалады: фазалық кеңістіктегі Гамильтон теңдеуіне бағынытын фазалық нүктелердің немесе жүйелердің жиынтығы фазалық кеңістікте қысылмайтын сұйық боп саналады.
Екіншіден (5.25) өрнек фазалық кеңістіктегі өзгерістегі статистикалық ансамбльге қатнасты ρ функциясы тұрақты боп дәлелденді. Сондықтан белгіленген шешімдерге қатнасты:
ρ1= ρ2 (5.26)
Яғни одан:
dΩ2= dΩ2 (5.27)
Осы алынған ақырғы тұжырымды элентарлық фазалық көлемінің сақталу шарты деп белгілеуге болады. ( Дж. Гиббс бойынша)
Статистикалық ансамбльдың күйі фазалық кеңістігінде қарастырылса онда оның элементарлық фазалық көлемі әрқашан тұрақты болады, бірақ оның түрі өзгеру мүмкін. Бұл белгілінген шарт Лиувилл теоремасы деп аталады. Бұл тұжырым статистикалық механианың ең маңызды нәтижесі деп саналады.
Ақыры Лиувилл теоремасы тағы бір үлкен маңызды тұжырым алынады. Оны анықтау үшін ρ функцияның дербес туындысының нольге теңдігін міндетті түрде белгілейік:
dρdt =0 (5.28)
Онда (5.25) теңдеуінен:
kqk'dρdqk+ pk'dρdpk=0 (5.29)
Осы алынған теңдік статистикалық ансамбльдың фазалық нүктелерінің кеңістіктегі қозғалысын стационарлық түріне сәйкес деп белгілейді. Соны мен қоса ρ үлестірім тығыздық функциясы фазалық кеңістігінде өзгермейтін болады. Яғни статистикалық ансамбльдың фазалық фазалық нүктелерінің стационарлық қозғалысында үлестірім тығыздық функцияның мәні фазалық кеңістігінің көлемінде тұрақты боп табылады. Басқаша: статистикалық ансамбль өзінің термодинамикалық тепе-теңдік күйін сақтайды. Онда (5.28) шарт статистикалық жүйенің термодинамикалық тепе-теңдік күйін сақталатынын белгілейтін ең жалпы шарт боп табылды. Яғни термодинамкалық жүйе немесе статистикалық ансамбль өзінің тепе-теңдік күйін сақтаса, онда үлестірім тығыздық функциясы уақытқа тәелді емес текқана жалпылынған координаталар мен импульстерге тәуелді болады:
ρ= f(q1,q2,...p1,p2,...)
Егер термодинамикалық жүйе өзінің тепе-теңдік күйін сақтаса, онда сол жүйені сипаттайтын шамалардың мәндері тұрақты деп саналатын. Бірақ кез келген термодинамикалық жүйе өзінің тепе-теңдік күйін мүлде өзгерілмейтін, тұрақты түрінде сақтай алмайды. Термодинамикалық жүйенің тұрақты күйінен әрқашанда ауытқуы байкалады. Ондай термодинамикалық жүйелердің өзінің тепе-теңдік күйінін ауытқу-лары флуктуация құбылысы деп аталады. Ондай құбылыстар көптеген тәжірибе арқы-лы анықталған. Мысалы, газдардағы, сұйықтардағы және қатты денелердегі тығыздарының жергілікті өзгерістері жарықтың молекулырлық шашырауына себеп болады. Жарықтың өте үлке шашылуы сұйықтардың сындық нүктесінде байқалады.Бұл құбылыс сындық опалисценция деп аталады. Сындық опалисценция және соны мен қоса барлық флуктуация құбылыстары (ток тізбегіндегі э.қ.к. өзбеті мен өзгерістірі, броундық қозғалыс және т.б.) өте көп мезгіл түсініксіз деп саналған. Флуктауция құбылыстарын толық теоретикалық зерттеуін тек қана статистикалық қөзқарасы мүмкіншшілік берді.
Флуктуация құбылысыпайда болуы және оны сипаттайтын физикалық шамалардың орташа мәндерінен ауытқуы пайда болуының ықтималдығы көрсетіп табу флуктуация теориясының негізгі мақсаты боп табылады.
Енді флуктуация құбылысының математикалық сипптамасын анықтайық:
1) F(x) - физикалық шаманың лездік мәні
2) F - физикалық шаманың орташа мәні
3) F- F - физикалық шаманың орташа мәнінен ауытқуы, соны мен қоса (F- ¯F) =F- F =0
4) F- F2 - физикалық шаманың орташа мәнінен квадраттық ауыткуы
5) F- F2 - физикалық шаманың орташа мәнінен квадраттық ауытқұының орташа мәні
6) F- F2 - физикалық шаманың орташа мәнінен ауыткуының орташа квадраттық
ауыткуы. Бұл сиппатамалар флуктауцияқұбылысының қарапайым жағдайны сәйкес келеді.
Флуктуация құбылысын сипаттау үшін көбінесе орташа квадраттық ауыткудың абсолюттік мәнін пайдаланады.Оны физиктер флуктуация деп атайды. Ол қарапайым түрінде тең болды:
∆=+-F- F2 (9.3)
Соны мен қоса физикада флуктуация құбылыстарын сипаттайтын қатнасты флуктуа-ция деген физикалық шама еңгізілген:
δ =F- F2 F2 (9.4)
Тақырып: Микроканоникалық үлестірілу. Энтропия.
Кез-келген термодинамикалық жүйе сыртқы заттардан мүлде шектелген боп саналсын. Онда оның толық энергиясы барлық процестерде тұрақты боп саналады. Ондай мүлде шектелген термодинамикалық жүйеге сәйкес келетін каноникалық үлестірім микроканоникалық үлестірімі деп аталады. Онда термодинамикалық жүйенің энергиясы:
E=const (6.4)
тұрақты болғандықтын, фазалық кеңістікте жүйенің фазалық треакториясының
барлық нүктелері энергияның гипербетінде орналасады. Мұндай жүйелерінің күйле-рінің өзгерісі Лиувилл теоремасына бағынбауы мүмкін, бірақ сондада жұйенің көп бөлшектерден құралғандықтын микроканоникалық үлестірімінің шарттарын бұзбай оны келесі талаптарға бағынатын көлемдік үлестірімімен ауыстыруға болады.
Белгіленген жүйені өте жіңішке фазалық кеңістіктің көлемінде орналассын деп санайық. Фазалық кеңістіктің қалыңдығының ауытқуы өзінің тұрақты мәнінен өте аз деп белгілейік. Мұндай қабатты үлестірімге келесі шарттар орындалады деп санауға болады:
1) Егер E E0 онда үлестірім функциясының фазалық тығыздығы ρ =0
2) Егер E0=E= E0+ dE0 онда ρ !=0
3) Егер E E0+ dE0 онда ρ =0
Осы көрсетілген шектіктерден үлестірім фүнкцияның тығыздығы тек қана өте жіңішке
энергияның интервалында E0+ dE0 нольдік мәнәнен жоғары боп табылады, ал сол көрсетілген энерияның интервалының сыртында нольге тең. dE0 энергияның қалың-дығында жүйенің үлестірім функцияның тығыздығы тұрақты боп саналады. Онда мұндай жіңішке қабат боойыншы таралған жүйенің күйлеріне Лиувилл теоремасын пайдалануға болады. Жүйенің жіңішке қабатта таратылған күйлереінң саны тең болады:
N= E0E0+dE0ρ0dΩ = ρ0ΩE0 (6.5)
Бұл секірмелі жіңішке қабатты жүйенің күйінің энергиясының өзгерісіне (N,E) диаграммада өте созылған үздіксіз кисық сәкес келеді. Яғни микроканоникалық үлустірімді ∆E0--0 каноникалық үлустірімінің шегі деп санауға болады. Бірақ мұндай ұлестірім функцияның түрінің ерекшілігінен оны жиі пайдалануға өте қийын. Кей бір жағдайларда изотермалық жүйелердің үлістірім функциясы пайдланады.Сурет 19
Қарстырылған үлестірім функцияның қасиетіне бағынатын Дирак өзінің кванттық механикасында пайдаланған δ - функциясын еске алуымыз керек. Біздің жағдайда ол келесі түрінде белгіленеді:
CδEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0=w(q1,q2...p1,p2 ...) (6.6)
Мындағы С тұрақты шаманың мәнін нормалау шартынан анықтыуға болады. Осыдан белгіленген жүйенің күйің жіңішке фазалық кеңістігінде орналасатын ықтималдығы тең болады:
wq1,q2...p1,p2 ...dΩ=1.
немесе:
CδEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0 dΩ=1
Арқарай δ функцияның қасиетін еске алсақ:
δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0 =0 егер E E0, және E E0+ dE0
δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0=const eгер E0=E= E0+ dE0
онда:
C= 1Ω(E,a) (6.7)
Яғни: ΩE,a= δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0 dΩ (6.8)
Осы алынған (6.15) микроканоникалық үлестірім функциясы арқылы термодинамикалық жүйенің кез келген физикалық шамалардың фазалық оташа мәндерін шығаруға болады:
F=ΩFq1,q2...p1,p2 ...1Ω(E,a)δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0 dΩ (6.9)
Ендігі қойылытын мақсат Ω(E,a) шаманың физиқалық мағнасын анықтау. Ол үшін энергияның E0=E= E0+ dE0 интервалында Ω(E,a) интегралын шығарайық:
ΓE,a= E0E0+ dE0Ω(E,a)dE =
ΩE0E0+ dE0δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0dEdΩ (6.10)
Интегралдың ішіндегі шама δ функцияның қасиеті арқылы бірге немесе нольге теңб яғни:
ΓE,a= ΩdΩ (6.11)
Сондықтан ΓE,a мәні көрсетілген энергияның интервалындағы фазалық кеңістіктің
көлеміне тең. Осыдын Ω(E,a) физикалық мағнасы көрсетілген энергияның интервалындағы фазалық кеңістіктің көлемі боп табылады.
Каноникалық үлестірім функциясының параметлерінің қасиеттері мен танысып енді олар мен байланысты басқа термодинамикалық потенциалдардың қасиеттерін анықтауға болады. Солардың арсында әрқашанда зор маңызды боп энтропия функциясы табылады. (6.59) өрнектен:
S=E- ψT=E- ψθk (6.69)
Бұл өрнекті басқаша алуға болады:
S= -kΓψ-Eθeψ-EθdΩ (6.70)
Каноникалық үлестірім функциясы берілген түрі арқылы:
ψ-Eθ=lnχ (6.71)
Онда (6.71) өрнекті басқаша жазуға болады:
S= -kΓlnχ∙χdΩ (6.72)
Егер шаманың орташа мәнінің анықтамасын еске алсақ, онда:
S= -klnχ (6.73)
Осыдан термодинамикалық жүйенің энтропиясын үлестірім функциясының тығыз-дығының логарифм функциясының орташасына тең деп анықтадық. Яғни термо-днимикалық жүйенің энтропиясы ешқандай механикалық параметрлер арқылы табыл-майды, ол тек қана жүйенің статистикалық қасиетіне тәуелді боп анықталды. Кезкелген термодинамикалық жүйенің энтропиясын механикалық аспаптар арқылы өлшеуге болмайды деп тұжырымдауға болады. Энтропияның қасиеттерін толықтау анықтау үшін кванттық механика көзқарасын пайдалану керек.
Термодинамикалық жүйелердің үздікті күйлерін қарастыруға болады. (6.73) өрнек арқылы үздікті күйлердің ықтималдығын еске алсақ, ондай жүйенің энтропиясы тең болады:
S= -klnχ=-ki=1NWiknWi (6.74)
Мында N дегеніміз жүйенің барлық мүмкіншілік болатын күйлерінің саны, Wi - i деп
белгіленгін жүйенің ықтималдығы. Бұл жағдайда жүйенің барлық күйлерінің ықтималдықтары бір-біріне тең деп сануға болады. Онда нормалау шартын пайдала-нып жалғастыруға болады:
Wi=1N
яғни:
S=-ki=1N1Nln1N=klnN (6.75)
Осы алынған өрнек бойынша термодинамикалық жүйенің энтропиясы жүйеның бар-лық мүмкін болатын күйлерінің санына пропорционал боп табылды. Термодина-микалық жүйенің барлық мүмкін болатын күйлерінің санын WT термодинамикалық ықтималдығы деп белгілегінбіз. Егер N орнына WT қойсақ, онда:
S=klnWT (6.76)
Өсы алынған теңдеу белгілі Больцманның пікірі деп атлады. Больцман бойынша жүйенің энтропиясы термодинамикалық ықтималдығының логарифымына пропорционал.
Кванттық механиканың қөзқарасы бойынша термодинамикалық жүйенің бөлшек-терінің еркін дәрәже саны 3N тең болса, онда бір кванттық күйіне сәйкес келетін минималдық көлемі h3N (h-Планк тұрықтысы). Онда N жүйенің күйлерінің саныны сәкес келетін фазалық кеңістіктің көлемі ∆Γ=Nh3N. Фазалық көлемді N арқылы ақырғы өрнекке еңгізсек, онда кваннтық термодинамикалық жүйенің энтропиясы тең болады:
S=klnN=kln ∆Γ-3kNlnh (6.77)
Көбінесе кездесетін процесстерде энтропияның текқана өзгерісіне мән беріледі, сондықтан термодинамикалық жүйенің энтропиясын кез-келген тұрақтысына дейін
қарастырады, сондықтан энтропияны фазалық кеңістіктің көлемінің логарифына тең деп санауға болады:
S=kln ∆Γ (6.74)
Осылай белгіленген энтропия термодинамикалық жүйенің күй функциясы боп саналады және ол әддитивтік шартына бағынады.
Термодинамикалық жүйе бір қалпынан өз беті мен екінші қалпына келуі күйінің ықтымалдығы мен байланысты. Ол үшін екінші күй қалпының ықтималдығы жоғары болу керек, немесе екінші жүйенің күй қалпының саны неғұрым көбірек болу керек. Яғни жүйенің екінші күй қалпының термодинамикаллық ықтималдығы жоғары боп табылды. Онда оған неғұрым үлкен фазалық кіңістік сәйкес болу керек, яғни неғұрым үлкен жүйенің энтропиясы. Бірақ термодинамикалық жүйе өз бетімен тек қана тепетеңдік емес қалпынан тепе-теңдік қалпына көшеді. Яғни термодинамикалық жүйенің энтропиясы тепе-теңдік емес процесстерде тек қана ұлғаяды. Бұл тұжырым белгілі термодинамиканың екінші бастамасына сәйкес келеді. Термодинамиканың екінші бастамасы бойынша егер термодинамикалық жүйе тепе-тенңдік емес процесстерге қатнасса оның энтропиясы әрқашанда ұлғаяды.
Егер жүйе термодинамикалық тепе-теңдікте орналасса, онда:
Мұнда Т - абсолют температура немесе температура деп аталады және Т1 =Т2 (тепе-теңдік күйі). Т - статистикалық сипатта болады.
Тақырып: Термодинамикалық параметрлер. Термодинамика заңдары.
Термодинамика дегеніміз физикалық жүйелердің тепетеңдік күйлерін сақта-ғандағы жалпы физикалық қасиеттерін зертейтін теоретикалық физиканың бөлімі. Термодинамика екі бөлімнен құралады феноменологиылық және статистикалық термодинамикадан. Феноменологиялық термодинамикада өтіп жатқан жүйелердегі процесстерді қарастырғанда молекулалрдың ішкі құрамдары және молекулярлық процесстерінің механизмдары есептелмейді. Термодинамика мен статискалық физика материяның жылулық қозғалыстарын зерттейді. Сондай теоретикалық зерттеуде заттарда өтіп жатқан физикалық процесстерді анықтау үшін көп модельдік ұғымдар пайдаланды. Соның бірі термодинамикалық жүйе. Термодинамиқалық жүй көп материалдық нүктелердің қосындысы деп саналады. Материалдық нүктелер ылғи хаотикалық қозғалысқа қатнасадыда, бір- бірімен кинетикалық энергиямен, жылдам-дықпен, импульспен алмасады, бірақ олардың ішкі күй жағдайы өзгерілмейді.
Кез келген термодинамикалық жүйенің касиеттері масса,химикалық косын-дысылар мен және басқа параметрлер мен сыртқы материалдық заттардан жекешен-дірлетін ыдыстың қабырғалары, сыртқы өрістер мен сипатталады. Яғни, термодимами-калық жүйенің сыртқы немесе ішкі параметрлері болуы мүмкін. Егер де термадинами-калық жүйенің күйі, сыртқы денелердің өзгерістеріне байланыс параметрлер мен белгі-лесек, ондай параметр сыртқы бөп аталады. Ал ішкі параметрлер, егер сыртқы денелер-дің күйі өзгермейтін болғанда, әрқашанда белегіленген термодинамикалық жүйенің меншікті күй жағдайы мен байланысты.
Мысалдар
1. Газ гравитациалық өрісінде. Газдың күйі тек қана құйылған ыдыстың қабырға-ларынан, температурадан тәелді емес, сонымен қоса газдың күйі сыртқы параметлерге тәелді ауырлық қүштің өрісіне. Ауырлық күштің өрісі сыртқы параметр боп табылады.
2.Газ электр өрісінде. Электр өрісінің кернеуі сыртқы параметр. Электр өрісінің кернеуінің мәні жүйеге қатнасы жоқ зарядтар мен байланысты. Ал газдың электри-калық күйі поляризациясы ішкі параметр болып табылады: ол малекулалардағы зарядтардың орналасуына тәуелді.
Ал қандай параметрлер сыртқы, кайсыс ішкі болуы сол термадинамикалық жүйені сыртқы ортадан жіктелуіне байланысты. Айтылғанымыз мына сурететте (сурет №1,а) көрсетілген. Егер газ көлемі V өзгермейтін цилиндірде орналасса, онда газдың көлемі V сыртқы, ал оған сәйкес газдың қысымы P ішкі параметр боп саналады. Екіншіде, (сурет 1,б) газдың көлемі жылжымалы поршень арқылы өзгеретін болса онда қысым Р сыртқы; ал көлем V ішкі параметр болып саналады.
AA
а) б)
Сурет 1
Термодинамикалық параметрлер интенсивтік пен экстенсивтік түрінде болуы мүмкін.Интенсивтік параметрлер термодинами-ка лық жүйенің бөлшектері-нің саныныан тәуелсіз бөла-ды олар тек қана жұйенің жалпы жылулық өзгерісіне тәуелді. Оларға кысым Р, көлем V, химикалық потенциал u жатады. Ал экстенсивтік параметлер, немесе аддитивтік пара-метрлер, интесивтік параметрлер тұрақты болғанда термадинамикалық жүйелерді құ-растыратын материалдық бөлшектерінің жалпы саныны пропорционал болады. Мыса-лы жүйенің энергиясы Е, энтропия S және т. б. Егер термодинамикалық жүйені сыртқы денелермен немесе сыртқы термо-динамикалық жүйелермен байланысын қарастырсақ онда оларды екі түріне бөлуге болады:
1. Адиабаталы жіктелген термодинамикалық жүйелер. Адиабаталы жіктелген термадинамикалық жүйенің энергиясы Е( сыртқы парметрлер a тұрақты болғанда) ешқашанда өзгеррілмейтін болады. Бірақ сыртқы денелердің күй жағдайлары өзгеріле беруі мүмкін
2. Сыртқы жүйелермен жылулық байланысқа қатнасатын термодинамикалық жүйе.
Ондай термодинамикалық жүйе сыртқы денелерден немесе жүйелерден атермалдық кабырғалармен жіктеледі. Ондай термодинамикалық жүйенің энергиясы сыртқы денелердің молекулалары мен соқтығысқанда өзгерілуі мүмкін.
Енді біз термодинамиканың негізгі жалпыланған аксиомаларын қарастырайық.
1.Термодинамикалық жүйенің тұрақты қүйі сақталу пастулаты. Кез келеген термодинамикалық жүйе өзгерілмейтін сыртқы параметрлермен жіктелсе, әрқашан өзінің тепе теңдік күйін өзгерілмейтін түрінде сақтайды, жәнеде сол қалпынан өз бетімен шыға алмайды.
1.Аддитивтік пастулаты.Осы пастулат бойынша термодинамикалық жүйенің жалпы энергиясы сол жүйенің (бөлшектерінің) энергияларының қосындысына тең боп саналады.
3.Температура болуы пастулаты. Осы пастулат бойынша температура арқы-лы термодинамикалық жүйелердің күйлерінің бір біріне тепе-теңдік қалпы белгіленеді. Бұл пастулат басқадай термодинамиканың нольдік бастамасы деп аталады. Осы пастулат бойынша екі термодинамикалық жүйені бірін біріне қосқанда олар тек қана температурасы бірдей тепе-теңдік күйін сақтайтын жаңа термодинамикалық жүйені құрастырады. Осы пастулат бойынша температура барлық термодинамикалық жүйелердің тепе-теңдік күйін белгілейтін жалпыланған интенсивтік параметр түрінде тағайындалады. Әрқашанда тепе-теңдік күйін сақтайтын термодинамикалық жүйенің ішкі парметрлері сыртқы парметрлермен температураның функциясы боп саналады.
4.Энергияның сақталу заңы. Бұл заң заттың барлық макроскопиялық өзгеріс-теріне таратылады. Осы заң бойынша термодинамикалық жүйенің энергиясы кездесетін процесстерде өзгерілмейтін боп саналады. Осы заң бойынша жылулық мөлшері деген ұғым еңгізіледі. Ол бір денеден екінші денеге таратылатын энергия боп саналады. Жылулықты мөлшері басқа денелерге текқана жылулық қатысу арқылы таратылады. Егер dE жүйенің энергиясының өзгерісі болса, ал dW= kAkda (akжәне Ak жалпыланған координаттармен күштер ) сыртқы денелердің жасаған елементарлық жұмысы болса, ал dQ сыртқы денелерден термодинамикалық жүйеге берілген жылу мөлшері болса, онда энергия сақталу заңы бойынша:
dQ = dE +dW (1.1)
Бұл заң термодинамиланың бірінші бастамасы деп аталады.
5. Термодинамиканың екінші бастамасы. Термодинамиканың екінші заңның ғылыми зерттегіштер бірнеше түрінде дәлелдеп кеткен. Неміс физигі Клаузиус бойынша жылулық мөлшері, яғни жылулық энергия, өз бетімен температурасы неғұрым төмен денеден температурасы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz