Жазықтыққа перпендикуляр түзу жүргізу
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1 Жоғарғы сыныпта геометрияны оқытудың теориялық негіздер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.1 Орта мектепте стереометрия аксиомаларын оқытудың әдістемесі және методологиясы ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .
1.2 Көпжақтар тақырыбын оқытудың ерекшеліктері ... ... ... ... .
2 Көпжақтарды оқытуда ақпараттық технология бағдарламаларын пайдаланудың әдістемелік ерекшеліктері..
2.1 Геометриялық білім беруді ақпараттандыру: компьютерлік бағдарламаларды пайдаланудың оң және теріс әсерлері ... ... ... ...
2.2 Оқытудағы ақпараттық технология бағдарламасының рөлі мен маңыздылығы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Көпжақтарды оқытуда GeoGebra бағдарламасын қолдануды жүзеге асырудың әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...
Қосымша А
Қосымша Б
3
7
7
33
54
54
67
73
107
109
Кіріспе
Геометрия - көне ғылымдардың бірі. Бүгінгі күнге дейін жеткен дереккөздер, адамзат геометриялық деректермен б.з.б 2000 жыл бұрын қолданған. Ал геометрия ғылым ретінде б.з.б 7-3 ғасырда Грецияда пайда болды. Геометрияға оқыту, геометрияны оқыту әдістемесі проблемалары Евклид, Архимед және т.б замандарынан бастап әрдайым ғалымдар мен педагогтардың назарында болды.
Ғылымның әр даму кезеңі, соның ішінде геометрияны жекелеп алсақ, адамзат алдына оқу мен оқытуды жүзеге асыру мәселесін қойды. Қазіргі кезде жалпы орта білім беретін мектептерде геометрияны оқыту әдістемесі проблемасы мектеп бағдарламасына ақпараттық технологияларды енгізуге байланысты аса маңызды бола бастады. Бұл технологияларды мектеп курсына, соның ішінде геометрияны оқыту әдістемесіне енгізу - оған қандай да бір түзетулер енгізеді.
Бұл жұмыс жалпы орта білім беретін мектептің жоғарғы сынып геометриясын оқыту әдістемесі проблемасына ақпараттық технология бағдарламаларын қолдануға арналған.
Соңғы кезде орта және жоғарғы мектептерде математикалық пәндерді компьютердің көмегімен оқыту мәселесіне көп көңіл бөлінуде. Зерттеулер әр түрлі бағытта жүргізілуде. Әсіресе, зерттеулердің көпшілігінде динамикалық геометрия бағдарламары: Cabri Geometry, GeoNext, Живая математика, GeoGebra, Crocodile, Математический конструктор, және т.б геометрияны оқытуда қолдануға арналған. Қазіргі таңда геометрияны оқытуда бұл бағдарламалар тобының өнімдерін қолдану әсері ешқандай да күдік келтірмейді. Бұған көптеген шет елдік ғалымдардың зерттеулері (G.Hanna, K. Jones, A. Mariotti, В.А. Далингер, В.Н. Дубровский, С.Н. Поздняков, Т.Ф.Сергеева, М.В. Шабанова, М.Г. Шабат) негіз болады. Бұл зерттеулердің басты назары тек қана бағдарламалы-педагогикалық оқу құралдарын оның пайдалану әдістемесімен құруға ғана емес, сонымен қатар мектепке және жоғарғы оқу орындарына арналған жекелей бағдарламаларды құрастыру болып табылады. Зерттеу жұмыстарының сараптамасы математикаға оқытуда ақпараттық технология бағдарламаларын қолдану үлкен мүмкіндіктерге ие екендігін көрсетеді.
Бұның нәтижесінде, жалпы орта білім беретін мектепте жоғарғы сынып оқушыларын геометрияға оқытуда ақпараттық технологияларды қолданудың негізгі себептерін атап көрсетуге болады:
соңғы кезде мектеп математика курсында компьютерлік технология бағдарламаларын жиі қолданылуы;
стереометрия курсын оқытуда компьютерлік бағдарламаларды қолдану оқушының оқу материалын меңгеруінің саны мен сапасын арттыруы .
Осындай динамикалық геометрия бағдарламаларының бірі австриялық
математик, PhD докторы Маркус Хохенвартер құрған GeoGebra бағдарламасының жоғарғы сынып геометрия курсында қолданылуына тоқталамыз.
Бұл дипломдық жұмыста сызбалық құралдар көмегімен салулардың іскерліктері мен дағдыларын қалыптастыруға арналған тапсырмалар жүйесінің сапасы жөнінде мәселе қарастыралады. Дәл осы іскерліктер оқушының кеңісткте ойлауын дамыту үшін шешуші болып табылатын мәселелер соңғы жарты ғасырдың көптеген психологиялық зертеулерінде дәлелденген. Бірақ әліде көптеген оқытушылар салу есептерін, соның ішінде кеңісте салу мен елестетуді бағалай алмайды. Олардың көбісі, оқушылардың кеңістікте ойлауын дамыту үшін геометриялық обьектілердің көрнекілік модельдерімен қолдану қажеттігін туғызады. Шынында, психологиялық және педагогикалық зерттелер көрсеткендей, көрнекілік бейнелер кеңістікте ойлаудың дамуына көмектеседі, бірақ оқытудың бастапқы сатыларында ғана. Одан әрі ол, керісінше, бұл дамуды тежеуі мүмкін, өйткені оқушылардың өздеріне заттың геометриялық формасын көруі, оны түрлендіру мақсатымен осы формамен амалдар жасауы талап етілмейді.
Геометриялық салулар тек математикада ғана үлкен мағынаға ие болып қоймай, сонымен қатар оқушылардың математикалық дайындықтарын жүзеге асыруда да қатысы бар. Есептің ешқандай түрі салу есептері сияқты оқушылардың математикалық талабын және логикалық дағдыларын дамыту үшін мұншама көп материал бере алмайды. Салуға арналған есептер мектеп курсы геометриясының кез келген бөлімі бойынша теориялық білімін бекітуге ыңғайлы. Кеңістікте ой - өрісінің даму есептерін шешу үшін әдістемелік қалыптастыру және транзитивті құралған байланысты қолдану қажет:
Салуға тапсырма;
Кеңістікте ой - өрісін дамыту;
Оқушының математикалық дамуы;
Компьютерді меңгеруі
Осындай транзитивті байланыстың әсерін қолдануда психологиялық және әдістемелік зерттеулерге қарағанда оқушылардың математикалық қабілеттерін дамытудағы салу есептері талас тудырмайтын рөл атқарады.
Дипломдық жұмыстың мақсаты - динамикалық геометрия жүйесі GeоGebra бағдарламасын қолдану арқылы орта мектепте геометрияны оқытуда оқушыларда дағды қылыптастырудың теориялық және әдістемелік негіздерін айқындау.
Зерттеу пәні - GeoGebra бағдарламасын стереометрия курсын оқытуда қолданудың әдістемесі
Зерттеу обьектісі - орта мектептің жоғарғы сыныптарында геометрияны оқыту үрдісі
Жұмыстың гипотезасы - динамикалық геометрия жүйесі GeоGebra бағдарламасын қолдану арқылы орта мектепте геометрияны оқытуда оқушыларда дағды қылыптастырудың теориялық және әдістемелік негіздерін айқындау сәтті болады, егер келесідей бірқатар мәселелерді орындауды қажет етеді:
10-11 сыныптардағы өтілетін барық тақырыптардың мазмұнын анықтау;
математиканы оқытуда ақпараттық технология бағдарламаларын пайдалануды жан-жақты қарастыру;
шет елдік және отандық зерттеулерге талдау жүргізу;
GeоGebra бағдарламасының жоғарғы сынып геометриясын оқытуда қолдануды жүзеге асыру.
Көрсетілген мәселелерді шешу үшін келесі зерттеу әдістері қолданылады:
Геометрия курсында ақпараттық технология бағдарламаларын пайдалану тақырыбы бойынша ғылыми әдістемелік және оқу әдебиеттерін талдау;
Мектеп оқулықтарын талдау және бақылау;
Тәжірибелік жұмысты өткізу және оның нәтижелерін өңдеу.
Дипломдық жұмыс кіріспеден екі тараудан, қорытындыдан, педагогикалық тәжірибеден, пайдаланған әдебиеттер тізімінен, GeоGebra бағдарламасымен жұмыс істеуге көмекші әдістемелік-нұсқаулық пен бағдарламаны орнататын дисктен тұрады.
Бірінші тарауда Жоғарғы сыныпта геометрияны оқытудың теориялық негіздері , орта мектепте стереометрия аксиомаларын оқытудың әдістемесі және методологиясы және Көпжақтар тақырыбын оқытудың ерекшеліктері берілген.
Екінші тарауда көпжақтарды оқытуда ақпараттық технология бағдарламаларын пайдаланудың әдістемелік ерекшеліктері, геометриялық білім беруді ақпараттандыру, компьютерлік бағдарламаларды пайдаланудың оң және теріс әсерлері қарастырылып, оқытудағы ақпараттық технология бағдарламасының рөлі мен маңыздылығы айқындалған. Сонымен қатар көпжақтарды оқытуда GeoGebra бағдарламасын қолдануды жүзеге асыру көрсетілген.
1 Жоғарғы сыныпта геометрияны оқытудың теориялық негіздері
2.1 Орта мектепте стереометрия аксиомаларын оқытудың әдістемесі мен методологиялсы
Геометрияны окытудың басты мақсаттарының бipіоның теориялық негіздерін білу және оларды практикада қолдану дағдыларын меңгеру. Сонымен қатар оқушылардың логикалық ойлауын, дәлелдеу қабілетін, талқылауларды себептеу, ойды дәл және анық тұжырымдай білу мәселелері де маңызды міндеттер болып табылады. Геометрияның мектептік курсын оқытуда бұдан басқа да мәселелер шешіледі. Олар: оқушылардың кеңістік түсінігі мен елестете білуін дамыту, қоршаған ортаны геометриялық тұрғыдан көре білу және т.б
Мектеп геометрия курсының көкейтесті мәселелері - курстың мазмұнының ғылыми құндылығын, оқу материаланың түсініктілігін арттыру, мазмұнды геометриялық есептердің рөлін күшейту, оқушыларды шамадан тыс жүктемелерден құтқару және т.б.
Оқулық авторлары геометрияны оқыту мақсаттарын анықтауда басты мақсатты әрқайсысы өздерінше түсінеді және осыған байланысты, оқулық мақсатқа сай мазмұнға ие болады. Мысалға, Л.С.Атанасян және т.б оқулығындағы баяндау алдынғы орынға дәлелдеудің көрнекі-геометриялық жағын қойып, басты мәселеде оның мазмұнына көңіл аударылса, ал А.В.Погорелов бұл мәселені басқаша шешеді. Көпшілік мектептерде осы оқулықты пайдаланып жүргендіктен оған толығырақ тоқталайық. Біріншіден бұл оқулық әсіресе курстың басында, теориялық материалды баяндау қатандығының (ғылымилығының) өте жоғары деңгейімен сипатталады.
Мұнда аксиомалардың толық тізімі қажетті анықтамалар мен теоремалар, дәлелдемелер келтіріледі. Баяндау қатандылығы оқушылардың логикалық ойлауын дамытудың, ондағы толық қандай логикалық себептерді көрсете білудің табиғи құралы ретінде қарастырылады. Бірақ бұл баяндау қатаңдығы педагогикалық жағынан әлі толық анықталып болмаған, оны әртүрлі басылымдардағы оқулық мазмұнындағы жиі өзгерістер көрсетіп отыр. Екіншіден, бұл оқулықта есептердің рөлі күшейтілген. Бұл екі әдіспен іске асырылады: 1)теориялық материалды тиімді және жинақы баяндаудың есебінен; 2)мазмұнды есептердің ара салмағын арттырудың есебінен. Мұғалімдер тәжірибесі көрсеткендей есеп шығаруға оқу уақытының 50% шамасында жіберіледі, бұл басқа оқулықтарға қарағанда көп. Оқулықта анықтамаларды үйренуге, теоремаларға келтіретіндей және т.б. есептердің түрлері жоққа жақын. Үшіншіден, теориялықматериалдарды ұтымды баяндау көпшілік жағдайда синтетикалық әдісті ғана емес, сонымен қатар аналитикалық геометрия әдістерін пайдалану арқылы қамтамасыз етіледі. Мысалға, бұл оқулықта мектеп тарихында бірінші рет векторлық алгебраны баяндауда координат әдісін қолданады, ал тақырыпты өте-мөте қарапайым түрге келтіреді. Соның арқасында орта мектептің өзінде оқушыларға, екі вектордың скаляр көбейтіндісі ұғымын қоса, векторлық алгебраның біршама толық көлемде мағлұматын береді. Жалпы алғанда оқулық мазмұны да, оны баяндау да негізінен қалыптасқан А.П.Киселев оқулығының бағытын сақтаған. Оқулықта жиындық-теориялық тәсіл жоқ, бірақ геометриялық фигуралар нүктелерден тұрады делінеді [1]. Егер оқулықты А.Н.Колмогоров және т.б оқулығымен салыстырсақ біз мұнда геометриялық түрлендірулер теоремаларды дәлелдеудегі және есептерді шығарудағы математикалық аппарат ретінде пайдаланылмай, тек жеке шағын тақырыптар түрінде оқытылатынын байқаймыз.
Курстың теориялық бөлігін баяндаудағы ықшамдылық әдістемелік аппараттың қысқартылуынан, конспектілік жағының күшейтілуінің есебінен қол жеткізілген. Бірақта баяндаудың шамадан тыс құрғақтылығы оқу құралын оқушыларға өз беттерімен жұмыс істеуге қиыншылықтар келтіреді. Бұл оқулықпен оқушылар негізінен мұғалімнің сабақта түсіндіргенінен кейін ғана пайдалана алады. Сондықтан мұғалімдерге (әсіресе жас мұғалімдерге) арналған методикалық құралдарды қосымша дайындау қажет болады. Сонымен қатар оқу құралында методикалық аппараттың жеке элементтері де жоқ емес. Мысалға ол есептерді шығару үлгілерімен, қайталау сұрақтарымен және т.б жабдықталған.
Геометрия оқулығын жетілдіру негізінен оның мазмұнын тиімді баяндау және оқулықтың логикалық-математикалық жүйесін (логикалық құрылымын, анықтамалар жүйесін, дәлелдемелерін) тиімдірек ету арқылы іске асуы керек. Сонымен қатар оның мазмұнында, қолдануында, есептер шығару барысында еліміздің ұлттық ерекшеліктері (ою-өрнек түрлеру, құрал-жабдықтары, кәсібіне байланысты заттар т.б.) көрініс табу керек деп ойлаймыз.
Соңғы кезеңде оқулықтан орын алған координаталар, векторлар, геометриялық түрлендірулер - бұл мектеп геометрия курсын қазіргі заманға тек мазмұны жағынан ғана икемдейтін ғана тақырыптар емес, сонымен қатар олар көпшілік жағдайда оқулықтың логикалық құрылымын анықтайтын оқу курсын мазмұндаудың жаңа математикалық әдістері болып табылады.
Геометрияны баяндауда математикалық әдістердің жеке түрлерімен әуестену, бір әдісті екіншіге қарсы қою жақсы оқулық жасап шығаруға мүмкіндік бермейді. Оқулықтың логикалық-математикалық жүйесін тиімді жасау үшін бірнеше математикалық әдістерді таңдап алып, оларды ұштастыра пайдаланған орынды, ал әдістердің жеке бір түрі басқалармен салыстырғанда қарапайымдылығы, тиімділігі анық көрініп тұрғанда ғана қолданылуы керек. Бірақ мұны бірнеше әдісті қалай болса солай құрастыра салу деп қарамау керек. Ол жақсы нәтиже бермейді. Себебі ондай жағдайда баяндауда методологиялық шашыранқылық болып, математика әдістері мен оқу курсының нақты фактілері арасындағы қажетті қатынас бұзылады. Бұл уақыт тапшылығы жағдайында әртүрлі әдістерді пайдалану барысында оқушыларда дағдылардың қалыптасуы үстіртін жүреді. Әртүрлі әдістерді кірістіре пайдалануда тағы бір қателік жетекші әдісті таңдап алуда болуы немесе жетекші әдіс пен қосымша әдістердің ара салмағының дұрыс болмауынан да болады.
Мектеп өмірінде бұрыннан қалыптасқан синтетикалық әдіс мектеп геометрия курсының жетекші әдісі болуы және қалған математикалық материалдарды баяндауға негіз болғаны дұрыс болады. Бұл тек геометрияға ғана қатысты емес (векторлар, координаталар, геометриялық түрлендірулер) сонымен қатар алгебраға (теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін) математикалық анализ бастамаларына (сандық функциялардың графиктері, тригонометриялық функциялардың геометриялық анықтамалары, туынды мен интергралдың геометриялық баяндалуы) да қатысты болады.
Геометрияның дағдылы-синтетикалық салалары оқушылардың кеңістік түсінігі мен көз алдына елестете білуін қалыптастырудың негізі болып табылады.
Логикалық-матемтикалық жүйелі оқулықты құрастыру үшін қазіргі кезеңде тек қана дағдылы синтетикалық әдіс жеткіліксіз болады. Қосымша әдіс ретінде координаталық-векторлық әдісті пайдалануға болады.
Дағдылы-синтетикалық және координаталық әдістерді бір мезгілде енгізу аралас түрдегі аксиоматиканы қолдану арқылы қамтамасыз етілуі мүмкін. Бірақ оған біз оқулықтың логикалық-математикалық жүйесін ұтымды жасауға ұмтылу ретінде қарасақ, яғни методологиялық мақсатпен қарасақ, ол тиімдірек болар еді. Себебі аралас аксиоматиканың осы көзқарас тұрғысынан мүмкіндігі жоғары. Сонымен қатар мектеп жағдайында ұғымдылығы жағынан таза аксиоматиканың жарамсыз екенін де есте ұстау керек.
Мектеп оқулықтарын қайта құрудың түйінді мәселелерінің бірі олардың көлемін, оқушылардың оқу жүктемесін бір қалыпқа келтіру. Бұл мәселені шешуде теориялық материалдар мен есептер шығару арасындағы қатынасты анықтаудың маңызы зор. Қазіргі қолданып жүрген геометрия оқулықтарында 50%-дан астамы есеп шығаруға бөлініп жүр, бірақ ғылыми зерттеулер оны 1:2 қатынасындай есептер шығару мөлшерінде болуы керек деп есептейді.
Қазіргі кезеңде даралап оқыту мәселесі енгізілуде, яғни оқушыларды әртүрлі деңгейде дайындауға байланысты оқулықтар дайындау. Мұндай жағдайда оқушы, мектеп қандай оқуылықты пайдаланатынын өздері анықтайтын болады.
Стереометрия курсын оқыту мынандай қағидалардың органикалық бірлігін қамтиды:
1. Геометриялық денелердің қасиеттері туралы кеңістік түсінігі;
2. Ол қасиеттердің бар болуының қатаң логикалық негізделуі;
3. Көрнекіліктің жүйелі түрде қолданылуы.
Кеңістік түсінік пен логикалық негіздеу бірін-бірі өзара толықтырып күшейтеді. Барлық қағидалар планиметриядағыдай аксиомалар мен негізгі ұғымдардан басталады, олардың ішінде жаңа геометриялық образ - жазықтық бар. Кеңістіктегі жазықтықтың негізгі қасиеттері. үш аксиомаларымен берілген, оларды хабарлау алдында планиметрия аксиомалары еске түсіріледі.
Аксиомаларды қарастырғаннан кейін олардың салдарлары беріледі. Аксиомаларды оқыту планиметриядағымен ұқсас, бірақ мына түсініктемелерге баса назар аудару керек: жазықтықтағы нүкте және кеңістіктегі нүкте, жазықтықтағы түзу және кеңістіктегі түзу және әсіресе кеңістіктегі жазықтық.
Оқушылардың бұған дейінгі фигуралардың қасиеттері туралы барлық білімі мен түсініктері негізінен жазықтыққа негізделген, ал үш өлшемді кеңістікке жазықтық жеке фигураға айналады және сонымен қатар өзінің көптеген қасиеттерімен бірге жазық фигураларды жасаушы болады.
Оқушыға жазықтық бейнесін үш өлшемді кеңістікте елестету қиын болады, ал кеңістікте екі, үш және одан да артық жазықтықтарды орналастыру ауыр тиеді. Мұнымен қоймай белгілі жазық фигураларды олардың қасиеттерімен қоса көре білу одан да қиын болады.
Осы жағдайларды ескере отырып бұл курста алдымен түзулер мен жазықтықтардың метрикалық емес содан кейін барып метрикалық қасиеттері баяндалады. Мұндай тәсіл стереометриядағы маңызды, әрі күрделі мәселені - кеңістік фигураларын үш өлшемді кеңістікте және жазықтықта параллель проекциялаудың көмегімен кескіндеу мәселесін табиғи шешуге көмектеседі.
Түзулер мен жазықтықтардың перпендикулярлығын, оның ішінде айқас түзулердің ара қашықтығы сияқты қасиетті оқи отырып оқушылар ортогональ проекция ұғымын түсінуге, яғни үш өлшемді кеңістікте декарттық координат системасын енгізуге дайындалады. Мұның практикалық маңыздылығын ескере отырып, әрбір оқушыны фигуралардың екі өлшемді қасиеттерінен үш өлшемді қасиеттеріне және керісінше етуге тиянақты дайындалу керек.
Мұндай ойша елестетулер мен бір кескіннен екіншіге өту кеңістік түсініктердің дамуының негізі болу керек. Әрбір оқушыны көре, түсіне, сала, кескіндей білуге, оқудың тәрбиелік мақсаттарына жеткізетін теорема, есеп, анықтама және қорытынды қандай фигура туралы жүріп жатқанын ажырата білуге үйрету негізгі мақсат болады.
Стереометрия аксиомалары. Орта мектеп курсында оқушылар жазықтықта: нүкте, түзу сияқты негізгі ұғымдармен, яғни екі өлшемді бейнесімен танысты. 10 - сыныпта енді осы фигуралар қайта қарастырылады, бірақ үш өлшемді кеңістікте және жаңа геометриялық бейне жазықтық енгізіледі. Бұл бұрын қабылданған планиметриядағы аксиомалар системасын кеңейтуді талап етеді. Ол үш аксиомадан тұрады. Бұлар кеңістіктегі жазықтықтың негізгі қасиеттерін сипаттайды. А.В.Погорелов оқулығының материалды мазмұндау ерекшелігі көрнекі елестетуге негізделген қатаң логика. Сондықтан 10 - сыныпта мүмкіндігінше стереометриялық жәшіктің не басқа материал көмегімен модельдеу, тақтада, дәптерде сызу, айнала қоршап тұрған ортадан көрсету сияқты жұмыстарды жиі қолдану керек болады.
Стереометрияның алғашқы сабақтарынан бастап есептің шарты бойынша суретін салу, негіздеуін қоя тұрып есептің шешу жолын белгілеу, яғни талдау, ал одан кейін шешімді қатаң негіздеу тәсілдеріне оқушыларды үйрете бастайды.
Стереометрия аксиомаларының кейбір салдарлары.
Бірінші сабақта алғашқы екі теорема оқылады:
1. Түзу және онда жатпайтын нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады;
2. Егер түзудің екі нүктесі жазықтыққа тиісті болса, онда түзу тұтастай сол жазықтыққа тиісті болады.
Бірінші теореманың дәлелдемесі екі бөліктен тұрады: түзу және онда жатпайтын нүкте арқылы өтетін жазықтықтың бар болуын дәлелдеу, тұрғызылған жазықтықтың жалғыздығын дәлелдеу.
Жұмысты мынандай сұрақтар қоюдан бастауға болады (оқушылардың жауаптары бойынша интерактивті тақтада GeoGebra бағдарламасының көмегімен сызбалар салынады).
1. аксиомасын тұжырымда (Егер әр түрлі екі түзудің ортақ нүктесі болса, онда олар арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады - жазықтықтың бар болу аксиомасы);
2. түзуі және онда жатпайтын кез- келген нүктесі арқылы жазықтық жүргізу үшін қосымша қандай салулар орындау керек? ( түзуінен кез - келген нүктесін алу, және нүктелері арқылы түзу жүргізу);
3. Ненің негізінде түзуден нүктесін алуға болады? ( аксиомасы негізінде: қандай да бір түзуді алсақ та, ол түзуге тиісті нүктелер де, оған тиісті емес нүктелер де бар болады);
4. Неге екі және нүктелері арқылы түзу жүргізуге болады? ( аксиомасы негізінде: кез келген екі нүкте арқылы түзу жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады);
5. Қандай қорытынды жасауға болады? (Бұл жазықтық берілген түзу және онда жатпайтын нүкте арқылы өтеді).
Оқушыларда салынған жазықтықтың жалғыздығын дәлелдеу артық болар деген ой тууы мүмкін, себебі аксиомасы бойынша ондай жазықтық жалғыз. Ондай дәлелдеудің қажеттілігіне оқушылардың көзін жеткізу керек. Ол үшін оқушылар назары түзуінен алынған нүктесінің еркінділігіне аударылады, ал бұл салынған жазықтықтың жалғыздығын дәлелдеуді қажет етеді.
Теореманы жазу үлгісі.
Берілгені: түзуі, нүктесі түзуінде жатпайды (1-сурет).
1-сурет. Түзу және одан тысқары жатқан нүкте.
Дәлелдеу керек:
а) түзуі және нүктесі арқылы өтетін жазықтығының бар болуы;
ә) жазықтығының жалғыздығы.
Дәлелдеуі.
а) түзуінен нүктесін аламыз. (, акс.) (2-сурет).
2-сурет. Түзу бойындағы және одан тыс жатқан нүкте.
жәненүктелері арқылы түзуін жүргіземіз (, акс.) (3-сурет). және қиылысқан түзулері арқылы жазықтығын жүргіземіз ( акс) (4-сурет).нүктесі түзуінде жатқандықтан жазықтығы нүктесі арқылы өтеді.
3-сурет. Екі нүкте арқылы түзу жүргізу.
4-сурет. Қиылысқан екі түзу арқылы жазықтық жүргізу.
Қорыту. жазықтығы түзуі және онда жатпайтын нүктесі арқылы өтеді.
ә) түзуі және нүктесі арқылы өтетін - дан өзгеше жазықтығы бар болсын ( нүктесі түзуінде жатпайды).
- және жазықтықтарының ортақ нүктесі. түзуі - бұл жазықтықтардың ортақ түзуі. Яғни нүктесі түзуінде жатады, бұл шартқа қайшы. Сондықтан да және жазықтықтары беттеседі.
Бұдан кейін бекіту жаттығулары орындалады. Келесі қаралатын тарау ол кеңістіктегі параллельдік. Бұл бөлімде:
oo Параллельдік туралы ілім.
oo Орта мектепте қаралатын параллельдік теориясының негізгі мәселелері.
oo 10-11 сыныптарда параллельдікті оқытудың кейбір мәселелері:
а) параллельдік ұғымын кеңейту;
б) параллельдік белгісін тағайындау және оның қолданылуы.
oo Тақырып бойынша жаттығуларды сұрыптау.
oo Сабақта проблемалық жағдай жасау.
oo Тақырып бойынша материалдың меңгерілуін тексеру жүйесі.
oo Сабақтағы тәрбиелік жұмыс.
Түзулердің параллельдігі туралы ілімнің қандай қажеттілігі бар? Оның мазмұны қандай?
Түзулердің параллельдігі туралы ілім фигуралардың аудандары мен көлемдерін өлшеудің негізі, ол арқылы жазықтықтағы тригонометрия тұрғызылады.
Математиканың дамуында 5 пастулаттың қандай рөл атқарғандығы белгілі. Евклид заманынан 19ғасырдың аяғына дейінгі жүргізілген зерттеулер 5 постулаттың тәуелсіздігін ғана емес, оның геометриядан шешуші рөлін де көрсетіп берді. 5 пастулатты немесе оған мәндес аксиоманы қабылдау үйреншікті Евклид геометриясына әкеледі. Ол пастулатты оған қайшы аксиомамен алмастыру евклидтік емес геометриялардың біріне әкеледі.
Орта мектеп курсында параллельдік теориясын қандай деңгейде және қалай қаралған?
Орта мектепте параллельдік теориясының негізгі мәселелері қарастырылады. Жиындық-теория тұрғысынан қайшылық болмауы үшін параллель түзулер анықтамасы кеңейтіліп беріледі, параллельдер есебіне өзара беттескен түзулер де енгізілген. Олардың бар болу теоремасы ретінде екі центрлі-симметриялы түзулердің параллельдігі мәселесі қарастырылады. Тек осыдан кейін ғана параллельдік аксиомасы енгізіледі: Берілген нүкте арқылы берілген түзуге параллель біреуден артық емес түзу өтеді. Ал А.В.Погорелов оқулығында бұл аксиома алғашқы сабақтарда негізгі қасиет ретінде мына түрде беріледі: Берілген түзуде жатпайтын нүкте арқылы жазықтықта осы түзуге параллель түзу жүргізуге болады және ол біреуден артық болмайды.
Одан кейін үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы, Фалес теоремасы және оның негізінде үшбұрыштың, трапецияның орта сызығының қасиеттері қарастырылады.
8-сыныпта оқушылардың математикалық дайындық деңгейіне байланысты аудандар теориясы негіздеусіз беріледі, тек қана аудандардың негізі қасиеттері дәлелдеусіз алынады: (теріс еместігі, аддитивтілігі, инварианттылығы, нормаланғандығы, жалғыздығы).
Оқушылар үшін жасырын түрде параллельдік теориясы іштей сызылған бұрыштарды, шеңберге іштей сызылған үшбұрыштар мен көпбұрыштарды оқыған кезде қолданылады (үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы туралы теореманы пайдалану). Есептер шығаруда жиі қолданылатын 5 пастулатқа мәндес тұжырым Пифагор теоремасын атап өтеміз.
Сонымен планиметрияның мектептік курсында қатаң және толық тұжырымдауы болмаса да параллельдік теориясы біршама кең қолдау табады. 7-9 сыныптардағы оқу параллельдікті кеңістікте қарау үшін жеткілікті база жасайды.
9-11 сыныптарда қандай мәселелер қарастырылады? Ең бірінші параллельдік ұғымын кеңейту мәселесі. Одан кейінгі мәселе параллельдік белгілерін тағайындау мен оны басқа жағдайларда қолдана білу.
Орта мектепте оқушылар беттеспейтін екі түзудің не қиылысатынын, не параллель болатынын меңгерген еді. Кеңістіктегі жағдайды қарастыру қиылыспайтын түзулердің параллель болмауы да мүмкін екендігі анықталады. Айқасқан түзулерді енгізу ең алдымен оқушылардың ой әсерін және кеңістік түсінігін кеңейтеді. Оқушылар бір жазықтықта жататын деген сөздің мағынасын түсіне бастайды.
Осының бәрі біздің алдымызға мынандай танымдық проблеманы қояды: қаралып отырған екі түзудің параллельдігін қалай анықтауға болады? А.Н.Колмогоров оқулығында (планиметрия) параллель түзулерді қанша созсақта қиылыспайтын түзулер ретінде анықтау, сырттай қарғанда, параллельдікті тексеру әдісін беріп тұрғандай. Шындығында ол дәл емес және іске аспайды (түзулер шексіз, қалай оны созамыз). Тақтада салулы тұрған екі және кесінділері тиісті болатын түзулердің ортақ нүктесінің жоқтығынан () және () түзулерінің параллельдігі шығады.
Тексерудің дәл әдісіне мынандай тұжырым жетелейді: егер түзуін қиып өтетін кез келген түзу түзуін де қиып өтсе, онда бұл түзулер параллель. Бірақ бұл белгінің практикалық іске жарамсыз екенін бірден аңғаруға болады. ол теріс әсер етуі мүмкін: қаралып отырған түзулердің біреуімен қиылысып, екіншісіне параллель болатын жазықтық табылса, онда бұл түзулер не қиылысады не айқасады. Егер қаралып отырған түзулердің параллельдігін тағайындау қажет етілсе, онда неше рет тексеруден кейін жұмыс аяқталды деп есептеуге болатыны белгісіз. Сонымен қатар бұл тәсілдің өзі күмән келтіреді: түзулердің параллельдігінің орнына күрделірек ұғым - түзу мен жазықтықтың параллельдігі қарастырылады.
Практикада бұдан өзгеше жолды пайдаланған дұрысырық болады. Кеңістіктегі параллельдіктің транзивтілігін тағайындау арқылы: егер екі түзу үшінші түзуге параллель болса, онда олар өзара параллель болатын белгісін алуға болады.
дұрыс алтыжақты призма болсын. және және және түзулері өзара параллель ме (5-сурет)?
Дұрысалтыбұрыштың қасиеті бойынша егер және болса, онда . Осы сияқты екеуі де түзуіне параллель болғандықтан үшінші жағдайда екенін де көрсетуге болады; және тағы мен қиылысады. Сондықтан, -ға параллель емес , яғни айқасады.
5-сурет. Дұрыс алтыбұрышты призма.
Ақырында, кейбір жағдайларда (қаралған мысалда) Геометрия 10-11 оқулығындағы: Әрбір жазықтық үшін планиметриядан белгілі реттік, жазықтықтың қозғалғыштық және түзулердің параллельдік аксиомалары орындалады деген аксиома көмекке келеді.
Параллельдік ұғымының маңызы кеңейтілді, түзу мен жазықтықтың параллельдігі болып табылады. Мұнда оқушылар табиғаты әртүрлі объектілерді салыстырумен кездеседі (және щексіз-жазықтық әрі шексіз, әрі шетсіз). Оқулықта дәлелденетін 2-теорема түзу мен жазықтықтың параллельдігінің белгілерінің бірін береді.
Бірақ құрылыс практикасында, монтаждық жұмыстарда т.б кең қолданылатын басқа белгісі де бар: түзу мен жазықтықтың ортақ перпендикуляры бар болатын болса, олар параллель болады. Бұл белгіні кейінірек есеп түрінде қарастыруға болады.
Келесі қадам жазықтықтардың параллельдігін оқу болады.
Бұл проблеманың практикалық маңызы зор. Мысалға, бөлмедегі еденнің горизонтальдығын қамтамасыз етудің қажеттілігі, автомашина кузовының қабырғаларының, вогондардың қабырғаларының параллель болуын дұрыстау болатындығын көрсетсек те жетіп жатыр.
Біздің оқулықтарда келтірілетін параллельдік белгісінің дәлелдемесін жетілдіруге болады. Ең алдымен жазықтықтар майысып салынған чертеж оқушыларды абыржытады. Және де, дәлелдеу кезінде тікелей жақын тұрған мәселе - түзу мен жазықтықтың параллельдігін аттап өтіп, түзулердің параллельдігіне көңіл аударылады.
Осындай пікірлерден параллельдік белгісін мына формулировкада қараған дұрыстау деген ой туады. Егер бір жазықтықтың қиылысқан екі түзудің әрқайсысы екінші жазықтыққа параллель болса, онда ол жазықтықтар параллель болады.
Суреттегідей болсын. екенін дәлелдеу керек. Бұл жазықтықтар параллель емес деп жорылық. Онда олар бір түзуінің бойымен қиылысады. Сонда оқулықтағы 3-теорема бойынша және . Бірақ сонда жазықтығында О нүктесі арқылы -ге параллель екі әртүрлі түзу жүргізілген болады, бұл мүмкін емес. Сондықтан да, жазықтықтардың параллель еместігі туралы жорамал қате, яғни дәлелдеу керегі осы.
6-сурет. Түзу және одан тыс жатқан нүкте арқылы жүргізілген жазықтық.
7-сурет. Қиылысқан екі түзу арқылы жүргізілген жазықтық.
Кейінірек оқушылар жазықтықтардың параллельдігініңтағы да бір белгісімен танысады: екі жазықтықтың ортақ перпендикуляры бap болса, олар өзара параллель болады. Бұл белгі тек қана математика сабақтарында ғана емес құрылыс тәжірибесінде, станок жасауда т.б. қолданылады.
Жазықтықтардың параллельдігіне байланысты оқушылар сәйкес қабырғалары бағыттас бұрыштармен де танысады. Бұл мәселені есептер шығарғанда қарастырған пайдалы.
Параллель жазықтықты үшінші бір жазықтықтың қиюы туралы теореманың маңызы өте зор. Оқушылар осы теореманы жалғастыратын мынандай сұраққа жауап беруде жиі қателесетінін еске саламыз; және жазықтықтарының басқа бір жазықтықпен қиылысу сызықтары параллель. және жазықтықтары параллель ме? Бұған оқушы иә деп жауап берсе, онда ол жазықтықтардың параллельдігінің белгісін жеткіліксіз түсінгенімен қатар тура және кері теоремалардың арасындағы байланысты да түсінбейтіндігін білдіреді.
Егер жазықтық екінші жазықтыққа параллель берілген түзу арқылы өтсе, және осы жазықтықпен қиылысса, онда жазықтықтардың қиылысу сызығы берілген түзуге параллель болады.
Қаралып отырған материалды оқытуда бірқатар методикалық мәселелер пайда болады, оларды дұрыс шешпейінше оқыту жемісті болуы мүмкін емес.
Тақырып бойынша жаттығуларды сұрыптау. Қаралатын кеңістіктегі параллельдік тақырыбына теоремалар мен салдар біршама көп. Жеткілікті түрде жаттығулар қарастырылмаса ең басты мақсат - оқушылардың кеңістік туралы түсінігін дамыту іске аспай қалады.
Жаттығулардың 1-түрі:қарастырылған анықтамаларды, аксиомаларды, теоремаларды дұрыс түсінуге бағытталады.
Мысал-1. түзуі жазықтыққа параллель болсын. Жазықтықта түзуіне параллель түзулер бар ма? Бар болса, қанша? Жазықтықта -ге параллель емес түзулер бар ма? Бар болса, қанша?
Мысал-2. Түзу берілген екі жазыққа да параллель. Ол жазықтықтардың өзара орналасуы туралы не айтуға болады?
Жаттығулардың 2-түрі: дайын чертеждерді параллель түзулер мен жазықтықтарды таба білуге арналады. Бұнда таблицалар, проекциялау аппараттары кең қолдану керек.
Жаттығулардың 3-түріне есептеулермен дәлелдеуге арналады.
Мысал. және түзулері айқасқан. болатын жалғыз ғана жазықтықтар жұбы болатынын дәлелдеу керек.
Екінші методикалық проблема ол сабақта проблемалық жағдай жасау. Бұл тақырыпты оқытуда жағдай жасау негізі мына түрде болуы мүмкін:
1. Теореманың дәлелдемесінің немесе есептің шешуінің басқа дәлелдемесін табуды талап ету, немесе
2. белгілі бір үлгідегі емес мәселе қою арқылы, немесе
3. алдын-ала практикалық сипаттағы есепті талдау.
Мысал-1. дұрыс бесбұрышында диагональ қабырғасына параллель екенін тағайындау керек болсын.
8-сурет. дұрыс бесбұрышы.
1. Бұны есептеу арқылы тағайындауға болады: . Яғни іргелес бұрыштарының қосындысы. .
2. Есептеулерді азайтуға болады, егер -ны есептеудің орнына АВ қабырғасын созсақ. Сонда .
3. Есептеусіз-ақ орындауға болады, егер бес бұрыштың төбесі және қарсы жатқан табанының ортасы арқылы өтетеін түзу оның симметрия өсі болатынын ескерсек.
2 - мысал.Кубтың екі іргелес жақтарының центрлерін қосатын кесінді кубтың қандай жақтарына немесе жақтарының диагональдарына параллель?
Мұнда бұл кесінді куб қырларының ешқайсысына да параллель болмайтынын бірден аңғарға болады, бірақ ол екі жағының жазықтықтарына параллель. Сондықтан да, қаралып отырған кесіндіге параллель диагональдарды осы жақтардан іздестіру керек.
Стереометрия курсының басында мұғалім геометрияның ғылым ретінде пайда болуы туралы, дәлелдеулердің пайда болуы туралы, ал одан кейін теорема және аксиома сияқты ұғымдар туралы әңгімелейді. Осы әңгіме барысында оқушылар параллельдік теориясының геометриядағы маңызын біледі.
Материалды оқыту барысында мұғалімнің қысқаша беріп отыратын мағлұматтарынан оқушылар көпшілік теоремалардың Евклидтік Бастамаларында болғандығын (тұжырымдалған және дәлелденген) біледі. Мысалға, Бастамалардың 11 кітабында 9-сөйлем кеңістіктегі параллель түзулердің транзивтілігі туралы теорема, 10-сөйлем - бағыттас бұрыштар туралы, 15-сөйлем - екі жазықтықтың параллельдігінің белгісі. 16-сөйлем - екі жазықтықты үшінші жазықтықпен қию туралы т.б келтірілген.
Бұл мәліметтер Ежелгі Грецияда геометрия қандай деңгейде болғандығын көрсетеді. 19-20 ғғ математика саласындағы зор табыстар тек қана грек оқымыстыларының жұмыстарын меңгерудің нәтижесінде болды.
Жаңа қоғамдық жағдайлар жаңа процестерді оқуды қажет етті, айнымалы шамалар математикасы пайда болды. Бұл математика дамуындағы сапалық дәуір. Бірақ Евклидтің, Архимедтің, Аполонийдің еңбектері өз кезінде маңызды роль атқарды.
Мұғалімнің таблицалардағы, стендалардағы анықтамалары бойынша оқушылар математиканың өмірде сондай кең қолданатынын көреді. Рельстер мен сымдар, электр беру сымдары, көпірлер, құрылыс-монтаж жұмыстары - осының бәрі түзулер мен жазықтықтардың параллельдігіне байланысты. Осылардың бәрін біле отырып, оқушылар оқытылып отырған материалды сапалы және ынтамен меңгеретін болады. Бұл оқытуда жетістікке жетудің маңызды алғы шарттарының бірі.
Бұл айтылғандармен түзу мен жазықтықтың параллельдігінің мектеп курсындағы орны мен проблемалары тамамдалмайды. Бұл стереометрия курсының бұдан кейінгі барлық тарауларын тұрғызуда маңызды роль атқарады.
Біз бұл тақырыпты талдағанда материалдың мазмұнымен қатар түзулердің параллельдігі туралы ілімнің қажеттілігі, параллельдік теориясының мектеп курсындағы деңгейі, материалдың меңгерілуін тексеру жолдары және осы тақырыпқа байланысты тәрбиелік жұмыстарға байланысты мәселелер көтердік. Осы айтылған идеялар келесі тақырыптарды оқытуда да басшылыққа алынады.
Келесі қарастырылатын бөлім кеңістіктегі перпендикулярдық. Бүкіл тақырыпты мынандай үш бөлікке бөлуге болады:
1) Түзулердің кеңістіктегі перпендикулярлығы;
2) Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы;
3) Жазықтықтардың перпендикулярлығы;
Бұл бөлімдердің әрқайсысы бойынша өзіндік жұмыс, бақылау жұмысы, оқушылардан сабақ үстінде сұрау т.б оқушылар білімін есепке алу түрлерінен бөлек жұмыстар жүргізіледі.
Көрсетілген бөлімдерді оқу барысында оқушылардың стереометрия курсының бас жағында түзулердің кеңістіктегі параллельдігін оқу барысында танысқан жалпы схема бойынша жүргізілуі керек. Бұл түзулердің кеңістіктегі перпендикулярлығын түзулер мен жазықтықтардың кеңістіктегі өзара орналасуларының жалпы схемасын жасауға, кеңістіктегі перпендикулярлықты стереометрия аксиоматикасымен байланыстыруға, жаңа материалды оқыған кезде жоспарлы қайталауды ұйымдастыруға мүмкіндік жасайды. Бұл тақырыптың үлкен қолданбалық мүмкіншілігі бар, сондықтан есептер шығаруға ерекше көңіл аударылады; есептерде 11 сыныптағы стереометрияны сәйкес тарауын оқуға оқушыларды дайындау мақсатында көпжақтарды - призма мен пирамиданы пайдалану керек. Векторлық аппараттың көмегімен шығарылатын есептерге, дайын суреттер бойынша шығарылатын есептер арнайы қарастырылады.
Кеңістіктегі түзулердің перпендикулярлығы. Бұл тарау бұрын өтілгендерді қайталау ретінде жүргізіледі. Қайталауды мынандай жоспар бойынша жүргізу керек:
Өзара перпендикуляр түзудердің анықтамасы:
қиылысатын және айқасатын өзара перпендикуляр түзулер. Оларды көпжақтардың модельдерінде және қоршаған ортадан көрсету.
Қайталау кезінде кеңістіктегі перпендикуляр екі түзудің ортақ нүктесі болмауы да мүмкін екенін баса айтудың маңызы зор.
Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы. Таблицаны пайдаланып түзу мен жазықтықтың кеңістікте өзара орналасуын қайталаудан бастаған дұрыс. Өзара қиылысқанда ғана түзу мен жазықтық перпендикуляр бола алатынын аңғару қиын емес.
Ендігі мәселе: жазықтықты қиятын түзу қандай жағдайда оған перпендикуляр болады? Тәжірибе көрсеткендей, егер түзу жазықтыққа перпендикуляр болса, онда ол жазықтықтағы кез келген түзуге перпендикуляр болады. Бұл көрнекілік арқылы көрсетіледі. Осыдан кейін түзу мен жазықтықтың кеңістіктегі перпендикулярлығының анықтамасы беріледі. Мұнда түзу мен жазықтытың перпендикулярлығының кеңістіктегі түзулердің перпендикулярлығына келтірілетіне баса назар аударылады.
Стереометрия оқулықтарында түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығының әртүрлі анықтамалары. Мысалға, Л.С.Атанасян оқулығында Егер түзу жазықтықта жатқан әрбір түзуге перпендикуляр болса, түзу мен жазықтық перпендикуляр деп аталады делінеді. Ал, А.В.Погорелов оқулығында: Егер жазықтықты қиып өтетін түзу сол жазықтықта жатқан және түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесі арқылы өтетін кез келген түзуге перпендикуляр болса, онда түзу жазықтыққа перпендикуляр деп аталады. Ә.Н.Шыныбеков оқулығында: Егер түзуі жазықтығындағы кез келген түзуге перпендикуляр болса, онда түзуін жазықтығына перпендикуляр деп атайды делінген. Ал Ж.Қайдасов оқулығында келесідей жазылған: Егер түзу жазықтықтағы түзулердің кез келгеніне перпендикуляр болса, онда түзу сол жазықтыққа перпендикуляр деп аталады.
Мектеп геометрия курсы үшін анықтамаға түзу мен жазықтықтың қиылусуын талап еткен орынды. Егер оны талап етпесек, онда бұл фактыны арнайы дәлелдеу керек болады. Сондықтн А.В.Погорелов оқулығында анықтама тиімдірек және айқас түзулердің қаралуы өзінен өзі шығып қалады.
9.1-сурет. Жазықтыққа перпендикуляр түзу жүргізу.
9.2-сурет. Жазықтыққа перпендикуляр түзу жүргізу.
Анықтаманы пайдаланып түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы туралы айту қиын, себебі жазықтықта жататын түзулер саны шексіз. Шындығында түзудің жазықтықпен қиылысу нүктесі арқылы өтетін және жазықтықта жатқан екі ғана түзудің берілген түзудің берілген түзуге перпендикулярлығы түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығын анықтауға мүмкіндік береді екен (9.1-сурет).
Егер анықтамаға айқас түзулер енгізілсе, онда бұл жағдайда жазықтықтың екі түзуінің қиылысуын талап ету жеткілікті(9.2-сурет).
Сонымен қатар оқушыларға жазықтықта жатқан екі параллель түзуге перпендикуляр болмауы да мүмкін екенін көрнекілік арқылы көрсеткен дұрыс. Көрнекілікті әртүрлі тәсілмен, яғни заман талабына сай ақпараттық технология бағдарламаларын пайдалануға болады. Осы жұмыстың нәтижесінде түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы туралы теорема тұжырымдалады (16.2 теорема) және оның дәлелдемесі сыныпта жүргізіледі, оқушылар қажетті жерлерін алып отырады. А.В.Погорелов оқулығында теореманы дәлелдеу тең үшбұрыштар тізбегін қарастыру арқылы жүргізіледі, ал бұл планиметрия курсынан көптеген мәселелерді қайталап алуды қажет етеді.
Болашақта векторларды скаляр көбейтуді оқу барысында бұл теоремаға оралып, оның басқаша дәлелдемесін берген орынды болады.
Осы жерде жазықтыққа көлбеу ұғымы да енгізіледі.
Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығының белгісі берілген жазықтыққа перпендикуляр түзу тұрғызу есептерінің негізі болады. Бұл екі есепті де оқушылармен бірге орындап, орындалу барысын қысқаша жазу керек. Есепті шешу барысында салудың әрбір қадамында қандай аксиома немесе аксиоманың қандай салдары пайдаланатынын ерекше атап отыру керек.
Берілген М нүктесі арқылы өтетін және жазықтығына перпендикуляр түзуді тұрғызу есебін шешкенде екі жағдайды жеке қарастырған орынды:
а) М нүктесі жазықтығында жатады;
ә) М нүктесі жазықтығында жатпайды.
а) жағдайын сыныпта қарап, ал ә) жағдайын үй жұмысы ретінде беруге болады.
Тұрғызылған жазықтықтың немесе түзудің жалғыздығын дәлелдеу ауызша жүргізіледі, және мұнда талқылаулардың ұқыптылығына назар аудару керек:
1) Берілген түзуге (жазықтыққа) перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін бірден артық түзудің болуы мүмкін делінеді(жору);
2) бұрыннан белгілі жағдайға қайшылық пайда болады;
3) жасалынған жору дұрыс емес, яғни есептің жалғыз шешімі бар.
Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық белгісін оқуда уақыт үнемдеп дәлелдеуге және есептеулерге берілген есептерді көбірек көбірек шығаруға ұмтылу керек, себебі ол болашақта Көпжақтар тақырыбын оқуды жеңілдетеді. Кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығын түзулер мен жазықтықтардың параллельдігімен өзара байланысын оқуда Кеңістіктегі параллельдік тақырыбын қайталаумен байланыстыру керек.
Бұл өзара байланысты сипаттайтын теоремалар жағдайында үш объект қатысады: екі түзу және жазықтық; екі жазықтық және түзу. Теоремалар жұптастырып қарастырылады.
Теоремалардың бірінші жұбы.
1. Берілгені:
Дәлелдеу керек: .
2. Берілгені:
Дәлелдеу керек: .
Бұл екі теорема таза геометриялық жолмен дәлеледенеді, ал болашақта қайталау барысында векторлық аппаратты пайдаланған орынды.
Теоремалардың екінші жұбы.
1. Берілгені:
Дәлелдеу керек: .
2. Берілгені:
Дәлелдеу керек: .
Бұл екі теореманы алдыңғылардан олардың тұжырымдамаларындағы екі түзуді екі жазықтықпен, ал жазықтықты түзумен алмастыру арқылы алуға болады.
Бірінші теореманы дәлелдеуде түзуі арқылы жазықтығын да, жазықтығын да сәйкес және , және түзулері бойымен қиятын әртүрлі және жазықтықтары жүргізіледә, мұнда және .
түзуі жазықтығын және қиылысу нүктесінде қияды. Бұдан болатыны шығады.
Екінші теорема қарсы жору арқылы дәлелденеді.
Осындан кейін түзудің жазыққа тік бұрышты (ортогональ) проекциясы ұғымы енгізіледі. Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы негізінде нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық, екі айқас түзудің перпендикулярлығы, көлбеу мен жазықтық арасындағы бұрыш ұғымдары енгізіледі, сонымен қатар болашақта стереометрия курсын, оның ішінде көпжақтарды оқуда үлкен мәні бар үш перпендикулыр туралы теорема дәлелделінеді. Бұл теореманы дәлелдеуде қандай үш перпендикуляр туралы әңгімеболып тұрғанын түсінуі және осыған байланысты чертеждардан оларды суретте әртүрлі түспен бөлектеулері керек. Бұл теорема жазықтықтағы түзу мен көлбеудің перпендикулярлығының қажетті және жеткілікті шарттарын қамтиды, сондықтан қажетті және жеткілікті шарттарды жеке теоремалар ретінде (тура және кері) қарастыру керек (10-сурет).
10-сурет. Түзудің жазықтыққа проекциясы.
Жеткіліктілігі
Берілгені: -ге көлбеу;
ОВ - АВ-ның проекциясы;
және
Дәлелдеу керек:
Қажеттілігі:
Берілгені: -ге көлбеу;
ОВ - АВ-ның проекциясы;
Дәлелдеу керек:
Оқушылардың кеңістік түсінігін дамыу мақсатында бұл теореманы дәлелдеу үшін модель дайындаған дұрыс болады. болашақта, ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1 Жоғарғы сыныпта геометрияны оқытудың теориялық негіздер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.1 Орта мектепте стереометрия аксиомаларын оқытудың әдістемесі және методологиясы ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .
1.2 Көпжақтар тақырыбын оқытудың ерекшеліктері ... ... ... ... .
2 Көпжақтарды оқытуда ақпараттық технология бағдарламаларын пайдаланудың әдістемелік ерекшеліктері..
2.1 Геометриялық білім беруді ақпараттандыру: компьютерлік бағдарламаларды пайдаланудың оң және теріс әсерлері ... ... ... ...
2.2 Оқытудағы ақпараттық технология бағдарламасының рөлі мен маңыздылығы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Көпжақтарды оқытуда GeoGebra бағдарламасын қолдануды жүзеге асырудың әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...
Қосымша А
Қосымша Б
3
7
7
33
54
54
67
73
107
109
Кіріспе
Геометрия - көне ғылымдардың бірі. Бүгінгі күнге дейін жеткен дереккөздер, адамзат геометриялық деректермен б.з.б 2000 жыл бұрын қолданған. Ал геометрия ғылым ретінде б.з.б 7-3 ғасырда Грецияда пайда болды. Геометрияға оқыту, геометрияны оқыту әдістемесі проблемалары Евклид, Архимед және т.б замандарынан бастап әрдайым ғалымдар мен педагогтардың назарында болды.
Ғылымның әр даму кезеңі, соның ішінде геометрияны жекелеп алсақ, адамзат алдына оқу мен оқытуды жүзеге асыру мәселесін қойды. Қазіргі кезде жалпы орта білім беретін мектептерде геометрияны оқыту әдістемесі проблемасы мектеп бағдарламасына ақпараттық технологияларды енгізуге байланысты аса маңызды бола бастады. Бұл технологияларды мектеп курсына, соның ішінде геометрияны оқыту әдістемесіне енгізу - оған қандай да бір түзетулер енгізеді.
Бұл жұмыс жалпы орта білім беретін мектептің жоғарғы сынып геометриясын оқыту әдістемесі проблемасына ақпараттық технология бағдарламаларын қолдануға арналған.
Соңғы кезде орта және жоғарғы мектептерде математикалық пәндерді компьютердің көмегімен оқыту мәселесіне көп көңіл бөлінуде. Зерттеулер әр түрлі бағытта жүргізілуде. Әсіресе, зерттеулердің көпшілігінде динамикалық геометрия бағдарламары: Cabri Geometry, GeoNext, Живая математика, GeoGebra, Crocodile, Математический конструктор, және т.б геометрияны оқытуда қолдануға арналған. Қазіргі таңда геометрияны оқытуда бұл бағдарламалар тобының өнімдерін қолдану әсері ешқандай да күдік келтірмейді. Бұған көптеген шет елдік ғалымдардың зерттеулері (G.Hanna, K. Jones, A. Mariotti, В.А. Далингер, В.Н. Дубровский, С.Н. Поздняков, Т.Ф.Сергеева, М.В. Шабанова, М.Г. Шабат) негіз болады. Бұл зерттеулердің басты назары тек қана бағдарламалы-педагогикалық оқу құралдарын оның пайдалану әдістемесімен құруға ғана емес, сонымен қатар мектепке және жоғарғы оқу орындарына арналған жекелей бағдарламаларды құрастыру болып табылады. Зерттеу жұмыстарының сараптамасы математикаға оқытуда ақпараттық технология бағдарламаларын қолдану үлкен мүмкіндіктерге ие екендігін көрсетеді.
Бұның нәтижесінде, жалпы орта білім беретін мектепте жоғарғы сынып оқушыларын геометрияға оқытуда ақпараттық технологияларды қолданудың негізгі себептерін атап көрсетуге болады:
соңғы кезде мектеп математика курсында компьютерлік технология бағдарламаларын жиі қолданылуы;
стереометрия курсын оқытуда компьютерлік бағдарламаларды қолдану оқушының оқу материалын меңгеруінің саны мен сапасын арттыруы .
Осындай динамикалық геометрия бағдарламаларының бірі австриялық
математик, PhD докторы Маркус Хохенвартер құрған GeoGebra бағдарламасының жоғарғы сынып геометрия курсында қолданылуына тоқталамыз.
Бұл дипломдық жұмыста сызбалық құралдар көмегімен салулардың іскерліктері мен дағдыларын қалыптастыруға арналған тапсырмалар жүйесінің сапасы жөнінде мәселе қарастыралады. Дәл осы іскерліктер оқушының кеңісткте ойлауын дамыту үшін шешуші болып табылатын мәселелер соңғы жарты ғасырдың көптеген психологиялық зертеулерінде дәлелденген. Бірақ әліде көптеген оқытушылар салу есептерін, соның ішінде кеңісте салу мен елестетуді бағалай алмайды. Олардың көбісі, оқушылардың кеңістікте ойлауын дамыту үшін геометриялық обьектілердің көрнекілік модельдерімен қолдану қажеттігін туғызады. Шынында, психологиялық және педагогикалық зерттелер көрсеткендей, көрнекілік бейнелер кеңістікте ойлаудың дамуына көмектеседі, бірақ оқытудың бастапқы сатыларында ғана. Одан әрі ол, керісінше, бұл дамуды тежеуі мүмкін, өйткені оқушылардың өздеріне заттың геометриялық формасын көруі, оны түрлендіру мақсатымен осы формамен амалдар жасауы талап етілмейді.
Геометриялық салулар тек математикада ғана үлкен мағынаға ие болып қоймай, сонымен қатар оқушылардың математикалық дайындықтарын жүзеге асыруда да қатысы бар. Есептің ешқандай түрі салу есептері сияқты оқушылардың математикалық талабын және логикалық дағдыларын дамыту үшін мұншама көп материал бере алмайды. Салуға арналған есептер мектеп курсы геометриясының кез келген бөлімі бойынша теориялық білімін бекітуге ыңғайлы. Кеңістікте ой - өрісінің даму есептерін шешу үшін әдістемелік қалыптастыру және транзитивті құралған байланысты қолдану қажет:
Салуға тапсырма;
Кеңістікте ой - өрісін дамыту;
Оқушының математикалық дамуы;
Компьютерді меңгеруі
Осындай транзитивті байланыстың әсерін қолдануда психологиялық және әдістемелік зерттеулерге қарағанда оқушылардың математикалық қабілеттерін дамытудағы салу есептері талас тудырмайтын рөл атқарады.
Дипломдық жұмыстың мақсаты - динамикалық геометрия жүйесі GeоGebra бағдарламасын қолдану арқылы орта мектепте геометрияны оқытуда оқушыларда дағды қылыптастырудың теориялық және әдістемелік негіздерін айқындау.
Зерттеу пәні - GeoGebra бағдарламасын стереометрия курсын оқытуда қолданудың әдістемесі
Зерттеу обьектісі - орта мектептің жоғарғы сыныптарында геометрияны оқыту үрдісі
Жұмыстың гипотезасы - динамикалық геометрия жүйесі GeоGebra бағдарламасын қолдану арқылы орта мектепте геометрияны оқытуда оқушыларда дағды қылыптастырудың теориялық және әдістемелік негіздерін айқындау сәтті болады, егер келесідей бірқатар мәселелерді орындауды қажет етеді:
10-11 сыныптардағы өтілетін барық тақырыптардың мазмұнын анықтау;
математиканы оқытуда ақпараттық технология бағдарламаларын пайдалануды жан-жақты қарастыру;
шет елдік және отандық зерттеулерге талдау жүргізу;
GeоGebra бағдарламасының жоғарғы сынып геометриясын оқытуда қолдануды жүзеге асыру.
Көрсетілген мәселелерді шешу үшін келесі зерттеу әдістері қолданылады:
Геометрия курсында ақпараттық технология бағдарламаларын пайдалану тақырыбы бойынша ғылыми әдістемелік және оқу әдебиеттерін талдау;
Мектеп оқулықтарын талдау және бақылау;
Тәжірибелік жұмысты өткізу және оның нәтижелерін өңдеу.
Дипломдық жұмыс кіріспеден екі тараудан, қорытындыдан, педагогикалық тәжірибеден, пайдаланған әдебиеттер тізімінен, GeоGebra бағдарламасымен жұмыс істеуге көмекші әдістемелік-нұсқаулық пен бағдарламаны орнататын дисктен тұрады.
Бірінші тарауда Жоғарғы сыныпта геометрияны оқытудың теориялық негіздері , орта мектепте стереометрия аксиомаларын оқытудың әдістемесі және методологиясы және Көпжақтар тақырыбын оқытудың ерекшеліктері берілген.
Екінші тарауда көпжақтарды оқытуда ақпараттық технология бағдарламаларын пайдаланудың әдістемелік ерекшеліктері, геометриялық білім беруді ақпараттандыру, компьютерлік бағдарламаларды пайдаланудың оң және теріс әсерлері қарастырылып, оқытудағы ақпараттық технология бағдарламасының рөлі мен маңыздылығы айқындалған. Сонымен қатар көпжақтарды оқытуда GeoGebra бағдарламасын қолдануды жүзеге асыру көрсетілген.
1 Жоғарғы сыныпта геометрияны оқытудың теориялық негіздері
2.1 Орта мектепте стереометрия аксиомаларын оқытудың әдістемесі мен методологиялсы
Геометрияны окытудың басты мақсаттарының бipіоның теориялық негіздерін білу және оларды практикада қолдану дағдыларын меңгеру. Сонымен қатар оқушылардың логикалық ойлауын, дәлелдеу қабілетін, талқылауларды себептеу, ойды дәл және анық тұжырымдай білу мәселелері де маңызды міндеттер болып табылады. Геометрияның мектептік курсын оқытуда бұдан басқа да мәселелер шешіледі. Олар: оқушылардың кеңістік түсінігі мен елестете білуін дамыту, қоршаған ортаны геометриялық тұрғыдан көре білу және т.б
Мектеп геометрия курсының көкейтесті мәселелері - курстың мазмұнының ғылыми құндылығын, оқу материаланың түсініктілігін арттыру, мазмұнды геометриялық есептердің рөлін күшейту, оқушыларды шамадан тыс жүктемелерден құтқару және т.б.
Оқулық авторлары геометрияны оқыту мақсаттарын анықтауда басты мақсатты әрқайсысы өздерінше түсінеді және осыған байланысты, оқулық мақсатқа сай мазмұнға ие болады. Мысалға, Л.С.Атанасян және т.б оқулығындағы баяндау алдынғы орынға дәлелдеудің көрнекі-геометриялық жағын қойып, басты мәселеде оның мазмұнына көңіл аударылса, ал А.В.Погорелов бұл мәселені басқаша шешеді. Көпшілік мектептерде осы оқулықты пайдаланып жүргендіктен оған толығырақ тоқталайық. Біріншіден бұл оқулық әсіресе курстың басында, теориялық материалды баяндау қатандығының (ғылымилығының) өте жоғары деңгейімен сипатталады.
Мұнда аксиомалардың толық тізімі қажетті анықтамалар мен теоремалар, дәлелдемелер келтіріледі. Баяндау қатандылығы оқушылардың логикалық ойлауын дамытудың, ондағы толық қандай логикалық себептерді көрсете білудің табиғи құралы ретінде қарастырылады. Бірақ бұл баяндау қатаңдығы педагогикалық жағынан әлі толық анықталып болмаған, оны әртүрлі басылымдардағы оқулық мазмұнындағы жиі өзгерістер көрсетіп отыр. Екіншіден, бұл оқулықта есептердің рөлі күшейтілген. Бұл екі әдіспен іске асырылады: 1)теориялық материалды тиімді және жинақы баяндаудың есебінен; 2)мазмұнды есептердің ара салмағын арттырудың есебінен. Мұғалімдер тәжірибесі көрсеткендей есеп шығаруға оқу уақытының 50% шамасында жіберіледі, бұл басқа оқулықтарға қарағанда көп. Оқулықта анықтамаларды үйренуге, теоремаларға келтіретіндей және т.б. есептердің түрлері жоққа жақын. Үшіншіден, теориялықматериалдарды ұтымды баяндау көпшілік жағдайда синтетикалық әдісті ғана емес, сонымен қатар аналитикалық геометрия әдістерін пайдалану арқылы қамтамасыз етіледі. Мысалға, бұл оқулықта мектеп тарихында бірінші рет векторлық алгебраны баяндауда координат әдісін қолданады, ал тақырыпты өте-мөте қарапайым түрге келтіреді. Соның арқасында орта мектептің өзінде оқушыларға, екі вектордың скаляр көбейтіндісі ұғымын қоса, векторлық алгебраның біршама толық көлемде мағлұматын береді. Жалпы алғанда оқулық мазмұны да, оны баяндау да негізінен қалыптасқан А.П.Киселев оқулығының бағытын сақтаған. Оқулықта жиындық-теориялық тәсіл жоқ, бірақ геометриялық фигуралар нүктелерден тұрады делінеді [1]. Егер оқулықты А.Н.Колмогоров және т.б оқулығымен салыстырсақ біз мұнда геометриялық түрлендірулер теоремаларды дәлелдеудегі және есептерді шығарудағы математикалық аппарат ретінде пайдаланылмай, тек жеке шағын тақырыптар түрінде оқытылатынын байқаймыз.
Курстың теориялық бөлігін баяндаудағы ықшамдылық әдістемелік аппараттың қысқартылуынан, конспектілік жағының күшейтілуінің есебінен қол жеткізілген. Бірақта баяндаудың шамадан тыс құрғақтылығы оқу құралын оқушыларға өз беттерімен жұмыс істеуге қиыншылықтар келтіреді. Бұл оқулықпен оқушылар негізінен мұғалімнің сабақта түсіндіргенінен кейін ғана пайдалана алады. Сондықтан мұғалімдерге (әсіресе жас мұғалімдерге) арналған методикалық құралдарды қосымша дайындау қажет болады. Сонымен қатар оқу құралында методикалық аппараттың жеке элементтері де жоқ емес. Мысалға ол есептерді шығару үлгілерімен, қайталау сұрақтарымен және т.б жабдықталған.
Геометрия оқулығын жетілдіру негізінен оның мазмұнын тиімді баяндау және оқулықтың логикалық-математикалық жүйесін (логикалық құрылымын, анықтамалар жүйесін, дәлелдемелерін) тиімдірек ету арқылы іске асуы керек. Сонымен қатар оның мазмұнында, қолдануында, есептер шығару барысында еліміздің ұлттық ерекшеліктері (ою-өрнек түрлеру, құрал-жабдықтары, кәсібіне байланысты заттар т.б.) көрініс табу керек деп ойлаймыз.
Соңғы кезеңде оқулықтан орын алған координаталар, векторлар, геометриялық түрлендірулер - бұл мектеп геометрия курсын қазіргі заманға тек мазмұны жағынан ғана икемдейтін ғана тақырыптар емес, сонымен қатар олар көпшілік жағдайда оқулықтың логикалық құрылымын анықтайтын оқу курсын мазмұндаудың жаңа математикалық әдістері болып табылады.
Геометрияны баяндауда математикалық әдістердің жеке түрлерімен әуестену, бір әдісті екіншіге қарсы қою жақсы оқулық жасап шығаруға мүмкіндік бермейді. Оқулықтың логикалық-математикалық жүйесін тиімді жасау үшін бірнеше математикалық әдістерді таңдап алып, оларды ұштастыра пайдаланған орынды, ал әдістердің жеке бір түрі басқалармен салыстырғанда қарапайымдылығы, тиімділігі анық көрініп тұрғанда ғана қолданылуы керек. Бірақ мұны бірнеше әдісті қалай болса солай құрастыра салу деп қарамау керек. Ол жақсы нәтиже бермейді. Себебі ондай жағдайда баяндауда методологиялық шашыранқылық болып, математика әдістері мен оқу курсының нақты фактілері арасындағы қажетті қатынас бұзылады. Бұл уақыт тапшылығы жағдайында әртүрлі әдістерді пайдалану барысында оқушыларда дағдылардың қалыптасуы үстіртін жүреді. Әртүрлі әдістерді кірістіре пайдалануда тағы бір қателік жетекші әдісті таңдап алуда болуы немесе жетекші әдіс пен қосымша әдістердің ара салмағының дұрыс болмауынан да болады.
Мектеп өмірінде бұрыннан қалыптасқан синтетикалық әдіс мектеп геометрия курсының жетекші әдісі болуы және қалған математикалық материалдарды баяндауға негіз болғаны дұрыс болады. Бұл тек геометрияға ғана қатысты емес (векторлар, координаталар, геометриялық түрлендірулер) сонымен қатар алгебраға (теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін) математикалық анализ бастамаларына (сандық функциялардың графиктері, тригонометриялық функциялардың геометриялық анықтамалары, туынды мен интергралдың геометриялық баяндалуы) да қатысты болады.
Геометрияның дағдылы-синтетикалық салалары оқушылардың кеңістік түсінігі мен көз алдына елестете білуін қалыптастырудың негізі болып табылады.
Логикалық-матемтикалық жүйелі оқулықты құрастыру үшін қазіргі кезеңде тек қана дағдылы синтетикалық әдіс жеткіліксіз болады. Қосымша әдіс ретінде координаталық-векторлық әдісті пайдалануға болады.
Дағдылы-синтетикалық және координаталық әдістерді бір мезгілде енгізу аралас түрдегі аксиоматиканы қолдану арқылы қамтамасыз етілуі мүмкін. Бірақ оған біз оқулықтың логикалық-математикалық жүйесін ұтымды жасауға ұмтылу ретінде қарасақ, яғни методологиялық мақсатпен қарасақ, ол тиімдірек болар еді. Себебі аралас аксиоматиканың осы көзқарас тұрғысынан мүмкіндігі жоғары. Сонымен қатар мектеп жағдайында ұғымдылығы жағынан таза аксиоматиканың жарамсыз екенін де есте ұстау керек.
Мектеп оқулықтарын қайта құрудың түйінді мәселелерінің бірі олардың көлемін, оқушылардың оқу жүктемесін бір қалыпқа келтіру. Бұл мәселені шешуде теориялық материалдар мен есептер шығару арасындағы қатынасты анықтаудың маңызы зор. Қазіргі қолданып жүрген геометрия оқулықтарында 50%-дан астамы есеп шығаруға бөлініп жүр, бірақ ғылыми зерттеулер оны 1:2 қатынасындай есептер шығару мөлшерінде болуы керек деп есептейді.
Қазіргі кезеңде даралап оқыту мәселесі енгізілуде, яғни оқушыларды әртүрлі деңгейде дайындауға байланысты оқулықтар дайындау. Мұндай жағдайда оқушы, мектеп қандай оқуылықты пайдаланатынын өздері анықтайтын болады.
Стереометрия курсын оқыту мынандай қағидалардың органикалық бірлігін қамтиды:
1. Геометриялық денелердің қасиеттері туралы кеңістік түсінігі;
2. Ол қасиеттердің бар болуының қатаң логикалық негізделуі;
3. Көрнекіліктің жүйелі түрде қолданылуы.
Кеңістік түсінік пен логикалық негіздеу бірін-бірі өзара толықтырып күшейтеді. Барлық қағидалар планиметриядағыдай аксиомалар мен негізгі ұғымдардан басталады, олардың ішінде жаңа геометриялық образ - жазықтық бар. Кеңістіктегі жазықтықтың негізгі қасиеттері. үш аксиомаларымен берілген, оларды хабарлау алдында планиметрия аксиомалары еске түсіріледі.
Аксиомаларды қарастырғаннан кейін олардың салдарлары беріледі. Аксиомаларды оқыту планиметриядағымен ұқсас, бірақ мына түсініктемелерге баса назар аудару керек: жазықтықтағы нүкте және кеңістіктегі нүкте, жазықтықтағы түзу және кеңістіктегі түзу және әсіресе кеңістіктегі жазықтық.
Оқушылардың бұған дейінгі фигуралардың қасиеттері туралы барлық білімі мен түсініктері негізінен жазықтыққа негізделген, ал үш өлшемді кеңістікке жазықтық жеке фигураға айналады және сонымен қатар өзінің көптеген қасиеттерімен бірге жазық фигураларды жасаушы болады.
Оқушыға жазықтық бейнесін үш өлшемді кеңістікте елестету қиын болады, ал кеңістікте екі, үш және одан да артық жазықтықтарды орналастыру ауыр тиеді. Мұнымен қоймай белгілі жазық фигураларды олардың қасиеттерімен қоса көре білу одан да қиын болады.
Осы жағдайларды ескере отырып бұл курста алдымен түзулер мен жазықтықтардың метрикалық емес содан кейін барып метрикалық қасиеттері баяндалады. Мұндай тәсіл стереометриядағы маңызды, әрі күрделі мәселені - кеңістік фигураларын үш өлшемді кеңістікте және жазықтықта параллель проекциялаудың көмегімен кескіндеу мәселесін табиғи шешуге көмектеседі.
Түзулер мен жазықтықтардың перпендикулярлығын, оның ішінде айқас түзулердің ара қашықтығы сияқты қасиетті оқи отырып оқушылар ортогональ проекция ұғымын түсінуге, яғни үш өлшемді кеңістікте декарттық координат системасын енгізуге дайындалады. Мұның практикалық маңыздылығын ескере отырып, әрбір оқушыны фигуралардың екі өлшемді қасиеттерінен үш өлшемді қасиеттеріне және керісінше етуге тиянақты дайындалу керек.
Мұндай ойша елестетулер мен бір кескіннен екіншіге өту кеңістік түсініктердің дамуының негізі болу керек. Әрбір оқушыны көре, түсіне, сала, кескіндей білуге, оқудың тәрбиелік мақсаттарына жеткізетін теорема, есеп, анықтама және қорытынды қандай фигура туралы жүріп жатқанын ажырата білуге үйрету негізгі мақсат болады.
Стереометрия аксиомалары. Орта мектеп курсында оқушылар жазықтықта: нүкте, түзу сияқты негізгі ұғымдармен, яғни екі өлшемді бейнесімен танысты. 10 - сыныпта енді осы фигуралар қайта қарастырылады, бірақ үш өлшемді кеңістікте және жаңа геометриялық бейне жазықтық енгізіледі. Бұл бұрын қабылданған планиметриядағы аксиомалар системасын кеңейтуді талап етеді. Ол үш аксиомадан тұрады. Бұлар кеңістіктегі жазықтықтың негізгі қасиеттерін сипаттайды. А.В.Погорелов оқулығының материалды мазмұндау ерекшелігі көрнекі елестетуге негізделген қатаң логика. Сондықтан 10 - сыныпта мүмкіндігінше стереометриялық жәшіктің не басқа материал көмегімен модельдеу, тақтада, дәптерде сызу, айнала қоршап тұрған ортадан көрсету сияқты жұмыстарды жиі қолдану керек болады.
Стереометрияның алғашқы сабақтарынан бастап есептің шарты бойынша суретін салу, негіздеуін қоя тұрып есептің шешу жолын белгілеу, яғни талдау, ал одан кейін шешімді қатаң негіздеу тәсілдеріне оқушыларды үйрете бастайды.
Стереометрия аксиомаларының кейбір салдарлары.
Бірінші сабақта алғашқы екі теорема оқылады:
1. Түзу және онда жатпайтын нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады;
2. Егер түзудің екі нүктесі жазықтыққа тиісті болса, онда түзу тұтастай сол жазықтыққа тиісті болады.
Бірінші теореманың дәлелдемесі екі бөліктен тұрады: түзу және онда жатпайтын нүкте арқылы өтетін жазықтықтың бар болуын дәлелдеу, тұрғызылған жазықтықтың жалғыздығын дәлелдеу.
Жұмысты мынандай сұрақтар қоюдан бастауға болады (оқушылардың жауаптары бойынша интерактивті тақтада GeoGebra бағдарламасының көмегімен сызбалар салынады).
1. аксиомасын тұжырымда (Егер әр түрлі екі түзудің ортақ нүктесі болса, онда олар арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады - жазықтықтың бар болу аксиомасы);
2. түзуі және онда жатпайтын кез- келген нүктесі арқылы жазықтық жүргізу үшін қосымша қандай салулар орындау керек? ( түзуінен кез - келген нүктесін алу, және нүктелері арқылы түзу жүргізу);
3. Ненің негізінде түзуден нүктесін алуға болады? ( аксиомасы негізінде: қандай да бір түзуді алсақ та, ол түзуге тиісті нүктелер де, оған тиісті емес нүктелер де бар болады);
4. Неге екі және нүктелері арқылы түзу жүргізуге болады? ( аксиомасы негізінде: кез келген екі нүкте арқылы түзу жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады);
5. Қандай қорытынды жасауға болады? (Бұл жазықтық берілген түзу және онда жатпайтын нүкте арқылы өтеді).
Оқушыларда салынған жазықтықтың жалғыздығын дәлелдеу артық болар деген ой тууы мүмкін, себебі аксиомасы бойынша ондай жазықтық жалғыз. Ондай дәлелдеудің қажеттілігіне оқушылардың көзін жеткізу керек. Ол үшін оқушылар назары түзуінен алынған нүктесінің еркінділігіне аударылады, ал бұл салынған жазықтықтың жалғыздығын дәлелдеуді қажет етеді.
Теореманы жазу үлгісі.
Берілгені: түзуі, нүктесі түзуінде жатпайды (1-сурет).
1-сурет. Түзу және одан тысқары жатқан нүкте.
Дәлелдеу керек:
а) түзуі және нүктесі арқылы өтетін жазықтығының бар болуы;
ә) жазықтығының жалғыздығы.
Дәлелдеуі.
а) түзуінен нүктесін аламыз. (, акс.) (2-сурет).
2-сурет. Түзу бойындағы және одан тыс жатқан нүкте.
жәненүктелері арқылы түзуін жүргіземіз (, акс.) (3-сурет). және қиылысқан түзулері арқылы жазықтығын жүргіземіз ( акс) (4-сурет).нүктесі түзуінде жатқандықтан жазықтығы нүктесі арқылы өтеді.
3-сурет. Екі нүкте арқылы түзу жүргізу.
4-сурет. Қиылысқан екі түзу арқылы жазықтық жүргізу.
Қорыту. жазықтығы түзуі және онда жатпайтын нүктесі арқылы өтеді.
ә) түзуі және нүктесі арқылы өтетін - дан өзгеше жазықтығы бар болсын ( нүктесі түзуінде жатпайды).
- және жазықтықтарының ортақ нүктесі. түзуі - бұл жазықтықтардың ортақ түзуі. Яғни нүктесі түзуінде жатады, бұл шартқа қайшы. Сондықтан да және жазықтықтары беттеседі.
Бұдан кейін бекіту жаттығулары орындалады. Келесі қаралатын тарау ол кеңістіктегі параллельдік. Бұл бөлімде:
oo Параллельдік туралы ілім.
oo Орта мектепте қаралатын параллельдік теориясының негізгі мәселелері.
oo 10-11 сыныптарда параллельдікті оқытудың кейбір мәселелері:
а) параллельдік ұғымын кеңейту;
б) параллельдік белгісін тағайындау және оның қолданылуы.
oo Тақырып бойынша жаттығуларды сұрыптау.
oo Сабақта проблемалық жағдай жасау.
oo Тақырып бойынша материалдың меңгерілуін тексеру жүйесі.
oo Сабақтағы тәрбиелік жұмыс.
Түзулердің параллельдігі туралы ілімнің қандай қажеттілігі бар? Оның мазмұны қандай?
Түзулердің параллельдігі туралы ілім фигуралардың аудандары мен көлемдерін өлшеудің негізі, ол арқылы жазықтықтағы тригонометрия тұрғызылады.
Математиканың дамуында 5 пастулаттың қандай рөл атқарғандығы белгілі. Евклид заманынан 19ғасырдың аяғына дейінгі жүргізілген зерттеулер 5 постулаттың тәуелсіздігін ғана емес, оның геометриядан шешуші рөлін де көрсетіп берді. 5 пастулатты немесе оған мәндес аксиоманы қабылдау үйреншікті Евклид геометриясына әкеледі. Ол пастулатты оған қайшы аксиомамен алмастыру евклидтік емес геометриялардың біріне әкеледі.
Орта мектеп курсында параллельдік теориясын қандай деңгейде және қалай қаралған?
Орта мектепте параллельдік теориясының негізгі мәселелері қарастырылады. Жиындық-теория тұрғысынан қайшылық болмауы үшін параллель түзулер анықтамасы кеңейтіліп беріледі, параллельдер есебіне өзара беттескен түзулер де енгізілген. Олардың бар болу теоремасы ретінде екі центрлі-симметриялы түзулердің параллельдігі мәселесі қарастырылады. Тек осыдан кейін ғана параллельдік аксиомасы енгізіледі: Берілген нүкте арқылы берілген түзуге параллель біреуден артық емес түзу өтеді. Ал А.В.Погорелов оқулығында бұл аксиома алғашқы сабақтарда негізгі қасиет ретінде мына түрде беріледі: Берілген түзуде жатпайтын нүкте арқылы жазықтықта осы түзуге параллель түзу жүргізуге болады және ол біреуден артық болмайды.
Одан кейін үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы, Фалес теоремасы және оның негізінде үшбұрыштың, трапецияның орта сызығының қасиеттері қарастырылады.
8-сыныпта оқушылардың математикалық дайындық деңгейіне байланысты аудандар теориясы негіздеусіз беріледі, тек қана аудандардың негізі қасиеттері дәлелдеусіз алынады: (теріс еместігі, аддитивтілігі, инварианттылығы, нормаланғандығы, жалғыздығы).
Оқушылар үшін жасырын түрде параллельдік теориясы іштей сызылған бұрыштарды, шеңберге іштей сызылған үшбұрыштар мен көпбұрыштарды оқыған кезде қолданылады (үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы туралы теореманы пайдалану). Есептер шығаруда жиі қолданылатын 5 пастулатқа мәндес тұжырым Пифагор теоремасын атап өтеміз.
Сонымен планиметрияның мектептік курсында қатаң және толық тұжырымдауы болмаса да параллельдік теориясы біршама кең қолдау табады. 7-9 сыныптардағы оқу параллельдікті кеңістікте қарау үшін жеткілікті база жасайды.
9-11 сыныптарда қандай мәселелер қарастырылады? Ең бірінші параллельдік ұғымын кеңейту мәселесі. Одан кейінгі мәселе параллельдік белгілерін тағайындау мен оны басқа жағдайларда қолдана білу.
Орта мектепте оқушылар беттеспейтін екі түзудің не қиылысатынын, не параллель болатынын меңгерген еді. Кеңістіктегі жағдайды қарастыру қиылыспайтын түзулердің параллель болмауы да мүмкін екендігі анықталады. Айқасқан түзулерді енгізу ең алдымен оқушылардың ой әсерін және кеңістік түсінігін кеңейтеді. Оқушылар бір жазықтықта жататын деген сөздің мағынасын түсіне бастайды.
Осының бәрі біздің алдымызға мынандай танымдық проблеманы қояды: қаралып отырған екі түзудің параллельдігін қалай анықтауға болады? А.Н.Колмогоров оқулығында (планиметрия) параллель түзулерді қанша созсақта қиылыспайтын түзулер ретінде анықтау, сырттай қарғанда, параллельдікті тексеру әдісін беріп тұрғандай. Шындығында ол дәл емес және іске аспайды (түзулер шексіз, қалай оны созамыз). Тақтада салулы тұрған екі және кесінділері тиісті болатын түзулердің ортақ нүктесінің жоқтығынан () және () түзулерінің параллельдігі шығады.
Тексерудің дәл әдісіне мынандай тұжырым жетелейді: егер түзуін қиып өтетін кез келген түзу түзуін де қиып өтсе, онда бұл түзулер параллель. Бірақ бұл белгінің практикалық іске жарамсыз екенін бірден аңғаруға болады. ол теріс әсер етуі мүмкін: қаралып отырған түзулердің біреуімен қиылысып, екіншісіне параллель болатын жазықтық табылса, онда бұл түзулер не қиылысады не айқасады. Егер қаралып отырған түзулердің параллельдігін тағайындау қажет етілсе, онда неше рет тексеруден кейін жұмыс аяқталды деп есептеуге болатыны белгісіз. Сонымен қатар бұл тәсілдің өзі күмән келтіреді: түзулердің параллельдігінің орнына күрделірек ұғым - түзу мен жазықтықтың параллельдігі қарастырылады.
Практикада бұдан өзгеше жолды пайдаланған дұрысырық болады. Кеңістіктегі параллельдіктің транзивтілігін тағайындау арқылы: егер екі түзу үшінші түзуге параллель болса, онда олар өзара параллель болатын белгісін алуға болады.
дұрыс алтыжақты призма болсын. және және және түзулері өзара параллель ме (5-сурет)?
Дұрысалтыбұрыштың қасиеті бойынша егер және болса, онда . Осы сияқты екеуі де түзуіне параллель болғандықтан үшінші жағдайда екенін де көрсетуге болады; және тағы мен қиылысады. Сондықтан, -ға параллель емес , яғни айқасады.
5-сурет. Дұрыс алтыбұрышты призма.
Ақырында, кейбір жағдайларда (қаралған мысалда) Геометрия 10-11 оқулығындағы: Әрбір жазықтық үшін планиметриядан белгілі реттік, жазықтықтың қозғалғыштық және түзулердің параллельдік аксиомалары орындалады деген аксиома көмекке келеді.
Параллельдік ұғымының маңызы кеңейтілді, түзу мен жазықтықтың параллельдігі болып табылады. Мұнда оқушылар табиғаты әртүрлі объектілерді салыстырумен кездеседі (және щексіз-жазықтық әрі шексіз, әрі шетсіз). Оқулықта дәлелденетін 2-теорема түзу мен жазықтықтың параллельдігінің белгілерінің бірін береді.
Бірақ құрылыс практикасында, монтаждық жұмыстарда т.б кең қолданылатын басқа белгісі де бар: түзу мен жазықтықтың ортақ перпендикуляры бар болатын болса, олар параллель болады. Бұл белгіні кейінірек есеп түрінде қарастыруға болады.
Келесі қадам жазықтықтардың параллельдігін оқу болады.
Бұл проблеманың практикалық маңызы зор. Мысалға, бөлмедегі еденнің горизонтальдығын қамтамасыз етудің қажеттілігі, автомашина кузовының қабырғаларының, вогондардың қабырғаларының параллель болуын дұрыстау болатындығын көрсетсек те жетіп жатыр.
Біздің оқулықтарда келтірілетін параллельдік белгісінің дәлелдемесін жетілдіруге болады. Ең алдымен жазықтықтар майысып салынған чертеж оқушыларды абыржытады. Және де, дәлелдеу кезінде тікелей жақын тұрған мәселе - түзу мен жазықтықтың параллельдігін аттап өтіп, түзулердің параллельдігіне көңіл аударылады.
Осындай пікірлерден параллельдік белгісін мына формулировкада қараған дұрыстау деген ой туады. Егер бір жазықтықтың қиылысқан екі түзудің әрқайсысы екінші жазықтыққа параллель болса, онда ол жазықтықтар параллель болады.
Суреттегідей болсын. екенін дәлелдеу керек. Бұл жазықтықтар параллель емес деп жорылық. Онда олар бір түзуінің бойымен қиылысады. Сонда оқулықтағы 3-теорема бойынша және . Бірақ сонда жазықтығында О нүктесі арқылы -ге параллель екі әртүрлі түзу жүргізілген болады, бұл мүмкін емес. Сондықтан да, жазықтықтардың параллель еместігі туралы жорамал қате, яғни дәлелдеу керегі осы.
6-сурет. Түзу және одан тыс жатқан нүкте арқылы жүргізілген жазықтық.
7-сурет. Қиылысқан екі түзу арқылы жүргізілген жазықтық.
Кейінірек оқушылар жазықтықтардың параллельдігініңтағы да бір белгісімен танысады: екі жазықтықтың ортақ перпендикуляры бap болса, олар өзара параллель болады. Бұл белгі тек қана математика сабақтарында ғана емес құрылыс тәжірибесінде, станок жасауда т.б. қолданылады.
Жазықтықтардың параллельдігіне байланысты оқушылар сәйкес қабырғалары бағыттас бұрыштармен де танысады. Бұл мәселені есептер шығарғанда қарастырған пайдалы.
Параллель жазықтықты үшінші бір жазықтықтың қиюы туралы теореманың маңызы өте зор. Оқушылар осы теореманы жалғастыратын мынандай сұраққа жауап беруде жиі қателесетінін еске саламыз; және жазықтықтарының басқа бір жазықтықпен қиылысу сызықтары параллель. және жазықтықтары параллель ме? Бұған оқушы иә деп жауап берсе, онда ол жазықтықтардың параллельдігінің белгісін жеткіліксіз түсінгенімен қатар тура және кері теоремалардың арасындағы байланысты да түсінбейтіндігін білдіреді.
Егер жазықтық екінші жазықтыққа параллель берілген түзу арқылы өтсе, және осы жазықтықпен қиылысса, онда жазықтықтардың қиылысу сызығы берілген түзуге параллель болады.
Қаралып отырған материалды оқытуда бірқатар методикалық мәселелер пайда болады, оларды дұрыс шешпейінше оқыту жемісті болуы мүмкін емес.
Тақырып бойынша жаттығуларды сұрыптау. Қаралатын кеңістіктегі параллельдік тақырыбына теоремалар мен салдар біршама көп. Жеткілікті түрде жаттығулар қарастырылмаса ең басты мақсат - оқушылардың кеңістік туралы түсінігін дамыту іске аспай қалады.
Жаттығулардың 1-түрі:қарастырылған анықтамаларды, аксиомаларды, теоремаларды дұрыс түсінуге бағытталады.
Мысал-1. түзуі жазықтыққа параллель болсын. Жазықтықта түзуіне параллель түзулер бар ма? Бар болса, қанша? Жазықтықта -ге параллель емес түзулер бар ма? Бар болса, қанша?
Мысал-2. Түзу берілген екі жазыққа да параллель. Ол жазықтықтардың өзара орналасуы туралы не айтуға болады?
Жаттығулардың 2-түрі: дайын чертеждерді параллель түзулер мен жазықтықтарды таба білуге арналады. Бұнда таблицалар, проекциялау аппараттары кең қолдану керек.
Жаттығулардың 3-түріне есептеулермен дәлелдеуге арналады.
Мысал. және түзулері айқасқан. болатын жалғыз ғана жазықтықтар жұбы болатынын дәлелдеу керек.
Екінші методикалық проблема ол сабақта проблемалық жағдай жасау. Бұл тақырыпты оқытуда жағдай жасау негізі мына түрде болуы мүмкін:
1. Теореманың дәлелдемесінің немесе есептің шешуінің басқа дәлелдемесін табуды талап ету, немесе
2. белгілі бір үлгідегі емес мәселе қою арқылы, немесе
3. алдын-ала практикалық сипаттағы есепті талдау.
Мысал-1. дұрыс бесбұрышында диагональ қабырғасына параллель екенін тағайындау керек болсын.
8-сурет. дұрыс бесбұрышы.
1. Бұны есептеу арқылы тағайындауға болады: . Яғни іргелес бұрыштарының қосындысы. .
2. Есептеулерді азайтуға болады, егер -ны есептеудің орнына АВ қабырғасын созсақ. Сонда .
3. Есептеусіз-ақ орындауға болады, егер бес бұрыштың төбесі және қарсы жатқан табанының ортасы арқылы өтетеін түзу оның симметрия өсі болатынын ескерсек.
2 - мысал.Кубтың екі іргелес жақтарының центрлерін қосатын кесінді кубтың қандай жақтарына немесе жақтарының диагональдарына параллель?
Мұнда бұл кесінді куб қырларының ешқайсысына да параллель болмайтынын бірден аңғарға болады, бірақ ол екі жағының жазықтықтарына параллель. Сондықтан да, қаралып отырған кесіндіге параллель диагональдарды осы жақтардан іздестіру керек.
Стереометрия курсының басында мұғалім геометрияның ғылым ретінде пайда болуы туралы, дәлелдеулердің пайда болуы туралы, ал одан кейін теорема және аксиома сияқты ұғымдар туралы әңгімелейді. Осы әңгіме барысында оқушылар параллельдік теориясының геометриядағы маңызын біледі.
Материалды оқыту барысында мұғалімнің қысқаша беріп отыратын мағлұматтарынан оқушылар көпшілік теоремалардың Евклидтік Бастамаларында болғандығын (тұжырымдалған және дәлелденген) біледі. Мысалға, Бастамалардың 11 кітабында 9-сөйлем кеңістіктегі параллель түзулердің транзивтілігі туралы теорема, 10-сөйлем - бағыттас бұрыштар туралы, 15-сөйлем - екі жазықтықтың параллельдігінің белгісі. 16-сөйлем - екі жазықтықты үшінші жазықтықпен қию туралы т.б келтірілген.
Бұл мәліметтер Ежелгі Грецияда геометрия қандай деңгейде болғандығын көрсетеді. 19-20 ғғ математика саласындағы зор табыстар тек қана грек оқымыстыларының жұмыстарын меңгерудің нәтижесінде болды.
Жаңа қоғамдық жағдайлар жаңа процестерді оқуды қажет етті, айнымалы шамалар математикасы пайда болды. Бұл математика дамуындағы сапалық дәуір. Бірақ Евклидтің, Архимедтің, Аполонийдің еңбектері өз кезінде маңызды роль атқарды.
Мұғалімнің таблицалардағы, стендалардағы анықтамалары бойынша оқушылар математиканың өмірде сондай кең қолданатынын көреді. Рельстер мен сымдар, электр беру сымдары, көпірлер, құрылыс-монтаж жұмыстары - осының бәрі түзулер мен жазықтықтардың параллельдігіне байланысты. Осылардың бәрін біле отырып, оқушылар оқытылып отырған материалды сапалы және ынтамен меңгеретін болады. Бұл оқытуда жетістікке жетудің маңызды алғы шарттарының бірі.
Бұл айтылғандармен түзу мен жазықтықтың параллельдігінің мектеп курсындағы орны мен проблемалары тамамдалмайды. Бұл стереометрия курсының бұдан кейінгі барлық тарауларын тұрғызуда маңызды роль атқарады.
Біз бұл тақырыпты талдағанда материалдың мазмұнымен қатар түзулердің параллельдігі туралы ілімнің қажеттілігі, параллельдік теориясының мектеп курсындағы деңгейі, материалдың меңгерілуін тексеру жолдары және осы тақырыпқа байланысты тәрбиелік жұмыстарға байланысты мәселелер көтердік. Осы айтылған идеялар келесі тақырыптарды оқытуда да басшылыққа алынады.
Келесі қарастырылатын бөлім кеңістіктегі перпендикулярдық. Бүкіл тақырыпты мынандай үш бөлікке бөлуге болады:
1) Түзулердің кеңістіктегі перпендикулярлығы;
2) Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы;
3) Жазықтықтардың перпендикулярлығы;
Бұл бөлімдердің әрқайсысы бойынша өзіндік жұмыс, бақылау жұмысы, оқушылардан сабақ үстінде сұрау т.б оқушылар білімін есепке алу түрлерінен бөлек жұмыстар жүргізіледі.
Көрсетілген бөлімдерді оқу барысында оқушылардың стереометрия курсының бас жағында түзулердің кеңістіктегі параллельдігін оқу барысында танысқан жалпы схема бойынша жүргізілуі керек. Бұл түзулердің кеңістіктегі перпендикулярлығын түзулер мен жазықтықтардың кеңістіктегі өзара орналасуларының жалпы схемасын жасауға, кеңістіктегі перпендикулярлықты стереометрия аксиоматикасымен байланыстыруға, жаңа материалды оқыған кезде жоспарлы қайталауды ұйымдастыруға мүмкіндік жасайды. Бұл тақырыптың үлкен қолданбалық мүмкіншілігі бар, сондықтан есептер шығаруға ерекше көңіл аударылады; есептерде 11 сыныптағы стереометрияны сәйкес тарауын оқуға оқушыларды дайындау мақсатында көпжақтарды - призма мен пирамиданы пайдалану керек. Векторлық аппараттың көмегімен шығарылатын есептерге, дайын суреттер бойынша шығарылатын есептер арнайы қарастырылады.
Кеңістіктегі түзулердің перпендикулярлығы. Бұл тарау бұрын өтілгендерді қайталау ретінде жүргізіледі. Қайталауды мынандай жоспар бойынша жүргізу керек:
Өзара перпендикуляр түзудердің анықтамасы:
қиылысатын және айқасатын өзара перпендикуляр түзулер. Оларды көпжақтардың модельдерінде және қоршаған ортадан көрсету.
Қайталау кезінде кеңістіктегі перпендикуляр екі түзудің ортақ нүктесі болмауы да мүмкін екенін баса айтудың маңызы зор.
Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы. Таблицаны пайдаланып түзу мен жазықтықтың кеңістікте өзара орналасуын қайталаудан бастаған дұрыс. Өзара қиылысқанда ғана түзу мен жазықтық перпендикуляр бола алатынын аңғару қиын емес.
Ендігі мәселе: жазықтықты қиятын түзу қандай жағдайда оған перпендикуляр болады? Тәжірибе көрсеткендей, егер түзу жазықтыққа перпендикуляр болса, онда ол жазықтықтағы кез келген түзуге перпендикуляр болады. Бұл көрнекілік арқылы көрсетіледі. Осыдан кейін түзу мен жазықтықтың кеңістіктегі перпендикулярлығының анықтамасы беріледі. Мұнда түзу мен жазықтытың перпендикулярлығының кеңістіктегі түзулердің перпендикулярлығына келтірілетіне баса назар аударылады.
Стереометрия оқулықтарында түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығының әртүрлі анықтамалары. Мысалға, Л.С.Атанасян оқулығында Егер түзу жазықтықта жатқан әрбір түзуге перпендикуляр болса, түзу мен жазықтық перпендикуляр деп аталады делінеді. Ал, А.В.Погорелов оқулығында: Егер жазықтықты қиып өтетін түзу сол жазықтықта жатқан және түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесі арқылы өтетін кез келген түзуге перпендикуляр болса, онда түзу жазықтыққа перпендикуляр деп аталады. Ә.Н.Шыныбеков оқулығында: Егер түзуі жазықтығындағы кез келген түзуге перпендикуляр болса, онда түзуін жазықтығына перпендикуляр деп атайды делінген. Ал Ж.Қайдасов оқулығында келесідей жазылған: Егер түзу жазықтықтағы түзулердің кез келгеніне перпендикуляр болса, онда түзу сол жазықтыққа перпендикуляр деп аталады.
Мектеп геометрия курсы үшін анықтамаға түзу мен жазықтықтың қиылусуын талап еткен орынды. Егер оны талап етпесек, онда бұл фактыны арнайы дәлелдеу керек болады. Сондықтн А.В.Погорелов оқулығында анықтама тиімдірек және айқас түзулердің қаралуы өзінен өзі шығып қалады.
9.1-сурет. Жазықтыққа перпендикуляр түзу жүргізу.
9.2-сурет. Жазықтыққа перпендикуляр түзу жүргізу.
Анықтаманы пайдаланып түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы туралы айту қиын, себебі жазықтықта жататын түзулер саны шексіз. Шындығында түзудің жазықтықпен қиылысу нүктесі арқылы өтетін және жазықтықта жатқан екі ғана түзудің берілген түзудің берілген түзуге перпендикулярлығы түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығын анықтауға мүмкіндік береді екен (9.1-сурет).
Егер анықтамаға айқас түзулер енгізілсе, онда бұл жағдайда жазықтықтың екі түзуінің қиылысуын талап ету жеткілікті(9.2-сурет).
Сонымен қатар оқушыларға жазықтықта жатқан екі параллель түзуге перпендикуляр болмауы да мүмкін екенін көрнекілік арқылы көрсеткен дұрыс. Көрнекілікті әртүрлі тәсілмен, яғни заман талабына сай ақпараттық технология бағдарламаларын пайдалануға болады. Осы жұмыстың нәтижесінде түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы туралы теорема тұжырымдалады (16.2 теорема) және оның дәлелдемесі сыныпта жүргізіледі, оқушылар қажетті жерлерін алып отырады. А.В.Погорелов оқулығында теореманы дәлелдеу тең үшбұрыштар тізбегін қарастыру арқылы жүргізіледі, ал бұл планиметрия курсынан көптеген мәселелерді қайталап алуды қажет етеді.
Болашақта векторларды скаляр көбейтуді оқу барысында бұл теоремаға оралып, оның басқаша дәлелдемесін берген орынды болады.
Осы жерде жазықтыққа көлбеу ұғымы да енгізіледі.
Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығының белгісі берілген жазықтыққа перпендикуляр түзу тұрғызу есептерінің негізі болады. Бұл екі есепті де оқушылармен бірге орындап, орындалу барысын қысқаша жазу керек. Есепті шешу барысында салудың әрбір қадамында қандай аксиома немесе аксиоманың қандай салдары пайдаланатынын ерекше атап отыру керек.
Берілген М нүктесі арқылы өтетін және жазықтығына перпендикуляр түзуді тұрғызу есебін шешкенде екі жағдайды жеке қарастырған орынды:
а) М нүктесі жазықтығында жатады;
ә) М нүктесі жазықтығында жатпайды.
а) жағдайын сыныпта қарап, ал ә) жағдайын үй жұмысы ретінде беруге болады.
Тұрғызылған жазықтықтың немесе түзудің жалғыздығын дәлелдеу ауызша жүргізіледі, және мұнда талқылаулардың ұқыптылығына назар аудару керек:
1) Берілген түзуге (жазықтыққа) перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін бірден артық түзудің болуы мүмкін делінеді(жору);
2) бұрыннан белгілі жағдайға қайшылық пайда болады;
3) жасалынған жору дұрыс емес, яғни есептің жалғыз шешімі бар.
Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық белгісін оқуда уақыт үнемдеп дәлелдеуге және есептеулерге берілген есептерді көбірек көбірек шығаруға ұмтылу керек, себебі ол болашақта Көпжақтар тақырыбын оқуды жеңілдетеді. Кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығын түзулер мен жазықтықтардың параллельдігімен өзара байланысын оқуда Кеңістіктегі параллельдік тақырыбын қайталаумен байланыстыру керек.
Бұл өзара байланысты сипаттайтын теоремалар жағдайында үш объект қатысады: екі түзу және жазықтық; екі жазықтық және түзу. Теоремалар жұптастырып қарастырылады.
Теоремалардың бірінші жұбы.
1. Берілгені:
Дәлелдеу керек: .
2. Берілгені:
Дәлелдеу керек: .
Бұл екі теорема таза геометриялық жолмен дәлеледенеді, ал болашақта қайталау барысында векторлық аппаратты пайдаланған орынды.
Теоремалардың екінші жұбы.
1. Берілгені:
Дәлелдеу керек: .
2. Берілгені:
Дәлелдеу керек: .
Бұл екі теореманы алдыңғылардан олардың тұжырымдамаларындағы екі түзуді екі жазықтықпен, ал жазықтықты түзумен алмастыру арқылы алуға болады.
Бірінші теореманы дәлелдеуде түзуі арқылы жазықтығын да, жазықтығын да сәйкес және , және түзулері бойымен қиятын әртүрлі және жазықтықтары жүргізіледә, мұнда және .
түзуі жазықтығын және қиылысу нүктесінде қияды. Бұдан болатыны шығады.
Екінші теорема қарсы жору арқылы дәлелденеді.
Осындан кейін түзудің жазыққа тік бұрышты (ортогональ) проекциясы ұғымы енгізіледі. Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы негізінде нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық, екі айқас түзудің перпендикулярлығы, көлбеу мен жазықтық арасындағы бұрыш ұғымдары енгізіледі, сонымен қатар болашақта стереометрия курсын, оның ішінде көпжақтарды оқуда үлкен мәні бар үш перпендикулыр туралы теорема дәлелделінеді. Бұл теореманы дәлелдеуде қандай үш перпендикуляр туралы әңгімеболып тұрғанын түсінуі және осыған байланысты чертеждардан оларды суретте әртүрлі түспен бөлектеулері керек. Бұл теорема жазықтықтағы түзу мен көлбеудің перпендикулярлығының қажетті және жеткілікті шарттарын қамтиды, сондықтан қажетті және жеткілікті шарттарды жеке теоремалар ретінде (тура және кері) қарастыру керек (10-сурет).
10-сурет. Түзудің жазықтыққа проекциясы.
Жеткіліктілігі
Берілгені: -ге көлбеу;
ОВ - АВ-ның проекциясы;
және
Дәлелдеу керек:
Қажеттілігі:
Берілгені: -ге көлбеу;
ОВ - АВ-ның проекциясы;
Дәлелдеу керек:
Оқушылардың кеңістік түсінігін дамыу мақсатында бұл теореманы дәлелдеу үшін модель дайындаған дұрыс болады. болашақта, ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz