Сфералық қозғалыстағы қатты дене нүктелерінің жылдамдығы

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 17 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе
3
1
Сфералық қозғалыс
4
1.1
Сызық ұғымы
6
1.2
Эйлер сипаттамасы
8
2
Эйлер бұрыштары
14
2.1
Эйлер-Даламбер теориялары
16
2.2
Қатты дененің еркін қозғалысы
18
2.3
Дюпен индикатриясы
18

Қорытынды
20

Пайдаланған әдебиетттер тізімі
21

Кіріспе

Курстық жұмыстың өзектілігі: бұл жұмыстың мақсаты студенттерге табиғаттың негізгі заңдылықтарын оқыту; табиғаттағы және техникадағы болып жатқан құбылыстардың математикалық модельін құру және қазіргі заманғы математиканың құралдарын және әдістерін пайдалана отырып талдау жасауға дағдыландыру; болашақ мамандардың ғылыми жалпылау және қорытынды жасау қабілеттерін дамыту.
Курстық жұмыстың мақсаты:
Эйлер бұрыштарын толықтай талқылау;
Эйлер бұрыштарын есептерді шығару барысында көрсету;
есептерді шешудің негізгі әдістерін және қабылдауларын оқыту;
есептерді шешуде орнықты дағдыға ие болу.
Дифференциалдық геометрияның өзге геометриялық пәндер ішінен бөлінуі - зерттеу аймағы емес, зерттеу тәсіліне немесе дәлірек айтса, зерттеу аппараттарына байланысты деуге болады. Аналитикалық геометрияның бүгінгі таңдағы мазмұндалуы векторлық алгебра аппаратынсыз мүмкін болмауына ұқсас дифференциалдық геометрия да векторлық анализ - демек мәндері немесе аргументтер жиыны векторлар болып келетін функциялар теориясыннсыз мүмкін емес.
Функциялар теориясында көңіл негізінен инварианттардышығарып алуға, атап айтқанда скаляр аргументін ауыстыруға тәуелсіз немесе векторлық аргумент жағдайында векторлық базисті ауыстыруға тәуелсіз шамаларды алуға аударылады. Бұл бағытта беттер теориясы және өріс теориясының негізгі фактілері оп-оңай алынып, соынмен бірге тензор ұғымының пайда болуы орынды.
Геометрия, механика және математика ғылымдарынң дамуына үлес қосқан, XVIII ғасырдың үлкен ғұламаларының бірі Леонид Эйлер жайлы айта кеткен жөн. Осы күнгі көптеген геометриялық мәселелер мен идеяларға деген көзқарастың өзгеше болуының арқасында, Эйлер бұрыштарын әлемге талқылаған. Курстық жұмыстың негізгі тақырыбы Эйлер бұрыштары жайлы.
Курстық жұмыстың құрылымы: жұмыс кіріспеден, жеті бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және 21 беттен тұрады.

Сфералық қозғалыс

Сфералық қозғалыс (қозғалмайтын нүктенің айналасындағы қатты
дененің қозғалысы) -- бір қозғалмайтын нүктесі бар абсолютті қатты дененің қозғалысы (1-сурет).

1-сурет - Сфералық қозғалыс

Тұрақты О нүктесінің айналасында қозғалғанда, қатты дененің әр нүктесі кеңістіктегі сфералық бетті сипаттайды, оның орталығы О нүктесі болып табылады.
Сфералық қозғалыс заңдылықтарын сипаттау кезінде Эйлер бұрыштары деп аталатын координаттарды қолданамыз.
1) φ = f1 (t) - меншікті айналу бұрышы;
2) ψ = f2 (t) - прецессия бұрышы;
3) Ө = f3 (t) - тербелу бұрышы;
4) N түйіндерінің сызығы - ху координаталық жазықтықтарының қиылысуы.
Сфералық қозғалыстың мысалы - прецессия шыңының немесе инерцияның ең кіші немесе ең үлкен моментінің осіне сәйкес келмейтін осьтің айналасында бұралған кез-келген дененің қозғалысы. Тағы бір мысал - тісті конустық планетарлық берілістегі конустық роликтің тістеріндегі нүктелердің қозғалысы. Сфералық қозғалыс сипаттамаларының бірі апекс қозғалысымен байланысты, оның траекториясы бірлік сферада, атап айтқанда гироскоптардың динамикасында зерттеледі.
Апекс (механикада) -- координатаның басында центрі бар бірлік сферадағы нүкте, ол абсолютті қатты дененің динамикалық симметриясының осі бойымен қозғалмайтын нүктемен (мысалы, гироскоп) бағытталған бірлік векторының ұшы болып табылады. Апекстің бірлік сферадағы қозғалысы қатты дененің динамикалық симметриясының осінің қозғалысын, яғни прецессия мен нутацияны толық сипаттайды.
APB және A1PB1 сфералық үшбұрыштары үш жағынан тең және оларды бекітілген О нүктесі мен Р нүктесі арқылы тартылған осьтің айналасында бұру арқылы біріктіруге болады. ОР осі соңғы айналу осі деп аталады (1.1-сурет).

1.1-сурет - Айналу осі

Ось біріншісіне шексіз жақын, оны денені бір жерден екінші жерге ауыстыру үшін айналдыру керек, оны жылдам айналу осі деп атайды (1.4-сурет).

1.3-сурет - Аксоидтардың түрлері

Бекітілген нүктенің айналасындағы кез-келген қозғалысты лездік осьтер жиынтығының айналу тізбегімен алмастыруға болады.
Қозғалмайтын осьтерге қатысты лездік осьтердің геометриялық орны қозғалмайтын аксоид деп аталады. Қозғалмайтын аксоид - дененің қозғалмайтын нүктесінде шыңы бар конустық бет. Қозғалатын денеде лездік айналу осьтерінің геометриялық орны қозғалмалы аксоид деп аталады. Қозғалмайтын аксоид сияқты, қозғалмалы аксоид - бұл қозғалмайтын нүктеде шыңы бар конустық бет (1.3-сурет).
Қатты дененің айналуымен байланысты қозғалмалы аксоид қозғалмайтын аксоид арқылы сырғып кетпейді және олардың жалпы түзілуі әр сәтте дененің айналу осі болып табылады.
Сфералық қозғалыстағы қатты дененің бұрыштық жылдамдығы. Сфералық қозғалыстағы қатты дененің лездік бұрыштық жылдамдығы-айналу осі бойымен бағытталған вектор, оның соңынан дененің айналуы сағат тіліне қарсы бағытта көрінеді, оның модулі:

(1)

Лездік бұрыштық жылдамдық ω құрамдас қозғалыстардың бұрыштық жылдамдықтарының векторлық қосындысына тең:

ω = φK + ψk + Өn (1.1)

Ось бұл қатты дененің қозғалмайтын О нүктенің айналасында жылдам айналу осі, ω векторымен сәйкес келетін.

1.4-сурет - Жылдам айналу осі

Сфералық қозғалыстағы қатты дене нүктелерінің жылдамдығы. Бекітілген нүктенің айналасында айналу кезіндегі дене нүктелерінің сызықтық жылдамдығын Эйлер формуласы бойынша есептеуге болады, өйткені бекітілген осьтің айналасында айналу жағдайында әр нүктенің радиус-векторын бекітілген нүктеден жүргізу ыңғайлы:

v = ω . r (1.3)

Жылдамдық модулі v = ωrsin = ωh, мұндағы h қарастырылған нүктеден лезде айналу осіне дейінгі ең қысқа қашықтық.
Осылайша, сфералық қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдығы сол нүктелерден лездік оське дейінгі қашықтыққа пропорционал.

1.1 Сызық ұғымы

Аналитикалық геометрияда сызықты анықтайтын функцияларға дифференциалдау шарты қойылмағандықтан, ондағы сызық анықтамасы дифференциалдық-геометриялық зерттеу негізінде жата алмайды. Сол себептен де сызықтың шынайы топологиялық анықтамасы да айтқан зерттеуде қолайсыз.
Біздің енгізетініміз - сөз етккен зерттеулерге ыңғайлы және өзге анықтамаларға қайшы келмейтін сызық ұғымы анықтамасы. Атап айтқанда енгізілетін сызықтар аналитикакалық геометриядағы және топологиядағы сызықтарды қамтиды.
А - кез келген нүктелер жиыны, Д - түзу кесіндінің нүктелер жиыны болсын. А және Д нүктелері араында өзара бірмәнді сәйкестік орнығып, бұл сәйкестік ең болмағанда бір декарт координаталар жүйесінде жеткілікті рет дифференциалданатын екі функциямен бірлесе, А жиынын сызықтың қарапайым үзігі дейміз.
Егер түзу ретінде ОХ осі алынса, онда қарапайым үзік

у=φ(х), z=ψ(х), (1.4)

теңдеулерімен беріледі, мұнда φ және ψ кейбір DϵOx кесіндісінің барлық нүктелерінде дифференциалданатын функциялар.
Енді жеткілікті рет дифференциалданатын бір айналымға тәуелді

r=r(t), (1.5)

Вектор функция келбетін қарастырайық. Бұл функцияның берілуі r векторының координаталары болып келетін

x = f1 (t), y = f 2 (t), z = f3 (t) (1.6)

скаляр функцияларының беріліуіне эквивалент.
Анализден мындай жәйт мәлім - y - y (х) теңдеуін (y (х) - дифференциалдамалыфункция) M(х,y) нүктесі аймағындах-ке қатысты шешу үшін, М нүктесінде

y (х) 0 (1.7)

болу керек. Сонда х=x(y) шешімі де М нүктесінің кейбір маңында дифференциалданатын функция болып келеді.
Егер берілген t мәнінде fi (t) туындыларының бірі нөлден өзгеше болса, онда (1.3)-тің сәйкес теңдеуін t-ға қатысты шешеміз.

y = f2 (t(x)), z = f3 (t(x)) (1.8)

Кеңістік сызығы (немесе қисығы) деп бір аргументті жеткілікті рет дифференциалданатын r=r(t) вектор-функция келбетін айтамыз. r r(t) орындалатын нүктелер қисықтың жай нүктелері, r=r(t) болатын нүктелер қисықтың ерекше нүктелері делінеді.
Геометриялық тұрғыда r(t) 0 шарты сызықтың жанамасын қамтамасыз етеді. Сонымен сызықтың жай нүктесінде әрқашан білгілі жанама бар.
Ескерту. r(t) 0 шарты сызық нүктесі аймағын қарапайым үзік ретінде келтірудің жеткілікті шарты болып келеді, жалпы алғанда ол қажетті шарт болуы міндетті емес. Дербес жағдайда r -тың нөлге айналуы t айнымалсын ауыстыру нәтежесі болуы мүмкін. Мәселен, t=τ3арқылы жаңа τ айнымалысына көшсек.

rt = r (t(τ)) = 3τ 2 rt (1.9)

Эйлер сипаттамасы

Леонард Эйлер - швейцариялық математик, механик және физик. Базель университетін бітірген. 1727 жылдан Санкт-Петербург академиясында қызмет істеді. Ол - Санкт-Петербург және Берлин академияларынан басқа Париж академиясының, Лондон корольдық қоғамының,Санкт-Петербург академиясының , т.б. көптеген ірі ғыл. қоғамдардың мүшесі болды. Эйлердің негізгі еңбектері сол кездегі математика мен механиканың барлық саласына, серпімділік теориясына, математикалық физикаға, оптикаға, музыка теориясына, машиналар теориясына, баллистикаға, теңіз ғылымына, т.б. арналған.
Оның ғылыми еңбектерінің жинағы ауқымды 60 - 80 том көлемінде деп болжанады.Эйлер Аналитикалық түрде баяндалған механика не қозғалыс туралы ғылым (2 томдық, 1736), Анализге кіріспе (2 томдық, 1748), Дифференциалдық есептеу (1755), Универсал арифметика (2 томдық, 1768 - 1769) және 6 тілде 30 шақты рет басылып шыққан Интегралдық есептеу (3 томдық, 1768 - 1770; 4 томдық, 1794), т.б. осы сияқты бірқатар монографияларында өзінің және басқа ғалымдардың зерттеулерінің нәтижелерін жүйеге келтірді.
Ол Механика атты монографиясында жаңа математикалық анализдің көмегі арқылы нүкте динамикасын тұңғыш рет кең көлемде баяндады, ал Қатты денелер қозғалысы теориясында қатты дененің кинематикасы мен динамикасының теориясын жетілдірді және қатты дененің қозғалмайтын нүкте маңынан айналу теңдеуін (гироскоптар теориясының бастамасы болған) тапты. Аспан механикасы бойынша да үлкен жаңалықтар ашты. 1757 - 1771 жылдары жарық көрген мемуарлары тұтас орта механикасы жөнінен жүргізілген зерттеулерге қосылған елеулі үлесі болды. Эйлер вариациялық есептеу мен дифференциалдық теңдеулер теориясының негізін жасады, дифференциалдық және интегралдық есептеулерді жалпылап, одан әрі дамытты. Ол - 886 мақала мен мемуардың авторы.
Шеті бар екіөлшемді көпбейнеліктердің торкөзді бөл шектенуі. Кескіндіге гомеоморфты бейне жай доға, ал шеңберге гомеоморфты бейне жай тұйық қисық немес бірөлшемді цикл делінеді (1.5-сурет).

1.5-сурет - Гомеоморфты бейне

W - конпактылы, шеті бар екіөлшемді көпбейнелік болсын. Онда егер оның дW шеті бос болмаса, оның әрбір компонентасы тұйық қисық және мұндай компоненталар саны шектеулі болады.
W-дегі торкөзі деп шектеулі саны бар А1 , ... , Ат нүктелері және ұштары осы нүктелерде орналасқан, әрі ішкі нүктелерінде бірімен бірі қиылыспайтын шектеулі саны бар ɣ1 , ... , ɣп жай доғаларының кез келген бумасын айтатын боламыз. А1 , ... , Ат нүктелері торкөздің төбелеріғ ал ɣ1 , ... , ɣп доғалары торкөздің қырлары делінеді.

(2)

Жиын компоненталарын торкөзінің обылстары дейтін боламыз. Егер торкөзінің әрбір облысы ашық дөңгелекке гомеморфты болса, онда торкөзі шеті бар W көпбейнелігінің торкөзді бөлшектенуін береді дейді. Мұндайда торкөз төбелері торкөзді бөлшектенудің нөлөлшемді торкөзшелері, ұштары жоқ торкөз қырлары - бірөлшемді торкөзшелер, ал торкөз облыстары - екіөлшемді торкөзшелер делінеді. Торкөз және торкөзді бөлшектенудің мысалдарын келтірейік.
Жалғыз А нүктесінен тұратын S2 сферасындағы торкөз бір нөлөлшемді және бір екіөлшемді торкөзшеден тұратын сфераның торкөзді бөлшектенуін береді (1.6-сурет).

1.6-сурет - Сфера

Параллель және меридиан екіөлшемді Т2 торын, параллель және меридиананның қиылысу нүктесі болып келетін бір нөлөлшемді торкөзше мен, екі бірөлшемді және бір екіөлшемді төркөзшелерге бөлшектенеді (1.7-сурет).

1.7-сурет - Сфералық жазықтық

Эйлер сипаттамасының анықталуы. Әрбір шеті бар W екіөлшемді көпбейнелік торкөзді бөлшектенуді мүмкін ететін дәлелдеуге болады. Егер W - компакттылы болса, онда оның кез келген торкөзді бөлшектенуінде әрбір өлшемділіктігі торкөзшелер саны шектеулі. і арқылы і-өлшемді торкөзшелер санын белгілейік, мұнда і = 0, 1, 2.

Х(W) =0 - 1 + 2 (2.1)

Саны, шеті бар екіөлшемді компактылы W көпбейнелігінің Эйлер сипаттамасы делінеді.
Эйлер сипаттамасы анықтамасының корректілігін, атап айтқанда Х(W)-ның торкөзді бөлшектеуіне тәуелсіздігін дәлелдеуге болады. Төменде мұндай дәлелдемені S2 сферасы үшін жүргіземіз. Әзірше, алдыңғы бапта қарастырылған, шеті бар екіөлшемді көпбейнеліктер үшін саналған Эйлер сипаттамаларын келтірейік. Осы мақсатпен салынған төркөзді бөлшектенулерді барынша пайдаланамыз.
S2 сферасы; 0 = 1; 1 = 0; 2 = 1; Х(S2) = 1+1= 2
Т2 торы; 0 = 1; 1 = 2; 2 = 1; Х(Т2) = 1-2+1= 0
Р2 проективтік жазықтығы; 0 = 1; 1 = 1; 2 = 1; Х(Р2) = 1-1+1= 1
М2 Мебиус жапырағы; 0 = 1; 1 = 2; 2 = 1; Х(М2) = 1-2+1= 0
D2 дөңгелегі S1 шеңбері болып келген дөңгелек шекарасында кез
келген А нүктесін аламыз. Бұл нөлөлшемді А торкөзшесін, бір бірөлшемді S1А торкөзшесін және бір екіөлшемді D2 S1 торкөзшесін қамтитын D2 - ның торкөзді бөлшектенуін аламыз. Сондықтан 0 = 1 = 2 = 1 және Х(D2) = 1-1+1= 1.
Эйлер сипаттамасының қосылымдылығы. Эйлер сипаттамасының маңызды қосылымдылық қасиеті бар.
W 1 , ... , W s - шеті бар компактылы көпбейнеліктер және φ1 , ... , φr бейнелеулері дW 1 , ... , дW s шеттерінің кейбір компоненттері жұптарының арасындағы гомеоморфизмдер, оның үстіне әрбір компонента бірден бір жұпқа кіретіндей болсын. Егер шеті бар W көпбейнелігі W 1 , ... , W s көпбейнеліктерінен φ1 , ... , φr бейнелеулері бойынша желімдеуден алынса, онда

Х(W) = Х(W 1) +...+ Х(W s ) (2.2)

Дәлелдеме. Ең алдымен байқайтынымыз, кез келген бірөлшемді торкөзше ішіндегі торкөзді бөлшектенуге нөлөлшемді торкөзше тіркелгеннен, қайта торкөзді бөлшектену аламыз. (2.1) қосындысы мұндайда өзгермейді, өйткені әрбір осындай қосылғыш бірөлшемді торкөзшелер ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.