Сандар жүйелері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 9 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым Министірлігі
М. Өтемісов атындағы Батыс Қазақстан университеті

Сандар жүйелері
Тақырыбы: Пеано аксиомалары және оның кейбір салдарлары.

Дайындаған: Бозаев Тұрар
Тексерген: Лукпанова Ляззат

2020 жыл
Мазмұны
Кіріспе 3
Аксиоматикалық теорияның негізгі түсініктері. 4
Натурал сандар қатарының әдеттегі моделі.
Математикалық индукция әдісі 7
Пеано аксиомалары және оның кейбір салдарлары. 8
Қорытынды. 9

Кіріспе
Аксиоматикалық әдіс - оның әртүрлі салаларында ғылыми білімді ұйымдастырудың және көбейтудің іргелі әдісі-ғылымның дамуының екі мың жылдан астам тарихында қалыптасты. Аксиоматикалық әдіс математика ғылымында ерекше рөл атқарады. Бұл математикалық ғылым кемелдікке жетеді кезде ғана оған мүмкін емес пайдалануға аксиоматическим әдісімен, т. е., қашан ғылым қабылдайды сипаты аксиоматической теориясы. Сонымен қатар, ХХ ғасырдағы ғылымның дамуы математика ғылым жүйесінде ерекше болып табылатындығын көрсетті, өйткені ол аксиомалық әдісті өте кең қолданатын жалғыз әдіс және бұл әдіс математиканың әлемді тану процесінде және оған трансформациялық әсер ету процесінде таңқаларлық тиімділігін анықтайды.
Математикада белгілі бір аксиомалық теориялардың қалыптасуының екі жолын көрсетуге болады.
Бірінші жол-бұл немесе басқа математикалық теория дамудың жеткілікті жоғары деңгейіне жетіп, аксиоматикалық теорияның сипатын алады. Келесі математикалық теориялар аксиоматизацияланды: арифметика (Дж. Пиано), геометрия (аксиомалардың әртүрлі жүйелеріне негізделген, атап айтқанда Д. Гильберт, г. Вейл, М.Пиери және т. б.), Ықтималдық теориясы (а. н. Колмогоровтың аксиоматикасы) және басқалар.
Аксиоматикалық теориялардың пайда болуының екінші жолы-мүлдем басқа көрінетін математикалық теориялардың негізгі белгілері арасында терең ішкі ұқсастық анықталды. Бұл жағдай жалпы белгілерді бөліп көрсетуді және оларды басшылыққа ала отырып, аксиомалық теорияны құруды ұсынды. Бұл жолда барлық аксиоматикалық теориялар пайда болды, ең алдымен топтар, сақиналар, өрістер және басқа Алгебралық жүйелер, жалпы немесе әмбебап алгебра және т. б. Мұнда кейбір математикалық ғылымдардың әдістерін басқаларына өзара байланыстырудың тамаша мүмкіндігі, сонымен қатар аксиомалық теорияның бастапқы түсініктері мен аксиомаларын еркін түсіндіру мүмкіндігі бар, бұл осындай теорияларды қолданудың кең перспективаларын ашады және математиканың жалпы ғылым ретінде тиімді күшінің қуатты көздерінің бірі болып табылады.

Аксиоматикалық теорияның негізгі түсініктері.
Аксиоматикалық әдістің мәні туралы қазіргі түсініктің қалыптасуы ғылымның дамуының екі мың жылдан астам тарихында болды.
Геометриялық фигуралар мен денелер туралы ғылымның шынайы бастауы, әрине, мыңжылдықтардың тереңдігінде жоғалады. Алғашқы геометриялық көріністердің бастапқы дизайны әдетте Вавилон мен Египеттің ежелгі мәдениеттерімен байланысты (б.з. д. 3-2 мыңжылдық). Б. з. д. VII ғасырдан бастап грек ғалымдарының еңбектерімен геометрияның даму пириоды басталады. Пифагор мектебі б.з. д. VI-V ғасырларда геометриялық зерттеулерді жалғастырды. Оның негізін қалаушы Пифагор (б.з. д. 560-470 немесе 580-500 ж. ж.) жиырма жасында Мысырда, тағы он жасында Вавилонда даналықты оқыды. Пифагор мектебінде геометрия тар практикалық утилитарлық есептерден, жер учаскелерін өлшеу геометриясынан жалпылау, абстракциялар мен пайымдауларға алғашқы қадамдар жасағаны сөзсіз.
Ежелгі дәуірдің ұлы философы Платон (б.з. д. 428-348 ж. ж.) академияның негізін қалаушы, бүкіл ғылыми білімді, атап айтқанда геометрияны дедуктивті түрде құру міндетін бірінші болып қойған сияқты. Геометрия туралы трактаттар мен оқулықтар Платоннан бұрын пайда болды - Хиос Гиппократы, Демокрит, Февдийдің басшылығы белгілі. бірақ тек Платон білімнің кез-келген саласының басында тұжырымдамалар мен ережелер болуын талап етті, олардан қалған барлық салалар олардың салдарына байланысты болуы керек. Бірақ Платонның бұл өнімі әлі күнге дейін бұлыңғыр және оның контурлары тек жартылай мистикалық базада салынған бүкіл ілімінен алынған.
Платонның керемет шәкірті ұлы Аристотель (384-322 ж.ж.) Платонның мистикалық догмаларынан өтіп, кез-келген ғылыми іс-әрекеттің кез-келген білімін ғылыми негіздеудің ұтымды талаптарын анықтады. Ол өз уақытында қол жеткізген білімнің барлығын дерлік қамтыды, ғылыми әдіс пен көптеген ғылымдардың негізін қалаушы болды. Аристотельдің пікірінше, ғылым - бұл белгілі бір салаға қатысты сөйлемдер тізбегі. Бұл ұсыныстардың ішінде дәлелдеуді қажет етпейтін негізгі ұсыныстар бар. Бұл аксиомалар. Қалған сөйлемдер олардан шығарылуы керек. Бұл теоремалар. Аристотельдің бұл ғылыми ілімі іс-әрекетке, ең алдымен математикаға басшылық ретінде қабылданды. Шамамен жарты ғасыр өткен соң, Евклидтің "Бастау" атты керемет жұмысы пайда болған кезде, оның құрылымында Аристотель схемасының мөрі айқын көрінді.
2000 жылдан астам уақыт бойы "бастау" батыс және шығыс елдерінде жастар мен ересектердің геометриясын оқыған жалғыз нұсқаулық болды. Бұл адамзат тарихындағы алғашқы ғылыми кітап болды: онда геометрия Аристотель мен Платонға негізделген принциптерге негізделген аксиомалық теория ретінде ұсынылды.
Евклид геометриясын негіздеу жүйесін зерттеушілерге көптеген ғасырлар бойы V постулаты үлкен қызығушылық тудырды. Түзу басқа екі түзумен қиылысқан кезде, олардың қосындысы екі түзуден аз болатын ішкі бір жақты бұрыштар пайда болған кезде, бұл түзулер екі түзуден аз болатын жағымен қиылысады. Оның тұжырымдамасының кеңістігі зерттеушілерді оны дәлелдеуге, басқа постулаттар мен аксиомалардан шығаруға және сол арқылы оны постулаттар қатарынан шығаруға итермеледі.
Мұндай зерттеулер Эллен дәуірінде жүргізілді (Посидоний, б.з. д. I ғ., Санкери, XVIII ғ., Ламберт, XVIII ғ.). Бұл геометрияны негіздеу тарихындағы Евклид дәуірі, оның ізбасарлары мен жетілдірушілері дәуірі, геометрияның аңғал-аксиомалық құрылысының кезеңі болды. XIX ғасырдың басында V постулатты дәлелдеудің сәтсіз әрекеттерімен бірге ол аяқталады. Ол керемет ашылуды тудырды - геометрия негіздерін жаңа түсіну және аксиоматикалық әдістің мәнін түсінудегі жаңа қадам.
1826 ж.11 Ақпанда Қазан университетінің Физика-математика факультетінің отырысында профессор Н. И.Лобачевский (1792-1856 ж. ж.) Евклидтің V постулаты параллель түзулер теориясының негізінде жатқанын хабарлады. Лобачевскийдің ашылу мәні геометрия үшін өте үлкен. Біріншіден, ол 2000 жылғы геометриялардың алдында тұрған V постулат мәселесін "жауып тастады", бұл V постулат геометрияның қалған аксиомаларына логикалық тұрғыдан тәуелді емес екенін дәлелдеді, яғни олардың қажетті салдары емес. Екіншіден, V постулаты қалған постулаттардан туындамайды, өйткені бұл постулат дұрыс Евклид геометриясымен қатар, V постулаты орындалмайтын тағы бір "қиял" геометриясы мүмкін. Үшіншіден, Лобачевскийдің ашылуы аксиоматикалық әдістің мәніне жаңа көзқарас берді, ол одан әрі дамыды. Аксиомалар өзін-өзі анықтайтын шындық емес. Бұл дәлелдемелерсіз қабылданатын және теорияның негізінде болатын кейбір бастапқы ұғымдар туралы мәлімдемелер, олардан теорияның барлық қосымша тұжырымдары қисынды түрде шығарылады. Шындығында, қабылданған аксиомалардан логикалық түрде дәлелденуі (шығарылуы) мүмкін. Төртіншіден, жаңаның ашылуы, әдетте Евклид емес геометрия деп аталады, Лобачевке дейінгі көзқарасты аяқтады, оған сәйкес Евклид геометриясы кеңістік туралы жалғыз ойлы ілім болып көрінді.
XIX ғасырдың 60-жылдарының аяғында, Лобачевскийдің идеялары математиктердің негізгі бөлігі ретінде танылып, мойындалып, оларды одан әрі дамытуға кіріскен кезде, геометрияның аксиомалық құрылысы мәселесі жаңа күшке ие болды. XIX ғасырдың аяғы мен ХХ ғасырдың басында осы тақырыпта көптеген жұмыстар жарық көрді. 1899 жылы шыққан неміс математигі Д.Гильберттің "Геометрия негіздері" атты шығармасы ең танымал болды. Бұл кітапта Гильберт Евклид геометриясының аксиомаларының толық жүйесін, яғни. геометрияның барлық басқа тұжырымдарын логикалық түрде дәлелдеуге болатын негізгі сөйлемдер жиынтығы осы жүйенің сәйкес еместігін және кейбір аксиомалардың жүйенің қалған аксиомаларынан тәуелсіздігін дәлелдеді. Осы кітаптың жарық көруімен геометрияның логикалық негіздемесі туралы мәселе іс жүзінде жабылды. Сонымен қатар, геометрияны негіздеуге аксиомалық тәсілдің мәнін, сондай-ақ жалпы аксиомалық әдістің мәнін сипаттайтын идеялар мен принциптер ақыры іске асырылды. Аксиоматикалық теорияны құру деген не және қандай сұрақтарға ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.