Функция мәндерінің жиынын анықтау әдістемесі

Математика пәні оқытушысы Х. А. Абубакированың

Математикадан кездесетін күрделі есептерді шығарудың тиімді әдістері

(Әдістемелік нұсқау)

. . .

Түркістан - 2021 жыл

Еліміздің болашағы - бүгінгі жас ұрпақтың қолында,

Жас ұрпақтың болашағы - бүгінгі ұстаздың қолында”.

Н. Ә. Назарбаев.

Математикадан кездесетін күрделі есептерді шығарудың тиімді әдістері.

«Математикадан кездесетін күрделі есептерді шығарудың тиімді әдістері» әдістемелік құралында емтихан тапсырмаларында кездесетін әр түрлі есептер жинақталып, оларды шешудің оңтайлы әдістемесі көрсетілген.

Әдістемелік құралдың негізгі мақсаты - студенттерге математикадан тапсырмаларында тапсырмаларында кездесетін көптеген шығару жолы қиын саналатын тапсырмаларды орындаудың тиімді әдістерін ұсыну және студенттерге есептерді шешудің тиімді әдістемесін келтіру арқылы олардың ойлау қабілеті мен шығармашылық белсенділігінің дамуына ықпал ету, есептерді шығару дағдысын жетілдіре түсуге көмектесу болып табылады.

Әдістемелік құрал оқытушылар мен студенттерге, бітіруші түлектерге арналған.

Мазмұны

Кіріспе

«Математикадан кездесетін күрделі есептерді шығарудың тиімді әдістері» әдістемелік құралында студенттерге математикадан емтихан тапсырмаларында кездесетін көптеген шығару жолы қиын саналатын тапсырмаларды орындаудың тиімді әдістері ұсынылған.

Әдістемелік құралда ұсынылған функция мәндерінің жиынын анықтау әдістемесі, тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялары бар өрнектердің мәндерін табу әдістемесі, күрделі радикалдары бар өрнектерді ықшамдау әдістемесі, жай теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі, аралас теңсіздіктер жүйесін шешу әдістемесі, анықталмаған сызықтық теңдеулерді шешу алгоритмі (авторлық тәсіл), қозғалысқа арналған есептерді графиктік тәсілмен шешу әдістемесі, функцияның ең кіші оң периодын табу әдістемесі, функцияның жұптылығы мен тақтылығын анықтау әдістемесі, сандардың ең кіші ортақ еселік (ЕКОЕ) пен ең үлкен ортақ бөлгішін (ЕҮОБ) Евклид алгоритімін пайдаланып анықтау әдістемесі берілген. Есептерді шығарудың мұндай әдістері колледж оқулықтарында кездеспейтіндіктен, көрсетілген әдістеме емтихан кезінде студенттерге үлкен көмек болатыны сөзсіз. Әдістемелік құралда кездесетін жай бөлшектерді Евклид алгоритмін пайдаланып қысқарту да кесте арқылы өте ұтымды орындалады.

Жоғары оқу орындарына түсу емтихандарының тестілік жүйеде жүргізілуі оқытудың мақсат, міндеттеріне жауапкершілікпен қарауды талап етеді. Есептерді шығара отырып қайталау кезеңі студенттер үшін үлкен маңызы бар. Өйткені тестілік жинақтағы есептерді жай ғана шығарумен шектелу - есеп барысындағы кездесетін ереже, аксиома, теоремалар мазмұнына мән берілмегендіктен, студент сол есепке ұқсас есепті емтихан кезінде шығара алмай қалады.

Ал қайталау кезеңінде студенттер есептерді шығару кезеңінде есептерді шығарып қана қоймай, сол есептерді шығару барысында қолданылған теоремалардың дәлелдемесін және қорытып шығаратын формулаларды қайталайды. Ал кейбір жағдайда осы тақырып бойынша әртүрлі себептермен сабақта болмаған немесе түсінбеген студенттерге осы қайталау кезінде түсініп алуға мүмкіндік туады.

Студенттердің білімдері біліктілік пен дағдыларға айналу үшін, міндетті түрде студенттердің өздері де талаптануы қажет.

Студенттің білім сапасына әсер етуші негізгі күш - оқытушы.

Оқу үрдісінде студенттердің алған білімін, іскерлігі мен дағдыларын тексеру мен бағалау нәтижесінде, оқытушы тек студенттің білім деңгейін ғана анықтайды, өз мүмкіндігін де саралайды, яғни студентінің жіберген қателерін талдау негізінде, тақырыпты түсіндіру барысында қолданылған әдіс-тәсілдеріне, тапсырма мазмұнына түзетулер енгізеді.

ФУНКЦИЯ МӘНДЕРІНІҢ ЖИЫНЫН АНЫҚТАУ ӘДІСТЕМЕСІ

$y = \frac{kx + b}{k_{1}x + b_{1}}$ , $y = \sqrt{f(x) }$ және тағы басқа түріндегі функциялардың мәндерінің жиынын анықтауға арналған есептер студентердің тест тапсырмаларында жиі кездеседі.

ТжКБ ұйымдары оқулықтарының бірде бірінде мұндай есептер арнайы қарастырылмағандықтан, студенттердің көпшілігінің бұл есептерді шығара алмайды. Математикалық талдау аппараттарын пайдалана отырып функцияны зерттеу, оның графигін салу арқылы бұл тапсырмаларды орандауға болады. Бірақ емтихан кезінде мұндай тапсырмаларды 1, 5-2 минут ішінде орындау кез келген студенттің қолынан келмейтіні белгілі. Функцияның мәндерінің жиынын табу көп жағдайда теңдеудің шешімін табумен байланысты болады. $x_{0}$ саны $f$ функциясының мәндер жиынына кіруүшін, $y = f(x)$ теңдеуінің, мұндағы $x \in D(f)$ , шешімінің болуы қажетті және жеткілікті. Бұл теңдеудің $y_{0}$ - дің мәніне байланысты бір түбірі, бірнеше түбірі немесе түбірі болмауы да мүмкін. Осындай есептерді шығарудың оңтайлы тәсілдерінің бірі төменде келтірілген.

Ол үшін, алдымен $y = \frac{kx + b}{k_{1}x + b_{1}}$ (мұндағы ${k_{1}, \ b}_{1} \neq 0$ ) түріндегі гиперболаны қарастырайық. Бұл функцияның мәндер жиыны $у \neq \frac{k}{k_{1}}$ екендігі ақиқат.

1-мысал. $y = \frac{8x - 1}{2x + 1}$ функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. $y \neq \frac{8}{2}$ немесе $y \neq 4$ .

Жауабы: $( - \infty; 4) \cup (4; + \infty)$ .

2-мысал . $y = \frac{2х² - х - 1}{х² + х - 2}$ функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. $x = 1, \ \ \ x = - 2$ сандары бөлшектің бөлімінің нөлдері болғандықтан, бұл функция осы нүктелерде анықталмайды. Ал, $x = 1$ саны алымы мен бөлімінің ортақ нөлі. Сондықтан, $x \neq 1$ болса, онда $\ y = \frac{2х² - х - 1}{х² + х - 2}\mathbf{=}\frac{2x + 1}{x + 2}\$ функцияның $x = 1$ нүктесіндегі мәні $y(1) = \frac{2 \bullet 1 + 1}{1 + 2} = 1$ , яғни, берілген функцияның мәні $x$ -тің ешбір мәнінде 1-ге тең бола алмайды, ендеше біріншіден $y \neq 1$ . Екіншіден, $y = \frac{2x + 1}{x + 2}$ гиперболасының мәндер жиыны $y \neq 2$ екендігі белгілі.

Сондықтан, берілген функцияның мәндер $y \neq 1, \ \ y \neq 2$ .

Жауабы : $( - \infty; 1) \cup (1; 2) \cup (2 + \infty)$ .

3-мысал . $y = \frac{2х² - х - 1}{х² - х - 2}$ функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі . Бөлшектің алымы мен бөлімінің ортақ түбірі жоқ екендігі белгілі. Берілген функцияны $y(x² - x - 2) = 2x² - x - 1\$ немесе $(y - 2) x^{2} + (1 - y) x - 2y + 1 = 0$ түріне келтіреміз. Яғни, функцияның мәндер жиынын табу үшін, у параметрдің қандай мәндерінде соңғы квадрат теңдеудің шешімі болатындыған анықтау жеткілікті. Ол үшін D 0 теңсіздігін құрып, шешеміз: $D = (1 - y) ^{2} - 4(y - 2) ( - y + 1) \geq 0$ .

Соңғы теңсіздіктің шешімі: $\ ( - \infty; \frac{11 - 2\sqrt{10}}{9}\rbrack \cup \lbrack\frac{11 - 2\sqrt{10}}{9}\ ; + \infty)$ болатындығына көз жеткізу қиын емес .

Жауабы : $\ ( - \infty; \frac{11 - 2\sqrt{10}}{9}\rbrack \cup \left\lbrack \frac{11 - 2\sqrt{10}}{9}\ ; + \infty \right) .$

4-мысал. $y = 5 + 6x - 7x^{2}$ функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. Мұндай есептерді квадрат үшмүшенің толық квадратын айыру тәсілі және туынды арқылы функцияның кризистік нүктесін анықтап, функцияның ең үлкен немесе ең кіші мәндерін табу арқылы да шығаруға болады. Алайда, парабола төбесінің ординатасының формуласын қолдану, тапсырманы тез және дұрыс орындауға көмектеседі. Атап айтқанда, $\ y_{0} = \frac{4ac - b²}{4a}$ парабола төбесінің ординатасының формуласы болғандықтан, $a > 0$ болса, онда

$E(y) = \lbrack y_{0}; + \infty)$ , ал $a < 0$ болса, онда $E(y) = ( - \infty; y_{0}\rbrack$ болады.

Біздің мысалда $y_{0} = \frac{4ac - b²}{4a} = \frac{4 \bullet ( - 7) \bullet 5 - 6^{2}}{4 \bullet ( - 7) } = 6\frac{2}{7}$ , ал $a = - 7 < 0$ болғандықтан, $E(y) = ( - \infty; 6\frac{2}{7}\rbrack$ .

Жауабы : $( - \infty; 6\frac{2}{7}\rbrack$ .

5-мысал. $y = \sqrt{х² - 6х - 2}$ функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. Квадрат түбір астындағы $х² - 6х - 2$ квадрат үшмүшеліктің мәндер жиыны $\lbrack - 11; + \infty$ ) болғандықтан,

$E(y) = \sqrt{\ \lbrack - 11; \ + \infty) } = \lbrack 0; + \infty)$ болатындығы анық.

Жауабы : $\lbrack 0; \ + \infty)$ .

Ескерту: Сан аралығының «квадрат түбірін табу» амалының жазылуы ерсілеу көрінгенмен, оның дұрыстығы өрнектің монотондылығымен түсіндіріледі.

6-мысал . $y = \sqrt{\frac{2х² - х - 1}{х² + х - 2}}$ функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. $y_{1} = \frac{2x² - x - 1}{x² + x - 2}$ функциясының мәндер жиыны:

$E\left( y_{1} \right) = ( - \infty; 1) \cup (1; 2) \cup (2; + \infty)$ болғандықтан,

$$E(y) = \sqrt{{Е(у}_{1}) } = \sqrt{( - \infty; 1) \cup (1; 2) \cup (\ 2; + \infty) } =$$

$= (0; 1) \cup \left( 1; \sqrt{2} \right) \cup \left( \sqrt{2}; + \infty \right)$ .

Жауабы: $(0; 1) \cup \left( 1; \sqrt{2} \right) \cup \left( \sqrt{2}; + \infty \right) .$

7-мысал. $y = 3 - 4sin(7x - 1)$ функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. $y = 3 - 4sin(7x - 1) = \left\lbrack \begin{matrix} 3 - 4 \bullet 1 = - 1 \\ 3 - 4 \bullet ( - 1) = 7 \end{matrix} \right. \ \ \ \rightarrow \ \ \lbrack - 1; 7\rbrack$ .

Жауабы: $\lbrack - 1; \ 7$ ] .

8-мысал. ${y = 3 - 4sin²}(7х - 1)$ функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі.

${y = 3 - 4sin²}(7х - 1) = \left\lbrack \begin{matrix} 3 + - 4 \bullet 1^{2} = - 1 \\ 3 - 4 \bullet 0^{2} = 3 \end{matrix}\ \ \rightarrow \ \ \lbrack - 1; 3\rbrack \right. \$ .

Жауабы: $\lbrack - 1; \ 3$ ] .

9-мысал. у= $\sqrt{3 - 4{\sin ²}(7х - 1) \ }$ функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. ${y_{1} = 3sin²}(7х - 1)$ функциясының мәндер жиыны $E\left( y_{1} \right) = \lbrack - 1; \ 3$ ] болғандықтан, $Е(у) = \ \sqrt{{Е(у}_{1}) } = \sqrt{\ \ \lbrack - 1; \ 3\rbrack\ } = \lbrack 0; \sqrt{3}\ \rbrack$ .

Жауабы: $\lbrack 0; \sqrt{3}\$ ] .

10-мысал. $y = 2\sin{7x{- \cos}{7x}\ \ \ }$ функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. $y = a\sin{x + b\cos x}$ (мұндағы a $, b \in R)$ функциясының мәндер жиыны $\left\lbrack - \sqrt{a² + b²}; \sqrt{a² + b²} \right\rbrack\$ болғандықтан, $y = 2\sin{7x{- \cos}{7x}\ \ \ }$ функциясының мәндер жиыны:

$E(y) = \left\lbrack - \sqrt{2² + ( - 1) ²}; \sqrt{2² + ( - 1) ²} \right\rbrack = \left\lbrack - \sqrt{5}; \sqrt{5} \right\rbrack$ .

Жауабы: $\left\lbrack - \sqrt{5}; \sqrt{5} \right\rbrack$ .

11-мысал. $y = \frac{3\sin{x + 2\cos x}\ \ \ }{2\sin{x - \cos x} + \sqrt{10}}$ функциясының мәндер жиынын анықтаңыз.

Шешуі. $y = \frac{3\sin{x + 2\cos x}\ \ \ }{2\sin{x - \cos x} + \sqrt{10}}$ $y(2\sin{x - \cos{x + \sqrt{10}}) } = (3\sin{x + 2\cos x}) \$ ⟺ $(2y - 3) \sin{x + ( - y - 2) \cos x} = - y\sqrt{10}$ . Ал, ${asin}{x + b\cos x} = с$ теңдеуінің шешуі болу үшін, $a^{2} + b² - с² \geq 0$ шарты орындалуы қажет. Сондықтан, $(2y - 3) ^{2} + ( - y - 2) ^{2} - {\ \left( - y\sqrt{10} \right) }^{2}\ \geq \ 0$ .

$5y^{2} + 8y - 13 \leq 0$ $- \frac{13}{5} \leq у \leq 1\ \Longleftrightarrow \ \ \ E(y) = \left\lbrack - \ \frac{13}{5}; 1 \right\rbrack$ .

Жауабы: $\left\lbrack - \ \frac{13}{5}; 1 \right\rbrack.$

ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ЖӘНЕ КЕРІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРЫ БАР ӨРНЕКТЕРДІҢ МӘНДЕРІН ТАБУ ӘДІСТЕМЕСІ.

12-мысал. $tg\alpha = - \frac{5}{12}$ және $90^{0} < \alpha < 180^{0}$ болса, онда $\sin{\alpha, \ }{\ \ cos}\alpha, \ \ ctg\alpha$ мәндерін табыңыз.

Шешуі. Көмекші тікбұрышты үшбұрышты пайдаланайық.

1-сурет.

$tg\alpha = \frac{12}{13}$ болғандықтан, $\ \sin{\alpha = \frac{5}{13}, \ }\ \cos{\alpha = \frac{12}{13}}, \ \ ctg\alpha = \frac{12}{5}$ , ал, $90^{0} < \alpha < 180^{0}$ шартын ескерсек: $\sin{\alpha = \frac{5}{13}, \ }\ \cos{\alpha = - \frac{12}{13}}, \ \ ctg\alpha = - \frac{12}{5}$ .

Жауабы: $\ \ \ {\frac{5}{13}, \ \ \text{ }}{- \frac{12}{13}}, \text{ } - \frac{12}{5}$ .

13-мысал. $tg\left( \arcsin\frac{3}{5} + arccos\frac{5}{13} \right)$ есептеңіз.

Шешуі. $\arcsin\frac{3}{5} = \alpha$ және $\arccos\frac{5}{13} = \beta$ деп белгілесек, онда анықтама бойынша $\alpha, \beta \in I$ . Ендеше, $\sin{\alpha = \frac{3}{5}, {\ \ cos\beta}{= \frac{5}{13}}\ \ }$ $\rightarrow \ {tg}{\alpha = \frac{3}{4}, {\ \ tg\beta}{= \frac{12}{5}}\ \ }$ (12-мысал әдісімен) . Сондықтан

$tg\left( \arcsin\frac{3}{5} + arccos\frac{5}{13} \right) = tg(\alpha + \beta) =$

$= \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \bullet tg\beta} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{12}{5}}{1 - \frac{3}{4} \bullet \frac{12}{5}} = - \frac{63}{16}$ .

Жауабы: $\ - \frac{63}{16}$ .

Мына түрдегі: $\cos\alpha\cos\beta\cos{\gamma \bullet \ldots \bullet}\cos\varphi$ тригономериялық өрнектерді ықшамдау, өрнектің мәнін табу синустар мен косинустардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру формуласын қолдану немесе қосбұрыштың синусының формуласына келтіру арқылы жүзеге асырылады.

14-мысал. ${\ cos}12{^\circ}\cos{24{^\circ}}\cos 48{{^\circ}\cos}96{^\circ}$ өрнегінің мәнін есептеңіз.

Шешуі. а) 1-ші тәсіл. Косинустардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру және келтіру формулаларын қолданамыз:

$${\ cos}12{^\circ}\cos{24{^\circ}}\cos 48{{^\circ}cos}96{^\circ}{\ {= cos}{48{^\circ}}\cos}12{^\circ}\cos{96{^\circ}}\cos{24{^\circ} =}$$

= $\ \frac{1}{4}\left( \cos{36{^\circ}}{+ cos}60{^\circ} \right) \left( \cos{72{^\circ}} + \cos{120{^\circ}} \right) = \$

$$= \frac{1}{4}\left( \cos{36{^\circ}} + \frac{1}{2} \right) \left( \cos{72{^\circ}} - \frac{1}{2} \right) =$$

$$= \frac{1}{4}\left( \cos{72{^\circ}}\cos{36{^\circ}} + \frac{1}{2}\cos{72{^\circ}} - \frac{1}{2}\cos{36{^\circ}} - \frac{1}{4} \right) =$$

$$= \frac{1}{4}\left( \frac{1}{2}\cos{108{^\circ}} + {\frac{1}{2}\cos}{36{^\circ} +}\frac{1}{2}\cos{72{^\circ}} - \frac{1}{2}\cos{36{^\circ}} - \frac{1}{4} \right) =$$

$= \frac{1}{4}\left( - \frac{1}{2}\cos{72{^\circ}} + {\frac{1}{2}\cos}{36{^\circ} +}\frac{1}{2}\cos{72{^\circ}} - \frac{1}{2}\cos{36{^\circ}} - \frac{1}{4} \right) = - \frac{1}{16}$ .

Жауабы : $- \frac{1}{16}$ .

б) 2-ші тәсіл. Қосбұрыштың синусының формуласына келтіреміз:

$${\ cos}12{^\circ}\cos{24{^\circ}}\cos 48{{^\circ}cos}96{^\circ} =$$

${= \frac{16\sin{12{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}} \bullet \cos}12{^\circ}\cos{24{^\circ}}\cos 48{{^\circ}cos}{96{^\circ}}$ =

= $\frac{8\sin{24{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}}\cos{24{^\circ}}\cos 48{{^\circ}cos}96{^\circ}$ = $\frac{4\sin{48{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}}\cos 48{{^\circ}cos}96$ =

= $\frac{2\sin{96{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}}\cos{96{^\circ}} = \frac{\sin{192{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}} = \frac{\sin{(180{^\circ} + 12{^\circ}) }}{16\sin{12{^\circ}}} = - \frac{\sin{12{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}} = - \frac{1}{16}$

Жауабы : $- \frac{1}{16}$

в) 3-ші тәсіл. ${sin}{2\alpha} = 2\sin\alpha\cos\alpha$ формуласынан

$cos\alpha = \frac{\sin{2\alpha}}{2\sin\alpha}$ (1-формула) алуға болады. Ендеше,

$$\cos 12^{0}\cos 24^{0}\cos 48^{0}\cos 96^{0} = \frac{\sin 24^{0}}{2sin12^{0}} \bullet \frac{\sin 48^{0}}{2sin24^{0}} \bullet \frac{\sin 96^{0}}{2sin48^{0}} \bullet \frac{\sin 192^{0}}{2sin96^{0}} =$$

$\ \ = \frac{\sin{192{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}} = - \frac{\sin{12{^\circ}}}{16\sin{12{^\circ}}} = - \frac{1}{16}$ .

Жауабы : $- \frac{1}{16}$ .

15-мысал . ${\ \cos\frac{\pi}{5} + cos}\frac{3\pi}{5}$ өрнегінің мәнін есептеңіз.

Шешуі. а) 1-ші тәсіл.

$$\ \ \ \ {\ \cos\frac{\pi}{5} + cos}\frac{3\pi}{5} = \cos{108{^\circ}} + {\ cos}{36{^\circ}} = {2cos}{72{^\circ}{\ cos}{36{^\circ}} =}\$$

$${= 2sin}{18{^\circ}\cos{36{^\circ}}} = \sin{54{^\circ} - \sin{18{^\circ} =}}$$

$${= sin}{54{^\circ} - \frac{1}{2}{(1 + 2sin}{18{^\circ} - 1) =}}$$

${= sin}{54{^\circ} - \frac{1}{2}\left( \frac{\cos{54{^\circ}}}{\sin 36{^\circ}} + {2sin}{18{^\circ} - 1} \right) }$ =

${= sin}{54{^\circ} - \frac{1}{2}\left( \frac{(\cos{18{^\circ} -}\cos{90{^\circ}) - (}\cos{18{^\circ} -}\cos{54{^\circ}) }}{\sin{36{^\circ}}}{+ 2sin}{18{^\circ} - 1} \right) }$ =

$$= \sin{54{^\circ} - \frac{1}{2}\left( \frac{2{\sin{36{^\circ}}\sin{54{^\circ} - 2}\sin{18{^\circ}}}{\sin{36{^\circ{\sin 36}{+ 2sin}{18{^\circ} - 1} \right) =}$$

= $\sin{54{^\circ} - \frac{1}{2}\left( \frac{2{\sin 36}{{^\circ}(\sin{54{^\circ} -}\sin{18{^\circ}) }}}{\sin{36{^\circ}}}{+ 2sin}{18{^\circ} - 1} \right) }$ =

${= sin}{54{^\circ} - \frac{1}{2}\left( \frac{2{\sin 36}{{^\circ}(\sin{54{^\circ} -}\sin{18{^\circ}) }}}{\sin{36{^\circ}}}{+ 2sin}{18{^\circ} - 1} \right) }$ =

= $\sin{54{^\circ}} - \sin{54{^\circ}} - \sin{18{^\circ} +}\sin{18{^\circ} +}\frac{1}{2} = \ \frac{1}{2}$ .

Жауабы : $\ \ \frac{1}{2}$ .

б) 2-ші тәсіл. Өрнектің мәнін х деп белгілейік. Яғни, ${\ {x = \cos}\frac{\pi}{5} + cos}\frac{3\pi}{5}$ болсын. Теңдіктің екі бөлігін де ${2sin}\frac{2\pi}{5}$ өрнегіне көбейтіп, синус пен косинустың көбейтінділерін қосындыға түрлендірейік:

$2х\sin\frac{2\pi}{5}{= \ 2\sin\frac{2\pi}{5}\cos}\frac{\pi}{5} = {\ 2\sin\frac{2\pi}{5}\cos}\frac{3\pi}{5}$ .

Ал, $\sin\frac{2\pi}{5} = \sin\frac{3\pi}{5}$ болғандықтан,

$2x\sin\frac{3\pi}{5} = {\ \sin{\frac{3\pi}{5} +}\sin}\frac{\pi}{5} = {\ \sin\frac{5\pi}{5} - sin}\frac{\pi}{5}$ , $2x\sin\frac{3\pi}{5} = \sin{\frac{3\pi}{5}\ }$ .

Бұдан $x = \frac{1}{2}$ .

Жауабы : $\frac{1}{2}$ .

в) 3-ші тәсіл. 1-формула бойынша:

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс