Квадрат теңдеулерді шешудің тәсілдері

Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 16 бет
Таңдаулыға:

Балалар мен Жеткіншектер сарайы
ҚР Шағын ғылым академиясы Орталық Қазақстан бөлімі

Секция: Экология

Тақырыбы Жаңаарқа ауданының атмосферасына
көліктердің әсері

Жобаның авторы Қалкен Жарқын Нұрланқызы
9 сынып оқушысы

Б.Амалбеков атындағы ЖОББМ
базасындағы тірек мектебі РО КММ
Қарағанды облысы,
Жаңаарқа ауданы, Атасу кенті

Жобаның жетекшісі Изтулеуова Айгерім Сырымовна
химия пәні мұғалімі
Б.Амалбеков атындағы ЖОББМ
базасындағы тірек мектебі РО КММ
Қарағанды облысы,
Жаңаарқа ауданы, Атасу кенті

2018-2019 жыл
Мазмұны.
Мазмұны ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... .1
I. Кіріспе
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...2
1. Квадрат теңдеудің даму тарихы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
2. Ертедегі Диофанттың есебі ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ...3

3. Квадрат теңдеудің әл-Харезмде
дамуы ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .4
II. Квадрат теңдеулерді шешудің тәсілдері
1. Тәсіл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ...6
2. Тәсіл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
3. Тәсіл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
4. Тәсіл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
5. Тәсіл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
6. Тәсіл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 9
7. Тәсіл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 0
8. Тәсіл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..12
9. Тәсіл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..13
10. Тәсіл ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..14
III. Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..16
Қолданылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17

9 сынып оқушысы Армиева Инабаттың
" Квадрат теңдеулерді шешудің 10 тәсілі"
ғылыми жобасына
ПІКІР

Бұл жоба алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі.
Алгебра курсында қарастырылатын квадрат теңдеулерге және оларды шешу
жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделіп отыр.
Ұсынылған жобаның басты мақсаты квадрат теңдеулер арқылы көптеген
табиғи үдерістер мен құбылыстар с.с мазмұнды есептерді шығаруда квадрат
теңдеулерді шешуде қолдану квадрат теңдеулердің әр түрлі тәсілдерін
айқындап, бір жүйеге келтіру.
Квадрат теңдеулердің әр түрлі тәсілдерінен
басқа, ертедегі математиктердің есептерімен байланыстыра отырып ,квадрат
теңдеулерді шешуде өзіндік тәсілдері мен оқушылар тілінде қолданылу
ерекшеліктерін көрсетіп өтті.
Автор ұсынылып отырған материалдарға жан-жақты талдау жасап, терең
зерттеген. Пайдаланылаған әдебиеттер тізімін көрсете отырып, көп іздену
жұмыстары жүргізілгені көрінеді. Мен бұл жұмысқа өте жоғары баға беремін.

Математика пәнінің
І санатты мұғалімі Ш.Ш. Абилдина

Аннотация
Зерттеудің мақсаты:
1. Квадрат теңдеулер арқылы көптеген табиғи үдерістер мен құбылыстар с.с
мазмұнды есептерді шығаруда квадрат теңдеулерді шешуде қолдану.
2. Квадрат теңдеулерді ерте заманнан бері ұлы ғалымдар да өз тәжірибесінде
қолданғанын анық көрсетеді.
3. Квадрат теңдеулердің әр түрлі тәсілдерін айқындап, бір жүйеге келтіру.
Зерттеудің жаңалығы :
1. Квадрат теңдеулерді шешуде өзіндік тәсілдері мен оқушылар тілінде
қолданылу ерекшеліктерін ашып ,айқындау.
2. Қазақ тілінде квадраттық теңдеулердің әртүрлі тәсілдерін жинақтау,
кітаптар шығару.
Зерттеудің әдістері:
Кітапханаларда арнайы зерттеу жұмыстар жүргізу, ғаламтордан тарихи зерттеп
ой-пікірлерді, түрлі басылымдарды, оқулықтардан квадрат теңдеулерге қатысты
мәліметтерді бір жерге жинақтап, топтастыру, оқушылармен сауалнама жүргізу,
нәтижесін табу.
Зерттеудің нәтижесі:
Ерте замандағы ғалымдардың есебін, дамуын зерттеп, өз бойындағы ерекше
қасиеттерін, таланты мен дарындылығын , табиғи қабілеті арқылы өз
зерттеуінде пайдаланып қана емес өмірлік тәжірибеде қолданатынын дәлелдеу.

Кіріспе

Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан
кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне
байланысты бағаланады.

Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын тәрбиелеп шығу бүгінгі
мектептің алдына қойылған мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп
мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге
жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы орта мектеп
бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына
жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды жеке
тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.
Бұл мақала алгебра курсында қарастырылатын квадрат теңдеулерге және оларды
шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделініп отыр.
Квадрат теңдеулер мектептегі алгебра курсының маңызды
тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, с.с.
мазмұнды есептердің шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі.
Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу (функцияның нөлдерін, экстремум
нүктелерін, өсу және кему аралықтарын табу), ең үлкен және ең кіші мәндерді
табу есептерін шығару және т.б. жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу
қажеттігі туындайды. Сондай-ақ тригонометриялық, көрсеткіштік және
логарифмдік теңдеулерді, физикада және техникада, геометрия курсының
есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі.
Зерттеу барысында мектеп оқушыларына квадрат теңдеулерді шешу жолдарының
тоғыз түрлі әдісімен таныстыруға мүмкіндік бар екендігін анықтадық. Атап
айтқанда, олар төмендегідей болып табылады: Зерттеу барысында квадрат
теңдеулерді шешу жолдарының 10 түрлі әдісімен таныстым. Ол тәсілдерге алда
жеке – жеке тоқталамын.

Квадрат теңдеудің даму тарихы.
2-ші дәрежелі теңдеулерді шешуді б.э.д II мыңжылдықта Ежелгі
Вавилонда шығара білген.Ежелгі Греция математиктері квадрат теңдеулерді
геометриялық тәсілмен шешкен; мысалы, Евклид –кесіндіні орта және шеткі
қатынастарға бөлу арқылы шешкен.
Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы бірнеше рет қайтадан ашылған .
Бізге жеткен деректер бойынша ең бірінші бұл формулаларды үнді математигі
Брахмагупте ашқан(жуықтап 598 ж.).
Ортаазия ғалымы ал-Хорезми (IX .ғ) өзінің Китаб аль-джебр валь
-мукабала трактатында бұл формуланы екімүшенің толық квадратын
геометриялық интерпретация арқылы айырып алу жолымен шешкен.
Ертедегі Диофанттың есебі.
Есеп. Екі санның квадраттарының қосындысына тең санды басқа екі санның
квадраттарының қосындысына тең болатындай жаз.
Диофант теңдеулердің оң бүтін және бөлшек шешулерін табуға баса назар
аударады. Шешуі теріс сан болатындай теңдеуді ол мағынасыз теңдеу деп
санап, бүтіндей қарастырмайды. Тек бір оң түбір табумен қанағаттанады.
Алдыңғы есепке оралайық. Бұл проблеманы шешуі мынадай есеппен
түсіндіреді: Берілген сан 13 болсын, ол 2 мен 3-тің квадраттарының
қосындысына тең. Бір квадраттың қабырғасының ұзындығы х+2 болсын, ал екінші
квадрат қабырғасының ұзындығы 2х-тен 3-і кем, яғни 2х-3. Сонда бірінші
квадраттың ауданы (х+2)² =x² +4x+4, екіншісінікі (2х-3)² =4х² -12х+9.
Екеуінің ауданың қоссақ (х² +4х+4) + (4х² -12х+9)=5х²-8х+13. Есептің шарты
бойынша бұл 13-ке тең болуы керек:
5х² -8х+13=13
5х² -8х=0
х(5х-8)=0 5x-8=0
5x=8
x=
Сонымен бірінші квадраттың қабырғасы х+2=+ 2=, екіншісінікі
2х-3=2*-3=-3=.
Квадраттың аудандары: ()² =
()² =
Бұл сандардың қосындысы +==13 болады, яғни есепті
қанағаттандырады.
Квадрат теңдеудің әл-Харезмде дамуы.
Кітаптың өзінде пайдаланылған әдебиеттер көрсетілмегендіктен, әл-
Хорезми қандай кітаптарды қолданылғаны белгісіз.
Кітапта кез келген квадрат теңдеуді алты негізгі түрдің біріне келтіріп,
сол негізгі түрлерді шешудің алгебралық және геометриялық тәсілдері
келтірілген. Қазіргі кезде қолданылатын абстрактылы шартты белгілер кітапта
атымен жоқ болғандықтан, әл-Хорезмидің алгебрасы толығымен сөзбен сипаттау
арқылы баяндалған. Гректің Арифметикасында немесе Браһмагуптаның
еңбектерінде қолданылатын синкопациялар мүлдем қолданылмаған. Тіпті сандар
арнайы таңбамен бейнеленген емес, толығымен сөздер ретінде
жазылған!Сондықтан теңдеулер сөзбен шаршы деп (яғни бүгіндері “x2” деп),
түбір деп (бүгін оны “x” деп) және сандар деп (мысалы, қырық екі,
жеті деп толығымен жазып отырды) деп белгіленіп отырды. Бүгінгі күннің
шартты белгілерін қолданса, теңдеудің негізгі алты түрі мыналар:
1) квадраттар тең түбірге тең (ax2 = bx)
2) квадраттар санға тең (ax2 = c)
3) түбірлер санға тең (bx = c)
4) квадраттар мен түбірлер санға тең (ax2 + bx = c)
5) квадраттар мен сандар түбірге тең (ax2 + c = bx)
6) түбірлер мен сандар квадраттарға тең (bx + c = ax2)

Әл-жәбр (араб жазуымен: ‘الجبر’) (толықтыру) амалы: теріс шаманы
теңдеудің бір жағынан екінші жағына жіберіп, оң шама етіп өзгерту.
Әл-Хорезмидің мысалында (қазіргі белгілерді қолданса) “x2 = 40x – 4x2”
теңдеуі әл-жәбр амалын қолдану арқылы мынаған өзгертіледі: “5x2 = 40x”
Осы ережені қайталап қолдану арқылы есептеулерді пайда болатын теріс
сандардан құтылуға болады.
Әл-мұқабала (араб жазуымен ‘المقابله’) (теңдестіру) дегеніміз – теңдеудің
екі жағынан да бірдей оң шаманы алып тастау, сонда мына теңдеу: “x2 + 5 =
40x + 4x2” мына түрге келеді: “5 = 40x + 3x2“. Осы ережені қайталап қолдану
арқылы әр түрлі шамалардың (квадрат, түбір, сан сияқты) теңдеудің бір
жағында тек бір рет қана кездесетіндей етіп түрлендіруге болады.
Кітаптың келесі бөлігінде жоғарыда айтылған ережелерді іс жүзінде
қолданудың практикалық мысалдары келтірілген. Одан кейінгі бөлігінде аудан
мен көлемді есептеудің жолдары қарастырылған.

1-әдіс. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу.

х2 + 10х - 24 = 0 теңдеуді жіктейміз .

Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктейміз:

х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х -
2).
Демек, теңдеуді былай жазуға болады:
(х + 12)(х - 2) = 0
Көбейтінді нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі
нөлге тең болуы керек. Сондықтан теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х = 2
және х = - 12 сандары х2 + 10х - 24 = 0 теңдеуінің түбірлері болып
табылады.

2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі.

Мысал: х2 + 6х - 7 = 0=0   теңдеуін шешейік.

Сол жақ бөлігін толық квадратқа келтіреміз. Ол үшін х2 + 6х өрнегін
төмендегідей жазып аламыз:
х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.
Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тың квадраты, ал екінші қосындысы х
пен 3-тің екі еселенгені. Толық квадрат алу үшін 32-ын қосу керек. Сонда


х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.
Енді теңдеудің сол жағын түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 32 -ын қосып,
алып тастаймыз. Сонда шығатыны:
х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 -
16.
Сонымен, берілген теңдеуді былайша жазуға болады:
(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.
Бұдан      , х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, немесе х + 3 = -4, х2 = -7.
3-әдіс. Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу.

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0
теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтеміз де, төмендегі өрнекті аламыз:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,
(2ax + b)2 = b2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Оған келесідегідей мысалдар келтіруге болады: 4х2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 - 4ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,
Д0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір болады:

Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни в2-4ас0, ах2+вх+с=0 теңдеуінің екі
түрлі түбірі болады.

б) 4х2 - 4х + 1 = 0, теңдеуін шешейік.

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,
D = 0, болғандықтан, бір ғана түбір бар болады

Сонымен, егер дискриминант нөлге тең болса, b2 - 4ac = 0, то уравнение
ах2 + bх + с = 0 теңдеуінің жалғыз түбірі бар болады

в) 2х2 + 3х + 4 = 0, теңдеуін шешейік.

а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 - 4ac = 32 - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , D
0.
Д0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды..

Д0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды. b2 - 4ac
0 онда ах2 + bх + с = 0 теңдеуінің түбірі болмайды

4-әдіс. Виет теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешуКелтірілген түбірлері
Виет теоремасын қанағаттандырады.

Ол былай беріледі: х2 + px + c = 0.
(1)

а=1 болғанда,

x1 x2 = q,
x1 + x2 = - p
Бұдан келесі тұжырымдарды шығаруға болады:

а) Егер q (1) теңдеудің бос мүшесі оң болса (q0) онда теңдеудің екі
бірдей таңбалы түбірі ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.