Көпбұрыштар мен дөңес көпбұрыштар
Қазақстан республикасының ғылым және білім министрлігі
ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ГУМАНИТАРЛЫҚ ТЕХНИКАЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
Бердиева Гулназ Мардабаевна
Мектеп геометрия курсында көпбұрыштар мен көпжақтарды оқытудың
әдістемесі
ДИПЛОМ ЖҰМЫСЫ
5В010900 - Математика мамандығы
Шымкент 2020 ж.
Қазақстан Республикасы білім және ғылым министрлігі
Халықаралық гуманитарлық техникалық университеті
Техника және ақпараттандыру кафедрасы
Қорғауға жіберілді
Техника және ақпараттандыру
кафедра меңгерушісі
т.ғ.к., Оспанова Р.Д.
_________________
__ ______ 2020 ж.
ДИПЛОМ ЖҰМЫСЫ
Тақырыбы: Мектеп геометрия курсында көпбұрыштар мен көпжақтарды
оқытудың әдістемесі
5В010900 - Математика мамандығы бойынша
Орындаған Бердиева Г.М.
Ғылыми жетекші
т.ғ.к., доцент, аға оқытушы Акылбаев М.И.
Шымкент 2020 ж.
Халықаралық гуманитарлық техникалық университеті
Жаратылыстану-техникалық және спорт факультеті
5В010900 - Математика мамандығы
Техника және ақпараттандыру кафедрасы
БЕКІТЕМІН
Кафедра меңгерушісі
Дуйсенов Н.Ж.
(қолыподпис (А.Ж.Т.Ф.И.О.)
ь)
2019ж.г.
Диплом жұмысын орындауға
ТАПСЫРМА
Студент ______ Бердиева Гулназ Мардабаевна
___
______4 – курс, МТ-16 тобы, 5В010900 - Математика _.
1.Диплом жұмысының тақырыбы Мектеп геометрия курсында көпбұрыштар мен
көпжақтарды оқытудың әдістемесі
.
___ ___2019ж. № ___________ ректордың бұйрығымен бекітілген.
2. Аяқталған жұмысты тапсыру мерзімі ___ _______2020 ж.
3. Жұмысқа бастапқы деректер
Мамандық бойынша дипломдық жұмысты орындауға арналған әдістемелік
нұсқама және Диплом жұмысы туралы ереже____________
4. Диплом жұмысын дайындауға арналған сұрақтар тізімі
а) Евклидтік кеңістіктегі көпбұрыштар мен көпжақтар теориясы: Дөңес
фигуралар. Көпбұрыштар мен дөңес көпбұрыштар; Көпбұрыш және оның
характеристикасы;Тең шамалы және тең құрамды көпбұрыштар; Көпжақтар. Дөңес
көпжақтар;________
___________________________________ _______________________________
б) Дұрыс және топологиялық дұрыс көпжақтар: Топологиялық дұрыс
көпжақтар; Дұрыс көпжақтар; _____________________
___________________________________ _________________________________
в) Мектеп геометрия курсында көпбұрыштар мен көпжақтарды оқыту әдістемесі:
Көпбұрыштар тақырыбын оқытуда оның теориялық негізін қолдану
ерекшеліктері; Үшбұрыштар тақырыбын оқыту ерекшеліктері; Мектеп геометрия
курсындағы көпбұрыштардың ауданын оқыту әдістемесі; Көпжақтар тақырыбын
оқытуда оның теориялық негізін ескеру ерекшеліктері.__________________
___________________________________ _____________________________
5. Графикалық материалдар тізімі __________________________________
___________________________________ ____________________________
6. Ұсынылатын негізгі әдебиеттер тізімі 1.Шыныбеков Ә.Н. Геометрия. Жалпы
білім беретін мектептің 7, 8, 9 сыныптарына арналған оқулық. –Алматы:
Атамұра, 2005.
2.Геометрия, 7-11: Учеб. для общеобразоват. учереждений Л.С.Атанасян,
Б.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.-М.:Просвещение, 2001, 206с.
3.Земляков Л.Н. Геометрия учебное пособия для учителя. М.: Просвещение,
2002.
7. Жұмыс бойынша кеңес
Тараулар, бөлімдерҒылыми жетекші,Тапсырманы Тапсырма Тапсырма
атауы, № кеңесші алған мерзімі берілді қабылданды
(қолы) (қолы)
Евклидтік Акылбаев М.И. 15.01.2020
кеңістіктегі
көпбұрыштар мен
көпжақтар теориясы
Дұрыс және Акылбаев М.И. 20.02.2020
топологиялық
дұрыс көпжақтар
Мектеп геометрия Акылбаев М.И. 25.03.2020
курсында
көпбұрыштар мен
көпжақтарды оқыту
әдістемесі
8. Диплом жұмысын орындау кестесі
№ Жұмыс кезеңдері Жұмыс кезеңдерінің Ескерту
орындалу мерзімі
1 Диплом жұмысының тақырыбын бекіту 05.01.2020
2 Диплом жұмысын дайындау үшін 15.02.2020
материалдар жинақтау
3 Диплом жұмысының теориялық бөлімін20.02.2020
дайындық(1тарау)
4 Диплом жұмысының аналитикалық 20.03.2020
бөлімін дайындық (2-3 тарау)
5 Диплом жұмысы мәтінінің қолжазба 10.04.2020
нұсқасын толық аяқталуы
6 Диплом жұмысын алдын ала қорғауға 25.04.2020
ұсыну
7 Диплом жұмысын сын пікірге ұсыну 11.05.2020
8 Диплом жұмысының аяқталған 11.05.2020
нұсқасын ғылыми жетекшінің пікірі
және сын пікірімен ұсыну
9 Диплом жұмысын қорғау 15.05.2020
Тапсырманың берілген күні _______________2019 ж.
Ғылыми жетекшісі ____________ Акылбаев М.И., т.ғ.к., доцент, аға оқытушы
Тапсырманы қабылдаған студент ______________ Бердиева Г.М.
МАЗМҰНЫ
НОРМАТИВТІК 6
СІЛТЕМЕЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ...
АНЫҚТАМАЛАР, БЕЛГІЛЕУЛЕР ЖӘНЕ ҚЫСҚАРТУЛАР ... ... ... ... ... ... 6
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... 7
1 ЕВКЛИДТІК КЕҢІСТІКТЕГІ КӨПБҰРЫШТАР МЕН КӨПЖАҚТАР ТЕОРИЯСЫ 9
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... .
1.1 Дөңес фигуралар. Көпбұрыштар мен дөңес көпбұрыштар ... ... ... ... ... 9
1.1.1 Фигура және дөңес фигура ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 9
1.1.2 Көпбұрыштар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
1.1.3 Дөңес көпбұрыштар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... 13
1.2 Көпбұрыш және оның характеристикасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 15
1.3 Тең шамалы және тең құрамды көпбұрыштар ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17
1.4 Көпжақтар. Дөңес көпжақтар 20
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.4.1 Көпжақтар 20
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ...
1.4.2 Дөңес көпжақтар 21
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... .
2 ДҰРЫС ЖӘНЕ ТОПОЛОГИЯЛЫҚ ДҰРЫС КӨПЖАҚТАР ... ... ... ... . 25
2.1 Топологиялық дұрыс көпжақтар 25
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .
2.2 Дұрыс көпжақтар 28
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ...
3 МЕКТЕП ГЕОМЕТРИЯ КУРСЫНДА КӨПБҰРЫШТАР МЕН КӨПЖАҚТАРДЫ ОҚЫТУ
ӘДІСТЕМЕСІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... 33
3.1 Көпбұрыштар тақырыбын оқытуда оның теориялық негізін қолдану
ерекшеліктері 33
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ...
3.2 Үшбұрыштар тақырыбын оқыту ерекшеліктері ... ... ... ... ... ... ... .. 39
3.2.1 Үшбұрыштардың теңдігін оқытуда геометриялық теңдіктің мәнін ашу
жолдары 39
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ..
... ...
3.2.2 Тең бүйірлі үшбұрыш тақырыбын оқыту әдістемесі ... ... ... ... ... . 46
3.2.3 Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы тақырыбын оқыту әдістемесі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 47
3.3 Мектеп геометрия курсындағы көпбұрыштардың ауданын оқыту әдістемесі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... 51
3.4 Көпжақтар тақырыбын оқытуда оның теориялық негізін ескеру
ерекшеліктері 64
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ...
ҚОРЫТЫНДЫ 71
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 73
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР
Бұл дипломдық жұмыста келесідей стандарттарға сілтемелер жасалған:
Білім жөніндегі құжаттарды рәсімдеу үлгілері: 2007 жылдың 21 қарашада
№5651 Қазақстан Республикасының білім ғылым министірлігінің бекіткен
бұйрығы.
Халықаралық гуманитарлық техникалық университетінің Әдістемелік
Кеңесімен бекітілген, 2019ж., дипломдық жұмыс туралы ережелер.
5В010900 - Математика мамандығы бойынша күндізгі және сырттай түрде
оқитын студенттерге дипломдық жұмысты орындауға арналған әдістемелік
нұсқау. Халықаралық гуманитарлық техникалық университеті, 2019ж.
АНЫҚТАМАЛАР, БЕЛГІЛЕУЛЕР ЖӘНЕ ҚЫСҚАРТУЛАР
Планиметрия (лат. planum — жазықтық және METREO - "өлшеймін") —
элементар геометрияның жазықтықта жатқан фигуралардың қасиеттерін
зерттейтін бөлімі.
Функция - бір айнымалыға басқа бір айнымалының бір мәнің сәйкес қоятын
тәуелділік, заң.
Арифметика (грек. arіthmētіkē, arіthmos – сан) — сандар (бүтін және
бөлшек) және оларға қолданылатын амалдар туралы ғылым (грекше arіthmetіke,
arіthmos – сан).
Конфигурация - белгілі бір жүйені, аппараттық жабдықтарды, оның нақты
параметрлерін (сипатгамаларын), құрылғылар қүрамын (бөліктерін), өзара
байланыстарын анықтай отырып орналастыру.
Аксиома (көне грекше: ἀξίωμα — лайықты қабылданған қағида) —
нанымдылығы ақиқат (шындық) болғандықтан логикалық дәлелдеусіз алынатын
қағида; теорияның ақиқат (шындық) ең бастапқы қағидасы.
Палетка (фр. pallette — пластинка, планка) - графаға бөлінген, мысалы,
кішкене квадраттарға бөлінген мөлдір тілімше көрініс сызбада немесе картада
ауданды анықтау үшін қолданылады.
КІРІСПЕ
Дипломдық жұмыс тақырыбының өзектілігі. Мектеп геометрия курсын
оқытудың негізгі мақсаттарының бірі - оқушыларға геометрияның теориялық
негіздерін үйрету және оларды практикада қолдана білу дағдыларын меңгерту.
Сонымен қатар оқушылардың логикалық ойлауын, дәлелдеу қабілетін, ой
қорытуларды негіздей білу және кеңістіктік түсініктері мен елестету
қабілеттерін қалыптастыру болып табылады [1], [2].
Мектеп геометрия курсының көкейкесті мәселелері – курстың мазмұнының
ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде оқушылардың пәнге деген
қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену, шығармашылық іс-әрекеттерге
тарту және т.с.с.
Геометрияның планиметрия бөлімінде жазықтықтағы геометриялық фигуралар
жүйелі түрде оқытылады және жазық көпбұрыштарды сипаттайтын қасиеттер мен
олардың шамаларына баса назар аударылады. Жазық фигураларды оқыту І-ІV
сыныптарда қалыптасқан қарапайым геометриялық фигуралар жайлы түсініктерге
негізделеді. Мұнда көптеген анықтамалар енгізіледі, мазмұнды теоремалар
дәлелденеді, қасиеттер және белгілер ұғымдарын қалыптастыру бағытында
жұмыстар жүргізіледі. Бастауыш сыныптарда жазық фигуралар арифметиканы
оқытуда дидактикалық құралдар ретінде жақсы қолданылады. Мысалыға, 1-
сыныпта көпбұрыштардың төбелерін, қабырғаларын, бұрыштарын санап,
қабырғаларының ұзындықтарын өлшейді. 2-сыныпта тең квадраттарға бөлінген
тіктөртбұрышты көбейтудің орын ауыстырымдылық заңын кескіндеуге пайдаланады
және т.с.с [3].
V-VI сыныптарда жазық көпбұрыштар арифметика және алгебра элементтерін
оқытудағы дидактикалық құрал болып қана қоймай, сонымен қатар оқу объектісі
болып табылады.
Ал VIІ сыныптан бастап геометрия курсында жазық көпбұрыштар мен
олардың қасиеттерін оқыту белгілі бір дәрежеде танымдық функцияны да
атқарады. Яғни оны оқу барысында оқушылар жеке мәселелердің тарихымен
танысады, олардың адам өміріндегі орны мен ролін танып біледі. Сонымен
қатар жазық көпбұрыштар мен олардың конфигурацияларын оқып-үйрену барысында
басқа сыбайлас пәндерді, атап айтқанда физиканы, сызуды, еңбек сабағын
оқуға қажетті білімді, іскерлікті және дағдыны қалыптастыру да іске
асырылады.
Жазық көпбұрыштардың планиметрия курсында оқытылған қасиеттері мен
белгілері стереометрия курсында, оның ішінде әсіресе көпжақтарды оқытуда
кең қолдау табады. Көпжақтар тақырыбы орта мектептегі стереометрия
курсының негізгілерінің бірі. Оны оқыту барысында оқушылардың планиметрия
курсынан алған көпбұрыштар туралы білімдері, сонымен бірге стереометрияның
Х сыныбындағы түзулер мен жазықтықтардың өзара орналасуы туралы білімдер
жинақталып жүйеленеді. Бұл мұғалімнен планиметрия курсының да,
стереометрияның өтілген тарауларын да қайталап алуда ерекше
ұйымдастырушылықты талап етеді.
Көпжақтарды оқыту барысында оқушылардың кеңістіктік түсініктерін
дамыту бағытындағы жұмыс жалғастырылады. Сондай-ақ, дұрыс көпбұрыштар мен
дұрыс көпжақтар туралы білімдер оқушылардың пәнге деген қызығушылықтарын
арттырып, оларға эстетикалық тәрбие беруде үлкен орын алады.
Сондықтанда, мектеп геометрия курсын оқытуда оқушыларға жазық
көпбұрыштар мен көпжақтар, олардың қасиеттері, өзара орналасу жағдайлары
және көпбұрыштардың конфигурациялары, көпжақтардың конфигурациялары туралы
жүйеліде, терең білім беру барлық уақыттада күн тәртібінен түскен емес. Ал
мектеп геометрия курсының негізгі тарауларының бірі болып табылатын
Көпбұрыштар мен Көпжақтар тақырыбын оқушыларға саналы да, жүйелі түрде
жеткізу үшін, болашақ математика мұғалімдері Жоғары геометрия курсында
оқытылатын теориялық негідерін терең білуі керек.
Диплом жұмысының жаңалығы: мектеп геометрия курсында көпбұрыштар мен
көпжақтарды оқытудың әдістемесі жасалды.
Жұмыстың практикалық құндылығы: болашақ математика мұғалімдері мен
мектеп математика мұғалімдері үшін көмекші құрал ретінде пайдалануға
болады.
Бұл дипломдық жұмыстың мақсаты: көпбұрыштар мен көпжақтардың
теориялық негіздерін терең оқып-үйрену және олардың мектеп геометрия
курсында баяндалу мүмкіндіктерін сараптау.
Бұл дипломдық жұмыстың міндеттері:
- Екі өлшемді дөңес жазық фигуралардың қасиеттерін оқып-үйрену;
- Дөңес көпбұрыштарды теориялық тұрғыдан анықтау және қасиеттерін
қарастыру;
- Дөңес көпбұрыштың қабырғалары арқылы анықталатын жарты жазықтықтар
бойынша Теңдеуін беру;
- Көпбұрыш және оның характеристикасы, қасиеттері туралы теориялық
мәліметтерді қарастыру;
- Мектеп геометрия курсында көпбұрыштар тақырыптарын оқытуда олардың
теориялық негіздерін ескеру әдістемесін сараптау;
- Тең фигуралардың бар болуын негіздеу және геометриялық теңдік ұғымының
мәнін ашу, оны оқытудың әдістемесін сараптау;
Зерттеу нысаны: мектеп геометрия курсындағы көпбұрыштар мен
көпжақтарды оқыту.
Диплом жұмыстың көлемі мен құрылымы: Дипломдық жұмыс үш бөлімді
қамтиды: евклидтік кеңістіктегі көпбұрыштар мен көпжақтар теориясы,
евклидтік кеңістіктегі көпбұрыштар мен көпжақтар теориясы, мектеп геометрия
курсында көпбұрыштар мен көпжақтарды оқыту әдістемесі. Сонымен қатар,
диплом жұмыста кіріспе, қорытынды, қолданылған әдебиеттер тізімі
көрсетілген.
Жалпы дипломдық жұмыстың анықтамалық жазбасы барлығы 74 беттен тұрады,
қолданылған әдебиеттер тізімі мен 32 суретті және 5 кестені құрайды.
1 ЕВКЛИДТІК КЕҢІСТІКТЕГІ КӨПБҰРЫШТАР МЕН КӨПЖАҚТАР ТЕОРИЯСЫ
1.1 Дөңес фигуралар. Көпбұрыштар мен дөңес көпбұрыштар
1. Фигура және дөңес фигура
Математикада нүктелердің кез келген жиынын фигура дейді. Мысалы, А
және В нүктелері мен олардың арасындағы түзу нүктелерінің жиынын АВ
кесіндісі, бір түзудің бір жағында жатқан жазықтық нүктелерінің жиынын сол
түзумен анықталатын жарты жазықтық дейді және т.с.с.
Фигураның барлық нүктесі бір жазықтықта жатса ол жазық фигура
делінеді. Ол жазықтық фигура жазықтығы делінеді.
Фигураның барлық нүктесін қамтитын дөңгелек табылса, ол фигура
шектелген, табылмаса шектелмеген делінеді. Үшбұрыш, кесінді шектелген,
түзу, жарты жазықтық шектелмеген фигуралар.
Егер r0 нақты сан болса, жазықтықтың нүктесі болса, онда ол
жазықтықтың , , болатын х нүктелердің жиынын, сәйкесінше,
ашық дөңгелек, шеңбер, дөңгелек дейді. Центрі М болатын кез-келген ашық
дөңгелекті бұл нүктенің аймағы дейді [4], [7].
П жазықтықтың барлық нүктелерін, ол жазықтықта жатқан Ғ фигураға
қатысты үшке бөлуге болады. нүктесінен Ғ фигурада ең болмағанда бір
аймағы болса (бірде-бір аймағы болмаса) оны Ғ-тің ішкі (сыртқы) нүктесі, ал
М –нің кез-келген аймағында Ғ –те жататында, жатпайтында нүктелер болса, ол
Ғ-тің шекаралық нүктесі делінеді. Шекаралық нүктелердің жиыны ол фиграның
шекарасы делінеді, ішкі нүктелердің жиыны фигураның іші, ал сыртқы
нүктелердің жиыны ол фигураны П-ге дейін толықтырушы делінеді.
Шекаралық нүктенің аймағына бұл фигураның нүктесінен басқа нүктелері
енбесе, ол айрықша нүкте делінеді.
Шекарасы бар да, жоқта фигуралар болады. Шекарасы бар фигуралар тұйық,
шекарасы жоқ фигуралар ашық фигуралар делінеді. Ашық фигуралар тек ішкі
нүктелерден ғана тұрады.
Фигураның іші мен шекарасының біріктірмесін ол фигураның тұйықталуын
арқылы белгілейік, 1.1 суретте көрсетілген.
Сурет 1.1 Тұйық және ашық фигуралар
мен фигуралар берілген , болса мен
фигуралар айырылатын фигуралар делінеді. Ғ фигура айырылған екі
фигураның бірігуі болмаса онда ол байламды делінеді.
Егер фигураның кез-келген екі нүктесін қосатын кесінді толығымен сол
фигурада жататын болса, онда ол фигура дөңес, кері жағдайда дөңес емес
делінеді.
Кесінді, үшбұрыш, параллелограм дөңес фигура болады 1-суреттегі а,ә)
дөңес, б,в) ойыс фигуралар кескінделген. Берілген түзу бойында жатпайтын
кемінде үш нүктесі болатын дөңес жазық фигураны екі өлшемді фигура дейді.
Екі өлшемді дөңес жазық фигураның қасиеттері.
1. Кез-келген екі өлшемді дөңес жазық фигураның шексіз көп ішкі
нүктелері болады.
Шыныңда да Ғ екі өлшемді дөңес жазық фигура болса онда анықтама
бойынша оның берілген түзуде жатпайтын кемінде 3 нүктесі болады. Олар А,
В, С болсын, 1.2 суретіне сәйкес. Е үшбұрыштың кез-келген бір ішкі нүктесі
болсын дейік. ста, Ғ-те дөңес фигуралар болатындықтан А, В, С
нүктелерді қосатын кесінділер Ғ-те жатады. Сондықтан D-да Ғ-те жатады.
Сөйтіп, Ғ-те шексіз көп нүкте болады.
Сурет 1.2.Үшбұрыш
2. Ең болмағанда бір ішкі нүктесі болатын кез-келген дөңес жазық
фигура екі өлшемді фигура болады. Өйткені, егер М нүкте Ғ дөңес жазық
фигураның ішкі нүктесі болса, онда М нүктенің аймағы болатын М центрлі
дөңгелек Ғ-те жатады. Ал, дөңгелек бойында бір түзуде жатпайтын кемінде үш
нүкте бар болады. Бұл Ғ екі өлшемді фигура болады деген сөз.
3. Егер А мен В дөңес жазық Ғ фигураның ішкі нүктелері болса, онда АВ
кесіндінің барлық нүктесі Ғ-тің ішкі нүктесі болады.
4. Дөңес жазық Ғ фигура үшін А ішкі В шекаралық нүкте болса, онда АВ
кесіндінің В-дан өзге барлық нүктелері Ғ-тің ішкі нүктесі болады. Егер А-
да, В-да шекаралық нүктелер болса, онда АВ-ның А мен В дан өзге барлық
нүктесі Ғ-тің ішкі нүктесі болады немесе АВ-ның барлық нүктесі шекаралық
нүкте болады.
5. Егер l түзуі дөңес жазық Ғ фигураның бір ішкі нүктесі арқылы
өтсе, онда l түзуінде Ғ фигураның екіден артық емес шекаралық нүктесі
болады.
Ғ дөңес жазық фигурасының А шекаралық нүктесі болсын. А дан Ғ-тен
әрбір ішкі нүктесін қосатын сәулелер жүргізейік (3, а - сурет), онда ол
сәулелер жиыны не жарты жазықтық (3, а - сурет), не тан кем бұрыш
болатын аймақты (3 б - сурет) толтырады.
Бұл жағдайдың біріншісінде l түзуімен Ғ-ті бір ғана ортақ нүктесі
болады және Ғ-тің барлық нүктесі l түзудің бір жағындағы жарты жазықтықта
жатады. l –ді дөңес Ғ фигураның тірек түзуі дейді. А –дан жүргізілген l ден
басқа түзу Ғ-ті екіге бөледі. Сондықтан олар тірек түзу болмайды.
Екінші жағдайда Ғ фигура ВАС бұрыштын ішкі бөлігінде жатады. Бұл кезде
ВАС бұрыштын ішкі нүктесінен өтпейтін кез-келген түзу (3б - сурет) және АВ,
АС түзулер Ғ үшін тірек түзу болады. Бір ғана тірек түзу өтетін шекаралық
нүктені жай нүкте дейді, ол нүктеден тірек түзуді Ғ-ке жанама түзу дейді.
Ал, бірнеше тірек түзу өтетін нүктені ерекше нүкте дейді және АВ мен АС
бұл кезде жартылай жанама түзулер делінеді. Олар арасындағы ВАС бұрышты Ғ-
тен А нүктедегі шекаралық бұрышы дейді. Ол болса, бұрыш Ғ-тен А
нүктедегі сыртқы бұрышы делінеді. Дөңгелектің әрбір шекаралық нүктесі
кәлімі нүкте, үшбұрыштын әрбір төбесі ерекше нүкте болады. Кез-келген жазық
дөңес фигураның ерекше нүктелері санаулы ғана болады, ол нүктелердегі
сыртқы бұрыштардың қосындысы 2d-дан артпайды.
Сурет 1.3. Жазық фигуралар
Кез-келген дөңес жазық фигураның ең алыс екі нүктесінің арасы ол
фигураның диаметрі делінеді. Үшбұрыштың ең ұзын қабырғасы оның диаметрі
болады. Фигураның АВ диаметрі болса, онда А,В нүктелерден АВ-ға жүргізілген
перпендикуляр түзулер ол фигураның тірек түзулері болады.
Фигураның қандайда бір d түзуге параллель етіп жүргізілген екі тірек
түзуінің арасын фигураның d бағыттағы ені дейді. Ол ең үлкен болғанда
диаметрге тең болады. Бір фигураның әртүрлі бағыттағы ендерінен әртүрлі
болуы мүмкін. Олардың ең кішісін фигураның ені дейді. Шектердің ені мен
диаметрі тең болады. Ондай фигураны тұрақты енді фигура дейді. Екі дөңес
фигураның нүктелерінің ара қашықтықтарының ең төменгі шекарасын сол екі
фигураның арасы дейді. Бірнеше фигураның ортақ нүктелерінің жиынын ол
фигуралардың қимасы дейді.
1-теорема. Егер А нүктесі мен фигуралардың екеуініңде ішкі
нүктесі болса, онда ол олардың қимасыныңда ішкі нүктесі болады, ал
біреуінің ішкі, екіншісінің шекаралық нүктесі болса, онда ол олардың
қимасының шекаралық нүктесі болады.
Дәлелі. А нүкте мен фигуралардың екеуініңде ішкі нүктесі
болса, онда А центрлі дөңгелек -де, А центрлі дөңгелек
-де жатады. Ол екеуі концентрлі шеңберлер болатындықтан не беттеседі,
не бірі екіншісінің ішінде жатады. Мысалы, десек, онда
дөңгелектің барлық нүктесі -де де, -де де жатады. Сондықтан
олардың қимасында да жатады.
Егер В нүкте -дің ішкі, -нің шекаралық нүктесі болса онда
В центрлі W дөңгелектең -де жатпайтын кемінде бір С нүктесі болады.
Сондықтан С нүкте -те де жатпайды. Демек В нүкте Ғ үшінде шекаралық
нүкте болады.
2-теорема. мен дөңес фигуралардың екеуініңде ішкі нүктесі
болатын ең болмағанда бір нүкте бар болса, онда ол фигуралардың қимасы
екі өлшемді дөңес фигура болады.
Дәлелі. А нүкте , - ші екеуінде ішкі нүктесі болғандықтан
-ке де ішкі нүкте болады (1-теоремада ол дәлелденді). Ғ дөңес фигура
болады. Өйткені, А мен В нүктелер Ғ-тің кез-келген екі нүктесі десек. Олар
-де де, -де де жатуы керек және олар дөңес болғандықтан АВ
кесінді -де де, -де де жатады. Сондықтан олардың қимасында
да жатады. Сөйтіп қима Ғ ең болмағанда бір ішкі нүктесі бар дөңес
фигура болады екен. Сонда екінші қасиеті бойынша ол екі өлшемді
дөңес жазық фигура болады. Демек дөңес фигуралардың қимасы да дөңес
болады.
2. Көпбұрыштар
кесінділер тізбегін мен нүктелерді жалғайтын сынық
сызықтар дейді. Егер сынық сызықтың барлық төбелері (сондықтан барлық
нүктесі) бір жазықтықта жатса, ол жазық сынық сызық делінеді. Егер
мен беттесе онда оны тұйық сынық сызық дейді. Жазық тұйық сынық
сызық, жай сынық сызық делінеді, егерде оның әр төбесі әртүрлі болса бірде-
бір төбе қабырғада жатпаса, кез-келген екі қабырғаның ішкі ортақ нүктесі
болмаса. Мұндай тұйық сынық сызықты деп белгілейді. 4 суреттен а, б, d-
да жай тұйық сынық сызық, с,в,г-да жай тұйық сынық сызық емес фигуралар
кескінделген (в-да әр төбе әр түрлі емес, г-да төбе қабырғада жатыр с-екі
қабырғаның ортақ қабырғасы бар).
Әрбір жазық тұйық сынық сызық өзі жатқан жазықтықтың нүктелерін өзіне
қарағанда екі облысқа – ішкі және сыртқы бөледі. Егер А мен В әртүрлі облыс
нүктелері болса, онда АВ нүктелерді жалғайтын сынық сызықтын берілген сынық
сызықпен кемінде бір ортақ нүктесі болады, ал екеуі бір облыста жатса, онда
А мен В-ны қосатын берілген сынық сызықпен ортақ нүктесі жоқ сынық сызық
әруақытта ол сынық сызық жазықтығынан табылады. Тұйық сынық сызықты сыртқы
облысында толығымен жататын түзулер табылады, ол ішкі облыста толығымен
жататын түзу болмайды [6].
Сурет 1.4. Көпбұрыштар
Жай тұйық сынық сызықпен оның ішкі облысының біріктірмесін көпбұрыш
дейді, 1.4 суретте көрсетілген. Оны таяқшасыз -ден белгілейді. Сынық
сызықтын төбелері, қабырғалары көпбұрыштыңда төбелері, қабырғалары
делінеді.
Көпбұрыштарды төбелерінің санына қарай үшбұрыш, төртбұрыш,
бесбұрыш,..., n бұрыш деп бөледі. Тұйық сынық сызықтын ішкі облысы
көпбұрыштың іші, сынық сызық нүктелері көпбұрыштың шекаралық нүктелері
делінеді. Сонда көпбұрыш іші мен шекаралық нүктелердің біріктірмесінен
тұратын фигура болады.
3. Дөңес көпбұрыштар
Көпбұрыш жазық жай тұйық сызықпен оның ішкі облысының біріктірмесінен
тұратындықтан ол бір түзуде жатпайтын кемінде үш нүктесі болатын жазық
фигура болады.
Егер ол жазық фигура дөңес болса көпбұрыш дөңес көпбұрыш делінеді.
Дөңес көпбұрыштың қасиеттері.
1. Дөңес көпбұрыштың бір қабырғасының басына жүргізілген түзуде ол
көпбұрыштың ішкі нүктелері болмайды, ол түзуде шексіз көп шекаралық
нүктелер болады.
2. Дөңес көпбұрыштың барлық нүктелері бір қабырғасымен анықталатын тұйық
жарты жазықтықта жатады. Ол жарты жазықтықты сол көпбұрыштың жарты
жазықтығы дейді.
3-теорема. Ғ дөңес көпбұрыш өзінің барлық қабырғаларымен анықталатын
жарты жазықтықтарының қимасы болады (мектеп геометриясындағы дөңес
көпбұрыштар ұғымын берудің теориялық негізі).
Дәлелі. берілген Ғ көпбұрыш болсын. Оның қабырғаларымен
анықталатын жарты жазықтықтарын дейік. Бұл жарты жазықтықтар қимасын
S дейік. Мақсат S пен Ғ-тің беттесетіндігін дәлелде, 1.5 суретіне сәйкес.
Сурет 1.5. Жарты жазықтықтар қимасы
А нүкте Ғ-те жатса онда ол барлық жарты жазықтықта жатады.
Сондықтан ол олардың қимасы S-те де жатады. Ал, В нүкте Ғ көпбұрышта
жатпайтын болсын. Онда ол оның сыртқы облысында жатады. Сондықтан АВ
кесінді Ғ-тің бір қабырғасын қиып өту керек. Ол қабырға болсын, онда
В нүкте жарты жазыктықта жатпайды. Сондықтан ол S–те де жатпайды.
Сөйтіп Ғ-те жататын нүкте S-те жатады екен, ал Ғ-те жатпайтын нүкте S
–те де жатпайды екен. Демек Ғ пен S беттеседі, бір фигура болады.
Жай жазық сынық сызық дөңес делінеді, егерде оның барлық төбелері кез-
келген бір қабырғасын бөліп өтетін түзудің бір жағында жататын болса [7].
4-теорема. көпбұрыш дөңес болу үшін тұйық сынық сызықтың
дөңес болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелі. Ғ көпбұрыш дөңес болсын. Онда дөңес көпбұрыштың екінші
қасиеті бойынша көпбұрыш өзінен бір қабырғасымен анықталатын жарты
жазықтықта жатады. Сондықтан сынық сызығы дөңес сынық сызық болады.
Енді керісінше -жай тұйық жазық сынық сызық болсын. Мұның
қабырғаларын анықтайтын жарты жазықтықтар болсын, олардың қимасы S
болсын. Ғ пен S тің беттесетін дәлелдеу керек.
Ол үшін нүктенің S те де жататыныңа көз жеткізейік. Ол үшін М-
нің барлық қабырғалар анықтайтын жарты жазықтықтарда жататының дәлелдеу
керек. Мысалы М-нен жарты жазықтықта жататының дәлелдейік.
Ол үшін кері жарлық М нүкте -де жатпайды дейік. М нүктеден -
ге параллель l түзуін жүргізейік. дөңес сынық сызық болғандықтан l
оны қимайды, оның барлық нүктесі сыртқы нүктелер болады. Сондықтан М нүкте
Ғ-те жатпайды. Біз М-ді Ғ-тен алған едік. Қайшылыққа келдік. Олай болса
жатады.
Енді М нүкте Ғ-те жатпасын. Ғ –тің ішкі облысынан N нүкте алайық.
Сонда MN түзуі Ғ-тің бір қабырғасын қиюы керек. Ол қабырға болсын.
Онда М нүкте -де жатпайды. Сондықтан ол S-те де жатпайды. Демек Ғ пен
S беттейді. Сөйтіп S дөңес болады.
1.2 Көпбұрыш және оның характеристикасы
П жазықтығын алайық. Осы жазықтықта жатқан n-1 қабырғалы А1А2...Аn
сынық сызықты қарастырайық.
Егер бұл сынық сызықтың сыбайлас екі қабырғасы бір түзуде жатпаса, ал
сыбайлас емес қабырғалары өзара қиылыспаса, онда оны жай сынық сызық дейді.
Сынық сызықтың ұштары өзара беттесcе ол жай тұйық сынық сызық делінеді. Жай
тұйық сынық сызық жазықтықтағы бұл сызық басында жатпайтын барлық нүктелер
жиынын осы сызыққа қарағанда екі жиынға - ішкі және сыртқы жиынға бөледі.
Жай тұйық сынық сызық пен оның ішкі облысының бірігуін жай көпбұрыш
дейді. Жай көпбұрышты қоршап тұрған сынық сызық оның шекарасы делінеді.
6 суретте F жай тұйық көпбұрыштың шекарасында жатқан А,В нүктелер
жай L сынық сызықпен қосылған. Сонда Ғ1, Ғ2 көпбұрыш шыққан. Бұл кезде Ғ
екі көпбұрышқа жіктелген және Ғ ол екі көпбұрыштың қосындысы делінеді де
Ғ= Ғ1+Ғ2 деп жазылады.
Егер көпбұрыштың төбелері реттелген болса онда ол бағдарланған
көпбұрыш делінеді. Оның үстіне сызықша қою арқылы белгілейді.
Егер Ғ1 мен Ғ2 көпбұрыштар шекаралары және оның сыртқы бөлігі (яғни
Ғ-тің шекаралары) бір бағытта болатындай етіп бағдарланса, онда олардың
бағдары келісілген делінеді. Ол үшін L сынық сызық Ғ1 мен Ғ2 де қарама-
қарсы бағытталуы керек, 1.6 суретте бағдар стрелка арқылы көрсетілген [8].
Сурет 1.6. Бағдар стрелка арқылы көрсетілуі
П Евклид жазықтығын алайық, , оған параллель векторлар
болсын, ал бұл жазықтыққа нормал бірлік вектор болсын, бұл үш
вектордың аралас көбейтіндісін былайша белгілейік және П жазықтығына
, координата жүйесін болатындай етіп ендірейік.
, вектор кooрдинаталары (, ) базисте
={a1,a2}, ={b1,b2} болса, онда () базисте ={a1,a2,0},
={b1,b2,0}, ={0,0,1} болар еді.
болатындықтан
(1)
(1) Бұл формуладан мына
формулардың дұрыстығы шығады:
(2)
;
(3)
Себебі және
П жазықтығында О нүктесі және бағдарланған n-бұрышы берілген. О
мен қосатын векторларды дейік. Мына санды
(4)
көпбұрыштың харектеристикасы дейді.
тікбұрышты координата жүйесінің төбелер координаталары
десек, онда (4)-ті былайша жазуға болар еді, (1) бойынша
(5)
Көпбұрыш характеристикасының қасиеттері
10. Көпбұрыштың характеристикасы-[] О нүктені жазықтықтың қай
жерінен алуына байланысты болмайды.
Дәлелі. П жазықтықтан О нүктесінен басқа нүкте алайық және
деп белгілейік. нүктеге қарағандағы көпбұрыштың
характеристикасы болсын, онда ол болар еді.
(2),(3) формулаларды ескерсек және десек
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
..
Бұларды қоссақ (2)-ні ескерсек болып шығады.
20. Егер болса, онда , болады.
30. Егер еркін алынған бағдарланған көпбұрыш болса
болады, сондықтан [F] 0 болады.
Мысалы үшбұрыш болса, А1-ді О үшін алсақ болар еді. Ал
мен коллинеaр болмағандықтан болады. Сондықтан
болады.
Егер Ғ бағдарланған көпбұрыш болса деп жіктеуге (мұндағы Ғ1
үшбұрыш, Ғ2 көпбұрыш) болады. 20-қасиет бойынша , ал дәлелдеу бойынша
. Сондықтан 0 болады.
Көпбұрыш бағдарын ауыстырғаннан оның характеристикасының шамасы
өзгермейді, таңбасы кері ауысады.
Дәлелі. (4)-тен шығады.
Сондықтан кез келген көпбұрыш пен оның характеристикасы оң болатындай
етіп бағдарлауға болады.
1.3 Тең шамалы және тең құрамды көпбұрыштар
Аудандары теңдей көпбұрыштарды тең шамалы көпбұрыш дейді. Егер
көпбұрыштар тең болса, онда олардың тең шамалы болатыны түсінікті. Бірақ
шамалары тең фигуралар өзара тең бола бермейді. Мысалы қабырғалары 6 және
4, 3 және 8, 12 және 2 болатын тік төртбұрыштар өзара тең шамалы, бірақ тең
емес.
Ғ1,Ғ2 екі көпбұрыш тең құрамды делінеді, егерде олардың саны бірдей
өзара қос-қостан тең болатын көпбұрыштарға жіктеуге болатын болса:
F1=, F2=, Өзара тең құрамды көпбұрыштарды Ғ1=Ғ2 деп
жазайық.
1-теорема. Егер екі P, Q көпбұрыш тең құрамды болса, онда олар тең
шамалы болады.
Өйткені P=Q болғандықтан оларды өзара қос-қостан тең болатын бірдей
санды көпбұрыштарға жіктеуге болады. Сондықтан олардың қосындысы да тең
болады Pi=Gi. Демек олардың аудандары да тең болады.
Бұған кері теореманы, яғни тең шамалы көпбұрыштардың тең құрамды
болатынын венгер математигі Ф.Боци (1832ж), неміс математигі офицер Гервин
(1833ж) дәлелдеген. Ол теорема мынадай тұжырымдарға сүйеніп дәлелденді.
1-тұжырым.Үшінші көпбұрышпен тең құрамды болатын екі көпбұрыш өзара да
тең болады.
Сурет 1.7. Екі тең шамалы параллелограм
2-тұжырым. Екі тең шамалы параллелограм өзара тең құрамды болады, 1.7
суретте көрсетілгендей.
АВСD, АВ1С1D параллелограм тең шамалы және олар тең құрамды. Бірінші
1,2-ден тұрса, екіншісі 2,3-тен тұрады.
3-тұжырым. Кез келген үшбұрыш мұнымен ортақ табанды биіктігі 2-есе
кіші параллелограм тең шамалы және тең құрамды болады, 1.8 суретте
көрсетілгендей.
АВС мен АДЕС параллелограм тең құрамды. Сондықтан тең шамалы.
Сурет 1.8.Тең құрамды үшбұрыш
4-тұжырым. Кез келген екі тең шамалы үшбұрыш тең құрамды
болады.
5-тұжырым. Кез келген көпбұрыш оған тең шамалы болатын қандай да бір
үшбұрыш пен тең құрамды болады [8].
Бояц-Гервин теоремасы. Кез келген екі тең шамалы көпбұрыш тең құрамды
болады.
Дәлелі P, Q тең шамалы көпбұрыштар болсын. 5-тұжырым бойынша бұлармен
тең құрамдас екі P G үшбұрыштар болады. P=P, G=G.
4-тұжырым бойынша бұл үшбұрыштар тең шамалы болғандықтан тең құрамды
болады: P=G 1-тұжырым бойынша P мен Q тең құрамды болады.
Осы теоремаға сүйеніп, яғни тең құрамдылыққа сүйене отырып,
трапецияның, үшбұрыштың, параллелограмның аудандарын табуға болады. Екі
көпбұрыштың тең шамалылығын дәлелдеуде оларда өзара қос-қостан тең
көпбұрыштарға жіктеудің орнына оларды толықтыру жиегін пайдалануға болады.
Екі көпбұрыш тең толықтырылымды делінеді, егерде оларға қос-қостан тең
құрамды көпбұрыштарды жалғағанда шығатан көпбұрыш тең құрамды болатын болса
Тең құрамды көпбұрыштар тең толықтырылымды болады
Тең шамалы көпбұрыштар тең толықтырылымды болады.
Тең толықтырылымды көпбұрыштар тең шамалы да, тең толықтырылымды да
болады.
Квадратталған фигуралар. Ғ1,Ғ2 екі көпбұрыш және F1ФҒ2
болатын Ф жазықтық фигура берілген. Бұдан S(F1)S(F2) болатыны
түсінікті. Ф фигураға іштей сызылған көпбұрыштар жиынын {F1}, ал сырттай
сызылған көпбұрыштар жиынын {F2} дейік.
S{F1} сандар жиынына трапеция бойынша жоғарыдан шектелген, сондықтан
ол сандардың дәл жоғарғы шекарасы S=SupS({F1}) болады (supremum-ең жоғарғы
деген сөзді білдіреді.)
Осы сияқты S{F2} сандар жиыны төменнен шектелген. Сондықтан бұл
сандардың дәл төменгі шекарасы S=inf S({F2})болады. ( infimum-ең төменгі
дегенді білдіреді). Ф фигураның S*-ді ішкі, S*-ді сыртқы жордандық өлшемі
дейді.
Ф фигура квадратталатын фигура делінеді, егер оның ішкі және сыртқы
жордандық өлшемдері теңдей болса, ол сан Ф фигураның ауданы делінеді.
Ф фигура квадратталған фигура болу үшін хnФуn болатын хn,уn
көпбұрыштар тізбегі табылып олардың аудандарының шегі limS(хn)=limS(уn)
теңдей болулары қажетті және жеткілікті. Ол шек фигураның ауданы болады.
Квадратталған жазық фигуралар ауданы интегралдау тәсілімен табылады.
Кез келген жазық фигура квадратталған бола бермейді.
1.4 Көпжақтар. Дөңес көпжақтар
1.4.1 Көпжақтар
Егер көпжақты беттейтін барлық қырлары ішкі қырлар болса, яғни
көпжақты беттейтін шекарасы болмаса онда оны тұйық көпжақты бет дейді.
Тұйық жай көпжақты бет кеңістікті өзіне қарағанда екі облысқа - ішкі
және сыртқы облыстарға бөледі. Бір облыс нүктелерін қосатын кесінді және
бетпен қиылыспайтын сынық сызық әр уақытта табылады, әр облыс нүктелерін
қосатын сынық сызық бетпен бір нүктеде қиылысады.
Бетті ақырлы санды жазық көпбұрыштардан тұратын геометриялық дене
көпжақ делінеді, егерде ешқандай іргелес екі көпбұрыш бір жазықтықта
жатпаса және барлық көпбұрыштар бірігуі 2 өлшемді көпбейнелік болса.
Көпбұрыштар көпжақтың жағы, көпбұрыштың төбелері мен қабырғалары
көпжақтың төбесі, қыры делінеді.
Тұйық көпжақты беттің беті көпжақтың да беті делінеді. Көпжақтарға
мектепте оқытылатын пирамида, призма, параллелопипедтер жатады.
Көпжақтарды жағына қарай бөледі: тетраэдр (4 жақ), пентаэдр (5 жақ),
гексаэдр (6 жақ), октаэдр (8 жақ), додекаэдр (12 жақ), икасаэдр (20 жақ)-ты
көпжақтар болады.
Топологияда тесігі бар сферанын 2р тесігіне Р тұтқа жапсыру
арқылы бетеуге болатыны, сонда Р тұтқасы, К тесікті көпбейнелік
шығатыны және ондай көпбейнеліктен Эйлер характеристикасы мына формуламен
анықталатыны айтылады.
(6)
Мынадай теорема бар. Кез-келген бағдарланатын көпжақты екі өлшемді
көпбейнелік қандай да бір көпбейнелікке ал жиегі бар бағдарланатын
көпжақты екі өлшемді көпбейнелік қандай да бір көпбейнелікке
гомоморфты болады. Осындағы оң бүтін сандар Р-ны сол көпбейнеліктен тегі, К-
ны оның жиегінің (көпбұрышынын) саны дейді.
Сфера (яғни ешқандай тұтқасы жоқ, тесігі жақ сфера) нөл текті
көпбейнелік болады, өйткені , ал бір тұтқасы сфера бір
текті көпбейнелік болады. Гомеоморфты көпбейнеліктердің Эйлер
характеристикасы және тектері теңдей болады.
Көпжақтың тегі деп оның бетінің тегін айтады. Тетраэдрдің, кубтың
беттері сфераға гомоморфты, сондықтан олар нөл текті көпжақтар болады.
Жақтары клетка болатын нөл текті көпжақтарды жай көпжақ дейді.
Тетраэдр, куб жай көпжақты болады. Элипистер геометрияда тұйық жай көпжақты
бетпен онын ішінен біріктірмесін жай көпжақ дейді. Барлық қабырғалары
берілген көпжақтың қырлары болатын кез-келген жай тұйық сынық сызықты ол
көпжақтың тілігі дейді. Көпжақтың тілігі оны екі көпжақты бетке бөлетін
болса, ол нөл текті көпжақ, бөлмесе нөл текті емес көпжақ делінеді.
Мектепте қарастырылатын көпжақтар нөл текті көпжақтар болады.
Көпжақтың Эйлер характеристкасы.
4-теорема. (Эйлер теоремасы). Кез-келген көпжақтың (яғни нөл текті
көпжақтың) төбесінен саны мен жағының санынын қосындысы қырының санынан 2-
ге артық болады.
Дәлелі. Ф жай көпжақ болсын. Ол көпжақтың төбесінен саны - ,
қырының саны - , жағының саны - болсын. Осы көпжақтың кез-
келген бір жағын алып тастасақ жағының саны , төбесі мен қырының саны
болатын көпжақты бет шығар еді. Көпжақты беттен Эйлер характеристкасы
1-ге тен болатындығы дәлелденген (54-2). Сол бойынша . Бұдан
немесе (7).
1.4.2 Дөңес көпжақ
Кез-келген көпжақ дене болады. Ғ көпжақ дөңес көпжақ делінеді, егер Ғ
дене дөңес болса. Демек, дөңес көпжақтың жақтары дөңес көпбұрыштардан
тұрады.
1-теорема бойынша табаны дөңес көпбұрыш болатын пирамида дөңес көпжақ
болады. Тетраэдрде дөңес көпжақ болады. 2-теорема бойынша табаны дөңес
көпбұрыш болатын призма дөңес көпжақ болады. Параллелепипедте дөңес көпжақ
болады. 1.9 суретте дөңес емес көпжақ салынған.
Сурет 1.9. Дөңес емес көпжақ
Көпжақты шектеу арқылы дөңес көпжақ шығарып алуға болады.
евклидтік кеңсітіктің Ф фигурасы фигураларға жіктеледі
делінеді, егер -лар Ф –ның жабуы болса, яғни болса және
кез келген фигуралардың ортақ ішкі нүктелері болмаса.
Ф дөңес көпжақ болсын, П – оның ішкі нүктесінен өтетін жазықтық
болсын. Онда П жазықтық Ф –ның П –де жатпайтын барлық нүктелерін
екі бөлікке бөлер еді және Ф – да, П-де дөңес фигуралар
болғандықтан дөңес фигура болады. Сондықтан екі көпжақтың
екеуіде дөңес көпжақ болады және болатындықтан Ф көпжақ
екі дөңес көпжаққа жіктеледі. Көпжақтың төбесінің саны ең аз
болғанда 4 болады, ал бұл тетраэдр. Кез келген көпжақтың саны
шектеулі дөңес көпжақтарға, сондықтан тетраэдрлерге жіктеуге болатынын
дәлеледеуге болады.
Төмендегі тұжырымдар дөңес көжақтың қасиеттерін анықтайды.
1. Дөңес көпжақтың бір жағы жататын жазықтықта ол дөңес
көпжақтың бірде – бір ішкі нүктесі болмайды.
2. Дөңес көпжақтың барлық нүктелері оның бір жағы жататын
жазықтық пен анықталатын екі тұйық жарты кеңістіктің бірінде жатады.
Ол жарты кеңістікті сол дөңес көпжақтың кеңістігі дейді.
3. Дөңес көпжақ жай көпжақ болады. Дәлелдейік. Ф – дөңес көпжақ,
М оның ішкі нүктесі болсын. Ф шектелген фигура болатындықтан ол
толығымен жататын W шар болады. Ол шардың шекарасын S дейік.
Дөңес дененің 3- қасиеті бойынша – да шығатын әрбір сәуле Ф
–ның шекарасы бір М нүктеде, ал W шардың шекарасы S -ты
бір нүктеде қиып өтеді. Сөйтіп ол сәуле -тын М
нүктесі мен -нен нүктесі арасында бірмәнді сәйкестік
орнатады, яғни f: бейнелеу биекция болады. Бұл бейнелеу
Гомеоморфизм болады. Демек, мен S гомоморфты болады. Сөйтіп
Ф көпжақтың беті сфераға гомоморфты болады екен. Ол Ф нөлтекті
көпжақ болады деген сөз. Оның жақтары дөңес болғандықтан ол
жай көпжақ болады. Сөйтіп нөлтекті көпжақ дөңес көпжақ болады.
4. Дөңес көпжақ Ф оның барлық жақтары мен анықталатын барлық
жарты тұйық кеңістіктердің қимасы болады.
Дәлелі. Көпжақтың жақтарының саны п болсын, оларды дейік. Бұл
жазықтықтармен анықталатын Ф жатқан тұйық жарты кеңістіктерді
дейік, бұлардың қимасы V болсын. Мақсат V мен Ф -тан беттесетіндігін
дәлелдеу.
Егер А нүкте Ф –да жатса ол – лардың бәрінде
жататындықтан V–да жатады. Сөйтіп Ф - ның нүктелері V –да жатады.
Енді В нүкте Ф да жатпасын. Онда ол нүкте Ф – ның сыртқы жарты
кеңістігінде жатады. Сондықтан - лардың қимасы V –да жатпайды.
Сөйтіп беттеседі екен. Сондықтан Ф өзінің жақтарымен
анықталатын жарты кеңістіктің қимасы болады.
5. Ф көпжақ дөңес болу үшін оның беті дөңес болуы керек.
6. 2- ші қасиетке кері, егер Ф көпжақтың барлық нүктелері
оның бір жағы анықтайтын тұйық жарты кеңістікте жатса, онда ол
көпжақ дөңес көпжақ болады.
Дәлелі. Бұл тұжырым дұрыс емес, Ф көпжақ дөңес болмайды десек,
онда Ф- дан А, В екі нүкте табанын оның бойында Ф – ға сыртқы
нүкте болатын ең болмағанда бір М нүкте табылуы керек. нүкте
АВ –да жатпайтын Ф –ның бір ішкі нүктесі болсын, 1.10 суретіне сәйкес.
Онда кесінді
Сурет 1.10.Көпжақты дөңес
көпжақтың бір бетін қандай да бір N нүкте қию керек. Ол бетті
қамтитын жазықтық П болсын. П – дің бірде- бір нүктесі Ф –ның ішкі
нүктесі болмауы керек. Сондықтан нүкте П –де жатпау керек.
Демек, П жазытық не кесіндінің бірін қию керек. Ал,
бұл теорема шартына қайшы. Өйткені Ф –ның нүктелері П –дің екі
жағында да жатуы мүмкін емес.
Дөңес көпжақ теориясына қатысты кейбір тұжырымдарды келтірейік.
екі көпжақ берілсін. Бұлардағы жақтар , қырлар жиынын
, жақтар жиынын дейік.
Бұлардың біріктірмесін дейік. Сонда көпжақтар изоморфты
делінеді. Егерде төмендегі талаптарды қанағаттандыратын f:
биективті бейнелеу табылса:
1. болса;
2. Сәйкес жақтың төбелері теңдей болса;
3. f бейнелеуі төбелердің, қырлардың, жақтардың бір – бірінде
жатуын сақтайтын болса.
Мысалы, кез келген тетраэдр өзара, куб өзара, параллеллипед
өзара изоморфты көпжақтар болады.
Коши теоремасы. Егер екі көпжақ изоморфты болса және әрбір
сәйкес қырлыры тең болса, онда ол көпжақтар өзара тең болады.
А. Д. Александров теоремалары
1. Егер дөңес көпжақтың әрбір жағының симметрия центрі болса, ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ГУМАНИТАРЛЫҚ ТЕХНИКАЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
Бердиева Гулназ Мардабаевна
Мектеп геометрия курсында көпбұрыштар мен көпжақтарды оқытудың
әдістемесі
ДИПЛОМ ЖҰМЫСЫ
5В010900 - Математика мамандығы
Шымкент 2020 ж.
Қазақстан Республикасы білім және ғылым министрлігі
Халықаралық гуманитарлық техникалық университеті
Техника және ақпараттандыру кафедрасы
Қорғауға жіберілді
Техника және ақпараттандыру
кафедра меңгерушісі
т.ғ.к., Оспанова Р.Д.
_________________
__ ______ 2020 ж.
ДИПЛОМ ЖҰМЫСЫ
Тақырыбы: Мектеп геометрия курсында көпбұрыштар мен көпжақтарды
оқытудың әдістемесі
5В010900 - Математика мамандығы бойынша
Орындаған Бердиева Г.М.
Ғылыми жетекші
т.ғ.к., доцент, аға оқытушы Акылбаев М.И.
Шымкент 2020 ж.
Халықаралық гуманитарлық техникалық университеті
Жаратылыстану-техникалық және спорт факультеті
5В010900 - Математика мамандығы
Техника және ақпараттандыру кафедрасы
БЕКІТЕМІН
Кафедра меңгерушісі
Дуйсенов Н.Ж.
(қолыподпис (А.Ж.Т.Ф.И.О.)
ь)
2019ж.г.
Диплом жұмысын орындауға
ТАПСЫРМА
Студент ______ Бердиева Гулназ Мардабаевна
___
______4 – курс, МТ-16 тобы, 5В010900 - Математика _.
1.Диплом жұмысының тақырыбы Мектеп геометрия курсында көпбұрыштар мен
көпжақтарды оқытудың әдістемесі
.
___ ___2019ж. № ___________ ректордың бұйрығымен бекітілген.
2. Аяқталған жұмысты тапсыру мерзімі ___ _______2020 ж.
3. Жұмысқа бастапқы деректер
Мамандық бойынша дипломдық жұмысты орындауға арналған әдістемелік
нұсқама және Диплом жұмысы туралы ереже____________
4. Диплом жұмысын дайындауға арналған сұрақтар тізімі
а) Евклидтік кеңістіктегі көпбұрыштар мен көпжақтар теориясы: Дөңес
фигуралар. Көпбұрыштар мен дөңес көпбұрыштар; Көпбұрыш және оның
характеристикасы;Тең шамалы және тең құрамды көпбұрыштар; Көпжақтар. Дөңес
көпжақтар;________
___________________________________ _______________________________
б) Дұрыс және топологиялық дұрыс көпжақтар: Топологиялық дұрыс
көпжақтар; Дұрыс көпжақтар; _____________________
___________________________________ _________________________________
в) Мектеп геометрия курсында көпбұрыштар мен көпжақтарды оқыту әдістемесі:
Көпбұрыштар тақырыбын оқытуда оның теориялық негізін қолдану
ерекшеліктері; Үшбұрыштар тақырыбын оқыту ерекшеліктері; Мектеп геометрия
курсындағы көпбұрыштардың ауданын оқыту әдістемесі; Көпжақтар тақырыбын
оқытуда оның теориялық негізін ескеру ерекшеліктері.__________________
___________________________________ _____________________________
5. Графикалық материалдар тізімі __________________________________
___________________________________ ____________________________
6. Ұсынылатын негізгі әдебиеттер тізімі 1.Шыныбеков Ә.Н. Геометрия. Жалпы
білім беретін мектептің 7, 8, 9 сыныптарына арналған оқулық. –Алматы:
Атамұра, 2005.
2.Геометрия, 7-11: Учеб. для общеобразоват. учереждений Л.С.Атанасян,
Б.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.-М.:Просвещение, 2001, 206с.
3.Земляков Л.Н. Геометрия учебное пособия для учителя. М.: Просвещение,
2002.
7. Жұмыс бойынша кеңес
Тараулар, бөлімдерҒылыми жетекші,Тапсырманы Тапсырма Тапсырма
атауы, № кеңесші алған мерзімі берілді қабылданды
(қолы) (қолы)
Евклидтік Акылбаев М.И. 15.01.2020
кеңістіктегі
көпбұрыштар мен
көпжақтар теориясы
Дұрыс және Акылбаев М.И. 20.02.2020
топологиялық
дұрыс көпжақтар
Мектеп геометрия Акылбаев М.И. 25.03.2020
курсында
көпбұрыштар мен
көпжақтарды оқыту
әдістемесі
8. Диплом жұмысын орындау кестесі
№ Жұмыс кезеңдері Жұмыс кезеңдерінің Ескерту
орындалу мерзімі
1 Диплом жұмысының тақырыбын бекіту 05.01.2020
2 Диплом жұмысын дайындау үшін 15.02.2020
материалдар жинақтау
3 Диплом жұмысының теориялық бөлімін20.02.2020
дайындық(1тарау)
4 Диплом жұмысының аналитикалық 20.03.2020
бөлімін дайындық (2-3 тарау)
5 Диплом жұмысы мәтінінің қолжазба 10.04.2020
нұсқасын толық аяқталуы
6 Диплом жұмысын алдын ала қорғауға 25.04.2020
ұсыну
7 Диплом жұмысын сын пікірге ұсыну 11.05.2020
8 Диплом жұмысының аяқталған 11.05.2020
нұсқасын ғылыми жетекшінің пікірі
және сын пікірімен ұсыну
9 Диплом жұмысын қорғау 15.05.2020
Тапсырманың берілген күні _______________2019 ж.
Ғылыми жетекшісі ____________ Акылбаев М.И., т.ғ.к., доцент, аға оқытушы
Тапсырманы қабылдаған студент ______________ Бердиева Г.М.
МАЗМҰНЫ
НОРМАТИВТІК 6
СІЛТЕМЕЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ...
АНЫҚТАМАЛАР, БЕЛГІЛЕУЛЕР ЖӘНЕ ҚЫСҚАРТУЛАР ... ... ... ... ... ... 6
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... 7
1 ЕВКЛИДТІК КЕҢІСТІКТЕГІ КӨПБҰРЫШТАР МЕН КӨПЖАҚТАР ТЕОРИЯСЫ 9
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... .
1.1 Дөңес фигуралар. Көпбұрыштар мен дөңес көпбұрыштар ... ... ... ... ... 9
1.1.1 Фигура және дөңес фигура ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 9
1.1.2 Көпбұрыштар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
1.1.3 Дөңес көпбұрыштар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... 13
1.2 Көпбұрыш және оның характеристикасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 15
1.3 Тең шамалы және тең құрамды көпбұрыштар ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17
1.4 Көпжақтар. Дөңес көпжақтар 20
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.4.1 Көпжақтар 20
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ...
1.4.2 Дөңес көпжақтар 21
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... .
2 ДҰРЫС ЖӘНЕ ТОПОЛОГИЯЛЫҚ ДҰРЫС КӨПЖАҚТАР ... ... ... ... . 25
2.1 Топологиялық дұрыс көпжақтар 25
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .
2.2 Дұрыс көпжақтар 28
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ...
3 МЕКТЕП ГЕОМЕТРИЯ КУРСЫНДА КӨПБҰРЫШТАР МЕН КӨПЖАҚТАРДЫ ОҚЫТУ
ӘДІСТЕМЕСІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... 33
3.1 Көпбұрыштар тақырыбын оқытуда оның теориялық негізін қолдану
ерекшеліктері 33
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ...
3.2 Үшбұрыштар тақырыбын оқыту ерекшеліктері ... ... ... ... ... ... ... .. 39
3.2.1 Үшбұрыштардың теңдігін оқытуда геометриялық теңдіктің мәнін ашу
жолдары 39
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ..
... ...
3.2.2 Тең бүйірлі үшбұрыш тақырыбын оқыту әдістемесі ... ... ... ... ... . 46
3.2.3 Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы тақырыбын оқыту әдістемесі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 47
3.3 Мектеп геометрия курсындағы көпбұрыштардың ауданын оқыту әдістемесі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... 51
3.4 Көпжақтар тақырыбын оқытуда оның теориялық негізін ескеру
ерекшеліктері 64
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ...
ҚОРЫТЫНДЫ 71
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 73
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР
Бұл дипломдық жұмыста келесідей стандарттарға сілтемелер жасалған:
Білім жөніндегі құжаттарды рәсімдеу үлгілері: 2007 жылдың 21 қарашада
№5651 Қазақстан Республикасының білім ғылым министірлігінің бекіткен
бұйрығы.
Халықаралық гуманитарлық техникалық университетінің Әдістемелік
Кеңесімен бекітілген, 2019ж., дипломдық жұмыс туралы ережелер.
5В010900 - Математика мамандығы бойынша күндізгі және сырттай түрде
оқитын студенттерге дипломдық жұмысты орындауға арналған әдістемелік
нұсқау. Халықаралық гуманитарлық техникалық университеті, 2019ж.
АНЫҚТАМАЛАР, БЕЛГІЛЕУЛЕР ЖӘНЕ ҚЫСҚАРТУЛАР
Планиметрия (лат. planum — жазықтық және METREO - "өлшеймін") —
элементар геометрияның жазықтықта жатқан фигуралардың қасиеттерін
зерттейтін бөлімі.
Функция - бір айнымалыға басқа бір айнымалының бір мәнің сәйкес қоятын
тәуелділік, заң.
Арифметика (грек. arіthmētіkē, arіthmos – сан) — сандар (бүтін және
бөлшек) және оларға қолданылатын амалдар туралы ғылым (грекше arіthmetіke,
arіthmos – сан).
Конфигурация - белгілі бір жүйені, аппараттық жабдықтарды, оның нақты
параметрлерін (сипатгамаларын), құрылғылар қүрамын (бөліктерін), өзара
байланыстарын анықтай отырып орналастыру.
Аксиома (көне грекше: ἀξίωμα — лайықты қабылданған қағида) —
нанымдылығы ақиқат (шындық) болғандықтан логикалық дәлелдеусіз алынатын
қағида; теорияның ақиқат (шындық) ең бастапқы қағидасы.
Палетка (фр. pallette — пластинка, планка) - графаға бөлінген, мысалы,
кішкене квадраттарға бөлінген мөлдір тілімше көрініс сызбада немесе картада
ауданды анықтау үшін қолданылады.
КІРІСПЕ
Дипломдық жұмыс тақырыбының өзектілігі. Мектеп геометрия курсын
оқытудың негізгі мақсаттарының бірі - оқушыларға геометрияның теориялық
негіздерін үйрету және оларды практикада қолдана білу дағдыларын меңгерту.
Сонымен қатар оқушылардың логикалық ойлауын, дәлелдеу қабілетін, ой
қорытуларды негіздей білу және кеңістіктік түсініктері мен елестету
қабілеттерін қалыптастыру болып табылады [1], [2].
Мектеп геометрия курсының көкейкесті мәселелері – курстың мазмұнының
ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде оқушылардың пәнге деген
қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену, шығармашылық іс-әрекеттерге
тарту және т.с.с.
Геометрияның планиметрия бөлімінде жазықтықтағы геометриялық фигуралар
жүйелі түрде оқытылады және жазық көпбұрыштарды сипаттайтын қасиеттер мен
олардың шамаларына баса назар аударылады. Жазық фигураларды оқыту І-ІV
сыныптарда қалыптасқан қарапайым геометриялық фигуралар жайлы түсініктерге
негізделеді. Мұнда көптеген анықтамалар енгізіледі, мазмұнды теоремалар
дәлелденеді, қасиеттер және белгілер ұғымдарын қалыптастыру бағытында
жұмыстар жүргізіледі. Бастауыш сыныптарда жазық фигуралар арифметиканы
оқытуда дидактикалық құралдар ретінде жақсы қолданылады. Мысалыға, 1-
сыныпта көпбұрыштардың төбелерін, қабырғаларын, бұрыштарын санап,
қабырғаларының ұзындықтарын өлшейді. 2-сыныпта тең квадраттарға бөлінген
тіктөртбұрышты көбейтудің орын ауыстырымдылық заңын кескіндеуге пайдаланады
және т.с.с [3].
V-VI сыныптарда жазық көпбұрыштар арифметика және алгебра элементтерін
оқытудағы дидактикалық құрал болып қана қоймай, сонымен қатар оқу объектісі
болып табылады.
Ал VIІ сыныптан бастап геометрия курсында жазық көпбұрыштар мен
олардың қасиеттерін оқыту белгілі бір дәрежеде танымдық функцияны да
атқарады. Яғни оны оқу барысында оқушылар жеке мәселелердің тарихымен
танысады, олардың адам өміріндегі орны мен ролін танып біледі. Сонымен
қатар жазық көпбұрыштар мен олардың конфигурацияларын оқып-үйрену барысында
басқа сыбайлас пәндерді, атап айтқанда физиканы, сызуды, еңбек сабағын
оқуға қажетті білімді, іскерлікті және дағдыны қалыптастыру да іске
асырылады.
Жазық көпбұрыштардың планиметрия курсында оқытылған қасиеттері мен
белгілері стереометрия курсында, оның ішінде әсіресе көпжақтарды оқытуда
кең қолдау табады. Көпжақтар тақырыбы орта мектептегі стереометрия
курсының негізгілерінің бірі. Оны оқыту барысында оқушылардың планиметрия
курсынан алған көпбұрыштар туралы білімдері, сонымен бірге стереометрияның
Х сыныбындағы түзулер мен жазықтықтардың өзара орналасуы туралы білімдер
жинақталып жүйеленеді. Бұл мұғалімнен планиметрия курсының да,
стереометрияның өтілген тарауларын да қайталап алуда ерекше
ұйымдастырушылықты талап етеді.
Көпжақтарды оқыту барысында оқушылардың кеңістіктік түсініктерін
дамыту бағытындағы жұмыс жалғастырылады. Сондай-ақ, дұрыс көпбұрыштар мен
дұрыс көпжақтар туралы білімдер оқушылардың пәнге деген қызығушылықтарын
арттырып, оларға эстетикалық тәрбие беруде үлкен орын алады.
Сондықтанда, мектеп геометрия курсын оқытуда оқушыларға жазық
көпбұрыштар мен көпжақтар, олардың қасиеттері, өзара орналасу жағдайлары
және көпбұрыштардың конфигурациялары, көпжақтардың конфигурациялары туралы
жүйеліде, терең білім беру барлық уақыттада күн тәртібінен түскен емес. Ал
мектеп геометрия курсының негізгі тарауларының бірі болып табылатын
Көпбұрыштар мен Көпжақтар тақырыбын оқушыларға саналы да, жүйелі түрде
жеткізу үшін, болашақ математика мұғалімдері Жоғары геометрия курсында
оқытылатын теориялық негідерін терең білуі керек.
Диплом жұмысының жаңалығы: мектеп геометрия курсында көпбұрыштар мен
көпжақтарды оқытудың әдістемесі жасалды.
Жұмыстың практикалық құндылығы: болашақ математика мұғалімдері мен
мектеп математика мұғалімдері үшін көмекші құрал ретінде пайдалануға
болады.
Бұл дипломдық жұмыстың мақсаты: көпбұрыштар мен көпжақтардың
теориялық негіздерін терең оқып-үйрену және олардың мектеп геометрия
курсында баяндалу мүмкіндіктерін сараптау.
Бұл дипломдық жұмыстың міндеттері:
- Екі өлшемді дөңес жазық фигуралардың қасиеттерін оқып-үйрену;
- Дөңес көпбұрыштарды теориялық тұрғыдан анықтау және қасиеттерін
қарастыру;
- Дөңес көпбұрыштың қабырғалары арқылы анықталатын жарты жазықтықтар
бойынша Теңдеуін беру;
- Көпбұрыш және оның характеристикасы, қасиеттері туралы теориялық
мәліметтерді қарастыру;
- Мектеп геометрия курсында көпбұрыштар тақырыптарын оқытуда олардың
теориялық негіздерін ескеру әдістемесін сараптау;
- Тең фигуралардың бар болуын негіздеу және геометриялық теңдік ұғымының
мәнін ашу, оны оқытудың әдістемесін сараптау;
Зерттеу нысаны: мектеп геометрия курсындағы көпбұрыштар мен
көпжақтарды оқыту.
Диплом жұмыстың көлемі мен құрылымы: Дипломдық жұмыс үш бөлімді
қамтиды: евклидтік кеңістіктегі көпбұрыштар мен көпжақтар теориясы,
евклидтік кеңістіктегі көпбұрыштар мен көпжақтар теориясы, мектеп геометрия
курсында көпбұрыштар мен көпжақтарды оқыту әдістемесі. Сонымен қатар,
диплом жұмыста кіріспе, қорытынды, қолданылған әдебиеттер тізімі
көрсетілген.
Жалпы дипломдық жұмыстың анықтамалық жазбасы барлығы 74 беттен тұрады,
қолданылған әдебиеттер тізімі мен 32 суретті және 5 кестені құрайды.
1 ЕВКЛИДТІК КЕҢІСТІКТЕГІ КӨПБҰРЫШТАР МЕН КӨПЖАҚТАР ТЕОРИЯСЫ
1.1 Дөңес фигуралар. Көпбұрыштар мен дөңес көпбұрыштар
1. Фигура және дөңес фигура
Математикада нүктелердің кез келген жиынын фигура дейді. Мысалы, А
және В нүктелері мен олардың арасындағы түзу нүктелерінің жиынын АВ
кесіндісі, бір түзудің бір жағында жатқан жазықтық нүктелерінің жиынын сол
түзумен анықталатын жарты жазықтық дейді және т.с.с.
Фигураның барлық нүктесі бір жазықтықта жатса ол жазық фигура
делінеді. Ол жазықтық фигура жазықтығы делінеді.
Фигураның барлық нүктесін қамтитын дөңгелек табылса, ол фигура
шектелген, табылмаса шектелмеген делінеді. Үшбұрыш, кесінді шектелген,
түзу, жарты жазықтық шектелмеген фигуралар.
Егер r0 нақты сан болса, жазықтықтың нүктесі болса, онда ол
жазықтықтың , , болатын х нүктелердің жиынын, сәйкесінше,
ашық дөңгелек, шеңбер, дөңгелек дейді. Центрі М болатын кез-келген ашық
дөңгелекті бұл нүктенің аймағы дейді [4], [7].
П жазықтықтың барлық нүктелерін, ол жазықтықта жатқан Ғ фигураға
қатысты үшке бөлуге болады. нүктесінен Ғ фигурада ең болмағанда бір
аймағы болса (бірде-бір аймағы болмаса) оны Ғ-тің ішкі (сыртқы) нүктесі, ал
М –нің кез-келген аймағында Ғ –те жататында, жатпайтында нүктелер болса, ол
Ғ-тің шекаралық нүктесі делінеді. Шекаралық нүктелердің жиыны ол фиграның
шекарасы делінеді, ішкі нүктелердің жиыны фигураның іші, ал сыртқы
нүктелердің жиыны ол фигураны П-ге дейін толықтырушы делінеді.
Шекаралық нүктенің аймағына бұл фигураның нүктесінен басқа нүктелері
енбесе, ол айрықша нүкте делінеді.
Шекарасы бар да, жоқта фигуралар болады. Шекарасы бар фигуралар тұйық,
шекарасы жоқ фигуралар ашық фигуралар делінеді. Ашық фигуралар тек ішкі
нүктелерден ғана тұрады.
Фигураның іші мен шекарасының біріктірмесін ол фигураның тұйықталуын
арқылы белгілейік, 1.1 суретте көрсетілген.
Сурет 1.1 Тұйық және ашық фигуралар
мен фигуралар берілген , болса мен
фигуралар айырылатын фигуралар делінеді. Ғ фигура айырылған екі
фигураның бірігуі болмаса онда ол байламды делінеді.
Егер фигураның кез-келген екі нүктесін қосатын кесінді толығымен сол
фигурада жататын болса, онда ол фигура дөңес, кері жағдайда дөңес емес
делінеді.
Кесінді, үшбұрыш, параллелограм дөңес фигура болады 1-суреттегі а,ә)
дөңес, б,в) ойыс фигуралар кескінделген. Берілген түзу бойында жатпайтын
кемінде үш нүктесі болатын дөңес жазық фигураны екі өлшемді фигура дейді.
Екі өлшемді дөңес жазық фигураның қасиеттері.
1. Кез-келген екі өлшемді дөңес жазық фигураның шексіз көп ішкі
нүктелері болады.
Шыныңда да Ғ екі өлшемді дөңес жазық фигура болса онда анықтама
бойынша оның берілген түзуде жатпайтын кемінде 3 нүктесі болады. Олар А,
В, С болсын, 1.2 суретіне сәйкес. Е үшбұрыштың кез-келген бір ішкі нүктесі
болсын дейік. ста, Ғ-те дөңес фигуралар болатындықтан А, В, С
нүктелерді қосатын кесінділер Ғ-те жатады. Сондықтан D-да Ғ-те жатады.
Сөйтіп, Ғ-те шексіз көп нүкте болады.
Сурет 1.2.Үшбұрыш
2. Ең болмағанда бір ішкі нүктесі болатын кез-келген дөңес жазық
фигура екі өлшемді фигура болады. Өйткені, егер М нүкте Ғ дөңес жазық
фигураның ішкі нүктесі болса, онда М нүктенің аймағы болатын М центрлі
дөңгелек Ғ-те жатады. Ал, дөңгелек бойында бір түзуде жатпайтын кемінде үш
нүкте бар болады. Бұл Ғ екі өлшемді фигура болады деген сөз.
3. Егер А мен В дөңес жазық Ғ фигураның ішкі нүктелері болса, онда АВ
кесіндінің барлық нүктесі Ғ-тің ішкі нүктесі болады.
4. Дөңес жазық Ғ фигура үшін А ішкі В шекаралық нүкте болса, онда АВ
кесіндінің В-дан өзге барлық нүктелері Ғ-тің ішкі нүктесі болады. Егер А-
да, В-да шекаралық нүктелер болса, онда АВ-ның А мен В дан өзге барлық
нүктесі Ғ-тің ішкі нүктесі болады немесе АВ-ның барлық нүктесі шекаралық
нүкте болады.
5. Егер l түзуі дөңес жазық Ғ фигураның бір ішкі нүктесі арқылы
өтсе, онда l түзуінде Ғ фигураның екіден артық емес шекаралық нүктесі
болады.
Ғ дөңес жазық фигурасының А шекаралық нүктесі болсын. А дан Ғ-тен
әрбір ішкі нүктесін қосатын сәулелер жүргізейік (3, а - сурет), онда ол
сәулелер жиыны не жарты жазықтық (3, а - сурет), не тан кем бұрыш
болатын аймақты (3 б - сурет) толтырады.
Бұл жағдайдың біріншісінде l түзуімен Ғ-ті бір ғана ортақ нүктесі
болады және Ғ-тің барлық нүктесі l түзудің бір жағындағы жарты жазықтықта
жатады. l –ді дөңес Ғ фигураның тірек түзуі дейді. А –дан жүргізілген l ден
басқа түзу Ғ-ті екіге бөледі. Сондықтан олар тірек түзу болмайды.
Екінші жағдайда Ғ фигура ВАС бұрыштын ішкі бөлігінде жатады. Бұл кезде
ВАС бұрыштын ішкі нүктесінен өтпейтін кез-келген түзу (3б - сурет) және АВ,
АС түзулер Ғ үшін тірек түзу болады. Бір ғана тірек түзу өтетін шекаралық
нүктені жай нүкте дейді, ол нүктеден тірек түзуді Ғ-ке жанама түзу дейді.
Ал, бірнеше тірек түзу өтетін нүктені ерекше нүкте дейді және АВ мен АС
бұл кезде жартылай жанама түзулер делінеді. Олар арасындағы ВАС бұрышты Ғ-
тен А нүктедегі шекаралық бұрышы дейді. Ол болса, бұрыш Ғ-тен А
нүктедегі сыртқы бұрышы делінеді. Дөңгелектің әрбір шекаралық нүктесі
кәлімі нүкте, үшбұрыштын әрбір төбесі ерекше нүкте болады. Кез-келген жазық
дөңес фигураның ерекше нүктелері санаулы ғана болады, ол нүктелердегі
сыртқы бұрыштардың қосындысы 2d-дан артпайды.
Сурет 1.3. Жазық фигуралар
Кез-келген дөңес жазық фигураның ең алыс екі нүктесінің арасы ол
фигураның диаметрі делінеді. Үшбұрыштың ең ұзын қабырғасы оның диаметрі
болады. Фигураның АВ диаметрі болса, онда А,В нүктелерден АВ-ға жүргізілген
перпендикуляр түзулер ол фигураның тірек түзулері болады.
Фигураның қандайда бір d түзуге параллель етіп жүргізілген екі тірек
түзуінің арасын фигураның d бағыттағы ені дейді. Ол ең үлкен болғанда
диаметрге тең болады. Бір фигураның әртүрлі бағыттағы ендерінен әртүрлі
болуы мүмкін. Олардың ең кішісін фигураның ені дейді. Шектердің ені мен
диаметрі тең болады. Ондай фигураны тұрақты енді фигура дейді. Екі дөңес
фигураның нүктелерінің ара қашықтықтарының ең төменгі шекарасын сол екі
фигураның арасы дейді. Бірнеше фигураның ортақ нүктелерінің жиынын ол
фигуралардың қимасы дейді.
1-теорема. Егер А нүктесі мен фигуралардың екеуініңде ішкі
нүктесі болса, онда ол олардың қимасыныңда ішкі нүктесі болады, ал
біреуінің ішкі, екіншісінің шекаралық нүктесі болса, онда ол олардың
қимасының шекаралық нүктесі болады.
Дәлелі. А нүкте мен фигуралардың екеуініңде ішкі нүктесі
болса, онда А центрлі дөңгелек -де, А центрлі дөңгелек
-де жатады. Ол екеуі концентрлі шеңберлер болатындықтан не беттеседі,
не бірі екіншісінің ішінде жатады. Мысалы, десек, онда
дөңгелектің барлық нүктесі -де де, -де де жатады. Сондықтан
олардың қимасында да жатады.
Егер В нүкте -дің ішкі, -нің шекаралық нүктесі болса онда
В центрлі W дөңгелектең -де жатпайтын кемінде бір С нүктесі болады.
Сондықтан С нүкте -те де жатпайды. Демек В нүкте Ғ үшінде шекаралық
нүкте болады.
2-теорема. мен дөңес фигуралардың екеуініңде ішкі нүктесі
болатын ең болмағанда бір нүкте бар болса, онда ол фигуралардың қимасы
екі өлшемді дөңес фигура болады.
Дәлелі. А нүкте , - ші екеуінде ішкі нүктесі болғандықтан
-ке де ішкі нүкте болады (1-теоремада ол дәлелденді). Ғ дөңес фигура
болады. Өйткені, А мен В нүктелер Ғ-тің кез-келген екі нүктесі десек. Олар
-де де, -де де жатуы керек және олар дөңес болғандықтан АВ
кесінді -де де, -де де жатады. Сондықтан олардың қимасында
да жатады. Сөйтіп қима Ғ ең болмағанда бір ішкі нүктесі бар дөңес
фигура болады екен. Сонда екінші қасиеті бойынша ол екі өлшемді
дөңес жазық фигура болады. Демек дөңес фигуралардың қимасы да дөңес
болады.
2. Көпбұрыштар
кесінділер тізбегін мен нүктелерді жалғайтын сынық
сызықтар дейді. Егер сынық сызықтың барлық төбелері (сондықтан барлық
нүктесі) бір жазықтықта жатса, ол жазық сынық сызық делінеді. Егер
мен беттесе онда оны тұйық сынық сызық дейді. Жазық тұйық сынық
сызық, жай сынық сызық делінеді, егерде оның әр төбесі әртүрлі болса бірде-
бір төбе қабырғада жатпаса, кез-келген екі қабырғаның ішкі ортақ нүктесі
болмаса. Мұндай тұйық сынық сызықты деп белгілейді. 4 суреттен а, б, d-
да жай тұйық сынық сызық, с,в,г-да жай тұйық сынық сызық емес фигуралар
кескінделген (в-да әр төбе әр түрлі емес, г-да төбе қабырғада жатыр с-екі
қабырғаның ортақ қабырғасы бар).
Әрбір жазық тұйық сынық сызық өзі жатқан жазықтықтың нүктелерін өзіне
қарағанда екі облысқа – ішкі және сыртқы бөледі. Егер А мен В әртүрлі облыс
нүктелері болса, онда АВ нүктелерді жалғайтын сынық сызықтын берілген сынық
сызықпен кемінде бір ортақ нүктесі болады, ал екеуі бір облыста жатса, онда
А мен В-ны қосатын берілген сынық сызықпен ортақ нүктесі жоқ сынық сызық
әруақытта ол сынық сызық жазықтығынан табылады. Тұйық сынық сызықты сыртқы
облысында толығымен жататын түзулер табылады, ол ішкі облыста толығымен
жататын түзу болмайды [6].
Сурет 1.4. Көпбұрыштар
Жай тұйық сынық сызықпен оның ішкі облысының біріктірмесін көпбұрыш
дейді, 1.4 суретте көрсетілген. Оны таяқшасыз -ден белгілейді. Сынық
сызықтын төбелері, қабырғалары көпбұрыштыңда төбелері, қабырғалары
делінеді.
Көпбұрыштарды төбелерінің санына қарай үшбұрыш, төртбұрыш,
бесбұрыш,..., n бұрыш деп бөледі. Тұйық сынық сызықтын ішкі облысы
көпбұрыштың іші, сынық сызық нүктелері көпбұрыштың шекаралық нүктелері
делінеді. Сонда көпбұрыш іші мен шекаралық нүктелердің біріктірмесінен
тұратын фигура болады.
3. Дөңес көпбұрыштар
Көпбұрыш жазық жай тұйық сызықпен оның ішкі облысының біріктірмесінен
тұратындықтан ол бір түзуде жатпайтын кемінде үш нүктесі болатын жазық
фигура болады.
Егер ол жазық фигура дөңес болса көпбұрыш дөңес көпбұрыш делінеді.
Дөңес көпбұрыштың қасиеттері.
1. Дөңес көпбұрыштың бір қабырғасының басына жүргізілген түзуде ол
көпбұрыштың ішкі нүктелері болмайды, ол түзуде шексіз көп шекаралық
нүктелер болады.
2. Дөңес көпбұрыштың барлық нүктелері бір қабырғасымен анықталатын тұйық
жарты жазықтықта жатады. Ол жарты жазықтықты сол көпбұрыштың жарты
жазықтығы дейді.
3-теорема. Ғ дөңес көпбұрыш өзінің барлық қабырғаларымен анықталатын
жарты жазықтықтарының қимасы болады (мектеп геометриясындағы дөңес
көпбұрыштар ұғымын берудің теориялық негізі).
Дәлелі. берілген Ғ көпбұрыш болсын. Оның қабырғаларымен
анықталатын жарты жазықтықтарын дейік. Бұл жарты жазықтықтар қимасын
S дейік. Мақсат S пен Ғ-тің беттесетіндігін дәлелде, 1.5 суретіне сәйкес.
Сурет 1.5. Жарты жазықтықтар қимасы
А нүкте Ғ-те жатса онда ол барлық жарты жазықтықта жатады.
Сондықтан ол олардың қимасы S-те де жатады. Ал, В нүкте Ғ көпбұрышта
жатпайтын болсын. Онда ол оның сыртқы облысында жатады. Сондықтан АВ
кесінді Ғ-тің бір қабырғасын қиып өту керек. Ол қабырға болсын, онда
В нүкте жарты жазыктықта жатпайды. Сондықтан ол S–те де жатпайды.
Сөйтіп Ғ-те жататын нүкте S-те жатады екен, ал Ғ-те жатпайтын нүкте S
–те де жатпайды екен. Демек Ғ пен S беттеседі, бір фигура болады.
Жай жазық сынық сызық дөңес делінеді, егерде оның барлық төбелері кез-
келген бір қабырғасын бөліп өтетін түзудің бір жағында жататын болса [7].
4-теорема. көпбұрыш дөңес болу үшін тұйық сынық сызықтың
дөңес болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелі. Ғ көпбұрыш дөңес болсын. Онда дөңес көпбұрыштың екінші
қасиеті бойынша көпбұрыш өзінен бір қабырғасымен анықталатын жарты
жазықтықта жатады. Сондықтан сынық сызығы дөңес сынық сызық болады.
Енді керісінше -жай тұйық жазық сынық сызық болсын. Мұның
қабырғаларын анықтайтын жарты жазықтықтар болсын, олардың қимасы S
болсын. Ғ пен S тің беттесетін дәлелдеу керек.
Ол үшін нүктенің S те де жататыныңа көз жеткізейік. Ол үшін М-
нің барлық қабырғалар анықтайтын жарты жазықтықтарда жататының дәлелдеу
керек. Мысалы М-нен жарты жазықтықта жататының дәлелдейік.
Ол үшін кері жарлық М нүкте -де жатпайды дейік. М нүктеден -
ге параллель l түзуін жүргізейік. дөңес сынық сызық болғандықтан l
оны қимайды, оның барлық нүктесі сыртқы нүктелер болады. Сондықтан М нүкте
Ғ-те жатпайды. Біз М-ді Ғ-тен алған едік. Қайшылыққа келдік. Олай болса
жатады.
Енді М нүкте Ғ-те жатпасын. Ғ –тің ішкі облысынан N нүкте алайық.
Сонда MN түзуі Ғ-тің бір қабырғасын қиюы керек. Ол қабырға болсын.
Онда М нүкте -де жатпайды. Сондықтан ол S-те де жатпайды. Демек Ғ пен
S беттейді. Сөйтіп S дөңес болады.
1.2 Көпбұрыш және оның характеристикасы
П жазықтығын алайық. Осы жазықтықта жатқан n-1 қабырғалы А1А2...Аn
сынық сызықты қарастырайық.
Егер бұл сынық сызықтың сыбайлас екі қабырғасы бір түзуде жатпаса, ал
сыбайлас емес қабырғалары өзара қиылыспаса, онда оны жай сынық сызық дейді.
Сынық сызықтың ұштары өзара беттесcе ол жай тұйық сынық сызық делінеді. Жай
тұйық сынық сызық жазықтықтағы бұл сызық басында жатпайтын барлық нүктелер
жиынын осы сызыққа қарағанда екі жиынға - ішкі және сыртқы жиынға бөледі.
Жай тұйық сынық сызық пен оның ішкі облысының бірігуін жай көпбұрыш
дейді. Жай көпбұрышты қоршап тұрған сынық сызық оның шекарасы делінеді.
6 суретте F жай тұйық көпбұрыштың шекарасында жатқан А,В нүктелер
жай L сынық сызықпен қосылған. Сонда Ғ1, Ғ2 көпбұрыш шыққан. Бұл кезде Ғ
екі көпбұрышқа жіктелген және Ғ ол екі көпбұрыштың қосындысы делінеді де
Ғ= Ғ1+Ғ2 деп жазылады.
Егер көпбұрыштың төбелері реттелген болса онда ол бағдарланған
көпбұрыш делінеді. Оның үстіне сызықша қою арқылы белгілейді.
Егер Ғ1 мен Ғ2 көпбұрыштар шекаралары және оның сыртқы бөлігі (яғни
Ғ-тің шекаралары) бір бағытта болатындай етіп бағдарланса, онда олардың
бағдары келісілген делінеді. Ол үшін L сынық сызық Ғ1 мен Ғ2 де қарама-
қарсы бағытталуы керек, 1.6 суретте бағдар стрелка арқылы көрсетілген [8].
Сурет 1.6. Бағдар стрелка арқылы көрсетілуі
П Евклид жазықтығын алайық, , оған параллель векторлар
болсын, ал бұл жазықтыққа нормал бірлік вектор болсын, бұл үш
вектордың аралас көбейтіндісін былайша белгілейік және П жазықтығына
, координата жүйесін болатындай етіп ендірейік.
, вектор кooрдинаталары (, ) базисте
={a1,a2}, ={b1,b2} болса, онда () базисте ={a1,a2,0},
={b1,b2,0}, ={0,0,1} болар еді.
болатындықтан
(1)
(1) Бұл формуладан мына
формулардың дұрыстығы шығады:
(2)
;
(3)
Себебі және
П жазықтығында О нүктесі және бағдарланған n-бұрышы берілген. О
мен қосатын векторларды дейік. Мына санды
(4)
көпбұрыштың харектеристикасы дейді.
тікбұрышты координата жүйесінің төбелер координаталары
десек, онда (4)-ті былайша жазуға болар еді, (1) бойынша
(5)
Көпбұрыш характеристикасының қасиеттері
10. Көпбұрыштың характеристикасы-[] О нүктені жазықтықтың қай
жерінен алуына байланысты болмайды.
Дәлелі. П жазықтықтан О нүктесінен басқа нүкте алайық және
деп белгілейік. нүктеге қарағандағы көпбұрыштың
характеристикасы болсын, онда ол болар еді.
(2),(3) формулаларды ескерсек және десек
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
..
Бұларды қоссақ (2)-ні ескерсек болып шығады.
20. Егер болса, онда , болады.
30. Егер еркін алынған бағдарланған көпбұрыш болса
болады, сондықтан [F] 0 болады.
Мысалы үшбұрыш болса, А1-ді О үшін алсақ болар еді. Ал
мен коллинеaр болмағандықтан болады. Сондықтан
болады.
Егер Ғ бағдарланған көпбұрыш болса деп жіктеуге (мұндағы Ғ1
үшбұрыш, Ғ2 көпбұрыш) болады. 20-қасиет бойынша , ал дәлелдеу бойынша
. Сондықтан 0 болады.
Көпбұрыш бағдарын ауыстырғаннан оның характеристикасының шамасы
өзгермейді, таңбасы кері ауысады.
Дәлелі. (4)-тен шығады.
Сондықтан кез келген көпбұрыш пен оның характеристикасы оң болатындай
етіп бағдарлауға болады.
1.3 Тең шамалы және тең құрамды көпбұрыштар
Аудандары теңдей көпбұрыштарды тең шамалы көпбұрыш дейді. Егер
көпбұрыштар тең болса, онда олардың тең шамалы болатыны түсінікті. Бірақ
шамалары тең фигуралар өзара тең бола бермейді. Мысалы қабырғалары 6 және
4, 3 және 8, 12 және 2 болатын тік төртбұрыштар өзара тең шамалы, бірақ тең
емес.
Ғ1,Ғ2 екі көпбұрыш тең құрамды делінеді, егерде олардың саны бірдей
өзара қос-қостан тең болатын көпбұрыштарға жіктеуге болатын болса:
F1=, F2=, Өзара тең құрамды көпбұрыштарды Ғ1=Ғ2 деп
жазайық.
1-теорема. Егер екі P, Q көпбұрыш тең құрамды болса, онда олар тең
шамалы болады.
Өйткені P=Q болғандықтан оларды өзара қос-қостан тең болатын бірдей
санды көпбұрыштарға жіктеуге болады. Сондықтан олардың қосындысы да тең
болады Pi=Gi. Демек олардың аудандары да тең болады.
Бұған кері теореманы, яғни тең шамалы көпбұрыштардың тең құрамды
болатынын венгер математигі Ф.Боци (1832ж), неміс математигі офицер Гервин
(1833ж) дәлелдеген. Ол теорема мынадай тұжырымдарға сүйеніп дәлелденді.
1-тұжырым.Үшінші көпбұрышпен тең құрамды болатын екі көпбұрыш өзара да
тең болады.
Сурет 1.7. Екі тең шамалы параллелограм
2-тұжырым. Екі тең шамалы параллелограм өзара тең құрамды болады, 1.7
суретте көрсетілгендей.
АВСD, АВ1С1D параллелограм тең шамалы және олар тең құрамды. Бірінші
1,2-ден тұрса, екіншісі 2,3-тен тұрады.
3-тұжырым. Кез келген үшбұрыш мұнымен ортақ табанды биіктігі 2-есе
кіші параллелограм тең шамалы және тең құрамды болады, 1.8 суретте
көрсетілгендей.
АВС мен АДЕС параллелограм тең құрамды. Сондықтан тең шамалы.
Сурет 1.8.Тең құрамды үшбұрыш
4-тұжырым. Кез келген екі тең шамалы үшбұрыш тең құрамды
болады.
5-тұжырым. Кез келген көпбұрыш оған тең шамалы болатын қандай да бір
үшбұрыш пен тең құрамды болады [8].
Бояц-Гервин теоремасы. Кез келген екі тең шамалы көпбұрыш тең құрамды
болады.
Дәлелі P, Q тең шамалы көпбұрыштар болсын. 5-тұжырым бойынша бұлармен
тең құрамдас екі P G үшбұрыштар болады. P=P, G=G.
4-тұжырым бойынша бұл үшбұрыштар тең шамалы болғандықтан тең құрамды
болады: P=G 1-тұжырым бойынша P мен Q тең құрамды болады.
Осы теоремаға сүйеніп, яғни тең құрамдылыққа сүйене отырып,
трапецияның, үшбұрыштың, параллелограмның аудандарын табуға болады. Екі
көпбұрыштың тең шамалылығын дәлелдеуде оларда өзара қос-қостан тең
көпбұрыштарға жіктеудің орнына оларды толықтыру жиегін пайдалануға болады.
Екі көпбұрыш тең толықтырылымды делінеді, егерде оларға қос-қостан тең
құрамды көпбұрыштарды жалғағанда шығатан көпбұрыш тең құрамды болатын болса
Тең құрамды көпбұрыштар тең толықтырылымды болады
Тең шамалы көпбұрыштар тең толықтырылымды болады.
Тең толықтырылымды көпбұрыштар тең шамалы да, тең толықтырылымды да
болады.
Квадратталған фигуралар. Ғ1,Ғ2 екі көпбұрыш және F1ФҒ2
болатын Ф жазықтық фигура берілген. Бұдан S(F1)S(F2) болатыны
түсінікті. Ф фигураға іштей сызылған көпбұрыштар жиынын {F1}, ал сырттай
сызылған көпбұрыштар жиынын {F2} дейік.
S{F1} сандар жиынына трапеция бойынша жоғарыдан шектелген, сондықтан
ол сандардың дәл жоғарғы шекарасы S=SupS({F1}) болады (supremum-ең жоғарғы
деген сөзді білдіреді.)
Осы сияқты S{F2} сандар жиыны төменнен шектелген. Сондықтан бұл
сандардың дәл төменгі шекарасы S=inf S({F2})болады. ( infimum-ең төменгі
дегенді білдіреді). Ф фигураның S*-ді ішкі, S*-ді сыртқы жордандық өлшемі
дейді.
Ф фигура квадратталатын фигура делінеді, егер оның ішкі және сыртқы
жордандық өлшемдері теңдей болса, ол сан Ф фигураның ауданы делінеді.
Ф фигура квадратталған фигура болу үшін хnФуn болатын хn,уn
көпбұрыштар тізбегі табылып олардың аудандарының шегі limS(хn)=limS(уn)
теңдей болулары қажетті және жеткілікті. Ол шек фигураның ауданы болады.
Квадратталған жазық фигуралар ауданы интегралдау тәсілімен табылады.
Кез келген жазық фигура квадратталған бола бермейді.
1.4 Көпжақтар. Дөңес көпжақтар
1.4.1 Көпжақтар
Егер көпжақты беттейтін барлық қырлары ішкі қырлар болса, яғни
көпжақты беттейтін шекарасы болмаса онда оны тұйық көпжақты бет дейді.
Тұйық жай көпжақты бет кеңістікті өзіне қарағанда екі облысқа - ішкі
және сыртқы облыстарға бөледі. Бір облыс нүктелерін қосатын кесінді және
бетпен қиылыспайтын сынық сызық әр уақытта табылады, әр облыс нүктелерін
қосатын сынық сызық бетпен бір нүктеде қиылысады.
Бетті ақырлы санды жазық көпбұрыштардан тұратын геометриялық дене
көпжақ делінеді, егерде ешқандай іргелес екі көпбұрыш бір жазықтықта
жатпаса және барлық көпбұрыштар бірігуі 2 өлшемді көпбейнелік болса.
Көпбұрыштар көпжақтың жағы, көпбұрыштың төбелері мен қабырғалары
көпжақтың төбесі, қыры делінеді.
Тұйық көпжақты беттің беті көпжақтың да беті делінеді. Көпжақтарға
мектепте оқытылатын пирамида, призма, параллелопипедтер жатады.
Көпжақтарды жағына қарай бөледі: тетраэдр (4 жақ), пентаэдр (5 жақ),
гексаэдр (6 жақ), октаэдр (8 жақ), додекаэдр (12 жақ), икасаэдр (20 жақ)-ты
көпжақтар болады.
Топологияда тесігі бар сферанын 2р тесігіне Р тұтқа жапсыру
арқылы бетеуге болатыны, сонда Р тұтқасы, К тесікті көпбейнелік
шығатыны және ондай көпбейнеліктен Эйлер характеристикасы мына формуламен
анықталатыны айтылады.
(6)
Мынадай теорема бар. Кез-келген бағдарланатын көпжақты екі өлшемді
көпбейнелік қандай да бір көпбейнелікке ал жиегі бар бағдарланатын
көпжақты екі өлшемді көпбейнелік қандай да бір көпбейнелікке
гомоморфты болады. Осындағы оң бүтін сандар Р-ны сол көпбейнеліктен тегі, К-
ны оның жиегінің (көпбұрышынын) саны дейді.
Сфера (яғни ешқандай тұтқасы жоқ, тесігі жақ сфера) нөл текті
көпбейнелік болады, өйткені , ал бір тұтқасы сфера бір
текті көпбейнелік болады. Гомеоморфты көпбейнеліктердің Эйлер
характеристикасы және тектері теңдей болады.
Көпжақтың тегі деп оның бетінің тегін айтады. Тетраэдрдің, кубтың
беттері сфераға гомоморфты, сондықтан олар нөл текті көпжақтар болады.
Жақтары клетка болатын нөл текті көпжақтарды жай көпжақ дейді.
Тетраэдр, куб жай көпжақты болады. Элипистер геометрияда тұйық жай көпжақты
бетпен онын ішінен біріктірмесін жай көпжақ дейді. Барлық қабырғалары
берілген көпжақтың қырлары болатын кез-келген жай тұйық сынық сызықты ол
көпжақтың тілігі дейді. Көпжақтың тілігі оны екі көпжақты бетке бөлетін
болса, ол нөл текті көпжақ, бөлмесе нөл текті емес көпжақ делінеді.
Мектепте қарастырылатын көпжақтар нөл текті көпжақтар болады.
Көпжақтың Эйлер характеристкасы.
4-теорема. (Эйлер теоремасы). Кез-келген көпжақтың (яғни нөл текті
көпжақтың) төбесінен саны мен жағының санынын қосындысы қырының санынан 2-
ге артық болады.
Дәлелі. Ф жай көпжақ болсын. Ол көпжақтың төбесінен саны - ,
қырының саны - , жағының саны - болсын. Осы көпжақтың кез-
келген бір жағын алып тастасақ жағының саны , төбесі мен қырының саны
болатын көпжақты бет шығар еді. Көпжақты беттен Эйлер характеристкасы
1-ге тен болатындығы дәлелденген (54-2). Сол бойынша . Бұдан
немесе (7).
1.4.2 Дөңес көпжақ
Кез-келген көпжақ дене болады. Ғ көпжақ дөңес көпжақ делінеді, егер Ғ
дене дөңес болса. Демек, дөңес көпжақтың жақтары дөңес көпбұрыштардан
тұрады.
1-теорема бойынша табаны дөңес көпбұрыш болатын пирамида дөңес көпжақ
болады. Тетраэдрде дөңес көпжақ болады. 2-теорема бойынша табаны дөңес
көпбұрыш болатын призма дөңес көпжақ болады. Параллелепипедте дөңес көпжақ
болады. 1.9 суретте дөңес емес көпжақ салынған.
Сурет 1.9. Дөңес емес көпжақ
Көпжақты шектеу арқылы дөңес көпжақ шығарып алуға болады.
евклидтік кеңсітіктің Ф фигурасы фигураларға жіктеледі
делінеді, егер -лар Ф –ның жабуы болса, яғни болса және
кез келген фигуралардың ортақ ішкі нүктелері болмаса.
Ф дөңес көпжақ болсын, П – оның ішкі нүктесінен өтетін жазықтық
болсын. Онда П жазықтық Ф –ның П –де жатпайтын барлық нүктелерін
екі бөлікке бөлер еді және Ф – да, П-де дөңес фигуралар
болғандықтан дөңес фигура болады. Сондықтан екі көпжақтың
екеуіде дөңес көпжақ болады және болатындықтан Ф көпжақ
екі дөңес көпжаққа жіктеледі. Көпжақтың төбесінің саны ең аз
болғанда 4 болады, ал бұл тетраэдр. Кез келген көпжақтың саны
шектеулі дөңес көпжақтарға, сондықтан тетраэдрлерге жіктеуге болатынын
дәлеледеуге болады.
Төмендегі тұжырымдар дөңес көжақтың қасиеттерін анықтайды.
1. Дөңес көпжақтың бір жағы жататын жазықтықта ол дөңес
көпжақтың бірде – бір ішкі нүктесі болмайды.
2. Дөңес көпжақтың барлық нүктелері оның бір жағы жататын
жазықтық пен анықталатын екі тұйық жарты кеңістіктің бірінде жатады.
Ол жарты кеңістікті сол дөңес көпжақтың кеңістігі дейді.
3. Дөңес көпжақ жай көпжақ болады. Дәлелдейік. Ф – дөңес көпжақ,
М оның ішкі нүктесі болсын. Ф шектелген фигура болатындықтан ол
толығымен жататын W шар болады. Ол шардың шекарасын S дейік.
Дөңес дененің 3- қасиеті бойынша – да шығатын әрбір сәуле Ф
–ның шекарасы бір М нүктеде, ал W шардың шекарасы S -ты
бір нүктеде қиып өтеді. Сөйтіп ол сәуле -тын М
нүктесі мен -нен нүктесі арасында бірмәнді сәйкестік
орнатады, яғни f: бейнелеу биекция болады. Бұл бейнелеу
Гомеоморфизм болады. Демек, мен S гомоморфты болады. Сөйтіп
Ф көпжақтың беті сфераға гомоморфты болады екен. Ол Ф нөлтекті
көпжақ болады деген сөз. Оның жақтары дөңес болғандықтан ол
жай көпжақ болады. Сөйтіп нөлтекті көпжақ дөңес көпжақ болады.
4. Дөңес көпжақ Ф оның барлық жақтары мен анықталатын барлық
жарты тұйық кеңістіктердің қимасы болады.
Дәлелі. Көпжақтың жақтарының саны п болсын, оларды дейік. Бұл
жазықтықтармен анықталатын Ф жатқан тұйық жарты кеңістіктерді
дейік, бұлардың қимасы V болсын. Мақсат V мен Ф -тан беттесетіндігін
дәлелдеу.
Егер А нүкте Ф –да жатса ол – лардың бәрінде
жататындықтан V–да жатады. Сөйтіп Ф - ның нүктелері V –да жатады.
Енді В нүкте Ф да жатпасын. Онда ол нүкте Ф – ның сыртқы жарты
кеңістігінде жатады. Сондықтан - лардың қимасы V –да жатпайды.
Сөйтіп беттеседі екен. Сондықтан Ф өзінің жақтарымен
анықталатын жарты кеңістіктің қимасы болады.
5. Ф көпжақ дөңес болу үшін оның беті дөңес болуы керек.
6. 2- ші қасиетке кері, егер Ф көпжақтың барлық нүктелері
оның бір жағы анықтайтын тұйық жарты кеңістікте жатса, онда ол
көпжақ дөңес көпжақ болады.
Дәлелі. Бұл тұжырым дұрыс емес, Ф көпжақ дөңес болмайды десек,
онда Ф- дан А, В екі нүкте табанын оның бойында Ф – ға сыртқы
нүкте болатын ең болмағанда бір М нүкте табылуы керек. нүкте
АВ –да жатпайтын Ф –ның бір ішкі нүктесі болсын, 1.10 суретіне сәйкес.
Онда кесінді
Сурет 1.10.Көпжақты дөңес
көпжақтың бір бетін қандай да бір N нүкте қию керек. Ол бетті
қамтитын жазықтық П болсын. П – дің бірде- бір нүктесі Ф –ның ішкі
нүктесі болмауы керек. Сондықтан нүкте П –де жатпау керек.
Демек, П жазытық не кесіндінің бірін қию керек. Ал,
бұл теорема шартына қайшы. Өйткені Ф –ның нүктелері П –дің екі
жағында да жатуы мүмкін емес.
Дөңес көпжақ теориясына қатысты кейбір тұжырымдарды келтірейік.
екі көпжақ берілсін. Бұлардағы жақтар , қырлар жиынын
, жақтар жиынын дейік.
Бұлардың біріктірмесін дейік. Сонда көпжақтар изоморфты
делінеді. Егерде төмендегі талаптарды қанағаттандыратын f:
биективті бейнелеу табылса:
1. болса;
2. Сәйкес жақтың төбелері теңдей болса;
3. f бейнелеуі төбелердің, қырлардың, жақтардың бір – бірінде
жатуын сақтайтын болса.
Мысалы, кез келген тетраэдр өзара, куб өзара, параллеллипед
өзара изоморфты көпжақтар болады.
Коши теоремасы. Егер екі көпжақ изоморфты болса және әрбір
сәйкес қырлыры тең болса, онда ол көпжақтар өзара тең болады.
А. Д. Александров теоремалары
1. Егер дөңес көпжақтың әрбір жағының симметрия центрі болса, ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz