Дененің көлемін табуға арналған есептер

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 56 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

Академик Е.А. Бөкетов атындағы
Қарағанды мемлекеттік университеті

Дуйсенова Г.А

3 өлшемді кеңістікте көлем есептеріне ағылшын тілінде сабақ өткізу сұрақтары

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

5В010900 - Математика мамандығы

Қарағанды 2019
Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

Академик Е.А. Бөкетов атындағы
Қарағанды мемлекеттік университеті

Қорғауға жіберілді
Т.Ғ. Мұстафин атындағы алгебра,
геометрия кафедрасының меңгерушісі
__________________А.Р. Ешкеев

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: 3 өлшемді кеңістікте көлем есептеріне ағылшын тілінде сабақ өткізу сұрақтары

5В010900 - Математика мамандығы

Орындаған: Г.А. Дуйсенова

Ғылыми жетекшісі
ф.-м.ғ.д., профессор А. Р. Ешкеев

Қарағанды 2019
МАЗМҰНЫ

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

6
1 Айналу денелері мен көпжақтардың көлемі туралы жалпы мәліметтер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

10
1.1 Параллелепипедтің, призманың, цилиндрдің және көлбеу призманың негізгі қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

10
1.2 Пирамиданың, конустың, шар және сфераның өлшемдері ... ... ... ... ... ...
24
2 Үш өлшемді кеңістіктегі денелердің көлемін табуға байланысты есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

35
2.1 Дененің көлемін табуға арналған есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
35
2.2 Көпжақтар мен айналу денелерінің комбинациялық есептері ... ... ... ... ..
41
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
52
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
56
Қосымшалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
58

Кіріспе

Дипломдық тақырыбым геометрия пәнімен тығыз байланысты болғандықтан, алғаш геометрия пәнінің шығу тарихымен таныс болу қажеттілігі туындайды.
Геометрия тарихына шолу жасайтын болсақ алғаш геометрия Ежелгі Грекияда біздің эрамызға дейінгі VІІ-ІV ғасырларда, онда логикалық дәлелдемелер жүргізу жүйелі түрде қолданыла бастағаннан кейін және негізіне бірнеше аксиомаларды алып бірінен, екінші ой қорыту арқылы шығарылатын геометриялық сөйлемдерді бір жүйеге келтірген кезде ғылым ретінде қалыптасқан.
Шамамен біздің эрамызға дейінгі VІ-V ғасырларда Ежелгі Грекияда геометрия дамуының жаңа кезеңі басталды. Әрине, біздің эрамызға дейінгі V ғасырдың өзінде Грекияда геометрияны жүйелі түрде баяндаған шығармалар болған еді. Алайда, осы тұрғыдағы келелі табыс Евклидтің әйгілі Бастамалары (б.э.д ІІІ ғ.) еді.
Евклидтің Бастамаларында (бұдан 2200 жылдай бұрын) қазіргі орта мектептің деңгейіндегі геометриялық білімнің көлемі берілген болатын. Әрине, Евклид өз жүмысына бұрынғы ондаған ғалымдардың, соның ішінде Фалес пен Пифагор, Демокрит пен Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс және т.б. еңбектеріне сүйенеді.
Адамдардың практикалың іс-әрекетінде ғасырлар бойы жинақталған жекелеген геометриялық мағлұматтардан басталатын геометрия ғылымын жоғарыда аталған ғалымдар 3-4 жүз жылдық ішінде жетілдірудің жоғарғы деңгейіне көтерді. Ал Эвклидтің тарихи еңбегі өзіне дейінгілердің алған нәтижелерін біріктірді және ретке келтірді де, сол кездегі геометриялық негізгі білімдерді бір жүйеге келтіріп, Бастамалар атты еңбегін жариялады Екі мың жылдар шамасында геометрия Евклид Бастамаларында берілген көлем мен баяндалу жолына сәйкес оқытылып келді.
Евклидтің Бастамалары ондаған тілге аударылды, бірнеше елде басылып шықты және әлденеше рет қайта басылды. Орыс тілінде Бастамалар XVІІІ ғасырда үш рет, ал XIX ғасырда төрт рет басылып шықты. Оның ең соңғы және біршама жетілдірілген (грек тілінен орыс тіліне) аудармасын ғалым, профессор Д. Л. Мордухай Болтовский жасап, 1948-1950 жылдары жариялады.Бүкіл әлемдегі элементарлық геометрияның көптеген оқулықтары Евклид кітабының өңделген түрі болып отыр, ал Бастамалар болса бірнеше ғасырлар бойы атақты математиктердің жиі қолданылатын кітабы болды.
Бұл еңбектің алғашқы кітабы планиметрияға, VІІ-Х кітабы сандарды оқытуға, ХІ-ХІІІ кітабы стереометрияға арналған. Стереометрия ішіндегі бөлімдердің бірі болып табылатын көпжақтардың көлемін табу мәселесі де осы кітапта қарастырылған.
Педагогикалық жүйе әр тарихи дәуірде елеулі өзгерістерге ұшырап отырады. Экономикасы дамыған елдердің білім беру жүйесінде реформа орташа есеппен алғанда әр он жыл сайын жүргізілетінін әлемдік тәжірибеден көруге болады. Бұл ретте қоғам дамуының барлық кезеңдерінде жаңа стратегиялар және педагогикалық жаңа технологияларды талап ететін білім алушылардың сапалы дайындығына назар аудару қажет.
Бұл жұмысымның тақырыбы "3 өлшемді кеңістікте көлем есептеріне ағылшын тілінде сабақ өткізу сұрақтары" болғандықтан ең алдымен бүгінгі таңда Қазақстан Республикасында білім беру жүйесін, оның ішінде жалпы орта білім беруді жетілдіру бойынша кең көлемді іс-шаралар жүзеге асырылуда екенін ескере өткеніміз жөн. Соның ішінде Қазақстан Республикасында білімді және ғылымды дамытудың 2016-2019 жылдарға мемлекеттік бағдарламасының басты мақсаттарының бірі жалпы орта білім берудің мазмұнын жаңарту болып табылады.
Бұл оқытудың құзыреттілікке бағдарланған оқыту моделіне біртіндеп өтуге жағдай жасайтын білім беру жүйесін дамыту бағдарламасын әзірлеуді және жүзеге асыруды талап етеді. Мұндай бағдарламалардың бірі - Үш тілде білім беруді дамытудың 2015-2020 жылдарға арналған жол картасы. Аталған бағдарламаны орындаудың негізгі жолдарының бірі пәнді (математика, информатика, физика, химия, биология,) ағылшын тілінде оқыту бойынша оқуәдістемелік құрал әзірлеу болып табылады [1].
Бұл түпнұсқалық интерактивті материалдар тек жоғары уәждемелік әлеуетпен ғана емес, жасанды тілдік орта құру үшін негіз ретінде және жоғары деңгейлі қиын тапсырмалар әзірлеумен де қолданылуы мүмкін екенін көрсетумен де байланысты. Мұғалім осы ұстанымға байланысты екінші тілді, яғни мақсатты тілді белсенді қолданады (біздің жағдайда - ағылшын тілін), ол оқушылар үшін тілдік модель ретінде жүреді;
Бұл тәсіл бір мезетте екі пәнді бірдей оқытуды жүзеге асыруға мүмкіндік береді, алайда негізгі назар тілге де, тілдік емес пәнге аударылуы мүмкін.
Әрбір мұғалім, әсіресе геометрия пәнінің мұғалімі, көптілде сабақ жүргізу барысында жаңа технологияларға сүйене отырып тың идеялар мен проблемалық ой тудырып отырса, оқушылардың пәнге деген қызығушылығы артып білімдері мен біліктерін адами іс-әрекеттердің әртүрлі салаларында, сондай-ақ тұлғааралық қарым-қатынас пен әлеуметтік қатынастарда өмірлік міндеттерді шешу үшін пайдалануды қамтамасыз етеді. Сондай технологияның бірі CLIL-әдісі деп ойлаймын. CLIL (Content and Language Integrated Learning -- Пән және Тілді Кіріктіріп Оқыту) осы CLIL әдісі арқылы - әртүрлі пәндерді шет тілінде оқытады. CLIL термині қолшатыр сиякты, бірнеше пәндерді құрайды, мысалы: математика, биология, география және физика т.б пәндерді қолдана отырып, шет тілінде оқыта аламыз. Бұл ұғым Қазақстанға Болондық жүйесі бойынша 2010 жылдан бастап енгізілді, CLIL әдісі бізге үлкен өзгеріс әкелді, өйткені барлық оқу орындары (университет, колледж, мектеп) кіріктірілген білім беру әдістін қолдана бастады. Қазіргі кезде Назарбаев Зияткелік университеті және Назарбаев Зияткерлік мектептері, Білім Инновация лицейілері, дарынды оқушыларға арналған "Жас Дарын" мектептері кіріктірілген білім беру әдісін қолданып жатыр 2.
CLIL технологиялары шет тілін басқа пәндерді оқытуда оқудың қажетті құрал ретінде қарастырады. Яғни тілді үйрену кез келген пән саласы арқылы жүргізіледі, демек CLIL шет тілі сабағы емес, шет тілінде өтетін пән сабағы. Сонымен бірге оқушылардың тілдік қарыс-қатынастағы қажеттілігі мен мүмкіндіктерін ана тілінде ойлануларына жағдай жасайды.
Жоғарыда айтылғандар, оқу материалының мазмұнына сәйкес жаңа оқу ақпаратын құруды, жаңа технологиялармен оқу-әдістемелік қамтамасыз етуді талап ететін оқытудағы кіріктіру мәселесінің өзектілігін айқындайды. Ұсынылып отырған оқу-әдістемелік құралдың мақсаты - CLIL технологиясы негізінде жаратылыстану-математика бағытындағы (информатика, физика, химия, биология, жаратылыстану) пәндер мен ағылшын тілін кіріктіріп оқыту әдістемесін әзірлеу.
Аталған мақсат келесі міндеттердің шешімін табуды қарастырады:
- Математика, Физика, Химия, Биология, Жаратылыстану пәндерінің Ағылшын тілі пәні мазмұнымен түйісу шегін анықтау;
- Ағылшын тілі пәнімен ЖМБ пәндерін кіріктіріп оқытудың ұстанымдары мен әдістеріне сипаттама беру;
- Кіріктіріп оқытуды ұйымдастыру түрлерінің ерекшелігін белгілеу;
- ЖМБ пәндердің мазмұнын кіріктіру негізінде ағылшын тіліне кіріктіріп оқытудың педагогикалық технологияның мәнін ашу;
- ЖМБ пәндерді және ағылшын тілін кіріктіріп оқытуды ескере отырып тілдік құзыреттілікті бағалаудың ерекшеліктерін баяндау.
Ағылшын елдері мен Қазақстанның арасында сабақты соның ішінде математика пәнін мектепте сабақты түсіндіру методикасының ерекшеліктері сан алуан. Салыстырмалы түрде айта кететін болсақ:
Батыс елдерінде сабақ жүргізу барысында көбіне өмірлік жағдайда қажет жақтары көбірек түсіндіріледі. Мысалы айналу денелері яғни көпжақтардың күнделікті тұрмыста өте көп кездесетіндігіне оқушылардың көзін жеткізеді. Цилиндрдің, конустың және шардың айналамызда қандай бейнеде екендігін, күнделікті тұрмыста цилиндрдің (су құбырлары, стакан, бөшкелер), конустың, қиық конустың (шелек, балмұздақ) және шардың ауданын, көлемін табуды үйретеді.
Дипломдық жұмыстың құрылымы: кіріспеден, екі тараудан, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен жәнеқосымшадан тұрады. Жұмыстың бірінші тарауында, тік бұрышты параллелепипедтің, цилиндрдің, призманың, пирамиданың, конустың сонымен қатар шар мен сфераның көлемін табуға анықтамалар беріліп, мысалдар келтірілген. Сонымен қатар, тең денелердің көлемдері де тең туралы мағлұматтар мен дәлелдеулер көрсетілген. Екінші тарауда, Қазақстан мектептеріндегі айналу денелері мен көпжақтардың көлемін табуға байланысты есептер беріліп шығарылған.
Дипломдық жұмыстың мақсаты: Ағылшын тілінде 3-өлшемді кеңістіктің көлемді есептеу мәселелерінің ерекшеліктерін анықтау.
Дипломдық жұмыстың міндеті:
* Айналу денелері мен көп жақтарды жан-жақты зерттеп цилиндрдің, конустың, қиық конустың, шардың және сфераның көлемдерін табу және негізгі қасиеттерін зерттеу сияқты мәселелерді шешу.
* Геометриялық (математикалық) білімімді дамыту және стереометрия тарауына, оның ішінде айналу денелері, көпжақтардың көлемін табуға байланысты есептер шешу.
* Ағылшын және қазақ мектептеріндегі геометриядағы Көлем есептеу тақырыбын,сабақ жосыпарын зерттеп салыстыру және тиімді жақтары мен проблемалық жақтарын ашып түсіндіру (Қосымша 1).
Бұл дипломдық жұмыста әр тұжырымның (яғни теорема,мысал, ескерту) басынан аяғына дейін тарау бойынша болады. Яғни кез келген тұжырым үш цифрамен белгіленеді. Бірінші цифра тарау нөмірі, екінші цифра параграф, үшінші цифра тұжырым нөмірі.

1 Айналу денелері мен көпжақтардың көлемі туралы жалпы мәліметтер

1.1 Параллелепипедтің, призманың, цилиндрдің және көлбеу призманың негізгі қасиеттері

Ағылшын тілі-әлемге әйгілі тіл, оны меңгеру, сонымен қатар сабақты ағылшын тілінде жүргізу қазіргі таңда өзекті мәселелердің бірі. Ағылшын тілін білу біздің жастарға шексіз мүмкіндіктер ашады. Сол себепті де ағылшын тілінде жаратылыстану пәндерін оқыту негізінде дарынды оқушылардың коммуникативтік дағдыларын дамыта отырып, ақпараттық кеңістігіне ену мүмкіндіктерін кеңейту, бәсекеге қабілеттілігін арттыру мақсатында Қазақстанда 2013 жылдан бастап Көптілділікті меңгеру тәжірибелік алаңы өзінің жұмысын жүргізіп келеді.
Дипломдық жұмысымның басты мәселелерінің бірі кеңістіктегі көлем есептерін ағылшын тілінде сабақ өткізу болғандықтан көпжақтармен айналу денелерінің көлемінің қасиеттерін екі тілде, яғни қазақ және ағылшын тіліндерінде салыстыра отырып қарастырамыз:
Дененің көлемі жазық фигураның ауданы ұғымы сияқты енгізіледі. Әрбір көпбұрыштың ауданы бар екендігі және ол аудан таңдап алынған өлшем бірлігі бойынша есептелетіні планиметрия курсынан белгілі. Әдетте ауданның өлшем бірлігі ретінде қабырғалары өлшем бірлігіне тең, квадрат алынады.

Қарастырылып отырған денелердің біреуінің көлемді өлшеудің таңдап алған бірлігі бойынша өлшеуге болатын көлемі бар деп ұйғарамыз. Көлемнің өлшем бірлігі ретінде қыры кесінділерді өлшеу бірлігіне тең кубты қабылдаймыз. Қыры 1см куб куб сантиметр деп аталып, см3 түрінде белгіленеді.
Осы сияқты куб метр (м3), куб миллиметр (мм3) және т.с.с. алдыңғы айтқанымыздай анықталады. Көлемді өлшеу ауданды өлшеуге ұқсас жүргізіледі. Таңдап алынған өлшем бірлігінде әрбір дененің көлемі оң санмен сипатталады. Бұл сан берілген денеде қанша көлемді өлшеудің бірлігі және өлшем бірлігінің қанша бөлшегі бар екендігін көрсетеді. Дененің көлемін көрсететін сан көлемді өлшеудің таңдап алынған бірлігіне байланысты екендігі түсінікті, сондықтан саннан кейін көлемді өлшеу бірлігі жазылады. Мәселен, көлемді өлшеу бірлігі ретінде см3 алынса және қайсыбір дененің V көлемі 2-ге тең болса, онда оны былайша жазамыз: V=2см3 3.
Егер екі дене тең болса, онда олардың біреуінде көлемді өлшеу бірлігі қанша және оның бөлігі қанша болса, екіншісінде де көлемді өлшеу бірлігі және оның бөлігінің де соншасы болады, яғни көлемдердің мынадай қасиеті бар:
Ескерту 1. Екі фигураның, дербес жағдайда екі дененің теңдігі планиметриядығыдай анықталады: егер екі денені беттестіргенде олар беттесетін болса, онда мұндай денелер өзара тең деп аталады. Тең денелердің мысалы ретінде сәйкес өлшемдері өзара тең екі тік бұрышты параллелепипедті, табандары мен биіктіктері өзара тең екі тік призманың, табандарының қабырғалары және биіктіктері өзара тең екі дұрыс пирамиданы алуға болады. Қарастырылған мысалдардағы денелердің теңдігін фигуралардың теңдігі және беттестіру аксиомаларының негізінде дәлелдеуге болады.
Көлемнің тағы бір қасиетін қарастырайық. Дене бірнеше денелерден тұратын болсын. Бұл денелердің кез келген екеуіне ортақ ішкі нүктелері жоқ, бірақ ортақ шекаралық нүктелері болуы мүмкін деп ұйғарайық. Дененің көлемі оны құрайтын денелердің көлемдерінің қосындысы тең болатыны түсінікті. Сонымен:
2. Егер дене бірнеше денеден тұратын болса, онда оның көлемі осы денені құрайтын денелердің көлемдерінің қосындысына тең.
1 және 2 қасиеттер көлемнің негізгі қасиеттері деп аталады. Осы сияқты қасиеттер кесіндінің ұзындығы және көпбұрыштың ауданы үшін де орындалатынын есімізге саламыз. Осы қасиеттің негізінде параллелепипедтің, призманың, пирамиданың, цилиндрдің, конустың, шардың көлемін есептеу формуласын қорытып шығарамыз.
1 және 2 қасиеттердің бір салдарына тоқталайық. Көлемі өлшеу бірлігі ретінде қабылданған кубты қарастырайық. Оның қыры кесінділердің өлшеу бірлігіне тең. Бұл кубтың әрбір қырын өзара тең n бөлікке бөлейік (n кез келген бүтін сан) және бөліну нүктелерінен осы қырға перпендикуляр жазықтықтар жүргізейік. Бастапқы куб қырлары 1n-ге тең өзара тең n кішкене кубтарға бөлінеді. Барлық кішкене кубтардың көлемдерінің қосындысы берілген кубтың көлеміне (2-қасиет), яғни 1-ге тең болғандықтан, онда әрбір кубтың көлемі 1n3-ге тең (кішкене кубтардың көлемдері 1-қасиет бойынша өзара тең). Сонымен,
Қыры 1n- тең кубтың көлемі 1n3-ге тең [4].
The body size is introduced as the concept of the area of a flat figure. It is known that each polygon has a zone and that the area is calculated based on the unit of measurement selected from the course of planimetry. Usually, the square of the area as a unit of measurement is one square, and the square is taken.
We assume that one of the examined bodies has a measurable amount of volumetric measurement in the selected unit. As the measurement unit of the volume, we measure the cubit equal to the cutting edge unit. The lateral is referred to as 1 cm cubic centimeter and denoted by см3.

Such cubic meters (м3), cubic millimeters (мм3), and so on. As we mentioned before. Surface measurement is similar to the measurement of the area. In the selected unit of measure, each body is characterized by a positive number. This number indicates how many dimensional units in the body and how many units of measurement are present. It is clear that the number of body measurements depends on the selected unit of measurement, so after the number the volume measurement unit is written down. For example, if см3 is a unit of dimensional measurement, and any body of V is equal to volume 2, we write: V=2см3 [3].

If two bodies are equal, then one of them has the unit of measurement of the unit of measurement and the size of the unit of measurement, ie the dimensions have the following properties:

Remark 1. The equality of two figures, in some cases, two bodies is defined as Planimetry: if the outline of two bodies they lie, such bodies are called equal to each other. As an example of equal bodies it is possible to receive two rectangular parallelepipeds which corresponding sizes are equal among themselves, two correct pyramids of two vertical prisms which walls and foot heights are equal among themselves. The equality of bodies in the considered examples can be proved on the basis of the equilibrium of figures and the axiom of superposition.

Let's look at another aspect of the volume. Let the body consist of several bodies. Let's assume that there are no common internal points for any of these bodies, but there are common boundary points. It is clear that the volume of the body is the sum of the volumes of the body that forms it.

So:
2. If the body consists of several bodies, its size is equal to the sum of the body's volumes.

The properties 1 and 2 are called the main properties of the volume. We remind you that similar properties are made for the length of the segment and for the polygon area. Based on this feature, we summarize the formula for calculating the parallelepiped, prism, pyramid, cylinder, cone, and sphere.

Consider one of the consequences of 1 and 2 properties. Let's consider the cubic, which is the unit of measure we measure. Its edges are equal to one unit of measurements. Let's divide each aspect of this cube into equals n (n any integer) and let's divide the points from perpendicular to the edge. The initial cubic faces are divided into smaller cubic n nuclei equal to 1n. Because the sum of all small cube volumes is equal to the volume of the given cubicle (2), ie 1, then each cubic cube is equal to 1n3 (the size of the small cubes is equal to 1). So,
the surface 1n of equal cubic is equal to 1n3 4.

Теорема 1.1.1. Тік бұрышты параллелепипедтің көлемі оның үш өлшемінің көбейтіндісіне тең.
Дәлелдеу. Тік бұрышты Р параллелепипедтің өлшемдерін a, b, c ал оның көлемі V әріпімен белгілеп, V= abc болатынын дәлелдейік.
Екі жағдай болуы мүмкін.
1) a, b және c өлшемдері шектеулі ондық бөлшектер және ондық бөлшектердің үтірден кейінгі танбаларының саны n - нен аспайды. (n = 1 деп те ұйғаруға болады). Бұл жағдайда α∙10n , b∙10n және c∙10n сандары бүтін сан болып табылады. Параллелепипедтің әрбір қырының ұзындығы 110n бөлікке бөлейік те, бөліну нүктелерінде осы қырға перепендикуляр жазықтықтар жүргізейік. P параллелепипеді қырының ұзындығы 110n барлық саны abc∙103n болатын өзара тең кішкене кубтарға бөлінеді. Осындай әрбір кубтың көлемі 110n - ге тең болғандықтан, бастапқы тік бұрышты Р параллепипедінің көлемі
abc∙103n ∙1103n= abc болып шығады, демек V=abc.
2) a,b және c өлшемдерінің ең болмағанда біреуі шектеусіз ондық бөлшек болсын. a,b және c сандарының үтірден кейінгі
(n+1)-цифрынан бастап одан кейінгі цифрларды алып тастағанда пайда болған шектеулі an,bn,cn ондық бөлшектерін қарастырайық. an= a = an' орындалатыны ақиқат, мұнда
a'n= an +110n. Осындай теңсіздіктер b және c сандары үшін де дұрыс. Бұл теңсіздіктерді өзара көбейтіп, мынаны аламыз:

Theorem 1.1.1. The volume of a rectangular parallelepiped is equal to the product of its three dimensions.
Proof. We denote the dimensions of a rectangular parallelepiped P by the letters a, b, c and its volume by the letter V and prove that V = abc.
There may be two cases.
1) Dimensions a, b and c are finite decimals whose number of decimal places does not exceed n (we can assume that n = 1). In this case, the numbers α∙10n , b∙10n,
And c∙10n are whole. Divide each edge of the parallelepiped into equal parts of length 110n and draw planes perpendicular to this edge through the points of division.
Cube P broken on abc∙103n equal cubes with edge 110n. As the volume of each cube is equal to 110n, then the volume of cuboid P is equal to abc∙103n ∙1103n=abc. So, V = abc.

2) At least one of the dimensions a, b and c is an infinite decimal fraction. Consider the finite decimal fractions an, bn, cn which are obtained from the numbers a, b, c if we discard in each of them all the digits after the decimal point, starting with up (n +1). Obviously, c where a'n= an +110n, and similar inequalities are valid for b and c. Multiplying these inequalities, we obtain:

anbncn=abc =a'nb'nc' (1)

мұндағы:

b'n=bn+110n , c'n=cn+110n.

where:

b'n=bn+110n , c'n=cn+110n.
Бірінші жағдайда дәлелдегеніміздей (1) формуланың сол жағы - өлшемдері an, bn, cn болатын тік бұрышты параллелепипедтің (1 сурет) көлемі Vn, ал оң жағы-өлшемдері an,bn,cn болатын тік бұрышты Pn' параллелепипедтің көлемі V'n, Pn параллелепипеді P параллелепипедінің ішінде, ал Р параллелепипедінің өзі P'n параллелепипедінің ішінде орналасқандықтан, Р параллелепипедінің V көлемі Vn=a nbncn және V'n= a'nb'nc'n көлемдерін өрнектейтін сандардың арасында, демек,

As proved in the first case, the left part (1) is the volume Vn, rectangular parallelepiped P, with dimensions an,bn,cn and the right side -- the volume Vn rectangular parallelepiped Pn with dimensions an,bn,cn (fig. 1). Since the parallelepiped P contains a parallelepiped V'n, Pn and itself is contained in the parallelepiped P'n, then the volume V of the parallelepiped P is enclosed between Vn=a nbncn and V'n=a'nb'nc'n then infinitely increase:
a nbncn =V =a'nb'nc'n (2)

1 сурет. Тік бұрышты параллелепипед

Сонда 110n саны өте аз шама болады да, a'n,b'n,c'n санының a nbncn санынан айрымашылығы өте аз болады. Бұдан (1) және (2) теңсіздіктерге сүйенсек, V санының abc санынан айырмашылығы өте аз шама. Демек, олар өзара тең: V = abc. Теорема дәлелденді 5.

Cалдар 1.1.1. Тік бұрышты параллелепипедтің көлемі табанының ауданының биіктігіне көбейтіндісіне тең.
Шынында да, қырлары a және b жағын параллелепипедтің табаны ретінде алайық. Онда оның табанының S ауданы ab көбейтіндісіне тең, ал параллелепипедтің h биіктігі c-ға тең. Олай болса, V = abc=Sh.
Салдар 1.1.2. Табаны тік бұрышты үшбұрыш болатын тік призманың көлемі табанының ауданының биіктігіне көбейтіндісіне тең.
Бұл ұйғарымды дәлелдеу үшін (2 сурет) табаны ABC (∠A-тік) болатын тік үшбұрышты призманы,
Then the number 110n will become as small as necessary, and therefore the number a'n,b'n,c'n will be as little different from the number a nbncn. Hence, due to inequalities (1) and (2), it follows that the number V is arbitrarily little different from the numberabc. So, they are equal: V = abc, which was to be proved [5].
Consequence 1.1.1. The size of a rectangular parallelepiped is multiplied by the height of the base area.

Indeed, we take faces a and b as the base of the parallelepiped. Where the area S of its base is equal to the product ab, and the height h of the parallelepiped is equal to c. Thus, V = abc =Sh.
Consequence 1.1.2. The size of a rectangular prism, representing the sole of a rectangular triangle, is multiplied by the height of the area of the sole.
In order to prove this requirement, (fig. 2). it is necessary to have a rectangular prism with ABC sole (triangle A-rectangle) ,

2 сурет. Тік үшбұрышты призма

суретте көрсетілгендей етіп тік бұрышты параллелепипедке дейін толықтырайық. 1.1.1 - салдар бойынша бұл параллелепипедтің көлемі 2SABC· h көбейтіндісіне тең, мұндағы S ABC - ABC үшбұрышының ауданы, ал h- призманың биіктігі. B1BC жазықтығы параллелепипедті өзара тең екі призмаға бөледі; оның біреуі - берілген призма. Олай болса, берілген призманың көлемі параллелепипедтің көлемінің жартысына тең, демек,
Add a rectangle to the parallelepiped, as shown in figure. 1.1.1-the consequence of the size of this parallelepiped is the multiplication of 2SABC· h, where S ABC- the area of the triangle ABC, and h-the height of the prism. The B1BC plane divides the parallelepiped into two equal prisms, one of which is a given prism. Thus, the volume of this prism is equal to half the volume of the parallelepiped, therefore,

V =122SABC∙h=SABC∙h (3)

Салдар дәлелденді 6.
Теорема 1.1.2. Тік призманың көлемі оның табан ауданының биіктігіне көбейтіндісіне тең.
Дәлелдеу. Теореманы әуелі үш бұрышты тік призма үшін, одан кейін кез келген тік призма үшін дәлелдейміз.
1. Көлемі, V , ал биіктігі h үш бұрышты тік ABCA1B1C1 призмасын қарастырайық (3 сурет). ABC үш бұрышының BD биіктігі оны екі тік бұрышты үш бұрышқа бөледі
The consequence are proven [6].
Theorem 1.1.2. The size of the vertical prism is its multiplication by the height of the area of the sole.
Proof. First, the theorem is justified for three angles of a vertical prism, and then for any vertical prism.
1. General let us consider a rectangular prism ABCA1B1C1 with size, and height h (fig. 3). The height BD of three ABC angles will divide it into two vertical angles into three angles.

n

3 сурет. Тік призма

BB1D жазықтығы призманы табандары ABD және BDC тік бұрышты үшбұрыштар болатын екі призмаға бөледі. Сондықтан бұлардың V1 және V2 көлемдері SABD ∙ h және SBDC ∙ h көбейтінділеріне тең. Көлемнің 2-қасиеті бойынша V=V1+V2, яғни

BB1D plane divides the prism into two prisms, whose sole ABD and BDC are right triangles. Therefore, the sizes V1 and V2 are equal to the sizes SABD ∙ h and SBDC ∙ h . By 2-volume property V=V1+V2, i.e.
V = SABD ∙ h + SBDC ∙ h =(SABD+ SBDC)· h

Сонымен,

So,

V = SABD ∙ h (4)

2. Енді теореманың табанының ауданы S, биітігі h кез келген тік призма үшін дәлелдейік. Мұндай призманы үш бұрышты екі тік призмаға бөлуге болады (4 сурет).
Мәселен,
2. Now we prove the base area of theorem S, the height h for any straight prism. This prism can be divided into two triangular rectangular prisms (fig. 4). So,

4 сурет. Тік призма

бес бұрышыт призма кескенділген және ол үш үш бұрышты призмаға бөлінген. Әрбір үшбұрышты призманың көлемін (4) формула бойынша есептеп, оларды қосайық. Ортақ h көбейткішін жақшаның сыртына шығарып, жақша ішінде үш бұрышты призмалардың табандарының аудандарының қосындысын, яғни әуелде берілген призманың табанының S ауданын аламыз. Сонымен, берілген бастапқы призманың көлемі S · h көбейтіндісіне тең. Теорема дәлелденді 7.
Егер призманың табандары цилиндрдің табандарына іштей сызылса (5 сурет), онда призма цилиндрге іштей сызылған деп,
the five-pointed prism is cut and divided into three triangular prisms. Calculate by formula (4) the size of each of the three-terminal Prima and add them. Output the total factor h beyond the brackets and in brackets we obtain the sum of the areas of the soles of triangular prisms, that is, the area S of the base of the prism given at the beginning. Thus, the volume of the given initial prism is equal to the multiplication of S ∙ h. Theorem proved [7].
If the soles of the prism are drawn on the feet of the cylinder (fig. 5), the prism is emphasized inside the cylinder,

5 сурет. Цилиндрге іштей сызылған призма

ал егер призманың табандары цилиндрдің табандарына сырттай сызылған болса, онда призма цилиндрге сырттай сызылған деп аталады.

and if the soles of the prism are sketched on the soles of the cylinder, the prism is called a sketch on the cylinder.

6 сурет. Призмаға іштей сызылған цилиндр

Цилиндрге іштей, не сырттай сызылған призманың биіктігі цилиндрдің биіктігіне тең болатыны анық (6 сурет).
Теорема 1.1.3 Цилиндрдің көлемі оның табан ауданының биіктігіне көейтіндісіне тең.
Дәлелдеу. Радиусы r, биіктігі h, P цилиндрге дұрыс n - бұрышты Fn призмасын іштей сызамыз сурет, ал бұл призмаға Pn цилиндрін іштей сызамыз (7 сурет).

Obviously, the height of the prism inside the cylinder, or combed appearance, will be equal to the height of the cylinder (fig. 6).
Theorem 1.1.3 The size of the cylinder is equal to the height of its sole.
Proof. Radius r, height h, P correct n - angle prism Fn draw the inner image, and on this prism draw a cylinder Pn (fig. 7).

7 сурет. Цилиндрге іштей сызылған призма

Суретте бұл цилиндрдің табаны штрихталып көрсетілген. P және Pn цилиндрлердің көлемдерін V және, ал Pn цилидрінің радиусын rn арқылы белгілейік. Fn призмасының көлемі Sn ∙ h көбейтіндісіне тең, ал P цилиндрі Pn призмасын, Fn призмасы Pn цилиндрін қамтитын болғандықтан,

The figure shows the sole of the cylinder hatching. The sizes of cylinders P and Pn are determined by V and Vn, and the radius of cylinder Pn-rn. The prism size Fn is equal to the multiplication Sn ∙ h , and the cylinder P includes the prism Fn, the prism Fn - cylinder Pn,

VnSn· h V

мұнда Sn- Fn призмасының табанынынң ауданы, n санын шексіз өсіреміз, сонда Pn цилиндрінің rn радиусы P цилиндрінің rрадиусына ұмтылады: rn= r cos1800n--r, егер n--infinity. Сондықтан Pn цилиндрінің көлемі P цилиндрінің көлеміне ұмтылады:

where the area of the sole Sn- Fn of the prism, we will infinitely increase the number n, then the radius rn of the cylinder Pn tends to the radius rn of the cylinder P:rn= r cos1800n--r, if n--infinity. Therefore, the size of the cylinder Pn tends to the volume of cylinder P:

limn--infinityVn=V (5)

теңсіздіктен:
inequality:

limn--infinitySn∙h=V

Бірақ limn--infinitySn=PIr2 .
Сонымен,
But limn--infinitySn=PIr2 .
So,

V = r2h (6)

Цилиндрдің табанының PIr2 ауданын S әрпімен белгілесек, онда (6) формуладан:
If we denote the area PIr2 of the cylinder base by the letter S, then from the formula (6) :

V=Sh .

Теорема дәлелденді 8.
Көлемді анықталған интегралдың көмегімен есептеу. Алгебра және анализ бастамалары курсынан белгілі интеграл ұғымына сүйене отырып, дененің көлемін есептеу тәсілін қарастырайық (8 сурет).

Көлемі есептелетін Т денесіне өзара параллель екі α және β жазықтарының арасында орналассын.
The theorem is proved [8].
Volume calculation using the determined integral. In the course of algebra and the beginning of the analysis, we consider the method of calculating the volume of the body,
based on a certain concept of integral (fig. 8).
Between two planes α and β, parallel to the body T, the size of which is calculated enter a system of rectangular cordinates with such a way that the axis.

8 сурет. Көлбеу призма

Ox осі α және β жазықтарына перпендикулляр болатындай тік бұрышты кординаттар жүйесін енгізіп, α және β жазықтарының Ox осімен қиылысқандағы нүктенің абсциссаларын a және b әріптерімен белгілейік (ab). Дененің Ox осіне перпендикулляр және абсциссасы х болатын нүктеден өтетін жазықтықпен қиғандағы қимасын Ф(x) деп белгілейміз де, Ф(x) не дөңгелек, не көп бұрыш деп ұйғарамыз (9 сурет), мұндағы x∈a;b(x=a, не x=b қима нүктеге айналуы мүмкін, мәселен, x=a болғанда қима-нүкте).
Ox was perpendicular to the plane α and β, denote the letters a and b at the intersection of the planes α and β with the axis Ox (ab). We define the cross-section of the body in cross-section with the plane passing through the point, perpendicularly and abscissa x to the Ox axis, and we define that Ф(x) is either rounded (fig. 9), or the corner where x∈a;b (the cross section x=a or x = b may become a point, for example, if x=a section-point).

9 сурет. Көлбеу призма

Ф(x) фигурасының ауданы S(x) [a;b] сандар кесіндісінде үздіксіз функция деп жориық.
[a; b] кесіндісін өзара тең n кесіндіге нүктелермен бөлеміз: a = x0, x1, x2...xn=b және абсциссасы x1 болатын нүктелер арқылы Ox осіне перпендикуляр жазықтықтар жүргіземіз. Бұл жазықтықтар Т денесін n денерге бөледі: T1, T2... Tn. Егер Ф(xi) қимасы дөңгелек болса,онда Ti денесінің көлемі суретте штрихталған жуық шамамен табаны Ф(xi), биіктігі ∆xi= xi - xi+1 = b-an болатын цилиндрдің көлеміне тең. Егер Ф(xi) қимасы көпбұрыш болса,онда Ti денесінің көлемі жуық шамамен табаны Ф(xi), биіктігі ∆xi болатын тік призманың көлеміне тең. Қарастырылып отырған екі жағдайда да Ti денесінің көлемі жуық шамамен S(xi) · ∆xi көбейтіндісіне тең, ал бүкіл Т денесінің V көлемін жуық шамамен

The area of the figure Ф(x) S(x) [a;b] assumes a continuous function in the segment of numbers.
Divide the segment [a; b] by n points: a = x0, x1, x2...xn=b and through the points with abscissa x1 we draw the planes perpendicular to the Ox axis. These planes divide the body T into n bodies: T1, T2... Tn. If the cross-section Ф(xi) is circular,the size of the body Ti is equal to the size of the cylinder, which in the figure is about the hatched sole Ф(xi), the height of which is equal to ∆xi= xi - xi+1 = b-an. If the cross-section Ф(xi) is a polygon,the volume of the body Ti equal to the amount of vertical prism with an approximate degree of Ф(xi), the height of which is equal to the value of the vertical prism. In both cases, the volume of the body Ti is approximately multiplied by S(xi) · ∆xi, and the volume of the whole body T is approximately equal to V

V ≈Vn=i=1nS(xi)∆xi (7)

формуласымен есептеуге болады. n неғұрлым үлкен, ал ∆xi кіші болған сайын Т денесі көлемінің жуық мәні соғұрлым дәлірек болады. limn--infinityVn дененің көлеміне тең болатынын дәлелдеусіз қабылдаймыз, олай болса, V=limn--infinityVn сонымен қатар, Vn қосындысы [a;b] кесіндісіндегі үздіксіз S(x) функциясы үшін интегралдық қосынды, сондықтан limn--infinityVn=abSxdx. Сонымен, біз интегралдың көмегімен көлемді есептеу формуласын алдық:

calculation formula. the more n, the more accurate the value of the volume of the body T the less, the smaller its value. limn--infinityVn, Vn deldepth taken equal to the volume of the body, hence, V=limn--infinityVn in addition Vn, Vn - sum [a; b] is continuous at the section S(x) integral function to insert, so limn--infinityVn=abSxdx. Thus, we obtained the volume calculation formula using the integral:

V = abSxdx (8)

Бұл формуланы дененің ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.