Үздіксіз кездейсоқ шамалар

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 33 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3

1. Орта мектеп математика курсындағы ықтималдық теориясының элементтері

1.1 Ықтималдық теориясының негізгі ұғымдары: оқиға және кездейсоқ шамалар ұғымы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

5
2. Математикалық статистиканың элементтері

2.1 Орта мектепте ықтималдық-статистикалық білім берудің қажеттілігі мен қазіргі оқытылу жағдайы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

23
3. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтерін онлайн оқытудың ерекшеліктері
3.1 Жалпы білім беретін мектептер мен лицейлерде онлайн оқытылу мүмкіндіктері ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

26
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

31
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
34

Кіріспе

Жұмыстың жалпы сипаттамасы.
Мектеп математика курсында ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтерін оқытудың кейбір ерекшеліктері бар. Бір жағынан, бұл жеткілікті үлкен және күрделі процесс, кейде мектеп жасына назар аудармай, одан да көп саналы кезеңде сіңіру қиын, алайда қазіргі уақытта ешкімбұл пәнді жоғары оқу орнына дейінгі курстарға қосу қажеттілігіне күмәнданбайды, себебі ол балаға қосымша білім беруде ғана емес, жалпы өмірде пайдалы болатын бірнеше дағдыларды дамытуға көмектеседі. Біз оқушыларға әртүрлі ықтималдықтарды ескере отырып ойлауға үйретуіміз керек. Яғни, оларды ақпаратты алуға, талдауға және өңдеуге үйретіп, күтпеген нәтижелермен әртүрлі жағдайларда санаулы, салмақты әрекеттер жасай білуіміз керек. Барлық осы сұрақтар ықтималдық және ақиқат ұғымдарын салыстырумен байланысты, әрекеттердің бірнеше нұсқаларын дәл таңдауға, табыстың және сәтсіздіктің ықтималдығын бағалауға, ойындарда және нақты өмір жағдайында жақсылық пен жамандық идеясын таңдауға қиындық тудырады - бұның бәрі, әрине, жасөспірімдердің шынайы және қажетті қызығушылықтарының айналасында табылады.
Мектеп бағдарламасына оқушыларды қоршаған болмыстың көптеген құбылыстардың ықтималдық табиғатымен таныстыруға бағдарланған ықтималдық-статистикалық бағыттың енгізілуі бағдарламаның жалпы мәдениеттік потенциалын арттыруға, жаңа терең негізделген пәнаралық байланыстардың пайда болуына, мектептегі математикалық білім беруді гуманитандыруға жәрдемдеседі.
Оқылатын стохастикалық құбылыстың сипатын түсіну негізгі ұғымды бөліп алу біліктілігіне, кестелерді, диаграммаларды, графиктерді қарастыру кезінде олардың ерекшеліктері мен өзгеру жағдайларын түсіне білуге байланысты. Кестелер мен графиктерді оқудың қарапайым дағдылары бақыланатын құбылыстардың кейбір заңдылықтарын аңғаруға, статистикалық берілгендердің бейнелеу түрлерінен әрі құбылыстардың нақтылы қасиеттерін оларға тән ерекшеліктер мен себептік байланыстармен қоса көре білуге мүмкіндік береді.[1]
Бүгінде мектептерде балалар үшін сапалы, жан-жақты білім алу үшін барлық жағдай жасалған. Қашықтықтан оқыту- бұл жаңа құбылыс емес. Біреу үшін бұл мәжбүрлі шара (денсаулыққа байланысты), біреу балаға осындай шешім қабылдады. Интернет-платформалар, оқу сайттары, YouTube арналарындағы бейнелер және т.б. бұрыннан құрылған және енгізілген. Қазіргі студенттер мен оқушылар оларды бірнеше жылдан бері мезгіл-мезгіл қолданып келеді. Дәл қазір сұраныстың артуы байқалды.
Қашықтықтан оқыту - білім алушының өз бетінше білім алу принципіне негізделген білім беру процесінің жаңа түрі. Оқу ортасы оқушылардың негізінен, және жиі, мүлдем, оқытушыдан кеңістікте немесе уақытта алыстығымен сипатталады, сонымен бірге олар кез келген уақытта телекоммуникация құралдарының көмегімен диалог жүргізе алады. Қашықтықтан оқыту - бұл дербес компьютерлерді, бейне және аудиотехниканы, ғарыштық және оптикалық-талшықты техниканы пайдалануға негізделген ақпараттық технологияларды қолдануды қамтамасыз ететін сырттай оқытудың жаңа сатысы.[2]

1-тарау. Орта мектеп математика курсындағы ықтималдық теориясының элементтері
Жалпы білім беретін мектептің 10 сыныптарға арналған матеметикасында кездейсоқ оқиғаның түрлерімен, атап айтақанда, үйлесімсіз оқиғалар мен үйлесімді оқиғалар, тең мүмкіндікті, мүмкін болатын, тәуелсіз және тәуелді оқиғалармен танысып, олардың ықтималдылдығы қандай деген сұрақты қарастырады. Өзгеше айтқанда, кездейсоқ оқиғамен -- тәжірибе нәтижесінде пайда болатын оқиғалардың сапалық сипаттамасымен жұмыс жасалынды. Ал, 11 сыныптарда сандық сипаттамалы оқиғалармен танысады. Сандық деп аталғандықтан оқиғаны қандай да бір сандық шама сипаттауы керек. Мысал ретінде, тәуліктің ұзақтығын алсақ ол оның сандық сипаттамасы болады. Бір тәулік ішінде 24 сағаттың бар екені анық, Оны біз тұрақты шама ретінде ала аламыз. Ал адамның жұмыс жасайтын уақытын осы бір тәулік ішінде алсақ, ол өзгеріп кездейсоқ шамаға айналады. [5]

0.1 Ықтималдық теориясының негізгі ұғымдары: оқиға және кездейсоқ шамалар ұғымы

Жаңа терминдер: дискретті кездейсоқ шама, кездейсоқ шамаларды қосу, кездейсоқ шама, үзіліссіз кездейсоқ шама, кездейсоқ шамаларды көбейту.
Қарапайым тілде Ықтималдық теориясы - кездейсоқ оқиғалардағы заңдылықтарды іздейтін математиканың ерекше бөлімі. Математика - бұл сандардың нақты ғылымы, сондықтан кездейсоқ оқиғаның нәтижесін есептеуге дәлірек мүмкіндік береді.
Әрбір адам кем дегенде ықтималдық теориясының негіздерін білуі керек. Біздіңтұрақсыз әлем кездейсоқтық пен ықтималдықтансалынды. Сондықтан дұрыс дүниетанымды дамыту үшін, кем дегенде, не және қалай болуы мүмкін екенін түсіну керек.
Табиғаты бойынша адамдар кездейсоқтықты қатты ұнатпайды. Көптеген адамдар тұрақтылықты, әділеттілікті, сенімділікті және болып жатқанның бәрін түсіндіруді қалайды. Мысалы, ерте заманда, адамдар соншалықты технологиялық жағынан хабардар болмады, сондықтан көп нәрсе өзгерістердің қабілетті емес болды да ырымдармен түсіндіру дүниеге келді. Және олардың сәйкестік үлгісін нығайтты, бұл "қара мысықпен" байланысты болды. Адамдар жай ғана қиыншылықтар мен жолды кесіп өткен қара мысық арасындағы жиілік байланыстарын байқай бастады.
Егер қарапайым тілде болса, онда ықтималдық теориясы біздің бүкіл өмірімізді және айналамыздағы әлемді зерттейді:
oo оқиғалардың кездейсоқтығы;
oo шамалардың кездейсоқтығы;
oo кездейсоқ процестер;
oo меншік және осы апаттарды бақылау мүмкіндігі.
Ықтималдық теориясындағы негізгі сөз - "ықтималдық"сөзінің өзі. Адамдар бұл сөзді қарапайым өмірде жиі қолданады, тіпті оған назар аудармай-ақ қояды:
oo "Кешке жаңбыр жаууы мүмкін;
oo "Демалыс күндері мен жұмыс істейтін шығармын;
oo "Керемет, бұл қалай болды?;
oo "Маған ақша жетпеуі мүмкін және т. б.
Яғни, мұндай сөз тіркестерін қолдана отырып, адамдар ықтималдық теориясын интуитивті түрде қолданады, қандай да бір оқиға болады немесе болмайды деп болжауға тырысады. Ықтималдық теориясы математикалық бөлім ретінде апаттарға бірдей баға береді, бірақ тек сандарды, формулалар мен заңдылықтарды қолдана отырып.
oo Ықтималдық теориясын қолданудың бірнеше мысалдары:
oo қазіргі мемлекеттердің экономикасы оған негізделген;
oo тауарларды сатуға шығару ықтимал тәуекелдер мен сату көлемін есептеумен қатар жүреді;
oo қор биржалары және биржалар;
oo ауа райын болжаудағы;
oo валюта бағамының ықтималдығы;
oo кибернетикадағы ықтималдық;
oo автомобиль жасауда;
oo ғарыш кемелерін әзірлеу және жөнелту кезінде.
Адамдар бәрін эмоционалды түрде шешуге дағдыланған. Мысалы, көптеген адамдар әлі де ұшақтармен ұшудан қорқады, олар бұл өте қауіпті деп санайды. Сонымен бірге ықтималдық теориясы мен статистика керісінше айтады. Ұшақ апатынан қайтыс болу ықтималдығы шамамен 1-ден 8 000 000-ға дейін. Бұл жағдайда, егер адам күн сайын әртүрлі кездейсоқ ұшақтармен ұшса, ұшақ апатынан қайтыс болу үшін оған 21000 жыл ұшу керек болады. Ұшақпен ұшу кезінде ең қауіпті нәрсе -- әуежайға таксимен бару, өйткені автомобиль ұшаққа қарағанда әлдеқайда қауіпті.
Эмоционалды шешімнің тағы бір мысалы -- акулалар. Жылына акулалардың шабуылынан шамамен 12-15 адам қайтыс болады, ал пальма ағашынан кокос құлауынан шамамен 140 адам қайтыс болады. Бірақ адамдар кімнен қорқады: акулалардан ба немесе кокостан ба? Олар кімдер туралы фильмдер түсіреді: өлтіруші акулалар немесе өлтіруші кокостар туралы?
Әлемді ықтималдық пен есептеулер басқарады. Сондықтан ықтималдық теориясы туралы білімді жіберіп алмау және оларды өз өміріңізде пайдаланбау мүмкін емес.[6]
Ықтималдық теориясын есептеудің бірнеше тәсілдері бар.
Ықтималдық және тәуелді оқиғалар.
Бұл әдіс бір-бірімен байланысты және бір-бірінің нәтижелеріне байланысты оқиғалардағы ықтималдылықты анықтау қажет болған кезде қолданылады. Қарапайым мысал келтірейік.
Сіз досыңызға туған күніне торт беруді шештіңіз. Біз тортты курьерлік жеткізуге тапсырыс бердік, көшені, үйді, кіреберісті, еденді көрсеттік, бірақ пәтердің нақты нөмірін ұмытып кеттік. Сондықтан, торт жеткізушілерге дейін 3 есіктің арасында таңдау болады. Енді курьердің досына бірінші рет келу ықтималдығы қандай екенін есептеуге болады.
Жеткізуші тарапынан бізде 3 ықтимал оқиға бар:
oo Жеткізуші 1-ші есікті қақты;
oo Жеткізуші 2-ші есікті қағып алады;
oo Жеткізуші 3-ші есікті қағып алады.
Бірақ біздің статистикаға дос кіреді. Ол сондай-ақ 3 ықтимал оқиғаны қосады:
oo Дос 1-ші есіктің артында болуы мүмкін;
oo Дос 2-ші есіктің артында болуы мүмкін;
oo Дос 3-ші есіктің артында болуы мүмкін.
Сонымен, бізде оқиғаларды дамытудың 9 нұсқасы болуы мүмкін: 3*3=9. Олардың ішінде курьер досының есігін шақырған кезде оң нұсқалар бар-3. Сондықтан, егер сіз курьердің бірінші рет дұрыс есікке түсу ықтималдығын байқасаңыз, онда ол 39 немесе 13шығады.
Біз қазірдің өзінде белгілі формула бойынша есептейміз және жеткізушіге қажетті есікті қағу мүмкіндігі (12) - ге дейін өсті деп санаймыз. Сонымен, егер жеткізуші басқа есікпен қателессе, онда үшінші рет ықтималдық 1 немесе 100% болады.
Ықтималдық және тәуелсіз оқиғалар.
Бұл жағдайда қалаған ықтималдық оқиғалардың қолайлы нәтижесіне байланысты емес және, тиісінше, оқиғалар бір-біріне әсер етпейді.
Ықтималдықтың бұл түрі шешімдер монетаның көмегімен қабылданған кезде алынады. Яғни, "бүркітке" түсіп кету мүмкіндігі 50% немесе (12) - ге тең.
Егер лақтыру бірнеше рет қатарынан болса, онда "бүркіт" тағы бір рет құлап кету ықтималдығы төмендейді. Бұл бірізділік ықтималдығы шайқасқа түсетіндіктен болады. Яғни, сіз бір рет лақтырған кезде екі нұсқа бар: "бүркіт" немесе "құйрық" немесе(12), біз айтқандай. Бірақ егер сіз қатарынан 5 рет лақтырсаңыз, онда әлдеқайда көп нұсқалар бар және түсу мүмкіндігі бар: "бүркіт", "бүркіт", "бүркіт", "бүркіт" -- кішкентай. Ол келесідей есептеледі: (12) * (12) * (12) * (12) = 110.
Шартты ықтималдықтар қандай да бір оқиғаның пайда болу мүмкіндігі қандай да бір жағдайға байланысты болған кезде пайда болады. Бұл ауа-райы туралы мәселе туындаған кезде өте айқын көрінеді:
Сыртта күнді көргенде жаңбыр жаууы мүмкін бе?
Мұнда белгілі бір жағдайлар естілсекөрінсе, ықтималдығы үлкеназ болады.
Ықтималдық теориясы, егер қарапайым тілде болса, әрқашан жағдай, сенім, теория, шарт және нәтиже болуын талап етеді. Бұл біздің өміріміздің барлық саласында бар, бірақ сонымен бірге оны өз өмірінде қолдану әрқашан біз күткендей бола бермейді.[7]
0.2 Кездейсоқ шамалар ұғымы және оның сандық сипаттамалары

Кездейсоқ шама дегеніміз - мәні кездейсоқ эксперименттердің нәтижесімен анықталатын айнымалы.Жалпы жағдайда эксперименттің әр нәтижесін ассоциация ережесін сүйене отырып, санмен байланыстыруға болады.Санды үлгінің кеңістігінің әр нүктесімен (элементтермен) байланыстыру - бұл "үлгіні кеңістіктің нүктелерімен жоғары функциясын анықтау"деп аталатын әдіс.Егер S таңдау кеңістігіндегі ықтималдық өлшемі деп алсақ, ал Х-нақтыS элементтерінде анықталған функция болсын. Содан кейін, X кездейсоқ шама деп қарастырамыз.Яғни, Х кездейсоқ шамасы функция болып табылады A:X=f(A) болса, онда А ϵ S.X-тің мәні A-да эксперимент нәтижесі қарапайым оқиға болуынабайланысты.
1-мысал. Екі доп кезекпен таңдап алынсын. Қорапта төрт доп бар. Бір қызыл және үш қара доп. Біз Х кездейсоқ шамасының элементтерін тізімдеп және тиісті X мәндер шамасын ала отырып, жалпы қызыл шарлар санын таңдап аламыз.
2-мысал.Автокөлікке қатысты мысал қарастырайық:
Үлкен Аккра тіркеу нөмірлі (GR немесе GT) таңдаймыз және кездейсоқ Х мәнін анықтаймыз. X=1 болады, егер таңдалған автомобиль үлкен Аккра тіркеу нөмірлі болады. X=0 болады, егер таңдалған автомобиль кішкентай Аккра тіркеу нөмірлері болады. Яғни, егер автомобильде GT 5246 B тіркеу нөмірі болса, онда:
X (GT 5246 B) = 1
X (CR 9134 Q) = 0
X (WR 2376 D) = 0
X(GT 4801 W) = 1
Кездейсоқ шамалар әдетте мәндерінің санына сәйкес жіктеледі. Екі түбегейлі әр түрлі кездейсоқ шамалар дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалар болып екіге бөлінеді.
Дискретті кездейсоқ шама - өз мәндерін тек қана оқшауланған нүктелерде қабылдайтын шама.
Үздіксіз кездейсоқ шама - эксперимент басталғанға дейін мүмкін болатын шама. Кейбір жағдайларда, кез-келген интервал немесе үздіксіз интервал арасындағы сандарды қабылдайды.[8]
Дискретті кездейсоқ шамалар
Анықтама: X айнымалысы эксперимент кезінде х1,х2, ... ,хкшексіз реттілікпен бір мәнді алады. Егер хкәрбір мәнінде Рк айнымалысының белгілі бір ықтималдығыхк-ке тең мәнін қабылдаған жағдайда, хкдискретті кездейсоқ шама болады.
Яғни, дискретті кездейсоқ шама тек өз мәндерін қабылдайтын айнымалы оқшауланған нүктелерде болады.
Егер X дискретті кездейсоқ шама болса, әрбір x үшін fx= P (X=x)берілген функцияX ықтималдықтар диапазонында тарату болып табылады.
Теорема: дискретті кездейсоқх шамалары және оның f (x) мәндері қанағаттандырылған кезде ғана келесі шарттар функция бөлу ретінде қызмет ете алады:
1. f (x)=0әрбір мән үшін.
2. хf (x)=1жинақтау оның аймағындағы барлық мәндерге қайта таралады.
3-мысал.Төмендегіқызмет ету функцияларының дискретті кездейсоқ шамалардың ықтималдығын бөлу арқылы мүмкін екенін тексереміз:
1. fx=x15 x= 0,1,2,3,4,5
2. gx=x-22x= 1,2,3,4
3. hx=x225x=0,1,2,3,4
4. vx=14x=0,1,2,4

Дискреттіықтималдықты бөлу.
Арасындағы Рк функционалдық байланыстың ықтималдығы, Хк кездейсоқ шамалар X кездейсоқ шамасының бөлу заңы деп аталады.

X мәндері
Х1
Х2
... ...
... .
... ..
Хк
Ықтималдығы
Р1
Р2
... ...
... ...
... ...
Рк
1-кесте.
4-мысал.Оқиғаның басталу ықтималдығы A шексіз сынақ тізбегінің әрқайсысында P болсын. Кездейсоқ Х мәні орын алған А сынақ нөмірі X бөлу заңын табамыз. Бөлу заңы да болуы мүмкін графикалық түрде ұсынылған ықтималдылықты бөлу көпбұрышы немесе көпбұрыш жиіліктер. Кездейсоқ шаманың Хі мәні, ең жоғары ықтималдығы бар деп аталады.
Бөлу заңының ең көп таралған нысаны бөлу функциясы.
Біз x қабылдау ықтималдығын жазамыз. x-тен кіші немесе оған тең мән, және біз осы Fx=P(X = x) функциясына сілтеме жасаймыз. Функция ретінде барлық нақты x сандары үшін X анықталған бөлу немесе кумулятивтік тарату болып табылады.
Егер x дискретті кездейсоқ шама болса, онда берілген функция:
Fx=PX =x=t=xf(t) егер -infinityxinfinity
бөлу функциясы немесе X кумулятивтік үлестіру, ал f (t) - t кезінде x ықтималдылықтың таралу мәні.
Кез-келген кездейсоқ шамалар үшін бөлу функциясы келесі қасиеттерге ие:
1. F-infinity=0және Finfinity=1
2. Егер ab болса, онда f(a)=f(b)кез-келген нақты сандар үшін aжәне b шекті болып табылады.
5-мысал.Теңдестірілген монетаның үш орамында алынған жалпы санын кумулятивті бөлу функциясынмен табыңыз.
Сандық сипаттамалары бар дискретті кездейсоқ шамалар. Кез-келген кездейсоқ x шама мәніне байланысты параметрлер немесе тұрақтылары бар зерттелетін бүкіл популяциядағы кездейсоқ шаманы сипаттаңыз.Олардың ішіндегі ең көп тарағандары (u), дисперсия , ( σ2) және стандартты ауытқу (σ). Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі
Анықтама: математикалық күту (немесе жай күту) кездейсоқ X шаманың немесе E[x] бұл Ex кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің көбейтіндісінің қосындысы, осы айнымалылардың ықтималдылығы.
Осылайша:
E[X]=x1P1+x2P2+ ... .+xnPn
Немесе осыны ықшамдап:
E[X]=k=1nxkPk

Онда:
k=1nPk=1

Дисперсия және Стандарт. Дискретті кездейсоқ ауытқу.
Анықтама: V[x] немесе σ2 деп белгіленген кездейсоқ шаманың дисперсиясы X және оның күтуі арасындағы айырмашылық алаңын күту болып табылады.
Математикалық тұрғыдан кездейсоқ шаманың дисперсиясы келесідей анықталады:

V[X]= E[(X-Ex)2]Pk= E[X2]- (E[X])2=k=1i(X-Ex)2Pk

Анықтама:σ көрсетілген кездейсоқ x шамасының стандартты ауытқуы немесе стандартты ауытқуы оның дисперсиясының квадрат түбірі болып табылады.
Математикалық түрде жазамыз
σ=k=1i(Xk-Ex)2Pk

6-мысал: кездейсоқ мән келесі кестеде көрсетеміз:
Х
2
3
4
Pk
0.3
0.4
0.3

Анықтау
1. Күту
2. Дисперсия
3. Стандартты ауытқу
Үздіксіз кездейсоқ шамалар
Анықтама. Үздіксіз кездейсоқ шама - бұл нақты сандардың белгілі бір интервалында кез-келген мәнді қабылдай алатын және кез-келген нақты мәнді қабылдай алатын ықтималдық нөлге тең шама.
Ықтималдылықтың таралуын f(x) функционалды белгісімен белгілейміз.
Анықтама: f(x) функциясы-нақты сандар жиынынан жоғары анықталған x кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығының функциясы бола алады, егер:
P(a= x= b) =аbf (x)dx
f(x) p. d. f болуы үшін ол екі шартты қанағаттандыруы керек:
1. f (x) = 0

2. -infinityinfinityf (x)dx = 1
Яғни, бүкіл графиктің ауданы 1-ге тең
8- мысал.Егер кездейсоқ шамада p. d. f болса
fx=2e-2x, x00, x=0
оның мәнін қабылдау ықтималдығын табыңыз
а) 1-ден 3-ке дейін
(b) 0,5-тен астам
Дискретті жағдайдағыдай, біз P.d.f F (x) бар кездейсоқ шаманың x-тен аз немесе оған тең болатындығын f (x) деп жазамыз және тиісті F (x) функциясына бөлу функциясы немесе кездейсоқ шаманың кумулятивтік таралуы ретінде сілтеме жасаймыз.
Анықтама: егер x үздіксіз кездейсоқ шама болса және оның P.D.F мәні t f (t) болса, онда берілген функция:
F(x)= P(X = x)= -infinityxf(t)dt
Болса, үлестіру немесе X кумулятивтік үлестіруфункциясы деп аталады.

7- мысал.Егер кездейсоқ шамада p. d. f болса,
fx=2e-2x, x00, x=0
F(x) табыңыз, содан соң P(X=1) - ті бағалаңыз.
8-мысал.Функцияны қарастырыңыз
fx=13x2, -1 x20,
1. Бұл функция P.d.f анықтайтынына көз жеткіземіз.
2. P(-1x=1)аралығында табамыз.
3. P(x=1) аралығында fx табамыз.
4. (2) және (3) жауаптарын бағалаймыз.
Үздіксіз кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары
Анықтама: ықтималдық тығыздығы бар f (x) функциясы үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күту E(x) немесе u x-тен берілген:
Ex=-infinityinfinityxf(x)dx
Анықтама: F(x) ықтималдық тығыздығы функциясы жәнеσ2 орташа мәні бар x үздіксіз кездейсоқ шаманың u дисперсиясы берілген..
σ2=-infinityinfinityx-μ2fxdx=E[x-μ) 2=E[(x2)]-(E[x])2
Анықтама:үздіксіз кездейсоқ шаманың стандартты ауытқуы-оның дисперсиясының квадрат түбіріне тең.
Сайлау ұйымы облигациялардың белгілі бір шығарылымын ұнататын барлық сайлаушылардың үлесін бағалау үшін 1200 сайлаушыдан жауап алды делік. Сауалнамаға қатысқан 1200 сайлаушының үлесі барлық сайлаушылардың үлесіне жақын болады деп күткен едік, бірақ бұл дұрыс болмауы керек. Сауалнама нәтижесімен байланысты белгілі бір дәрежеде кездейсоқтық бар. Егер сауалнама нәтижелері жоғары ықтималдықпен шынайы пропорцияға жақын болса, онда бізде сауалнама нәтижелеріне сенім бар. Егер ол әсіресе халықтың үлесіне жақын болмаса, онда біз сауалнама нәтижелерін тым байыпты қабылдамауымыз мүмкін. Сауалнамаға қатысқандардың үлесі халықтың үлесіне жақын болу ықтималдығы сауалнама нәтижелеріне деген сенімділігімізді анықтайды. Осы себепті біз бұл ықтималдылықты есептей алғымыз келеді. Оны есептеу міндеті осы тарауда біз зерттейтін ықтималдық аймағына қатысты.
Кәдімгі алтыбұрышты дөңгелектеу кездейсоқ эксперименттің таныс мысалы болып табылады, ол үшін барлық мүмкін нәтижелерді тізімдеуге болады, бірақ кез-келген эксперименттің нақты нәтижесін сеніммен болжау мүмкін емес. Мұндай жағдайда біз әр нәтижеге, мысалы, екі нәтижеге, нәтиженің ықтималдығы деп аталатын санды тағайындағымыз келеді, бұл нәтиженің қаншалықты мүмкін болатындығын көрсетеді. Сол сияқты, біз кез-келген оқиғаға немесе нәтижелер жиынтығына ықтималдылықты тағайындағымыз келеді, мысалы, егер эксперимент жүргізілсе, оқиғаның қаншалықты мүмкін болатындығын көрсететін жұп санды шығару. Бұл бөлім жоғарыда аталған терминдерді қолдана отырып, ықтималдық мәселелерін талқылауға негіз береді.[9]
Анықтама. Кездейсоқ шама - бұл белгілі бір нәтижеге әкелетін механизм, оны сенімді түрде болжау мүмкін емес. Кездейсоқ экспериментке байланысты үлгі кеңістігі барлық мүмкін нәтижелер жиынтығы болып табылады. Оқиға-бұл іріктеу кеңістігінің ішкі жиынтығы.
Егер байқалған нәтиже Е жиынының элементі болса, Е оқиғасы эксперименттің белгілі бір сынағында орын алады деп саналады.
1-мысал.Бір монетаны лақтырудан тұратын эксперимент үшін үлгі кеңістігін жасаңыз.
Шешім: Нәтижелерді бүркіт үшін h және құйрық үшін t деп атауға болады. Содан кейін үлгі кеңістігі S={H,t} жиынтығы.
2-мысал.Бір мөрді илемдеуден тұратын эксперимент үшін үлгі кеңістігін жасаңыз. Табыңыз оқиғалар, тиісті фразам "домалап барады четное число" және "домалап барады саны екі"."
Шешім: Нәтижелер матрицаның жоғарғы бетіндегі нүктелер санына сәйкес белгіленуі мүмкін. Содан кейін үлгі кеңістігі s={1,2,3,4,5,6} жиынтығы болып табылады.
Жұп нәтижелер 2, 4 және 6 - ға тең, сондықтан "жұп сан айналады" деген тіркеске сәйкес келетін оқиға {2,4,6} жиынтығы болып табылады, оны E әрпімен белгілеу табиғи.
Сол сияқты, "екіден Үлкен сан" тіркесіне сәйкес келетін оқиға - бұл t={3,4,5,6} жиынтығы, біз оны t деп белгіледік.
Үлгі кеңістігі мен оқиғалардың графикалық көрінісі суретте көрсетілгендей Венн диаграммасы болып табылады. 3.1" 1-мысал "3.6-ескертпесі және" 2-мысал "3.7-ескертпесі үшін"іріктеменің екі кеңістігі үшін Венн диаграммалары". Жалпы жағдайда s үлгісінің кеңістігі тіктөртбұрышпен, нәтижелері тіктөртбұрыштың ішіндегі нүктелермен, ал оқиғалар оларды құрайтын нәтижелерді қамтитын аналық бездермен ұсынылған.

Сурет. 3.1 екі үлгі кеңістігі үшін Венн диаграммалары

3-мысал.Кездейсоқ эксперимент екі тиынды лақтырудан тұрады.
Монеталарды екі жаңа пенни сияқты ажыратуға болмайтын жағдай үшін үлгі кеңістігін жасаңыз. Монеталар бір тиынға, ал екіншісі никельге ұқсамайтын жағдайға үлгі кеңістігін жасаңыз.
Шешім:Монеталар лақтырылғаннан кейін, 2h таңбалауға болатын екі бас, 2T таңбалауға болатын екі құйрық немесе d таңбалауға болатын әр түрлі монеталар бар.
Монеталарды бір-бірінен ажырата алатындықтан, монеталарды ажыратудың екі әдісі бар: Пенни бастары мен никель құйрықтары немесе Пенни құйрықтары мен никель бастары. Біз әр нәтижені екі әріппен белгілей аламыз, олардың біріншісі Пеннидің қалай қонғанын, ал екіншісі никельдің қалай қонғанын көрсетеді. Содан кейін үлгі кеңістігі S'={һһ,ht,th,tt}.
Кездейсоқ эксперименттің барлық мүмкін нәтижелерін анықтауға пайдалы болуы мүмкін, әсіресе кезең - кезеңмен қарастыруға болатын құрылғы-бұл ағаш диаграммасы деп аталады. Бұл келесі мысалда сипатталған.
4-мысал.Үш баласы бар барлық отбасыларды туу тәртібіне сәйкес балалардың жынысына сәйкес сипаттайтын таңдау кеңістігін құрыңыз.
Шешім: Екі нәтиже - bbg-ді білдіретін "екі ұл, содан кейін қыз" және gbb-ді білдіретін "қыз, содан кейін екі ұл". Әрине, көптеген нәтижелер бар, және біз олардың барлығын тізімдеуге тырысқанда, егер біз жүйелі түрде әрекет етпесек, олардың барлығын тапқанымызға сенімді болу қиын болуы мүмкін. Суретте көрсетілген ағаш диаграммасы. 3.2" үш баласы бар отбасыларға арналған ағаш диаграммасы " жүйелі тәсіл ұсынады.

Сурет 3.2. Үш баласы бар отбасыларға арналған ағаш диаграммасы

Схема келесідей жасалды. Бірінші балаға, ұлға немесе қызға екі мүмкіндік бар, сондықтан біз бастапқы нүктеден шығатын екі сызықты сызамыз, олардың біреуі "ұлға" арналған в әрпімен, ал екіншісі "қызға"арналған g әрпімен аяқталады."Бірінші бала үшін осы екі мүмкіндіктің әрқайсысы үшін екінші балаға," ұлға "немесе" қызға " екі мүмкіндік бар, сондықтан В және Г-ның әрқайсысынан біз екі сызық кесіндісін тартамыз, бір сегмент В-да және біреуі g-де аяқталады. диаграммадағы төрт соңғы нүктенің әрқайсысы үшін қазір үшінші бала үшін екі мүмкіндік бар, сондықтан біз процесті тағы бір рет қайталаймыз.
Сызық сегменттері ағаш бұтақтары деп аталады. Әр тармақтың оң жақ соңғы нүктесі түйін деп аталады. Оң жақ бұрыштағы түйіндер соңғы түйіндер болып табылады; суретте көрсетілгендей олардың әрқайсысы нәтижеге сәйкес келеді.
Ағаштан тәжірибенің сегіз нәтижесін оқу оңай, сондықтан үлгінің кеңістігі-бұл ағаштағы соңғы түйіндерді жоғарыдан төменге қарай оқу,
S={bbb,bbg,bgb,bgg,gbb,gbg,ggb,ggg}

Ықтималдық анықтамасы
Үлгі кеңістігіндегі e нәтижесінің ықтималдығы S-0 мен 1 арасындағы p саны, ол тиісті кездейсоқ эксперименттің бір сынағында e болу ықтималдығын өлшейді. P = 0 мәні e нәтижесінің мүмкін еместігіне сәйкес келеді, ал p = 1 мәні e нәтижесінің сенімділігіне сәйкес келеді.
Анықтама.А оқиғасының ықтималдығы - бұл оның құрамына кіретін жеке нәтижелердің ықтималдығының қосындысы. Ол P(A) деп белгіленеді.
Келесі формула оқиғаның ықтималдығын анықтау мазмұнын білдіреді:
Егер Е оқиғасы E={e1, e2, ..., ek} болса, содан кейін
P(E)=P(e1) + P(e2) + ...+P(ek)
Сурет. 3.3"таңдамалы кеңістіктер және ықтималдық" анықтамалары графикалық түрде суреттелген.

Сурет. 3.3 үлгі кеңістігі және ықтималдық

Барлық s үлгі кеңістігі міндетті түрде болатын оқиға болғандықтан, барлық нәтижелердің ықтималдық қосындысы 1 саны болуы керек.
Кәдімгі тілде ықтималдықтар көбінесе пайызбен көрсетіледі. Мысалы, біз ертең жаңбырдың ықтималдығы 70% құрайды деп айтамыз, яғни жаңбырдың ықтималдығы 0,70 құрайды. Біз бұл тәжірибені осы жерде қолданамыз, бірақ барлық кейінгі есептеу формулаларында 70% емес, 0.70 нысанын қолданамыз.
5-мысал. Монета "теңдестірілген" немесе "әділ" деп аталады, егер әр тарап бірдей ықтималдылықпен қонса. Эксперимент үшін үлгі кеңістігіндегі әр нәтижеге ықтималдылықты тағайындаңыз, ол бір адал монетаны лақтырудан тұрады.
Шешім:Бүркіт үшін h және құйрық үшін t деп белгіленген нәтижелермен үлгінің кеңістігі S={H,t} жиынтығы болып табылады. Нәтижелер 1-ге дейін жиналуы керек бірдей ықтималдылыққа ие болғандықтан, әр нәтижеге 12 ықтималдығы беріледі.
6-мысал.Егер екі жағы бірдей ықтималдылықпен жоғарыдан қонса, текше "теңдестірілген" немесе "әділ" деп аталады. Эксперимент үшін үлгі кеңістігіндегі әр нәтижеге ықтималдылықты тағайындаңыз, ол бір адал текшені лақтырудан тұрады. E оқиғаларының ықтималдығын табыңыз: "жұп сан айналады "және T:" екіден Үлкен сан айналады."
Шешім:Матрицаның жоғарғы бетіндегі нүктелер санына сәйкес белгіленген нәтижелермен іріктеу кеңістігі s={1,2,3,4,5,6} жиынтығы болып табылады. 1 болуы керек алты бірдей нәтиже болғандықтан, әрқайсысына 16 ықтималдығы беріледі.
Себебі E={2,4,6}, P (E)=1∕6+1∕6+1∕6=3∕6=1∕2.
Себебі T = {3,4,5,6}, P (T)=4∕6=2∕3.
7-мысал.Екі адал монета лақтырылады. Монеталардың сәйкес келу ықтималдығын табыңыз, яғни жердің екі басы да, жердің екі құйрығы да.
Шешім: "3-мысал" жазбасында біз монеталар бірдей болатын жағдай үшін S={2h,2T,D} және екі монетаны ажыратуға болатын жағдай үшін S'={HH,ht,th,TT} үлгі кеңістігін салдық.
Ықтималдық теориясы нәтижелерге ықтималдылықты қалай тағайындау керектігін, олар тағайындалған кезде олармен не істеу керектігін айтпайды. Атап айтқанда, s үлгі кеңістігін қолдана отырып,сәйкес келетін монеталар-бұл P(2h)+P(2t) ықтималдығы бар m={2h, 2t} оқиғасы. S 'таңдау кеңістігін қолдана отырып,сәйкес келетін монеталар-бұл P(hh)+P(tt) ықтималдығы бар m'={HH, TT} оқиғасы. Физикалық әлемде монеталардың бірдей немесе бірдей емес екендігі маңызды емес, сондықтан біз P(M) және P(M') сандары бірдей және нақты физикалық тәжірибелер әділ болып көрінетін монеталармен жүргізілген кезде байқағанымызға сәйкес келетін нәтижелерге ықтималдық бергіміз келеді. Нақты тәжірибе көрсеткендей, s ' нәтижелері бірдей ықтимал, сондықтан біз әр ықтималдылықты 1∕4, содан кейін тағайындаймыз
P(M')=P(hh)+P(tt)=14+14=12
Сол сияқты, тәжірибеге сүйене отырып, s нәтижелері үшін тиісті нұсқалар:
P(2h)=14 P(2t)=14 P(d)=12
олар бірдей нақты жауап береді
P(M)=P(2h)+P(2t)=14+14=12
Алдыңғы үш мысал іріктеу кеңістігі бірдей ықтимал нәтижелердің соңғы санынан тұратын кезде ықтималдылықты қарапайым есептеу арқылы қалай есептеуге болатындығын көрсетеді. Кейбір жағдайларда экспериментті білдіретін кез-келген үлгі кеңістігінің жеке нәтижелері сөзсіз біркелкі емес, және бұл жағдайда ықтималдылықты санау арқылы есептеу мүмкін емес, бірақ оқиғаның ықтималдығын анықтауда берілген есептеу формуласын қолдану керек.
8-мысал.Жергілікті орта мектепте оқушылардың нәсілі мен ұлты бойынша таралуы 51% ақ, 27% қара, 11% латындар, 6% азиялықтар және 5% басқалар үшін. Оқушы Осы орта мектептен кездейсоқ таңдалады. ("Кездейсоқ" таңдау әр оқушының таңдалу мүмкіндігі бірдей екенін білдіреді.) Келесі оқиғалардың ықтималдығын табыңыз:
Б: студент қара,
М: студент-азшылық (яғни, АҚ емес),
Н.: Студент қара емес.
Шешім:
Эксперимент-бұл орта мектеп оқушыларының арасынан оқушыны кездейсоқ таңдау әрекеті. Үлгінің айқын кеңістігі-S = {W, b,h,a, o}. Студенттердің 51% - ы АҚ болғандықтан және барлық студенттердің таңдалу мүмкіндігі бірдей болғандықтан, P(w)=0,51 және басқа нәтижелерге ұқсас. Бұл ақпарат келесі кестеде келтірілген:

Нәтиже
w b h a o
Ықтималдық
0.51 0.27 0.11 0.06 0.05

B = {b} болғандықтан, P (B) = P (b) = 0,27.
M = {b, h, a, o} болғандықтан, P (M) = P (b) + P (h) + P (a) + P (o) = 0.27 + 0.11 + 0.06 + 0.05 = 0.49
N = {w, h, a, o} болғандықтан, P (N) = P (w) + P (h) + P (a) + P (o) = 0.51 + 0.11 + 0.06 + 0.05 = 0.73
9-мысал. Алдыңғы ескертуінде қарастырылған орта мектептегі студенттер қауымдастығы 8-мысал он санатқа бөлінуі мүмкін: 25% ақ ер, 26% ақ әйел, 12% қара ер, 15% қара әйелдер, 6% испандық ерлер, 5% испандық әйелдер, 3% азиялық ерлер, 3% азиялық әйелдер, 1% басқа азшылықтардың еркектері және 4% басқа азшылықтардың әйелдері. Студент осы орта мектептен кездейсоқ таңдалады. Келесі оқиғалардың ықтималдығын табыңыз:
B: студент қара,
MF: студент азшылық әйелдер,
FN: студент әйел, қара нәсілді емес.
Шешім:
Енді үлгі кеңістігі S = {wm, bm, hm, am, om, wf, bf, hf, af, of} құрайды. Мысалда келтірілген ақпаратты екі жақты төтенше жағдай кестесі деп аталатын келесі кестеде келтіруге болады:

Жыныс
Нәсіл этнос

Ақ
қара
испандық
азиялықтар
өзгелер
Ер
0,25
0,12
0,06
0,03
0,01
Әйел
0,26
0,15
0,05
0,03
0,04

B = {bm, bf} болғандықтан, P (B) = P (bm) + P (bf) = 0,12 + 0,15 = 0,27.
MF = {bf, hf, af, of} болғандықтан, P (M) = P (bf) + P (hf) + P (af) + P (of) = 0.15 + 0.05 + 0.03 + 0.04 = 0.27
FN = {wf, hf, af, of} болғандықтан, P (FN) = P (wf) + P (hf) + P (af) + P (of) = 0,26 + 0,05 + 0,03 + 0,04 = 0,38

Математика тек формулалар мен идеялар ғана емес. Ол қазіргі заманғы өмірде қолдану облыстарын табады. Ол медицинаға дейін немесе табиғатты қорғаудан қаржыға дейін бізді қоршаған әлем инженериясына математикалық модельдеу айтарлықтай үлес қосады.
Сіз балалық шақта ойнаған пойыздың моделін қарастырыңыз. Моделі бұл нақты пойыздың жеңілдетілуін білдіреді (ол кішірек, адам жоқ жүргізуші және т. б.), бірақ оның жалпы қасиеттері бар (ол рельстерде жұмыс істейді, ол электрмен қоректене алады және ұқсас пішінге ие болуы мүмкін).
Пойызбен ойнау арқылы сіз пойыздар туралы барлық фактілерді біле аласыз: олар көтеріле алатын беткейлер: вагондардың саны жылдамдыққа қалай әсер етеді, рельстен шығу немесе апаттың салдары қандай болуы мүмкін.
Сол сияқты, егер біз нақты математикалық модель жасасақ әлемдік жағдай, біз нақты жағдайды талдау арқылы математикалық моделін біле аламыз. Біз нақты мәселелерді де нақты өмірде тест құруға байланысты шығындар немесе қауіптер жоқ деп шеше аламыз.[10]
Математикалық модель- бұл әлемдегі нақты жағдайды жеңілдету. Оны нақты мәселені болжау үшін пайдалануға болады. Осы модельдің көмегімен жағдайды жақсы түсінуге болады. Модель Нақты жағдайдың кейбір, бірақ барлық ерекшеліктерін ескеруге бағытталған. Белгілі бір болжамдар және бұл модель барлық ерекшеліктерді көрсетпейтінін білдіруі мүмкін нақты жағдай қажет. Математикалық модельдер пайдалы, себебі:
oo олар тез және оңай жасалады;
oo олар қиын жағдайды жеңілдетуі мүмкін;
oo олар бізге нақты әлем туралы түсінігімізді жақсартуға көмектеседі, өйткені кейбір айнымалылар өзгерту оңай;
oo олар сізге болжам жасауға мүмкіндік береді;
oo олар бақылауды қамтамасыз етуге көмектеседі.
Математикалық модельдерге кейде сақтықпен қарау керек, өйткені:
oo модель нақты мәселені жеңілдету болып табылады және барлық мәселелері аспектілерді қамтымайды;
oo модель белгілі бір жағдайларда ғана жұмыс істей алады.
Мысал ретінде мына жағдайға назар аударайық. Фермер тауық етін сатып алғысы келеді. Ол аптасына қанша жұмыртқа салынады деп сұрайды. Сатушыда ол қолдана алатын үш шара бар. Ол ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.