Үздіксіз кездейсоқ шамалар

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 33 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ . . .

КІРІСПЕ. . .:

Орта мектеп математика курсындағы ықтималдық теориясының элементтері

КІРІСПЕ. . .: 1. 1 Ықтималдық теориясының негізгі ұғымдары: оқиға және кездейсоқ шамалар ұғымы . . .

3: 5

КІРІСПЕ. . .:

Математикалық статистиканың элементтері

КІРІСПЕ. . .: 2. 1 Орта мектепте ықтималдық-статистикалық білім берудің қажеттілігі мен қазіргі оқытылу жағдайы . . .

3: 23

КІРІСПЕ. . .:

3. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтерін онлайн оқытудың ерекшеліктері

3. 1 Жалпы білім беретін мектептер мен лицейлерде онлайн оқытылу мүмкіндіктері . . .

3: 26

КІРІСПЕ. . .: Қорытынды . . .

3: 31

КІРІСПЕ. . .: Қолданылған әдебиеттер тізімі . . .

3: 34

Кіріспе

Жұмыстың жалпы сипаттамасы.

Мектеп математика курсында ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтерін оқытудың кейбір ерекшеліктері бар. Бір жағынан, бұл жеткілікті үлкен және күрделі процесс, кейде мектеп жасына назар аудармай, одан да көп саналы кезеңде сіңіру қиын, алайда қазіргі уақытта ешкімбұл пәнді жоғары оқу орнына дейінгі курстарға қосу қажеттілігіне күмәнданбайды, себебі ол балаға қосымша білім беруде ғана емес, жалпы өмірде пайдалы болатын бірнеше дағдыларды дамытуға көмектеседі. Біз оқушыларға әртүрлі ықтималдықтарды ескере отырып ойлауға үйретуіміз керек. Яғни, оларды ақпаратты алуға, талдауға және өңдеуге үйретіп, күтпеген нәтижелермен әртүрлі жағдайларда санаулы, салмақты әрекеттер жасай білуіміз керек. Барлық осы сұрақтар «ықтималдық» және «ақиқат» ұғымдарын салыстырумен байланысты, әрекеттердің бірнеше нұсқаларын дәл таңдауға, табыстың және сәтсіздіктің ықтималдығын бағалауға, ойындарда және нақты өмір жағдайында жақсылық пен жамандық идеясын таңдауға қиындық тудырады - бұның бәрі, әрине, жасөспірімдердің шынайы және қажетті қызығушылықтарының айналасында табылады.

Мектеп бағдарламасына оқушыларды қоршаған болмыстың көптеген құбылыстардың ықтималдық табиғатымен таныстыруға бағдарланған ықтималдық-статистикалық бағыттың енгізілуі бағдарламаның жалпы мәдениеттік потенциалын арттыруға, жаңа терең негізделген пәнаралық байланыстардың пайда болуына, мектептегі математикалық білім беруді гуманитандыруға жәрдемдеседі.

Оқылатын стохастикалық құбылыстың сипатын түсіну негізгі ұғымды бөліп алу біліктілігіне, кестелерді, диаграммаларды, графиктерді қарастыру кезінде олардың ерекшеліктері мен өзгеру жағдайларын түсіне білуге байланысты. Кестелер мен графиктерді «оқудың» қарапайым дағдылары бақыланатын құбылыстардың кейбір заңдылықтарын аңғаруға, статистикалық берілгендердің бейнелеу түрлерінен әрі құбылыстардың нақтылы қасиеттерін оларға тән ерекшеліктер мен себептік байланыстармен қоса көре білуге мүмкіндік береді. [1]

Бүгінде мектептерде балалар үшін сапалы, жан-жақты білім алу үшін барлық жағдай жасалған. Қашықтықтан оқыту- бұл жаңа құбылыс емес. Біреу үшін бұл мәжбүрлі шара (денсаулыққа байланысты), біреу балаға осындай шешім қабылдады. Интернет-платформалар, оқу сайттары, YouTube арналарындағы бейнелер және т. б. бұрыннан құрылған және енгізілген. Қазіргі студенттер мен оқушылар оларды бірнеше жылдан бері мезгіл-мезгіл қолданып келеді. Дәл қазір сұраныстың артуы байқалды.

Қашықтықтан оқыту - білім алушының өз бетінше білім алу принципіне негізделген білім беру процесінің жаңа түрі. Оқу ортасы оқушылардың негізінен, және жиі, мүлдем, оқытушыдан кеңістікте немесе уақытта алыстығымен сипатталады, сонымен бірге олар кез келген уақытта телекоммуникация құралдарының көмегімен диалог жүргізе алады. Қашықтықтан оқыту - бұл дербес компьютерлерді, бейне және аудиотехниканы, ғарыштық және оптикалық-талшықты техниканы пайдалануға негізделген ақпараттық технологияларды қолдануды қамтамасыз ететін сырттай оқытудың жаңа сатысы. [2]

1-тарау. Орта мектеп математика курсындағы ықтималдық теориясының элементтері

Жалпы білім беретін мектептің 10 сыныптарға арналған матеметикасында кездейсоқ оқиғаның түрлерімен, атап айтақанда, үйлесімсіз оқиғалар мен үйлесімді оқиғалар, тең мүмкіндікті, мүмкін болатын, тәуелсіз және тәуелді оқиғалармен танысып, олардың ықтималдылдығы қандай деген сұрақты қарастырады. Өзгеше айтқанда, кездейсоқ оқиғамен- тәжірибе нәтижесінде пайда болатын оқиғалардың сапалық сипаттамасымен жұмыс жасалынды. Ал, 11 сыныптарда сандық сипаттамалы оқиғалармен танысады. Сандық деп аталғандықтан оқиғаны қандай да бір сандық шама сипаттауы керек. Мысал ретінде, тәуліктің ұзақтығын алсақ ол оның сандық сипаттамасы болады. Бір тәулік ішінде 24 сағаттың бар екені анық, Оны біз тұрақты шама ретінде ала аламыз. Ал адамның жұмыс жасайтын уақытын осы бір тәулік ішінде алсақ, ол өзгеріп кездейсоқ шамаға айналады. [5]

Ықтималдық теориясының негізгі ұғымдары: оқиға және кездейсоқ шамалар ұғымы

Жаңа терминдер: дискретті кездейсоқ шама, кездейсоқ шамаларды қосу, кездейсоқ шама, үзіліссіз кездейсоқ шама, кездейсоқ шамаларды көбейту.

Қарапайым тілде Ықтималдық теориясы - кездейсоқ оқиғалардағы заңдылықтарды іздейтін математиканың ерекше бөлімі. Математика - бұл сандардың нақты ғылымы, сондықтан кездейсоқ оқиғаның нәтижесін есептеуге дәлірек мүмкіндік береді.

Әрбір адам кем дегенде ықтималдық теориясының негіздерін білуі керек. Біздіңтұрақсыз әлем кездейсоқтық пен ықтималдықтансалынды. Сондықтан дұрыс дүниетанымды дамыту үшін, кем дегенде, не және қалай болуы мүмкін екенін түсіну керек.

Табиғаты бойынша адамдар кездейсоқтықты қатты ұнатпайды. Көптеген адамдар тұрақтылықты, әділеттілікті, сенімділікті және болып жатқанның бәрін түсіндіруді қалайды. Мысалы, ерте заманда, адамдар соншалықты технологиялық жағынан хабардар болмады, сондықтан көп нәрсе өзгерістердің қабілетті емес болды да ырымдармен түсіндіру дүниеге келді. Және олардың сәйкестік үлгісін нығайтты, бұл "қара мысықпен" байланысты болды. Адамдар жай ғана қиыншылықтар мен жолды кесіп өткен қара мысық арасындағы жиілік байланыстарын байқай бастады.

Егер қарапайым тілде болса, онда ықтималдық теориясы біздің бүкіл өмірімізді және айналамыздағы әлемді зерттейді:

оқиғалардың кездейсоқтығы;
шамалардың кездейсоқтығы;
кездейсоқ процестер;
меншік және осы апаттарды бақылау мүмкіндігі.

Ықтималдық теориясындағы негізгі сөз - "ықтималдық"сөзінің өзі. Адамдар бұл сөзді қарапайым өмірде жиі қолданады, тіпті оған назар аудармай-ақ қояды:

"Кешке жаңбыр жаууы мүмкін»;
"Демалыс күндері мен жұмыс істейтін шығармын»;
"Керемет, бұл қалай болды?»;
"Маған ақша жетпеуі мүмкін» және т. б.

Яғни, мұндай сөз тіркестерін қолдана отырып, адамдар ықтималдық теориясын интуитивті түрде қолданады, қандай да бір оқиға болады немесе болмайды деп болжауға тырысады. Ықтималдық теориясы математикалық бөлім ретінде апаттарға бірдей баға береді, бірақ тек сандарды, формулалар мен заңдылықтарды қолдана отырып.

Ықтималдық теориясын қолданудың бірнеше мысалдары:
қазіргі мемлекеттердің экономикасы оған негізделген;
тауарларды сатуға шығару ықтимал тәуекелдер мен сату көлемін есептеумен қатар жүреді;
қор биржалары және биржалар;
ауа райын болжаудағы;
валюта бағамының ықтималдығы;
кибернетикадағы ықтималдық;
автомобиль жасауда;
ғарыш кемелерін әзірлеу және жөнелту кезінде.

Адамдар бәрін эмоционалды түрде шешуге дағдыланған. Мысалы, көптеген адамдар әлі де ұшақтармен ұшудан қорқады, олар бұл өте қауіпті деп санайды. Сонымен бірге ықтималдық теориясы мен статистика керісінше айтады. Ұшақ апатынан қайтыс болу ықтималдығы шамамен 1-ден 8 000 000-ға дейін. Бұл жағдайда, егер адам күн сайын әртүрлі кездейсоқ ұшақтармен ұшса, ұшақ апатынан қайтыс болу үшін оған 21000 жыл ұшу керек болады. Ұшақпен ұшу кезінде ең қауіпті нәрсе - әуежайға таксимен бару, өйткені автомобиль ұшаққа қарағанда әлдеқайда қауіпті.

Эмоционалды шешімнің тағы бір мысалы - акулалар. Жылына акулалардың шабуылынан шамамен 12-15 адам қайтыс болады, ал пальма ағашынан кокос құлауынан шамамен 140 адам қайтыс болады. Бірақ адамдар кімнен қорқады: акулалардан ба немесе кокостан ба? Олар кімдер туралы фильмдер түсіреді: өлтіруші акулалар немесе өлтіруші кокостар туралы?

Әлемді ықтималдық пен есептеулер басқарады. Сондықтан ықтималдық теориясы туралы білімді жіберіп алмау және оларды өз өміріңізде пайдаланбау мүмкін емес. [6]

Ықтималдық теориясын есептеудің бірнеше тәсілдері бар.

Ықтималдық және тәуелді оқиғалар.

Бұл әдіс бір-бірімен байланысты және бір-бірінің нәтижелеріне байланысты оқиғалардағы ықтималдылықты анықтау қажет болған кезде қолданылады. Қарапайым мысал келтірейік.

Сіз досыңызға туған күніне торт беруді шештіңіз. Біз тортты курьерлік жеткізуге тапсырыс бердік, көшені, үйді, кіреберісті, еденді көрсеттік, бірақ пәтердің нақты нөмірін ұмытып кеттік. Сондықтан, торт жеткізушілерге дейін 3 есіктің арасында таңдау болады. Енді курьердің досына бірінші рет келу ықтималдығы қандай екенін есептеуге болады.

Жеткізуші тарапынан бізде 3 ықтимал оқиға бар:

Жеткізуші 1-ші есікті қақты;
Жеткізуші 2-ші есікті қағып алады;
Жеткізуші 3-ші есікті қағып алады.

Бірақ біздің статистикаға дос кіреді. Ол сондай-ақ 3 ықтимал оқиғаны қосады:

Дос 1-ші есіктің артында болуы мүмкін;
Дос 2-ші есіктің артында болуы мүмкін;
Дос 3-ші есіктің артында болуы мүмкін.

Сонымен, бізде оқиғаларды дамытудың 9 нұсқасы болуы мүмкін: 3*3=9. Олардың ішінде курьер досының есігін шақырған кезде оң нұсқалар бар-3. Сондықтан, егер сіз курьердің бірінші рет дұрыс есікке түсу ықтималдығын байқасаңыз, онда ол 3/9 немесе 1/3шығады.

Біз қазірдің өзінде белгілі формула бойынша есептейміз және жеткізушіге қажетті есікті қағу мүмкіндігі ½ - ге дейін өсті деп санаймыз. Сонымен, егер жеткізуші басқа есікпен қателессе, онда үшінші рет ықтималдық 1 немесе 100% болады.

Ықтималдық және тәуелсіз оқиғалар.

Бұл жағдайда қалаған ықтималдық оқиғалардың қолайлы нәтижесіне байланысты емес және, тиісінше, оқиғалар бір-біріне әсер етпейді.

Ықтималдықтың бұл түрі шешімдер монетаның көмегімен қабылданған кезде алынады. Яғни, "бүркітке" түсіп кету мүмкіндігі 50% немесе ½ - ге тең.

Егер лақтыру бірнеше рет қатарынан болса, онда "бүркіт" тағы бір рет құлап кету ықтималдығы төмендейді. Бұл бірізділік ықтималдығы шайқасқа түсетіндіктен болады. Яғни, сіз бір рет лақтырған кезде екі нұсқа бар: "бүркіт" немесе "құйрық" немесе½, біз айтқандай. Бірақ егер сіз қатарынан 5 рет лақтырсаңыз, онда әлдеқайда көп нұсқалар бар және түсу мүмкіндігі бар: "бүркіт", "бүркіт", "бүркіт", "бүркіт" - кішкентай. Ол келесідей есептеледі: ½ * ½ * ½ * ½ = 1/10.

Шартты ықтималдықтар қандай да бір оқиғаның пайда болу мүмкіндігі қандай да бір жағдайға байланысты болған кезде пайда болады. Бұл ауа-райы туралы мәселе туындаған кезде өте айқын көрінеді:

Сыртта күнді көргенде жаңбыр жаууы мүмкін бе?

Мұнда белгілі бір жағдайлар естілсе/көрінсе, ықтималдығы үлкен/аз болады.

Ықтималдық теориясы, егер қарапайым тілде болса, әрқашан жағдай, сенім, теория, шарт және нәтиже болуын талап етеді. Бұл біздің өміріміздің барлық саласында бар, бірақ сонымен бірге оны өз өмірінде қолдану әрқашан біз күткендей бола бермейді. [7]

Кездейсоқ шамалар ұғымы және оның сандық сипаттамалары

Кездейсоқ шама дегеніміз-мәні кездейсоқ эксперименттердің нәтижесімен анықталатын айнымалы. Жалпы жағдайда эксперименттің әр нәтижесін ассоциация ережесін сүйене отырып, санмен байланыстыруға болады. Санды үлгінің кеңістігінің әр нүктесімен (элементтермен) байланыстыру - бұл "үлгіні кеңістіктің нүктелерімен жоғары функциясын анықтау"деп аталатын әдіс. Егер S таңдау кеңістігіндегі ықтималдық өлшемі деп алсақ, ал Х-нақтыS элементтерінде анықталған функция болсын. Содан кейін, X кездейсоқ шама деп қарастырамыз. Яғни, Х кездейсоқ шамасы функция болып табылады $A:X = f(A)$ болса, онда $А\ \epsilon\ S$ . X-тің мәні A-да эксперимент нәтижесі қарапайым оқиға болуынабайланысты.

1-мысал . Екі доп кезекпен таңдап алынсын. Қорапта төрт доп бар. Бір қызыл және үш қара доп. Біз Х кездейсоқ шамасының элементтерін тізімдеп және тиісті X мәндер шамасын ала отырып, жалпы қызыл шарлар санын таңдап аламыз.

2-мысал . Автокөлікке қатысты мысал қарастырайық:

Үлкен Аккра тіркеу нөмірлі (GR немесе GT) таңдаймыз және кездейсоқ Х мәнін анықтаймыз. X=1 болады, егер таңдалған автомобиль үлкен Аккра тіркеу нөмірлі болады. X=0 болады, егер таңдалған автомобиль кішкентай Аккра тіркеу нөмірлері болады. Яғни, егер автомобильде GT 5246 B тіркеу нөмірі болса, онда:

X ( GT 5246 B) = 1

X ( CR 9134 Q ) = 0

X ( WR 2376 D ) = 0

X ( GT 4801 W) = 1

Кездейсоқ шамалар әдетте мәндерінің санына сәйкес жіктеледі. Екі түбегейлі әр түрлі кездейсоқ шамалар дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалар болып екіге бөлінеді.

Дискретті кездейсоқ шама - өз мәндерін тек қана оқшауланған нүктелерде қабылдайтын шама.

Үздіксіз кездейсоқ шама - эксперимент басталғанға дейін мүмкін болатын шама. Кейбір жағдайларда, кез-келген интервал немесе үздіксіз интервал арасындағы сандарды қабылдайды. [8]

Дискретті кездейсоқ шамалар

Анықтама: X айнымалысы эксперимент кезінде $х_{1}, х_{2}, \ldots., х_{к}$ шексіз реттілікпен бір мәнді алады. Егер $х_{к}$ әрбір мәнінде $Р_{к}$ айнымалысының белгілі бір ықтималдығы $х_{к}$ -ке тең мәнін қабылдаған жағдайда, $х_{к}$ дискретті кездейсоқ шама болады.

Яғни, дискретті кездейсоқ шама тек өз мәндерін қабылдайтын айнымалы оқшауланған нүктелерде болады.

Егер X дискретті кездейсоқ шама болса, әрбір x үшін $f(x) = \ P\ (X = x)$ берілген функцияX ықтималдықтар диапазонында тарату болып табылады.

Теорема: дискретті кездейсоқх шамалары және оның $f\ (x)$ мәндері қанағаттандырылған кезде ғана келесі шарттар функция бөлу ретінде қызмет ете алады:

f(x) =0f\ (x) = 0әрбір мән үшін.
∑хf(x) =1\sum_{х}^{}{f\ (x) } = 1жинақтау оның аймағындағы барлық мәндерге қайта таралады.

3-мысал . Төмендегіқызмет ету функцияларының дискретті кездейсоқ шамалардың ықтималдығын бөлу арқылы мүмкін екенін тексереміз:

f(x) =x15f(x) = \frac{x}{15}x= 0, 1, 2, 3, 4, 5
g(x) =x−22g(x) = \frac{x - 2}{2}x= 1, 2, 3, 4
h(x) =x225h(x) = \frac{x^{2}}{25}x=0, 1, 2, 3, 4
v(x) =14v(x) = \frac{1}{4}x=0, 1, 2, 4

Дискреттіықтималдықты бөлу.

Арасындағы $Р_{к}$ функционалдық байланыстың ықтималдығы, $Х_{к}$ кездейсоқ шамалар X кездейсоқ шамасының бөлу заңы деп аталады.

X мәндері

Х_{1}

Х_{2}

. . .

Х_{к}

X мәндері: Ықтималдығы

Х1Х_{1}:

Р_{1}

Х2Х_{2}:

Р_{2}

. . .: . . .

ХкХ_{к}:

Р_{к}

1-кесте.

4-мысал. Оқиғаның басталу ықтималдығы A шексіз сынақ тізбегінің әрқайсысында P болсын. Кездейсоқ Х мәні орын алған А сынақ нөмірі X бөлу заңын табамыз. Бөлу заңы да болуы мүмкін графикалық түрде ұсынылған ықтималдылықты бөлу көпбұрышы немесе көпбұрыш жиіліктер. Кездейсоқ шаманың $Х_{і}$ мәні, ең жоғары ықтималдығы бар деп аталады.

Бөлу заңының ең көп таралған нысаны бөлу функциясы.

Біз x қабылдау ықтималдығын жазамыз. x-тен кіші немесе оған тең мән, және біз осы $F(x) = P(X\ \leq \ x)$ функциясына сілтеме жасаймыз. Функция ретінде барлық нақты x сандары үшін X анықталған бөлу немесе кумулятивтік тарату болып табылады.

Егер x дискретті кездейсоқ шама болса, онда берілген функция:

$F(x) = P(X\ \leq x) = \sum_{t \leq x}^{}{f(t) }$ егер $- \infty < x < \infty$

бөлу функциясы немесе X кумулятивтік үлестіру, ал f (t) - t кезінде x ықтималдылықтың таралу мәні.

Кез-келген кездейсоқ шамалар үшін бөлу функциясы келесі қасиеттерге ие:

F(−∞) =0F( - \infty) = 0жәнеF(∞) =1F(\infty) = 1
Егерa<ba < bболса, ондаf(a) ≤f(b) f(a) \leq f(b) кез-келген нақты сандар үшін aжәнеbbшекті болып табылады.

5-мысал. Теңдестірілген монетаның үш орамында алынған жалпы санын кумулятивті бөлу функциясынмен табыңыз.

Сандық сипаттамалары бар дискретті кездейсоқ шамалар. Кез-келген кездейсоқ x шама мәніне байланысты параметрлер немесе тұрақтылары бар зерттелетін бүкіл популяциядағы кездейсоқ шаманы сипаттаңыз. Олардың ішіндегі ең көп тарағандары ( $µ$ ), дисперсия, ( ${\ \sigma}^{2}$ ) және стандартты ауытқу ( $\sigma$ ) . Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі

Анықтама: математикалық күту (немесе жай күту) кездейсоқ X шаманың немесе E[x] бұл $E_{x}$ кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің көбейтіндісінің қосындысы, осы айнымалылардың ықтималдылығы.

Осылайша:

E[X] = $x_{1}P_{1}$ + $x_{2}P_{2}$ +…. . + $x_{n}P_{n}$

Немесе осыны ықшамдап:

E[X] = $\sum_{k = 1}^{n}{x_{k}P_{k}}$

Онда:

$\sum_{k = 1}^{n}{P_{k} = 1}$

Дисперсия және Стандарт. Дискретті кездейсоқ ауытқу.

Анықтама: V[x] немесе ${\ \sigma}^{2}$ деп белгіленген кездейсоқ шаманың дисперсиясы X және оның күтуі арасындағы айырмашылық алаңын күту болып табылады.

Математикалық тұрғыдан кездейсоқ шаманың дисперсиясы келесідей анықталады:

V[X] = E[ ${(X - E_{x}) }^{2}$ ] $P_{k}$ = E[ $X^{2}$ ] - ${(E\lbrack X\rbrack) }^{2}$ = $\sum_{k = 1}^{i}{{(X - E_{x}) }^{2}P_{k}}$

Анықтама: $\sigma$ көрсетілген кездейсоқ x шамасының стандартты ауытқуы немесе стандартты ауытқуы оның дисперсиясының квадрат түбірі болып табылады.

Математикалық түрде жазамыз

$\sigma = \sqrt{\sum_{k = 1}^{i}{{(X_{k} - E_{x}) }^{2}P_{k}}}$

6-мысал : кездейсоқ мән келесі кестеде көрсетеміз:

Х:

P_{k}

2: 0. 3

3: 0. 4

4: 0. 3

Анықтау

1. Күту

2. Дисперсия

3. Стандартты ауытқу

Үздіксіз кездейсоқ шамалар

Анықтама . Үздіксіз кездейсоқ шама - бұл нақты сандардың белгілі бір интервалында кез-келген мәнді қабылдай алатын және кез-келген нақты мәнді қабылдай алатын ықтималдық нөлге тең шама.

Ықтималдылықтың таралуын f(x) функционалды белгісімен белгілейміз.

Анықтама: f(x) функциясы-нақты сандар жиынынан жоғары анықталған x кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығының функциясы бола алады, егер:

$P(a \leq \ x \leq \ b) \ = \int_{а}^{b}{f\ (x) dx}$

f(x) p. d. f болуы үшін ол екі шартты қанағаттандыруы керек:

f(x) ≥0f\ (x) \ \geq \ 0
∫−∞∞f(x) dx=1\int_{- \infty}^{\infty}{f\ (x) dx\ = \ 1}

Яғни, бүкіл графиктің ауданы 1-ге тең

8- мысал. Егер кездейсоқ шамада p. d. f болса

$f(x) = \left\{ \begin{array}{r} 2e^{- 2x}, \ \ \ x > 0 \\ 0, \ \ \ x \leq 0 \end{array} \right. \$

оның мәнін қабылдау ықтималдығын табыңыз

а) 1-ден 3-ке дейін

(b) 0, 5-тен астам

Дискретті жағдайдағыдай, біз P. d. f F ( x ) бар кездейсоқ шаманың x-тен аз немесе оған тең болатындығын f ( x ) деп жазамыз және тиісті F ( x ) функциясына бөлу функциясы немесе кездейсоқ шаманың кумулятивтік таралуы ретінде сілтеме жасаймыз.

Анықтама: егер x үздіксіз кездейсоқ шама болса және оның P. D. F мәні t f ( t ) болса, онда берілген функция:

$F(x) = \ P(X\ \leq \ \ x) = \ \int_{- \infty}^{x}{f(t) dt}$

Болса, үлестіру немесе X кумулятивтік үлестіруфункциясы деп аталады.

7- мысал . Егер кездейсоқ шамада p. d. f болса,

$f(x) = \left\{ \begin{array}{r} 2e^{- 2x}, \ \ \ x > 0 \\ 0, \ \ \ x \leq 0 \end{array} \right. \$

F(x) табыңыз, содан соң P(X≤1) - ті бағалаңыз .

8-мысал. Функцияны қарастырыңыз

$f(x) = \left\{ \begin{array}{r} \frac{1}{3}x^{2}, \ - 1 < \ x < 2 \\ 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array} \right. \$