СТЕРЕОМЕТРИЯ КУРСТАРЫН ЖҮЙЕЛІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕРІ
Қазақстан Республикасы ғылым және білім министрлігі Қорқыт Ата атындағы Қызылорда университеті Жаратылыстану институты
Физика және математика кафедрасы ӘОЖ 37.016 : 512 : 514.113 : 378.245.2
ЖАРЫЛҚАП ЖАНСАЯ МҰРАТҚЫЗЫ
Ғылыми жетекшісі: ф.-м. ғ.к., қауымдастырылған профессор Ибраев Шерали Шапатаевич
Ғылыми кеңесшіcі: ф.-м. ғ.к., профессор м.а.
Турбаев Боранбай Есмаханбаевич
Қазақстан Республикасы
Қазақстан Республикасы ғылым және білім министрлігі Қорқыт Ата атындағы Қызылорда университеті Жаратылыстану институты
Физика және математика кафедрасы
Қорғауға жіберілді Кафедра меңгерушісі Л.С. Каинбаева
_ 2021 жыл
Магистрлік диссертация (магистрлік жоба) АЛГЕБРА ЖӘНЕ АНАЛИЗ БАСТАМАЛАРЫН СТЕРЕОМЕТРИЯ
ЕСЕПТЕРІН ШЫҒАРУДА ПАЙДАЛАНУ ЖОЛДАРЫ
мамандығы: 7М01510 - Математика (ғылыми-педагогикалық бағыт)
Магистрант Ж.М. Жарылқап
Ғылыми жетекшісі,
ф.-м.ғ.к., қауымдастырылған
профессор Ш.Ш. Ибраев
Ғылыми кеңесші,
ф.-м.ғ.к, профессор м.а. Б.Е. Турбаев Институт директоры С.О. Қосaнов
МАЗМҰНЫ
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР 4
КІРІСПЕ 5
I. СТЕРЕОМЕТРИЯ КУРСТАРЫН ЖҮЙЕЛІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕРІ
1.1 Орта мектепте геометрия пәнін оқыту мәселелері 10
1.2 Стереометрия курсының алғашқы сабақтары 16
II. ТУЫНДЫ, ИНТЕГРАЛ АМАЛДАРЫ МЕН ТРИГО НОМЕТРИЯНЫ ПАЙДАЛАНЫП СТЕРЕОМЕТРИЯ ЕСЕПТЕРІН ШЕШУ ЖОЛДАРЫ
0.1 Туындыны пайдаланып стереометрияның комбинациялық есептерін шығару 18
0.2 Геометрияның аудан, көлем табу есептерін анықталған интеграл арқылы есептеу 24
0.3 Геометриялық есептерді шешуде тригонометрияны қолдану 46
ІІІ. ЭКСПЕРИМЕНТ ЖӘНЕ ОНЫҢ НӘТИЖЕЛЕРІ 81
ҚОРЫТЫНДЫ 84
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 86
ҚОСЫМША 1 91
ҚОСЫМША 2 95
ҚОСЫМША 3 96
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР
Осы диссертациялық жұмыста келесі нормативтік сілтемелер қолданылды:
1. Қазақстан Республикасының Білім туралы - 27.07.2007-№319 ШЗ РК заңы.
2. Қазақстан Республикасының Қазақстан-2050 стратегиялық бағдарламасы;
3. 2018 жылы 10 қаңтардағы Төртінші өнеркәсіптік революция жағдайындағы дамудың жаңа мүмкіндіктері Қазақстан Республикасының Президенті Н.Назарбаевтың Қазақстан халқына жолдауы;
4. Қазақстан Республикасы Үкіметінің 2019 жылғы 27 желтоқсандағы
№ 988 қаулысы Қазақстан Республикасында білім беруді және ғылымды дамытудың 2020 - 2025 жылдарға арналған мемлекеттік бағдарламасын бекіту туралы.
КІРІСПЕ
Математика жалпы адамзаттық мәдениеттің феномені бола отырып, даму әлеуетіне ие, өйткені зерттеу логикалық ойлаудың кеңістіктік қиялын дамытуға ықпал етеді. Сонымен бірге, беделді, ғылыми педагогикалық қоғамдастықтың пікірінше, мектеп оқушылары мен студенттердің математикалық білім деңгейі бүгінде жеткілікті жоғары емес.
Әлеуметтік-саяси, экономикалық және мәдени қайта құрулар мен қоғамға негізделген Қазақстан Республикасының әлемдік білім беру кеңістігіне ену ғылымды дамыту қажеттілігін, мектептегі білім беру жүйесін компьютерлендіруді, оқу пәндерін оқытудың мазмұндық жағының сапасы мен нәтижелілігіне қойылатын талаптарды, ал математиканың ерекшеліктерін арттыруды талап етеді. Қазіргі уақытта ақпараттық әлем негізгі математикалық дайындықсыз көрінбейді.
Елбасымыз Н.Ә.Назарбаевтың Қазақстан-2050 Қазақстан халқына жолдауында білім беру саласындағы басымдықтардың ішінде: ...Ескірген немесе сұраныс жоқ ғылыми және білім пәндерінен арылу, сонымен бірге сұраныс көп және болашағы бар бағыттарды күшейту қажет. Орта және жоғары білім берудің оқу жоспарларының бағыттылығы мен басымдықтарын оларға тәжірибелік машықтарға үйрету бойынша және тәжірибелік біліктілікке ие болу бағдарламаларын қосып, өзгерту...[1] деп атап көрсеткен болатын.
Білім - үдемелі индустриальді жаңа технологияға бағытталған мемлекетіміздің дамуы мен бәсекелестік мүмкіндігінің анықтауыш көрсеткіші болып табылады.
Сондықтан еліміздің жаңа даму бағытында білім беру жүйесінің алдында:
1. Білім беру мекемелерін оңтайландыру;
2. Оқу-тәрбие үдерісін түбегейлі жаңғырту;
3. Білім беру қызметтерінің тиімділігін арттыру сияқты үш басты бағыт айқын қойылды. Соның ішінде жалпы білім беретін мектептердің алдында тұрған шұғыл міндет - оқуды өмірге, жаңа технологияға жақындату. Осыған байланысты мектептегі іргелі жаратылыстану-математика бағытындағы пәндерді оқытудағы әдістемелік мәселелердің мәні ерекше артады.
Қазақстан Республикасының Білім туралы заңында (2007ж.) білім беру жүйесінің жеке адамды қалыптастыруға, дамытуға және кәсіби шыңдауға бағытталған рөлі атап көрсетілсе, осы заңның 41 -бабында:
Педагог қызметкерлер оқушылардың мемлекеттік білім беру стандартында көзделген деңгейден төмен емес білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеттерінің көрініп дамуы үшін жағдай жасауға міндетті делінген.
Сондықтан орта мектептің алдында тұрған негізгі міндеттердің бірі - оқушылардың шығармашылық қабілетін барынша ашып, қоғамды құрып дамытуға бар мүмкіндігін жұмсайтын қабілетті жеке тұлғаны қалыптастыру. Әрбір оқушының тұлға ретінде қалыптасып дамуына математикалық білімнің үлкен үлесі бар.
Себебі, біріншіден, математика басқа ғылымдар саласының дамуының тірегі, қызметшісі, екіншіден, математика қоршаған ортаны білудің басты көзі, үшіншіден, математика дедуктивтік құрылған ғылым болғандықтан, оқушының заңға сүйеніп, ой қорытындылауын, заңды сыйлау психологиясын қалыптастырады, төртіншіден, математика адамның рухани дамуына, ғылыми көзқарастарының қалыптасуына, логикалық ойлау қабілетінің дамуына көмектеседі.
Мектеп математикасын өмірмен байланыстыру, бұл пәнді адамдардың практикалық және техникалық іс-әрекетіне қолдану үшін мектеп математикасы мен математика ғылымын жаңа технологияларға үйлесімді және барынша түсінікті түрде оқыту қажет.
Бұл мәселені шешу мүмкіншілігі - алгебра және анализ бастамаларын орта мектеп математика курсында бүгінгі күн талабына сай оқытуды ұйымдастыру. Алгебра және анализ бастамаларының негізгі күрделі тарауларын мектеп курсында оқыту мәселесі ұзақ сатыдан өтті, оны мектепте оқыту тәжірибесіне енгізу мәселесі ХІХ ғасырдың екінші жартысында-ақ көптеген елдерді толғандырды.
XX ғасырдың 50 жылдарында Кеңестер Одағында математиканы орта мектепте оқыту реформасы жүзеге асырыла бастады. Алгебра және анализ бастамаларын мектеп курсына енгізу идеяларын академик Н.Н.Лузин, Д.М.Синцов, профессор Н.А.Глаголев, Б.Н.Делоне, Я.С.Дубнов және озат мұғалімдер қолдады.
Осы кезеңде ipi ғалым-математиктер А.Д.Александров, А.И.Бега, Б.В.Гнеденко, Я.Б.Зельдович, А.Н.Колмогоров, М.А.Лаврентьев, А.И.Маркушевич, И.Г.Петровский және басқалардың мектепте математикалық білімді модернизациялау туралы маңызды мақалалары баспасөзде жарияланды.
XX ғасырдың 70 жылдарының соңында орта мектепке жаңа курс
Алгебра және анализ бастамалары енгізілді, бұл курстың енгізілуіне байланысты осы пәнді оқыту әдістемесін дайындаудың қажеттілігі туды.
Алғашқы кезеңде көптеген математик және әдіскерлер (А.Н.Колмогоров, А.И.Маркушевич, С.И.Шварцбурд, Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов және тағы басқалар) курстың жетекші идеясы мен мазмұнын анықтау бағытында жұмыс жасады. Сол сияқты бұл сұрақтарға М.Ахметов, В.В.Ветров, Е.В.Галкин, Д.М.Соловьева, А.С.Шумов тағы басқалардың диссертациялық зерттеулері арналды.
Орта мектепте математикалық білім мазмұнын жетілдіру, білім стандартын жобалау, оқу-әдістемелік кешенмен қамтамасыз ету, математикалық білімнің сабақтастығы мен болашағы, жаңа технологиялар мәселелері қазақстандық ғалымдар А.Е.Әбілқасымова, М.Есмұхан, Б.Баймұханов, Е.Ө.Медеуов. С.Е.Шәкілікова, Д.Рахымбек, О.Сатыбалдиев тағы басқалардың еңбектерінде қарастырылды.
Ресейлік ғалымдардың зерттеулерінің басым көпшілігі алгебра және анализ бастамаларын мектепте оқыту мазмұнын анықтау және олардың
алгебра, геометрия курсымен өзара байланысы бағытында жүргізілген. Кешенді түрде қарастырылған жұмыстар аздау. Ал қазақстандық ғалымдардың (А.М.Мубараков, О.Сатыбалдиев, т.с.с.) еңбектері математиканы окытудағы сабақтастық және болашақ мұғалімдерді жоғары оқу орнында кәсіби дайындау жүйесіне арналған.
Сонымен қатар Қазақстан Республикасы мектептеріндегі алгебра және анализ бастамаларын оқыту практикасында шешілмеген маңызды мәселелер әлі де аз емес. Оған: орта мектепте алгебра және анализ бастамаларын оқытуды жетілдіруді теориялық-әдістемелік тұрғыдан негіздеу, математиканың қолданбалық бағытын терең ашу, пәнішілік және пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру, сабақтастықты дамыту, қазіргі заманға сай технологияларға негізделген әдістемелік жабдықтармен математика мұғалімдерін қамтамасыз ету және бүгінгі күнн талабына сай білім деңгейін үнемі көтеріп отыру мәселелері жатады.
Зерттеудің өзектілігі. Орта мектептерде геометрия есептерін атап айтқанда, стереометрия есептерін шешуде пәннің ішкі мүмкіндіктерімен қатар Алгебра және анализ бастамалры бойынша енгізілетін негізгі ұғымдарды пайдалану.
Зерттеу мақсаты - орта мектептерде алгебра және анализ бастамалары негізінде стереометрия есептерін шешу әдістемесін жетілдіру. Тригонометрия, туынды, интеграл тарауларына сәйкес жаттығулар жүйесін жасау және пәнішілік байланыстарды қолдануды ғылыми-әдістемелік тұрғыда жүйелеу және практикада жүзеге асыру сұрақтарын қарастыру.
Мақсатқа сай негізгі міндеттері:
oo Орта мектепте алгебра және анализ бастамаларын стереометрия есептерін шешуде пайдаланудың психологиялық-педагогикалық және әдістемелік алғышарттарын айқындау;
oo Стереометрия есептерін шешуді оңайлату үшін анализ бастамалары бойынша берілетін негізгі ұғымдар: тригонометриялық функция формулалалары, туынды және анықталған интегралды пайдалану.
Зерттеу нысаны - орта мектепте математиканы оқыту үдерісі.
Зерттеу пәні - орта мектепте алгебра және анализ бастамаларын оқыту әдістемесі.
Зерттеу жұмысының мақсаты мен болжа мына сәйкес мынадай міндеттерді шешу қажет болды:
oo дамыған елдердің және Қазақстан мектептеріндегі алгебра және анализ бастамаларын оқытуды жетілдірудің философиялық, әлеуметтік, психологиялық, педагогикалық, қолданбалық және әдістемелік алғы шарттарын айқындау;
oo алгебра және анализ бастамалары ұғымдарын енгізудің және оны қалыптастырудың ғылыми-әдістемелік негіздерін анықтау;
oo алгебра және анализ бастамаларын оқытудағы пәнішілік және пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру және сабақтастықты дамыту;
oo жасалған әдістемелік жүйенің тиімділігін тексеру үшін эксперимент
жүргізу, оның нәтижелерін қорыту және бағалау.
Зерттеу жұмысының әдіснамалық және теориялық негіздері: белгілі математиктердің (А.Д.Александров, Н.Я.Виленкин, Б.В.Гнеденко, А.Н.Колмогоров, О.Жәутіков, Б.М. Оразбаев т. б.) еңбектері; біртұтас педагогикалық процесс теориясы (М.Е.Есмұхан, Е.Ө.Медеуов, Д.Рахымбек, С.Е.Шәкілікова және басқалары); оқытудың жаңа технологиясы (В.П.Беспалько, Ж.Қараев, Қ.Қабдықайыров, И.Я.Лернер, В.М.Монахов және т.б.); дидактикадағы озық ғалымдардың [С.И.Архангельский, Ю.К.Бабанский, В.П.Беспалько, П.И.Пидкасистый, Н.Ф.Талызина т.б.] іргелі еңбектері, білім беруді компьютерлендіру саласындағы [А.А.Андреев, Б.С.Гершунский, В.В.Гузеев, А.П.Ершов, Е.И.Машбиц, С.Пейперт, Б.Баймұханов, Г.Қ.Нұрғалиева, Ж.А.Қараев т.б.] теориялық негіздер, компьютерлік технологиялардың оқытуды қарқындатудағы артықшылықтарына арналған зерттеулер [М.М.Буняев, Я.А.Ваграменко, Д.М.Жүсібалиева, А.Қ.Қозыбай, Г.А.Козлова, И.И.Мархель, М.В.Меламуд, Ю.О.Овакимян, М.Ф.Поснова, А.Я.Савельев, С.С.Үсенов, А.І.Тәжіғұлова және т.б.].
Зерттеу көздері: Қазақстан Республикасының Білім туралы Заңы, Қазақстан Республикасы жалпы орта білім берудің мемлекеттік жалпыға міндетті стандарттары, орта білім беру жүйесін ақпараттандырудың мемлекеттік бағдарламасы, орта мектептің пәндік оқу бағдарламалары, педагог және әдіскер ғалымдардың зерттеу мәселесіне қатысты іргелі еңбектері.
Зерттеу әдістері:Бекітілген жоба тақырыбы бойынша қарастырылатын мәселелерге байланысты психологиялық-педагогикалық және әдістемелік еңбектермен оқып танысу, және оларға талдау жасау, жүйелеу. Мектеп математика пәні бойынша жасалған оқу стандартына, бағдарламасына, оқулықтарға талдау жасау. Математикалық білім беру жөніндегі озық тәжірибелермен танысу және жинақтау. Тәжірибелік эксперименттік жұмыс жүргізу және оны қорытындылау.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы: Орта мектептерде алгебра және анализ бастамалары негізінде стереометрия есептерін шешуге әдістемелік талдау жасау. Алгебра және анализ бастамаларын стереометрия есептерін шешуде пайдалану жолдары атты әдістемелік құрал.
Зерттеудің ғылыми болжамы: Егер алгебра және анализ бастамаларын пайдаланып стереометрия есептерін шығаруды жетілдірсе, онда оқушылардың шығармашылық ойлау қабілеттері дамиды.
Зерттеудің әдістері: Бекітілген жоба тақырыбы бойынша қарастырылатын мәселелерге байланысты психологиялық-педагогикалық және әдістемелік еңбектермен оқып танысу, және оларға талдау жасау, жүйелеу, мектеп математика пәні бойынша жасалған оқу стандартына, бағдарламасына, оқулықтарға талдау жасау. Математикалық білім беру жөніндегі озық тәжірибелермен танысу және жинақтау. Тәжірибелік эксперименттік жұмыс жүргізу және оны қорытындылау.
Зерттеудің негізгі кезеңдері:
Бірінші кезеңде зерттеу проблемасына сәйкес психологиялық- педагогикалық, ғылыми-әдістемелік әдебиеттер зерделеніп, оларға талдау жасалды және алгебра және анализ бастамаларының орта мектепте оқыту тәжірибелері зерттелді.
Екінші кезеңде алгебра және анализ бастамаларын орта мектепте оқытуды жетілдірудің мүмкін жолдары, тақырыптар бойынша жаттығулар шығарудың әдістемесі дайындалып және диссертация тақырыбына сәйкес ізденіс эксперименті жүргізілді.
Үшінші кезеңде зерттеу жұмысының негізгі теориялық мәселелері нақтыланып, екінші кезеңде дайындалған әдістемелік жүйенің тиімділігін тексеру мақсатында оқыту эксперименті өткізілді және мектепте тақырыптық қорытынды ашық сабақ ұйымдастырылды, алынған нәтижелер статистикалық өңдеуден өтіп, қорытындыланды.
Зерттеу нәтижелерінің дәлелділігі мен негізділігі: зерттеу проблемасына сәйкес философиялық, психологиялық, педагогикалық, математикалық, әдістемелік әдебиеттерге және нақтылы тәжірибеге терең талдау жасалынуымен, зерттеу проблемасының қойылуы, зерттеу мазмұнының ғылыми талапқа сай келуімен, зерттеу пәніне сәйкес тиімді әдістер, құралдар, қазіргі технологияны қолдану, оны жүзеге асырудың логикалық тұрғыдан жүйелілігімен, эксперименттік жұмыстың оң нәтижелерімен, қойылған зерттеу болжамының дәлелденуімен қамтамасыз етіледі.
Зерттеу нәтижелерін сынақтан өткізу және практикаға енгізу: зерттеу нәтижелері бойынша І. Қабылов атындағы №12 IT-мектеп-лицейінде және Жамбыл атындағы №120 орта мектебіндегі 11 сынып оқушыларынан сауалнама алынып, соның нәтижесінде алгебра және анализ бастамаларын стереометрия есептерін шешуде пайдалану жолдары түсіндірілді және практикалық жұмыстар орындалды.
Қорқыт ата атындағы Қызылорда мемлекеттік университетінің математика және математиканы оқыту әдістемесі кафедрасының мәжілістерінде, университеттің ғылыми-әдістемелік кеңестерінде баяндалды.
Зерттеу базасы: Зерттеу жұмысының негізгі эксперименттік жұмыстары Қызылорда қаласының І. Қабылов атындағы №12 IT-мектеп-лицейінде және Жамбыл атындағы №120 орта мектебінде жүргізілді.
Диссертация құрылымы: диссертация кіріспеден, үш бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және қосымша материалдан тұрады.
Кіріспеде зерттеу проблемасының көкейкестілігі негізделді, ғылыми аппараты: нысаны, пәні, мақсаты, ғылыми болжамы, міндеттері, әдіснамалық және теориялық негіздері, зерттеу көздері, әдістері, ғылыми жаңалығы мен теориялық маңызы, практикалық мәнділігі, қорғауға ұсынылатын негізгі қағидалар, зерттеу нәтижелерінің дәлелдігі мен негізділігі, зерттеу нәтижелерін сынақтан өткізу және практикаға енгізу, зерттеу базасы туралы баяндалды.
I СТЕРЕОМЕТРИЯ КУРСТАРЫН ЖҮЙЕЛІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕРІ
1.1 Орта мектепте геометрия пәнін оқыту мәселелері
Мектепте геометрия курсы үлкен орын алады және оқытуға көп көңіл бөлінеді. 7-11 кластарда математикаға бөленген уақыттың 40% геометрияға тиісті.
Мектеп геометриясының негізгі мазмұны 200 жылдан бері бір қалыпты сақталып келеді және оның шығар жері (қайнар көзі) Евклидтің Негіздері. Планиметрия курсында түзулердің өзара орналасуы; үшбұрыш, төртбұрыш және шеңбер қасиеттері; фигуралардың теңдігі және ұқсастығы; ұзындықты, бұрыштар мен аудандар шамаларын өлшеу сияқты мәселелер қарастырылады.
Геометрия курсының негізгі мәселелері:
* геометрияның негізгі фактілерің, оларды алу өдістерің және оларды қолдану мүмкіндіктерін жүйелі түрде оқу;
* шектес пәндерді оқу үшін одан алған білімдерді колдануды қамтамасыз ететін, оқушылардың іскерлігі мен дағдысын дамыту;
* оқушылардың кеңістікті елестетуін және логикалық ойлауын дамыту. Сонымен, геометрияның міндеті - оқушыларда үш түрлі сапаны дамыту:
кеңістікті елестету; практиканы түсіну және логикалық ойлау.
Оқушылардың кеңістікті елестетуі мен логикалық ойлауын дамытудың негізі, олардың геометриялық фактілер мен әдістерді білуі.
А.В. Погорелов оқулығында бірінші орынға оқушылардың логикалық ойлауын дамыту қойылған. Ол өзінің кітабында былай деп жазады:
геометрияны оқытудың басты мәселесі - оқушыларды логикалық ойлауға, өз пікірін дәлелдеуге үйрету
Ал Л.С. Атанасян мен В.Ф. Бутузовтардың оқулығында оқушылардың іскерлігі мен дағдысын дамытуға, түсінікті етіп баяндауға ерекше көңіл аударылады.
В.Г. Болтянский, мектепте геометрияны оқытудын басты мақсаты,- оқушыларға есеп шешуде қалай ойлау, қалай дұрыс ой тұжымдауды көрсету деп есептейді.
Негізгі өзекті мәселелердің бірі-математикалық білім беруде үлкен орын алатын және үлкен тәрбиелік мәні бар мәселелерді шешу, сондықтан есептерді шешуге оқытуға көп көңіл бөлінеді. Стандартты емес шешімді іздеу геометриялық және техникалық сипатта бастаманы, тапқырлықты дамытады, оларды шешу логикалық ойлауды, қатаң пайымдауды және жалпы математикалық мәдениетті дамытудың тамаша құралы болып табылады. Математикалық есептерді шешуді үйрену есептердің белгілі бір түрлерін шешудің жолдарын және оларды игеру тәжірибесін көрсету болды.
Математикадағы бейіналды және бейіндік оқыту жүйесіндегі қолданбалы курстардың негізгі функциясы-математиканың идеялары мен әдістері туралы, математика туралы ғылымның әмбебап тілі ретінде идеяларды қалыптастыру; оқушылардың шығармашылық қабілеттерін, оқытудың саналы мотивтерін
дамыту, білім беруді жалғастыруға және мамандықты саналы түрде таңдауға дайындық.
Геометриялық есептерді шешу көптеген студенттер үшін қиын. Бұл, ең алдымен, белгілі бір теореманы немесе формуланы қолдана отырып, геометриядағы кез-келген мәселені сирек шешуге болатындығымен түсіндіріледі. Көптеген тапсырмалар әр түрлі теориялық білімді қолдануды, тұжырымдарды дәлелдеуді талап етеді, тек фигураның белгілі бір орналасуы, әртүрлі формулаларды қолдану. Жоспарды шешуде дағдыларды әртүрлі әдістермен және тәсілдермен танысып, олардың көп мөлшерін шешу арқылы ғана алуға болады.
Жалпы білім беретін мектептердің геометрия бойынша бағдарламасы міндеттерді шешу әдістеріне, әсіресе олардың ерекше жағдайларына назар аудармайды.
Мәселелерді шешу өнері курстың теориялық бөлігін жақсы білуге, геометриялық фактілерді жеткілікті білуге, геометриялық есептерді шешудің әдістері мен әдістерінің белгілі бір арсеналын игеруге негізделген.
Геометриялық есептерді шешу әдістері кейбір ерекшеліктерге ие, атап айтқанда: үлкен әртүрлілік, формальды сипаттаудың қиындығы, өзара алмасу, қолдану аймағының нақты шекаралары ның болмауы. Сондықтан нақты мәселелерді шешуде тәсілдерді, әдістерді, әдістерді қолдануды қарастырған жөн. Оқушыларды геометриялық есептерді ш ешу әдістерімен таныстыру оқушылардың өз іс-әрекеттерін есептерді шешуге, олардағы жалпы тәсілдер мен әдістерді бөліп көрсетуге, олардың теориялық түсінігі мен негіздемесіне, тапсырмаларды бірнеше жолмен шешуге ынталандырады. Мәселелерді шешудің аналитикалық әдісіне ерекше назар аударылады, студенттер мәселенің жағдайын талдау, мәселенің шешімін талдау оны шешудің маңызды кезеңдері екенін
түсінеді, студенттер жоғары талдау схемасымен танысады.
Алгебралық әдістер геометриялық есептерді шешуде үлкен маңызға ие. Алгебра, көбінесе тригонометриямен бірге көптеген күрделі тапсырмаларды шешуге мүмкіндік береді.
Есептердің геометриясына алгебралық тәсілдің мәні - геометриялық тұрғыдан теңдеуді құру, содан кейін оны алгебралық құралдармен зерттеу туралы шешім қабылдау. Әрине, содан кейін сол немесе алынған нәтиже қалады. Геометрияда алгебраны қолданудың кең мүмкіндіктері Үшбұрыш пен шеңбердегі метрикалық қатынастарды ашады. Үшбұрыштарды шешу
формулалары, синустар мен косинустардың теоремалары және т. б.
Алгебралық әдістермен шешілетін есептер кейде өте ұзақ есептеулерді қажет ететінін ескеріңіз. Сондықтан сіз үлкен жауаптардан қорықпауыңыз керек. Әдетте, мұндай есептерде қажетті есептеулер қарапайым және алгебраның негізгі формулаларын жақсы білетін, алгебралық және тригонометриялық түрлендіру техникасымен жақсы білетін, дәл және мұқият есептеулер жүргізуге дағдыланған кез келген адамға қол жетімді[16].
Геометриялық есептерді шешудің аналитикалық әдістерін білу күрделі болып көрінетін математикалық есептерді қарапайым, түсінікті және әдемі шешуге мүмкіндік береді.
Сонымен қатар, ұсынылған курс тақырып туралы тұтас түсінік қалыптастыруға және әдістерді түсінуге, есептерді шешуге байланысты міндеттер спектрін едәуір кеңейтуге мүмкіндік береді
Курс бойынша сабақтарда бағдарламалық мазмұнды құрастыру алгаритмге сәйкес жүргізілуі мүмкін:
1. Бастапқы білімді жалпылау.
2. Теориялық білімді жүйелеу, нақтылау және азайту.
3. Базистік білімді қолдану бойынша оқушылардың практикалық қызметін жобалау және ұйымдастыру.
Бағдарламалық материалдың мұндай дизайны, мазмұн блоктарының толықтығы оқушыға өзіне жүктелген дидактикалық міндеттерге жетуге көмектеседі, оқытудың әртүрлі түрлері мен формаларын біріктіруге мүмкіндік береді.
Соңғы үш онжылдықта педагогикалық психологияда, дидактикада, Математиканы оқыту әдістемесінде оқушылардың кеңістіктік қиялын қалыптастыру және дамыту мәселесі бойынша зерттеулер жүргізілді. Бұл теорияға А.К.Артемов, в.г.Болтянский, А.Д. Ботвинников, Г. Д. Тлейзер, Я. М. Жовнир, а. н. Колмогоров, В. Н. Литвиненко, Л. М. Лоповок, А. Пардала, и. Г. поляк, г. И. Саранцев, Н. Ф. Четверухин, м. с. Якиманская, В. А. Гусев және басқалар айтарлықтай үлес қосты.
Бұл зерттеулерде студенттердің қиялын қалыптастыру және дамыту мәселесі бойынша әртүрлі идеялар қойылып, әзірленеді. Мұнда кеңістіктік қиялдың жалпы тұжырымдамасы және оның қалыптасуы мен даму механизмдері маңызды орын алады. Осыған байланысты орталық және параллельді проекцияны бір және екі проекция жазықтығында зерттеу міндеттері қойылады. Геометриялық кескіндерді салу теориясын дамытуға, геометриялық суреттермен жұмыс істеуге, геометриялық фигуралардың суреттеріндегі құрылыстарға ерекше назар аударылады.
Бұл ретте орта мектеп геометриясының жүйелі курсын оқу кезінде оқушылардың кеңістіктік қиялын қалыптастыруға және дамытуға бағытталған әртүрлі міндеттерді (конструктивті, метрикалық) құрастыруға көп көңіл бөлінеді.
Алайда, бұл міндеттердің жиынтығы қандай да бір белгілер бойынша нақты жүйелеуге ие емес екенін атап өткен жөн. Сонымен қатар, кеңістіктік қиялды қалыптастыруға және дамытуға бағытталған конструктивті және метрикалық есептерді шешу процесі нақты алгоритмдік құрылымға ие. Бұл оқушылардың кеңістіктік қиялын қалыптастыру және дамыту процесінің тиімділігін арттыруға мүмкіндік беретін есептерді оларды шешу алгоритмінің күрделілігі бойынша жүйелеуге мүмкіндік береді. Алайда, мұндай жүйелердің құрылысы зерттелмейді.
Ғылыми - әдістемелік жұмыстардағы студенттердің кеңістіктік қиялын қалыптастыру және дамыту мәселелерін зерттеушілердің арасында үш бағытты бөліп көрсетуге болады.
Бірінші бағыттың өкілдері (А. Д. Ботвинников, В. А.Василенко, и. А. Ройтмин, Н. Ф. Четверухин және т. б.) осы мәселені зерттей отырып, әдетте, геометриялық фигуралардың қасиеттерін зерттеуге және екі проекция жазықтығына ортогональды проекциялау кезінде олардың әртүрлі түрлендірулеріне арналған тапсырмалар жүйесін ұсынады.
Н. Ф.Четверухиннің еңбектері осы бағыттағы ғылыми - педагогикалық әдебиеттерде негізгі жұмыстар болып табылады, онда геометрия курсында кеңістіктік фигуралардың озображенияларын құру теориясы баяндалған, кескіндерді параметрлік бағалау өңделген. Олар жоғары және орта мектепте педагогикалық процестің ерекшеліктерін жан-жақты зерттеу негізінде жазылған. Бұл жұмыстардың негізгі бағыты геометрияны оқытудың теориялық деңгейін практика сұраныстарына мүмкіндігінше жақындата отырып көтеруге деген ұмтылыспен сипатталады. Автор стереометрия бағдарламасының белгілі бір бөлімдерін өту кезінде математиктердің сызба геометриясының кейбір элементтерін, атап айтқанда ортогональды проекция әдісін енгізуі орынды деп санайды. Ортоганальды проекциялардың көмегімен студенттер сызбада бейнеленген фигураны неғұрлым толық және нақты елестете алады. "Сурет тақырып модельдері мен фигуралардың дерексіз көріністері арасындағы алшақтықты толтырады "(Н. Ф. Четверухин)
А.Д. Ботвинниковтың еңбектерінде кескіндерді түрлендіру мәселелеріне ерекше көңіл бөлінеді. Трансформация идеялары графикалық қызметтің барлық түрлері үшін үлкен. Түрлендірудің жалпы әдістерін таңдау геометрия мен сызу арасындағы байланысты жүзеге асыру үшін терең негіз жасайды. Әр оқу пәнінің мүмкіндіктерін білу және пайдалану оқушылардың кеңістіктік көріністерінің қозғалғыштығын дамытуға ықпал етеді, бұл олардың ойлауының шығармашылық бағытын қалыптастыру үшін қажет. Біздің зерттеулеріміз тұрғысынан қызықты болатын қайта құру түрлері:
1. Бейнеленген заттардың кеңістіктік орналасуының өзгеруімен түрлендіру;
2. Заттың бетін орналастыру;
3. Нысанның пішінін түрлендіру. А. Д. Ботвинников түрлендірудің тек жеті түрін ажыратады және ортогональды проекциялардағы кескіндерді түрлендірудің әр түріне мысалдар келтіреді.
Суреттерді түрлендірудің барлық түрлерін және оларды орындау әдістерін игеру оқушылардың графикалық дайындығын жетілдірудің, кеңістіктік қиялдың қалыптасуының маңызды шарты болып табылады, оған математика және сызу мұғалімдерінің күш-жігері бағытталған. Оданко, тапсырмалар жүйесін құру мәселелері зерттелмейді.
Стереометриялық есептерді шешуде ортогональды проекция әдісін и. А. Ройтман қолданады. Бұл идеяның пайдасына белгілі математик В. М. Брадис: "стереометрия курсында ортогональды проекцияларды қолдану өте қажет;
Киселевтің мектеп геометрия оқулығында (2-бөлім) соңғы басылымдарда оларға арналған арнайы тарау болғандықтан, оны жүзеге асыру оңай. Мәселенің теориялық жағын қарастырмай-ақ, проблемаларды шешуде ортогональды проекцияны қолдануға болады, қарастырылып отырған кеңістіктік фигуралардың вербальды сипаттамаларын тиісті диаграммамен алмастыруға болады, оның көмегімен шешуші мәселе барлық қажетті деректерді алады: "Мұндай мәселелерді дайын диаграммада шешу, сонымен қатар ауызша сипаттамамен берілген кеңістіктік фигураларға арналған диаграммаларды өз бетінше жасау мәселені жақсы түсінуге және кеңістіктік қиялдың дамуына үлкен ықпал етеді ".
И. А. Ройтман геометрия мен сызбаны оқытудағы кемшілік-бұл пәндер арасындағы байланыстың болмауы, сызу және геометрия мұғалімдерінің бірлескен әрекеттерін үйлестіру жоқ деп санайды. Мұндай терең байланыс мұғалімнің геометрияны ұсынуы-Техникалық сызу нормаларына сәйкес сызбаларды орындау болар еді. Өкінішке орай, тағы бір нәрсе қолданылады: сызу мұғалімдері өз пәндерін догматикалық, дәлелденбеген түрде ұсынады, ал математика мұғалімдері өз кезегінде геометриялық денелерді бейнелеуде жиі қателіктер жібереді. Мұның бәрі оқушылардың кеңістіктік қиялын тиімді қалыптастыруға ықпал ете алмайды. Автор стереометриялық есептерді графикалық әдіспен шешудің мысалдарын келтіреді. Стереометриялық есептерді шешуде графикалық әдісті кеңінен қолдану мүмкіндігі Е. Василенконың жұмысында да қарастырылады. Шешу кезінде стереометрических міндеттерді әдісімен ортогональ проекциялардың оқушыларға келеді жүргізуге мысленные операциялар бойынша орын ауыстыру фигуралардың кеңістікте алу мақсатында неғұрлым сәтті сурет эпюре. Автор ұсынған идея аналитикалық жолмен алынған нәтижені тексеру үшін графикалық әдісті қолдануға мүмкіндік беретін сияқты. Графикалық есептеулердің дәлдігі жасалған операциялардың дәлдігіне байланысты. Оқушылардың нақты жауапқа деген қызығушылығы оларды нақты және нақты жұмысқа үйретеді. Бұл стереометрия курсында мәселелерді шешуде өлшеу болмағаны маңызды.
Автор стереометриялық есептерді ортогональды проекция әдісімен шешу келесідей деп санайды:
1. Проекциялардың жазықтықтарына қатысты геометриялық фигураның орналасуын таңдау керек, онда мәселені шешуге қажетті элементтер сызбаға сәйкес оңай анықталады ("ыңғайлы" орналасу).
2. Кесіндінің немесе қиманың нақты мәнін анықтау үшін проекция жазықтықтарының біріне перпендикуляр осьтің айналасында айналу әдісін қолдану қажет.
3. Егер мәселенің шарты бойынша беттің ауданын немесе фигураның көлемін анықтау қажет болса, онда графикалық әдісті қолдана отырып, есептеу кезінде қолданылатын деректерді анықтау қажет.
Ортогональды проекция әдісі геометриялық есептерді шешуде және құрылыста тиімді екенін атап өткен жөн. Оқушылардың кеңістіктік қиялын қалыптастыруда және дамытуда осы әдістің жоғары тиімділігін ажырата отырып,
мұнда авторлар кез-келген белгілер бойынша тапсырмаларды жүйелеу мәселесін қарастырмайды деп айту керек.
Екінші бағыттың өкілдері (Я. М.: Жовнир, В. Н.: Литвиненко, Л. М.: Лоповок, и. Г: поляк, н. М. Рогановский және т. б.) геометриялық фигуралардың суреттерінде әртүрлі құрылыс әдістерін зерттейді. Бұл мәселені зерттеу, әдетте, көпбұрыштар мен айналу денелерінің қималарын құру аспектісінде жүзеге асырылады. Орта мектептің стереометрия курсының мазмұны мен құрылымын ескере отырып, оқушылардың кеңістіктік қиялын қалыптастыруға және дамытуға бағытталған міндеттер жүйесін құруға көп көңіл бөлінеді. Алайда, кез
- келген белгілер бойынша тапсырмаларды жүйелеу мәселесі мұнда қарастырылмайды.
И.Г. Поляскийдің жұмысы студенттердің кеңістіктік қиялын қалыптастыруға және дамытуға бағытталған, кеңістіктік фигуралардың кескіндерін құру теориясын, параллель проекциялардың қасиеттері туралы, сызбаның нақтылығы мен дәлдігі туралы қысқаша баяндаумен проекциялық сызбада құрылысқа арналған тапсырмалар жинағы түрінде. Жинаққа Кисилев оқулығындағы теориялық материал орналасқан ретпен орналастырылған конструктивті сипаттағы тапсырмалар кіреді.
Әр түрлі көпбұрыштардың қималарын салу міндеттерінде бөлінген жазықтық негізінен осы көпбұрыштардың шеттерінде орналасқан үш нүктемен анықталады, бұл қималардың құрылысын едәуір жеңілдетеді. Қарастырылып отырған жұмысты талдау автордың тек екі жағдайда ғана үшбұрышты және төртбұрышты пирамидалардың беттерінен нүктелер алынғанын көрсетті. Алайда, осы нүктелердің орналасуы параллель проекцияның қасиеттерін толық пайдалануға мүмкіндік беретін тапсырмалар шеңберін кеңейтеді.
Геометрия-мектеп математикасының ең осал буыны геометриялық есептердің әртүрлі түрлерінің көптігімен де, оларды шешудің әртүрлі әдістері мен әдістерімен де байланысты. Алгебрадан айырмашылығы, үлгі бойынша шешілетін стандартты есептер жоқ. Бұл математика есептерін шешудің жалпы білім беру және тәрбиелік маңызы зор.
Стандартты емес геометриялық және техникалық сипаттағы шешімді іздеу бастаманы дамытады,табандылық пен тапқырлық, оларды шешу логикалық ойлауды, ойлаудың ауырлығын және жалпы математикалық мәдениетті дамытудың жақсы құралы болып табылады.
3.1 Стереометрия курсының алғашқы сабақтары
Стереометрия курсын оқу стереометрия аксиомаларынан басталады. Стереометрияда, планиметриядағы сияқты, геометриялық фигуралардың қасиеттері сейкес теоремаларды дәлелдеу арқылы тағайындалады. Мұнда негіз
болатын - негізгі геометриялық фигуралардың аксиомалармен өрнектелетін қасиеттері. Кеңістікте негізгі фигуралар болатындар: нүкте, түзу және жазықтық. Жазықтық, түзу сияқты шексіз болады.
Жаңа геометриялық бейне - жазықтықты енгізу аксиомалар жүйесін кеңейте түсуге мәжбүр етеді.
Жазықтықтардың кеңістіктегі негізгі қасиеттерін өрнектейтін аксиомалар тобы:
1. Қандай жазықтық болса да, ол жазықтыққа тиісті нүктелер және оған тиісті емес нүктелер бар болады.
2. Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса, онда олар осы нүктелер арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.
3. Егер әр түрлі екі түзудің ортақ нүктесі болса, онда олар арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.
Сонымен , стереометрияның аксиомалар жүйесі планиметрия аксиомалары мен жоғарыда келтірілген аксиомалардан тұрады.
Стереометрия аксиомаларын өткенде оқушыларға мынаны ескерткен жөн. Планиметрияда қарастырылатын фигуралар бір жазықтықта орналасады. Ал, стереометрияда жазықтықтар көп, тіпті шексіз көп. Осыған байланысты планиметрияның кейбір аксиомаларының тұжырымдамасы, стереометрияның аксиомалары сияқты анықтай түсуді талап етеді. Осыларды қарастырайық.
Жазықтыққа тиісті түзу бұл жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.
Жарты түзу жатқан жазықтықта жарты түзуден бастап берілген жарты жазықтыққа градустық өлшеуіші берілген 180 0 - тан кем бұрышты өлшеп салуға болады және ол жалғыз болады.
Ұшбұрыш қандай болса да берілген жазықтықта, осы жазықтықта берілген жарты түзуге қарағанда берілген қалыпта орналасатын, онымен тең үшбұрыш болады.
Жазықтықта берілген түзу бойында жатпайтын нүкте арқылы берілген түзуге параллель бір ғана түзу жүргізуге болады.
Стереометрияның әрбір аксиомасын енгізу үшін төмендегі схеманы қолданған жөн:
oo аксиомаларды модельде көрсету;
oo аксиоманы тұжырымдау;
oo сызбасын схемалық түрде көрсету;
oo символдық жазуын беру.
Стереометрияның екінші аксиомасы жазықтықтардың қиылысуының бар болатынын көрсетеді. Сондықтан, осы аксиомадан соң оқушыларды қиылысатын жазықтықтармен таныстыру керек.
Кеңістікте жазықтықтың орналасуын анықтайтын аксиома оқулықтарды әртүрлі тұжырымдалады. Көпшілік оқулықтарда оның дәстүрлі тұжырымдамасы былай: Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады. Ал, А.В. Погореловтың оқулығында ол үшінші аксиома түрінде берілген.
Кеңістікте жазықтықтың орналасуын анықтайтын аксиоманы енгізу процессінде оқушыларға оның мәні дұрыс түсіндіру қажет . Яғни, аксиомада
берілген шарттарды қанағаттандыратын жазықтық бар және ол жалғыз. Себебі осы фактілер кейінгі теоремаларды дәлелдеуде қолданылады.
Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады аксиомасын енгізу процессінде көрнекіліктерді қолданып , әртүрлі жағдайларды қарастыру керек.
Негізгі ұғымдарды және стереометрия аксиомаларын бір сабақта енгізген жөн. Себебі,оқушыларда бірінші рет үш өлшемді кеңістік геометриясы туралы жалпы базалық түсінік болуы үшін.
Стереометрия аксиомаларынан соң оның салдарлары оқытылады. Осы салдарларды оқу процессінде оқушылар жоғарыда өтілген аксиомаларды алғаш қолдана бастайды. Мұнда ескеретін жай, салдар - теоремаларды оқығанда олардың екі бөлімнен тұратыныдығы - бірінші теорема шарттарына сейкес жазықтықтың бар болуын дәлелдеу, екінші ондай жазықтықтың жалғыз болуын дәлелдеу.
I АЛГЕБРА ЖӘНЕ АНАЛИЗ БАСТАМАЛАРЫН ПАЙДАЛАНЫП СТЕРЕОМЕТРИЯ ЕСЕПТЕРІН ШЫҒАРУ
0.1 Туындыны пайдаланып стереометрияның комбинациялық есептерін шығару
Стереометриялық фигуралар комбинациясын оқып үйрену кең көлемді есептер құрастыру және есептерді шешуде олардың бетінің аудандары мен көлемдерін табуда көп мүмкіндіктер туғызады. IX-X сыныптардың геометрия оқулығында ондай есептер көп емес. Мұндай есептерді құрастыруда және оларды шешуде оқушылар үлкен қызығушылық танытады. Әрине ол үшін алдын-ала ойластырған жаттығуларды орындата отырып келу қажет. Төменде сондай есептердің бірнешеуін мысалға келтіреміз.
Конусқа іштей сызылған цилиндр.
Аталған комбинацияда цилиндрдің бір табаны конус табаны орналасқан жазықтықта болса, екінші табаны конустың бүйір жақтарына тіреледі. Әрине конус (цилиндр) кескіні оларды анықтайтын элементтердің біреуіне байланысты кескінделеді.
Мысалы:
Биіктігі - Н және ұзындығы - L көлбеулік бұрышы тағы басқа. Егер конусқа іштей сызылған цилиндр десек, бұл фигуралардың кескінін түрліше етіп көрсетуге болады. Себебі оның кескінін көрсетуге жеткілікті элементтер берілген.
Егер конус цилиндрге іштей сызылған десе, онда олардың ең үлкен көлемі берілген болуы тиіс. (әрине цилиндрдің көлемі)
Егер керісінше тұжырымдаса, онда конустың бетінің ауданы не көлемі белгілі болуы керек. Мұндай жоғарғы ретті күрделі есептерді шығару үшін олардың қандай да бір сызықтық элементтері белгілі болып, соның көмегімен екінші фигураның қажетті шамаларын туындыны пайдлана отырып табуға болады.
Осындай шарттарын түсіндіре отырып біз оқушымен есеп құрастыруға және оларды шешуге тоқталамыз.
1- мысал. Конустың биіктігі Н және α бұрышын жасайды. Бұған іштей сызылған цилиндрдің ең үлкен болатын көлемін табыңдар.
Шешуі:
1- сурет
Бірінші суретте
ZQ=H
ZAO=α
Цилиндрге қандай да бір сызықтық элемент енгіземіз. Мысалы:
FO=r сонда ZO1=rtga
100,1=H-rtga Va=PIr[2](H-rtga).
Мынадай функцияны қарастырамыз:
Y=r[2](H-r[3]tga) (1).
Бұдан r-дің Y=Ymax мәнінде VPI ең үлкен мәнге ие болады. Енді r-дің шектік мәнін табамыз.
Y=2rH-3[2rtga], 2rHh-3r[2tga]=0.
Себебі есептің мазмұнына қарағанда Z = 0, онда r = [2]Htga.
3
r-дің бұл табылған мәнінде (1)-ші функия ең үлкен мәнге ие болады және
VPI=V
Олай болса, V = [4𝜋] H[3]ctg[2]α.
27
Дәл осылайша цилиндрге сырттай сызылған конустың шамасы да дәл осылай табылады.
Шарға іштей сызылған конус
Егер конус шарға іштей сызылған болса, онда олардың элементтерінің шамаларының арасындағы байланыс теңдеуі деген атқа ие болатын 𝐿 = 2𝑅 sin 𝛼 , 𝐿[2] = 2𝑅𝐻 теңдеуімен өрнектеледі. Мұндағы L- конусты анықтайтын ұзындық, Н- конустың биіктігі, R-шардың радиусы, 𝛼 - конустың бүйір жағының табанымен жанасатын бұрышы (2-сурет)
2- сурет
Егер конус шарға іштей сызылған болса, оны байланыс теңдеуінің көмегімен сызуға болады, оның ішінде қандай да бір элемент берілсе.
2- мысал. Сфераның бетінің ауданы Q болса, оған іштей сызылған конустың ең үлкен толық бетінің ауданын табыңдар.
Шешуі: (0 𝛼 𝜋)
2
ZAQ = 𝛼 деп ұйғарайық. Шардың радиусы R болсын, яғни 𝑍𝑂1 = R. Онда
𝐴𝑍 = 2𝑅 sin 𝛼 , 𝐴𝑂 = 𝑅𝑠𝑖𝑛2𝛼 және 𝑆𝑘 = 𝜋𝑅[2] sin 2𝛼( sin 2𝛼 + 2 sin 𝛼) =
4𝜋𝑅[2]𝑠𝑖𝑛2𝛼 sin 𝛼𝑐𝑜𝑠[2] 𝜋.
Себебі: 𝑄 = 4𝜋𝑅[2]
2
, онда 𝑆𝑘 = 𝑄 sin 2𝛼 sin 𝛼𝑐𝑜𝑠
2 𝛼 .
2
2 𝛼
Енді Smax анықтайық. Ол үшін Y=Q sin2α sinα c os
қарастырайық және оның туындысын табайық.
функциясын
2
Y=2sinαcos[2][𝛼](cos2α+cos[2]α-2cos αsin[2][𝛼])=2sinαcosα[2](4cos[2α]-c osα-1)
2 2
Бұл есепте α-ның sinα және cos[2] [ 𝛼]
2
нольге айналдыратын мәні
қарастырылмайтындықтан, біз кризистік нүктелерін мына теңдеуден табамыз.
4cos[2]α-cosα-1=0 (3)
Бұдан cosα1 = [1+√17] және α = arccos[1+√17]
8 8
(Бұл (3) теңдеудің теріс таңбалы шешімі берілген есеп үшін бөгде түбір болып табылады).
cosα - кемімелі функция болғандықтан, α-ның мәні α1 - деп өткенде (кіші
мәнінен үлкенге) өзінің мәнін үлкен мәннен [1+√17]
8
- ге қарағанда кіші мәнге
өзгертеді. Сонымен бірге (3) теңдеудің сол жағында тұрған квадрат үшмүше өзінің мәнін оңнан теріске өзгертеді.
Ал бұл (2) функцияның α1 нүктесінде максимум мәнге ие болатынын көрсетеді. Оны есептеп, өрнекті Y-ке арнап өзгертіп жазайық.
Y=Q sin2αsinαcos[2][𝛼]cosαsin[2]α.
2
Сонда sin[2]α1=1-cos[2]α1=[23−√17].
32
2cos2𝛼1 =9+√17;
2 8
Ymax =9+√17 1+√17 23−√17 = 107+51√17.
8 8 32 512
Сонымен Skmax=[107+51√17]Q.
512
Конусқа іштей сызылған шар. Егер шар қарастырылып отырған комбинацияда анықталған болса (радиусы белгілі болса), яғни алдыңғы есептердегідей кемінде бір элементі белгілі болса, онда конуста анықталған болып табылады. Бұл қарастырылып отырған комбинациядағы фигуралардың өзара тәуелділігі бар болады және ол байланыс - байланыс теңдеуі арқылы көрсетіледі.
𝛼
𝑅 = 𝑟𝑡𝑔
2
; 𝑅 =
𝐻𝑟
;
𝑙 + 𝑟
Мұндағы R , l, H және 𝛼 − лар шар мен конус арасындағы байланыс теңдеуіндегідей мағанаға ие болады, ал r- конус табанының радиусы болып табылады. Шарға сырттай сызылған конус шектеуші болатындай есептерді қарастырамыз. Бұл жағдайда тек шектелген фигураның көлемінің (не бетінің, ауданының) минимумы жайлы әңгімелеуге болады.
3- мысал. Көлемі Q-ге тең шарға сырттай сызылған конустың көлемінің ең кіші мәні қандай болатынын анықтаңдар.
3-сурет
Шешуі:
ОО1 = 𝑅 болсын. 𝑍𝐵𝑂 = 𝛼 деп ұйғарайық. Сонда
𝛼
ОВ = 𝑅𝑐𝑡𝑔 ;
2
𝑍𝑂 = 𝑅𝑐𝑡𝑔 𝛼 − 𝑡 және 𝑉 1 𝜋𝑅[3]𝑐𝑡𝑔[3] 𝛼 ∙ 𝑡𝑔𝛼.
2 𝑘 3 2
3 3 1 𝛼3
Себебі: 𝑉 = 𝑄 = 𝜋𝑅 , онда 𝑘 = 𝑄𝑐𝑡𝑔 ∙ 𝑡𝑔𝛼.
ш 4 4 2
Енді Y= 𝑐𝑡𝑔[3] 𝛼 𝑡𝑔𝛼 (4) функциясын қарастырамыз және оның минимумын
2
табамыз.
𝛼 1 1
𝑐𝑡𝑔2
𝑐𝑡𝑔
2𝛼 3
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝛼
𝑐𝑡𝑔
𝛼
𝑐𝑡𝑔22 1
Y=3𝑐𝑡𝑔 (- 𝑎) tgα+
1 = [2] ( −
𝛼 +
2 ) =
( − 3).
2 𝑠𝑖𝑛 2
2 2 cos 𝛼 2
𝑠𝑖𝑛2
𝑐𝑜𝑠𝛼
cos 𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
2 𝑐𝑜𝑠 𝛼 2
0[5] 𝜋
екенін ескере отырып шектік (кризистік) нүктесін табамыз.
𝛼 2
𝛼1
= 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 1
3
α-ның шектік нүктеден өткенде туынды Y-тің таңбасы (-)-
тен (+)-ке ауысатынын аңғару қиын емес. Сондықтан (4) функция α1 нүктесінде ең кіші мәнге ие болады.
Ymin-ді есептейік.
tgα1=2√2; ctg[3][𝛼1]=2√2; Ymin=8.
2
Сонымен Vkmin=2Q.
Шарға іштей сызылған пирамида.. Шар мен оған іштей сызылған дұрыс пирамиданың элементтерінің арасындағы байланыс теңдеуін көрсетейік.
1=2Rsinα және l[2]=RH, мұндағы l, H пирамиданың бүйір қыры мен биіктігі, α-көлбеулік бұрышы, l - сырттай сызылған шардың радиусы.
4- мысал. Радиусы R-ге тең шарға ең үлкен көлемге ие болатын n бұрышты дұрыс пирамида іштей сызылған. Пирамиданың бүйір жағы мен табанының арасындағы екі жақты бұрышты табыңдар.
Шешуі:
ZEO ізделінді екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышы болсын (3-сурет).
ZEO=𝜑 және ZAO=α болсын, онда ZA=2Rsinα, ZO=2Rsin[2]α.
Дұрыс пирамидаға іштей сызылған шар Берілген геометриялық фигуралар комбинациясында шектеуші
пирамиданың байланысын төмендегідей теңдеумен қарастыруға болады:
𝛼
𝑅 = 𝑟𝑡𝑔 .
2
Мұндағы r-пирамида табанына іштей сызылған дөңгелектің радиусы, 𝛼 − пирамида табанының екі жақты бұрыштың шамасы, К-іштей сызылған шардың радиусы (4-сурет).
5- мысал. Радиусы R-ге тең шарға бүйір бетінің ауданы ең кіші болатындай үшбұрышты дұрыс пирамида сырттай сызылған. Пирамиданың бүйір жағының табан жазықтығына көлбеулік бұрышын табыңдар. Шешуі:
ZZDO - пирамиданың бүйір жағы мен табанының сызықтық бұрышы (8 сурет). Пирамидаға іштей сызылған шардың центрі пирамида биіктігінде жатады. Сонымен бірге шар пирамида табанының центрімен және апофемасымен жанасады.
ZDO=α және ZAO=φ болсын. Онда [OD] =Retg [α]; [AD]=3 Retg [α];
2 2
[CD]=R√3 ∙ 𝑐𝑡𝑔 a ;
2
S∆ABC = 3 R²√3 𝑐𝑡𝑔 2 𝑎:
2
𝑐𝑡𝑔² 𝑎 a
S=3 R²√3 ∙ [2] : Y= ctg ²2
функциясын қарастырамыз, (6).
𝑐𝑜𝑠𝑎 cosa
2 𝑐𝑡𝑔 𝑎 (− 1 ) 1 𝑎 𝑎
2 𝑠𝑖𝑛² 𝑎
° 𝑐𝑜𝑠𝑎+𝑐𝑡𝑔² 𝑠𝑖𝑛𝑎
2 2
𝑐𝑡𝑔 1 1
Y= [2] =
𝑐𝑜𝑠𝑎
2
𝑐𝑜𝑠² 𝛼∙𝑠𝑖𝑛² a
2
( − 𝑐𝑜𝑠[2]𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)
2 2
Есептің мазмұны бойынша α= [0: [𝜋]], онда α - ның шектік мәнін мына
2
теңдеудің 1 − 1 cos²α - cosα=0 шеш келе cosα₁ = √2 − 1 және α₁ = arecos(
2 2
√2 − 1 )екенін табамыз. (6) функцияның α=α₁ болғанда ең кіші мәніне ие болатынын көрсетуге болады.
Енді φ- ді анықтайық. AO және OD - ның қатынасынан tgφ=0.5tga екені шығады. Себебі: cosα=( √2 − 1), олай болса tgφ = √2 + 2√2 ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Физика және математика кафедрасы ӘОЖ 37.016 : 512 : 514.113 : 378.245.2
ЖАРЫЛҚАП ЖАНСАЯ МҰРАТҚЫЗЫ
Ғылыми жетекшісі: ф.-м. ғ.к., қауымдастырылған профессор Ибраев Шерали Шапатаевич
Ғылыми кеңесшіcі: ф.-м. ғ.к., профессор м.а.
Турбаев Боранбай Есмаханбаевич
Қазақстан Республикасы
Қазақстан Республикасы ғылым және білім министрлігі Қорқыт Ата атындағы Қызылорда университеті Жаратылыстану институты
Физика және математика кафедрасы
Қорғауға жіберілді Кафедра меңгерушісі Л.С. Каинбаева
_ 2021 жыл
Магистрлік диссертация (магистрлік жоба) АЛГЕБРА ЖӘНЕ АНАЛИЗ БАСТАМАЛАРЫН СТЕРЕОМЕТРИЯ
ЕСЕПТЕРІН ШЫҒАРУДА ПАЙДАЛАНУ ЖОЛДАРЫ
мамандығы: 7М01510 - Математика (ғылыми-педагогикалық бағыт)
Магистрант Ж.М. Жарылқап
Ғылыми жетекшісі,
ф.-м.ғ.к., қауымдастырылған
профессор Ш.Ш. Ибраев
Ғылыми кеңесші,
ф.-м.ғ.к, профессор м.а. Б.Е. Турбаев Институт директоры С.О. Қосaнов
МАЗМҰНЫ
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР 4
КІРІСПЕ 5
I. СТЕРЕОМЕТРИЯ КУРСТАРЫН ЖҮЙЕЛІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕРІ
1.1 Орта мектепте геометрия пәнін оқыту мәселелері 10
1.2 Стереометрия курсының алғашқы сабақтары 16
II. ТУЫНДЫ, ИНТЕГРАЛ АМАЛДАРЫ МЕН ТРИГО НОМЕТРИЯНЫ ПАЙДАЛАНЫП СТЕРЕОМЕТРИЯ ЕСЕПТЕРІН ШЕШУ ЖОЛДАРЫ
0.1 Туындыны пайдаланып стереометрияның комбинациялық есептерін шығару 18
0.2 Геометрияның аудан, көлем табу есептерін анықталған интеграл арқылы есептеу 24
0.3 Геометриялық есептерді шешуде тригонометрияны қолдану 46
ІІІ. ЭКСПЕРИМЕНТ ЖӘНЕ ОНЫҢ НӘТИЖЕЛЕРІ 81
ҚОРЫТЫНДЫ 84
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 86
ҚОСЫМША 1 91
ҚОСЫМША 2 95
ҚОСЫМША 3 96
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР
Осы диссертациялық жұмыста келесі нормативтік сілтемелер қолданылды:
1. Қазақстан Республикасының Білім туралы - 27.07.2007-№319 ШЗ РК заңы.
2. Қазақстан Республикасының Қазақстан-2050 стратегиялық бағдарламасы;
3. 2018 жылы 10 қаңтардағы Төртінші өнеркәсіптік революция жағдайындағы дамудың жаңа мүмкіндіктері Қазақстан Республикасының Президенті Н.Назарбаевтың Қазақстан халқына жолдауы;
4. Қазақстан Республикасы Үкіметінің 2019 жылғы 27 желтоқсандағы
№ 988 қаулысы Қазақстан Республикасында білім беруді және ғылымды дамытудың 2020 - 2025 жылдарға арналған мемлекеттік бағдарламасын бекіту туралы.
КІРІСПЕ
Математика жалпы адамзаттық мәдениеттің феномені бола отырып, даму әлеуетіне ие, өйткені зерттеу логикалық ойлаудың кеңістіктік қиялын дамытуға ықпал етеді. Сонымен бірге, беделді, ғылыми педагогикалық қоғамдастықтың пікірінше, мектеп оқушылары мен студенттердің математикалық білім деңгейі бүгінде жеткілікті жоғары емес.
Әлеуметтік-саяси, экономикалық және мәдени қайта құрулар мен қоғамға негізделген Қазақстан Республикасының әлемдік білім беру кеңістігіне ену ғылымды дамыту қажеттілігін, мектептегі білім беру жүйесін компьютерлендіруді, оқу пәндерін оқытудың мазмұндық жағының сапасы мен нәтижелілігіне қойылатын талаптарды, ал математиканың ерекшеліктерін арттыруды талап етеді. Қазіргі уақытта ақпараттық әлем негізгі математикалық дайындықсыз көрінбейді.
Елбасымыз Н.Ә.Назарбаевтың Қазақстан-2050 Қазақстан халқына жолдауында білім беру саласындағы басымдықтардың ішінде: ...Ескірген немесе сұраныс жоқ ғылыми және білім пәндерінен арылу, сонымен бірге сұраныс көп және болашағы бар бағыттарды күшейту қажет. Орта және жоғары білім берудің оқу жоспарларының бағыттылығы мен басымдықтарын оларға тәжірибелік машықтарға үйрету бойынша және тәжірибелік біліктілікке ие болу бағдарламаларын қосып, өзгерту...[1] деп атап көрсеткен болатын.
Білім - үдемелі индустриальді жаңа технологияға бағытталған мемлекетіміздің дамуы мен бәсекелестік мүмкіндігінің анықтауыш көрсеткіші болып табылады.
Сондықтан еліміздің жаңа даму бағытында білім беру жүйесінің алдында:
1. Білім беру мекемелерін оңтайландыру;
2. Оқу-тәрбие үдерісін түбегейлі жаңғырту;
3. Білім беру қызметтерінің тиімділігін арттыру сияқты үш басты бағыт айқын қойылды. Соның ішінде жалпы білім беретін мектептердің алдында тұрған шұғыл міндет - оқуды өмірге, жаңа технологияға жақындату. Осыған байланысты мектептегі іргелі жаратылыстану-математика бағытындағы пәндерді оқытудағы әдістемелік мәселелердің мәні ерекше артады.
Қазақстан Республикасының Білім туралы заңында (2007ж.) білім беру жүйесінің жеке адамды қалыптастыруға, дамытуға және кәсіби шыңдауға бағытталған рөлі атап көрсетілсе, осы заңның 41 -бабында:
Педагог қызметкерлер оқушылардың мемлекеттік білім беру стандартында көзделген деңгейден төмен емес білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеттерінің көрініп дамуы үшін жағдай жасауға міндетті делінген.
Сондықтан орта мектептің алдында тұрған негізгі міндеттердің бірі - оқушылардың шығармашылық қабілетін барынша ашып, қоғамды құрып дамытуға бар мүмкіндігін жұмсайтын қабілетті жеке тұлғаны қалыптастыру. Әрбір оқушының тұлға ретінде қалыптасып дамуына математикалық білімнің үлкен үлесі бар.
Себебі, біріншіден, математика басқа ғылымдар саласының дамуының тірегі, қызметшісі, екіншіден, математика қоршаған ортаны білудің басты көзі, үшіншіден, математика дедуктивтік құрылған ғылым болғандықтан, оқушының заңға сүйеніп, ой қорытындылауын, заңды сыйлау психологиясын қалыптастырады, төртіншіден, математика адамның рухани дамуына, ғылыми көзқарастарының қалыптасуына, логикалық ойлау қабілетінің дамуына көмектеседі.
Мектеп математикасын өмірмен байланыстыру, бұл пәнді адамдардың практикалық және техникалық іс-әрекетіне қолдану үшін мектеп математикасы мен математика ғылымын жаңа технологияларға үйлесімді және барынша түсінікті түрде оқыту қажет.
Бұл мәселені шешу мүмкіншілігі - алгебра және анализ бастамаларын орта мектеп математика курсында бүгінгі күн талабына сай оқытуды ұйымдастыру. Алгебра және анализ бастамаларының негізгі күрделі тарауларын мектеп курсында оқыту мәселесі ұзақ сатыдан өтті, оны мектепте оқыту тәжірибесіне енгізу мәселесі ХІХ ғасырдың екінші жартысында-ақ көптеген елдерді толғандырды.
XX ғасырдың 50 жылдарында Кеңестер Одағында математиканы орта мектепте оқыту реформасы жүзеге асырыла бастады. Алгебра және анализ бастамаларын мектеп курсына енгізу идеяларын академик Н.Н.Лузин, Д.М.Синцов, профессор Н.А.Глаголев, Б.Н.Делоне, Я.С.Дубнов және озат мұғалімдер қолдады.
Осы кезеңде ipi ғалым-математиктер А.Д.Александров, А.И.Бега, Б.В.Гнеденко, Я.Б.Зельдович, А.Н.Колмогоров, М.А.Лаврентьев, А.И.Маркушевич, И.Г.Петровский және басқалардың мектепте математикалық білімді модернизациялау туралы маңызды мақалалары баспасөзде жарияланды.
XX ғасырдың 70 жылдарының соңында орта мектепке жаңа курс
Алгебра және анализ бастамалары енгізілді, бұл курстың енгізілуіне байланысты осы пәнді оқыту әдістемесін дайындаудың қажеттілігі туды.
Алғашқы кезеңде көптеген математик және әдіскерлер (А.Н.Колмогоров, А.И.Маркушевич, С.И.Шварцбурд, Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов және тағы басқалар) курстың жетекші идеясы мен мазмұнын анықтау бағытында жұмыс жасады. Сол сияқты бұл сұрақтарға М.Ахметов, В.В.Ветров, Е.В.Галкин, Д.М.Соловьева, А.С.Шумов тағы басқалардың диссертациялық зерттеулері арналды.
Орта мектепте математикалық білім мазмұнын жетілдіру, білім стандартын жобалау, оқу-әдістемелік кешенмен қамтамасыз ету, математикалық білімнің сабақтастығы мен болашағы, жаңа технологиялар мәселелері қазақстандық ғалымдар А.Е.Әбілқасымова, М.Есмұхан, Б.Баймұханов, Е.Ө.Медеуов. С.Е.Шәкілікова, Д.Рахымбек, О.Сатыбалдиев тағы басқалардың еңбектерінде қарастырылды.
Ресейлік ғалымдардың зерттеулерінің басым көпшілігі алгебра және анализ бастамаларын мектепте оқыту мазмұнын анықтау және олардың
алгебра, геометрия курсымен өзара байланысы бағытында жүргізілген. Кешенді түрде қарастырылған жұмыстар аздау. Ал қазақстандық ғалымдардың (А.М.Мубараков, О.Сатыбалдиев, т.с.с.) еңбектері математиканы окытудағы сабақтастық және болашақ мұғалімдерді жоғары оқу орнында кәсіби дайындау жүйесіне арналған.
Сонымен қатар Қазақстан Республикасы мектептеріндегі алгебра және анализ бастамаларын оқыту практикасында шешілмеген маңызды мәселелер әлі де аз емес. Оған: орта мектепте алгебра және анализ бастамаларын оқытуды жетілдіруді теориялық-әдістемелік тұрғыдан негіздеу, математиканың қолданбалық бағытын терең ашу, пәнішілік және пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру, сабақтастықты дамыту, қазіргі заманға сай технологияларға негізделген әдістемелік жабдықтармен математика мұғалімдерін қамтамасыз ету және бүгінгі күнн талабына сай білім деңгейін үнемі көтеріп отыру мәселелері жатады.
Зерттеудің өзектілігі. Орта мектептерде геометрия есептерін атап айтқанда, стереометрия есептерін шешуде пәннің ішкі мүмкіндіктерімен қатар Алгебра және анализ бастамалры бойынша енгізілетін негізгі ұғымдарды пайдалану.
Зерттеу мақсаты - орта мектептерде алгебра және анализ бастамалары негізінде стереометрия есептерін шешу әдістемесін жетілдіру. Тригонометрия, туынды, интеграл тарауларына сәйкес жаттығулар жүйесін жасау және пәнішілік байланыстарды қолдануды ғылыми-әдістемелік тұрғыда жүйелеу және практикада жүзеге асыру сұрақтарын қарастыру.
Мақсатқа сай негізгі міндеттері:
oo Орта мектепте алгебра және анализ бастамаларын стереометрия есептерін шешуде пайдаланудың психологиялық-педагогикалық және әдістемелік алғышарттарын айқындау;
oo Стереометрия есептерін шешуді оңайлату үшін анализ бастамалары бойынша берілетін негізгі ұғымдар: тригонометриялық функция формулалалары, туынды және анықталған интегралды пайдалану.
Зерттеу нысаны - орта мектепте математиканы оқыту үдерісі.
Зерттеу пәні - орта мектепте алгебра және анализ бастамаларын оқыту әдістемесі.
Зерттеу жұмысының мақсаты мен болжа мына сәйкес мынадай міндеттерді шешу қажет болды:
oo дамыған елдердің және Қазақстан мектептеріндегі алгебра және анализ бастамаларын оқытуды жетілдірудің философиялық, әлеуметтік, психологиялық, педагогикалық, қолданбалық және әдістемелік алғы шарттарын айқындау;
oo алгебра және анализ бастамалары ұғымдарын енгізудің және оны қалыптастырудың ғылыми-әдістемелік негіздерін анықтау;
oo алгебра және анализ бастамаларын оқытудағы пәнішілік және пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру және сабақтастықты дамыту;
oo жасалған әдістемелік жүйенің тиімділігін тексеру үшін эксперимент
жүргізу, оның нәтижелерін қорыту және бағалау.
Зерттеу жұмысының әдіснамалық және теориялық негіздері: белгілі математиктердің (А.Д.Александров, Н.Я.Виленкин, Б.В.Гнеденко, А.Н.Колмогоров, О.Жәутіков, Б.М. Оразбаев т. б.) еңбектері; біртұтас педагогикалық процесс теориясы (М.Е.Есмұхан, Е.Ө.Медеуов, Д.Рахымбек, С.Е.Шәкілікова және басқалары); оқытудың жаңа технологиясы (В.П.Беспалько, Ж.Қараев, Қ.Қабдықайыров, И.Я.Лернер, В.М.Монахов және т.б.); дидактикадағы озық ғалымдардың [С.И.Архангельский, Ю.К.Бабанский, В.П.Беспалько, П.И.Пидкасистый, Н.Ф.Талызина т.б.] іргелі еңбектері, білім беруді компьютерлендіру саласындағы [А.А.Андреев, Б.С.Гершунский, В.В.Гузеев, А.П.Ершов, Е.И.Машбиц, С.Пейперт, Б.Баймұханов, Г.Қ.Нұрғалиева, Ж.А.Қараев т.б.] теориялық негіздер, компьютерлік технологиялардың оқытуды қарқындатудағы артықшылықтарына арналған зерттеулер [М.М.Буняев, Я.А.Ваграменко, Д.М.Жүсібалиева, А.Қ.Қозыбай, Г.А.Козлова, И.И.Мархель, М.В.Меламуд, Ю.О.Овакимян, М.Ф.Поснова, А.Я.Савельев, С.С.Үсенов, А.І.Тәжіғұлова және т.б.].
Зерттеу көздері: Қазақстан Республикасының Білім туралы Заңы, Қазақстан Республикасы жалпы орта білім берудің мемлекеттік жалпыға міндетті стандарттары, орта білім беру жүйесін ақпараттандырудың мемлекеттік бағдарламасы, орта мектептің пәндік оқу бағдарламалары, педагог және әдіскер ғалымдардың зерттеу мәселесіне қатысты іргелі еңбектері.
Зерттеу әдістері:Бекітілген жоба тақырыбы бойынша қарастырылатын мәселелерге байланысты психологиялық-педагогикалық және әдістемелік еңбектермен оқып танысу, және оларға талдау жасау, жүйелеу. Мектеп математика пәні бойынша жасалған оқу стандартына, бағдарламасына, оқулықтарға талдау жасау. Математикалық білім беру жөніндегі озық тәжірибелермен танысу және жинақтау. Тәжірибелік эксперименттік жұмыс жүргізу және оны қорытындылау.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы: Орта мектептерде алгебра және анализ бастамалары негізінде стереометрия есептерін шешуге әдістемелік талдау жасау. Алгебра және анализ бастамаларын стереометрия есептерін шешуде пайдалану жолдары атты әдістемелік құрал.
Зерттеудің ғылыми болжамы: Егер алгебра және анализ бастамаларын пайдаланып стереометрия есептерін шығаруды жетілдірсе, онда оқушылардың шығармашылық ойлау қабілеттері дамиды.
Зерттеудің әдістері: Бекітілген жоба тақырыбы бойынша қарастырылатын мәселелерге байланысты психологиялық-педагогикалық және әдістемелік еңбектермен оқып танысу, және оларға талдау жасау, жүйелеу, мектеп математика пәні бойынша жасалған оқу стандартына, бағдарламасына, оқулықтарға талдау жасау. Математикалық білім беру жөніндегі озық тәжірибелермен танысу және жинақтау. Тәжірибелік эксперименттік жұмыс жүргізу және оны қорытындылау.
Зерттеудің негізгі кезеңдері:
Бірінші кезеңде зерттеу проблемасына сәйкес психологиялық- педагогикалық, ғылыми-әдістемелік әдебиеттер зерделеніп, оларға талдау жасалды және алгебра және анализ бастамаларының орта мектепте оқыту тәжірибелері зерттелді.
Екінші кезеңде алгебра және анализ бастамаларын орта мектепте оқытуды жетілдірудің мүмкін жолдары, тақырыптар бойынша жаттығулар шығарудың әдістемесі дайындалып және диссертация тақырыбына сәйкес ізденіс эксперименті жүргізілді.
Үшінші кезеңде зерттеу жұмысының негізгі теориялық мәселелері нақтыланып, екінші кезеңде дайындалған әдістемелік жүйенің тиімділігін тексеру мақсатында оқыту эксперименті өткізілді және мектепте тақырыптық қорытынды ашық сабақ ұйымдастырылды, алынған нәтижелер статистикалық өңдеуден өтіп, қорытындыланды.
Зерттеу нәтижелерінің дәлелділігі мен негізділігі: зерттеу проблемасына сәйкес философиялық, психологиялық, педагогикалық, математикалық, әдістемелік әдебиеттерге және нақтылы тәжірибеге терең талдау жасалынуымен, зерттеу проблемасының қойылуы, зерттеу мазмұнының ғылыми талапқа сай келуімен, зерттеу пәніне сәйкес тиімді әдістер, құралдар, қазіргі технологияны қолдану, оны жүзеге асырудың логикалық тұрғыдан жүйелілігімен, эксперименттік жұмыстың оң нәтижелерімен, қойылған зерттеу болжамының дәлелденуімен қамтамасыз етіледі.
Зерттеу нәтижелерін сынақтан өткізу және практикаға енгізу: зерттеу нәтижелері бойынша І. Қабылов атындағы №12 IT-мектеп-лицейінде және Жамбыл атындағы №120 орта мектебіндегі 11 сынып оқушыларынан сауалнама алынып, соның нәтижесінде алгебра және анализ бастамаларын стереометрия есептерін шешуде пайдалану жолдары түсіндірілді және практикалық жұмыстар орындалды.
Қорқыт ата атындағы Қызылорда мемлекеттік университетінің математика және математиканы оқыту әдістемесі кафедрасының мәжілістерінде, университеттің ғылыми-әдістемелік кеңестерінде баяндалды.
Зерттеу базасы: Зерттеу жұмысының негізгі эксперименттік жұмыстары Қызылорда қаласының І. Қабылов атындағы №12 IT-мектеп-лицейінде және Жамбыл атындағы №120 орта мектебінде жүргізілді.
Диссертация құрылымы: диссертация кіріспеден, үш бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және қосымша материалдан тұрады.
Кіріспеде зерттеу проблемасының көкейкестілігі негізделді, ғылыми аппараты: нысаны, пәні, мақсаты, ғылыми болжамы, міндеттері, әдіснамалық және теориялық негіздері, зерттеу көздері, әдістері, ғылыми жаңалығы мен теориялық маңызы, практикалық мәнділігі, қорғауға ұсынылатын негізгі қағидалар, зерттеу нәтижелерінің дәлелдігі мен негізділігі, зерттеу нәтижелерін сынақтан өткізу және практикаға енгізу, зерттеу базасы туралы баяндалды.
I СТЕРЕОМЕТРИЯ КУРСТАРЫН ЖҮЙЕЛІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕРІ
1.1 Орта мектепте геометрия пәнін оқыту мәселелері
Мектепте геометрия курсы үлкен орын алады және оқытуға көп көңіл бөлінеді. 7-11 кластарда математикаға бөленген уақыттың 40% геометрияға тиісті.
Мектеп геометриясының негізгі мазмұны 200 жылдан бері бір қалыпты сақталып келеді және оның шығар жері (қайнар көзі) Евклидтің Негіздері. Планиметрия курсында түзулердің өзара орналасуы; үшбұрыш, төртбұрыш және шеңбер қасиеттері; фигуралардың теңдігі және ұқсастығы; ұзындықты, бұрыштар мен аудандар шамаларын өлшеу сияқты мәселелер қарастырылады.
Геометрия курсының негізгі мәселелері:
* геометрияның негізгі фактілерің, оларды алу өдістерің және оларды қолдану мүмкіндіктерін жүйелі түрде оқу;
* шектес пәндерді оқу үшін одан алған білімдерді колдануды қамтамасыз ететін, оқушылардың іскерлігі мен дағдысын дамыту;
* оқушылардың кеңістікті елестетуін және логикалық ойлауын дамыту. Сонымен, геометрияның міндеті - оқушыларда үш түрлі сапаны дамыту:
кеңістікті елестету; практиканы түсіну және логикалық ойлау.
Оқушылардың кеңістікті елестетуі мен логикалық ойлауын дамытудың негізі, олардың геометриялық фактілер мен әдістерді білуі.
А.В. Погорелов оқулығында бірінші орынға оқушылардың логикалық ойлауын дамыту қойылған. Ол өзінің кітабында былай деп жазады:
геометрияны оқытудың басты мәселесі - оқушыларды логикалық ойлауға, өз пікірін дәлелдеуге үйрету
Ал Л.С. Атанасян мен В.Ф. Бутузовтардың оқулығында оқушылардың іскерлігі мен дағдысын дамытуға, түсінікті етіп баяндауға ерекше көңіл аударылады.
В.Г. Болтянский, мектепте геометрияны оқытудын басты мақсаты,- оқушыларға есеп шешуде қалай ойлау, қалай дұрыс ой тұжымдауды көрсету деп есептейді.
Негізгі өзекті мәселелердің бірі-математикалық білім беруде үлкен орын алатын және үлкен тәрбиелік мәні бар мәселелерді шешу, сондықтан есептерді шешуге оқытуға көп көңіл бөлінеді. Стандартты емес шешімді іздеу геометриялық және техникалық сипатта бастаманы, тапқырлықты дамытады, оларды шешу логикалық ойлауды, қатаң пайымдауды және жалпы математикалық мәдениетті дамытудың тамаша құралы болып табылады. Математикалық есептерді шешуді үйрену есептердің белгілі бір түрлерін шешудің жолдарын және оларды игеру тәжірибесін көрсету болды.
Математикадағы бейіналды және бейіндік оқыту жүйесіндегі қолданбалы курстардың негізгі функциясы-математиканың идеялары мен әдістері туралы, математика туралы ғылымның әмбебап тілі ретінде идеяларды қалыптастыру; оқушылардың шығармашылық қабілеттерін, оқытудың саналы мотивтерін
дамыту, білім беруді жалғастыруға және мамандықты саналы түрде таңдауға дайындық.
Геометриялық есептерді шешу көптеген студенттер үшін қиын. Бұл, ең алдымен, белгілі бір теореманы немесе формуланы қолдана отырып, геометриядағы кез-келген мәселені сирек шешуге болатындығымен түсіндіріледі. Көптеген тапсырмалар әр түрлі теориялық білімді қолдануды, тұжырымдарды дәлелдеуді талап етеді, тек фигураның белгілі бір орналасуы, әртүрлі формулаларды қолдану. Жоспарды шешуде дағдыларды әртүрлі әдістермен және тәсілдермен танысып, олардың көп мөлшерін шешу арқылы ғана алуға болады.
Жалпы білім беретін мектептердің геометрия бойынша бағдарламасы міндеттерді шешу әдістеріне, әсіресе олардың ерекше жағдайларына назар аудармайды.
Мәселелерді шешу өнері курстың теориялық бөлігін жақсы білуге, геометриялық фактілерді жеткілікті білуге, геометриялық есептерді шешудің әдістері мен әдістерінің белгілі бір арсеналын игеруге негізделген.
Геометриялық есептерді шешу әдістері кейбір ерекшеліктерге ие, атап айтқанда: үлкен әртүрлілік, формальды сипаттаудың қиындығы, өзара алмасу, қолдану аймағының нақты шекаралары ның болмауы. Сондықтан нақты мәселелерді шешуде тәсілдерді, әдістерді, әдістерді қолдануды қарастырған жөн. Оқушыларды геометриялық есептерді ш ешу әдістерімен таныстыру оқушылардың өз іс-әрекеттерін есептерді шешуге, олардағы жалпы тәсілдер мен әдістерді бөліп көрсетуге, олардың теориялық түсінігі мен негіздемесіне, тапсырмаларды бірнеше жолмен шешуге ынталандырады. Мәселелерді шешудің аналитикалық әдісіне ерекше назар аударылады, студенттер мәселенің жағдайын талдау, мәселенің шешімін талдау оны шешудің маңызды кезеңдері екенін
түсінеді, студенттер жоғары талдау схемасымен танысады.
Алгебралық әдістер геометриялық есептерді шешуде үлкен маңызға ие. Алгебра, көбінесе тригонометриямен бірге көптеген күрделі тапсырмаларды шешуге мүмкіндік береді.
Есептердің геометриясына алгебралық тәсілдің мәні - геометриялық тұрғыдан теңдеуді құру, содан кейін оны алгебралық құралдармен зерттеу туралы шешім қабылдау. Әрине, содан кейін сол немесе алынған нәтиже қалады. Геометрияда алгебраны қолданудың кең мүмкіндіктері Үшбұрыш пен шеңбердегі метрикалық қатынастарды ашады. Үшбұрыштарды шешу
формулалары, синустар мен косинустардың теоремалары және т. б.
Алгебралық әдістермен шешілетін есептер кейде өте ұзақ есептеулерді қажет ететінін ескеріңіз. Сондықтан сіз үлкен жауаптардан қорықпауыңыз керек. Әдетте, мұндай есептерде қажетті есептеулер қарапайым және алгебраның негізгі формулаларын жақсы білетін, алгебралық және тригонометриялық түрлендіру техникасымен жақсы білетін, дәл және мұқият есептеулер жүргізуге дағдыланған кез келген адамға қол жетімді[16].
Геометриялық есептерді шешудің аналитикалық әдістерін білу күрделі болып көрінетін математикалық есептерді қарапайым, түсінікті және әдемі шешуге мүмкіндік береді.
Сонымен қатар, ұсынылған курс тақырып туралы тұтас түсінік қалыптастыруға және әдістерді түсінуге, есептерді шешуге байланысты міндеттер спектрін едәуір кеңейтуге мүмкіндік береді
Курс бойынша сабақтарда бағдарламалық мазмұнды құрастыру алгаритмге сәйкес жүргізілуі мүмкін:
1. Бастапқы білімді жалпылау.
2. Теориялық білімді жүйелеу, нақтылау және азайту.
3. Базистік білімді қолдану бойынша оқушылардың практикалық қызметін жобалау және ұйымдастыру.
Бағдарламалық материалдың мұндай дизайны, мазмұн блоктарының толықтығы оқушыға өзіне жүктелген дидактикалық міндеттерге жетуге көмектеседі, оқытудың әртүрлі түрлері мен формаларын біріктіруге мүмкіндік береді.
Соңғы үш онжылдықта педагогикалық психологияда, дидактикада, Математиканы оқыту әдістемесінде оқушылардың кеңістіктік қиялын қалыптастыру және дамыту мәселесі бойынша зерттеулер жүргізілді. Бұл теорияға А.К.Артемов, в.г.Болтянский, А.Д. Ботвинников, Г. Д. Тлейзер, Я. М. Жовнир, а. н. Колмогоров, В. Н. Литвиненко, Л. М. Лоповок, А. Пардала, и. Г. поляк, г. И. Саранцев, Н. Ф. Четверухин, м. с. Якиманская, В. А. Гусев және басқалар айтарлықтай үлес қосты.
Бұл зерттеулерде студенттердің қиялын қалыптастыру және дамыту мәселесі бойынша әртүрлі идеялар қойылып, әзірленеді. Мұнда кеңістіктік қиялдың жалпы тұжырымдамасы және оның қалыптасуы мен даму механизмдері маңызды орын алады. Осыған байланысты орталық және параллельді проекцияны бір және екі проекция жазықтығында зерттеу міндеттері қойылады. Геометриялық кескіндерді салу теориясын дамытуға, геометриялық суреттермен жұмыс істеуге, геометриялық фигуралардың суреттеріндегі құрылыстарға ерекше назар аударылады.
Бұл ретте орта мектеп геометриясының жүйелі курсын оқу кезінде оқушылардың кеңістіктік қиялын қалыптастыруға және дамытуға бағытталған әртүрлі міндеттерді (конструктивті, метрикалық) құрастыруға көп көңіл бөлінеді.
Алайда, бұл міндеттердің жиынтығы қандай да бір белгілер бойынша нақты жүйелеуге ие емес екенін атап өткен жөн. Сонымен қатар, кеңістіктік қиялды қалыптастыруға және дамытуға бағытталған конструктивті және метрикалық есептерді шешу процесі нақты алгоритмдік құрылымға ие. Бұл оқушылардың кеңістіктік қиялын қалыптастыру және дамыту процесінің тиімділігін арттыруға мүмкіндік беретін есептерді оларды шешу алгоритмінің күрделілігі бойынша жүйелеуге мүмкіндік береді. Алайда, мұндай жүйелердің құрылысы зерттелмейді.
Ғылыми - әдістемелік жұмыстардағы студенттердің кеңістіктік қиялын қалыптастыру және дамыту мәселелерін зерттеушілердің арасында үш бағытты бөліп көрсетуге болады.
Бірінші бағыттың өкілдері (А. Д. Ботвинников, В. А.Василенко, и. А. Ройтмин, Н. Ф. Четверухин және т. б.) осы мәселені зерттей отырып, әдетте, геометриялық фигуралардың қасиеттерін зерттеуге және екі проекция жазықтығына ортогональды проекциялау кезінде олардың әртүрлі түрлендірулеріне арналған тапсырмалар жүйесін ұсынады.
Н. Ф.Четверухиннің еңбектері осы бағыттағы ғылыми - педагогикалық әдебиеттерде негізгі жұмыстар болып табылады, онда геометрия курсында кеңістіктік фигуралардың озображенияларын құру теориясы баяндалған, кескіндерді параметрлік бағалау өңделген. Олар жоғары және орта мектепте педагогикалық процестің ерекшеліктерін жан-жақты зерттеу негізінде жазылған. Бұл жұмыстардың негізгі бағыты геометрияны оқытудың теориялық деңгейін практика сұраныстарына мүмкіндігінше жақындата отырып көтеруге деген ұмтылыспен сипатталады. Автор стереометрия бағдарламасының белгілі бір бөлімдерін өту кезінде математиктердің сызба геометриясының кейбір элементтерін, атап айтқанда ортогональды проекция әдісін енгізуі орынды деп санайды. Ортоганальды проекциялардың көмегімен студенттер сызбада бейнеленген фигураны неғұрлым толық және нақты елестете алады. "Сурет тақырып модельдері мен фигуралардың дерексіз көріністері арасындағы алшақтықты толтырады "(Н. Ф. Четверухин)
А.Д. Ботвинниковтың еңбектерінде кескіндерді түрлендіру мәселелеріне ерекше көңіл бөлінеді. Трансформация идеялары графикалық қызметтің барлық түрлері үшін үлкен. Түрлендірудің жалпы әдістерін таңдау геометрия мен сызу арасындағы байланысты жүзеге асыру үшін терең негіз жасайды. Әр оқу пәнінің мүмкіндіктерін білу және пайдалану оқушылардың кеңістіктік көріністерінің қозғалғыштығын дамытуға ықпал етеді, бұл олардың ойлауының шығармашылық бағытын қалыптастыру үшін қажет. Біздің зерттеулеріміз тұрғысынан қызықты болатын қайта құру түрлері:
1. Бейнеленген заттардың кеңістіктік орналасуының өзгеруімен түрлендіру;
2. Заттың бетін орналастыру;
3. Нысанның пішінін түрлендіру. А. Д. Ботвинников түрлендірудің тек жеті түрін ажыратады және ортогональды проекциялардағы кескіндерді түрлендірудің әр түріне мысалдар келтіреді.
Суреттерді түрлендірудің барлық түрлерін және оларды орындау әдістерін игеру оқушылардың графикалық дайындығын жетілдірудің, кеңістіктік қиялдың қалыптасуының маңызды шарты болып табылады, оған математика және сызу мұғалімдерінің күш-жігері бағытталған. Оданко, тапсырмалар жүйесін құру мәселелері зерттелмейді.
Стереометриялық есептерді шешуде ортогональды проекция әдісін и. А. Ройтман қолданады. Бұл идеяның пайдасына белгілі математик В. М. Брадис: "стереометрия курсында ортогональды проекцияларды қолдану өте қажет;
Киселевтің мектеп геометрия оқулығында (2-бөлім) соңғы басылымдарда оларға арналған арнайы тарау болғандықтан, оны жүзеге асыру оңай. Мәселенің теориялық жағын қарастырмай-ақ, проблемаларды шешуде ортогональды проекцияны қолдануға болады, қарастырылып отырған кеңістіктік фигуралардың вербальды сипаттамаларын тиісті диаграммамен алмастыруға болады, оның көмегімен шешуші мәселе барлық қажетті деректерді алады: "Мұндай мәселелерді дайын диаграммада шешу, сонымен қатар ауызша сипаттамамен берілген кеңістіктік фигураларға арналған диаграммаларды өз бетінше жасау мәселені жақсы түсінуге және кеңістіктік қиялдың дамуына үлкен ықпал етеді ".
И. А. Ройтман геометрия мен сызбаны оқытудағы кемшілік-бұл пәндер арасындағы байланыстың болмауы, сызу және геометрия мұғалімдерінің бірлескен әрекеттерін үйлестіру жоқ деп санайды. Мұндай терең байланыс мұғалімнің геометрияны ұсынуы-Техникалық сызу нормаларына сәйкес сызбаларды орындау болар еді. Өкінішке орай, тағы бір нәрсе қолданылады: сызу мұғалімдері өз пәндерін догматикалық, дәлелденбеген түрде ұсынады, ал математика мұғалімдері өз кезегінде геометриялық денелерді бейнелеуде жиі қателіктер жібереді. Мұның бәрі оқушылардың кеңістіктік қиялын тиімді қалыптастыруға ықпал ете алмайды. Автор стереометриялық есептерді графикалық әдіспен шешудің мысалдарын келтіреді. Стереометриялық есептерді шешуде графикалық әдісті кеңінен қолдану мүмкіндігі Е. Василенконың жұмысында да қарастырылады. Шешу кезінде стереометрических міндеттерді әдісімен ортогональ проекциялардың оқушыларға келеді жүргізуге мысленные операциялар бойынша орын ауыстыру фигуралардың кеңістікте алу мақсатында неғұрлым сәтті сурет эпюре. Автор ұсынған идея аналитикалық жолмен алынған нәтижені тексеру үшін графикалық әдісті қолдануға мүмкіндік беретін сияқты. Графикалық есептеулердің дәлдігі жасалған операциялардың дәлдігіне байланысты. Оқушылардың нақты жауапқа деген қызығушылығы оларды нақты және нақты жұмысқа үйретеді. Бұл стереометрия курсында мәселелерді шешуде өлшеу болмағаны маңызды.
Автор стереометриялық есептерді ортогональды проекция әдісімен шешу келесідей деп санайды:
1. Проекциялардың жазықтықтарына қатысты геометриялық фигураның орналасуын таңдау керек, онда мәселені шешуге қажетті элементтер сызбаға сәйкес оңай анықталады ("ыңғайлы" орналасу).
2. Кесіндінің немесе қиманың нақты мәнін анықтау үшін проекция жазықтықтарының біріне перпендикуляр осьтің айналасында айналу әдісін қолдану қажет.
3. Егер мәселенің шарты бойынша беттің ауданын немесе фигураның көлемін анықтау қажет болса, онда графикалық әдісті қолдана отырып, есептеу кезінде қолданылатын деректерді анықтау қажет.
Ортогональды проекция әдісі геометриялық есептерді шешуде және құрылыста тиімді екенін атап өткен жөн. Оқушылардың кеңістіктік қиялын қалыптастыруда және дамытуда осы әдістің жоғары тиімділігін ажырата отырып,
мұнда авторлар кез-келген белгілер бойынша тапсырмаларды жүйелеу мәселесін қарастырмайды деп айту керек.
Екінші бағыттың өкілдері (Я. М.: Жовнир, В. Н.: Литвиненко, Л. М.: Лоповок, и. Г: поляк, н. М. Рогановский және т. б.) геометриялық фигуралардың суреттерінде әртүрлі құрылыс әдістерін зерттейді. Бұл мәселені зерттеу, әдетте, көпбұрыштар мен айналу денелерінің қималарын құру аспектісінде жүзеге асырылады. Орта мектептің стереометрия курсының мазмұны мен құрылымын ескере отырып, оқушылардың кеңістіктік қиялын қалыптастыруға және дамытуға бағытталған міндеттер жүйесін құруға көп көңіл бөлінеді. Алайда, кез
- келген белгілер бойынша тапсырмаларды жүйелеу мәселесі мұнда қарастырылмайды.
И.Г. Поляскийдің жұмысы студенттердің кеңістіктік қиялын қалыптастыруға және дамытуға бағытталған, кеңістіктік фигуралардың кескіндерін құру теориясын, параллель проекциялардың қасиеттері туралы, сызбаның нақтылығы мен дәлдігі туралы қысқаша баяндаумен проекциялық сызбада құрылысқа арналған тапсырмалар жинағы түрінде. Жинаққа Кисилев оқулығындағы теориялық материал орналасқан ретпен орналастырылған конструктивті сипаттағы тапсырмалар кіреді.
Әр түрлі көпбұрыштардың қималарын салу міндеттерінде бөлінген жазықтық негізінен осы көпбұрыштардың шеттерінде орналасқан үш нүктемен анықталады, бұл қималардың құрылысын едәуір жеңілдетеді. Қарастырылып отырған жұмысты талдау автордың тек екі жағдайда ғана үшбұрышты және төртбұрышты пирамидалардың беттерінен нүктелер алынғанын көрсетті. Алайда, осы нүктелердің орналасуы параллель проекцияның қасиеттерін толық пайдалануға мүмкіндік беретін тапсырмалар шеңберін кеңейтеді.
Геометрия-мектеп математикасының ең осал буыны геометриялық есептердің әртүрлі түрлерінің көптігімен де, оларды шешудің әртүрлі әдістері мен әдістерімен де байланысты. Алгебрадан айырмашылығы, үлгі бойынша шешілетін стандартты есептер жоқ. Бұл математика есептерін шешудің жалпы білім беру және тәрбиелік маңызы зор.
Стандартты емес геометриялық және техникалық сипаттағы шешімді іздеу бастаманы дамытады,табандылық пен тапқырлық, оларды шешу логикалық ойлауды, ойлаудың ауырлығын және жалпы математикалық мәдениетті дамытудың жақсы құралы болып табылады.
3.1 Стереометрия курсының алғашқы сабақтары
Стереометрия курсын оқу стереометрия аксиомаларынан басталады. Стереометрияда, планиметриядағы сияқты, геометриялық фигуралардың қасиеттері сейкес теоремаларды дәлелдеу арқылы тағайындалады. Мұнда негіз
болатын - негізгі геометриялық фигуралардың аксиомалармен өрнектелетін қасиеттері. Кеңістікте негізгі фигуралар болатындар: нүкте, түзу және жазықтық. Жазықтық, түзу сияқты шексіз болады.
Жаңа геометриялық бейне - жазықтықты енгізу аксиомалар жүйесін кеңейте түсуге мәжбүр етеді.
Жазықтықтардың кеңістіктегі негізгі қасиеттерін өрнектейтін аксиомалар тобы:
1. Қандай жазықтық болса да, ол жазықтыққа тиісті нүктелер және оған тиісті емес нүктелер бар болады.
2. Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса, онда олар осы нүктелер арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.
3. Егер әр түрлі екі түзудің ортақ нүктесі болса, онда олар арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.
Сонымен , стереометрияның аксиомалар жүйесі планиметрия аксиомалары мен жоғарыда келтірілген аксиомалардан тұрады.
Стереометрия аксиомаларын өткенде оқушыларға мынаны ескерткен жөн. Планиметрияда қарастырылатын фигуралар бір жазықтықта орналасады. Ал, стереометрияда жазықтықтар көп, тіпті шексіз көп. Осыған байланысты планиметрияның кейбір аксиомаларының тұжырымдамасы, стереометрияның аксиомалары сияқты анықтай түсуді талап етеді. Осыларды қарастырайық.
Жазықтыққа тиісті түзу бұл жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.
Жарты түзу жатқан жазықтықта жарты түзуден бастап берілген жарты жазықтыққа градустық өлшеуіші берілген 180 0 - тан кем бұрышты өлшеп салуға болады және ол жалғыз болады.
Ұшбұрыш қандай болса да берілген жазықтықта, осы жазықтықта берілген жарты түзуге қарағанда берілген қалыпта орналасатын, онымен тең үшбұрыш болады.
Жазықтықта берілген түзу бойында жатпайтын нүкте арқылы берілген түзуге параллель бір ғана түзу жүргізуге болады.
Стереометрияның әрбір аксиомасын енгізу үшін төмендегі схеманы қолданған жөн:
oo аксиомаларды модельде көрсету;
oo аксиоманы тұжырымдау;
oo сызбасын схемалық түрде көрсету;
oo символдық жазуын беру.
Стереометрияның екінші аксиомасы жазықтықтардың қиылысуының бар болатынын көрсетеді. Сондықтан, осы аксиомадан соң оқушыларды қиылысатын жазықтықтармен таныстыру керек.
Кеңістікте жазықтықтың орналасуын анықтайтын аксиома оқулықтарды әртүрлі тұжырымдалады. Көпшілік оқулықтарда оның дәстүрлі тұжырымдамасы былай: Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады. Ал, А.В. Погореловтың оқулығында ол үшінші аксиома түрінде берілген.
Кеңістікте жазықтықтың орналасуын анықтайтын аксиоманы енгізу процессінде оқушыларға оның мәні дұрыс түсіндіру қажет . Яғни, аксиомада
берілген шарттарды қанағаттандыратын жазықтық бар және ол жалғыз. Себебі осы фактілер кейінгі теоремаларды дәлелдеуде қолданылады.
Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады аксиомасын енгізу процессінде көрнекіліктерді қолданып , әртүрлі жағдайларды қарастыру керек.
Негізгі ұғымдарды және стереометрия аксиомаларын бір сабақта енгізген жөн. Себебі,оқушыларда бірінші рет үш өлшемді кеңістік геометриясы туралы жалпы базалық түсінік болуы үшін.
Стереометрия аксиомаларынан соң оның салдарлары оқытылады. Осы салдарларды оқу процессінде оқушылар жоғарыда өтілген аксиомаларды алғаш қолдана бастайды. Мұнда ескеретін жай, салдар - теоремаларды оқығанда олардың екі бөлімнен тұратыныдығы - бірінші теорема шарттарына сейкес жазықтықтың бар болуын дәлелдеу, екінші ондай жазықтықтың жалғыз болуын дәлелдеу.
I АЛГЕБРА ЖӘНЕ АНАЛИЗ БАСТАМАЛАРЫН ПАЙДАЛАНЫП СТЕРЕОМЕТРИЯ ЕСЕПТЕРІН ШЫҒАРУ
0.1 Туындыны пайдаланып стереометрияның комбинациялық есептерін шығару
Стереометриялық фигуралар комбинациясын оқып үйрену кең көлемді есептер құрастыру және есептерді шешуде олардың бетінің аудандары мен көлемдерін табуда көп мүмкіндіктер туғызады. IX-X сыныптардың геометрия оқулығында ондай есептер көп емес. Мұндай есептерді құрастыруда және оларды шешуде оқушылар үлкен қызығушылық танытады. Әрине ол үшін алдын-ала ойластырған жаттығуларды орындата отырып келу қажет. Төменде сондай есептердің бірнешеуін мысалға келтіреміз.
Конусқа іштей сызылған цилиндр.
Аталған комбинацияда цилиндрдің бір табаны конус табаны орналасқан жазықтықта болса, екінші табаны конустың бүйір жақтарына тіреледі. Әрине конус (цилиндр) кескіні оларды анықтайтын элементтердің біреуіне байланысты кескінделеді.
Мысалы:
Биіктігі - Н және ұзындығы - L көлбеулік бұрышы тағы басқа. Егер конусқа іштей сызылған цилиндр десек, бұл фигуралардың кескінін түрліше етіп көрсетуге болады. Себебі оның кескінін көрсетуге жеткілікті элементтер берілген.
Егер конус цилиндрге іштей сызылған десе, онда олардың ең үлкен көлемі берілген болуы тиіс. (әрине цилиндрдің көлемі)
Егер керісінше тұжырымдаса, онда конустың бетінің ауданы не көлемі белгілі болуы керек. Мұндай жоғарғы ретті күрделі есептерді шығару үшін олардың қандай да бір сызықтық элементтері белгілі болып, соның көмегімен екінші фигураның қажетті шамаларын туындыны пайдлана отырып табуға болады.
Осындай шарттарын түсіндіре отырып біз оқушымен есеп құрастыруға және оларды шешуге тоқталамыз.
1- мысал. Конустың биіктігі Н және α бұрышын жасайды. Бұған іштей сызылған цилиндрдің ең үлкен болатын көлемін табыңдар.
Шешуі:
1- сурет
Бірінші суретте
ZQ=H
ZAO=α
Цилиндрге қандай да бір сызықтық элемент енгіземіз. Мысалы:
FO=r сонда ZO1=rtga
100,1=H-rtga Va=PIr[2](H-rtga).
Мынадай функцияны қарастырамыз:
Y=r[2](H-r[3]tga) (1).
Бұдан r-дің Y=Ymax мәнінде VPI ең үлкен мәнге ие болады. Енді r-дің шектік мәнін табамыз.
Y=2rH-3[2rtga], 2rHh-3r[2tga]=0.
Себебі есептің мазмұнына қарағанда Z = 0, онда r = [2]Htga.
3
r-дің бұл табылған мәнінде (1)-ші функия ең үлкен мәнге ие болады және
VPI=V
Олай болса, V = [4𝜋] H[3]ctg[2]α.
27
Дәл осылайша цилиндрге сырттай сызылған конустың шамасы да дәл осылай табылады.
Шарға іштей сызылған конус
Егер конус шарға іштей сызылған болса, онда олардың элементтерінің шамаларының арасындағы байланыс теңдеуі деген атқа ие болатын 𝐿 = 2𝑅 sin 𝛼 , 𝐿[2] = 2𝑅𝐻 теңдеуімен өрнектеледі. Мұндағы L- конусты анықтайтын ұзындық, Н- конустың биіктігі, R-шардың радиусы, 𝛼 - конустың бүйір жағының табанымен жанасатын бұрышы (2-сурет)
2- сурет
Егер конус шарға іштей сызылған болса, оны байланыс теңдеуінің көмегімен сызуға болады, оның ішінде қандай да бір элемент берілсе.
2- мысал. Сфераның бетінің ауданы Q болса, оған іштей сызылған конустың ең үлкен толық бетінің ауданын табыңдар.
Шешуі: (0 𝛼 𝜋)
2
ZAQ = 𝛼 деп ұйғарайық. Шардың радиусы R болсын, яғни 𝑍𝑂1 = R. Онда
𝐴𝑍 = 2𝑅 sin 𝛼 , 𝐴𝑂 = 𝑅𝑠𝑖𝑛2𝛼 және 𝑆𝑘 = 𝜋𝑅[2] sin 2𝛼( sin 2𝛼 + 2 sin 𝛼) =
4𝜋𝑅[2]𝑠𝑖𝑛2𝛼 sin 𝛼𝑐𝑜𝑠[2] 𝜋.
Себебі: 𝑄 = 4𝜋𝑅[2]
2
, онда 𝑆𝑘 = 𝑄 sin 2𝛼 sin 𝛼𝑐𝑜𝑠
2 𝛼 .
2
2 𝛼
Енді Smax анықтайық. Ол үшін Y=Q sin2α sinα c os
қарастырайық және оның туындысын табайық.
функциясын
2
Y=2sinαcos[2][𝛼](cos2α+cos[2]α-2cos αsin[2][𝛼])=2sinαcosα[2](4cos[2α]-c osα-1)
2 2
Бұл есепте α-ның sinα және cos[2] [ 𝛼]
2
нольге айналдыратын мәні
қарастырылмайтындықтан, біз кризистік нүктелерін мына теңдеуден табамыз.
4cos[2]α-cosα-1=0 (3)
Бұдан cosα1 = [1+√17] және α = arccos[1+√17]
8 8
(Бұл (3) теңдеудің теріс таңбалы шешімі берілген есеп үшін бөгде түбір болып табылады).
cosα - кемімелі функция болғандықтан, α-ның мәні α1 - деп өткенде (кіші
мәнінен үлкенге) өзінің мәнін үлкен мәннен [1+√17]
8
- ге қарағанда кіші мәнге
өзгертеді. Сонымен бірге (3) теңдеудің сол жағында тұрған квадрат үшмүше өзінің мәнін оңнан теріске өзгертеді.
Ал бұл (2) функцияның α1 нүктесінде максимум мәнге ие болатынын көрсетеді. Оны есептеп, өрнекті Y-ке арнап өзгертіп жазайық.
Y=Q sin2αsinαcos[2][𝛼]cosαsin[2]α.
2
Сонда sin[2]α1=1-cos[2]α1=[23−√17].
32
2cos2𝛼1 =9+√17;
2 8
Ymax =9+√17 1+√17 23−√17 = 107+51√17.
8 8 32 512
Сонымен Skmax=[107+51√17]Q.
512
Конусқа іштей сызылған шар. Егер шар қарастырылып отырған комбинацияда анықталған болса (радиусы белгілі болса), яғни алдыңғы есептердегідей кемінде бір элементі белгілі болса, онда конуста анықталған болып табылады. Бұл қарастырылып отырған комбинациядағы фигуралардың өзара тәуелділігі бар болады және ол байланыс - байланыс теңдеуі арқылы көрсетіледі.
𝛼
𝑅 = 𝑟𝑡𝑔
2
; 𝑅 =
𝐻𝑟
;
𝑙 + 𝑟
Мұндағы R , l, H және 𝛼 − лар шар мен конус арасындағы байланыс теңдеуіндегідей мағанаға ие болады, ал r- конус табанының радиусы болып табылады. Шарға сырттай сызылған конус шектеуші болатындай есептерді қарастырамыз. Бұл жағдайда тек шектелген фигураның көлемінің (не бетінің, ауданының) минимумы жайлы әңгімелеуге болады.
3- мысал. Көлемі Q-ге тең шарға сырттай сызылған конустың көлемінің ең кіші мәні қандай болатынын анықтаңдар.
3-сурет
Шешуі:
ОО1 = 𝑅 болсын. 𝑍𝐵𝑂 = 𝛼 деп ұйғарайық. Сонда
𝛼
ОВ = 𝑅𝑐𝑡𝑔 ;
2
𝑍𝑂 = 𝑅𝑐𝑡𝑔 𝛼 − 𝑡 және 𝑉 1 𝜋𝑅[3]𝑐𝑡𝑔[3] 𝛼 ∙ 𝑡𝑔𝛼.
2 𝑘 3 2
3 3 1 𝛼3
Себебі: 𝑉 = 𝑄 = 𝜋𝑅 , онда 𝑘 = 𝑄𝑐𝑡𝑔 ∙ 𝑡𝑔𝛼.
ш 4 4 2
Енді Y= 𝑐𝑡𝑔[3] 𝛼 𝑡𝑔𝛼 (4) функциясын қарастырамыз және оның минимумын
2
табамыз.
𝛼 1 1
𝑐𝑡𝑔2
𝑐𝑡𝑔
2𝛼 3
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝛼
𝑐𝑡𝑔
𝛼
𝑐𝑡𝑔22 1
Y=3𝑐𝑡𝑔 (- 𝑎) tgα+
1 = [2] ( −
𝛼 +
2 ) =
( − 3).
2 𝑠𝑖𝑛 2
2 2 cos 𝛼 2
𝑠𝑖𝑛2
𝑐𝑜𝑠𝛼
cos 𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
2 𝑐𝑜𝑠 𝛼 2
0[5] 𝜋
екенін ескере отырып шектік (кризистік) нүктесін табамыз.
𝛼 2
𝛼1
= 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 1
3
α-ның шектік нүктеден өткенде туынды Y-тің таңбасы (-)-
тен (+)-ке ауысатынын аңғару қиын емес. Сондықтан (4) функция α1 нүктесінде ең кіші мәнге ие болады.
Ymin-ді есептейік.
tgα1=2√2; ctg[3][𝛼1]=2√2; Ymin=8.
2
Сонымен Vkmin=2Q.
Шарға іштей сызылған пирамида.. Шар мен оған іштей сызылған дұрыс пирамиданың элементтерінің арасындағы байланыс теңдеуін көрсетейік.
1=2Rsinα және l[2]=RH, мұндағы l, H пирамиданың бүйір қыры мен биіктігі, α-көлбеулік бұрышы, l - сырттай сызылған шардың радиусы.
4- мысал. Радиусы R-ге тең шарға ең үлкен көлемге ие болатын n бұрышты дұрыс пирамида іштей сызылған. Пирамиданың бүйір жағы мен табанының арасындағы екі жақты бұрышты табыңдар.
Шешуі:
ZEO ізделінді екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышы болсын (3-сурет).
ZEO=𝜑 және ZAO=α болсын, онда ZA=2Rsinα, ZO=2Rsin[2]α.
Дұрыс пирамидаға іштей сызылған шар Берілген геометриялық фигуралар комбинациясында шектеуші
пирамиданың байланысын төмендегідей теңдеумен қарастыруға болады:
𝛼
𝑅 = 𝑟𝑡𝑔 .
2
Мұндағы r-пирамида табанына іштей сызылған дөңгелектің радиусы, 𝛼 − пирамида табанының екі жақты бұрыштың шамасы, К-іштей сызылған шардың радиусы (4-сурет).
5- мысал. Радиусы R-ге тең шарға бүйір бетінің ауданы ең кіші болатындай үшбұрышты дұрыс пирамида сырттай сызылған. Пирамиданың бүйір жағының табан жазықтығына көлбеулік бұрышын табыңдар. Шешуі:
ZZDO - пирамиданың бүйір жағы мен табанының сызықтық бұрышы (8 сурет). Пирамидаға іштей сызылған шардың центрі пирамида биіктігінде жатады. Сонымен бірге шар пирамида табанының центрімен және апофемасымен жанасады.
ZDO=α және ZAO=φ болсын. Онда [OD] =Retg [α]; [AD]=3 Retg [α];
2 2
[CD]=R√3 ∙ 𝑐𝑡𝑔 a ;
2
S∆ABC = 3 R²√3 𝑐𝑡𝑔 2 𝑎:
2
𝑐𝑡𝑔² 𝑎 a
S=3 R²√3 ∙ [2] : Y= ctg ²2
функциясын қарастырамыз, (6).
𝑐𝑜𝑠𝑎 cosa
2 𝑐𝑡𝑔 𝑎 (− 1 ) 1 𝑎 𝑎
2 𝑠𝑖𝑛² 𝑎
° 𝑐𝑜𝑠𝑎+𝑐𝑡𝑔² 𝑠𝑖𝑛𝑎
2 2
𝑐𝑡𝑔 1 1
Y= [2] =
𝑐𝑜𝑠𝑎
2
𝑐𝑜𝑠² 𝛼∙𝑠𝑖𝑛² a
2
( − 𝑐𝑜𝑠[2]𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)
2 2
Есептің мазмұны бойынша α= [0: [𝜋]], онда α - ның шектік мәнін мына
2
теңдеудің 1 − 1 cos²α - cosα=0 шеш келе cosα₁ = √2 − 1 және α₁ = arecos(
2 2
√2 − 1 )екенін табамыз. (6) функцияның α=α₁ болғанда ең кіші мәніне ие болатынын көрсетуге болады.
Енді φ- ді анықтайық. AO және OD - ның қатынасынан tgφ=0.5tga екені шығады. Себебі: cosα=( √2 − 1), олай болса tgφ = √2 + 2√2 ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz