Функция шегінің анықтамасы бойынша теңдік мына теңсіздіктермен парапар

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 50 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының ғылым және білім министрлігі
М. Қозыбаев атындағы Солтүстік Қазақстан университеті

Жоғары сынып оқушыларын Шек және үздіксіздік тақырыбына оқыту әдістемесі

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

5В010900– Математика мамандығы

Петропавл, 2021

Қазақстан Республикасы ғылым және білім министрлігі
М. Қозыбаев атындығы Солтүстік Қазақстан университеті
Математика және жаратылыстану ғылымдарының факультеті
Математика және информатика кафедрасы

Қорғауға жіберілді ________________
Математика және информатика
кафедрасының меңгерушісі
________________Таджигитов А.А.

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Жоғары сынып оқушыларын Шек және үздіксіздік тақырыбына оқыту
әдістемесі

5В010900– Математика мамандығы

Орындаған М(б)-17-қ А.О. Дабысова
тобының студенті
Ғылыми жетекші А.А. Таджигитов
ф.м.ғ.к., доцент

Петропавл, 2021
АҢДАТПА

Дипломдық жұмыста жоғары сынып оқушыларына арналған Шек және
үздіксіздік тақырыбында оқушыларды оқыту әдістемесі қарастырылады.
Функцияның шегін есептеу және функцияны үздіксіздікке зерттеу шешімдері бар
мысалдар келтірілген. Сонымен қатар, БЖБ және ТЖБ тапсырмалары әзірленді.

АННОТАЦИЯ

В дипломной работе рассматривается методика обучения учащихся теме
Предел и непрерывность для учащихся старшего звена. Приведены примеры с
решениями на вычисление предела функции и исследование функции на
непрерывность. Кроме того, разработаны задания на СОР и СОЧ.

ANNOTATION

The thesis discusses the methodology of teaching students the topic
Limit and continuity for senior students. Examples with solutions for
calculating the limit of a function and investigating the continuity of a
function are given. In addition, tasks for SOR and SOC have been developed.

МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 5
1. ФУНКЦИЯНЫҢ НҮКТЕДЕГІ ШЕГІ 8
1.1 Шектер туралы негізгі теоремалар 8
1.2 Бірінші тамаша шек. 9
1.3. Шектердің қасиеттері: 9
2.ҮЗДІКСІЗДІК ФУНКЦИЯСЫ 20
2.1.Үздіксіз функциясының қасиеттері: 20
2.2 Интервалдағы функцияның үздіксіздігі. 30
2.3.Экономикада шек және үздіксіздікті қолдану. 34
2.4. Шек тақырыбына шешімдермен мысалдар 37
2.5. Үздіксіздік тақырыбына шешімдермен мысалдар. 39
2.6.Тақырып бойынша сабақтың қысқаша мазмұны. 43
2.7. БЖБ және ТЖБ 53
ҚОРЫТЫНДЫ 59
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 60

КІРІСПЕ

Математика курсының негізгі мақсаты студенттердің теориялық білім мен
практикалық дағдыларды игеруі болып табылады, бұл студенттерді жоғары оқу
орындарында кәсіптік білім алуға және білімін жалғастыруға қажетті
математикалық білім мен дағдылармен қамтамасыз етуге мүмкіндік береді.
Математиканы оқыту міндетіне мыналар кіреді:
- арнайы пәндерді оқу үшін қажетті нақты математикалық білімді игеру;
- қоғамда толыққанды жұмыс істеуге тән ойлау сапасын қалыптастыру;
- математиканың идеялары мен әдістері туралы түсінік қалыптастыру;
- жалпы адамзаттық мәдениеттің бір бөлігі ретінде математика туралы
түсінік қалыптастыру.
Математика пәнін зерделеудің мақсаты білім алу және техникалық жоғары
оқу орындарында зерделенетін негізгі ұғымдарды, заңдарды, формулаларды,
теоремаларды және математикалық зерттеу әдістерін меңгеру болып табылады.
Математикада математикалық объектілерге – функцияға, функционалға,
операторға, геометриялық бейнелерге, векторларға, матрицаларға теориялық-
жиындық көзқарастар бар.
Жоғары математиканың негізі математикалық талдау болып табылады. Нақты
жағдайларда жүретін динамикалық процестерді түсіндіру және мәнін түсіну
үшін, оларға осы салада қойылған шеттік есептерді шығару үшін қатаң
математикалық талдау жүргізу қажет.
Оқушының пәнді зерделеу нәтижесінде:
• негізгі ұғымдар, анықтамалар, формулалар, теоремалар және аталған
бөлімдердің есептерін шығару әдістері туралы түсінігі болуы тиіс;
• жоғары математика курсын берілген типтік оқу бағдарламасы
көлемінде білуі тиіс;
• қолданбалы есептерді шығару үшін қазіргі заманғы математикалық
әдістерді қолдана білу ептілігі болуы тиіс;
• математикалық ойлау мен логиканы дамыту, жалпы теориялық және
арнайы техникалық пәндерді табысты зерделеу үшін іргелі ғылымның
жетістіктерін пайдалану дағдыларын иеленуі тиіс;
• нақты техникалық есептерді шығару үшін математикалық модельдеу
әдістерін таңдау кезінде құзыретті болуы тиіс.
Математика ғылымы барлық ғылымдардың арасында ерекше орын алады.
Математика өзінен басқа ілімдер үшін сан және белгі түрінде табиғаттың
әртүрлі құбылыстарының ара қатынастарын өрнектейтін тіл болып саналады.
Сондықтан ғылым өзінің шыңына математиканың көмегінсіз жетуі мүмкін емес
деп бекерге айтылмаған. Мұғалімнің міндеті – бірінші сабақтан бастап
оқушыларды осы пәнді жақсы көруге және түсінуге үйрету. Математика пәнінде
баланың оқу процесінде ойлау қабілетін дамытуға үлкен мүмкіндік бар.
Дипломдық жұмыс өзектілігі: Шек және үздіксіздік тақырыбына байланысты
материалдар мектептегі математика курсының маңызды бөлігін
құрайды.Тақырыпты ашу үшін біз функцияның нүктедегі шегінің аталған
анықтамасына сүйенеміз. Функцияның шегін негізгі ұғым ретінде
қарастырамыз.Оқушыларды функцияның шегі ұғымы мен функцияның үздіксіздігі
ұғымын үйренуге дайындау үшін , осы тақырыпты зерттегенде қандай ұғымдарға
тап болатынын талдау керек.
Дипломдық жұмыстың мақсаты:
Математикалық әдістер ғылым, техника, экономика және басқару
мәселелерін шешуде үлкен роль атқарады.Сондықтан математиканы оқытудың
алдына келесі мақсаттар қойылады:
- оқушылардың математикалық және алгоритмдік ойлауын дамыту;
- оқушылардың математикалық есептерді зерттеу және оларды шешу
әдістерін игеру;
- оқушылардың қолданбалы кәсіптік есептерді шешуде математикалық
білімдерін қолдану дағдыларын қалыптастыру.
Дипломдық жұмыс міндеті:
1. Оқу-әдістемелік әдебиеттерді зерттеу;
2. Тақырып бойынша негізгі терминдерді қарастыру;
3. Шешімнің негізгі әдістері мен тәсілдерін көрсету;
4. Әдебиетте табылған фактілерді қорытындылау және жүйелеу;
5. Оқушылар үшін ерекше әдіспен шешілетін бірқатар тапсырмалар жасау.
Зерттеу объектісі жалпы білім беретін мектеп оқушыларын Шек және
үздіксіздік тақырыбы бойынша оқыту процесі болып табылады.
Зерттеу пәні алгебра және анализ бастамаларын оқыту барысында
математикалық анализдің негізгі ұғымдарын есептерді пайдалану арқылы
қалыптастыру.
Теориялық маңыздылығы: зерттеу барысында негізгі мектеп алгебрасы
курсында Шек және үздіксіздік тақырыбын оқытудың әдістемелік
ерекшеліктері анықталады.
Практикалық маңыздылығы негізгі мектеп оқушыларының Шек және
үздіксіздік тақырыбын оқыту бойынша әдістемелік ұсыныстарды және
алгебраның мектеп курсында және оқытудың педагогикалық бағыттарындағы
мұғалімдерге осы тақырыпты оқытуда қолдануға болатын әдіс-тәсілдерді
көрсету.
Зерттеу әдістері: мектеп бағдарламаларын, оқу әдебиеттері мен
әдістемелік құралдарды зерттеу және талдау, мысалдар ұсыну.
Жұмыстың құрылымы:
Дипломдық жұмыс 63 (алпыс үш) беттен, кіріспеден, екі бөлімнен,
қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Кіріспеде мақсаттар мен міндетттер және атқарылатын жұмыстың қысқаша
сипаттамасы анықталған.
Бірінші бөлімде жалпы шек және үздіксіздік ұғымы, олардың анықтамасы,
қасиеттері және дәлелдемелері көрсетілген.
Екінші бөлімде шек және үздіксіздіктің қолданылуы және есептеу
мысалдары ұсынылған.
Қорытындыда жүргізілген зерттеудің негізгі нәтижелері мен қорытындылары
ұсынылған.

1. ФУНКЦИЯНЫҢ НҮКТЕДЕГІ ШЕГІ

1.1 Шектер туралы негізгі теоремалар

y=f(x) функциясынүктесінің қандай да бір маңайында (x нүктесінің
өзі кірмеуі мүмкін) анықталсын.
Функция нүктедегі шегінің екі өзара эквивалентті анықтамасын
тұжырымдайық.
Анықтама 1.(тізбектер тілінде немесе Гейне бойынша). Егер x-ге
жинақталатын , nN аргументінің мүмкін мәндерінің кез-келген
тізбегі А санына жинақталса, А саны y=f(x) функциясының шегі деп аталады.
Бұл жағдайда немесе болғанда деп жазады. функциясы
шегінің геометриялық мағынасы: нүктесіне жеткілікті жақын барлық x
нүктесі үшін функцияның сәйкес мәндері A санынан аз ғана айырмашылығы
болады.
Бір жақты шектер
функция шегінің анықтамасы бойынша x нүктесі -ге кез-келген
жағдайда ұмтылады: ден кіші болса да, ден үлкен болса да немесе
нүктесінің аймағында ауытқыса да.
Кейде x аргументінің -ге жақындауының тәсілі функция шегінің
мәніне айтарлықтай әсер ететін жағдайлар болады. Сондықтан, бір жақты
шектер ұғымы енгізіледі.
Егер кез-келген үшін саны табылып, болғанда
теңсіздігін орындалса, саны y=f(x) функциясының сол жақ шегі деп
аталады. Сол жақ шекті деп немесе қысқаша, f( деп жазады.
Осылайша, функцияның оң жақты шегі анықталып, қысқаша төмендегідей
жазылады:
Оң жақты шекті қысқаша деп белгілейді. Функцияның оң жақты және
сол жақты шектері бір жақты шектер деп аталады. Егер бар болса, онда
екі бір жақты шектер бар болады және A=. Кері тұжырым да орынды: егер
екі бір жақты шектер бар болса және олар тең болса, онда және
шегі бар болады. Егер болса, онда шегі жоқ.
Теорема. Екі функцияның шектерінің қосындысы (айырмасы) олардың
шектерінің қосындысына (айырмасына) тең:

Теорема. Екі функцияның көбейтіндісінің шегі олардың шектерінің
көбейтіндісіне тең:

Салдар. Тұрақты көбейтіндіні шек таңбасының алдына шығаруға болады

Теорема. Егер бөлшектің бөлімінің шегі 0-ден өзгеше болса, бөлшектің
шегі бөлшек алымының шегінің бөлімінің шегіне бөліндісіне тең:
,

1.2 Бірінші тамаша шек.

Көп жағдайда өрнегі тригонометриялық функциядан құралған шекті
есептегенде, бірінші тамаша шек деп аталатын

шегі қолданылады. Бұл шек былай оқылады: аргументі нөлге ұмтылғандағы
синустың аргументіне қатынасының шегі бірге тең.
Екінші тамаша шек
, n
сандық тізбегінің шегі е санына тең :
=e

1.3. Шектердің қасиеттері:

Анықтама. Егер болса, онда тізбек шексіз аз тізбек деп
аталады.
Осы анықтамадан және тізбек шегінің анықтамаларынан тікелей мынадай
қорытындыға келеміз, егер шексіз аз тізбек болса, онда алдын ала
берілген саны үшін табылып, барлық үшін теңсіздігі
орындалады.
Анықтама. Егер кез – келген саны үшін саны табылып , барлық
үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегі шексіз үлкен
тізбек деп аталады.
Егер шексіз үлкен тізбектің мүшесі болса, онда тізбек
ке (-ке)ұмтылады дейміз және оны былай белгіленеді:
()
Жалпы оны былай да белгіленеді
Егер шексіз аз бен шексіз үлкен тізбектердің арасындағы байланысты
қарастырайық.
Теорема 1.1. Егер шексіз аз тізбек болса және болса, онда
- шексіз үлкен тізбек болады және керісінше, егер шексіз үлкен
тізбек болса, онда -шексіз аз тізбек болады.
Теорема 1.2. Шексіз аз екі тізбектің алгебралық қосындысы да шексіз аз
тізбек, яғни
Теорема 1.3. Шексіз аз тізбек шектелген.
Теорема 1.4. Шектелген тізбек пен шексіз аз тізбектердің көбейтіндісі
шексіз аз тізбек болады.
Теорема 1.5. Шексіз аз екі тізбектің көбейтіндісі де шексіз аз тізбек
болады.
Теорема 1.6. саны {хn} тізбегінің шегі болуы үшін мына
теңдігінің орындалуы қажетті әрі жеткілікті, мұндағы шексіз аз
тізбек.
Теорема 1.7. Жинақты {хn} мен {уn} тізбектерінің алгебралық қосындысы
да жинақты тізбек, ал оның шегі {хn} мен {уn} тізбектері шектерінің
алгебралық қосындысына тең:
Ескерту. Егер жинақты тізбек болса, онда {хn} мен {уn}
тізбектерінің жинақтылығы жайлы ештеңе айтуға болмайды.
Теорема 1.8. Жинақты {хn} мен {уn} тізбектерінің көбейтіндісіне де
жинақты тізбек, ал оның шегі {хn} мен {уn} тізбектері шектерінің
көбейтіндісіне тең:

Осы теоремадан мынадай салдар аламыз.
Салдар 1. Егер болса, онда мұндағы с- тұрақты сан.
Салдар 2. Егер болса, онда
Теорема 1.9. Егер {хn} тізбектің шегі болса, онда тізбегі
шектелген.
Теорема 1.10. Жинақты {хn} мен {yn} тізбектерінің қатынасы да жинақты
тізбек, ал оның шегі {хn} мен {yn} тізбектер шектерінің қатынасына тең:
, мұндағы
Теорема 1.11. Егер {хn} жинақты тізбегінің белгілі бір номерінен бастап
барлық мүшесі үшін теңсіздігі орындалса, онда () болады.
Осы теоремадан мынадай салдар аламыз.
Салдар 1. Егер жинақты {хn} мен {yn} тізбектерінің белгілі бір
номерінен бастап барлық мүшесі үшін теңсіздігі орындалса, онда
теңсіздігі де орындалады.
Теорема 1.12. Жинақты {хn} ,{yn} және {zn} тізбектерінің белгілі бір
номерінен бастап барлық мүшесі үшін теңсіздігі орындалсын. Егер а саны
{хn} мен {zn} тізбектерінің шегі болса, онда ол {yn} тізбегінің де шегі
болады.
Анықтама. {хn} тізбек кемімейтін (өспелі) тізбек деп аталады, егер кез
– келген n үшін теңсіздік орындалса, ал егер теңсіздігі
орындалса, онда ол өспейтін (кемімелі) тізбек деп аталады.
Анықтамада аталған тізбектерді монотонды тізбектер дейміз. Осы
анықтамадан, монотонды тізбек не жоғарыдан не төменнен шектелген. Мысалы,
өспейтін тізбек жоғарыдан, ал кемімейтін тізбек төменнен шектелген. Шынында
да, кез – келген n үшін өспейтін {хn} тізбегінде теңсіздігі, ал
кемімейтін {yn} тізбегіне теңсіздігі орындалады, яғни осы
тізбектердің әр қайсысында бірінші мүшесімен шектелген. Сонымен, егер
монотонды тізбек екі жақтан да, яғни әрі төменнен, әрі жоғарыдан шектелсе,
онда ол шектелген, яғни оның шегі бар. Монотонды тізбекке тән осы қасиет
монотонды емес тізбекке орындалмайды, яғни монотонды емес тізбектің шегі
жоқ. Мысалы, тізбегі монотонды емес, әрі оның шегі жоқ.
Теореме 1.13. Монотонды шектелген тізбектің шегі бар.
Осы теорема мұндай тұжырым аламыз: монотонды шектелген тізбек жинақты;
монотонды жинақты тізбек шектелген.
Сонымен, монотонды тізбекке қойылған шектелгендік шарт осы тізбектің
жинақты болуы үшін қажетті әрі жеткілікті.
Математика, механика, физика, радиотехника және радиохимия салаларында
e санының атқаратын қызметі айырықша. Енді осы санын анықтайық.
Жалпы мүшесі болатын тізбек қарастырайық осы тізбектің өспелі
және де жоғарыдан шектелгендігін дәлелдейік. Алдымен, өспелі тізбек екенін
дәлелделік. Олу үшін xn-ді Ньютон биномы бойынша жіктеп және өрнектейік:

(1.5)
Осы тізбектің хn мен -ші мүшелерін сәйкес қосылғыштарын
салыстырайық. Сонда, -ші мүшенің әрбір қосылғышы хn мүшедегі сәйкес
қосылғышынан үлкен жәнеде -ші оң бір қосылғыш артық, ол .
Сонымен, әрбір n бүтін оң сан үшін хn теңсіздігі орындалады,
яғни {хn} - өспелі тізбек.
Енді осы тізбектің жоғарыдан шектелетіндігін дәлелдейік. (1.5)-ші
формуладағы жақша ішіндегі әрбір өрнек бірден кіші және барлық n2 үшін
теңсіздік орындалады.
Сондықтан,

Соңғы теңсіздіктің оң жағына геометриялық прогрессияның n-мүшесінің
қосындысының формуласын пайдаланайық:
яғни
Сонымен, {хn}= тізбегі монотонды өспелі әрі жоғарыдан шектелген,
олай болса, теорема 1.15 бойынша оның шегі бар, ол шекті е әріпімен
белгілейік, яғни
=e (1.6)
Енді (1.5) формуладағы 4-ші қосылғыштан бастап барлық мүшелерін алып
тастайық, сонда

Oсы теңдікте шекке көшейік:
e=
Cонда, 2,5e3, мұндағы e=2,72
(1.6) формула екінші тамаша шек деп аталады.
Бізге белгілі бір тәртіппен анықталған тізбек берілсін және оның
элементтері сегмент болсын делік, яғни:
[a1,b1], [a2,b2], [a3,b3], ..., [an,bn], (1.7)
Онда бізге барлық n0 (n=1,2,3...) сандары үшін белгілі бір тәртіппен
{хn}={[an, bn ]} – сегмент тізбегі берілді дейміз.
Анықтама. Егер (1.7) сегмент тізбегінің кез-келген сегменті өзінің
алдынғы сегментінің ішінде жатып, сегменттердің ұзындығы нөлге ұмтылса,
онда мұндай сегменттер енгізілген сегменттер тізбегі деп аталады, яғни
[a1,b1] [a2,b2] [a3,b3] ... [an,bn] ...
немесе
Осы анықтамадан: егер {[an, bn]} – енгізілген сегмент тізбегі болса,
онда – кемімейтін, ал - өспейтін тізбек болады.
Теорема 1.14. Егер {[an, bn]} – енгізілген сегмент тізбегі болса онда
осы сегменттердің әрқайсысында жатқан с нүктесі бар және ол тек біреу ғана.
Бізге Х жиынында жатқан х0 нүктесінің кез келген аймағы және осы
аймақтың х0 нүктеден өзге нүктелерінде анықталған функциясы берілсін.
Алдымен функцияның нүктедегі шегінің анықтамасын берейік.
Анықтама. Егер кез келген саны үшін саны бар болып мына
теңсіздікті қанағаттандыратын барлық х үшін теңсіздігі
орындалса, онда а саны х-тің х0-ге ұмтылғандығы функциясының шегі деп
аталады және оны немесе символдармен белгілейді.
Осы символдарды х, х0 – ге ұмтылғанда а – ға тең немесе х, х0 –
ге ұмтылғанда а-ға ұмтылады деп оқимыз. х0 нүктені шектік нүкте
дейміз. Осы анықтаманың геометриялық мағынасын қарастырайық. Ол үшін
функциясының қабылдай алатын жиынына жатқан А нүктесінің Е аймағын
қарастырайық, яғни. Сонда барлық аймағындағы x0-ге сәйкес келетін
функциясының мәні аймағында жатады. Басқаша айтқанда, барлық
үшін функциясының графигі y=A+E мен y=A-E паралель түзулерінің
аралығында жатады, яғни барлық үшін теңсіздігі орындалады.
Енді Х жиынында жатқан тізбекті қарастырайық және оның бірде –
бір мүшесі х0-ге тең болмай х0-ге ұмтылсын дейік, яғни
Анықтама. Егер х0-ге ұмтылған жинақты тізбекке сәйкес
тізбегі А-ға ұмтылса, онда А саны хn-нің х0-ге ұмтылғандағы
функциясының шегі деп аталады, яғни , немесе , мұндағы xn
функциясының анықталу облысындағы нүктелер.
Осын анықтамадан: егер х0-ге ұмтылған жинақты тізбекке сәйкес
тізбегі А-ға ұмтылса, онда функциясының х0-ге нүктедегі шегі
болмайды. Осы сияқты, функциясының х0 нүктедегі шегі жоқ, егер х0-ге
ұмтылған өзара тең емес жинақты мен тізбектеріне сәйкес
мен тізбектерінің шектері тең болмаса.
Теорема 1.15. Егер А нүкте функциясының -ғы шегі болса,
онда ол тек біреу ғана.
Енді функцияның шексіздіктегі шегінің анықтамасын берейік.
Анықтама. Егер кез келген саны үшін N саны бар болып, барлық xN,
(xN) үшін теңсіздігі орындалса, онда А саны х плюс (минус)
шексіздікке ұмтылғандағы функциясының шегі деп аталады және бұл
тұжырымды символымен белгілейміз. символы х плюс (минус)
шексіздікке ұмтылады деп оқимыз және де х оң (теріс) мәндері қабылдай
- ке ( -ке) ұмтылды деп ұғыну керек.
Осы анықтамада, егер болса, онда функцияның аргументі оң
мәнді қабылдай шексіз өскенде осы функцияның сандық мәні А-дан айырмашылығы
өте аз шама.
Біз жоғарыда деп келдік, бірақ та х-тің х0-ге қалай ұмтылатынын,
анығырақ айтқанда х, х0-ге қандай мәнді қабылдай ұмтылытынын қарастырамыз
жоқ ( - па х х0-ден кші немесе үлкен мәндерінің қайсысы қабылдай
ұмтылады?)
Анықтама. Егер х, х0-ге ұмтылғанда х0-дің оң (сол) жағындағы мәндерді
қабылдай ұмтылған функциясының шегі оң (сол) жақты шек деп аталады
және оны немесе ( немесе ) символдарымен
белгілейміз, мұндағы немесе болуы мүмкін.
Егер х0=0 болса, онда оң және сол жақты шектерді ,
символдармен белгілейміз. Оң мен сол жақты шектер біржақты шектер деп
аталады.
Теорема 1.16.
Егер , болса, онда
а)
б)
в)
г) мұндағы
Теорема 1.17. Егер функциясының х0 нүктесінің аймағында анықталып
теңсіздігі орындалса, және болса, онда .
Теорема 1.18. Егер және болса, онда .
Теорема 1.19. Егер болса, онда функциясы барлық үшін
шектелген.
– бірінші тамаша шек деп аталады. Осы шекті дәлелдейік,
ол үшін радиусы R-ге тең шеңбер, ал радиан өлшемі х-ке тең бұрышын
қарастырайық.
жұп функция және сондықтан х-тің теңсіздігі
қанағаттандыратын мәндерінде дәлелдесек жеткілікті. АОВ үшбұрыштың ауданы
АОВ секторының ауданынан кіші, ал осы сектордың ауданы тікбұрышты АОD
үшбұрышының ауданынан кіші, яғни

немесе

Мұндағы
Сонда, немесе.
Соңғы теңсіздікті ке бөлейік:

Осыдан,.
Сондықтан,

Шексіз аз және шексіз үлкен функциялар математикалық анализда атқаратын
қызметі өте маңызды. Енді осы функциялармен танысып өтейік.
Анықтама. Егер болса, онда х0-де шексіз аз функция деп
аталады, мұндағы х0 өзі немесе символдардың бірі.
Осы анықтаманы басқаша беруге де болады: егер кез-келген үшін N
саны бар болып барлық үшін теңсіздігі орындалса, онда
шексіз аз функция деп аталады. Мысалы, шексіз аз функция, егер шексіз
аз функця, егер .
Ескерту. Берілген функциясы х0-де шексіз аз функция болсын делік.
Осыдан, х кез-келген, мысалы – де де шексіз аз функция бола
береді түсінік тумауы керек.
Анықтама. Егер кез-келген үшін саны бар болып
теңсіздікті қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі орындалса,
онда х0-де шексіз үлкен функция деп аталады және оны символымен
белгілейміз.
Теорема 1.20. А саны функциясының -ғы шегі болуы үшін

тендік орындалуы қажетті әрі жеткілікті, мұндағы шексіз аз
функция х0-де.
Теорема 1.21. Егер және - де шексіз аз функциялар болса,
онда
1. және х0 – де шексіз аз функциялар;
2. шексіз аз функция шектелген, мұндағы - шектелген функция.
Шексіз аз және шексіз үлкен функциялардың арасында мындай байланыс бар.
Теорема 1.22. Егер х0-де - шексіз аз функция және болса,
онда х0-де шексіз үлкен функция болады, немесе керісінше, яғни егер
х0-де - шексіз үлкен функция болса, онда х0-де шексіз аз
функция болады, .
Бізге , х0-дегі шексіз аз функциялар берілсін.
Анықтама. Егер болса, онда х0-де , -ке қарағанда шексіз
функция деп аталады екеуінде шексіз аз функция болғанымен де
функциясының нолге ұмтылу жылдамдығы жоғары -тің нолге ұмтылу
жылдамдығына қарағанда.
Егер болса онда х0-де пен бірдей ретті шексіз аз
функциялар деп аталады (екеуінің де жылдамдығы бірдей).
Егер болса онда пен функциялары эквивалентті шексіз
аз функция деп аталады және бұл эквивалентті шексіз аз функцияларды
( символымен белгілейді.
Теорема 1.23. Егер х0-де(, ( және бар болса,
онда бар болып, = теңдігі орындалады.
Үзіліссіз функциялар математикалық анализдің ең негізгі ұғымдарының
бірі, осы функцияға орындалатын қасиеттер үзілісті функцияға орындалмайды.
Функция шегі мен үзіліссіз функциялар арасында тығыз байланыс бар.
Бізге х0 нүктеде және оның аймағында анықталған функциясы
берілсін, яғни функция барлық үшін шектелген мәндер қабылдайды
(функцияның х0 нүктедегі шегін табуда функцияға мұндай шарт қойғамыз жоқ).
Анықтама. функция х0 нүктеде үзіліссіз деп аталады, егер ол осы
нүктенің өзінде және оның аймағында анықталса және – шегі бар
болса жәнеде

Анықтама. функция х0 нүктеде үзіліссіз деп аталады, егер
саны үшін саны бар болып, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық
x үшін теңсіздік орындалса.
cанын х0 нүктедегі функция аргументінің өсімшесі, ал оған сәйкес
санын х0 нүктедегі функция өсімшесі деп атайды.
Енді функцияның x аргументіне х0 нүктеде өсімше берейік онда
өсімшеге сәйкес функция өсімше деп аталады. Егер,
онда.

Сондықтан, функцияның х0 нүктедегі үзіліссіздігінің анықтамасын
өсімше тілінде былай беруге болады.
Анықтама. функция х0 нүктеде үзіліссіз деп аталады, егер
болса.
Осы анықтамадан, егер аргументтің х0 нүктедегі аз өсімшесіне функцияның
аз өсімшесі сәйкес келсе, онда ол осы нүктеде үзіліссіз болады.
Анықтама. функция х0 нүктеде оң (сол) жақты үзіліссіз деп аталады, егер
,
Функцияның оң және сол жақты шектерінің бір жақты шек дейміз.
Осы анықтамадан мынадай тұжырым аламыз: егер функция х0 нүктеде
әрі оң жақты әрі сол жақты үзіліссіз болса, онда ол сол нүктеде үзіліссіз
болады. Басқаша айтқанда, теңдік орындалса онда функция х0
нүктеде үзіліссіз.
Енде үзіліссіз функцияның кейбір қасиеттерімен танысайық.
Теорема 1.24. (Үзіліссіз функцияның таңбасының тұрақтылығы жәйлі
теорема). Егер функция х0 нүктеде анықталып үзіліссіз болса және
болса, онда саны бар болып интервалында жатқан барлық x үшін
осы функцияның таңбасы – дін таңбасымен бердей.
Теорема 1.25. Барлық элементар функциялар өз анықталу облысында
үзіліссіз.
Теорема 1.26. Егер және х0 нүктеде үзіліссіз болса, онда
және функцияларда осы нүктеде үзіліссіз.
Теорема 1.27. Егер функция х0 нүктеде үзіліссіз және болса,
ал функция u0 нүктеде үзіліссіз болса онда – күрделі функция да
х0 нүктеде үзіліссіз, яғни

2.ҮЗДІКСІЗДІК ФУНКЦИЯСЫ

2.1.Үздіксіз функциясының қасиеттері:

Алдымен функцияның нүктедегі үздіксіздігі туралы ұғымға тоқтаймыз. Бұл
ұғым функцияның шегі туралы ұғыммен біте қайнасып жатқан ұғым.
(а, b) интервалында анықталған бірмəнді у=f(х) функцияны қарайық.
хо (а, b) интервалының бір тиянақты нүктесі болсын. Сонда,

теңдік орындалса, у= f(х) функцияны (а,b) интервалының хо нүктесінде
үздіксіз деп атайды.
Сонымен, былай болатын болды: тəуелсіз айнымалы х тұрақты хо санына
ұмтылғанда f(х) функцияның шегі оның хо нүктесіндегі мəніне тең болса, f(х)
функциясы хо нүктесінде үздіксіз функция деп аталатын болды. Функция
шегінің анықтамасы бойынша теңдік мына теңсіздіктермен

парапар. Бұдан функцияның нүктедегі үздіксіздігі туралы екінші анықтама
шығады.
Егер алдын ала берілген оң құнарсыз аз ε санына сəйкес оған жəне хо
нүктесіне тəуелді δ=δ(ε,хо) саны табылып, теңсіздіктің орындалуынан осы
теңсіздік орындалса, онда y=f(х) функцияны (а,b) интервалының хo нүктесінде
үздіксіз деп атайды.
Бірінші теңсіздік

қос теңсіздікпен, ал екінші теңсіздік

қос теңсіздікпен парапарлығы белгілі.
Бұл теңсіздік ОХ осінде жатқан интервалды, яғни х нүктесінің
аймағын, ал теңсіздік ОУ осінде жатқан интервалды, яғни f(хo)
нүктесінің аймағын кескіндейтіні де өткен материалдардан белгілі.
Осыларды еске алып, функцияның нүктедегі үздіксіздігі туралы үшінші
анықтаманы беруге болады.
Егер алдын ала берілген оң ε саны қаншама аз болса да оған сəйкес δ
саны табылып, хо нүктесінің кішкентай аймағына ОУ осінің бойында
жатқан уо=f(хo) нүктесінің кішкентай аймағы сəйкес келсе, онда у=f(х)
функция (а, b) интервалдың хo нүктесінде үздіксіз деп аталады.
Бұл үшінші анықтама функцияның үздіксіздігінің геометриялық мағынасын
да көрсетеді. Анықтама. Егер функция [a;b] сегментінің барлық ішкі
нүктелерінде анықталған және үзіліссіз, ал a нүктеде оң жақты, b нүктеде
сол жақты үзіліссіз болса, онда ол осы сегментте үзіліссіз деп аталады.
Мысал үшін мына у=х3 функцияны қарайық. Бұл функцияның анықталу облысы
(−∞,∞) интервалы болатыны жəне оның графигі бізге белгілі.
Осы функцияның х=0 нүктесінде үздіксіздігін дəлелдейік.
Алдын ала берілетін оң ε саны үшін -ді алайық. Берілген анықтама
бойынша функция у=х3 мына х=0 нүктесінде үздіксіз болу үшін келесі
теңсіздік

орындалуы керек. Бұл арадан немесе
Кейінгі теңсіздікті былай жазсақ та болады:

Сонымен, жəне теңсіздік орындалысымен осы теңсіздік те
орындалады. Олай болса функция у=х3 мына х=0 нүктесінде үздіксіз.
Енді х−х0 айырманы h арқылы белгілейік, яғни h=х−хo. Бұл h-ты аргумент
x-тің хо нүктесіндегі өсімшесі деп атайды. Бұл арадан х=хо+h. Онда
.
Бұл айырманы аргумент өсімшесіне сəйкес функцияның өсімшесі деп атайды.
Бұдан кейін бірінші жəне екінші теңсіздіктер мына түрге көшеді:

Бұл арадан функцияның үздіксіздігіне төртінші анықтаманы беруге болады.

Егер хo нүктедегі аргументтің шексіз аз өсімшесіне, функцияның шексіз
аз өсімшесі сəйкес келсе, яғни h нольге ұмтылғанда (h→0), өсімше
f(хo+h)−f(xo) да нольге ұмтылса, y=f(х) функцияны (а,b) интервалдың хo
нүктесінде үздіксіз деп атайды.
Егер у=f(х) функциясы (а,b) интервалдың əрбір нүктесінде үздіксіз
болса, онда бұл функцияны (а,b) интервалында үздіксіз деп атайды.
х (а, b) интервалының кез келген нүктесін көрсететін болсын, яғни
ахb. Енді функцияның интервалындағы үздіксіздігінің анықтамасын былай
тұжырымдауға болады.
Егер алдын ала берілген оң мейлінше аз ε саны бойынша оған жəне х-ке
тəуелді оң δ=δ(ε,х) саны табылып, теңсіздіктің орындалуынан бұл теңсіздік
орындалса, у=f(х) функцияны (а, b) интервалында үздіксіз деп атайды.
Функцияның нүктедегі үздіксіздігін тағы да былай анықтауға болады.
Егер (а, b) интервалында жатқан кез келген

тізбектің хо санына жинақталымды болуынан, функцияның оған сəйкес
мəндерінің мына тізбегі

f(x0) санына жинақталымды болса, яғни , онда у=f(х) функцияны (а,
b) интервалының xo нүктесінде үздіксіз деп атайды. Мұны Гейне анықтамасы
дейді. Бастапқы берілген екі анықтаманы Коши ұсынған.
Егер

былайша айтқанда, кез келген оң мейлінше аз ε санына сəйкес δ0 саны
табылып, мына

теңсіздікті қанағаттандыратын барлық х-тер үшін келесі теңсіздік

орындалса, у=f(х) функцияны хo нүктесінің оң жағынан үздіксіз дейді.
Егер болса, былайша айтқанда, кез келген оң құнарсыз аз ε саны
бойынша δ0 саны табылып, мына

теңсіздікті қанағаттандыратын барлық x-тер үшін төмендегі теңсіздік

орындалса, онда у=f(х) функцияны xo нүктесінің сол жағынан үздіксіз
дейді.
Математикалық анализде зерттелінетін, тексерілетін жəне тəжірибеде
қолданылатын функциялар көбінесе үздіксіз функциялар болады. Үзілісті
функциялармен істес болу жағдайы өте сирек болады. Үздіксіз функциялар
үзілісті функцияларда жоқ қасиеттерге ие болады.
Бұл қасиеттерді зерттеу, тексеру үздіксіз функцияларды математикалық
анализдің өзіне жəне жаратылыстану ғылымы істеріне қолдану мəселелерін көп
жеңілдетеді.
(а,b) аралығында анықталған у=f(х) функцияны қарайық. Функцияның
көрсетілген аралықта қабылдайтын мəндерінің жиыны шектелген (шекараланған)
жиын болса, у=f(х) функцияны (а,b) аралығында шектелген функция дейді.
Шектелген функция үшін келесі теорема орын алады:
Теорема. Егер f(х) функциясы (а,b) аралығында шектелген болса, онда бұл
функцияның дəл жоғарғы жəне дəл төменгі шекаралықтары бар.
f(х) функцияның (а,b) аралығындағы дəл жоғарғы шекаралығын М арқылы,
дəл төменгі шекаралығын m арқылы белгілейік жəне мұны былай жазайық:

Сонда (а,b) аралығындағы барлық x-тер үшін төмендегі теңсіздік
орындалады:

Алдын ала берілген оң ε саны қаншама аз болса да (а, b) аралығынан ең
болмағанда бір нүкте х табылып, осы нүктедегі функцияның мəні төмендегі
теңсіздікті

қанағаттандырады.
Мəселен, [0,2π] сегментінде анықталған функцияны қарайық. Бұл
функцияның осы сегменттегі дəл жоғарғы шекаралығы 1-ге тең, ал дəл төменгі
шекаралығы 1-ге тең. Функцияның графигіне көңіл аударыңыздар. Функцияның
дəл жоғарғы шекаралығымен дəл төмендегі шекаралығының айырмасын, яғни М − m
айырманы, оның (а, b) аралығындағы тербелісі деп атайды, оны былай
белгілейді:

Енді үздіксіз функциялардың негізгі қасиеттеріне көшейік. Бұл
қасиеттерді келесі теоремалар арқылы тұжырымдаймыз.
Теорема. Егер f(х) функциясы [а,b] сегментінде үздіксіз болса, онда ол
осы сегментте шектелген де болады.
Келтірілген теореманы дəлелдеу үшін оған қарсы ұйғарайық, атап
айтқанда, [а,b] сегментінде функция f(х) шектелмеген болсын. Онда осы
сегменттің ішінде жатқан ең болмағанда бір нүктесі табылып, осы нүктедегі
функцияның мəні төмендегі теңсіздікті

қанағаттандырады. Мұнда − оң, соншама үлкен сан.
n-ге 1, 2, 3, 4, 5,... мəндерді беріп келесі тізбекті құрамыз:

Бұл тізбек [а, b] сегментінің, ішінде жатқан тізбек. Сондықтан осы
тізбектің барлық элементтерінен тұратын жиын шектелген жиын. Олай болса,
бұл жиынның ең болмағанда бір шектік ξ нүктесі болады жəне осы шектік нүкте
сегменттің өзіне жатады. Шектік нүкте ξ, [а, b] сегментіне жататын
болғандықтан, бұл нүктеде функция f(х) үздіксіз, яғни алдын ала берілген оң
құнарсыз аз ε санына сəйкес δ саны табылып, мына (ξ − δ, ξ + δ) аймақтың
ішінде жатқан барлық х нүктелер үшін келесі теңсіздік

орындалуға тиіс.
Екінші жағынан тізбек ξ санына жинақталымды болғандықтан, осы тізбектің
барлық мүшелері бір номерден бастап (ξ − δ, ξ + δ) аймақтың ішінде жатады.
Ол нүктелер үшін біздің ұйғаруымыз бойынша
.
Бұл кейінгі теңсіздіктің орындалуы теңсіздікке қайшы келеді. Ендеше
біздің ұйғаруымыз дұрыс емес.
Сонымен, теореманың дұрыстығы дəлелденеді.
Дəлелденген теорема тек сегмент үшін дұрыс та, ал интервал үшін дұрыс
болмай қалуы мүмкін. Мəселен, (0,1) интервалында анықталған функцияны
қарайық. Бұл функция өзінің (0,1) анықталу облысында шектелген болып
табылмайды, себебі тəуелсіз айнымалы х нольге жақындаған сайын берілген
функцияның шамасы кез келген қандай болса да оң саннан асып кетеді.
Енді функцияның сегменттегі үздіксіздігінің анықтамасын берейік.
Егер функция сегменттің əрбір ішкі нүктесінде үздіксіз болса жəне х=а
нүктесінің оң жағынан, ал х=b нүктесінің сол жағынан үздіксіз болса, у=f(х)
функцияны [а, b] сегментінде үздіксіз деп атайды.
Вейерштрасстың І-ші теоремасы. Егер функция [a;b] сегментінде
анықталған, үзіліссіз болса, онда ол осы сегментте шектелген, яғни
барлық .
Вейерштрасстың ІІ-ші теоремасы. Егер функция [a;b] сегментінде
анықталған және үзіліссіз болса, онда оның кемінде бір ең кіші жоғарғы және
ең үлкен төменгі мәні бар, яғни үшін, мысалы,
Сонымен, кем дегенде бір нүкте бар болып барлық үшін
теңсіздігі орындалады, осы сияқты теңсіздігі орындалады барлық
үшін.
Егер теореманың шартындағы [a;b] сегментінің орнына ]a;b[ интервалын
қарастырсақ, онда теорема орындалмайды
Больцано-Кошидің 1-ші теоремасы. Егер функция [a;b] сегментінде
анықталған, үзіліссіз және осы сегменттің шеткі нүктелеріндегі функцияның
таңбасы қарама-қарсы болса: , , онда ]a;b[ интервалында кем
дегенде нүкте табылып теңдігі орындалады.
Больцано-Кошидің 2-ші теоремасы. Егер функция [a;b] сегментінде
анықталған, үзіліссіз, және болса, онда осы сегменттен
нүкте табылып теңдігі орындалады.
Теорема. (Кері функцияның үзіліссіздігі). Егер функция [a;b]
сегментінде анықталған, монотонды және үзіліссіз болса, онда оның кері
функциясы бар және осы сегментке сәйкес өсінде сегментте
монотонды және үзіліссіз.
Бізге жиынында анықталған функциясы берілсін. Осы жиыннан
нүкте алайық және нүкте жиынында жататындай
–аргументке осы нүктеде өсімше берейік. Сонда функция
өсімше алады.
Анықтама. функцияның нүктедегі туындысы деп мына шекті
айтамыз: (2.1) , егер осы шек бар болып шектелген болса (егер (2.1)
шек –ке тең болса, онда функцияның туындысы нүктеде –ке тең
деп айтуға болады).
Берілген функцияның кез келген нүктедегі туындысы былай
белгіленеді: , , , және олар игрек штрих, эф штрих
икс, немесе дэ игректен дэ икс бойынша деп оқылады.
Егер функциясының аргументіне –тің әр түрлі мәндерін берсек,
онда әр түрлі мәндер қабылдайды, сондықтан функция туындысының өзінде
аргументті функция деп қарастыруға болады.
Сонымен, берілген функциясының туындысын табу үшін (2.1.) шекті табу
керек. Осы шекті табу амалы функцияны дифференциялдау деп аталады, ал осы
шектің мәні немесе осы амалдың нәтижесі функцияның туындысы болады.
Функцияның туындысы шек арқылы анықталады, сондықтан бір жақтан шектің
анықтамасын пайдалана отыра, функцияның нүктедегі бір жақты туындыларын да
анықтауға болады.
Функцияның нүктедегі оң (сол) жақты туындысы деп мына шектелген
шекті айтамыз:
.
Функция туындысынң анықтамасын тікелей пайдаланып нүктедегі
туындысын табуға болады.
Енді [a;b] сегментінде анықталған және үзіліссіз функциясының
туындысының геометриялық мағынасын қарастырайық. Ол үшін функцияның
графигінен мен нүктелерін алып қиюшы жүргізейік. Қиюшы
мен осі арасындағы бұрышты әрпімен белгілейік. нүктеге
жүргізілген жанама қиюшының шекті түзуі деп аталады,егер
нүкте –графигінің бойымен нүктеге жақындаса , яғни
қиюшы жанамаға, ал бұрышы бұрышына ұмтылады:
.
Басқаша айтқанда, функциясының нүктедегі туындысы осы
фунцкиянын графигінде жатқан нүктеге жүргізілген жанаманың бұрыштық
коэффицентіне тең.
Аналитикалық геометрияда графигіндегі нүктеге жүргізілген
жанаманың теңдеуі: , ал осы жанаманың нүктедегі нормаль теңдеуі
болады. Егер болса, онда жанама осіне параллель болады,
бұл жағдайда жанаманың теңдеуі.
Енді туындының физикалық мағынасын қарастырйық.
Материялық дене түзу сызық бойымен белгілі бір бағытта қозғалсын. Осы
дененің белгілі бір нүктеден мезгілінде жол жүрсін, ал
мезгілінде –жүрген жолы болсын. Сонда, мезгіл аралығындағы
материал дене жол жүреді. – қатынасы дененің мен
мезгіл аралығындағы орташа жылдамдығы деп аталады. Дененің әр түрлі мезгіл
аралығындағы орташа жылдамдығы әр түрлі. Сондықтан, дененің
мезгіліндегі орташа жылдамдығы функциядан уақыт бойынша алынған
туындысына тең, яғни анықтама бойынша
.
Теорема. Егер функцияның нүктеде туындысы бар болса, онда
ол осы нүктеде үзіліссіз.
Ескерту. Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі осы нүктедегі
функцияның туындысы бар болуы үшін тек қажетті ғана шарт, яғни жеткілікті
шарт емес. Сондықтан, функция нүктеде үзіліссіз болып, бірақ осы
нүктеде оның туындысы бар болмауы мүмкін. Мысалы, функциясы
осінде үзіліссіз. Бірақ, нүктеде оның туындысы жоқ. Шынында да,
, сонда , яғни нүктедегі оң және сол жақты шектер тең
емес.
Сонымен, функциясы нүктеде үзіліссіз болғанмен де оның осы
нүктедегі туындысы жоқ.

Элементар функциялардың үздіксіздігі:

1. Элементар функциялардың үздіксіздігіне көшпестен бұрын келесі үш
теореманы дəлелдейік.
а) Жалпы саны шектеулі үздіксіз функциялардың алгебралық қосындылары
үздіксіз функция болады.
Бұл теореманы екі функция үшін дəлелдейік. f(х) жəне- φ(х) − (а, b)
аралығында берілген жəне осы аралықта үздіксіз функциялар болсын, xo−(а,b)
аралығының бір тиянақты нүктесі болсын. Берілген екі функцияның қосындысын
Ғ(х), арқылы белгілейік: Ғ(х) = f(х) + φ(х).
Теореманың шарты бойынша

функциялар шектерінің (4) қасиеті бойынша

Теорема дəлелденді.
б) Жалпы саны шектеулі үздіксіз функциялардың көбейтіндісі үздіксіз
функция болады.
Бұл теореманы да екі функция үшін дəлелдейміз.
f(х) пен φ(x) (а, b) аралығында үздіксіз функциялар болсын хо(а, b)
аралығының тиянақты нүктесі болсын. Бұл екі функцияның көбейтіндісін Ғ(х)
арқылы белгілейік:

Теореманың шарттары бойынша

Функциялар шектерінің (5) қасиеті бойынша,

в) Егер бөлгіш функция нольге тең болмаса, екі үздіксіз. функцияның
бөліндісі үздіксіз функция болады.
f(х) пен φ(x) функциялары (а, b) аралығында анықталған жəне осы
аралықта үздіксіз функциялар болсын. xo(а,b) аралығының тиянақты нүктесі
болсын. Сонда теореманың шарттары бойынша

Берілген функциялардың бөліндісін Ғ(х) арқылы белгілейік:
.
Функциялар шектерінің қасиеттері бойынша

Функция f(х)=х тəуелсіз айнымалы x-тің əрбір мəні үшін үздіксіз болады.

Алдын ала берілген оң құнарсыз аз ε саны бойынша δ санын былай сайлап
алайық: δ≤ε.
Функция f(х)=хn (n − оң бүтін сан) аргумент x-тің кез келген мəні үшін
үздіксіз болады.
Бұл функцияны мына түрде жазуға болады:

n рет
Мұнда көбейткіштердің əрқайсысы үздіксіз функция. Сондықтан (б) теорема
бойынша функция f(х)=хn үздіксіз.
Функция f(х)=c (мұнда с = const) үздіксіз.

Функция f(х)=ахn (мұнда n − оң бүтін сан, а тұрақты сан) аргумент х-тің
кез келген мəні үшін үздіксіз.
Бүтін рационал функция

аргумент x-тің əрбір мəні үшін үздіксіз. Бұл теореманың дұрыстығы
осының алдында айтылған теоремалардан көрініп тұр.
Бөлшек рационал функция

бөлімін нольге айналдырып жібермейтін x-тің əрбір мəні үшін үздіксіз
болады. (b) теореманы қолданып, осы теореманың да дұрыстығын дəлелдеуге
болады.
Бүтін рационал жəне бөлшек рационал функциялар үздіксіз болғандықтан,
олардың шектерін, немесе шектік мəндерін табу үшін тəуелсіз айнымалының
шегін қою керек (əрине, мұнда бөлшектің бөлімі нольге айналып кетпесе).
Функция f(х) = sinx аргумент x-тің əрбір мəні үшін үздіксіз болады.
Бұл теореманы дəлелдеу үшін тəуелсіз ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.