Сызықтық дифференциалдық теңдеулер
АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ
Жоғары математика кафедрасы
Математика 3
Барлық мамандықтардың
барлық оқу түрінің студенттеріне арналған
дәрістер жинағы
Алматы 2008
ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Жұматаева С.А., Темешева С.М. Математика 3. Барлық мамандықтардың барлық оқу түрінің студенттеріне арналған дәрістер жинағы. - Алматы: АЭжБИ, 2008. - 67 б.
Ұсынылып отырған дәрістер жинағына жоғары математика курсының "Математика 3" бөліміне енгізілген 17 дәрісі ("Өріс теориясы", "Дифференциалдық теңдеулер", "Қатарлар", "Комплекс айнымалыдан тәуелді функция және амалдық есептеу", "Ықтималдықтар теориясының элементтері" тараулары бойынша) кірген. Дәрістер жинағы Алматы энергетика және байланыс институтының барлық мамандықтарының барлық оқу түрінің бакалаврларын оқытудың оқу жоспарына сәйкес келеді.
Мазмұны
1. Кіріспе сөз ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
4
2. 1 дәріс
Өріс теориясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
5
3. 2 дәріс
Дифференциалдық теңдеулер.
Жай дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
9
4. 3 дәріс
Айнымалыларына қарағанда біртекті дифференциалдық теңдеулер. Сызықтық бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Бернулли теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
13
5. 4 дәріс
Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер. Реті төмендейтін дифференциалдық теңдеулер. Жоғары ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ...
17
6. 5 дәріс
Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер. Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шешімі. Сызықтық біртекті тұрақты коэффициентті дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .
21
7. 6 дәріс
Сызықтық біртекті емес тұрақты коэффициентті дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін таңдау әдісі. Анықталмаған коэффициенттер әдісі. Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі ... ... ... ... ... ... ... . ... ...
25
8. 7 дәріс
Сандық қатарлар. Негізгі ұғымдар. Оң қатарлар ... ... ... ..
29
9. 8 дәріс
Айнымалы таңбалы және ауыспалы таңбалы қатарлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
33
10. 9 дәріс
Функциялық қатарлар, дәрежелік қатарлар. Тейлор қатары. Кейбір функциялардың Маклорен қатарына жіктелуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
37
11. 10 дәріс
Фурье қатары ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ...
41
12. 11 дәріс
Комплекс айнымалыдан тәуелді функция ұғымы ... ... ... .
43
13. 12 дәріс
Лаплас түрлендіруінің анықтамасы ... ... ... ... ... ... . ... ..
47
14. 13 дәріс
Бейнесі бойынша түпнұсқаны табу. Амалдық есептеудің қолданылуы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
51
15. 14 дәріс
Ықтималдықтар теориясының элементтері ... ... ... ... ...
53
16. 15 дәріс
Толық ықтималдық формуласы ... ... ... ... ... ... .. ... ...
58
17. 16 дәріс
Кездейсоқ шамалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
61
18. 17 дәріс
Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы ... ... ... ... ...
64
19. Әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
67
Кіріспе сөз
Ұсынылып отырған жинақта жоғары математика курсының " Математика 3" бөліміне енгізілген 17 дәрісі кірген. Дәрістер жинағы Алматы энергетика және байланыс институтының барлық мамандықтарының барлық оқыту түрінің бакалаврларын оқытудың оқу жоспарына сәйкес келеді.
Дәрістер жинағы оқытушылар мен студенттерге пайдалы және жоғары математика курсының "Өріс теориясы", "Дифференциалдық теңдеу-лер", "Қатарлар", "Комплекс айнымалыдан тәуелді функция және амалдық есептеу", "Ықтималдықтар теориясының элементтері" тараулары бойынша аудиториялық сабақтар кезінде өзіндік жұмыстар өткізуге арналған.
Анықтамалар, теоремалар, формулалар нөмірлері екі саннан тұрады: олардың біріншісі дәріс нөмірін, ал екіншісі осы дәріс ішіндегі анықтаманың, теореманың, формуланың нөмірін білдіреді.
Оқу құралындағы материалды игеру студенттерге жоғары математика курсының аталып өткен тараулары бойынша жеткілікті жақсы білім алуға мүмкіндік береді.
№ 1 дәріс Өріс теориясы
Мазмұны: Өріс анықтамасы, өрістер теориясының элементтері. Векторлық өрістердің түрлері. Векторлық өрістің ағыны мен циркуляциясын есептеу. Остроградский-Гаусс теоремасы. Стокс теоремасы.
Дәрістің мақсаты: Векторлық сызықтар жиынтығын анықтайтын диффе-ренциалдық теңдеулер жүйесін құра білу, векторлық өрістің дивергенциясы мен роторын табу. Векторлық өрістің ағынын есептеуге Остроградский-Гаусс және Стокс теоремаларын қолдана білу.
1.1 анықтама облысының әрбір нүктесінде векторы анықталса, облысында векторлық өріс берілді дейміз, басқаша айтқанда, векторлық өріс берілген болып есептеледі, егер әрбір нүктесінде сәйкесінше векторы берілсе векторлық өріс берілді дейміз (бұл жерде , , функциялары өздерінің дербес туындыларымен бірге үзіліссіз деп ұйғарамыз).
Векторлық өрістердің дербес жағдайлары
1. Егер тұрақты вектор болса, яғни , , функциялары тұрақты болса, онда векторлық өріс біртекті болады.
2. Егер , , функциялары таңдап алынған координаттар жүйесінде екі айнымалыдан тәуелді функциялар және вектордың проекцияларының біреуі 0-ге тең болса, онда векторлық өріс жазық болады. Мысалы, - жазық векторлық өріс.
3. Егер , , функциялары -дан тәуелсіз болса, онда өріс стационарлық болады.
1.2 анықтама Векторлық өрістің векторлық сызығы деп әрбір нүктесіндегі жанамасының бағыты осы нүктеге сәйкес келетін вектор бағытымен беттесетін сызықты айтады.
Айталық, векторлық өрісі берілсін. Векторлық сызық параметрлік түрде берілсін: , , . Векторлық сызыққа нүктесіндегі бағыттауыш векторы болатын жанамасы теңдеуімен беріледі. 1.2 анықтамасы бойынша және векторлары коллинеар болады, сондықтан, векторлардың коллинеар болу шартынан, теңдеулерін аламыз. шамасы аргументінің өсімшесі болғандықтан, теңдігін аламыз. Осыған ұқсас және болады.
Сонымен,
. (1.1)
(1.1) дифференциалдық теңдеулер жүйесі векторлық өрісінің векторлық сызықтар жиынтығын анықтайды.
Вектордың ағыны
векторлық өрісі берілсін. Осы өрісте кейбір бетін алып, оның бір жағына тоқталайық. беттің осы жағының кез келген нүктесіндегі бірлік нормаль векторы болсын.
1.3 анықтама векторының беті арқылы ағыны деп өріс векторы мен беттің бірлік нормаль векторының скаляр көбейтіндісінің беті бойынша интегралы аталады. Оны төмендегідей белгілейді
(1.2)
немесе
. (1.3)
Дивергенция
векторлық өрісінің еркін нүктесін қарастырамыз, оны толығымен өріске тиісті тұйық бетімен қоршаймыз.
шамасын қарастырайық. Сұйықтың жылдамдықтар өрісінде бұл шама облысындағы уақыттың бірлігіндегі көлем бірлігіне қатысты пайда болатын сұйық мөлшерін анықтайды, яғни жанар көзінің орташа көлемдік қуатын анықтайды. Егер ағын 0-ден кіші болса, онда ағын көзінің қуаты туралы айтады.
шегін есептейміз, анығырақ айтқанда облысы нүктесіне дейін сығылған жағдайдағы шекті есептейміз. Егер шек 0-ден артық болса, онда нүктесі жанар көзі, ал егер 0-ден кіші болса, онда ағын көзі болады. Шектің көзі жанар көзінің қуатын немесе ағын көзінің қуатын сипаттайды.
1.4 анықтама векторлық өрісінің дивергенциясы немесе жинақсыздығы деп нүктесін қоршайтын бет арқылы векторының ағынының сол бетпен қоршалған дене көлеміне қатынасын (аталмыш бет нүктесіне сығылған жағдайдағы) шегін айтады да, төмендегідей белгілейді
. (1.4)
Теорема. векторлық өрісінің нүктесіндегі дивергенциясы
(1.5)
формуласы бойынша табылады.
Остроградский-Гаусс теоремасы. Тұйық беттің ішінен шығатын вектордың ағыны өрістің дивергенциясынан осы бетпен қоршалған дене көлемі бойынша алынған үш еселі интегралға тең
немесе
. (1.6)
Дивергенция қасиеттері
1. ;
2. - векторлық өріс, ал - скалярлық өріс болсын, онда
.
Векторлық өрістің циркуляциясы
1.5 анықтама векторының тұйық контуры бойынша циркуляциясы деп векторы мен осы контурды жанап өтетін векторының скалярлық көбейтіндісінің контуры бойынша қисық сызықты интегралы аталады
. (1.7)
Векторлық өрістің роторы
1.6 анықтама векторлық өрісінің роторы (құйыны) деп
(1.8)
векторы аталады.
Стокс теоремасы. беті арқылы -ның ағыны векторының -тің шекарасы бойынша циркуляциясына тең
немесе
. (1.9)
Ротордың қасиеттері
1. ;
2. егер - скалярлық функция, ал - вектор болса, онда
.
Гамильтон операторы
Символдық - набла-векторын енгізейік. Гамильтон операторы деп аталады.
1. , .
2. , .
3. , .
Өрістердің типтері
1. Егер болса, онда векторлық өрісі соленоидалдық немесе түтікшелік өріс болады.
2. Егер болса, онда векторлық өрісі потенциалдық немесе құйынсыз өріс болады.
3. Егер векторлық өріс соленоидалдық та, потенциалдық та болса, онда ол гармониялық болады.
№ 2 дәріс Дифференциалдық теңдеулер. Жай дифференциалдық теңдеулер
Мазмұны: Негізгі анықтамалар және ұғымдар. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулердің түрлері, оларды шешу әдістері.
Дәрістің мақсаты: Дифференциалдық теңдеудің түрі мен ретін анықтауды, сәйкес ауыстыруларды қолдануды, дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін немесе жалпы интегралын табуды үйрету.
Негізгі анықтамалар және ұғымдар
2.1 анықтама Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалы -ті, белгісіз функция -ті және оның әртүрлі ретті туындыларын немесе дифференциалдарын байланыстыратын теңдеуді атайды.
2.2 анықтама Дифференциалдық теңдеуге кіретін туындының ең жоғары реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.
Мысал 2.1 - . Берілген теңдеу дифференциалдық теңдеу болады, өйткені оның құрамында белгісіз функцияның бірінші және екінші ретті туындылары бар. Бұл екінші ретті дифференциалдық теңдеу, себебі теңдеуге енгізілген туындылардың ең жоғары реті 2-ге тең.
Мысал 2.2 - . Бұл теңдеу дифференциалдық теңдеу болады, өйткені оның құрамында белгісіз функцияның бірінші ретті дифференциалдары бар. Берілген теңдеу бірінші ретті дифференциалдық теңдеу.
2.3 анықтама Дифференциалдық теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын кез-келген функциясы дифференциалдық теңдеудің шешімі немесе интегралы деп аталады.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер
(2.1)
түріндегі теңдеу - бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі.
Егер (2.1) теңдеуін бірінші ретті туындыға қарағанда шешуге болса, онда
, (2.2)
түріндегі теңдеу бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің нормалды формасы немесе бірінші ретті туындысына қарағанда шешілген дифференциалдық теңдеу деп аталады. теңдігі орындалатынын ескеріп, (2.2)-ні келесі түрге келтіруге болады
. (2.3)
2.4 анықтама Бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын, анықталған функциясы оның шешімі деп аталады.
Дифференциалдық теңдеудің шешімінің графигі интегралдық қисық деп аталады.
Мынадай сұрақ туындайды: қандай шарттар орындалғанда (2.2) теңдеуінің шешімі табылады? Бұл сұраққа (2.2) дифференциалдық теңдеудің шешімінің бар болуы және жалғыздығы туралы Коши теоремасы деп аталатын теорема жауап береді.
Коши теоремасы. Егер және оның дербес туындысы жазықтығының кейбір облысында анықталған және үзіліссіз болса, онда облысының қандай да бір ішкі нүктесінің маңайында теңдеуінің
" болғанда болады" (2.4)
деген шарттарға қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар болады.
(2.4) шарттары - бастапқы шарттар деп аталады да
(2.4')
белгіленеді.
Егер де (2.2) теңдеуінің (2.4) бастапқы шарттарына қанағаттандыратын шешімін табу керек болса, Коши есебін шешу керек дейміз.
Геометриялық тұрғыдан Коши есебінің шешімін табу дегеніміз интегралдық қисықтар жиынынан жазықтығының берілген нүктесі арқылы өтетін қисықты алуды білдіреді.
Жазықтықтың кейбір нүктелерінен бірнеше интегралдық қисық өтетін немесе ешбір интегралдық қисық өтпейтін нүктелері теңдеудің ерекше нүктелері деп аталады.
2.5 анықтама -тен және еркін тұрақты -дан тәуелді
(2.5)
функциясы
а) тұрақты -ның кез келген мәнінде (2.2) теңдеуіне қанағаттандырса,
б) (2.4) шарттары қандай болса да теңдігі орындалатындай еркін тұрақтының мәні табылса
(2.2) дифференциалдық теңдеуінің жазықтығының кейбір облысындағы жалпы шешімі деп аталады.
2.6 анықтама Дифференциалдық теңдеудің
, (2.6)
түрінде табылған шешімі (2.2)-нің жалпы интегралы деп аталады.
2.7 анықтама (2.2) теңдеуінің облысындағы дербес шешімі деп теңдеудің жалпы шешімі (2.5)-тен еркін тұрақты -ның бекітілген мәнінде алынған функциясын айтамыз.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің геометриялық мағынасы
Айталық, дифференциалдық теңдеуі берілсін және - оның шешімі болсын. Интегралдық қисықтың кез келген нүктесі арқылы жанама жүргізуге болады. Интегралдық қисыққа әрбір нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті осы нүктедегі функциясының мәніне тең екені теңдеуден жеңіл байқалады. Демек, теңдігі нүктенің координаттары мен осы нүктеде интегралдық қисықтың графигіне жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті арасындағы тәуелділікті орнатады. Интегралдық қисықтың әрбір нүктесіне бұрыштық коэффициенті болатын бағытталған кесіндіні сәйкестендірейік, сонда берілген теңдеудің бағыттар өрісін аламыз.
Сонымен, геометриялық тұрғыдан теңдеуі жазықтығындағы бағыттар өрісін анықтайды, ал шешім - интегралдық қисық, оның әрбір нүктесінде жүргізілген жанаманың бағыты өрістің бағытымен беттеседі.
Теңдеулердің түрлері
I.
(2.7)
қарапайым дифференциалдық теңдеу деп аталады. Оны түрінде де жазуға болады.
белгісіз функциясы формуласымен анықталады.
II.
(2.8)
айнымалылары ажыратылған теңдеу деп аталады.
(2.8)-дің шешімі формуласымен анықталады.
III.
(2.9)
айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп аталады.
және деп есептеп, (2.9) теңдігінің екі жағын көбейтіндісіне бөлеміз, онда теңдеуін аламыз, яғни (2.9)-ды айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеуге келтіріп аламыз.
(2.10)
айнымалылары ажыратылатын теңдеу, мұндағы және - үзіліссіз функциялар. (2.10)-ның шешімін табу үшін теңдігін ескеріп, берілген теңдеуді
(2.11)
түрінде жазып аламыз.
деп ұйғарып, (2.11)-ді -ке бөлеміз, онда айнымалылары ажыратылған теңдеуді аламыз: . Соңғы теңдіктің екі жағын интегралдап, (2.10) теңдеуінің жалпы интегралын аламыз
.
Мысал 2.3 - - бұл қарапайым бірінші ретті дифференциалдық теңдеу.
Интегралдаймыз
.
Мысал 2.4 - - бұл айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу.
Теңдеудің екі жағын көбейтіндісіне бөлеміз, әрине алдын ала деп ұйғарамыз, онда айнымалылары ажыратылған теңдеуді аламыз
.
Осы теңдеуді интегралдап теңдігін табамыз. формуласын пайдаланып, соңғы теңдікті
түрінде жазып аламыз. Бұл берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы.
№ 3 дәріс Айнымалыларына қарағанда біртекті дифференциалдық
теңдеулер. Біртекті теңдеулерге келтірілетін теңдеулер.
І-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.
Бернулли теңдеуі
Мазмұны: Функцияның біртектілік дәрежесін анықтау, , айнымалы-ларына қарағанда біртекті дифференциалдық теңдеулер. І-ретті сызықтық бір-текті және біртекті емес дифференциалдық теңдеулер. Еркін тұрақтыны вариациялау әдісі. Бернулли теңдеуі.
Дәрістің мақсаты: Функцияның біртектілік дәрежесін анықтауды, , айнымалыларына қарағанда біртекті дифференциалдық теңдеулерді және оларға келтірілетін теңдеулерді шешуді, І-ретті біртекті және біртекті емес дифференциалдық теңдеулерді шешуді, еркін тұрақтыны вариациялау әдісін қолдануды, Бернулли теңдеуін шешуді үйрету.
IV. және айнымалыларына қарағанда І-ретті біртекті дифференциал-дық теңдеулер.
3.1 анықтама теңдігіне қанағаттандыратын функциясы өлшемі -ші ретті біртекті функция деп аталады.
Мысалы, берілсін. Бұл функция үшін
,
яғни - өлшемі -ші ретті біртекті функция.
функциясы үшін , яғни - өлшемі -ші ретті біртекті функция.
3.2 анықтама функциясы , айнымалыларына қарағанда өлшемі -ші ретті біртекті функция болса теңдеуі І-ретті біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады.
3.3 анықтама және өлшем реттері бірдей функциялар болса дифференциалдық теңдеуі , айнымалыларына қарағанда біртекті теңдеу болады.
және айнымалыларына қарағанда біртекті І-ретті дифференциалдық теңдеуді шешу үшін
(3.1)
алмастыруын қолданып, III-ші түрдегі теңдеуге келтіру арқылы шешеді.
V. және айнымалыларына қарағанда І-ретті біртекті дифференциал-дық теңдеуге келтірілетін теңдеулерге
(3.2)
түріндегі теңдеулер жатады.
Шешуі: 1) егер болса, онда алмастыруын жасай-мыз, мұндағы мен сызықтық теңдеулер жүйесінен та-былады.
2) егер болса, онда алмастыруын жасаймыз да, IV-ші түрдегі теңдеуге келтіреміз.
Сызықтық дифференциалдық теңдеулер
3.4 анықтама VII
(3.3)
І-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады, мұндағы және - үзіліссіз функциялар. (3.3) теңдеуіне белгісіз функция және оның туындысы тек бірінші дәрежеде кіреді.
3.5 анықтама болса, (3.3) І-ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу болады да, VI-шы түрде жазылады
. (3.4)
Егер болса, онда (3.3) І-ретті сызықтық біртекті емес дифферен-циалдық теңдеу болады.
(3.4) теңдеуінің шешімін табамыз. Ол үшін алдымен (3.4)-ті айнымалы-лары ажыратылатын теңдеуге келтіреміз
.
Енді айнымалыларын ажыратып алып, алынған теңдеуді интегралдаймыз
, .
Сонымен,
. (3.5)
(3.5) функциясы - (3.4)-тің жалпы шешімі.
(3.3) І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шеші-мін табу алгоритмін келтірейік. (3.3)-ті шешу үшін еркін тұрақтыны вариация-лау әдісін пайдаланамыз. Оның мағынасы мынада:
а) алдымен сәйкес (3.4) түріндегі теңдеудің жалпы шешімін, яғни (3.5) түріндегі функцияны табамыз;
б) (3.5)-гі -ны -тен тәуелді белгісіз функциясы деп есептейміз. Енді (3.3)-тің жалпы шешімін
(3.6)
түрінде іздейміз.
Біздің ұйғаруымыз бойынша (3.6) (3.3)-тің шешімі болған соң, (3.6)-ны (3.3)-ке қойсақ, тепе-теңдік аламыз
осыдан функциясын табамыз
.
үшін табылған өрнекті (3.6)-ға қоямыз да, (3.3) дифференциалдық тең-деуінің жалпы шешімін табамыз: , оны
(3.7)
түрінде жазамыз.
(3.7) - (3.3)-тің жалпы шешімі, яғни (3.7) - І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.
І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінің құрамы
І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі сәйкес сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі мен біртекті емес дифференциалдық теңдеудің кейбір дербес шешімінен құра-лады, яғни, , мұндағы - біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, - біртекті диф-ференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, - біртекті емес дифференциал-дық теңдеудің дербес шешімі.
Мысал 3.1 - теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: - бұл (3.3) түріндегі дифференци-алдық теңдеу. Сәйкес біртекті теңдеуді жазып аламыз: . Осыдан , , , - бұл сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі, яғни . Онда сызықтық біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін түрінде іздейміз. функциясын анықтаймыз:
. Демек, берілген теңдеудің жалпы шешімі болады.
Бернулли теңдеуі
VIII
(3.8)
түріндегі теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады.
алмастыруын орындағаннан кейін (, ) Бернулли теңдеуі VII-ші түрдегі теңдеуге келтіріледі.
Ескерту.
VII. - белгісіз функциясы үшін І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу.
VI. - белгісіз функциясы үшін І-ретті сызықтық біртекті дифферен-циалдық теңдеу.
VIII. - белгісіз функциясы үшін Бернулли теңдеуі.
Толық дифференциалдардағы теңдеу
3.5 анықтама
(3.9)
түріндегі теңдеу
(3.10)
шарты орындалғанда толық дифференциалдардағы теңдеу деп аталады.
(3.10) шарты орындалғанда (3.9)-дың сол жағы кейбір функция-сының дифференциалы болатынын, яғни , дәлелдейміз.
Қажеттілік. (3.9)-дың сол жағы үшін толық дифференциал болсын: және , онда және . болғандықтан, болады.
Жеткіліктілік. (3.10) орындалсын, яғни , , онда және . Басқа жағынан, , осыдан , онда . Сонымен, (3.9)-дың сол жағы функциясының толық дифференциалы болады, ал (3.9) теңдеуінің жалпы шешімі формуласымен анықталады.
№ 4 дәріс Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер.
Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер.
Жоғары ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер
Мазмұны: Негізгі ұғымдар мен анықтамалар. Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімінің негізгі қасиеті. Сызықты тәуелді және сызықты тәуелсіз функциялар жүйесі, олардың вронскианы.
Дәрістің мақсаты: Жоғары ретті дифференциалдық теңдеудің анықтамасы. Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулерді шешу тәсілдерін көрсету. Сызықтық біртекті және біртекті емес жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер. Функциялар жүйесінің сызықтық тәуелділігі немесе тәуелсіздігін анықтауды үйрету.
4.1 анықтама теңдеуі екінші ретті дифференциалдық теңдеуі деп аталады, мұндағы - тәуелсіз айнымалы, - белгісіз функция, және - оның туындылары.
Көп жағдайда -ке қарағанда шешілген теңдеу қарастырылады
. (4.1)
(4.1) теңдеуінің шешімі деп -да анықталған, теңдеуге қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын функциясы аталады. Шешімнің графигі интегралдық қисық деп аталады.
Коши теоремасы. Егер және оның , дербес туындылары айнымалылар кеңістігінің кейбір облысында анықталған және үзіліссіз болса, онда облысының қандай да бір ішкі нүктесінің маңайында теңдеуінің
, . (4.2)
шарттарға қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар болады. (4.2) - бастапқы шарттар.
Дифференциалдық теңдеудің бастапқы шарттарға қанағаттандыратын шешімін табу есебін Коши есебі дейміз.
Геометриялық тұрғыдан Коши есебінің шешімін табу дегеніміз интегралдық қисықтар жиынынан жазықтығының берілген нүктесі арқылы өтетін, осы нүктедегі жанамасының бұрыштық коэффициенті болатын қисықты алуды білдіреді.
4.2 анықтама -тен және екі еркін тұрақты мен -ден тәуелді функциясы кейбір облысында (4.1) теңдеуінің жалпы шешімі болады, егер ол: 1) мен тұрақтыларының кез келген мәндерінде шешім болса; 2) кез келген (4.2) бастапқы шарттары үшін , тұрақтыларының сәйкесінше , жалғыз ғана мәндері табылып, функциясы бастапқы шарттарға қанағаттандырса.
4.3 анықтама Жалпы шешім - функциясынан , мәндерінде шығатын кез келген функциясы (4.1) теңдеуінің дербес шешімі деп аталады.
Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер
n-ретті дифференциалдық теңдеу деп
түріндегі теңдеу аталады. Егер де ол жоғары ретті туындысына қарағанда шешілген болса, онда n-ретті дифференциалдық теңдеу
(4.3)
түрінде жазылады.
(4.3)-тің шешімі деп -да анықталған, (4.3)-ке қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын функциясы аталады.
(4.3)-тің жалпы шешімі х-тен және n еркін тұрақтыдан тәуелді болады: .
Жалпы шешімнен тұрақтыларының бекітілген мәндерінде пайда болатын (4.3)-тің шешімі оның дербес шешімі деп аталады.
Жоғары ретті теңдеу үшін бастапқы шарттар
, , ..., (4.4)
түрінде жазылады.
(4.3) теңдеуінің (4.4) бастапқы шарттарына қанағаттандыратын шешімін табу есебін Коши есебін шешу дейміз.
Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер
немесе
(4.5)
дербес жағдайларын қарастырамыз.
1. теңдеуі. Бұл теңдеуде жоқ, оның шешімін бірте-бірте интегралдау көмегімен табамыз:
, , , ..., .
2. теңдеуі. Бұл теңдеуге және оның -шы ретке дейінгі туындылары кірмеген. Алмастыру жасаймыз: , , ..., , теңдеуін аламыз. Берілген теңдеудің ретті -ға төмендеді.
3. теңдеуі. Бұл теңдеуде айнымалысы айқын түрде жоқ. Алмастыру орындаймыз:. Енді -ті тәуелсіз айнымалы деп есептейміз, онда ,
,
т.с.с. Нәтижесінде -ші ретті теңдеуді аламыз.
Жоғары ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер
-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп
түріндегі теңдеуді айтамыз, мұндағы - ізделінді функция, - оның туындылары, - аргумент, , - алдын ала берілген үзіліссіз функциялар.
Егер болса, сызықтық дифференциалдық теңдеу біртекті емес, ал болса, біртекті деп аталады.
Біз ІІ-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз. Нәтижелері -ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулерге үлестіріледі.
(4.6)
түріндегі теңдеу - ІІ-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық тең-деу болады. Ал
(4.7)
(4.6)-ға сәйкес ІІ-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу.
ІІ-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер.
Біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімінің негізгі қасиеті
4.1 теорема Егер мен функциялары (4.7)-нің шешімдері бол-са, онда
(4.8)
функциясы және тұрақтыларының кез келген мәндерінде (4.7) теңдеуі-нің шешімі болады.
Дәлелдеуі. мен функциялары (4.7)-нің шешімдері болғандықтан, , теңдіктері орындалады. (4.8) функциясын (4.7)-ге орнына қоямыз. Ол үшін пен -ді табамыз: , . Теорема дәлелденді.
Сонымен, (4.8) функциясы (4.7)-ші теңдеудің шешімі болды. Осы функция (4.7)-нің жалпы шешімі болады ма? Бұл сұраққа жауап беру үшін функциялар жүйесінің сызықтық тәуелді немесе сызықтық тәуелсіз болу ұғымын енгіземіз.
4.4 анықтама Барлығы бірдей нөлге тең емес, яғни , сандары табылып, -ның кез келген үшін
(4.9)
теңдігі орындалса функциялары интервалында сызықтық тәуелді болады.
үшін (4.9) теңдігі , , түріне келеді. Осы-дан .
Егер (4.9) шарты орындалмаса, онда функциялар жүйесі сызықтық тәуел-сіз болады.
4.5 анықтама Вронский анықтауышы (вронскиан) деп
(4.10)
функциясы аталады.
4.2 теорема Егер мен функциялары -да сызықтық тәуелді болса, онда олардың вронскианы нөлге тең болады.
Дәлелдеуі. мен сызықтық тәуелді болған соң, болады, сондықтан , болады да, анықтауыштардың қаси-еттері бойынша . Теорема дәлелденді.
4.3 теорема Егер (4.7) теңдеуінің шешімдері мен -да сызықтық тәуелсіз болса, онда олардың вронскианы -да нөлге тең болмайды.
Дәлелдеуі. болатындай нүктесі бар болсын деп ұйға-райық, яғни болсын. жүйесін құрамыз, мұндағы мен - белгісіз сандар. Теңдеулер жүйесі біртекті болғандықтан, оның анықтауышы демек, жүйенің мен -ге қарағанда нөлдік емес шешімі бар болады. функциясын қарастырамыз, мұндағы мен - құрылған жүйенің нөлге тең емес шешімі, сонымен бірге функциясы және бастапқы шарттарына қанағаттандырады. Бірақ осы шарттарға функциясы да қанағаттандырады және де осы функция (4.7)-ге қанағаттандырады. Дифференциалдық теңдеудің шешімінің бар болуы және жалғыздығы туралы теорема бойынша бұл шешімдер беттеседі, яғни аралығында , яғни мен сызықтық тәуелді болды. Қайшылыққа келдік. Сонымен, біздің ұйғаруымыз дұрыс емес. Егер пен - (4.7)-нің -ғы шешімі болса, онда
1) егер мен сызықтық тәуелсіз болса, онда , ;
2) егер мен сызықтық тәуелді болса, онда , .
№ 5 дәріс Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер.
Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шешімі. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер
Мазмұны: Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. Еркін тұрақтыларды вариациялау әдісі. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімі.
Дәрістің мақсаты: Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін, Остроградский-Лиувилль формуласы көмегімен дербес шешімді, еркін тұрақтыларды вариациялау әдісі көмегімен сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулердің шешімін, сипаттауыш теңдеу көмегімен сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердің шешімін табуды үйрету.
Қандай шарттар орындалғанда функциясы сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі болатынын анықтап алайық.
5.1 теорема Егер пен - аралығында
(5.1)
теңдеуінің сызықтық тәуелсіз шешімдері болса, онда
(5.2)
(5.1)-дің жалпы шешімі болады, мұндағы мен - еркін тұрақтылар.
Дәлелдеуі. 4.1-ші теорема бойынша функциясы (5.1)-дің шешімі болады. Осы функция жалпы шешім болатынын дәлелдеу үшін оның құрамынан кез келген бастапқы шарттарға қанағаттандыратын дербес шешімді ажыратып алу керек. Айталық, және , - кейбір бастапқы шарттар болсын. жүйесін құрамыз, мұндағы мен - белгісіз сандар. - осы жүйенің анықтауышы. мен сызықтық тәуелсіз болғандықтан, болады, сондықтан бұл жүйенің , жалғыз шешімі табылады, онда , яғни (5.2)-ден дербес шешімді ажыратып алдық. Сонымен, (5.2) функциясы (5.1) теңдеуінің жалпы шешімі болады.
Қорытынды. II-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табу үшін (5.1) теңдеуінің екі сызықтық тәуелсіз дербес шешімін тауып алып, (5.2) түріндегі функцияны жазып алған жеткілікті.
Остроградский-Лиувилль формуласы
(5.1)-дің тек қана бір дербес шешімі белгілі болса, осы теңдеудің жалпы шешімін қалай табуға болады? - (5.1) теңдеуінің дербес шешімі болсын. деп ұйғарып, жаңа функциясын енгізейік. пен -ті есептеп алайық: , . Енді (5.1)-де алмастырулар орындай-мыз:
.
Келесі кезекте алынған дифференциалдық теңдеудің алмасты-руы көмегімен ретін төмендету керек. Онда болады да, сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеуді аламыз
.
Осыдан , сонымен, (5.1) теңдеуінің жалпы шешімі функциясын анықтап алдық, мұндағы
. (5.3)
(5.3) - Остроградский-Лиувилль формуласы.
II-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер
II-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз
, (5.4)
. (5.1)
5.2 теорема (5.4) сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі осы теңдеудің кез келген дербес шешімі мен (5.4)-ке сәйкес (5.1) біртекті теңдеудің жалпы шешімінің қосындысы болады
(5.5)
- (5.4)-тің шешімі, - (5.1)-дің шешімі, - (5.4)-тің шешімі кейбір дербес шешімі.
Дәлелдеуі. функциясын алайық. Осы функция (5.4)-тің шешімі болатынын көрсетейік. Ол үшін туындыларын есептейміз , . Туындыларды (5.4)-ке орнына қойып
,
яғни тепе-теңдікке келдік: .
функциясы (5.4)-тің жалпы шешімі болатынын көрсетейік. (5.4)-тің кез келген шешімін алайық, онда біртекті теңдеудің жалпы шешімі болады, себебі төмендегі теңдік орындалады
.
функциясы сызықтық біртекті теңдеудің шешімі болғандықтан, оны түрінде жазуға болады, яғни , демек, (5.5)-тен кейбір дербес шешімді ажыратып алдық. Олай болса, (5.5) - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. Теорема дәлелденді.
Еркін тұрақтыларды вариациялау көмегімен табу жолын көрсетейік. - (5.1) сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі болсын. Дербес шешімін табамыз. Жалпы шешімі
(5.6)
түрінде жазылсын.
туындысын есептейміз: . және функцияларын
(5.7)
теңдігі орындалатындай етіп таңдаймыз. Онда . -ті есептейміз:, оны (7.1)-ге қойсақ, мынаны аламыз:
, яғни
. (5.8)
Сонымен, егер де мен функциялары (5.7) мен (5.8)-ге, дәлірек айтқанда
(5.9)
жүйесіне қанағаттандырса, онда (5.6) берілген теңдеудің шешімі болады
мен сызықтық тәуелсіз функциялар болған соң, жүйенің анықтауы-шы болады, сондықтан (5.9)-дың жалғыз , шешімі табылады. Осыдан , екенін таба-мыз. Табылған мен функцияларын (5.6)-ға қойсақ, (5.4) сызықтық біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін анықтаймыз.
Тұрақты коэффициентті II-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер
II-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулерді қарастыра-мыз
, (5.10)
мұндағы мен - тұрақты шамалар.
(5.11)
теңдеуі (5.10)-ға сәйкес келетін сипаттауыш теңдеу болады.
5.3 теорема 1) Егер (5.11) теңдеуінің нақты түбірі бар болса, онда функциясы (5.10) теңдеуіне қанағаттандырады. 2) Егер (5.11)-дің комплекс түбірлері бар болса, онда және функциялары (5.10)-ға қанағаттандырады.
Дәлелдеуі. 1) - (5.11) теңдеуінің түбірі болсын. функциясын жазып алып, оның туындыларын есептеп, (5.10)-ға орындарына қоямыз. Онда , , , , яғни функциясы (5.10) теңдеуіне қанағаттандырады.
2) Дәлелдеуі теореманың бірінші бөлімінің дәлелдеуіне ұқсас.
5.4 теорема Егер (5.11) сипаттауыш теңдеудің түбірлері: а) нақты () және әртүрлі () болса, онда (5.10)-ның жалпы шешімі болады; б) нақты () және өзара тең () болса, онда (5.10)-ның жалпы шешімі функциясы болады; в) комплексті түйіндес (, ) болса, онда (5.10)-ның жалпы шешімі .
Дәлелдеуі. а) болсын, онда , - (5.10)-ның дербес шешімдері болады. Оларды сызықтық тәуелділікке зерттейміз: себебі , яғни мен сызықтық тәуелсіз, сондықтан .
б) болсын, онда - (5.10) теңдеуінің кейбір дербес шешімі болады. Остроградский-Лиувилль формуласы бойынша -ні есептейміз: , демек, .
в) , болсын, онда 5.3 теормасы бойынша , - дербес шешімдері болады. , функцияларын сызықтық тәуелділікке зерттейміз: , осы қатынастан мен сызықтық тәуелсіз екені көрінеді, онда
.
теңдеуінің шешімін табу алгоритмі
1. (5.4)-ке сәйкес біртекті дифференциалдық теңдеуді жазамыз: ;
2. оның сипаттауыш теңдеуін шешеміз;
3. жалпы шешімін жазып аламыз;
4. еркін тұрақтыларды вариациялау әдісі көмегімен -ді табамыз, ол үшін (5.9) жүйесінен функцияларын анықтап аламыз;
5. теңдеудің шешімін жазамыз.
№ 6 дәріс Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін теру әдісі. Анықталмаған коэффициенттер әдісі. Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі
Мазмұны: Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шешімі. Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердің нормалды жүйесі.
Дәрістің мақсаты: Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеуінің дербес шешімін табуға анықталмаған коэффициенттер әдісін пайдалануды үйрету. Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесін бірте-бірте жою әдісі және сипаттауыш теңдеу көмегімен шешу.
IІ-ші ретті тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеуді қарастырамыз
. (6.1)
екенін көрсеттік. Егер (6.1) теңдеуінде функциясы
(6.2)
түрінде өрнектелетін болса, мұндағы , - көпмүшелер, онда
(6.3)
түрінде алуға болады, мұндағы , пен - -дәрежелі көпмүшелер, - сызықтық біртекті теңдеуге сәйкес сипаттауыш теңдеудің түбірінің еселік реті (яғни саны сипаттауыш теңдеудің -еселі түбірі болады).
Мысал 6.1 - .
, , .
, , .
, , ,
; , , .
, , ,
, .
.
,
Мысал 6.2 - .
, , , .
, , .
, , , , .
, , , .
, .
.
Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Дифференциалдық теңдеулердің нормалды жүйесі
6.1 анықтама Дифференциалдық теңдеулердің -ші ретті нормалды жүйесі деп
(6.4)
І-ші ретті дифференциалдық теңдеудің жиынтығын айтамыз, мұндағы - тәуелсіз айнымалы, - белгісіз функциялар, ,, - олардың туындылары.
Түсініктеме. Нормалды жүйеде:
а) барлық теңдеулері , , туындыларына қарағанда шешілген;
б) белгісіз функциялардың туындылары тек І-ші ретті болады.
6.2 анықтама (6.4) жүйесінің жалпы шешімі деп еркін тұрақты , , , шамаларынан тәуелді және бойынша үзіліссіз туындылары бар
, , ..., (6.5)
функциялардың жиынтығы аталады. Сонымен бірге төмендегі шарттар міндетті түрде орындалуы тиіс:
а) (6.5) теңдеулері , , , шамаларына қарағанда барлық () үшін, мұндағы - Коши есебінің шешімінің жалғыз болу облысы, шешіледі, яғни
(6.6)
ә) (6.6)-дан барлық , , , мәндерінде шығатын (6.5) функциялар жиынтығы (6.4) жүйесінің шешімі болады.
Коши есебі деп (6.4) теңдеулер жүйесінің
(6.7)
бастапқы шарттарына қанағаттандыратын шешімін табу есебін айтамыз.
Бірте-бірте жою әдісі көмегімен -ші ретті нормалды жүйенің шешімін табу есебі -ші ретті бір дифференциалдық теңдеудің шешімін табу есебіне келтіріледі. Бұл әдістің мағынасы ізделінді функцияларды (6.4) жүйесінен бірте-бірте жоюда. Жүйенің бірінші теңдеуін айнымалысы бойынша дифференциалдаймыз: . Жүйенің қалған теңдеулерін ескере отырып, алынған өрнекті мына түрде жазамыз
немесе ,
немесе , ...,
, сонымен
(6.8)
жүйесін аламыз. Алғашқы теңдеуден шамаларын , , , ..., арқылы өрнектеп алуға болады, яғни .
Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердің нормалды жүйесі
(6.9)
түріндегі жүйе тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердің нормалды жүйесі деп аталады.
Белгілеулер енгіземіз: , , .
Онда (6.9)-ды
(6.10)
түрінде жазуға болады.
6.3 анықтама (6.10) жүйесінің , , ..., вектор-функциялар жиынтығы сызықтық тәуелді деп аталады, егер теңдігі орындалса, мұндағы . Керсінше жағдайда, функциялар жүйесі сызықтық тәуелсіз деп аталады.
6.4 анықтама (6.10) жүйесінің сызықтық тәуелсіз шешімдерінің жиынтығы шешімдердің фундаменталды жүйесі деп аталады.
Теорема (сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердін нормалды жүйесінің шешімінің құрамы туралы). Егер , , ..., вектор-функциялар жиынтығы (6.10) жүйесі үшін шешімдердің фундаменталды жүйесі болса, онда теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі функциясы болады; мұндағы , - еркін тұрақтылар.
(6.11)
ІІ-ші ретті тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық тең-деулер жүйесін шешу жолын қарастырамыз.
Шешімді , түрінде іздейміз
(6.12)
(6.12)-нің нөлге тең емес шешімі бар болу үшін
(6.13)
шарты орындалуы қажет.
(6.13) - (6.11)-ші теңдеудің сипаттауыш теңдеуі.
(6.13)-тің шешімдері - , сандары сипаттауыш теңдеудің меншікті мәндері деп, ал меншікті векторы деп аталады. (6.11) жүйесінің шешімі
функциясы болады.
№ 7 дәріс Сандық қатарлар. Негізгі ұғымдар. Оң қатарлар
Мазмұны: Сандық қатарлар, дербес қосындылар, сандық қатардың қалдығы, сандық қатардың жинақты болуының қажетті шарты, сандық қатардың жинақты болуының жеткілікті шарттары: салыстыру белгілері, шектік салыстыру белгісі, Д'Аламбер белгісі, Кошидың радикалдық белгісі, Кошидың интегралдық белгісі.
Дәрістің мақсаты: Студенттерді сандық қатар ұғымымен таныстыру, қатарды жинақтылыққа зерттеу мысалдарын келтіру.
(7.1)
түріндегі өрнекті сандық қатар дейміз, мұндағы . тізбегінің мүшелері қатардың мүшелері деп, ал - сандық қатардың жалпы мүшесі деп аталады.
қосындылары дербес қосындылар деп, ал - (7.1) сандық қатарының -ші дербес қосындысы деп аталады. Егер бар болып әрі -ке тең болса, яғни , онда (7.1) қатары жинақты қатар болады, ал - оның қосындысы. табылмаса (дербес жағдайда шексіздік болса), онда (7.1) жинақсыз қатар деп аталады.
қосындысы (7.1)-дің қалдығы деп аталады.
Егер (7.1) жинақты қатар болса, онда
.
Мысал 7.1 - қатары берілсін. Оның жинақтылығын анықтап, қосындысын табу керек.
Шешуі. Қатардың -ші дербес қосындысын жазып алып, оны ықшамдаймыз:
болғандықтан, берілген қатар жинақты, ал қосындысы болады.
Мысал 7.2 - Қатарды жинақтылыққа зерттеу
(7.2)
және мүмкін болған жағдайда қосындысын табу керек.
Шешуі. Дербес қосындысын жазып аламыз
.
Егер болса, онда , яғни , демек, (7.2) жинақсыз қатар болады.
Енді болсын, онда . болсын деп ұйғарайық, онда , яғни . Ал егер болса, онда және ақырлы шегі (конечный предел) табылмайды, демек, дербес қосындылар тізбегінің де шегі табылмайды. Егер болса, шегі тағы да табылмайды.
Сонымен, мүшелері (бірінші мұшесі , еселігі ) шексіз геометриялық прогрессия құрайтын қатары болғанда жинақты және оның қосындысы болады, ал болса жинақсыз болады.
(7.2) - геометриялық қатар деп аталады.
7.1 теорема (қатардың жинақты болуының қажетті шарты). Егер (7.1) сандық қатары жинақты болса, онда .
Керісінше тұжырым дұрыс болмайды.
Мысал 7.3 - Гармониялық қатар
мүшелері 0-ге ұмтылса да, жинақсыз болатынын дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі. қатары жинақты, ал қосындысы болады деп ұйғарайық. айрмасын қарастырамыз. Біздің ұйғару бойынша болады. Жоғарыдағы өрнекте әрбір қосылғышын шамасымен ауыстыра отырып,
теңсіздігін аламыз.
Бұл теңсіздіктен екені шығады, яғни біздің ұйғаруымыз дұрыс емес, демек, гармониялық қатар жинақсыз болады.
7.2 теорема (қатардың жинақсыз болуының жеткілікті шарты). Егер болса, онда (7.1) жинақсыз қатар болады.
Мысал 7.4 - Қатарды жинақтылыққа зерттеу керек.
Шешуі. Берілген қатардың жалпы мүшесі болады. Онда
,
яғни берілген қатар жинақсыз болады.
Қатардың кез келген ақырлы сан мүшесін қалдырып кеткеннен оның жинақтылығы немесе жинақсыздығы өзгермейді, ал егер оның қосындысы бар болса, онда ол өзгереді.
Оң қатарлардың жинақты болуының кейбір жеткілікті шарттарын қарастырамыз.
7.3 теорема (салыстыру белгілері). Екі қатар берілсін
, (7.3)
(7.4)
және барлық үшін теңсіздіктері орындалсын, онда:
а) (7.4) қатары жинақты болса, (7.3) қатары да жинақты болады;
б) (7.3) қатары жинақсыз болса, (7.4) қатары да жинақсыз болады.
Салыстыру үшін көбіне геометриялық қатарын және де гармониялық қатарды алады.
7.4 теорема (салыстырудың шектік белгісі). Егер ақырлы шегі бар болып, әрі болса, онда (7.3) және (7.4) қатарлары екеуі де жинақты немесе екеуі де жинақсыз болады.
Мысал 7.5 - қатары жинақты екенін біле отырып, қатарын жинақтылыққа зерттеу керек.
Шешуі. болғандықтан, қатары да жинақты болады.
7.5 теорема (Д'Аламбер белгісі). (7.1) қатары үшін болсын (кейбір нөмірінен бастап) және шегі бар болсын. Онда егер болса, берілген қатар жинақталады, егер болса, берілген қатар жинақсыз болады. болғанда қосымша зерттеулер қажет етеді.
Мысал 7.6 - Қатарды жинақтылыққа зерттеу керек.
Шешуі. , болғандықтан, онда
.
Демек, берілген қатар жинақсыз болады.
7.6 теорема (Кошидың радикалдық белгісі). Егер кейбір нөмірінен бастап және болса, онда болғанда (7.1) жинақталады, ал болғанда жинақсыз болады. болғанда қосымша зерттеулер қажет етеді.
7.7 теорема (Кошидың интегралдық белгісі). (7.1) қатарының мүшелері монотонды кемімелі болсын, яғни
және болғанда үзіліссіз функциясы үшін орындалсын. Онда (7.1) қатары мен интегралы бір мезгілде жинақты немесе жинақсыз болады.
Мысал 7.7 - Қатарды жинақтылыққа зерттеу керек (Дирихле қатары) .
Шешуі. меншіксіз интегралын жинақтылыққа зерттейміз,.
болады. Соңғы теңдіктен болғанда меншіксіз интегралы жинақсыз, ал болғанда жинақты болатыны көрінеді, әрі . болғанда жинақсыз интегралын аламыз. Сонымен, Дирихле қатары да осы интеграл секілді болғанда жинақты, ал болғанда жинақсыз болады.
Көптеген қатарлар жинақтылыққа сәйкес Дирихле қатарымен салыстыру арқылы зерттеледі.
№ 8 дәріс Айнымалы таңбалы және ауыспалы таңбалы қатарлар
Мазмұны: Айнымалы таңбалы және ауыспалы таңбалы сандық қатарлар, Лейбниц белгісі, ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Жоғары математика кафедрасы
Математика 3
Барлық мамандықтардың
барлық оқу түрінің студенттеріне арналған
дәрістер жинағы
Алматы 2008
ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Жұматаева С.А., Темешева С.М. Математика 3. Барлық мамандықтардың барлық оқу түрінің студенттеріне арналған дәрістер жинағы. - Алматы: АЭжБИ, 2008. - 67 б.
Ұсынылып отырған дәрістер жинағына жоғары математика курсының "Математика 3" бөліміне енгізілген 17 дәрісі ("Өріс теориясы", "Дифференциалдық теңдеулер", "Қатарлар", "Комплекс айнымалыдан тәуелді функция және амалдық есептеу", "Ықтималдықтар теориясының элементтері" тараулары бойынша) кірген. Дәрістер жинағы Алматы энергетика және байланыс институтының барлық мамандықтарының барлық оқу түрінің бакалаврларын оқытудың оқу жоспарына сәйкес келеді.
Мазмұны
1. Кіріспе сөз ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
4
2. 1 дәріс
Өріс теориясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
5
3. 2 дәріс
Дифференциалдық теңдеулер.
Жай дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
9
4. 3 дәріс
Айнымалыларына қарағанда біртекті дифференциалдық теңдеулер. Сызықтық бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Бернулли теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
13
5. 4 дәріс
Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер. Реті төмендейтін дифференциалдық теңдеулер. Жоғары ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ...
17
6. 5 дәріс
Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер. Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шешімі. Сызықтық біртекті тұрақты коэффициентті дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .
21
7. 6 дәріс
Сызықтық біртекті емес тұрақты коэффициентті дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін таңдау әдісі. Анықталмаған коэффициенттер әдісі. Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі ... ... ... ... ... ... ... . ... ...
25
8. 7 дәріс
Сандық қатарлар. Негізгі ұғымдар. Оң қатарлар ... ... ... ..
29
9. 8 дәріс
Айнымалы таңбалы және ауыспалы таңбалы қатарлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
33
10. 9 дәріс
Функциялық қатарлар, дәрежелік қатарлар. Тейлор қатары. Кейбір функциялардың Маклорен қатарына жіктелуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
37
11. 10 дәріс
Фурье қатары ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ...
41
12. 11 дәріс
Комплекс айнымалыдан тәуелді функция ұғымы ... ... ... .
43
13. 12 дәріс
Лаплас түрлендіруінің анықтамасы ... ... ... ... ... ... . ... ..
47
14. 13 дәріс
Бейнесі бойынша түпнұсқаны табу. Амалдық есептеудің қолданылуы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
51
15. 14 дәріс
Ықтималдықтар теориясының элементтері ... ... ... ... ...
53
16. 15 дәріс
Толық ықтималдық формуласы ... ... ... ... ... ... .. ... ...
58
17. 16 дәріс
Кездейсоқ шамалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
61
18. 17 дәріс
Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы ... ... ... ... ...
64
19. Әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
67
Кіріспе сөз
Ұсынылып отырған жинақта жоғары математика курсының " Математика 3" бөліміне енгізілген 17 дәрісі кірген. Дәрістер жинағы Алматы энергетика және байланыс институтының барлық мамандықтарының барлық оқыту түрінің бакалаврларын оқытудың оқу жоспарына сәйкес келеді.
Дәрістер жинағы оқытушылар мен студенттерге пайдалы және жоғары математика курсының "Өріс теориясы", "Дифференциалдық теңдеу-лер", "Қатарлар", "Комплекс айнымалыдан тәуелді функция және амалдық есептеу", "Ықтималдықтар теориясының элементтері" тараулары бойынша аудиториялық сабақтар кезінде өзіндік жұмыстар өткізуге арналған.
Анықтамалар, теоремалар, формулалар нөмірлері екі саннан тұрады: олардың біріншісі дәріс нөмірін, ал екіншісі осы дәріс ішіндегі анықтаманың, теореманың, формуланың нөмірін білдіреді.
Оқу құралындағы материалды игеру студенттерге жоғары математика курсының аталып өткен тараулары бойынша жеткілікті жақсы білім алуға мүмкіндік береді.
№ 1 дәріс Өріс теориясы
Мазмұны: Өріс анықтамасы, өрістер теориясының элементтері. Векторлық өрістердің түрлері. Векторлық өрістің ағыны мен циркуляциясын есептеу. Остроградский-Гаусс теоремасы. Стокс теоремасы.
Дәрістің мақсаты: Векторлық сызықтар жиынтығын анықтайтын диффе-ренциалдық теңдеулер жүйесін құра білу, векторлық өрістің дивергенциясы мен роторын табу. Векторлық өрістің ағынын есептеуге Остроградский-Гаусс және Стокс теоремаларын қолдана білу.
1.1 анықтама облысының әрбір нүктесінде векторы анықталса, облысында векторлық өріс берілді дейміз, басқаша айтқанда, векторлық өріс берілген болып есептеледі, егер әрбір нүктесінде сәйкесінше векторы берілсе векторлық өріс берілді дейміз (бұл жерде , , функциялары өздерінің дербес туындыларымен бірге үзіліссіз деп ұйғарамыз).
Векторлық өрістердің дербес жағдайлары
1. Егер тұрақты вектор болса, яғни , , функциялары тұрақты болса, онда векторлық өріс біртекті болады.
2. Егер , , функциялары таңдап алынған координаттар жүйесінде екі айнымалыдан тәуелді функциялар және вектордың проекцияларының біреуі 0-ге тең болса, онда векторлық өріс жазық болады. Мысалы, - жазық векторлық өріс.
3. Егер , , функциялары -дан тәуелсіз болса, онда өріс стационарлық болады.
1.2 анықтама Векторлық өрістің векторлық сызығы деп әрбір нүктесіндегі жанамасының бағыты осы нүктеге сәйкес келетін вектор бағытымен беттесетін сызықты айтады.
Айталық, векторлық өрісі берілсін. Векторлық сызық параметрлік түрде берілсін: , , . Векторлық сызыққа нүктесіндегі бағыттауыш векторы болатын жанамасы теңдеуімен беріледі. 1.2 анықтамасы бойынша және векторлары коллинеар болады, сондықтан, векторлардың коллинеар болу шартынан, теңдеулерін аламыз. шамасы аргументінің өсімшесі болғандықтан, теңдігін аламыз. Осыған ұқсас және болады.
Сонымен,
. (1.1)
(1.1) дифференциалдық теңдеулер жүйесі векторлық өрісінің векторлық сызықтар жиынтығын анықтайды.
Вектордың ағыны
векторлық өрісі берілсін. Осы өрісте кейбір бетін алып, оның бір жағына тоқталайық. беттің осы жағының кез келген нүктесіндегі бірлік нормаль векторы болсын.
1.3 анықтама векторының беті арқылы ағыны деп өріс векторы мен беттің бірлік нормаль векторының скаляр көбейтіндісінің беті бойынша интегралы аталады. Оны төмендегідей белгілейді
(1.2)
немесе
. (1.3)
Дивергенция
векторлық өрісінің еркін нүктесін қарастырамыз, оны толығымен өріске тиісті тұйық бетімен қоршаймыз.
шамасын қарастырайық. Сұйықтың жылдамдықтар өрісінде бұл шама облысындағы уақыттың бірлігіндегі көлем бірлігіне қатысты пайда болатын сұйық мөлшерін анықтайды, яғни жанар көзінің орташа көлемдік қуатын анықтайды. Егер ағын 0-ден кіші болса, онда ағын көзінің қуаты туралы айтады.
шегін есептейміз, анығырақ айтқанда облысы нүктесіне дейін сығылған жағдайдағы шекті есептейміз. Егер шек 0-ден артық болса, онда нүктесі жанар көзі, ал егер 0-ден кіші болса, онда ағын көзі болады. Шектің көзі жанар көзінің қуатын немесе ағын көзінің қуатын сипаттайды.
1.4 анықтама векторлық өрісінің дивергенциясы немесе жинақсыздығы деп нүктесін қоршайтын бет арқылы векторының ағынының сол бетпен қоршалған дене көлеміне қатынасын (аталмыш бет нүктесіне сығылған жағдайдағы) шегін айтады да, төмендегідей белгілейді
. (1.4)
Теорема. векторлық өрісінің нүктесіндегі дивергенциясы
(1.5)
формуласы бойынша табылады.
Остроградский-Гаусс теоремасы. Тұйық беттің ішінен шығатын вектордың ағыны өрістің дивергенциясынан осы бетпен қоршалған дене көлемі бойынша алынған үш еселі интегралға тең
немесе
. (1.6)
Дивергенция қасиеттері
1. ;
2. - векторлық өріс, ал - скалярлық өріс болсын, онда
.
Векторлық өрістің циркуляциясы
1.5 анықтама векторының тұйық контуры бойынша циркуляциясы деп векторы мен осы контурды жанап өтетін векторының скалярлық көбейтіндісінің контуры бойынша қисық сызықты интегралы аталады
. (1.7)
Векторлық өрістің роторы
1.6 анықтама векторлық өрісінің роторы (құйыны) деп
(1.8)
векторы аталады.
Стокс теоремасы. беті арқылы -ның ағыны векторының -тің шекарасы бойынша циркуляциясына тең
немесе
. (1.9)
Ротордың қасиеттері
1. ;
2. егер - скалярлық функция, ал - вектор болса, онда
.
Гамильтон операторы
Символдық - набла-векторын енгізейік. Гамильтон операторы деп аталады.
1. , .
2. , .
3. , .
Өрістердің типтері
1. Егер болса, онда векторлық өрісі соленоидалдық немесе түтікшелік өріс болады.
2. Егер болса, онда векторлық өрісі потенциалдық немесе құйынсыз өріс болады.
3. Егер векторлық өріс соленоидалдық та, потенциалдық та болса, онда ол гармониялық болады.
№ 2 дәріс Дифференциалдық теңдеулер. Жай дифференциалдық теңдеулер
Мазмұны: Негізгі анықтамалар және ұғымдар. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулердің түрлері, оларды шешу әдістері.
Дәрістің мақсаты: Дифференциалдық теңдеудің түрі мен ретін анықтауды, сәйкес ауыстыруларды қолдануды, дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін немесе жалпы интегралын табуды үйрету.
Негізгі анықтамалар және ұғымдар
2.1 анықтама Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалы -ті, белгісіз функция -ті және оның әртүрлі ретті туындыларын немесе дифференциалдарын байланыстыратын теңдеуді атайды.
2.2 анықтама Дифференциалдық теңдеуге кіретін туындының ең жоғары реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.
Мысал 2.1 - . Берілген теңдеу дифференциалдық теңдеу болады, өйткені оның құрамында белгісіз функцияның бірінші және екінші ретті туындылары бар. Бұл екінші ретті дифференциалдық теңдеу, себебі теңдеуге енгізілген туындылардың ең жоғары реті 2-ге тең.
Мысал 2.2 - . Бұл теңдеу дифференциалдық теңдеу болады, өйткені оның құрамында белгісіз функцияның бірінші ретті дифференциалдары бар. Берілген теңдеу бірінші ретті дифференциалдық теңдеу.
2.3 анықтама Дифференциалдық теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын кез-келген функциясы дифференциалдық теңдеудің шешімі немесе интегралы деп аталады.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер
(2.1)
түріндегі теңдеу - бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі.
Егер (2.1) теңдеуін бірінші ретті туындыға қарағанда шешуге болса, онда
, (2.2)
түріндегі теңдеу бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің нормалды формасы немесе бірінші ретті туындысына қарағанда шешілген дифференциалдық теңдеу деп аталады. теңдігі орындалатынын ескеріп, (2.2)-ні келесі түрге келтіруге болады
. (2.3)
2.4 анықтама Бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын, анықталған функциясы оның шешімі деп аталады.
Дифференциалдық теңдеудің шешімінің графигі интегралдық қисық деп аталады.
Мынадай сұрақ туындайды: қандай шарттар орындалғанда (2.2) теңдеуінің шешімі табылады? Бұл сұраққа (2.2) дифференциалдық теңдеудің шешімінің бар болуы және жалғыздығы туралы Коши теоремасы деп аталатын теорема жауап береді.
Коши теоремасы. Егер және оның дербес туындысы жазықтығының кейбір облысында анықталған және үзіліссіз болса, онда облысының қандай да бір ішкі нүктесінің маңайында теңдеуінің
" болғанда болады" (2.4)
деген шарттарға қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар болады.
(2.4) шарттары - бастапқы шарттар деп аталады да
(2.4')
белгіленеді.
Егер де (2.2) теңдеуінің (2.4) бастапқы шарттарына қанағаттандыратын шешімін табу керек болса, Коши есебін шешу керек дейміз.
Геометриялық тұрғыдан Коши есебінің шешімін табу дегеніміз интегралдық қисықтар жиынынан жазықтығының берілген нүктесі арқылы өтетін қисықты алуды білдіреді.
Жазықтықтың кейбір нүктелерінен бірнеше интегралдық қисық өтетін немесе ешбір интегралдық қисық өтпейтін нүктелері теңдеудің ерекше нүктелері деп аталады.
2.5 анықтама -тен және еркін тұрақты -дан тәуелді
(2.5)
функциясы
а) тұрақты -ның кез келген мәнінде (2.2) теңдеуіне қанағаттандырса,
б) (2.4) шарттары қандай болса да теңдігі орындалатындай еркін тұрақтының мәні табылса
(2.2) дифференциалдық теңдеуінің жазықтығының кейбір облысындағы жалпы шешімі деп аталады.
2.6 анықтама Дифференциалдық теңдеудің
, (2.6)
түрінде табылған шешімі (2.2)-нің жалпы интегралы деп аталады.
2.7 анықтама (2.2) теңдеуінің облысындағы дербес шешімі деп теңдеудің жалпы шешімі (2.5)-тен еркін тұрақты -ның бекітілген мәнінде алынған функциясын айтамыз.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің геометриялық мағынасы
Айталық, дифференциалдық теңдеуі берілсін және - оның шешімі болсын. Интегралдық қисықтың кез келген нүктесі арқылы жанама жүргізуге болады. Интегралдық қисыққа әрбір нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті осы нүктедегі функциясының мәніне тең екені теңдеуден жеңіл байқалады. Демек, теңдігі нүктенің координаттары мен осы нүктеде интегралдық қисықтың графигіне жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті арасындағы тәуелділікті орнатады. Интегралдық қисықтың әрбір нүктесіне бұрыштық коэффициенті болатын бағытталған кесіндіні сәйкестендірейік, сонда берілген теңдеудің бағыттар өрісін аламыз.
Сонымен, геометриялық тұрғыдан теңдеуі жазықтығындағы бағыттар өрісін анықтайды, ал шешім - интегралдық қисық, оның әрбір нүктесінде жүргізілген жанаманың бағыты өрістің бағытымен беттеседі.
Теңдеулердің түрлері
I.
(2.7)
қарапайым дифференциалдық теңдеу деп аталады. Оны түрінде де жазуға болады.
белгісіз функциясы формуласымен анықталады.
II.
(2.8)
айнымалылары ажыратылған теңдеу деп аталады.
(2.8)-дің шешімі формуласымен анықталады.
III.
(2.9)
айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп аталады.
және деп есептеп, (2.9) теңдігінің екі жағын көбейтіндісіне бөлеміз, онда теңдеуін аламыз, яғни (2.9)-ды айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеуге келтіріп аламыз.
(2.10)
айнымалылары ажыратылатын теңдеу, мұндағы және - үзіліссіз функциялар. (2.10)-ның шешімін табу үшін теңдігін ескеріп, берілген теңдеуді
(2.11)
түрінде жазып аламыз.
деп ұйғарып, (2.11)-ді -ке бөлеміз, онда айнымалылары ажыратылған теңдеуді аламыз: . Соңғы теңдіктің екі жағын интегралдап, (2.10) теңдеуінің жалпы интегралын аламыз
.
Мысал 2.3 - - бұл қарапайым бірінші ретті дифференциалдық теңдеу.
Интегралдаймыз
.
Мысал 2.4 - - бұл айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу.
Теңдеудің екі жағын көбейтіндісіне бөлеміз, әрине алдын ала деп ұйғарамыз, онда айнымалылары ажыратылған теңдеуді аламыз
.
Осы теңдеуді интегралдап теңдігін табамыз. формуласын пайдаланып, соңғы теңдікті
түрінде жазып аламыз. Бұл берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы.
№ 3 дәріс Айнымалыларына қарағанда біртекті дифференциалдық
теңдеулер. Біртекті теңдеулерге келтірілетін теңдеулер.
І-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.
Бернулли теңдеуі
Мазмұны: Функцияның біртектілік дәрежесін анықтау, , айнымалы-ларына қарағанда біртекті дифференциалдық теңдеулер. І-ретті сызықтық бір-текті және біртекті емес дифференциалдық теңдеулер. Еркін тұрақтыны вариациялау әдісі. Бернулли теңдеуі.
Дәрістің мақсаты: Функцияның біртектілік дәрежесін анықтауды, , айнымалыларына қарағанда біртекті дифференциалдық теңдеулерді және оларға келтірілетін теңдеулерді шешуді, І-ретті біртекті және біртекті емес дифференциалдық теңдеулерді шешуді, еркін тұрақтыны вариациялау әдісін қолдануды, Бернулли теңдеуін шешуді үйрету.
IV. және айнымалыларына қарағанда І-ретті біртекті дифференциал-дық теңдеулер.
3.1 анықтама теңдігіне қанағаттандыратын функциясы өлшемі -ші ретті біртекті функция деп аталады.
Мысалы, берілсін. Бұл функция үшін
,
яғни - өлшемі -ші ретті біртекті функция.
функциясы үшін , яғни - өлшемі -ші ретті біртекті функция.
3.2 анықтама функциясы , айнымалыларына қарағанда өлшемі -ші ретті біртекті функция болса теңдеуі І-ретті біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады.
3.3 анықтама және өлшем реттері бірдей функциялар болса дифференциалдық теңдеуі , айнымалыларына қарағанда біртекті теңдеу болады.
және айнымалыларына қарағанда біртекті І-ретті дифференциалдық теңдеуді шешу үшін
(3.1)
алмастыруын қолданып, III-ші түрдегі теңдеуге келтіру арқылы шешеді.
V. және айнымалыларына қарағанда І-ретті біртекті дифференциал-дық теңдеуге келтірілетін теңдеулерге
(3.2)
түріндегі теңдеулер жатады.
Шешуі: 1) егер болса, онда алмастыруын жасай-мыз, мұндағы мен сызықтық теңдеулер жүйесінен та-былады.
2) егер болса, онда алмастыруын жасаймыз да, IV-ші түрдегі теңдеуге келтіреміз.
Сызықтық дифференциалдық теңдеулер
3.4 анықтама VII
(3.3)
І-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады, мұндағы және - үзіліссіз функциялар. (3.3) теңдеуіне белгісіз функция және оның туындысы тек бірінші дәрежеде кіреді.
3.5 анықтама болса, (3.3) І-ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу болады да, VI-шы түрде жазылады
. (3.4)
Егер болса, онда (3.3) І-ретті сызықтық біртекті емес дифферен-циалдық теңдеу болады.
(3.4) теңдеуінің шешімін табамыз. Ол үшін алдымен (3.4)-ті айнымалы-лары ажыратылатын теңдеуге келтіреміз
.
Енді айнымалыларын ажыратып алып, алынған теңдеуді интегралдаймыз
, .
Сонымен,
. (3.5)
(3.5) функциясы - (3.4)-тің жалпы шешімі.
(3.3) І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шеші-мін табу алгоритмін келтірейік. (3.3)-ті шешу үшін еркін тұрақтыны вариация-лау әдісін пайдаланамыз. Оның мағынасы мынада:
а) алдымен сәйкес (3.4) түріндегі теңдеудің жалпы шешімін, яғни (3.5) түріндегі функцияны табамыз;
б) (3.5)-гі -ны -тен тәуелді белгісіз функциясы деп есептейміз. Енді (3.3)-тің жалпы шешімін
(3.6)
түрінде іздейміз.
Біздің ұйғаруымыз бойынша (3.6) (3.3)-тің шешімі болған соң, (3.6)-ны (3.3)-ке қойсақ, тепе-теңдік аламыз
осыдан функциясын табамыз
.
үшін табылған өрнекті (3.6)-ға қоямыз да, (3.3) дифференциалдық тең-деуінің жалпы шешімін табамыз: , оны
(3.7)
түрінде жазамыз.
(3.7) - (3.3)-тің жалпы шешімі, яғни (3.7) - І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.
І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінің құрамы
І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі сәйкес сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі мен біртекті емес дифференциалдық теңдеудің кейбір дербес шешімінен құра-лады, яғни, , мұндағы - біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, - біртекті диф-ференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, - біртекті емес дифференциал-дық теңдеудің дербес шешімі.
Мысал 3.1 - теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: - бұл (3.3) түріндегі дифференци-алдық теңдеу. Сәйкес біртекті теңдеуді жазып аламыз: . Осыдан , , , - бұл сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі, яғни . Онда сызықтық біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін түрінде іздейміз. функциясын анықтаймыз:
. Демек, берілген теңдеудің жалпы шешімі болады.
Бернулли теңдеуі
VIII
(3.8)
түріндегі теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады.
алмастыруын орындағаннан кейін (, ) Бернулли теңдеуі VII-ші түрдегі теңдеуге келтіріледі.
Ескерту.
VII. - белгісіз функциясы үшін І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу.
VI. - белгісіз функциясы үшін І-ретті сызықтық біртекті дифферен-циалдық теңдеу.
VIII. - белгісіз функциясы үшін Бернулли теңдеуі.
Толық дифференциалдардағы теңдеу
3.5 анықтама
(3.9)
түріндегі теңдеу
(3.10)
шарты орындалғанда толық дифференциалдардағы теңдеу деп аталады.
(3.10) шарты орындалғанда (3.9)-дың сол жағы кейбір функция-сының дифференциалы болатынын, яғни , дәлелдейміз.
Қажеттілік. (3.9)-дың сол жағы үшін толық дифференциал болсын: және , онда және . болғандықтан, болады.
Жеткіліктілік. (3.10) орындалсын, яғни , , онда және . Басқа жағынан, , осыдан , онда . Сонымен, (3.9)-дың сол жағы функциясының толық дифференциалы болады, ал (3.9) теңдеуінің жалпы шешімі формуласымен анықталады.
№ 4 дәріс Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер.
Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер.
Жоғары ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер
Мазмұны: Негізгі ұғымдар мен анықтамалар. Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімінің негізгі қасиеті. Сызықты тәуелді және сызықты тәуелсіз функциялар жүйесі, олардың вронскианы.
Дәрістің мақсаты: Жоғары ретті дифференциалдық теңдеудің анықтамасы. Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулерді шешу тәсілдерін көрсету. Сызықтық біртекті және біртекті емес жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер. Функциялар жүйесінің сызықтық тәуелділігі немесе тәуелсіздігін анықтауды үйрету.
4.1 анықтама теңдеуі екінші ретті дифференциалдық теңдеуі деп аталады, мұндағы - тәуелсіз айнымалы, - белгісіз функция, және - оның туындылары.
Көп жағдайда -ке қарағанда шешілген теңдеу қарастырылады
. (4.1)
(4.1) теңдеуінің шешімі деп -да анықталған, теңдеуге қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын функциясы аталады. Шешімнің графигі интегралдық қисық деп аталады.
Коши теоремасы. Егер және оның , дербес туындылары айнымалылар кеңістігінің кейбір облысында анықталған және үзіліссіз болса, онда облысының қандай да бір ішкі нүктесінің маңайында теңдеуінің
, . (4.2)
шарттарға қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар болады. (4.2) - бастапқы шарттар.
Дифференциалдық теңдеудің бастапқы шарттарға қанағаттандыратын шешімін табу есебін Коши есебі дейміз.
Геометриялық тұрғыдан Коши есебінің шешімін табу дегеніміз интегралдық қисықтар жиынынан жазықтығының берілген нүктесі арқылы өтетін, осы нүктедегі жанамасының бұрыштық коэффициенті болатын қисықты алуды білдіреді.
4.2 анықтама -тен және екі еркін тұрақты мен -ден тәуелді функциясы кейбір облысында (4.1) теңдеуінің жалпы шешімі болады, егер ол: 1) мен тұрақтыларының кез келген мәндерінде шешім болса; 2) кез келген (4.2) бастапқы шарттары үшін , тұрақтыларының сәйкесінше , жалғыз ғана мәндері табылып, функциясы бастапқы шарттарға қанағаттандырса.
4.3 анықтама Жалпы шешім - функциясынан , мәндерінде шығатын кез келген функциясы (4.1) теңдеуінің дербес шешімі деп аталады.
Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер
n-ретті дифференциалдық теңдеу деп
түріндегі теңдеу аталады. Егер де ол жоғары ретті туындысына қарағанда шешілген болса, онда n-ретті дифференциалдық теңдеу
(4.3)
түрінде жазылады.
(4.3)-тің шешімі деп -да анықталған, (4.3)-ке қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын функциясы аталады.
(4.3)-тің жалпы шешімі х-тен және n еркін тұрақтыдан тәуелді болады: .
Жалпы шешімнен тұрақтыларының бекітілген мәндерінде пайда болатын (4.3)-тің шешімі оның дербес шешімі деп аталады.
Жоғары ретті теңдеу үшін бастапқы шарттар
, , ..., (4.4)
түрінде жазылады.
(4.3) теңдеуінің (4.4) бастапқы шарттарына қанағаттандыратын шешімін табу есебін Коши есебін шешу дейміз.
Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер
немесе
(4.5)
дербес жағдайларын қарастырамыз.
1. теңдеуі. Бұл теңдеуде жоқ, оның шешімін бірте-бірте интегралдау көмегімен табамыз:
, , , ..., .
2. теңдеуі. Бұл теңдеуге және оның -шы ретке дейінгі туындылары кірмеген. Алмастыру жасаймыз: , , ..., , теңдеуін аламыз. Берілген теңдеудің ретті -ға төмендеді.
3. теңдеуі. Бұл теңдеуде айнымалысы айқын түрде жоқ. Алмастыру орындаймыз:. Енді -ті тәуелсіз айнымалы деп есептейміз, онда ,
,
т.с.с. Нәтижесінде -ші ретті теңдеуді аламыз.
Жоғары ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер
-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп
түріндегі теңдеуді айтамыз, мұндағы - ізделінді функция, - оның туындылары, - аргумент, , - алдын ала берілген үзіліссіз функциялар.
Егер болса, сызықтық дифференциалдық теңдеу біртекті емес, ал болса, біртекті деп аталады.
Біз ІІ-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз. Нәтижелері -ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулерге үлестіріледі.
(4.6)
түріндегі теңдеу - ІІ-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық тең-деу болады. Ал
(4.7)
(4.6)-ға сәйкес ІІ-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу.
ІІ-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер.
Біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімінің негізгі қасиеті
4.1 теорема Егер мен функциялары (4.7)-нің шешімдері бол-са, онда
(4.8)
функциясы және тұрақтыларының кез келген мәндерінде (4.7) теңдеуі-нің шешімі болады.
Дәлелдеуі. мен функциялары (4.7)-нің шешімдері болғандықтан, , теңдіктері орындалады. (4.8) функциясын (4.7)-ге орнына қоямыз. Ол үшін пен -ді табамыз: , . Теорема дәлелденді.
Сонымен, (4.8) функциясы (4.7)-ші теңдеудің шешімі болды. Осы функция (4.7)-нің жалпы шешімі болады ма? Бұл сұраққа жауап беру үшін функциялар жүйесінің сызықтық тәуелді немесе сызықтық тәуелсіз болу ұғымын енгіземіз.
4.4 анықтама Барлығы бірдей нөлге тең емес, яғни , сандары табылып, -ның кез келген үшін
(4.9)
теңдігі орындалса функциялары интервалында сызықтық тәуелді болады.
үшін (4.9) теңдігі , , түріне келеді. Осы-дан .
Егер (4.9) шарты орындалмаса, онда функциялар жүйесі сызықтық тәуел-сіз болады.
4.5 анықтама Вронский анықтауышы (вронскиан) деп
(4.10)
функциясы аталады.
4.2 теорема Егер мен функциялары -да сызықтық тәуелді болса, онда олардың вронскианы нөлге тең болады.
Дәлелдеуі. мен сызықтық тәуелді болған соң, болады, сондықтан , болады да, анықтауыштардың қаси-еттері бойынша . Теорема дәлелденді.
4.3 теорема Егер (4.7) теңдеуінің шешімдері мен -да сызықтық тәуелсіз болса, онда олардың вронскианы -да нөлге тең болмайды.
Дәлелдеуі. болатындай нүктесі бар болсын деп ұйға-райық, яғни болсын. жүйесін құрамыз, мұндағы мен - белгісіз сандар. Теңдеулер жүйесі біртекті болғандықтан, оның анықтауышы демек, жүйенің мен -ге қарағанда нөлдік емес шешімі бар болады. функциясын қарастырамыз, мұндағы мен - құрылған жүйенің нөлге тең емес шешімі, сонымен бірге функциясы және бастапқы шарттарына қанағаттандырады. Бірақ осы шарттарға функциясы да қанағаттандырады және де осы функция (4.7)-ге қанағаттандырады. Дифференциалдық теңдеудің шешімінің бар болуы және жалғыздығы туралы теорема бойынша бұл шешімдер беттеседі, яғни аралығында , яғни мен сызықтық тәуелді болды. Қайшылыққа келдік. Сонымен, біздің ұйғаруымыз дұрыс емес. Егер пен - (4.7)-нің -ғы шешімі болса, онда
1) егер мен сызықтық тәуелсіз болса, онда , ;
2) егер мен сызықтық тәуелді болса, онда , .
№ 5 дәріс Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер.
Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шешімі. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер
Мазмұны: Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. Еркін тұрақтыларды вариациялау әдісі. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімі.
Дәрістің мақсаты: Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін, Остроградский-Лиувилль формуласы көмегімен дербес шешімді, еркін тұрақтыларды вариациялау әдісі көмегімен сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулердің шешімін, сипаттауыш теңдеу көмегімен сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердің шешімін табуды үйрету.
Қандай шарттар орындалғанда функциясы сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі болатынын анықтап алайық.
5.1 теорема Егер пен - аралығында
(5.1)
теңдеуінің сызықтық тәуелсіз шешімдері болса, онда
(5.2)
(5.1)-дің жалпы шешімі болады, мұндағы мен - еркін тұрақтылар.
Дәлелдеуі. 4.1-ші теорема бойынша функциясы (5.1)-дің шешімі болады. Осы функция жалпы шешім болатынын дәлелдеу үшін оның құрамынан кез келген бастапқы шарттарға қанағаттандыратын дербес шешімді ажыратып алу керек. Айталық, және , - кейбір бастапқы шарттар болсын. жүйесін құрамыз, мұндағы мен - белгісіз сандар. - осы жүйенің анықтауышы. мен сызықтық тәуелсіз болғандықтан, болады, сондықтан бұл жүйенің , жалғыз шешімі табылады, онда , яғни (5.2)-ден дербес шешімді ажыратып алдық. Сонымен, (5.2) функциясы (5.1) теңдеуінің жалпы шешімі болады.
Қорытынды. II-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табу үшін (5.1) теңдеуінің екі сызықтық тәуелсіз дербес шешімін тауып алып, (5.2) түріндегі функцияны жазып алған жеткілікті.
Остроградский-Лиувилль формуласы
(5.1)-дің тек қана бір дербес шешімі белгілі болса, осы теңдеудің жалпы шешімін қалай табуға болады? - (5.1) теңдеуінің дербес шешімі болсын. деп ұйғарып, жаңа функциясын енгізейік. пен -ті есептеп алайық: , . Енді (5.1)-де алмастырулар орындай-мыз:
.
Келесі кезекте алынған дифференциалдық теңдеудің алмасты-руы көмегімен ретін төмендету керек. Онда болады да, сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеуді аламыз
.
Осыдан , сонымен, (5.1) теңдеуінің жалпы шешімі функциясын анықтап алдық, мұндағы
. (5.3)
(5.3) - Остроградский-Лиувилль формуласы.
II-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер
II-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз
, (5.4)
. (5.1)
5.2 теорема (5.4) сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі осы теңдеудің кез келген дербес шешімі мен (5.4)-ке сәйкес (5.1) біртекті теңдеудің жалпы шешімінің қосындысы болады
(5.5)
- (5.4)-тің шешімі, - (5.1)-дің шешімі, - (5.4)-тің шешімі кейбір дербес шешімі.
Дәлелдеуі. функциясын алайық. Осы функция (5.4)-тің шешімі болатынын көрсетейік. Ол үшін туындыларын есептейміз , . Туындыларды (5.4)-ке орнына қойып
,
яғни тепе-теңдікке келдік: .
функциясы (5.4)-тің жалпы шешімі болатынын көрсетейік. (5.4)-тің кез келген шешімін алайық, онда біртекті теңдеудің жалпы шешімі болады, себебі төмендегі теңдік орындалады
.
функциясы сызықтық біртекті теңдеудің шешімі болғандықтан, оны түрінде жазуға болады, яғни , демек, (5.5)-тен кейбір дербес шешімді ажыратып алдық. Олай болса, (5.5) - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. Теорема дәлелденді.
Еркін тұрақтыларды вариациялау көмегімен табу жолын көрсетейік. - (5.1) сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі болсын. Дербес шешімін табамыз. Жалпы шешімі
(5.6)
түрінде жазылсын.
туындысын есептейміз: . және функцияларын
(5.7)
теңдігі орындалатындай етіп таңдаймыз. Онда . -ті есептейміз:, оны (7.1)-ге қойсақ, мынаны аламыз:
, яғни
. (5.8)
Сонымен, егер де мен функциялары (5.7) мен (5.8)-ге, дәлірек айтқанда
(5.9)
жүйесіне қанағаттандырса, онда (5.6) берілген теңдеудің шешімі болады
мен сызықтық тәуелсіз функциялар болған соң, жүйенің анықтауы-шы болады, сондықтан (5.9)-дың жалғыз , шешімі табылады. Осыдан , екенін таба-мыз. Табылған мен функцияларын (5.6)-ға қойсақ, (5.4) сызықтық біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін анықтаймыз.
Тұрақты коэффициентті II-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер
II-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулерді қарастыра-мыз
, (5.10)
мұндағы мен - тұрақты шамалар.
(5.11)
теңдеуі (5.10)-ға сәйкес келетін сипаттауыш теңдеу болады.
5.3 теорема 1) Егер (5.11) теңдеуінің нақты түбірі бар болса, онда функциясы (5.10) теңдеуіне қанағаттандырады. 2) Егер (5.11)-дің комплекс түбірлері бар болса, онда және функциялары (5.10)-ға қанағаттандырады.
Дәлелдеуі. 1) - (5.11) теңдеуінің түбірі болсын. функциясын жазып алып, оның туындыларын есептеп, (5.10)-ға орындарына қоямыз. Онда , , , , яғни функциясы (5.10) теңдеуіне қанағаттандырады.
2) Дәлелдеуі теореманың бірінші бөлімінің дәлелдеуіне ұқсас.
5.4 теорема Егер (5.11) сипаттауыш теңдеудің түбірлері: а) нақты () және әртүрлі () болса, онда (5.10)-ның жалпы шешімі болады; б) нақты () және өзара тең () болса, онда (5.10)-ның жалпы шешімі функциясы болады; в) комплексті түйіндес (, ) болса, онда (5.10)-ның жалпы шешімі .
Дәлелдеуі. а) болсын, онда , - (5.10)-ның дербес шешімдері болады. Оларды сызықтық тәуелділікке зерттейміз: себебі , яғни мен сызықтық тәуелсіз, сондықтан .
б) болсын, онда - (5.10) теңдеуінің кейбір дербес шешімі болады. Остроградский-Лиувилль формуласы бойынша -ні есептейміз: , демек, .
в) , болсын, онда 5.3 теормасы бойынша , - дербес шешімдері болады. , функцияларын сызықтық тәуелділікке зерттейміз: , осы қатынастан мен сызықтық тәуелсіз екені көрінеді, онда
.
теңдеуінің шешімін табу алгоритмі
1. (5.4)-ке сәйкес біртекті дифференциалдық теңдеуді жазамыз: ;
2. оның сипаттауыш теңдеуін шешеміз;
3. жалпы шешімін жазып аламыз;
4. еркін тұрақтыларды вариациялау әдісі көмегімен -ді табамыз, ол үшін (5.9) жүйесінен функцияларын анықтап аламыз;
5. теңдеудің шешімін жазамыз.
№ 6 дәріс Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін теру әдісі. Анықталмаған коэффициенттер әдісі. Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі
Мазмұны: Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шешімі. Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердің нормалды жүйесі.
Дәрістің мақсаты: Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеуінің дербес шешімін табуға анықталмаған коэффициенттер әдісін пайдалануды үйрету. Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесін бірте-бірте жою әдісі және сипаттауыш теңдеу көмегімен шешу.
IІ-ші ретті тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеуді қарастырамыз
. (6.1)
екенін көрсеттік. Егер (6.1) теңдеуінде функциясы
(6.2)
түрінде өрнектелетін болса, мұндағы , - көпмүшелер, онда
(6.3)
түрінде алуға болады, мұндағы , пен - -дәрежелі көпмүшелер, - сызықтық біртекті теңдеуге сәйкес сипаттауыш теңдеудің түбірінің еселік реті (яғни саны сипаттауыш теңдеудің -еселі түбірі болады).
Мысал 6.1 - .
, , .
, , .
, , ,
; , , .
, , ,
, .
.
,
Мысал 6.2 - .
, , , .
, , .
, , , , .
, , , .
, .
.
Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Дифференциалдық теңдеулердің нормалды жүйесі
6.1 анықтама Дифференциалдық теңдеулердің -ші ретті нормалды жүйесі деп
(6.4)
І-ші ретті дифференциалдық теңдеудің жиынтығын айтамыз, мұндағы - тәуелсіз айнымалы, - белгісіз функциялар, ,, - олардың туындылары.
Түсініктеме. Нормалды жүйеде:
а) барлық теңдеулері , , туындыларына қарағанда шешілген;
б) белгісіз функциялардың туындылары тек І-ші ретті болады.
6.2 анықтама (6.4) жүйесінің жалпы шешімі деп еркін тұрақты , , , шамаларынан тәуелді және бойынша үзіліссіз туындылары бар
, , ..., (6.5)
функциялардың жиынтығы аталады. Сонымен бірге төмендегі шарттар міндетті түрде орындалуы тиіс:
а) (6.5) теңдеулері , , , шамаларына қарағанда барлық () үшін, мұндағы - Коши есебінің шешімінің жалғыз болу облысы, шешіледі, яғни
(6.6)
ә) (6.6)-дан барлық , , , мәндерінде шығатын (6.5) функциялар жиынтығы (6.4) жүйесінің шешімі болады.
Коши есебі деп (6.4) теңдеулер жүйесінің
(6.7)
бастапқы шарттарына қанағаттандыратын шешімін табу есебін айтамыз.
Бірте-бірте жою әдісі көмегімен -ші ретті нормалды жүйенің шешімін табу есебі -ші ретті бір дифференциалдық теңдеудің шешімін табу есебіне келтіріледі. Бұл әдістің мағынасы ізделінді функцияларды (6.4) жүйесінен бірте-бірте жоюда. Жүйенің бірінші теңдеуін айнымалысы бойынша дифференциалдаймыз: . Жүйенің қалған теңдеулерін ескере отырып, алынған өрнекті мына түрде жазамыз
немесе ,
немесе , ...,
, сонымен
(6.8)
жүйесін аламыз. Алғашқы теңдеуден шамаларын , , , ..., арқылы өрнектеп алуға болады, яғни .
Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердің нормалды жүйесі
(6.9)
түріндегі жүйе тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердің нормалды жүйесі деп аталады.
Белгілеулер енгіземіз: , , .
Онда (6.9)-ды
(6.10)
түрінде жазуға болады.
6.3 анықтама (6.10) жүйесінің , , ..., вектор-функциялар жиынтығы сызықтық тәуелді деп аталады, егер теңдігі орындалса, мұндағы . Керсінше жағдайда, функциялар жүйесі сызықтық тәуелсіз деп аталады.
6.4 анықтама (6.10) жүйесінің сызықтық тәуелсіз шешімдерінің жиынтығы шешімдердің фундаменталды жүйесі деп аталады.
Теорема (сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердін нормалды жүйесінің шешімінің құрамы туралы). Егер , , ..., вектор-функциялар жиынтығы (6.10) жүйесі үшін шешімдердің фундаменталды жүйесі болса, онда теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі функциясы болады; мұндағы , - еркін тұрақтылар.
(6.11)
ІІ-ші ретті тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық тең-деулер жүйесін шешу жолын қарастырамыз.
Шешімді , түрінде іздейміз
(6.12)
(6.12)-нің нөлге тең емес шешімі бар болу үшін
(6.13)
шарты орындалуы қажет.
(6.13) - (6.11)-ші теңдеудің сипаттауыш теңдеуі.
(6.13)-тің шешімдері - , сандары сипаттауыш теңдеудің меншікті мәндері деп, ал меншікті векторы деп аталады. (6.11) жүйесінің шешімі
функциясы болады.
№ 7 дәріс Сандық қатарлар. Негізгі ұғымдар. Оң қатарлар
Мазмұны: Сандық қатарлар, дербес қосындылар, сандық қатардың қалдығы, сандық қатардың жинақты болуының қажетті шарты, сандық қатардың жинақты болуының жеткілікті шарттары: салыстыру белгілері, шектік салыстыру белгісі, Д'Аламбер белгісі, Кошидың радикалдық белгісі, Кошидың интегралдық белгісі.
Дәрістің мақсаты: Студенттерді сандық қатар ұғымымен таныстыру, қатарды жинақтылыққа зерттеу мысалдарын келтіру.
(7.1)
түріндегі өрнекті сандық қатар дейміз, мұндағы . тізбегінің мүшелері қатардың мүшелері деп, ал - сандық қатардың жалпы мүшесі деп аталады.
қосындылары дербес қосындылар деп, ал - (7.1) сандық қатарының -ші дербес қосындысы деп аталады. Егер бар болып әрі -ке тең болса, яғни , онда (7.1) қатары жинақты қатар болады, ал - оның қосындысы. табылмаса (дербес жағдайда шексіздік болса), онда (7.1) жинақсыз қатар деп аталады.
қосындысы (7.1)-дің қалдығы деп аталады.
Егер (7.1) жинақты қатар болса, онда
.
Мысал 7.1 - қатары берілсін. Оның жинақтылығын анықтап, қосындысын табу керек.
Шешуі. Қатардың -ші дербес қосындысын жазып алып, оны ықшамдаймыз:
болғандықтан, берілген қатар жинақты, ал қосындысы болады.
Мысал 7.2 - Қатарды жинақтылыққа зерттеу
(7.2)
және мүмкін болған жағдайда қосындысын табу керек.
Шешуі. Дербес қосындысын жазып аламыз
.
Егер болса, онда , яғни , демек, (7.2) жинақсыз қатар болады.
Енді болсын, онда . болсын деп ұйғарайық, онда , яғни . Ал егер болса, онда және ақырлы шегі (конечный предел) табылмайды, демек, дербес қосындылар тізбегінің де шегі табылмайды. Егер болса, шегі тағы да табылмайды.
Сонымен, мүшелері (бірінші мұшесі , еселігі ) шексіз геометриялық прогрессия құрайтын қатары болғанда жинақты және оның қосындысы болады, ал болса жинақсыз болады.
(7.2) - геометриялық қатар деп аталады.
7.1 теорема (қатардың жинақты болуының қажетті шарты). Егер (7.1) сандық қатары жинақты болса, онда .
Керісінше тұжырым дұрыс болмайды.
Мысал 7.3 - Гармониялық қатар
мүшелері 0-ге ұмтылса да, жинақсыз болатынын дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі. қатары жинақты, ал қосындысы болады деп ұйғарайық. айрмасын қарастырамыз. Біздің ұйғару бойынша болады. Жоғарыдағы өрнекте әрбір қосылғышын шамасымен ауыстыра отырып,
теңсіздігін аламыз.
Бұл теңсіздіктен екені шығады, яғни біздің ұйғаруымыз дұрыс емес, демек, гармониялық қатар жинақсыз болады.
7.2 теорема (қатардың жинақсыз болуының жеткілікті шарты). Егер болса, онда (7.1) жинақсыз қатар болады.
Мысал 7.4 - Қатарды жинақтылыққа зерттеу керек.
Шешуі. Берілген қатардың жалпы мүшесі болады. Онда
,
яғни берілген қатар жинақсыз болады.
Қатардың кез келген ақырлы сан мүшесін қалдырып кеткеннен оның жинақтылығы немесе жинақсыздығы өзгермейді, ал егер оның қосындысы бар болса, онда ол өзгереді.
Оң қатарлардың жинақты болуының кейбір жеткілікті шарттарын қарастырамыз.
7.3 теорема (салыстыру белгілері). Екі қатар берілсін
, (7.3)
(7.4)
және барлық үшін теңсіздіктері орындалсын, онда:
а) (7.4) қатары жинақты болса, (7.3) қатары да жинақты болады;
б) (7.3) қатары жинақсыз болса, (7.4) қатары да жинақсыз болады.
Салыстыру үшін көбіне геометриялық қатарын және де гармониялық қатарды алады.
7.4 теорема (салыстырудың шектік белгісі). Егер ақырлы шегі бар болып, әрі болса, онда (7.3) және (7.4) қатарлары екеуі де жинақты немесе екеуі де жинақсыз болады.
Мысал 7.5 - қатары жинақты екенін біле отырып, қатарын жинақтылыққа зерттеу керек.
Шешуі. болғандықтан, қатары да жинақты болады.
7.5 теорема (Д'Аламбер белгісі). (7.1) қатары үшін болсын (кейбір нөмірінен бастап) және шегі бар болсын. Онда егер болса, берілген қатар жинақталады, егер болса, берілген қатар жинақсыз болады. болғанда қосымша зерттеулер қажет етеді.
Мысал 7.6 - Қатарды жинақтылыққа зерттеу керек.
Шешуі. , болғандықтан, онда
.
Демек, берілген қатар жинақсыз болады.
7.6 теорема (Кошидың радикалдық белгісі). Егер кейбір нөмірінен бастап және болса, онда болғанда (7.1) жинақталады, ал болғанда жинақсыз болады. болғанда қосымша зерттеулер қажет етеді.
7.7 теорема (Кошидың интегралдық белгісі). (7.1) қатарының мүшелері монотонды кемімелі болсын, яғни
және болғанда үзіліссіз функциясы үшін орындалсын. Онда (7.1) қатары мен интегралы бір мезгілде жинақты немесе жинақсыз болады.
Мысал 7.7 - Қатарды жинақтылыққа зерттеу керек (Дирихле қатары) .
Шешуі. меншіксіз интегралын жинақтылыққа зерттейміз,.
болады. Соңғы теңдіктен болғанда меншіксіз интегралы жинақсыз, ал болғанда жинақты болатыны көрінеді, әрі . болғанда жинақсыз интегралын аламыз. Сонымен, Дирихле қатары да осы интеграл секілді болғанда жинақты, ал болғанда жинақсыз болады.
Көптеген қатарлар жинақтылыққа сәйкес Дирихле қатарымен салыстыру арқылы зерттеледі.
№ 8 дәріс Айнымалы таңбалы және ауыспалы таңбалы қатарлар
Мазмұны: Айнымалы таңбалы және ауыспалы таңбалы сандық қатарлар, Лейбниц белгісі, ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz