Сызықтық дифференциалдық теңдеулер

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 63 бет
Таңдаулыға:

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ

Жоғары математика кафедрасы

Математика 3

Барлық мамандықтардың

барлық оқу түрінің студенттеріне арналған

дәрістер жинағы

Алматы 2008

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Жұматаева С. А., Темешева С. М. Математика 3. Барлық мамандықтардың барлық оқу түрінің студенттеріне арналған дәрістер жинағы. - Алматы: АЭжБИ, 2008. - 67 б.

Ұсынылып отырған дәрістер жинағына жоғары математика курсының “Математика 3” бөліміне енгізілген 17 дәрісі (“Өріс теориясы”, “Дифференциалдық теңдеулер”, “Қатарлар”, “Комплекс айнымалыдан тәуелді функция және амалдық есептеу”, “Ықтималдықтар теориясының элементтері” тараулары бойынша) кірген. Дәрістер жинағы Алматы энергетика және байланыс институтының барлық мамандықтарының барлық оқу түрінің бакалаврларын оқытудың оқу жоспарына сәйкес келеді.

Мазмұны

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 2. 1 дәріс

4: Өріс теориясы . . . . . .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 3. 2 дәріс

Дифференциалдық теңдеулер.

Жай дифференциалдық теңдеулер . . . . . .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 4. 3 дәріс

4: Айнымалыларына қарағанда біртекті дифференциалдық теңдеулер. Сызықтық бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Бернулли теңдеуі . . .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 5. 4 дәріс

4: Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер. Реті төмендейтін дифференциалдық теңдеулер. Жоғары ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер . . .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 6. 5 дәріс

4: Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер. Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шешімі. Сызықтық біртекті тұрақты коэффициентті дифференциалдық теңдеулер . . .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 7. 6 дәріс

4: Сызықтық біртекті емес тұрақты коэффициентті дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін таңдау әдісі. Анықталмаған коэффициенттер әдісі. Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі . . .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 8. 7 дәріс

4: Сандық қатарлар. Негізгі ұғымдар. Оң қатарлар ……… . . .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 9. 8 дәріс

4: Айнымалы таңбалы және ауыспалы таңбалы қатарлар . . .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 10. 9 дәріс

4: Функциялық қатарлар, дәрежелік қатарлар. Тейлор қатары. Кейбір функциялардың Маклорен қатарына жіктелуі . . . …. . ……

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 11. 10 дәріс

4: Фурье қатары . . .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 12. 11 дәріс

4: Комплекс айнымалыдан тәуелді функция ұғымы . . . ……….

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 13. 12 дәріс

4: Лаплас түрлендіруінің анықтамасы . . . . .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 14. 13 дәріс

4: Бейнесі бойынша түпнұсқаны табу. Амалдық есептеудің қолданылуы . . . …. . . . .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 15. 14 дәріс

4: Ықтималдықтар теориясының элементтері. .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 16. 15 дәріс

4: Толық ықтималдық формуласы.

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 17. 16 дәріс

4: Кездейсоқ шамалар . . . . .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 18. 17 дәріс

4: Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы. . . .

1. Кіріспе сөз . . . . . . . .: 19. Әдебиеттер тізімі . . . ………. . . . .

4: 67

Кіріспе сөз

Ұсынылып отырған жинақта жоғары математика курсының “ Математика 3” бөліміне енгізілген 17 дәрісі кірген. Дәрістер жинағы Алматы энергетика және байланыс институтының барлық мамандықтарының барлық оқыту түрінің бакалаврларын оқытудың оқу жоспарына сәйкес келеді.

Дәрістер жинағы оқытушылар мен студенттерге пайдалы және жоғары математика курсының “Өріс теориясы”, “Дифференциалдық теңдеу-лер”, “Қатарлар”, “Комплекс айнымалыдан тәуелді функция және амалдық есептеу”, “Ықтималдықтар теориясының элементтері” тараулары бойынша аудиториялық сабақтар кезінде өзіндік жұмыстар өткізуге арналған.

Анықтамалар, теоремалар, формулалар нөмірлері екі саннан тұрады: олардың біріншісі дәріс нөмірін, ал екіншісі осы дәріс ішіндегі анықтаманың, теореманың, формуланың нөмірін білдіреді.

Оқу құралындағы материалды игеру студенттерге жоғары математика курсының аталып өткен тараулары бойынша жеткілікті жақсы білім алуға мүмкіндік береді.

№ 1 дәріс Өріс теориясы

Мазмұны: Өріс анықтамасы, өрістер теориясының элементтері. Векторлық өрістердің түрлері. Векторлық өрістің ағыны мен циркуляциясын есептеу. Остроградский-Гаусс теоремасы. Стокс теоремасы.

Дәрістің мақсаты: Векторлық сызықтар жиынтығын анықтайтын диффе-ренциалдық теңдеулер жүйесін құра білу, векторлық өрістің дивергенциясы мен роторын табу. Векторлық өрістің ағынын есептеуге Остроградский-Гаусс және Стокс теоремаларын қолдана білу.

1. 1 анықтама облысының әрбір нүктесінде векторы анықталса, облысында векторлық өріс берілді дейміз, басқаша айтқанда, векторлық өріс берілген болып есептеледі, егер әрбір нүктесінде сәйкесінше векторы берілсе векторлық өріс берілді дейміз (бұл жерде , , функциялары өздерінің дербес туындыларымен бірге үзіліссіз деп ұйғарамыз) .

Векторлық өрістердің дербес жағдайлары

1. Егер тұрақты вектор болса, яғни , , функциялары тұрақты болса, онда векторлық өріс біртекті болады.

2 . Егер , , функциялары таңдап алынған координаттар жүйесінде екі айнымалыдан тәуелді функциялар және вектордың проекцияларының біреуі 0-ге тең болса, онда векторлық өріс жазық болады. Мысалы, - жазық векторлық өріс.

3. Егер , , функциялары -дан тәуелсіз болса, онда өріс стационарлық болады.

1. 2 анықтама Векторлық өрістің векторлық сызығы деп әрбір нүктесіндегі жанамасының бағыты осы нүктеге сәйкес келетін вектор бағытымен беттесетін сызықты айтады.

Айталық, векторлық өрісі берілсін. Векторлық сызық параметрлік түрде берілсін: , , . Векторлық сызыққа нүктесіндегі бағыттауыш векторы болатын жанамасы теңдеуімен беріледі. 1. 2 анықтамасы бойынша және векторлары коллинеар болады, сондықтан, векторлардың коллинеар болу шартынан, теңдеулерін аламыз. шамасы аргументінің өсімшесі болғандықтан, теңдігін аламыз. Осыған ұқсас және болады.

Сонымен,

. (1. 1)

(1. 1) дифференциалдық теңдеулер жүйесі векторлық өрісінің векторлық сызықтар жиынтығын анықтайды.

Вектордың ағыны

векторлық өрісі берілсін. Осы өрісте кейбір бетін алып, оның бір жағына тоқталайық. беттің осы жағының кез келген нүктесіндегі бірлік нормаль векторы болсын.

1. 3 анықтама векторының беті арқылы ағыны деп өріс векторы мен беттің бірлік нормаль векторының скаляр көбейтіндісінің беті бойынша интегралы аталады. Оны төмендегідей белгілейді

(1. 2)

немесе

. (1. 3)

Дивергенция

векторлық өрісінің еркін нүктесін қарастырамыз, оны толығымен өріске тиісті тұйық бетімен қоршаймыз.

шамасын қарастырайық. Сұйықтың жылдамдықтар өрісінде бұл шама облысындағы уақыттың бірлігіндегі көлем бірлігіне қатысты пайда болатын сұйық мөлшерін анықтайды, яғни жанар көзінің орташа көлемдік қуатын анықтайды. Егер ағын 0-ден кіші болса, онда ағын көзінің қуаты туралы айтады.

шегін есептейміз, анығырақ айтқанда облысы нүктесіне дейін сығылған жағдайдағы шекті есептейміз. Егер шек 0-ден артық болса, онда нүктесі жанар көзі, ал егер 0-ден кіші болса, онда ағын көзі болады. Шектің көзі жанар көзінің қуатын немесе ағын көзінің қуатын сипаттайды.

1. 4 анықтама векторлық өрісінің дивергенциясы немесе жинақсыздығы деп нүктесін қоршайтын бет арқылы векторының ағынының сол бетпен қоршалған дене көлеміне қатынасын (аталмыш бет нүктесіне сығылған жағдайдағы) шегін айтады да, төмендегідей белгілейді

. (1. 4)

Теорема. векторлық өрісінің нүктесіндегі дивергенциясы

(1. 5)

формуласы бойынша табылады.

Остроградский-Гаусс теоремасы. Тұйық беттің ішінен шығатын вектордың ағыны өрістің дивергенциясынан осы бетпен қоршалған дене көлемі бойынша алынған үш еселі интегралға тең

немесе

. (1. 6)

Дивергенция қасиеттері

1. ;

2. - векторлық өріс, ал - скалярлық өріс болсын, онда

Векторлық өрістің циркуляциясы

1. 5 анықтама векторының тұйық контуры бойынша циркуляциясы деп векторы мен осы контурды жанап өтетін векторының скалярлық көбейтіндісінің контуры бойынша қисық сызықты интегралы аталады

. (1. 7)

Векторлық өрістің роторы

1. 6 анықтама векторлық өрісінің роторы (құйыны) деп

(1. 8)

векторы аталады.

Стокс теоремасы. беті арқылы -ның ағыны векторының -тің шекарасы бойынша циркуляциясына тең

немесе

. (1. 9)

Ротордың қасиеттері

1. ;

2. егер - скалярлық функция, ал - вектор болса, онда

Гамильтон операторы

Символдық - набла-векторын енгізейік. Гамильтон операторы деп аталады.

1. , .

2. , .

3. , .

Өрістердің типтері

1. Егер болса, онда векторлық өрісі соленоидалдық немесе түтікшелік өріс болады.

2. Егер болса, онда векторлық өрісі потенциалдық немесе құйынсыз өріс болады.

3. Егер векторлық өріс соленоидалдық та, потенциалдық та болса, онда ол гармониялық болады.

№ 2 дәріс Дифференциалдық теңдеулер. Жай дифференциалдық теңдеулер

Мазмұны: Негізгі анықтамалар және ұғымдар. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулердің түрлері, оларды шешу әдістері.

Дәрістің мақсаты: Дифференциалдық теңдеудің түрі мен ретін анықтауды, сәйкес ауыстыруларды қолдануды, дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін немесе жалпы интегралын табуды үйрету.

Негізгі анықтамалар және ұғымдар

2. 1 анықтама Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалы -ті, белгісіз функция -ті және оның әртүрлі ретті туындыларын немесе дифференциалдарын байланыстыратын теңдеуді атайды.

2. 2 анықтама Дифференциалдық теңдеуге кіретін туындының ең жоғары реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.

Мысал 2. 1 - . Берілген теңдеу дифференциалдық теңдеу болады, өйткені оның құрамында белгісіз функцияның бірінші және екінші ретті туындылары бар. Бұл екінші ретті дифференциалдық теңдеу, себебі теңдеуге енгізілген туындылардың ең жоғары реті 2-ге тең.

Мысал 2. 2 - . Бұл теңдеу дифференциалдық теңдеу болады, өйткені оның құрамында белгісіз функцияның бірінші ретті дифференциалдары бар. Берілген теңдеу бірінші ретті дифференциалдық теңдеу.

2. 3 анықтама Дифференциалдық теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын кез-келген функциясы дифференциалдық теңдеудің шешімі немесе интегралы деп аталады.

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

(2. 1)

түріндегі теңдеу - бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі.

Егер (2. 1) теңдеуін бірінші ретті туындыға қарағанда шешуге болса, онда

, (2. 2)

түріндегі теңдеу бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің нормалды формасы немесе бірінші ретті туындысына қарағанда шешілген дифференциалдық теңдеу деп аталады. теңдігі орындалатынын ескеріп, (2. 2) -ні келесі түрге келтіруге болады

. (2. 3)

2. 4 анықтама Бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын, анықталған функциясы оның шешімі деп аталады.

Дифференциалдық теңдеудің шешімінің графигі интегралдық қисық деп аталады.

Мынадай сұрақ туындайды: қандай шарттар орындалғанда (2. 2) теңдеуінің шешімі табылады? Бұл сұраққа (2. 2) дифференциалдық теңдеудің шешімінің бар болуы және жалғыздығы туралы Коши теоремасы деп аталатын теорема жауап береді.

Коши теоремасы. Егер және оның дербес туындысы жазықтығының кейбір облысында анықталған және үзіліссіз болса, онда облысының қандай да бір ішкі нүктесінің маңайында теңдеуінің

“ болғанда болады” (2. 4)

деген шарттарға қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар болады.

(2. 4) шарттары - бастапқы шарттар деп аталады да

(2. 4’)

белгіленеді.

Егер де (2. 2) теңдеуінің (2. 4) бастапқы шарттарына қанағаттандыратын шешімін табу керек болса, Коши есебін шешу керек дейміз.

Геометриялық тұрғыдан Коши есебінің шешімін табу дегеніміз интегралдық қисықтар жиынынан жазықтығының берілген нүктесі арқылы өтетін қисықты алуды білдіреді.

Жазықтықтың кейбір нүктелерінен бірнеше интегралдық қисық өтетін немесе ешбір интегралдық қисық өтпейтін нүктелері теңдеудің ерекше нүктелері деп аталады.

2. 5 анықтама -тен және еркін тұрақты -дан тәуелді

(2. 5)

функциясы

а) тұрақты -ның кез келген мәнінде (2. 2) теңдеуіне қанағаттандырса,

б) (2. 4) шарттары қандай болса да теңдігі орындалатындай еркін тұрақтының мәні табылса

(2. 2) дифференциалдық теңдеуінің жазықтығының кейбір облысындағы жалпы шешімі деп аталады.

2. 6 анықтама Дифференциалдық теңдеудің

, (2. 6)

түрінде табылған шешімі (2. 2) -нің жалпы интегралы деп аталады.

2. 7 анықтама (2. 2) теңдеуінің облысындағы дербес шешімі деп теңдеудің жалпы шешімі (2. 5) -тен еркін тұрақты -ның бекітілген мәнінде алынған функциясын айтамыз.

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің геометриялық мағынасы

Айталық, дифференциалдық теңдеуі берілсін және - оның шешімі болсын. Интегралдық қисықтың кез келген нүктесі арқылы жанама жүргізуге болады. Интегралдық қисыққа әрбір нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті осы нүктедегі функциясының мәніне тең екені теңдеуден жеңіл байқалады. Демек, теңдігі нүктенің координаттары мен осы нүктеде интегралдық қисықтың графигіне жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті арасындағы тәуелділікті орнатады. Интегралдық қисықтың әрбір нүктесіне бұрыштық коэффициенті болатын бағытталған кесіндіні сәйкестендірейік, сонда берілген теңдеудің бағыттар өрісін аламыз.

Сонымен, геометриялық тұрғыдан теңдеуі жазықтығындағы бағыттар өрісін анықтайды, ал шешім - интегралдық қисық, оның әрбір нүктесінде жүргізілген жанаманың бағыты өрістің бағытымен беттеседі.

Теңдеулердің түрлері

(2. 7)

қарапайым дифференциалдық теңдеу деп аталады. Оны түрінде де жазуға болады.

белгісіз функциясы формуласымен анықталады.

II.

(2. 8)

айнымалылары ажыратылған теңдеу деп аталады.

(2. 8) -дің шешімі формуласымен анықталады.

III.

(2. 9)

айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп аталады.

және деп есептеп, (2. 9) теңдігінің екі жағын көбейтіндісіне бөлеміз, онда теңдеуін аламыз, яғни (2. 9) -ды айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеуге келтіріп аламыз.

(2. 10)

айнымалылары ажыратылатын теңдеу, мұндағы және - үзіліссіз функциялар. (2. 10) -ның шешімін табу үшін теңдігін ескеріп, берілген теңдеуді

(2. 11)

түрінде жазып аламыз.

деп ұйғарып, (2. 11) -ді -ке бөлеміз, онда айнымалылары ажыратылған теңдеуді аламыз: . Соңғы теңдіктің екі жағын интегралдап, (2. 10) теңдеуінің жалпы интегралын аламыз

Мысал 2. 3 - - бұл қарапайым бірінші ретті дифференциалдық теңдеу.

Интегралдаймыз

Мысал 2. 4 - - бұл айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу.

Теңдеудің екі жағын көбейтіндісіне бөлеміз, әрине алдын ала деп ұйғарамыз, онда айнымалылары ажыратылған теңдеуді аламыз

Осы теңдеуді интегралдап теңдігін табамыз. формуласын пайдаланып, соңғы теңдікті

түрінде жазып аламыз. Бұл берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы.

№ 3 дәріс Айнымалыларына қарағанда біртекті дифференциалдық

теңдеулер. Біртекті теңдеулерге келтірілетін теңдеулер.

І-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.

Бернулли теңдеуі

Мазмұны: Функцияның біртектілік дәрежесін анықтау, , айнымалы-ларына қарағанда біртекті дифференциалдық теңдеулер. І-ретті сызықтық бір-текті және біртекті емес дифференциалдық теңдеулер. Еркін тұрақтыны вариациялау әдісі. Бернулли теңдеуі.

Дәрістің мақсаты: Функцияның біртектілік дәрежесін анықтауды, , айнымалыларына қарағанда біртекті дифференциалдық теңдеулерді және оларға келтірілетін теңдеулерді шешуді, І-ретті біртекті және біртекті емес дифференциалдық теңдеулерді шешуді, еркін тұрақтыны вариациялау әдісін қолдануды, Бернулли теңдеуін шешуді үйрету.

IV. және айнымалыларына қарағанда І-ретті біртекті дифференциал-дық теңдеулер.

3. 1 анықтама теңдігіне қанағаттандыратын функциясы өлшемі -ші ретті біртекті функция деп аталады.

Мысалы, берілсін. Бұл функция үшін

яғни - өлшемі -ші ретті біртекті функция.

функциясы үшін , яғни - өлшемі -ші ретті біртекті функция.

3. 2 анықтама функциясы , айнымалыларына қарағанда өлшемі -ші ретті біртекті функция болса теңдеуі І-ретті біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады.

3. 3 анықтама және өлшем реттері бірдей функциялар болса дифференциалдық теңдеуі , айнымалыларына қарағанда біртекті теңдеу болады.

және айнымалыларына қарағанда біртекті І-ретті дифференциалдық теңдеуді шешу үшін

(3. 1)

алмастыруын қолданып, III-ші түрдегі теңдеуге келтіру арқылы шешеді.

V. және айнымалыларына қарағанда І-ретті біртекті дифференциал-дық теңдеуге келтірілетін теңдеулерге

(3. 2)

түріндегі теңдеулер жатады.

Шешуі: 1) егер болса, онда алмастыруын жасай-мыз, мұндағы мен сызықтық теңдеулер жүйесінен та-былады.

2) егер болса, онда алмастыруын жасаймыз да, IV-ші түрдегі теңдеуге келтіреміз.

Сызықтық дифференциалдық теңдеулер

3. 4 анықтама VII

(3. 3)

І-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады, мұндағы және - үзіліссіз функциялар. (3. 3) теңдеуіне белгісіз функция және оның туындысы тек бірінші дәрежеде кіреді.

3. 5 анықтама болса, (3. 3) І-ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу болады да, VI-шы түрде жазылады

. (3. 4)

Егер болса, онда (3. 3) І-ретті сызықтық біртекті емес дифферен-циалдық теңдеу болады.

(3. 4) теңдеуінің шешімін табамыз. Ол үшін алдымен (3. 4) -ті айнымалы-лары ажыратылатын теңдеуге келтіреміз

Енді айнымалыларын ажыратып алып, алынған теңдеуді интегралдаймыз

, .

Сонымен,

. (3. 5)

(3. 5) функциясы - (3. 4) -тің жалпы шешімі.

(3. 3) І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шеші-мін табу алгоритмін келтірейік. (3. 3) -ті шешу үшін еркін тұрақтыны вариация-лау әдісін пайдаланамыз. Оның мағынасы мынада:

а) алдымен сәйкес (3. 4) түріндегі теңдеудің жалпы шешімін, яғни (3. 5) түріндегі функцияны табамыз;

б) (3. 5) -гі -ны -тен тәуелді белгісіз функциясы деп есептейміз. Енді (3. 3) -тің жалпы шешімін

(3. 6)

түрінде іздейміз.

Біздің ұйғаруымыз бойынша (3. 6) (3. 3) -тің шешімі болған соң, (3. 6) -ны (3. 3) -ке қойсақ, тепе-теңдік аламыз

осыдан функциясын табамыз

үшін табылған өрнекті (3. 6) -ға қоямыз да, (3. 3) дифференциалдық тең-деуінің жалпы шешімін табамыз: , оны

(3. 7)

түрінде жазамыз.

(3. 7) - (3. 3) -тің жалпы шешімі, яғни (3. 7) - І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.

І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінің құрамы

І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі сәйкес сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі мен біртекті емес дифференциалдық теңдеудің кейбір дербес шешімінен құра-лады, яғни , , мұндағы - біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, - біртекті диф-ференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, - біртекті емес дифференциал-дық теңдеудің дербес шешімі.

Мысал 3. 1 - теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі: - бұл (3. 3) түріндегі дифференци-алдық теңдеу. Сәйкес біртекті теңдеуді жазып аламыз: . Осыдан , , , - бұл сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі, яғни . Онда сызықтық біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін түрінде іздейміз. функциясын анықтаймыз:

. Демек, берілген теңдеудің жалпы шешімі болады.

Бернулли теңдеуі

VIII

(3. 8)

түріндегі теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады.

алмастыруын орындағаннан кейін ( , ) Бернулли теңдеуі VII-ші түрдегі теңдеуге келтіріледі.

Ескерту.

VII. - белгісіз функциясы үшін І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу.

VI. - белгісіз функциясы үшін І-ретті сызықтық біртекті дифферен-циалдық теңдеу.

VIII. - белгісіз функциясы үшін Бернулли теңдеуі.

Толық дифференциалдардағы теңдеу

3. 5 анықтама

(3. 9)

түріндегі теңдеу

(3. 10)

шарты орындалғанда толық дифференциалдардағы теңдеу деп аталады.

(3. 10) шарты орындалғанда (3. 9) -дың сол жағы кейбір функция-сының дифференциалы болатынын, яғни , дәлелдейміз.

Қажеттілік. (3. 9) -дың сол жағы үшін толық дифференциал болсын: және , онда және . болғандықтан, болады.

Жеткіліктілік. (3. 10) орындалсын, яғни , , онда және . Басқа жағынан, , осыдан , онда . Сонымен, (3. 9) -дың сол жағы функциясының толық дифференциалы болады, ал (3. 9) теңдеуінің жалпы шешімі формуласымен анықталады.

№ 4 дәріс Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер.

Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер.

Жоғары ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

Мазмұны: Негізгі ұғымдар мен анықтамалар. Екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімінің негізгі қасиеті. Сызықты тәуелді және сызықты тәуелсіз функциялар жүйесі, олардың вронскианы.

Дәрістің мақсаты: Жоғары ретті дифференциалдық теңдеудің анықтамасы. Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулерді шешу тәсілдерін көрсету. Сызықтық біртекті және біртекті емес жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер. Функциялар жүйесінің сызықтық тәуелділігі немесе тәуелсіздігін анықтауды үйрету.

4. 1 анықтама теңдеуі екінші ретті дифференциалдық теңдеуі деп аталады, мұндағы - тәуелсіз айнымалы, - белгісіз функция, және - оның туындылары.

Көп жағдайда -ке қарағанда шешілген теңдеу қарастырылады

. (4. 1)

(4. 1) теңдеуінің шешімі деп -да анықталған, теңдеуге қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын функциясы аталады. Шешімнің графигі интегралдық қисық деп аталады.

Коши теоремасы. Егер және оның , дербес туындылары айнымалылар кеңістігінің кейбір облысында анықталған және үзіліссіз болса, онда облысының қандай да бір ішкі нүктесінің маңайында теңдеуінің

, . (4. 2)

шарттарға қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар болады. (4. 2) - бастапқы шарттар.

Дифференциалдық теңдеудің бастапқы шарттарға қанағаттандыратын шешімін табу есебін Коши есебі дейміз.

Геометриялық тұрғыдан Коши есебінің шешімін табу дегеніміз интегралдық қисықтар жиынынан жазықтығының берілген нүктесі арқылы өтетін, осы нүктедегі жанамасының бұрыштық коэффициенті болатын қисықты алуды білдіреді.

4. 2 анықтама -тен және екі еркін тұрақты мен -ден тәуелді функциясы кейбір облысында (4. 1) теңдеуінің жалпы шешімі болады, егер ол: 1) мен тұрақтыларының кез келген мәндерінде шешім болса; 2) кез келген (4. 2) бастапқы шарттары үшін , тұрақтыларының сәйкесінше , жалғыз ғана мәндері табылып, функциясы бастапқы шарттарға қанағаттандырса.

4. 3 анықтама Жалпы шешім - функциясынан , мәндерінде шығатын кез келген функциясы (4. 1) теңдеуінің дербес шешімі деп аталады.

Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер

n -ретті дифференциалдық теңдеу деп

түріндегі теңдеу аталады. Егер де ол жоғары ретті туындысына қарағанда шешілген болса, онда n -ретті дифференциалдық теңдеу

(4. 3)

түрінде жазылады.

(4. 3) -тің шешімі деп -да анықталған, (4. 3) -ке қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын функциясы аталады.

(4. 3) -тің жалпы шешімі х- тен және n еркін тұрақтыдан тәуелді болады: .

Жалпы шешімнен тұрақтыларының бекітілген мәндерінде пайда болатын (4. 3) -тің шешімі оның дербес шешімі деп аталады.

Жоғары ретті теңдеу үшін бастапқы шарттар

, , …, (4. 4)

түрінде жазылады.

(4. 3) теңдеуінің (4. 4) бастапқы шарттарына қанағаттандыратын шешімін табу есебін Коши есебін шешу дейміз.

Реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер

немесе

(4. 5)

дербес жағдайларын қарастырамыз.

1. теңдеуі. Бұл теңдеуде жоқ, оның шешімін бірте-бірте интегралдау көмегімен табамыз:

, , , …, .

2. теңдеуі. Бұл теңдеуге және оның -шы ретке дейінгі туындылары кірмеген. Алмастыру жасаймыз: , , …, , теңдеуін аламыз. Берілген теңдеудің ретті -ға төмендеді.