ЕВКЛИДТЕН БҰРЫНҒЫ ГЕОМЕТРИЯ
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Математикалық құрылымдар және евклидтік емес геометриялар ... ...
Математикалық структура ұғымының мәні ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Геометрияның алғашқы ұғымдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Евклид және оның геометриясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Бесінші постулат және оны дәлелдеу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Бесінші постулатқа эквивалентті (мәндес) ұйғарымдар ... ... ... ... .
Бесінші постулат проблемасы және оны дәлелдеу әдістері ... ... ... ... ...
Бесінші постулат проблемасының шешілуі ... ... ... ... ... ... ... .
Евклидтік емес геометрияның ашылуы ... ... ... ... ... ... ... . ... .
Лобачевский және оның геометриясы.Лобаческий аксиомасы ... ... ... ... .
Гильберт аксиомалар жүйесіне шолу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Д.Гильберттің Геометрия негіздері ... ... ... ... ... ... ... ..
І- топ.Тиістілік аксиомалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ІІ-топ.Реттілік аксиомалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
ІІІ-топ.Конгруэнттілік аксиомалары ... ... ... ... .
ІV-V-топтар.Үздіксіздік және паралельдік аксиомалары ... ... ... ... ... ...
Вейль аксиомалар жүйесі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ...
Үш өлшемдік Евклидтік кеңістіктің Вейль аксиомалар жүйесі ... ... ... ..
Векторлық кеңістіктің аксиомалары ... ... ... ... ... ... .
Вейль аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы ... ... ... ... .
Вейль аксиомалар жүйесінің тәуелсіздігі ... ... ... ... .
Вейль аксиомалар жүйесінің толықтығы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Вейль аксиомалар жүйесінде негізгі геометриялық ұғымдарды анықтау ... ..
Вейль аксиомалар жүйесінде кейбір теоремаларды дәлелдеу ... ...
Мектеп геометриясының аксиомалар жүйесі ... ... ... ... ... .
Колмогоровтың геометриялық аксиомалар жүйесі ... ... ... ... ... ...
Погореловтың геометриялық аксиомалар жүйесі ... ... ... ... ... ... ..
А.Д.Александровтың геометриясының аксиомалар жүйесі ... ... ... ... ... .
Л.С.Атанасянның геометриясының аксиомалар жүйесі ... ... ... ... ... ... .
Мектеп курсы геометриясының логика-аксиоматикалық құрылымы ... ... .
Лобачевский аксиомасы мен түзулердің паралельдігі.Лобачевский жазықтығындағы үшбұрыштар мен төртбұрыштар ... ... ... ... ... .
Лобачевскийдің аксиомасы ... ... ... ... ... ... .. ... ...
Лобачевский бойынша түзулердің паралельдігі ... ... ... ... ... ... ... .
Паралельдік бұрышы ... ... ... ... ... ... ...
Лобачевский жазықтығындағы үшбұрыштар мен төртбұрыштар ... ... .
Парлель және ажырасатын түзулер ... ... ... ... ... ...
Паралель түзулердің өз-ара орналасулары ... ... ... ... ... ... .
Ажырасатын түзулердің қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... .
Лобачевский жазықтығындағы кейбір сызықтар ... ... ... ... ...
Түзулер шоғы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Тең көлбеулі қиюшылар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Жазықтықтағы сызықтар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Лобачевский кеңістігіндегі түзулер,жазықтықтар мен беттер туралы ... ...
Түзулер мен жазықтықтар және олардың өзара орналасуы ... ... ... ...
Лобачевский кеңістігіндегі беттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Лобачевский планиметриясының қайшылықсыздығы,паралельдік аксиомаларының тәуелсіздігі.Лобачевский жазықтығының кейбір интериретациясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Пуанкаре интерпретациясы ... ..
Кэли-Клейн интерпретациясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Евклидтік геометрияларға қысқаша шолу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Сфералық геометрияның негізгі ұғымдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Риманның эллипстік геометриясы ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Вейль схемасындағы Лобачевскийдің гиперболалық геометриясы ... ... ..
Псевдоевклидттік кеңістіктер ... ... ... ... ... ... ...
Гиперболалық кеңістіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы ... ... ... ... ... ... ... .
Кэли-Клейннің проективтік моделі ... ... ... ... ... ... ... . ...
Геометриялық шамаларды өлшеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Кесінділерді өлшеу.Кесінді ұзындығы,оның бар болуымен жалғыздығы ... ... ... ...
Көпбұрыштың ауданы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Тең шамалы және тең құрамды көпбұрыштар ... ... ... ... ... ..
Көлем теориясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Кіріспе
Геометрия негіздері пәнінен ұсынылып отырған оқу құралында геометрияның логика-аксиоматикалық негіздері және евклидттік емес геометрияларды зерттеу әдістері қарастырылады.Оқу құралында математикалық құрылым ретінде евклидттік геометрияның Гильберт және Вейль бойынша теориялық негіздемелері қарастырылған.Евклидттік емес геометриялардың математикалық құрылымдары мен олардың интерпретациялары келтірілген.
Геометрия негіздері пәнінің ең таңдаулы тарауларының бірі Лобачевский геометриясының логикалық құрылымы мен модельдері зерттелген.
Геометрияның негізгі бөлімдерінің бірі өлшеулер теориясы егжей тегжейлі қарастырылып,мектеп геометриясының оқулықтарына шолу жасалды.
Геометрия негіздері пәні жоғарға геометрияның ең негізгі бөлімдерінің бірі болып табылады.Бұл пән келешек математика пәні мұғалімдері үшін ең қажетті пәндердің бірі болып табылады.
Оқу құралы автордың көп жылдардын бері оқыған лекциялары және орыс тіліндегі [1,2] оқу құралдары негізінде құрастырылған.
Бұл оқу қрылымы физика-математика мамандығының студенттеріне және жоғары геометрия пәнін оқитын студенттер мен оқытушылар үшінкөмекші құрал ретінде пайдалы болады деп санаймыз.
Осы оқу құралының электрондық нұсқасы қашықтықтан оқитын студенттерге де өте қажет болады.
1.Математикалық құрылымдар және евклидтік емес геометриялар
1.1 Математикалық құрылым ұғымының мәні
Кез келген А жиын берілген болсын. Осы жиында бір немесе бірнеше қатынастарды анықтау және сол қатынас(қатынастар) орындалатын шарттарды (аксиомаларды) беру мүмкін. Бұл жағдайда А жиында структура анықталған дейміз. Сонан соң берілген аксиомалардан структураның кейбір қасиеттерін келтіріп шығару мүмкін. Бұл қасиеттер, әдетте, лемма, теоремалар түрінде баяндалады. Структураны кеңірек үйрену нәтижесі оны сипаттайтын ерекшеліктерін ашу мүмкіндігін береді. Структураға тиісті мәліметтерді белгілі бір системаға салу, яғни үйреніп отырған структураның теориясын жарату мүмкін. Бұл теория А жиындағы структураның аксиоматикалық теориясы болады. А жиынның элементтерінің табиғаты мұнда ешқандай роль атқармайды.
Математикалық құрылым ұғымын қалыптастыру әлемді танудың маңызды ғылыми құралы - аксиоматикалық әдістің дамуымен байланысты. Мәселе мынада, қазіргі кезде осы күнгі математиканың көптеген бағыттары тек қана аксиоматикалық әдістің, яғни, сәйкес аксиомалар жүйесінің аксиоматика негізінде құрылады. Ал математика ғылымының әр саласына тән аксиомалардың өзі ұзақ және күрделі тарихи даму процесінде пайда болды. Бастапқы мәліметтер адамның практикалық қызметінің нәтижесінде жинақталады, қордаланады. Осындай мағлұматтарды тексереді, нақтылайды, жүйелейді және басқадай бастапқы мәліметтерден шығарып алу мүмкін болатындары олардың ішінен алынып тасталады. Кейде, қалған қарапайым
мәліметтер аксиома тізімінің толық еместігі байқалады, яғни бұл мәліметтер барлық теоремаларды қорытуға жеткілікті бола алмайды. Мұндай жағдайда бұл тізімге жетпей тұрған аксиомалар қосылады. Нәтижесінде аксиомалардың толық жиынтығы аксиоматика қалыптасады. Осындай аксиоматика жүйесі негізінде қазіргі математиканың ондаған бағыттары дамуда, олардың қатарына: қарапайым элементар математиканың аксиоматикасы, натурал санның аксиоматикасы, метрикалық және векторлық кеңістіктің аксиоматикасы, сан өрісінің аксиоматикасы, группаның аксиоматикасы, ықтималдықтар теориясының аксиоматикасы, математикалық құрылымдардың аксиоматикасы және басқалар жатады.
Егер кез келген жиын элементтерінің арасында тұжырымдардың аксиомалардың белгілі жүйесімен сипатталатын қандай да қатынас анықталса немесе операция тағайындалса, онда осы бір жиында математикалық құрылым анықталған дейді.
Құрылым ұғымының басты ерекшелігі - табиғаты әр алуан болатын жиын элементтеріне оның жарамды болатындығында және де қарастырылатын қатынастар немесе операциялар сипатының таңдалу тұрғысынан жоғары дәрежеге ие екендігінде.
Сондықтан белгілі аксиомалардың жиынтығымен қандай да бір жиын элементтері ие болатын қатынастар мен операциялардың мәнді қасиеттері сипатталады.
Шексіз көп әралуан құрылымдар бар және олардың жиынтығын белгілі бір ретпен оқу, зерттеу математиканың әр түрлі бөлімдерінің мазмұнын құрайды. Бұл қазіргі математиканы құрастыруға, яғни оны аксиоматикалық әдіспен құрылымдардың жүйесі ретінде көрсетіп берудің мүмкіндігін білдіреді.
Математикалық құрылымдардың типі және олардың сипаттамасы
Математика ғылымында құрылым терминін енгізген Н.Бурбаки барлық математиканың іргетасын құрайтын бірнеше негізгі құрылымдарды ғана анықтады.
Нақтырақ айтқанда, олар бір-біріне келтірілмейтін құрылымдардың үш типін: алгебралық құрылымдарды, реттік құрылымдарды, топологиялық құрылымдарды анықтады дегенмен, Бурбакилердің өздері негізгі құрылымдардың саны түпкілікті анықталды деп есептемейді.
Математикалық құрылымдар аксиоматикасының мән-мағынасына тереңдемей, құрылымдардың негізгі типтерін жалпы түрде ғана қарастырайық.
Алгебралық құрылым
а Жиындардың тобын, яғни әр алуан сипаттағы элементтерден және онда анықталған операциялардан құралған әр түрлі жиындарды қарастырайық. Әрбір жиынды құрайтын элементтердің табиғатына назар аудармай, осы қарастырып отырған топқа енетін кез-келген жиынды А={х,у,z,...} символымен белгілейік. А жиынында анықталатын операцияны f арқылы белгілейік. А жиынына тиісті кез-келген х және у элементтері үшін осы жиыннан сәйкес операцияның нәтижесі болатын z элементі табылады, яғни
z=f (х,у)
Осында қарастырылатын жиындардың әрқайсысында анықталған операциялардың барлығы үшін ақиқат болатын жалпы қасиеттерді бөліп көрсетейік.
Коммутативтік: =f (у,х)
Ассоциативтік: f (f (х,у), z) = f (х, f (у, z ))
Қайтымдылық: f (х,у) = у
Жалпы түрде өрнектеліп көрсетілген осындай үш қасиетті негізгі аксиомалар ретінде қабылдап, осы аксиомалар жүйесінен қарастырылып отырған жиындар тобына енетін А,f жиынының кез-келгені үшін ақиқат болып табылатын басқа да салдарлар мен теориялық тұжырымдарды қорытып шығаруға болады.
Жоғарыда қарастырылған қасиеттермен аксиомалармен сипатталатын А,f жиынын коммутативтік топтың құрылымымен жабдықталған дейді. Осындай группаның құрылымы алгебралық типтегі құрылымның мысалы бола алады.
Анықтама: А жиында берілген қатынас А дағы екі элемент арқылы үшінші элементті бір текті(қалыпты) анықтаса, әдетте мұндай қатынас композиция заңы деп аталады.
Анықтама: Егер структура анықтамасындағы қатынас композиция заңынан тұрса,мұндай структура алгебралық структура деп аталады.
А жиында анықталған композиция заңы(бинарлық амал) әртүрлі болуы мүмкін. * амал А дағы бекітілген бір композиция заңы болсын. Сонда * амал А жиында алгебралық структура (А, *) ны анықтады дейміз. А жиында анықталған түрлі композиция заңдары түрлі алгебралық структураларға алып келеді.
Алгебралық құрылымға мыналар жатады: топтар, сақина, өріс, Булл структурасы, т.с.с.
Реттік құрылым
б Алдыңғы жағдайдағыдай қандай да бір жиындардың тобын қарастырайық және бұған енетін әрбір жиын элементтерінің арасында қатынастар анықталсын.
Өткен жағдайға ұқсас қарастырылатын жиындар тобына тиісті кез-келген жиынды А={х,у,z,...} символымен, ал онда анықталатын қатынасты - Р символымен белгілейік. Осындай жиындардың әрқайсысында анықталған қатынастар үшін ақиқат болып табылатын жалпы қасиеттерді бөліп көрсетейік.
1. Рефлексивтік:
2. Антисимметриялық:
3. Транзитивтік:
Бастапқы аксиомалар ретінде осы үш қасиетті қабылдап барлық тұжырымдарды жиындар тобына енетін кез келген А,Р жиыны үшін де сәйкес қағидалар ақиқат болып табылатын жалпы теория құруға болады. Жоғарыда қарастырылған қасиеттермен аксиомалармен сипатталатын А,Р жиынын қатаң емес реттік құрылымымен жабдықталған дейді. Бұл құрылым реттік типтегі құрылымның мысалы бола алады.
Анықтама: Егер кез келген А жиында 1-3 аксиомаларды қанағаттандыратын Р қатынас берілген болса, оны А жиында реттік структура анықталған деп атайды.
Мысалдар келтірейік: 1) Нақты сандар R жиынында үлкен, кіші, қатынастары 1-3 аксиомаларды қанағаттандырады , сондықтан да олар реттік структураға мысал болады. Яғни, (R,үлкен), (R, кіші) структуралар реттік структуралар.
Топологиялық құрылым
в Қандай-да жиындардың тобын алайық. Осы жиындар тобына енетін әрбір жиынынан ішкі жиындардың тобын бөліп алайық.
Қарастырылатын жиындар тобының кез-келген жиынын Р, ал оған сәйкес қандай да ішкі жиындардың тобын Q арқылы белгілесек, онда оларға тән келесі жалпы қасиеттерді тұжырымдауға болады:
Q
Мұндай фильтрлеуші жиынның құрылымын анықтайтын Q жиыны, Р жиынының фильтрі деп аталады. Фильтрлеуші жиынның құрылымы құрылымның топологиялық типінің мысалы бола алады.
Математиканың архитектурасы
Іргетасын жоғарыдағыда айтқандай негізгі құрылымдар құрайтын, математиканы ары қарай түзу, конструкциялау екі негізгі тәсілмен іске асады: әртүрлі құрылымдардан түзілген күрделі құрылым құрастыру арқылы; қандайда негізгі құрылымның аксиомаларына бір немесе бірнеше толықтама аксиомалар қосу барысында пайда болатын арнаулы математикалық құрылым құрастыру арқылы жүзеге асырылады.
Күрделі құрылымның жеке мысалы ретінде коммутативтік сызықтық-реттелген топтың құрылымын, ал арнаулы құрылым ретінде- сызықтық реттік құрылымды алуға болады.
Күрделі құрылымның жасалуы математиканың бүкіл бір бөлімінің, ал арнаулы құрылымның түзілуі қандайда жалпы теориядан бөлінген әр түрлі өзінше дамитын теорияның (математика бөлімдерінің) пайда болуына алып келеді.
Математиканың қандай да бір бөлімін( мысалы, натурал сандар ұғымына анықтама болатын Пеано аксиомасы құрудың аксиоматикалық әдісін қарастырайық:
1. Құрастырылатын бөлім шеңберінде анықталмайтын (яғни анықтамасыз қабылданатын) алғашқы терминдер деп аталатын, саны шектеулі ұғымдар мен олардың арасындағы қатынастар іріктеледі;
2. Бастапқы ұғымдар мен қатынастардың өзара байланысын тағайындайтын және оларды жанама түрде анықтайтын ақиқаттығы дәлелдеусіз қабылданатын бірнеше бастапқы тұжырымдар-аксиомалар алынады;
3. Қарастырылатын бөлімге енгізілетін барлық жаңа ұғымдар бастапқы терминдер немесе бұрын анықталған мен қатынастар арқылы анықталады, ал бөлімнің барлық жаңа тұжырымдары (терминдері) дедукциялық жолмен алғашқы терминдердің немесе аксиомалардың (немесе бұрын дәлелденген теоремалардың) негізінде дәлелденеді және де қорытып шығару ережесі (ақиқат сөйлемнің бірі екінші бір ақиқат сөйлемнен туындайды) беріледі және ол математикалық логикада зерттеледі;
4. Аксиоматикалық теорияны нақты объектілер жиынында жүзеге асыру үшін аксиоматикалық теорияның көрнекі көрсетіліп берілуі (немесе модулі) пайдаланылады.
Аксиоматикалық әдіс
Қандайда бір математикалық теорияны аксиоматикалық әдіспен анықтау үшін, алдымен ол теория қарастыратын объектілер және олардың арасындағы қатыстар анықталады. Ол объектілер мен қатыстарды бұл теорияның негізгі ұғымдары дейді. Математикада бір ұғымға анықтама беру үшін бұрын анықталған басқа ұғымдарды пайдаланады. Сонан соң бірқатар ұғымдар топтамасы анықтамасыз алынып,солардың жәрдемімен басқа ұғымдарды анықтауға тура келеді. Анықтамасыз алынатын бұл ұғымдармен қатар бірқатар тұжырымдарды дәлелсіз алады. Ол тұжырымдар бұл теорияның аксиомалары делінеді. Ол аксиомалар алынған негізгі ұғымдар арасындағы қатыстарды сипаттайды.
Әрине, анықтамасыз алынатын ұғымдар(аксиомалар) қалауынша алына бермейді. Олар белгілі бір шарттарға, талаптарға сай болады. Атап айтқанда аксиомалар жүйесі - қайшылықсыз, тәуелсіз және толық (жеткілікті) болуы керек.
Алынған ұғымдар мен олар арасындағы қатыстар және аксиомалар тізімі теория басында келтіріледі. Солардың жәрдемімен жаңа ұғымдар анықталып теоремалар тұжырымдалып, олар дәлелденеді.
Математикада аксиоматикалық(дедуктивтік) әдістің жаратылуына грек ғалымдарынан Пифагор, Аристотель, Платон, Евклид т.с.с. лар бастапқы қадам қойған. Бұл салада әсіресе, Евклидтің (Б.Э.Д. 340-287ж.ж.) қызметі үлкен болған. Евклид Негіздер (Бастамалар) деп атаған еңбегінде геометрияның логикалық құрылымын негіздеу мақсатында алдын ала анықтамалар келтіріп, кейін аксиомалар, постулаттар системасын қабылдады. Осылай ол өз заманының талабына сай геометрия скелетін құрды.
Аксиоматикалық әдістің мағынасын дұрыс түсіну мақсатында орта мектепте үйренілетін геометрия курсына назар аударайық. Мұнда бірнеше теоремалар дәлелденген болып, дәлелденген әрбір теорема өзінен алдын келген теоремаларға негізделеді, сол сияқты,жұмыста дәлелсіз қабылдау үшін қажет болған пікірлер және ұғымдарды кездестіреміз: нәтижеде анықтамасыз қабылданған объекттер ( мысалы, нүкте, түзу, жазықтық, ара қашықтық) оларды байланыстыратын қатыстар (мысалы, нүктенің түзу бойында орналасуы,түзудегі кез келген нүктенің сол түзудегі басқа екі нүктенің арасында орналасуы, кесінді және бұрыштардың тең (конгруэнт) тігі) пайда болады.
Негізгі объекттер, оларды байланыстыратын қатыстар және тиісті аксиомалар системасын таңдап алу өтә жауапты мәселе. Аксиоматикалық әдіс негізінде ой қорытуды қысқаша былайша сипаттау мүмкін: Бастапқыда анықталмайтын негізгі объекттер таңдап алынады,кейін оларды өзара байланыстыратын негізгі қатынастар-аксиомалар системасы таңдалады, сонан соң осы аксиомалар негізінде логика заңдылықтарына негізделген жағдайда жаңа -- жаңа сөйлемдер (теоремалар) дәлелденеді.
Аксиомалар системасына қойылатын талаптар
Кез келген математикалық теорияның негізі ретінде алынған, қабылданған аксиомалар системасы мынадай талаптарға жауап беруі тиіс:
логика заңдылықтары бойынша аксиомалар системасынан бірін - бірі терістейтін екі сөйлем келіп шықпайтын болсын, яғни аксиомалар системасы қайшылықсыз болсын;
аксиомалар системасында қатысқан әрбір аксиома қалғандарының логикалық қорытындысы болмауы - теорема түрінде дәлелденбеуі тиіс , яғни аксиомалар системасындағы әрбір аксиома тәуелсіз болуы керек;
аксиомалар системасы қатарына осы системадан логикалық тұрғыда келіп шықпайтын жаңа аксиоманы қосу мүмкін бе,яғни аксиомалар системасы толық(кемелденгендік) қасиетіне мойынсынама ? Осы сұраққа жауап беретін болуы керек, яғни толық (кемелденген) аксиомаларға негізделеді.
Геометрияны аксиоматикалық құруға тиісті бұл сұрауларға 19 ғасырда толық жауап табылды. Бұл сұрауға жауап беруде ұлы орыс математигі Н.И.Лобачевский шығармашылығы және 19 ғасыр ғалымдарынан Е.Бельтрами, А.Пуанкаре, Ф.Клейн зерттеулері шешуші рол атқарды. Аксиомалардың белгілі системасы негізінде жүргізілетін тұжырымдардың қарама-қайшылыққа алып келу немесе келмеуі мәселесін шешуде математикада модель (интерпретация, сараптау) идеясы қолданылады.
Анықтама: Белгілі объекттердің жиындарының бірі анықталған болып, сол жиын элементтері арасында негізгі қатынастар( қатыстар) сақталып, мұнда аксиомалардың барлық шарттары орындалса, бұл аксиомалар системасының моделі құрылған деп аталады.
Мысалдар келтірейік. 1-мысал. Бүтін сандар жиыны қосу амалына сәйкес, группа (топ) құратыны үшін, бұл жиын группа аксиомалары системасының моделі бола алады (мұнда негізгі объекттер бүтін сандар болып, негізгі қатынас қосу амалы болады).
2-мысал. Жазықтықтағы барлық геометриялық векторлар жиыны сызықтық кеңістік аксиомалары системасының моделі болады (мұнда негізгі объект геометриялық вектор болып, негізгі қатынастар векторларға қолданылатын сызықтық амалдар-қосу, векторды сан(скаляр)ға көбейту)
Анықтама: Аксиомалар системасынан бірін-бірі терісттейтін екі тұжырым келіп шықпайтын болса, бұл система қайшылықсыз( қарама-қарсы емес) система деп аталады. Керісінше, аксиомалар системасы қайшылықты система деп аталады.
Математикада қайшылықты системалармен жұмыс жүргізілмейді. Аксиомалар системасының қайшылықсыздығы қалай дәлелденеді?
Аксиомалар системасының қайшылықсыздығы осы система моделінің таңдап алынуына байланысты шешіледі. Егер тексерілетін аксиомалар тізімі берілген моделде орындалатындығы әйтеуір бір тәсілмен шешілсе және бұл модель объекттердің табиғатында қайшылыққа ұшырамаса,онда аксиомалардан бірін-бірі логикалық терістейтін екі тұжырым келіп шықпайтындығы, яғни бірде-бір фактты әрі дәлелдеп, әрі терістеп болмайтындығы белгілі болады. Мұны аксиомалардың қайшылықсыздығын дәлелдеу жолы дейміз.
Анықтама: Қайшылықсыз аксиомалар системасында әрбір аксиома сол системадағы қалған барлық аксиомалардың логикалық қорытындысы болмаса, мұндай аксиомалар системасы тәуелсіз система деп аталады.
Олай болса, аксиомалар системасының тәуелсіз болу талабы әрбір аксиоманың қалған аксиомалардың қорытындысы(нәтижесі, салдары) еместігін тексерумен дәлелденеді. Бұл мәселе төмендегідей шешіледі.
Аксиомалардың қайшылықсыз А1, А2,...,Ап системасына тиісті, мысалы, Ап аксиоманың тәуелсіз екендігін көрсету үшін бұл системадан Ап ді шығарып тастап, оның орнына Ап__ аксиома, яғни Апнің мазмұнын терістейтін тұжырым енгізіп, аксиомалардың жаңа системасын құрастыру және оның қайшылықсыз екендігін дәлелдеу керек.
Аксиомалар системасының бір аксиомасының тәуелсіздігі, яғни оның өзбетінше аксиома екендігі бұл системадағы аксиомалар санын кемейту мүмкін еместігін білдіреді.
Аксиомалар системасының толықтылығының мазмұны мыналарды білдіреді, яғни аксиомалар қоспай осы теорияға тиісті әрбір дауды осы системаға сүйеніп оның орындылығын немесе теріскейін айту мүмкін болсын. Бұл талаптың орындалуы әдетте система үшін құрылған екі модель арасындағы изоморфизм деп аталатын ұғымға негізделеді.
Анықтама: Аксиомалар системасының екі Е, Е1 моделінің негізгі объектті (нүкте, түзу, жазықтық) арасында өзара біртекті сәйкестік орнатылған болып, бұл сәйкестікте элементтер(объект) екі моделде де біртүрлі қатынаста болса, яғни, АЕ=А1Е1 болса, бұл екі модель изоиорф деп аталады.
Анықтама. Аксиомалар системасына тиісті кез келген тұжырымдардың дұрыс немесе дұрыс еместігін анықтау мүмкін болса, аксиомалардың бұл системасы толық (кемелденген) деп аталады.
Аксиомалардың қайшылықсыз С(сумма) системасы берілген болсын, осы система негізінде құрылған теорияның барлық тұжырымдарын үш сыныпқа жіктеу мүмкін:
С(сумма) және одан логикалық тұрғыда келіп шығатын қорытындылар жәрдемінде дәлелдеу мүмкін болған тұжырымдар.
С(сумма) және одан логикалық тұрғыда келіп шығатын қорытындылар жәрдемінде терістеу мүмкін болған тұжырымдар.
С(сумма) және одан логикалық тұрғыда келіп шығатын қорытындылар жәрдемінде дәлелдепте және терістепте болмайтын\ мүмкін болған тұжырымдар.
Демек, С(сумма)ның әйтеуір бір моделі құрастырылған болса, 1 сыныпқа кіретін тұжырымдар осы модельде орынды болады, 2 сыныпқа кіретін барлық тұжырымдар осы модельде орынды болмайды, 3 сыныпқа кіретін тұжырымдар осы модельде орынды болып, С(сумма) ның басқа сондай моделі бар болып, сонда бұл тұжырымдар орынды болмайды. Мұнан белгілі болғандай, С(сумма) ның кез келген екі моделі өзара изоморф болса, аксиомалардың мұндай системасы толық болады.
Демек, аксиомалардың әйтеуір бір системасының толықтылығын дәлелдеу үшін оның кем дегенде екі моделін алып, олардың өзара изоморфтығын көрсету жеткілікті.
Математикада аксиомалардың толық болмаған системасыменде жұмыстар жүргізілуі мүмкін. Мысалы, группа аксиомалары системасы төрт аксиомадан құралған болып, олар толық емес, себебі бұл системаның бір-біріне изоморф болмаған екі моделін көрсету мүмкін. Ақиқаттанда, рационал сандар жиыны қосу амалына сәйкес группа құрады, мұнан басқа барлық нақты сандар жиыны да қосу амалына сәйкес группа құрады. Бірақ, бұл екі модель арасында изоморф сәйкестік құру мүмкін емес, себебі рационал және нақты сандар жиыны арасында өзара біртекті сәйкестік жоқ.
1.2 Геометрияның алғашқы ұғымдары
Математиканың негізгі салаларының бірі -- геометрия, дүниеге ерте келіп, адамзат қоғамынын, даму тарихымен бірге жасасып келе жатқан ежелгі ғылым.
Ғылымның басқа салалары сияқты, геометрия да өмір талабынан, тіршілік қажетінен туған. Мұнан төрт мың жылдай бұрынғы тарихи деректерге карағанда, геометрияның, алғашқы элементтері Египет (Мысыр) топырағында, Нил дариясының бойында пайда болған. Бұлай болуының, себептері де бар еді. Нилдін, екі жағындағы құнарлы шағын жерді жыл сайын тасыған су басып кетіп отырған, сондықтан оны дәл өлшеп бөле білу қажет болған.
Сол ерте кездің өзінде египеттіктер төрт бұрышты жердің ауданын өлшеу үшін калыптасқан, тұрмыста дағдыға айналған мынадай формуланы қолданған:
Мұндағы а, Ь, с, д әріптері арқылы төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғаларының ұзындықтары белгіленген (1-сызба).
Әрине, бұл формуланы пайдаланып кез- келген төрт бұрыштың ауданын дәл табуға болмайды, тек бұрыштары тік немесе соған жақын келетін төртбұрыштың ауданын ғана анықтауға болады.
Ал геометрия деп аталынудың өзі гректің жер өлшеу (землемерие) деген сөзінен алынған. Қазірде бұл атау математиканың үлксн бір саласына ғылми термин болып сіңіп, кең ұғымға, пән атағына айналды.
Соңғы кездердегі ғылыми зерттеулерге қарағанда, вавилондықтардың гсометрия саласындағы табыстары египеттіктердікінен кем болмаған, тіпті бірсыпыра мәселелерді шешкендс вавилондықтар алда болған: олардың қолдаған тәсілінеи алгебраның бастамасында аңғаруға болады.
Сөйтіп, геометриялық ғылыммен, алғаш жер өлшеу, үй салу тағы сондай тіршілік әрекеттерінен туып, сонан бірте-бірте терең абстракциялық бейнелерді кең шолитын, оларды мүлтіксіз логика тәсілімен зерттейтін, үнемі дамыған ғылым болды.
Қазіргі геометрия өзінің алғашкы дәрежесінен әлде қайда жоғары сатыға көтеріліп, теория жағынан терең бойлап, кең өріс алғанымен, практикадан қол үзбей, онымен байланысын күшейте түсуде.
Негізгі геометриялық ұғымдардың кейбіреулерінің қайдан шыққаны туралы айта кетейік.
Геометрияға ертеден сіңіп, ал қазір тіпті әдетке айналып кеткен терминдердің көбі тұрмыста кездесетін заттардың, қүбылыстардың аттарынан алынғанын көреміз. Мысалы, нүкте орыстың ткнуть, уколоть -- тесу, шаншу деген сөзінен, ал түзу латынның кендір жіп деген сөзінен алынғаны айқын. Геометрияда нүкте, түзу деген ұғымдар өзінің тікелей мағынасын жойып, абстракциялық түсініктерге айналған. Сондай-ақ, грекше доптың атауы сфера, ойын сүйегі -- куб, қарағайдың безі -- конус тағы сондай атаулар геометриялық нақтылы ұғым беріп, төл терминге айналып кеткен. Көзге іліне қоймайтын керулі жіп түзу бейнесін берді десек, бір шеті бекітілген жіп циркуль орнына қолданылған. Жіпті тарту арқылы көпбұрыштарды сызу әдісі де ертеде көп қолданылған. Ол былай тұрсын, ежелгі Қытай мен Индия елдерінде тіпті геометрлер өздерін жіп тартушылар деп те атаған.
Геометрияның кайдан және қалай шыққаны туралы әр түрлі пікірлер бар. Мысалы, Аристотельдің (б. э. д. 384 -- 322 ж.)' айтуынша, математиканы алға бастырып дамытқан -- ғұлама абыздар (жредтер), олар бос уақытының бәрін математика теориясын шығаруға жұмсаған.
Мүмкін, абыздардың(жрецтердің) математика теориясымен көбірек шұғылдануға уақыт тапқандары рас та болар, бірак, олар математиканы өз ойларынан шығарды деу шындыкқа үйлесе қоймайды. Өйткені олардан бұрынғы практикада қолданылған математикалық фактілер жеткілікті болуға тиісті. Әрине, жрецтер сол фактілерді зерттеп, жинастырып, жүйеге келтіруге ат салысып, оларды ұрпақтан - ұрпаққа жеткізуге көмектескені рас болар , олар сол кездегі сауатты адамдар болды да, мәдениет мәселелеріне назар аударып отырды.
Геометрияны бір жүйеге келтірген шын ғалымдардың ішінде есімі тарихқа енбсй, ұмытылып қалғандары да аз емес, өйткені математиканың кейбір тараулары тым алыстан, адам баласының ең алғашқы саналы қадамынан басталады да, көптеген деректер сақталмаған. Геометрия ең көне пәндердің бірі болып табылады. Бізге жетіп келген тарихи мұраларға сүйенсек, геометриядан алынған алғашқы мәліметтер Үндістанда, Вавилонда, Мысыр және Қытайда пайда болып, олар таза практикалық талаптарды қанағаттандырған.
ЕВКЛИДТЕН БҰРЫНҒЫ ГЕОМЕТРИЯ
Бастауыш геометрияның ең бірінші авторы гректің атақты математигі Евклид (б. э. д. 330 -- 275 ж.) өзінен бұрынғы ғасырлар бойы жиналғаи деректерді бір кітапка сыйғызьп, Негіздер деген атпен оқулық жазған. Одан бұрын талай геометрлер ғылымға көп еңбек сіңіргені даусыз. Бірақ олардың тек кейбіреулері туралы ғана көмескі деректер сақталған.
Тарихи деректерге қарағанда, геометрия ертедегі Египет пен Вавилоннан Грецияға ауыскан.
Басқа елдердің ғылыми табыстарын үйреніп, оларды өз еліне таратқан, өз жерінде онан әрі дамытуға алға бастырған грек ғалымдарының есімдері тарихта түгел сақталмағанымен біздің жыл санауымызға дейінгі VII -- VIII ғасырларда геометрия ғылымын зерттеп дамытқан ғалымдар Фалес, Пифагор, Демокрит, Платон, Евдокс төңірегінде топтасқан ғалымдар екені анық. Ғалымдарды топтастырушы ұстаз болған осы Фалес, Пифагор, Демокрит, Платон, Евдокс туралы азды-көпті деректер келтірейік.
Милсттік Фалес (б. э. д. 624 -- 548 ж) -- Ежелгі заманның жеті данышпанының біріншісі деп аталған ғалым. Бұл өзінің ұзақ өміріндс ғылымның көп салаларында еңбек етіп, елеулі із қалдырған. Астрономия, философия, математика салаларында көп мұра қалдырумен қатар, ол мемлекеттік және моральдық зандарды да, жазып, өз заманында әйгілі адам болғаны мәлім.
Фалес геометрияның бірсыпыра теоремаларын түжырымдап айтып, дәлелдеген. Мысалы, диаметрдін, шеңберді қақ бөлетіндігі, тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштарының өз ара тендігі, вертикаль бұрыштардын өз ара теңдігі. туралы теоремалар, жарты шенберге іштей сызылған бүрыштын, тік болатындығы туралы теорема, үшбұрыш өзінің бір қабырғасы мен сол қабырға мен іргелес екі бұрышы бойынша анықталатындығы туралы теорема, тарихшылардын айтуынша, Фалес дәлелдеген теоремалар.
Математика тарихшыларынын. кейбіреулері Фалестің кезінде логикаға сүйенген, анықтамалар мен аксиомаларға негізделген геометрия болуға мүмкін емес еді деген пікірді қолдайды. Бірак, Прокл мен Евдокс өз тұсындағы математиканы олардан мың, жыл бұрын өмір сүрген Фалеске таңды деудің қисыны келмейді. Біздің жыл санауымыздан 500 -- 600 жыл бұрын ғана емес, онан мың, жыл бұрын да математика жүйеге келтірілген ғылым болды деген пікір көп мәліметтермен дәлелденеді. Қалайда Фалес және басқалар Вавилон мен Египетте сөне бастаған математиканы Греция топырағына көшіріп, оның қайта өркендеп, дамуына жол ашты деген пікірге ешкім таласа алмайды.
П и ф а г о р (б. э. д. 580 -- 500 ж.). Самостық Пифагордың атағы тек математиктерге ғана емес, мектепте оқыған жастардың, бәріне әйгілі. Онын, тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының, квадраты онын, катеттерінің квадраттарының қосындысына тең деген теоремасы (с[2] = а[2] + Ь[2])көпшілікке әйгілі ақиқат ретінде екі жердегі екі -- терт дегендей үғымға айналды.
Пифагордын өмірбаяны туралы мәлімет аз болғанымен, онын, атағы тым зор. Ол Самос аралында туып, жасында Египет пен Вавилонияны аралап, математика, астрономия және философия ғылымдарын сонда оқып үйренген. Одан кейін Италияға көшіп, Сицилияда өзінің. атақты Пифагор мектебін ұйымдастырған. Бұл мектеп математика мен астрономиянын дамуына үлкен әсер еткендігі мәлім..
Пифагор және онын, шәкірттерІ астрономия мен математиканың талай мәселелерін зерттеген, маңызды-маңызды теоремаларды дәлелдеген. Мысалы, мынадай теоремаларды атауға болады: 1) үшбұрыштын ішкі бұрыштарының қосындысы туралы теорема; 2) жазықтықты дұрыс үшбұрыштарға, төртбұрыштарға, алтыбұрыштарға дәл бөлуге болатындығы туралы теорема; 3) квадрат теңдеулерді геометрияша шешу әдісі; 4) өлшемдес емес кесінділердің болатындығы туралы теорема т. б.
Бүл келтірілтен теоремалардың әрқайсысы ол кездегі математика жағдайында ірі табыс еді, алайда ең ірі табыс деп өлшемдес емес кесінділер туралы теореманы тануға тура келеді.
Жоғарыда аталған тік бұрышты үшбұрыш туралы теорема жайында бірер сөз айта кетуге тура келеді. Пифагордан бұрын қабырғалары 3, 4, 5 сандарына тең, египеттік үшбүрыш деп аталатын үшбұрыш белгілі болған. Оның қабырғаларының арасындағы байланыс мына теңдікпен өрнектеледі: 32 + 42 =52. Ал Пифагор мұны жалпы түрде, кез келген тік бұрышты үшбұрыш үшін дәлелдеген (с2 = а2 + Ь2). Мұндай жалпылап топшылау математиканың Пифагор мектебінде жоғары сатыға көтерілгендігін көрсетеді.
Пифагорлықтар сандар туралы, олардың ерекше қасиеттері туралы көптеген жалған пікірлер айтқан. Достық, қуаныш, бақыт тағы сондай халықтық ұғымдар сандарға тәуелді, соларға бағынышты деп үйреткен. Дгожина бақыттың, шайтан дюжинасы бақытсыздықтың нышаны деген соқыр сенім Пифагор тұсынан бері келе жатуы мүмкін.
Пифагор мектебіндс Пифагордыц жеке басына табыну, мистикаға салыну, ғылыми табыстарын көпке дейін жасырын сақтап, жариялағанда ұстаздың табысы деп санау әдетке айналған; онда шыққан геометрия оқулығын Пифагордың мұрасы деп атау міндет болған.
Дегенмен Пифагор және оның шәкірттері өз тұсындағы математика табыстарын бслгілі ғылыми жүйеғе келтіріп, келесі III ғасырдағы грек математикасының дамуына үлкен жағдай туғызып, оның өрлеуіне көп себепкер болған .Сондықтанда Пифагордың атағы мыңдаған жылдар бойы даңққа бөленіді.
Д е м о к р и т (б. э. д. 460 -- 370 жылдар шамасы) және Платон (б. э. д. 427 -- 347 ж.). Ежелғі грек ғылымының атақты уәкілдері Демокрит пен Платонды атамай кетуге болмайды. Бұлардың әрқайсысы тарихтан, әсіресе философия тарихынан, көрнекті орын алады. Екеуінің дүниеге көзқарасы бірі-біріне қарама-қарсы болғанмен, әрқайсысы философия мсн математикаға өз үлесін қосып, бағалы пікірлер айтқан. Демокрит -- материалист, Платон идеалист. Маркстін, Демокритті гректердің бірінші энциклопедиялық ақылды адамы деп жоғары бағалағаны көпшілікке мәлім.
Аристотельдің айтуынша, Демокрит ғылымның барлық салаларынан хабардар болып, өзінше пікір айтқан ғалым. Ол философия, математика, физика, метеорология, зоология, эстетика мәселелерімен шұғылданып, көптеген еңбек жазған. Демокриттің, философия саласындағы аса құнды пікірі -- оның бөлінбейтіндер -- атомдар туралы пікірі. Математика тарихшыларынын, айтуынша, Демокриттің бүл пікірі геометрияда үлкен роль атқарған. Бөлінбейтіндер методына сүйеніп, Демокрит пирамида мен конустын, көлемдері туралы теорсмаларды тапқан. Кейінде Демокриттің бұл методын Архимед пайдаланып, аудан мен көлем жөнінде бірсыпыра жаңалықтар ашқан. Екі мын жылдан аса уақыт өткеннен кейін де Демокриттің бөлінбейтіндер методын Декарт, Кавальери, Паскаль сияқты ғалымдар пайдаланған. Демек, жаңа математиканың айнымалылар математикасының -- негізін салуға Демокриттің де қатысы бар деуге болады.
Платон да ғылыми өмірдің қайнаған ортасында өмір сүріп, көптеген грек философтары мен математиктеріне ұстаз болған, академия құрып, оны басқарған. Сонымсн катар өз тұсындағы математика кемеңгерлерінен сабақ алып, математикаға ерекше назар аударған. Геометрияны білмейтіндерге академияның есігі жабық, -- деген шартты жариялаған да Платон болған. Бұл шартты ол академия есігінің кірер алдына қақтырып қойыпты деген аңыз бар. Шынында, геометрияның негізгі анықтамалар мен аксиомаларға сүйеніп ғылыми жүйеге түсуіне, оның логикалық пән болуына Платон бірінші қатысқан ғалым. III ғасырда геометриянын, толық оқулығын жазып шығарған Евклидті де Платонның, шәкірті деп санайды.
Е в д о к с (б. э. д. 410 -- 356 ж.) өз кезіндегі аса білімді адамдардың бірі болған. Астрономия, математика, механика мәселелерімен шұғылданған. Математика саласындағы аса маңызды еқбектерінің, бірі -- пропорция теориясы. Кейін Евклид өзінік Негіздерінде осы теорияны пайдаланған. Евдокстің, математика ғылымына сіңірген кұнды еңбегінің екіншісі -- түгесу методы (метод исчерпывания). Осы методты қолданып, Евдокс пирамиданың, конустың, шардың көлемдерін тапқан.
Геометрияның Евклидке дейінгі даму үдерісіне қысқаша назар аударайық. Эрамыздан алдыңғы 7-6 ғасырларда Грецияның Милет қаласында жасаған Фалес өз дәуірінен алдын жинақталған тәртіпсіз геометриялық факттерді жалпылап, логика заңдылықтары негізінде дәлелдеуге қарекет жасаған. Фалес мынадай теоремаларды дәлелдеген:
Диаметрге тірелген іштей сызылған бұрыш тік бұрыш.
Дөңгелектің диаметрі оны тең екіге бөледі.
Вертикал бұрыштар тең
Тең қабырғалы үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең және басқалар.
Эрамызға дейінгі 6-5 ғасырларда геометрия көбірек Италияда дами бастаған. Бұл дәуірді Пифагор дәуірі деу мүмкін. Бұл дәуірде де факттерді ғылыми негіздеуге қарекеттер болған. Төмендегі теоремалардың логикалық дәлелдеуі де осы дәуірге сәйкес келеді.:
Үшбұрыш ішкі бұрыштарының қосындысы 180 градусқа тең.
Жазықтықты дұрыс үшбұрыштар, төртбұрыштар және алтыбұрыштармен орап шығу мүмкін.
Тік бұрышты үшбұрыш гипотенузасына жасалған квадрат ауданы катеттерге жасалған квадраттар аудандарының қосындысына тең.
Мұнан басқакөптеген мәліметтер де осы дәуірдің табысы болған. Мысалы, квадрат теңдеуді геометриялық шешу әдісі, дұрыс көпжақтың бес түрі (тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, және икосаэдр). Жетіскен табыстардың ең маңыздысы- жалпы өлшемге ие болған кесінділердің бар болуын дәлелдеу үлкен ғылыми табыс есептелінеді.
Эрамызға дейінгі 4 ғасырда геометрияның даму орталығы Афина қаласына көшті. Математика ғылымының бұл дәуірдегі дамуында Платон, Аристотель, Демокриттің философиялық мектептері және Евдокс, Менехм сияқты үлкен математикатердің үлесі үлкен болды. Бұл ғылыми мектеп мүшелері төмендегі екі мәселені шешуді қарастырғаны мәлім:
Геометрияны ғылыми негізде баяндау қағидалары, оның тұжырымдарын аксиома, анықтама және теоремаларға ажырату;
Дәлелдеудің формасы мен әдістерін жарату: анализ, синтез, кенісін ұйғару әдісімен дәлелдеу және тағы басқалар.
Бұл мәселелер негізінен логика ғылымының жаратушысы Аристотель (эрамызға дейінгі 384-322жылдар) еңбектерінде жарық көрген. Қорытындылай келе , Евклидке дейінгі дәуірде пәнді (әсіресе геометрияны) дедуктив негізде құрудың негізгі қағидалары кемелденіп орындалған, олар мыналар:
Негізгі ұғымдар(объекттер, оларды байланыстыратын қатынастар) келтіріледі;
Барлық керек аксиомалар баяндалады;
Теоремалар келтіріледі;
Әрбір теорема өзінен алдыңғы теоремаларға және аксиомаларға негізделіп дәлелденеді;
Жаңа енгізілген ұғымдарға анықтамалар беріледі.
Геометрияны дедуктивтік принциптерде(қағидаларда) құруды грек ғалымы Евклид өз заманасына сай қанағаттанарлықтай етіп шешті, 13 кітәптен тұратын Негіздер атты еңбегін жазды.
1.3 Евклид және оның геометриясы
Евклид өмірі жайлы бізге толық мәлімет жетіп келмеген. Ол біздің эрамызға дейінгі 300 жылдарды өмір сүрген болып, Птолемей патшалық жасаған дәуірде математикадан сабақ берген және патша ұйымдастырған музейдің математика бөлімін ашқан. Аңыз бойынша , күндердің бірінде патша Евклидті шақырып геометрияны үйренуге Негіздерден де қысқа жол барма? деп сұрағанда Евклид өркөкіректікпен былай деген екен: Геометрияда патшалар үшін арнайы жол жоқ. Мұнан басқа Евклидтің Оптика және басқа еңбектеріде белгілі.
Гректің ұлы математигі Евклидтің (б.э.д.330 --
275ж.) өткен дәуірлерден мұра болып қалған, түрліше
әдебиеттер мен трактаттарда және олардан басқа да де-
ректерде бытырап жүрген геометриялық фактілерді мұ-
қият жинастырып, жүйеге келтіріп, ғылыми анықтамалар
мен аксиомаларға негізделген келесі еңбек жазғаны, оны
Негіздер (латынша Элементтер) деп атағаны көп-
шілікке мәлім. Бул оның атағын бүкіл әлемге әйгілі еткен
мәңгілік мұра боп саналады. '
Сөйтіп, Евклидтің Негіздері оған дейінгі геометриялық табыстардың қорытындысы, автордың педагогикалық және ғылми зерттеулердің нәтижесі болып есептеледі.
Адамзат тарихында Евклидтің Негіздер шығармасы мен салыстыру мүмкін болған және әлі күнге дейін өз қадірін жоғалтпаған, өз заманасына сай терең ғылыми негізде жаратылған бірде-бір шығарманы көрсетуге болмайды. Оның тек қана 1482 жылдан бастап 500 реттен көбірек қайта баспада жарияланғандығы және дүниедегі өте көп тілдерге аударылғандығы жоғарыдағы пікірді растайды.
Негіздер он үш кітаптан құралады, ол .дүние жүзінің түрлі тілдерінде 500-ден аса рет басылып шығыпты.
Евклидта талай ұрпақ оқулық ретінде пайдаланған бұл Негіздері кейбір елдерде (Англия) қазірдің өзінде де оқулық больп саналады, өйткені ол ғылми-меодикалық жағынан өте жатық жазылған, сонымен қатар онда дедукциялык метод кең турде қолданылып, ол түжырымды, жүйелі түрде жазылған.
Евклид өзінің Негіздері арқылы бүкіл дүниеге әйглі ғалым болғанымен, оның өз өмірі туралы мәліметтер тым аз кездеседі. Оньщ комментаторы, одан жеті жүз жыл ксйін больш өткен Проклдің айтуынша, Евклид Александрияда, Птолемей патшаның кезінде өмір сүргсн. Тарихшылардың айтуынша, Евклид өте адал, шын-шыл, кіші пейілді адам болған, ғылымға мейліншс берілген, ғылым жолын катты ұстаған ғалым болған. Проклдің айтуынша, Птолемей патшаның геометриямен айналысу себебі
-- . Геометрияда Негіздерде көрсетілген әдістерден басқа жеңіл жол бар ма? -- деп қойған сұрағына;
-- Геометрияда патшаларға арналған жеңіл жол жоқ, -- деп Евклид жауап беріпті. Қүдіретті патша алдында тайсалмай осылайша жауап беруін оның, шыншылдығының, ғылымға шексіз берілгендігінің бір мысалы деп тануға болады.
Енді сол Негіздердің мазмұнына қысқаша тоқтайық.
Евклидтің Негіздері -- он үш кітап. Алғашкы алты кітабы планиметрияға, келесі үш кітабы бүтін сандардың теориясына арналған, ал оныншы кітабында иррационал сандардың геометриялық теориясы жөнінде айтылып, солардың үш кітабында стереометрия туралы баяндайды. Евклидтің Негіздері бастауыш математиканы түгелінен қамтиды, тек кейіннен зерттеліп қосылған кейбір арнаулы мәселелерден басқа бастауыш математика түгелімен бұл шығармаға кірген деуге болады.
Біздің, ерекше көңіл бөлетін мәселелсріміз сол алғашқы алты кітапта баяндалған. Бірінші кітапта үшбұрыштардың тең болу шарттары, үшбүрыштардың қабырғалары мен бүрыштары арасындағы қатыстар,үшбұрыштарды жасау, түзулердің параллельдігі мен перпендикулярлығы, параллелограмдардың қасиеттері, үшбұрыштар мен көпбүрыштардың тен шамалы болуының шарттары, көпбұрышты тең шамалы үшбұрыштарға түрлендіру мәселелері және Пифагор теоремасы қарастырылған.
Екінші кітапта (а+в)2 =аа+2ав+в2, (а-в)в=ав+в 2 және осы сияқты тепе-теңдіктер геометриялық формада талданады. Бұл кітәп квадрат теңдеуді геометриялық әдіспен шешумен аяқталады. Мұнда фигуралардың теңдігі жөніндегі кейбір теоремалар қарастырылған.,
Үшінші кітап шсңбер туралы. Мұнда негізінен шеңберге өткізілген жанама, қиюшы, центрлік бұрыштар, іштей сызылған бұрыштар қараған.
Төртінші кітапта шеңберге іштей және сырттай сызылған көпбүрыштарға арналған болып, дұрыс төртбұрыш, бесбұрыш, алтыбұрыш және онбесбұрыштарды жасау көрсетілген.
Бесінші кітапта пропорция теориясы баяндалады. Бұл тсорияны қазіргі математикада үлкен орын алатын иррационал шамалар теориясынық негізі деп санауға болады. Осы заманғы математиканың бір негізгі үғымы болып саналатын Дедекинд аксиомасының негізін де осы теориядан іздеу керек.
Бесінші кітапта тағы бір тамаша аксиома келтірілген, ол Архимед аксиомасы. Архимедтін, көптеген аксиомаларының ішінде бүл аксиома ерекше орын алады, сондыктан оны келтіре кетейік: Кез келген екі кесіндіні салыстырғанда, қысқа кесіндіні жеткілікті есе қайталасак, ұзын кесіндіден асьш түседі.
Алтыншы кітапта пропорциялар теориясының қолданысы ретінде көпбұрыштардың үқсастығы теориясы мен көпбұрыш аудандарын табу берілген. Бұл кітап жоғарыда аталған екінші кітаппен мазмұндас.
Жетінші , сегізінші және тоғызыншы кітаптар арифметика және сандар теориясына арналған. Бұл кітаптардағы екі бүтін санның ең үлкен ортақ бөлгішін табу алгоритмі көңіл аударарлықтай өте маңызды болып, тағы да жай сандардың шексіздігі дәлелденеді.
Оныншы кітапта иррационал сандар теориясы қаралады.
Он бірінші, он екінші және он үшінші кітаптар стереометрияға арналған болып, оларда көпжақтар, айналу денелері және олардың көлемдері қаралып, дұрыс көпжақтар жайлы мәліметтер беріледі.
Евклид Негіздерінің әр кітабы жүйеді тәртіппен жазылган дедік. Біріншіден, бірқатар анықтамалар, одан кейін постулаттар мен аксиомалар келтіріледі, акырында соларға сүйене отырып теоремалар дәлелденеді. Бұл әдіс бастан аяк бұлжытылмай қолданылып отырады. Аристотель зерттеп шығарған мұндай логикалық әдіс ғылымның көп салаларына кең тарап. дәстүрлі жолға айналған.
Евклид дәлелдемелерінде барлык, жағдайды талдап, күмән қалдырмауды көздеген. Дегенмен күмән туғызатын мәселелер де кейіннсн табылып, олардың кейбіреулері ғасырлар бойы ғылыми ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Математикалық құрылымдар және евклидтік емес геометриялар ... ...
Математикалық структура ұғымының мәні ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Геометрияның алғашқы ұғымдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Евклид және оның геометриясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Бесінші постулат және оны дәлелдеу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Бесінші постулатқа эквивалентті (мәндес) ұйғарымдар ... ... ... ... .
Бесінші постулат проблемасы және оны дәлелдеу әдістері ... ... ... ... ...
Бесінші постулат проблемасының шешілуі ... ... ... ... ... ... ... .
Евклидтік емес геометрияның ашылуы ... ... ... ... ... ... ... . ... .
Лобачевский және оның геометриясы.Лобаческий аксиомасы ... ... ... ... .
Гильберт аксиомалар жүйесіне шолу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Д.Гильберттің Геометрия негіздері ... ... ... ... ... ... ... ..
І- топ.Тиістілік аксиомалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ІІ-топ.Реттілік аксиомалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
ІІІ-топ.Конгруэнттілік аксиомалары ... ... ... ... .
ІV-V-топтар.Үздіксіздік және паралельдік аксиомалары ... ... ... ... ... ...
Вейль аксиомалар жүйесі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ...
Үш өлшемдік Евклидтік кеңістіктің Вейль аксиомалар жүйесі ... ... ... ..
Векторлық кеңістіктің аксиомалары ... ... ... ... ... ... .
Вейль аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы ... ... ... ... .
Вейль аксиомалар жүйесінің тәуелсіздігі ... ... ... ... .
Вейль аксиомалар жүйесінің толықтығы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Вейль аксиомалар жүйесінде негізгі геометриялық ұғымдарды анықтау ... ..
Вейль аксиомалар жүйесінде кейбір теоремаларды дәлелдеу ... ...
Мектеп геометриясының аксиомалар жүйесі ... ... ... ... ... .
Колмогоровтың геометриялық аксиомалар жүйесі ... ... ... ... ... ...
Погореловтың геометриялық аксиомалар жүйесі ... ... ... ... ... ... ..
А.Д.Александровтың геометриясының аксиомалар жүйесі ... ... ... ... ... .
Л.С.Атанасянның геометриясының аксиомалар жүйесі ... ... ... ... ... ... .
Мектеп курсы геометриясының логика-аксиоматикалық құрылымы ... ... .
Лобачевский аксиомасы мен түзулердің паралельдігі.Лобачевский жазықтығындағы үшбұрыштар мен төртбұрыштар ... ... ... ... ... .
Лобачевскийдің аксиомасы ... ... ... ... ... ... .. ... ...
Лобачевский бойынша түзулердің паралельдігі ... ... ... ... ... ... ... .
Паралельдік бұрышы ... ... ... ... ... ... ...
Лобачевский жазықтығындағы үшбұрыштар мен төртбұрыштар ... ... .
Парлель және ажырасатын түзулер ... ... ... ... ... ...
Паралель түзулердің өз-ара орналасулары ... ... ... ... ... ... .
Ажырасатын түзулердің қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... .
Лобачевский жазықтығындағы кейбір сызықтар ... ... ... ... ...
Түзулер шоғы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Тең көлбеулі қиюшылар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Жазықтықтағы сызықтар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Лобачевский кеңістігіндегі түзулер,жазықтықтар мен беттер туралы ... ...
Түзулер мен жазықтықтар және олардың өзара орналасуы ... ... ... ...
Лобачевский кеңістігіндегі беттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Лобачевский планиметриясының қайшылықсыздығы,паралельдік аксиомаларының тәуелсіздігі.Лобачевский жазықтығының кейбір интериретациясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Пуанкаре интерпретациясы ... ..
Кэли-Клейн интерпретациясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Евклидтік геометрияларға қысқаша шолу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Сфералық геометрияның негізгі ұғымдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Риманның эллипстік геометриясы ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Вейль схемасындағы Лобачевскийдің гиперболалық геометриясы ... ... ..
Псевдоевклидттік кеңістіктер ... ... ... ... ... ... ...
Гиперболалық кеңістіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы ... ... ... ... ... ... ... .
Кэли-Клейннің проективтік моделі ... ... ... ... ... ... ... . ...
Геометриялық шамаларды өлшеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Кесінділерді өлшеу.Кесінді ұзындығы,оның бар болуымен жалғыздығы ... ... ... ...
Көпбұрыштың ауданы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Тең шамалы және тең құрамды көпбұрыштар ... ... ... ... ... ..
Көлем теориясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Кіріспе
Геометрия негіздері пәнінен ұсынылып отырған оқу құралында геометрияның логика-аксиоматикалық негіздері және евклидттік емес геометрияларды зерттеу әдістері қарастырылады.Оқу құралында математикалық құрылым ретінде евклидттік геометрияның Гильберт және Вейль бойынша теориялық негіздемелері қарастырылған.Евклидттік емес геометриялардың математикалық құрылымдары мен олардың интерпретациялары келтірілген.
Геометрия негіздері пәнінің ең таңдаулы тарауларының бірі Лобачевский геометриясының логикалық құрылымы мен модельдері зерттелген.
Геометрияның негізгі бөлімдерінің бірі өлшеулер теориясы егжей тегжейлі қарастырылып,мектеп геометриясының оқулықтарына шолу жасалды.
Геометрия негіздері пәні жоғарға геометрияның ең негізгі бөлімдерінің бірі болып табылады.Бұл пән келешек математика пәні мұғалімдері үшін ең қажетті пәндердің бірі болып табылады.
Оқу құралы автордың көп жылдардын бері оқыған лекциялары және орыс тіліндегі [1,2] оқу құралдары негізінде құрастырылған.
Бұл оқу қрылымы физика-математика мамандығының студенттеріне және жоғары геометрия пәнін оқитын студенттер мен оқытушылар үшінкөмекші құрал ретінде пайдалы болады деп санаймыз.
Осы оқу құралының электрондық нұсқасы қашықтықтан оқитын студенттерге де өте қажет болады.
1.Математикалық құрылымдар және евклидтік емес геометриялар
1.1 Математикалық құрылым ұғымының мәні
Кез келген А жиын берілген болсын. Осы жиында бір немесе бірнеше қатынастарды анықтау және сол қатынас(қатынастар) орындалатын шарттарды (аксиомаларды) беру мүмкін. Бұл жағдайда А жиында структура анықталған дейміз. Сонан соң берілген аксиомалардан структураның кейбір қасиеттерін келтіріп шығару мүмкін. Бұл қасиеттер, әдетте, лемма, теоремалар түрінде баяндалады. Структураны кеңірек үйрену нәтижесі оны сипаттайтын ерекшеліктерін ашу мүмкіндігін береді. Структураға тиісті мәліметтерді белгілі бір системаға салу, яғни үйреніп отырған структураның теориясын жарату мүмкін. Бұл теория А жиындағы структураның аксиоматикалық теориясы болады. А жиынның элементтерінің табиғаты мұнда ешқандай роль атқармайды.
Математикалық құрылым ұғымын қалыптастыру әлемді танудың маңызды ғылыми құралы - аксиоматикалық әдістің дамуымен байланысты. Мәселе мынада, қазіргі кезде осы күнгі математиканың көптеген бағыттары тек қана аксиоматикалық әдістің, яғни, сәйкес аксиомалар жүйесінің аксиоматика негізінде құрылады. Ал математика ғылымының әр саласына тән аксиомалардың өзі ұзақ және күрделі тарихи даму процесінде пайда болды. Бастапқы мәліметтер адамның практикалық қызметінің нәтижесінде жинақталады, қордаланады. Осындай мағлұматтарды тексереді, нақтылайды, жүйелейді және басқадай бастапқы мәліметтерден шығарып алу мүмкін болатындары олардың ішінен алынып тасталады. Кейде, қалған қарапайым
мәліметтер аксиома тізімінің толық еместігі байқалады, яғни бұл мәліметтер барлық теоремаларды қорытуға жеткілікті бола алмайды. Мұндай жағдайда бұл тізімге жетпей тұрған аксиомалар қосылады. Нәтижесінде аксиомалардың толық жиынтығы аксиоматика қалыптасады. Осындай аксиоматика жүйесі негізінде қазіргі математиканың ондаған бағыттары дамуда, олардың қатарына: қарапайым элементар математиканың аксиоматикасы, натурал санның аксиоматикасы, метрикалық және векторлық кеңістіктің аксиоматикасы, сан өрісінің аксиоматикасы, группаның аксиоматикасы, ықтималдықтар теориясының аксиоматикасы, математикалық құрылымдардың аксиоматикасы және басқалар жатады.
Егер кез келген жиын элементтерінің арасында тұжырымдардың аксиомалардың белгілі жүйесімен сипатталатын қандай да қатынас анықталса немесе операция тағайындалса, онда осы бір жиында математикалық құрылым анықталған дейді.
Құрылым ұғымының басты ерекшелігі - табиғаты әр алуан болатын жиын элементтеріне оның жарамды болатындығында және де қарастырылатын қатынастар немесе операциялар сипатының таңдалу тұрғысынан жоғары дәрежеге ие екендігінде.
Сондықтан белгілі аксиомалардың жиынтығымен қандай да бір жиын элементтері ие болатын қатынастар мен операциялардың мәнді қасиеттері сипатталады.
Шексіз көп әралуан құрылымдар бар және олардың жиынтығын белгілі бір ретпен оқу, зерттеу математиканың әр түрлі бөлімдерінің мазмұнын құрайды. Бұл қазіргі математиканы құрастыруға, яғни оны аксиоматикалық әдіспен құрылымдардың жүйесі ретінде көрсетіп берудің мүмкіндігін білдіреді.
Математикалық құрылымдардың типі және олардың сипаттамасы
Математика ғылымында құрылым терминін енгізген Н.Бурбаки барлық математиканың іргетасын құрайтын бірнеше негізгі құрылымдарды ғана анықтады.
Нақтырақ айтқанда, олар бір-біріне келтірілмейтін құрылымдардың үш типін: алгебралық құрылымдарды, реттік құрылымдарды, топологиялық құрылымдарды анықтады дегенмен, Бурбакилердің өздері негізгі құрылымдардың саны түпкілікті анықталды деп есептемейді.
Математикалық құрылымдар аксиоматикасының мән-мағынасына тереңдемей, құрылымдардың негізгі типтерін жалпы түрде ғана қарастырайық.
Алгебралық құрылым
а Жиындардың тобын, яғни әр алуан сипаттағы элементтерден және онда анықталған операциялардан құралған әр түрлі жиындарды қарастырайық. Әрбір жиынды құрайтын элементтердің табиғатына назар аудармай, осы қарастырып отырған топқа енетін кез-келген жиынды А={х,у,z,...} символымен белгілейік. А жиынында анықталатын операцияны f арқылы белгілейік. А жиынына тиісті кез-келген х және у элементтері үшін осы жиыннан сәйкес операцияның нәтижесі болатын z элементі табылады, яғни
z=f (х,у)
Осында қарастырылатын жиындардың әрқайсысында анықталған операциялардың барлығы үшін ақиқат болатын жалпы қасиеттерді бөліп көрсетейік.
Коммутативтік: =f (у,х)
Ассоциативтік: f (f (х,у), z) = f (х, f (у, z ))
Қайтымдылық: f (х,у) = у
Жалпы түрде өрнектеліп көрсетілген осындай үш қасиетті негізгі аксиомалар ретінде қабылдап, осы аксиомалар жүйесінен қарастырылып отырған жиындар тобына енетін А,f жиынының кез-келгені үшін ақиқат болып табылатын басқа да салдарлар мен теориялық тұжырымдарды қорытып шығаруға болады.
Жоғарыда қарастырылған қасиеттермен аксиомалармен сипатталатын А,f жиынын коммутативтік топтың құрылымымен жабдықталған дейді. Осындай группаның құрылымы алгебралық типтегі құрылымның мысалы бола алады.
Анықтама: А жиында берілген қатынас А дағы екі элемент арқылы үшінші элементті бір текті(қалыпты) анықтаса, әдетте мұндай қатынас композиция заңы деп аталады.
Анықтама: Егер структура анықтамасындағы қатынас композиция заңынан тұрса,мұндай структура алгебралық структура деп аталады.
А жиында анықталған композиция заңы(бинарлық амал) әртүрлі болуы мүмкін. * амал А дағы бекітілген бір композиция заңы болсын. Сонда * амал А жиында алгебралық структура (А, *) ны анықтады дейміз. А жиында анықталған түрлі композиция заңдары түрлі алгебралық структураларға алып келеді.
Алгебралық құрылымға мыналар жатады: топтар, сақина, өріс, Булл структурасы, т.с.с.
Реттік құрылым
б Алдыңғы жағдайдағыдай қандай да бір жиындардың тобын қарастырайық және бұған енетін әрбір жиын элементтерінің арасында қатынастар анықталсын.
Өткен жағдайға ұқсас қарастырылатын жиындар тобына тиісті кез-келген жиынды А={х,у,z,...} символымен, ал онда анықталатын қатынасты - Р символымен белгілейік. Осындай жиындардың әрқайсысында анықталған қатынастар үшін ақиқат болып табылатын жалпы қасиеттерді бөліп көрсетейік.
1. Рефлексивтік:
2. Антисимметриялық:
3. Транзитивтік:
Бастапқы аксиомалар ретінде осы үш қасиетті қабылдап барлық тұжырымдарды жиындар тобына енетін кез келген А,Р жиыны үшін де сәйкес қағидалар ақиқат болып табылатын жалпы теория құруға болады. Жоғарыда қарастырылған қасиеттермен аксиомалармен сипатталатын А,Р жиынын қатаң емес реттік құрылымымен жабдықталған дейді. Бұл құрылым реттік типтегі құрылымның мысалы бола алады.
Анықтама: Егер кез келген А жиында 1-3 аксиомаларды қанағаттандыратын Р қатынас берілген болса, оны А жиында реттік структура анықталған деп атайды.
Мысалдар келтірейік: 1) Нақты сандар R жиынында үлкен, кіші, қатынастары 1-3 аксиомаларды қанағаттандырады , сондықтан да олар реттік структураға мысал болады. Яғни, (R,үлкен), (R, кіші) структуралар реттік структуралар.
Топологиялық құрылым
в Қандай-да жиындардың тобын алайық. Осы жиындар тобына енетін әрбір жиынынан ішкі жиындардың тобын бөліп алайық.
Қарастырылатын жиындар тобының кез-келген жиынын Р, ал оған сәйкес қандай да ішкі жиындардың тобын Q арқылы белгілесек, онда оларға тән келесі жалпы қасиеттерді тұжырымдауға болады:
Q
Мұндай фильтрлеуші жиынның құрылымын анықтайтын Q жиыны, Р жиынының фильтрі деп аталады. Фильтрлеуші жиынның құрылымы құрылымның топологиялық типінің мысалы бола алады.
Математиканың архитектурасы
Іргетасын жоғарыдағыда айтқандай негізгі құрылымдар құрайтын, математиканы ары қарай түзу, конструкциялау екі негізгі тәсілмен іске асады: әртүрлі құрылымдардан түзілген күрделі құрылым құрастыру арқылы; қандайда негізгі құрылымның аксиомаларына бір немесе бірнеше толықтама аксиомалар қосу барысында пайда болатын арнаулы математикалық құрылым құрастыру арқылы жүзеге асырылады.
Күрделі құрылымның жеке мысалы ретінде коммутативтік сызықтық-реттелген топтың құрылымын, ал арнаулы құрылым ретінде- сызықтық реттік құрылымды алуға болады.
Күрделі құрылымның жасалуы математиканың бүкіл бір бөлімінің, ал арнаулы құрылымның түзілуі қандайда жалпы теориядан бөлінген әр түрлі өзінше дамитын теорияның (математика бөлімдерінің) пайда болуына алып келеді.
Математиканың қандай да бір бөлімін( мысалы, натурал сандар ұғымына анықтама болатын Пеано аксиомасы құрудың аксиоматикалық әдісін қарастырайық:
1. Құрастырылатын бөлім шеңберінде анықталмайтын (яғни анықтамасыз қабылданатын) алғашқы терминдер деп аталатын, саны шектеулі ұғымдар мен олардың арасындағы қатынастар іріктеледі;
2. Бастапқы ұғымдар мен қатынастардың өзара байланысын тағайындайтын және оларды жанама түрде анықтайтын ақиқаттығы дәлелдеусіз қабылданатын бірнеше бастапқы тұжырымдар-аксиомалар алынады;
3. Қарастырылатын бөлімге енгізілетін барлық жаңа ұғымдар бастапқы терминдер немесе бұрын анықталған мен қатынастар арқылы анықталады, ал бөлімнің барлық жаңа тұжырымдары (терминдері) дедукциялық жолмен алғашқы терминдердің немесе аксиомалардың (немесе бұрын дәлелденген теоремалардың) негізінде дәлелденеді және де қорытып шығару ережесі (ақиқат сөйлемнің бірі екінші бір ақиқат сөйлемнен туындайды) беріледі және ол математикалық логикада зерттеледі;
4. Аксиоматикалық теорияны нақты объектілер жиынында жүзеге асыру үшін аксиоматикалық теорияның көрнекі көрсетіліп берілуі (немесе модулі) пайдаланылады.
Аксиоматикалық әдіс
Қандайда бір математикалық теорияны аксиоматикалық әдіспен анықтау үшін, алдымен ол теория қарастыратын объектілер және олардың арасындағы қатыстар анықталады. Ол объектілер мен қатыстарды бұл теорияның негізгі ұғымдары дейді. Математикада бір ұғымға анықтама беру үшін бұрын анықталған басқа ұғымдарды пайдаланады. Сонан соң бірқатар ұғымдар топтамасы анықтамасыз алынып,солардың жәрдемімен басқа ұғымдарды анықтауға тура келеді. Анықтамасыз алынатын бұл ұғымдармен қатар бірқатар тұжырымдарды дәлелсіз алады. Ол тұжырымдар бұл теорияның аксиомалары делінеді. Ол аксиомалар алынған негізгі ұғымдар арасындағы қатыстарды сипаттайды.
Әрине, анықтамасыз алынатын ұғымдар(аксиомалар) қалауынша алына бермейді. Олар белгілі бір шарттарға, талаптарға сай болады. Атап айтқанда аксиомалар жүйесі - қайшылықсыз, тәуелсіз және толық (жеткілікті) болуы керек.
Алынған ұғымдар мен олар арасындағы қатыстар және аксиомалар тізімі теория басында келтіріледі. Солардың жәрдемімен жаңа ұғымдар анықталып теоремалар тұжырымдалып, олар дәлелденеді.
Математикада аксиоматикалық(дедуктивтік) әдістің жаратылуына грек ғалымдарынан Пифагор, Аристотель, Платон, Евклид т.с.с. лар бастапқы қадам қойған. Бұл салада әсіресе, Евклидтің (Б.Э.Д. 340-287ж.ж.) қызметі үлкен болған. Евклид Негіздер (Бастамалар) деп атаған еңбегінде геометрияның логикалық құрылымын негіздеу мақсатында алдын ала анықтамалар келтіріп, кейін аксиомалар, постулаттар системасын қабылдады. Осылай ол өз заманының талабына сай геометрия скелетін құрды.
Аксиоматикалық әдістің мағынасын дұрыс түсіну мақсатында орта мектепте үйренілетін геометрия курсына назар аударайық. Мұнда бірнеше теоремалар дәлелденген болып, дәлелденген әрбір теорема өзінен алдын келген теоремаларға негізделеді, сол сияқты,жұмыста дәлелсіз қабылдау үшін қажет болған пікірлер және ұғымдарды кездестіреміз: нәтижеде анықтамасыз қабылданған объекттер ( мысалы, нүкте, түзу, жазықтық, ара қашықтық) оларды байланыстыратын қатыстар (мысалы, нүктенің түзу бойында орналасуы,түзудегі кез келген нүктенің сол түзудегі басқа екі нүктенің арасында орналасуы, кесінді және бұрыштардың тең (конгруэнт) тігі) пайда болады.
Негізгі объекттер, оларды байланыстыратын қатыстар және тиісті аксиомалар системасын таңдап алу өтә жауапты мәселе. Аксиоматикалық әдіс негізінде ой қорытуды қысқаша былайша сипаттау мүмкін: Бастапқыда анықталмайтын негізгі объекттер таңдап алынады,кейін оларды өзара байланыстыратын негізгі қатынастар-аксиомалар системасы таңдалады, сонан соң осы аксиомалар негізінде логика заңдылықтарына негізделген жағдайда жаңа -- жаңа сөйлемдер (теоремалар) дәлелденеді.
Аксиомалар системасына қойылатын талаптар
Кез келген математикалық теорияның негізі ретінде алынған, қабылданған аксиомалар системасы мынадай талаптарға жауап беруі тиіс:
логика заңдылықтары бойынша аксиомалар системасынан бірін - бірі терістейтін екі сөйлем келіп шықпайтын болсын, яғни аксиомалар системасы қайшылықсыз болсын;
аксиомалар системасында қатысқан әрбір аксиома қалғандарының логикалық қорытындысы болмауы - теорема түрінде дәлелденбеуі тиіс , яғни аксиомалар системасындағы әрбір аксиома тәуелсіз болуы керек;
аксиомалар системасы қатарына осы системадан логикалық тұрғыда келіп шықпайтын жаңа аксиоманы қосу мүмкін бе,яғни аксиомалар системасы толық(кемелденгендік) қасиетіне мойынсынама ? Осы сұраққа жауап беретін болуы керек, яғни толық (кемелденген) аксиомаларға негізделеді.
Геометрияны аксиоматикалық құруға тиісті бұл сұрауларға 19 ғасырда толық жауап табылды. Бұл сұрауға жауап беруде ұлы орыс математигі Н.И.Лобачевский шығармашылығы және 19 ғасыр ғалымдарынан Е.Бельтрами, А.Пуанкаре, Ф.Клейн зерттеулері шешуші рол атқарды. Аксиомалардың белгілі системасы негізінде жүргізілетін тұжырымдардың қарама-қайшылыққа алып келу немесе келмеуі мәселесін шешуде математикада модель (интерпретация, сараптау) идеясы қолданылады.
Анықтама: Белгілі объекттердің жиындарының бірі анықталған болып, сол жиын элементтері арасында негізгі қатынастар( қатыстар) сақталып, мұнда аксиомалардың барлық шарттары орындалса, бұл аксиомалар системасының моделі құрылған деп аталады.
Мысалдар келтірейік. 1-мысал. Бүтін сандар жиыны қосу амалына сәйкес, группа (топ) құратыны үшін, бұл жиын группа аксиомалары системасының моделі бола алады (мұнда негізгі объекттер бүтін сандар болып, негізгі қатынас қосу амалы болады).
2-мысал. Жазықтықтағы барлық геометриялық векторлар жиыны сызықтық кеңістік аксиомалары системасының моделі болады (мұнда негізгі объект геометриялық вектор болып, негізгі қатынастар векторларға қолданылатын сызықтық амалдар-қосу, векторды сан(скаляр)ға көбейту)
Анықтама: Аксиомалар системасынан бірін-бірі терісттейтін екі тұжырым келіп шықпайтын болса, бұл система қайшылықсыз( қарама-қарсы емес) система деп аталады. Керісінше, аксиомалар системасы қайшылықты система деп аталады.
Математикада қайшылықты системалармен жұмыс жүргізілмейді. Аксиомалар системасының қайшылықсыздығы қалай дәлелденеді?
Аксиомалар системасының қайшылықсыздығы осы система моделінің таңдап алынуына байланысты шешіледі. Егер тексерілетін аксиомалар тізімі берілген моделде орындалатындығы әйтеуір бір тәсілмен шешілсе және бұл модель объекттердің табиғатында қайшылыққа ұшырамаса,онда аксиомалардан бірін-бірі логикалық терістейтін екі тұжырым келіп шықпайтындығы, яғни бірде-бір фактты әрі дәлелдеп, әрі терістеп болмайтындығы белгілі болады. Мұны аксиомалардың қайшылықсыздығын дәлелдеу жолы дейміз.
Анықтама: Қайшылықсыз аксиомалар системасында әрбір аксиома сол системадағы қалған барлық аксиомалардың логикалық қорытындысы болмаса, мұндай аксиомалар системасы тәуелсіз система деп аталады.
Олай болса, аксиомалар системасының тәуелсіз болу талабы әрбір аксиоманың қалған аксиомалардың қорытындысы(нәтижесі, салдары) еместігін тексерумен дәлелденеді. Бұл мәселе төмендегідей шешіледі.
Аксиомалардың қайшылықсыз А1, А2,...,Ап системасына тиісті, мысалы, Ап аксиоманың тәуелсіз екендігін көрсету үшін бұл системадан Ап ді шығарып тастап, оның орнына Ап__ аксиома, яғни Апнің мазмұнын терістейтін тұжырым енгізіп, аксиомалардың жаңа системасын құрастыру және оның қайшылықсыз екендігін дәлелдеу керек.
Аксиомалар системасының бір аксиомасының тәуелсіздігі, яғни оның өзбетінше аксиома екендігі бұл системадағы аксиомалар санын кемейту мүмкін еместігін білдіреді.
Аксиомалар системасының толықтылығының мазмұны мыналарды білдіреді, яғни аксиомалар қоспай осы теорияға тиісті әрбір дауды осы системаға сүйеніп оның орындылығын немесе теріскейін айту мүмкін болсын. Бұл талаптың орындалуы әдетте система үшін құрылған екі модель арасындағы изоморфизм деп аталатын ұғымға негізделеді.
Анықтама: Аксиомалар системасының екі Е, Е1 моделінің негізгі объектті (нүкте, түзу, жазықтық) арасында өзара біртекті сәйкестік орнатылған болып, бұл сәйкестікте элементтер(объект) екі моделде де біртүрлі қатынаста болса, яғни, АЕ=А1Е1 болса, бұл екі модель изоиорф деп аталады.
Анықтама. Аксиомалар системасына тиісті кез келген тұжырымдардың дұрыс немесе дұрыс еместігін анықтау мүмкін болса, аксиомалардың бұл системасы толық (кемелденген) деп аталады.
Аксиомалардың қайшылықсыз С(сумма) системасы берілген болсын, осы система негізінде құрылған теорияның барлық тұжырымдарын үш сыныпқа жіктеу мүмкін:
С(сумма) және одан логикалық тұрғыда келіп шығатын қорытындылар жәрдемінде дәлелдеу мүмкін болған тұжырымдар.
С(сумма) және одан логикалық тұрғыда келіп шығатын қорытындылар жәрдемінде терістеу мүмкін болған тұжырымдар.
С(сумма) және одан логикалық тұрғыда келіп шығатын қорытындылар жәрдемінде дәлелдепте және терістепте болмайтын\ мүмкін болған тұжырымдар.
Демек, С(сумма)ның әйтеуір бір моделі құрастырылған болса, 1 сыныпқа кіретін тұжырымдар осы модельде орынды болады, 2 сыныпқа кіретін барлық тұжырымдар осы модельде орынды болмайды, 3 сыныпқа кіретін тұжырымдар осы модельде орынды болып, С(сумма) ның басқа сондай моделі бар болып, сонда бұл тұжырымдар орынды болмайды. Мұнан белгілі болғандай, С(сумма) ның кез келген екі моделі өзара изоморф болса, аксиомалардың мұндай системасы толық болады.
Демек, аксиомалардың әйтеуір бір системасының толықтылығын дәлелдеу үшін оның кем дегенде екі моделін алып, олардың өзара изоморфтығын көрсету жеткілікті.
Математикада аксиомалардың толық болмаған системасыменде жұмыстар жүргізілуі мүмкін. Мысалы, группа аксиомалары системасы төрт аксиомадан құралған болып, олар толық емес, себебі бұл системаның бір-біріне изоморф болмаған екі моделін көрсету мүмкін. Ақиқаттанда, рационал сандар жиыны қосу амалына сәйкес группа құрады, мұнан басқа барлық нақты сандар жиыны да қосу амалына сәйкес группа құрады. Бірақ, бұл екі модель арасында изоморф сәйкестік құру мүмкін емес, себебі рационал және нақты сандар жиыны арасында өзара біртекті сәйкестік жоқ.
1.2 Геометрияның алғашқы ұғымдары
Математиканың негізгі салаларының бірі -- геометрия, дүниеге ерте келіп, адамзат қоғамынын, даму тарихымен бірге жасасып келе жатқан ежелгі ғылым.
Ғылымның басқа салалары сияқты, геометрия да өмір талабынан, тіршілік қажетінен туған. Мұнан төрт мың жылдай бұрынғы тарихи деректерге карағанда, геометрияның, алғашқы элементтері Египет (Мысыр) топырағында, Нил дариясының бойында пайда болған. Бұлай болуының, себептері де бар еді. Нилдін, екі жағындағы құнарлы шағын жерді жыл сайын тасыған су басып кетіп отырған, сондықтан оны дәл өлшеп бөле білу қажет болған.
Сол ерте кездің өзінде египеттіктер төрт бұрышты жердің ауданын өлшеу үшін калыптасқан, тұрмыста дағдыға айналған мынадай формуланы қолданған:
Мұндағы а, Ь, с, д әріптері арқылы төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғаларының ұзындықтары белгіленген (1-сызба).
Әрине, бұл формуланы пайдаланып кез- келген төрт бұрыштың ауданын дәл табуға болмайды, тек бұрыштары тік немесе соған жақын келетін төртбұрыштың ауданын ғана анықтауға болады.
Ал геометрия деп аталынудың өзі гректің жер өлшеу (землемерие) деген сөзінен алынған. Қазірде бұл атау математиканың үлксн бір саласына ғылми термин болып сіңіп, кең ұғымға, пән атағына айналды.
Соңғы кездердегі ғылыми зерттеулерге қарағанда, вавилондықтардың гсометрия саласындағы табыстары египеттіктердікінен кем болмаған, тіпті бірсыпыра мәселелерді шешкендс вавилондықтар алда болған: олардың қолдаған тәсілінеи алгебраның бастамасында аңғаруға болады.
Сөйтіп, геометриялық ғылыммен, алғаш жер өлшеу, үй салу тағы сондай тіршілік әрекеттерінен туып, сонан бірте-бірте терең абстракциялық бейнелерді кең шолитын, оларды мүлтіксіз логика тәсілімен зерттейтін, үнемі дамыған ғылым болды.
Қазіргі геометрия өзінің алғашкы дәрежесінен әлде қайда жоғары сатыға көтеріліп, теория жағынан терең бойлап, кең өріс алғанымен, практикадан қол үзбей, онымен байланысын күшейте түсуде.
Негізгі геометриялық ұғымдардың кейбіреулерінің қайдан шыққаны туралы айта кетейік.
Геометрияға ертеден сіңіп, ал қазір тіпті әдетке айналып кеткен терминдердің көбі тұрмыста кездесетін заттардың, қүбылыстардың аттарынан алынғанын көреміз. Мысалы, нүкте орыстың ткнуть, уколоть -- тесу, шаншу деген сөзінен, ал түзу латынның кендір жіп деген сөзінен алынғаны айқын. Геометрияда нүкте, түзу деген ұғымдар өзінің тікелей мағынасын жойып, абстракциялық түсініктерге айналған. Сондай-ақ, грекше доптың атауы сфера, ойын сүйегі -- куб, қарағайдың безі -- конус тағы сондай атаулар геометриялық нақтылы ұғым беріп, төл терминге айналып кеткен. Көзге іліне қоймайтын керулі жіп түзу бейнесін берді десек, бір шеті бекітілген жіп циркуль орнына қолданылған. Жіпті тарту арқылы көпбұрыштарды сызу әдісі де ертеде көп қолданылған. Ол былай тұрсын, ежелгі Қытай мен Индия елдерінде тіпті геометрлер өздерін жіп тартушылар деп те атаған.
Геометрияның кайдан және қалай шыққаны туралы әр түрлі пікірлер бар. Мысалы, Аристотельдің (б. э. д. 384 -- 322 ж.)' айтуынша, математиканы алға бастырып дамытқан -- ғұлама абыздар (жредтер), олар бос уақытының бәрін математика теориясын шығаруға жұмсаған.
Мүмкін, абыздардың(жрецтердің) математика теориясымен көбірек шұғылдануға уақыт тапқандары рас та болар, бірак, олар математиканы өз ойларынан шығарды деу шындыкқа үйлесе қоймайды. Өйткені олардан бұрынғы практикада қолданылған математикалық фактілер жеткілікті болуға тиісті. Әрине, жрецтер сол фактілерді зерттеп, жинастырып, жүйеге келтіруге ат салысып, оларды ұрпақтан - ұрпаққа жеткізуге көмектескені рас болар , олар сол кездегі сауатты адамдар болды да, мәдениет мәселелеріне назар аударып отырды.
Геометрияны бір жүйеге келтірген шын ғалымдардың ішінде есімі тарихқа енбсй, ұмытылып қалғандары да аз емес, өйткені математиканың кейбір тараулары тым алыстан, адам баласының ең алғашқы саналы қадамынан басталады да, көптеген деректер сақталмаған. Геометрия ең көне пәндердің бірі болып табылады. Бізге жетіп келген тарихи мұраларға сүйенсек, геометриядан алынған алғашқы мәліметтер Үндістанда, Вавилонда, Мысыр және Қытайда пайда болып, олар таза практикалық талаптарды қанағаттандырған.
ЕВКЛИДТЕН БҰРЫНҒЫ ГЕОМЕТРИЯ
Бастауыш геометрияның ең бірінші авторы гректің атақты математигі Евклид (б. э. д. 330 -- 275 ж.) өзінен бұрынғы ғасырлар бойы жиналғаи деректерді бір кітапка сыйғызьп, Негіздер деген атпен оқулық жазған. Одан бұрын талай геометрлер ғылымға көп еңбек сіңіргені даусыз. Бірақ олардың тек кейбіреулері туралы ғана көмескі деректер сақталған.
Тарихи деректерге қарағанда, геометрия ертедегі Египет пен Вавилоннан Грецияға ауыскан.
Басқа елдердің ғылыми табыстарын үйреніп, оларды өз еліне таратқан, өз жерінде онан әрі дамытуға алға бастырған грек ғалымдарының есімдері тарихта түгел сақталмағанымен біздің жыл санауымызға дейінгі VII -- VIII ғасырларда геометрия ғылымын зерттеп дамытқан ғалымдар Фалес, Пифагор, Демокрит, Платон, Евдокс төңірегінде топтасқан ғалымдар екені анық. Ғалымдарды топтастырушы ұстаз болған осы Фалес, Пифагор, Демокрит, Платон, Евдокс туралы азды-көпті деректер келтірейік.
Милсттік Фалес (б. э. д. 624 -- 548 ж) -- Ежелгі заманның жеті данышпанының біріншісі деп аталған ғалым. Бұл өзінің ұзақ өміріндс ғылымның көп салаларында еңбек етіп, елеулі із қалдырған. Астрономия, философия, математика салаларында көп мұра қалдырумен қатар, ол мемлекеттік және моральдық зандарды да, жазып, өз заманында әйгілі адам болғаны мәлім.
Фалес геометрияның бірсыпыра теоремаларын түжырымдап айтып, дәлелдеген. Мысалы, диаметрдін, шеңберді қақ бөлетіндігі, тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштарының өз ара тендігі, вертикаль бұрыштардын өз ара теңдігі. туралы теоремалар, жарты шенберге іштей сызылған бүрыштын, тік болатындығы туралы теорема, үшбұрыш өзінің бір қабырғасы мен сол қабырға мен іргелес екі бұрышы бойынша анықталатындығы туралы теорема, тарихшылардын айтуынша, Фалес дәлелдеген теоремалар.
Математика тарихшыларынын. кейбіреулері Фалестің кезінде логикаға сүйенген, анықтамалар мен аксиомаларға негізделген геометрия болуға мүмкін емес еді деген пікірді қолдайды. Бірак, Прокл мен Евдокс өз тұсындағы математиканы олардан мың, жыл бұрын өмір сүрген Фалеске таңды деудің қисыны келмейді. Біздің жыл санауымыздан 500 -- 600 жыл бұрын ғана емес, онан мың, жыл бұрын да математика жүйеге келтірілген ғылым болды деген пікір көп мәліметтермен дәлелденеді. Қалайда Фалес және басқалар Вавилон мен Египетте сөне бастаған математиканы Греция топырағына көшіріп, оның қайта өркендеп, дамуына жол ашты деген пікірге ешкім таласа алмайды.
П и ф а г о р (б. э. д. 580 -- 500 ж.). Самостық Пифагордың атағы тек математиктерге ғана емес, мектепте оқыған жастардың, бәріне әйгілі. Онын, тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының, квадраты онын, катеттерінің квадраттарының қосындысына тең деген теоремасы (с[2] = а[2] + Ь[2])көпшілікке әйгілі ақиқат ретінде екі жердегі екі -- терт дегендей үғымға айналды.
Пифагордын өмірбаяны туралы мәлімет аз болғанымен, онын, атағы тым зор. Ол Самос аралында туып, жасында Египет пен Вавилонияны аралап, математика, астрономия және философия ғылымдарын сонда оқып үйренген. Одан кейін Италияға көшіп, Сицилияда өзінің. атақты Пифагор мектебін ұйымдастырған. Бұл мектеп математика мен астрономиянын дамуына үлкен әсер еткендігі мәлім..
Пифагор және онын, шәкірттерІ астрономия мен математиканың талай мәселелерін зерттеген, маңызды-маңызды теоремаларды дәлелдеген. Мысалы, мынадай теоремаларды атауға болады: 1) үшбұрыштын ішкі бұрыштарының қосындысы туралы теорема; 2) жазықтықты дұрыс үшбұрыштарға, төртбұрыштарға, алтыбұрыштарға дәл бөлуге болатындығы туралы теорема; 3) квадрат теңдеулерді геометрияша шешу әдісі; 4) өлшемдес емес кесінділердің болатындығы туралы теорема т. б.
Бүл келтірілтен теоремалардың әрқайсысы ол кездегі математика жағдайында ірі табыс еді, алайда ең ірі табыс деп өлшемдес емес кесінділер туралы теореманы тануға тура келеді.
Жоғарыда аталған тік бұрышты үшбұрыш туралы теорема жайында бірер сөз айта кетуге тура келеді. Пифагордан бұрын қабырғалары 3, 4, 5 сандарына тең, египеттік үшбүрыш деп аталатын үшбұрыш белгілі болған. Оның қабырғаларының арасындағы байланыс мына теңдікпен өрнектеледі: 32 + 42 =52. Ал Пифагор мұны жалпы түрде, кез келген тік бұрышты үшбұрыш үшін дәлелдеген (с2 = а2 + Ь2). Мұндай жалпылап топшылау математиканың Пифагор мектебінде жоғары сатыға көтерілгендігін көрсетеді.
Пифагорлықтар сандар туралы, олардың ерекше қасиеттері туралы көптеген жалған пікірлер айтқан. Достық, қуаныш, бақыт тағы сондай халықтық ұғымдар сандарға тәуелді, соларға бағынышты деп үйреткен. Дгожина бақыттың, шайтан дюжинасы бақытсыздықтың нышаны деген соқыр сенім Пифагор тұсынан бері келе жатуы мүмкін.
Пифагор мектебіндс Пифагордыц жеке басына табыну, мистикаға салыну, ғылыми табыстарын көпке дейін жасырын сақтап, жариялағанда ұстаздың табысы деп санау әдетке айналған; онда шыққан геометрия оқулығын Пифагордың мұрасы деп атау міндет болған.
Дегенмен Пифагор және оның шәкірттері өз тұсындағы математика табыстарын бслгілі ғылыми жүйеғе келтіріп, келесі III ғасырдағы грек математикасының дамуына үлкен жағдай туғызып, оның өрлеуіне көп себепкер болған .Сондықтанда Пифагордың атағы мыңдаған жылдар бойы даңққа бөленіді.
Д е м о к р и т (б. э. д. 460 -- 370 жылдар шамасы) және Платон (б. э. д. 427 -- 347 ж.). Ежелғі грек ғылымының атақты уәкілдері Демокрит пен Платонды атамай кетуге болмайды. Бұлардың әрқайсысы тарихтан, әсіресе философия тарихынан, көрнекті орын алады. Екеуінің дүниеге көзқарасы бірі-біріне қарама-қарсы болғанмен, әрқайсысы философия мсн математикаға өз үлесін қосып, бағалы пікірлер айтқан. Демокрит -- материалист, Платон идеалист. Маркстін, Демокритті гректердің бірінші энциклопедиялық ақылды адамы деп жоғары бағалағаны көпшілікке мәлім.
Аристотельдің айтуынша, Демокрит ғылымның барлық салаларынан хабардар болып, өзінше пікір айтқан ғалым. Ол философия, математика, физика, метеорология, зоология, эстетика мәселелерімен шұғылданып, көптеген еңбек жазған. Демокриттің, философия саласындағы аса құнды пікірі -- оның бөлінбейтіндер -- атомдар туралы пікірі. Математика тарихшыларынын, айтуынша, Демокриттің бүл пікірі геометрияда үлкен роль атқарған. Бөлінбейтіндер методына сүйеніп, Демокрит пирамида мен конустын, көлемдері туралы теорсмаларды тапқан. Кейінде Демокриттің бұл методын Архимед пайдаланып, аудан мен көлем жөнінде бірсыпыра жаңалықтар ашқан. Екі мын жылдан аса уақыт өткеннен кейін де Демокриттің бөлінбейтіндер методын Декарт, Кавальери, Паскаль сияқты ғалымдар пайдаланған. Демек, жаңа математиканың айнымалылар математикасының -- негізін салуға Демокриттің де қатысы бар деуге болады.
Платон да ғылыми өмірдің қайнаған ортасында өмір сүріп, көптеген грек философтары мен математиктеріне ұстаз болған, академия құрып, оны басқарған. Сонымсн катар өз тұсындағы математика кемеңгерлерінен сабақ алып, математикаға ерекше назар аударған. Геометрияны білмейтіндерге академияның есігі жабық, -- деген шартты жариялаған да Платон болған. Бұл шартты ол академия есігінің кірер алдына қақтырып қойыпты деген аңыз бар. Шынында, геометрияның негізгі анықтамалар мен аксиомаларға сүйеніп ғылыми жүйеге түсуіне, оның логикалық пән болуына Платон бірінші қатысқан ғалым. III ғасырда геометриянын, толық оқулығын жазып шығарған Евклидті де Платонның, шәкірті деп санайды.
Е в д о к с (б. э. д. 410 -- 356 ж.) өз кезіндегі аса білімді адамдардың бірі болған. Астрономия, математика, механика мәселелерімен шұғылданған. Математика саласындағы аса маңызды еқбектерінің, бірі -- пропорция теориясы. Кейін Евклид өзінік Негіздерінде осы теорияны пайдаланған. Евдокстің, математика ғылымына сіңірген кұнды еңбегінің екіншісі -- түгесу методы (метод исчерпывания). Осы методты қолданып, Евдокс пирамиданың, конустың, шардың көлемдерін тапқан.
Геометрияның Евклидке дейінгі даму үдерісіне қысқаша назар аударайық. Эрамыздан алдыңғы 7-6 ғасырларда Грецияның Милет қаласында жасаған Фалес өз дәуірінен алдын жинақталған тәртіпсіз геометриялық факттерді жалпылап, логика заңдылықтары негізінде дәлелдеуге қарекет жасаған. Фалес мынадай теоремаларды дәлелдеген:
Диаметрге тірелген іштей сызылған бұрыш тік бұрыш.
Дөңгелектің диаметрі оны тең екіге бөледі.
Вертикал бұрыштар тең
Тең қабырғалы үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең және басқалар.
Эрамызға дейінгі 6-5 ғасырларда геометрия көбірек Италияда дами бастаған. Бұл дәуірді Пифагор дәуірі деу мүмкін. Бұл дәуірде де факттерді ғылыми негіздеуге қарекеттер болған. Төмендегі теоремалардың логикалық дәлелдеуі де осы дәуірге сәйкес келеді.:
Үшбұрыш ішкі бұрыштарының қосындысы 180 градусқа тең.
Жазықтықты дұрыс үшбұрыштар, төртбұрыштар және алтыбұрыштармен орап шығу мүмкін.
Тік бұрышты үшбұрыш гипотенузасына жасалған квадрат ауданы катеттерге жасалған квадраттар аудандарының қосындысына тең.
Мұнан басқакөптеген мәліметтер де осы дәуірдің табысы болған. Мысалы, квадрат теңдеуді геометриялық шешу әдісі, дұрыс көпжақтың бес түрі (тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, және икосаэдр). Жетіскен табыстардың ең маңыздысы- жалпы өлшемге ие болған кесінділердің бар болуын дәлелдеу үлкен ғылыми табыс есептелінеді.
Эрамызға дейінгі 4 ғасырда геометрияның даму орталығы Афина қаласына көшті. Математика ғылымының бұл дәуірдегі дамуында Платон, Аристотель, Демокриттің философиялық мектептері және Евдокс, Менехм сияқты үлкен математикатердің үлесі үлкен болды. Бұл ғылыми мектеп мүшелері төмендегі екі мәселені шешуді қарастырғаны мәлім:
Геометрияны ғылыми негізде баяндау қағидалары, оның тұжырымдарын аксиома, анықтама және теоремаларға ажырату;
Дәлелдеудің формасы мен әдістерін жарату: анализ, синтез, кенісін ұйғару әдісімен дәлелдеу және тағы басқалар.
Бұл мәселелер негізінен логика ғылымының жаратушысы Аристотель (эрамызға дейінгі 384-322жылдар) еңбектерінде жарық көрген. Қорытындылай келе , Евклидке дейінгі дәуірде пәнді (әсіресе геометрияны) дедуктив негізде құрудың негізгі қағидалары кемелденіп орындалған, олар мыналар:
Негізгі ұғымдар(объекттер, оларды байланыстыратын қатынастар) келтіріледі;
Барлық керек аксиомалар баяндалады;
Теоремалар келтіріледі;
Әрбір теорема өзінен алдыңғы теоремаларға және аксиомаларға негізделіп дәлелденеді;
Жаңа енгізілген ұғымдарға анықтамалар беріледі.
Геометрияны дедуктивтік принциптерде(қағидаларда) құруды грек ғалымы Евклид өз заманасына сай қанағаттанарлықтай етіп шешті, 13 кітәптен тұратын Негіздер атты еңбегін жазды.
1.3 Евклид және оның геометриясы
Евклид өмірі жайлы бізге толық мәлімет жетіп келмеген. Ол біздің эрамызға дейінгі 300 жылдарды өмір сүрген болып, Птолемей патшалық жасаған дәуірде математикадан сабақ берген және патша ұйымдастырған музейдің математика бөлімін ашқан. Аңыз бойынша , күндердің бірінде патша Евклидті шақырып геометрияны үйренуге Негіздерден де қысқа жол барма? деп сұрағанда Евклид өркөкіректікпен былай деген екен: Геометрияда патшалар үшін арнайы жол жоқ. Мұнан басқа Евклидтің Оптика және басқа еңбектеріде белгілі.
Гректің ұлы математигі Евклидтің (б.э.д.330 --
275ж.) өткен дәуірлерден мұра болып қалған, түрліше
әдебиеттер мен трактаттарда және олардан басқа да де-
ректерде бытырап жүрген геометриялық фактілерді мұ-
қият жинастырып, жүйеге келтіріп, ғылыми анықтамалар
мен аксиомаларға негізделген келесі еңбек жазғаны, оны
Негіздер (латынша Элементтер) деп атағаны көп-
шілікке мәлім. Бул оның атағын бүкіл әлемге әйгілі еткен
мәңгілік мұра боп саналады. '
Сөйтіп, Евклидтің Негіздері оған дейінгі геометриялық табыстардың қорытындысы, автордың педагогикалық және ғылми зерттеулердің нәтижесі болып есептеледі.
Адамзат тарихында Евклидтің Негіздер шығармасы мен салыстыру мүмкін болған және әлі күнге дейін өз қадірін жоғалтпаған, өз заманасына сай терең ғылыми негізде жаратылған бірде-бір шығарманы көрсетуге болмайды. Оның тек қана 1482 жылдан бастап 500 реттен көбірек қайта баспада жарияланғандығы және дүниедегі өте көп тілдерге аударылғандығы жоғарыдағы пікірді растайды.
Негіздер он үш кітаптан құралады, ол .дүние жүзінің түрлі тілдерінде 500-ден аса рет басылып шығыпты.
Евклидта талай ұрпақ оқулық ретінде пайдаланған бұл Негіздері кейбір елдерде (Англия) қазірдің өзінде де оқулық больп саналады, өйткені ол ғылми-меодикалық жағынан өте жатық жазылған, сонымен қатар онда дедукциялык метод кең турде қолданылып, ол түжырымды, жүйелі түрде жазылған.
Евклид өзінің Негіздері арқылы бүкіл дүниеге әйглі ғалым болғанымен, оның өз өмірі туралы мәліметтер тым аз кездеседі. Оньщ комментаторы, одан жеті жүз жыл ксйін больш өткен Проклдің айтуынша, Евклид Александрияда, Птолемей патшаның кезінде өмір сүргсн. Тарихшылардың айтуынша, Евклид өте адал, шын-шыл, кіші пейілді адам болған, ғылымға мейліншс берілген, ғылым жолын катты ұстаған ғалым болған. Проклдің айтуынша, Птолемей патшаның геометриямен айналысу себебі
-- . Геометрияда Негіздерде көрсетілген әдістерден басқа жеңіл жол бар ма? -- деп қойған сұрағына;
-- Геометрияда патшаларға арналған жеңіл жол жоқ, -- деп Евклид жауап беріпті. Қүдіретті патша алдында тайсалмай осылайша жауап беруін оның, шыншылдығының, ғылымға шексіз берілгендігінің бір мысалы деп тануға болады.
Енді сол Негіздердің мазмұнына қысқаша тоқтайық.
Евклидтің Негіздері -- он үш кітап. Алғашкы алты кітабы планиметрияға, келесі үш кітабы бүтін сандардың теориясына арналған, ал оныншы кітабында иррационал сандардың геометриялық теориясы жөнінде айтылып, солардың үш кітабында стереометрия туралы баяндайды. Евклидтің Негіздері бастауыш математиканы түгелінен қамтиды, тек кейіннен зерттеліп қосылған кейбір арнаулы мәселелерден басқа бастауыш математика түгелімен бұл шығармаға кірген деуге болады.
Біздің, ерекше көңіл бөлетін мәселелсріміз сол алғашқы алты кітапта баяндалған. Бірінші кітапта үшбұрыштардың тең болу шарттары, үшбүрыштардың қабырғалары мен бүрыштары арасындағы қатыстар,үшбұрыштарды жасау, түзулердің параллельдігі мен перпендикулярлығы, параллелограмдардың қасиеттері, үшбұрыштар мен көпбүрыштардың тен шамалы болуының шарттары, көпбұрышты тең шамалы үшбұрыштарға түрлендіру мәселелері және Пифагор теоремасы қарастырылған.
Екінші кітапта (а+в)2 =аа+2ав+в2, (а-в)в=ав+в 2 және осы сияқты тепе-теңдіктер геометриялық формада талданады. Бұл кітәп квадрат теңдеуді геометриялық әдіспен шешумен аяқталады. Мұнда фигуралардың теңдігі жөніндегі кейбір теоремалар қарастырылған.,
Үшінші кітап шсңбер туралы. Мұнда негізінен шеңберге өткізілген жанама, қиюшы, центрлік бұрыштар, іштей сызылған бұрыштар қараған.
Төртінші кітапта шеңберге іштей және сырттай сызылған көпбүрыштарға арналған болып, дұрыс төртбұрыш, бесбұрыш, алтыбұрыш және онбесбұрыштарды жасау көрсетілген.
Бесінші кітапта пропорция теориясы баяндалады. Бұл тсорияны қазіргі математикада үлкен орын алатын иррационал шамалар теориясынық негізі деп санауға болады. Осы заманғы математиканың бір негізгі үғымы болып саналатын Дедекинд аксиомасының негізін де осы теориядан іздеу керек.
Бесінші кітапта тағы бір тамаша аксиома келтірілген, ол Архимед аксиомасы. Архимедтін, көптеген аксиомаларының ішінде бүл аксиома ерекше орын алады, сондыктан оны келтіре кетейік: Кез келген екі кесіндіні салыстырғанда, қысқа кесіндіні жеткілікті есе қайталасак, ұзын кесіндіден асьш түседі.
Алтыншы кітапта пропорциялар теориясының қолданысы ретінде көпбұрыштардың үқсастығы теориясы мен көпбұрыш аудандарын табу берілген. Бұл кітап жоғарыда аталған екінші кітаппен мазмұндас.
Жетінші , сегізінші және тоғызыншы кітаптар арифметика және сандар теориясына арналған. Бұл кітаптардағы екі бүтін санның ең үлкен ортақ бөлгішін табу алгоритмі көңіл аударарлықтай өте маңызды болып, тағы да жай сандардың шексіздігі дәлелденеді.
Оныншы кітапта иррационал сандар теориясы қаралады.
Он бірінші, он екінші және он үшінші кітаптар стереометрияға арналған болып, оларда көпжақтар, айналу денелері және олардың көлемдері қаралып, дұрыс көпжақтар жайлы мәліметтер беріледі.
Евклид Негіздерінің әр кітабы жүйеді тәртіппен жазылган дедік. Біріншіден, бірқатар анықтамалар, одан кейін постулаттар мен аксиомалар келтіріледі, акырында соларға сүйене отырып теоремалар дәлелденеді. Бұл әдіс бастан аяк бұлжытылмай қолданылып отырады. Аристотель зерттеп шығарған мұндай логикалық әдіс ғылымның көп салаларына кең тарап. дәстүрлі жолға айналған.
Евклид дәлелдемелерінде барлык, жағдайды талдап, күмән қалдырмауды көздеген. Дегенмен күмән туғызатын мәселелер де кейіннсн табылып, олардың кейбіреулері ғасырлар бойы ғылыми ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz