Лобачевский геометриясы

Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 18 бет
Таңдаулыға:

Ақтөбе облыстық мамандандырылған физика-математикалық мектеп-интернаты

Дайындыған: Теңелова Камила 9 б класс
Ғылыми жетекшісі: Иманчиев Аскарбек Ермекұлы
Физика-математика ғылымдарының кандидаты, Қ. Жұбанов атындағы АӨУ доценті

Жетекшісі: Зейнулла Рахметулла Айділдаұлы
Математика пәні мұғалімі

Ақтөбе-2020
Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

: Евклидтік емес геометрия

1.1 Евклид геометриясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2 Лобачевский геометриясы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .
1.3 Риман геометриясы ... ... ... ... ... ... ...
1.4 Сфералық геометрия ... ... ... ... ... ... .. .
1.5Евклидтік және Евклидтік емес геометрия айырмашылықтары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
Қорытынды

Кіріспе
Геометрияда, Евклидтік емес геометрия ұғысы бар. Евклидтік емес геометрия деп, Евклидтік геометриядан айырмашылығы бар барлық геометриялық жүйені айтады. Жалпы, Евклидтік емес геометрия деген ұғым, тар мағынада қолданылады. Евклидтік емес геометрияға Лобачевский геометриясы,Риман геометриясы,Сфералық геометриялар жатады. Евклид сияқты, бұл геометриялар тұрақты қисықтық кеңістігінің метрикалық геометрияларына жатады. Нөлдік қисықтық Евклид геометриясына сәйкес келеді, оң қисықтық сфералық немесе Риман геометриясына сәйкес келеді, теріс қисықтық Лобачевский геометриясына сәйкес келеді.

Жалпы Евклидтік геометрия - алғаш рет Евклидтің (б.з.б. 330 - 275) "Негіздерінде" мазмұндалған аксиомалар жүйесіне негізделген геометриялық теория. Осы геометрияның аксиомалары 5 топтан, 6 негізгі (анықтама берілмейтін) түсініктерден құралған. Бұлар -- үш түрлі объектілер: нүкте, түзу сызық, жазықтық және үш түрлі қатынастар "тиісті", "аралығында", "қозғалыс".
Евклид (көне грекше: Εὐκλείδης,Б.д.д. 325 - 265ж) ежелгі дәуірдегі грек математигі.
Ол математикадан жазылған теориялық алғашқы трактаттың авторы, Александрия қарамағындағы мектептің тұңғыш математигі. Оның өмірі жайлы деректер жоқтың қасы. Евклидтің басты еңбегі - Негіздер. Онда планиметрияның, стреометрияның кейбір мәселелері талданған. Сөйтіп, ол өзінен бқрынғы грек математикасының одан әрі дамуының ірге тасын қалаған. Евклидтің Негіздерден басқа Фигураны бөлу туралы, Канустың қималары деп аталатын еңбектері бар. Ол астраномиядан, музыкадан, т.б. салалардан да еңбектер жазған. Евклидтің бізге жеткен шығармалары мына басылымда жинақталған: Eudidis Opera Menge. Онда грекше түр нұсқасы, латыннан аудармасы және кейінгі авторлардың түсініктемелері берілген. Евклид Негіздерінің математиканы дамытуда әсері орасан зор болады. Бұл еңбектен тәлім алмаған ірім-ұсақты математик жоқ деуге болады. Негіздер орыс тілінде тұңғыш рет 1739 жылы аударылып басталып шықты, ал ең кейінгі жаңартылған аудармасы 1948-1950 жылдары жарық көрді. Математиканы сүйетін әрбір талапкердің ғылымының классикалық бұл еңбегімен танысып аса пайдалы болар еді.
Лобачевский геометриясы

Лобачевский геометриясы - евклидтік емес геометрияның бір түрі; Евклид геометриясындағы параллель түзулер жөніндегі аксиома қарама-қарсы мағыналы аксиомоға ауыстырылған.
Евклид "Негіздерінде" параллель түзулер жөніндегі аксиома былайша тұжырымдалған: берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы осы түзумен бір жазықтықта жататын және онымен қиылыспайтын бір ғана түзу жүргізуге болады. Ал Лобачевский геометриясы оның орнына мынадай аксиома қолданылады: берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы осы түзумен бір жазықтықта жататын және онымен қиылыспайтын кем дегенде екі түзу жүргізуге болады. Лобачевский геометриясын Н.И. Лобачевский жасап дамытқан. Сәл кейін осындай теорияны Я.Больяй (1802 -- 1860) да дәлелдеген. Сондықтан, Лобачевский геометриясы кейде Лобачевский -- Больяй геометриясы деп те аталады. Евклидтен Лобачевскийге дейінгі 2 мың жылдан аса уақыт аралығында көптеген ғалымдар К.Птолемей, Д.Прокл, Ибн әл-Хайсам, О.Хайям, П.Катальди, Дж.Валлис, Дж.Саккери, А.Лежандр, Ф.Швейкарт, Ф.Тауринус, т.б. осы теорияны дәлелдемек болып еңбек еткен. Лобачевский геометриясын арнайы гиперболалық евклидтік емес геометрия деп атайды. Олай атау Риманның эллипс[эллипстік] геометриясына қарсы қою үшін қажет болды (қ. Риман геометриясы). Лобачевский геометриясы математикада да, физикада да қолдануға болатын мазмұны бай теория. Лобачевский бұл теорияны құру арқылы Евклидтік емес геометрияның озық мүмкіндіктерін көрсетті. Ол геометрия және жалпы математика дамуындағы жаңа белес болды (қ. Геометрия). Лобачевский геометриясы Лобачевский жазықтығы (планиметрияда) мен Лобачевский кеңістігінің (стереометрияда) қасиеттерін зерттейді.
Лобачевский жазықтығы - параллель түзулер туралы аксиомадан басқа Евклид геометриясы аксиомаларының барлығына бағынатын түзу сызықтар мен фигуралардың қозғалысы (сонымен қатар қашықтықтар, бұрыштар, т.б.) анықталған жазықтық (нүктелер жиыны). Осыған ұқсас жолмен Лобачевский кеңістігі де анықталады. Лобачевский геометриясының нақты мәнін анықтау мәселесі Лобачевскийдің жазықтығы мен кеңістігінің үлгісін табу болатын, яғни Лобачевский геометриясының планиметриясы мен стереометриясының ережелері шамалап түсіндірілген нысандарды табу еді. 1868 ж. Э.Бельтрами Лобачевский жазықтығының бір бөлігіндегі геометрияның тұрақты теріс қисықтығы бар беттердегі геометриямен сәйкес келетінін байқаған; оның қарапайым мысалы -- псевдосфера.
Лобачевский геометриясының Евклид геометриясынан бірнеше айырмашылықтары бар:
Лобачевский геометриясында ұқсас бірақ бір-біріне тең емес үшбұрыштар кездеспейді; егер бұрыштары тең болса, ондай үшбұрыштар өзара тең болады.
Кез келген үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы -ден кіші және барынша дерлік 0-ге жақын болуы мүмкін.
а түзуінің бойында жатпайтын кез-келген О нүктесі арқылы а түзуімен бір жазықтықта жататын және онымен қиылыспайтын шексіз көп түзу жүргізуге болады.
Егер түзулерде ортақ перпендикуляр болса, онда олар перпендикулярдан екі жаққа шексіз таралады.
Түзулерден тең қашықтықтағы сызық түзу емес, ерекше қисық, ол эквидистанта немесе гиперцикл деп аталады.
Шексіз ұлғаятын дөңгелектің шегі түзу емес, ерекше қисық, ол шектік шеңбер немесе орицикл деп аталады.
Радиусы шексіз ұзаратын сфераның шегі жазықтық емес, ерекше бет, ол шектік сфера немесе орисфера деп аталады; бұның бір ерекшелігі, бұл бетте Евклид геометриясы да орындалады. Бұл Лобачевскийге тригонометрия формуласын қорытып шығаруға мүмкіндік берді.
Шеңбер ұзындығы радиусына пропорционал емес, ол шапшаң өседі.
Лобачевский жазықтығы мен кеңістігіндегі аймақ неғұрлым кішірек болса, осы аймақтағы метрик. арақатынастар евклид геометриясы арақатынастарынан соғұрлым аз ерекшеленеді. Яғни, шексіз аз аймақта Евклид геометриясы орынды деп айтуға болады. Мысалы, үшбұрыш неғұрлым кіші болса, оның бұрыштарының қосындысы -ден соғұрлым алшақтайды, т.б.
Лобачевский геометриясында салу есептері, көпжақтар, қисықтар мен беттердің жалпы теориясы, т.б. есептердің шешулері қарастырылады. Лобачевский өзінің геометриясын анықталған интегралдарды есептеуге қолданған. Лобачевский геометриясы көмегімен кешенді айнымалы функциялар теориясында автоморфты функциялар теориясы құрылды. Ол сандар теориясында, дербес салыстырмалық теориясы кинематикасында, жалпы салыстырмалықтың теориясында қолданылады.

Риман геометриясы

Риман геометриясы, Риманның эллипстік геометриясы -- Евклидтік емес геометриялардың бірі.
Риман геометриясының негізгі нысандары нүкте, түзу және жазықтық; негізгі ұғымдары -- тиістілік (нүктенің түзуге, нүктенің жазықтыққа), реттілік (түзудегі нүктенің, жазықтықтағы берілген нүкте арқылы өтетін түзулердің, т.б.), конгруэнттілік (фигуралардың).
Риман геометриясының тиістілік және реттілік аксиомалары толығымен проективтік геометрия аксиомаларымен бірдей, сондықтан Риман геометриясы бойынша: кез келген екі нүкте арқылы бір ғана түзу өтеді; екі жазықтық бір түзу бойымен қиылысады; бір жазықтықта жатқан екі түзу бір нүктеде қиылысады; түзудегі кез келген нүктелер жұбы екі кесіндіні анықтайды; жазықтықта жатқан түзу жазықтықты екіге бөлмейді (демек, егер а түзуі жазықтығына тиісті болса, онда жазықтығының а түзуінде жатпайтын кез келген екі нүктесін а түзуін қимайтындай кесіндімен қосуға болады); жазықтық кеңістікті екі жарты кеңістікке бөлмейді. Риман геометриясының проективтік геометриядан айырмашылығы: мұнда фигуралардың конгруэнттілігі мен геом. шамаларды өлшеу (ұзындық, бұрыштың шамасы, аудан, көлем) ұғымдары қарастырылады. Сондықтан Риман геометриясы метрикалық кеңістік. Риман геометриясы мен Евклидтік геометрияның конгруэнттілік аксиомалары мәндес. Риман жазықтығының моделін сферадағы диаметралды қарама-қарсы нүктелерді "беттестіріп" алуға болады. Алынған нысанды "нүкте" деп, ал сферадағы үлкен шеңберді "түзу" деп қарастырады. Осы "нүктелер" мен "түзулерден" алынған фигуралар Риман геометриясының тиістілік, реттілік, конгруэнттілік аксиомаларын қанағаттандырады. Риман геометриясын алғаш Бернхард Риман (1826 -- 1866) өзінің лекцияларында риман жазықтығы теориясының дербес жағдайы ретінде қарастырған
Сфералықмгеометрия Сфералықьгеометрия математиканың сфера бетіндегі геометриялық фигураларды зерттейтін саласы, планиметрия сияқты жазықтықта жатқан геометриялық фигураларды зерттейді. Егер кез келген жазықтық сфера орталығы арқылы өтсе, онда сфера қимасы үлкен дөңгелек болады. Диаметр ұштарынан басқа кез келген екі нүкте (А және В) арқылы бір ғана үлкен дөңгелек өтеді. АВ доғасының ұзындығы АОВ центрлік бұрышына пропорционал. Екі үлкен дөңгелек арасындағы АВС бұрышы В нүктесінде қиылысатын жанамалар арасында АВС бұрышымен

немесе ОВА және ОВС жазықтықтары арасындағы екі жақты бұрышпен өлшенеді. Диаметр ұштарында қиылыспайтын үш үлкен дөңгелек сфера бетінде 8 сфералық үшбұрыш (Эйлер үшбұрыштары) түзеді. Сфералық үшбұрыштардың жазықтықтағы үшбұрыштардан көптеген өзгеше қасиеттері бар. Жазық үшбұрыштар теңдігінің үш белгісіне сфералық үшбұрыштардың тағы бір қасиеті қосылады: сәйкес бұрыштары тең екі сфералық үшбұрыш өзара тең болады (сферада ұқсас үшбұрыштар болмайды). Сферада жылжыту арқылы беттескен сфералық үшбұрыштар өзара тең деп есептеледі. Барлық сфералық үшбұрыштардың бір қабырғасы қалған екі қабырғасының қосындысынан кіші, айырмасынан үлкен болады, барлық қабырғаларының қосындысы 2-ден кіші, ал барлық бұрыштарының қосындысы 3-ден кіші болады. Сфера полюстерінде қиылысатын үлкен жартыдөңгелектер меридиандар, оған перпендикуляр кіші дөңгелектер параллельдер, ал сфераның орталығы арқылы өтетін параллель экватор деп аталады

Евклидтік және Евклидті емес геометрия арасындағы айырмашылық
1)Евклид геометриясы келесі бес постулаттарға (немесе аксиомаларға) негізделген:
Кез-келген екі нақты нүктенің арасынан ерекше сызық салуға болады
Сіз сызықты екі бағытта да шексіз соза аласыз
Сізге орталық нүкте мен радиус берілген ерекше шеңберді салуға болады
радиус екі нүкте арасындағы сызықпен беріледі.
Барлық дұрыс бұрыштар тең
Егер екі түзудің бойына түсетін түзу ішкі бұрыштарды, сол жақтағы бұрыштарды екі оң бұрыштан кем етсе, онда екі түзу, егер белгісіз болса, екі оң бұрыштан аз бұрыштар болатын жақта кездеседі.
Осы бес постулаттардан (және бес жалпы ұғымдар, мысалы, үшке тең екі нәрсе бір-біріне тең және т.б.) орта мектепте үйретілген геометриядан бүгінгі күнге дейін бүкіл геометрияны алуға болады .
Адамдарға бесінші постулат ұнамады. Қалған төртеуі қысқа да түсінікті сөздер, бесіншісі жоқ. Альтернативті постулаттар бар (егер сіз оларды есептесеңіз, бесінші постулатты дәлелдеуге болады және керісінше), мысалы, Playfair аксиомасы Берілген сызық және сол сызықта жатпайтын нүкте, дәл сол сызықтан сол нүктеге дейінгі аралықта жатпайды. Тағы сызықты кесіп өт немесе Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы екі оң бұрышқа тең немесе тіпті оң жақ үшбұрыштың аяғындағы квадраттардың қосындысы гипотенузадағы квадратқа тең секілді аксиомалар бар. Бірақ бұлардың ешқайсысы түпнұсқаға қарағанда қарапайым емес.
Математиктер мыңдаған жылдар бойы бесінші постулатты алғашқы төрттің көмегімен дәлелдеуге тырысты. Олар сәтсіз аяқталды.
18-19 ғасырларда олар қолданған әдістердің бірі 5-ші постулатты жалған деп санау және қайшылыққа әкелетінін көрсету болды. Егер сіз 5-ші постулатты жалған деп санайтын абсурдты дәлелдей алмасаңыз, онда 5-ші постулат шын болуы керек (түйсігітшектер деп аталатын математиктер тобы болжамның жоқтығын дәлелдеу болжамды дәлелдеумен бірдей екеніне келіспейді)
Бұл да сәтсіз аяқталды. Тамаша. Оның орнына, егер сіз 5-ші постулатты жалған деп санасаңыз, онда сіз 5-ші постулатты ұстамайтын тұрақты, жұмыс істейтін геометриялармен аяқтадыңыз.
Мысалы...
Шар тәрізді сфера алыңыз. Сфера ортасы арқылы түзу сызық сызыңыз және сызықты бетіне тесіп өтетін екі нүктені алыңыз. Сфера центрі арқылы жазық сызыңыз және сол жазықтық пен сфераның беткі қабатын сызық деп атаңыз. Нүкте және сызық анықтамасында мыналарды оңай көруге болады:
кез келген екі нүктенің арасынан ерекше сызық салуға болады.
сіз сызықты екі бағытта да шексіз соза аласыз.
центрлік нүкте мен радиустың шеңберін салуға болады.
радиус екі нүкте арасындағы сызықпен беріледі
барлық дұрыс бұрыштар тең
Бұл сызықта жатпайтын сызық пен нүкте берілген, сол нүкте арқылы берілген сызықпен қиылыспайтын сызықтар болмайды.
Бұл бес тұжырым Евклид геометриясымен бірдей (және Евклидтің 5-ші постулаты) екенін ескеріңіз.
Бұл геометрия дәйекті және Евклидтің 5-ші постулатқа сенбейтін кез-келген тұжырым осы геометрияда шындыққа сәйкес келеді.
Бұл геометрия Евклидтің 5-ші постулатын орындамайтындықтан, оны Евклидтік емес деп атайды.
Басқа эвклидтік емес геометриялар бар. Кейбіреулер бар, олар түзуде жатпайтын нүкте арқылы параллель түзілер сол түззуге шексіз көп сызуға болады
2)Евклид геометриясы параллельді постулатты орындалатын тұратын, ал эвклидтік емес болса, ол орындалмайды деген сөз. Мұнда Евклидтің сөз тіркесі:

Playfair логикалық эквивалентті постулатты берді, оны түсіну оңай: берілген сызық пен ондағы нүкте болмаса, берілген сызық пен жазықтықта нүкте арқылы өтетін және берілген сызыққа сәйкес келмейтін ерекше сызық бар.
Егер осындай бірнеше сызық болса, онда эвклидтік емес геометрия гиперболалық геометрия деп аталады. Егер бірде-бір сызық болмаса (яғни нүкте арқылы өтетін барлық сызық берілген сызықты кесіп өтеді), онда ол эллиптикалық геометрия деп аталады.

3)Евклидтік және эвклидтік емес геометрияларда тағы бір өзгерісі, ол барлық кеңістікте қисықтық термині. Барлық кеңістікте қисықтық ұғымы болады және одан жоғары қисығы бар ішкі кеңістік болуы мүмкін. Қисықтық термині есептеулерді жылдамдатуға қолданылады. Түзу кеңістікпен бірдей қисықтықты білдіреді және үш нүктелі теңдеу болып табылады.
Евклид кеңістігінде нөлдік қисықтық және белгілі бір орталық бар. 00 анықталмағандықтан , эвклид кеңістігінде бұрыштарды сақтайтын кішірек көшірме болуы мүмкін.
Егер шексіздіктің мәні жоқ деп ойласаңыз, эвклид геометриясы мобус геометриясына айналады, онда кез-келген үшінші нүктеден өтетін екі нүкте арқылы түзу сызық сызуға болады.
4)Евклид кеңістігі - бұл кеңістік, оны біз жалпы сезінеміз. Уақытты елемей, біз үш өлшемді кеңістікте өмір сүреміз, онда Пифагор негізіндегі алгебралық геометриядан белгілі формуланы қолдана отырып, арақашықтықты өлшейміз.
Евклид емес деп аталатын кеңістіктердің басқа екі түріндегі тіршілік мүлде өзгеше, өйткені қашықтық бұрыштармен немесе жылдамдықтармен өлшенеді, бұл бізге эллиптикалық немесе гиперболалық кеңістіктер береді. Кеңістік эвклид кеңістігін тудыратын кейбір ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.