Түйіндес оператор

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 14 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
М.Х. ДУЛАТИ АТЫНДАҒЫ ТАРАЗ ӨҢІРЛІК УНИВЕРСИТЕТІ
ҰСТАЗ ИНСТИТУТЫ

Кафедра _Математика_

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Пәні: Функционалды анализ
Тақырыбы: Гильберттік кеңістіктегі өзіне-өзі түйіндес оператор

Білімгер __Ахметбекова Ұлмекен______ Тобы _____М18-1(к)_____ ________________
Аты-жөні. қолы
Жетекші__________Мусилимов Б._______________ _______________________
Аты-жөні. қолы

Қорауға жіберілді __20_______Мамыр________2021_г.

Қорғалды __27_______Мамыр____2021_г. , бағасы

Комиссия мүшелері: ___________Мусилимов Б. ______._ ______________________
Аты - жөні қолы

_____Сулеймбекова А.О.________ ______________________
Аты-жөні қолы

Тараз - 2021ж.

ТАПСЫРМА
____________Функционалды анализ____________пәні бойынша
курстық жобаға, жұмысқа білімгер_______Ахметбекова Ұлмекен________________

Тақырыбы_______Гильберттік кеңістіктегі өзіне өзі түйіндес оператор_______________
Тапсырма бойынша арнайы нұсқаулар__________________________ ______

3. Жұмыстың негізгі бөлімдері
Көлемі, %
Орындалу уақыты
Функционал және сызықты функционалдар. Мысалдар

21%
9.03-12.03
Түйіндес кеңістікке мысалдар
25%
13.03-15.03
Түйіндес оператор

11,42%
23.03-26.03
Өзіне өзі түйіндес оператор

4,2%
29.03-2.04
Өзіне өзі түйіндес оператор Гильберт кеңістігінде

25,7%
16.04-18.04

4. Графикалық материалдар тізімі (сызба масштабын көрсетіңіз)

5. Жобаны, жұмысты өрнектеу

6. Қорғау

27.05.2021ж

Тапсырма "_____"____Наурыз______20__ ж. №______ хаттамамен кафедра мәжілісінде бекітілді.
Жетекші___________Муслимов Б.________________ _______________
(аты-жөні, қызметі) (қолы)
Тапсырма орындауға қабылданды ___Наурыз__2021_ ж. _____________
(білімгердің қолы)
МАЗМҰНЫ:
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
НЕГІЗГІ БӨЛІМ ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6
ТҮЙІНДЕС КЕҢІСТІК
Функционал және сызықты функционалдар. Мысалдар ... ... ... ... ... ... 6
Түйіндес кеңістікке мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 7
ГИЛЬБЕРТТІК КЕҢІСТІКТЕГІ ӨЗІНЕ ӨЗІ ТҮЙІНДЕС ОПЕРАТОР
Түйіндес оператор ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .10
Өзіне өзі түйіндес оператор ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..10
Өзіне өзі түйіндес оператор Гильберт кеңістігінде ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...13
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... 16

Кіріспе
Бұл курстық жұмыс түйіндес операторлардың оның ішінде Гильберттік кеңістіктегі түйіндес операторларды зерттеуге бағытталған.
Осы курстық жұмыстың мақсаты - математикаға қызығушылық танытқандарды операторлардың спектрлік теориясымен, атап айтқанда, түйіндес операторларға арналған теоремалар, тұжырымдар және де леммалармен таныстыру. Олардың маңызды тұстарын атап көрсету.
Зерттеу жұмысының міндеті: түйіндес операторлар оның ішіндегі Гильберттік кеңістіктегі өзіне өзі түйіндес операторларды функционалды анализдегі алатын орны туралы баяндау.
дамудың тиімді жолдарын іздеу мен анықтауда теоремалар мен леммалардың қолданып, оның дәлелдеуін көрсету.
Дамыту перспективасын талдау және анықтау мақсатында тақырыптың мазмұнын аша түсу үшін әр түрлі жағдайларда орын алатын есептерге талдау жасау.
Тақырыптың өзектілігі: Операторларда Гильберттік кеңістіктегі өзіне өзі түйіндес операторларды зерттеу тиімді болып табылады. Себебі, Гильберттік кеңістікте операторлардың маңызды классын анықтауға болады. Яғни, Гильберт кеңістігі H-та анықталатын сызықтық операторларды қарастырсақ, онда мұндай жағдайда H пен H* бірдей болғаны және ондағы элементтердің скаляр көбейтінді болатынын пайдалана отырып, ерекше қасиетті симметриясы бар немесе өзіне өзі түйіндестік қасиеті деп айтылытын операторлар класын ажыратуға болады және де осы класстың операторларын зерттейтін боламыз.
Ал енді, курстық жұмыс құрылымына келер болсақ, ол кіріспеден, негізгі бөлімнен, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен құралады.
Үш тараудан тұрады;
Түйіндес кеңістік
Гильберт кеңістігіндегі өзіне өзі түйіндес операторлар
Бірінші тарауда түйіндес кеңістік тарауының мазмұнын ашу үшін ең алдымен функционалдар және сызықты функционалдарға тоқталып өттім. Мұндағы негізгі деген ұғымдарға және теоремаларға түсінік жасадым. Негізгі анықтамаларына, қасиеттеріне шолу жасадым. Әр түрлі есептерге мысалдар көрсеттім. Сондай - ақ бұл тарауда түйіндес оператор анықтамасына, тоқталдым және де түйіндес операторға арналған мысалдарды қарастырдым.
Екінші тарауда бірнеше теоремалар мен тұжырымдарға тоқталып, дәлелдеуін көрсеттім. Сондай-ақ Гильберттік кеңістіктегі өзіне өзі түйіндес операторлар туралы теореманы талдап, дәлелдеуін көрсеттім. Осыған байланысты бірнеше есептерге талдау жасадым. Сонымен қатар, сызықты A операторының характеристикалық саны, регулярлық саны, спектры, меншікті мәні, меншікті векторы деген терминдерге де жалпылама түсінік беріп өттім.

ТҮЙІНДЕС КЕҢІСТІК
Функционал және сызықты функционалдар. Мысалдар.
L кез- келген сызықтық кеңістік берілсін. Осы кеңістікте элементтерінде анықталатын сан мәнді f(x) функциасын функционал деп атаймыз.
Бұл жерде , f сәйкестікті анықтайды, ал f(x) x элементіне қойылатын санды белгілейді. L кеңістігінің құрылымы f(x) нақты немесе комплекс мәнді функционал болуы керек. Мысалы, fx=‖x‖ кез келген жағдайда нақты мәнді функционал болады.
Егер, f(x) функционалына байланысты мынандай екі нақты шарт орындалса:
Кез-келген, x,y∈L үшін fx+y=f(x)+ f(y) (адитивтік шарты)
Кез-келген λ саны үшін f(λx)= fx=λf(x) (біртектілік шарты)
ондаf(x) сызықты функционал деп атаймыз. Бұл екі шартты біріктірсек, мынандай бір теңдікті аламыз.
fαx+βy=αfx+βf(x)
мұндағы α және β кез-келген сандар. Бұл теңдік анықтама бойынша екі шартқа негіз болғандықтан, функционалдың сызықты екенін тексеру үшін fαx+βy=αfx+βf(x) теңдігін тексерсе жеткілікті болады.
Сызықтық функционалға мысалдар қарастыра кетейік.
L=Rn кеңістігінің x=(ε1,..., εn) элементінде f(x)
функционалының мәні
fx=(αε1+...+ αnεn)
теңдігімен анықталады, мұндағы α1,..., αn тұрақты сандар. Бұл жерден функционалдың адитивтік және біртектілік қасиеттерін анықтау оңайырақ. Rn кеңістігінде анықталатын бұл функционал кәдімгі n айнымалы сызықтық функция екеніне назар аударсақ, Rn кеңістігіндегі сызықтық функционал тек осы түрде ғана бола алатындығы анықталады.
L=Ca,b сызықты кеңістігінің f(x) функционалының x(t) элементінде функционал мәні
fx=abxtdt
теңдігімен анықталады. Бұл функционалдың сызықты қасиеті интегралдың аддитивтік және біртектілік қасиеттері арқылы шығады.
L=La,b қосынды болатын функциялар кеңістігінде f(x) функционал x(t) элементінің мәні кез келген шенелген, тиянақты a(t) функциясы үшін
fx=aba(t)xtdt
теңдігімен анықталады. Бұл функционалдың сызықты қасиетін интегралдың аддитивтік және біртектілік қасиеттерінен шығатынын байқаймыз және бұл
fx=abxtdt
функцияның жалпы түрі болады.
L=Ca,bкеңістігінде анықталған тағы да бір функционал
δt0x=xt0
δt0функционал xt∈Ca,b элементінің мәні xt0 санына тең. Анықтаушы теңдік δt0x=xt0 бойынша
δt0αx+βy=αxt0+βxt0=αδt0x+αβy
Демек бұл сызықты функционал болады.
L=l1 сызықты кеңістігі үшін x=(ε1,..., εk)∈l1 кез- келген
a=(α1,..., αk)...∈m тиянақты элемент берілсін. Функционалды
fx=k=1infinityαkεk
Екенін көреміз. Бұл кеңістіктегі элементтерді қосу және көбейту амалдары координаторға қолданылатын болса, егер α мен β кез-келген сандар, онда y=(η1,..., ηk...)∈l1 болатын болса онда
fx=αx+βy=k=1infinityαk(αεk+βηk)=αk= 1infinityαkεk+βk=1infinityαkηk=αfx+ βfy
яғни, бұл сызықты функционал болады.

Түйіндес кеңістіктер. Мысалдар
Анықтама: N нормаланған сызықты кеңістік сызықты функционал ΛN,R1 сызықты кеңістік N кеңістігіне түйіндес кеңістік деп аталады.
N кеңістігіне түйіндес болатын кеңістікті N* деп аталады. Анықтамаға сәйкес бұл кеңістік барлық f∈N* элементі сызықты функционал болса оның нормасы жоғарыда
f=sup⃒fx⃒x
Теңдігі арқылы анықталады және ол норманың аксиомаларындағы шарттар бойыншы анықталады. Сол себепті N*- сызықты нормаланған кеңістік.
Мысалы Rn кеңістігіне түйіндес Rn* кеңістігін анықтайтын болсақ алдын ала, Rn кеңістігінде анықталатын кез-келген сызықты функционал
fx=(αε1+...+ αnεn)
түрінде болатынын дәлелдейміз.
Сонда, fx осы кеңістікте кез-келген сызықты функционал, ал е1,...,еn векторлары осы кеңістіктегі базис болсын. Онда кез-келген x∈Rn векторы
fx=ε1e1+...+ εnen түрінде жіктеледі. Бұл теңдікке сызықты функционалды қолдансақ fx=ε1f(e1)+...+ εnf(en) теңдігі шығады. Енді функционалдың базис векторларының мәндерін fei=ai деп белгілесек fx=(αε1+...+ αnεn) түріне келеді. Кеңістіктің барлық векторы базис бойынша бірмәнді болады. Сол себепті fx=(αε1+...+ αnεn) Rn кеңістігі функционалдың жалпы түрі болады.
fx=(αε1+...+ αnεn) теңдігінде оң жағындағы n айнымалы сызықты функция, ол коэффиценттері, a1,..., an сандары, берілетін болса, толық анықталуы керек. Бұл сандарды n өлшемді , a=(a1,..., an) векторы координаттары ретінде қарастырамыз. Демек, f функционалы a векторының берілуімен толық анықталады. Сол себепті, f функционалы мен оны анықтайтын a векторы бірігіп, тұтастай түрінде қабылдаймыз. Яғни, f функционалы деп отырғанымыз a векторы. Ал, α∈Rn сол себепті Rn кеңістігін құрайды, демек, Rn*=Rn. Бірінші қарастырған мысалда түйіндес кеңістік бастапқы кеңістіктің өзі болды, яғни Rn - өзіне өзі түйіндес кеңістік. Бірақ кейін бұл тек кейбір кеңістіктерге ғана тән болатынын көреміз.
Ескерту. Rn кеңістігі сызықты функционалдың жалпы түрін анықтайтын
fx=(αε1+...+ αnεn) теңдігіне тұрақты a векторы мен айнымалы x векторының скаляр көбейтіндісі түрінде, яғни fx=a,x түрінде де қарастыруға болатынын қарастырайық.
Қарастырылған мысалдар арқылы нормаланған сызықтық N кеңістігіне түйіндес N* кеңістігін анықтау үшін N кеңістігіндегі сызықты функционалдың жалпы түрін білу керек екені айқын.
Енді, түйіндес кеңістіктің жалпылама қасиеті жайлы мына бір тұжырымды дәлелдей кетейік.
Теорема. Түйіндес кеңістік N*әрқашан толық кеістік.
Дәлелденуі. fn, fn∈N* тізбегі фундаменталь тізбек болса онда кез келген ε0 берілгенінде барлық n, mn0ε номерлері үшін
fn-fmε
теңсіздігі орындалса n0ε саны табылатындай болсын. Норманың анықтамасын ескере отырып, fn-fmε теңсіздігінің салдары ретінде
⃒fnx-fmx⁄εx ,
теңсіздігі Nкеңістігіндегі кез келген x∈N үшін болады және x тұрақты, ал ε0 кез-келген сан болғаны үшін , fnx-fmx⁄εx теңсіздігі fnx тізбегі үшін Коши критерийі орындалатыны айдан анық. Яғни, бұл тізбектің шегі бар, оны fx арқылы таңбалаймыз. Сызықты функционалдардың шегі fx функционалы да сызықтық қасиетін сақтайды. Шынында да, fnαx+βy=αfnx+βfn(x) себебі fn - сызықты функционал болады. Осы теңдікте шекке көшсек, fαx+βy=αfx+βf(x) теңдігін шығады, яғни f- сызықты функционал. Сандар тізбегінің ⃒fnxfmx⁄εx теңсіздігінде m--infinity кезде шекке көшсек,
⃒fnx-fx⃒=εx
теңсіздігіне келеміз. Осы теңсіздіктен
fn-f=ε
Демек fn - f шенелген функционал екендігі белгілі. Ал,
f=f-fn+fn=f-fn+fn=fn+ε
енді, fn шенелген функционал болғаны үшін, бұл теңсіздіктен f- функционалының шенелгендігін байқаймыз, яғни ол үздіксіз функционал. Қорыта келе, N* кеңістігіндегі шенелген функционалдың fn фундаменталь тізбегінің шегі f бар және ол шенелген сызықты функционал болатыны, яғни f∈N* екені дәлелденді. Яғни, N* толық кеңістік. Теорема дәлелденді.
Мысалы:-- өлшемді сызықты кеңістік берілсін, және де базисін таңдап аламыз. Сонда барлық векторлар үшін түріне келеді. Егер сызықты функционал болса, онда
.
болатыны анық.
Сәйкесінше сызықты функционалдың мәні векторлы базисінде анықтады.

ГИЛЬБЕРТТІК КЕҢІСТІКТЕГІ ӨЗІНЕ ӨЗІ ТҮЙІНДЕС ОПЕРАТОР
Түйіндес оператор
Y түйіндес кеңістігіне A∈LX,Y,Y* - берілсін. Ax,f функционалының мағынасын F∈Y*элементінде y=Ax∈Y қарастырайық.
gx=x,g=Ax,f деп белгілеп алып
g:Dg=X анықталу облысы
g сызықты шенелген
болсын. Яғни g∈X*=LX,R. Осылайша біз түйіндес оператор деп аталатын бейнелеу құрастырамыз
A*:Y*--X*:⩝f∈Y*--g∈Y* .
R -ден алынатын кез келген x,y үшін Ax,y=xA*y теңдігі дұрыс болатынын сызықты A* операторы A түйіндесі деп айтаймыз. R евклид кеңістігінде x,y векторлары үшін Ax,y=xA*y орындалса A A* -ға түйіндес деп аталады.
Лемма: Егер R евклид кеңістігінде барлығы x векторлары үшінx,U=x,V орындалатын болса, онда U=V орындалатыны анық..
Дәлелдеуі:
x,U=x,V теңдігінен x кез- келген үшін x,U-V=0 болады. X=U-V теңдігін негіздей келе , U-V,U-V=0 теңдігін аламыз. Бірақ R евклид кеңістігі болғаны үшін U-V=0 және U=V болары ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.