Матрица және анықтауыштар

Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 9 бет
Таңдаулыға:

Жоспар:
Кіріспе.
Матрица және анықтауыштар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .2
1.Негізгі ұғымдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .2
1.1 Матрицаларға амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
2.Анықтауыштар ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
2.1Анықтауыштың қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5
3. Ерекше емес матрицалар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...7
3.1 Кері матрица ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..7
3.2 Матрицаның рангсі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..8
4.Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25
Қолданылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 26

Кіріспе.
Матрицалық әдіс пен Крамер ережесінің негізгі екі кемшілігі бар.
Біріншіден,оларды нұқсансыз матрицалары бар теңдеулер жүйесіне ғана қолдауға болады.
Екіншіден,сандық теңдеулер жүйесін шешуде тиімсіз,өйткені ол әдістерді қолдану(Гаусс әдісіне қарағанда) n2 есеге жуық есептеу амалдарын жасауды керек етеді,мысалы, n10 болса, онда бұл әдістерді қолдану мүмкіндігі тіпіті аз.
Элементар түрлендіру Гаусс әдісі кез келген тік бұрышты (квадрат қана емес) матрицалары бар теңдеулер жүйесін зерттеп және шешімін табуға (жүйенің шексіз көп шешімі бар жағдайда да ) мүмкіндік береді.
Теңдеулер жүйесін зерттеу-оның үйлесімді немесе үйлесімсіз екенін, ал егер үйлесімді болса,онда жүйе шешімнің қанша болатынын анықтау.
Анықтама.САТЖ-нің кеңейтілген матрица деп жүйе матрицасының оң ағынан бос мүшелер бағанын тіркеп жазу арқылы алынған матрицаны айтады( тіркелген бос мүшелерді әдетте вертикаль сызықпен бөліп қояды). Мысалы,1-САТЖ матрицасы өлшемді болса,онда оның кеңейтілген матрицасы өлшемді болады:
Оладың рангтерінің екі жағдайы: немесе болуы мүмкін. Келесі теорема теңдеулер жүйесін зерттеуге мүмкіндік береді.
Теорема(Кронекер-Капелли).Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің матрицасы мен кеңейтілген матрицасының рангілдері тең болса,жүйе үйлесімді болады. Енді теңдеулер жүйесін Гаусс схемасы бойынша зерттеу және шешу сұрақтарын қарастырайық.
Гаусс әдісімен және матрицаларының рангілерін анықтау үшін-кеңейтілген матрицасын жазып алып элементар түрлендірулер арқылы матрицасы трапеция тәріздес матрицаға келтіріледі.Егер бұл түрленділулерде бағандар орын алмасқан болса,оларды өздеріне сәйкес белгісіздермен белгілеп отырады.
Трапеция тәріздес матрица рангісі туралы жоғарыда қарастырғанбыз.

Матрица және анықтауыштар
1. Негізгі ұғымдар

m-жатық жолдан және n-тік жолдан тұратын сандардан құралған тікбұрышты кесте матрица деп аталады. Матрица

(1.1)

түрінде жазылады немесе қысқаша түрде А=(аij), мұндағы i=1,m (яғни i=1, 2, 3,...,m) - жатық жол нөмірі, j=1,n (яғни j=1, 2, 3,...,n) - тік жол нөмірі. Ал А матрицасын mxn өлшемді матрица деп атайды және A mxn деп жазады. Матрицалар құралған аij саны матрицаның элементтері деп аталады. Жоғары бұрышынан шығатын диагональда орналасқан элементтері бас диагональды құрайды.
Егер екі матрицаның барлық сәйкес келетін элементтері тең болса, онда мұндай матрицалар өзара тең болады, яғни

A=B, егер аij =bij , мұнда i=1,m, j=1,n.
(1.2)
Егер матрицаның жатық жолдар саны тік жолдар санына тең болса, ондай мұндай матрицаны - квадрат матрица деп атайды. nxn өлшемді квадрат матрицаны n өлшемді квадрат матрица деп атайды. Бас диагоналінің элементтерінен басқа элементтерінің бәрі нөлге тең квадрат матрица диагональдық матрица деп аталады. Бас диагональдің элементтерінің барлығы бірдей бірге тең диагональдық матрица бірлік матрица деп аталады. Бірлік матрица Е әрпімен белгіленеді.
Егер квадрат матрицаның бас диагоналінің бір жағында орналасқан элементтерінің барлығы нөлдер болса, онда мұндай матрица үшбұрышты матрица деп аталады.
Барлық элементтері нөльге тең матрица нөлдік матрица деп аталады. Нөлдік матрица О әрпімен белгіленеді.

(1.3)

белгіленеді.
Матрицалық есептеулерде О және Е матрицалары арифметикада 0 және 1 сандары рөлін атқарады.Бір жатық жолдан немесе бір тік жолдан тұратын матрица векторлық деп аталады (немесе тік жол матрица немесе жатық жол) жалпы түрі:

.

(1.4)

Бір санынан тұратын 1x1 өлшемді матрица сол санға теңестіріледі, яғни (5)1x1 5-ке тең.
Егер матрицаның барлық жатық жолдарын сәйкес сол нөмерлерімен тік жол етіп ауыстырғаннан шыққан матрица транспозицияланған матрица деп атайды.

1.1 Матрицаларға амалдар қолдану

Қосу
Матрицаларды қосу амалдары бірдей өлшемді матрицалар үшін орындалады. Amxn=( аij) және Bmxn=( bij) матрицаларының қосындысы деп элементтері cij= aij + bij (i=1,m; j=1,n) болатын Cmxn=(cij) матрицасын айтады.
Матрицалар айырымы тура осылайша анықталады.
Матрицаны санға көбейту
Amxn=( аij) матрицасын к санына көбейтіндісі деп элементтері bij=k*аij, (i=1,m; j=1,n) болатын Bmxn=( bij) матрицасын айтады.
Матрицалардың қарапайым түрленуі
- матрицаның екі параллель қатарының орындарын ауыстыру;
- матрицаның қатарының барлық элементтерін нөлге тең емес санға;
- матрицаның қатарының барлық элементтерін нөлге тең емес санға көбейту;
- матрица қатарының барлық элементтеріне параллель қатардың сәйкес элементтерін бір санға көбейтіп қосу;
- А және В матрицалары эквивалент матрицалар деп аталады, егер оның біреуі екіншісін элементар түрлендіру арқылы алынса.
Кез-келген матрицаны элементар түрлендірулер арқылы бас диагональдарында бірлер, қалған элементтері нөлге тең матрицасына келтіруге болады. Мұндай матрицаны канондық (қарапайым) матрица деп атайды, мысалы:

.

Матрицаларды көбейту
Матрицаларды көбейту амалы бірінші матрицаның тік жолдар саны екінші матрицаның жатық жолдар санына тең болғанда ғана орындалады.
Amxn=( аij) матрицасының Bmxn=( bij) матрицасына көбейтіндісі деп элементтері cik=аi1∙ b1k+ аi2∙ b2k +...+ аin∙ bnk , мұнда i=1,m; k=1,p арқылы анықталатын Cmxp=(cik) матрицасын айтады, яғни С матрицасының і-ші жатық жол және к-ші тік жол элементі А матрицасының і-ші жатық жолы В матрицасының к-ші тік жол сәйкес элементтерінің көбейтінділерінің қосындысы. cik элементін келесі схема бойынша көрсетуге болады:

1.1-сурет- Матрицаларды көбейту ережесі

Егер А және В өлшемдері бірдей квадрат матрицалар болса, онда АВ және ВА көбейтінділерін табуға болады. АЕ=ЕА=А екендігін оңай көрсетуге болады, мұнда А - квадрат матрица, Е - бірлік матрица.

2. Анықтауыштар
n ретті А квадрат матрицасына detA саны (немесе ) сәйкес анықтауышын анықтауға болады:
А матрицасының анықтауышын детерминант деп те атауға болады. N ретті А матрицасының детерминантын есептеу ережесі қолдану және қабылдау өте күрделі. Жоғары ретті анықтауышты есептеу әдістері төменгі ретті анықтауыштарды есептеу негізінде жүзеге асырылады. Анықтауыштарды есептеудің әдістерінің бірі, ол анықтауышты қандай да бір қатар арқылы ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.