Жазық эллипстік сандар алгебрасының құрылымы

Жұмыс түрі: Диссертация
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 62 бет
Таңдаулыға:

Кіріспе
Зерттеу тақырыбының өзектілігі. Математиканың басқа ғылымдардың әртүрлі салаларындағы қолданылуында комплекс, гиперболалық және параболалық сандардың, қазіргі кезде бұлардың жалпыламасы болып табылатын полисандардың қолданылатындығы белгілі. Гиперболалық, параболалық сандардың геометриялық қасиеттері кеңінен қарастырылғанымен [9], олардың алгебралық қасиеттеріне арналған зерттеулер көп кездеспейді. Сондықтан нақты сандар өрісінің алгебралық кеңейтілуінен шығатын жалпыланған сандардың, нақты сандар өрісінің алгебралық қасиеттеріне жақын келетін алгебралық құрылымдарды зерттеу өзекті болып табылады.
Сан ұғымы математикадағы ең маңызды зерттеу объектісі болып табылады. Сандық жиындарды ретімен орналастырып, осы алгебралық кеңеюлерді құрудағы алгебралық структураларды ретімен қарастыралық. Бұларды сәйкесінше натурал, бүтін, рационал, нақты, комплекс, сандық жиындар деп атау қабылданған.
Натурал сандарды қосу және көбейту амалдары нәтижесі натурал сан болады, яғни алгебра құрайды. Қосу және көбейту амалдары терімділік, орын ауыстырымдылық және үлестірімділік заңдылықтарына бағынады. Сондықтан бұл жүйе натурал сандардың коммутативті жартылай сақинасы деп аталады. алгебрасын теңдеуінің шешімі болатындай етіп, кеңейту нәтижесінде бүтін сандардың жиыны шығады. Сонда, алгебрасы коммутативті сақина құрайды. алгебрасын теңдеуінің шешімі болатындай кеңейтудің нәтижесінде рационал сандардың жиыны шығады. алгебрасы коммутативті өріс құрайды [1-4,8,10]. Рационал сандар өрісі барлық сандық өрістердің қиылысуында жататын ең кіші сандық өріс болады. Рационал сандар өрісіне шексіз периодсыз ондық бөлшектерді қосу арқылы, нақты сандардың өрісін аламыз. Бұл өріс мектепте қарастырылатын сандық жиындардың ең үлкені болып табылады. Нақты сандар өрісін теңдеуінің шешімі болатындай етіп кеңейтудің нәтижесінде комплекс сандардың С өрісі шықты. Жалпы математикадағы табиғаты сан болатын бұл ең үлкен өріс. Сондықтан комплекс сандар өрісінің ішкі өрістерін сандық өрістер деп атайды [2,4,8,10].
Алгебра және сандар теориясында және математиканың басқада бөлімдерінде нақты сандардың өрісінде келтірімсіз (жіктелмейтін, нақты түбірі жоқ) көпмүшеліктің ең үлкен дәрежесі екіге тең болатыны айтылып, дәлелденіледі [1,2,8,10].
Келтірімсіз екінші ретті көпмүшелікті квадраттық форма деп қарастырсақ, онда оны толық квадратты бөліп шығару (Лагранж), ортогоналды түрлендіру немесе инерция заңы әдістерімен нормал түрге келтіруге болатындығы белгілі [1,2,4,8].
Квадрат теңдеудің нақты түбірлерінің бар болуын зерттеу барысында, оның дискрминантын қарастыру қажет болады. Дискрминантың нөл, оң және теріс сан болуына байланысты, нақты сандар жиынының кеңейтілуі математикада сәйкесінше параболалық, гиперболалық және эллипстік сандар жиыны деп атау қабылданған [7]. Магистрлік диссертациялық жұмыста пайда болған жаңа сандар жиынында, оның элементтерін қалайша қосуға және көбейтуге болады, мұнда шыққан алгебралардың құрамы қандай деген сұрақтарға жауап іздейміз.
Енді осы алгебралардың қалай пайда болатынына тоқталайық:

; . (0.1)

теңдеуін түрлендірейік, яғни толық квадратқа келтірейік.

(0.2)

(0.2) теңдіктің оң жағын D (дискриминант) деп алсақ, онда . Енді осы D санының мүмкін болатын үш жағдайын қарастыралық:
1) D - теріс сан болсын, сонда нақты сан табылып, Бұны (0.2) теңдікке қойып, мынаны аламыз: немесе
Гауссша белгілеуін енгізсек, онда болатындығы шығады. Бұл жағдайда белгілі комплекс сан ұғымына келеміз. Комплекс сандарды кейбір әдебиеттерде эллипстік сандар деп те атайды.
2) D - нөлге тең болсын, онда болатынын аламыз. белгілеуін енгізсек, онда дискриминант түріне келеміз. Осы шартты қанағаттандыратын j санын дуальдық немесе параболалық сандар деп атайды.
3) D - оң сан болсын, сонда нақты сан табылып, болады және (0.2) теңдігінен мынаны аламыз: . белгілеуін енгізіп, болатындығын аламыз. Бұл шартты қанағаттандыратын сандарды қосарланған немесе гиперболалық сан деп атайды.
Қосарланған және дуальді сандарды алудың математикадағы әртүрлі бағыттарға тоқталалық.
Бірінші бағыт келтірілген квадрат теңдеуінің түбірлерінің бар болуын зерттеуге байланысты, дәстүрлі көз-қарас [2,5]. Теңдеуінің дискриминанты теріс, оң және нөл болуына байланысты түрлендірулердің нәтижесінде , теңдіктерінің шығатындығын жоғарыда көрсеттік.
Екінші бағыт өрісті таза алгебралық кеңейтудің Грассман - Клиффорд және Кэли-Диксон процесін [5,17] қолдану арқылы комплекс, гиперболалық және параболалық сандардың жиындарын ашық түрде алып, оның элементтеріне қосу және көбейту амалдарын дәстүрлі түрде анықтайды.
Үшінші бағыт қолданбалы математикада [7] кеңінен қолданылатын жазық векторлар ұғымын пайдаланып жалпыланған сандарды алу. Жазық векторларының көбейтіндісі:

жазықтықтан шықпауы үшін деп аламыз. Сонда

.

Кез - келген үшін көбейтудің орын ауыстырымдылық, терімділік және қосуға қарағанда үлестірімділік заңдары орындалады. Көбейтуге қарағанда кері амалдың орындалуын тексеру барысында жазықтығы сәйкесінше квадраты минус бірге, бірге және нөлге тең болатын облыстарға бөлінетіндігі шығады. Оларға сәйкесті сандарды эллипстік, гиперболалық және параболалық комплекс сандар деп атайды.
Дуальді сандарды XIX ғасырдың аяғымен XX ғасырдың басында өмір сүрген неміс геометрі Эуген Штуди (1862-1930) алғаш қарастырып, математикаға енгізген [9,6]. Жалпы дуальді сандардың алгебралық қасиеттері жұтаң болғандықтан, оны зерттеу геометриялық ұғымдарды қарастырумен байланысты жүргізілген [12,13]. Сондықтан мен диссертациялық жұмысымды жай комплекс сандардың алгебралық қасиеттерін дуальді және қосарланған сандар үшін көшіру мәселесін және бұл сандар қандай алгебралық структураларды құрайтындығын басты мақсат етіп алдым.
Эллипстік немесе жай комплекс сандарға арифметикалық амалдар қолдану орта мектеп математикасында қабылданған екі мүшелікті қосу және көбейту арқылы жүргізіледі, бұнда тек жорамал бірліктің квадраты минус бір болатындығы ескеріледі.
Біз жаңа жалпыланған сандар жиындарда олардың элементтерін қосуды және көбейтуді сәйкес түрде анықтама арқылы тағайындаймыз және комплекс сандар үшін қарастырылатын ұғымдардың осы үш жиында орындалатындығын салыстырмалы түрде қарастыруға болатындығын көрсетеміз.
Жалпыланған сандарды қосу, олардың нақты және жорамал бөліктерінің коэффициенттерін қосуға келтірілетіндіктен олардың алгебралық қасиеттері нақты сандарды қосудың алгебралық қасиеттерімен бірдей болады. Сондықтан жалпыланған сандардың аддивті алгебрасын зерттеуде нақты сандардың аддивті алгебрасынан өзгешелігі алгебралық тұрғыдан болмайды. Демек, жалпыланған сандар алгебрасының нақты сандар алгебрасынан өзгешелігі көбейту операциясын қарастыруда пайда болады.
Менің магистрлік диссертациялық жұмысым жалпыланған сандардың аддитивті және мультипликативті алгебраларының құрлымын зерттеуге және нақты сандардың мультипликативті алгебрасынан қаншалықты ауытқулар болатындығын анықтауға арналған.
Магистрлік диссертациялық жұмысты жазудағы менің негізгі мақсатым, жазық қосарланған және дуалды сандардың эллипстік сандарға ұқсас алгебралық қасиеттерін қарастырып, қосарланған және дуалды сандар жиынында қосу және көбейту амалдарын енгізгеннен кейін, қандай алгебралардың (топ, сақина, өріс, сызықтық алгебра) пайда болатындығын және олардың қарапайым қасиеттерін алгебралық тұрғыдан зерттеу.
Зерттеу жұмыстың нысаны. Табиғаты нақты сандарға ұқсас, қасиеттерінде өзгешелігі бар эллипстік, қосарланған және дуалды сандардың екі еселенген кеңейтілуінен шығатын жиын.
Зерттеу мақсаты мен міндеттері. Эллипстік, қосарланған және дуалды сандардың алгебрасын Грассман - Клиффорд, Кэли - Диксонның екі еселеу процесінен шығатын төртінші ретті алгебраның құрылымын және алгебралық қасиеттерін зерттеу.
Диссертациялық жұмыстың ғылыми жаңалықтары мен ғылыми нәтижелері. Зерттеу нысандарын жүйелі түрде қарастырып, осы нысандардағы алгебралық құрылымдардың толық зерттелуі.
Диссертациялық жұмыстың ғылыми жаңалығының дәйектілігі мен негізділігі. Қарастырылатын нысандардың бар болатындығы математикалық моделін құру арқылы және алгебралық құрылымдарды зерттеу қалыптасқан дәстүрлі тұрғыда жүргізілді.
Диссертациялық жұмыстың теориялық құндылығы. Диссертация нысаны таза теориялық тұрғыдан зерттелгендіктен және қазақ математикалық әдебиеттерде кездеспейтіндігімен құнды болады.
Диссертациялық жұмыстың практикалық маңыздылығы. Алгебралық құрылымдарды толық зерттелуі, жұмыс нәтижесін арнайы курстарға негіз етіп алуға және орта мектептерде ғылыми жобаларды жазуда пайдалануға болатындығында.
Зерттеу нәтижелерінің мақұлдануы. Х. Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университетінің физика, математика және ақпараттық технологиялар факультетінің математикалық кафедраларының және Астрахань мемлекеттік университетінің алгебра және геометрия кафедрасының семинарында талқыланып мақұлданды. Зерттеу нәтижесі Х. Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университетінде және Атырау мұнай және газ институтында өткен ғылыми практикалық конференцияларда баяндалды.
Зерттеу құрылымы. кіріспеден, үш бөлімнен, қорытындыдан және пайдаланған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1 Екінші ретті алгебралар құрылымы
Нақты сандар өрісін, жалпы жағдайда әртүрлі алгебраларды кеңейтудің бірнеше жолдары бар. Солардың ішінде алгебралық тұрғыдан маңыздысы Грассман - Клиффордтың және Кэли - Диксонның алгебраны екі еселі кеңейтуі болып табылады. Бұл бөлімде Грассман - Клиффордтың жаңа алгебра құруының әдістемесін негізіге ала отырып, нақты сандарды екі еселі кеңейтуден шығатын екінші ретті алгебралардың құрылымы зерттеледі.
Сыртқы алгебра немесе Грассманның алгебрасы деп, алғаш рет 1844 жылы Грассман енгізген векторлық кеңістіктердің ішкі кеңістіктерін сипаттайтын алгебралық жүйені айтады.
өрісінің үстіне құрылған векторлық кеңістігінің сыртқы алгебрасы деп, өрісінің үстіне құрылған ассоциативті алгебраны айтады, мұнда негізгі операция таңбасымен белгіленеді және алгебраны жасаушы элементтер болады, мұндағы берілген векторлық кеңістіктің базисі. Алгебраны анықтаушы қатыстар мына түрде болады:

Сыртқы алгебра арқылы белгіленеді. Дегенмен, арнайы алгебраларды құруда басқа таңба пайдалануы мүмкін. Мұндағы таңбасы сыртқы көбейту деп аталады, элементтерінің туындайтын ішкі кеңістігі кеңістігінің - шы ретті сыртқы дәрежесі деп аталады. Сыртқы алгебра үшін мына шарттар орындалады:
,
,
, егер болса.
кеңістігінің элементтерін вектор деп атайды, бұларды кеңістігінде ретті қиғашсимметриялы және контравариантты тензор ретінде қарастыруға болады. Мұнда тензорларды көбейту амалы барлық индекстер бойынша антисимметрияланған ( альтернативтелген) болады.
Алғашқы рет Клиффорд қарастырған коммутативті сақинаның үстіне құрылған арнайы түрдегі ассоциативті алгебраны Клиффорд алгебрасы деп атайды.
- бірлік элементті сақина, - еркін - модул, - еркін - модулде берілген квадраттық форма болсын. Сонда формасының Клиффорд алгебрасы деп

элементінен шығатын - нің - модулі бойынша екі жақты идеалының тензорлық алгебрасын фактор алгебрасын айтады. - модулі ретінде негізінен нақты сандар өрісі немесе комплекс сандар өрісі алынады. Бұл жағдайда - сызықты кеңістік болады және - ретінде осы кеңістікке тән скаляр көбейту құрылымы алынады.
сақинасының сипаттамасы екіге тең болмаса, онда үшін мына тепе - теңдік орындалады:

,

мұндағы таңбасы симметриялы бисызықты форма және сәйкес квадраттық формасы мына түрде беріледі:

.

Нөлдік квадраттық формасының алгебрасы сыртқы алгебрасымен беттеседі.

1.1 Жазық эллипстік сандар алгебрасының құрылымы
1.1.1 Эллипстік сандар алгебрасын құру
Нақты сандар өрісін Кэли - Диксонның екі еселеу көмегімен алынған жаңа құрылымды жазық эллипстік сандар алгебрасы деп аталып, мына түрде жазылады:
,
мұндағы - нақты сандар алгебралары, - жорамал бірлік, - жазық эллипстік сандар алгебрасының кескіндеуін көрсетеді, жорамал бірлік шартын қанағаттандырды.

Жазық эллипстік сандар математикада және математиканың қолдануларында өзінің ерекше қасиеттерімен кең көлемде қолданылады.
Элементтері нақты сандар болатын екі өлшемді қостардың жиынын қарастырамыз:

.

жиынындағы және қостарын қосуды және көбейтуді мына түрде анықтаймыз:

(1.1)

(1.2)

жиынының құрамындағы жазық сандарды эллипстік деп атаймыз.
Сонда пайда болатын алгебрасының құрылымын зерттейміз. Ол үшін жоғарыда анықталынған амалдардың қасиеттерін қарастырамыз. Негізгі мақсатым нақты сандардың орын ауыстырымдылық (коммутативтік), терімділік (ассоциативтік) және үлестірімділік (дистрибутивтік) заңдарының қайсылары орындалатындығын тексеру.
Сонымен мына шарттардың орындалатындығын тексереміз.

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

Жазық эллипстік сандарды математикада комплекс сандар деп атап, оны С арқылы белгілеу қабылданған. Жазық эллипстік сандардың қосын қосу анықтамасы бойынша, оның компоненталарын (координаталарын) қосуға келтірілетіндіктен C үшін (1.3) және (1.5) теңдіктердің орындалатындығын дәлелдеу нақты сандарды қосудың заңдылықтарын ескере отырып жүргізіледі:

(1.4) және (1.6) теңдіктердің орындалатындығын тексеру (1.2) теңдікті және нақты сандарды көбейтудің орын ауыстырымдылық, терімділік заңдарын пайдалана жүргізіледі:

. (1.8)

(1.9)

(1.10)

(0.9) және (1.10) теңдіктердің оң жақтарын салыстырып, аламыз:

.

Енді жазық эллипстік сандарды көбейтудің қосуға қарағанда үлестірімділік заңының орындалатындығын дәлелделік. Сонда

.

Бұл дәлелденген қасиеттерден кейін мына ұйғарымдар ақиқат болады:

1 - ұйғарым. - алгебрасы коммутативті жартылай топ (группа) құрайды.

2 - ұйғарым. - алгебрасы коммутативті жартылай топ (группа) құрайды.

және - векторларын енгізелік. Сонда жазық эллипстік сандар жиынынан алынған кез келген жалпыланған саны үшін

(1.11)

және
(1.12)

теңдіктері орындалады.
Сол сияқты тепе-теңдігінен

(1.13)

болатындығы шығады.
Сонымен (1.11) және (1.13) теңдіктерден жалпыланған сандар жиында қосу амалына қарағанда нөлдік элементі, ал көбейтуге қарағанда бірлік элементтері нейтрал элементтері болады.
Демек, және моноид құрайды.
Бұдан мына екі ұйғарымдардың ақиқат болатындығын көрсеттік.

3 - ұйғарым. - алгебрасы коммутативті моноид құрайды.

4 - ұйғарым. - алгебрасы коммутативті моноид құрайды.

жазық эллипстік сандар жиынында элементіне симметриялы (қарама - қарсы) элемент - болады:

.

Жазық эллипстік сандардың жоғарыда дәлелденген қасиеттерімен мына ұйғарым ақиқат болады.

5 - ұйғарым. - алгебрасы коммутативті группа (топ) құрайды.
Жоғарыда дәлелденген (1.4), (1.6), (1.7), (1.13) теңдіктерден және 5 ұйғарымнан мына тұжырымды аламыз.

6 - ұйғарым. алгебрасы коммутативті, ассоциативті, әрі бірлік элементті сақина құрайды.
Енді жиынының элементтерінің түрі қандай болады деген сұраққа жауап ізделік.
Алдымен жиынының құрамында нақты сандар өрісімен изоморфты болатын алгебраның бар болатындығын көрсетелік. Ол үшін жиынын қарастырып, оның нақты сандардың өрісімен изоморфты болатындығын көрсетелік. бейнелеуін, мына түрде таңдап алалық: немесе .
Сонда бейнелеуі қосу және көбейту операцияларын сақтайды, яғни алгебрасының алгебрасына гомоморфизмі болады. Шынында кез келген және қостары үшін

,

.

Егер болса, онда болғандықтан . Демек бейнелеу бір мәнді болады. Сонымен бейнелеуі изоморфизм болады. Сондықтан қосын элементімен беттестіреміз, яғни . Сонда жиынынан алынған кез келген жазық эллипстік санын мына түрде жазуға болады:

,

мұнда және .

1.1.2 Түйіндес жазық эллипстік сандар
Егер жазық эллипстік сан болса, онда саны, оған түйіндес жазық эллипстік сан деп атаймыз.
Сонда жазық эллипстік сандарды қосу мен көбейтудің анықтамасын пайдалана отырып,

және болатындығын ескеріп

болатындығын аламыз. Бұдан жазық эллипстік түйіндес сандардың қосындысы мен көбейтіндісі нақты сан болады деген қорытындыға келеміз.

7 - ұйғарым. Жазық эллипстік сандардың қосындысының, айырымының, көбейтіндісінің және бөліндісінің түйіндесі, олардың түйіндестерінің қосындысына, айырымына және бөліндісіне тең болады.

Дәлелдеуі: Сонымен және жазық эллипстік сандар болса, онда

теңдіктерінің орындалатындығын дәлелдеу керек. және жазық эллипстік сандары берілсін, сонда және

.

теңдігінен болатындығын аламыз, бұдан

теңдігі шығады.
Сол сияқты

теңдігінен

.

теңдігін аламыз. Сонымен теңдігі орындалады. теңдігін пайдаланып, дәлелденген теңдіктен болатындығын аламыз, бұдан теңдігі шығады. Сонымен теорема дәлелденді.

1.1.3 Жазық эллипстік сандардың модулі
және түйіндес сандарының қосындысы және көбейтіндісі нақты сандар болатындықтан жазық эллипстік сандар жиынында негізінен - тің квадрат түбірінің теріс емес мәнін жазық эллипстік санның модулі деп атап, оны арқылы белгілейміз. Сонымен жазық эллипстік санның модулі деп шамасын айтамыз.
Жазық эллипстік саны үшін .
Егер екінші жазық эллипстік сан болса, онда

теңдігінен

болатындығын аламыз. Сонымен біз мынаны дәлелдедік.

8 - ұйғарым. Жазық эллипстік сандардың көбейтіндісінің модулі, олардың модулдерінің көбейтіндісіне тең болады.

Жазық эллипстік сандар үшін көптеген геометриялық ұйғарымдар орындалады. Мысалға геометриядан белгілі үшбұрыш теңсіздігінің орындалатындығын тексерелік. және жазық эллипстік сандар болсын. Сонда

.

Бұл жерде тікелей тексеру арқылы орындалатындығын көрсетуге болатын теңсіздігін пайдаландық.
Сонымен біз мынаны дәлелдедік.

9 - ұйғарым. Жазық эллипстік сандар үшін үшбұрыш теңсіздігі орындалады, яғни кез келген және эллипстік сандары үшін

.

1.1.4 Жазық эллипстік сандардың тригонометриялық түрі
Жазық эллипстік сандарды қосу және кіші дәрежелерін есептеу алгебралық түрде оңай болғанымен, жоғарғы дәрежелер мен өрнектерді есептеуде біршама ыңғайсыздықтар пайда болады. Сондықтан жоғарғы дәрежелерді есептеу үшін жазық эллипстік сандардың тригонометриялық түрін енгіземіз.
Жазық эллипстік санының алгебралық түрі болса, онда

.

Егер , деп алсақ, онда

(1.4.1)

Бұл өрнекті жазық эллипстік сандардың геометриялық түрі деп аталады.
екінші эллипстік сан болсын. Сонда

.

- ді жазық эллипстік санының аргументі деп атап, арқылы белгілелік. Сонда

және

теңдіктерінің орындалатындығын көреміз. Олай болса, мына ұйғарым ақиқат болады.

10 - ұйғарым. Екі жазық эллипстік санды көбейткенде олардың модулдері көбейтіледі, ал аргументтері қосылады.

Тригонометриялық түрде жазылған жазық эллипстік сандарды дәрежелеу үшін қолданылатын формуланы қорытып шығаралық.
Жоғарыдағы ұйғарымда болса, онда

теңдігін аламыз. Бұдан бүтін саны үшін

теңдігі орындалады деген болжам жасалық және осы ұйғарымның дұрыстығын дәлелделік.
натурал сан болса, онда

болатындықтан, ұйғарымның дұрыстығы математикалық индукция принципінен шығады.
Егер теріс бүтін сан болса, онда натурал саны табылып болады. Бұдан

.

Егер болса, онда Сонымен біз барлық бүтін саны үшін

формуласын орындалатындығын көрсеттік, оны жазық эллипстік сандар үшін Муавр формуласы деп атайды.
Муавр формуласын пайдаланып жазық эллипстік сандар үшін мынаны аламыз:

мұнда
Демек санынан - ші дәрежелі түбір тапсақ, онда

Жазық эллипстік сан үшін Эйлер формуласы кеңінен қолданылады:

.

Жазық эллипстік санның тригонометриялық түріндегі жазылуының дәрежеге шығарылуы интегралдық және дифференциалдық есептеулерде конформдық бейнелеуді қарастырылуда қолданылады.

1.2 Жазық гиперболалық сандар алгебрасының құрылымы
1.2.1 Жазық гиперболалық сандар жиынының құрылымы
Нақты сандар өрісінен Грассман - Клиффордтың екі еселеу процесінің көмегімен алынған алгебралық құрылымды қосарланған комплекс немесе гиперболалық сандар алгебрасы деп атаймыз және бұл мына түрде жазылады:

,

мұндағы - алгебралары нақты сандар өрісі, - жорамал бірлік, - қосарланған комплекс сандар алгебрасы және жорамал бірлік үшін .
Жазық гиперболалық сандардың құрылымын және алгебралық қасиеттерін зерттеу үшін, оларға қандай амалдарды қолдануға болатындығын қарастыру керек.

жиынын қарастыралық. жиынының элементтерін жазық гиперболалық сандар деп атап, олар үшін қосу және көбейту амалдарын былайша енгізейік:

(2.1.1)

(2.1.2)

сонда алгебрасы пайда болады. Енді есептеулер ыңғайлы болу үшін бірінші бөлімдегі сияқты осы алгебраның ішінде нақты сандар алгебрасымен изоморфты болатын ішкі алгебраның болатындығын көрсетуге болады.

, (2.1.3)

(2.1.4)

теңдіктерінен бейнелеуін деп алсақ, онда нақты сандар жиынымен изоморфты болатындығы бірінші бөлімдегідей көрсетуге болады. Сондықтан деп жазуға болады. Осылайша жазылудың көмегімен жазық гиперболалық санның алгебралық түрін табалық. элементін алсақ, онда

мұнда жазылуын жазық гиперболалық сандардың алгебралық түрі деп атаймыз.
Жазық гиперболалық сандарды қосу, азайту және көбейту амалдары алгебралық түрде былайша жүзеге асырылады:

(2.1.5)

(2.1.6)

(2.1.7)

Жазық гиперболалық сандарды қосу орын ауыстырымдылық және терімділік заңына бағынады, яғни үшін

(2.1.8)

(2.1.9)

тізбектері орындалады.
Жазық гиперболалық сандарды көбейту ауыстырымдылық және терімділік заңына бағынады, яғни үшін

(2.1.10)

(2.1.11)

Сонымен қатар, жазық гиперболалық сандарды көбейту қосуға қарағанда үлестірімділік заңына бағынады, Яғни үшін

(2.1.12)

(2.1.8) - (2.1.12) теңдіктерінің орындалатындығын тікелей тексеру арқылы көрсетуге болады. Соңғы (2.1.12) теңдігі орындалатындығын дәлелдейік. кез келген жазық гиперболалық сандар болсын, сонда:

Жоғарыдағы теңдіктермен қатар және теңдіктері орындалатындықтан, 0 және 1 нақты сандары жазық гиперболалық сандарды қосу және көбейту амалдарының нейтрал элементтері болады, яғни

(2.1.13)

(2.1.14)

шарттары орындалады.
Егер жазық гиперболалық саны берілсе, онда - гиперболалық саны -қа, қосу амалына қарағанда симметриялы элемент болады, яғни

(2.1.15)

(2.1.9), (2.1.11), (2.1.13), (2.1.15) теңдіктерінен жазық гиперболалық сандар жиынының қосу амалына қарағанда коммунативті топ құрайтындығы шығады. Сонымен, мына ұйғарым орынды болады.

1 - ұйғарым. алгебрасы коммутативті группа құрайды.

(2.1.10), (2.1.11), (2.1.14) теңдіктерінен жазық гиперболалық сандар жиынының көбейту амалына қарағанда коммунативті моноидты құрайтындығы шығады. Сонымен, мына ұйғарым орынды болады.

2 - ұйғарым. - алгебрасы коммунативті - моноидты топ құрайды.

Бірінші және екінші ұйғарымдардан және (2.1.12) теңдіктен мына ұйғарымның дұрыстығы шығады:

3 - ұйғарым. - алгебрасы коммутативті, ассоцативті және бірлік элементті сақина құрайды.

1.2.2 Түйіндес жазық гиперболалық сандар
Әрбір жазық гиперболалық санына жазық гиперболалық санын сәйкес қоюға болады. Оны - қа түйіндес деп атап, арқылы белгілейік. Сонымен,
Түйіндес жазық гиперболалық сандардың қасиеттері:

=+,

= ,

=,

= .

Дәлелдеуі: болсын. Сонда

==+.

==

= =

Бұл екі теңдіктен = теңдігінің орындалатындығын аламыз:

=

1.2.3 Жазық гиперболалық сандардың модулі
Теріс емес нақты саны жазық гиперболалық санының модулі деп атап, арқылы белгіленеді:
Сонымен,

және екі жазық гиперболалық сандар болсын. Сонда

(1.2.1)

немесе
(1.2.2)

Мына ұйғарымды дәлелдедік.

4 - ұйғарым. Жазық гиперболалық сандардың көбейтіндісінің модулі олардың модулдерінің көбейтіндісіне тең болады.

Енді осы қасиетті жазық гиперболалық сандардың алгебралық түрін пайдалана отырып, қарастыралық. болсын. Сонда
болады да, (1.2.1) теңдік мына түрге келеді:

(1.2.3)

Сонымен, біз мынаны дәлелдедік.

5 - ұйғарым. Екі жазық гиперболалық санның квадраттарының айырымдарының көбейтіндісін квадраттар айырымдары түрінде жазуға болады.

Бұл математикада диофант тепе - теңдігі деп аталатын өрнектің жазық гиперболалық сандар үшін баламасы болып табылады.
Жазық гиперболалық санға кері санды есептеуде қолданылуын қарастыралық. жазық гиперболалық сандары берілсін, болсын. - ті - қа бөлейік, сонда

.

болғанда - ге кері санды есептеуге болады:

.

1.2.4 Нөлдің бөлгіштерінің құрылымы
Гиперболалық сандар алгебрасы нөлдің бөлгіші бар болатын алгебраға жатады. гиперболалық санының кері гиперболалық саны немесе бар болады және мына түрде болады:

.

Кері гиперболалық сан табылмаса, онда ол нөлдің бөлгіші болады. Бұл жағдайда немесе шарты орындалады. Нөлдің бөлгіші болатын гиперболалық сандар екі ішжиын құрайды. Бұл екі ішжиыны өзара қиылыспайды және мына түрдегі сандардан құралады:

немесе ,
мұндағы - нақты сан.
Бұл екі ішжиынның өте қызықты ерекше қасиеттері бар:
1) Бұл ішжиындағы сандардың нормаланған түрі мынадай болады:

Сонымен гиперболалық сандар жиынындағы нөлдің бөлгіштері қандай да бір нақты сан мен оның ядросындағы саннан құралады.
2) Бұл екі ішжиынның кванттық спиндік тұрғыдағы жағдайы ұқсас болады - шартты + немесе - таңбасымен ажыратылатын изоморфты ішжиынының табиғи жіктелуі бар болады.
3) Ядроның квадраты ядроның өзіне тең болады, яғни нөлдің бөлгішінің ядросы идемпотент болады.
Егер натурал саны табылып болса, онда - иденпотент деп аталады.
Егер натурал саны табылып болса, - нильпотент деп аталады.
4) Біреуі оң немесе теріс ішжиынға тиісті болатын гиперболалық санымен кез - келген гиперболалық санының көбейтіндісі оң немесе теріс ішжиынға тиісті болады.
және гиперболалық сандары берілсін, мұнда .
Сонда .
5) Біреуі нөлдің оң бөлгіші, ал екіншісі нөлдің теріс бөлгішіне тең болатын гиперболалық сандардың көбейтіндісі нөлге тең болады.
Шынында да және болса, онда
.
6) Кез келген гиперболалық санды нөлдің бөлгіштік базисінде сызықты суперпозиция көрсетуге болады:

.

1.2.5 Жазық гиперболалық санның тригонометриялық түрі
Кез келген жазық гиперболалық саны берілсін, мұнда . Сонда жазық гиперболалық санына сандық жазықтықта бір нүктесі сәйкес келеді. Сонда және деп белгілеу енгізсек, онда комплекс сандарға ұқсастырып, және қатынастарын сәйкесінше гиперболалық косинус және гиперболалық синус деп атап, және белгілеулерін енгіземіз.
Мұндай белгілеулер математикалық талдау курсында жиі кездеседі.
Сонда жазық гиперболалық санының екі жағын - ге бөліп:

немесе

(2.4.1)

теңдігін аламыз, мұнда - гиперболалық санның модулі.
(2.4.1) өрнегін - жазық гиперболалық санының тригонометриялық түрі деп аталады.
- өрнегінің екі жағын квадраттап, теңдігін аламыз. Бұдан болатындығы шығады.
Сонымен,

тепе - теңдігін аламыз. Бұны жазық гиперболалық саны үшін негізгі тригонометриялық тепе - теңдік деп атаймыз.
Бізге және екі жазық гиперболалық сандары берілсін. Енді осы екі санның көбейтіндісін қарастыралық:

(2.4.2)

Дөңгелек тригонометриясындағы тепе - теңдіктерге ұқсастырып

(2.4.3)
(2.4.4)

белгілеулерін енгізсек, онда (2.4.2) өрнегі мына түрге келеді:

(2.4.5)

яғни, жазық гиперболалық сандарды көбейткенде олардың модулдері көбейтіледі, ал бұрыштары қосылады.
Енді жазық гиперболалық сандардың бөліндісін қарастырайық:

өрнегін аламыз. Бұдан мына тепе - теңдіктер алынады:

, (2.4.6)

. (2.4.7)

Бұл өрнектің орындалуында тепе - теңдігіндегі таңбаларының біреуін сәйкесінше жағдайда ыңғайлы болатындай етіп таңдап аламыз.
Жазық гиперболалық сандар үшін Муавр формуласының баламасының орындалатындығын тексерелік.

1 - ұйғарым. Кез келген n бүтін саны үшін мына теңдік орындалады:

(2.4.8)

Дәлелдеу: болғанда тепе - теңдігін аламыз.
болсын, сонда (2.4.5) теңдікте деп алып,

теңдігінің орындалатындығына көз жеткіземіз.
Енді үшін (2.4.8) өрнекті ақиқат деп алып, оның үшін орындалатындығын тексерелік.

Сонымен, біз математикалық принцип бойынша Муавр формуласының баламасының барлық натурал сандар үшін орындалатындығын көрсеттік.
болғанда теңдік орындалатындықтан, бұнда - теріс бүтін сан болсын. Сонда - натурал саны табылып, болады. Демек,

Бұл Муавр формуласының барлық теріс бүтін сандар үшін орындалатындығын көрсетеді. Сонымен, ұйғарым дәлелденді.

1.3 Жазық дуалді сандар алгебрасының құрылымы
1.3.1 Жазық дуальды сандар жиынының құрылымы
Нақты сандар өрісінен Грассман - Клиффордтың екі еселеу процесінің көмегімен алынған алгебралық құрылымды жазық параболалық немесе дуальді сандар алгебрасы деп атаймыз және бұл мына түрде жазылады:

жорамал бірлік еселігі . Мұндағы - алгебралары нақты сандар өрісі, ал - жорамал бірлік, - дуальді санның алгебралық түрін көрсетеді.
Жазық параболалық (дуалді) сандардың алгебралық қасиеттерін зерттеу үшін алдымен жазық параболалық сандардың жазылуының алгебралық түрін тағайындау қажет. Жазық параболалық сандардың алгебралық түрін деп алуға болады. Бірақ, бұл жағдайда жазық параболалық сандардың бар болу мәселесі ашық қалады. Бұл мәселені толық шешу үшін нақты сандар қосының

жиынын қарастырамыз. Бұл жиынның элементтері үшін қосу және көбейту амалдарын мына түрде анықталық:

, (1.3.1)

. (1.3.2)

жиынының элементтерін жазық параболалық сандар деп атап, осы сандардың алгебралық түрінің қандай болатынын қарастырамыз.
Кез келген бір жазық параболалық саны берілсін, сонда (1.3.1) және (1.3.2) теңдіктерін пайдаланып, мынаны аламыз:

(1.3.3).

Жазық параболалық сандар жиынының құрамында нақты сандар жиынымен пара-пар болатын жиынның бар болатындығын көрсетелік. Ол үшін жиынын қарастырамыз және бейнелеуін былайша анықталық: немесе . Сонда бейнеленуі алгебрасының алгебрасына өзара бірмәнді бейнелеуі (изоморфизмі) болатындығын көрсетелік.
Шынында:

(1.3.4)

(1.3.5)

(1.3.4) және (1.3.5) теңдіктерінен бейнелеуінің алгебрасының алгебрасына негізгі операцияларды сақтай отырып бейнелеуі (гомоморфизмі) болып табылады.(1.3.4) және (1.3.5) теңдіктерінен және қос сандардың теңдігінен бұл бейнелеудің өзара бірмәнді (изоморфты) болатындығы шығады, яғни . Сондықтан түріндегі қосты х нақты санымен беттестіреміз, яғни . Сонда (1.3.3) теңдігінен болатындығын аламыз (бұнда ). Енді болатындығын тексерелік:

Сонымен, - жазық параболалық санының алгебралық түрі болады, бұнда .
Комплекс сандар теориясындағы ұғымдарға сәйкестендіріп, жазық параболалық санының - нақты бөлігі деп, ал - ді оның жорамал бөлігі деп атаймыз. Бұнда - жорамал бірлік.
Жазық параболалық сандарды қосу нақты сандарды қосу арқылы жүргізілетіндіктен мына тұжырымдар ақиқат болады.

1 - ұйғарым. Жазық параболалық сандарды қосу орын ауыстырымдылық және терімділік заңдарына бағынады.

Егер , және жазық параболалық сандар болса, онда

, (1.3.6)

. (1.3.7)

Осы (1.3.6) және (1.3.7) теңдіктердің орындалатындығын дәлелдеп көрсетелік. Егер параболалық сандар болса, онда нақты сандары табылып болады және (1.3.6), (1.3.7) теңдіктердің орындалатындығын тікелей есептеу арқылы жүргіземіз. Шынымен де:

1)

2)

.

Жоғарыда дәлелденген теоремадан жазық параболалық сандар алгебрасының коммутативті жартылай топ (группа) құрайтындығы шығады. Сонымен біз мына ұйғарымның ақиқаттылығын алдық.

2 - ұйғарым. - алгебрасы коммутативті жартылай топ (группа) құрайды.

коммутативті жартылай тобында қосу амалына қарағанда нейтрал элементтің қандай түрде болатындығын анықталық.
жазық параболалық саны қосуға қарағанда нейтрал элемент деп аталады, егер кез-келген берілген жазық параболалық саны үшін шарты орындалса.
Бұл теңдікте пен - дың мәндерін қойып, жазық параболалық сандарды қосудың анықтамасы бойынша түрлендірсек:

,

.

Соңғы теңдіктегі жазық параболалық сандардың нақты және жорамал бөліктерінің коэффициенттерін теңестіріп:

жүйесін аламыз. Оның шешімі болады. Сонымен, қосу амалына қарағанда нейтрал элементтің рөлін - нақты саны атқарады.
Сонымен жазық параболалық сандар жиынының қосу амалына қарағанда моноид құрайтындығын көреміз және біз мына тұжырымның ақиқаттылығын дәлелдедік:

3 - ұйғарым. - алгебрасы моноид құрайды.

моноидында элементіне қандай элементтің симметриялы (қарама-қарсы) болатындығын анықталық.
жазық параболалық саны берілген жазық параболалық санына симметриялы деп аталынады, егер олардың қосындысы нейтрал элементке тең болса. Яғни:

.

Бұл теңдіктен мен жазық параболалық сандары симметриялы болатындығы шығады.
Сонымен жазық параболалық сандардың аддитивті алгебрасы топ (группа) құрайды. Яки, біз мынаны дәлелдедік:

4 - ұйғарым. - алгебрасы группа (топ) құрайды.

Дәл осылайша жазық параболалық сандарды көбейтуді анықтайтын (1.3.2) теңдігінен мына ұйғарымдардың ақиқат болатындығын дәлелдеп көрсетуге болады.

5 - ұйғарым. - алгебрасы жартылай группа (топ) құрайды.

алгебрасында нейтрал элементтің рөлін нақты саны атқарады.

6 - ұйғарым. - алгебрасы моноид құрайды.

Жазық параболалық сандар жиынында модулі нөлден өзге және жорамал бірліктен басқа әр-бір жазық параболалық санына көбейту амалына қарағанда симметриялы элемент табылады және ол - ге тең болатындығын тексеруге болады. Сонымен мына ұйғарым дұрыс болады.

7 - ұйғарым. - алгебрасы группа құрайды, бұнда - модулі нөлден өзге және жорамал бірліктен басқа жазық параболалық сандар жиыны.

1.3.2 Түйіндес жазық параболалық сандар
жазық параболалық санына түйіндес деп санын айтамыз. Сонда,

және

.

Енді жазық параболалық сандардың түйіндестілігінің анықтамасынан шығатын қарапайым қасиеттерін қарастырайық. және жазық параболалық сандар болсын. Сонда мына теңдіктер орындалады:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Енді осы теңдіктердің орындалатындығын дәлелдеп көрсетелік. болатындықтан, мынаны аламыз:

.

Дәл осылайша қалған теңдіктердің орындалатындығын көрсетуге болады.
жазық параболалық санын жазық параболалық санына бөлу былайша орындалады:

Бұл айтылғандардан мына ұйғарымды аламыз:

1 - ұйғарым. Жазық параболалық сандардың қосындысының, айырымының, көбейтіндісінің және бөліндісінің түйіндестері олардың сәйкес түйіндестерінің қосындысына, айырымына, көбейтіндісіне және бөліндісіне тең болады.

1.3.3 Жазық параболалық сандардың модулі
Жазық эллипстік сандар үшін модуль ретінде нақты санының оң квадрат түбірі алынатындығы және таңбалануы енгізілетіндігі белгілі. Дәл осылайша алсақ, жазық параболалық санның модулі болады. Бірақ санының модулі бір мәнді анықталмайтындықтан, оны пайдалануда әр түрлі қиыншылықтар туады. Сондықтан, жазық параболалық санының модулі ретінде бір мәнді анықталатын, түйіндес жазық параболалық сандардың қосындысының жартысын аламыз, яғни:

.

Бұдан жазық параболалық сандардың модулінің теріс сан да бола алатындығы шығады. Бұл жазық параболалық сандардың жай комплекс сандардан алғашқы айырмашылығы.
Жазық параболалық санының модулінің анықтамасынан мынаны аламыз:

1 - ұйғарым. Жазық параболалық сандардың көбейтіндісінің модулі олардың модульдерінің көбейтіндісіне тең болады.

Дәлелденуі. Бізге және жазық параболалық сандары берілсін, бұнда . Сонда ұйғарымның шарты бойынша теңдігінің орындалатындығын көрсетейік.
Жазық параболалық санның модулінің анықтамасы бойынша және болады. Екінші жағынан,

Салдар. Екі жазық параболалық сандардың бөліндісінің модулі олардың модульдерінің сәйкес бөліндісіне тең болады. Яғни,

.

Дәлелдеу үшін соңғы теңдікті түрінде жазып аламыз және осы теңдіктің орындалатындығын дәлелдейміз. Жоғарыда дәлелденген ұйғарым бойынша .
Бұл дәлелденген ұйғарым жалпы екі рангілі алгебралардың көбіне тән қасиет болып табылады.
Енді, жазық эллипстік және жазық гиперболалық сандар үшін орындалмайтын, бірақ тек қана жазық параболалық сандарға тән болатын қасиетін атап өтелік. және жазық параболалық сандарын қосып мынаны аламыз: , бұнда .
Бұдан

.
Сонымен мынаны дәлелдедік.

2 - ұйғарым. Жазық параболалық сандарының қосындысының модулі олардың модульдерінің қосындысына тең болады.
Дәл осылайша мына ұйғарымның орындалатындығын көрсетуге болады.

Салдар. Жазық параболалық сандардың айырымының модулі олардың сәйкес модульдерінің айырымына тең болады.

Сонымен, .

1.3.4 Жазық параболалық сандардың тригонометриялық түрі
Модулі 0-ден өзге жазық параболалық сандарды, эллипстік сандардың тригонометриялық түріне ұқсас түрде жазуға болады.
Алгебралық түрдегі берілген жазық параболалық санын мына түрде жазамыз:
.
Бұнда, жазық параболалық санының модулі, ал осы жазық параболалық санының аргументі ретінде аламыз және арқылы белгілейміз. Сонымен, .
нақты саны жазық параболалық санының аргументінің 0-ге тең екендігін сипаттайды. Түйіндес және жазық параболалық сандарының модульдері тең болады: және олардың аргументтері қарама қарсы: және .
және жазық параболалық сандардың көбейтіндісін қарастыралық:

.

Бұл теңдіктен және шарттарын аламыз. Сонымен, біз мынаны дәлелдедік:

1 - ұйғарым. Екі жазық параболалық сандардың көбейтіндісінің модулі олардың модульдерінің көбейтіндісіне және көбейтіндісінің аргументі олардың аргументтерінің қосындысына тең болады.

Салдар. Екі дуальді сандардың бөліндісінің модулі олардың модульдерінің бөліндісіне және бөліндінің аргументі алымының аргументінен бөлімінің аргументіне азайтқанға тең болады.

Шынында да,

Бұдан және теңдіктерін аламыз.
Енді жазық параболалық сандарды дәрежелеу амалын қарастырайық. Алдымен, тригонометриялық түрінде берілген жазық параболалық санның квадратын және кубын қарастырамыз:

.

.

Сонымен, мынаны аламыз:

(1.3.8)

(1.3.9)

(.1.8) және (1.3.9) теңдіктерден барлық - натурал сандары үшін

(1.3.10)

теңдігі орындалады дейтін қорытынды шығарамыз. Шынында да, бұл теңдіктің үшін орындалатындығы (1.3.8) теңдіктен шығады. Енді кез келген натурал үшін (1.3.10) теңдік орындалсын делік. Сонда, осы теңдіктің үшін орындалатындығын дәлелдейік.
(.1.9) теңдікте - нің орнына (к+1) - ді қойып

(1.3.11)

теңдігін аламыз. Енді осы (1.3.11) орындалатындығын дәлелделік. Дәрежелеудің анықтамасы бойынша мынаны аламыз:

Сонымен математикалық индукция принципі бойынша (1.3.10) теңдік барлық n натурал сандары үшін орындалады.
n=0 және n=1 болғанда (3) теңдіктің орындалатындығын теңдіктердің оң және сол жақтарын тікелей есептеу арқылы тексеруге болады. Енді, n - теріс бүтін сан болсын. Сонда m - натурал саны табылып, n=-m болады. Бұл жағдайда

Сонымен, мынаны дәлелдедік:

1 - ұйғарым. Кез - келген n - бүтін саны үшін
теңдігі орындалады.

Бұл теңдікті жазық параболалық сандар үшін Муавр формуласы деп атаймыз. Муавр формуласын пайдаланып,

теңдігінің орындалатындығын аламыз. Бұдан

(1.3.12)

теңдігі шығады. (1.3.12) формуладан болғанда тақ дәрежелі түбірдің бірмәнді анықталатындығы шығады. Ал, болғанда, жұп дәрежелі түбір табылмайды және болғанда жұп дәрежелі түбірдің екі мәні болады.

2 Төртінші ретті алгебралар құрылымы
Төртінші ретті алгебраларды құру және олардың алгебралық қасиеттерін зерттеу үшін Кэли - Диксонның екі еселеу процесін қолданамыз [5,10,17]. Кэли - Диксон процесі деп берілген алгебрасынан жаңа өлшемі екі еселенген алгебрасын құруды айтады.
бірлік элементі өрісінде берілген алгебра болсын, - өрісінен алынған нөлдік емес элемент болсын және - те инволюциясы бар сызықты бейнелеу беріліп, мына шарттар орындалсын:

,.

Сызықты кеңістіктердің тура қосындысында құрылымын алгебраға айналдыратын көбейту амалы мына формуламен беріледі:

.

алгебрасы алгебрасының ішкі алгебрасы болады: және алгебрасында * инволюциясы алгебрасындағы инволюцияға жалғасады:

.

Мұндағы

, .

алгебрасынан алгебрасына көшуді жалғастыруда беруге болады, мұнда алгебраның өспелі тізбегі алынады. параметрі көшудің әрбір қадамында өзгеріп тұруы мүмкін.
Кэли - Диксон процесі базисі көбейту кестесі

, ,

және инволюциясы , -ге болатын алгебрасынан басталса, онда өлшемі 4-ке тең ассоциативті алгебрасы шығады, ал екінші қадамда өлшемі болатын алгебрасы шығады. алгебрасы Кэли - Диксон алгебрасы деп аталады.
Кез келген Кэли - Диксон алгебрасы альтернативті, бірақ ассоциативті емес -ке қарағанда центрлік жай алгебра болады.

2.1.1 Биэллипстік сандар алгебрасының құрылымы
Эллипстік сандар алгебрасынан Кэли - Диксонның екі еселеу процесі мен алынған жаңа құрылымды биэллипстікс сандар жиыны деп атаймыз:

,

Мұнда - эллипстік сандар алгебрасы, - алгебралық еселіктің жорамал бірлігі, - биэллипстік сандар жиыны.
Екі еселеу арқылы биэллипстік сандарды құруда құрушы жиындардағы жорамал бірліктер көбейтуге қарғанда орын ауыстырымдылық заңына бағынады деп аламыз.
Екі жорамал бірліктің біреуін , ал екіншісін арқылы белгілелік. Енді - биэллипстік сандар жиынының элементтерінің алгебралық түрін анықталық:
болса, онда және табылып, деп белгілеп аламыз:

.

Сонымен биэллипстік сандардың жалпы түрі:

мұнда - ді ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.