Жазық эллипстік сандар алгебрасының құрылымы

Жұмыс түрі: Диссертация
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 62 бет
Таңдаулыға:

Кіріспе

Зерттеу тақырыбының өзектілігі. Математиканың басқа ғылымдардың әртүрлі салаларындағы қолданылуында комплекс, гиперболалық және параболалық сандардың, қазіргі кезде бұлардың жалпыламасы болып табылатын полисандардың қолданылатындығы белгілі. Гиперболалық, параболалық сандардың геометриялық қасиеттері кеңінен қарастырылғанымен [9], олардың алгебралық қасиеттеріне арналған зерттеулер көп кездеспейді. Сондықтан нақты сандар өрісінің алгебралық кеңейтілуінен шығатын жалпыланған сандардың, нақты сандар өрісінің алгебралық қасиеттеріне жақын келетін алгебралық құрылымдарды зерттеу өзекті болып табылады.

Сан ұғымы математикадағы ең маңызды зерттеу объектісі болып табылады. Сандық жиындарды

\[{\mathrm{NI~ZI~}}~Q\cap~R\subset C\]

ретімен орналастырып, осы алгебралық кеңеюлерді құрудағы алгебралық структураларды ретімен қарастыралық. Бұларды сәйкесінше натурал, бүтін, рационал, нақты, комплекс, сандық жиындар деп атау қабылданған.

Натурал сандарды қосу және көбейту амалдары нәтижесі натурал сан болады, яғни

\[\hat{\bar{a}}N\hat{\bar{\nu}}\hat{\bar{\nu}}\hat{\bar{\nu}}\]

алгебра құрайды. Қосу және көбейту амалдары терімділік, орын ауыстырымдылық және үлестірімділік заңдылықтарына бағынады. Сондықтан бұл жүйе натурал сандардың коммутативті жартылай сақинасы деп аталады.

\[\hat{\bar{a}}N\hat{\bar{\nu}}\hat{\bar{\nu}}\hat{\bar{\nu}}\]

алгебрасын

\[a+x=b\]

теңдеуінің шешімі болатындай етіп, кеңейту нәтижесінде бүтін сандардың

жиыны шығады. Сонда,

\[{\hat{\alpha}}\mathbb{Z};+,^{\cdot}\rangle\]

алгебрасы коммутативті сақина құрайды.

\[{\hat{\alpha}}\mathbb{Z};+,^{\cdot}\rangle\]

алгебрасын

\[a\times x=b\]

\[(a\ \ne0)\]

теңдеуінің шешімі болатындай кеңейтудің нәтижесінде рационал сандардың

\[{\cal Q}\,\]

жиыны шығады.

\[{\hat{a}}Q;+,\cdot)\]

алгебрасы коммутативті өріс құрайды [1-4, 8, 10] . Рационал сандар өрісі барлық сандық өрістердің қиылысуында жататын ең кіші сандық өріс болады. Рационал сандар өрісіне шексіз периодсыз ондық бөлшектерді қосу арқылы, нақты сандардың

\[{\widehat{\frac{\mathcal{D}}{\mathsf{N}}}}\]

өрісін аламыз. Бұл өріс мектепте қарастырылатын сандық жиындардың ең үлкені болып табылады. Нақты сандар өрісін

\[\chi^{2}\ +1=0\]

теңдеуінің шешімі болатындай етіп кеңейтудің нәтижесінде комплекс сандардың С өрісі шықты. Жалпы математикадағы табиғаты сан болатын бұл ең үлкен өріс. Сондықтан комплекс сандар өрісінің ішкі өрістерін сандық өрістер деп атайды [2, 4, 8, 10] .

«Алгебра және сандар теориясында» және математиканың басқада бөлімдерінде нақты сандардың

\[{\widehat{\frac{\mathcal{D}}{\mathsf{N}}}}\]

өрісінде келтірімсіз (жіктелмейтін, нақты түбірі жоқ) көпмүшеліктің ең үлкен дәрежесі екіге тең болатыны айтылып, дәлелденіледі [1, 2, 8, 10] .

Келтірімсіз екінші ретті көпмүшелікті квадраттық форма деп қарастырсақ, онда оны толық квадратты бөліп шығару (Лагранж), ортогоналды түрлендіру немесе инерция заңы әдістерімен нормал түрге келтіруге болатындығы белгілі [1, 2, 4, 8] .

Квадрат теңдеудің нақты түбірлерінің бар болуын зерттеу барысында, оның дискрминантын қарастыру қажет болады. Дискрминантың нөл, оң және теріс сан болуына байланысты, нақты сандар жиынының кеңейтілуі математикада сәйкесінше параболалық, гиперболалық және эллипстік сандар жиыны деп атау қабылданған [7] . Магистрлік диссертациялық жұмыста пайда болған жаңа сандар жиынында, оның элементтерін қалайша қосуға және көбейтуге болады, мұнда шыққан алгебралардың құрамы қандай деген сұрақтарға жауап іздейміз.

Енді осы алгебралардың қалай пайда болатынына тоқталайық:

\[x^{2}+p x+q=0\]

;

\[p,q\in R\]

. (0. 1)

теңдеуін түрлендірейік, яғни толық квадратқа келтірейік.

\[\frac{\alpha}{\xi}+\frac{p}{2}\frac{\bar{\phi}^{2}}{\bar{\phi}}=\frac{p^{2}}{4}-q\]

(0. 2)

(0. 2) теңдіктің оң жағын D (дискриминант) деп алсақ, онда

\[D={\frac{P^{2}}{4}}-q\]

. Енді осы D санының мүмкін болатын үш жағдайын қарастыралық:

1) D - теріс сан болсын, сонда

\[\overline{{K}}_{\mathrm{v}}\]

нақты сан табылып,

\[D=-k^{2}.\]

Бұны (0. 2) теңдікке қойып, мынаны аламыз:

\[{\frac{\ddot{\alpha}}{\dot{\hat{\alpha}}}}+{\frac{p\,{\dot{\hat{\alpha}}}}{2\,{\ddot{\hat{\phi}}}}}=-k^{2}\]

немесе

\[\begin{array}{r}{{\frac{\mathrm{e}}{\zeta}}x+{\frac{p}{2}}{\frac{\omega}{\bar{z}}}=-1.}\\ {\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad{\bar{\eta}}}\\ {\quad\quad\quad{\bar{\phi}}}\end{array}\]

Гауссша

\[{\frac{x+{\frac{p}{2}}}{k}}=i\]

белгілеуін енгізсек, онда

\[i^{2}=-1\]

болатындығы шығады. Бұл жағдайда белгілі комплекс сан ұғымына келеміз. Комплекс сандарды кейбір әдебиеттерде эллипстік сандар деп те атайды.

2) D - нөлге тең болсын, онда

\[\frac{\alpha}{\epsilon}+\frac{p}{2}\frac{\partial^{2}}{\bar{\phi}}\;=0\]

болатынын аламыз.

\[{\frac{x+{\frac{p}{2}}}{k}}=j\]

белгілеуін енгізсек, онда дискриминант

\[j^{2}=0\]

түріне келеміз. Осы шартты қанағаттандыратын j санын дуальдық немесе параболалық сандар деп атайды.

3) D - оң сан болсын, сонда

\[\overline{{K}}_{\mathrm{v}}\]

нақты сан табылып,

\[D=k^{2}\]

болады және (0. 2) теңдігінен мынаны аламыз:

\[\begin{array}{l}{{\frac{\pi}{g}+P\frac{\theta^{4}}{g}}}\\ {{\frac{\pi}{g}\stackrel{\pi}{g}=1}}\end{array}\]

\[{\frac{x+{\frac{p}{2}}}{k}}=\varepsilon\]

белгілеуін енгізіп,

\[\mathcal{E}^{\ 2}\Pi\]

болатындығын аламыз. Бұл шартты қанағаттандыратын сандарды қосарланған немесе гиперболалық сан деп атайды.

Қосарланған және дуальді сандарды алудың математикадағы әртүрлі бағыттарға тоқталалық.

Бірінші бағыт келтірілген

\[x^{2}+p x+q=0\]

\[(p,q\in R)\]

квадрат теңдеуінің түбірлерінің бар болуын зерттеуге байланысты, дәстүрлі көз-қарас [2, 5] . Теңдеуінің дискриминанты теріс, оң және нөл болуына байланысты түрлендірулердің нәтижесінде

\[{\mathit{i}}^{2}=-1\]

\[\scriptstyle s^{2}=1\]

\[j^{2}=0\]

теңдіктерінің шығатындығын жоғарыда көрсеттік.

Екінші бағыт өрісті таза алгебралық кеңейтудің Грассман - Клиффорд және Кэли-Диксон процесін [5, 17] қолдану арқылы комплекс, гиперболалық және параболалық сандардың

\[H=\left\{a+b s\,/a,b\in R\right\},\]

\[P=\left\{a+b j/\,a,b\in R\right\}\]

жиындарын ашық түрде алып, оның элементтеріне қосу және көбейту амалдарын дәстүрлі түрде анықтайды.

Үшінші бағыт қолданбалы математикада [7] кеңінен қолданылатын жазық векторлар ұғымын пайдаланып жалпыланған сандарды алу. Жазық

\[z_{1}=x_{1}+k y_{1},z_{2}=x_{2}+k y_{2}\]

векторларының көбейтіндісі:

\[z_{1}z_{2}=x_{1}x_{2}+k(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})+k^{2}y_{1}y_{2}\]

жазықтықтан шықпауы үшін

\[k^{2}=a+\beta k\]

деп аламыз. Сонда

\[z_{1}z_{2}=x_{1}x_{2}+a y_{1}y_{2}+k\big(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+\beta y_{1}y_{2}\big)\]

Кез - келген

\[a\ \beta\]

үшін көбейтудің орын ауыстырымдылық, терімділік және қосуға қарағанда үлестірімділік заңдары орындалады. Көбейтуге қарағанда кері амалдың орындалуын тексеру барысында

\[(a\ \phi)\]

жазықтығы сәйкесінше квадраты минус бірге, бірге және нөлге тең болатын облыстарға бөлінетіндігі шығады. Оларға сәйкесті сандарды эллипстік, гиперболалық және параболалық комплекс сандар деп атайды.

Дуальді сандарды XIX ғасырдың аяғымен XX ғасырдың басында өмір сүрген неміс геометрі Эуген Штуди (1862-1930) алғаш қарастырып, математикаға енгізген [9, 6] . Жалпы дуальді сандардың алгебралық қасиеттері жұтаң болғандықтан, оны зерттеу геометриялық ұғымдарды қарастырумен байланысты жүргізілген [12, 13] . Сондықтан мен диссертациялық жұмысымды жай комплекс сандардың алгебралық қасиеттерін дуальді және қосарланған сандар үшін көшіру мәселесін және бұл сандар қандай алгебралық структураларды құрайтындығын басты мақсат етіп алдым.

Эллипстік немесе жай комплекс сандарға арифметикалық амалдар қолдану орта мектеп математикасында қабылданған екі мүшелікті қосу және көбейту арқылы жүргізіледі, бұнда тек жорамал бірліктің квадраты минус бір болатындығы ескеріледі.

Біз жаңа жалпыланған сандар жиындарда олардың элементтерін қосуды және көбейтуді сәйкес түрде анықтама арқылы тағайындаймыз және комплекс сандар үшін қарастырылатын ұғымдардың осы үш жиында орындалатындығын салыстырмалы түрде қарастыруға болатындығын көрсетеміз.

Жалпыланған сандарды қосу, олардың нақты және жорамал бөліктерінің коэффициенттерін қосуға келтірілетіндіктен олардың алгебралық қасиеттері нақты сандарды қосудың алгебралық қасиеттерімен бірдей болады. Сондықтан жалпыланған сандардың аддивті алгебрасын зерттеуде нақты сандардың аддивті алгебрасынан өзгешелігі алгебралық тұрғыдан болмайды. Демек, жалпыланған сандар алгебрасының нақты сандар алгебрасынан өзгешелігі көбейту операциясын қарастыруда пайда болады.

Менің магистрлік диссертациялық жұмысым жалпыланған сандардың аддитивті және мультипликативті алгебраларының құрлымын зерттеуге және нақты сандардың мультипликативті алгебрасынан қаншалықты ауытқулар болатындығын анықтауға арналған.

Магистрлік диссертациялық жұмысты жазудағы менің негізгі мақсатым, жазық қосарланған және дуалды сандардың эллипстік сандарға ұқсас алгебралық қасиеттерін қарастырып, қосарланған және дуалды сандар жиынында қосу және көбейту амалдарын енгізгеннен кейін, қандай алгебралардың ( топ, сақина, өріс, сызықтық алгебра ) пайда болатындығын және олардың қарапайым қасиеттерін алгебралық тұрғыдан зерттеу.

Зерттеу жұмыстың нысаны. Табиғаты нақты сандарға ұқсас, қасиеттерінде өзгешелігі бар эллипстік, қосарланған және дуалды сандардың екі еселенген кеңейтілуінен шығатын жиын.

Зерттеу мақсаты мен міндеттері. Эллипстік, қосарланған және дуалды сандардың алгебрасын Грассман - Клиффорд, Кэли - Диксонның екі еселеу процесінен шығатын төртінші ретті алгебраның құрылымын және алгебралық қасиеттерін зерттеу.

Диссертациялық жұмыстың ғылыми жаңалықтары мен ғылыми нәтижелері. Зерттеу нысандарын жүйелі түрде қарастырып, осы нысандардағы алгебралық құрылымдардың толық зерттелуі.

Диссертациялық жұмыстың ғылыми жаңалығының дәйектілігі мен негізділігі. Қарастырылатын нысандардың бар болатындығы математикалық моделін құру арқылы және алгебралық құрылымдарды зерттеу қалыптасқан дәстүрлі тұрғыда жүргізілді.

Диссертациялық жұмыстың теориялық құндылығы. Диссертация нысаны таза теориялық тұрғыдан зерттелгендіктен және қазақ математикалық әдебиеттерде кездеспейтіндігімен құнды болады.

Диссертациялық жұмыстың практикалық маңыздылығы. Алгебралық құрылымдарды толық зерттелуі, жұмыс нәтижесін арнайы курстарға негіз етіп алуға және орта мектептерде ғылыми жобаларды жазуда пайдалануға болатындығында.

Зерттеу нәтижелерінің мақұлдануы. Х. Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университетінің физика, математика және ақпараттық технологиялар факультетінің математикалық кафедраларының және Астрахань мемлекеттік университетінің «алгебра және геометрия» кафедрасының семинарында талқыланып мақұлданды. Зерттеу нәтижесі Х. Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университетінде және Атырау мұнай және газ институтында өткен ғылыми практикалық конференцияларда баяндалды.

Зерттеу құрылымы. кіріспеден, үш бөлімнен, қорытындыдан және пайдаланған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1 Екінші ретті алгебралар құрылымы

Нақты сандар өрісін, жалпы жағдайда әртүрлі алгебраларды кеңейтудің бірнеше жолдары бар. Солардың ішінде алгебралық тұрғыдан маңыздысы Грассман - Клиффордтың және Кэли - Диксонның алгебраны екі еселі кеңейтуі болып табылады. Бұл бөлімде Грассман - Клиффордтың жаңа алгебра құруының әдістемесін негізіге ала отырып, нақты сандарды екі еселі кеңейтуден шығатын екінші ретті алгебралардың құрылымы зерттеледі.

Сыртқы алгебра немесе Грассманның алгебрасы деп, алғаш рет 1844 жылы Грассман енгізген векторлық кеңістіктердің ішкі кеңістіктерін сипаттайтын алгебралық жүйені айтады.

\[{\cal K}\]

өрісінің үстіне құрылған

\[\setminus\overbrace{\Psi}\]

векторлық кеңістігінің

\[{\mathcal{N}}\]

сыртқы алгебрасы деп,

\[{\cal K}\]

өрісінің үстіне құрылған ассоциативті алгебраны айтады, мұнда негізгі операция

\[{\mathcal{N}}_{1}\]

таңбасымен белгіленеді және алгебраны жасаушы элементтер

\[1,e_{7/2},\qquad n\]

болады, мұндағы

\[e_{R}\varphi\dots,\qquad n\]

берілген векторлық кеңістіктің базисі. Алгебраны анықтаушы қатыстар мына түрде болады:

\[e_{\tilde{g}\tilde{/}\tilde{t}}i\tilde{p}n e a=\Lambda={\bigl(}{\bf\Psi},1,...,0;\quad{\bigr)}\]

\[e_{I n}^{e}{\bar{o}}h{\bar{u}}^{\dot{\alpha}}\,\dot{\bar{3}}{\stackrel{\rightarrow}{\rightarrow}}{\mid}{\mid}\pm\left(\frac{}{}\quad\quad\quad\right)\]

Сыртқы алгебра

\[{\mathcal{N}}\]

арқылы белгіленеді. Дегенмен, арнайы алгебраларды құруда басқа таңба пайдалануы мүмкін. Мұндағы

\[\mathbb{A}_{1}\]

таңбасы сыртқы көбейту деп аталады,

\[e_{f\bar{z}}\vartheta\vee\Lambda...\quad\quad_{k}\]

элементтерінің туындайтын

\[\wedge^{k}V\]

\[(k{\mathit{n}}(0,1,...,\ )\]

ішкі кеңістігі

\[\setminus\overbrace{\Psi}\]

кеңістігінің

\[\overline{{K}}_{\mathrm{v}}\]

- шы ретті сыртқы дәрежесі деп аталады. Сыртқы алгебра үшін мына шарттар орындалады:

\[\dim{\mathrm{A}}\lambda\vdash\ \ n\]

\[\dim{\textstyle\bigwedge}^{\mathrm{kiv}}C\quad,\]

\[\wedge^{k}{\mathfrak{T}}\quad0\]

, егер

\[k{\mathcal{X}}\]

болса.

\[\wedge^{k}V\]

кеңістігінің элементтерін

\[\overline{{K}}_{\mathrm{v}}\]

вектор деп атайды, бұларды

\[\setminus\overbrace{\psi}\]

кеңістігінде

\[\overline{{K}}_{\mathrm{v}}\]

ретті қиғашсимметриялы және контравариантты тензор ретінде қарастыруға болады. Мұнда тензорларды көбейту амалы барлық индекстер бойынша антисимметрияланған ( альтернативтелген) болады.

Алғашқы рет Клиффорд қарастырған коммутативті сақинаның үстіне құрылған арнайы түрдегі ассоциативті алгебраны Клиффорд алгебрасы деп атайды.

\[\textstyle K\]

- бірлік элементті сақина,

\[\overline{{\frac{f{overline{{\cal H}}}^{\dagger}}{2}}},\]

- еркін

\[\textstyle K\]

- модул,

\[{\mathbf{}}F\]

- еркін

\[\overline{{\frac{f{overline{{\cal H}}}^{\dagger}}{2}}},\]

- модулде берілген квадраттық форма болсын. Сонда

\[{\mathbf{}}F\]

формасының Клиффорд алгебрасы деп

\[\mathopen<\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{A}\mathcal{A}\mathcal{B}\left(\begin{array}{c}{{\phantom{\dagger}}}\\ {{\mathrm{\large~-1~}}}\end{array}\right)\]

элементінен шығатын

\[\overline{{\frac{f{overline{{\cal H}}}^{\dagger}}{2}}},\]

- нің

\[\textstyle K\]

- модулі бойынша екі жақты идеалының

\[T\xi\mid\mathcal{X}\]

тензорлық алгебрасын

\[{\mathit{C l}}k{\mathit{F}},\ \ \ ,\ \ \ )\]

фактор алгебрасын айтады.

\[\textstyle K\]

- модулі ретінде негізінен нақты сандар өрісі немесе комплекс сандар өрісі алынады. Бұл жағдайда

\[\overline{{\frac{f{overline{{\cal H}}}^{\dagger}}{2}}},\]

- сызықты кеңістік болады және

\[{\mathbf{}}F\]

- ретінде осы кеңістікке тән скаляр көбейту құрылымы алынады.

\[\textstyle K\]

сақинасының сипаттамасы екіге тең болмаса, онда

\[x,y\in E\]

үшін мына тепе - теңдік орындалады:

\[x\,{\dot{\mathbf{A}}}\,y+y\,{\dot{\mathbf{A}}}\,x=2{\bigl(}x,y{\bigr)}\]

мұндағы

\[\ll_{{\bf{q}}_{>}}^{\prime}\sum_{\sim}^{\infty}\]

таңбасы симметриялы бисызықты форма және сәйкес

\[{\mathbf{}}F\]

квадраттық формасы мына түрде беріледі:

\[ =\frac{1}{2}\bigl(F\bigl(x+y\bigr),\ F\bigl(x\bigr)-F\bigl(y\bigr)\bigr)\]

Нөлдік

\[{\mathbf{}}F\]

квадраттық формасының

\[{\tilde{M}}(E,F)\]

алгебрасы

\[{\mathfrak{s}}(E)\]

сыртқы алгебрасымен беттеседі.

1. 1 Жазық эллипстік сандар алгебрасының құрылымы

1. 1. 1 Эллипстік сандар алгебрасын құру

Нақты сандар өрісін Кэли - Диксонның екі еселеу көмегімен алынған жаңа құрылымды жазық эллипстік сандар алгебрасы деп аталып, мына түрде жазылады:

\[C=D_{1}+e\cdot D_{2}\]

мұндағы

\[D_{1},D_{2}\]

- нақты сандар алгебралары,

\[\textstyle{\mathcal{Q}}\]

- жорамал бірлік,

\[\stackrel{\sqrt{\sim}}{\sim}\]

- жазық эллипстік сандар алгебрасының кескіндеуін көрсетеді, жорамал бірлік

\[e^{2}=-1\]

шартын қанағаттандырды.

Жазық эллипстік сандар математикада және математиканың қолдануларында өзінің ерекше қасиеттерімен кең көлемде қолданылады.

Элементтері нақты сандар болатын екі өлшемді қостардың жиынын қарастырамыз:

\[C=\left\{(a,b)/a,b\in R\right\}\]

\[\stackrel{\sqrt{\sim}}{\sim}\]

жиынындағы

\[\displaystyle(a_{i},b)\]

және

\[(c_{*}\,d)\]

қостарын қосуды және көбейтуді мына түрде анықтаймыз:

\[(a,b){\check{A}}\left(c,d\right)=\left(a+c,b+d\right)\]

(1. 1)

\[(a,b)\tilde{\bf A}\left(c,d\right)=(a c-b d,a d+b c)\]

(1. 2)

\[\stackrel{\sqrt{\sim}}{\sim}\]

жиынының құрамындағы жазық сандарды эллипстік деп атаймыз.

Сонда пайда болатын

\[ \]

алгебрасының құрылымын зерттейміз. Ол үшін жоғарыда анықталынған амалдардың қасиеттерін қарастырамыз. Негізгі мақсатым нақты сандардың орын ауыстырымдылық (коммутативтік), терімділік (ассоциативтік) және үлестірімділік (дистрибутивтік) заңдарының қайсылары орындалатындығын тексеру.

Сонымен мына шарттардың орындалатындығын тексереміз.

\[(a,b)\check{A}\left(c,d\right)=(c,d)\oplus(a,b)\]

(1. 3)

\[(a,b)\check{A}\left(c,d\right)=(c,d)\otimes(a,b)\]

(1. 4)

\[((a,b)\tilde{\bf A}\,(c,d))\tilde{\bf A}\,(n,m)=(a,b)\tilde{\bf A}\,((c,d)\oplus(n,m))\]

(1. 5)

\[((a,b)\dot{\bf A}\left(c,d)\right)\dot{\bf A}\left(n,m\right)=(a,b)\ddot{\bf A}\left((c,d)\otimes(n,m)\right)\]

(1. 6)

\[((a,b)\dot{\bf A}\,(c,d))\dot{\bf A}\,(n,m)\!=(a,b)\ddot{\bf A}\,(n,m)\dot{\bf A}\,(c,d)\otimes(n,m)\]

(1. 7)

Жазық эллипстік сандарды математикада комплекс сандар деп атап, оны С арқылы белгілеу қабылданған. Жазық эллипстік сандардың қосын қосу анықтамасы бойынша, оның компоненталарын (координаталарын) қосуға келтірілетіндіктен C үшін (1. 3) және (1. 5) теңдіктердің орындалатындығын дәлелдеу нақты сандарды қосудың заңдылықтарын ескере отырып жүргізіледі:

\[(a,b)\tilde{\mathrm{A}}\left(c,d\right)=\left(a+c,b+d\right)=\left(c+a,b+d\right)=\left(c,d\right)\oplus(a,b)\]

(1. 4) және (1. 6) теңдіктердің орындалатындығын тексеру (1. 2) теңдікті және нақты сандарды көбейтудің орын ауыстырымдылық, терімділік заңдарын пайдалана жүргізіледі:

\[(a,b)\dot{{\bf A}}\left(c,d\right)=\left(a c-b d,a d+b c\right)=\left(c a-d b,d a+c b\right)=\left(c,d\right)\otimes\left(a,b\right)\]

. (1. 8)

(1. 9)

(1. 10)

және (1. 10) теңдіктердің оң жақтарын салыстырып, аламыз:

\[((a,b)\dot{\bf A}\left(c,d)\right)\dot{\bf A}\left(n,m\right)=(a,b)\ddot{\bf A}\left((c,d)\otimes(n,m)\right)\]

Енді жазық эллипстік сандарды көбейтудің қосуға қарағанда үлестірімділік заңының орындалатындығын дәлелделік. Сонда

\[((a,b)+(c,d))\wedge(n,m)=(a+c,b+d)\wedge(n,m)=((a+c)n\cdot(\rho+d)n\cdot(a+c)\wedge n+(b+d)\wedge m)=(a,b)\]

\[=(a m+c m-b n-\ d n,a n+c n+b m+d m)=\left((a m-b n\right)+(c m-\ d n)+\left((n+b m\right)+\left(c n+d m\right)=-\left((a m-b m\right)+\left(c m-d m\right)\]

\[=(a n-b n,a m+b m)+(c m-d n,c n+d m)=(a,b){\ddot{\mathbf{A}}}\left(n,m\right)+(c,d)\otimes(n,m)\]

Бұл дәлелденген қасиеттерден кейін мына ұйғарымдар ақиқат болады:

1 - ұйғарым.

\[\langle C;\Theta\rangle\]

- алгебрасы коммутативті жартылай топ (группа) құрайды.

2 - ұйғарым.

\[\langle C;\otimes\rangle\]

- алгебрасы коммутативті жартылай топ (группа) құрайды.

\[\theta=(0,0)\]

және -

\[z=\left(-\,x,\,y\right)\]

векторларын енгізелік. Сонда