Геометрия ғылымының аталуы ежелгі
Математиканы оқыту әдістемесінің тарихы
Фи19-10к1,2,кс
1-деңгей
1. Математиканы оқытудағы тарихи көзқарас
Б_ған дейінгі мағл_матты
білгісі келмей, осы к_нгімен
шектелгісі келген адам, оны
еш_ашан т_сінбейді.
Г.Лейбниц
Оқу құралы математика пәнінің мұғалімдеріне, жоғары оқу орындарының
педагогика факультетінің студенттері мен оқытушыларға арналған. Әрбір
мұғалімге математика тарихынан деректер алуға мүмкіндік беріледі.
Кітапта математика ғылымдарының қалыптасу жолдары сипатталып,
даму заңдылықтары зерттеледі. Европадағы математиканың даму тарихы,
Қытай және Үнді математикасына жеке тараулар арналған.
Көбінесе сирек қарастырылатын Таяу шығыс және Орта Азия елдерінің
математикасының дамуына көп көңіл бөлінген. Арифметика, геометрия,
алгебра және математикалық анализ тарихы секілді мектепте оқытылатын іргелі математика пәндерінің тарихының бөлімдері жеке тарауларға бөлінген.
Қосымша тарауда Сәбетбай Елубаевтың өз қолтаңбасымен маған
сыйлаған кітаптан Байырғы өлшеуіштер мен қазақ есебі атты мәліметтерді,
сонымен қатар Л.Ф. Магницкий және оның Арифметикасы атты қызықты
мәліметтер берілген.
Толық қамтыған тарих мүмкін емес, сондықтан осы оқу құралында
ғылым тарихының математика мұғалімдерін қызықтырып, пайдалы болатын
сұрақтары ғана баяндалған. Математика тарихын біліп қана осы заманғы
математиканың соншама жоғары жетістіктерге жеткенін түсінуге болады.
2. Математиканың дамуындағы ғылым тарихының рөлі
Ғылым д_ниеге келген бойда
_арастырылган болса, ол
әр_ашанда толы_
ме_герілген болар еді.
Максвелл
Қоғамды ізгелендірудің қажеттілігі ХХІ ғасырдың өркениетті дамуында,
әлеуметтік қатынастарды ұйымдастыруда айшықтана көрініс табуда.
Математикалық ғылымда қосымшасындағы гуманитарлық білмідер
әдістемесінің элементі ретінде қарастырылатын тарихи көзқарастар келешкете
математикалық білім беру жүйесінің құрылымы мен мазмұны жаңартудың
тиімді тәсілі болып табылады.
Республика мектептеріндегі оқыту тәжірибесі көрсетіп отырғандай
қандай да бір ғылымның тарихымен оқушыларды таныстыру, оларды
адамгершілікке және елжаңдылыққа тәрбиелеуге үлкен мүмкіндік туғызады.
Өткен дәуірдің ғұлама ойшылардың өмір жолдары мен олардың ғылымға
қосқан үлесімен және адамгершілік қасиеттерімен оқушыларды таныстыру,
олардың өзін-өзі тәрбиелеуіне жетілуіне елеулі әсер етеді.
Ғылым тарихын зерттеу не үшін қажет?
Іргелі идеялар бастауына көтерілуге мүмкіндік алу үшін, олардың даму
барысын, кейде тіпті күрделі тағдырын, яғни қарама - қайшылықтар мен қайта
жаңғырулар арқылы өткен жолын қадағалап, осы үрдістің заңдылықтарын
түсіну; адамзаттың әлем құпияларын ашудағы беталысын білу, осы жолда
қандай қиыншылықтарды жеңуге тура келгенін; әр дәуірде және адамзат
тарихының бүкіл өне бойында ғылыми прогрессті жеделдеткен не, тәжеген не
екенін ұғыну үшін қажет. Ғылым тарихын зерттеу кәзіргі заманғы оқиғалар
ағынында да, білімнің даму тенденцияларында да дұрыс бағдар алуға, яғни
ғылымның болашағын көре білуге жәрдемдеседі. Ғылыми зерттеудің кез келген
пәні сияқты ғылым тарихы да деректі материалды жинақтап, оны жүйелеп қана
қоймай, сонымен қатар ғылымның даму заңдылықтарын айқындау үшін
теориялық талдаулар жүргізуді талап етеді.
Ғылым тарихы математикалық тұрғыдан талдауды талап етеді, себебі: - оның ұғымдары мен проблемаларын, өмірмен байланысын, ғылыми
көзқарасын тиянақтауға және жалпылауға ұмтылдырады;
- математика тарихы жалпы тарих бөлігі болып табылады, ол
адамзаттың оны дамытуға мәжбүр болып, нәтижесін қолданғаны туралы
әңгімелейді;
- математика тарихы қазіргі математиканың дамуының басты шарты;
- ол ғылыми методология негізі және ойлау процесін талдаудың
маңызды қайнар көздерінің бірі болып табылады;
- математика тарихы математиканы оқытуды жетілдіру қызметін
5
атқарады;
- математика тарихы жалпы адамзат мәдениетінің бір бөлігі болып
табылады. [1]
Математика тарихы математиканың мың жылдар бойы қалай дамығанын
көрсетеді. Ол адамдардың қалай санап үйренгенін және арифметика әдісінің
біртіндеп қалай оянғанын айтады. Ол адамзаттың ақыл - парасатының ұлы
табыстарының бірі - орынды санау жүйесі пайда болғанша қандай азапты
жолдан өткенін оқытады.
Ғылым тарихы бізге аудан аумағын, ұзындығын, ара қашықтығын, астық
қоймасының көлемін өлшеу секілді практикалық мәселелер негізінде
геометрияның бастамасының пайда болуын және абстракты ғылым негізінің
бірте - бірте қалануын баяндайды. Ежелгі Грециядағы математиканың
практикалық ережелер жинағынан қатал дедуктивтік ғылымға айналғаны
адамзаттың дамуына үлкен әсерін тигізді. Ньютон заңының ашылуы және
математикалық талдау негізінің жасалуы тарихтың дамуына ерекше әсер етті,
бұларсыз қазіргі ғылыми - техникалық прогресс мүмкін емес [2].
3. Математика тарихын оқыту процесінде қолдану
Адамзатты_ толы_
сауатсызды_тан білімін
жетілдіруге _арай ткен
баяу әрі к_рделі процесті тек ғана
ғылым тарихы аша алады.
Математиканың оқу құралы ретінде дүниені тануда ғылыми тәсілдердің
ролін көтеру үшін үлкен мүмкіншіліктері бар. Орта мектептің математика
курсына тарихи - математикалық материалдарды енгізу осы мүмкіншіліктердің
бірі болып табылады.
Білімге селқос қарауды, кейбір математикалық ережелерді түсіндіруде тарихи көзқарасты мойындамауды мектептегі математиканы оқытудағы
кемшіліктердің біріне жатқызута болады. Сол кезде мектептік курсқа тарихи -
математикалық материалдарды енгізу _ажеттілігі, ма_сат_а сәйкестігі және
м#мкіндігі А.Закарин [5], О.А.Жаутыков [6], М.У.Ысқақов [7] секілді көптеген
Қазақстандық педагог - ғалымдармен, математика негіздерін оқытуда тарихи
7
әдісті қолдаушылармен зерттелді. Бірақ, алынған ұсыныстарды оқулықтар мен
оқу құралдарында жүзеге асыру жеткілікті деңгейде болмады.
Математика тарихын әңгімелей отырып, оқытушы ғылымның негізгі
түсініктері туралы оқушыларға мынадай сұрақ қоюы керек: Дүниеде бұл
түсініктердің бейнесіне не жатады? Оқушылардың математикалық
ұғымдардың тәжірибеден шығуы туралы түсінігі дүниетанымға ұласуы үшін
бұл сұрақтарға қайта - қайта, жүйелі түрде тоқталу керек.
Сан деген түсінік қалай пайда болды? Адамзат бүтін сан түсінігінен
рационал және иррационал сан ұғымына қалай өтті?
Ғылымның өмірдегі қажеттіліктен, тәжірибеден пайда болғанымен, оған
тәуелсіз дами бергеніне оқушылардың назарын аудару қажет. Пайда болған
теориялар көпке дейін тек қана таза математика теориясы болып, тәжірибе
жүзінде қолданылмай келді. Бірақ өндірістің және өзге ғылымдардың дамуы
осы теорияларды қажеттілігін үнемі көрсетіп отырды. Мәселен, ықтималдықтар
теориясы ақ сүйек ойыны теориясы ретінде пайда болды, ал қазір ол тек физика
емес, экономика, лингвистика, социология және т.б. қажет. Жазу үстелінде
ашылған Евклидтік геометрия шешімдері теңіз жүзуде, физикада, астрономияда
қолданылады. Кеплер аспан денелерінің қозғалыс заңдарын ашқанға дейін
Ежелгі Грецияда ақыл - ойды шынықтыруға қызмет еткен конустық
қималарды зерттеу де практикада қолданылмаған.
Әрі қарай аксиомалар жүйесінің шығу тарихы мен роліне кез келген
ғылымның құрылуы үшін берік іргетас керек екеніне тоқталған пайдалы.
Математиканың іргетасы - оның негізгі ұғымдары және аксиомалар жүйесі
болып табылады. Аксиомалар жүйесі біріншіден, толық, екіншіден, бір -
біріне қарама - қайшы емес, үшіншіден, бір - біріне тәуелсіз болуы керек. Осы
жалпы мәліметтерді планометрия мен стереометрияны оқытқан кезде бір рет
қана көрсетіп қоймау керек.
Аксиомалар тақырыбына байланысты IX сыныпта Евклидтің бесінші
постулатына (параллелдік аксиомасы), Н.И.Лобачевский геометриясының шығу
тарихына тоқталған жөн. Нақты шындықты бейнелеу нәтижесі ретінде
ғылымның шынайылығын математикадағы жаңалықтарды көбінесе бір мезгілде
әр елдерде тұратын адамдардың ашқанынан айқын көруте болады.
Оқушыларға біздің санамыздан тыс өмір сүретін нәрселерді ғана бірнеше
адамдар бір мезгілде ашуы мүмкін екенін түсіндіруге болады [8].
Ал, сыныпта қаншама оқушы есептің шешуін бір әдіспен шығарады,
бірақ ешқашан бірдей өлең жазбайды. Қазіргі математикада да бір мезгілде
ашылып жатқан жаңалықтар туралы мәліметтер бар. Белгілі америка
математигі Кибернетика атасы Н.Виннер академик Колмогоров екеуі 20 - 30
жыл бойы математиканың бір ғана саласында жұмыс істегені туралы жазады. Олар ешқашан кездеспей, жұмыстарын жиі жұртшылыққа жариялап
тұрғанмен еңбектері бір - біріне тығыз байланысып кетті дейді Виннер. Ол
байланыс Колмогоровтың теориясындағы өзінің негізгі қорытындыларын
болжамдап және басқа бір - бірімен тығыз байланысты мәселелерді бірінші
болып жариялағанын мойындайды. Интеграл түсінігіне байланысты X сыныпта
осы сұрақтың тарихына (И.Ньютон мен Г.Лейбництің осы саладағы
8
жаңалықтары) тоқталуға болады. Оқушылар оқытушымен бірге әр сабақта,
өздеріне бұрыннан белгілі жаңалықтарды есеп шығарғанда, жаңа материал
өткен кезде қолданады.
Мектепте математика сабағына тарихи элементтерді енгізудің пайдалы
екенін тәжірибе көрсетті. Оқытушы ғылым тарихы мәліметтерімен қызықтыра
отырып, оқушылардың негізгі материалды тез қабылдауын жеңілдетіп, оқу
процесін жандандыра алады. Шынында да ең күрделі теорияның қандай
жолмен дамығанын, оны қандай тәжірибелік қажеттілік өмірге әкелгенін білу
материалды түсініктірек етеді. Математиканы оқытуда тарихи мәліметтерді
қолдану мәселесі XIX ғасырдың аяғында қойылған болатын [9]. Тарихи
мәліметтерді математика сабағына енгізу мақсаттары әр уақытта әр түрлі
анықталады. Алайда жалпы міндеттер ретінде келесі мақстарды бөліп көрсетуте
болады:
- оқушылардың ықыласын арттырып, математиканы тереңірек
түсіндіру, оқылатын мәліметтерге қызықтыру;
- оқушылардың ақыл - ойын кеңітіп, олардың жалпы мәдениетін көтеру;
- Қазақстан математикасының тарихымен таныстыру оқушыларды
тәрбиелеудің жалпы мақсатына жатады.
Орта мектептің математика бағдарламасындағы Математиканы
оқытудың жалпы мақсаттары мен міндеттері тарауында былай жазылған:
Мектеп курсының мазмұнына әсері мол тарихи оқиғаларды енгізу арқылы
оқушыны маңызды жаңалықтардың тағдырымен, сол жолдағы қиын әрі саналы
күреспен, ғылымды таратушылардың аттарымен таныстыру керек [10].
Алайда, бағдарламада математика тарихынан қандай мәліметтерді қай
сыныпта, қандай көлемде енгізу қажет екендігі туралы нұсқаулар жоқ. Мектеп
оқулықтарында ондай мәліметтер аз. Бірақ сонымен қатар математика
тарихынан жалпы мәліметтер жеткіліксіз, сол себептен тарихи мәліметтер мен
бағдарламалық материалдарды жүйелі түрде, үйлестіре отырып баяндау қажет.
Егер де осындай жүйелі жұмыстарды V сыныптан бастап жүргізсе, тарихи
материал тезірек ашылып, алдағы уақытта ол сабақтың қажетті бөлігіне
айналған болар еді.
Математика тарихынан алынған мәліметтерге шолу жасау және оны басқа
сыныпта қолдану үлкен әдістемелік қиындық тудырады. Ол үшін:
- математика бағдарламасын басшылыққа алу керек;
- оқушылардың жас ерекшеліктерін ескеру қажет.
Әр сыныптағы математиканың тарихи материалының көлемі, мазмұны,
баяндалу реті әртүрлі: мысалы, V - VІ сыныптардағы математика тарихының
бастапқы мәліметтері мынадай - есептеу қызметі дамуының қарапайым мәселелері;
- математикалық терминология мен символдар;
- шама өлшемдерінің пайда болуы;
- өлшеу тәсілі мен қарапайым аспап - құралдардың жасалуы.
- Математика тарихының өзекті мәселелері (кейбіріне тоқталсақ):
- сан ұғымының дамуы;
- мектеп аксиомаларының шығуы, алгебра мен геометрияның дамуы;
9
- теңдеулер тарихынан бастапқы мағлұматтар.
Ал VІІ - VІІІ сыныптарда бағдарламалық материалдармен байланысты
бастапқы мәліметтермен шектелу қажет. Математика тарихының кейбір
сұрақтарына орта мектеп курсында бірнеше рет қайта оралу қажет. Сабақта
қажетті уақытты тиімді қолдану және элементтерді пайдалану түрлері мектепте
оқылатын математиканың, оның тарихымен байланысына тәуелді, яғни
қысқаша сұхбат, экскурсия, нақты анықтама, тарихи есептерді шешу, сурет
талқылау мен көрсету, оқытушының әсерлі әңгімесі, оқушыларға алдын - ала
дайындалған хабар және т.б. Егерде оқушы тарихи деректі сабақта
мазмұндалатын практикалық материалмен тығыз байланыстыра алатын болса,
оқушылар математикана қызыға оқи түседі, білім алу тиімділігі көтеріледі [11]
4. Математика классиктері
Мен ж_рттан алысыра_ к ремін,
йткені мен алыптарды_ иығында
т_рмын.
И.Ньютон
Математика тарихы - бұл ең алдымен математикалық ой - сананың даму
тарихи. Алайда ондай ой - сана иелері, оны жеткізушілер әр дәуірде өмір сүрген
көрнекті ғалымдар, біз оларды ғылым классиктері деп атаймыз [12].
Олардың мұраларын оқи отырып, нақты мысал арқылы математиканың
даму жолдарын, оның өмірмен байланысын көрнекті көрсетуге мүмкіндік
туады.
Сол себептен академик С.И.Вавилов Ғылым тарихы сана тарихымен
шектелмейді, сонымен бірге ол адамдардың өміріне, ерекшеліктеріне,
дарынына, оның елі мен дәуірінің әлеуметтік жағдай тәуелділігіне де
байланысты болады. Ғылым тарихы оқушыны бірте - бірте ғалымның
шығармашылық лабораториясына әкеліп, оның тұжырымдық қорытындылары
мен дәлелдеулерін көрсетуі керек.
Жас ұрпақты тәрбиелеу үшін ғылыми тарихының маңызы зор.
Өткендердің тәжірибесіне сүйене отырып, жастарды жаңа ізденіске деген
құштарлыққа, ғылыми шығармашылық шыншылдыққа үйрету қажет.
Ғылымның ұлы өкілдерінің өнегесі жастарды қиыншылықты жеңуте жетелеп,
оларға рух береді. Ондай тәрбие жастарды дұрыс шешім қабылдауға үйретіп,
ғылымды таңдауға, табанды еңбек етуге, ізденіске үйретеді.
Математика тарихы кітабынан оқушылар математика классиктерінің
шығармашылығы, өмірі жөнінде біледі, тек мол мәлімет алып қана қоймай,
олардың ғылым тарихы мен өркениет тарихы үшін маңызын да біледі. Әр ғалымның өмірбаяны және бұрынғы бейне емес, келешек бейнелері ойлануға
мәжбүр етеді. Осыған байланысты ғалымның кім екенін, оның өмірбаянын, ой -
өрісінің математика тарихының дамуындағы маңызын да білген жөн.
5. Мектепте оқытылатын іргелі математика
6. Математиканың оқыту әдістемесі (МОӘ) соңғы жылдары қарқынды дамып мазмұны жағынан да, ғылыми әдіс-тәсілдері жағынан да кемелденген педагогиканың бір саласы. Болашақ математика мұғалімі математиканы оқытудың жалпы заңдылықтарын, мақсат-мазмұнын, әдіс-тәсілдерін, методикалық зерттеулерді, есеп шығаруды және оларды оқушыларға түсіндірудің жолдарын оқытудың техникалық және көрнекі құралдарын оқу процесінде пайдалану әдістемесін, оқушыларды оқу-ісіне жұмылдыру тәсілдерін, педагогика ғылымы мен озат тәжірибе жетістіктерін мектеп практикасына батыл енгізу тәсілдерін жоғары мектеп қабырғасында жүргенде игеруі тиіс.
7. Математиканы оқыту әдістемесі математика пәнінің ерекшеліктеріне негізделген оқу-тәрбие жүйесі жайындағы ғылым. Бұл жүйені меңгеру математиканы оқыту мен математика пәні арқылы оқушыларды тәрбиелеу ісін ұйымдастыруға мүмкіндік береді.
8. Математиканы оқыту әдістемесі педагогикалық ғылым сондықтан да ол қазіргі қоғамның талаптарына сай педагогика ғылымы анықтап берген жалпы білім беру мен тәрбиелеудің мақсаттары мен міндеттеріне сәйкес құрылады. Математиканы оқыту әдістемесі мұғалімнің оқу материалдарын беру, оқушылардың математикалық білімді саналы меңгеру және алған білімінпрактикада қолдану іскерліктерін шыңдау әдістері мен құралдарын тағайындайды.
9. 1. Математиканы не үшін оқыту керек?
10. 2. Нені оқыту керек? Қандай тәртіппен, ретпен оқыту керек?
11. 3. Математиканы қалай оқыту керек?
12. Математиканы оқыту әдістемесі шартты түрде үш салаға бөлінеді:
13. 1. Математиканы оқытудың жалпы әдістемесі.
14. 2. Математиканы оқытудың арнайы әдістемесі.
15. 3.Математиканы оқытудың нақты әдістемесі.
16. Математиканы оқытудың жалпы әдістемесі мектеп математикасының бүкіл курсын қарастырады және оқытудың идеология бағытын, оқыту мазмұны мен әдістерінің бірлігін, оқыту түрлерінің арасындағы байланыстарды, әртүрлі курстардың (алгебра, геометрия, анализ бастамалары) арасындағы сабақтастықтарды оқу процесіндегі тәрбие жұмысы элементтерінің тұтастығын қамтиды. Оқушылар бөлімінің саналығы мен баяндылығы қамтамасыз етеді.
17. Математиканы оқытудың арнайы әдістемесі Оқушылардың жасына оқу материалы мазмұнының ерекшеліктерінесәйкес курсты оқытудың дербес мәселелерін қарастырады. Арнайы әдістеме белгілі-бір тақырыпты немесе бағдарламаның бір тарауын оқытудың реті жайында нұсқау береді. Оқу құралдарын қалай қолдану жөнінде ұсыныс жасап оқушылар өздігінен орындайтын жұмыстар мен жаттығуларға арналған тапсырмалар үлгісін көрсетеді.
18. Математиканы оқытудың нақты әдістемесі 1) жалпы әдістеменің жеке мәселелері мысалы, математика сабақтарында және сыныптан тыс жұмыстарда эстетикалық тәрбие беру белгілі-бір сыныптың математика сабақтарын жоспарлау;
19. 2) Арнайы әдістеменің жеке мәселелері мысалы, үшбұрыштар тақырыбын оқытуда оқушылардың есептеу шеберліктерін шыңдау қарастырылады.
6 Арифметика тарихы
§ 1. Арифметика тарихы
Егерде арифметика нері алынып
тасталған болса, онда барлы_
нерді_ біреуі де _алмас еді.
Платон.
Санды_ есептеу - ойдағы тәртіпті_
негізі.
Песталоцци И.
Математикамен танысу сан туралы ғылым - арифметикадан басталады.
Арифметикамен біз ғылым қақпасына кіреміз, - деп М.В.Ломоносов
айтқандай, біз одан ұзақ, жеңіл емес, бірақ қызықты жолымызды бастаймыз.
Арифметика сөзі - грекше arithmos (арифмус) сан деген мағынаны білдіреді.
Бұл ғылым сандардың әдістерін әртүрлі ережемен пайдалануды, қосу,
азайту, көбейту мен бөлу арқылы есептер шығарды үйретеді. Арифметика
заттарды санау, жер ауданын өлшеу, пайданы бөлу, уақыт мезгілін санау керек
болған кезде пайда болған.
Арифметика біртіндеп ұзақ уақыт бойы дамыған, ол Ежелгі Шығыс,
Вавилон, Қытай, Үнді, Египет елдерінде шыққан.
Ежелгі Шығыс елдерінде жиналған білім Ежелгі Греция ғалымдарымен
дамытылып, жалғастырылған, көп ғалымдар арифметикамен көне дүниеде - ақ
айналысқан. Олар Анаксагор мен Зенон, Евклид пен Архимед, Эротосфен мен
Диофант.
Пифагордың аты жарық жұлдыздай жарқырайды. Пифагоршылар сандар
алдында бас иген, санда дүние гармониясы бар деп санаған.
Ежелгі Грецияда арифметиканың зор мәнге ие болғаны жөнінде
Прометейдің ертегі аңызынан жоруға болады, оның аты адамдардың мәдениеті
келуімен байланысты: аты аңызға айналған, құдайдың отын алып кетіп,
адамдарға әкелген - алып титан Прометей, сандарды ойлап шығарды.
Орта ғасырдағы арифметиканың дамуы Үнді, Орта Азия, араб елдерімен
тығыз байланысты болды. Үнді халықтарынан бізге өзіміз қолданып жүрген
цифрлар, нолъ мен орынды санау ж#йесі келді, Үлықбектің Самарканд
обсерваториясында жұмыс жасаған аль - Кашидан (ХV ғ.) ондық бөлшектер
келді.
Грецияда логистика деп аталатын тәжірибелік арифметикадан
теоретикалы_ арифметика бөліне бастайды, олардың құрамында есептерді
қалай шығару ережелері ғана емес, ережені логикалық дәлелдеу де бар.
VІІ - ХV ғғ. арифметиканың дамуына ислам елдерінің ғалымдары: аль -
Хорезми, Омар Хайям, аль - Караджи, Насиреддин ат Туси, аль - Каши өздерінің жұмыстарын араб тілінде жазып, үлкен үлес қосты [13].
XVI ғ. бастап математикада Европа ғалымдары жетекші орынға ие болды.
11
Бірте - бірте қазіргі қолданылып жүрген жаңа арифметикалық белгілер, разряд
пен класс бойынша топтастырылған сан аттары енгізілді. Сонымен
арифметиканың объектісі - сан. Аль - Фараби: Сандар ғылымы тәжірибелік
және теориялық ғылым деп бөлінеді. Тәжірибелік бөлігі сандар мен санау
жайлы болғандықтан, сандарды үйретеді. Ол ғылымды азаматтық және
нарықтық қажеттілікке қолданады. Сандардың теориялық ғылымы сандарды
абсолюттік мағынада зерттейді, - деп жазған [14].
Сонымен, арифметиканың шығуы мен дамуы қоғам дамуы мен
адамдардың іс - әрекетіне байланысты.
7 Геометрия тарихы
Геометрия бізді_ ой - рісімізді
к теретін е_ ма_ызды __рал
болып табылады және бізге
мәселені д_рыс тал_ылап,
ойлануға м_мкіндік береді.
Г.Галилей.
Геометрия бізді_ ой - санамызды
шынды__а жа_ындатады.
Платон.
Геометрия ең ежелгі математикалық ғылымның бірі. Алғашқы
геометриялық еңбектерді біз Вавилон кестелерінен және папирустарынан
кездестіреміз (б.з.д. III мыңжылдық). Геометрия ғылымының аталуы ежелгі
Грециядан шыққан. Ол екі сөзден құралған гео - жер және метрейн -
өлшеймін. Геометрияның пайда болуы адамдардың тәжірибелік әрекетімен
тікелей байланысты. Шамамен 4000 жыл бұрын Нил өзенінің жағалауында
Египет мемлекетінің Фараоны жерге төлейтін төлем ақыны енгізгені бізге
тарихтан белгілі. Оны төлеу үшін жердің аумағын, тікбұрышты, үшбұрышты
және өзен жағалауларының әртүрлі формаларын өлшеу қажет болды. Осы
уақытта геометрия пайда бола бастады.
Египетте Ніл өзенінің дүркін - дүркін тасуы салдарынан су басқан егістік
жерлерді үнемі дәл өлшеп, қайта бөлу мұқтаждығы геометрияны тұрғызды -
деп тарихшылар атасы аталған грек Геродот жазған. Ол кезде Египетте
фигура, фигураның қабырғасы деген терминдер болмаған. Аумақ,
аумақтың шекарасы, ұзындығы, ені - деген сөздер қолданылатын.
Вавилон геометриясы египет геометриясы сияқты тәжірибемен тығыз
байланысты. Ол жерді өлшеп бөлген кезде, үйлерді, бөгеттерді, каналдарды
салған кезде қолданылатын еді. Бірақ ежелгі Вавилонда қарапайым
фигуралардан басқа көпбұрыш, дөңгелек бөлігі, конус сияқты фигураларды
қарастырған.
Ежелгі Грецияда геометрияға мүлдем басқаша көңіл бөлді. Египеттен
алған нақты білімдерін қолдана отырып, Вавилон гректері геометрияны қатал
дәлелдемелермен негізделген ғылымға айналдырып жіберді. 12
Б.з.д. VII ғ. бастап Ежелгі Грецияда тәжірибеден теориялық геометрияға
өте бастады. Грек ғылымының басталуына б.з.д. VI ғ. философия және
ғылымның ионикалық мектебі зор әсер етті. Оның негізін қалаушы Ионидің
негізгі қаласы - Милеттен шыққан Фалес. Ол диаметрдің шеңберді ортасынан
бөлетінін, тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең болатынын,
вертикал бұрыштардың теңдігін, үшбұрыштардың теңдігі туралы теорияны
дәлелдеді. Фалес теорема дәлелдемелерін фигураларды бір - біріне қою арқылы
дәлелдеген болуы мүмкін. Математик, астроном Прокл (410 - 485 жж.)
Афинада өмір сүрген. Ол Фалес геометриясының дамуына қысқаша тоқтала
отырып, Евклидке дейін: Кей кезде Фалес тақырыпты жалпы қарастырып,
кейде көрнектілікке сүйеніп терең қарастырған, - деп жазған.
Геометрияда түпкілікті өзгерістерді Пифагор мен оның мектебіндегі
ғалымдар жасаған. Олар Пифагор теоремасын дәлелдей отырып, геометриялық
алгебраны, циркуль мен сызғышты қолданатын салу есептерін қарастырған.
Сонымен, Ежелгі Грецияда геометриялық фигураларды белгілеуге
арналған геометриялық терминдер жүйесі құрылды.
Бүгінгі күнге дейін қолданылып жүрген геометриялық терминдер
Грецияның ғылыми мектептерінде пайда болды. Грециялық терминдер бірнеше
ғасыр бойы ғалымдар тілі болған латын тіліне аударылды [19].
1. Планиметрия термині - орта ғасырлық, латынша planum -
жазықтық және грекше метрео - өлшеймін мағынасын
білдіреді.
2. Фигура - латын сөзі, заттың көрінісін, түрін білдіреді, XII ғ.
қолданыла бастады. Бұған дейін заттың сыртқы бейнесін білдіретін
форма латын сөзі қолданылды.
3. Линия - латынның linea (сызық, шекара) сөзінен шықкан. Ол
linum - зығыр, зығыр жіп, арқан, бау сөзінен пайда болған. Жіпті
немесе бауды өлшемдер жүргізгенде римдік егіншілер қолданған.
4. Перпендикуляр - латынша perpendicularis тіктеуіш сөзінен
шыққан. Термин орта ғасырда пайда болды.
5. Биссектриса - латының bis (екіге) және sectrix (қиюшы)
сөздерінен құралған.
6. Вертикаль (бұрыштар) - verticalis - латын сөзінен шыққан -
төбелік.
7. Циркуль - латынша circulus - дөңгелек.
8. Центр - латынша centrum - ежелгі кентрон сөзінен
транскрипциясы өте өткір қару.
9. Радиус - латынша radius - сәуле, доңғалақтың тісі.
10.Диаметр - гректің диаметрос - көлденең өлшем.
11.Хорда - гректің корде - ішек.
Сонымен, геометрия ғылым ретінде б.з.д. III ғасырда қалыптасты. Оның
пайда болуына Евклидтің атқарқан ролі зор. Ол Александрияда тұрып, өзінің
әріптестері Фалес, Демокрит, Архит, Аристотель, Пифагор, Гиппократ, Евдокс
зерттеулеріне сүйене отырып, геометрия жайлы мәліметтерді жүйеледі, өз жаңалықтарымен толықтыра отырып, бірте - бірте өзінің 13 кітаптан тұратын
Бастамалар атты шығармасын жазды.
Жер өлшеу туралы ғылым құрамы жағынан кеңейтіліп, дамыса да
бұрынғыдай геометрия деп аталып келе жатыр. Ол математиканың ең маңызды
және үлкен тарауларының бірі. Геометрияда дене формасы қарастырылады,
фигуралардың қасиеті, олардың қатынастары оқытылады.
8 Геометрияның аксиоматикалық құрылымы
Птоломей патша (б.г.д. 300 - 285 жж.)
Евклидтен: Геометрияда сенің Бастамаларыңнан басқа бейнетсіз,
оңай түсінудің жолы барма дегенде, Евклид: Геометрияға патшалар ү шін
айрықша жол жоқ, - деп жауап беріпті.
Ғалымдар арасында бір кезде жаңа фактілердің, теоремалардың, пікірлер
мен пайымдаулардың жиналып қалуына байланысты оларды бір геометриялық
жүйеге келтіру қажет болды. Бұл еңбекті бірінші рет Хиостық Гиппократ (б.з.д.
450 - 410 ж.ж. шамасында) бастап, грек ғалымы Евклид өзінің Бастамалары
шығармасымен аяқтады. Евклид еңбегінің зор екені сонша, ол геометрия
құрамына қорытынды жасай отырып, оның мазмұнына тамаша форма берді.
Оның Бастамалары геометрияның энциклопедиясы болып қалды.
Д.Я.Стройк: Батыс елдерінің тарихында Евклид Бастамалары Библиядан
кейінгі бірнеше рет басылып шығарылып, ең көп оқылған кітап. Кітап баспа
ойлап шығарылғаннан кейін мындаған басылымдармен шыққан, ал оған дейін
қолжазба түріндегі геометрияны оқу негізінде қолданылған. Біздің мектептік
геометрияны оқу кітаптарының басым бөлігі Евклидтің алғашқы алты
кітабынан алынған. Евклид Бастамаларының жақсы жазылуы сонша, 2000
жыл бойы геометрияны оқыту Евклид кітабымен жүргізілген - деп жазды [20].
Евклид Бастамаларының негізін анықтамалар, аксиомалар және
постулаттар жүйесі құрайды. Олар 13 кітаптан тұрады, және оның әрқайсысы
мынадай анықтамалардан басталады. Бастапқы тоғыз анықтаманы келтірейік.
1. Нүктенің бөлігі болмайды.
2. Сызық - енсіз ұзындық.
3. Сызықтың үштары нүкте болады.
4. Түзу сызық өз нүктелеріне қатысты бірдей жатады.
5. Жазықтықтың тек ұзындығы мен ені болады.
6. Жазықтық шеті - сызық.
7. Жазықтық тегістігі - өздерінің түзу сызықтарына қатысты біркелкі
орналасқан түзулер.
8. Жазық бұрыш - жазықтықтағы бір түзуде жатпайтын екі сызықтың
қиылысуы.
9. Екі сызықтықтың тікбұрыш болып қиылысуын түзу сызықты бұрыш
деп атайды.
14
Евклидтің аксиомаларында шамалардың тендік және теңсіздік қатынасын
анықтайтын аксиомалар бар. Мысалы:
1. Бір өлшемге тең болған екі зат бір - біріне тең. 2. Егер екі теңдерге теңдерді қосса, онда қосындылар тең болады.
3. Егер теңдерден теңдерді азайтса, онда қалдықтары да тең болады.
4. Бір - бірімен беттесетіндер өзара тең болады.
5. Бүтін бөлшектен үлкен.
Евклид дәлелдемелерінде қозғалыс идеясын қолданған. Үшбұрыштардың
теңдігін бір - бірінен беттестіру арқылы дәлелдеген.
Евклид бірінші кітабында 5 постулат келтірген.
1. Кез келген нүктеден кез келген нүктеге дейін түзу сызық жүргізуге
болады.
2. Шектелген түзуді үздіксіз соза беруге болады.
3. Кез келген центрден кез келген радиуспен шеңбер сызуға болады.
4. Барлық тік бұрыштар өзара тең болады.
5. Егер екі түзумен қиысатын үшінші түзу олармен тікбұрыштан кем
болатын іштей бір жақты бүрыштар құрайтын болса, онда ол екі түзуді шексіз
соза берсек, бұрыштар екі тік бұрыштан кем болатын жақта қиылысады.
Бірінші үш постулатта Евклид циркуль мен сызғыш көмегімен салынатын
құрылымдарды сипаттайды.
Төртінші постулат - бұл параллельдік түзулер жайлы белгілі постулат.
Бесінші постулат өзінің Күрделілігі жағынан ғалымдарды таң қалдырды.
Ол көбіне постулаттан гөрі теореманы еске түсіреді. Күрделілігіне байланысты
бесінші постулатты теорема сияқты дәлелдеуге тырысқандар көп болды.
Бесінші постулат туралы мәселе ғалымдармен 2 мың жыл бойы
қарастырылды. Евклидтің V постулатын грек математигі Прокл (410 - 485 жж.),
тәжік математигі Омар Хайам (1048 - 1131 жж.), араб математигі Насиреддин
ат - Туси (1201 - 1274 жж.), ағылшын математигі Джон Валлис (1616 - 1703 жж.),
француз математигі Адриан Лежандр (1752 - 1833 жж.) секілді ғалымдар
дәлелдеуте тырысты.
Евклид аксиоматикасының кемшіліктері тек XIX ғ. аяғында ғана
табылды. Қазіргі уақытта Д.Гилберттің геометриядағы аксиомалар жүйесі
жалпылай ең көп таралып қабылданған. Аксиомалар бірінші рет оның
Геометрия негіздері шығармасында жазылған.
9 Алгебраның қалыптасуы
Алгебра - б_л сандарды_
_атынастарын белгілеу _шін
_алыптас_ан математикалы_ тіл.
И.Ньютон
Алгебра - бұл әртүрлі шамаларға орындалатын амалдардың жалпы
қасиеттерін және осы амалдармен байланысты теңдеулер шешімін оқытатын
математиканың бөлігі. Арифметикада тек ғана төрт - қосу, алу, көбейту, бөлу
15
амалдарын қарастырады. Алгебра курсында екі жаңа амалдар оқытылады:
дәрежелеу және санның түбірін шығару. Әріптер белгілерінің қолданылуы
алгебраның арифметикадан айырмашылығына жатады. Алгебра
арифметиканың негізінен құрастырылады. VI ғ. математикалық зерттеулердің
орталығы Үнді мен Қытайға, Таяу Шығыс елдері мен Орта Азияға ауысты.
10 Математикалық анализ
Математикалы_ анализ
табиғаттай к лемді,
ол барлы_ зара _атысты
байланыстырады, уа_ыт лшемін,
ке_істікті, к_шті, _ызуды лшейді.
Ж.Фурье
Шексіздікті_ барлы_ анализі
айнымалы шама мен оны_
функциясыны_ _асында айналады.
Л.Эйлер Математика тарихын шартты түрде екі негізгі кезеңге, - элементарлық
және қазіргі математикаға бөлуге болады.
Жа_а немесе жоғары математиканың дәуірін есептеу XVII ғасырдан -
математикалық анализдің шығу ғасырынан басталады деп саналады. XVII
ғасыр соңында И.Ньютон, Г.Лейбниц және олардың ізашарларымен
математикалық анализдің негізін құрайтын жаңа дифференциалды_ және
интегралды_ есептеулер жасалды.
Математикалық анализ - ерекше зерттеу объектісі бар математиканың
кең көлемді саласы. Өзіне тән зерттеу тәсілі (шексіз аз және шектеулі мөлшерді
анализдеу) белгілі негізгі жүйені анықтамалармен негізгі түсінігі анықталған
және тұрақты жетіліп дамып келе жатқан дифференциялдық және интегралдық
санау негізін құрайтын жүйе.
XVII ғасырда қандай математикалық тарихи өзгерістер болғанын
елестетіп қарайық. Матанализдің шығуы элементарлық математикадан қазіргі
математикаға өтумен, оны зерттеу арқылы басты ролді түсіндіріп, қазіргі
теориялық жүйені іс жүзінде қолданумен ерекшеленеді ма екен?
Қозғалыстар, айнымалылар және олардың өзара байланыстары барлық
уақытта біздің ортамызда болады. Міне, осыдан матанализ - айнымалы
шамалар мен олардың байланыстарын сипаттаудағы тілдің негізі мен
математикалық әдістерін құрайды. Қазіргі кезде матанализдің көмегімен
космостың траекториясын, ядролық реактордың жұмыс істеуін, мұхит
толқынының қозғалысы мен циклонның даму зандылығын анықтап қана
қоймай, өндірісті экономикалық басқаруды, ресурстарды бөлуді,
технологиялық процестер ұйымдастыруды және т.б. жүзеге асыруға болады.
Себебі осының барлығы динамикалы_ процестер.
Элементарлық математика жалпы тра_ты шама математикасы болды.
Ол ең алдымен геометриялық фигуралардың элементтерінің қатынастарын,
сандардың арифметикалық қасиеті мен алгебралық теңдеулерді зерттеді.
Сонымен, матанализ айнымалы шамалар мен қозғалыстардың саны мен
сапасын зерттеуді ғылыми сипаттаудың мүмкіндігін ашты. Функциялар немесе
айнымалы шамалардың өзара байланысы матанализдің негізгі зерттеу
тақырыбы болып табылады.
17
Матанализдің шығуының алғы шарттары қандай болды? XVII ғасырдың
соңында келесі жағдай қалыптасты. Біріншіден, математика айналасында көп
жылдар бойы бір мағыналы есептердің кейбір маңызды топтары жиналды.
Мысалы, стандартты емес фигуралардың ауданын және көлемдерін өлшеу
есептері, қисықтарға жанама түзу жүргізу есептері мен оларды әртүрлі жеке
жағдайда шешу әдістері пайда болды. Екіншіден, осы есептер механикалық
қозғалысты сипаттайтын есептермен, оның ішінде лездік сипаттамаларын
есептеп шығарумен (жылдамдықты, кез келген уақыт мезетіндегі үдеуді,
айнымалы қозғалыс үшін жүрілген жолды табумен) тығыз байланыста болып
шықты. Бұл проблемаларды шешу физика, астрономия және техниканың
дамуына қажет болды. Үшіншіден, XVII ғасыр ортасында Р.Декарт пен
П.Ферманың еңбектерімен координаттардың аналитикалық әдісінің негізі (аналитикалық геометрияның негізі) қаланды. Бұл сан мен сандардың
байланыстығының, яғни сандардың функцияларының жалпы аналитикалық
тілінде әртүрлі геометриялық және физикалық есептерді қалыптастыруға
мүмкіндік береді.
Айнымалы шамалар теориясын алдыңғы қатарға дамыту және
жаратылыстанудағы негізгі математикалық аппарат ретінде шексіз аз шамалар
анализін жете зерттеу сол кездегі математикалық өзгерістерге жатады.
Математикалық анализдің негізгі тарауы - дифференциялдық
интегралдық есептердің шығарылуы XVII ғ. ғылымындағы маңызды
жетістіктердің бірі болып табылады. Бұл кезде Европада жаңа капиталистік
қоғамдық қатынас өркен алып келе жатты. Өндірістің дамуымен құрылыс және
транспорт техникасы, машина жасау, кеме құру және көптеген тағы басқа
техникалық міндеттер қозғалыс заңын оқып үйренуді қажет етті.
Сонымен, қозғалыс проблемалары XVII ғасыр жүзжылдығында алдыңғы
қатарға шықты.
Ж.Л.Лагранж жазған: Шексіз аз шамаларды есептеудің ашылуы, -
математиктерге қозғалыс заңын аналитикалық тендеумен біріктіруге мүмкіндік
берді, - деді. Сонымен, математикалық анализ 300 жыл бұрын шыққан.
Дифференциялдық есептеу негізі алғаш рет 1684 жылы қазан айында
Лейпцигте шығатын Aсta Eruditorum журналында Г.В.Лейбництің
Максимум __________және минимумдардың, сондай - ақ жанамалардың жаңа әдісі
мақаласында баяндалды [15].
Үш ғасыр бойы математика тарихында матанализ басты орын алды. Оның
тәсілімен өте күрделі тәжірибелік есептерді шешетін. Ол шексіз теориялық
зерттеулердің объектісі болды.
Матанализ мәліметтері алғашқы рет математикалық оқуға 1696 жылы
Ф.Лопитальдың (1661 - 1704 жж.) бірінші оқулығы шыққанда енгізілген. Сол
кезден бастап осы күнге дейін матанализ маңызды оқытылатын пән болып
қалыптасты. Мектепте матанализдің тек алғашқы мәліметтері оқылады. Бұл
функцияларды дифференциялдау мен интегралдау операциялары,
функцияларды туынды көмегімен зерттеу және дифференциялдық теңдеулер
жайлы бастауыш мәліметтер.
11 Математикалық белгілер
Математикалық белгілер бірте - бірте әр елдердің ғалымдарымен енгізілді.
Тиімді математикалық белгілер, математикалық ойлауды және есептеуді
жеңілдетеді. Атақты ғалым Карио: Белгілер бізден ақылды - деп айтқан.
Барлық математикалық белгілерді бірнеше топқа бөлуге болады. Мысалы:
обьект белгілері (П, і және.т.б), амал белгілері (+, - , :, *), қатынас белгілері ( =,
, ), негізгі белгілердің санау тәртібін сақтайтын қосымша белгілер - ( ) [ ]
жақшалар болып бөлінеді [16].
Кейбір математикалы_ белгілер жайлы мағл#маттар
Белгілер Мағынасы
Кімдер
енгізді Қашан
енгізді
1 2 3 4
Обьект белгілер
Шексіздік Дж.Валлис 1655 ж.
Шеңбердің ұзындығының диаметрге
қатынасы
У.Джонс
Л.Эйлер
1706 ж.
i - санының квадраттық түбірі Л.Эйлер 1777 ж.
x, y, z белгісіз және ауыспалы шамалар Р.Декарт 1637 ж.
r
вектор О.Коши 1853 ж.
Амал белгілері
+ қосу Я.Видман XV ғ. соңы
- азаиту Я.Видман XV ғ. соңы
* көбейту У.Оутред 1631 ж.
· көбейту Г.Лейбниц 1698 ж.
: бөлу Г.Лейбниц 1684 ж.
а2 ,а3 ,аn дәрежелер Р.Декарт 1637 ж.
3 түбірлер Х.Рудольф 1525 ж.
Log, log логарифм И.Кеплер 1624 ж.
sin синус Б.Кавальери 1632 ж.
cos косинус Л.Эйлер 1748 ж.
tg тангенс Л.Эйлер 1753 ж.
arcsin арксинус Ж.Лагранж 1772 ж.
қосынды Л.Эйлер 1755 ж.
dx, ddx... d2x,
d3x
дифференциал Г.Лейбниц 1675 ж.
∫ydx интеграл Г.Лейбниц 1675 ж.
dx
dy туынды Г.Лейбниц 1675 ж.
∫
b
a
f x dx
анықталған интеграл Ж.Фурье 1819 - 1822 ж.
19
! факториал Х.Крамп 1808 ж.
lim шек У.Гамильтон 1853 ж.
lim0
n
көптеген математиктер
XX ғ. басы
limn
ux функция И.Бернулли 1718 ж.
f(x) Л.Эйлер 1734 ж.
Қатынас белгілері
= теңдік Р.Рекорд 1557 ж.
артық, кем Т.Гарриот 1631 ж.
≡ салыстыру К.Гаус 1801 ж.
‖
параллель У.Оутред 1677 ж.
_ перпендикуляр П.Эригон 1634 ж.
Қосымша белгілер
( ) дөңгелек жақшалар Н.Тарталья XVII ғ. басы
квадрат жақшалар Р.Бомбелли - -
{} фигуралық жақшалар Ф.Виет - -
12 Математика ғылымының қалыптасу жолдары
Алғашқы математикалық түсініктердің қалыптасуы, олардың түрлері
қандай болды, білімді жетілдіру баспалдағы қалай өтті деген сұрақтар ешқашан
өзінің маңыздылығын түсірмеді, әрі келешекте де оны жоғалтпайды.
Оқытылатын математикалық материалда оның тарихи шартты орнын,
математикалық білімнің логикалық жүйелі құрылымын көріп осы түсінікті
оқушыларға жеткізу - демек оларды тарту, математикалық сабақты түсінікті
және қызықты өткізу.
Математика тарихында 4 кезеңді бөліп көрсетеді:
1) математиканың тууы (Египет, Вавилон, б.з.д. VІ ғ. дейін);
2) элементарлық математика кезеңі (Ежелгі Греция, Қытай Индия, Орта
Азия және ТаяуШығыс, Батыс Европа XVI ғ. дейін, Россия XVIII ғ. дейін);
3) айнымалар шамалар математикасын қүру кезеңі (XVIII ғ.) [17];
4) нақты дүниенің санды қатынастары мен кеңістік түрлерін түсіндіруде
жоғары дәрежелі абстракцияға ие болатын осы заманғы математика (ХІХ - ХХ
ғғ.).
Осы жүзжылдықтың ортасынан бастап, электронды есептеуіш машиналар
пайда болғаннан кейін, есептеудің дискреттік әдісі мен алгоритмдер туралы
ғылымның маңызы шапшаң өсуімен сипатталатын математиканың жаңа кезеңі
қалыптаса бастаған болуы мүмкін.
Біз ежелгі дамыған елдер, ерте кезендегі математика тарихы жайлы
айтқан кезде жетілген нақты мәліметтерді басшылыққа алдық.
Шындығында да математикалық түсініктерді талқылайтындай бізге
20
жеткен алғашқы дамыған деректер вавилондық (б.з.д. III мың жылд.) және
египеттік (б.з.д. 2,5 мың жылд.) еді.
Бұл математиканың шығу кезеңі болып табылады. Математикалық
ғылымның қалыптасуы тарихи мәліметтерге қарағанда, ежелгі Греция
ғалымдарының ғылыми еңбектерінен пайда болады. Олар б.з.д. VІІІ - VІ ғғ. қазіргі Греция территориясындағы Кіші Азия және оңтүстік Италия жақын
жағалауындағы мемлекеттер тобы. Кейінгі мәліметтерді біз шыққан жеріне
қарай топтай отырып, Египет, Вавилон (қазіргі Ирак және көрші
территорияларда орналасқан мемлекеттер), Қытай, Индия, Орта және Таяу
Шығыс елдері деп атаймыз.
Қалай адамдар математикалық білімді жинақтаған?
Деректерді сипаттаудан бастайық. Ежелгі Египет математикасы
туралы бізге белгілі мәліметтер Нил қамысынан бөлінген папирус - қағазына
қара және қызыл бояумен жазылған қолжазбадан алынған. Мұндай
қолжазбалардың бізге екеуі жетті. Олардың біріншісі - Ринд папирусы,
Лондонда Британ мұражайында, ал екіншісі Москва папирусы, Москвада
Пушкин А.С. атындағы мұражайында сақтаулы. Египеттің екі математикалық
папирусын фигураның ауданы мен көлемін есептейтін бөлшектер арасындағы
амалдарға байланысты 100 - ден аса есептер құрайды.
Есептерді реттеу және оларды жеткізу түріне қарағанда папирустар
ерекше оқу қүралы есебінде қолданылған. Саздан жасалған кестелер Ежелгі
Вавилонның математикалық мұрасын оқытуға болатын құжаттық негізі болып
табылады. Оларға текстер таяқшалармен таңбаланған. Белгілер (әріптер,
сандар) сынаға ұқсайтын, осыған байланысты вавилон хатын сыналы жазу деп
атаған. Тексті түсіргеннен кейін кестелерді отқа күйдіріп, оларды көпке дейін
қолданған.
Ежелгі вавилон кестелерінде есептеу мен өлшеу мәселелері ашық
көрсетілген. Вавилон математикасында 60 - тық санау жүйесі басым
болғандықтан, есептеуді жеңілдету және анықтама үшін түсініктемесі
берілмеген көмекші көбейту кестелер болған.
Ежелгі Қытай математикасы жайлы барлық ойлар бір дерекке тіреледі:
Математиканың он классикалық трактаты, немесе Он кітаптық -
шығармалар жинағы. Ол жинақ б.з. VI - VII ғғ. шыққан. Онда трактордың б.з.д.
II ғ. жазылғаны, олар ежелгі шығармаларды өңдеу болып табылатындығы
көрсетілген.
Сутры мен веды ғылыми __________ - діни шығармалары Индия халқының
математикалық жетістіктерінің ең ежелгі ескерткіштері болып табылады. Онда
математикалық мәліметтер астрономиямен біріктірілген, мазмұндамалар діни
көзқарастық және өзіндік аңыз - өлең түрінде жазылған. Индияның сутр және
веда математикалық мәлімдемелері архитектуралық және астрономиялық
мәлімдемелер төңірегінде топтасқан. Ешбір деректерде теорема, дәлелдеме
жоқ, тек қана нұсқаулар берілген, ал кейбіреуінде нұсқаулар да түсініктемелер
де жоқ, дәлелдемесіз сызба мен қараңдар сөзі бар. Біздің заманымыздың
бірінші ғасырлары математика ғылымының дамуына қолайлы болмады. Тек
кейінірек, орта ғасырдағы Шығыс елдерінде ғылыми орталықтар пайда бола
21
бастады, қолданбала математикамен қатар теориялық математика да қайта
өркендей бастады. Ол кездегі ғылыми шығармалар араб тілінде жазылған.
Испания мен Үндінің орасан зор аймағын алып жатқан көптеген мемлекеттерде
араб тілі ресми тіл болып табылған. Сондықтан математиканы араб математикасы немесе ислам елдерінің математикасы деп атайды.
Арифметикалық және алгебралық трактаттар жоғары атаққа ие болған.
ІХ - ХV ғғ. алгебралық араб трактаттары бірінші және екінші дәрежелі теңдеу
шешімдерінен басқа кубтық теңдеулерден де тұрды. Орта ғасырдағы Шығыс
математиктерінің еңбектерінде алгебралық элементтер бірінші рет жаңа арнайы
математика бөлімі - алгебрада белгіленді. XIII ғ. бастап тригонометрия
математика саласының бір бөлігі болып қалыптасты. Тригонометрияны
математикалық мазмұндауға арналған арнайы шығармалар алғаш араб
қолжазбаларынан шықты.
Кейінгі алгебраның қалыптасуы қолайлы жағдай орнаған Европа
елдерінде пайда болды. Ғалымдар көне Грек, Византия, араб тілді Орта Азия
және Таяу Шығыс халықтарының жетістіктерін меңгерді. Арабтың ғылыми
қолжазбалары орта ғасырдағы ғылыми тіл - латын тіліне аударылды. Европада
математика ғылымының жаңадан дамуы Қайта өркендеу дәуірінен (XV
жүзжылдықтың екінші жартысы) басталды.
13. европадагы математика
Европадагы математикке мысал ретинде Насыр ад-Дин ат-Туси жаткыза аламыз
Толық аты: Мұхаммед ибн Мұхаммед ибн ал-Хасан ат-Туси. Оның аты тарихта бірнеше атпен сақталған, мысалға Хожауи Туси, не Қожа Насыр. 1201 жылы 18 ақпанда қазіргі Иранның Хорасанынна қарайтын Тус қаласында дүниеге келген, Ол тулған кез Монгол империясының бар әлемді жаулап жатқан кезіне тура келеді, ол кезде империяның құрамына Қытайдан бастап шығыс Еуропаға дейінгі елді мекеннің бәрі қарап болған кез еді, моңғол империясы қол астына қараған жердегі мәдени ошақтармен ғылым ордаларының біразын қиратты, әсіресе, сол кездегі ислам әлемінің ғылым ордалары көп зардап шекті.
Ат-Тусидың әкесі сол жердегі он екінші медресенің заң жөніндегі кеңесшісі болған, он екінші медіресе сол кездегі шиит мұсылмандарының діни оқуы мен уағыздарын жүргізетін маңызды орын болған, Туси осы жерде діни сауатын ашады, сонымен бірге өзінің нағашы ағасынан көптеген жаратылыс тану саласының сабақтарын үйренеді, Бұлардың ішінде логика, физика, метафизика және математика бар, ерекше ден қойып үйренгені алгебра мен геометрия болды.
1214 жылы Шыңғысхан соғыс бағытын Қытай мен шығыс Еуропаны жаулауға жұмсады да, осы кезде ислам әлемінде біраз кеңшілік болды, осыны жақсы пайдалаған Туси 13 жасында, Тус қаласынан 75 км қашықтықтағы Нишапурға барады, Нишапур білім қуған жасқа шөлін басар бұлақ іспетті болды, қалада көптеген оқымыстылармен қатар көптеген материялдар, математикалық трактаттар молынан табылатын, осы жерден ол медицина, философия және математиканы беріле оқиды. Шығыстың атақты ғұламалары әл-Фараби, әл-Бируни, әл-Хорезми, Омар Хайямның және басқа да даналардың шығармаларынан сусындайды.
Оған математиканы Камал ад-Дин ибн Жүніс (атақты математик Шараф ад-Дин ат-Тусидің оқушысы) үйретеді.
Кейіннен 1256 жылдары ол Аламут қаласына келіп, сол жерде ғылыммен және орда жұмысымен айналысады.
Ол біраз шығарма жазған, бірақ, өмірінің көп бөлігін көшіп-қонумен өткізген ғұламаның бізге жеткен шығармасы аз, ең алғашқы трактаты 1232 жылы жазылған Ахлақ-и насири (Akhlaq-i nasiri), бұл трактатта математика, философия, логика мәселерімен қатар астрономия мәселелері де қаралған. Ғұлама 1274 жылы 26 маусымда Бағдатка жақын жердегі Кадхимаин деген жерде қайтыс болған.
14 ежелги греция
Ежелгі Греция батыс математикасының дамып қалыптасуына үлкен үлес қосты. Математика жаңа логикалық даму дәуіріне аяқ басты. Біздің заманымызға дейінгі VI ғасырда Грецияда ғылым гүлдене бастайды. Египет және Вавилон халықтарымен үнемі байланыста болған гректер олардың білімдеріне қанағаттанбай, абстракты және дедуктивтік математиканы құрды. Гректер ең алдымен геометрия мамандары болды. Нақты математикалық дәлелдеулер қажеттілігі пайда болып, математикалық теорияның жүйелі құрылымының алғашқы әрекеттері жасалды. Математика ғылымының мұндай сипатқа ие болуы грек мемлекеттерінің қатты дамыған қоғамдық - саяси және мәдени өмірімен түсіндіріледі. Бұған натурфилософиялық бағыттағы ғылыми - оқу бірлестіктерінің қызметі әсер етті. Олардың алғашқыларына иондық мектеп (Грецияның Арал бөлігінде, б.з.д. VII - VI ғғ.), пифагор мектебі (Апенин түбегінің оңтүстік жақтауы, б.з.д. VI - V ғғ.) және афиндік мектеп (б.з.д. V - ІV ғғ.) жатады. Біздің заманға дейінгі IV ғасырда Грецияның материк бөлігінде ғылыми мектептер жүмыс істеді. Олардың арасынан Платон Академиясы (б.з.д. 428 - 348 жж.) және Александр Македонскийдің ұстазы Аристотельдің Лицейін (б.з.д. 384 - 322 жж.) атап көрсетуге болады [18].
15 Элліндік және Рим дәуірі
Александр Македонский өліп, жаулап алған орасан зор империясы құлағаннан кейін, Египет патшасы Птоломей өзінің мемлекетінің айналасы Александрияда Музейон - ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Фи19-10к1,2,кс
1-деңгей
1. Математиканы оқытудағы тарихи көзқарас
Б_ған дейінгі мағл_матты
білгісі келмей, осы к_нгімен
шектелгісі келген адам, оны
еш_ашан т_сінбейді.
Г.Лейбниц
Оқу құралы математика пәнінің мұғалімдеріне, жоғары оқу орындарының
педагогика факультетінің студенттері мен оқытушыларға арналған. Әрбір
мұғалімге математика тарихынан деректер алуға мүмкіндік беріледі.
Кітапта математика ғылымдарының қалыптасу жолдары сипатталып,
даму заңдылықтары зерттеледі. Европадағы математиканың даму тарихы,
Қытай және Үнді математикасына жеке тараулар арналған.
Көбінесе сирек қарастырылатын Таяу шығыс және Орта Азия елдерінің
математикасының дамуына көп көңіл бөлінген. Арифметика, геометрия,
алгебра және математикалық анализ тарихы секілді мектепте оқытылатын іргелі математика пәндерінің тарихының бөлімдері жеке тарауларға бөлінген.
Қосымша тарауда Сәбетбай Елубаевтың өз қолтаңбасымен маған
сыйлаған кітаптан Байырғы өлшеуіштер мен қазақ есебі атты мәліметтерді,
сонымен қатар Л.Ф. Магницкий және оның Арифметикасы атты қызықты
мәліметтер берілген.
Толық қамтыған тарих мүмкін емес, сондықтан осы оқу құралында
ғылым тарихының математика мұғалімдерін қызықтырып, пайдалы болатын
сұрақтары ғана баяндалған. Математика тарихын біліп қана осы заманғы
математиканың соншама жоғары жетістіктерге жеткенін түсінуге болады.
2. Математиканың дамуындағы ғылым тарихының рөлі
Ғылым д_ниеге келген бойда
_арастырылган болса, ол
әр_ашанда толы_
ме_герілген болар еді.
Максвелл
Қоғамды ізгелендірудің қажеттілігі ХХІ ғасырдың өркениетті дамуында,
әлеуметтік қатынастарды ұйымдастыруда айшықтана көрініс табуда.
Математикалық ғылымда қосымшасындағы гуманитарлық білмідер
әдістемесінің элементі ретінде қарастырылатын тарихи көзқарастар келешкете
математикалық білім беру жүйесінің құрылымы мен мазмұны жаңартудың
тиімді тәсілі болып табылады.
Республика мектептеріндегі оқыту тәжірибесі көрсетіп отырғандай
қандай да бір ғылымның тарихымен оқушыларды таныстыру, оларды
адамгершілікке және елжаңдылыққа тәрбиелеуге үлкен мүмкіндік туғызады.
Өткен дәуірдің ғұлама ойшылардың өмір жолдары мен олардың ғылымға
қосқан үлесімен және адамгершілік қасиеттерімен оқушыларды таныстыру,
олардың өзін-өзі тәрбиелеуіне жетілуіне елеулі әсер етеді.
Ғылым тарихын зерттеу не үшін қажет?
Іргелі идеялар бастауына көтерілуге мүмкіндік алу үшін, олардың даму
барысын, кейде тіпті күрделі тағдырын, яғни қарама - қайшылықтар мен қайта
жаңғырулар арқылы өткен жолын қадағалап, осы үрдістің заңдылықтарын
түсіну; адамзаттың әлем құпияларын ашудағы беталысын білу, осы жолда
қандай қиыншылықтарды жеңуге тура келгенін; әр дәуірде және адамзат
тарихының бүкіл өне бойында ғылыми прогрессті жеделдеткен не, тәжеген не
екенін ұғыну үшін қажет. Ғылым тарихын зерттеу кәзіргі заманғы оқиғалар
ағынында да, білімнің даму тенденцияларында да дұрыс бағдар алуға, яғни
ғылымның болашағын көре білуге жәрдемдеседі. Ғылыми зерттеудің кез келген
пәні сияқты ғылым тарихы да деректі материалды жинақтап, оны жүйелеп қана
қоймай, сонымен қатар ғылымның даму заңдылықтарын айқындау үшін
теориялық талдаулар жүргізуді талап етеді.
Ғылым тарихы математикалық тұрғыдан талдауды талап етеді, себебі: - оның ұғымдары мен проблемаларын, өмірмен байланысын, ғылыми
көзқарасын тиянақтауға және жалпылауға ұмтылдырады;
- математика тарихы жалпы тарих бөлігі болып табылады, ол
адамзаттың оны дамытуға мәжбүр болып, нәтижесін қолданғаны туралы
әңгімелейді;
- математика тарихы қазіргі математиканың дамуының басты шарты;
- ол ғылыми методология негізі және ойлау процесін талдаудың
маңызды қайнар көздерінің бірі болып табылады;
- математика тарихы математиканы оқытуды жетілдіру қызметін
5
атқарады;
- математика тарихы жалпы адамзат мәдениетінің бір бөлігі болып
табылады. [1]
Математика тарихы математиканың мың жылдар бойы қалай дамығанын
көрсетеді. Ол адамдардың қалай санап үйренгенін және арифметика әдісінің
біртіндеп қалай оянғанын айтады. Ол адамзаттың ақыл - парасатының ұлы
табыстарының бірі - орынды санау жүйесі пайда болғанша қандай азапты
жолдан өткенін оқытады.
Ғылым тарихы бізге аудан аумағын, ұзындығын, ара қашықтығын, астық
қоймасының көлемін өлшеу секілді практикалық мәселелер негізінде
геометрияның бастамасының пайда болуын және абстракты ғылым негізінің
бірте - бірте қалануын баяндайды. Ежелгі Грециядағы математиканың
практикалық ережелер жинағынан қатал дедуктивтік ғылымға айналғаны
адамзаттың дамуына үлкен әсерін тигізді. Ньютон заңының ашылуы және
математикалық талдау негізінің жасалуы тарихтың дамуына ерекше әсер етті,
бұларсыз қазіргі ғылыми - техникалық прогресс мүмкін емес [2].
3. Математика тарихын оқыту процесінде қолдану
Адамзатты_ толы_
сауатсызды_тан білімін
жетілдіруге _арай ткен
баяу әрі к_рделі процесті тек ғана
ғылым тарихы аша алады.
Математиканың оқу құралы ретінде дүниені тануда ғылыми тәсілдердің
ролін көтеру үшін үлкен мүмкіншіліктері бар. Орта мектептің математика
курсына тарихи - математикалық материалдарды енгізу осы мүмкіншіліктердің
бірі болып табылады.
Білімге селқос қарауды, кейбір математикалық ережелерді түсіндіруде тарихи көзқарасты мойындамауды мектептегі математиканы оқытудағы
кемшіліктердің біріне жатқызута болады. Сол кезде мектептік курсқа тарихи -
математикалық материалдарды енгізу _ажеттілігі, ма_сат_а сәйкестігі және
м#мкіндігі А.Закарин [5], О.А.Жаутыков [6], М.У.Ысқақов [7] секілді көптеген
Қазақстандық педагог - ғалымдармен, математика негіздерін оқытуда тарихи
7
әдісті қолдаушылармен зерттелді. Бірақ, алынған ұсыныстарды оқулықтар мен
оқу құралдарында жүзеге асыру жеткілікті деңгейде болмады.
Математика тарихын әңгімелей отырып, оқытушы ғылымның негізгі
түсініктері туралы оқушыларға мынадай сұрақ қоюы керек: Дүниеде бұл
түсініктердің бейнесіне не жатады? Оқушылардың математикалық
ұғымдардың тәжірибеден шығуы туралы түсінігі дүниетанымға ұласуы үшін
бұл сұрақтарға қайта - қайта, жүйелі түрде тоқталу керек.
Сан деген түсінік қалай пайда болды? Адамзат бүтін сан түсінігінен
рационал және иррационал сан ұғымына қалай өтті?
Ғылымның өмірдегі қажеттіліктен, тәжірибеден пайда болғанымен, оған
тәуелсіз дами бергеніне оқушылардың назарын аудару қажет. Пайда болған
теориялар көпке дейін тек қана таза математика теориясы болып, тәжірибе
жүзінде қолданылмай келді. Бірақ өндірістің және өзге ғылымдардың дамуы
осы теорияларды қажеттілігін үнемі көрсетіп отырды. Мәселен, ықтималдықтар
теориясы ақ сүйек ойыны теориясы ретінде пайда болды, ал қазір ол тек физика
емес, экономика, лингвистика, социология және т.б. қажет. Жазу үстелінде
ашылған Евклидтік геометрия шешімдері теңіз жүзуде, физикада, астрономияда
қолданылады. Кеплер аспан денелерінің қозғалыс заңдарын ашқанға дейін
Ежелгі Грецияда ақыл - ойды шынықтыруға қызмет еткен конустық
қималарды зерттеу де практикада қолданылмаған.
Әрі қарай аксиомалар жүйесінің шығу тарихы мен роліне кез келген
ғылымның құрылуы үшін берік іргетас керек екеніне тоқталған пайдалы.
Математиканың іргетасы - оның негізгі ұғымдары және аксиомалар жүйесі
болып табылады. Аксиомалар жүйесі біріншіден, толық, екіншіден, бір -
біріне қарама - қайшы емес, үшіншіден, бір - біріне тәуелсіз болуы керек. Осы
жалпы мәліметтерді планометрия мен стереометрияны оқытқан кезде бір рет
қана көрсетіп қоймау керек.
Аксиомалар тақырыбына байланысты IX сыныпта Евклидтің бесінші
постулатына (параллелдік аксиомасы), Н.И.Лобачевский геометриясының шығу
тарихына тоқталған жөн. Нақты шындықты бейнелеу нәтижесі ретінде
ғылымның шынайылығын математикадағы жаңалықтарды көбінесе бір мезгілде
әр елдерде тұратын адамдардың ашқанынан айқын көруте болады.
Оқушыларға біздің санамыздан тыс өмір сүретін нәрселерді ғана бірнеше
адамдар бір мезгілде ашуы мүмкін екенін түсіндіруге болады [8].
Ал, сыныпта қаншама оқушы есептің шешуін бір әдіспен шығарады,
бірақ ешқашан бірдей өлең жазбайды. Қазіргі математикада да бір мезгілде
ашылып жатқан жаңалықтар туралы мәліметтер бар. Белгілі америка
математигі Кибернетика атасы Н.Виннер академик Колмогоров екеуі 20 - 30
жыл бойы математиканың бір ғана саласында жұмыс істегені туралы жазады. Олар ешқашан кездеспей, жұмыстарын жиі жұртшылыққа жариялап
тұрғанмен еңбектері бір - біріне тығыз байланысып кетті дейді Виннер. Ол
байланыс Колмогоровтың теориясындағы өзінің негізгі қорытындыларын
болжамдап және басқа бір - бірімен тығыз байланысты мәселелерді бірінші
болып жариялағанын мойындайды. Интеграл түсінігіне байланысты X сыныпта
осы сұрақтың тарихына (И.Ньютон мен Г.Лейбництің осы саладағы
8
жаңалықтары) тоқталуға болады. Оқушылар оқытушымен бірге әр сабақта,
өздеріне бұрыннан белгілі жаңалықтарды есеп шығарғанда, жаңа материал
өткен кезде қолданады.
Мектепте математика сабағына тарихи элементтерді енгізудің пайдалы
екенін тәжірибе көрсетті. Оқытушы ғылым тарихы мәліметтерімен қызықтыра
отырып, оқушылардың негізгі материалды тез қабылдауын жеңілдетіп, оқу
процесін жандандыра алады. Шынында да ең күрделі теорияның қандай
жолмен дамығанын, оны қандай тәжірибелік қажеттілік өмірге әкелгенін білу
материалды түсініктірек етеді. Математиканы оқытуда тарихи мәліметтерді
қолдану мәселесі XIX ғасырдың аяғында қойылған болатын [9]. Тарихи
мәліметтерді математика сабағына енгізу мақсаттары әр уақытта әр түрлі
анықталады. Алайда жалпы міндеттер ретінде келесі мақстарды бөліп көрсетуте
болады:
- оқушылардың ықыласын арттырып, математиканы тереңірек
түсіндіру, оқылатын мәліметтерге қызықтыру;
- оқушылардың ақыл - ойын кеңітіп, олардың жалпы мәдениетін көтеру;
- Қазақстан математикасының тарихымен таныстыру оқушыларды
тәрбиелеудің жалпы мақсатына жатады.
Орта мектептің математика бағдарламасындағы Математиканы
оқытудың жалпы мақсаттары мен міндеттері тарауында былай жазылған:
Мектеп курсының мазмұнына әсері мол тарихи оқиғаларды енгізу арқылы
оқушыны маңызды жаңалықтардың тағдырымен, сол жолдағы қиын әрі саналы
күреспен, ғылымды таратушылардың аттарымен таныстыру керек [10].
Алайда, бағдарламада математика тарихынан қандай мәліметтерді қай
сыныпта, қандай көлемде енгізу қажет екендігі туралы нұсқаулар жоқ. Мектеп
оқулықтарында ондай мәліметтер аз. Бірақ сонымен қатар математика
тарихынан жалпы мәліметтер жеткіліксіз, сол себептен тарихи мәліметтер мен
бағдарламалық материалдарды жүйелі түрде, үйлестіре отырып баяндау қажет.
Егер де осындай жүйелі жұмыстарды V сыныптан бастап жүргізсе, тарихи
материал тезірек ашылып, алдағы уақытта ол сабақтың қажетті бөлігіне
айналған болар еді.
Математика тарихынан алынған мәліметтерге шолу жасау және оны басқа
сыныпта қолдану үлкен әдістемелік қиындық тудырады. Ол үшін:
- математика бағдарламасын басшылыққа алу керек;
- оқушылардың жас ерекшеліктерін ескеру қажет.
Әр сыныптағы математиканың тарихи материалының көлемі, мазмұны,
баяндалу реті әртүрлі: мысалы, V - VІ сыныптардағы математика тарихының
бастапқы мәліметтері мынадай - есептеу қызметі дамуының қарапайым мәселелері;
- математикалық терминология мен символдар;
- шама өлшемдерінің пайда болуы;
- өлшеу тәсілі мен қарапайым аспап - құралдардың жасалуы.
- Математика тарихының өзекті мәселелері (кейбіріне тоқталсақ):
- сан ұғымының дамуы;
- мектеп аксиомаларының шығуы, алгебра мен геометрияның дамуы;
9
- теңдеулер тарихынан бастапқы мағлұматтар.
Ал VІІ - VІІІ сыныптарда бағдарламалық материалдармен байланысты
бастапқы мәліметтермен шектелу қажет. Математика тарихының кейбір
сұрақтарына орта мектеп курсында бірнеше рет қайта оралу қажет. Сабақта
қажетті уақытты тиімді қолдану және элементтерді пайдалану түрлері мектепте
оқылатын математиканың, оның тарихымен байланысына тәуелді, яғни
қысқаша сұхбат, экскурсия, нақты анықтама, тарихи есептерді шешу, сурет
талқылау мен көрсету, оқытушының әсерлі әңгімесі, оқушыларға алдын - ала
дайындалған хабар және т.б. Егерде оқушы тарихи деректі сабақта
мазмұндалатын практикалық материалмен тығыз байланыстыра алатын болса,
оқушылар математикана қызыға оқи түседі, білім алу тиімділігі көтеріледі [11]
4. Математика классиктері
Мен ж_рттан алысыра_ к ремін,
йткені мен алыптарды_ иығында
т_рмын.
И.Ньютон
Математика тарихы - бұл ең алдымен математикалық ой - сананың даму
тарихи. Алайда ондай ой - сана иелері, оны жеткізушілер әр дәуірде өмір сүрген
көрнекті ғалымдар, біз оларды ғылым классиктері деп атаймыз [12].
Олардың мұраларын оқи отырып, нақты мысал арқылы математиканың
даму жолдарын, оның өмірмен байланысын көрнекті көрсетуге мүмкіндік
туады.
Сол себептен академик С.И.Вавилов Ғылым тарихы сана тарихымен
шектелмейді, сонымен бірге ол адамдардың өміріне, ерекшеліктеріне,
дарынына, оның елі мен дәуірінің әлеуметтік жағдай тәуелділігіне де
байланысты болады. Ғылым тарихы оқушыны бірте - бірте ғалымның
шығармашылық лабораториясына әкеліп, оның тұжырымдық қорытындылары
мен дәлелдеулерін көрсетуі керек.
Жас ұрпақты тәрбиелеу үшін ғылыми тарихының маңызы зор.
Өткендердің тәжірибесіне сүйене отырып, жастарды жаңа ізденіске деген
құштарлыққа, ғылыми шығармашылық шыншылдыққа үйрету қажет.
Ғылымның ұлы өкілдерінің өнегесі жастарды қиыншылықты жеңуте жетелеп,
оларға рух береді. Ондай тәрбие жастарды дұрыс шешім қабылдауға үйретіп,
ғылымды таңдауға, табанды еңбек етуге, ізденіске үйретеді.
Математика тарихы кітабынан оқушылар математика классиктерінің
шығармашылығы, өмірі жөнінде біледі, тек мол мәлімет алып қана қоймай,
олардың ғылым тарихы мен өркениет тарихы үшін маңызын да біледі. Әр ғалымның өмірбаяны және бұрынғы бейне емес, келешек бейнелері ойлануға
мәжбүр етеді. Осыған байланысты ғалымның кім екенін, оның өмірбаянын, ой -
өрісінің математика тарихының дамуындағы маңызын да білген жөн.
5. Мектепте оқытылатын іргелі математика
6. Математиканың оқыту әдістемесі (МОӘ) соңғы жылдары қарқынды дамып мазмұны жағынан да, ғылыми әдіс-тәсілдері жағынан да кемелденген педагогиканың бір саласы. Болашақ математика мұғалімі математиканы оқытудың жалпы заңдылықтарын, мақсат-мазмұнын, әдіс-тәсілдерін, методикалық зерттеулерді, есеп шығаруды және оларды оқушыларға түсіндірудің жолдарын оқытудың техникалық және көрнекі құралдарын оқу процесінде пайдалану әдістемесін, оқушыларды оқу-ісіне жұмылдыру тәсілдерін, педагогика ғылымы мен озат тәжірибе жетістіктерін мектеп практикасына батыл енгізу тәсілдерін жоғары мектеп қабырғасында жүргенде игеруі тиіс.
7. Математиканы оқыту әдістемесі математика пәнінің ерекшеліктеріне негізделген оқу-тәрбие жүйесі жайындағы ғылым. Бұл жүйені меңгеру математиканы оқыту мен математика пәні арқылы оқушыларды тәрбиелеу ісін ұйымдастыруға мүмкіндік береді.
8. Математиканы оқыту әдістемесі педагогикалық ғылым сондықтан да ол қазіргі қоғамның талаптарына сай педагогика ғылымы анықтап берген жалпы білім беру мен тәрбиелеудің мақсаттары мен міндеттеріне сәйкес құрылады. Математиканы оқыту әдістемесі мұғалімнің оқу материалдарын беру, оқушылардың математикалық білімді саналы меңгеру және алған білімінпрактикада қолдану іскерліктерін шыңдау әдістері мен құралдарын тағайындайды.
9. 1. Математиканы не үшін оқыту керек?
10. 2. Нені оқыту керек? Қандай тәртіппен, ретпен оқыту керек?
11. 3. Математиканы қалай оқыту керек?
12. Математиканы оқыту әдістемесі шартты түрде үш салаға бөлінеді:
13. 1. Математиканы оқытудың жалпы әдістемесі.
14. 2. Математиканы оқытудың арнайы әдістемесі.
15. 3.Математиканы оқытудың нақты әдістемесі.
16. Математиканы оқытудың жалпы әдістемесі мектеп математикасының бүкіл курсын қарастырады және оқытудың идеология бағытын, оқыту мазмұны мен әдістерінің бірлігін, оқыту түрлерінің арасындағы байланыстарды, әртүрлі курстардың (алгебра, геометрия, анализ бастамалары) арасындағы сабақтастықтарды оқу процесіндегі тәрбие жұмысы элементтерінің тұтастығын қамтиды. Оқушылар бөлімінің саналығы мен баяндылығы қамтамасыз етеді.
17. Математиканы оқытудың арнайы әдістемесі Оқушылардың жасына оқу материалы мазмұнының ерекшеліктерінесәйкес курсты оқытудың дербес мәселелерін қарастырады. Арнайы әдістеме белгілі-бір тақырыпты немесе бағдарламаның бір тарауын оқытудың реті жайында нұсқау береді. Оқу құралдарын қалай қолдану жөнінде ұсыныс жасап оқушылар өздігінен орындайтын жұмыстар мен жаттығуларға арналған тапсырмалар үлгісін көрсетеді.
18. Математиканы оқытудың нақты әдістемесі 1) жалпы әдістеменің жеке мәселелері мысалы, математика сабақтарында және сыныптан тыс жұмыстарда эстетикалық тәрбие беру белгілі-бір сыныптың математика сабақтарын жоспарлау;
19. 2) Арнайы әдістеменің жеке мәселелері мысалы, үшбұрыштар тақырыбын оқытуда оқушылардың есептеу шеберліктерін шыңдау қарастырылады.
6 Арифметика тарихы
§ 1. Арифметика тарихы
Егерде арифметика нері алынып
тасталған болса, онда барлы_
нерді_ біреуі де _алмас еді.
Платон.
Санды_ есептеу - ойдағы тәртіпті_
негізі.
Песталоцци И.
Математикамен танысу сан туралы ғылым - арифметикадан басталады.
Арифметикамен біз ғылым қақпасына кіреміз, - деп М.В.Ломоносов
айтқандай, біз одан ұзақ, жеңіл емес, бірақ қызықты жолымызды бастаймыз.
Арифметика сөзі - грекше arithmos (арифмус) сан деген мағынаны білдіреді.
Бұл ғылым сандардың әдістерін әртүрлі ережемен пайдалануды, қосу,
азайту, көбейту мен бөлу арқылы есептер шығарды үйретеді. Арифметика
заттарды санау, жер ауданын өлшеу, пайданы бөлу, уақыт мезгілін санау керек
болған кезде пайда болған.
Арифметика біртіндеп ұзақ уақыт бойы дамыған, ол Ежелгі Шығыс,
Вавилон, Қытай, Үнді, Египет елдерінде шыққан.
Ежелгі Шығыс елдерінде жиналған білім Ежелгі Греция ғалымдарымен
дамытылып, жалғастырылған, көп ғалымдар арифметикамен көне дүниеде - ақ
айналысқан. Олар Анаксагор мен Зенон, Евклид пен Архимед, Эротосфен мен
Диофант.
Пифагордың аты жарық жұлдыздай жарқырайды. Пифагоршылар сандар
алдында бас иген, санда дүние гармониясы бар деп санаған.
Ежелгі Грецияда арифметиканың зор мәнге ие болғаны жөнінде
Прометейдің ертегі аңызынан жоруға болады, оның аты адамдардың мәдениеті
келуімен байланысты: аты аңызға айналған, құдайдың отын алып кетіп,
адамдарға әкелген - алып титан Прометей, сандарды ойлап шығарды.
Орта ғасырдағы арифметиканың дамуы Үнді, Орта Азия, араб елдерімен
тығыз байланысты болды. Үнді халықтарынан бізге өзіміз қолданып жүрген
цифрлар, нолъ мен орынды санау ж#йесі келді, Үлықбектің Самарканд
обсерваториясында жұмыс жасаған аль - Кашидан (ХV ғ.) ондық бөлшектер
келді.
Грецияда логистика деп аталатын тәжірибелік арифметикадан
теоретикалы_ арифметика бөліне бастайды, олардың құрамында есептерді
қалай шығару ережелері ғана емес, ережені логикалық дәлелдеу де бар.
VІІ - ХV ғғ. арифметиканың дамуына ислам елдерінің ғалымдары: аль -
Хорезми, Омар Хайям, аль - Караджи, Насиреддин ат Туси, аль - Каши өздерінің жұмыстарын араб тілінде жазып, үлкен үлес қосты [13].
XVI ғ. бастап математикада Европа ғалымдары жетекші орынға ие болды.
11
Бірте - бірте қазіргі қолданылып жүрген жаңа арифметикалық белгілер, разряд
пен класс бойынша топтастырылған сан аттары енгізілді. Сонымен
арифметиканың объектісі - сан. Аль - Фараби: Сандар ғылымы тәжірибелік
және теориялық ғылым деп бөлінеді. Тәжірибелік бөлігі сандар мен санау
жайлы болғандықтан, сандарды үйретеді. Ол ғылымды азаматтық және
нарықтық қажеттілікке қолданады. Сандардың теориялық ғылымы сандарды
абсолюттік мағынада зерттейді, - деп жазған [14].
Сонымен, арифметиканың шығуы мен дамуы қоғам дамуы мен
адамдардың іс - әрекетіне байланысты.
7 Геометрия тарихы
Геометрия бізді_ ой - рісімізді
к теретін е_ ма_ызды __рал
болып табылады және бізге
мәселені д_рыс тал_ылап,
ойлануға м_мкіндік береді.
Г.Галилей.
Геометрия бізді_ ой - санамызды
шынды__а жа_ындатады.
Платон.
Геометрия ең ежелгі математикалық ғылымның бірі. Алғашқы
геометриялық еңбектерді біз Вавилон кестелерінен және папирустарынан
кездестіреміз (б.з.д. III мыңжылдық). Геометрия ғылымының аталуы ежелгі
Грециядан шыққан. Ол екі сөзден құралған гео - жер және метрейн -
өлшеймін. Геометрияның пайда болуы адамдардың тәжірибелік әрекетімен
тікелей байланысты. Шамамен 4000 жыл бұрын Нил өзенінің жағалауында
Египет мемлекетінің Фараоны жерге төлейтін төлем ақыны енгізгені бізге
тарихтан белгілі. Оны төлеу үшін жердің аумағын, тікбұрышты, үшбұрышты
және өзен жағалауларының әртүрлі формаларын өлшеу қажет болды. Осы
уақытта геометрия пайда бола бастады.
Египетте Ніл өзенінің дүркін - дүркін тасуы салдарынан су басқан егістік
жерлерді үнемі дәл өлшеп, қайта бөлу мұқтаждығы геометрияны тұрғызды -
деп тарихшылар атасы аталған грек Геродот жазған. Ол кезде Египетте
фигура, фигураның қабырғасы деген терминдер болмаған. Аумақ,
аумақтың шекарасы, ұзындығы, ені - деген сөздер қолданылатын.
Вавилон геометриясы египет геометриясы сияқты тәжірибемен тығыз
байланысты. Ол жерді өлшеп бөлген кезде, үйлерді, бөгеттерді, каналдарды
салған кезде қолданылатын еді. Бірақ ежелгі Вавилонда қарапайым
фигуралардан басқа көпбұрыш, дөңгелек бөлігі, конус сияқты фигураларды
қарастырған.
Ежелгі Грецияда геометрияға мүлдем басқаша көңіл бөлді. Египеттен
алған нақты білімдерін қолдана отырып, Вавилон гректері геометрияны қатал
дәлелдемелермен негізделген ғылымға айналдырып жіберді. 12
Б.з.д. VII ғ. бастап Ежелгі Грецияда тәжірибеден теориялық геометрияға
өте бастады. Грек ғылымының басталуына б.з.д. VI ғ. философия және
ғылымның ионикалық мектебі зор әсер етті. Оның негізін қалаушы Ионидің
негізгі қаласы - Милеттен шыққан Фалес. Ол диаметрдің шеңберді ортасынан
бөлетінін, тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең болатынын,
вертикал бұрыштардың теңдігін, үшбұрыштардың теңдігі туралы теорияны
дәлелдеді. Фалес теорема дәлелдемелерін фигураларды бір - біріне қою арқылы
дәлелдеген болуы мүмкін. Математик, астроном Прокл (410 - 485 жж.)
Афинада өмір сүрген. Ол Фалес геометриясының дамуына қысқаша тоқтала
отырып, Евклидке дейін: Кей кезде Фалес тақырыпты жалпы қарастырып,
кейде көрнектілікке сүйеніп терең қарастырған, - деп жазған.
Геометрияда түпкілікті өзгерістерді Пифагор мен оның мектебіндегі
ғалымдар жасаған. Олар Пифагор теоремасын дәлелдей отырып, геометриялық
алгебраны, циркуль мен сызғышты қолданатын салу есептерін қарастырған.
Сонымен, Ежелгі Грецияда геометриялық фигураларды белгілеуге
арналған геометриялық терминдер жүйесі құрылды.
Бүгінгі күнге дейін қолданылып жүрген геометриялық терминдер
Грецияның ғылыми мектептерінде пайда болды. Грециялық терминдер бірнеше
ғасыр бойы ғалымдар тілі болған латын тіліне аударылды [19].
1. Планиметрия термині - орта ғасырлық, латынша planum -
жазықтық және грекше метрео - өлшеймін мағынасын
білдіреді.
2. Фигура - латын сөзі, заттың көрінісін, түрін білдіреді, XII ғ.
қолданыла бастады. Бұған дейін заттың сыртқы бейнесін білдіретін
форма латын сөзі қолданылды.
3. Линия - латынның linea (сызық, шекара) сөзінен шықкан. Ол
linum - зығыр, зығыр жіп, арқан, бау сөзінен пайда болған. Жіпті
немесе бауды өлшемдер жүргізгенде римдік егіншілер қолданған.
4. Перпендикуляр - латынша perpendicularis тіктеуіш сөзінен
шыққан. Термин орта ғасырда пайда болды.
5. Биссектриса - латының bis (екіге) және sectrix (қиюшы)
сөздерінен құралған.
6. Вертикаль (бұрыштар) - verticalis - латын сөзінен шыққан -
төбелік.
7. Циркуль - латынша circulus - дөңгелек.
8. Центр - латынша centrum - ежелгі кентрон сөзінен
транскрипциясы өте өткір қару.
9. Радиус - латынша radius - сәуле, доңғалақтың тісі.
10.Диаметр - гректің диаметрос - көлденең өлшем.
11.Хорда - гректің корде - ішек.
Сонымен, геометрия ғылым ретінде б.з.д. III ғасырда қалыптасты. Оның
пайда болуына Евклидтің атқарқан ролі зор. Ол Александрияда тұрып, өзінің
әріптестері Фалес, Демокрит, Архит, Аристотель, Пифагор, Гиппократ, Евдокс
зерттеулеріне сүйене отырып, геометрия жайлы мәліметтерді жүйеледі, өз жаңалықтарымен толықтыра отырып, бірте - бірте өзінің 13 кітаптан тұратын
Бастамалар атты шығармасын жазды.
Жер өлшеу туралы ғылым құрамы жағынан кеңейтіліп, дамыса да
бұрынғыдай геометрия деп аталып келе жатыр. Ол математиканың ең маңызды
және үлкен тарауларының бірі. Геометрияда дене формасы қарастырылады,
фигуралардың қасиеті, олардың қатынастары оқытылады.
8 Геометрияның аксиоматикалық құрылымы
Птоломей патша (б.г.д. 300 - 285 жж.)
Евклидтен: Геометрияда сенің Бастамаларыңнан басқа бейнетсіз,
оңай түсінудің жолы барма дегенде, Евклид: Геометрияға патшалар ү шін
айрықша жол жоқ, - деп жауап беріпті.
Ғалымдар арасында бір кезде жаңа фактілердің, теоремалардың, пікірлер
мен пайымдаулардың жиналып қалуына байланысты оларды бір геометриялық
жүйеге келтіру қажет болды. Бұл еңбекті бірінші рет Хиостық Гиппократ (б.з.д.
450 - 410 ж.ж. шамасында) бастап, грек ғалымы Евклид өзінің Бастамалары
шығармасымен аяқтады. Евклид еңбегінің зор екені сонша, ол геометрия
құрамына қорытынды жасай отырып, оның мазмұнына тамаша форма берді.
Оның Бастамалары геометрияның энциклопедиясы болып қалды.
Д.Я.Стройк: Батыс елдерінің тарихында Евклид Бастамалары Библиядан
кейінгі бірнеше рет басылып шығарылып, ең көп оқылған кітап. Кітап баспа
ойлап шығарылғаннан кейін мындаған басылымдармен шыққан, ал оған дейін
қолжазба түріндегі геометрияны оқу негізінде қолданылған. Біздің мектептік
геометрияны оқу кітаптарының басым бөлігі Евклидтің алғашқы алты
кітабынан алынған. Евклид Бастамаларының жақсы жазылуы сонша, 2000
жыл бойы геометрияны оқыту Евклид кітабымен жүргізілген - деп жазды [20].
Евклид Бастамаларының негізін анықтамалар, аксиомалар және
постулаттар жүйесі құрайды. Олар 13 кітаптан тұрады, және оның әрқайсысы
мынадай анықтамалардан басталады. Бастапқы тоғыз анықтаманы келтірейік.
1. Нүктенің бөлігі болмайды.
2. Сызық - енсіз ұзындық.
3. Сызықтың үштары нүкте болады.
4. Түзу сызық өз нүктелеріне қатысты бірдей жатады.
5. Жазықтықтың тек ұзындығы мен ені болады.
6. Жазықтық шеті - сызық.
7. Жазықтық тегістігі - өздерінің түзу сызықтарына қатысты біркелкі
орналасқан түзулер.
8. Жазық бұрыш - жазықтықтағы бір түзуде жатпайтын екі сызықтың
қиылысуы.
9. Екі сызықтықтың тікбұрыш болып қиылысуын түзу сызықты бұрыш
деп атайды.
14
Евклидтің аксиомаларында шамалардың тендік және теңсіздік қатынасын
анықтайтын аксиомалар бар. Мысалы:
1. Бір өлшемге тең болған екі зат бір - біріне тең. 2. Егер екі теңдерге теңдерді қосса, онда қосындылар тең болады.
3. Егер теңдерден теңдерді азайтса, онда қалдықтары да тең болады.
4. Бір - бірімен беттесетіндер өзара тең болады.
5. Бүтін бөлшектен үлкен.
Евклид дәлелдемелерінде қозғалыс идеясын қолданған. Үшбұрыштардың
теңдігін бір - бірінен беттестіру арқылы дәлелдеген.
Евклид бірінші кітабында 5 постулат келтірген.
1. Кез келген нүктеден кез келген нүктеге дейін түзу сызық жүргізуге
болады.
2. Шектелген түзуді үздіксіз соза беруге болады.
3. Кез келген центрден кез келген радиуспен шеңбер сызуға болады.
4. Барлық тік бұрыштар өзара тең болады.
5. Егер екі түзумен қиысатын үшінші түзу олармен тікбұрыштан кем
болатын іштей бір жақты бүрыштар құрайтын болса, онда ол екі түзуді шексіз
соза берсек, бұрыштар екі тік бұрыштан кем болатын жақта қиылысады.
Бірінші үш постулатта Евклид циркуль мен сызғыш көмегімен салынатын
құрылымдарды сипаттайды.
Төртінші постулат - бұл параллельдік түзулер жайлы белгілі постулат.
Бесінші постулат өзінің Күрделілігі жағынан ғалымдарды таң қалдырды.
Ол көбіне постулаттан гөрі теореманы еске түсіреді. Күрделілігіне байланысты
бесінші постулатты теорема сияқты дәлелдеуге тырысқандар көп болды.
Бесінші постулат туралы мәселе ғалымдармен 2 мың жыл бойы
қарастырылды. Евклидтің V постулатын грек математигі Прокл (410 - 485 жж.),
тәжік математигі Омар Хайам (1048 - 1131 жж.), араб математигі Насиреддин
ат - Туси (1201 - 1274 жж.), ағылшын математигі Джон Валлис (1616 - 1703 жж.),
француз математигі Адриан Лежандр (1752 - 1833 жж.) секілді ғалымдар
дәлелдеуте тырысты.
Евклид аксиоматикасының кемшіліктері тек XIX ғ. аяғында ғана
табылды. Қазіргі уақытта Д.Гилберттің геометриядағы аксиомалар жүйесі
жалпылай ең көп таралып қабылданған. Аксиомалар бірінші рет оның
Геометрия негіздері шығармасында жазылған.
9 Алгебраның қалыптасуы
Алгебра - б_л сандарды_
_атынастарын белгілеу _шін
_алыптас_ан математикалы_ тіл.
И.Ньютон
Алгебра - бұл әртүрлі шамаларға орындалатын амалдардың жалпы
қасиеттерін және осы амалдармен байланысты теңдеулер шешімін оқытатын
математиканың бөлігі. Арифметикада тек ғана төрт - қосу, алу, көбейту, бөлу
15
амалдарын қарастырады. Алгебра курсында екі жаңа амалдар оқытылады:
дәрежелеу және санның түбірін шығару. Әріптер белгілерінің қолданылуы
алгебраның арифметикадан айырмашылығына жатады. Алгебра
арифметиканың негізінен құрастырылады. VI ғ. математикалық зерттеулердің
орталығы Үнді мен Қытайға, Таяу Шығыс елдері мен Орта Азияға ауысты.
10 Математикалық анализ
Математикалы_ анализ
табиғаттай к лемді,
ол барлы_ зара _атысты
байланыстырады, уа_ыт лшемін,
ке_істікті, к_шті, _ызуды лшейді.
Ж.Фурье
Шексіздікті_ барлы_ анализі
айнымалы шама мен оны_
функциясыны_ _асында айналады.
Л.Эйлер Математика тарихын шартты түрде екі негізгі кезеңге, - элементарлық
және қазіргі математикаға бөлуге болады.
Жа_а немесе жоғары математиканың дәуірін есептеу XVII ғасырдан -
математикалық анализдің шығу ғасырынан басталады деп саналады. XVII
ғасыр соңында И.Ньютон, Г.Лейбниц және олардың ізашарларымен
математикалық анализдің негізін құрайтын жаңа дифференциалды_ және
интегралды_ есептеулер жасалды.
Математикалық анализ - ерекше зерттеу объектісі бар математиканың
кең көлемді саласы. Өзіне тән зерттеу тәсілі (шексіз аз және шектеулі мөлшерді
анализдеу) белгілі негізгі жүйені анықтамалармен негізгі түсінігі анықталған
және тұрақты жетіліп дамып келе жатқан дифференциялдық және интегралдық
санау негізін құрайтын жүйе.
XVII ғасырда қандай математикалық тарихи өзгерістер болғанын
елестетіп қарайық. Матанализдің шығуы элементарлық математикадан қазіргі
математикаға өтумен, оны зерттеу арқылы басты ролді түсіндіріп, қазіргі
теориялық жүйені іс жүзінде қолданумен ерекшеленеді ма екен?
Қозғалыстар, айнымалылар және олардың өзара байланыстары барлық
уақытта біздің ортамызда болады. Міне, осыдан матанализ - айнымалы
шамалар мен олардың байланыстарын сипаттаудағы тілдің негізі мен
математикалық әдістерін құрайды. Қазіргі кезде матанализдің көмегімен
космостың траекториясын, ядролық реактордың жұмыс істеуін, мұхит
толқынының қозғалысы мен циклонның даму зандылығын анықтап қана
қоймай, өндірісті экономикалық басқаруды, ресурстарды бөлуді,
технологиялық процестер ұйымдастыруды және т.б. жүзеге асыруға болады.
Себебі осының барлығы динамикалы_ процестер.
Элементарлық математика жалпы тра_ты шама математикасы болды.
Ол ең алдымен геометриялық фигуралардың элементтерінің қатынастарын,
сандардың арифметикалық қасиеті мен алгебралық теңдеулерді зерттеді.
Сонымен, матанализ айнымалы шамалар мен қозғалыстардың саны мен
сапасын зерттеуді ғылыми сипаттаудың мүмкіндігін ашты. Функциялар немесе
айнымалы шамалардың өзара байланысы матанализдің негізгі зерттеу
тақырыбы болып табылады.
17
Матанализдің шығуының алғы шарттары қандай болды? XVII ғасырдың
соңында келесі жағдай қалыптасты. Біріншіден, математика айналасында көп
жылдар бойы бір мағыналы есептердің кейбір маңызды топтары жиналды.
Мысалы, стандартты емес фигуралардың ауданын және көлемдерін өлшеу
есептері, қисықтарға жанама түзу жүргізу есептері мен оларды әртүрлі жеке
жағдайда шешу әдістері пайда болды. Екіншіден, осы есептер механикалық
қозғалысты сипаттайтын есептермен, оның ішінде лездік сипаттамаларын
есептеп шығарумен (жылдамдықты, кез келген уақыт мезетіндегі үдеуді,
айнымалы қозғалыс үшін жүрілген жолды табумен) тығыз байланыста болып
шықты. Бұл проблемаларды шешу физика, астрономия және техниканың
дамуына қажет болды. Үшіншіден, XVII ғасыр ортасында Р.Декарт пен
П.Ферманың еңбектерімен координаттардың аналитикалық әдісінің негізі (аналитикалық геометрияның негізі) қаланды. Бұл сан мен сандардың
байланыстығының, яғни сандардың функцияларының жалпы аналитикалық
тілінде әртүрлі геометриялық және физикалық есептерді қалыптастыруға
мүмкіндік береді.
Айнымалы шамалар теориясын алдыңғы қатарға дамыту және
жаратылыстанудағы негізгі математикалық аппарат ретінде шексіз аз шамалар
анализін жете зерттеу сол кездегі математикалық өзгерістерге жатады.
Математикалық анализдің негізгі тарауы - дифференциялдық
интегралдық есептердің шығарылуы XVII ғ. ғылымындағы маңызды
жетістіктердің бірі болып табылады. Бұл кезде Европада жаңа капиталистік
қоғамдық қатынас өркен алып келе жатты. Өндірістің дамуымен құрылыс және
транспорт техникасы, машина жасау, кеме құру және көптеген тағы басқа
техникалық міндеттер қозғалыс заңын оқып үйренуді қажет етті.
Сонымен, қозғалыс проблемалары XVII ғасыр жүзжылдығында алдыңғы
қатарға шықты.
Ж.Л.Лагранж жазған: Шексіз аз шамаларды есептеудің ашылуы, -
математиктерге қозғалыс заңын аналитикалық тендеумен біріктіруге мүмкіндік
берді, - деді. Сонымен, математикалық анализ 300 жыл бұрын шыққан.
Дифференциялдық есептеу негізі алғаш рет 1684 жылы қазан айында
Лейпцигте шығатын Aсta Eruditorum журналында Г.В.Лейбництің
Максимум __________және минимумдардың, сондай - ақ жанамалардың жаңа әдісі
мақаласында баяндалды [15].
Үш ғасыр бойы математика тарихында матанализ басты орын алды. Оның
тәсілімен өте күрделі тәжірибелік есептерді шешетін. Ол шексіз теориялық
зерттеулердің объектісі болды.
Матанализ мәліметтері алғашқы рет математикалық оқуға 1696 жылы
Ф.Лопитальдың (1661 - 1704 жж.) бірінші оқулығы шыққанда енгізілген. Сол
кезден бастап осы күнге дейін матанализ маңызды оқытылатын пән болып
қалыптасты. Мектепте матанализдің тек алғашқы мәліметтері оқылады. Бұл
функцияларды дифференциялдау мен интегралдау операциялары,
функцияларды туынды көмегімен зерттеу және дифференциялдық теңдеулер
жайлы бастауыш мәліметтер.
11 Математикалық белгілер
Математикалық белгілер бірте - бірте әр елдердің ғалымдарымен енгізілді.
Тиімді математикалық белгілер, математикалық ойлауды және есептеуді
жеңілдетеді. Атақты ғалым Карио: Белгілер бізден ақылды - деп айтқан.
Барлық математикалық белгілерді бірнеше топқа бөлуге болады. Мысалы:
обьект белгілері (П, і және.т.б), амал белгілері (+, - , :, *), қатынас белгілері ( =,
, ), негізгі белгілердің санау тәртібін сақтайтын қосымша белгілер - ( ) [ ]
жақшалар болып бөлінеді [16].
Кейбір математикалы_ белгілер жайлы мағл#маттар
Белгілер Мағынасы
Кімдер
енгізді Қашан
енгізді
1 2 3 4
Обьект белгілер
Шексіздік Дж.Валлис 1655 ж.
Шеңбердің ұзындығының диаметрге
қатынасы
У.Джонс
Л.Эйлер
1706 ж.
i - санының квадраттық түбірі Л.Эйлер 1777 ж.
x, y, z белгісіз және ауыспалы шамалар Р.Декарт 1637 ж.
r
вектор О.Коши 1853 ж.
Амал белгілері
+ қосу Я.Видман XV ғ. соңы
- азаиту Я.Видман XV ғ. соңы
* көбейту У.Оутред 1631 ж.
· көбейту Г.Лейбниц 1698 ж.
: бөлу Г.Лейбниц 1684 ж.
а2 ,а3 ,аn дәрежелер Р.Декарт 1637 ж.
3 түбірлер Х.Рудольф 1525 ж.
Log, log логарифм И.Кеплер 1624 ж.
sin синус Б.Кавальери 1632 ж.
cos косинус Л.Эйлер 1748 ж.
tg тангенс Л.Эйлер 1753 ж.
arcsin арксинус Ж.Лагранж 1772 ж.
қосынды Л.Эйлер 1755 ж.
dx, ddx... d2x,
d3x
дифференциал Г.Лейбниц 1675 ж.
∫ydx интеграл Г.Лейбниц 1675 ж.
dx
dy туынды Г.Лейбниц 1675 ж.
∫
b
a
f x dx
анықталған интеграл Ж.Фурье 1819 - 1822 ж.
19
! факториал Х.Крамп 1808 ж.
lim шек У.Гамильтон 1853 ж.
lim0
n
көптеген математиктер
XX ғ. басы
limn
ux функция И.Бернулли 1718 ж.
f(x) Л.Эйлер 1734 ж.
Қатынас белгілері
= теңдік Р.Рекорд 1557 ж.
артық, кем Т.Гарриот 1631 ж.
≡ салыстыру К.Гаус 1801 ж.
‖
параллель У.Оутред 1677 ж.
_ перпендикуляр П.Эригон 1634 ж.
Қосымша белгілер
( ) дөңгелек жақшалар Н.Тарталья XVII ғ. басы
квадрат жақшалар Р.Бомбелли - -
{} фигуралық жақшалар Ф.Виет - -
12 Математика ғылымының қалыптасу жолдары
Алғашқы математикалық түсініктердің қалыптасуы, олардың түрлері
қандай болды, білімді жетілдіру баспалдағы қалай өтті деген сұрақтар ешқашан
өзінің маңыздылығын түсірмеді, әрі келешекте де оны жоғалтпайды.
Оқытылатын математикалық материалда оның тарихи шартты орнын,
математикалық білімнің логикалық жүйелі құрылымын көріп осы түсінікті
оқушыларға жеткізу - демек оларды тарту, математикалық сабақты түсінікті
және қызықты өткізу.
Математика тарихында 4 кезеңді бөліп көрсетеді:
1) математиканың тууы (Египет, Вавилон, б.з.д. VІ ғ. дейін);
2) элементарлық математика кезеңі (Ежелгі Греция, Қытай Индия, Орта
Азия және ТаяуШығыс, Батыс Европа XVI ғ. дейін, Россия XVIII ғ. дейін);
3) айнымалар шамалар математикасын қүру кезеңі (XVIII ғ.) [17];
4) нақты дүниенің санды қатынастары мен кеңістік түрлерін түсіндіруде
жоғары дәрежелі абстракцияға ие болатын осы заманғы математика (ХІХ - ХХ
ғғ.).
Осы жүзжылдықтың ортасынан бастап, электронды есептеуіш машиналар
пайда болғаннан кейін, есептеудің дискреттік әдісі мен алгоритмдер туралы
ғылымның маңызы шапшаң өсуімен сипатталатын математиканың жаңа кезеңі
қалыптаса бастаған болуы мүмкін.
Біз ежелгі дамыған елдер, ерте кезендегі математика тарихы жайлы
айтқан кезде жетілген нақты мәліметтерді басшылыққа алдық.
Шындығында да математикалық түсініктерді талқылайтындай бізге
20
жеткен алғашқы дамыған деректер вавилондық (б.з.д. III мың жылд.) және
египеттік (б.з.д. 2,5 мың жылд.) еді.
Бұл математиканың шығу кезеңі болып табылады. Математикалық
ғылымның қалыптасуы тарихи мәліметтерге қарағанда, ежелгі Греция
ғалымдарының ғылыми еңбектерінен пайда болады. Олар б.з.д. VІІІ - VІ ғғ. қазіргі Греция территориясындағы Кіші Азия және оңтүстік Италия жақын
жағалауындағы мемлекеттер тобы. Кейінгі мәліметтерді біз шыққан жеріне
қарай топтай отырып, Египет, Вавилон (қазіргі Ирак және көрші
территорияларда орналасқан мемлекеттер), Қытай, Индия, Орта және Таяу
Шығыс елдері деп атаймыз.
Қалай адамдар математикалық білімді жинақтаған?
Деректерді сипаттаудан бастайық. Ежелгі Египет математикасы
туралы бізге белгілі мәліметтер Нил қамысынан бөлінген папирус - қағазына
қара және қызыл бояумен жазылған қолжазбадан алынған. Мұндай
қолжазбалардың бізге екеуі жетті. Олардың біріншісі - Ринд папирусы,
Лондонда Британ мұражайында, ал екіншісі Москва папирусы, Москвада
Пушкин А.С. атындағы мұражайында сақтаулы. Египеттің екі математикалық
папирусын фигураның ауданы мен көлемін есептейтін бөлшектер арасындағы
амалдарға байланысты 100 - ден аса есептер құрайды.
Есептерді реттеу және оларды жеткізу түріне қарағанда папирустар
ерекше оқу қүралы есебінде қолданылған. Саздан жасалған кестелер Ежелгі
Вавилонның математикалық мұрасын оқытуға болатын құжаттық негізі болып
табылады. Оларға текстер таяқшалармен таңбаланған. Белгілер (әріптер,
сандар) сынаға ұқсайтын, осыған байланысты вавилон хатын сыналы жазу деп
атаған. Тексті түсіргеннен кейін кестелерді отқа күйдіріп, оларды көпке дейін
қолданған.
Ежелгі вавилон кестелерінде есептеу мен өлшеу мәселелері ашық
көрсетілген. Вавилон математикасында 60 - тық санау жүйесі басым
болғандықтан, есептеуді жеңілдету және анықтама үшін түсініктемесі
берілмеген көмекші көбейту кестелер болған.
Ежелгі Қытай математикасы жайлы барлық ойлар бір дерекке тіреледі:
Математиканың он классикалық трактаты, немесе Он кітаптық -
шығармалар жинағы. Ол жинақ б.з. VI - VII ғғ. шыққан. Онда трактордың б.з.д.
II ғ. жазылғаны, олар ежелгі шығармаларды өңдеу болып табылатындығы
көрсетілген.
Сутры мен веды ғылыми __________ - діни шығармалары Индия халқының
математикалық жетістіктерінің ең ежелгі ескерткіштері болып табылады. Онда
математикалық мәліметтер астрономиямен біріктірілген, мазмұндамалар діни
көзқарастық және өзіндік аңыз - өлең түрінде жазылған. Индияның сутр және
веда математикалық мәлімдемелері архитектуралық және астрономиялық
мәлімдемелер төңірегінде топтасқан. Ешбір деректерде теорема, дәлелдеме
жоқ, тек қана нұсқаулар берілген, ал кейбіреуінде нұсқаулар да түсініктемелер
де жоқ, дәлелдемесіз сызба мен қараңдар сөзі бар. Біздің заманымыздың
бірінші ғасырлары математика ғылымының дамуына қолайлы болмады. Тек
кейінірек, орта ғасырдағы Шығыс елдерінде ғылыми орталықтар пайда бола
21
бастады, қолданбала математикамен қатар теориялық математика да қайта
өркендей бастады. Ол кездегі ғылыми шығармалар араб тілінде жазылған.
Испания мен Үндінің орасан зор аймағын алып жатқан көптеген мемлекеттерде
араб тілі ресми тіл болып табылған. Сондықтан математиканы араб математикасы немесе ислам елдерінің математикасы деп атайды.
Арифметикалық және алгебралық трактаттар жоғары атаққа ие болған.
ІХ - ХV ғғ. алгебралық араб трактаттары бірінші және екінші дәрежелі теңдеу
шешімдерінен басқа кубтық теңдеулерден де тұрды. Орта ғасырдағы Шығыс
математиктерінің еңбектерінде алгебралық элементтер бірінші рет жаңа арнайы
математика бөлімі - алгебрада белгіленді. XIII ғ. бастап тригонометрия
математика саласының бір бөлігі болып қалыптасты. Тригонометрияны
математикалық мазмұндауға арналған арнайы шығармалар алғаш араб
қолжазбаларынан шықты.
Кейінгі алгебраның қалыптасуы қолайлы жағдай орнаған Европа
елдерінде пайда болды. Ғалымдар көне Грек, Византия, араб тілді Орта Азия
және Таяу Шығыс халықтарының жетістіктерін меңгерді. Арабтың ғылыми
қолжазбалары орта ғасырдағы ғылыми тіл - латын тіліне аударылды. Европада
математика ғылымының жаңадан дамуы Қайта өркендеу дәуірінен (XV
жүзжылдықтың екінші жартысы) басталды.
13. европадагы математика
Европадагы математикке мысал ретинде Насыр ад-Дин ат-Туси жаткыза аламыз
Толық аты: Мұхаммед ибн Мұхаммед ибн ал-Хасан ат-Туси. Оның аты тарихта бірнеше атпен сақталған, мысалға Хожауи Туси, не Қожа Насыр. 1201 жылы 18 ақпанда қазіргі Иранның Хорасанынна қарайтын Тус қаласында дүниеге келген, Ол тулған кез Монгол империясының бар әлемді жаулап жатқан кезіне тура келеді, ол кезде империяның құрамына Қытайдан бастап шығыс Еуропаға дейінгі елді мекеннің бәрі қарап болған кез еді, моңғол империясы қол астына қараған жердегі мәдени ошақтармен ғылым ордаларының біразын қиратты, әсіресе, сол кездегі ислам әлемінің ғылым ордалары көп зардап шекті.
Ат-Тусидың әкесі сол жердегі он екінші медресенің заң жөніндегі кеңесшісі болған, он екінші медіресе сол кездегі шиит мұсылмандарының діни оқуы мен уағыздарын жүргізетін маңызды орын болған, Туси осы жерде діни сауатын ашады, сонымен бірге өзінің нағашы ағасынан көптеген жаратылыс тану саласының сабақтарын үйренеді, Бұлардың ішінде логика, физика, метафизика және математика бар, ерекше ден қойып үйренгені алгебра мен геометрия болды.
1214 жылы Шыңғысхан соғыс бағытын Қытай мен шығыс Еуропаны жаулауға жұмсады да, осы кезде ислам әлемінде біраз кеңшілік болды, осыны жақсы пайдалаған Туси 13 жасында, Тус қаласынан 75 км қашықтықтағы Нишапурға барады, Нишапур білім қуған жасқа шөлін басар бұлақ іспетті болды, қалада көптеген оқымыстылармен қатар көптеген материялдар, математикалық трактаттар молынан табылатын, осы жерден ол медицина, философия және математиканы беріле оқиды. Шығыстың атақты ғұламалары әл-Фараби, әл-Бируни, әл-Хорезми, Омар Хайямның және басқа да даналардың шығармаларынан сусындайды.
Оған математиканы Камал ад-Дин ибн Жүніс (атақты математик Шараф ад-Дин ат-Тусидің оқушысы) үйретеді.
Кейіннен 1256 жылдары ол Аламут қаласына келіп, сол жерде ғылыммен және орда жұмысымен айналысады.
Ол біраз шығарма жазған, бірақ, өмірінің көп бөлігін көшіп-қонумен өткізген ғұламаның бізге жеткен шығармасы аз, ең алғашқы трактаты 1232 жылы жазылған Ахлақ-и насири (Akhlaq-i nasiri), бұл трактатта математика, философия, логика мәселерімен қатар астрономия мәселелері де қаралған. Ғұлама 1274 жылы 26 маусымда Бағдатка жақын жердегі Кадхимаин деген жерде қайтыс болған.
14 ежелги греция
Ежелгі Греция батыс математикасының дамып қалыптасуына үлкен үлес қосты. Математика жаңа логикалық даму дәуіріне аяқ басты. Біздің заманымызға дейінгі VI ғасырда Грецияда ғылым гүлдене бастайды. Египет және Вавилон халықтарымен үнемі байланыста болған гректер олардың білімдеріне қанағаттанбай, абстракты және дедуктивтік математиканы құрды. Гректер ең алдымен геометрия мамандары болды. Нақты математикалық дәлелдеулер қажеттілігі пайда болып, математикалық теорияның жүйелі құрылымының алғашқы әрекеттері жасалды. Математика ғылымының мұндай сипатқа ие болуы грек мемлекеттерінің қатты дамыған қоғамдық - саяси және мәдени өмірімен түсіндіріледі. Бұған натурфилософиялық бағыттағы ғылыми - оқу бірлестіктерінің қызметі әсер етті. Олардың алғашқыларына иондық мектеп (Грецияның Арал бөлігінде, б.з.д. VII - VI ғғ.), пифагор мектебі (Апенин түбегінің оңтүстік жақтауы, б.з.д. VI - V ғғ.) және афиндік мектеп (б.з.д. V - ІV ғғ.) жатады. Біздің заманға дейінгі IV ғасырда Грецияның материк бөлігінде ғылыми мектептер жүмыс істеді. Олардың арасынан Платон Академиясы (б.з.д. 428 - 348 жж.) және Александр Македонскийдің ұстазы Аристотельдің Лицейін (б.з.д. 384 - 322 жж.) атап көрсетуге болады [18].
15 Элліндік және Рим дәуірі
Александр Македонский өліп, жаулап алған орасан зор империясы құлағаннан кейін, Египет патшасы Птоломей өзінің мемлекетінің айналасы Александрияда Музейон - ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz