Математикалық физиканың дифференциалдық теңдеулерінің негізгі түрлері

­­Қазақстан Республикасының білім жӘне ғылым министрлігі

М. Х. ДУЛАТИ АТЫНДАҒЫ ТАРАЗ ӨҢІРЛІК УНИВЕРСИТЕТІ

Ұстаз

факультеті/институты

Білім берудегі математика

кафедрасы

КУРСТЫҚ Жұмыс

Математикалық физиканың теңдеулері

пәні бойынша

Тақырыбы:__ Математикалық физиканың дифференциалдық теңдеулерінің негізгі түрлері

Білімгер __Аманязов Дияр Тобы_М-18-5

/аты-жөні/ /қолы/

Жетекші Надырбекова Айнур

/қызметі/ /аты-жөні/

Қорғауға жіберілді «»20ж.

/қолы/

Жоба қорғалды «»20__ж. бағасы

/жазбаша/

Комиссия мүшелері:

/аты-жөні/ /қолы/

/аты-жөні/ /қолы/

Тараз 20___

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М. Х. ДУЛАТИ АТЫНДАҒЫ ТАРАЗ ӨҢІРЛІК УНИВЕРСИТЕТІ

__ Білім берудегі математика кафедрасы _ М-18-5 тобының білімгеріне курстық жұмыс

/аты-жөні/

ТАПСЫРМА ___ Математикалық физиканың теңдеулері пән бойынша

1. Тақырыбы_ Математикалық физиканың дифференциалдық теңдеулерінің негізгі түрлері Тапсырманың арнайы нұсқауы

Кафедра мәжілісінде бекітілген «»20___ ж. хаттама №

Жетекшісі:

/қызметі/ /қолы/ /аты-жөні/

Тапсырманы орындауға қабылдадым «»20___ж.

/білімгердің қолы/

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ

Бізді қоршаған орта немесе біздің барлық көретініміз, сезетініміз математикалық физиканың теңдеулері арқылы сипатталады. Тарихи тұрғыдан алғанда, оның негізінде дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер жататын математикалық модельдің көпшілігі гидродинамика, аэродинамика және электродинамикадағы физикалық процестерді сипаттайтын есептерді шешу үшін құрылған. Сондықтан да, дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер, сонымен қатар, математикалық физика теңдеулері деген атқа ие болды.

Бұл қурстық жұмысың мақсаты:

• математикалық физиканың негізгі дифференциалдық теңдеулерінің түрлерін және олардың қасиеттерін зерттеу.

Осы мақсатқа жету үшін келесі міндеттер белгіленеді:

• математикалық физиканың негізгі дифференциалдық теңдеулер теориясысының негізгі түсініктерін оқу; теңдеулердің түрлерін ажырата білу;
• математикалық физиканың негізгі дифференциалдық теңдеулерінің шешімін табу үшін қолданылатын әдістерді қарастыру.

Бұл қурстық жұмысы теңдеулердің түрлеріне сәйкес бірнеше тарауларға бөлінген. Сонымен қатар, әр тарауына сәйкес есептер келтірілген.

Курстық жұмысың бірінші тарауында екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер, екінші ретті теңдеулерді классификациялау және де теңдеулерді түрлендіру, оларды канондық түрге келтіру сияқты тақырыптар карастырылса, ал, екінші тарауда гиперболалық типті теңдеулер, шектің тербелістерінің теңдеуін қорыту, біртекті емес (біртексіз) теңдеулер қарастырылады.

Қурстық жұмысың үшінші тарауында параболалық типті теңдеулер, жылуөткізгіштік теңдеуі, жылудың стерженде таралу теңдеуін корыту, шектелмеген стерженде жылудың таралуы қарастырылса, ал, төртінші тарауда эллипстік типті теңдеулер, Лаплас теңдеуіне әкелетін есептер, эллипстік типті теңдеулер үшін қойылған шеттік есептердің шешімін табу қарастырылады.

1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ ЖӘНЕ ОЛАРДЫ

КАНОНДЫҚ ТҮРГЕ КЕЛТІРУ

1. 1 Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер.

Екінші ретті теңдеулерді классификациялау

Жалпы жағдайда n тәуелсіз айнымалының $u\left( x_{1}, x_{2}, \ \ldots, \ x_{n} \right)$ белгісіз функцияның және оның дербес туындыларын байланыстыратын дифференциалдық теңдеуді

$\ \ \ \ \ \ F(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}\, \ u\, \ \frac{\partial u}{\partial x_{1}}\, \ldots, \frac{\partial u}{\partial x_{n}}\, \ \frac{\partial^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}, \ldots\, \ \frac{\partial^{k}y}{\partial x_{n}^{k}}\ ) = 0$ (1. 1)

түрінде жазуға болады.

Теңдеудің қүрамына кіретін туындылардың ең жоғары ретін теңдеудің реті деп атайды. Теңдеуді қанағаттантыратын кез келген дифференциалданатын:

u= $\ u\left( x_{1}, x_{2}, \ \ldots, \ x_{n} \right)$

функциясы теңдеудің шешімі деп аталады.

Егер теңдеудің құрамына белгісіз функция және оның туындылары сызықты түрде кіретін болса, онда ол сызықты теңдеу деп аталады.

Ал егер теңдеу оның құрамындағы жоғары ретті туындылары бойынша ғана сызыкты болса, онда ол сызыктылау (квазисызықты) теңдеу де аталады.

Оны былай жазуға болады:

$\sum_{i, j = 1}^{n}{a_{ij}\left( x_{1}, \ldots, \ x_{n} \right) \frac{\partial^{2}u}{\partial x_{i}\partial y_{j}} + f\left( x_{1}, \ \ldots, \ x_{n}, \ u, \ \frac{\partial u}{\partial x_{1}}, \ \ldots, \ \frac{\partial u}{\partial x_{n}} \right) = 0\ \ \ \ \ \ \ \ }$ (1. 2)

Бүл теңдеу екі х және у тәуелсіз айнымалылары үшін мына түрде жазылады:

$a(x, y) \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + 2b(x, y) \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y} + c(x, y) \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + f\left( x, y, u, \ \frac{\partial u}{\partial x}, \ \frac{\partial u}{\partial y} \right) = 0\$ (1. 3)

Дербес туындылар үшін төмендегідей белгілеулерді де пайдаланады:

$u_{x} = \frac{\partial u}{\partial x}\, \ u_{y} = \frac{\partial u}{\partial y}\, \ u_{xx} = \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\, \ u_{xy} = \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}\, \ u_{yy} = \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}$

т. с. с.

Осы белгілеулерді пайдаланып (1. 3) теңдеуді былай жазуға болады:

$a(x, y) u_{xx} + 2b(x, y) u_{xy} + c(x, y) u_{yy} + f\left( x, y, u, u_{x}, u_{y} \right) = 0\$ (1. 3')

Егер $(1. 3')$ теңдеу жоғары ретті $u_{xx}\, u_{xy}\, \ u_{yy}$ дербес туындылары бойынша ғана емес, сонымен қатар белгісіз u функциясы мен оның бірінші ретті $\ u_{x}\, \$ $u_{y}$ туындылары бойынша да сызықты болса, онда ол сызықты теңдеу болады.

Бұл жағдайда $(1. 3)$ теңдеу мына түрде жазылады:

$a\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + 2b\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y} + c\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + d\frac{\partial u}{\partial x} + e\frac{\partial u}{\partial y} + fu + g = 0$ (1. 4)

Мұндағы $a, b, c, d, e, f, g - x\ және\ y\$ тәуелсіз айнымалыларының функциялары. Егер (1. 4) теңдеуінің коэффициенттері х пен у - ке тәуелді болмаса, онда ол теңдеу коэффициенттері тұрақты сызықтық теңдеу деп аталады. Ал егер $g(x, y) = 0$ болса, онда (1. 4) теңдеуі біртекті сызықтық теңдеу деп аталады.

Төмендегі екінші ретті теңдеулер математикалық физиканың негізгі теңдеулері деп аталады:

1. Толқындық теңдеу:

$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$

Жазықтықтағы толқындық теңдеу:

$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = a^{2}(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}})$

Толқындық теңдеулер гиперболалық типті теңдеулерге жатады.

2. Жылуөткізгіштіқ теңдеуі:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$

бұл түрдегі тіңдеулерді зерттеуге жылудың таралуы, кеуекті ортада сұйық пен газды сүзұ туралы есептер және ықтималдықтар теориясының кейбір есептері әкеледі.

Жылуөткізгіштіқ теңдеуі параболалық типтегі теңдеуге жатады.

3. Лаплас теңдеуі:

• жазықтықтағы түрі -∂2u∂x2+∂2u∂y2=0; \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0\ ;
• кеңістікте -∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=0. \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}} = 0\ .

Осындай теңдеулер көмегімен электр және магнит өрістерінің есптері, жылудың тұрақтылық күйі, гидродинамика, диффузия және серпімділіқ теориясының есептері зерттеледі.

1. 2 Теңдеулерді түрлендіру және канондық түрге келтіру

Жоғарыдағы (1. 3) теңдеуге қайтып оралайық:

$$a(x, y) \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + 2b(x, y) \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y} + c(x, y) \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + f\left( x, y, u, \ \frac{\partial u}{\partial x}, \ \frac{\partial u}{\partial y} \right) = 0$$

бұл теңдеуді

$$\xi = \varphi(x, y), \ \eta = \psi(x, y)$$

жаңа айнымалыларын пайдаланып, берілген теңдеуге эквивалентті теңдеуге түрлендіруге болады.

Мұндағы $\ \varphi(x, y)$ және $\psi(x, y)$ - екі ретті үздіксіз дифференциалданатын функциялар және түрлендіру анықтауышы (Якобиан) нөлден өзгеше, ягни:

$$\frac{D(\varphi, \psi) }{D(x, y) } = \left \begin{matrix} \frac{\partial\varphi}{\partial x} & \frac{\partial\varphi}{\partial y} \\ \frac{\partial\psi}{\partial x} & \frac{\partial\psi}{\partial y} \end{matrix} \right \neq 0.$$

Белгісіз u функциясының ξ және η жаңа айнымалылары бойынша $u_{x}', u_{y}', u_{xx}^{''}, \ u_{yy}^{''}\$ дербес туындыларын (1. 3) теңдеуіне қойғанда тағы белгісіз u функциясы мен ξ және η тәуелсіз айнымалыларының екінші ретті сызықты теңдеуі алынады:

$$\frac{\overline{a}\left( \partial^{2}u \right) }{\partial\xi^{2}} + \frac{2\overline{b}\left( \partial^{2}u \right) }{\partial\xi\partial\eta} + \frac{\overline{c}\left( \partial^{2}u \right) }{\partial\eta^{2}} + \Phi\left( \xi, \eta, u, \frac{\partial u}{\partial\xi}\, \frac{\partial u}{\partial\eta} \right) = 0$$

Мұнда $\overline{a} = a({\frac{\partial\xi}{\partial x}) }^{2} + 2b\frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial\xi}{\partial y} + c\left( \frac{\partial\xi}{\partial y} \right) ^{2}$ ,

$\overline{b} = a\frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial\eta}{\partial x} + b\left( \frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial\eta}{\partial y} + \frac{\partial\eta}{\partial x}\frac{\partial\xi}{\partial y} \right) + c\frac{\partial\xi}{\partial y}\frac{\partial\eta}{\partial y}\,$

$\overline{c} = a\left( \frac{\partial\eta}{\partial x} \right) ^{2} + 2b\frac{\partial\eta}{\partial x}\frac{\partial\eta}{\partial y} + c\left( \frac{\partial\eta}{\partial y} \right) ^{2}$

белгілеулері енгізілген, ал Φ функциясы ${u, \ u}_{\xi}', u_{\eta}'$ бойынша сызықты функция болады. Бұл өрнектерден:

${\overline{b}}^{2} - \overline{a}\overline{c} = (b^{2} - ac) \left( \frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial\eta}{\partial y} - \frac{\partial\xi}{\partial y}\frac{\partial\eta}{\partial x} \right)$

Екендігіне көз жеткізуге болады. Осыны ескере отырып, $\xi(x, y)$ және $\eta(x, y)$ функцияларын 1) $\overline{a} = 0, \ \overline{c} = 0$ 2) $\ \overline{a} = 0, \ \overline{b} = 0$ 3) $\ \overline{a} = \overline{c}, \ \overline{b} = 0$ шарттарының біреуі ғана орындалатындай етіп алса, онда (1. 3) теңдеуі карапайым түрге келтіріледі.

Сонымен, (1. 3) теңдеуін қарапайым түрге келтіру үшін жаңа айнымалылардағы φ, ψ функцияларын:

$$a\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) ^{2} + 2b\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y} + c\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) ^{2} = 0$$

теңдеуінің шешімі болатындай етіп талдвп алу керек екендігі шығады. Ал бұл бірінші ретті сызықтық емес дербес туындылы теңдеу болып табылады. Осындай дербес туындылы теңдеудің шешімі мен қандай да бір жай дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі арасындағы байланыс туралы келесі теоремада айтылады.

Теорема. Берілген облыстың барлық нүктелерінде $z = f(x, y)$ функциясы

$$ $$a\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) ^{2} + 2b\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y} + c\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) ^{2} = 0$$

түріндегі дербес туындылы теңдеуді қанағаттандыруы үшін $f(x, y) = const$ функциялар жиыны

$$a(dy) ^{2} - 2bdxdy + c(dx) ^{2} = 0$$

теңдеуінің жалпы интегралы болуы қажетті және жеткілікті. Осыдан, берілген теңлеуді қарапайым түрге келтіру үшін көмекші

$\ a(x, y) dy^{2} - 2b(x, y) dxdy + + c(x, y) dx^{2} = 0$ (1. 5)

теңдеуін құру керек.

Бұл теңдеу (1. 3) теңдеуінің сипаттамалық теңдеуі деп аталады. Ал оның φ(х, у) =С және ψ(х, у) =С жалпы иртегралдары теңдеудің сипаттауыштары деп аталады. Сипаттамалық (1. 5) теңдеуді екі теңдеу түрінде жазайық:

$\ ady - \left( b + \sqrt{b^{2} - ac} \right) dx = 0$

және

$$\ ady - \left( b - \sqrt{b^{2} - ac} \right) dx = 0\$$

Немесе

$\frac{dy}{dx} = \frac{b + \sqrt{b^{2} - ac}}{a}\ \ \ \$ (1. 6)

$\frac{dy}{dx} = \frac{b - \sqrt{b^{2} - ac}}{a}\ \$ (1. 7)

Түбір астындағы өрнек (1. 3) теңдеуінің кай түрге жататындығын аныктауға мүмкіндік береді.

Егер қарастырылып отырған облыстың $M_{0}(x_{0}, y_{0})$ нүктесінде:

1. b2−ac>0b^{2} - ac > 0болса, онда (1. 3) теңдеу гиперболалық типті;
2. b2−ac=0b^{2} - ac = 0болса, параболалық типті;
3. b2−ac<0b^{2} - ac < 0болса, эллипстік типті теңдеуге жатады.

Екінші ретті дербес туындылы сызықтық теңдеулердің сипаттауыштары оларды канондық түрге келтіруге пайдаланылады.

Жеке жағдайларды қарастырайық:

1. Гиперболалвқ типті теңдеу үшінb2−ac>0b^{2} - ac > 0, (1. 6) және (1. 7) теңдеулерінің оң жақтары накты және әртүрлі болады. Олардың φ(х, у) =С және ψ(х, у) =С жалпы интегралдары сипаттауыштардың накты жиынын аныктайды.

Енді,

φ(х, у) =ξ және ψ(х, у) =η (1. 8)

деп алып, (1. 3) теңдеуді мынадай каноадық түрге келтіреміз:

$\ \frac{\partial^{2}u}{\partial\xi\partial\eta} = \Phi\left( \xi, \eta, u, \frac{\partial u}{\partial\xi}, \frac{\partial u}{\partial\eta} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 9)$

Егер $\alpha = \frac{1}{2}(\xi + \eta), \ \beta = \frac{1}{2}(\xi - \eta)$ деп алатын болсақ, онда:

$\ \frac{\partial^{2}u}{\partial\alpha^{2}} - \frac{\partial^{2}u}{\partial\beta^{2}} = \Phi_{1}\left( \alpha, \beta, u, \frac{\partial u}{\partial\alpha}, \frac{\partial u}{\partial\beta} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 10)$

түріндегі канондық теңдеу алынады.

2. Параболалық типті теңдеулер үшінb2−ac=0b^{2} - ac = 0болады да (1. 6) және (1. 7) теңдеулер бірдей бір теңдеуге айналады. Оның бір ғанаφ(х, у) =Сжалпы интегралы болады. Екіншіψ(х, у) функциясынφ(х, у) функциясынан тәуелсіз болатындай етіп

... жалғасы

ШЕКТЕЛГЕН СТЕРЖЕНЬДЕГІ ЖЫЛУ ӨТКІЗГІШТІК ТЕҢДЕУІНІҢ ҚОРЫТЫНДЫЛАУ ЖӘНЕ ОНЫ ФУРЬЕ ӘДІСІМЕН ИНТЕГРАЛДАУ

Математикалық физика теңдеулері және оларды канондық түрге келтіру

Эллипс тектес теңдеулерді шекті айырымдар және шекті элементтер әдістерімен шешудің мүмкіндіктерін зерттеу

Бессель теңдеуінің шешімі

Максвелл теңдеулері

Алгебралық теңдеулер жүйесінің анықтамасы

Спиндік жүйелердің теориясы

Жер асты суларының ағысын эллипс текті теңдеу арқылы зерттеу

Арнайы функциялар

Арнаулы салыстырмалық теориясы

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс