Математикалық физиканың дифференциалдық теңдеулерінің негізгі түрлері

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 24 бет
Таңдаулыға:

Курстық жұмыс
Н 2-1-34-2021
1 баспа 05.01.2021

Қазақстан Республикасының білім жӘне ғылым министрлігі
М.Х. ДУЛАТИ АТЫНДАҒЫ ТАРАЗ ӨҢІРЛІК УНИВЕРСИТЕТІ

_________________________Ұстаз_____ ________________________________

_____ - - - - - - - - _______________________________факу льтетіинституты

Білім берудегі математика_________________________ ________

___________________________________ ___________________________кафедрас ы

КУРСТЫҚ Жұмыс

_____ Математикалық физиканың теңдеулері_________________

___________________________________ ___________________пәні бойынша

Тақырыбы:__ Математикалық физиканың дифференциалдық теңдеулерінің негізгі түрлері____________________________ ___________________________________ __
___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ____________________

Білімгер __Аманязов Дияр_____________ Тобы_М-18-5____ _ __________________
аты-жөні қолы
Жетекші Надырбекова Айнур__________ ___________________ _______
қызметі аты-жөні
Қорғауға жіберілді ____________________20____ж. __ _____________________
қолы

Жоба қорғалды __________________20__ж. бағасы ____________________
жазбаша
Комиссия мүшелері: _________________________ _____ ______________________
аты-жөні қолы

______________________________ ___ ___________________
аты-жөні қолы
Тараз 20___
Курстық жұмыс
Н 2-1-34-2021
1 баспа 05.01.2021

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
М.Х. ДУЛАТИ АТЫНДАҒЫ ТАРАЗ ӨҢІРЛІК УНИВЕРСИТЕТІ
__ Білім берудегі математика_________________________ _________ кафедрасы

_ М-18-5_______тобының білімгеріне ________________________________кур стық жұмыс
аты-жөні

ТАПСЫРМА

___ Математикалық физиканың теңдеулері_____________________ пән бойынша
1. Тақырыбы_ Математикалық физиканың дифференциалдық теңдеулерінің негізгі түрлері Тапсырманың арнайы нұсқауы ___________________________________ ________________
___________________________________ ____________________________________________________

3. Есепке-түсініктеме жазбаларының негізгі тараула - ры (жұмыстары)
Орындау кестесі

Көлемі, %
Орындау уақыты
1.1 Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер. Екінші ретті теңдеулерді классификациялау
8%
05.11.2021
1.2 Теңдеулерді түрлендіру және канондық түрге келтіру
9%
07.11.2021
1.3 Есептер
5%
09.11.2021
2.1 Шектің тербелістерінің теңдеуін қорыту
10%
10.11.2021
2.2 Біртекті емес (біртексіз) теңдеулер
11%
13.11.2021
2.3 Есептер
5%
15.11.2021
3.1 Жылуөткізгіштік теңдеуі. Жылудың стерженде таралу теңдеуін корыту
8%
17.11.2021
3.2 Шектелмеген стерженде жылудың таралуы
12%
21.11.2021
3.3 Есептер
5%
23.11.2021
4.1 Лаплас теңдеуіне әкелетін есептер
8%
25.11.2021
4.2 Эллипстік типті теңдеулер үшін қойылған шеттік есептердің шешімін табу
14%
28.11.2021
4.3 Есептер
5%
30.11.2021

4. Графикалық материалдарының тізімі (сызулардың масштабы келтіріледі)

5. Жобаның (жұмысты) жинақтау мерзімі

28.10-05.11.2021
6. Қорғау

Кафедра мәжілісінде бекітілген ___________________20___ ж. хаттама № ______

Жетекшісі:

________________________ __________ ___________ _______________________ _____
қызметі қолы аты-жөні
Тапсырманы орындауға қабылдадым _______________20___ж. ____________________
білімгердің қолы

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ
5

1
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ ЖӘНЕ ОЛАРДЫ КАНОНДЫҚ ТҮРГЕ КЕЛТІРУ

6
1.1
Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер. Екінші ретті теңдеулерді классификациялау
6
1.2
Теңдеулерді түрлендіру және канондық түрге келтіру
7
1.3
Есептер
11

2
ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТИПТІ ТЕҢДЕУЛЕР
13
2.1
Шектің тербелістерінің теңдеуін қорыту
13
2.2
Біртекті емес (біртексіз) теңдеулер
14
2.3
Есептер
16

3
ПАРАБОЛАЛЫҚ ТИПТІ ТЕҢДЕУЛЕР
17
3.1
Жылуөткізгіштік теңдеуі. Жылудың стерженде таралу теңдеуін корыту
17
3.2
Шектелмеген стерженде жылудың таралуы
18
3.3
Есептер
20

4
ЭЛЛИПСТІК ТИПТІ ТЕҢДЕУЛЕР
22
4.1
Лаплас теңдеуіне әкелетін есептер
22
4.2
Эллипстік типті теңдеулер үшін қойылған шеттік есептердің шешімін табу
23
4.3
Есептер
27

ҚОРЫТЫНДЫ
29

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
30

КІРІСПЕ

Бізді қоршаған орта немесе біздің барлық көретініміз, сезетініміз математикалық физиканың теңдеулері арқылы сипатталады. Тарихи тұрғыдан алғанда, оның негізінде дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер жататын математикалық модельдің көпшілігі гидродинамика, аэродинамика және электродинамикадағы физикалық процестерді сипаттайтын есептерді шешу үшін құрылған. Сондықтан да, дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер, сонымен қатар, математикалық физика теңдеулері деген атқа ие болды.
Бұл қурстық жұмысың мақсаты:
математикалық физиканың негізгі дифференциалдық теңдеулерінің түрлерін және олардың қасиеттерін зерттеу.
Осы мақсатқа жету үшін келесі міндеттер белгіленеді:
математикалық физиканың негізгі дифференциалдық теңдеулер теориясысының негізгі түсініктерін оқу; теңдеулердің түрлерін ажырата білу;
математикалық физиканың негізгі дифференциалдық теңдеулерінің шешімін табу үшін қолданылатын әдістерді қарастыру.
Бұл қурстық жұмысы теңдеулердің түрлеріне сәйкес бірнеше тарауларға бөлінген. Сонымен қатар, әр тарауына сәйкес есептер келтірілген.
Курстық жұмысың бірінші тарауында екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер, екінші ретті теңдеулерді классификациялау және де теңдеулерді түрлендіру, оларды канондық түрге келтіру сияқты тақырыптар карастырылса, ал, екінші тарауда гиперболалық типті теңдеулер, шектің тербелістерінің теңдеуін қорыту, біртекті емес (біртексіз) теңдеулер қарастырылады.
Қурстық жұмысың үшінші тарауында параболалық типті теңдеулер, жылуөткізгіштік теңдеуі, жылудың стерженде таралу теңдеуін корыту, шектелмеген стерженде жылудың таралуы қарастырылса, ал, төртінші тарауда эллипстік типті теңдеулер, Лаплас теңдеуіне әкелетін есептер, эллипстік типті теңдеулер үшін қойылған шеттік есептердің шешімін табу қарастырылады.

1 МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ ЖӘНЕ ОЛАРДЫ
КАНОНДЫҚ ТҮРГЕ КЕЛТІРУ
1.1 Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер.
Екінші ретті теңдеулерді классификациялау

Жалпы жағдайда n тәуелсіз айнымалының ux1,x2, ..., xn белгісіз функцияның және оның дербес туындыларын байланыстыратын дифференциалдық теңдеуді

F(x1,x2,x3,...,xn , u , dudx1 ,...,dudxn , d2udx12,... , dkydxnk )=0 (1.1)

түрінде жазуға болады.
Теңдеудің қүрамына кіретін туындылардың ең жоғары ретін теңдеудің реті деп атайды. Теңдеуді қанағаттантыратын кез келген дифференциалданатын:
u= ux1,x2, ..., xn
функциясы теңдеудің шешімі деп аталады.
Егер теңдеудің құрамына белгісіз функция және оның туындылары сызықты түрде кіретін болса, онда ол сызықты теңдеу деп аталады.
Ал егер теңдеу оның құрамындағы жоғары ретті туындылары бойынша ғана сызыкты болса, онда ол сызыктылау (квазисызықты) теңдеу де аталады.
Оны былай жазуға болады:

i,j=1naijx1,..., xnd2udxidyj+fx1, ..., xn, u, dudx1, ..., dudxn=0 (1.2)

Бүл теңдеу екі х және у тәуелсіз айнымалылары үшін мына түрде жазылады:

ax,yd2udx2+2bx,yd2udxdy+cx,yd2udy2+ fx,y,u, dudx, dudy=0 (1.3)

Дербес туындылар үшін төмендегідей белгілеулерді де пайдаланады:

ux=dudx , uy=dudy , uxx=d2udx2 , uxy=d2udxdy , uyy=d2udy2
т.с.с.
Осы белгілеулерді пайдаланып (1.3) теңдеуді былай жазуға болады:

ax,yuxx+2bx,yuxy+cx,yuyy+fx,y,u,ux, uy=0 (1.3')

Егер (1.3') теңдеу жоғары ретті uxx ,uxy , uyy дербес туындылары бойынша ғана емес, сонымен қатар белгісіз u функциясы мен оның бірінші ретті ux , uy туындылары бойынша да сызықты болса, онда ол сызықты теңдеу болады.
Бұл жағдайда (1.3) теңдеу мына түрде жазылады:

ad2udx2+2bd2udxdy+cd2udy2+ddudx+edu dy+fu+g=0 (1.4)

Мұндағы a,b,c,d,e,f,g-x және y тәуелсіз айнымалыларының функциялары. Егер (1.4) теңдеуінің коэффициенттері х пен у - ке тәуелді болмаса, онда ол теңдеу коэффициенттері тұрақты сызықтық теңдеу деп аталады. Ал егер gx,y=0 болса, онда (1.4) теңдеуі біртекті сызықтық теңдеу деп аталады.
Төмендегі екінші ретті теңдеулер математикалық физиканың негізгі теңдеулері деп аталады:
1) Толқындық теңдеу:

d2udt2=a2d2udx2

Жазықтықтағы толқындық теңдеу:

d2udt2=a2(d2udx2+d2udy2)

Толқындық теңдеулер гиперболалық типті теңдеулерге жатады.
2) Жылуөткізгіштіқ теңдеуі:

dudt=a2d2udx2

бұл түрдегі тіңдеулерді зерттеуге жылудың таралуы, кеуекті ортада сұйық пен газды сүзұ туралы есептер және ықтималдықтар теориясының кейбір есептері әкеледі.
Жылуөткізгіштіқ теңдеуі параболалық типтегі теңдеуге жатады.
3) Лаплас теңдеуі:

oo жазықтықтағы түрі - d2udx2+d2udy2=0 ;

oo кеңістікте - d2udx2+d2udy2+d2udz2=0 .

Осындай теңдеулер көмегімен электр және магнит өрістерінің есптері, жылудың тұрақтылық күйі, гидродинамика, диффузия және серпімділіқ теориясының есептері зерттеледі.

1.2 Теңдеулерді түрлендіру және канондық түрге келтіру

Жоғарыдағы (1.3) теңдеуге қайтып оралайық:

ax,yd2udx2+2bx,yd2udxdy+cx,yd2udy2+ fx,y,u, dudx, dudy=0
бұл теңдеуді
ξ=φx,y, η=ψx,y

жаңа айнымалыларын пайдаланып, берілген теңдеуге эквивалентті теңдеуге түрлендіруге болады.
Мұндағы φx,y және ψx,y - екі ретті үздіксіз дифференциалданатын функциялар және түрлендіру анықтауышы (Якобиан) нөлден өзгеше, ягни:

Dφ,ψDx,y=dφdxdφdydψdxdψdy!=0.

Белгісіз u функциясының ξ және η жаңа айнымалылары бойынша ux',uy',uxx'', uyy'' дербес туындыларын (1.3) теңдеуіне қойғанда тағы белгісіз u функциясы мен ξ және η тәуелсіз айнымалыларының екінші ретті сызықты теңдеуі алынады:
ad2udξ2+2bd2udξdη+cd2udη2+Φξ,η,u,du dξ ,dudη=0

Мұнда a=a(dξdx)2+2bdξdxdξdy+cdξdy2,

b=adξdxdηdx+bdξdxdηdy+dηdxdξdy+cdξd ydηdy ,

c=adηdx2+2bdηdxdηdy+cdηdy2

белгілеулері енгізілген, ал Φ функциясы u, uξ',uη' бойынша сызықты функция болады. Бұл өрнектерден:

b2-ac=(b2-ac)dξdxdηdy-dξdydηdx

Екендігіне көз жеткізуге болады. Осыны ескере отырып, ξx,y және ηx,y функцияларын 1) a=0, c=0 2) a=0, b=0 3) a=c, b=0 шарттарының біреуі ғана орындалатындай етіп алса, онда (1.3) теңдеуі карапайым түрге келтіріледі.
Сонымен, (1.3) теңдеуін қарапайым түрге келтіру үшін жаңа айнымалылардағы φ, ψ функцияларын:

adzdx2+2bdzdxdzdy+cdzdy2=0

теңдеуінің шешімі болатындай етіп талдвп алу керек екендігі шығады. Ал бұл бірінші ретті сызықтық емес дербес туындылы теңдеу болып табылады. Осындай дербес туындылы теңдеудің шешімі мен қандай да бір жай дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі арасындағы байланыс туралы келесі теоремада айтылады.
Теорема. Берілген облыстың барлық нүктелерінде z=fx,y функциясы

adzdx2+2bdzdxdzdy+cdzdy2=0

түріндегі дербес туындылы теңдеуді қанағаттандыруы үшін fx,y=const функциялар жиыны

ady2-2bdxdy+cdx2=0

теңдеуінің жалпы интегралы болуы қажетті және жеткілікті. Осыдан, берілген теңлеуді қарапайым түрге келтіру үшін көмекші

ax,ydy2-2bx,ydxdy++cx,ydx2=0 (1.5)

теңдеуін құру керек.

Бұл теңдеу (1.3) теңдеуінің сипаттамалық теңдеуі деп аталады. Ал оның φ(х,у)=С және ψ(х,у)=С жалпы иртегралдары теңдеудің сипаттауыштары деп аталады. Сипаттамалық (1.5) теңдеуді екі теңдеу түрінде жазайық:

ady-b+b2-acdx=0
және
ady-b-b2-acdx=0

Немесе

dydx=b+b2-aca (1.6)

dydx=b-b2-aca (1.7)

Түбір астындағы өрнек (1.3) теңдеуінің кай түрге жататындығын аныктауға мүмкіндік береді.
Егер қарастырылып отырған облыстың M0(x0,y0) нүктесінде:
1) b2-ac0 болса, онда (1.3) теңдеу гиперболалық типті;
2) b2-ac=0 болса, параболалық типті;
3) b2-ac0 болса, эллипстік типті теңдеуге жатады.
Екінші ретті дербес туындылы сызықтық теңдеулердің сипаттауыштары оларды канондық түрге келтіруге пайдаланылады.
Жеке жағдайларды қарастырайық:
1. Гиперболалвқ типті теңдеу үшін b2-ac0, (1.6) және (1.7) теңдеулерінің оң жақтары накты және әртүрлі болады. Олардың φ(х,у)=С және ψ(х,у)=С жалпы интегралдары сипаттауыштардың накты жиынын аныктайды.
Енді,
φ(х,у)=ξ және ψ(х,у)=η (1.8)

деп алып, (1.3) теңдеуді мынадай каноадық түрге келтіреміз:

d2udξdη=Φξ,η,u,dudξ,dudη (1.9)

Егер α=12ξ+η, β=12ξ-η деп алатын болсақ, онда:

d2udα2-d2udβ2=Φ1α,β,u,dudα,dudβ (1.10)

түріндегі канондық теңдеу алынады.
2. Параболалық типті теңдеулер үшін b2-ac=0 болады да (1.6) және (1.7) теңдеулер бірдей бір теңдеуге айналады. Оның бір ғана φ(х,у)=С жалпы интегралы болады. Екінші ψ(х,у) функциясын φ(х,у) функциясынан тәуелсіз болатындай етіп
φx'φy'ψx'ψy'!=0
шарты бойынша алады.
Сонда φ(x,y)=ξ және ψ(x,y)=η арқылы түрлендіріп, (1.3) теңдеуді мынадай канондық түрге келтіреміз:

d2udη2=Φ2ξ,η,u,dudξ,dudη (1.11)

3. Эллипстик типті теңдеулер үшін b2-ac0 болғандықтан, сипаттамалвқ теңдеудің түбірлері комплекс - түйіндес болады.

φ(x,y)+iψ(x,y)=C

түрінде алынады.
Сонда φ(x,y)=ξ және ψ(x,y)=η деп алғанда (1.3) теңдеуі:

d2udξdη=Φ3ξ,η,u,dudξ,dudη

түріне келтіріледі.
Енді жаңадан α және β айнымалыларын
α=φ+ψ2, β=φ-ψ2i

теңдіқтері арқылы енгізейіқ. Онда ξ мен η айнымалылары:

ξ=α+iβ және η=α-iβ

теңдіктерімен анықталады. Осы айнымалылар арқылы түрлендірулерден кейін

d2udα2+d2udβ2=Φ4α,β,u,dudα,dudβ (1.12)

түріндегі эллипстік типті теңдеудің канондық түрін аламыз.

1.3 Есептер

Мысал: Берілген

d2udx2-4d2udxdy+3d2udy2-2dudx+6dudy =0

теңдеуін канондық түрге келтіру керек.
Шешуі: Бұл теңдеуде a=1, b=2, c=3 болғандықтан

∆=b2-ac=22-1∙30

ягни теңдеу гиперболалық типке жатады. Оның сипаттамалыө теңдеуі мына түрде жазылады dy2+4dydx+3dx2=0 немесе y'2+4y'+3=0. Оның түбірлері y'=-1, y'=-3 болады да, бірінші интегралдары (сипаттауыштары) x+y=C, 3x+y=C түрінде алынады.
Теңдеуді канондық түрге келтіру үшін жаңа айнымалылар енгіземіз:

ξ=x+y, η=3x+y

Теңдеуге қойып түрлендіру үшін осы айнымалылардың дербес туындыларын табайық.
Алдымен ескі айнымалылар бойынша туындыларды жаңа айнымалылар бойынша туындылармен өрнектеу формулаларын келтірейік.
Айталық,
ξ=φ(x,y), η= ψ(x,y) (1.17)

екі рет үздіксіз дифференциалданатын функциялар болсын. Сонда төмендегідей туынды формулалары алынады:

dudx=dudξdξdx+dudηdηdx; dudy=dudξdξdy+dudηdηdy ;

d2udx2=d2udξ2dξdx2+2d2udξdηdξdxdηdx +d2udη2 dηdx2+dudξd2ξdx2+dudη d2ηdx2 ; (1.18)

d2udy2=d2udξ2dξdy2+2d2udξdηdξdydηdy +d2udη2 dηdy2+dudξd2ξdy2+dudη d2ηdy2

d2udxdy=d2udξ2dξdxdξdy+d2udξdηdξdxd ηdy+dξdydηdx+d2udη2dηdxdηdy+dudξd2ξ dxdy+dudηd2ηdxdy

Ескерту: ux,y функциясын жаға ξ және η айнымалыларымен өрнектеу формуласын қарастырйық:

ux,y=vξx,y,η(x,y) (1.19)

Енді жоғарыда келтірілген мысалдағы ξ=x+y, η=3x+y жаңа айнымалылары бойынша дербес туындыларды есептейік:

dξdx=1, dξdy=1, dηdx=3, dηdy=1

dudx=dudξdξdx+dudηdηdx=dudξ+3dudη; dudy=dudξdξdy+dudηdηdy=dudξ+dudη

d2udx2=d2udξ2dξdx+d2udξdηdηdx+3d2ud ξdηdξdx +3d2udη2dudx+dudη d2ηdx2=
=d2udξ2+6d2udξdη+9d2udη2;

d2udy2=d2udξ2dξdy+d2udξdηdηdy+d2udξ dηdξdy +d2udη2dudy=d2udξ2+2d2udξdη+d2udη2;

d2udxdy=d2udξ2dξdx+d2udξdηdηdx+d2ud ηdξdξdx+d2udη2dudx=d2udξ2+4d2udξdη+ 3d2udη2

Осыларды берілген теңдеуге апарып қойамыз:

d2udξ2+6d2udξdη+9d2udη2-4d2udξ2+4d2 udξdη+3d2udη2+3d2udξ2+2d2udξdη+d2ud η2-

-2dudξ+3dudη+6dudξ+dudη=0

Осыдан -4d2udξdη+4dudξ=0, немесе d2udξdη-dudξ=0 - берілген теңдеудің канондық түрін аламыз.

2 ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТИПТІ ТЕҢДЕУЛЕР
2.1 Шектің тербелістерінің теңдеуін қорыту

Шеттерері x=0 және x=l нүктелерінде бекітіліп керілген шекті қарастырайық. Шек деп иілгіш серпімді жіңішке материалдық қыл жіпті ұғамыз. Шектің ауытқулары бір жазықтықта жатсын да, ауытку векторлары x өсіне перпендикуляр болсын. Шекке әсер етуші күштер оған жанаманың бағытымен анықталсын. Біз шектің нүктелерінің алғашқы күйінен аз ғана шамаға ауытқуларын қарастырамыз. Сонда шектің тербелістерін қандай да бір u(x,t) функциясымен сипаттауға болады.
Шектің (x,u) жазықтығындағы шамалы ауытқуларын қарастыратын болғандықтан орың M1M2 доғасының ұзындығы Ox өсіне проекциясына, яғни ∪M1M2 =x2x1 - ге тең деп аламыз. Шектің барлық нүктелеріндегі керілу бірдей болсын да оны T деп белгілейік.
Енді шектің M1M2 элементін қарастырайық. Бұл элементтің шектеріне жанама бағытымен T күші әсер етеді. Жанамалар Ox өсімен φ және φ+∆ψ бұрыш жасайтын болсын. Сонда элементіне әсер етуші күштердің Ou өсіне проекциясы Tsin( +)Tsin болады. Ал бұрышының шамасы аз болғандықтан деп алуға болады. Сонда:

өрнегі алынады.
Мұнда біз жақшаның ішіндегі өрнекке Лагранж теоремасын қолдандық. Қозғалыс теңдеуін алу үшін шектің элементіне әсер ететін сыртқы күшті инерция күшімен теңестіреміз. Егер - шамасы сызықтық тығыздық болса, онда шектің элементінің массасы х ке тең болады. Элементтің үдеуі деп алсақ, онда теңдігіне келеміз.
Теңдеудің екі жағын да x ке қысқартып және деп белгілеп:
(2.1)

теңдеуін аламыз. Бұл шектің тербелістерінің теңдеуі, яғни толқындық теңдеу. Егер шекке сырткы күштер әсер ететін болса, онда:

(2.2)
біртекті емес толқындық теңдеу алынады.

2.2 Біртекті емес (біртексіз) теңдеулер

Біртекті емес тербедістер үшін қойылған Коши есебін қарастырайық:

(2.3)

Алдымен мынадай қосымша Қоши есебін алайық:

(2.4)
(2.5)

Бұл есептің шешімін деп ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.