Жалпы салыстырмалық теориясы

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 55 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым Министрлігі
Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық Университететі

Алтынбек Алтынай Мұратбекқызы

Нетер симметриясы қолданылған гравитациясы теориясының нақты шешімдерін алу

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

5B060400 - Физика мамандығы

Астана 2017
Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым министірлігі
Л.Н. Гумилев атындығы Еуразия ұлттық университеті

Қорғауға жіберілді
Жалпы және теориялық физика кафедрасы
кафедрасының меңгерушісі
Мырзакулов Р. __________

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Нетер симметриясы қолданылған гравитациясы теориясының нақты шешімдерін алу

5В060400 - Физика мамандығы бойынша

Орындаған: Фз - 41 тобының студенті Алтынбек А.М.

Ғылыми жетекшісі: Мырзакулов Е.М.
PhD, доцент м.а

Астана 2017Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық Университететі

Физика-техникалық факультеті
5В060400 - Физика мамандығы
Жалпы және теориялық физика кафедрасы

Бекітемін
Кафедра меңгерушісі
Мырзакулов Р._________
__________20__ж.

Дипломдық жұмысты (жобаны) орындауға
ТАПСЫРМА
Студент Алтынбек Алтынай Мұратбекқызы
4-ші курс, Фз-41 тобы, 5В060400 - Физика мамандығы, күндізгі
1. Дипломдық жұмыстың (жобаның) тақырыбы: Нетер симметриясы қолданылған гравитациясы теориясының нақты шешімдерін алу университет бойынша ____20__ж. № ___ бұйрықпен бекітілді.
2. Студенттің аяқталған жұмысты тапсыру мерзімі ____20__ж.
3. Жұмысқа бастапқы мәліметтер (әдеби көздер, зертханалық-өндірістік мәліметтер) Нетер симметриясын қолданып, Ғаламның үдемелі ұлғаюын сипаттайтын гравитация теориясы нақты шешімдері алынды.
4. Дипломдық жұмыста (жобада) өңдеуге жататын мәселелер тізімі
Бірінші бөлімде, жалы салыстырмалық теориясына кіріспе. Сонымен қатар, космология, күңгірт энергия және күңгірт материя және күңгірт энергияның скаляр өрісте модельдерін қарастырамыз. Екінші бөлімде, гравитациясы теориясын, метрикалық, Палатиндік, метрикалық аффидік формализмдер қарастырылады. Скаляр - тензорлы космологияда теория гравитациясы қарастырылады.Үшінші бөлімде Нетер симметриясына кіріспе, сонымен қатар, скаляр тензорлы космологияда Нетер симметриясы қолданылған теория гравитациясының нақты шешімдерін алу қарастырылады. Төртінші бөлімде, фермиондық өрісте - эссенциясы қарастырылады. - эссенциясында Нетер симметриясы қолданылған теория гравитациясының нақты шешімдерін алу қарастырылады.
5. Графиктік материалдар тізімі (сызбалар, кестелер, диаграммалар және т.б.)
Нетер симметриясы қолданылған теория гравитациясының нақты шешімдері.
6. Негізгі ұсынылатын әдебиеттер тізімі: Dimitrios Germanis: General relativity and modified gravity мақаласы, Miao Li, Xiao-Dong Li, Shuang Wang and Yi Wang: Dark energy мақаласы, Varun Sahni: Dark Matter and Dark Energy мақаласы, Timothy Clifton, Pedro G. Ferreira, Antonia Padilla, Constantinos Skordis: Modified gravity and cosmology мақаласы, Marc Kamionkowski: Dark energy and dark matter мақаласы, Paliathanasis A: Using Noether symmetries to specify gravity мақаласы, Darabi F, Asgharinya S: scalar - tensor cosmology by Noether Symmetry мақаласы, Vakili B: Noether symmetry in
cosmology мақаласы, Paliathanasis A, Tsamparlis M, Basilakos S: Scalar-tensor gravity cosmology: Noether symmetries and analytical solutions мақаласы, Felice D.A, Tsujikawa S: theories, Sotirieu T.P: gravity and scalar-tensor theory мақаласы және т.б мақалалар қарастырылды.
7. Жұмыс бойынша консультация (оларға қатысты жұмыс бөлімдерін көрсетумен)

Номер, бөлімдердің атаулары

Ғылыми жетекшісі,
Кеңесші

Тапсырманы алу мерзімдері

Тапсырманы берді (қолы)

Тапсырманы
қабылдады
(қолы)

Кіріспе
Мырзакулов Е.М

30.01.17

Жалпы салыстырмалық теориясы

Мырзакулов Е.М
06.02.17

Модификацияланған гравитация

Мырзакулов Е.М
13.02.17

гравитациясы

Мырзакулов Е.М
20.02.17

Нетер симметриясы

Мырзакулов Е.М
27.02.17

гравитациясы теориясында Нетер симметриясын қолдану

Мырзакулов Е.М
06.03.17

8. Дипломдық жұмысты орындау кестесі

№

Жұмыс кезеңі

Орындаған мерзімі

Ескерту

1
Дипломдық жұмыс (жоба) тақырыбын бекіту

2

Дипломдық жұмысты(жобаны) дайындау үшін материалдар жинау

3
Дипломдық жұмыстың (жобаның) теориялық бөлімін дайындау (1-бөлім)

4
Дипломыдық жұмыстың (жобаның) сараптамалық бөлімін дайындау (2 бөлім)

5
Дипломдық жұмыстың (жобаның) толық мәтінің жобалық нұсқасын аяқтау

6
Дипломдық жұмысты (жобаны) алдын-ала қорғауға ұсыну

7
Дипломдық жұмысты (жобаны) сын-пікірге ұсыну

8
Дипломдық жұмыстың (жобаның) ғылыми жетекшінің пікірімен және сын-пікірмен соңғы нұсқасын тапсыру

9
Дипломдық жұмысты (жобаны) құрғау

Тапсырманың берілген күні ______20__ж.
Ғылыми жетекші: __________ PhD, доцент м.а Мырзакулов Е.М.
Тапсырманы қабылдаған: __________ Алтынбек А.М.
МАЗМҰНЫ

ШАРТТЫ БЕЛГІЛЕУЛЕР МЕН ҚЫСҚАРТУЛАР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
8
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
9
1 ЖАЛПЫ САЛЫСТЫРМАЛЫЛЫҚ ТЕОРИЯСЫ ЖӘНЕ КОСМОЛОГИЯ
11
1.1 Жалпы салыстырмалылық теориясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
12
1.2 Космология ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
17
1.3 Күңгірт энергия және күңгірт материя ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
21
1.4 Күңгірт энергия скаляр өріс модельдер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .
24
2. ГРАВИТАЦИЯСЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
35
2.1 Метрикалық формализмдегі гравитациясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
35
2.2 Палатиндік формализмдегі гравитациясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
39
2.3. Метрикалық - аффиндік формализмде гравитациясы ... ... ... ... ... ..
40
2.4 теория гравитациясы және скаляр-тензорлы космология ... ... ... ... .
42
3. НЕТЕР СИММЕТРИЯСЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
45
3.1 скаляр-тензорлы космологиясында Нетер симметриясы әдістері ...
49
4 - ЭССЕНЦИЯ ЖӘНЕ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИЯСЫ ... ... ... ... ... ..
56
4.1 гравитация - эссенциясында Нетер симметриясы әдістері ... ... ... .
58
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
63
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... .
65

ШАРТТЫ БЕЛГІЛЕУЛЕР МЕН ҚЫСҚАРТУЛАР

SN typa Ia
oo Supernovae type Ia
CMB
oo Cosmic microwave Background
ΛCDM
oo (Lambda-Cold Dark Matter)
ФРУ
oo Фридман-Робертсон-Уокер
ФТ
oo Фридман теңдеуі
КҮ
oo күңгірт энергия
КМ
oo күңгірт материя
ЭГ
oo Эйнштейн - Гильберт
БД
oo Бранс-Дик

oo кеңістіктің скаляр қисықтығы

oo Риччи тензоры

oo метрикалық тензор

oo энергия-импульс тензоры

oo Кристоффель символы

oo скаляр өріс үшін әсер

oo метрика немесе оқиғалар арасындағы аралық

oo материя үшін Лагранж функциясы

oo гравитациялық тұракты

oo Хаббл параметрі

oo масштабты фактор
немесе
oo ковариантты дифференциалдау

oo күй параметрі

oo векторлық өріс

КІРІСПЕ

Тымжаңа Ia жұлдыздары (SN Ia) [1] мен космологиялық микротолқынды фонға (CMB) [2] жүргізілген бақылаулар, Ғаламның үдемелі ұлғаю үстінде екендігін көрсетті. Жалпы салыстырмалық теориясында бұл ұлғаюдың себебін түсіндіруде, космологиялық сұйықтық-күңгірт энергия ұғымы енгізілген болатын [3]. Қазіргі уақытта, ΛCDM моделі (Lambda-Cold Dark Matter) арқылы, Ғаламның -күңгірт энергия, -күңгірт материя және -бөлшектерден тұратындығы анықталды. Күңгірт энергия (КЭ) мен күңгірт материя (КМ) табиғаты қазіргі уақытта белгісіз болып отыр. Кейін, Эйнштейн-Гильберт әсеріне түзету терминін енгізу арқылы құрылған модификацияланған гравитация теориясы негізінде Ғаламның үдемелі ұлғаюын зерттеуде жаңа бағыт ашылған болатын. Мұндай түзету терминдері күңгірт энергияның көмегінсіз өріс теңдеулерін шешімдерін алуға көмектеседі [4]. Жалпы жағдайда, біздің модельде қажетті әсерде Риччи скаляр терминінің орнына оның жалпыланған функциясын аламыз. Динамикалық қозғалыс теңдеуін тапқан кезде, әсерді метрикаға (метрикалық формализм) қатысты вариациялаймыз немесе өзара байланыстарын және метриканы тәуелсіз динамикалық айнымалылар деп алып, әсерді жеке қарастыруға болады (Палатиндік формализм) [5]. Бұл теорияға сәйкес, Палатинді формализмде берілген әсер скаляр-тензор түрінде берілген теорияға эквивалентті. Нәтижесінде, Эйнштейн-Гильберт әсерінен өріс теңдеуін аламыз. Палатиндік формализмдегі гравитациясы әсерде сызықты емес мүшелер себебінен әртүрлі динамикалық теңдеулерге алып келеді. теория гравитациясының, материя Лагранжаны метрикамен байланысқа тәуелді үшінші түрі (метрикалық-аффиндік формализм) бар [7]. Сонымен қатар, Ғаламның динамикасын анықтауда, симметрия ұғымын пайдаланамыз. Оның ішінде, біз Нетер симметриясын қарастырамыз. Нетер симметриясы әдісі арқылы Ғаламның үдемелі ұлғаюын түсіндіретін теория гравитациясының тиімді түрін таба аламыз. Сонымен қатар, Нетер симметриясы әдістері Ғаламның динамикасын анықтауда тиімді әдіс болып табылады.
Бірінші бөлімде, гравитацияның классикалық физика және жалпы салыстырмалық теорияларындағы анықтамалары жайлы қарастырамыз. Жалпы салыстырмалық теориясын қарастырамыз.
Сонымен қатар, бұл бөлімде жалпы салыстырмалық теориясының космологиялық зерттеулері арқылы қазіргі уақытта үлкен жетістікке жеткен, физика бөлімі - космология жайлы айтамыз. Ғаламның эволюциясы мен дамуын, сонымен қатар, Ғаламның динамикасын түсіндіретін модельдерді қарастыратын боламыз.
Қазіргі уақытта, жалпы салыстырмалық теориясында үлкен жетістіктерге жеткен космологиялық модельдердің бірі - ΛCDM моделі болып табылады. Космологиялық зерттеулердің нәтижесінде, Ғаламның күңгірт энергия мен күңгірт материядан тұратындығы белгілі болды. Күңгірт энергия мен күңгірт материяның табиғаты қазіргі уақытта ғалымдарға белгісіз. Сонымен қатар, бұл бөлімде, Ғаламның үдемелі ұлғаюын тудыратын күңгірт энергияның табиғатын анықтауда скалр өрісте бірнеше модельдерін атап өтеміз. Соның ішінде, қарастыратын негізгі модельдер: k-эссенция және квитэссенция болып табылады.
Ғаламның үдемелі ұлғаюын түсіндіретін екі анықтама бар, біріншісі күңгірт энергия болса, екіншісі модификацияланған гравитация теориясы болып табылады. Біз, дипломдық жұмыстың екінші бөлімінде, модификацияланған гравитациялар теориясын қарастыратын боламыз. Ғаламның үдемелі ұлғаюын түсіндіретін модификацияланған гравитация теориясының ең тиімді модельдері, олар және теория гравитация модельдері болып табылады. Біздің жағдайда, теория гравитациясын қарастыратын боламыз. Кеңістіктің қисықтығы мен оның толтырылған материясын өзара біріктіретін Эйнштейн теңдеуін қарастыратын боламыз. Кеңістікті-уақытты 4-өлшемді Фридман-Леметр-Робертсон-Уокер метрикасын қарастыратын боламыз. Эйнштейн теңдеуінде қисықты скалярды жалпыланған функциясымен алмастыру арқылы қарастыратын боламыз.
Қисықты скалярдың жалпыланған функциясы арқылы, Ғаламның үдемелі ұлғаюын күңгірт энергия мен күңгірт материяны ескермей анықтай алатын боламыз. теория гравитациясының метрикалық, Палатиндік және метрикалық-аффиндік формализдерін қарастырамыз.
Сонымен қатар, бұл бөлімде, скаляр-тензорлы теория гравитациясын қарастырамыз. Скаляр-тензорлы космологияда теория гравитациясының метрикалық, Палатиндік және метрикалық - аффиндік формализмдерін қарастырып, әсерді анықтап, қозғалыс теңдеулерін алатын боламыз.
Дипломдық жұмыстың үшінші бөлімінде, теория гравитациясын және Нетер симметриясын қарастырамыз. Модификацияланған гравитация теориясы ішінде Ғаламның динамикасын анықтауда тиімді модель түрі ол - теория гравитациясы болып табылады. Бірақ та, біз қозғалыс теңдеулерін шешімін тапқанда теория гравитациясының бірнеше түрін аламыз. Оның барлықтары бірдей, Ғаламның динамикасын анықтай бермейді. Біз, теория гравитациясының нақты түрін анықтау үшін тиімді симметрия түрі Нетер симметриясын пайдаланамыз. Нетер симметриясы әдісі арқылы, Ғаламның динамикасын түсіндіретін теория гравитациясының түрін анықтай аламыз.
Сонымен қатар, бұл бөлімде скаляр-тензорлы космологияны қарастыратын боламыз. Скаляр-тензорлы космологияда теория гравитациясын өрнектейміз. Сондай-ақ, скаляр-тензорлы космологияда Нетер симметриясы әдісін қолданып нақты шешімдерді алатын боламыз.
Дипломдық жұмыстың төртінші бөлімінде, фермиондық өріс -эссенциясын қарастырамыз. -эссенциясында теория гравитациясын қарастырамыз. Сонымен қатар, -эссенциясында теория гравитациясына Нетер симметриясы әдісін қолданамыз.
Зерттелетін тақырыптың өзектілігі: Ғаламның үдемелі ұлғаюын түсіндіретін модель қарастыру.
Зерттелетін тақырыптың мақсаты: Ғаламның үдемелі ұлғаюын түсіндіретін моделді алу. Нетер симметриясы әдісін қолданып, теория гравитациясы нақты мәнін аламыз.
Жұмыстың құрылымы және көлемі: Дипломдық жұмыс кіріспеден, 4 тараудан, қорытындыдан және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1 ЖАЛПЫ САЛЫСТЫРМАЛЫҚ ТЕОРИЯСЫ ЖӘНЕ КОСМОЛОГИЯ

1.1 Жалпы салыстырмалық теориясы

Ғаламның негізгі динамикасын, сонымен қатар кеңістікте болып жатқан физикалық құбылыстардың табиғатын түсіндіруде ғалымдар көптеген космологиялық зерттеулер жүргізіліп, өздерінің теорияларын ұсынған болатын. Солардың бірі, А.Эйнштейн ұсынған салыстырмалық теориясы болып табылды. Классикалық физикада, біз білеміз, кеңістікте оқиғаларды бақылағанда уақытты абсолют шама деп аламыз, яғни бір санақ жүйесінен екінші санақ жүйесіне оқиға еш кедергісіз тез уақыт аралығында жетеді. Яғни, белгілі бір уақыт аралығында өтетін оқиғаның жылдамдығы жарық жылдамдығына жуық жылдамдықта өтеді деген сөз. Сонымен қатар, кеңістікте оқиға бақылаушының көзқарасымен салыстырғанда бірдей уақыт аралықтарында өтеді деп жорамалданды. Демек, жылдамдықтары қандай болмасын кеңістікте оқиға бақылаушымен салыстырғанда бірдей уақыт аралықтарын көрсетеді деп айтылады.
Бірақ та, Эйнштейн ұсынған салыстырмалық теориясына сәйкес, кеңістікте болып жатқан оқиғаның ешқайсысы жарық жылдамдығынан жоғары жылдамдықта өтпейтіндігін айтқан болатын. Мұндай жағдайда,уақыттың абсолют екендігіне күмән түседі. Себебі, оқиға жарық жылдамдығына жуық жылдамдықта өткенде, кеңістіктегі оқиға болып жатқан уақыт пен бақылаушының уақыт айырмашылығы болады. Демек, кеңістікте болып жатқан оқиға мен бақылаушы әрқайсысы өзіндік уақытқа ие екен. Кеңістікте оқиғаның орнын анықтау үшін үшөлшемді кеңістікті қарастырамыз. Біз білеміз, салыстырмалық теориясын Эйнштейн арнайы және жалпы салыстырмалық теориясы деп қарастырған болатын. Арнайы салыстырмалық теориясына сәйкес оқиға кеңістікте бірдей уақыт аралығында тұрақты жылдамдықта өтеді. Барлық физика заңдылықтары тұрақты болады. Ал, жалпы саыстырмалық теориясына сүйенсек, кеңістікте оқиға бақылаушымен салыстырғанда уақыт айырмашылығы болатындығы анықталды. Айта кететін бір жайт, салыстырмалық теориясында масса мен энергияның эквиваленттілік теңдеуі: (-энергия, -масса, -жарық жылдамдығы). Бұл теңдеуді, Эйнштейн ұсынған болатын. Яғни кеңістіктегі дененің массасы санақ жүйесінде дененің тыныштықтағы энергиясына тең. Кеңістікте дене белгілі бір кинетикалық энергияға ие болады да, ол дененің массасын арттыруға себеп болады.
Жалпы жағдайда, жалпы салыстырмалық теориясы-арнайы салыстырмалық теориясының жалпыланған, гравитация теориясы болып табылады. 1915жылдары А.Эйнштейн ұсынған болатын.
Сонымен, классикалық физикаға сәйкес кеңістікте барлық денелер Ньютон ұсынған тартылыс заңына сәйкес гравитация, әсерінен кеңістікте бір - біріне тартылып тұрады. Сондай-ақ гравитация кеңістікте кез - келген уақыт аралығында әсер ететін тартылыс күші болып табылады. Бірақ та, салыстырмалық теориясына сәйкес, кеңістікте ешқандай оқиға жарық жылдамдығынан жоғары жылдамдықта жүрмейді. Гравитацияны түсіндіруде екі көзқарас пайда болған болатын. Сол себепті, кеңістікте оқиғаның өту процесі мен гравитацияны толық әрі нақты түсіндіру мақсатында, жалпы салыстырмалық теориясы ұсынылған болатын. Сонымен жалпы саыстырмалық теориясына сәйкес, кеңістікте оқиға 4-өлшемді кеңістікті-уақытта қарастырылатын болады.

, (1.1)

-қашықтық, -масштабты фактор, -уақыт, -кеңістікті координаталар.
Ньютон ұсынған тартылыс заңына сәйкес, кеңістікте барлық дене бір-біріне тартылып тұрады. Мысалы, Күнді айнала қозғалған Жер тартылыс күшінің әсерінен Күн жүйесін тастап кете алмайды. Ал, жалпы салыстырмалық теориясында гравитация дененің массасы әсерінен кеңістікке түсіретін әсері түрінде сипатталады. Яғни дененің массасы үлкен болған жағдайда, ол кеңістікті-уақытта кеңістіктің қисаюын тудырады. Осыдан кейін, жалпы салыстырмалық теориясында кеңістіктің қисықтығы ұғымы пайда болды. Сонымен, Эйнштейн өзінің теориясын ұсынған болатын. Сәйкесінше, бұл теория кеңістікті-уақыттың қисықтығы мен оның толтырылған материяны байланыстырады. Бұл теорияға сәйкес, кеңістікті-уақыт метрикамен анықталады, ал гравитация кеңістіктің қисықтығы түрінде көрініс табады. Сәйкесінше, қисықтық метрикалық тензормен анықталады. Негізінен, кеңістіктің қисықтығы оның материямен толтырылуымен сипатталады, себебі материяның энергиясы қаншалықты үлкен болса, кеңістік соншалықты қисаяды екен. ЖСТ-да кеңістіктің метрикасын анықтау үшін Эйнштейннің теңдеуін анықтайтын боламыз. Эйнштейн теңдеуі - кеңістікті - уақыттың қисықтығы мен оны толтыратын денені байланыстыратын гравитациялық өріс теңдеуі болып табылады.
Яғни, теңдеу келесі түрде көрініс табады

, (1.2)

-Риччи тензоры, -кеңістіктің қисықтығы, -метрикалық тензор, -космологиялық тұрақты, -энергия-импульс тензоры, -гравитациялық тұрақты, -жарық жылдамдығы.
Риччи скалярының мәні

, (1.3)

-кеңістікті-уақытта қисықтық тензорын арқылы шешімі табылатын Риччи тензоры болып табылады. Қисықтық тензоры келесі өрнекте сипатталады

. (1.4)

Метрикалық тензор арқылы анықталатын, Кристоффел символдары арқылы өрнектеледі.

. (1.5)

Эйнштейн теңдеуін анықтап, метрикалық тензор компоненталарын аламыз. Сол арқылы, кеңістікті-уақыттың қисықтығын сипаттай аламыз.
Кеңістікті-уақыттың қисықтығы негізінде кеңістікте қашықтықты аламыз

. (1.6)

Эйнштейн теңдеуі Минковский метрикасымен өрнектеледі

,7 (1.7)

. (1.8)

Эйнштейн теңдеуін шешу бұл метрикалық тензорды анықтау болып табылады. Энергия-импус тензорын анықтау арқылы өрнектейміз. Сол арқылы біз, кеңістікті скаляр, вакуммды, өрісті деп қарастыра аламыз. Сонымен, кеңістікті-уақытта метриканың мәні арқылы біз, космологиялық мәселелердің бірі қисықтықтың мәнін анықтай аламыз. Эйнштейн теңдеуі арқылы, гравитацияның кеңістікті-уақытта қисықтығы екендігін анықтадық.
Классикалық өріс пен жалпы салыстырмалық теориясын байланыстыру үшін ең кіші әсер принципін қолданамыз. Әсер Лагранжанның уақыт бойынша интегралы болып табылады

. (1.9)

Классикалық механикада Лагранжан кинетикалық энергия мен потенциалдық энергияның айырмасы ретінде анықталады

. (1.10)

Классикалық өріс үшін, жүйенің симметриясын көрсететін бірнеше түрлендіруге қатысты Лагранжан өте пайдалы болып табылады. Ең кіші әсер принципін қолданып, Эйлер-Лагранж теңдеуін ала аламыз

. (1.11)

Жалпы салыстырмалық теориясында гравитацияны сипаттайтын Эйнштейн-Гильберт әсері келесі теңдеумен беріледі

, (1.12)

-метрикалық тензор анықтауышы, -Риччи скаляры, -гравитациялық тұрақты. Әсерді шешу арқылы, ЖСТ-ын классикалық өрістермен байланыстыратын қозғалыс теңдеулері алынады.
Олай болса, толық әсер Эйнштейн-Гильберт мүшесі мен материяның қосындысы болып табылады, яғни

, (1.13)

мұнда, масштабы фактор.
Әсердің принципіне сәйкес, әсерді қатысты вариациялағанда 0-ге тең болады

(1.14)

бұл кез - келген вариациясында әділетті болғандықтан, тік жақша ішіндегі өрнек 0-ге ұмтылуы қажет. Осылайша біз келесі қозғалыс теңдеуін аламыз

. (1.15)

Теңдеудің оң жағын энергия-импульс тензоры түрінде табамыз

. (1.16)

Қозғалыс теңдеуінен Эйнштейннің өріс теңдеуі шығады. Ол үшін бізге және білу қажет. анықтау үшін, Риман тензорынан бастаймыз

, (1.17)

және вариация екі байланыстың айырмасы болғандықтан, өзі де тензор болады. Сәйкес, ковариантты туындысы келесі түрде беріледі

. (1.18)

Осы өрнектен біз

. (1.19)

аламыз.
Риччи скаляры арқылы анықталады. Сонда

, (1.20)

оң жақтағы екінші мүше толық туынды болып табылады, сол себепті де Стокс теоремасына сәйкес интеграл арқылы шекаралық мүше ретінде өрнектеле алады. Шексіздікте метриканы вариациялағанда 0-ге ұмтылады десек, бұл мүше әсерді вариациялағанда ықпал етпейді. Сол себепті де, келесі өрнекті аламыз

. (1.21)

Енді қарастырайық. болғандықтан, Якобиан формуласы арқылы оны келесі түрде жазуға болады: . Содан кейін

, (1.22)

болғандықтан, және

, (1.23)

Мұнда, (1.16) қозғалыс теңдеуінің сол жақ бөлігі , сол себепті де қозғалыс теңдеуі Эйнштейн өріс теңдеуіне келеді

. (1.24)

Энергия - импульс тензорын

, (1.25)

аламыз.
Ендігі, біздің негізгі мәселелеріміздің бірі, Эйнштейн өзінің теңдеуіне космологиялық тұрақты терминін қосқан болатын. Бұл терминді қосқандағы негізгі мақсаты-стационар Ғаламды түсіндіру болатын. Кейіннен, космологиялық бақылаулар негізінде Ғаламның стационар еместігі, оның үдемелі ұлғайып жатқандығы космологиялық бақылаулар негізінде алынған болатын. Ғаламның күңгірт энергия және күңгірт материядан тұратындығы анықталған болатын. Бұл жайлы, келесі бөлім, космологияда қарастыратын боламыз. Ғалымдар космологиялық зерттеулер жүргізу нәтижесінде, Ғаламның Үлкен Жарылыс себебінен пайда болды деп тұжырымдады.
Сәйкес, с аралықтарында температура өзгеріске ұшырай бастайды. Ғаламның үдемелі ұлғайып жатқандығы бірнеше зерттеулер негізінде алынған болатын. Тымжаңа Ia жұлдыздарына жүргізілген космологиляық бақылаулар мен космологиялық микротолқынды фон (CMB) арқылы алынған мәліметтер, Ғаламның жай емес үдемелі ұлғаю үстінде екендігін көрсетті. Космологияның үлкен жетістіктерінің бірі-1920 жылы Э.Хаббл Маунт-Уилсон обсерваториясында үлкен телескоппен жүргізілген зерттеулерінің нәтижесінде Ғаламның ұлғайып жатқандығын ашқан болатын.

1.2.Космология

Ғаламның қалай пайда болғандығы, даму кезеңі және бірнеше млрд жылдан кейін қандай күйде болады?. Бұл ғалымдардың негізгі мәселелерінің бірі болатын. Ғалымдар космологиялық зерттеулер жүргізу нәтижесінде, Ғаламның Үлкен Жарылыс себебінен пайда болды деп тұжырымдады. Сәйкес, с аралықтарында температура өзгеріске ұшырай бастайды. Осы уақытта, қазіргі Ғаламды ұстап тұрған фундаментальді күштер бір-бірінен ажырап, қазіргі біз білетін, гравитациялық,күшті және әлсіз ядролық күштер және де электромагниттік күштерді пайда болуына алып келеді. Сонымен қатар,осы сәттен бастап, гравитациялық күш Ғаламда маңызды рөл атқарды. Алғашқы фундаментальді күштердің пайда болуымен, Ғаламда инфляция дәуірі басталады. Ол Планк уақыты бойынша, с-тан белгісіз уақыт нүктесіне дейін созылады. Осы оқиғадан кейін, көптеген космологиялық модельдердің болжамдары бойынша, Ғалам осы период аралығында энергиясы жоғары тығыздыққа ие болады, ал жоғары температура мен қысым оның тез сууына және ұлғаюына себеп болған. Айта кететін, бір жайт Үлкен Жарылыс біздің Ғаламның пайда болуы және ұлғаюының алғашқы болжамдарының бірі болып табылады
Ғаламның үдемелі ұлғайып жатқандығы бірнеше зерттеулер негізінде алынған болатын.Тымжаңа Ia жұлдыздарына жүргізілген космологиляық бақылаулар мен космологиялық микротолқынды фон (CMB) арқылы алынған мәліметтер, Ғаламның жай емес үдемелі ұлғаю үстінде екендігін көрсетті.
Космологияның үлкен жетістіктерінің бірі-1920 жылы Э.Хаббл Маунт-Уилсон обсерваториясында үлкен телескоппен жүргізілген зерттеулерінің нәтижесінде Ғаламның ұлғайып жатқандығын ашқан болатын. Яғни, галактикалардың бір - бірінен алыстауы қызыл жарық арқылы көрінген. Сол себепті де, бұл Э.Хаббл "қызыл ығысу"-ға сәйкес галактикалардың бір-бірінен алыстап жатыр деген тұжырымға келді. Негізінен, бір-бірінен алыстап бара жатқан галактикалардың жылдамдықтары артқан сайын арақашықтықтары алыстап көзден тез ғайып болады. Оны Э.Хаббл алыстап кеткен галактикалардың көзден ғайып болуын "қызыл ығысу" деп түсіндірді.

, (1.26)

-галактикалардың бір - бірінен алыстау жылдамдықтары,
-бақылаушыдан алыстап бара жатқан галактикаға дейінгі арақашықтық,
-Хаббл тұрақтысы.
Жалпы салыстырмалық теориясында Эйнштейн Ғаламның стационарлы қалпын түсіндіру мақсатында космологиялық тұрақты шамасын енгізген болатын. Космологиялық тұрақты-кейде лямбда-мүше деп те атайды, гравитацияға кері әсер ететін теріс таңбалы өлшемсіз шама.
Бірақ, кейіннен жүргізілген космологиялық бақылаулар және Үлкен жарылыс себебінен алынған мәліметтер Ғаламның стационар еместігі, керісінше үдемелі ұлғайып бара жатқандығын көрсетті. Эйнштейн өзінің теңдеуін және космологиялық тұрақты өзінің негізгі қателігі санап, космологиялық тұрақтыдан бас тартқан болатын. Кейіннен, 1922 жылдары Фридман Эйнштейн теңдеуіне сүйеніп, біртекті, изотропты стационар емес Ғаламды түсіндірген болатын. Ғалам Фридман-Робертсон-Уокер (ФРУ) метрикасы арқылы сипатталады.
Ғаламның динамикасын түсіндіру мақсатында, бірнеше модельдер ұсынылды. Соның бірі, -моделі. Бұл модель арқылы, Ғаламның -күңгірт энергия, -күңгірт материя және -басқа материядан тұратындығы анықталды.
Біздің кеңістікті-уақыт деп есептейміз және бұл жерде - уақыттың бағыты, ал -изотропты және біртекті үшөлшемді кеңістік. Біртекті және изотропты кеңістіктің негізгі пайдасы, максималды симметриялы кеңістік болу керек деп жорамал жасайды.
Соған сәйкес, біздің метрика

(1.27)

-уақытты коордианата, - бойынша кеңістікті координаталар. -максималды симметриялы метрика, ал -метрикалық тензор.
Максималды симметриялы метрика келесі теңдеуге тәуелді

, (1.28)

-тұрақты шама. Риман тензорының төбесіндегі индекс барлық кеңістікті-уақыт метрикасымен емес, тек -үшөлшемді кеңістікпен байланысты екендігін көрсетеді. Олай болса, Риччи тензоры

. (1.29)

Егер кеңістік максималды симметриялы болса, ол міндетті түрде сфералық-симметриялы болады. Метриканы келесі түрде жазамыз

. (1.30)

кезінде сфералық-симметриялы кеңістікті-уақыт үшін Риччи тензорының компоненталары

. (1.31)

. (1.32)

. (1.33)

Метрикаға қатысты пропорционал деп, үшін

. (1.34)

Сәйкесінше, кеңістікті-уақыт метрикасын аламыз

. (1.35)

Фридман-Робертсон-Уокер метрикасы.

, (1.36)

әсерге қатысты инвариантты. Сол себепті де, сәйкес келетін параметр , үш жағдайын қарастырамыз: . жағдайында теріс қисықтыққа тең, ашық болады. қисықтық болмай, кеңістік жазық болады, оң қисықтыққа тең, кеңістік жабық болады.
кеңістік жазық жағдайында метрика

, (1.37)

қарапайым эвклидті жазық кеңістік болады. глобальді масштабта сипаттала алады.
кеңістік жабық жағдайында, анықтап, метриканы жазамыз

. (1.38)

кеңістік ашық жағдайында анықтап, метриканы жазамыз

. (1.39)

Метрика белгілі болғаннан кейін, екендігін ескеріп, Кристоффел символдарын анықтаймыз

, (1.40)

0-ге тең емес Риччи тензоры компоненталары

(1.41)

Сонымен қатар, Риччи скаляры

. (1.42)

Идеал сұйықтық үшін энергия-импульс тензоры

. (1.43)

және энергия тығыздығы мен қысым,

. (1.44)

Соған сәйкес

. (1.45)

Эйнштейн теңдеуіне қоспастан бұрын, энергияның сақталу заңы теңдеуінің нөлдік компоненталарын қарастырамыз

(1.46)

Прогресс жасау үшін, және арасында байланыс орнататын күй теңдеуін анықтау қажет

(1.47)

уақытқа тәуелсіз тұрақты. Энергияның сақталу теңдеуі

. (1.48)

Космологиялық тұрақтымен байланысты Эйнштейн теңдеуі

. (1.49)

Вакуумда энергия-импульс тензоры мәні

. (1.50)

Идеал сұйықтыққа ие болады

, (1.51)

екендігін аламыз, ал энергия тығыздығы -ғатәуелді емес. Ғалам ұлғайғанда, материяда энергия тығыздығы азаяды.
Эйнштейн теңдеуін алайық

. (1.52)

кезінде, теңдеуден

, (1.53)

аламыз.
кезінде теңдеуден

, (1.54)

аламыз.Нәтижесінде

, (1.55)

, (1.56)

біз Фридман - Леметр - Робертсон - Уокер кеңістігіне тәуелді Фридман теңдеуін аламыз.
Сәйкесінше, Хаббл параметрі

. (1.57)

1.3 Күңгірт энергия және күңгірт материя

Қазіргі уақытта Ғаламның үдемелі ұлғайып жатқандығы анықталды. Жалпы салыстырмалық теориясында бұл ұлғаю-күңгірт энергия есебінен түсіндірілді. Бұл негізгі тымжаңа Ia жұлдыздарына (Supernovae Type Ia) және космологиялық микротолқынды фон (Cosmic Microwave Background) арқылы жүргізілген зерттеулер арқылы алынған болатын. Осы космологиялық зерттеулерге тоқтала кетейік.
Тымжаңа Ia жұлдыздары-космологиялық ұлғаюды тудыратын күңгірт энергияны анықтау мақсатында жүргізілген космологиялық бақылау түрі. Тымжаңа Ia түріне жүргізілген зерттеулер, космологиялық ұлғаюдың бір дәлелі болып табылады. Ақ ергежейлі -ке жеткенде, гравитация Ферми азғындау қысымынан үлкен болады да, нәтижесінде жұлдыздардың жарылысына алып келеді. Тымжаңа Ia жұлдыздары бірдей жарықтылыққа ие, сол себепті де стандартты жарық түрінде қолданыла алады. Айқын шамаларды өлшеп, жарықтылық арқылы галактикаларға дейінгі қашықтықты анықтай аламыз. Тымжаңа Ia түрі Ғаламның алыс жерлерін зерттеуде қуатты және тиімді әдіс болып табылады. Қазіргі уақытта Хаббл телескобы арқылы біз, тымжаңа Ia түріне космологиялық зерттеулер жүргізу арқылы космологиялық ұлғаюдың себебін анықтай аламыз.
1998жылы [1,2] ашылғаннан кейін, күңгірт энергия теориялық физика мен космологиядағы маңызды мәселелердің біріне айналды [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14].
Ғалымдар күңгірт энергияның табиғатын ашуда зерттеулер жүргізілді. Күңгірт энергияның қысқаша тарихына тоқтала кетейік:
1917жыл. Эйнштейн өзінің өріс теңдеуін космологиялық тұрақтыны, біртекті, изотропты Ғаламды алу мақсатында қосқан болатын.
1920жыл. Паули радиацияланған өрісте вакуумдық энергия тартылыс үшін тым үлкен екендігін түсінді.
1931жыл. Эйнштейн Ғаламның үдемелі ұлғайып жатқандығы ашылғаннан соң өзінің теориясынан, яғни космологиялық тұрақтыдан бас тартқан болатын.
1967жыл. Зельдович вакуумдық флуктуацияны ескере отыра, космологиялық тұрақтының негізгі мәселесін қайта қарастырды.
1987жыл. Вайнберг космологиялық тұрақтының өте кіші, жоғалмайтын шама деп жорамал жасап [3], екі жылдан соң өзінің мақаласын жарыққа шығарған болатын [3].
1998жыл. Перлмуттер және т.б ғалымдар тымжаңа жұлдыздарды зерттеу барысында және қызыл ығысуды байқау барысында, космологиялық ұлғаюды ашқан болатын [2].
2011жыл. Космологиялық ұлғаюды ашқаны үшін, Адам Рисс, Брайан Шмидт және Сол Перлмуттер Нобель сыйлығын алған болатын.
Қазіргі уақытта Ғаламның үдемелі ұлғайып жатқандығы анықталды. Жалпы салыстырмалық теориясында бұл ұлғаю - күңгірт энергия есебінен түсіндірілді. Бұл негізгі тымжаңа Ia жұлдыздарына (Supernovae Type Ia) және космологиялық микротолқынды фон (Cosmic Microwave Background) арқылы жүргізілген зерттеулер арқылы алынған болатын. Осы космологиялық зерттеулерге тоқтала кетейік. Ғаламның үдемелі ұлғайып жатқандығы күй теңдеулерінмен сипатталады. Күңгірт энергия үшін осы күй теңдеулерінің шешімі космологияның негізгі мәселелері болып табылады.
Космологиялық микротолқынды фон (CMB). Ғаламның үдемелі ұлғаюын түсіндіретін космологиялық зерттеулердің бірі. Тымжаңа Ia түрімен қоса, космологиялық микротолқынды фон (CMB) жүргізілген зерттеулер Ғаламда күңгірт энергияның бар екендігін көрсетеді. Космологиялық микротолқынды фон-Ғаламның космологиялық құрылымының дамуы және күңгірт энергия әсер ететін анизотропты температураға ие болғанға дейінгі, Ғаламның лездік көрінісі болып табылады. Бұл лездік көрінісі, фотон дәуірінен қазіргі уақытқа дейінгі космологиялық кезеңді көрсетеді.
Ерте космологиялық модельдерде Ғаламның ұлғаюы бәсеңдеуде деп болжам жасалған болатын. Жаңадан жүргізілген зерттеулер, ұлғаюдың үдемелі жүріп жатқандығын байқаған және оның теріс таңбалы қысымға ие күңгірт энергия (күй теңдеуі) себебінен екендігін анықтады. Ең қарапайым түсінігі күңгірт энергияның, оның кеңістіктің бар болуы, яғни кеңістік кез-келген көлемде фундаментальді энергияға ие болады деп жорамалданды. Вакуумның энергиялық тығыздығы болғандықта, оны кейде вакуум энергиясы деп те атайды.
Қазіргі уақытта лайықты күңгірт энергия модельін құруға арналған түрлі бағыттар бар. Жекелей айтсақ, скаляр модельдер, күрделі күй теңдеулерінен тұратын күңгірт энергия моделі, фермионды өрістері бар өте күрделі теориялар және т.б. Бірақ бұған қарамастан, күңгірт энергияның пайда болуының себебі әлі де белгісіз.
Көп жағдайларда космологиялық материяның түрлерін анықтау үшін қысым мен энергия тығыздығы арасындағы байланыс пайдаланылады

, (1.58)

мұндағы -күй теңдеуі параметрі. Соңғы космологиялық бақылаулар бойынша күңгірт энергия үшін күй теңдеуі шегіне ұмтылады және шамамен келесі интервалда орналасады

, (1.59)

Ғалымдар, күңгірт энергияның табиғатын және Ғаламның ұлғаюы себебін анықтау мақсатында альтернативті модельдер ұсынған болатын. Күңгірт энергияның жалпы салыстырмалық теориясындағы негізгі модельдері: квинтэссенция [5], -эссенция [6],тахион [7], фантом[8], духтар конденсаты және квинтом [9] және т.б. Қазіргі уақытта, кванттық гравитацияның фундаментальді теориясы [10] белгісіз болғанымен, ғалымдар бірнеше негізгі кванттық гравитациялық принциптерге сүйеніп күңгірт энергияның табиғатын зерттей алады. Мұндай парадигманың негізгі мысалы ретінде, голографиялық принциптер аясында салынған голографиялық күңгірт энергия көрінісін алуға болады.
Космологиялық бақылаулар, Ғаламның -күңгірт материядан тұратындығын анықтады. Күңгірт энергия ғалымдардың күн жүйесін, планеталарды, галактикаларды зерттеу барысында анықталған болатын. Ғалымдар галактикалардың өзі әртүрлі материядан тұратындығын айтты. Космологиялық бақылаулар ғаламның бізге белгісіз материялары бар екенін алға тартты. Сонда біздің қазіргі уақытта тек материяның аз шамада ғана мөлшерін көре аламыз, тағы да бізге белгісіз бақылау арқылы анықтай алмайтын материя түрлері бар екен. Күңгірт материя өзі - қазіргі уақытта табиғаты әлі ашылмаған, белгісіз элементар бөлшектерден тұрады деген болжамдар бар. Бізге белгілі элементар бөлшектерден айырмашылықтары, бұл бөлшектер электрлік зарядқа ие еместігі және сол себепті де жарық шығармайды. Ол құрайтын материя, шын мәнісінде де күңгірт болып табылатындығы мәлім болды. Бірақ та қарапайым материяға ұқсайтын қасиеттерінің бірі, күңгірт материяда гравитациялық күш орын алғанда галактикалар, галактикалар тобы пайда болады екен. Гравитациялық күштің әсерінен жиналған галактикалар тобынан, күңгірт материяның массасын, жалпы алғанда Ғалам жайлы мәліметтер алу мүмкіндігі орын алды.

1.4 Күңгірт энергия модельдері

-космологиялық моделі негізінде Ғаламның -күңгірт энергиядан тұтатындығы анықталды. Күңгірт энергияның табиғаты бізге белгісіз. Ғалымдар Ғаламның үдемелі ұлғаю себебін және күңгірт энергияның табиғатын анықтау мақсатында, скаляр және фермиондық өрістерде космологиялық зерттеулер жүргізіп, космологиялық модельдерін ұсынған болатын. Біз, негізінен скаляр өрісте күңгірт энергияның негізгі бірнеше модельдеріне тоқталамыз.
Скаляр өріске негізделген күңгірт энергияның квитэссенция, к-эссенция секілді бірнеше модельдері бар. -эссенция және квинтэссенция моделдері Ғаламның үдемелі ұлғаюын скаляр өрісте түсіндіру үшін жалпы салыстырмалық теориясында ұсынылған күңгірт энергия модельдері. Квитэссенция термині алғаш Роберт.Р.Колдуэлла, Рахул Дэйв және Пол Штайнхардтың мақаласында жарық көрді. Квитэссенция күңгірт энергияның динамикасын анықтайды, космологиялы тұрақтыдан айырмашылығы уақыт бойынша өзгереді, ал біз білетін Эйнштейн ұсынған космологиялық тұрақты стационар Ғаламда тұратылық қызметін атқарады. Квитэссенция кинетикалы және потенциалдық энергиялардың байланысына тәуелді тебіледі немесе тартылады деп болжам жасалуда.
Алғаш күңгірт энергияның табиғатын анықтау мақсатында -эссенция моделін Чиба, Окаба және Ямагучи ұсынған екен.
Осы модельдерді түсіну мақсатында скаляр өріс теориясының негізімен танысамыз.
Скаляр өріс Лоренц түрлендірулеріне қатысты инвариантты өріс және кеңістіктің кез-келген нүктесінде скаляр мәнге ие. Классикалық өріс пен жалпы салыстырмалық теориясын байланыстыру үшін ең кіші әсер принципін қолданамыз. Әсер Лагранжанның уақыт бойынша интегралы болып табылады

, (1.60)

және интегралдау арқылы кеңістікті-уақытта Лагранжиан тығыздығын жаза аламыз

, (1.61)

-скаляр және метрикалық өрістерді қосқандағы классикалық өріс. Классикалық механикада Лагранжан кинетикалық энергия мен потенциалдық энергияның айырмасы ретінде анықталады

. (1.62)

Классикалық өріс үшін, жүйенің симметриясын көрсететін бірнеше түрлендіруге қатысты Лагранжан өте пайдалы болып табылады. Ең кіші әсер принципін қолданып, Эйлер-Лагранж теңдеуін ала аламыз

. (1.62)

Жалпы салыстырмалық теориясында гравитацияны сипаттайтын Эйнштейн-Гильберт әсері келесі теңдеумен беріледі

, (1.63)

мұнда, . Олай болса, толық әсер Эйнштейн-Гильберт мүшесі мен материяның қосындысы болып табылады, яғни

. (1.64)

Интегралдау барысында масштабы фактор скаляр тығыздықты алу үшін енгізіледі және материяны байланыстыратын гравитация факторға минималды түрде әсер етеді. Эйнштейн гравитациясы бұл минималды байланысты эквиваленттілік принципін қамтамасыз ету үшін өзіне қабылдайды.
Әсердің принципіне сәйкес, әсерді қатысты вариациялағанда 0-ге тең болады

(1.65)

Бұл кез - келген вариациясында әділетті болғандықтан, тік жақша ішіндегі өрнек 0 - ге ұмтылуы қажет. Осылайша біз келесі қозғалыс теңдеуін аламыз

. (1.66)

Теңдеудің оң жағын энергия - импульс тензоры түрінде табамыз

. (1.67)

Қозғалыс теңдеуінен Эйнштейннің өріс теңдеуі шығады. Ол үшін бізге және білу қажет. анықтау үшін, Риман тензорынан бастаймыз

, (1.68)

және вариация екі байланыстың айырмасы болғандықтан, өзі де тензор болады. Сәйкес, ковариантты туындысы келесі түрде беріледі

. (1.69)

Осы өрнектен біз

, (1.70)

аламыз.
Риччи скаляры арқылы анықталады. Сонда

, (1.71)

оң жақтағы екінші мүше толық туынды болып табылады, сол себепті де Стокс теоремасына сәйкес интеграл арқылы шекаралық мүше ретінде өрнектеле алады. Шексіздікте метриканы вариациялағанда 0-ге ұмтылады десек, бұл мүше әсерді вариациялағанда ықпал етпейді. Сол себепті де, келесі өрнекті аламыз

. (1.72)

Енді қарастырайық. болғандықтан, Якобиан формуласы арқылы оны келесі түрде жазуға болады: . Содан кейін

. (1.73)

Сонда, болғандықтан, және

, (1.74)

мұнда, (1.66) қозғалыс теңдеуінің сол жақ бөлігі , сол себепті де қозғалыс теңдеуі Эйнштейн өріс теңдеуіне келеді

. (1.75)

Энергия - импульс тензорына

, (1.76)

келеміз.
Мұнда, вариациялағанда, екіге бөлінеді: және . Сонымен, (1.44)теңдеу арқылы

. (1.77)

Енді, біз скаляр өрісті материяның бөлігі ретінде қабылдаймыз,яғни .Олай болса,

, (1.78)

осыдан және шамасы - ға тәуелсіз екендігі шығады. Бұдан

, (1.79)

екендігі шығады.
Енді біз энергия - импульс тензорын скаляр өріс арқылы аламыз

, (1.80)

немесе

, (1.81)

компоненталары үшін, аламыз. компоненталары үшін, . Фридман - Леметр - Робертсон - Уокер (ФЛРУ) метрикасын алсақ және Ғаламды біртекті деп қарастырсақ, келесі Фридман теңдеуін
аламыз

, (1.82)

. (1.83)

Лагранж тығыздығын тағы да тексеріп көрейік. Гравитациялық мүше мен скаляр өріс мүшесін байланыстыратын толық Лагранж тығыздығы

, (1.84)

бойынша функционалды туынды Эйлер - Лагранж теңдеуіне сәйкес 0 - ге тең

, (1.85)

штрих дегенді білдіреді.
Фридман-Леметр-Робертсон-Уокер (ФЛРУ) метрикасын аламыз және біртекті Ғалам кеңістікті градиенттерді төмендетеді деп болжам жасаймыз. Диагоналды матрица үшін, детерминант диагоналды компоненталар нәтижесі болып табылады

. (1.86)

- біртекті кеңістік 0 - ге ұмтылғандықтан

. (1.87)

болады. болғандықтан

, (1.88)

аламыз. Осы арқылы скаляр өріс теңдеуін аламыз

. (1.89)

Осылай, біз әрбір модель үшін әсердің көмегімен қозғалыс теңдеуін аламыз.

Квитэссенция-скаляр өрісте күңгірт энергияның табиғатын анықтау мақсатында жалпы салыстырмалық теориясындағы космологиялық модельдердің бірі. Квитэссенция гравитациямен аз шамада байланысқан кинетикалық мүшеге тең екен. Скаляр өрісте әсерді кинетикалық мүше арқылы жазамыз.
Квитэссенция сәйкес, толық әсер келесі түрде жазылады:

. (1.90)

метрикалық байланысқа сәйкес скаляр өріс стандартты кинетикалық мүшеге ие болады. вариациясын ескеріп, энергия - импульс тензорының мәнін аламыз

. (1.91)

Энергия тығыздығы мен қысым энергия - импульс тензоры арқылы анықталады:

, . (1.92)

Фридман теңдеуі

, (1.93)

мұнда мүшесі үшін, жоғарыдағы теңдеу келесі түрде жазылады

, (1.94)

мұндағы, -кинетикалық энергия, -потенциалдық энергия.
Келесі бір пайдалы теңдеу келесі теңдеулер жиынтығы арқылы алынады

. (1.95)

Энергияның ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.