Бернулли кездейсоқ шамаларының мысалдары

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 23 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ ҒЫЛЫМ ЖӘНЕ БІЛІМ МИНИСТРЛІГІ

М. Өтемісов атындағы Батыс Қазақстан Мемлекеттік Университеті

« Математика » кафедрасы

Курстық жұмыс

Тақырыбы : «ДИСКРЕТТІ КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАЛАРДЫ МОДЕЛЬДЕУ»

Орындаған : М - 31 топ студенті Салыбай Қ. Қ.

Тексерген : Математика кафедрасының аға оқытушысы Маутеева С. М.

Орал - 2018 жыл

Мазмұны

Мазмұны: Кіріспе

Мазмұны: I. Дискретті кездейсоқ шамалар

Мазмұны:

II. Дискретті кездейсоқ шамалардың модельдері

2. 1. Бернулли және биномдық үлестірімдер
2. 2. Гипергеометриялық үлестірім
2. 3. Геометриялық және теріс биномдық үлестірімдер
2. 4. Пуассон үлестірімі

Мазмұны: Қосымша кестелер

Мазмұны: Қорытынды

Мазмұны: Пайдаланылған әдебиеттер

Кіріспе

I бөлім . Дискретті кездейсоқ шамалар

ξ кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері ақырлы бүтін сандар немесе тізбек түрінде жазылса, онда ондай ξ кездейсоқ шамасын дискретті кездейсоқ шамалар деп атайды.

Дискретті кездейсоқ шаманы анықтау үшін әдетте таблица құрады. Мұндай таблицада екі жол болады. Оның бірінші жолында кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндері, ал екінші жолында сол мәндерді қабылдау ықтималдықтары жазылады. Сонда ақырлы бүтін мәндер қабылдайтын ξ кездейсоқ шамасы үшін мұндай таблица мынандай:

Мәндер

x_{1}

x_{2}

···

x_{n}

Мәндер: Ықтималдықтар

x1x_{1}:

p_{1}

x2x_{2}:

p_{2}

···: ···

xnx_{n}:

p_{n}

Бұлай құрылған таблицаны ξ кездейсоқ шаманың үлестірім таблицасы деп атайды.

Біз бұдан былай ξ кездейсоқ шамасының үлестірім таблицасын былай жазуға келісеміз: бірінші жолда «ξ» таңбасы ашады, ал екінші жолдың таңбасын әрқашан « $p$ » әрпі қойылады. Әрі қарай жоғарыдағы таблица сияқты. Сөйтіп ξ кездейсоқ шамасының үлестірім таблицасы мынау:

X

x_{1}

x_{2}

x_{3}

···

x_{n}

XX: Р

x1x_{1}:

p_{1}

x2x_{2}:

p_{2}

x3x_{3}:

p_{3}

···: ···

xnx_{n}:

p_{n}

Үлестірім таблицасының екі қасиеті бар:

Екінші жолда тұрған сандар теріс емес, яғниpip_{i}≫\gg0;
Екінші жолда тұрған сандардың қосындысы бірге тең, яғни

$\sum_{i = 1}^{n}p_{i} = 1$

$p_{1}$ , $p_{2}$ , …, $p_{n}$ сандары ықтималдықтар болғандықтан, өйткені анықтама бойынша $p_{i} = P(\xi = x\ ), \ \ i = 1, \ \overline{n}$ , бірінші қасиеттің орындалуы өзіне - өзі түсінікті. Ал, екінші қасиетті алатын болсақ, (1) теңдіктің сол жағы; ξ кездейсоқ шамасының $x_{1}$ , $x_{2}$ , …, $x_{n}$ мүмкін мәндерінің әйтеуір бірін қабылдайтындығын көрсеткеннен келіп шығады.

Егер ξ кездейсоқ шамасы саналатын $x_{1}$ , $x_{2}$ , …, $x_{n}$ . . . мәндерін қабылдаса, онда оның үлестірім таблицасы жоғарыдағы сияқты жасалады, бірақ (1) теңдігінің орнында

$\sum_{i = 1}^{\infty}p_{i} = 1$

теңдігі тұрады.

Мысал:

1. 1. Екі ойын сүйегін лақтырғанда пайда болатын ұпайлардың қосындысының үлестірім таблицасын табу керек.

Шешуі: Екі ойын сүйегіндегі ұпайлардың қосындысы ξ арқылы белгілейік. ξ - дің қабылдайтын мәндері: 2, 3, 4, . . . , 12. Енді осы мәндерді қандай ықтималдықтармен қабылдайтындығын есептесек, мынандай үлестірім таблицасы шығады;

ξ:

p

\frac{1}{36}

\frac{2}{36}

\frac{3}{36}

\frac{4}{36}

\frac{5}{36}

\frac{6}{36}

\frac{5}{36}

\frac{4}{36}

10:

\frac{3}{36}

11:

\frac{2}{36}

12:

\frac{1}{36}

II бөлім . Дискретті кездейсоқ шамалардың модельдері

Әрбір кездейсоқ шама өзінің оқиғалар кеңістігінен белгілі бір ықтималды таңдау арқылы алынатындықтан, оларға сәйкес келетін айнымалылар мен сынақтарды санаттап класстарға бөлуге болады. Әрбір кластағы кездейсоқ шамалардың жалпы ортақ үлестірім заңдары мен белгісіз параметрлері болады. Осы үлестірім заңдарының класстары ықтималдықтық (ықтималды) модельдер деп аталады. Осы бөлімде біз дискретті кездейсоқ шамалар үшін ықтималдықтық модельдердің негізгі төрт түрін сипаттап, олардың қолданыс ортасын мысалдармен көрсетеміз.

2. 1 Бернулли және биномдық үлестірімдер

Бернулли үлестірімі. Бернулли сынағы немесе эксперименті деп нәтижесі сәтті немесе сәтсіз деп санатталатын сынақты айтады. $X$ Бернулли кездейсоқ шамасы деп сынақ сәтті аяқталса, 1 мәнін қабылдайтын сәтсіз аяқталса, 0 мәнін қабылдайтын шаманы айтамыз.

2. 1. 1 - мысал

Бернулли кездейсоқ шамаларының мысалдары.

1. Әдеттегі Бернулли сынағына бүк және шік нәтижелері, сәйкесінше, сәтті және сәтсіз болып саналатын, тиынды лақтыру сынағын жатқызуға болады.

2. Өндірістен кездейсоқ өнімді алу сынағында $X$ Бернулли кездейсоқ шамасы 1 және 0 мәндерін өнімнің, сәйкесінше, ақаулы немесе ақаусыз болуына байланысты қабылдайтын кездейсоқ кездейсоқ шаманы келтіруге болады.

3. Өнімнің төзімділігін үзіліссіз қанша уақытқа шыдайтынын тексеретін сынақта Бернулли кездейсоқ шамасы 1 мәнін, егер 1500 сағаттан астам уақыт жұмыс істесе (сәтті), 0 мәнін қарама - қарсы жағдайда қабылдайды.

4. Екі сақтандырғышты ақаулыққа тексеретін сынақты қарастыратын болсақ, Бернулли кездейсоқ шамасы 1 мәнін, егер сақтандырғыштың екеуі де ақаусыз болса, 0 мәнін басқа қалған жағдайларда қабылдайды.

Егер сәттіліктің ықтималдығы $p$ және сәтсіздіктің ықтималдығы $1 - p$ болса, онда $X$ - тің үлестірім заңы мен үлестірім функциясы төменгідей болады:

X: p(x)

0: 1-p

1: P

X: F(x)

0: 1-p

1: 1

$X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясы $\sigma_{X}^{2}$ немесе $Var(X)$ белгіленіп, төменгідей анықталады:

$\mathbf{X}$ кездейсоқ шаманың дисперсиясының жалпы анықтамасы

$\sigma_{X}^{2} = E\lbrack\left( X - µ_{X} \right) ^{2}\rbrack$ (2. 2)

Мұндағы $µ_{X} = E(X)$ $X -$ тің математикалық күтімі. Кез келген дискретті жиынтықтың дисперсиясы осы жиынтықты анықтайдын кездейсоқ шаманың дисперсиясына сәйкес келеді. Ал $\sigma_{X}^{2}$ дисперсиясын есептейтін оңайырақ формула (сонымен қатар, кейде оны қысқаша формула деп атайды) келесідей:

$\mathbf{X}$ кездейсоқ шаманың дисперсиясының қысқаша формуласы

${µ_{X} = p\, \ \ \sigma}_{X}^{2} = E\left( X^{2} \right) - \left\lbrack E(X) \right\rbrack^{2} = p - p^{2} = p(1 - p)$ 2. 1. 1

2. 1. 2 - мысал

Электр өнімінің 5500 уақыт бірлігінен астам уақыт үздіксіз жұмыс жасау ықтималдығы 0. 1 болсын. $X$ кездейсоқ шамасы 1 мәнін, егер кездейсоқ алынған өнімнің 5500 уақыт бірлігінен астам уақыт үздіксіз жұмыс жасаса қабылдасын да, 0 мәнін басқа жағдайларда қабылдасын. $X$ -тің орта мәні мен дисперсиясын есептеңіз.

Шешуі:

Мұндағы $X$ шамасының сәттілік ықтималдығы $p = 0. 1$ болатын Бернулли кездейсоқ шамасы болып табылады. (2. 1. 1) - сәйкес, $µ_{X} = 0. 1$ және $\sigma_{X}^{2} = 0. 1 \times 0. 9 = 0. 09$ .

Биномдық үлестірім. Әрқайсысында сәттілік ықтималдығы $p$ болатын, бір-бірінен тәуелсіз орындалатын $n$ Бернулли сынағын қарастырайық. Осы $n$ Бернулли сынақтарын бірге қарастыратын болсақ, бұл сынақты биномдық сынақ деп атаймыз.

Биномдық кездейсоқ шаманы $\mathbf{n}$ Бернулли сынақтарындағы барлық сәттіліктер санын есептейді.

Әдеттегі биномдық сынақ ретінде тиынды $n$ рет лақтыру сынағы болып табылады. $Y$ биномдық кездейсоқ шаманы осы $n$ сынақтағы бүктер санын есептесін. Бірақ, 2. 1. 1 - мысалда жазылған басқа Бернулли сынақтарының тәуелсіз қайталанулары да биномдық сынақ болып табылып, оған сәйкес биномдық кездейсоқ шамалары анықтала алады. Мысалы, өндіріс орнынан $n$ өнім кездейсоқ алынып, олардың әрқайсысын ақаулыққа тексеретін болсақ, ол Бернулли сынағы болады да, егер өнімдер бір-бірінен тәуелсіз ақаулы немесе ақаусыз болса, онда тексерістен өткен өнімдердің ақаулылар саны биномдық кездейсоқ шаманы береді.

Егер $i$ - Бернулли сынағына сәйкес $X_{i}$ Бернулли кездейсоқ шамасы болса, яғни

$X_{i} = \left\{ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array}\, \ i = 1, \ldots, n, \right. \$

онда $Y$ биномдық кездейсоқ шамасы

$Y = \sum_{1}^{n}X_{i}\ \ \ (2. 1. 2)$

$Y$ биномдық кездейсоқ шамасы егер $n$ Бернулли сынақтарының барлығы сәтсіз аяқталса, онда 0 мәнін, және, егер $n$ Бернулли сынақтарының барлығы сәтті аяқталса, $n$ мәнін қабылдайды. $Y$ -тің оқиғалар кеңістігі $S_{Y} = \left\{ 0, 1, \ldots, n \right\}$ . Биномдық кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы екі параметр бойынша қадағалап отырады. Олар - $n$ сынақтар саны және $n$ Бернулли сынағының әрқайсысында шығатын сәтті нәтиженің ықтималдығы. Егер $Y\sim Bin(n, p)$ болса, онда бұл биномдық үлестірімге ие $Y$ кездейсоқ шаманың параметрлері $n$ және $p$ екенін көрсетеді де, оның үлестірім заңы $p(y) = P(Y = y)$ болып, келесі формула арқылы есептеледі:

Биномдық үлестірімнің ықтималдықтық үлестірім заңы

$P(Y = y) = \left( \begin{array}{r} n \\ y \end{array} \right) p^{y}{(1 - p) }^{n - y}$ , y=0, 1, …, n. 2. 1. 3

Бұл формуланың дәлелдеуі алдымен, тәуелсіздік шартын қойғанымызды ұмытпау керек те $n$ Бернулли сынақтарының қатарына тек $y$ дана 1 болатындығының ықтималдығы $p^{y}{(1 - p) }^{n - y}$ және осындай қатарлардың саны $\left( \begin{array}{r} n \\ y \end{array} \right)$ болғаннан шығады. 2. 1 - суретте $n = 20$ үшін үш биномдық үлестірім заңдары белгіленген. $p = 0. 5$ болғанда үлестірім заңы симметриялы болады, $p = 0. 3$ және $p = 0. 7$ болса, үлестірім заңдары бір - біріне айна қатесіз симметриялы болады.

Биномдық үлестірім үшін $P(Y \leq y)$ үлестірім функциясының айқын формуласы жоқ, бірақ қосымшада келтірілген 1 - кестеде $n = 5, 10, 15$ және 20 үшін $p$ - ның белгілі бір мәндеріне үлестірім функциясының мәндері келтірілген. Биномдық $(n, p)$ үлестірімінің кез келген $n$ мен $p$ мәндеріне сәйкес үлестірім заңы мен үлестірім функциясын алу үшін келесі $R$ пәрмендерін қолданамыз:

Биномдық үлестірімнің үлестірім заңы мен үлестірім функциясын алу үшін қолданылатын $\mathbf{R}$ пәрмендері

dbinom(y, n, p) # y=0, 1, …, n үшін $\ P(Y = y)$ үлестірім заңын береді

pbinom(y, n, p ) # y=0, 1, …, n үшін $\ P(Y \leq y)$ үлестірім функциясын береді

Жоғарыдағы $R$ пәрмендерінде $y$ 0 - ден $n$ - ге дейінгівектор мәндерді де қабылдай алады. Мысалы,

- dbinom(4, 10, 0, 5) пәрмені 0. 2050781 нәтижесін береді, себебі бұл тиынды 10 рет лақтырғанда төрт бүк шығудың ықтималдығын есептейтін пәрмен немесе $Y\sim Bin(10, \ 0. 5)$ үшін $P(Y = 4)$ көрсететі.

- dbinom(0:10, 10, 0, 5) пәрмені $Y\sim Bin(10, \ 0. 5)$ үшін үлестірім заңын қайтарады. Ал $Bin(10, \ 0. 5)$ үлестірімінен таңдама алу үшін sample немесе жаңа rbinom пәрмендерін қолдансақ болады. Мысалы, $sample(0:10, \ \ size = 5, \ replace\ = \ T\, \ prob\ = \ dbinom(0:10, \ 10, \ 0. 5) ) \ және\ rbinom(5, \ 10, \ 0. 5) \$ пәрмендерінде тиынды 10 рет лақтыру сынағын бес рет қайталағанда әрқайсысында шығатын бүк санын көрсетеді.

- sum(dbinom(4:7, 10, 0. 5) ) және pbinom(7, 10, 0. 5) - (pbinom(3, 10, 0. 5) пәрмендерінің екеуі де 0. 7734375 мәнін қайтарып, $P(3 < Y \leq 7) = F(7) - F(3)$ есептейтін пәрмендер

$n$ және $p$ параметрлері бар биномдық $X$ кездейсоқ шамасының орта мәні мен дисперсиясының формулалары келесідей:

Биномдық үлестірімнің орта мәні мен дисперсиясы

$E(X) = np\, \ \ \sigma_{X}^{2} = np(1 - p)$ (2. 1. 4)

2. 1 - сурет. Бірнеше биномдық үлестірім заңдары

$n = 1$ үшін биномдық кездейсоқ шама Бернулли кездейсоқ шамасы болады да, жоғарыдағы орта мән мен дисперсияның формулалары (2. 1. 1) формулаларына түрленеді.

2. 1. 3 - мысал

Көздің түсі сияқты адамның физикалық ерекшелігінің бірі анасынан, екіншісі әкесінен берілетін ген жұптары арқылы беріледі. Әрбір ген доминанты $(D)$ немесе рецесивті $(R)$ бола алады. $(DD) \, \ \ (DR)$ және $(RD)$ ген жұптарына ие адам физикалық ерекшелікке ие деп атаймыз. Бала бірдей ықтималдықпен ата - анасының әрқайсысының бір ген аладыдеп ескерейік. Егер ата-анасының екеуі де гибритті ген жұптарына ие болса $(яғни, \ екеуі\ де\ (DR)$ және (RD) гендеріне ие), олардың төрт баласының үшеуінде өздеріндей гендерге ие болады деген оқиғаның ықтималдығын табыңыз.

Шешуі

$X$ кездейсоқ шамасы төрт баланың нешесі ата - анасындай генге ие екенін көрсетсін. Әрбір бала Бернулли сынағын көрсетеді. Бұл сынақтағы сәттілік (бала ата - анасындай физикалық ерекшелікке ие) ықтималдығы $p = P(DD) + P(RD) + P(DR) = 0. 25 + 0. 25 + 0. 25 = 0. 75$ . Төрт Бернулли сынақтары бір - біріне тәуелсіз және $X\sim Bin(4, \ 0. 25)$ . (2. 1. 3) формуласы бойынша,

$P(X = 3) = \left( \begin{array}{r} 4 \\ 3 \end{array} \right) {0. 75}^{3}{0. 25}^{1}\widetilde{-}0. 422$ .

2. 1. 4 - мысал

Белгілі бір дүкендегі сатылымдардың 70% - ы кредит карталарымен жасалады. $X$ кездейсоқ шамасы келесі 10 сатылымда кредит картасын қолданған сатылымдар санын көрсетсін. а) $X$ - тің үмітті мәні мен дисперсиясын; ә) $P(5 \leq X \leq 8)$ ықтималдығын табыңыз.

Шешуі

а) Әрбір сатылым Бернулли сынағы болады. Оның сәтті аяқталуын сатылымды кредит картамен төлеу деп анықтаңыз. 10 Бернулли сынақтарының бір - бірінен тәуелсіз деп ұйғарайық, сонда $X\sim Bin(10, \ 0. 7)$ болады. Яғни (2. 1. 4) формуласы бойынша

$E(X) = np = 10(0. 7) = 7\ \ \ \ \sigma_{X}^{2}$ =10(0. 7) (0. 3) =2. 1 .

ә) Егер $a < b$ болса, онда $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$ және 1 - кесте бойынша

$P(5 \leq X \leq 8) = P(4 \leq X \leq 8) = F(8) - F(4) = 0. 851 - 0. 047 = 0. 804$

$pbinom(8, \ 10, \ 0. 7) - pbinom(4, \ 10, \ 0. 7)$ $R$ пәрмені 0. 8033427 жауабын қайтарады. Басқа жолмен есептесек,

$P(5 \leq X \leq 8) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)$

$= \left( \begin{array}{r} 10 \\ 5 \end{array} \right) {0. 7}^{5}{0. 3}^{5} + \left( \begin{array}{r} 10 \\ 6 \end{array} \right) {0. 7}^{6}{0. 3}^{4} + \left( \begin{array}{r} 10 \\ 7 \end{array} \right) {0. 7}^{7}{0. 3}^{3} + \left( \begin{array}{r} 10 \\ 8 \end{array} \right) {0. 7}^{2}{0. 3}^{2}$

$= 0. 103 + 0. 200 + 0. 267 + 0. 233 = 0. 803$ (2. 1. 5)

sum(dbinom(5:8, 10, 0. 7) $R$ пәрмені де жоғарыдағы $R$ пәрмені қайтарған жауапты береді.

2. 1. 5 - мысал

Сотта айыпталушы кінәлі деп танылу үшін 12 сыншының кемінде сегізі оған кінәлі деген дауыс беру керек. Әрбір сыншы бір-бірінен тәуелсіз 0. 7 ықтималдықпен дұрыс шешім қабылдайтыны белгілі. Егер айыпталушылардың 40% -кінәлі болмаса, қабылданатын дұрыс шешімдердіің үлесі қандай?

Шешуі

Дұрыс шешімдер үлесі $P(B)$ арқылы белгілейік, мұндағы $B = \left\{ сыншы\ дұрыс\ шешім\ қабылдайды \right\}$ . Егер $A = \left\{ айыпталушы\ кінәлі\ емес \right\}$ деп белгілесек, Толық ықтималдық формуласы бойынша

$P(B) = P\left( B \middle A \right) P(A) + P\left( B \middle A^{C} \right) P\left( A^{C} \right) = P\left( B \middle A \right) 0. 4 + P\left( B \middle A^{C} \right) 0. 6\ .$

$X$ арқылы осындай сынақ дұрыс шешім беретін сыншылар санын белгілейік. Мұндағы, әрбір сыншы Бернулли сынағы болады, ол сынақ сәтті деп сыншының дұыс шешімін аламыз. Барлық Бернулли сынақтыры тәуелсіз болғандықтан, $X\sim Bin(12, \ 0. 7)$ . Егер айыпталушы кінәлі болмаса, «кінәлі емес» деген шешім дұрыс және егер айыпталушы кінәлі болса, «кінәлі» деген шешім дұрыс болатынын есте сақтау керек. Сондықтан,

$P\left( B \middle A \right) = P(X \geq 5) =$

$1 - \sum_{k = 0}^{4}\left( \begin{array}{r} 12 \\ k \end{array} \right) \ {0. 7}^{k}{0. 3}^{12 - k} = 0. 9905$

және

$P\left( B \middle A^{C} \right) = P(X \geq 8) = \sum_{k = 8}^{12}{\left( \begin{array}{r} 12 \\ k \end{array} \right) {0. 7}^{k}{0. 3}^{k} = 0. 724}$

Бұдан,

$P(B) = P\left( B \middle A \right) 0. 4 + P\left( B \middle A^{C} \right) 0. 6 = 0. 8306$

шығады.

2. 2 Гипергеометриялық үйлестірім

Көлемі ақырлы және $N$ болатын жиынтықта $M_{1}$ дананы 1 деп белгілеп, қалған $M_{2} = N - M_{1}$ дананы 0 деп белгілейік. Оған көлемі $n$ болатын қарапайым таңдау жасалады. Осындай сынақ жасалғанда қарастырылатын модельді гипергеометриялық модель деп атайды. $X$ арқылы таңдамадағы 1 деп белгіленген даналар санын белгілейік те, оны параметрлері $M_{1}$ , $M_{2}$ және $n$ болатын гипергеометриялық кездейсоқ шама деп атайық.

Ақырлы жиынтықтардан жасалатын таңдаулар экологияны да өзіне қосатын бірнеше мағынаға ие; 2. 2. 1 - мысалды қараңыз. Гипергеометриялық үлестірімнің техникалық қолданысының протипі ретінде үлестіруші деңгейінде сапаның бақылауы болып табылады. $N$ данадан тұратын партия үлестірушіге түседі. Үлестіруші көлемі $n$ болатын қарапайым кездейсоқ таңдау жасап, таңдаманың әрбір данасын белгілі-бір ақауға тексеру. $X$ гипергеометриялық кездейсоқ шамасы таңдамадағы ақаулы өнім данасын санайды.

Бұл протипті гипергеометриялық сынақта әрбір өнім тексерісі Бернулли сынағы болып, сәтті оқиға деп өнімнің ақаулы болуын айтамыз. Барлық Бернулли сынақтарында сәттіліктің ықтималдығы $p = M_{1}/N$ . Егер $X_{i}$ Бернулли кездейсоқ шамасы $i$ - өнім тексерісіндегі сәттілік немесе сәтсіздікті көрсетсе, $X$ гипергеометриялық кездейсоқ шамасы