ДЕКАРТТЫҚ КООРДИНАТАЛАР ЖҮЙЕСІ

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 8 бет
Таңдаулыға:

9 тақырып . Бір базадан екіншіге көшу.

17-дәріс.

1. Аффиндік координаттар жүйесінде бір базадан екіншіге көшу.

2. Көшу матрицасы.

18-дәріс.

1. Тікбұрышты декарт координаттар жүйесін түрлендіру: жазықтықта, .

2. Тікбұрышты декарт координаттар жүйесін түрлендіру: кеңістікте.

ДЕКАРТТЫҚ КООРДИНАТАЛАР ЖҮЙЕСІ

Кеңістіктен кез-келген бір О нүкте және оң базис (

\[\stackrel{1}{\mathcal{C}}_{1}\]

\[\stackrel{\mathrm{t}}{\mathcal{C}}_{2}\]

\[\stackrel{\mathbb{I}}{\mathcal{C}}_{3}\]

) алайық. Бұл базистік векторлар О нүктеден шығатындай болып орналассын.

Анықтама. О нүкте және (

\[\stackrel{1}{\mathcal{C}}_{1}\]

\[\stackrel{\mathrm{t}}{\mathcal{C}}_{2}\]

\[\stackrel{\mathbb{I}}{\mathcal{C}}_{3}\]

) базистен тұратын геометриялық бейнені кеңістіктегі декарттық координаталар жүйесі дейді (1-сурет) . О - координаталар жүйесінің басы,

\[\stackrel{1}{\mathcal{C}}_{1}\]

- бірінші,

\[\stackrel{\mathrm{t}}{\mathcal{C}}_{2}\]

- екінші,

\[\stackrel{\mathbb{I}}{\mathcal{C}}_{3}\]

- үшінші координаталық векторлар (немесе орттар) делінеді. Бұл векторларды бастыра жүргізілген бағытталған түзулерді координаталық осьтер дейді. Оның ішінде оң бағыты

\[\stackrel{1}{\mathcal{C}}_{1}\]

-мен анықталатынын абсцисса осі дейді де х -пен,

\[\stackrel{\mathrm{t}}{\mathcal{C}}_{2}\]

бағытымен анықталатынын ордината осі дейді де у -пен,

\[\stackrel{\mathbb{I}}{\mathcal{C}}_{3}\]

бағытымен анықталатынын апликата осі дейді де z -пен белгілейді. Бұл осьтерді қос-қостан басып өтетін Oxy, Oxz, Oyz жазықтықтарын координата жазықтықтары дейді. Координаталар жүйесін Oxyz немесе О

\[\stackrel{1}{\mathcal{C}}_{1}\]

\[\stackrel{\mathrm{t}}{\mathcal{C}}_{2}\]

\[\stackrel{\mathbb{I}}{\mathcal{C}}_{3}\]

арқылы белгілейді. Базистің оң, сол болуына сәйкес декарттық координаталар жүйесі де оң (1а-сурет), сол (1б-сурет) болады. Біз тек оң координаталар жүйесін қарастыратын боламыз.

\[\stackrel{1}{\mathcal{C}}_{1}\]

\[\stackrel{\mathrm{t}}{\mathcal{C}}_{2}\]

\[\stackrel{\mathbb{I}}{\mathcal{C}}_{3}\]

а)

б)

1-сурет

Егер базистік векторлар қос-қостан өзара перпендикуляр бірлік векторлар болса, онда координаталар жүйесі тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі делінеді, ондай болмаса жалпы декарттық координаталар жүйесі немесе аффиндік координаталар жүйесі делінеді. Біз негізінен тік бұрышты декарттық координаталар жүйесін қарастырамыз. Әдетте, тік бұрышты декарттық координаталар жүйесінің базисін (координаттық векторларын)

\[\begin{array}{l}{\mathbb{N}}\\ {\frac{\mathfrak{g}}{{\hat{g}}}}\\ {\qquad}\\ {\qquad}\\ {\qquad}\\ {\qquad}\\ {\qquad}\\ {\left.{\frac{\mathbf{\hat{g}}}{{\hat{g}}}}\right.}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}{\mathbb{N}}\\ {\land}\\ {\varnothing}\\ {\varnothing}\end{array}\]

\[\textstyle\frac{\mathbb{F}}{\beta^{\prime}}\]

арқылы белгілейді. Координата жазықтықтары өзара қиылысып, кеңістікті 8-ге бөледі, оларды октанта дейді (2а-сурет) . Ox, Oу, Oz сәулелерінің үшеуі де оң болатын октантаны бірінші октанта дейді, қалғандарын одан сағат тілі қозғалысы бағытына кері бағытта нөмірлейді. 1, 2, 3, 4 октантаның төменгі жағындағы октанталар сәйкесінше 5, 6, 7, 8 - октанталар болады.

Кеңістікте O

\[\begin{array}{l}{\mathbb{N}}\\ {\frac{\mathfrak{g}}{{\hat{g}}}}\\ {\qquad}\\ {\qquad}\\ {\qquad}\\ {\qquad}\\ {\qquad}\\ {\left.{\frac{\mathbf{\hat{g}}}{{\hat{g}}}}\right.}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}{\mathbb{N}}\\ {\land}\\ {\varnothing}\\ {\varnothing}\end{array}\]

\[\textstyle\frac{\mathbb{F}}{\beta^{\prime}}\]

тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі және М нүктесі берілсін (2б-сурет) . Онда

\[\overline{{O M}}\]

векторы М нүктенің радиус-векторы делінеді және ол базистік векторларға бір түрде ғана жіктеледі:

\[{\overline{{O M}}}={\overline{{O M}}}\;_{0}+{\overline{{M}}_{0}M}={\overline{{O A}}}+{\overline{{O B}}}+{\overline{{O B}}}+{\overline{{O C}}}=x{\dot{\bar{i}}}+y{\dot{\bar{j}}}+z{\overline{{k}}}\]

Бұл жіктелудегі x, y, z коэффициенттер

\[\overline{{O M}}\]

векторының координаттары болады:

\[{\overline{{O M}}}=(x,y,z)\]

. Кеңістікте М нүкте мен оның радиус векторы

\[\overline{{O M}}\]

арасында бірмәнді сәйкестік болады. Сондықтан

\[\overline{{O M}}\]

векторының координаттарын М нүктесінің координаталары үшін алуға болады.

M ₀

\[\frac{\left|\mathbf{l}\right|}{\sigma}\]

\[\begin{array}{c}{{\stackrel{\mathbb{Q}}{\downarrow}_{\phi}}}\\ {{\stackrel{\mathbb{P}}{\partial}}}\end{array}\]

\[\frac{\mathbb{H}}{\beta\mathbf{v}}\]

а)

б)

2-сурет

Анықтама. Тік бұрышты декарттық координаталар жүйесінде М нүктенің декарттық координаталары деп, ол нүктенің радиус-векторы

\[\overline{{O M}}\]

-нің

\[({\ i},{\bar{j}},{\bar{k}})\]

базистегі координаталарын айтады.

Егер

\[{\overline{{O M}}}=x{\ddot{i}}+y{\vec{j}}+z{\vec{k}}\]

болса, онда М нүктенің координаталары x, y, z болады және ол

\[M(x,y,z)\]

деп белгіленеді. Нүктенің қай октантада жатуына сәйкес, оның координаталарының таңбалары да әртүрлі болады. Ол таңбалар

\[O{\vec{A}},\,O{\vec{B}},\,O{\vec{C}}\]

бағытталған кесінділердің бағыттарының сәйкесінше

\[\dot{\bar{i}},\ \vec{j},\ \vec{k}\]

векторларымен бағыттас немесе қарама-қарсы бағытта болуына байланысты анықталады. Нүкте координаталарының таңбасы октанта бойынша былай болады:

III

VII

VIII

: X

I: +

II: -

III: -

IV: +

V: +

VI: -

VII: -

VIII: +

: Y

I: +

II: +

III: -

IV: -

V: +

VI: +

VII: -

VIII: -

: Z

I: +

II: +

III: +

IV: +

V: -

VI: -

VII: -

VIII: -

Егер М нүктенің координаталары

\[\left(X,y,\mathbb{Z}\right)\]

белгілі болса, онда М нүктенің кеңістіктегі орнын анықтау үшін

\[X{\overline{{k}}}^{*}\]

векторды О нүктеден бастап абсцисса осіне,

\[y{\overline{{j}}}\]

векторды ордината осіне,

\[{\mathcal{L}}{\overline{{k}}}\]

векторды апликата осіне өлшеп салып, А, В, С нүктелерді табамыз (3-сурет) . А мен В нүктелерден Ох, Оу осьтеріне параллель түзулер жүргізіп, олардың қиылысу нүктесі М ₀ нүктені табамыз. Ол нүктеден Oz осіне, ал С нүктеден ОМ ₀ -ға параллель түзулер жүргізіп, олардың қиылысуынан ізделген М нүктесін табамыз.

Жазықтықтағы декарттық координаталар жүйесі кеңістіктегідей анықталады.

Жазықтықтағы декарттық координаталар жүйесі деп О нүкте мен

\[({\vec{e}}_{1},{\vec{e}}_{2})\]

базистен тұратын геометриялық бейнені айтады (4-сурет) . Бұл кезде

\[\textstyle{\mathcal{X}}\]

осі мен у осі жазықтықты төртке бөледі. Оларды ширектер дейді. Бұл кезде М нүктенің екі координаталары болады, ол

\[M(x,y)\]

арқылы белгіленеді. Сөйтіп

\[M(x,y)\ [0\begin{array}{c}{{\overline{{{O M}}}}=(x,y)\ [0\ \overline{{{O M}}}=x\overline{{{e}}}_{1}+y\overline{{{e}}}_{2}}\end{array}\]

\[\stackrel{1}{\mathcal{C}}_{1}\]

\[\stackrel{1}{\mathcal{C}}_{2}\]

3-сурет

ПОЛЯРЛЫҚ КООРДИНАТАЛАР ЖҮЙЕСІ

Нүктенің жазықтықтағы орнын анықтау үшін жоғарыда баяндалған тікбұрышты декарт координаталар жүйесінен басқа полярлық координаталар жүйесі жиі қолданылады.

Жазықтықта О нүкте және бірлік вектор

\[\begin{array}{c}{{\operatorname{d}\!\theta}}\\ {{\bigotimes}}\end{array}\]

берілсін (4-сурет) .

\[\textstyle\left({\frac{\beta}{\beta}}\right)\]

\[\begin{array}{c}{{\operatorname{d}\!\theta}}\\ {{\bigotimes}}\end{array}\]

4-сурет

О нүкте мен

\[\begin{array}{c}{{\operatorname{d}\!\theta}}\\ {{\bigotimes}}\end{array}\]

бірлік вектордан тұратын геометриялық бейнені жазықтықтағы полярлық координаталар жүйесі дейді. О нүктені полюс, оң бағыты

\[\begin{array}{c}{{\operatorname{d}\!\theta}}\\ {{\bigotimes}}\end{array}\]

вектормен анықталатын және оны бастыра жүргізілген бағытталған жарты түзуді (сәулені) поляр осі дейді. Оны Р -мен белгілейді. Осы жүйе арқылы жазықтықтың кез-келген нүктесіне нақты екі санды сәйкестіруге болады. Жазықтықтан М нүкте алайық. Оның полюстен қашықтығы

\[|{\overline{{O M}}}|=r\]

болсын,

\[\begin{array}{c}{{\operatorname{d}\!\theta}}\\ {{\bigotimes}}\end{array}\]

-ден

\[\overline{{O M}}\]

-ге дейінгі бұрышты

\[\partial\!\!\!{\big/}\]

дейік. Сонда М нүктеге бір пар ғана