Дифференциалдық және интегралдық есептеулерді оқыту жүйесі

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 25 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1. Дифференциалдық есептеулерді оқытудың теориялық негіздері ... ... ...
1.1. Дифференциалдық есептеудің математика ғылымындағы орны ... ...
1.2. Дифференциалдық есептеулерді арнайы оқытудың педагогикалық және психологиялық мазмұны ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2. Дифференциалдық(туынды) есептеулер. Туынды табу ережелері ... ... ...
2.1.Дифференциалдық есептеулердің геометриялық және механикалық мағынасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2. Функцияның дифференциалы.Лопиталь-Бернулли ережесі ... ... ... ... .
3. Мектепте интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытудың әдістемесі ... ... ...
3.1 Интегралдың шығу тарихы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3.2 Алғaшқы функция мен интегралды оқыту әдiстемесi ... ... ... ... ... ... ... .
4. Алғaшқы функция және анықталмаған интеграл.Қисықсызықты трапецияның ауданы ... ... ..
4.1. Анықталған интеграл. Ньютон-Лейбниц формуласы ... ... ... ... ... ... ... .
4.2.Рационал, иррационал және тригонометриялық функцияларды интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4.3.Алынбайтын интегралдaр жөнінде түсінік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
4.4. Геометриялық және физикалық есептерде интегралды қолдану ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Кіріспе
Жұмыстың жалпы сипаты: Қазіргі таңда, күн өткен сайын, білімі мен ғылымы жоғары деңгейде дамыған мемлекеттер барлық жағынан алдыңғы орында екені айдан анық. Біздің елімізде үшін де білім беру саласын ілгерілету - мемлекеттік саясаттың басты бағыттарының бірі.
Қазақстан Респубикасының білім беру реформаларының негізгі мақсаты жалпы білім-беру жүйесін әлеуметтік-экономикалық ортаға барынша бейімдеу. Ал, білім беру жүйесін барынша жетілдіру осы мақсатқа жасалар алғашқы қадам.
Қазіргі қоғамда барлық мамандық иелерінен белгілі бір дәрежедегі математикалық сауаттылық талап етіледі. Бұл - математика ғылымының қоғамдағы айқын орнының, математика пәнінің дәрежесінің, математика білімінің қаншалықты құнды екендігінің дәлелі. Яғни, мектеп бағдарламасы мен ЖОО - ында берілген барлық математика тақырыптарының түрлі ғылымдарды игеруі мен дамуына үлесі зор.
ХХ ғасырда өмір сүрген атақты физика ғалымы Вернер Гейзенберг табиғат құбылыстары мен заңдылықтарын танып білу барысындағы математика ғылымының орнын былай сипаттаған: Сегіз қырлы математика ғылымы кейде физиктердің ойына кіріп шықпаған жаңалықтарды ашуға мүмкіндік береді. Атақты физик ғалымының математиканы дәл осылай бағалауының да өз мәні бар. 1925 жылы Вернер Гейзенберг атом құрылысының теориясын математикалық тәсілмен зерттеу үстінде таңғаларлық жаңалықты ашқан еді. Бұл зерттеу жаңалығы - атом құрылысы туралы Бор теориясының кемшіл тұстарын дұрыстауға және жаңа кванттық механиканы ойлап табуға негіз болған. Бұл жағдайдан кейін Вернер Гейзенберг математика ғылымы туралы былай деп ой жазған болатын: Математика физика ғылымына қарағанда ақылдырақ болды, себебі біз математика ғылымының көмегімен мүлде жаңа тәуелділіктердің ізін таптық.
Яғни, қандай ғылым саласы болмасын, зерттеу процестері кезінде кең мүмкіндіктерге жол ашылуы үшін матемтиканың, математика ғылымынң тармақтарының орасан пайдасы бар.
Бұл дипломдық жұмыс математика ғылымының бір тармағы, дифференциалдық және интегралдық есептеулердің мүмкіндіктерін қарастырады.
Қазіргі таңда мектеп бағдарламаларында дифференциал (туынды) және интеграл есептеулер жайлы көптеген мәліметтер қарастырылған. Яғни, туынды дегеніміз не, алғашқы функцияны қалай есептейміз, теңдеудің шешу жолдары және оны түрлі бағыттағы есептерді шығаруда қалай қолданамыз және тағы басқа сұрақтарды қарастырады.
Дифференциалдық және интегралдық есептеулер оқушылар мен студенттердің негізгі дайындығында, жалпы алғанда, оқушы мен студенттің ғылыми дүниетанымы мен ой-өрісін дамытуда, математикалық мәдениеттің негізін қалауда өте маңызды қызмет атқарады.

Жұмыстың өзектілігі :
- дифференциалдық және интегралдық есептеулерді игеру оқушылар мен студенттердің математикалық біліміне зор үлесін тигізеді.
- дифференциалдық және интегралдық есептеулер жайлы мектептің математика пәнін оқыту әдістемесіне арналған зерттеулерді қосымша толықтырады.
Жұмыстың жаңалығы:
Дифференциалдық және интегралдық есептеулер теориясының мазмұны абстрактілі, жалпы айтқанда теориялық және терең ойлауды, шығармашылық қабілеттің жоғары деңгейде болуын талап етеді. Есептеулердің қабілетті жетілдіруге үлкен ықпалы бар екені де даусыз. Жетілдіру арқылы оқушылардың ой-өрісі мен қарым-қабілеттерін, шығармашылық тұстарын дамытуға жол ашылады.
Жұмыстың мақсаты: Дифференциалдық және интегралдық есептерді шығарудың теоремалары мен анықтамаларын зерттеу, негізгі ережелері мен әдістемесін жинақтау, тақырып аясында зерделеу жұмыстарын жүргізу.
Зерттеудің міндеттері:
-дифференциалдық (туынды) және интегралдық есептеулер теориясының мазмұны теориялық ойлауды міндеттейді;
-шығармашылық қабілетті шыңдауды және ой өрісін жетілдіруді міндеттейді.
Зерттеу нысаны: Дифференциалдық және интегралдық есептеулерді оқыту жүйесі
Зерттеу әдістері: Тақырыпқа байланысты барлық мәліметтер мен тақырыптарды жинақтау, анықтамалар мен ережелердің мәнін ашып түсіндіру.
Жұмыстың практикалық құндылығы: Дифференциалдық және интегралдық теңдеулер мен олардың әдістемесін жетік меңгеру - бізге өзіміз өмір сүретін ғаламды толық тану үшін жол ашады, нақтырақ айтқанда физика және математика ғылымын кеңінен тануға және ғылыми таным мен түсініктің қалануына жол көрсетеді.

1.1.Дифференциалдық теңдеудің математика ғылымындағы орны
Дифференциалдық теңдеу математика ғылымында айрықша ұғым болып есептелінеді. Дифференциалдық теңдеу дегеніміз теңдеудің туындылары берілген алғы шарттарды қанағаттандыратын теңдеу болып табылады. Егер нақты құбылысты немесе белгілі бір үдерісті зерттеу кезеңінде алынған дифференциалдық есептеулер дифференциалдық модель деп атайды.
Дифференциалдық модель - өзімізді қоршаған тіршілік әлемін түсінуге және үйренуге құрылатын математикалық модельдердің дербес(жеке) жағдайы.Дифференциалдық есептеулермен сипатталатын дифференциалдық модельдердің ерекшелігінің бір түрі - теңдеулерде кездесетін белгісіз функциялар тек қана бір айнымалыға тәуелді болып табылады.
Жалпы дифференциалдық модельдерді құру үдерісінде зерттеліп және қолданылып жатқан есептеулердің табиғатқа қатысты ғылыми тұжырымдары мен заңдарын білу аса зор маңызға ие. Мысалға алар болсақ, физика ғылымында(механикада) - Ньютон заңдары, химиялық реакция жылдамдығы теориясында - Салмақтың әсер ету заңы, электрлік тізбектікте - Кирхгоф заңдары және тағы басқалары.
Алайда іс жүзіне келгенде дифференциалдық есептеулерді құруға мүмкіндік тудыратын, бірақ белгісіз заңдар да кездеседі, сол себепті өлшемдердің аз ғана өзгеруінде үдерістің жүруіне байланысты түрлі гипотезаларға(жорамалдар) сүйенуге тура келеді.
Кейбір есептеулерде дифференциалдық теңдеулерді тұйық қалпында(формада) шығаруға болады. Бұл дегеніміз элементар функциялар мен қарапайым теңдеулердің шешімін аналитикалық формула түрінде шешу.
Дифференциалдық есептеулерді шешу үшін қандайда бір шексіз қатарларды пайдалануға болады, бірақ бұл есептеу түрі тұйық формамен салыстырғанда көбірек теңдеулерді шешуге тура келтіреді.
Көрсетілген мысалдарда айтылғандай, дифференциалдық есептеулердің өзін шығармай ақ, теңдеу шешімдерінің қасиеттері туралы мәліметтер алуға мүмкіндік тудыратын әдіс-тәсілдердің бар екендігі және оның керек екендігі айқын.
Дифференциалдық есептеулер математика ғылымында айырықша орынға ие. Дифференциалдық есептеулердің сапалық теориясы 19-ғасырдың соңынан бастап қарқынды дамып келеді. Бұл салаға зор еңбегі сіңген француз математигі - Жюль Анри Пуанкаре және орыс математигі - Александр Михайлович Ляпуновтың зерттеулері дифференциалдық теңдеулердің дамуына үлкен пайдасын тигізген.

1.2. Дифференциалдық теңдеулерді арнайы оқытудың
педагогикалық және психологиялық мазмұны
Математика пәнін оқытудың басты мақсатының бірі - ол оқушыларды және студенттерді ғылыми дүниетануға тәрбиелеу болып саналады. Ал бұл мақсатты орындау барысында дифференциалдық теңдеулер тақырыбы пайдалы және тиімді болмақ.
Қазіргі таңда, барлығына белгілі жағдай математика ғылымын игерудің кез-келген деңгейінде, мектептерде, колледждерде,жоғары оқу орындарында және тағы басқа оқу орындарында әрқашан түрлі бағыттағы оқытудың әдістемелерімен байланыстырады. Бұл акпект, яғни құбылыс метематика ғылымының тарихи қалыптасу үдерісінде оқушы немесе студентің санасында әрдайым нақты және кеңінен түсінік қалыптастырады. Математика пәнін қоршаған ортамен, өмірмен, қоғамдағы болып жатқан іс-әрекеттермен байланыстырып, практикадағы математика ғылымының орны мен қазіргі кездегі ғылыми білімнің математизациялануын талқылап отырады.
Жаратылыстану - математика ғылымыдарының әдістемесінің дифференциалдық есептеулермен байланысын және дифференциалдық теңдеулердің әдістемелік бағытын көруге мүмкіндік ашатын дифференциалдық теңдеулер теориясы бағытының тарихи даму жағдайын зерттейтін боламыз. Бұл бағыт бойынша Қазақстан, Ресей және тағы басқа ТМД мемлекеттерінің ғалымдары өз зерттеулерімен зор пайдасын тигізген.
Математика ғылымын меңгертудің түрлі мәселерін математик-ғалымдары мен әдіскерлер қарастырған. Бұл теориялық негіздемелер орыс және кеңес математигі- Болтянский Владимир Григорьевичтің, кеңес математигі -Елена Сергеевна Вентцельтің, кеңес және орыс математигі, педагог- Башмаков Марк Ивановичтің, Баврин Иван Ивановичтің және тағы басқа көптеген ғалымдардың ғылыми еңбектерінде жазылған.
Оқыту үдерісінде қолданбалы бағыттарды пайдалану математика ғылымының негізін білуге ғана емес, ғылыми таным тәсілін үйренуге де әсер береді. Дифференциалдық есептеулердің қолданбалы бағыты оқушының нақты үдерісті матемтикалық модельмен байланыстыру практикасын меңгереді.
Математикалық модельдеу дегеніміз - нақты берілген есептерді математикалық тілге аудару.
Математикалық модельдеу тәсілдерінің қарапайым үдерістерінің арқасында оңай түсінуге және үдерістің сандық және сапалық қасиеттерін белгілеуге мүмкіндік туғызады.
Математикалық модельдеу таным іс-әрекетінің ажырамас бір бөлігі. Математикалық модельдеудің психологиялық құбылысы - тұлға ойында сыртқы және ішкі әлемнің байланысымен ғана есептелмейді. Соңғы кезеңдерде психикалық іс-тәжірибе модельдеу арқылы жүзеге асырылу үстінде. Модельдеу адам миының бір құбылысы ретінде түрліше ұғымдар қарастырып отырады. Көптеген ғалымдар модельдеуді адамдардың қоршаған ортамен байланысын, қарым-қатынасын психикалық іс-тәжірибенің арқасы деп қарастырды.
Сонымен,дифференциалдық есептеулер білім алушыға қоршаған орта туралы түсінік қалыптастыруға көмек көрсететін дүниетанымық және әдістемелік құбылыс. Белгілі бір мөлшерде бұл тақырыпқа тарихи және математикалық бағыт та ықпал жасайды.

2. Дифференциалдық (туынды) теңдеулер. Туынды табу ережелері

Туынды анықтамасы. функциясы І аралығында анықталсын. Егер x0І үшін ақырлы шегі бар болса, онда ол шекті функциясының x0 нүктесіндегі туындысы деп, бейнесімен белгіленеді.
Туындыны табу амалын функцияны дифференциалдау деп атаймыз. Анықтама бойынша
.
Өзгеше түсіндірер болсақ, қарапайым тілде анықтама осылай оқылады: Егер функцияның өсімшесінің өзінің пайда болуына себепші болған тәуелсіз айнымалының өсімшесіне қатынасының соңғы өсімше нольге ұмтылғанда ақырлы шегі бар болса, онда функцияны дифференциалданатын деп, сол шекті функцияның туындысы деп атайды.
Дәл осы сияқты, функциясының х0 нүктесіндегі сәйкес сол және оң жақты туындыларының анықтамасына келеміз:

Сондықтан, функциясында х0 нүктесінің туындысы бар болуы үшін, функцияның сол нүктеде оң және сол жақты туындылары бар болады және ол функциялар бір-біріне тең болу шарттары қажетті және жеткілікті.
Дифференциалдау ережелері. және функциялары дифференциалданатын(туындалатын), ал с түрақты сан болса, төменде көрсетілген дифференциалдау ережелері орындалады:

1. 2.,
3. , 4. ,
5. .
Берілген функцияның туындысын табу керек:
1-мысал: f(x)=x[3]+2x[2]-4
Шешуі: f'(x)=x[2]+4x
2-мысал: f(x)=4x[8]+
Шешуі: f'(x)=32x[7]+
3-мысал:f(x)=4x[6]+7x[5]+1
Шешуі: f'(x)=24
4-мысал:f(x)= х-4;
Шешуі: f'(x)= 1
5-мысал: f(x)=;
Шешуі:
f'(x)= = = =

2.1.Дифференциалдық теңдеулердің геометриялық және механикалық мағынасы
2.2. Лопиталь-Бернулли ережесі
функциясының х0 нүктесiндегi туындысының бар болуы, оның графигiнiң нүктесiнде жанаманың бар болуымен бара бар. Бұл жағдайда, жанаманың бұрыштық коэффициентi-қа тең. Туындының геометриялық мағынасы осы болады. функциясы графигiне нүктесiнде жүргiзiлген жанаманың теңдеуi

болады. Ал, нүктесiнен жанамаға перпендикуляр болып өтетiн түзудi функциясы графигiне, осы нүктеде жүргiзiлген нормаль теңдеуі деп атайды, оның теңдеуi болады.
Егер материалдық нүктенiң қозғалыс заңы функциясы арқылы берiлсе, онда оның уақыт бойынша алынған туындысы жылдамдықты, ал екiншi реттi туындысы үдеудi анықтайды. Бұл бiрiншi реттi және екiншi реттi туындының механикалық мағынасы болып табылады.
Мысал. қисығына абсциссасы болатын нүктеде жүргiзiлген жанама және нормаль теңдеулерiн жазайық.
Шешуi: Нүктенiң ординатасын табамыз
.
Келесі кезекте руындысын анықаймыз:
; Сонда жанаманың бұрыштық коэффициентi -ге тең болады.
Сондықтан, жанама теңдеуi , нормаль теңдеуi тең болады.
Дифференциал. функциясының х0 нүктесiндегi өсiмшесiн түрде өрнектеу мүмкiн болса, онда функцияны сол нүктеде дифференциалданады дейдi. Бұл өсiмшенiң ке салыстырғандағы сызықтық бөлiгiн, яғни шамасын функциясының дифференциалы деп атайды да, оны dy символымен белгiлейдi: . функциясының х0 нүктесiнде туындысы бар болып және теңдiгiнiң орындалуы, функцияның берiлген нүктеде дифференциалданатындығының қажеттi және жеткiлiктi шарты болады.
Сонымен, осы функция дифференциалы осы түрде өрнетеледі. Функциядағы dy дифференциалы бірінші ретті дифференциал, болмаса бірінші дифференциал деп аталады. Бірінші ретті дифференциалдан алынған дифференциалды функциясының х0 нүктесіндегі екінші ретті дифференциалы(туындысы) деп, айтады, оны символымен белгiлейдi. Жалпы жағдайда, функцияның n-шi реттi дифференциалы деп, оның (n1) реттi дифференциалынан алынған дифференциалды айтады, оны cимволымен белгiлейдi, бұл
болады.
Мысал. берілген функцияның бірінші және екінші ретті дифференциалдарын табу қажет.
Шешуi:

Осындай нәтиже алуға болады.

Мысал: Осы функциялардың туындылары мен дифференциалдарын табыңыз.

а) y=4tg2x
Шешуі:

Дифференциал:

б)
Шешуі:

Дифференциал:

в) y=arcsin[2](lnx)
Шешуі:

Дифференциал:

г)
Шешуі:
=
Дифференциал:

Лопиталь-Бернулли ережесi. Лопиталь-Бернулли ережесi деп, туынды(дифференциал) көмегiмен және түрiндегi анықталмағандықты шешу әдісін айтамыз.
Теорема. Егер және функциялары мынадай шарттарды қанағаттандырса: 1) да шексiз аз немесе шексiз үлкен; 2) нүктесiнiң U төңiрегiнде дифференциалданатын; 3) , ; 4) егер бар болса, онда шегi бар болады және

теңдiгi орындалады.
болған кезде де, осы ережені пайдаланып есептерді орындауға болады. Тіпті, кейде Лопиталь ережесін бірнеше қайтара пайдалауға тура келеді.

Лопиталь ережесiн қайталап қолдану кезiнде, алдынғы қолдануда пайда болған туындылардың қатынасын әр түрлi жолдармен ықшамдап, ортақ көбейткiштерге қысқартып, бұрыннан белгiлi шектердi пайдаланған жөн (бiрақ, нәтижесiнде пайда болған өрнектi немесе түрiндегi анықталмағандықты беретiндей түрде жазуды ұмытпау керек.
түрiндегi анықталмағандықты ашу үшiн, оларды түрлендiрiп немесе түрiндегi анықталмағандыққа келтiрiп, жоғарыдағы айтылған ереженi қолданады.
түрiндегi анықталмағандықтарды , түрлендiруi арқылы () түрiндегi анықталмағандыққа, одан соң немесе түрiндегi анықталмағандықтарға келтiрiп, оған Лопиталь ережесiн қолданады.
Мысал-1. табу қажет.
Шешімі:

.

Есепті шешу барысында

Біз шектерді пайдалып есептедік .
Мысал-2. шегін табу қажет.
Шешімі: Есептi шешу үшiн Лопиталь ережесiн екi қайтара пайдаланамыз.
.

Мысал-3. шегін табу керек.
Шешімі: .
Лопиталь ережесін бірнеше рет қолдануға болады, егер туындылардың қатынасы қайтадан немесе белгісіздігін берсе .
Мысал-4. .
Шешімі:
.

1-ескерту. Лопиталь ережесін бірнеше рет қолдана отырып, сіз әрдайым белгісіздіктің ашылғанын тексеруіңіз керек, әйтпесе Сіз дұрыс емес нәтиже болуы мүмкін.

2-ескерту. Теоремада болу талабы маңызды, алайда егер ол болмаса, онда бұл те жоқ дегенді білдірмейді.
Мысалы: - жоқ,
бірақ мына түрде болады.

5-мысал. шегін табу керек.

Шешімі: Мұнда 0·infinity белгісіздігі бар. Мына өрнек түрінде қайта жазамыз: .
Енді Лопиталь ережесін қолдана аламыз:
.

3. Мектепте интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытудың әдістемесі.
3.1 Интегралдың шығу тарихы
Дифференциалды және интегралды есептеулердің түрлі шешу тәсілдері көптеген жағдайда функциялардың нүктеделердегі шегіне тәуелді болып табылады.
Математика ғылымында ең бірінші дифференциал және интеграл терминдері анықталғаны, кейін келе бұл терминдерді жалпылау нәтижесінен функцияның шегі деп аталатын термин пайда болған.
Математика оқулықтарында интеграл терминін түрлі нұсқаларда тексеруден өткізіп, енгізген. Орыс және кеңес математигі, Колмогоров Андрей Николаевичтің оқулығының бастапқы шығарылымдарында интеграл Ньютон - Лейбництің формуласымен шығарылады. Ал, келесі шығарылымдарда интегралды есептеуді дәстүрлі әдіспен, яғни интегралдық қосындының шегі деп алып қарастырған. Осы секілді есептерді шешу әдістерін іздеу және шешіміндерін табу барысында Ньютон-Лейбницке дейін де, неміс математигі - Иоганн Кеплер, итальян математигі - Галилео Галилей, француз математигі - Блез Паскаль, ағылшын математигі - Джон Валлис, итальян математигі - Бонавентура Кавальери, фразцуз математигі - Рене Декарт және тағы басқа да ғалымдар мен ойшылдар көптеген еңбектер жазып, ғылымға өз үлесін қосқан.
1675 жылы белгісін неміс математигі - Готфрид Лейбниц енгізіп кеткен. Осы символ латынның Summa сөзінің алғашқы әріпімен белгіленіп, өзгертілген. Интеграл деген сөзді 1690 жылы швейцариялық физик, математик - Якоб Бернулли ойлап тапқан. Интеграл сөзі латынның integro сөзінен шыққан, қалпына келтіру, баяғы орнына түсіру деген мағынаны білдіреді.
Швейцариялық математик Иоганн Бернулли мен неміс математигі - Готфрид Лейбниц әрқашан хабар алысып отырған. Сол арқылы швейцариялық физик, математик - Якоб Бернуллидің ұсынысын талқылап,келісім берген. Келісілген 1696 жылы математика ғылымының жаңа тараулары ашылған. Ол тараудыңатауы - Интегралдық есептеулер деп аталды. Бұл терминді Иоганн Бернулли тарихқа енгізді.
Интегралдық есептеулерге байланысты өзге ұғымдар кейінірек ғылымға ене бастады. Қарапайым функция атауын, қазіргі таңда ғылыми атау мен мағынаға ие алғашқы функция сөзі алмастырды. Бұл ұғымды 1797 жылы француз математигі Жозеф ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.