Беттерді жуықтау

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 18 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

«ҚАРАҒАНДЫ ИНДУСТРИАЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ» КЕ АҚ

«Жасанды интеллект технологиясы» кафедрасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Беттерді жуықтау

Қабылдаған: ЖИТ каф.

(бағасы) аға оқытушысы

Серғазықызы А.

(қолы)

Комиссия мүшелері: Орындаған: ПИ-19к(1)

(тобы)

тобының студенттері

(қолы) Есім Ә.

(Т. А. Ж. )

(қолы)

Теміртау, 2020 ж.

МАЗМҰНЫ

Өзг

Бет

Құжат №

Қолы

Күні

Бет

КЖ. 6В06101. 11-19. 7. ТЖ

КІРІСПЕ 2
Бетті жуықтаудың жалпы сипаттамасы . . . 5
Жуықтауға арналған модуль . . . 9
Беттік теория . . . 11
Функцияны тренд сызығымен сәйкестендіру . . . 15
ҚОРЫТЫНДЫ . . . 19
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 20

КІРІСПЕ

Өзг

Бет

Құжат №

Қолы

Күні

Бет

КЖ. 6В06101. 11-19. 7. ТЖ

Курстық жұмысымның тақырыбы: «Беттерді жуықтау(модельдеу) ».

Курстық жұмыс мақсаты - осы ғылыми жұмыста күрделі геометриялық сипаттағы беттерді басқарылатын өңделетін беттермен жақындату әдісін қолдануға қатысты мәселелер қарастырылған. Беттік модельдеу мысалдары келтірілген. Қазіргі кезде бетті модельдеудің өзектілігі дәлелденді. Мақалада басқарылатын беттердің жуықтауы маңызды техникалық проблема екендігі және халық шаруашылығында әр түрлі бұйымдарды жобалауда практикалық маңызы зор екендігі көрсетілген.

Жуықтау (латын тілінен аударғанда «жуықтау» - «жақындау») - кез-келген математикалық объектілерді (мысалы, сандар немесе функциялар) басқа қарапайым, қолдануға ыңғайлы немесе жай танымал болған тәсілдер арқылы шамамен білдіру. Ғылыми зерттеулерде жуықтау эмпирикалық нәтижелерді сипаттау, талдау, жалпылау және әрі қарай қолдану үшін қолданылады.

Өздеріңіз білетіндей, шамалар арасында дәл (функционалды) байланыс болуы мүмкін, егер аргументтің бір мәні бір анықталған мәнге сәйкес келсе, дәлірек емес (корреляция) байланыс, егер аргументтің белгілі бір мәні жуықталған шамаға немесе функцияның көп немесе аз жақын мәндерінің жиынтығына сәйкес келсе бір біріне. Ғылыми зерттеулер жүргізу, бақылау немесе эксперимент нәтижелерін өңдеу кезінде әдетте екінші нұсқаға жүгінуге тура келеді. Шамалары эмпирикалық түрде анықталатын әр түрлі көрсеткіштердің сандық тәуелділіктерін зерттеу кезінде, әдетте, кейбір өзгергіштіктер болады. Ол ішінара зерттелетін жансыз және әсіресе тірі табиғат объектілерінің біртектілігімен анықталады, ішінара бақылау қателігі мен материалдардың сандық өңделуіне байланысты. Соңғы компонентті әрқашан толық алып тастау мүмкін емес, оны барабар зерттеу әдісін және жұмыстың дәлдігін мұқият таңдау арқылы ғана азайтуға болады. Сондықтан кез-келген ғылыми-зерттеу жұмысын орындау кезінде зерттелетін көрсеткіштердің тәуелділігінің шын мәнін анықтау проблемасы туындайды, шамалардың өзгергіштігінің ескерілмеуімен сол немесе басқа дәреже бүркемеленеді. Ол үшін жуықтау қолданылады - тәуелділіктің негізгі тенденциясын (немесе оның «трендін») білдіретін функционалды тәуелділіктің қолайлы теңдеуімен айнымалылардың корреляциялық тәуелділігінің шамамен сипаттамасы. Жақындауды таңдағанда нақты зерттеу проблемасынан бастау керек. Әдетте, теңдеу жуықтау үшін неғұрлым қарапайым болса, қатынастың нәтижесінде алынған сипаттама соншалықты жуық болады.

Сондықтан нақты мәндердің нәтижесінде пайда болған тенденциядан қаншалықты ауытқуы және қаншалықты маңызды болғанын оқып шығу керек. Эмпирикалық түрде анықталған шамалардың тәуелділігін сипаттағанда, әлдеқайда күрделі, көппараметрлі теңдеуді қолдану арқылы анағұрлым үлкен дәлдікке қол жеткізуге болады. Алайда эмпирикалық деректердің нақты сериясындағы мәндердің кездейсоқ ауытқуларын жеткізу үшін максималды дәлдікпен ұмтылу мағынасы жоқ. Бұл жағдайда логикалық және қуат функциясының екі параметрлік теңдеуімен дәл көрсетілген қолайлы дәлдікпен болатын жалпы заңдылықты түсіну әлдеқайда маңызды. Осылайша, жуықтау әдісін таңдай отырып, зерттеуші әрдайым ымыраға келеді: бұл жағдайда бөлшектерді «құрбандыққа шалу» қаншалықты мақсатқа сай және орынды және соған сәйкес салыстырылатын айнымалылардың тәуелділігі қаншалықты жалпылама түрде көрсетілуі керек деп шешеді. Жалпы заңдылықтан эмпирикалық деректердің кездейсоқ ауытқуларымен жасырылған заңдылықтарды анықтаумен қатар, жуықтау көптеген басқа да маңызды мәселелерді шешуге мүмкіндік береді: табылған тәуелділікті ресімдеу; тәуелді айнымалының белгісіз мәндерін интерполяция немесе қажет болған жағдайда экстраполяция арқылы табу.

Өзг

Бет

Құжат №

Қолы

Күні

Бет

КЖ. 6В06101. 11-19. 7. ТЖ

2. 1 Бетті жуықтаудың жалпы сипаттамасы

Өзг

Бет

Құжат №

Қолы

Күні

Бет

КЖ. 6В06101. 11-19. 7. ТЖ

Орындаған

Есім Ә

Тексерген

Серғазықызы А.

Реценз.

Н. Бақылау

Бекітілді

Бетті жуықтаудың жалпы сипаттамасы

Әдеб.

Беттер

ҚИУ, БИ-17к-1 тобы

Беттерді жақындату (модельдеу) - кез-келген бастапқы күрделі геометриялық кескіндерді оңай сипатталатын қарапайым және технологиялық суреттермен ауыстыруға болатын әдіс. Қазіргі кезде беттік модельдеу айтарлықтай практикалық қызығушылық тудырады және адам қызметінің әр түрлі саласында қолданылады. Бетті әр түрлі тәсілдермен анықтауға болады, және көбінесе берілген модельдеу тапсырмасы үшін өте күрделі болады. Татада күрделі бетті басқаға ауыстыруға болады, нәтижесінде белгілі қасиеттері бар қарапайым беттер, бұл белгілі бір дәрежеде осындай беттермен зерттеуді жеңілдетеді. Мысалы, күрделі бетті екінші ретті кескінді-сызықтық бетімен, дамитын беттермен байланысқан ең қарапайым революция немесе сабақтастық беттерімен жуықтауға болады. Бұл жағдайда дамитын беттермен күрделі беттердің жуықтауы ең қызықты болады. Геометрияда дамитын беттер ең жақсы зерттелгендіктен, сонымен қатар дизайнда тәжірибеде кең қолданылатын қасиеттер жиынтығы бар. Осы қасиеттердің маңыздылығын әр түрлі бөлшектерді жобалауда үлкен практикалық маңызы бар жазықтыққа жайылу мүмкіндігі деп атауға болады, сонымен қатар бүкіл генератрица бойымен жанасатын жазықтықтың тұрақтылығы, бұл орналастырылатын өнімнің өндірісіндегі технологиялық процесті жеңілдетуде өте маңызды. беті. Бөліктің беткі қабатын бүкіл генератрица бойымен түзу бағытта өңдеуге болады. Нәтижесінде мұндай өнімді өңдеу технологиясы айтарлықтай жеңілдетілді. Модельдеудің осы түрін технологияның әр түрлі салаларында қолдану ең айқын, және, демек, сондықтан ол ерекше қызығушылықты қажет етеді және осы проблеманы теориялық тұрғыдан зерттеуді қажет етеді. Бұл мәселе бұрын әдебиетте баяндалғанымен, одан әрі егжей-тегжейлі қарастыруды қажет етеді. Жазықтықтың кеңістіктегі орны үш параметрмен анықталатыны, олардың екеуі бекітілгені белгілі. Үшінші параметр кейбір заңға сәйкес өзгертілуі керек. Осы үшінші параметр p шамасының функциясы болсын делік: f (p) . P мәнін -0-ден + 0-ге дейінгі мәндерге тағайындай отырып, нәтижесінде үшінші параметрдің шексіз жиынтығына келеміз, олар алғашқы екі өзгермеген параметрлермен бірге жазықтықтардың бір параметрлі отбасы деп аталатын шексіз жазықтықтар жиынын анықтайды [2, p. 7) .

Тангенстік жазықтықтардың жиынтығы кейбір (a) тегінің жазықтықтар жиынтығымен сәйкес келетін бетті (a) отбасының қабығы деп атайды. Бір параметрге байланысты басқарылатын бетті немесе түзу сызықтар жиынтығын түзудің (генератрицаның) қандай да бір түзудің (бағыттың) бойымен қозғалуы арқылы сипаттауға болатыны белгілі. Басқарылатын беттер дамушы және көлбеу болып бөлінеді. Егер иілу арқылы оны бүктемелер мен сызықтардың түзілуінсіз жазықтықпен туралауға болады. Оның үстіне кез-келген жайылуды жайылма деп атайды, ал оның беті не цилиндр, не конус немесе қандай да бір кеңістіктік қисықтың тангенстерінен тұратын бет болып табылады [3, б. 25] . Мұндай қисықты дамып келе жатқан беттің қияңқы жиегі деп атайды (1-сурет) . L қиылысу жиегін қиып өтетін P жазықтығы беткі бөлігінде ABC қисық сызығын В шыңдау нүктесімен құрайды, бұл жағдайда шыңдар жиегі - бұл ашылатын беттің арнайы сызығы, оның бойымен оның екі қуысы Sl және S2 бір-бірімен жанасады.

Өзг

Бет

Құжат №

Қолы

Күні

Бет

КЖ. 6В06101. 11-19. 7. ТЖ

Линейчатая поверхность

1-сурет. Дамушы ережелік беті.

Дамушы беттерге бір генератордың әр түрлі нүктелеріндегі оларға жанама жазықтықтың тұрақты болуымен сипатталатынына назар аударыңыз. Демек, барлық жанама жазықтықтардың дамып келе жатқан басқарылатын беттің жиынтығы бір параметрлі отбасы болып табылады. Басқаша айтқанда, ашылатын басқарылатын бет - бұл бір параметрлі ұшақтар тобының қабығы. Конверттердің келесі мысалдарын келтіруге болады.

Егер біз белгілі бір жазықтықты үш параметрмен анықтасақ: алынған L қисық сызығындағы А нүктесі, оған берілген нүктеде P жанамасы және осы L түзуінде жатпайтын В нүктесі, біз берілген қисық бойымен А нүктесін қозғай бастаймыз. Орын ауыстыру нәтижесінде біз сәйкесінше бір параметрлі жазықтықтар тобын аламыз, оның конверті S нүктесінде және L бағытында ұшымен белгілі бір конустық бетке айналады. Егер S нүктесі шексіздікке дейін жойылса, онда мұндай отбасының барлық жазықтықтары перпендикуляр болады. бұл В тобына жатпайтын кейбір ұшақ. Орындалған іс-әрекеттердің нәтижесінде жаңа ұшақтар тобының конверті генераторы В жазықтығына перпендикуляр болатын цилиндрлік бетке айналады, ал нұсқаулық L қисығы болады. Зерттелген жұп бағыттағыштың пішіні мен позициясына байланысты, олар бір немесе бірнеше дамитын беттерді анықтай алады. Әдетте, әр қисық сызыққа бір қисық сызыққа екінші қисыққа бір нүктеде ғана тиетін екі қисық сызық дамитын бетке ерекше анықталады. Қиғаш басқарылатын беттің бір генератордың әр түрлі нүктелерінде жанама жазықтықтары әр түрлі болады. Тангенстік нүкте генератор бойымен қозғалғанда, бұл жанасу жазықтығы генератордың айналасында айналады. Тангенс нүктесі бүкіл генератордан өткенде, осы жанама жазықтықтың толық айналуы 180 ° -қа тең болады. Әрбір генератордың генераторды бөлетін екі бөліктің әрқайсысы үшін жанама жазықтықтың жалпы айналуы 90 ° болатындай нүктесі болады. О нүктесі (2-сурет) әдетте генератордың орталығы деп аталады

Өзг

Бет

Құжат №

Қолы

Күні

Бет

КЖ. 6В06101. 11-19. 7. ТЖ

Линейчатая поверхность

2-сурет. Қиғаш басқарылатын беті.

Сонымен, таңдалған жанама жазықтықтар арасындағы O центріндегі немесе осы генератриканың кейбір O 'нүктесіндегі бұрыштың тангенсі OO арақашықтыққа пропорционал болады. Пропорционалдылық коэффициенті, бұл жағдайда басқарылатын беттің таралу параметрі деп аталады. Демек, берілген генератрица бойынша басқарылатын беттің толық қисаюының абсолюттік мәні генератордың центріндегі ең үлкен мәнге жетеді және сәйкесінше генератрица бойымен центрден қашықтыққа қарай азаяды. Осындай генераторлар орталықтарының қолданыстағы локусын қысу сызығы немесе керілу сызығы деп атайды. Атап айтқанда, қозғалатын түзу тік бұрышпен қиылысатын белгілі бір осьтің айналасындағы түзудің біркелкі спиральды қозғалысы арқылы сипатталған басқарылатын беттің геликоиды үшін мұндай қысу сызығы АВ осі болып табылады (2-сурет) . Сонымен қатар гиперболалық параболоид, бір қуысты гиперболоид сияқты екінші ретті басқарылатын беттерде түзу сызықты генераторлардың екі түрлі жүйесі болады. Түзу сызықты генераторлардың екі жүйесінде тек екінші ретті басқарылатын беттер болды [1, б. 32] . Параболоидты екінші ретті ашық центрлік емес (яғни симметрия орталығы жоқ) бет ретінде сипаттауға болатыны белгілі. Белгілі бір жағдайда гиперболалық параболоид тармақтары төмен бағытталған параболаның бойымен, бұтақтары жоғары бағытталған параболаның қозғалуынан пайда болуы мүмкін. Бір парақты төңкерістің гиперболоидын гиперболаны оның қиял осінде, екі парақты гиперболаны нақты айналасында айналдыру арқылы алуға болатындығын ескеру қажет. Бір парақты гиперболоид - бұл екі есе басқарылатын бет; егер бұл революцияның гиперболоиды болса, онда оны түзу сызықты онымен қиылысатын басқа түзудің айналасында айналдыру арқылы алуға болады. Бір-біріне иілген басқарылатын беттерді домалату процесі нәтижесінде оларда жалпы генератор пайда болатындай етіп, бірінің үстіне бірін айналдыруға болады. Бұл механизмдер, сәулет және құрылыс теориясында басқарылатын бетті қолданудың негізі. Қазіргі әлемде ұшақтардың, кемелердің, автомобильдердің корпустары, жер үсті және жер асты құрылыстары - бұл күрделі беттердің жүйелері мен кешендері. Зерттелген басқарылатын беттер олардың қолданылуын табады және технологияда, машина жасауда, өндірістік және мемлекеттік сәулет ғимараттары мен құрылыстарын, сонымен қатар автомобиль жолдарын жобалауда кеңінен қолданылады. Осылайша, жуықтау әдістерін зерттеу мен қолданудың өзектілігі қазіргі сәулет, құрылыс және технологиядағы көптеген жағымды қасиеттерді біріктіретін басқарылатын орналастырылатын беттерге деген сұранысқа байланысты.

Өзг

Бет

Құжат №

Қолы

Күні

Бет

КЖ. 6В06101. 11-19. 7. ТЖ

2. 2 Жуықтауға арналған модуль

GT жуықтау модулі - бұл жуықтау құруға, олардың сапасын бағалауға, сонымен қатар басқа да көптеген байланысты тапсырмаларды орындауға мүмкіндік беретін құралдар жиынтығы.

Шамамен бірнеше ерекше ерекшеліктері бар:

Жақындауды құрудың заманауи әдістерінің үлкен жиынтығын қамтиды, мысалы, сплайн арматурасы, сызықтық регрессия, кригинг және т. б. Сонымен қатар, DATADVANCE-тің меншікті алгоритмдері: HDA - жоғары өлшемді жуықтау, SGP - сирек Гаусс процестері, TA / iTA - тензорлық жуықтау және толық емес тензорлық жуықтау және т. б . . .

Шешімдер ағашы және опциялардың иерархиялық жүйесі бар. Әдепкі бойынша, құрал компанияның өмірдегі көптеген мәселелерді шешу тәжірибесіне сүйене отырып, ең қолайлы жуықтау әдісін таңдайды. Сонымен қатар, пайдаланушыларға жуықтау параметрлерін икемді түрде түзетуге мүмкіндік беретін кең опциялар қол жетімді.

Методы построения аппроксимаций
3-сурет Жоғары өлшемді жуықтау, SGP - сирек Гаусс процестері.

Өзг

. Өзг

Бет

Құжат №

Қолы

Күні

Бет

КЖ. 6В06101. 11-19. 7. ТЖ

КЖ. 5В070200. 51-17. 2. ТХ

Орындаған

Есім Ә.

Тексерген

Аявхан К. А.

. Реценз.

. Бақылау

Бекітілді

Жуықтауға арналған модуль

Әдеб.

Беттер

ҚМИУ, АжБ-18с тобыҚМИУ, АжБ-17қ тобы

Әр түрлі көмекші тапсырмаларды шешуге мүмкіндік береді, атап айтқанда:

Жақындаудың негізінде жатқан математикалық модельді пайдаланып берілген нүктеде жуықтау дәлдігінің теориялық бағаларын құру.

Берілген нүктеде салынған жуықтаудың аналитикалық туындыларын есептеу.

Құрылған модельді матлаб / октава форматына экспорттау.

Құрылған жуықтауды тегістеу.

Негізгі идея: Пайдаланушы GT Approx модулін өзі түсінетін жуықтау қасиеттері бойынша қолданады, алгоритмнің өзі үшін қызық емес төменгі деңгей бөлшектеріне өтпестен. GT Approx модулі оны пайдаланушының қажеттіліктеріне сәйкес келтіруге мүмкіндік беретін бірнеше әр түрлі жуықтау режимдерін қолдайды, атап айтқанда:

Өзг

Бет

Құжат №

Қолы

Күні

Бет

КЖ. 6В06101. 11-19. 7. ТЖ

Жақындау сызықтық болуы мүмкін немесе жаттығу үлгісінің нүктелерінен дәл өтуі мүмкін. Мәселеге байланысты, пайдаланушы өрескел, бірақ берік жуықтама құра алады, немесе керісінше, икемді, бірақ шуылға сезімтал.

«Акселератор» опциясы жуықтау құрылысын жеделдетуге мүмкіндік береді, бірақ сонымен бірге оның сапасын төмендетеді. Бірнеше шығысы бар функциялар үшін олардың нәтижелеріндегі ұқсастықтарды сақтай отырып және модель құру процесін жылдамдата отырып, барлық шығыстар үшін бір уақытта жуықтау құруға болады.

Жақындау құрған кезде модуль мақсатты функцияның ішінара қол жетімді стандартты ауытқуларын қолдана алады, егер оларды қолданушы мақсат функциясының нүктелері мен мәндерінің жиынтығымен қамтамасыз етсе; Егер жаттығу жиынтығы декарттық өнімнің құрылымына ие болса (бұл практикада көп кездеседі), онда тензорды жуықтау әдісін әр түрлі факторларға әр түрлі әдістерді қолдана отырып жақындатуға қолдануға болады.

4-сурет. «Акселератор» опциясы.

2. 3 Беттік теория

Беттік теория- беттердің қасиеттері зерттелетін дифференциалды геометрияның бөлімі (қараңыз: Дифференциалдық геометрия, Беттік) . Классикалық физика теориясында беттердің қозғалыс кезінде өзгермейтін қасиеттері қарастырылады. Классикалық П. Т. -ның негізгі міндеттерінің бірі - бұл бетті өлшеу мәселесі. Бетті өлшеу кезінде алынған фактілер жиынтығы беттің меншікті геометриясын құрайды. Беттің ішкі геометриясына сызықтың ұзындығы, екі бағыт арасындағы бұрыш, ауданның ауданы, сондай-ақ геодезиялық сызықтар, түзудің геодезиялық қисықтығы және т. б. сияқты ұғымдар кіреді. Ішкі геометрия беттің алғашқы негізгі квадраттық формасымен анықталады

ds 2= Edu2 + 2Fdudu + Gdu2, (1)

[мұнда E = r2u, F = ru ru, G = r2u, r = r (u, u) - беттің айнымалы нүктесінің радиус векторы, u, u - оның қисық сызықты координаталары], бетіндегі сызық доғасының дифференциалының квадратын білдіреді. Атап айтқанда, егер E = E (u, u), F = F (u, u), G = G (u, u) функциялары белгілі болса, онда u = u (t) түзудің ішкі теңдеулерін біле отырып, u = u (t) ds интегралдай отырып, осы сызықтың ұзындығын анықтауға болады;

Сонымен қатар, E, F, G берілгенде, екі түзудің арасындағы бұрыш пен аймақ ауданын осы түзулердің ішкі теңдеулерімен және аудан контурының ішкі теңдеуімен өрнектейтін формулалар бар. Беттің нүктесінің маңайындағы кеңістіктік құрылымды зерттеу беттің екінші негізгі квадраттық формасын қолдану арқылы жүзеге асырылады

2 h = Ldu ² + 2 Mdud u + Ndu ² , (2)

мұнда L = r _uи n, М = r _u _u n, N = r _uu n,

Өзг

. Өзг

Бет

Құжат №

Қолы

Күні

Бет

КЖ. 6В06101. 11-19. 7. ТЖ

Орындаған

Әлім А.

Тексерген

Аявхан К. А.

. Реценз.

. Бақылау

Бекітілді

Автоматтандырылған технологиялық процестердің фунуционалдық схемасы

Әдеб.

Беттер

ҚМИУ, АжБ-18с тобыҚМИУ, АжБ-17қ тобы

Бірлік бетіне қалыпты вектор болып табылады. Du, du-ге қатысты h-нің кішігірім жоғары реттіге дейінгі мәні координаталары u + du, u + du бетінің M 'нүктесінен g нүктесінің жанама жазықтығына u, u координаталары бар М нүктесіндегі арақашықтыққа тең, ал арақашықтық + немесе - белгісімен алынады M 'нүктесі у-ның қай жағында орналасқанына байланысты. Егер (2) формасы белгілі бір белгіге ие болса, онда М нүктесінің жеткілікті кішігірім маңындағы беті жанама g жазықтығының бір жағында орналасқан, ал бұл жағдайда беттің М нүктесі эллиптикалық деп аталады (1-сурет) .

Егер (2) формасы ауыспалы белгі болса, онда М нүктесінің маңындағы бет g жазықтығының қарама-қарсы жағында орналасады, ал М нүктесі содан кейін гиперболалық деп аталады (2-сурет) . Егер (2) формасы белгілі белгіде болса, бірақ нөлдік мәндерді қабылдайтын болса (du мен du бір уақытта нөлге тең болмаған кезде), онда М нүктесі параболалық деп аталады (3-суретте параболалық нүктенің маңында беттің құрылымы мысалдарының бірі көрсетілген) .

Беттің кеңістіктік пішінінің дәл сипаттамасын бетіндегі сызықтардың геометриялық қасиеттерін зерттеу арқылы алуға болады. М - болсын

Өзг

Бет

Құжат №

Қолы

Күні

Бет

КЖ. 6В06101. 11-19. 7. ТЖ

S және n беттерінің кейбір нүктелері M-дегі бетке нормаль вектор болып табылады, S-нің n бағытынан өтетін жазықтықпен қиылысу сызығы (L) осы бағыттағы қалыпты бөлім деп аталады, ал оның қисықтығы формула бойынша есептелетін 1 / R қалыпты қисықтық болып табылады.

5-сурет. Беттің кеңістіктік пішіні

Берілген бағыттағы M нүктесіндегі беттің қалыпты қисаюын M бағытындағы беттің қисықтық өлшемі деп санауға болады. Берілген нүктедегі қалыпты қисықтықтың шекті мәндері бас қисықтық деп, ал бетіндегі сәйкес бағыттар негізгі бағыттар деп аталады. Берілген нүктедегі ерікті қалыпты қиманың қисықтығы негізгі қисықтықтармен қарапайым қатынаспен байланысты (Эйлер формуласын қараңыз) . Егер М нүктесіндегі негізгі қисықтықтар әр түрлі болса, онда бұл кезде екі түрлі негізгі бағыттар болады. Әр нүктесінде бағыттары үлкен болатын түзулер қисықтық сызықтар деп аталады.

Қалыпты қисықтық нөлге тең болатын бағыттар асимптотикалық, ал әр нүктеде асимптотикалық бағыты бар сызықтар асимптотикалық сызықтар деп аталады. Эллиптикалық нүктелерден (мысалы, шардан) тұратын бетте асимптотикалық сызықтар болмайды. Гиперболалық нүктелерден тұратын беттің екі асимптотикалық сызығы бар (мысалы, бір парақты гиперболоидтың түзу сызықты генераторларының екі жүйесі) . Параболалық нүктелерден тұратын беттің асимптотикалық сызықтардың бір жүйесі - түзу сызықты генераторлар жүйесі болады. Беттегі ерікті сызықтардың қасиеттерін әрі қарай зерттеу (ең алдымен сызықтардың қисықтықтары) қалыпты қималардың қисықтықтарымен тығыз байланысты. Еркін G сызығының берілген М нүктесіндегі k қисықтықты формула бойынша есептеуге болады:

мұндағы kn - М нүктесіндегі L кесіндісінің қисаюы, жанама бағыты бойынша Г, ал q - бас нормалар арасындағы осы нүктедегі Г мен L дейінгі бұрыш (Мюнье теоремасын қараңыз) .

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.