Келтірімсіз көпмүшеліктер

Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

Кіріспе . . . 5

1. Негізгі бөлім

1. 1. Көпмүшеліктердің негізгі ұғымдары . . . 6

1. 2. Көпмүшеліктерді қосу және көбейту . . . 8

1. 3. Бүтіндік облысының жай трансцендентік кеңейту . . . 10

1. 4. Көпмүшелікті функция ретінде анықтау . . . 12

1. 5. Келтірімсіз көпмүшеліктер . . . 13

1. 6. Келтірімді көпмүшеліктер . . . 18

1. 7. Көпмүшеліктердің алгебралық және функционалдық теңдігі . . . 19

2. Қорытынды . . . 20

3. Пайдаланылған әдебиеттер . . . 21

КІРІСПЕ

Жоғары математикалық білімнің негізі математикалық анализден, аналитикалық геометриядан және алгебрадан қаланады. Бұл 3 сала әр түрлі болғанымен өзара тығыз байланысты. Оқу құралында алгебраның қарапайым түсініктері, әдістері, сондай-ақ көпмүшеліктер сақинасы қарастырылған. Есептеу математикасының қазіргі таңда тез дамуына байланысты мәселені тез шешуге мүмкіндік беретін алгебраның әдістері де назардан тыс қалған жоқ. Бұл жөнінде коэффиценттері нақты сандар өрісінде болатын көпмүшеліктердің түбірлер саны, оларды жуықтап есептеу әдістері, көп белгісізді көпмүшеліктер, олардың ішінде симметриялы көпмүшеліктер негізіндегі резольтант пен дискриминант теорияларын атап өтуге болады.

Бүтін сандарды жай көбейткіштерге жіктеуге болатын секілді, көпмүшеліктерді де сақинасында жіктеуге болады.

Егер дәрежесі оң көпмүшелігі сақинасында кіші дәрежелі екі көпмүшеліктің көбейтіндісіне жіктелмейтін болса, онда оны бұл өрісте келтірілмейтін көпмүшелік деп атаймыз.

Көпмүшеліктердің бөлгіштер теориясында жай сандардың міндетін келтірілмейтін көпмүшеліктер атқарады.

1. НЕГІЗГІ БӨЛІМ

1. 1. Көпмүшеліктердің негізгі ұғымдары

Кейбір сан коэффициенттерімен алынған х айнымалысының теріс емес бүтін дәрежелерінің қосындысы көпмүшеліктер деп атаймыз.

Жалпы жағдайда х-тің дәрежесі n-нен кем емес, n дәрежелі көпмүшелік

$F(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n - 1} + \ldots + a_{n - 1}x + a_{n}\ (1)$

түрінде жазылзады. Кейбір оқу құралдарында х - ті белгісіз деп атайды.

$a_{0}x^{1} + a_{1}x^{n - 1} + \ldots + a_{n - 1}x + a_{n} = 0$

Теңдеуін шешуге байланысты қабылданған термин деп түсінген жөн. Қабылданған анықтама бойынша $\sqrt[3] {x + 1}, \ \ 1 - \frac{1}{2}, \ \ x + x^{3}$ түрінде жазылған қосындылар көпмүшелік болмайды. Сонымен (1) формулада n көпмүшелік дәрежесі, ал, $a_{0, }a_{1, \ \ \ldots\, }a_{n}$ оның коэффициенттері. Х-тің ең жоғарғы дәрежесіндегі коэффициентті көпмүшеліктің аға коэффициенті деп атайды. (1) формула түрінде жазылған көпмүшелікті оның дәрежесінің кему бойынша жазылуы деп, [2] ал $\ f(x) = a_{0} + a_{1}x + \ldots + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n} - x^{n}$ дәрежесінің өсуі бойынша жазылуы деп атайды.

Анықтама: Айнымалы х-тің n-мен көп әртүрлі мәндерінде дәрежелі n-нен көп әртүрлі мәндерінде дәрежелі n-нен аспайтын көпмүшелік $f(x)$ пен $g(x)$ тең мәндер қабылдаса, онда бұл көпмүшеліктер өзара тең деп аталады.

Тең көпмүшеліктер $f(x) = g(x)$ түрінде жазылады. Жалпы жағдайды көпмүшеліктің анықтау және мәндер облысы комплекс сандар өрісі болуы себепті теңдік мағынасы комплекс сандардың теңдігі мағынасында.

Сонымен, көпмүшеліктер коммунативті жиынды құрайды. Енді көпмүшеліктерге амалдар қолдануды қарастырайық: $f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ldots a_{n}x^{n}; g(x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} + b_{n}x^{n}, \ берілсін\$

1. $f(x)$ =g(x) ;

$a_{0}{= b}_{0; \ }a_{1} = b_{1; }{\ a}_{2} = b_{2}$

2. $f(x) - g(x) = {(a}_{0} - b_{0}) + (a_{1} - b_{1}) + (a_{2} + b_{2}) x^{2} + \ldots(a_{n} - b_{n}) x^{4}$

3. $\left( a_{0} + a_{1}x \right) *\left( b_{0} + b_{1}x \right) = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{0}x + a_{0}b_{1}x$

Шынында $f(x)$ көпмүелігіне қарама-қарсы элемент, оның дәрежесі берілген көпмүшеліктің дәрежесімен тең, ал коэффициенттері бірдей дәрежелі х-тің коэффициенттеріне қарама-қарсы сандар болатынын көрсетеді. Одан сонымен бірге көпмүшеліктер сақинасында 0 саны оның нөлі болатыны шығады.

Көпмүшеліктердің теңдік анықтамасында С өрісіндегі х-тің барлық мәні қарастырылады. Сондықтан теңдігінде 2х-1 көпмүшелігі көпмүшелікке қарама-қарсы болмайды. Қосу, көбейту амалдарының заңдылықтарын тексергенде көпмүшеліктердің теңдігінің алгебралық нұсқасын қабылдаған жөн.

Мысалға, 2 модулі бойынша барлық бүтін сандар екі кластан тұрады, олар $c_{0, }c_{1, }$ яғни 2-ге қалдықсыз бөлінетін сандар $c_{0}$ мен қалдығы бірге тең $c_{1}. \$ Бұл жиынды $z_{2}$ деп белгілесек, онда оның элементтері 0 мен 1.

Шыққан $z_{2}$ өріс, себебі 1+1=0 ал 1*1=1. Коэффициенттері осы өрістен алынған $f(x) + x + 1, \ g(x) = x^{2} + 1$ көпмүшеліктері әртүрлі, ал барлық $z_{2} \ni x$ үшін $F(0) = g(0), \ f(1) = g(1)$ теңдіктері орындалады да қабылданған анықтамаға қайшы болады. Сондықтан кез келген сақинада көпмүшеліктердің теңдігін анықтау үшін көпмүшелік түсінігінің өзін өзгерткен жөн.

Сонымен кез келген өрістегі келтірілген көпмүшеліктер сақина құра отырып қалдық бойынша бөлу алгоритмін, екі көпмүшеліктің ең үлкен ортақ бөлшегін, көпмүшеліктердің бөлгішін, түбірін, қысқасы сан өрісіндегі көпмүшеліктердің негізгі ұғымдарын анықтауға болады. [1]

Көпмүшеліктердің теориясының негіздері - автоматтық басқару жүйелерін синтездеу мен талдау есептерін қарастырады. Бұл математикалық аппаратпен, әртүрлі, әрқандай объектілерді де сипаттап көрсетуге болады. Физикалық, химиялық т. б. мағыналарына қарамай, объектілердегі өтіп жатқан процестерді математикалық көзқарасқа сүйеніп зерттейді.

Көпмүшеліктер теориясы жиындардың (көбінесе жиындардың) жалпы қасиеттері жөніндегі ілім. Шексіз жиындарды сандық түрде салыстыру мүмкіндігі туралы мәселе жиындардың шешілуге тиісті ең алғашқы мәселесі болады.

Қосылғыштарды бөлшектеу мысалы: $a^{2} + 3a + 2 = a^{2} + 2a + a + 2 = a(a + 2) + (a + 2) = (a + 1) (a + 2)$

1. 2. Көпмүшеліктерді қосу және көбейту

$f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \ldots + a_{n}x^{n}\ және\ g(x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} + \ldots + b_{m}x^{m}$ көпмүшеліктері берілсін және n $n < m$ болсын. Сонда:

$F(x) + g(x) = \left( a_{0} + b_{0} \right) + \left( a_{1} + b_{1} \right) x + \left( a_{2} + b_{2} \right) x^{2} + \ldots + \left( a_{m} + b_{m} \right) x^{m} + \ldots + \left( a_{n} + b_{n} \right) x^{n}\ \ b_{m + 1} = \ldots = b_{n} = 0. \ f(x) *g(x) = a_{0}b_{0} + \left( a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0} \right) x + \ldots + \left( a_{0}b_{k} + a_{1}b_{k - 1} + \ldots + a_{k}b_{0} \right) x^{2} + \ldots + a_{n}b_{m}x^{n + m}.$

K сақинасында анықталған х айнымалылы көпмүшеліктер жиынын K[x] деп белгілейді.

Теорема: K[x] жиыны коммунативтік сақина құрайды.

Дәлелдеу: Көпмүшеліктерді қосқанда және көбейткенде олардың коэффициенттеріне амалдар қолданамыз. Сондықтан $f(x) + g(x)$ және $f(x) *g(x)$ көпмүшеліктері де K[x] жиынының көпмүшеліктері болады. Демек, (+) және (*) алгебралық амалдар және коммутативтік, ассоциативтік, дистрибутивтік заңдарға бағынады.

$\lbrack f$ (x) *g(x) *h(x) = f(x) *[g(x) *h(x) ] (1) орындалатынын дәлелдейік.

$F$ (x) *g(x) = $a_{0}b_{0} + \left( a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0} \right) x + \ldots + a_{n}b_{m}x^{n + m}\ \ h(x) = c_{0} + c_{1}x + \ldots + c_{l}x^{l}$

$\left\lbrack f(x) *g(x) \right\rbrack*h(x) = a_{0}b_{0}c_{0} + \left( a_{0}b_{0}c_{1} + a_{0}b_{1}c_{0} \right) x + \ldots + a_{n}b_{m}cx^{n + m + 1}$ (2)

$G(x) *g(x) = b_{0}c_{0} + \left( b_{0}c_{1} + b_{1}c_{0} \right) x + \ldots + b_{m}c_{l}x^{m + 1}.$

$F(x) \left\lbrack g(x) h(x) \right\rbrack = a_{0}b_{0}c_{0} + \left( a_{0}b_{0}c_{1} + a_{0}b_{1}c_{0} + a_{1} + b_{0}c_{0} \right) x + \ldots + a_{n}b_{m}c_{l}x^{n + m + 1}$ (3)

(2) пен (3) салыстыра кетсек, онда (1) орындалатындығын көреміз. K[х] -дегі

f(x) =g(x) (4) теңдеуінің шешуі болады. Айталық, n=m болсын. Тексерейік: $z = \left( b_{0} - a_{0} \right) + \left( b_{1} - a_{1} \right) x + \ldots + (b_{n} - a_{n}) x^{n}$ көпмүшелігін (4) койсақ, онда оны