Теріс санды теріс санға бөлу

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 39 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым министрлігі
Абай атындағы Қазақ Ұлттық Педагогикалық университеті

Қорғауға жіберілді

Математика, физика және информатиканы
оқыту әдістемесі кафедрасының меңгерушісі
п.ғ.д,профессор, ҚРҰҒА-ның
академигі Әбілқасымова А.Е.

Дипломдық жоба
Тақырыбы: 6-сыныпта Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын оқытудың әдістемесі
5В010900 - Математика

Орындағандар: Қуанышбек Данияр
Қоқыш Еркебұлан
Еркінова Әсем

Ғылыми жетекші: Қосанов Б.М

Алматы,2021ж
Мазмұны
Кіріспе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын
оқытудың теориялық негіздері . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
0.1 Рационал сан және рационал сандар жиыны ұғымдары
туралы түсінік . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.2Рационал сандарға қолданылатын амалдар. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.3 Рационал сандар және оларға амалдар қолдану туралы
түсініктердің қалыптасуы мен дамуына байланысты тарихи мәліметтер. . .29
2. Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын
оқытудың тәжірибесі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын
оқытудың әдістемелік негіздері . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Педагогикалық тәжірибе жұмыстарының мазмұны және
оның нәтижелері . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
Қорытынды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
Пайдаланылған әдебиет тізімі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Қосымшалар. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Кіріспе

Дипломдық жобаның жалпы сипаттамасы. Дипломдық жоба негізгі мектеп математика курсындағы іргелі және аса маңызды тақырыптардың біріне арналған, онда 6-сынып математика курсындағы Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын оқытудың әдістемесі қарастырылған.
Кіріспеде дипломдық жобаның жалпы сипаттамасы келтіріліп, жоба тақырыбының бүгінгі күн талаптары тұрғысынан алып қарағандағы өзектілігі дәлелденген, сондай-ақ дипломдық жобаның мақсат-міндеттері тұжырымдалып, дипломдық жоба тақырыбының теориялық маңыздылығы мен практикалық маңыздылығы ашып көрсетілген. Сонымен қатар мұнда зерттеудің нысаны мен негізгі дереккөздері келтіріліп, дипломдық жобаның теориялық және әдіснамалық негіздеріне сипаттама берілген.
Дипломдық жобаның негізгі мазмұны Рационал сандар және оларға амалдар қолданудың теориялық негіздері және Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын оқытудың тәжірибесі атты екі тараудан тұрады.
Бірінші тараудың Рационал сан және рационал сандар жиыны ұғымдары туралы түсінік атты бірінші тақырыбында сандар жиынына негіз болатын натурал сандар мен бүтін сандардан бастап қарастырдық. Сонымен қатар, тақырыпты меңгеруде қажет болған ұғымдар мен түсініктерді ашып көрсеттік және рационал сан туралы жалпы мәлімет берілді. Екінші тақырып Рационал сандарға қолданылатын амалдар деп аталған, мұнда рационал сандарды қосудың және көбейтудің заңдары мен қасиеттерін, азайту және бөлу амалдарының орындалу реттілігі мен координаталық түзудегі екі нүктенің арақашықтығы анықтамаларын бере отырып, рационал сандарды салыстыру анықтамасында ашып көрсеттік. Рационал сандардың периодты ондық бөлшек түрінде жазылуы мен шектеусіз периодты ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдыру анықтамасында қамтыдық. Рационал сандар және оларға амалдар қолдану туралы түсініктердің қалыптасуы мен дамуына байланысты тарихи мәліметтер деп аталған үшінші тақырыпта санның кеңюі туралы жалпы әрі нақты анықтама берілген. Ең алғашқы санның пайда болу тарихынан бастау алған бұл тарауда рационал сандардың пайда болу тарихы ашып көрсетілген.
Екінші тараудың Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын оқытудың әдістемелік негіздері атты бірінші тақырыбында осы тақырыпты оқытуға арналған ең қолайлы бірнеше әдіс-тәсілдер қарастырылды және олардың анықтамалары ашып көрсетілді. Осы тараудың Педагогикалық тәжірибе жұмыстарының мазмұны және оның нәтижелері атты екінші тақырыбында осы тараудың бірінші тақырыбында берілген әдіс-тәсілдер қолданыла отырып жүргізілген тәжірибе жұмысының барысы мен алынған сынақтық тапсырмалар көсетілген және оның нәтижесін диаграмма арқылы бердік.
Дипломдық жобаның Қорытынды атты бөлімінде жалпы жинақталған тәжірибе мен дипломдық жобаның жұмыс кезеңінде қол жеткізген нәтижені қорытындыладық.
Дипломдық жобаның өзектілігі. Жалпы алғанда, рационал сан ұғымы орта мектептің математика курсында қалыптастырылатын негізгі және басты ұғымдардың бірі болып табылады. Бұған дейін бастауыш мектептің математика курсында негізінен алғанда, оқушылардың натурал сандармен және оларға амалдар қолданумен байланысты білім, білік және дағдылары қалыптастырылады. Ал 5-сыныптан бастап, біртіндеп оқушылардың сан ұғымы жайындағы түсініктерін онан әрі кеңейту жұмыстары басталады. Осылайша, мұнда табиғаты мүлде жаңа - бөлшек сан туралы түсініктерді қалыптастыру жүзеге асырылады. Келесі кезекте, 6-сыныпта оқушылардың сан туралы түсініктері одан әрі кеңейтіле отырып, рационал сан ұғымы енгізіледі. Оқу бағдарламасы бойынша, 6-сыныптың соңына қарай оқушыларда бір-бірінен мүлде өзгеше, натурал сан, бөлшек сан, жай бөлшек, ондық бөлшек, рационал сан және олардың әрқайсысымен байланысты дұрыс бөлшек, бұрыс бөлшек, аралас сан,бүтін сан, теріс емес бүтін сан сияқты әртүрлі ұғымдар жүйесін қалыптастыру мақсаты жүзеге асырылады. Мектеп тәжірибесіне қарағанда, 6-сынып оқушыларының көпшілік бөлігінің сандардың осы түрлерін ажырата алмайтындықтары және осы себепті сандардың осы түрлерімен байланысты кейбір есептерді шеше алмайтындықтары аңғарылады. Біз педагогикалық практикадан өту барысында да осындай жағдайлардың орын алатындығын байқадық. Осы айтылған жағдайлар біздің дипломдық жоба ретінде 6-сыныпта Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын оқытудың әдістемесіатты тақырыпты таңдап алуымызға себеп болды.
Дипломдық жобаның мақсаты: 6-сыныпта Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын оқытудың әдістемесін зерделеу және тараудың кейбір тақырыптарын оқытумен байланысты әдістемелік ұсыныстар жасау.
Дипломдық жобаның міндеттері:
-Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын оқытудың теориялық негіздеріне сипаттама беру;
-Рационал сандар және оларға амалдар қолдану туралы түсініктердің қалыптасуы мен дамуына байланысты тарихи мәліметтерге шолу жасау;
-Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын оқытудың әдістемелік негіздерін зерделеу;
-тараудың кейбір тақырыптарын оқытумен байланысты нақты әдістемелік ұсыныстар жасау.
Дипломдық жобаның теориялық маңыздылығы. Тұтастық принцип негізінде 6-сыныпта Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауы бойынша математикалық есептер және математиканы оқыту процесінде оқушылардың оқу іс-әрекеттерін қалыптастыруға бағытталған бірнеше әдіс-тәсілдерден тұрады. Сонымен қатар, осы әдіс-тәсілдерді қолданудың тиімді тәсілдері ұсынылған.
Дипломдық жобаның практикалық маңыздылығы. Оқыту процесінде оқушыларды есептерді шығарға оқыту мен оқу іс-әрекеттерін ұйымдастыру бойынша әдістемелік ұсынымдарды математика мұғалімдері өздерінің практикалық қызметтерінде оқушылардың білім, білік және дағдыларының сапасын арттыру үшін тиімді пайдалана алады. Зерттеу нәтижелерін орта мектепте және жоғары оқу орындарында болашақ математика мұғалімдерін даярлауда математиканы оқыту мазмұны мен әдістемесін жетілдіруде пайдалануға болады.
Зерттеу нысаны мен негізгі дереккөздер. Дипломдық жобаның зерттеу нысаны 6-сыныпта Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын оқыту процесі болып табылады.
Дипломдық жобаның теориялық және әдіснамалық негіздері.
6-сыныпта Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын оқытудың теориясы және әдіс-тәсілдері; оқу процесін ұйымдастыру дағы тұлғаға бағытталған теориясы; математикадан есептер шығаруды оқыту мәселелері бойынша белгілі ғалым-педагогтардың, әдіскерлердің жұмыстары.
Дипломдық жобаның құрылымы. Дипломдық жоба негізінен алғанда, Кіріспеден, әрқайсысы сәйкесінше, бірнеше тақырыптардан тұратын екі тараудан, Қорытындыдан, Пайдаланылған әдебиет тізімінен және Қосымшалар атты бөлімнен тұрады.
Зерттеу кезеңдері:
Бірінші кезеңде дипломдық жобаның тақырыбы таңдалып, жетекші тағайындалды. Жетекші түсініктеме жұмыстарын жүргізіп, құрылымы жасалды. Мәліметтер жинақтауға әдебиет тізімін негізделді.
Екінші кезеңде жоба тақырыбының теорилық негіздеріне байланысты материалдар жинақталды.
Үшінші кезеңде зерттеліп отырған тақырып бойынша әдістеме жүйеленді. 6 сыныптың математика оқулығына талдау жасалынды. Алматы облысы, Кеген ауданы, Тасшы орта мектебінің 6 сыныбының математика сабақтарына қатысу жүргізілді.
Төртінші кезеңде дипломдық жоба материалдары жүйеге келтіріліп, Абай атындағы Қазақ ұлттық педагогикалық университетінің ректоры Т.О.Балықбаевтың 30 маусымында бекітілген дипломдық жобаны орындауға арналған әдістемелік нұсқаулыққа негізделді. Дипломдық жобаның соңғы нұсқасы ғылыми жетекшіге ұсынылды.
Ұсынылған материал бойынша оқытуды ұйымдастыру бойынша мұғалімдерге арналған әдістемелік ұсынымдар әзірленді.
Пайдаланылған әдебиет тізімі бөлімінде зерттеу барысында таңдалған педагогикалық, әдістемелік және арнаулы әдебиеттер қамтылған.
Қосымшаларда зерттеу барысында қолданылған материалдар келтірілген.
1. Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын оқытудың теориялық негіздері
1.1Рационал сан және рационал сандар жиыны ұғымдары туралы
түсінік

6-сыныптың математика курсында Рационал сандар және оларға амалдар қолдану тарауын оқып-үйрену және меңгеру мектеп оқушысы үшін едәуір күрделі мәселе екендігі белгілі. Себебі, мұнда математика курсындағы рацинал сандарды ондық бөлшектермен өрнектеу, санның модулі, теріс сандарды қосу, рационал сандарды көбейту және бөлу, шектеусіз приодты ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдыру ұғымдарын меңгеру қажет болады.
Жалпы алғанда, бұл тарау мына сияқты ұғымдар мен түсініктерді меңгеруді қамтиды:
1.Рационал сандардың қасиеттері;
2.Жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдыру;
3.Ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдыру;
4.Периодты бөлшектер;
Енді осы ұғымдардың мән-мағыналарын ашып көрсетейік. Ол үшін ең алдымен сандар жиынына негіз болатын натурал сандар мен бүтін сандардан бастап жүйелілікпен қарастырайық.
Натурал сандарды N=1;2;3;... заттарды санау қажеттілігінен, яғни Берілген жиын қанша элементтен тұрады? - деген сұраққа жауап беру қажеттілігіне байланысты пайда болған. Мысал келтірсек, сонда дүкен сөрелерінде санап шыққанда нан саны: бірінші сөреде 4 нан болса, екінші сөреде 5 нан және тағы сол сияқты дейміз. Егер нан сөрелерінің бірінде нан болмаса, онда ол сөреде нөл нан бар дейміз.
Егер N=1;2;3;...натурал сандар жиынын 0 санымен толықтырсақ, Z=0;1;2;3;... теріс емес бүтін сандар жиыны шығады.
Өмір талаптарынан туындаған есептерді шешуге, демек, белгілі ақиқат жағдайды бейнелейтін математикалық есептерді шешуге бір ғана теріс емес бүтін сандар жеткіліксіз болады. Сонда, ауаның нөлден жоғары және нөлден төмен температурасын, сол сияқты қарама-қарсы бағыттардағы қозғалысты бейнелеу үшін, қарама-қарсы сандар керек болады. Мысалы, ауаның алты градус жылылық пен алты градус аяздағы температурасы сәйкес 6оС және -6оС арқылы бейнеленеді. 6 және -6 сандары қарама-қарсы сандар деп аталады: -6 саны 6-ға, ал 6 саны -6-ға қарама-қарсы.
Жалпы жағдайда, n натурал саны үшін - n қарама-қарсы, ал -n үшін n қарама-қарсы болады. Нөл өзіне өзі қарама-қарсы сан деп атайды.
Натурал сандар, оларға қарама-қарсы сандар және нөл бүтін сандар жиынын құрайды. Бүтін сандар жиынында қосу, азайту және көбейту амалдары орындалып, осы амалдар нәтижесі бүтін сан болады. Бүтін сандар жиынында бөлу амалы кез келген екі бүтін сан үшін орындала бермейді. Мысалы, нәтижеде бүтін сан шығатындай етіп, екі санын үш санына бөлуге болмайды.
Жай бөлшектер деп mn, m∈N,n∈N түріндегі санды айтады, мысалы 1217,158. Мұндағы m бөлшектің алымы, ал n - бөлшектің бөлімі деп аталады.Егер n=1 болса m1 болады да, оны m деп жазады. Бұдан, кез-келген натурал санды бөлімі 1 болатын жай бөлшек түрінде жазуға болатынын көреміз. mn бөлшегін mn түрінде жазуға болады.
Егер алымы бөлімінен кіші болса, mn - дұрыс бөлшек, ал алымы бөлімінен үлкен немесе бөліміне тең болса, mn - бұрыс бөлшек деп аталады.
Натурал сан мен дұрыс бөлшектің қосындысын қосу белгісін көрсетпей жазу қабылданған яғни 5+35 орнына 535 жазылады. Осы түрде ("+"көрсетпей) жазылған сан аралас сан деп аталады. Аралас сан екі бөліктен: бүтін және бөлшек бөліктерден тұрады. 3+413 санының бүтін бөлігі 3-ке, ал бөлшек бөлігі 413-ке тең.
Кез-келген бұрыс бөлшекті аралас сан түрінде жазуға болады. Ол үшін алымын бөліміне қалдықпен бөлу керек. Сонда бөлінді санның бүтін бөлігі болады да, қалдық - алымы, ал бөлгіш - бөлімі болады. Мысалы, 263=823
Сол сияқты, кез-келген аралас санды немесе натурал санды бұрыс бөлшек түрінде жазуға болады. Ол үшін оның бүтін бөлігін бөлшектің бөліміне көбейтіп, шыққан көбейтіндіні бөлшектің алымына қосып, алым етіп жазып, бөлімін сол күйінде қалдыру керек.
Мысалы: 713=7*3+13=223; 823=8*3+23=263; 6=61;
Натурал сандар, оған қарама-қарсы сандар және 0 саны бүтін сандар жиынын құрайды. Бүтін сандар жиыны Z әрпімен белгіленеді.
Z=( ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). Бүтін сандар жиыны - шектеусіз жиын.
Оң сандар және нөл саны координаталық сәуле бойында нүктелермен кескінделеді. Теріс сандарды кескіндеу үшін координаталық сәулені түзуге дейін толықтыру керек. Мұндай түзуді координаталық түзу деп атайды.
Координаталық түзуде: О - санақ басы, ОА бірлік кесіндісі және оң бағыты көрсетілген. Координаталық түзу дегеніміз санақ басы болатын О нүктесі және оң бағыты көрсетілген, бірлік кесіндісі таңдап алынған түзу.
Координаталық түзудің (горизонталь орналасқан) О нүктесінен оңға қарай бағытты оң бағыт деп атау қабылданылған. Оң бағыт нұсқармен (стрелкамен) көрсетіледі. Оң бағытта кескінделген сандарды оң сандар деп атайды. Координаталық түзудегі оң бағытқа қарама-қарсы (солға қарай) бағыт теріс бағыт деп аталады және осы бағытта кескінделген сандарды теріс сандар деп атайды. Егер координаталық түзу вертикаль орналасса, онда О нүктесінен жоғары қарай оң сандар, ал төмен қарай теріс сандар кескінделеді. 0 (нөл) саны оң сандарға да, теріс сандарға да жатпайды.
Координаталық түзу бойында 0 саны О (санақ басы) нүктесімен кескінделеді. Берілген санға координаталық түзу бойында бір ғана нүкте сәйкескеледі. Демек, қарама-қарсы сандар координаталық түзу бойында санақ басынан - О нүктесінен бірдей қашықтықта, бірақ қарама қарсы бағытта орналасады. Бір-бірінен тек қана таңбаларымен ажыратылатын сандар қарама-қарсы сандар деп аталады. Мысалы, -2 және 2, -0,6 және 0,6 сандары - бір-біріне қарама-қарсы сандар.
1. Оң санға қарама-қарсы сан теріс сан болады.
Мысалы, 7 санына қарама-қарсы сан -7 саны. 0,9 санына қарама-қарсы сан -0,9 саны.
2. Теріс санға қарама-қарсы сан оң сан болады. (-a) = a.
Мысалы, - 3 санына қарама-қарсы сан 3 саны. - 2 санына қарама-қарсы сан 2 - саны.0 (нөл) саны өзіне-өзі қарама-қарсы сан. Әрбір санға бір ғана қарама-қарсы сан бар.
Шамаларды бөлуге және өлшеуге байланысты практикалық есептерді шешу, бүтін сандар жиынын кеңейтуге, яғни бөлшек сандарды енгізу қажеттілігіне әкеледі. Бүтін және бөлшек сандарды рационал сандар дейді. Рационал сандар жиыны Q әрпімен белгіленеді. Q әрпі француз тіліндегі quotient (қазақшаға аударғанда қатынас) сөзінің бас әрпі. Рационал сандар жиынына толығырақ тоқталайық.
pn түріндегі сандарды оң рационал сандар дейді. Мұндағы p және n - натурал сандар. Мұндай сандарды оң жай бөлшектер деп те атайды. p-саны бөлшектің алымы, n-саны бөлшектің бөлімі деп те аталады.
-pn түріндегі сандарды теріс рационал сандар дейді. Мұндағы p және n - натурал сандар. Оларды теріс жай бөлшектер деп те атайды.
Кез келген оң және теріс бүтін санды бөлімі бірге тең бөлшек сан түрінде өрнектеуге болады. Мысалы, 2=21; -3=-31.
Нөл санын алымы нөлге тең бөлшек сан түрінде өрнектеуге болады:
0=01=02=...
Егер екі жай бөлшектің бірі екіншісінің алымы мен бөлімін бірдей натурал санға көбейтуден шықса, онда мұндай жай бөлшектерді тең дейді. Мысалы,
13=26=39, -12=-510
Кез келген екі жай бөлшек үшін қосу, азайту, көбейту және бөлу (нөлге бөлуден басқа) амалдары анықталған.
Барлық жай бөлшектер (оң, теріс және нөл) жиыны Q рационал сандар жиынын құрайды. Сонымен mn қатынасы түрінде жазуға болатын сандар рационал сандар жиынын кұрайды, мұндағы, mϵZ, nϵN. Кез келген рационал санды бүтін санның натурал санға қатынасы түрінде жазуға болады. Натурал сандар жиыны (N) бүтін сандар жиынының (Z) ішкі жиыны. Бүтін сандар жиыны рационал сандар жиынының (Q) ішкі жиыны.

1.2Рационал сандарға қолданылатын амалдар
Анықтама. Егер рационал а және b сандары mn және pn (мұндағы m, p∈Z, n∈Z ) бөлшектері түрінде өрнектелсе, онда а мен b сандарының қосындысы деп m+pn бөлшегімен өрнектелетін санды айтады: mn+pn=m+pn.
Егер рационал а және b сандары бөлімдері әр түрлі бөлшектер ретінде берілсе, онда бұл бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіріп, сонан кейін жоғарыдағы ереже көмөгімен қосады. Бұл ереже шындығында, рационал сандарды қосуды бүтін сандарды қосуға келтіреді.
Анықтама. Егер рационал a және b сандары pq және mn бөлшектері түрінде өрнентелсе, онда олардың көбейтіндісіmpnq бөлшегімен өрнектелетін сан болады:mnxpq=mpnq, мұндағы mp және nq бүтін сандарды көбейту ережесі арқылы анықталатын көбейтінділер. Бұл ереже, шын мәнісінде, рационал сандарды көбейтуді бүтін сандарды көбейтуге келтіреді.
Рационал сандарды азайту мен бөлу амалдары қосуға және көбейтуге кері (сәйкес) амал ретінде анықталады.
Анықтама. Рационал а және b айырмасы деп а=b+с болатындай рационал с санын айтады.
Анықтама. Рационал а және b сандарының бөліндісі деп a=bxc болатындай рационал с санын айтады.
Сәйкес түрде: mn және pq бөлшектерімен берілген екі рационал а және b сандарының айырмасы мына ереже бойынша табылады: mn-pq=mq-pnnq, мұндағы mq-pn бүтін сандарды азайту ережесі арқылы анықталатын айырма.
Екі рационал санның бөліндісін мына ереже бойынша табады: mnpq=mqnp
Қосудың және көбейтудің заңдары мен қасиеттері
Теорема. Q жиынындағы қосу амалы мынадай қасиеттерге ие болады:
1. Коммутативтілік: кез келген а, b∈Q үшін а+b=b+а;
2. Ассоциативтілік: кез келген а, b, c∈Q үшін (а+ b)+c=a+(b+c);
3. Қайтымдылық: кез келген а,b∈Q үшін a+c=b теңдігі орындалатындай c∈Q саны табылады,
4. Қысқартымдылық: кез келген а,b,c ∈Q үшін a+c=b+c теңдігінен а=b екендігі келіп шығады.
2-теорема. Q жиынындағы көбейту амалы мынадай қасиеттерге ие болады:
1. Коммутативтілік: кез келген а,b∈ Q үшін ax b = b xa;
2. Ассоциативтілік: кез келген а, b, c ∈ Q үшін (а x b) xс = a x(b x c);
3. Қайтымдылық: кез келген а, b∈Q (мұндағы b!=0) үшін a=bxс теңдігі орындалатындай c∈Q саны табылады.
4. Қысқартымдылық: кез келген а,b,c ∈ Q үшін axc=bxс теңдігінен а=b екендігі келіп шығады.
3-теорема. Қосумен көбейтуамалдары дистрибутивтілікқасиет арқылы байланысады: (a+b)xс=аxс+bxс, мүндағы a,b,c∈Q;
Азайту мен көбейту амалдары дистрибутивтілік қасиетарқылы байланысады: (a-b)xс=аxс-bxс, мұндағы а,b,c∈Q;
Рационал сандарды координаталық түзудің көмегімен қосуда берілген
санға сәйкес нүктені координаталық түзу бойында жылжытып орын ауыс-
тыру тәсілі пайдаланылады. Рационал сандарды координаталық түзудің көмегімен қосуда өрнектегі + таңбасы берілген санға сәйкес нүктенің оң бағытта жылжитындығын білдірсе, - таңбасы теріс бағытта жылжитындығын білдіреді.
Координаталық түзудің көмегімен а және b рационал сандарының қосындысын табу үшін:
1. координаталық түзу бойында а санына сәйкес А нүктесін
белгілеу керек;
2. a) erep b - оң сан (b0) болса, онда А (а) нүктесін оң бағытта
b бірлік кесіндіге жылжыту керек. Сонда А (а) нүктесі координатасы
a+b-ға тең В нүктесіне ауысады. В (a+b);
a) erep b - теріс сан (b0) болса, онда А (а) нүктесін теріс бағытта
b бірлік кесіндіге жылжыту керек.
Сонда А (а) нүктесі b-ға тең В нүктесіне ауысады. В (a b).
Қосындының мәнін тапқанда нүктені координаталық түзу бойымен
жылжыту координаталық түзудің санақ басынан - О нүктесінен немесе
оның кез келген нүктесінен басталуы мүмкін.
а санына b санын қосу - а санын b бірлікке өзгерту болып табылады.
Қарама-қарсы сандардың қосындысы 0-ге тең, а+(-а)=0. Кез келген санға нөлді қосқаннан сан өзгермейді a+0=a.
Теріс сандарды қосу:
3 + 4 = -7.
Екі теріс санды қосу үшін;
1) қосылғыштардың модульдерін қосу керек;
2) шыққан санның алдына минус (-) таңбасын қою керек.
Екі теріс санның қоысындысы - теріс сан.
Таңбалары әр түрлі сандарды қосу.
Таңбалары әр түрлі, модульдері тең емес екі санды қосу үшін:
1) үлкен модульден кіші модульді азайту керек;
2) шыққан санның алдына модулі үлкен қосылғыштың таңбасын қою керек.
Алгебралық қосынды.
Қосудың ауыстырымдылық және терімділік қасиеттерін пайдаланып, алгебралық қосындының мәнін табу керек.
Оң сандардың және теріс сандардың қосындысы түрінде жазылған өрнек алгебралық қосынды деп аталады.
Қосудың ауыстырымдылық қасиеті.
Қосылғыштардың орындарын ауыстырғаннан қосындының мәні өзгермейді.
Кез келген а және b рационал сандары үшін: a + b = b + a.
Қосудың терімділік қасиеті.
Екі санның қосындысына үшінші санды қосу үшін бірінші санға екінші сан мен үшінші санның қосындысын қосуға болады. Кез келген а, b және с рационал сандары үшін: a+b+c=a+(b+c)
Рационал сандарды азайту. Координаталық түзудегі кесіндінің ұзындығы
Азайту - екі қосылғыштың қосындысы және қосылғыштардың біреуі бойынша екінші (белгісіз) қосылғышты табу амалы.
Бір саннан екінші санды азайту үшін, азайғышқа азайтқышқа қарама- қарсы санды қосу керек:
a-b = а+ (-b).
Азайту амалының ерекше жағдайлары:
a - a = 0; 0 - а=-a; a - 0 = a. Мысалы: - 5 - (-5) = - 5 + 5 = 0; 0 - 2,7 = - 2,7; - 4,1 - 0 = - 4,1.
Координаталық түзудегі кесіндінің ұзындығын табу үшін, оның оң жақ шеткі нүктесінің координатасынан сол жақ шеткі нүктесінің координатасын азайту керек.
Координаталық түзудегі екі нүктенің арақашықтығы
Координаталық түзудегі А(а) және B(b) нүктелерінің арақашықтығы берілген нүктелердің координаталары айырмасының модуліне тең: a-b
Рационал сандарды көбейту
Таңбалары әр түрлі екі санның көбейтіндісінің мәні теріс сан.
+x-=-
-x+=(-)
Таңбалары әр түрлі екі санды көбейту үшін:
1) осы сандардың модульдерін көбейту керек;
2) көбейтіндінің мәнінің алдына - таңбасын қою керек.
Екі теріс санның көбейтіндісі - оң сан.
-x-=+
Екі теріс санды көбейту үшін, осы сандардың модульдерін көбейту керек.
Егер көбейткіштердің кемінде біреуі нөлге тең болса, онда көбейтінді де нөлге тең болады.
Рационал сандарды көбейтудің ауыстырымдылық, терімділік қасиеттері. Алгебралық өрнектің коэффициенті
Көбейткіштердің орындарын ауыстырғаннан көбейтіндінің мәніөзгермейді.
axb=bxa
а және b кез келген рационал сандар.
Рационал сандарды көбейтудің терімділік қасиеті.
Екі санның көбейтіндісін үшінші санға көбейту үшін, бірінші санды екінші санның және үшінші санның көбейтіндісіне көбейтуге болады.
axbxc=ax(bxc)
Алгебралық өрнектің коэффициенті.
Мысалы, -7,2ab алгебралық өрнегіндегі (-7,2) - сан көбейткіш, ал, а және b - әріп көбейткіштер.
Мүндағы, -7,2 сан көбейткіші -7,2ab алгебралық өрнегінің коэффициенті деп аталады. Коэффициентті әдетте әріп көбейткіштердің алдына жазады. Егер коэффициент -1-ге тең болса, -1 коэффициентінің орнына - таңбасы ғана жазылады.
Мысалы, -1ab өрнегі -ab түрінде жазылады. Көбейтудің ауыстырымдылық және терімділік қасиеттерін пайдаланып, сан көбейткіштер бөлек, әріп көбейткіштер бөлек топтастырылып жазылып, өрнек ықшамдалады.
Рационал сандарды бөлу
1.Таңбалары әр түрлі сандарды бөлу.
Бөлінгіш пен бөлгіштің таңбалары әр түрлі болса, бөліндінің мәні теріс сан болады.
+-=-
-+=(-)
Таңбалары әр түрлі сандарды бөлу үшін:
-бөлінгіштің модулін бөлгіштің модуліне бөлу керек;
-шыққан бөліндінің алдына - таңбасын қою керек.
2.Теріс санды теріс санға бөлу.
Бөлінгіш пен бөлгіштің таңбалары бірдей болса, бөліндінің мәні оң сан болады.
--=(+)
++=(+)
Теріс санды теріс санға бөлу үшін,бөлінгіштің модулін бөлгіштің модуліне бөлу керек.
Санның модулі
Берілген сан координаталық түзу бойында, санақ басынан (0
нүктесінен) белгілі бір қашықтықта кескінделеді. Қашықтық әрқашан
оң санмен өрнектеледі.
а санының модулі дегеніміз координаталық түзудегі координатасы
а-ға тең нүктенің санақ басынан қашықтығы (бірлік кесінді есебімен).
Жазылуы: a=a.
Модуль латынша modulus - қазақша "мөлшер" деген мағынаны
білдіреді. Кейбір жағдайда модульдің орнына абсолюттік шамадеп
те атайды.
Оң санның модулі.
Координаталық түзу бойындағы A(5) нүктесі санақ басы -
нүктесінен 5 бірлік кесіндіге тең қашықтықта. Демек, 5 санының модулі
5-ке тең.
Жазылуы: 5=5
Оңылуы: "5 санының модулі 5-ке тең".
Оң санның модулі сол санның өзіне тең.
Мысалы: 9,2 = 9,2;
Теріс санның модулі.
-4 санының модулін табайық, -40.
Координаталық түзу бойында - 4 саны В (-4)
Координаталалық түзу бойында В (-4) нүктесі санақ басы - О нүктесінен 4 бірлік кесіндіге тең қашықтықта. Онда -4 санының модулі
4-ке тең.
Жазылуы: 4=4.
Оқылуы: " -4 санының модулі 4-ке тең".
Теріс санның модулі оған қарама-қарсы санға тең.
Мысалдар:-9,2 = -(-9,2) = 9,2 немесе -9,2 = 9,2.
Нөл санының модулі.
Координаталық түзуде 0 санын кескіндейтін нүкте санақ басымен
(О нүктесімен) беттеседі. Онда 0=0.
Нөл санының модулі 0-ге тең.
Санның модулін табудың анықтамасы әріппен мына түрде жазылады:
а, егер а 0, болса;0, егер а=0 болса;-а, егер а0 болса;
Мысалы, 6 және -7 сандарының модульдерін табайық.
1) 60, онда (6) = 6 ;
2) -70, онда -7 = -(-7) = 7; -7 = 7
Нөлден өзге кез келген бүтін санның модулі - оң сан.
Қарама-қарсы сандардың модульдері.
-3 және 3 қарама-қарсы сандарының модульдерін қарастырайық. Қарама-қарсы сандар координаталық түзуде санақ басынан (О нүктесінен) бірдей қашықтықта, қарама-қарсы бағыттарда кескінделетіні белгілі
Онда -3=3
Қарама-қарсы сандардың модульдері тең: -a=a
Қарама-қарсы сандар модульдері бірдей, бірақ таңбалары әр-түрлі сандар.
Рационал сандарды салыстыру
Координаталық түзу бойында 3 санын кескіндейтін А нүктесі сол жақта, ал 2 санын кескіндейтін В нүктесі оң жақта кескінделеді.
-3 2.
Координаталық түзу бойында салыстырылатын сандардың үлкені оң жақта, ал одан кіші сан оның сол жағында кескінделеді.
Оң сандарды 0 санымен және теріс сандармен салыстыру.
Координаталық түзубойында оң сан 0 санының және теріс сандардың
оң жағындағы нүктелермен кескінделеді.
Кез келген оң сан 0-ден үлкен және кез келген теріс саннан үлкен
Кез келген теріс сан 0-ден кіші және кез келген оң саннан кіші.
1 -100; -0,8 0; -99 6.
Екі теріс санды салыстыру.
Екі теріс санның қайсысының модулі кіші болса, сол сан үлкен.
Мысалдар: -10-4, онда -10-4;
Ондық бөлшектер
Егер жай бөлшектің бөлімі 10 санының натурал дәрежесі болса, онда оны шектеулі ондық бөлшек түрінде жазуға болады.
Мысалы, 310=0,3; 2310=2,3; 123100=1,23; -710=-0,7; -1710=-1,7.
1-мысал. Төмендегі ондық бөлшектерді қысқармайтын жай бөлшектер түрінде жазу керек: 0,2; -0,25; 1,4.
Орындалатыны 0,2=210=15; -0,25=-25100=-14; 1,4=1410=75.
Кері тұжырым да дұрыс: егер бөлшек бөлімінің 2 мен 5 сандарынан басқа жай бөлшектері болмаса, онда бөлшекті шектеулі оныдық бөлшек түрінде өрнектеуге болады. Бұл үшін, бөлшектің алымы мен бөлімін 2 мен 5-тің сәйкес дәрежелеріне көбейту керек, тіпті алымын бөліміне "бұрышпен бөлу" тәсілін қолдануға болады.
2-мысал. Төмендегі жай бөлшектерді ондық бөлшектер түрінде жазу керек:
625, -720,350.
Алымы мен бөлімін 2 мен 5 сандарының дәрежелеріне көбейту тәсілін қолданғанда алатындарымыз:
625=6*4100=0,25; -720=-7*5100=-0,35; 350=3*2100=0,06
Алымын бөліміне "бұрыштап бөлу" тәсілін қолданғанда да осындай нәтижеге ие боламыз.
Егер қысқармайтын жай бөлшектің бөлімінде 2 мен 5-тен басқа жай бөлгіш болса, онда бөлшек шектеулі ондық бөлшек түрінде жазылмайды. Оған "бұрыштап бөлу" тәсілін қолданғанымызбен де шектеулі ондық бөлшек шықпайды.
Мысалы, 13=0,333...;-13=-0,333... . Мұндағы нүктелер 3 цифрдың шектеусіз периодты қайталанатынын білдіреді. Сол сияқты 59=0,555...;-59=0,555...;0,333...; -0,333... түріндегі өрнектер шектеусіз ондық бөлшектер аталады.
Сонымен, әр бір рационал сан шектеулі немесе шектеусіз ондық бөлшек түрінде өрнектеледі: а0,а1,а2,а3...
Мұндағы а0- бүтін сан, ал а1,а2,а3... 0,1,2...,9 цифрларының бірі болып табылады.
Бөлімі 10,100,1000,..., яғни 10 - ның қандай да бір дәрежесіне: 10n,n∈N тең бөлшекті ақырлы ондық бөлшек түрінде жазуға болады.
Мысалы: 7100;12437100;234100000 жай бөлшектері ақырлы ондық бөлшек түрінде, сәйкес жай бөлшектердің ондық жіктелуі деп аталады.
Сонымен бірге
7100=0,07; 12437100=12,437;234100000=0,00234 теңдіктерін жазып, берілген жай бөлшектер ақырлы ондық бөлшектерге жіктеледі деп айтады.
Мысалы, 7100 мен 0,07 бір ғана санның түрлі белгіленулері екені есте болуы керек: бірінші белгілеу - жай бөлшек түрінде, ал екіншісі - ақырлы ондық бөлшек түрінде.
Сонымен бірге, кез-келген ақырлы ондық бөлшекті p∈N,q=10n болатындай pq жай бөлшегі түрінде жаза аламыз.
Мысалы: 3,0122=30122104; 0,00012=12103.
Сөйтіп, pq жай бөлшегінің бөлімі 10 санының қандай да бір дәрежесі болса, онда ол бөлшекті ақырлы ондық бөлшекке жіктеуге болады екен.
Керісінше, ақырлы ондық бөлшек - бөлімі 10-ның қандай да бір дәрежесі болатын жай бөлшектің ондық жіктелуі екендігін білеміз.
Натурал сан ақырлы ондық бөлшектің дербес жағдайы екенін ескертеміз, мысалы: 3=3,0=3,00=3,000=...
Жалпы жағдайда мына теорема орын алады:
Қысқартылмайтын pq бөлшегі ақырлы ондық бөлшекке жіктелуі үшін, оның q бөлімінің 2 мен 5 - тен басқа жай бөлшектері болмауы қажетті және жеткілікті.
Мысалдар. Берілген 45 бөлшегін ақырлы ондық бөлшекке жіктеу керек.
Шешімі:
Бөлшектің бөлімі 10n тең болатындай етіп түрлендіру. Ол үшін бөлшектің алымы мен бөлімін 2-ге көбейту керек екенін көреміз:
45=4*25*2=810=0,8
Бөлшектің негізі қасиетін пайдалана отырып 7,234 бөлшегін төмендегіше жазуға болады:
7,234=72341000=7234010000=723400100 000=...,
Бұдан, 7,234=7,2340=7,23400=..., екенін көреміз. Сонымен, ондық бөлшектің оң жағына нөлдерді қосып жазғаннан немесе ондық бөлшектің оң жағындағы нөлдерді алып тастағаннан ондық бөлшек өзгермейді.
Рационал сандар және шектеусіз периодты ондық бөлшектер.
Тиянақты Т орыннан бастап барлық ондық таңбалары периодты қайталанатын шектеусіз ондық бөлшекті периодты ондық бөлшек дейді. Мысалы, 0,333...; -0,333...; 1,444...; -2,5151... шектеусіз ондық бөлшектерді периодты болады. 3,125787878... шектеусіз ондық бөлшегіндегі нүктелер 7,8 цифрларының шектеусіз периодты қайталанатынын білдіретін шектеусіз ондық бөлшегі де периодты болады.
Шектеусіз периодты ондық бөлшекті жазу үшін арнаулы белгі қолданылады. Мысалы, 0,333... орнына 0,(3) деп жазады:
0,333... =0,3.
Сол сияқты -0,333...=-0,3; 3,125787878...=3,125(78).
Жақша ішінде жазылған санды қарастырылатын бөлшектің периоды дейді.
Сондыктан 0,(3); -0,(3); 3,125(78) болшектері сәйкес төмендегіше оқылады: ,,нөл бүтін және периодында үш",,,минус нол бүтін және периодында үш", ...үш бүтін мыңнан бір жүз жиырма бес және периодында үш", ...үш бүтін мыңнан бір жүз жиырма бес және периодында жетпіс сегіз".
l-теорема. Әр бір рационал сан шектеулі немесе шектеусіз периодты
ондық бөлшек түрінде өрнектеледі.
Мысалы,511рационал саны 0,(45) периодты ондық бөлшек түрінде
өрнектеледі. Оны осылай жазу үшін 5 санын 11-гe бөлу жеткілікті:
5:11=0,45
Қалдықтар мен бөліндідегі цифрлар қайталанатындыктан, 5-ке тен қалдық
шыққаннан кейін,есептеуді тоқтатуымызға болады. Сондықтан 511=0,4545... = 0,(45), яғни нөл бүтін және периодында 45 шығады.
Жалпы жағдайда кез келген+-mnрационал саны үшін жоғарыда
көрсетілгендей m санын n санына бөледі. Мұндағы m, n - натурал сандар. n-ге бөлгенде мүмкін қалдықтың 0,1,2, ..., n-1 мәндері саны n болғандықтан, m-ді n- ге бөлу кезінде n-нен аспайтын амалдан кейін бөліндідегі ондық танбалар қайталанады. Мұнан m-ді n-ге бөлгенде шектеулі немесе шектеусіз периодтыондық бөлшек шығады деген ұғым туады.
Ескерту. Кейде біркелкілік үшін шектеулі ондық бөлшектерді үтірден
кейінгі нөлден өзгеше ондық танбалардың он жағындағы ондық таңбалардын орындарында нөлдер тұратын шектеусіз периодты ондық бөлшектер түрінде жазу қолайлы.
Мысалы, 0,25 = 0,25000... = 0,25(0); -1.2 =-1,2000... - -1,2(0).
Бүтін сандарды да үтірден кейін оң жағында ондық таңбалардың
орындарында нөлдер тұратын шектеусіз периодты ондық бөлшектер түрінде жазады. Мысалы, 15 = 15.000 = 15.(0); -6 = -6,000... = -6.(0).
Осыны ескере отырып, 1-теореманы кыскаша былай оқуға болады: әр бір рационал сан шектеусіз периодты ондық бөлшек түрінде өрнектеледі.
Кері тұжырым да дұрыс: әр бір шектеусіз периодты ондық бөлшек
тиянақты рационал санды өрнектейді.
Бұл тұжырымның жалпы жағдайын дәлелдеуге токталмаймыз.
Өрнектейтін шектеусіз периодты ондық бөлшек бойынша рационал санды
қалай табуды мысалдар арқылы карастырумен ғана шектелеміз.
1-мысал. 0,(7) периодты бөлшегімен өрнектелетін рационал санды табу керек.
Шектеусіз ондық бөлшекті 10-ға көбейту үшін, берілген ондық бөлшектегі
үтірді бір ондық таңбаға оңға жылжыту жеткілікті.
Сондықтан 0,(7)x10 = 7.(7).
Соңғы белшек 7 натурал саны мен 0,(7) ондық бөлшегінін қосындысына
Тең: 7,(7)=7+0,(7).
Ізделінетін рацнонал санды х арқылы белгілейміз. Сонда алдыңғы
теңдіктерден нәтижесі х= 79 болатын 10х=7+х теңдеуіне ие боламыз. Тексеру арқылы, шындығында 79=0. (7) болатынына көзімізді жеткіземіз.
2-мысал. 1.2(3) периодты бөлшегіне тең болатын рационал санды табукерек.
x =0,2(3) деп белгілейміз. Сонда 10х=2,(3), 100х=23,(3) болады. Екінші
тендіктен бірінші тендікті мүшелеп алғанда, нәтижеде 90х=23-2
х=23-290=2190=730болады. Демек,1,2(3)=1+x=3730
Тексеру арқылы шындығында 3730=1,2(3) болатынына көзімізді жеткіземіз.
3-мысал. 0,12(34) периодты бөлшегіне тең болатын рационал санды табу
керек.
Ізделінетін рационал санды х арқылы белгілейміз: х=0,12(34). Сонда
100х=12,(34), 10000х=1234,(34) болады. Екінші теңдіктен бірінші тендікті
мүшелеп алғанда, нәтижеде 9900х=1234-12, х=1234-129900=12229900=6114950болад ы. Бұрыштап бөліп, шындығында 6114950=0,12(34) орындалатынына көзжеткізуге болады.
4-мысал. 0,2(9) периодты бөлшегіне тең болатын рационал санды табу
керек. Ізделінетін рационал санды х арқылы белгілейміз: х=0,2(9). Сонда
10x=2,(9), 100x=29,(9), демек 90x=29-2, х=29-290=2790=310=0,3.Олай болса 0,2(9) = 0,3.
Жалпы, периоды 9-ға тең кез келген шектеусіз периодты ондық бөлшек
тиянақты шектеулі ондық бөлшекке тең. Бұрышпен бөлу тәсілімен периодты 9 болатын шектеусіз периодты ондық бөлшек шықпайтынын атап өтеміз.
Бұдан былай, рационал сандарды ондық бөлшектер түрінде өрнектеу
кезінде периоды 9 болатын шектеусіз периодты ондық бөлшектерді
қарастырмаймыз.
Периодты ондык бөлшекті жай бөлшекке айналдыру ережесін тұжырымдаймыз.
Бірінші периоды үтірден кейін бірден басталатын шектеусіз периодты бөлшекті таза периодты ондық бөлшек дейді. Бұл орындалмаған жағдайда, оны аралас периодты ондық бөлшек дейді.
Таза периодты х = 0, (α1...αn ) бөлшегін жай белшекке айналдыру үшін
төмендегілерді орындаймыз:
Таза периодты бөлшекті, мысалы, х арқылы белгілейміз: х= 0,(α1...αn);
оны 10n санына көбейтеміз: 10nx-x=α1...αn,(α1...αn,); Мұндағы, n-
периодтагы цифрлар саны, осы теңдіктен алдынғы теңдікті мүшелеп азайтамыз: 10nx-x=α1...αn.
Нәтижеде х-ке қарағанда (10n-1)x=α1...αn. сызықтық тендеуі шығады.
Мұнан х =α1...αn10n-1 болады.
Демек, таза периодты 0.(α1...αn) бөлшегі алымы периодына, ал бөлімі
(10n-1) - ге тең болатын жай бөлшекке тең. Мұндағы n- периодтағы цифрлар саны.
Аралас периодты 0,β1,β2,...,βnα1...αn,бөлшегін жай бөлшекке
айналдыру үшін төмендегілерді орындаймыз:
1. Аралас периодты бөлшекті, мысалы, x аркылы белгілейміз: х=0,β1,β2,...,βnα1...αn,;
2. Тендіктің екі жағын 10m санына көбейтеміз: 10mxx=β1,...,βnα1...αn,.
Мұндағы m - бірінші периодқа дейінгі цифрлар саны.
3. Шыккан теңдіктің екі жағын 10n санына тағы көбейтеміз:
10m+nxx=β1...βmα1...αn,(α1...αn,); Мұндағы n - периодтағы цифрлар саны.
4. Сонғы тендіктен оның алдындағы тендікті мүшелеп азайтамыз:
10m+nxx-10mxx=β1...βmα1...αn-β1...β m.Нәтижесінде х-ке қарағанда сызықтық теңдеу шығады: 10m10n-1xx=β1...βmα1...αn-β1...βm.
Мұнан х=β1...βmα1...αn-β1...βm10m10n-1бол ады.
Демек, аралас периодты β1,...,βnα1...αn, бөлшегі, алымы β1...βmα1...αn-β1...βm айырмасына, ал бөлімі 10m10n-1 көбейтіндісіне тең болатын жа бөлшекке тең.Мұндағы m- бірінші периодка дейінгі цифрлар саны, n- периодтагы цифрлар саны.
[Қаңлыбаев.Қ, С.Нүрпейісов, К.Жантілеуов, К.Шияпов Математикалық талдауға кіріспе 1-бөлім 8-13-бет]
Рационал сандар жиынының қасиеттері
Q жиынындағы "артық" ("кем")қатынастарын анықтайық. Егера=b+с теңдігі орындалатындай с∈ Q cfys табылатын болса, онда a ∈ Q саны b ∈ Q санынан арты0 болады. Бұл жағдайда аb деп белгілейді. "Артық" қатынасы антисимметриялы, транаитивті және сызықтық қасиеттерге ие болады. Сонымен бірге бұл реттік қатынас осыжиынның элементтерін реттейді. Сондықтан рационалсандардың Q жиыны реттелген жиын болып табылады.
1. Егер а=mn , b=pq, онда аb сонда және тек қана сонда егер mр.
Мысалы: а= 314, b=914, онда аb, себебі 39.
2. Егер а= mn, b= pq, онда b а сонда және тек қана сонда егер mqnp.
Мысалы: a= 1719, b=2327, ba, 17x27 = 459, 19x23 = 437, 19x23 17x27 яғни 437459, бұдан 23271719.
Оң рационал сандар жиынында:
-ең кіші сан да, ең үлкен сан да болмайды.
- кез келген екі рационал санның арасында шексіз көпсан болады.
Қарсы жориық, ең кіші сан бар делік, ол mnxmn+1 санын ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.