Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуді оқыту
Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі
Қарағанды "Bolashaq" жоғарғы колледжі
Математиканы оқыту теориясы мен әдістемесі пәні бойынша
КУРСТЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету әдістемесі
Мамандық: 0111000 - Негізгі орта білім беру
Біліктілігі: 0111063 Математика мұғалімі
Орындаған: МТ-17-1 тобының студенті
Болатбек А.
Жетекшісі: Жақыпбай Г.Е.
Қарағанды 2021
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3-4
1. Мектеп курсындағы тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту әдістемесінің теориялық негіздері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... 5-9
1.1 Тригонометриялық функциялардың графиктері мен қасиеттері
1.2Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуді оқыту ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...10-13
2. Тригонометриялық теңдеулер және олардың жүйелерін шешуге оқыту
2.1 Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде қажет болатын дағдылар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..14-16
2.2 Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдісітері ... ... ... ... ... ... .. .17-23
2.3 Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу жолдары ... ... ... ... ... ...24-29
2.4 Әр түрлі мектептердегі тригонометриялық материалдардың мазмұны мен материалдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .30-32
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .33-34
Пайдаланған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...35
Қосымшалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .36-
КІРІСПЕ
Қазақстан Республикасы білім және ғылым министрлігінің нұсқалығына сәйкес, егер біз Қазақстан экономикасын, мәдениетін дамытып, жоғары дамыған елдердің қатарына жеткіземіз десек, онда бірінші орында білімді дамытуға тиіспіз. Ол үшін Қазақстанды болашақта өрге жетелейтін білікті мамандар даярлап, Отанына адал қызмет ететін азамат тәрбиелеп шығаруымыз керек. Қазіргі кезде осы мақсаттарды жүзеге асыру үшін жалпы білім беретін орындарға қойылған талаптар қатаңдалып, күннен күнге өсуде. Соның ішінде мектеп курсындағы гуманитарлық пәндер арасында математиканы оқыту үлкен іскерлікті қажет етеді. Мектепте математиканы оқыту - онымен тығыз байланыста жүретін пәндерді меңгеруге, күнделікті тұрмысқа қажетті біліктілік пен дағдыны қалыптастыруға және математиканы тереңдетіп оқытуға тиіс. Математиканы тереңдетіп оқыту - оқушының математикаға тұрақты қызығушылығын тудырып, олардың математикалық қабілеттілігін дер кезінде анықтап, дамуына ықпал етеді де жоғарғы оқу орнына түсуге дайындық мәселелерін шешеді. Оқушылардың математикалық даму дәрежесі олардың есеп шығару қабілеттілігінен көрінеді. Кез - келген қиын есепті шығару оқушылардың үлкен еңбекті талап етеді. Мұғалімнің міндеті баланың бойындағы қасиеттерді ояту болып табылады.
Ол үшін мұғалімнің үздіксіз ізденуін, әдістемелік - теориялық білімін жүйелі арттырып отыруын, терең ойлануын, оқушылардың психологиясын зерттеп, тақырып ерекшелігін жете талдай білуін қажет етеді. Әсіресе бұл талаптар жоғары сыныптарда күшейе түседі. Соның ішінде 10 - сыныпта оқытылатын тригонометрия тақырыбының өзі үлкен бір тарау болып келеді.. Олар:
1. Тригонометриялық функциялар, олардың қасиеттері және графиктері
2. Кері тригонометриялық функциялар
3. Тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктер
Соның ішінде біз тригонометриялық теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу әдістерін қарастырамыз. Бұлардың ішіндегі тригонометриялық теңдеулер, теңсіздіктер тақырыбы өте күрделі. Сондай-ақ, тригонометриялық теңсіздіктерді шешу оқушылардың тригонометрия бойынша барлық оқу материалдарымен байланысты білімдерін жүйелеудің алғышарттарын жасайды (мысалы, тригонометриялық функциялардың қасиеттері, тригонометриялық өрнектерді түрлендіру әдістері және т. б.) және алгебрада зерттелген материалмен тиімді байланыс орнатуға мүмкіндік береді (теңдеулер, теңдеулердің эквиваленттілігі, теңсіздіктер, алгебралық өрнектерді бірдей түрлендіру және т. б.). Оқушылар тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешкенде үлкен қиындықтарға кездеседі. Сол себепті де мен өзімнің курстық жұмысымның тақырыбын Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету әдістемесі деген тақырыпқа арнадым.
Зерттеу объектісі - математиканы оқыту процессі.
Зерттеу пәні - тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу бағытталған әдістеме.
Зерттеу гипотезасы: егер тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді бөліп алсақ және әдістемесін құрсақ, онда бұл сапалы түрде тригономериялық теңсіздіктерді шешуге ықпал етеді. Тригонометрияны сапалы зерттеумен, біз оқыту процесін түсінеміз, сонымен қатар тұлғалық бағдарлы оқытуды жүзеге асырылатынын ескере отырып, формальді білім беру және схоластикалық пысықтауды іске асыру кезінде оған жол берілмейді, яғни тригонометрияны зерттеу логикалық, оқу - танымдық ойлауға сүйенуге тиіс, бұл ретте оқушыларға саралау және даралау мүмкіндіктері беріледі.
Гипотезаның зерттеу процесінде және зерттеудің дұрыстығын тексеру үшін, келесі міндеттерді шешу қажет болды:
−Әдістемелік әдебиеттерді зерттеп, психологиялық - педагогикалық талдау
жүргізу;
- Математиканы оқытудағы тригонометриялық теңдеу мен теңсіздіктередің рөлін анықтау;
- Тригонометриялық теңдеулердің негізігі шешу амалдарын бөлу;
- Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу әдістерін жіктеу;
- Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу әдістерінде білік пен дағдыны
қалыптастыру;
- Құрылған әдістеме бойынша эксперимент жүргізу.
Берілген есептерді шешу үшін келесі әдістер қолданылды:
Психологиялық - педагогикалық және әдістемелік әдебиеттерді талдау;
оқулықтарды, оқу - әдістемелік құралдарды, дидактикалық материалдарды
талдау; бақылау, мұғалімдермен әңгімелесу, педагогикалық эксперимент.
Жұмыс құрылымы: Жұмыс екі тараудан тұрады.
Кіріспесінде зерттеудің өзектілігі атап өтілді. Бірінші тарау математика
курсындағы тригонометрияның теориялық материалдарына арналды,қарапайым тригонометриялық теңсіздіктердің шешу амалдары, әдістемесіне арналды, ал екінші бөлімінде тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерің шешу әдістемелеріне толығымен тоқталуға арналады.
Зерттеудің мақсаты - жалпы тригонометриялық теңдеулердің, теңсіздіктердің түрлерін және олардың шешу әдістерін талдау.
Зерттеу міндеті:
1. Тригонометриялық теңдеулердің, теңсіздіктердің шешу жолдарын көрсету. 2. Тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шешкенде ыңғайлы әрі оңай жолын таңдауға үйрету.
1. Мектеп курсындағы тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту әдістемесінің теориялық негіздері
1.1 Тригонометриялық функциялардың графиктері мен қасиеттері
Ең бірінші әрбір тригонометриялық функциялардың графигін салуға тоқталайық.
1функциясын қарастырамыз
Функцияның:
1)анықталу облысы-барлық нақты сандар жиыны, яғни
2)мәндер жиыны кесіндісі, яғни
3), функция периодты, оның ең кіші оң периоды 2п .
4)функция тақ, өйткені .
5)кесінділерінде функция бірсарынды өспелі, кесінділерінде бірсарынды кемімелі.
нүктелерінің координаталық жазықтыққа түсіріп функциясының кесіндісінің графигін саламыз (4-сурет).
функциясы тақ функция болғандықтан, оның графигі бас нүктеге қарағанда симметриялы қисық. Осы қасиетті пайдаланып, аралығында графикті жалғастырамыз. Сонда,функциясының кесіндісіндегі графигін аламыз
Сурет-1 Сурет-2
Демек, функциясының толық бір период ішіндегі графигін салдық. Енді периодты функцияның қасиетін пайдаланып, барлық анықталу облысындағы функция графигін салуға болады.
Сурет-3
функциясының графигін синусоида қисығы деп атайды.
2Функциясын қарастырамыз.
Функцияның:
1) анықталу облысы -барлықнақты сандар жиыны, яғни x∈R.
2) мәндер жиыны кесіндісі, яғни
3) , функция периодты, ең кіші оң периоды 2PI .
4) функция жұп, өйткені
5) , кесінділерінде бірсарынды кемімелі және кесінділерінде бірсарынды өспелі функция.
нүктелерін координаталық жазықтықта белгілеп, y=cosx функциясының кесіндідегі графигін саламыз (7-сурет).
функциясы жүп функция болгандықтан, оның графигі ордината осіне қарағанда симметриялы қисық. Осы қасиетті пайдаланып, аралығында графикті жалғастырамыз. Сонда, функциясының кесіндісіндегі графигін аламыз.
Сурет-4 Сурет-5
Енді периодты функцияның қасиетін пайдаланып, барлық анықталу облысындағы функцияның графигін салуға болады (8-сурет).
Сурет-6
функциясының графигін косинусоида қисығы деп атайды.
Сонымен қатар екенін ескеріп функциясының графигін функциясының графигінен Ох осінің бойыменқашықтығына теріс бағытта параллель көшіру арқылы да алуға болады.
Функциясын қарастырайық.
Функцияның:
1) Анықталу облысы жиынынан басқа барлық нақты сандар
2) Мәндер жиыны - барлық нақты сандар жиыны, яғни
3) функция периодты PI саны;
4) функция тақ, өйткені
5) , интервалдарында функция бірсарынды өспелі.
Енді у =tgх функциясының графигін салайық.
нүктелерін координаталық жазықтыққа белгілеп, аралығында функциясының графигін саламыз.
Сурет-7 Сурет-8
Функциясы тақ функция болғандықтан, оның графигі бас нүктеге қарағанда симметриялы қисық екенін ескеріп, жалғастырамыз. Сонда у =tgх функциясының интервалында графигі шығады (11-сурет).
Енді периодты функцияның қасиетін пайдаланып, барлық анықталу облысындағы функцияның графигін салуға болады (12-сурет).
Сурет-9
функциясының графигін тангенсоида қисығы деп атайды.
Функциясын қарастырайық
Функцияның:
1) анықталу облысы: жиынынан басқа барлық нақты сандар жиыны себебі,
2) мәндер жиыны - барлық нақты сандар жиыны, яғни
3) тақ функция. Негізгі периоды PI.
4) функция тақ, өйткені
5) интервалында бірсарынды өспелі. функциясы тақ функция болғандықтан, оның графигі у нүктеге қарағанда симметриялы қисық.
Енді периодты функцияның қасиетін пайдаланып, барлық анықталу облысындағы Функцияның графигін салуға болады (13-сурет).
Сурет-10
у = ctgх функциясының графигін котангенсоида қисығы деп атайды
1.2 Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуді оқыту
Анықтама. Белгісіз (айнымалысы) тригонометриялық функцияның аргументі түрінде берілген ттеңдеуді тригонометриялық теңдеу деп атайды.
Тригонометриялық теңдеулерді шешуді негізінен мынадай қарапайым тригонометриялық теңдеулерге келтіріп алып шешеді: .
Енді осы теңдеулерді шешу тәсілдерін қарастырайық.
cosx=a тригонометриялық теңдеуі
cosx=a теңдеуін қарастырайық.
Егер a1 болса, онда cosx=a тедеуінің шешімі болмайды. Себебі у=cosx функциясының мәндер жиыны -1;1 кесіндісі.
Егер a m 1 болса, онда cosx=a теңдеуінің шешімі болады. Арккосинустың анықтамасы бойынша берілген теңдеудің 0;PI кесіндісінде бір ғана шешімі бар және ол шешім arccos a (19.1.1-сурет).
косинус функциясы жұп функция болғандықтан, -PI:0 кесіндісінде cosx=a теңдеуінің - arccos a- ға тең бір ғана шешімі бар (19.1.2-сурет).
Демек, -PI;PI кесіндісінде cosx=a теңдеуінің екі шешімі бар: arcos a мен - arcos a және ол шешімдер a=1 болғанда бірдей.
у=cosx функциясы периодты болғандықтан, теңдеудің қалған шешімдері табылған шешімдерден 2PIn-ге(n-бүтін сан) ерекшеленеді (19.2-сурет).
cosx=a тедеуінің түбірлерін табудың жалпы формуласы:
x=+-arccosa+2PIn, мұндағы n-бүтін сан және a m 1.
a=1 болғанда, arccosa мен-arccosa сандары бірдей. Сондықтан cos x=1 теңдеуінің шешімін табу үшін х=2PIn (n-бүтін сан немесе n∈ℤ ) формуласы қолданылады.
cosx=-1 теңдеуінің шешімдер жиынын PI+ 2PIn, n∈Z түрінде жазады. cos x=0 теңдеуінің шешімдер джиыны: PI2+ PIn, n∈Z.
1-мысал. cos x= 22 теңдеуінің шeшімін табайық.
Шешуі: Мұнда a= 22 , яғни a m 1 болғандықтан, 13-кесте бойынша х=+-arccos 22+2PIn, n∈ℤ. Енді arccos 22=PI4 болатынын ескеріп, х=+- PI4+2PIn, n∈ℤ аламыз.
Жауабы: х=+- PI4+2PIn, n∈ℤ.
2-мысал. cos 2х-PI5=-32 теңдеуінің шeшімін табайық.
Шешуі: Мұнда a=- 32 , яғни a m 1 болғандықтан, 13-кесте бойынша 2х-PI5=+-arccos -32+2PIn, n∈ℤ. Енді arccos -32=PI-arccos32=PI-PI6=5PI6 екенін ескерсек, 2х- PI5= +-5PI6+2PIn, n∈ℤ аламыз.Cоңғы теңдеуде - PI5 қосылғышын теңдеудің екінші жағына шығарып, екі бөллігін да 2 санына бөлеміз, сонда 2х= +-5PI6+PI5+2PIn, n∈ℤ, х= +-5PI12+PI10+PIn, n∈ℤ.
Жауабы: х= +-5PI12+PI10+PIn, n∈ℤ.
sinδ=a тригонометриялық теңдеуі
Егер a1 болса, онда sinx=a тедеуінің шешімі болмайды. Себебі у=sinx функциясының мәндер жиыны -1;1 кесіндісі.
Егер a m 1 болса, онда sinx=a теңдеуінің шешімі болады. Арксинустың анықтамасы бойынша -PI2;PI2 кесіндісінде берілген теңдеудің бір ғана шешімі бар және ол шешім arcsin a-ға тең (19.3.1-сурет).
PI2;3PI2 аралығында у=sinx функциясы кемиді және -1-ден 1-ге дейінгі, 1-ді қоса алғандағы, мәндерді қабылдайды. Сондықтан түбір туралы теорема бойынша осы аралықта у=sinx теңдеуінің бір ғана түбірі бар және ол түбір PI-arcsin a-ға тең (19.3.2-сурет).
у=sinx функциясының периодтылығын (периоды 2PI-ге тең) ескерсек, теңдеудің барлық шешімдерін жазудың формулаларын аламыз:
x = arcsin a + 2PIn, x = PI - arcsin a + 2PIn (n-бүтін сан) (19.4-сурет).
Осы екі формуланы біріктірсек,
x= -1karcsina+ PIk (k-бүтін сан немесе k∈ℤ)
формуласы шығады.
sinx=1 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі:
PI2+ 2PIn,n∈Z .
sinx=-1 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі:
-PI2+ 2PIn,n∈Z .
sinx=0 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі:
PIn,n∈Z .
3-мысал. sin x= 12 теңдеуінің шeшімін табайық.
Шешуі: Мұнда a= 12 , яғни a m 1 болғандықтан, 14-кесте бойынша х=-1karcsin12+PIk, k∈ℤ. Енді arcsin 12=PI6 болатынын ескеріп, х=-1kPI6 PI4+PIk, k∈ℤ аламыз.
Жауабы: х=-1kPI6 PI4+PIk, k∈ℤ.
tgx=a тригонометриялық теңдеуі
tgx=a теңдігі орындалатындай a-ның кез келген мәнінде -PI2;PI2 интервалына тиісті бір ғана х саны бар, ол сан arctg a. Сондықтан tgx=a теңдеуінің -PI2;PI2 интервалына бір ғана түбірі бар. Бұл интервалдың ұзындығы PI-ге тең. у=tgx функциясының периоды да осы санға тең. Сондықтан tgx= a теңдеуінің қалған түбірлері табылған түбірден PIn-ге(n-бүтін сан) айырмашылығы бар.
Демек, tgx=a теңдеуінің шешімі x = arctg a + PIn,мұндағы n-бүтін сан, формуласы бойынша табылады, шешімдер жиыны arctg a + PIn,n∈Z түрінде жазылады.
4-мысал. tgx=-3 теңдеуін шешейік.
Шешуі: х= arctg (-3) + PIn,n∈Z немесе х= - PI3 + PIn,n∈Z.
Жауабы: х= - PI3 + PIn,n∈Z.
сtgx=a тригонометриялық теңдеуі
сtgx=a теңдігі орындалатындай a-ның кез келген мәнінде 0;PI интервалына тиісті бір ғана х саны бар, ол сан arсctg a. Сондықтан сtgx=a теңдеуінің 0;PI интервалына бір ғана түбірі бар. Бұл интервалдың ұзындығы PI-ге тең. у=сtgx функциясының периоды да осы санға тең. Сондықтан сtgx= a теңдеуінің қалған түбірлері табылған түбірден PIn-ге(n-бүтін сан) ерекшеленеді.
Демек, сtgx=a теңдеуінің шешімі x = arсctg a + PIn,мұндағы n-бүтін сан, формуласы бойынша табылады, шешімдер жиыны arcсtg a + PIn,n∈Z түрінде жазылады.
5-мысал. сtgх+PI4=3 теңдеуін шешейік.
Шешуі: х+PI4= arсctg 3 + PIk,k∈Z ;
х+PI4= PI6 + PIk,k∈Z;
x= - PI4+PI6+PIk, k∈Z;
x= - PI12 + PIk, k∈Z.
Жауабы: x= - PI12 + PIk, k∈Z.
Негізінде мектеп курсында тригонометриялық теңдеулерді шешуде қандай әдісті қолдану тиімді екендігі жөнінде нақты нұсқаулар жоқ. Бұл жерде таңдау тек мұғалімдердің өз қалауларына байланысты болады. Менің ойымша тригонометриялық шеңберді қолдану тиімдірек болады. Себебі бұл өте көрнекі тәсіл және дәптерде аз орын алады. Негізі қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шығарған кезде уақыт мүмкіндік беріп жатса екі тәсілді де қолданған жөн. Сонымен айтып кеткенімдей тригонометриялық теңсіздіктеріне тригонометриялық түрлендірулер қолданып оны қарапайым түрге келтіргеннен кейін тригонометриялық шеңбер немесе графикалық әдісті қолданамыз
2.Тригонометриялық теңдеулер және олардың жүйелерін шешуге оқыту
2.1 Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде қажет болатын дағдылар
Әдістемелік әдебиетте дағды деген сөз тіркесі бар. Мысалы,
А.В.Петровский дағды дегенді нақты бір теориялық немесе практикалық
тапсырмаларды шешу үшін өзінің қабілеттерін, білімін және түсінігін қолдана алу деп түсінеді. Т.Б.Булыгинаның ойынша Дағды - ол белгілі бір істі саналы түрде жасау. М.В.Матюхина келесі түрде анықтама береді: Дағды - бұл қызметті табысты түрде орындауды қамтамасыз ететін білім мен
қабілеттердің ұйқастылығы. Дағдылар - бұл істерді орындаудағы
роботтандырылған әдіс. Білім - бұл түсініктегі түрлердің субъектілік
түрлілігі. Түсінік - бұл бір оқшауланғандықты және ерекшелікті
көрсететін, бір уақытта және барлығын қосып алғандағы білім түрі. Келесі
түсініктерді қарастырайық: Дағдыларды қалыптастыру. Ол мұғалімнің
оқушыларды оқытқан сәтте белгілі бір әлеуметтік тәжірибені алуын білдіреді.
Дағдыларды қалыптастыру - бұл пәннен алынатын білімде бар ақпараттарды
анықтау және қайта қарастыру бойынша барлық қиын жүйелерді меңгеру.
Дағдыларды қалыптастыру бұл негізінде білімді тереңдету түрінде
қолданылады. Дағды зерттелетін белгілі бір заттар туралы түсініктерді
меңгеру негізінде қалыптасады. Дағдыларды қалыптастырудағы негізгі жолы - бұл оқушыларды заттардың барлық жақтарын көруге, оларға әртүрлі түсініктер беру, сол затқа әртүрлі көзбен қарауды үйрету. Затты талдау арқылы синтездің көмегімен түрлендіруді оқушыларға үйрету. Қолданылатын түрлендіру қандай қарым-қатынас және тәуелділік талап етілуіне байланысты. Осындай түрлендірулер тапсырмаларды шешу жоспары болып саналады. Дағдыларға үйрету әртүрлі жолдар арқылы жүзеге асыруға болады. Оның бірі оқушыларға қажетті білімді беріп, содан соң оларға орындау үшін тапсырмалар береді. Содан соң оқушы сол тапсырманы шешу үшін мүмкіндіктер мен қателерді қолдану арқылы сәйкес бағдарларды, ақпараттарды қарастыру және қызметте қодану арқылы шешім іздейді. Бұл жолды мәселелі оқыту деп атайды. Келесі жол, ол тапсырманы шешу үшін оның түрін және талаптарын жедел анықтау бойынша белгілерге үйретеді. Бұл жолды алгоритмделген оқыту немесе толық бағдарланған негіздегі оқыту деп атайды. Соңында, бұл жол ол оқушының білімін қолдану үшін психикалық қызметке үйрету болып табылады. Бұл жағдайда мұғалім оқушыны тек қана белгілер мен тапсырмаларды айыра алу бағдарларына ғана үйретіп қоймай, сонымен қатар алға қойылған тапсырмаларды шешу үшін алынған ақпараттарды қолдануды ұйымдастырады.
Бірінші кезеңде заттың бұл бағдарлары оқушыға дайын, заттты түрде, сызба түрінде, символ, зат түрінде, ал бағдарларды анықтау бойынша шаралар заттай іс-әрекеттер түрінде қолданылады.
Бағдарлар мен заттай бағдарлар екінші кезеңде қалады, оларды ойлау шаралары, сөйлеу және жасау түрлерімен алмасады.
Үшінші кезеңде сөйлесу әрекеттері де түсіп қалып , оларды ойлау шаралары алмастырады, ол барлық сызба бойынша таралады. Бұл кезеңді ойлау қабілеттерін қалыптастыру әдісі деп атайды. Бірақ қарапайым түрде оқытуда бұл кезеңдер саналы түрде ұйымдастырылады. Сондықтан оқушы өзі қажет белгілерді анықтап, ал бастысы - осы әрекетті өзі таңдау керек. Қателіктерге көп жол беріледі. Түсініктер әрқашан толық әрі дұрыс болмайды. Дәстүрлік оқыту, дербес ойлану мен нәтижелері арқылы түзетуге негізделгендіктен, оқушының дұрыс түсінбеуіне алып келеді. Сонымен қатар оқушының қызметі ұғымдарды құруға, олардың белгілерін іздеуге қосарланбауы керек, соған қоса, түсініктерді мағына берумен толықтыру үшін, оның қолдану
тәсілдерін меңгеру керек - бұл қызмет жалғыз өзі ғана маңызды заттарды
белгілері бойынша іздеу емес, ал осы белгілерді қолдану. Түсінік толық әрі
қатесіз құрылу үшін, оқушының сәйкес жұмысы толық бағдарлы негізде құрылуы тиіс. Олай болмаса, мұғалім оқушыларға заттардың барлық дайын белгілерін беруі керек, сонымен қатар әрбірін анықтау мен қолдану үшін қажетті шараларға баланы оқыту қажет.
Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу туралы айта отырып, ол бір толық кешенді құрайтындығын, оған келесілер кіретіндігін білу қажет:
- Тапсырылған сандарға сәйкес санды шеңберде сәйкес (, және
т.б.) және сәйкес емес нүктелерді тауып алу;
- Сандарды шеңбер санымен суреттеуді және нүктелерді жаза білу (көрсетілген нүктеге сәйкес келетін барлық сандар );
- Тригонометриялық жүйелердің бірінің мағынасы бойынша санды шеңберде санды салу;
- Доға санды шеңбер үшін қос теңсіздікті құру;
- Белгілі бір түрге келтіру үшін негізгі мақсат арқылы теңдеу мен теңсіздік
көмегімен талдау шығара білу;
- Шешім қабылдауда негізгі таңдау жасай білу;
- Тригонометриялық дөгелектің кестесінің көмегімен қарапайым
тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шеше білу;
- Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде тригонометриялық жүйелерді қолдана
алу;
- Алгебралық анықтамалар мен сәйкес тригонометриялық формулаларды
қолданудағы тригонометриялық анықтамаларды орындай білу;
−Белгілі бір алгебралық теңдеулерді шеше білу (сызықты, төртбұрышты, доғал, бірсызықты, көрсетілген түрдегі алгебралық теңдеулерді) және т.б.
Көрсетілген біліктіліктер ұзақ уақыт бойы қалыптасады, қасындағы оқушылар тригонометриялық теңдеулерді білулері тиіс. Бірақ тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу тәсілдері осы білімдерді жаңа мағынаға ауыстыра білуге алып келеді
2.2Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдісітері
Тригонометриялық өрнектерден құралған теңдеулерді тригонометриялық теңдеулер деп атайды. Жалпы, тригонометриялық теңдеулерді түрлендірулер арқылы қарапайым тригонометриялық теңдеулерге келтіріп шешеді. Ал тригонометриялық теңдеулерді қарапайым теңдеулерге келтірудің жиі қолданылатын бірнеше әдісі бар. Енді осы әдістерге мысалдар келтіру арқылы тоқталып өтейік.
түріндегі теңдеулер. Мұнда
теңдеулер мен
теңдеулерін шешу әдістерін қарастырамыз.
Тригонометриялық теңдеулерді көбейткіштерге жіктеу арқылы шешу
1-мысал. 2sin23x = sin3x теңдеуін шешейік.
Шешуі: Теңдеудің оң жақ бөлігіндегі мүшені сол жақ бөлігіне көшіреміз және ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарамыз:
sin3x(2sin3x-1)=0 .
sin3x=0, sin3x = 12;
3x = PIn,nϵZ3x = -1kPI6+PIk, k∈Z;
x = PIn3,nϵZx = -1kPI18+PIk3, k∈Z;
Жауабы:PIn3,nϵZ; -1kPI18+PIk3, k∈Z
Ескерту. Егер теңдеуді шешу барысында бірнеше шешімдердің жиыны шықса онда оларды біріктіріп, бір формуламен беруге болатынын тексереміз. Ол үшін бірлік шеңберді қолданамыз.
2-мысал. x=PI2+PIn,nϵZ;x=PIk,kϵZ теңдеулердің шешімдер жиынын x=PI2t, t∈Z бір формуласы арқыты жаза аламыз, өйткені бірінші және екінші теңдеудің шешімдерін біріктіруге болады (20.1-сурет).
Алмастыру тәсілі. Квадраттық теңдеуге келтірілген тригонометриялық теңдеулер
3-мысал. 6sin2x+5cosx-7=0 теңдеуін шешейік.
Шешуі: 6sin2x+5cosx-7=0 y=cos x тригонометриялық функциясына байланысты алгебралық түрге келтіруге болады. Ол үшін sin2x+cos2x=1 негізгі тригонометриялық тепе-теңдігін қолданамыз.
sin2x =1-cos2x болғандықтан, 6sin2x+5cosx-7=0 теңдеуі мына түрге келеді:6(1-cos2x)+5cosx-7=0 немесе 6cos2x-5cosx+1=0.
cosx-ті t әріпімен алмастырып (cosx= t, мұндағы t m 1), 6t2-5t+1=0 алгебралық теңдеуін аламыз. Теңдеудің шешімдері 12 және 13 сандары болады.
Енді алмастыруды есептейміз: cosx=12,cosx=13, x=+-PI3+2PIk, k∈Z,x=+-arccos13+2PIn, n∈Z
Жауабы: +-PI3+2PIk, k∈Z;+-arccos13+2PIn, n∈Z
Біртекті теңдеулер
acosx + bsinx =0;
asin2x+bcos2x+acosx bsinx=0;asin3x+bsinxcos2x+dsin2xcos x=0
және т.б. түріндегі теңдеулерді қарастырайық.
acosx + bsinx =0 теңдеуінің сол жақ бөлігіндегі әрбір қосылғыш ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Қарағанды "Bolashaq" жоғарғы колледжі
Математиканы оқыту теориясы мен әдістемесі пәні бойынша
КУРСТЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету әдістемесі
Мамандық: 0111000 - Негізгі орта білім беру
Біліктілігі: 0111063 Математика мұғалімі
Орындаған: МТ-17-1 тобының студенті
Болатбек А.
Жетекшісі: Жақыпбай Г.Е.
Қарағанды 2021
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3-4
1. Мектеп курсындағы тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту әдістемесінің теориялық негіздері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... 5-9
1.1 Тригонометриялық функциялардың графиктері мен қасиеттері
1.2Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуді оқыту ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...10-13
2. Тригонометриялық теңдеулер және олардың жүйелерін шешуге оқыту
2.1 Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде қажет болатын дағдылар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..14-16
2.2 Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдісітері ... ... ... ... ... ... .. .17-23
2.3 Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу жолдары ... ... ... ... ... ...24-29
2.4 Әр түрлі мектептердегі тригонометриялық материалдардың мазмұны мен материалдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .30-32
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .33-34
Пайдаланған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...35
Қосымшалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .36-
КІРІСПЕ
Қазақстан Республикасы білім және ғылым министрлігінің нұсқалығына сәйкес, егер біз Қазақстан экономикасын, мәдениетін дамытып, жоғары дамыған елдердің қатарына жеткіземіз десек, онда бірінші орында білімді дамытуға тиіспіз. Ол үшін Қазақстанды болашақта өрге жетелейтін білікті мамандар даярлап, Отанына адал қызмет ететін азамат тәрбиелеп шығаруымыз керек. Қазіргі кезде осы мақсаттарды жүзеге асыру үшін жалпы білім беретін орындарға қойылған талаптар қатаңдалып, күннен күнге өсуде. Соның ішінде мектеп курсындағы гуманитарлық пәндер арасында математиканы оқыту үлкен іскерлікті қажет етеді. Мектепте математиканы оқыту - онымен тығыз байланыста жүретін пәндерді меңгеруге, күнделікті тұрмысқа қажетті біліктілік пен дағдыны қалыптастыруға және математиканы тереңдетіп оқытуға тиіс. Математиканы тереңдетіп оқыту - оқушының математикаға тұрақты қызығушылығын тудырып, олардың математикалық қабілеттілігін дер кезінде анықтап, дамуына ықпал етеді де жоғарғы оқу орнына түсуге дайындық мәселелерін шешеді. Оқушылардың математикалық даму дәрежесі олардың есеп шығару қабілеттілігінен көрінеді. Кез - келген қиын есепті шығару оқушылардың үлкен еңбекті талап етеді. Мұғалімнің міндеті баланың бойындағы қасиеттерді ояту болып табылады.
Ол үшін мұғалімнің үздіксіз ізденуін, әдістемелік - теориялық білімін жүйелі арттырып отыруын, терең ойлануын, оқушылардың психологиясын зерттеп, тақырып ерекшелігін жете талдай білуін қажет етеді. Әсіресе бұл талаптар жоғары сыныптарда күшейе түседі. Соның ішінде 10 - сыныпта оқытылатын тригонометрия тақырыбының өзі үлкен бір тарау болып келеді.. Олар:
1. Тригонометриялық функциялар, олардың қасиеттері және графиктері
2. Кері тригонометриялық функциялар
3. Тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктер
Соның ішінде біз тригонометриялық теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу әдістерін қарастырамыз. Бұлардың ішіндегі тригонометриялық теңдеулер, теңсіздіктер тақырыбы өте күрделі. Сондай-ақ, тригонометриялық теңсіздіктерді шешу оқушылардың тригонометрия бойынша барлық оқу материалдарымен байланысты білімдерін жүйелеудің алғышарттарын жасайды (мысалы, тригонометриялық функциялардың қасиеттері, тригонометриялық өрнектерді түрлендіру әдістері және т. б.) және алгебрада зерттелген материалмен тиімді байланыс орнатуға мүмкіндік береді (теңдеулер, теңдеулердің эквиваленттілігі, теңсіздіктер, алгебралық өрнектерді бірдей түрлендіру және т. б.). Оқушылар тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешкенде үлкен қиындықтарға кездеседі. Сол себепті де мен өзімнің курстық жұмысымның тақырыбын Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету әдістемесі деген тақырыпқа арнадым.
Зерттеу объектісі - математиканы оқыту процессі.
Зерттеу пәні - тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу бағытталған әдістеме.
Зерттеу гипотезасы: егер тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді бөліп алсақ және әдістемесін құрсақ, онда бұл сапалы түрде тригономериялық теңсіздіктерді шешуге ықпал етеді. Тригонометрияны сапалы зерттеумен, біз оқыту процесін түсінеміз, сонымен қатар тұлғалық бағдарлы оқытуды жүзеге асырылатынын ескере отырып, формальді білім беру және схоластикалық пысықтауды іске асыру кезінде оған жол берілмейді, яғни тригонометрияны зерттеу логикалық, оқу - танымдық ойлауға сүйенуге тиіс, бұл ретте оқушыларға саралау және даралау мүмкіндіктері беріледі.
Гипотезаның зерттеу процесінде және зерттеудің дұрыстығын тексеру үшін, келесі міндеттерді шешу қажет болды:
−Әдістемелік әдебиеттерді зерттеп, психологиялық - педагогикалық талдау
жүргізу;
- Математиканы оқытудағы тригонометриялық теңдеу мен теңсіздіктередің рөлін анықтау;
- Тригонометриялық теңдеулердің негізігі шешу амалдарын бөлу;
- Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу әдістерін жіктеу;
- Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу әдістерінде білік пен дағдыны
қалыптастыру;
- Құрылған әдістеме бойынша эксперимент жүргізу.
Берілген есептерді шешу үшін келесі әдістер қолданылды:
Психологиялық - педагогикалық және әдістемелік әдебиеттерді талдау;
оқулықтарды, оқу - әдістемелік құралдарды, дидактикалық материалдарды
талдау; бақылау, мұғалімдермен әңгімелесу, педагогикалық эксперимент.
Жұмыс құрылымы: Жұмыс екі тараудан тұрады.
Кіріспесінде зерттеудің өзектілігі атап өтілді. Бірінші тарау математика
курсындағы тригонометрияның теориялық материалдарына арналды,қарапайым тригонометриялық теңсіздіктердің шешу амалдары, әдістемесіне арналды, ал екінші бөлімінде тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерің шешу әдістемелеріне толығымен тоқталуға арналады.
Зерттеудің мақсаты - жалпы тригонометриялық теңдеулердің, теңсіздіктердің түрлерін және олардың шешу әдістерін талдау.
Зерттеу міндеті:
1. Тригонометриялық теңдеулердің, теңсіздіктердің шешу жолдарын көрсету. 2. Тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шешкенде ыңғайлы әрі оңай жолын таңдауға үйрету.
1. Мектеп курсындағы тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді оқыту әдістемесінің теориялық негіздері
1.1 Тригонометриялық функциялардың графиктері мен қасиеттері
Ең бірінші әрбір тригонометриялық функциялардың графигін салуға тоқталайық.
1функциясын қарастырамыз
Функцияның:
1)анықталу облысы-барлық нақты сандар жиыны, яғни
2)мәндер жиыны кесіндісі, яғни
3), функция периодты, оның ең кіші оң периоды 2п .
4)функция тақ, өйткені .
5)кесінділерінде функция бірсарынды өспелі, кесінділерінде бірсарынды кемімелі.
нүктелерінің координаталық жазықтыққа түсіріп функциясының кесіндісінің графигін саламыз (4-сурет).
функциясы тақ функция болғандықтан, оның графигі бас нүктеге қарағанда симметриялы қисық. Осы қасиетті пайдаланып, аралығында графикті жалғастырамыз. Сонда,функциясының кесіндісіндегі графигін аламыз
Сурет-1 Сурет-2
Демек, функциясының толық бір период ішіндегі графигін салдық. Енді периодты функцияның қасиетін пайдаланып, барлық анықталу облысындағы функция графигін салуға болады.
Сурет-3
функциясының графигін синусоида қисығы деп атайды.
2Функциясын қарастырамыз.
Функцияның:
1) анықталу облысы -барлықнақты сандар жиыны, яғни x∈R.
2) мәндер жиыны кесіндісі, яғни
3) , функция периодты, ең кіші оң периоды 2PI .
4) функция жұп, өйткені
5) , кесінділерінде бірсарынды кемімелі және кесінділерінде бірсарынды өспелі функция.
нүктелерін координаталық жазықтықта белгілеп, y=cosx функциясының кесіндідегі графигін саламыз (7-сурет).
функциясы жүп функция болгандықтан, оның графигі ордината осіне қарағанда симметриялы қисық. Осы қасиетті пайдаланып, аралығында графикті жалғастырамыз. Сонда, функциясының кесіндісіндегі графигін аламыз.
Сурет-4 Сурет-5
Енді периодты функцияның қасиетін пайдаланып, барлық анықталу облысындағы функцияның графигін салуға болады (8-сурет).
Сурет-6
функциясының графигін косинусоида қисығы деп атайды.
Сонымен қатар екенін ескеріп функциясының графигін функциясының графигінен Ох осінің бойыменқашықтығына теріс бағытта параллель көшіру арқылы да алуға болады.
Функциясын қарастырайық.
Функцияның:
1) Анықталу облысы жиынынан басқа барлық нақты сандар
2) Мәндер жиыны - барлық нақты сандар жиыны, яғни
3) функция периодты PI саны;
4) функция тақ, өйткені
5) , интервалдарында функция бірсарынды өспелі.
Енді у =tgх функциясының графигін салайық.
нүктелерін координаталық жазықтыққа белгілеп, аралығында функциясының графигін саламыз.
Сурет-7 Сурет-8
Функциясы тақ функция болғандықтан, оның графигі бас нүктеге қарағанда симметриялы қисық екенін ескеріп, жалғастырамыз. Сонда у =tgх функциясының интервалында графигі шығады (11-сурет).
Енді периодты функцияның қасиетін пайдаланып, барлық анықталу облысындағы функцияның графигін салуға болады (12-сурет).
Сурет-9
функциясының графигін тангенсоида қисығы деп атайды.
Функциясын қарастырайық
Функцияның:
1) анықталу облысы: жиынынан басқа барлық нақты сандар жиыны себебі,
2) мәндер жиыны - барлық нақты сандар жиыны, яғни
3) тақ функция. Негізгі периоды PI.
4) функция тақ, өйткені
5) интервалында бірсарынды өспелі. функциясы тақ функция болғандықтан, оның графигі у нүктеге қарағанда симметриялы қисық.
Енді периодты функцияның қасиетін пайдаланып, барлық анықталу облысындағы Функцияның графигін салуға болады (13-сурет).
Сурет-10
у = ctgх функциясының графигін котангенсоида қисығы деп атайды
1.2 Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуді оқыту
Анықтама. Белгісіз (айнымалысы) тригонометриялық функцияның аргументі түрінде берілген ттеңдеуді тригонометриялық теңдеу деп атайды.
Тригонометриялық теңдеулерді шешуді негізінен мынадай қарапайым тригонометриялық теңдеулерге келтіріп алып шешеді: .
Енді осы теңдеулерді шешу тәсілдерін қарастырайық.
cosx=a тригонометриялық теңдеуі
cosx=a теңдеуін қарастырайық.
Егер a1 болса, онда cosx=a тедеуінің шешімі болмайды. Себебі у=cosx функциясының мәндер жиыны -1;1 кесіндісі.
Егер a m 1 болса, онда cosx=a теңдеуінің шешімі болады. Арккосинустың анықтамасы бойынша берілген теңдеудің 0;PI кесіндісінде бір ғана шешімі бар және ол шешім arccos a (19.1.1-сурет).
косинус функциясы жұп функция болғандықтан, -PI:0 кесіндісінде cosx=a теңдеуінің - arccos a- ға тең бір ғана шешімі бар (19.1.2-сурет).
Демек, -PI;PI кесіндісінде cosx=a теңдеуінің екі шешімі бар: arcos a мен - arcos a және ол шешімдер a=1 болғанда бірдей.
у=cosx функциясы периодты болғандықтан, теңдеудің қалған шешімдері табылған шешімдерден 2PIn-ге(n-бүтін сан) ерекшеленеді (19.2-сурет).
cosx=a тедеуінің түбірлерін табудың жалпы формуласы:
x=+-arccosa+2PIn, мұндағы n-бүтін сан және a m 1.
a=1 болғанда, arccosa мен-arccosa сандары бірдей. Сондықтан cos x=1 теңдеуінің шешімін табу үшін х=2PIn (n-бүтін сан немесе n∈ℤ ) формуласы қолданылады.
cosx=-1 теңдеуінің шешімдер жиынын PI+ 2PIn, n∈Z түрінде жазады. cos x=0 теңдеуінің шешімдер джиыны: PI2+ PIn, n∈Z.
1-мысал. cos x= 22 теңдеуінің шeшімін табайық.
Шешуі: Мұнда a= 22 , яғни a m 1 болғандықтан, 13-кесте бойынша х=+-arccos 22+2PIn, n∈ℤ. Енді arccos 22=PI4 болатынын ескеріп, х=+- PI4+2PIn, n∈ℤ аламыз.
Жауабы: х=+- PI4+2PIn, n∈ℤ.
2-мысал. cos 2х-PI5=-32 теңдеуінің шeшімін табайық.
Шешуі: Мұнда a=- 32 , яғни a m 1 болғандықтан, 13-кесте бойынша 2х-PI5=+-arccos -32+2PIn, n∈ℤ. Енді arccos -32=PI-arccos32=PI-PI6=5PI6 екенін ескерсек, 2х- PI5= +-5PI6+2PIn, n∈ℤ аламыз.Cоңғы теңдеуде - PI5 қосылғышын теңдеудің екінші жағына шығарып, екі бөллігін да 2 санына бөлеміз, сонда 2х= +-5PI6+PI5+2PIn, n∈ℤ, х= +-5PI12+PI10+PIn, n∈ℤ.
Жауабы: х= +-5PI12+PI10+PIn, n∈ℤ.
sinδ=a тригонометриялық теңдеуі
Егер a1 болса, онда sinx=a тедеуінің шешімі болмайды. Себебі у=sinx функциясының мәндер жиыны -1;1 кесіндісі.
Егер a m 1 болса, онда sinx=a теңдеуінің шешімі болады. Арксинустың анықтамасы бойынша -PI2;PI2 кесіндісінде берілген теңдеудің бір ғана шешімі бар және ол шешім arcsin a-ға тең (19.3.1-сурет).
PI2;3PI2 аралығында у=sinx функциясы кемиді және -1-ден 1-ге дейінгі, 1-ді қоса алғандағы, мәндерді қабылдайды. Сондықтан түбір туралы теорема бойынша осы аралықта у=sinx теңдеуінің бір ғана түбірі бар және ол түбір PI-arcsin a-ға тең (19.3.2-сурет).
у=sinx функциясының периодтылығын (периоды 2PI-ге тең) ескерсек, теңдеудің барлық шешімдерін жазудың формулаларын аламыз:
x = arcsin a + 2PIn, x = PI - arcsin a + 2PIn (n-бүтін сан) (19.4-сурет).
Осы екі формуланы біріктірсек,
x= -1karcsina+ PIk (k-бүтін сан немесе k∈ℤ)
формуласы шығады.
sinx=1 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі:
PI2+ 2PIn,n∈Z .
sinx=-1 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі:
-PI2+ 2PIn,n∈Z .
sinx=0 теңдеуінің шешімдер жиынының жазылу түрі:
PIn,n∈Z .
3-мысал. sin x= 12 теңдеуінің шeшімін табайық.
Шешуі: Мұнда a= 12 , яғни a m 1 болғандықтан, 14-кесте бойынша х=-1karcsin12+PIk, k∈ℤ. Енді arcsin 12=PI6 болатынын ескеріп, х=-1kPI6 PI4+PIk, k∈ℤ аламыз.
Жауабы: х=-1kPI6 PI4+PIk, k∈ℤ.
tgx=a тригонометриялық теңдеуі
tgx=a теңдігі орындалатындай a-ның кез келген мәнінде -PI2;PI2 интервалына тиісті бір ғана х саны бар, ол сан arctg a. Сондықтан tgx=a теңдеуінің -PI2;PI2 интервалына бір ғана түбірі бар. Бұл интервалдың ұзындығы PI-ге тең. у=tgx функциясының периоды да осы санға тең. Сондықтан tgx= a теңдеуінің қалған түбірлері табылған түбірден PIn-ге(n-бүтін сан) айырмашылығы бар.
Демек, tgx=a теңдеуінің шешімі x = arctg a + PIn,мұндағы n-бүтін сан, формуласы бойынша табылады, шешімдер жиыны arctg a + PIn,n∈Z түрінде жазылады.
4-мысал. tgx=-3 теңдеуін шешейік.
Шешуі: х= arctg (-3) + PIn,n∈Z немесе х= - PI3 + PIn,n∈Z.
Жауабы: х= - PI3 + PIn,n∈Z.
сtgx=a тригонометриялық теңдеуі
сtgx=a теңдігі орындалатындай a-ның кез келген мәнінде 0;PI интервалына тиісті бір ғана х саны бар, ол сан arсctg a. Сондықтан сtgx=a теңдеуінің 0;PI интервалына бір ғана түбірі бар. Бұл интервалдың ұзындығы PI-ге тең. у=сtgx функциясының периоды да осы санға тең. Сондықтан сtgx= a теңдеуінің қалған түбірлері табылған түбірден PIn-ге(n-бүтін сан) ерекшеленеді.
Демек, сtgx=a теңдеуінің шешімі x = arсctg a + PIn,мұндағы n-бүтін сан, формуласы бойынша табылады, шешімдер жиыны arcсtg a + PIn,n∈Z түрінде жазылады.
5-мысал. сtgх+PI4=3 теңдеуін шешейік.
Шешуі: х+PI4= arсctg 3 + PIk,k∈Z ;
х+PI4= PI6 + PIk,k∈Z;
x= - PI4+PI6+PIk, k∈Z;
x= - PI12 + PIk, k∈Z.
Жауабы: x= - PI12 + PIk, k∈Z.
Негізінде мектеп курсында тригонометриялық теңдеулерді шешуде қандай әдісті қолдану тиімді екендігі жөнінде нақты нұсқаулар жоқ. Бұл жерде таңдау тек мұғалімдердің өз қалауларына байланысты болады. Менің ойымша тригонометриялық шеңберді қолдану тиімдірек болады. Себебі бұл өте көрнекі тәсіл және дәптерде аз орын алады. Негізі қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шығарған кезде уақыт мүмкіндік беріп жатса екі тәсілді де қолданған жөн. Сонымен айтып кеткенімдей тригонометриялық теңсіздіктеріне тригонометриялық түрлендірулер қолданып оны қарапайым түрге келтіргеннен кейін тригонометриялық шеңбер немесе графикалық әдісті қолданамыз
2.Тригонометриялық теңдеулер және олардың жүйелерін шешуге оқыту
2.1 Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде қажет болатын дағдылар
Әдістемелік әдебиетте дағды деген сөз тіркесі бар. Мысалы,
А.В.Петровский дағды дегенді нақты бір теориялық немесе практикалық
тапсырмаларды шешу үшін өзінің қабілеттерін, білімін және түсінігін қолдана алу деп түсінеді. Т.Б.Булыгинаның ойынша Дағды - ол белгілі бір істі саналы түрде жасау. М.В.Матюхина келесі түрде анықтама береді: Дағды - бұл қызметті табысты түрде орындауды қамтамасыз ететін білім мен
қабілеттердің ұйқастылығы. Дағдылар - бұл істерді орындаудағы
роботтандырылған әдіс. Білім - бұл түсініктегі түрлердің субъектілік
түрлілігі. Түсінік - бұл бір оқшауланғандықты және ерекшелікті
көрсететін, бір уақытта және барлығын қосып алғандағы білім түрі. Келесі
түсініктерді қарастырайық: Дағдыларды қалыптастыру. Ол мұғалімнің
оқушыларды оқытқан сәтте белгілі бір әлеуметтік тәжірибені алуын білдіреді.
Дағдыларды қалыптастыру - бұл пәннен алынатын білімде бар ақпараттарды
анықтау және қайта қарастыру бойынша барлық қиын жүйелерді меңгеру.
Дағдыларды қалыптастыру бұл негізінде білімді тереңдету түрінде
қолданылады. Дағды зерттелетін белгілі бір заттар туралы түсініктерді
меңгеру негізінде қалыптасады. Дағдыларды қалыптастырудағы негізгі жолы - бұл оқушыларды заттардың барлық жақтарын көруге, оларға әртүрлі түсініктер беру, сол затқа әртүрлі көзбен қарауды үйрету. Затты талдау арқылы синтездің көмегімен түрлендіруді оқушыларға үйрету. Қолданылатын түрлендіру қандай қарым-қатынас және тәуелділік талап етілуіне байланысты. Осындай түрлендірулер тапсырмаларды шешу жоспары болып саналады. Дағдыларға үйрету әртүрлі жолдар арқылы жүзеге асыруға болады. Оның бірі оқушыларға қажетті білімді беріп, содан соң оларға орындау үшін тапсырмалар береді. Содан соң оқушы сол тапсырманы шешу үшін мүмкіндіктер мен қателерді қолдану арқылы сәйкес бағдарларды, ақпараттарды қарастыру және қызметте қодану арқылы шешім іздейді. Бұл жолды мәселелі оқыту деп атайды. Келесі жол, ол тапсырманы шешу үшін оның түрін және талаптарын жедел анықтау бойынша белгілерге үйретеді. Бұл жолды алгоритмделген оқыту немесе толық бағдарланған негіздегі оқыту деп атайды. Соңында, бұл жол ол оқушының білімін қолдану үшін психикалық қызметке үйрету болып табылады. Бұл жағдайда мұғалім оқушыны тек қана белгілер мен тапсырмаларды айыра алу бағдарларына ғана үйретіп қоймай, сонымен қатар алға қойылған тапсырмаларды шешу үшін алынған ақпараттарды қолдануды ұйымдастырады.
Бірінші кезеңде заттың бұл бағдарлары оқушыға дайын, заттты түрде, сызба түрінде, символ, зат түрінде, ал бағдарларды анықтау бойынша шаралар заттай іс-әрекеттер түрінде қолданылады.
Бағдарлар мен заттай бағдарлар екінші кезеңде қалады, оларды ойлау шаралары, сөйлеу және жасау түрлерімен алмасады.
Үшінші кезеңде сөйлесу әрекеттері де түсіп қалып , оларды ойлау шаралары алмастырады, ол барлық сызба бойынша таралады. Бұл кезеңді ойлау қабілеттерін қалыптастыру әдісі деп атайды. Бірақ қарапайым түрде оқытуда бұл кезеңдер саналы түрде ұйымдастырылады. Сондықтан оқушы өзі қажет белгілерді анықтап, ал бастысы - осы әрекетті өзі таңдау керек. Қателіктерге көп жол беріледі. Түсініктер әрқашан толық әрі дұрыс болмайды. Дәстүрлік оқыту, дербес ойлану мен нәтижелері арқылы түзетуге негізделгендіктен, оқушының дұрыс түсінбеуіне алып келеді. Сонымен қатар оқушының қызметі ұғымдарды құруға, олардың белгілерін іздеуге қосарланбауы керек, соған қоса, түсініктерді мағына берумен толықтыру үшін, оның қолдану
тәсілдерін меңгеру керек - бұл қызмет жалғыз өзі ғана маңызды заттарды
белгілері бойынша іздеу емес, ал осы белгілерді қолдану. Түсінік толық әрі
қатесіз құрылу үшін, оқушының сәйкес жұмысы толық бағдарлы негізде құрылуы тиіс. Олай болмаса, мұғалім оқушыларға заттардың барлық дайын белгілерін беруі керек, сонымен қатар әрбірін анықтау мен қолдану үшін қажетті шараларға баланы оқыту қажет.
Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу туралы айта отырып, ол бір толық кешенді құрайтындығын, оған келесілер кіретіндігін білу қажет:
- Тапсырылған сандарға сәйкес санды шеңберде сәйкес (, және
т.б.) және сәйкес емес нүктелерді тауып алу;
- Сандарды шеңбер санымен суреттеуді және нүктелерді жаза білу (көрсетілген нүктеге сәйкес келетін барлық сандар );
- Тригонометриялық жүйелердің бірінің мағынасы бойынша санды шеңберде санды салу;
- Доға санды шеңбер үшін қос теңсіздікті құру;
- Белгілі бір түрге келтіру үшін негізгі мақсат арқылы теңдеу мен теңсіздік
көмегімен талдау шығара білу;
- Шешім қабылдауда негізгі таңдау жасай білу;
- Тригонометриялық дөгелектің кестесінің көмегімен қарапайым
тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шеше білу;
- Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде тригонометриялық жүйелерді қолдана
алу;
- Алгебралық анықтамалар мен сәйкес тригонометриялық формулаларды
қолданудағы тригонометриялық анықтамаларды орындай білу;
−Белгілі бір алгебралық теңдеулерді шеше білу (сызықты, төртбұрышты, доғал, бірсызықты, көрсетілген түрдегі алгебралық теңдеулерді) және т.б.
Көрсетілген біліктіліктер ұзақ уақыт бойы қалыптасады, қасындағы оқушылар тригонометриялық теңдеулерді білулері тиіс. Бірақ тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу тәсілдері осы білімдерді жаңа мағынаға ауыстыра білуге алып келеді
2.2Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдісітері
Тригонометриялық өрнектерден құралған теңдеулерді тригонометриялық теңдеулер деп атайды. Жалпы, тригонометриялық теңдеулерді түрлендірулер арқылы қарапайым тригонометриялық теңдеулерге келтіріп шешеді. Ал тригонометриялық теңдеулерді қарапайым теңдеулерге келтірудің жиі қолданылатын бірнеше әдісі бар. Енді осы әдістерге мысалдар келтіру арқылы тоқталып өтейік.
түріндегі теңдеулер. Мұнда
теңдеулер мен
теңдеулерін шешу әдістерін қарастырамыз.
Тригонометриялық теңдеулерді көбейткіштерге жіктеу арқылы шешу
1-мысал. 2sin23x = sin3x теңдеуін шешейік.
Шешуі: Теңдеудің оң жақ бөлігіндегі мүшені сол жақ бөлігіне көшіреміз және ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарамыз:
sin3x(2sin3x-1)=0 .
sin3x=0, sin3x = 12;
3x = PIn,nϵZ3x = -1kPI6+PIk, k∈Z;
x = PIn3,nϵZx = -1kPI18+PIk3, k∈Z;
Жауабы:PIn3,nϵZ; -1kPI18+PIk3, k∈Z
Ескерту. Егер теңдеуді шешу барысында бірнеше шешімдердің жиыны шықса онда оларды біріктіріп, бір формуламен беруге болатынын тексереміз. Ол үшін бірлік шеңберді қолданамыз.
2-мысал. x=PI2+PIn,nϵZ;x=PIk,kϵZ теңдеулердің шешімдер жиынын x=PI2t, t∈Z бір формуласы арқыты жаза аламыз, өйткені бірінші және екінші теңдеудің шешімдерін біріктіруге болады (20.1-сурет).
Алмастыру тәсілі. Квадраттық теңдеуге келтірілген тригонометриялық теңдеулер
3-мысал. 6sin2x+5cosx-7=0 теңдеуін шешейік.
Шешуі: 6sin2x+5cosx-7=0 y=cos x тригонометриялық функциясына байланысты алгебралық түрге келтіруге болады. Ол үшін sin2x+cos2x=1 негізгі тригонометриялық тепе-теңдігін қолданамыз.
sin2x =1-cos2x болғандықтан, 6sin2x+5cosx-7=0 теңдеуі мына түрге келеді:6(1-cos2x)+5cosx-7=0 немесе 6cos2x-5cosx+1=0.
cosx-ті t әріпімен алмастырып (cosx= t, мұндағы t m 1), 6t2-5t+1=0 алгебралық теңдеуін аламыз. Теңдеудің шешімдері 12 және 13 сандары болады.
Енді алмастыруды есептейміз: cosx=12,cosx=13, x=+-PI3+2PIk, k∈Z,x=+-arccos13+2PIn, n∈Z
Жауабы: +-PI3+2PIk, k∈Z;+-arccos13+2PIn, n∈Z
Біртекті теңдеулер
acosx + bsinx =0;
asin2x+bcos2x+acosx bsinx=0;asin3x+bsinxcos2x+dsin2xcos x=0
және т.б. түріндегі теңдеулерді қарастырайық.
acosx + bsinx =0 теңдеуінің сол жақ бөлігіндегі әрбір қосылғыш ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz
Реферат
Курстық жұмыс
Диплом
Материал
Диссертация
Практика
Презентация
Сабақ жоспары
Мақал-мәтелдер
1‑10 бет
11‑20 бет
21‑30 бет
31‑60 бет
61+ бет
Негізгі
Бет саны
Қосымша
Іздеу
Ештеңе табылмады :(
Соңғы қаралған жұмыстар
Қаралған жұмыстар табылмады
Тапсырыс
Антиплагиат
Қаралған жұмыстар
kz