Дискретті кездейсоқ шамалар
1-тарау. Орта мектеп математика курсындағы ықтималдық теориясының элементтері
Жалпы білім беретін мектептің 10 сыныптарға арналған матеметикасында кездейсоқ оқиғаның түрлерімен, атап айтақанда, үйлесімсіз оқиғалар мен үйлесімді оқиғалар, тең мүмкіндікті, мүмкін болатын, тәуелсіз және тәуелді оқиғалармен танысып, олардың ықтималдылдығы қандай деген сұрақты қарастырады. Өзгеше айтқанда, кездейсоқ оқиғамен -- тәжірибе нәтижесінде пайда болатын оқиғалардың сапалық сипаттамасымен жұмыс жасалынды. Ал, 11 сыныптарда сандық сипаттамалы оқиғалармен танысады. Сандық деп аталғандықтан оқиғаны қандай да бір сандық шама сипаттауы керек. Мысал ретінде, тәуліктің ұзақтығын алсақ ол оның сандық сипаттамасы болады. Бір тәулік ішінде 24 сағаттың бар екені анық, Оны біз тұрақты шама ретінде ала аламыз. Ал адамның жұмыс жасайтын уақытын осы бір тәулік ішінде алсақ, ол өзгеріп кездейсоқ шамаға айналады. [].
0.1 Ықтималдық теориясының негізгі ұғымдары: оқиға және кездейсоқ шамалар ұғымы
Жаңа терминдер: дискретті кездейсоқ шама, кездейсоқ шамаларды қосу, кездейсоқ шама, үзіліссіз кездейсоқ шама, кездейсоқ шамаларды көбейту.
Кездейсоқ шама дегеніміз - мәні кездейсоқ эксперименттердің нәтижесімен анықталатын айнымалы. Жалпы жағдайда эксперименттің әр нәтижесін ассоциация ережесін сүйене отырып, санмен байланыстыруға болады. Санды үлгінің кеңістігінің әр нүктесімен (элементермен) байланыстыру-бұл "үлгіні кеңістіктің нүктелерімен жоғары функциясын анықтау"деп аталатын әдіс. Егер S таңдау кеңістігіндегі ықтималдық өлшемі деп алсақ, ал Х-нақты S элементтерінде анықталған функция болсын. Содан кейін, X кездейсоқ шама деп қарастырамыз. Яғни, Х кездейсоқ шамасы функция болып табылады A:X=f(A) болса, онда А ϵ S. X-тің мәні A-да эксперимент нәтижесі қарапайым оқиға болуына байланысты.
Мысал 2.1
Екі доп кезекпен таңдап алынсын. Қорапта төрте доп бар. Қызыл және үш қара доп. Біз Х кездейсоқ шамасының элементтерін тізімдеп және тиісті X мәндер шамасын ала оырып , жалпы қызыл шарлар санын таңдап аламыз.
Мысал 2.2
Автокөлікке қатысты мысал қарастырайық:
Үлкен Аккра тіркеу нөмірлі (GR немесе GT) таңдаймыз және
кездейсоқ Х мәнін анықтаймыз
X=1 болады, егер таңдалған автомобиль үлкен Аккра тіркеу нөмірлі болады.
X=0 болады, егер таңдалған автомобиль кішкентай Аккра тіркеу нөмірлері болады. Яғни, егер автомобильде GT 5246 B тіркеу нөмірі болса, онда:
X (GT 5246 B) = 1
X (CR 9134 Q) = 0
X (WR 2376 D) = 0
X (GT 4801 W) = 1
Кездейсоқ шамалар әдетте мәндерінің санына сәйкес жіктеледі. Екі түбегейлі әр түрлі кездейсоқ шамалар дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалар болып екіге бөлінеді.
Дискретті кездейсоқ шама- өз мәндерін тек қана оқшауланған нүктелерде қабылдайтын шама.
Үздіксіз кездейсоқ шама- эксперимент басталғанға дейін мүмкін болатын шама. Кейбір жағдайларда, кез-келген интервал немесе үздіксіз интервал арасындағы сандарды қабылдайды.
Дискретті кездейсоқ шамалар
Анықтама: X айнымалысы эксперимент кезінде х1,х2, ... ,хк шексіз реттілікпен бір мәнді алады. Егер хк әрбір мәнінде Рк айнымалысының белгілі бір ықтималдығы хк-ке тең мәнін қабылдаған жағдайда, хк дискретті кездейсоқ шама болады.
Яғни, дискретті кездейсоқ шама тек өз мәндерін қабылдайтын айнымалы оқшауланған нүктелерде болады.
Егер X дискретті кездейсоқ шама болса, әрбір x үшін f(x) = P(X=x) берілген функция X ықтималдықтар диапазонында тарату болып табылады.
Теорема: дискретті кездейсоқ х шамалары және оның f (x) мәндері қанағаттандырылған кезде ғана келесі шарттар функция бөлу ретінде қызмет ете алады:
1. f (x)=0 әрбір мән үшін.
2. хf (x)=1 жинақтау оның аймағындағы барлық мәндерге қайта таралады.
Сайлау ұйымы облигациялардың белгілі бір шығарылымын ұнататын барлық сайлаушылардың үлесін бағалау үшін 1200 сайлаушыдан жауап алды делік. Сауалнамаға қатысқан 1200 сайлаушының үлесі барлық сайлаушылардың үлесіне жақын болады деп күткен едік, бірақ бұл дұрыс болмауы керек. Сауалнама нәтижесімен байланысты белгілі бір дәрежеде кездейсоқтық бар. Егер сауалнама нәтижелері жоғары ықтималдықпен шынайы пропорцияға жақын болса, онда бізде сауалнама нәтижелеріне сенім бар. Егер ол әсіресе халықтың үлесіне жақын болмаса, онда біз сауалнама нәтижелерін тым байыпты қабылдамауымыз мүмкін. Сауалнамаға қатысқандардың үлесі халықтың үлесіне жақын болу ықтималдығы сауалнама нәтижелеріне деген сенімділігімізді анықтайды. Осы себепті біз бұл ықтималдылықты есептей алғымыз келеді. Оны есептеу міндеті осы тарауда біз зерттейтін ықтималдық аймағына қатысты.
Кәдімгі алтыбұрышты дөңгелектеу кездейсоқ эксперименттің таныс мысалы болып табылады, ол үшін барлық мүмкін нәтижелерді тізімдеуге болады, бірақ кез-келген эксперименттің нақты нәтижесін сеніммен болжау мүмкін емес. Мұндай жағдайда біз әр нәтижеге, мысалы, екі нәтижеге, нәтиженің ықтималдығы деп аталатын санды тағайындағымыз келеді, бұл нәтиженің қаншалықты мүмкін болатындығын көрсетеді. Сол сияқты, біз кез-келген оқиғаға немесе нәтижелер жиынтығына ықтималдылықты тағайындағымыз келеді, мысалы, егер эксперимент жүргізілсе, оқиғаның қаншалықты мүмкін болатындығын көрсететін жұп санды шығару. Бұл бөлім жоғарыда аталған терминдерді қолдана отырып, ықтималдық мәселелерін талқылауға негіз береді.
Анықтама
Кездейсоқ шама - бұл белгілі бір нәтижеге әкелетін механизм, оны сенімді түрде болжау мүмкін емес. Кездейсоқ экспериментке байланысты үлгі кеңістігі барлық мүмкін нәтижелер жиынтығы болып табылады. Оқиға-бұл іріктеу кеңістігінің ішкі жиынтығы.
Егер байқалған нәтиже Е жиынының элементі болса, Е оқиғасы эксперименттің белгілі бір сынағында орын алады деп саналады.
1 мысал. Бір монетаны лақтырудан тұратын эксперимент үшін үлгі кеңістігін жасаңыз.
Шешім:
Нәтижелерді бүркіт үшін h және құйрық үшін t деп атауға болады. Содан кейін үлгі кеңістігі S={H,t} жиынтығы.
2 мысал. Бір мөрді илемдеуден тұратын эксперимент үшін үлгі кеңістігін жасаңыз. Табыңыз оқиғалар, тиісті фразам "домалап барады четное число" және "домалап барады саны екі"."
Шешім:
Нәтижелер матрицаның жоғарғы бетіндегі нүктелер санына сәйкес белгіленуі мүмкін. Содан кейін үлгі кеңістігі s={1,2,3,4,5,6} жиынтығы болып табылады.
Жұп нәтижелер 2, 4 және 6 - ға тең, сондықтан "жұп сан айналады" деген тіркеске сәйкес келетін оқиға {2,4,6} жиынтығы болып табылады, оны E әрпімен белгілеу табиғи.
Сол сияқты, "екіден Үлкен сан" тіркесіне сәйкес келетін оқиға - бұл t={3,4,5,6} жиынтығы, біз оны t деп белгіледік.
Үлгі кеңістігі мен оқиғалардың графикалық көрінісі суретте көрсетілгендей Венн диаграммасы болып табылады. 3.1" 1-мысал "3.6-ескертпесі және" 2-мысал "3.7-ескертпесі үшін" іріктеменің екі кеңістігі үшін Венн диаграммалары". Жалпы жағдайда s үлгісінің кеңістігі тіктөртбұрышпен, нәтижелері тіктөртбұрыштың ішіндегі нүктелермен, ал оқиғалар оларды құрайтын нәтижелерді қамтитын аналық бездермен ұсынылған.
Сурет. 3.1 екі үлгі кеңістігі үшін Венн диаграммалары
3 мысал. Кездейсоқ эксперимент екі тиынды лақтырудан тұрады.
Монеталарды екі жаңа пенни сияқты ажыратуға болмайтын жағдай үшін үлгі кеңістігін жасаңыз. Монеталар бір тиынға, ал екіншісі никельге ұқсамайтын жағдайға үлгі кеңістігін жасаңыз.
Шешім:
Монеталар лақтырылғаннан кейін, 2h таңбалауға болатын екі бас, 2T таңбалауға болатын екі құйрық немесе d таңбалауға болатын әр түрлі монеталар бар.
Монеталарды бір-бірінен ажырата алатындықтан, монеталарды ажыратудың екі әдісі бар: Пенни бастары мен никель құйрықтары немесе Пенни құйрықтары мен никель бастары. Біз әр нәтижені екі әріппен белгілей аламыз, олардың біріншісі Пеннидің қалай қонғанын, ал екіншісі никельдің қалай қонғанын көрсетеді. Содан кейін үлгі кеңістігі S'={һһ,ht,th,tt}.
Кездейсоқ эксперименттің барлық мүмкін нәтижелерін анықтауға пайдалы болуы мүмкін, әсіресе кезең - кезеңмен қарастыруға болатын құрылғы-бұл ағаш диаграммасы деп аталады. Бұл келесі мысалда сипатталған.
4 мысал. Үш баласы бар барлық отбасыларды туу тәртібіне сәйкес балалардың жынысына сәйкес сипаттайтын таңдау кеңістігін құрыңыз.
Шешім:
Екі нәтиже - bbg-ді білдіретін "екі ұл, содан кейін қыз" және gbb-ді білдіретін "қыз, содан кейін екі ұл". Әрине, көптеген нәтижелер бар, және біз олардың барлығын тізімдеуге тырысқанда, егер біз жүйелі түрде әрекет етпесек, олардың барлығын тапқанымызға сенімді болу қиын болуы мүмкін. Суретте көрсетілген ағаш диаграммасы. 3.2" үш баласы бар отбасыларға арналған ағаш диаграммасы " жүйелі тәсіл ұсынады.
Сурет 3.2. Үш баласы бар отбасыларға арналған ағаш диаграммасы
Схема келесідей жасалды. Бірінші балаға, ұлға немесе қызға екі мүмкіндік бар, сондықтан біз бастапқы нүктеден шығатын екі сызықты сызамыз, олардың біреуі "ұлға" арналған в әрпімен, ал екіншісі "қызға"арналған g әрпімен аяқталады."Бірінші бала үшін осы екі мүмкіндіктің әрқайсысы үшін екінші балаға," ұлға "немесе" қызға " екі мүмкіндік бар, сондықтан В және Г-ның әрқайсысынан біз екі сызық кесіндісін тартамыз, бір сегмент В-да және біреуі g-де аяқталады. диаграммадағы төрт соңғы нүктенің әрқайсысы үшін қазір үшінші бала үшін екі мүмкіндік бар, сондықтан біз процесті тағы бір рет қайталаймыз.
Сызық сегменттері ағаш бұтақтары деп аталады. Әр тармақтың оң жақ соңғы нүктесі түйін деп аталады. Оң жақ бұрыштағы түйіндер соңғы түйіндер болып табылады; суретте көрсетілгендей олардың әрқайсысы нәтижеге сәйкес келеді.
Ағаштан тәжірибенің сегіз нәтижесін оқу оңай, сондықтан үлгінің кеңістігі-бұл ағаштағы соңғы түйіндерді жоғарыдан төменге қарай оқу,
S={bbb,bbg,bgb,bgg,gbb,gbg,ggb,ggg}
Ықтималдық анықтамасы
Үлгі кеңістігіндегі e нәтижесінің ықтималдығы S-0 мен 1 арасындағы p саны, ол тиісті кездейсоқ эксперименттің бір сынағында e болу ықтималдығын өлшейді. P = 0 мәні e нәтижесінің мүмкін еместігіне сәйкес келеді, ал p = 1 мәні e нәтижесінің сенімділігіне сәйкес келеді.
Анықтамасы
А оқиғасының ықтималдығы-бұл оның құрамына кіретін жеке нәтижелердің ықтималдығының қосындысы. Ол P(A) деп белгіленеді.
Келесі формула оқиғаның ықтималдығын анықтау мазмұнын білдіреді:
Егер Е оқиғасы E={e1, e2, ..., ek} болса, содан кейін
P(E)=P(e1) + P(e2) + ... + P(ek)
Сурет. 3.3" таңдамалы кеңістіктер және ықтималдық " анықтамалары графикалық түрде суреттелген.
Сурет. 3.3 үлгі кеңістігі және ықтималдық
Барлық s үлгі кеңістігі міндетті түрде болатын оқиға болғандықтан, барлық нәтижелердің ықтималдық қосындысы 1 саны болуы керек.
Кәдімгі тілде ықтималдықтар көбінесе пайызбен көрсетіледі. Мысалы, біз ертең жаңбырдың ықтималдығы 70% құрайды деп айтамыз, яғни жаңбырдың ықтималдығы 0,70 құрайды. Біз бұл тәжірибені осы жерде қолданамыз, бірақ барлық кейінгі есептеу формулаларында 70% емес, 0.70 нысанын қолданамыз.
5 мысал. Монета "теңдестірілген" немесе "әділ" деп аталады, егер әр тарап бірдей ықтималдылықпен қонса. Эксперимент үшін үлгі кеңістігіндегі әр нәтижеге ықтималдылықты тағайындаңыз, ол бір адал монетаны лақтырудан тұрады.
Шешім:
Бүркіт үшін h және құйрық үшін t деп белгіленген нәтижелермен үлгінің кеңістігі S={H,t} жиынтығы болып табылады. Нәтижелер 1-ге дейін жиналуы керек бірдей ықтималдылыққа ие болғандықтан, әр нәтижеге 12 ықтималдығы беріледі.
6 мысал. Егер екі жағы бірдей ықтималдылықпен жоғарыдан қонса, текше "теңдестірілген" немесе "әділ" деп аталады. Эксперимент үшін үлгі кеңістігіндегі әр нәтижеге ықтималдылықты тағайындаңыз, ол бір адал текшені лақтырудан тұрады. E оқиғаларының ықтималдығын табыңыз: "жұп сан айналады "және T:" екіден Үлкен сан айналады."
Шешім:
Матрицаның жоғарғы бетіндегі нүктелер санына сәйкес белгіленген нәтижелермен іріктеу кеңістігі s={1,2,3,4,5,6} жиынтығы болып табылады. 1 болуы керек алты бірдей нәтиже болғандықтан, әрқайсысына 16 ықтималдығы беріледі.
Себебі E={2,4,6}, P (E)=1∕6+1∕6+1∕6=3∕6=1∕2.
Себебі T = {3,4,5,6}, P (T)=4∕6=2∕3.
7 мысал. Екі адал монета лақтырылады. Монеталардың сәйкес келу ықтималдығын табыңыз, яғни жердің екі басы да, жердің екі құйрығы да.
Шешім:
3.8 "3-мысал" жазбасында біз монеталар бірдей болатын жағдай үшін S={2h,2T,D} және екі монетаны ажыратуға болатын жағдай үшін S'={HH,ht,th,TT} үлгі кеңістігін салдық.
Ықтималдық теориясы нәтижелерге ықтималдылықты қалай тағайындау керектігін, олар тағайындалған кезде олармен не істеу керектігін айтпайды. Атап айтқанда, s үлгі кеңістігін қолдана отырып,сәйкес келетін монеталар-бұл P(2h)+P(2t) ықтималдығы бар m={2h, 2t} оқиғасы. S 'таңдау кеңістігін қолдана отырып,сәйкес келетін монеталар-бұл P(hh)+P(tt) ықтималдығы бар m'={HH, TT} оқиғасы. Физикалық әлемде монеталардың бірдей немесе бірдей емес екендігі маңызды емес, сондықтан біз P(M) және P(M') сандары бірдей және нақты физикалық тәжірибелер әділ болып көрінетін монеталармен жүргізілген кезде байқағанымызға сәйкес келетін нәтижелерге ықтималдық бергіміз келеді. Нақты тәжірибе көрсеткендей, s ' нәтижелері бірдей ықтимал, сондықтан біз әр ықтималдылықты 1∕4, содан кейін тағайындаймыз
P(M')=P(hh)+P(tt)=14+14=12
Сол сияқты, тәжірибеге сүйене отырып, s нәтижелері үшін тиісті нұсқалар:
P(2h)=14 P(2t)=14 P(d)=12
олар бірдей нақты жауап береді
P(M)=P(2h)+P(2t)=14+14=12
Алдыңғы үш мысал іріктеу кеңістігі бірдей ықтимал нәтижелердің соңғы санынан тұратын кезде ықтималдылықты қарапайым есептеу арқылы қалай есептеуге болатындығын көрсетеді. Кейбір жағдайларда экспериментті білдіретін кез-келген үлгі кеңістігінің жеке нәтижелері сөзсіз біркелкі емес, және бұл жағдайда ықтималдылықты санау арқылы есептеу мүмкін емес, бірақ оқиғаның ықтималдығын анықтауда берілген есептеу формуласын қолдану керек.
8 мысал. Жергілікті орта мектепте оқушылардың нәсілі мен ұлты бойынша таралуы 51% ақ, 27% қара, 11% латындар, 6% азиялықтар және 5% басқалар үшін. Оқушы Осы орта мектептен кездейсоқ таңдалады. ("Кездейсоқ" таңдау әр оқушының таңдалу мүмкіндігі бірдей екенін білдіреді.) Келесі оқиғалардың ықтималдығын табыңыз:
Б: студент қара,
М: студент-азшылық (яғни, АҚ емес),
Н.: Студент қара емес.
Шешім:
Эксперимент-бұл орта мектеп оқушыларының арасынан оқушыны кездейсоқ таңдау әрекеті. Үлгінің айқын кеңістігі-S = {W, b,h,a, o}. Студенттердің 51% - ы АҚ болғандықтан және барлық студенттердің таңдалу мүмкіндігі бірдей болғандықтан, P(w)=0,51 және басқа нәтижелерге ұқсас. Бұл ақпарат келесі кестеде келтірілген:
Нәтиже
w b h a o
Ықтималдық
0.51 0.27 0.11 0.06 0.05
B = {b} болғандықтан, P (B) = P (b) = 0,27.
M = {b, h, a, o} болғандықтан, P (M) = P (b) + P (h) + P (a) + P (o) = 0.27 + 0.11 + 0.06 + 0.05 = 0.49
N = {w, h, a, o} болғандықтан, P (N) = P (w) + P (h) + P (a) + P (o) = 0.51 + 0.11 + 0.06 + 0.05 = 0.73
9-мысал. 3.18 ескертуінде қарастырылған орта мектептегі студенттер қауымдастығы 8-мысал он санатқа бөлінуі мүмкін: 25% ақ ер, 26% ақ әйел, 12% қара ер, 15% қара әйелдер, 6% испандық ерлер, 5% испандық әйелдер, 3% азиялық ерлер, 3% азиялық әйелдер, 1% басқа азшылықтардың еркектері және 4% басқа азшылықтардың әйелдері. Студент осы орта мектептен кездейсоқ таңдалады. Келесі оқиғалардың ықтималдығын табыңыз:
B: студент қара,
MF: студент азшылық әйелдер,
FN: студент әйел, қара нәсілді емес.
Шешім:
Енді үлгі кеңістігі S = {wm, bm, hm, am, om, wf, bf, hf, af, of} құрайды. Мысалда келтірілген ақпаратты екі жақты төтенше жағдай кестесі деп аталатын келесі кестеде келтіруге болады:
Жыныс
Нәсіл этнос
Ақ
қара
испандық
азиялықтар
өзгелер
Ер
0,25
0,12
0,06
0,03
0,01
Әйел
0,26
0,15
0,05
0,03
0,04
B = {bm, bf} болғандықтан, P (B) = P (bm) + P (bf) = 0,12 + 0,15 = 0,27.
MF = {bf, hf, af, of} болғандықтан, P (M) = P (bf) + P (hf) + P (af) + P (of) = 0.15 + 0.05 + 0.03 + 0.04 = 0.27
FN = {wf, hf, af, of} болғандықтан, P (FN) = P (wf) + P (hf) + P (af) + P (of) = 0,26 + 0,05 + 0,03 + 0,04 = 0,38
Математика тек формулалар мен идеялар ғана емес. Ол қазіргі заманғы өмірде қолдану облыстарын табады. Ол медицинаға дейін немесе табиғатты қорғаудан қаржыға дейін бізді қоршаған әлем инженериясына математикалық модельдеу айтарлықтай үлес қосады.
Сіз балалық шақта ойнаған пойыздың моделін қарастырыңыз. Моделі бұл нақты пойыздың жеңілдетілуін білдіреді (ол кішірек, адам жоқ жүргізуші және т. б.), бірақ оның жалпы қасиеттері бар (ол рельстерде жұмыс істейді, ол электрмен қоректене алады және ұқсас пішінге ие болуы мүмкін).
Пойызбен ойнау арқылы сіз пойыздар туралы барлық фактілерді біле аласыз: олар көтеріле алатын беткейлер: вагондардың саны жылдамдыққа қалай әсер етеді, рельстен шығу немесе апаттың салдары қандай болуы мүмкін.
Сол сияқты, егер біз нақты математикалық модель жасасақ әлемдік жағдай, біз нақты жағдайды талдау арқылы математикалық моделін біле аламыз. Біз нақты мәселелерді де нақты өмірде тест құруға байланысты шығындар немесе қауіптер жоқ деп шеше аламыз.
Математикалық модель- бұл әлемдегі нақты жағдайды жеңілдету. Оны нақты мәселені болжау үшін пайдалануға болады. Осы модельдің көмегімен жағдайды жақсы түсінуге болады. Модель Нақты жағдайдың кейбір, бірақ барлық ерекшеліктерін ескеруге бағытталған. Белгілі бір болжамдар және бұл модель барлық ерекшеліктерді көрсетпейтінін білдіруі мүмкін нақты жағдай қажет. Математикалық модельдер пайдалы, себебі:
oo олар тез және оңай жасалады;
oo олар қиын жағдайды жеңілдетуі мүмкін;
oo олар бізге нақты әлем туралы түсінігімізді жақсартуға көмектеседі, өйткені кейбір айнымалылар өзгерту оңай;
oo олар сізге болжам жасауға мүмкіндік береді;
oo олар бақылауды қамтамасыз етуге көмектеседі.
Математикалық модельдерге кейде сақтықпен қарау керек, өйткені:
oo модель нақты мәселені жеңілдету болып табылады және барлық мәселелері аспектілерді қамтымайды;
oo модель белгілі бір жағдайларда ғана жұмыс істей алады.
Мысал ретінде мына жағдайға назар аударайық. Фермер тауық етін сатып алғысы келеді. Ол аптасына қанша жұмыртқа салынады деп сұрайды. Сатушыда ол қолдана алатын үш шара бар. Ол мүмкін аптасына сегіз жұмыртқа санын келтіріңіз, бұл орташа, аптасына 8,2 жұмыртқа, бұл орташа немесе 10 аптасына жұмыртқа, бұл режим. Қандай шараны сатушы көрсетуі керек пе? Статистикада сіз кез-келген айнымалыға бақылау немесе өлшеу жинайсыз. Мұндай бақылаулар деректер ретінде белгілі. Сандық бақылаулармен байланысты айнымалылар сандық айнымалылар деп аталады. Сандық емес бақылаулармен байланысты айнымалылар сапалық айнымалылар деп аталады.
Мысал. Кестедегі айнымалылардың әрқайсысы үшін олардың бақылаулары сандық немесе жоқ екенін көрсетіңіз.
Айнымалы
Бақылау
1
Жаға өлшемі
14, 14 12 , 15, 15 12 , 16
2
Бойы
177.8 см, 160 см, 180.4 см
3
Шаш түсі
Аққұба, қызыл, қара
Жаға өлшемі сандық болып табылады
Сіз жаға өлшемін көрсете аласыз.
Жаға өлшемі сандық айнымалы болып табылады.
Бойдың ұзындығы сандық
болып табылады
Сіз сандармен бойдың ұзындығына өлшем бере аласыз. Бойдың ұзындығы -бұл
сандық айнымалы.
Шаш түсі сандық емес
Шаш түсі сандық емес. Себебі,
сіз шаштың түсіне нөмір бере алмайсыз.Шаштың түсі сапалы айнымалы деп аталады.
Осы жылдар ішінде ықтималдылықты анықтау бірнеше өзгерістерге ұшырады. Көптеген анықтамаларда қарама-қайшы ештеңе жоқ-өзгерістер ең алдымен үлкен қоғамдастық пен математикалық қатаңдықтың қажеттілігі ретінде көрініс тапты. Бірінші тұжырым (көбінесе классикалық ықтималдық анықтамасы деп аталады) Героламоға қатысты Кардано. Бұл (1) Саны болған жағдайда ғана қолданылады мүмкін нәтижелер шектеулі және (2) барлық нәтижелер бірдей мүмкін. Бұл жағдайда m нәтижесінен тұратын оқиғаның ықтималдығы mn қатынасына тең, мұндағы n-нәтижелердің жалпы саны (мүмкін). Мысалы, адал алтыбұрышты лақтыру 6 жұп санды жылжыту ықтималдығы ретінде mn = 3 береді (яғни 2, 4 немесе 6). Кардано моделі құмар ойындарының сценарийлеріне жақсы сәйкес келді (ол үшін арналған), ол нәтижелер неғұрлым жалпы мәселелерге сәйкес келмеді бірдей мүмкін емес және немесе нәтижелер саны түпкілікті емес. Ричард фон ХХ ғасырдағы неміс математигі Мизес көбінесе "эмпирикалық" ықтималдылықты анықтау арқылы Кардано моделіндегі кемшіліктерден аулақ болған деп санайды. В фон Мизестің көзқарасы, біз экспериментті қайта - қайта қайталаймыз шамамен бірдей жағдайларда. Теориялық тұрғыдан, есептеуді жүргізуге болады нәтиже n-ге бөлінген осы оқиғаға тиесілі болған рет саны (m), эксперименттің жалпы саны. Фон Мизеске сәйкес, бұл оқиғаның ықтималдығы-mn қатынасының шегі (N шексіздікке жеткенде).
2.1.1-сурет адалдықты тастау арқылы бас тартудың эмпирикалық ықтималдығын көрсетеді
Мұндағы
n-сынақтар саны
m- уақыт өлшемі
монета: лақтырулар саны көбейген сайын mn қатынасы 2-ден 1-ге ауысады.
Фон Мизестің көзқарасы модельде байқалған кейбір кемшіліктерді өтейді Кардано, бірақ оның кемшіліктері жоқ. Кейбір бар тұжырымдамалық сәйкессіздік, мысалы, экспериментті қайталау актісі болған кезде ықтималдылықты эмпирикалық анықтау әдісі ретінде mn шегін жоғарылату кезінде бірдей жағдайларда шексіз сан рет физикалық мүмкін емес. Және жоқ қалады mn жақсы болуы үшін n қаншалықты үлкен болуы керек деген сұраққа жауап беріңіз lim mn үшін жуықтау. Ресейдің ұлы ықтималдығы Андрей Колмогоров басқаша көзқарас танытты. ХХ ғасырдың көптеген математиктерінің сәтті дамығанын білу заттар аксиоматикалық түрде, Колмогоров осылай болуы мүмкін бе деп ойлады ықтималдылықты қарым-қатынас ретінде емес (Кардано моделі ретінде) немесе қалай анықтау керек шектеу (фон Мизес моделі ретінде). Оның күш-жігері Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung шығарған кезде математикалық талғампаздықтың шедеврімен аяқталды (Ықтималдықтар теориясының негіздері) 1933 ж. Шын мәнінде, Колмогоров қабілетті болды ең көбі төрт қарапайым аксиоманың қажет екенін және оны анықтау үшін жеткілікті екенін көрсету, кез-келген және барлық Ықтималдықтар қалай әрекет етуі керек. Атап айтқанда, егер A-S үлгісі кеңістігінде анықталған кез-келген оқиға болса, P (A) символы) а ықтималдығын белгілейміз, ал P ықтималдық функциясы деп атаймыз. Шын мәнінде, бұл жиынның (яғни оқиғаның) санмен салыстырылуы. Үшін фон біздің талқылауымыз жиынтықтар теориясының бірлестіктері, қиылыстары және толықтырулары болады;
Егер s мүшелерінің саны шектеулі болса, Колмогоров ықтималдық функциясын сипаттау үшін P қажет және тек үш аксиома жеткілікті деп көрсетті:
Аксиома 1. A-S-ден жоғары кез-келген оқиға болсын, содан кейін P(A) = 0.
Аксиома 2. P(S) = 1.
Аксиома 3. A және B болсын-s-тен жоғары анықталған кез-келген екі ерекше оқиға.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
S-де шексіз мүшелер болған кезде төртінші аксиома қажет:
А1, А2 S арықылы анықталған оқиғалар болсын. Егер әрбіріне Аi∩Aj=∅ i!=j болып табылса , онда:
Pi=1infinityAi =i=1infinityP(Ai)
Осы қарапайым мәлімдемелерден ықтималдық функциясын басқарудың жалпы ережелері туындайды, олар осы функцияның қандай нақты математикалық формасына қарамастан қолданылады нақты контексте қабылдаңыз.
1.2 Кездейсоқ шаманың қосындысы мен көбейтіндісінің үлестірім заңы
Жаңа терминдер:
үлгі кеңістігінің әр нүктесіне нөмір береміз делік. Содан кейін бізде сол кеңістікте анықталған функция бар. Бұл функция кездейсоқ шама (немесе стохастикалық айнымалы) немесе дәлірек айтқанда кездейсоқ функция (стохастикалық функция) деп аталады. Ол әдетте X немесе Y сияқты бас әріппен белгіленеді. ол белгілі бір физикалық, геометриялық немесе басқа мағынаға ие.
Мысал 2.1 үлгі кеңістігі s {HH, HT,TH, TT} болатындай етіп монета екі рет лақтырылады делік. X ұсынсын пайда болуы мүмкін бастар саны. Әр іріктеу нүктесімен біз 2-1 кестеде көрсетілгендей X үшін санды байланыстыра аламыз.
Мысалы, HH жағдайында (яғни 2 бас), X 2, ал TH үшін (1 бас), X 1. Демек, x-кездейсоқ шамасы.
2-1-кесте
Үлгі
HH
HT
TH
TT
X
2
1
1
0
Айта кету керек, көптеген басқа кездейсоқ шамаларды осы үлгі кеңістігінде де анықтауға болады, мысалы, бас санының квадраты немесе бас саны құйрық санын алып тастайды.
Шексіз немесе шексіз шамаларды қабылдайтын кездейсоқ шамалар (4-бетті қараңыз) дискретті кездейсоқ шамалар деп аталады, ал шексіз шамаларды алатын шамалар бөлінбейтін кездейсоқ шама деп аталады.
Ықтималдықтың дискретті бөлінуі
Х дискретті кездейсоқ шама болсын, және ол қабылдауы мүмкін мәндер x1, x2, x3,. . . , белгілі бір тәртіппен орналастырылған. Сондай-ақ, бұл шамалар берілген ықтималдықтармен қабылданады делік
P(X = xk) = f(xk) k = 1, 2, . . . (1)
арқылы берілген ықтималдық функциясын енгізу ыңғайлы, оны ықтималдық үлестірімі деп те атайды
P(X = x) = f(x) (2)
X =xk үшін бұл (1) дейін азаяды, ал басқа x, f (x) =0 мәндері үшін.
Жалпы, f (x) - ықтималдық функциясы, егер
1. fx = 0
2.xfx=1
мұндағы 2-дегі сома барлық мүмкін x мәндері бойынша алынады.
2.2 МЫСАЛ. 2.1 мысалдың кездейсоқ шамасына сәйкес келетін ықтималдық функциясын табыңыз. Мұны ойлаңыз монета әділ, бізде мынадай бар болса
P(HH) = 14 P(HT) = 14 P(TH) = 14 P(TT) = 14
Онда
P(X= 0) = P(TT) = 14
P(X = 1) = P(HT TH) = P(HT) = P(TH) = 14= 14= 12
P(X = 2) = P(HH) = 14
Ықтималдық функциясы осылайша 2-2 кестеде келтірілген.
2-2 кесте
x
0
1
2
fx
14
12
14
Кездейсоқ шамаларды бөлу функциялары
Кездейсоқ x шамасы үшін кумулятивті үлестіру функциясы немесе қысқаша үлестіру функциясы анықталады
F(x) = P(X =x) (3)
мұндағы x-кез келген нақты сан, яғни., - infinity x infinity.
F(x) тарату функциясы келесі қасиеттерге ие:
1. F(x) азаймайды [яғни, F(x) = F(y) егер x= y].
2. limх---infinityFx=0; limх---infinityFx=1.
3. F(x) оң жағынан басталады [яғни, limх---infinityFx+h=fx барлық x үшін].
Дискретті кездейсоқ шамаларды бөлу функциялары
Бір оқиғаның пайда болуы екінші оқиғаның ықтималдығын өзгертпесе, оларды тәуелсіз оқиғалар деп, ал ықтималдығын өзгертсе, тәуелді оқиғалар деп атайтынын 10- сыныптан белгілі. Сол сияқты тәуелді және тәуелсіз кездейсоқ шамаларды да анықтауға болады.
Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары.Жаңа терминдер: кездейсоқ шаманың математикалық үміті, орташа мәні кейбір жағдайларда кездейсоқ шаманың үлестірім заңы белгісіз болуы мүмкін, онда осы шамаларды анықтау мақсатымен сандық сипаттамалар беріледі. Сондай сипаттамардың бірі - математикалық үміт.
Анықтама. Кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп оның барлық қабылдайтын мәндерімен сол мәндерге сәйкес ықтималдықтарының көбейтінділерінің қосындысын айтады да, М(Х) деп белгілейді[24].
Кездейсоқ шама х1, х2, х3, ... , хn мәндерін қабылдайтын болсын. Олардың сәйкес ықтималдықтары р1, р2, р3, ... , рn делік. Сонда математикалық үміт
М(Х)=х1· р1+ х2· р2 + х3· р3+ ... + хn pn (1.2)
8-мысал. Үлестірім заңы белгілі кездейсоқ шаманың математикалық үмітін табайық:
Кесте 17- Үлестірім заңы белгілі кездейсоқ шаманың математикалық үмітін
Х
2
4
5
6
Р
0,3
0,1
0,2
0,4
Шешуі: М(Х)= 2·0,3+4·0,1+5·0,2+6·0,4=0,6+0,4+1+2 ,4=4,4.
9-мысал. Кездейсоқ шаманың ықтималдықтарының үлестірім заңы берілген:
Кесте 18 - Үлестірім заңы белгілі кездейсоқ шаманың математикалық үмітін
Х
1
3
5
7
Р
0,2
0,4
0,3
0,1
Шешуі: Кездейсоқ шаманың математикалық үміті мынаған тең болады:
М(Х)=1·0,2+3·0,4+5·0,3+7·0,1=3,6
Тәжірибенің саны көбейген сайын оқиғаның болу жиілігі оның ықтималдығына жуық болатынын бұрын айтқанбыз. Кездейсоқ шаманы туғызушы тәжірибе N рет қайталансын. Сонда бір мәні 0,2 рет, 3 мәні 0,4 рет, 5 мәні 0,3 рет, 7 мәні 0,1 рет пайда болады делік. Бұл мәндердің арифметикалық ортасы мынаған тең:
=0,2·1+0,.4·3+0,3·5+0,1·7=М(Х)
Сондықтан да кездейсоқ шаманың математикалық үмітін кейде оның орташа мәні деп те атайды[25].
Математикалық үміттің мынадай негізгі қасиеттерін атап өтуге болады:
1-қасиет. Тұрақты шаманың математикалық үміті сол шаманың өзіне тең.
М(С)=С (1.3)
2-қасиет.Тұрақты шаманы математикалық үміт таңбасы алдына шығаруға болады:
М(С·Х)=С·М(Х) (1.4)
3-қасиет. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық үміті олардың математикалық үміттерінің қосындысына тең:
М(Х+Ү)=М(Х)+М(Ү) (1.5)
Алдынғы тақырыпта кездейсоқ шаманың орта мәннен ауытқуы қарастырылады. Сол сияқты кездейсоқ шаманың математикалық үміттен ауытқуын табуға болады. 2-мысалдағы қарастырған М(Х)=3,6 математикалық үміттен ауытқуын табайық. Ол үшін мынадай екі кездейсоқ шамалар қосындысының үлестірім заңын табу жеткілікті.
Кесте 19- екі кездейсоқ шамалар қосындысының үлестірім заңын
М(Х)
3,6
Р
1
Х
1
3
5
7
Р
0,2
0,4
0,3
0,1
Кесте 20 Х - М(Х) ауытқудың үлестірім заңы
Х-3,6
-2,6
-0,6
1,4
3,4
Р
0,2
0,4
0,3
0,1
Енді осы Х-3,6 кездейсоқ шаманың математикалық үмітін табайық.
М(Х-3,6)=-2,6·0,2- 0,6·0,4+1,4·0,3+3,4·0,1=0
5-қасиет. Кездейсоқ шаманың математикалық үміттен ауытқуының математикалық үміті нөлге тең
М(Х-М(Х))=0 (1.6)
10-мысал. Х және Ү екі тәуелсіз кездейсоқ шама үлестірім заңдарымен берілген. 2=2Х+3Ү және Х·Ү кездейсоқ шамаларының математикалық үмітін табайық:
Кесте 21- Х·Ү кездейсоқ шамаларының математикалық үміті
Х
1
2
3
Р
0,6
0,3
0,1
Ү
0
1
2
Р
0,1
0,7
0,2
Шешуі: а)М(Z)=М(2Х+3Ү)=М(2Х)+М(3Ү)=2М(Х)+3 М(Ү).
М(Х)=0,6+0,6+0,3=1,5; М(Ү)=0+0,7+0,4=1,1 болғандықтан
б)М(Х·Ү)=М(Х)·М(Ү)=1,1·1,1=1,65.
11-мысал. Х және Ү кездейсоқ шамаларының үлестірім заңдары белгілі:
Кесте 22 - Х және Ү кездейсоқ шамаларының үлестірім заңдары
Х
х1
х2
Р
р1
р2
Ү
у1
у2
q
q1
q2
және Х·Ү көбейтінді әртүрлі мәндер қабылдайды деп алып, математикалық үміттің анықтамасын пайдаланып, 3-қасиетті дәлелдеңдер.
Шешуі: 3-қасиет бойынша екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық үміттерінің қосындысына тең. Сонда былай жазылады:
Кесте 23 - Х+Ү кездейсоқ шаманың үлестірім заңы
Х+Ү
х1+у1
х1+у2
х2+у1
х2+у2
Р
p1q1
p1q2
p2q1
p2q2
Енді Х+Ү кездейсоқ шаманың математикалық үмітін есептейік:
М(Х+Ү)=(х1+у1)p1q1+(х1+у2)p1q2+(х2+ у1)p2q1+(х2+у2)p2q2=х1р1(q1+q2)+р1( у1q1+у2q2)+x2p2(q1+q2)+p2(y1q1+y2q2 )=(х1р1+x2p2)(q1+q2)+(у1q1+у2q2)(p1 +р2)=М(Х)+М(Ү).
Өйткені p1 + р2=1, q1+q2=1. Сонда М(Х) + М(Ү)
Ықтималдықтар теориясының даму тарихы.
Кездейсоқтық ұғымы қайда және қашан пайда болғанын ешкім білмейді; ол біздің елде жоғалады кері тарихы. Алайда, ерте адамдарды генерациялау құрылғыларымен байланыстыратын дәлелдер кездейсоқ оқиғалар көп: археологиялық қазбалар, мысалы, бүкіл ежелгі әлем үнемі астрагалдардың, өкше сүйектерінің көптігін анықтайды қой және басқа омыртқалылар. Неліктен бұл сүйектердің жиілігі соншалықты жоғары болуы керек? Біздің ата-бабаларымыз фанатикалық болған деп болжауға болады аяқ фетишистері, бірақ қалған екі түсінік сенімдірек болып көрінеді: сүйектер діни рәсімдер мен Құмар ойындар.
Астрагалдардың алты жағы бар, бірақ симметриялы емес (суретті қараңыз. 1.3.1). Сол, бұл табылған қазу кезінде, әдетте, нөмірленген немесе нақышталған жақтары болады. Көптеген ежелгі адамдар үшін астрагалус өркениеттері Oracle сұраған негізгі механизм болды өз құдайларының пікірлері. Кіші Азияда, мысалы бес астрагалды лақтыру немесе лақтыру дәстүрге айналды. Әрбір мүмкін конфигурация байланысты болды Құдайдың атымен және онымен бірге кеңес берді. Нәтижесі (1, 3, 3, 4, 4) мысалы, бұл Құтқарушының Зевстің лақтыруы және оның пайда болуы деп айтылды ол жігерлендіру белгісі ретінде қабылданды (34):
Бір, екі, үш, екі, төрт Сіз ойлаған әрекет, барыңыз және оны батыл етіңіз.Оған қолыңызды қойыңыз. Құдайлар саған қолайлы белгілер берді. Кардано ықтималдықтың ең негізгі принципін қолданды. Моделі,ол ретроспективада тривиалды болып көрінуі мүмкін, бірақ ол алға қарай үлкен қадам жасады: Бұл кез-келген адам теориялық емес, теориялық тұрғыдан есептеген алғашқы жағдай болды эмпирикалық ықтималдық. Алайда, Кардано жұмысының нақты әсері аз болды. Ол кітапты 1525 жылы жазды, бірақ оның жариялануы 1663 жылға дейін кейінге қалдырылды. Уақыт фокус Ренессанс және қызығушылық ықтималдығы, орын тепті бастап Италия Италия. Франция. Көптеген тарихшылар (Карданоның жақтаушылары емес) берген күн ықтималдықтың" басталуы " - 1654 жыл. Парижде бай ойыншы Шевалье де Мер бірнеше көрнекті математиктерге, соның ішінде Блез Паскальға бірқатар сұрақтар қойды сұрақтар, олардың ішіндегі ең танымалы-нүкте мәселесі: Екі адам, А және В, бір адам жеңіске жеткенше әділ ойындар сериясын ойнауға келіседі алты ойын. Олардың әрқайсысы бірдей ақша сомасын қойды, жеңімпаз бүкіл банкті алады. Бірақ қандай да бір себептермен делік, серия мерзімінен бұрын тоқтайды және осы сәтте А бес ойын жеңіп алды, ал Б-үш. Ставкалар қалай бөлінуі керек?
[Дұрыс жауап: А жалпы соманың сегізден жеті бөлігін алуы керек ставкалар. (Кеңес: конкурс қайта басталды делік. Қандай сценарийлер әкеледі
А-Бұл алты ойын жеңіп алған алғашқы адам ма?)]
А-Бұл алты ойын жеңіп алған алғашқы адам ма?)]
Паскаль де Мераның сұрақтарына қызығушылық танытты және Пьермен өз ойларымен бөлісті Ферма, Тулуза мемлекеттік қызметкері және әлемдегі ең керемет математик. Еуропа. Ферма мейірімділікпен жауап берді, ал қазіргі Паскаль-ферманың сәйкестігі тек нүкте мәселесін шешіп қана қоймай, сонымен қатар негіз болды жалпы нәтижелер үшін. Ең бастысы, Паскаль мен ферманың жұмысы туралы жаңалықтар, тез таралған. Басқалары бұл іске араласты, олардың ішіндегі ең танымалы Голланд ғалымы және математигі Кристиан Гюйгенс. Бір ғасыр бұрын Карданоны қудалаған кідірістер мен немқұрайлылық көп қайталанбасына. Оптика және астрономия саласындағы ең танымал, Гюйгенс өзінің басында мансапты нүктелер мәселесі қызықтырды. 1657 жылы ол жариялады De Ratiociniis aleae Ludo-да (құмар ойындарын есептеу) өте маңызды жұмыс, әлдеқайда көп деген жалпыға ортақ, ол барлық, ол жасады Паскаль және Ферма. Елу жылға жуық уақыт бойы бұл Ықтималдықтар теориясы бойынша стандартты "оқулық" болды. Гюйгенс таңқаларлық емес оның жақтастары бар, олар оны ықтималдықтың негізін қалаушы деп санау керек деп санайды. Тарихшылар статистикалық пайымдаудың негізгі принциптері басталды деп келіседі ХІХ ғасырдың ортасында бүктеңіз. Бұл көріністі не тудырды, бұл үш түрлі "ғылымдардың" бірлестігі болды, олардың әрқайсысы аз немесе аз тәуелсіз бағыттар (195). Немістер Staatenkunde деп атаған осы ғылымдардың алғашқысы тарих, ресурстар және әскери қызмет туралы салыстырмалы ақпарат жинау ұлттардың шеберлігі. Бұл бағыттағы күш-жігер XVII ғасырда шыңына жетті. XVIII ғасырда бұл тұжырымдама Жаңа болған жоқ: Аристотель б. з. д. төртінші ғасырда ұқсас нәрсе жасады. Қазіргі статистиканың дамуына ең аз әсер етті, бірақ ол біршама әсер етті терминология: статистика сөзінің бұл түрі өзі алдымен зерттеулерге байланысты пайда болды. Саяси арифметика деп аталатын екінші бағытты біреуі анықтады оның алғашқы жақтастары "сандармен байланысты нәрселер туралы ойлау өнері" ретінде үкіметі."Staatenkunde-тен кейінгі егін, саяси арифметиканың тамыры XVII ғасырда Англияда болды. Популяцияны бағалау және өлім кестесін құру ол жиі кездесетін екі мәселе болды. Рух бойынша саяси арифметика қазір демография деп аталатын нәрсеге ұқсас болды. Үшінші компонент ықтималды есептеулерді жасау болды. Біз сияқты бұрын бұл XVII ғасырда басталған қозғалыс болды Франция құмар ойындар туралы кейбір сұрақтарға жауап берді, бірақ ол тез арада "қозғалтқышқа" айналды" деректердің барлық түрлерін талдау үшін.
Сол кезеңнің алғашқы жұмыстары С. Н. Берштейн, Мизес, Э. Борель есімдерімен байланысты. аксиоматиканың соңғы қалыптасуы XX ғасырдың 30-шы жылдарында болды. Бұл А. Н.Космогоровтың арқасында болды. Бұл кезеңде ықтималдық ұғымы қазіргі ғылымның негізгі ұғымдарының бірі бола отырып, адам қызметінің барлық салаларына енеді.
Кездейсоқ шаманың дисперсиясы мен орташа квадраттық ауытқуы.
Қандай да бір тәжірибе болмасын көптеп қайталаудан щыққан нәтиже туралы мәлімет қажет болғанда, математкалық үміт мәнінің рөлі зор екені анық. Бірақ бірінші тәжірибе мен екінші рет жасалған тәжірибе нәтижелерінің арасында алшақтық болып отырады. Бұл алшақтық кездейсоқ шама мәндерінің математикалық үміт мәндерінің математикалық үміт төңірегінде қаншалықты шашырап (ауытқып) жатуына байланысты. Мұны бағалау үшін түрлі өлшеуіштер алады. Біз дисперсия және орташа квадраттық ауытқу өлшеуіштерін алып қарастырайық. Мысалдан бастайық.
Екі мергеннің центрден ауытқуларының үлестірім заңдары белгілі:
Кесте 24 - Екі мергеннің центрден ауытқуларының үлестірім
Ү
0
1
2
3
Р
0,1
0,45
0,35
0,1
Х
1
2
3
4
Р
0,4
0,3
0,2
0,1
Осы мергеннің біреуін ғана жоғары деңгейдегі жарысқа таңдап алу керек. Ол үшін екі кездейсоқ шама математикалық үміттерін салыстырып, қайсысы аз мәнге ие болса, соны таңдап аламыз (себебі, центрден аз ауытқыған). Математикалық үміттерін есептейік: М(Х)=1·0,4+2·0,3+3·0,2+4·0,1=2;
М(Ү)=0·0,1+1·0,45+3·0,35+5·0,1=2
Екі кездейсоқ шаманың да математикалық үміттері бірдей болып қалды М{Х}=М{Ү}, яғни екі мерген көрсеткіштері ауытқуларының орта шамасы бірдей. Кездейсоқ шамалардың математикалық үміттен ауытқуының математикалық үмітін алу да бізге ешқандай нәтиже бермейді, себебі 5-қасиет бойынша ол әр уақытта нөлге тең.
Мынадай жаңа ұғым енгізіледі.
Анықтама. Кездейсоқ шаманың математикалық үміттен ауытқуының квадратының математикалық үмітін Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп атайды [26].
Басқаша айтқанда, кездейсоқ шама мен оның математикалық үміті айырымының квадратының математикалық үмітін дисперсиясы D{Х) таңбасымен белгіленеді.
Кездейсоқ шаманың математикалық үміттен ауытқуы: Х-М{Х), оның квадраты { Х-М{Х)}2, ал дисперсия : D(Х)=М[{ Х-М{Х)}2 ].
Дисперсия кездейсоқ шаманың еқ маңызды сандық сипаттамаларының бірі болып есептеледі. Дисперсия кездейсоқ шамаларды олардың математикалық үміт маңында қалай шашырап орналасуына қарап, салыстыруға мүмкіндік береді.
Әдетте дисперсия оңай есептелінетін мынадай теорема қолданылады.
Теорема: Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы Х2 кездейсоқ шаманың математикалық үміті мен Х кездейсоқ шаманың математикалық үміті квадратының айырымына тең.
D{X)=M{X2)-[M{X) (1.7)
Бұл формула математикалық үміттің қасиеттерін пайдаланып, түрлендіргенде табылады.
Мысалдағы екі мергеннің де дисперсияларын есептеу үшін Х және Ү кездейсоқ шамаларын үлестірім заңын жазып алу керек.
Кесте 25 - Х және Ү кездейсоқ шамаларын үлестірім заңы
Х
1
4
9
16
Р
0,4
0,3
0,2
0,1
Ү
0
1
9
25
Р
0,1
0,45
0,35
0,1
М(Х2) пен М(Ү2) есептейік:
М(Х2)=1·0,4+4·0,3+9·0,2+16·0,1=5
М(Ү2)=1·0,1+1·0,45+9·0,35+25·0,1=6, 1
Енді дисперсияларын есептейік:
D(X)= М(Х2)-[ М(Х)][2]=5-4=1;
D(Y)= М(Ү2)-[ М(Х)][2]=6,1-4=2,1;
Екі кездейсоқ шаманың диспарсиялары әр түрлі D(X)=1 және D(Y)=2,1. Бірінші мергеннің көрсеткіштері екінші мерген көрсеткіштеріне қарағанда орта шамадан шашырауы аз. Басқаша айтсақ, бірінші мергеннің көрсеткіштері орта шама маңайында, екіншіге қарағанда, көбірек шоғырланған. Бұл қорытынды жоғары деңгейдегі жарысқа бірінші мергеннің таңдалуына негіз болады.
Дисперсияның мынадай негізгі қасиеттерін атап өтейік[27].
1-қасиет. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең, яғни
D(C)=0 (1.8)
Дәлелдеу: D( CX)= M[{C-M(C)}2]=M[{C-C}2]=0[28-29].
2-қасиет. Тұрақты шаманы дисперсия таңбасы алдына квадраттап алып шығаруға болады, яғни
D(CX)=C2 D(X) (1.9)
Дәлелдеу: D(CX)=M[{CX-V(CX}2]=M[{CX-CM(X)}2]= C2M[{X-M(X)}2]=C2·D(X).
3-қасиет. Екі кездейсоқ шама қосындысының (айырымының) дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең, яғни
D(X+-Y)=D(X)+D(Y) (1.10)
Дәлелдеу: Дисперсияның анықтамасы бойынша
D(X+Y)=M[{(X+Y)-M(X+Y)}2]=M[{X-M(X) )-(Y-M(Y))}2].
Жақша ішіндегі өрнекті квадрат дәрежелеп, математикалық үміт қасиетін пайдалансақ, онда
D(X+Y)=M[{X-M(X)}2]+2M[(X-M(X))(Y-M (Y))]+M[{Y-M(Y))}2].
Бірінші қосылғыш D(X)-ке, үшінші қосылғыш D(Y)-ке тең[30-31].
Енді екінші қосылғыштың неге тең болуын математикалық үміт қасиеттерін пайдаланып анықтайық.
2M[(X-M(X))(Y-M(Y))]=2M[X-M(X)]·M[Y -M(Y)]
Математикалық үміт М(Х) пен М(Ү) тұрақты, олай болса
М[X-M(X)]=M(X)-M[M(X)-M(X)=0.
Осы сияқты M[Y-M(Y)]=0. Сонымен, екінші мүше нөлге тең болғандықтан, D(X+Y)= D(X)+ D(Y). Х пен Ү айырымының дисперсиясын алу үшін Х-Ү=X+(-1)Y деп жазамыз. Сонда С = -1 десек, екінші қасиетті пайдаланып, тұжырым оңай дәлелденеді.
Осы қасиеттердің қолданысын көрсететін мысал қарастырайық. Тәуелсіз Х және Ү кездейсоқ шамаларының дисперсиялары сәйкес 8-ге және 10-ға тең.
а) 3Х
б)Х+Ү
в)Х-Ү кездейсоқ шамаларының дисперсияларын табайық.
D(X)=8, D(Y)=10.
а) 3Х кездейсоқ шаманың дисперсиясын табу үшін екі қасиетті қолданамыз. Мұндағы тұрақты сан 3, олай болса
D(3X)=32·D(X)=9·8=72
б) Х+Ү кездейсоқ шаманың дисперсиясын табу үшін 3-қасиетті қолданамыз.
D(X+Y)=M(X)+M(Y)=8+10=18
в) Х-Ү кездейсоқ шаманың дисперсиясын табу үшін де 3-қасиетті қолданамыз.
D(X-Y)=M(X)-M(Y)=8-10=-2
Кездейсоқ шаманың, математикалық үміті сызықты өлшемді, ал дисперсиясы квадрат өлшемді. Мысалы, егер кездейсоқ шама метрмен өлшенсе, оның математикалық үміті де метрмен өлшенеді, ал дисперсиясы квадрат метрмен өлшенеді. Осы айырмашылықты жою үшін мынадай жаңа ұғым негізделеді.
Анықтама: Кездейсоқ шама дисперсиясынан алынған квадрат түбір орта квадраттық ауытқу деп аталады да (Х) =деп белгілінеді [32].
Сонымен D(X) кездейсоқ шаманың дисперсиясы болса,
(Х) = (1.11)
Орта квадраттық ауытқу дисперсиясының ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Жалпы білім беретін мектептің 10 сыныптарға арналған матеметикасында кездейсоқ оқиғаның түрлерімен, атап айтақанда, үйлесімсіз оқиғалар мен үйлесімді оқиғалар, тең мүмкіндікті, мүмкін болатын, тәуелсіз және тәуелді оқиғалармен танысып, олардың ықтималдылдығы қандай деген сұрақты қарастырады. Өзгеше айтқанда, кездейсоқ оқиғамен -- тәжірибе нәтижесінде пайда болатын оқиғалардың сапалық сипаттамасымен жұмыс жасалынды. Ал, 11 сыныптарда сандық сипаттамалы оқиғалармен танысады. Сандық деп аталғандықтан оқиғаны қандай да бір сандық шама сипаттауы керек. Мысал ретінде, тәуліктің ұзақтығын алсақ ол оның сандық сипаттамасы болады. Бір тәулік ішінде 24 сағаттың бар екені анық, Оны біз тұрақты шама ретінде ала аламыз. Ал адамның жұмыс жасайтын уақытын осы бір тәулік ішінде алсақ, ол өзгеріп кездейсоқ шамаға айналады. [].
0.1 Ықтималдық теориясының негізгі ұғымдары: оқиға және кездейсоқ шамалар ұғымы
Жаңа терминдер: дискретті кездейсоқ шама, кездейсоқ шамаларды қосу, кездейсоқ шама, үзіліссіз кездейсоқ шама, кездейсоқ шамаларды көбейту.
Кездейсоқ шама дегеніміз - мәні кездейсоқ эксперименттердің нәтижесімен анықталатын айнымалы. Жалпы жағдайда эксперименттің әр нәтижесін ассоциация ережесін сүйене отырып, санмен байланыстыруға болады. Санды үлгінің кеңістігінің әр нүктесімен (элементермен) байланыстыру-бұл "үлгіні кеңістіктің нүктелерімен жоғары функциясын анықтау"деп аталатын әдіс. Егер S таңдау кеңістігіндегі ықтималдық өлшемі деп алсақ, ал Х-нақты S элементтерінде анықталған функция болсын. Содан кейін, X кездейсоқ шама деп қарастырамыз. Яғни, Х кездейсоқ шамасы функция болып табылады A:X=f(A) болса, онда А ϵ S. X-тің мәні A-да эксперимент нәтижесі қарапайым оқиға болуына байланысты.
Мысал 2.1
Екі доп кезекпен таңдап алынсын. Қорапта төрте доп бар. Қызыл және үш қара доп. Біз Х кездейсоқ шамасының элементтерін тізімдеп және тиісті X мәндер шамасын ала оырып , жалпы қызыл шарлар санын таңдап аламыз.
Мысал 2.2
Автокөлікке қатысты мысал қарастырайық:
Үлкен Аккра тіркеу нөмірлі (GR немесе GT) таңдаймыз және
кездейсоқ Х мәнін анықтаймыз
X=1 болады, егер таңдалған автомобиль үлкен Аккра тіркеу нөмірлі болады.
X=0 болады, егер таңдалған автомобиль кішкентай Аккра тіркеу нөмірлері болады. Яғни, егер автомобильде GT 5246 B тіркеу нөмірі болса, онда:
X (GT 5246 B) = 1
X (CR 9134 Q) = 0
X (WR 2376 D) = 0
X (GT 4801 W) = 1
Кездейсоқ шамалар әдетте мәндерінің санына сәйкес жіктеледі. Екі түбегейлі әр түрлі кездейсоқ шамалар дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалар болып екіге бөлінеді.
Дискретті кездейсоқ шама- өз мәндерін тек қана оқшауланған нүктелерде қабылдайтын шама.
Үздіксіз кездейсоқ шама- эксперимент басталғанға дейін мүмкін болатын шама. Кейбір жағдайларда, кез-келген интервал немесе үздіксіз интервал арасындағы сандарды қабылдайды.
Дискретті кездейсоқ шамалар
Анықтама: X айнымалысы эксперимент кезінде х1,х2, ... ,хк шексіз реттілікпен бір мәнді алады. Егер хк әрбір мәнінде Рк айнымалысының белгілі бір ықтималдығы хк-ке тең мәнін қабылдаған жағдайда, хк дискретті кездейсоқ шама болады.
Яғни, дискретті кездейсоқ шама тек өз мәндерін қабылдайтын айнымалы оқшауланған нүктелерде болады.
Егер X дискретті кездейсоқ шама болса, әрбір x үшін f(x) = P(X=x) берілген функция X ықтималдықтар диапазонында тарату болып табылады.
Теорема: дискретті кездейсоқ х шамалары және оның f (x) мәндері қанағаттандырылған кезде ғана келесі шарттар функция бөлу ретінде қызмет ете алады:
1. f (x)=0 әрбір мән үшін.
2. хf (x)=1 жинақтау оның аймағындағы барлық мәндерге қайта таралады.
Сайлау ұйымы облигациялардың белгілі бір шығарылымын ұнататын барлық сайлаушылардың үлесін бағалау үшін 1200 сайлаушыдан жауап алды делік. Сауалнамаға қатысқан 1200 сайлаушының үлесі барлық сайлаушылардың үлесіне жақын болады деп күткен едік, бірақ бұл дұрыс болмауы керек. Сауалнама нәтижесімен байланысты белгілі бір дәрежеде кездейсоқтық бар. Егер сауалнама нәтижелері жоғары ықтималдықпен шынайы пропорцияға жақын болса, онда бізде сауалнама нәтижелеріне сенім бар. Егер ол әсіресе халықтың үлесіне жақын болмаса, онда біз сауалнама нәтижелерін тым байыпты қабылдамауымыз мүмкін. Сауалнамаға қатысқандардың үлесі халықтың үлесіне жақын болу ықтималдығы сауалнама нәтижелеріне деген сенімділігімізді анықтайды. Осы себепті біз бұл ықтималдылықты есептей алғымыз келеді. Оны есептеу міндеті осы тарауда біз зерттейтін ықтималдық аймағына қатысты.
Кәдімгі алтыбұрышты дөңгелектеу кездейсоқ эксперименттің таныс мысалы болып табылады, ол үшін барлық мүмкін нәтижелерді тізімдеуге болады, бірақ кез-келген эксперименттің нақты нәтижесін сеніммен болжау мүмкін емес. Мұндай жағдайда біз әр нәтижеге, мысалы, екі нәтижеге, нәтиженің ықтималдығы деп аталатын санды тағайындағымыз келеді, бұл нәтиженің қаншалықты мүмкін болатындығын көрсетеді. Сол сияқты, біз кез-келген оқиғаға немесе нәтижелер жиынтығына ықтималдылықты тағайындағымыз келеді, мысалы, егер эксперимент жүргізілсе, оқиғаның қаншалықты мүмкін болатындығын көрсететін жұп санды шығару. Бұл бөлім жоғарыда аталған терминдерді қолдана отырып, ықтималдық мәселелерін талқылауға негіз береді.
Анықтама
Кездейсоқ шама - бұл белгілі бір нәтижеге әкелетін механизм, оны сенімді түрде болжау мүмкін емес. Кездейсоқ экспериментке байланысты үлгі кеңістігі барлық мүмкін нәтижелер жиынтығы болып табылады. Оқиға-бұл іріктеу кеңістігінің ішкі жиынтығы.
Егер байқалған нәтиже Е жиынының элементі болса, Е оқиғасы эксперименттің белгілі бір сынағында орын алады деп саналады.
1 мысал. Бір монетаны лақтырудан тұратын эксперимент үшін үлгі кеңістігін жасаңыз.
Шешім:
Нәтижелерді бүркіт үшін h және құйрық үшін t деп атауға болады. Содан кейін үлгі кеңістігі S={H,t} жиынтығы.
2 мысал. Бір мөрді илемдеуден тұратын эксперимент үшін үлгі кеңістігін жасаңыз. Табыңыз оқиғалар, тиісті фразам "домалап барады четное число" және "домалап барады саны екі"."
Шешім:
Нәтижелер матрицаның жоғарғы бетіндегі нүктелер санына сәйкес белгіленуі мүмкін. Содан кейін үлгі кеңістігі s={1,2,3,4,5,6} жиынтығы болып табылады.
Жұп нәтижелер 2, 4 және 6 - ға тең, сондықтан "жұп сан айналады" деген тіркеске сәйкес келетін оқиға {2,4,6} жиынтығы болып табылады, оны E әрпімен белгілеу табиғи.
Сол сияқты, "екіден Үлкен сан" тіркесіне сәйкес келетін оқиға - бұл t={3,4,5,6} жиынтығы, біз оны t деп белгіледік.
Үлгі кеңістігі мен оқиғалардың графикалық көрінісі суретте көрсетілгендей Венн диаграммасы болып табылады. 3.1" 1-мысал "3.6-ескертпесі және" 2-мысал "3.7-ескертпесі үшін" іріктеменің екі кеңістігі үшін Венн диаграммалары". Жалпы жағдайда s үлгісінің кеңістігі тіктөртбұрышпен, нәтижелері тіктөртбұрыштың ішіндегі нүктелермен, ал оқиғалар оларды құрайтын нәтижелерді қамтитын аналық бездермен ұсынылған.
Сурет. 3.1 екі үлгі кеңістігі үшін Венн диаграммалары
3 мысал. Кездейсоқ эксперимент екі тиынды лақтырудан тұрады.
Монеталарды екі жаңа пенни сияқты ажыратуға болмайтын жағдай үшін үлгі кеңістігін жасаңыз. Монеталар бір тиынға, ал екіншісі никельге ұқсамайтын жағдайға үлгі кеңістігін жасаңыз.
Шешім:
Монеталар лақтырылғаннан кейін, 2h таңбалауға болатын екі бас, 2T таңбалауға болатын екі құйрық немесе d таңбалауға болатын әр түрлі монеталар бар.
Монеталарды бір-бірінен ажырата алатындықтан, монеталарды ажыратудың екі әдісі бар: Пенни бастары мен никель құйрықтары немесе Пенни құйрықтары мен никель бастары. Біз әр нәтижені екі әріппен белгілей аламыз, олардың біріншісі Пеннидің қалай қонғанын, ал екіншісі никельдің қалай қонғанын көрсетеді. Содан кейін үлгі кеңістігі S'={һһ,ht,th,tt}.
Кездейсоқ эксперименттің барлық мүмкін нәтижелерін анықтауға пайдалы болуы мүмкін, әсіресе кезең - кезеңмен қарастыруға болатын құрылғы-бұл ағаш диаграммасы деп аталады. Бұл келесі мысалда сипатталған.
4 мысал. Үш баласы бар барлық отбасыларды туу тәртібіне сәйкес балалардың жынысына сәйкес сипаттайтын таңдау кеңістігін құрыңыз.
Шешім:
Екі нәтиже - bbg-ді білдіретін "екі ұл, содан кейін қыз" және gbb-ді білдіретін "қыз, содан кейін екі ұл". Әрине, көптеген нәтижелер бар, және біз олардың барлығын тізімдеуге тырысқанда, егер біз жүйелі түрде әрекет етпесек, олардың барлығын тапқанымызға сенімді болу қиын болуы мүмкін. Суретте көрсетілген ағаш диаграммасы. 3.2" үш баласы бар отбасыларға арналған ағаш диаграммасы " жүйелі тәсіл ұсынады.
Сурет 3.2. Үш баласы бар отбасыларға арналған ағаш диаграммасы
Схема келесідей жасалды. Бірінші балаға, ұлға немесе қызға екі мүмкіндік бар, сондықтан біз бастапқы нүктеден шығатын екі сызықты сызамыз, олардың біреуі "ұлға" арналған в әрпімен, ал екіншісі "қызға"арналған g әрпімен аяқталады."Бірінші бала үшін осы екі мүмкіндіктің әрқайсысы үшін екінші балаға," ұлға "немесе" қызға " екі мүмкіндік бар, сондықтан В және Г-ның әрқайсысынан біз екі сызық кесіндісін тартамыз, бір сегмент В-да және біреуі g-де аяқталады. диаграммадағы төрт соңғы нүктенің әрқайсысы үшін қазір үшінші бала үшін екі мүмкіндік бар, сондықтан біз процесті тағы бір рет қайталаймыз.
Сызық сегменттері ағаш бұтақтары деп аталады. Әр тармақтың оң жақ соңғы нүктесі түйін деп аталады. Оң жақ бұрыштағы түйіндер соңғы түйіндер болып табылады; суретте көрсетілгендей олардың әрқайсысы нәтижеге сәйкес келеді.
Ағаштан тәжірибенің сегіз нәтижесін оқу оңай, сондықтан үлгінің кеңістігі-бұл ағаштағы соңғы түйіндерді жоғарыдан төменге қарай оқу,
S={bbb,bbg,bgb,bgg,gbb,gbg,ggb,ggg}
Ықтималдық анықтамасы
Үлгі кеңістігіндегі e нәтижесінің ықтималдығы S-0 мен 1 арасындағы p саны, ол тиісті кездейсоқ эксперименттің бір сынағында e болу ықтималдығын өлшейді. P = 0 мәні e нәтижесінің мүмкін еместігіне сәйкес келеді, ал p = 1 мәні e нәтижесінің сенімділігіне сәйкес келеді.
Анықтамасы
А оқиғасының ықтималдығы-бұл оның құрамына кіретін жеке нәтижелердің ықтималдығының қосындысы. Ол P(A) деп белгіленеді.
Келесі формула оқиғаның ықтималдығын анықтау мазмұнын білдіреді:
Егер Е оқиғасы E={e1, e2, ..., ek} болса, содан кейін
P(E)=P(e1) + P(e2) + ... + P(ek)
Сурет. 3.3" таңдамалы кеңістіктер және ықтималдық " анықтамалары графикалық түрде суреттелген.
Сурет. 3.3 үлгі кеңістігі және ықтималдық
Барлық s үлгі кеңістігі міндетті түрде болатын оқиға болғандықтан, барлық нәтижелердің ықтималдық қосындысы 1 саны болуы керек.
Кәдімгі тілде ықтималдықтар көбінесе пайызбен көрсетіледі. Мысалы, біз ертең жаңбырдың ықтималдығы 70% құрайды деп айтамыз, яғни жаңбырдың ықтималдығы 0,70 құрайды. Біз бұл тәжірибені осы жерде қолданамыз, бірақ барлық кейінгі есептеу формулаларында 70% емес, 0.70 нысанын қолданамыз.
5 мысал. Монета "теңдестірілген" немесе "әділ" деп аталады, егер әр тарап бірдей ықтималдылықпен қонса. Эксперимент үшін үлгі кеңістігіндегі әр нәтижеге ықтималдылықты тағайындаңыз, ол бір адал монетаны лақтырудан тұрады.
Шешім:
Бүркіт үшін h және құйрық үшін t деп белгіленген нәтижелермен үлгінің кеңістігі S={H,t} жиынтығы болып табылады. Нәтижелер 1-ге дейін жиналуы керек бірдей ықтималдылыққа ие болғандықтан, әр нәтижеге 12 ықтималдығы беріледі.
6 мысал. Егер екі жағы бірдей ықтималдылықпен жоғарыдан қонса, текше "теңдестірілген" немесе "әділ" деп аталады. Эксперимент үшін үлгі кеңістігіндегі әр нәтижеге ықтималдылықты тағайындаңыз, ол бір адал текшені лақтырудан тұрады. E оқиғаларының ықтималдығын табыңыз: "жұп сан айналады "және T:" екіден Үлкен сан айналады."
Шешім:
Матрицаның жоғарғы бетіндегі нүктелер санына сәйкес белгіленген нәтижелермен іріктеу кеңістігі s={1,2,3,4,5,6} жиынтығы болып табылады. 1 болуы керек алты бірдей нәтиже болғандықтан, әрқайсысына 16 ықтималдығы беріледі.
Себебі E={2,4,6}, P (E)=1∕6+1∕6+1∕6=3∕6=1∕2.
Себебі T = {3,4,5,6}, P (T)=4∕6=2∕3.
7 мысал. Екі адал монета лақтырылады. Монеталардың сәйкес келу ықтималдығын табыңыз, яғни жердің екі басы да, жердің екі құйрығы да.
Шешім:
3.8 "3-мысал" жазбасында біз монеталар бірдей болатын жағдай үшін S={2h,2T,D} және екі монетаны ажыратуға болатын жағдай үшін S'={HH,ht,th,TT} үлгі кеңістігін салдық.
Ықтималдық теориясы нәтижелерге ықтималдылықты қалай тағайындау керектігін, олар тағайындалған кезде олармен не істеу керектігін айтпайды. Атап айтқанда, s үлгі кеңістігін қолдана отырып,сәйкес келетін монеталар-бұл P(2h)+P(2t) ықтималдығы бар m={2h, 2t} оқиғасы. S 'таңдау кеңістігін қолдана отырып,сәйкес келетін монеталар-бұл P(hh)+P(tt) ықтималдығы бар m'={HH, TT} оқиғасы. Физикалық әлемде монеталардың бірдей немесе бірдей емес екендігі маңызды емес, сондықтан біз P(M) және P(M') сандары бірдей және нақты физикалық тәжірибелер әділ болып көрінетін монеталармен жүргізілген кезде байқағанымызға сәйкес келетін нәтижелерге ықтималдық бергіміз келеді. Нақты тәжірибе көрсеткендей, s ' нәтижелері бірдей ықтимал, сондықтан біз әр ықтималдылықты 1∕4, содан кейін тағайындаймыз
P(M')=P(hh)+P(tt)=14+14=12
Сол сияқты, тәжірибеге сүйене отырып, s нәтижелері үшін тиісті нұсқалар:
P(2h)=14 P(2t)=14 P(d)=12
олар бірдей нақты жауап береді
P(M)=P(2h)+P(2t)=14+14=12
Алдыңғы үш мысал іріктеу кеңістігі бірдей ықтимал нәтижелердің соңғы санынан тұратын кезде ықтималдылықты қарапайым есептеу арқылы қалай есептеуге болатындығын көрсетеді. Кейбір жағдайларда экспериментті білдіретін кез-келген үлгі кеңістігінің жеке нәтижелері сөзсіз біркелкі емес, және бұл жағдайда ықтималдылықты санау арқылы есептеу мүмкін емес, бірақ оқиғаның ықтималдығын анықтауда берілген есептеу формуласын қолдану керек.
8 мысал. Жергілікті орта мектепте оқушылардың нәсілі мен ұлты бойынша таралуы 51% ақ, 27% қара, 11% латындар, 6% азиялықтар және 5% басқалар үшін. Оқушы Осы орта мектептен кездейсоқ таңдалады. ("Кездейсоқ" таңдау әр оқушының таңдалу мүмкіндігі бірдей екенін білдіреді.) Келесі оқиғалардың ықтималдығын табыңыз:
Б: студент қара,
М: студент-азшылық (яғни, АҚ емес),
Н.: Студент қара емес.
Шешім:
Эксперимент-бұл орта мектеп оқушыларының арасынан оқушыны кездейсоқ таңдау әрекеті. Үлгінің айқын кеңістігі-S = {W, b,h,a, o}. Студенттердің 51% - ы АҚ болғандықтан және барлық студенттердің таңдалу мүмкіндігі бірдей болғандықтан, P(w)=0,51 және басқа нәтижелерге ұқсас. Бұл ақпарат келесі кестеде келтірілген:
Нәтиже
w b h a o
Ықтималдық
0.51 0.27 0.11 0.06 0.05
B = {b} болғандықтан, P (B) = P (b) = 0,27.
M = {b, h, a, o} болғандықтан, P (M) = P (b) + P (h) + P (a) + P (o) = 0.27 + 0.11 + 0.06 + 0.05 = 0.49
N = {w, h, a, o} болғандықтан, P (N) = P (w) + P (h) + P (a) + P (o) = 0.51 + 0.11 + 0.06 + 0.05 = 0.73
9-мысал. 3.18 ескертуінде қарастырылған орта мектептегі студенттер қауымдастығы 8-мысал он санатқа бөлінуі мүмкін: 25% ақ ер, 26% ақ әйел, 12% қара ер, 15% қара әйелдер, 6% испандық ерлер, 5% испандық әйелдер, 3% азиялық ерлер, 3% азиялық әйелдер, 1% басқа азшылықтардың еркектері және 4% басқа азшылықтардың әйелдері. Студент осы орта мектептен кездейсоқ таңдалады. Келесі оқиғалардың ықтималдығын табыңыз:
B: студент қара,
MF: студент азшылық әйелдер,
FN: студент әйел, қара нәсілді емес.
Шешім:
Енді үлгі кеңістігі S = {wm, bm, hm, am, om, wf, bf, hf, af, of} құрайды. Мысалда келтірілген ақпаратты екі жақты төтенше жағдай кестесі деп аталатын келесі кестеде келтіруге болады:
Жыныс
Нәсіл этнос
Ақ
қара
испандық
азиялықтар
өзгелер
Ер
0,25
0,12
0,06
0,03
0,01
Әйел
0,26
0,15
0,05
0,03
0,04
B = {bm, bf} болғандықтан, P (B) = P (bm) + P (bf) = 0,12 + 0,15 = 0,27.
MF = {bf, hf, af, of} болғандықтан, P (M) = P (bf) + P (hf) + P (af) + P (of) = 0.15 + 0.05 + 0.03 + 0.04 = 0.27
FN = {wf, hf, af, of} болғандықтан, P (FN) = P (wf) + P (hf) + P (af) + P (of) = 0,26 + 0,05 + 0,03 + 0,04 = 0,38
Математика тек формулалар мен идеялар ғана емес. Ол қазіргі заманғы өмірде қолдану облыстарын табады. Ол медицинаға дейін немесе табиғатты қорғаудан қаржыға дейін бізді қоршаған әлем инженериясына математикалық модельдеу айтарлықтай үлес қосады.
Сіз балалық шақта ойнаған пойыздың моделін қарастырыңыз. Моделі бұл нақты пойыздың жеңілдетілуін білдіреді (ол кішірек, адам жоқ жүргізуші және т. б.), бірақ оның жалпы қасиеттері бар (ол рельстерде жұмыс істейді, ол электрмен қоректене алады және ұқсас пішінге ие болуы мүмкін).
Пойызбен ойнау арқылы сіз пойыздар туралы барлық фактілерді біле аласыз: олар көтеріле алатын беткейлер: вагондардың саны жылдамдыққа қалай әсер етеді, рельстен шығу немесе апаттың салдары қандай болуы мүмкін.
Сол сияқты, егер біз нақты математикалық модель жасасақ әлемдік жағдай, біз нақты жағдайды талдау арқылы математикалық моделін біле аламыз. Біз нақты мәселелерді де нақты өмірде тест құруға байланысты шығындар немесе қауіптер жоқ деп шеше аламыз.
Математикалық модель- бұл әлемдегі нақты жағдайды жеңілдету. Оны нақты мәселені болжау үшін пайдалануға болады. Осы модельдің көмегімен жағдайды жақсы түсінуге болады. Модель Нақты жағдайдың кейбір, бірақ барлық ерекшеліктерін ескеруге бағытталған. Белгілі бір болжамдар және бұл модель барлық ерекшеліктерді көрсетпейтінін білдіруі мүмкін нақты жағдай қажет. Математикалық модельдер пайдалы, себебі:
oo олар тез және оңай жасалады;
oo олар қиын жағдайды жеңілдетуі мүмкін;
oo олар бізге нақты әлем туралы түсінігімізді жақсартуға көмектеседі, өйткені кейбір айнымалылар өзгерту оңай;
oo олар сізге болжам жасауға мүмкіндік береді;
oo олар бақылауды қамтамасыз етуге көмектеседі.
Математикалық модельдерге кейде сақтықпен қарау керек, өйткені:
oo модель нақты мәселені жеңілдету болып табылады және барлық мәселелері аспектілерді қамтымайды;
oo модель белгілі бір жағдайларда ғана жұмыс істей алады.
Мысал ретінде мына жағдайға назар аударайық. Фермер тауық етін сатып алғысы келеді. Ол аптасына қанша жұмыртқа салынады деп сұрайды. Сатушыда ол қолдана алатын үш шара бар. Ол мүмкін аптасына сегіз жұмыртқа санын келтіріңіз, бұл орташа, аптасына 8,2 жұмыртқа, бұл орташа немесе 10 аптасына жұмыртқа, бұл режим. Қандай шараны сатушы көрсетуі керек пе? Статистикада сіз кез-келген айнымалыға бақылау немесе өлшеу жинайсыз. Мұндай бақылаулар деректер ретінде белгілі. Сандық бақылаулармен байланысты айнымалылар сандық айнымалылар деп аталады. Сандық емес бақылаулармен байланысты айнымалылар сапалық айнымалылар деп аталады.
Мысал. Кестедегі айнымалылардың әрқайсысы үшін олардың бақылаулары сандық немесе жоқ екенін көрсетіңіз.
Айнымалы
Бақылау
1
Жаға өлшемі
14, 14 12 , 15, 15 12 , 16
2
Бойы
177.8 см, 160 см, 180.4 см
3
Шаш түсі
Аққұба, қызыл, қара
Жаға өлшемі сандық болып табылады
Сіз жаға өлшемін көрсете аласыз.
Жаға өлшемі сандық айнымалы болып табылады.
Бойдың ұзындығы сандық
болып табылады
Сіз сандармен бойдың ұзындығына өлшем бере аласыз. Бойдың ұзындығы -бұл
сандық айнымалы.
Шаш түсі сандық емес
Шаш түсі сандық емес. Себебі,
сіз шаштың түсіне нөмір бере алмайсыз.Шаштың түсі сапалы айнымалы деп аталады.
Осы жылдар ішінде ықтималдылықты анықтау бірнеше өзгерістерге ұшырады. Көптеген анықтамаларда қарама-қайшы ештеңе жоқ-өзгерістер ең алдымен үлкен қоғамдастық пен математикалық қатаңдықтың қажеттілігі ретінде көрініс тапты. Бірінші тұжырым (көбінесе классикалық ықтималдық анықтамасы деп аталады) Героламоға қатысты Кардано. Бұл (1) Саны болған жағдайда ғана қолданылады мүмкін нәтижелер шектеулі және (2) барлық нәтижелер бірдей мүмкін. Бұл жағдайда m нәтижесінен тұратын оқиғаның ықтималдығы mn қатынасына тең, мұндағы n-нәтижелердің жалпы саны (мүмкін). Мысалы, адал алтыбұрышты лақтыру 6 жұп санды жылжыту ықтималдығы ретінде mn = 3 береді (яғни 2, 4 немесе 6). Кардано моделі құмар ойындарының сценарийлеріне жақсы сәйкес келді (ол үшін арналған), ол нәтижелер неғұрлым жалпы мәселелерге сәйкес келмеді бірдей мүмкін емес және немесе нәтижелер саны түпкілікті емес. Ричард фон ХХ ғасырдағы неміс математигі Мизес көбінесе "эмпирикалық" ықтималдылықты анықтау арқылы Кардано моделіндегі кемшіліктерден аулақ болған деп санайды. В фон Мизестің көзқарасы, біз экспериментті қайта - қайта қайталаймыз шамамен бірдей жағдайларда. Теориялық тұрғыдан, есептеуді жүргізуге болады нәтиже n-ге бөлінген осы оқиғаға тиесілі болған рет саны (m), эксперименттің жалпы саны. Фон Мизеске сәйкес, бұл оқиғаның ықтималдығы-mn қатынасының шегі (N шексіздікке жеткенде).
2.1.1-сурет адалдықты тастау арқылы бас тартудың эмпирикалық ықтималдығын көрсетеді
Мұндағы
n-сынақтар саны
m- уақыт өлшемі
монета: лақтырулар саны көбейген сайын mn қатынасы 2-ден 1-ге ауысады.
Фон Мизестің көзқарасы модельде байқалған кейбір кемшіліктерді өтейді Кардано, бірақ оның кемшіліктері жоқ. Кейбір бар тұжырымдамалық сәйкессіздік, мысалы, экспериментті қайталау актісі болған кезде ықтималдылықты эмпирикалық анықтау әдісі ретінде mn шегін жоғарылату кезінде бірдей жағдайларда шексіз сан рет физикалық мүмкін емес. Және жоқ қалады mn жақсы болуы үшін n қаншалықты үлкен болуы керек деген сұраққа жауап беріңіз lim mn үшін жуықтау. Ресейдің ұлы ықтималдығы Андрей Колмогоров басқаша көзқарас танытты. ХХ ғасырдың көптеген математиктерінің сәтті дамығанын білу заттар аксиоматикалық түрде, Колмогоров осылай болуы мүмкін бе деп ойлады ықтималдылықты қарым-қатынас ретінде емес (Кардано моделі ретінде) немесе қалай анықтау керек шектеу (фон Мизес моделі ретінде). Оның күш-жігері Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung шығарған кезде математикалық талғампаздықтың шедеврімен аяқталды (Ықтималдықтар теориясының негіздері) 1933 ж. Шын мәнінде, Колмогоров қабілетті болды ең көбі төрт қарапайым аксиоманың қажет екенін және оны анықтау үшін жеткілікті екенін көрсету, кез-келген және барлық Ықтималдықтар қалай әрекет етуі керек. Атап айтқанда, егер A-S үлгісі кеңістігінде анықталған кез-келген оқиға болса, P (A) символы) а ықтималдығын белгілейміз, ал P ықтималдық функциясы деп атаймыз. Шын мәнінде, бұл жиынның (яғни оқиғаның) санмен салыстырылуы. Үшін фон біздің талқылауымыз жиынтықтар теориясының бірлестіктері, қиылыстары және толықтырулары болады;
Егер s мүшелерінің саны шектеулі болса, Колмогоров ықтималдық функциясын сипаттау үшін P қажет және тек үш аксиома жеткілікті деп көрсетті:
Аксиома 1. A-S-ден жоғары кез-келген оқиға болсын, содан кейін P(A) = 0.
Аксиома 2. P(S) = 1.
Аксиома 3. A және B болсын-s-тен жоғары анықталған кез-келген екі ерекше оқиға.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
S-де шексіз мүшелер болған кезде төртінші аксиома қажет:
А1, А2 S арықылы анықталған оқиғалар болсын. Егер әрбіріне Аi∩Aj=∅ i!=j болып табылса , онда:
Pi=1infinityAi =i=1infinityP(Ai)
Осы қарапайым мәлімдемелерден ықтималдық функциясын басқарудың жалпы ережелері туындайды, олар осы функцияның қандай нақты математикалық формасына қарамастан қолданылады нақты контексте қабылдаңыз.
1.2 Кездейсоқ шаманың қосындысы мен көбейтіндісінің үлестірім заңы
Жаңа терминдер:
үлгі кеңістігінің әр нүктесіне нөмір береміз делік. Содан кейін бізде сол кеңістікте анықталған функция бар. Бұл функция кездейсоқ шама (немесе стохастикалық айнымалы) немесе дәлірек айтқанда кездейсоқ функция (стохастикалық функция) деп аталады. Ол әдетте X немесе Y сияқты бас әріппен белгіленеді. ол белгілі бір физикалық, геометриялық немесе басқа мағынаға ие.
Мысал 2.1 үлгі кеңістігі s {HH, HT,TH, TT} болатындай етіп монета екі рет лақтырылады делік. X ұсынсын пайда болуы мүмкін бастар саны. Әр іріктеу нүктесімен біз 2-1 кестеде көрсетілгендей X үшін санды байланыстыра аламыз.
Мысалы, HH жағдайында (яғни 2 бас), X 2, ал TH үшін (1 бас), X 1. Демек, x-кездейсоқ шамасы.
2-1-кесте
Үлгі
HH
HT
TH
TT
X
2
1
1
0
Айта кету керек, көптеген басқа кездейсоқ шамаларды осы үлгі кеңістігінде де анықтауға болады, мысалы, бас санының квадраты немесе бас саны құйрық санын алып тастайды.
Шексіз немесе шексіз шамаларды қабылдайтын кездейсоқ шамалар (4-бетті қараңыз) дискретті кездейсоқ шамалар деп аталады, ал шексіз шамаларды алатын шамалар бөлінбейтін кездейсоқ шама деп аталады.
Ықтималдықтың дискретті бөлінуі
Х дискретті кездейсоқ шама болсын, және ол қабылдауы мүмкін мәндер x1, x2, x3,. . . , белгілі бір тәртіппен орналастырылған. Сондай-ақ, бұл шамалар берілген ықтималдықтармен қабылданады делік
P(X = xk) = f(xk) k = 1, 2, . . . (1)
арқылы берілген ықтималдық функциясын енгізу ыңғайлы, оны ықтималдық үлестірімі деп те атайды
P(X = x) = f(x) (2)
X =xk үшін бұл (1) дейін азаяды, ал басқа x, f (x) =0 мәндері үшін.
Жалпы, f (x) - ықтималдық функциясы, егер
1. fx = 0
2.xfx=1
мұндағы 2-дегі сома барлық мүмкін x мәндері бойынша алынады.
2.2 МЫСАЛ. 2.1 мысалдың кездейсоқ шамасына сәйкес келетін ықтималдық функциясын табыңыз. Мұны ойлаңыз монета әділ, бізде мынадай бар болса
P(HH) = 14 P(HT) = 14 P(TH) = 14 P(TT) = 14
Онда
P(X= 0) = P(TT) = 14
P(X = 1) = P(HT TH) = P(HT) = P(TH) = 14= 14= 12
P(X = 2) = P(HH) = 14
Ықтималдық функциясы осылайша 2-2 кестеде келтірілген.
2-2 кесте
x
0
1
2
fx
14
12
14
Кездейсоқ шамаларды бөлу функциялары
Кездейсоқ x шамасы үшін кумулятивті үлестіру функциясы немесе қысқаша үлестіру функциясы анықталады
F(x) = P(X =x) (3)
мұндағы x-кез келген нақты сан, яғни., - infinity x infinity.
F(x) тарату функциясы келесі қасиеттерге ие:
1. F(x) азаймайды [яғни, F(x) = F(y) егер x= y].
2. limх---infinityFx=0; limх---infinityFx=1.
3. F(x) оң жағынан басталады [яғни, limх---infinityFx+h=fx барлық x үшін].
Дискретті кездейсоқ шамаларды бөлу функциялары
Бір оқиғаның пайда болуы екінші оқиғаның ықтималдығын өзгертпесе, оларды тәуелсіз оқиғалар деп, ал ықтималдығын өзгертсе, тәуелді оқиғалар деп атайтынын 10- сыныптан белгілі. Сол сияқты тәуелді және тәуелсіз кездейсоқ шамаларды да анықтауға болады.
Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары.Жаңа терминдер: кездейсоқ шаманың математикалық үміті, орташа мәні кейбір жағдайларда кездейсоқ шаманың үлестірім заңы белгісіз болуы мүмкін, онда осы шамаларды анықтау мақсатымен сандық сипаттамалар беріледі. Сондай сипаттамардың бірі - математикалық үміт.
Анықтама. Кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп оның барлық қабылдайтын мәндерімен сол мәндерге сәйкес ықтималдықтарының көбейтінділерінің қосындысын айтады да, М(Х) деп белгілейді[24].
Кездейсоқ шама х1, х2, х3, ... , хn мәндерін қабылдайтын болсын. Олардың сәйкес ықтималдықтары р1, р2, р3, ... , рn делік. Сонда математикалық үміт
М(Х)=х1· р1+ х2· р2 + х3· р3+ ... + хn pn (1.2)
8-мысал. Үлестірім заңы белгілі кездейсоқ шаманың математикалық үмітін табайық:
Кесте 17- Үлестірім заңы белгілі кездейсоқ шаманың математикалық үмітін
Х
2
4
5
6
Р
0,3
0,1
0,2
0,4
Шешуі: М(Х)= 2·0,3+4·0,1+5·0,2+6·0,4=0,6+0,4+1+2 ,4=4,4.
9-мысал. Кездейсоқ шаманың ықтималдықтарының үлестірім заңы берілген:
Кесте 18 - Үлестірім заңы белгілі кездейсоқ шаманың математикалық үмітін
Х
1
3
5
7
Р
0,2
0,4
0,3
0,1
Шешуі: Кездейсоқ шаманың математикалық үміті мынаған тең болады:
М(Х)=1·0,2+3·0,4+5·0,3+7·0,1=3,6
Тәжірибенің саны көбейген сайын оқиғаның болу жиілігі оның ықтималдығына жуық болатынын бұрын айтқанбыз. Кездейсоқ шаманы туғызушы тәжірибе N рет қайталансын. Сонда бір мәні 0,2 рет, 3 мәні 0,4 рет, 5 мәні 0,3 рет, 7 мәні 0,1 рет пайда болады делік. Бұл мәндердің арифметикалық ортасы мынаған тең:
=0,2·1+0,.4·3+0,3·5+0,1·7=М(Х)
Сондықтан да кездейсоқ шаманың математикалық үмітін кейде оның орташа мәні деп те атайды[25].
Математикалық үміттің мынадай негізгі қасиеттерін атап өтуге болады:
1-қасиет. Тұрақты шаманың математикалық үміті сол шаманың өзіне тең.
М(С)=С (1.3)
2-қасиет.Тұрақты шаманы математикалық үміт таңбасы алдына шығаруға болады:
М(С·Х)=С·М(Х) (1.4)
3-қасиет. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық үміті олардың математикалық үміттерінің қосындысына тең:
М(Х+Ү)=М(Х)+М(Ү) (1.5)
Алдынғы тақырыпта кездейсоқ шаманың орта мәннен ауытқуы қарастырылады. Сол сияқты кездейсоқ шаманың математикалық үміттен ауытқуын табуға болады. 2-мысалдағы қарастырған М(Х)=3,6 математикалық үміттен ауытқуын табайық. Ол үшін мынадай екі кездейсоқ шамалар қосындысының үлестірім заңын табу жеткілікті.
Кесте 19- екі кездейсоқ шамалар қосындысының үлестірім заңын
М(Х)
3,6
Р
1
Х
1
3
5
7
Р
0,2
0,4
0,3
0,1
Кесте 20 Х - М(Х) ауытқудың үлестірім заңы
Х-3,6
-2,6
-0,6
1,4
3,4
Р
0,2
0,4
0,3
0,1
Енді осы Х-3,6 кездейсоқ шаманың математикалық үмітін табайық.
М(Х-3,6)=-2,6·0,2- 0,6·0,4+1,4·0,3+3,4·0,1=0
5-қасиет. Кездейсоқ шаманың математикалық үміттен ауытқуының математикалық үміті нөлге тең
М(Х-М(Х))=0 (1.6)
10-мысал. Х және Ү екі тәуелсіз кездейсоқ шама үлестірім заңдарымен берілген. 2=2Х+3Ү және Х·Ү кездейсоқ шамаларының математикалық үмітін табайық:
Кесте 21- Х·Ү кездейсоқ шамаларының математикалық үміті
Х
1
2
3
Р
0,6
0,3
0,1
Ү
0
1
2
Р
0,1
0,7
0,2
Шешуі: а)М(Z)=М(2Х+3Ү)=М(2Х)+М(3Ү)=2М(Х)+3 М(Ү).
М(Х)=0,6+0,6+0,3=1,5; М(Ү)=0+0,7+0,4=1,1 болғандықтан
б)М(Х·Ү)=М(Х)·М(Ү)=1,1·1,1=1,65.
11-мысал. Х және Ү кездейсоқ шамаларының үлестірім заңдары белгілі:
Кесте 22 - Х және Ү кездейсоқ шамаларының үлестірім заңдары
Х
х1
х2
Р
р1
р2
Ү
у1
у2
q
q1
q2
және Х·Ү көбейтінді әртүрлі мәндер қабылдайды деп алып, математикалық үміттің анықтамасын пайдаланып, 3-қасиетті дәлелдеңдер.
Шешуі: 3-қасиет бойынша екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық үміттерінің қосындысына тең. Сонда былай жазылады:
Кесте 23 - Х+Ү кездейсоқ шаманың үлестірім заңы
Х+Ү
х1+у1
х1+у2
х2+у1
х2+у2
Р
p1q1
p1q2
p2q1
p2q2
Енді Х+Ү кездейсоқ шаманың математикалық үмітін есептейік:
М(Х+Ү)=(х1+у1)p1q1+(х1+у2)p1q2+(х2+ у1)p2q1+(х2+у2)p2q2=х1р1(q1+q2)+р1( у1q1+у2q2)+x2p2(q1+q2)+p2(y1q1+y2q2 )=(х1р1+x2p2)(q1+q2)+(у1q1+у2q2)(p1 +р2)=М(Х)+М(Ү).
Өйткені p1 + р2=1, q1+q2=1. Сонда М(Х) + М(Ү)
Ықтималдықтар теориясының даму тарихы.
Кездейсоқтық ұғымы қайда және қашан пайда болғанын ешкім білмейді; ол біздің елде жоғалады кері тарихы. Алайда, ерте адамдарды генерациялау құрылғыларымен байланыстыратын дәлелдер кездейсоқ оқиғалар көп: археологиялық қазбалар, мысалы, бүкіл ежелгі әлем үнемі астрагалдардың, өкше сүйектерінің көптігін анықтайды қой және басқа омыртқалылар. Неліктен бұл сүйектердің жиілігі соншалықты жоғары болуы керек? Біздің ата-бабаларымыз фанатикалық болған деп болжауға болады аяқ фетишистері, бірақ қалған екі түсінік сенімдірек болып көрінеді: сүйектер діни рәсімдер мен Құмар ойындар.
Астрагалдардың алты жағы бар, бірақ симметриялы емес (суретті қараңыз. 1.3.1). Сол, бұл табылған қазу кезінде, әдетте, нөмірленген немесе нақышталған жақтары болады. Көптеген ежелгі адамдар үшін астрагалус өркениеттері Oracle сұраған негізгі механизм болды өз құдайларының пікірлері. Кіші Азияда, мысалы бес астрагалды лақтыру немесе лақтыру дәстүрге айналды. Әрбір мүмкін конфигурация байланысты болды Құдайдың атымен және онымен бірге кеңес берді. Нәтижесі (1, 3, 3, 4, 4) мысалы, бұл Құтқарушының Зевстің лақтыруы және оның пайда болуы деп айтылды ол жігерлендіру белгісі ретінде қабылданды (34):
Бір, екі, үш, екі, төрт Сіз ойлаған әрекет, барыңыз және оны батыл етіңіз.Оған қолыңызды қойыңыз. Құдайлар саған қолайлы белгілер берді. Кардано ықтималдықтың ең негізгі принципін қолданды. Моделі,ол ретроспективада тривиалды болып көрінуі мүмкін, бірақ ол алға қарай үлкен қадам жасады: Бұл кез-келген адам теориялық емес, теориялық тұрғыдан есептеген алғашқы жағдай болды эмпирикалық ықтималдық. Алайда, Кардано жұмысының нақты әсері аз болды. Ол кітапты 1525 жылы жазды, бірақ оның жариялануы 1663 жылға дейін кейінге қалдырылды. Уақыт фокус Ренессанс және қызығушылық ықтималдығы, орын тепті бастап Италия Италия. Франция. Көптеген тарихшылар (Карданоның жақтаушылары емес) берген күн ықтималдықтың" басталуы " - 1654 жыл. Парижде бай ойыншы Шевалье де Мер бірнеше көрнекті математиктерге, соның ішінде Блез Паскальға бірқатар сұрақтар қойды сұрақтар, олардың ішіндегі ең танымалы-нүкте мәселесі: Екі адам, А және В, бір адам жеңіске жеткенше әділ ойындар сериясын ойнауға келіседі алты ойын. Олардың әрқайсысы бірдей ақша сомасын қойды, жеңімпаз бүкіл банкті алады. Бірақ қандай да бір себептермен делік, серия мерзімінен бұрын тоқтайды және осы сәтте А бес ойын жеңіп алды, ал Б-үш. Ставкалар қалай бөлінуі керек?
[Дұрыс жауап: А жалпы соманың сегізден жеті бөлігін алуы керек ставкалар. (Кеңес: конкурс қайта басталды делік. Қандай сценарийлер әкеледі
А-Бұл алты ойын жеңіп алған алғашқы адам ма?)]
А-Бұл алты ойын жеңіп алған алғашқы адам ма?)]
Паскаль де Мераның сұрақтарына қызығушылық танытты және Пьермен өз ойларымен бөлісті Ферма, Тулуза мемлекеттік қызметкері және әлемдегі ең керемет математик. Еуропа. Ферма мейірімділікпен жауап берді, ал қазіргі Паскаль-ферманың сәйкестігі тек нүкте мәселесін шешіп қана қоймай, сонымен қатар негіз болды жалпы нәтижелер үшін. Ең бастысы, Паскаль мен ферманың жұмысы туралы жаңалықтар, тез таралған. Басқалары бұл іске араласты, олардың ішіндегі ең танымалы Голланд ғалымы және математигі Кристиан Гюйгенс. Бір ғасыр бұрын Карданоны қудалаған кідірістер мен немқұрайлылық көп қайталанбасына. Оптика және астрономия саласындағы ең танымал, Гюйгенс өзінің басында мансапты нүктелер мәселесі қызықтырды. 1657 жылы ол жариялады De Ratiociniis aleae Ludo-да (құмар ойындарын есептеу) өте маңызды жұмыс, әлдеқайда көп деген жалпыға ортақ, ол барлық, ол жасады Паскаль және Ферма. Елу жылға жуық уақыт бойы бұл Ықтималдықтар теориясы бойынша стандартты "оқулық" болды. Гюйгенс таңқаларлық емес оның жақтастары бар, олар оны ықтималдықтың негізін қалаушы деп санау керек деп санайды. Тарихшылар статистикалық пайымдаудың негізгі принциптері басталды деп келіседі ХІХ ғасырдың ортасында бүктеңіз. Бұл көріністі не тудырды, бұл үш түрлі "ғылымдардың" бірлестігі болды, олардың әрқайсысы аз немесе аз тәуелсіз бағыттар (195). Немістер Staatenkunde деп атаған осы ғылымдардың алғашқысы тарих, ресурстар және әскери қызмет туралы салыстырмалы ақпарат жинау ұлттардың шеберлігі. Бұл бағыттағы күш-жігер XVII ғасырда шыңына жетті. XVIII ғасырда бұл тұжырымдама Жаңа болған жоқ: Аристотель б. з. д. төртінші ғасырда ұқсас нәрсе жасады. Қазіргі статистиканың дамуына ең аз әсер етті, бірақ ол біршама әсер етті терминология: статистика сөзінің бұл түрі өзі алдымен зерттеулерге байланысты пайда болды. Саяси арифметика деп аталатын екінші бағытты біреуі анықтады оның алғашқы жақтастары "сандармен байланысты нәрселер туралы ойлау өнері" ретінде үкіметі."Staatenkunde-тен кейінгі егін, саяси арифметиканың тамыры XVII ғасырда Англияда болды. Популяцияны бағалау және өлім кестесін құру ол жиі кездесетін екі мәселе болды. Рух бойынша саяси арифметика қазір демография деп аталатын нәрсеге ұқсас болды. Үшінші компонент ықтималды есептеулерді жасау болды. Біз сияқты бұрын бұл XVII ғасырда басталған қозғалыс болды Франция құмар ойындар туралы кейбір сұрақтарға жауап берді, бірақ ол тез арада "қозғалтқышқа" айналды" деректердің барлық түрлерін талдау үшін.
Сол кезеңнің алғашқы жұмыстары С. Н. Берштейн, Мизес, Э. Борель есімдерімен байланысты. аксиоматиканың соңғы қалыптасуы XX ғасырдың 30-шы жылдарында болды. Бұл А. Н.Космогоровтың арқасында болды. Бұл кезеңде ықтималдық ұғымы қазіргі ғылымның негізгі ұғымдарының бірі бола отырып, адам қызметінің барлық салаларына енеді.
Кездейсоқ шаманың дисперсиясы мен орташа квадраттық ауытқуы.
Қандай да бір тәжірибе болмасын көптеп қайталаудан щыққан нәтиже туралы мәлімет қажет болғанда, математкалық үміт мәнінің рөлі зор екені анық. Бірақ бірінші тәжірибе мен екінші рет жасалған тәжірибе нәтижелерінің арасында алшақтық болып отырады. Бұл алшақтық кездейсоқ шама мәндерінің математикалық үміт мәндерінің математикалық үміт төңірегінде қаншалықты шашырап (ауытқып) жатуына байланысты. Мұны бағалау үшін түрлі өлшеуіштер алады. Біз дисперсия және орташа квадраттық ауытқу өлшеуіштерін алып қарастырайық. Мысалдан бастайық.
Екі мергеннің центрден ауытқуларының үлестірім заңдары белгілі:
Кесте 24 - Екі мергеннің центрден ауытқуларының үлестірім
Ү
0
1
2
3
Р
0,1
0,45
0,35
0,1
Х
1
2
3
4
Р
0,4
0,3
0,2
0,1
Осы мергеннің біреуін ғана жоғары деңгейдегі жарысқа таңдап алу керек. Ол үшін екі кездейсоқ шама математикалық үміттерін салыстырып, қайсысы аз мәнге ие болса, соны таңдап аламыз (себебі, центрден аз ауытқыған). Математикалық үміттерін есептейік: М(Х)=1·0,4+2·0,3+3·0,2+4·0,1=2;
М(Ү)=0·0,1+1·0,45+3·0,35+5·0,1=2
Екі кездейсоқ шаманың да математикалық үміттері бірдей болып қалды М{Х}=М{Ү}, яғни екі мерген көрсеткіштері ауытқуларының орта шамасы бірдей. Кездейсоқ шамалардың математикалық үміттен ауытқуының математикалық үмітін алу да бізге ешқандай нәтиже бермейді, себебі 5-қасиет бойынша ол әр уақытта нөлге тең.
Мынадай жаңа ұғым енгізіледі.
Анықтама. Кездейсоқ шаманың математикалық үміттен ауытқуының квадратының математикалық үмітін Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп атайды [26].
Басқаша айтқанда, кездейсоқ шама мен оның математикалық үміті айырымының квадратының математикалық үмітін дисперсиясы D{Х) таңбасымен белгіленеді.
Кездейсоқ шаманың математикалық үміттен ауытқуы: Х-М{Х), оның квадраты { Х-М{Х)}2, ал дисперсия : D(Х)=М[{ Х-М{Х)}2 ].
Дисперсия кездейсоқ шаманың еқ маңызды сандық сипаттамаларының бірі болып есептеледі. Дисперсия кездейсоқ шамаларды олардың математикалық үміт маңында қалай шашырап орналасуына қарап, салыстыруға мүмкіндік береді.
Әдетте дисперсия оңай есептелінетін мынадай теорема қолданылады.
Теорема: Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы Х2 кездейсоқ шаманың математикалық үміті мен Х кездейсоқ шаманың математикалық үміті квадратының айырымына тең.
D{X)=M{X2)-[M{X) (1.7)
Бұл формула математикалық үміттің қасиеттерін пайдаланып, түрлендіргенде табылады.
Мысалдағы екі мергеннің де дисперсияларын есептеу үшін Х және Ү кездейсоқ шамаларын үлестірім заңын жазып алу керек.
Кесте 25 - Х және Ү кездейсоқ шамаларын үлестірім заңы
Х
1
4
9
16
Р
0,4
0,3
0,2
0,1
Ү
0
1
9
25
Р
0,1
0,45
0,35
0,1
М(Х2) пен М(Ү2) есептейік:
М(Х2)=1·0,4+4·0,3+9·0,2+16·0,1=5
М(Ү2)=1·0,1+1·0,45+9·0,35+25·0,1=6, 1
Енді дисперсияларын есептейік:
D(X)= М(Х2)-[ М(Х)][2]=5-4=1;
D(Y)= М(Ү2)-[ М(Х)][2]=6,1-4=2,1;
Екі кездейсоқ шаманың диспарсиялары әр түрлі D(X)=1 және D(Y)=2,1. Бірінші мергеннің көрсеткіштері екінші мерген көрсеткіштеріне қарағанда орта шамадан шашырауы аз. Басқаша айтсақ, бірінші мергеннің көрсеткіштері орта шама маңайында, екіншіге қарағанда, көбірек шоғырланған. Бұл қорытынды жоғары деңгейдегі жарысқа бірінші мергеннің таңдалуына негіз болады.
Дисперсияның мынадай негізгі қасиеттерін атап өтейік[27].
1-қасиет. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең, яғни
D(C)=0 (1.8)
Дәлелдеу: D( CX)= M[{C-M(C)}2]=M[{C-C}2]=0[28-29].
2-қасиет. Тұрақты шаманы дисперсия таңбасы алдына квадраттап алып шығаруға болады, яғни
D(CX)=C2 D(X) (1.9)
Дәлелдеу: D(CX)=M[{CX-V(CX}2]=M[{CX-CM(X)}2]= C2M[{X-M(X)}2]=C2·D(X).
3-қасиет. Екі кездейсоқ шама қосындысының (айырымының) дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең, яғни
D(X+-Y)=D(X)+D(Y) (1.10)
Дәлелдеу: Дисперсияның анықтамасы бойынша
D(X+Y)=M[{(X+Y)-M(X+Y)}2]=M[{X-M(X) )-(Y-M(Y))}2].
Жақша ішіндегі өрнекті квадрат дәрежелеп, математикалық үміт қасиетін пайдалансақ, онда
D(X+Y)=M[{X-M(X)}2]+2M[(X-M(X))(Y-M (Y))]+M[{Y-M(Y))}2].
Бірінші қосылғыш D(X)-ке, үшінші қосылғыш D(Y)-ке тең[30-31].
Енді екінші қосылғыштың неге тең болуын математикалық үміт қасиеттерін пайдаланып анықтайық.
2M[(X-M(X))(Y-M(Y))]=2M[X-M(X)]·M[Y -M(Y)]
Математикалық үміт М(Х) пен М(Ү) тұрақты, олай болса
М[X-M(X)]=M(X)-M[M(X)-M(X)=0.
Осы сияқты M[Y-M(Y)]=0. Сонымен, екінші мүше нөлге тең болғандықтан, D(X+Y)= D(X)+ D(Y). Х пен Ү айырымының дисперсиясын алу үшін Х-Ү=X+(-1)Y деп жазамыз. Сонда С = -1 десек, екінші қасиетті пайдаланып, тұжырым оңай дәлелденеді.
Осы қасиеттердің қолданысын көрсететін мысал қарастырайық. Тәуелсіз Х және Ү кездейсоқ шамаларының дисперсиялары сәйкес 8-ге және 10-ға тең.
а) 3Х
б)Х+Ү
в)Х-Ү кездейсоқ шамаларының дисперсияларын табайық.
D(X)=8, D(Y)=10.
а) 3Х кездейсоқ шаманың дисперсиясын табу үшін екі қасиетті қолданамыз. Мұндағы тұрақты сан 3, олай болса
D(3X)=32·D(X)=9·8=72
б) Х+Ү кездейсоқ шаманың дисперсиясын табу үшін 3-қасиетті қолданамыз.
D(X+Y)=M(X)+M(Y)=8+10=18
в) Х-Ү кездейсоқ шаманың дисперсиясын табу үшін де 3-қасиетті қолданамыз.
D(X-Y)=M(X)-M(Y)=8-10=-2
Кездейсоқ шаманың, математикалық үміті сызықты өлшемді, ал дисперсиясы квадрат өлшемді. Мысалы, егер кездейсоқ шама метрмен өлшенсе, оның математикалық үміті де метрмен өлшенеді, ал дисперсиясы квадрат метрмен өлшенеді. Осы айырмашылықты жою үшін мынадай жаңа ұғым негізделеді.
Анықтама: Кездейсоқ шама дисперсиясынан алынған квадрат түбір орта квадраттық ауытқу деп аталады да (Х) =деп белгілінеді [32].
Сонымен D(X) кездейсоқ шаманың дисперсиясы болса,
(Х) = (1.11)
Орта квадраттық ауытқу дисперсиясының ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz