Ойыншылар - дауға қатысушылар

бет

Кіріспе. 2

1. Ойындар теориясы. 4

1. 1. Есептің оптимал шешімдері 7

1. 2. Қосындысы нөл болатын екі жақтың ойыны 9

1. 3. Шешуші нүктесі жақ ойындарды шешу 17

Қорытынды. 26

Пайдаланылған әдебиеттер. 28

КІРІСПЕ

Бұл курстық жұмысында ойындарды матрицалық ойындарды қолданып матрица құру арқылы ойыншылыр ұтысын есептеуге болады. Есептің оптимал шешімдері шарттары анықтау, тәуекел және анықталмаған кездерде орындалатын амалдар қарастырылады.
Ойындар теориясы анықтылмағандық жағдайда оптимал шешімді табуға арналған, яғни ол есептің шешімін табуға қажетті информациялар жеткіліксіз болған кездерді қарастырылады. Бұл есептерді тиімді шеші үшін талдауды қосындысы нөл болатын екі жақтың ойыны, шешуші нүктесі жоқ ойындарды шешу, көлдік қосындысы болатын қосындысы нөл болатын екі жақтың ойыны, шешуші нүктесі жоқ ойындарды, шешу, көлдік қосынды болатын матрициялық ойындар шешімі, таза стратегиялардағы матрицалық ойындар шешімі, аралас стратегиялардағы матрицалық ойындар шешімі әдістері бойынша.

1. ОЙЫНДАР ТЕОРИЯСЫ.

Ойындар теориясы - конфликт жағдайында тиімді стратегиялық шешім қабылдаудың модельдерін зерттейтін математика саласы. [1] Ойын деген сөз процесс мағынасын береді, ал сол процессте өздерінің мүдделерін жүзеге асыру үшін күрес жүргізетін екі немесе одан да көп тарап қатысады. Жеңіске не жеңіліске жеткізетін стратегиялар басқа ойыншылардың әрекеттеріне байланысты болады. Ойындар теориясы басқа қатысушылар туралы жорамалдарға, олардың ресурстары және ықтималды әрекеттеріне негізделе отырып, ең үздік стратегия таңдауға көмектеседі.

Ойындар теориясы 20 ғасырдың 40-жылдары АҚШ математиктері Джон фон Нейман (1903 - 1957) мен Оскар Моргенштерн (1902 - 1977) конкурентті экономикалық құбылыстарды математикалық жолмен шешу әдісі ретінде қарастырды. Мұндағы негізгі ұғым - ойын, ал оның формальды түрдегі көрінісі - ‘’конфликт’’. Конфликтті дәл сипаттау үшін ойынға кімдер және қанша нысан, қалай қатысатыны, ойынға қатысу ережесі, ойынның мақсаты мен нәтижесі қандай болатындығы, нәтиженің қатынасушылардың әрқайсысына қаншалықты пайдалы болатындығы, т. б. жағдайлар анықталады. Конфликтке қатысушылар коалиция құра алады.

Әрбір ойыншының стратегиясы оның функциясына тәуелді болады. Ойыншы ұтысты көп беретін стратегияны таңдап алады. Ситуацияның өзгеруі әрбір коалицияның өзінің стратегиясының бірін қолдануына байланысты. Конфликттің шешілу нәтижесінде мүдделері ‘’ортақ жақтар мүдделілер коалициясы’’ деп аталады. Олардың мүддесі ситуацияның қайсысы өздеріне қаншалықты тиімді екенін бағалау арқылы анықталады. Бұл тиімділік ұтыс мөлшерін өрнектейтін сан арқылы жиі көрсетіледі. Конфликтке қатысушы коалициялардың санына қарай ойын стратегиялық емес (бір ғана коалиция жағдайы) және стратегиялық ойын (коалиция саны бірден көп болғанда) болып бөлінеді. Конфликттің шешілу нәтижесінде коалициялардың мүдделері ортақ болса, онда ойын ‘’коалициясыз ойын’’ деп аталады. Егер коалициясыз ойынға екі ойыншы қатынасса және олардың ұтыс функцияларының таңбасы кез келген ситуацияда бір-біріне қарама-қарсы болса, онда мұндай ойын aнтагонистік ойын деп аталады. Егер антагонистік ойында екі ойыншының да стратегияларының саны шекті болса, онда бұл ойын матрицалық ойын болып есептеледі.

Шахмат ойыны - коалициясыз ойын. Шахматта ойыншының стратегиясы алдын-ала емес, әрбір жүріс сайын анықталады. Бұл шахматтың (сонымен қатар дойбы, тоғызқұмалақ) позициялық ойынға жататынын көрсетеді. Ойындар теориясында ‘’ықтималдық теориясы’’ жиі пайдаланылады. Ойынды жүргізу үшін әрбір ситуацияға ақпараттық талдау жасаудың маңызы зор болғандықтан, ойындар теориясы ақпарат теориясымен байланысты болады, демек, одан әрі кибернетикамен ұштасады. Қазақстанда ойындар теориясы бойынша зерттеу жұмыстары 1970 жылдан бастап Қазақстан ҒА-ның Математика және механика институтында және ҚазҰТУ-нде, ҚазҰУ-де жүргізілуде.

1. 1. ЕСЕПТІҢ ОПТИМАЛ ШЕШІМДЕРІ.

Есептің оптимал шешімдерішарттары анықталған, тәуекел және анықталмаған кездерде де таңдалып алынады.

Ойындар теориясы анықталмағандық жағдайда оптимал шешімді табуға арналған, яғни ол есептің шешімін табуға қажетті информациялар жеткіліксіз болған кездерді қарастырады.

Бұнда ойынға бірнеше қатысушылар енеді. Қатысушылардың мақсаттарының сәйкес келмеуі өзара даулы жағдайда туғызады. Мұндай жағдайларды талдау қажеттігі ойын теориясының туына себеп болады. Ойын теориясының әдістері көп рет қайталанатын ерекшелік даулы жағдайларды шешуге арналған. Ойын теориясының мақсаты көп рет қайталанатын дауға қатысушылардың әрекеттеріне ұтымды ұсыныстар беру.

Ойын теориясының негізін салушы американ математигі Дж. Фон Нейман 1928 ж. Ойын теориясының негізгі теоремасы - минимакс теоремасын дәлелдеп берді. Ойын теориясы 1944 ж. Дж. Фон Нейман және О. Моргенштерннің «Ойын теориясы және экономикалық тәртіп» атты кітабы жарыққа шыққан соң жылдам дами бастайды.

Қазіргі кезде ойын теориясы кеңінен дамыған математикалық пәндердің бір тарауы. Экономикалық жүйелердің модельдерін есептеп шығаратын ойын теориясының әдістері табылады.

Математика жүйелерді емес, ал олардың модельдерін оқытады. Ойын теориясында даулы жағдайлардың модельдері қарастырады. Нақты даулы жағдайлар өте күрделі болады, себебі оларға көп факторлар әсер етеді. Сондықтан даулы жағдайлардың математикалық талдауы мүмкін болу үшін, негізгі факторларын ғана есепке алатын моделін жасау керек. Мұндай қысқаша модель ойын деп аталады. Сонымен, ойын - даулы жағдайлардың моделі. Нақты даулы жағдайлардан ойынның айырмасы ол белгілі ереже бойынша жүргізіледі және оны қатысушылар мүттіксіз орындайды. Ереже ойынға қатысушылардың әрекеттерінің мүмкін варианттарын және онық қорытындысын анықтайды. Ойын теориясында келесі терминдер қолданылады.

Ойыншылар - дауға қатысушылар. Ұтыс (ұтылыс) - даудың қорытындысы. Ойында екі және одан көп ойындар болады. Біріншісінде ойын жұп, екіншісінде көптік деп аталады. Ойын теориясындағы жүріс ереже бойынша бір жақтың әрекеті және оның іске асуы әрекеттердің өзі страьегия деп аталады. Даулы жағдайларды шешу үшін ойыншыларға әйтеуір бір стратегияны таңдау кажет. Егер мүмкін стратегия саны ойыншылар үшін аяқталса, онда ойын аяқталған деп, болмаса - шексіз деп аталады.

Ойындар біржүрісті және көпжүрісті болады. Біржүрісті ойында әрбір ойыншы бір-бірден жүреді де оның қорытындысы белгілі болады (мысалы тиын ойнау, ақсүйек) .

Жүрістер дербес және кездейсоқ болады. Мысалы шахматта әрбір жүріс дербес болады. Кейбір ойындарда кездейсоқ жүрістер болады. Ойыншылардың информация алуына байланысты ойындар толық және толық емес информациялы болады.

1. 2. ҚОСЫНДЫСЫ НӨЛ БОЛАТЫН ЕКІ ЖАҚТЫН ОЙЫНЫ.

Ойын теориясында ерекше дамыған әдістердің бірі қосындысы нөл болатын екі жақтың ойыны, яғни ойыншылардың ұтыстарының қосындысы нөлге тең (бір ойыншының ұтысы екінші ойыншының ұтысына тең, әрбір ойыншы өзге ойыншының есебінен ұтады) . Бұндай ойындар антогонистік деп аталады.

Әрбір ойыншыға төлем матрицасының барлық элементтері белгілі деп есептелінеді.

стратегиясын таңдайтын болса. Ойыншылардың ұтыстарының қосындысы нөлге тең болатындықтан, B ойыншының төлем матрицасы A ойыншының төлем матрицасын

максималдайтын жолды таңдайды, ал B ойыншысы өз ұтылысын минималдайтын бағананы таңдайды.

Қосындысы нөл болатын екі жақтың ойынының мысалы ретінде шартты әскери «полковник Блотто ойыны» атты ойынды қарастырайық. Екі армия екі халық тұратын пункт үшін соғыс жүргізуде. Полковник Блоттоның армиясы ( A ойыннан) төрт жасақтан, ал қарсыластар армиясы ( A ойыншы) - үшеуден тұрады. Ойын ережесін келтіреік. Қай жақтың армиясы кезкелген пунктке қарсыласынан артық жасақ жіберсе сол пунктті алады және қарсыласын жойып, пунктті алғаны үшін бір ұпай, қарсыласын жойғаны үшін бір ұпай алады. Егер әр пунктте қарсыластардың күштері тең болса, онда ұпай алмайды. Жалпы ұтыс екі пункттегі ұтыстардың қосындысы бойынша анықталады. Қарсыластар қарсы жақтың әрекетін білмей-ақ, өз күштерін дұрыс таратып, максималды ұпай жинау керек. Ойыншылар ең көп ұтысқа ұмтылғандықтан барлық жасақтарын қолданады. Полковник Блоттоның бес стратегиясы бар: ^{(4, 0) ; (0, 4) ; (3, 1) ; (1, 3) ; (2, 2)} , ал қарсыласының төрт стратегиясы

(3, 0) ; (0, 3) ; (2, 1) ; (1, 2) _бар.

Әрбір стратегиядағы бірінші сан бірінші пунктке жіберілген жасақтар санын, ал екіншісі - екінші пунктке жіберілген жасақтар санын көрсетеді. 7. 1 кестеде төлем матрицасын құрамыз.

Кесте

B

B: A

: 3, 0

: 0, 3

: 2, 1

: 1, 2 ^u i

B: 4, 0

:

:

:

:

B: 0, 4

:

:

:

:

B:

:

:

:

:

B: 3, 1

:

: -1

:

:

B:

:

:

:

:

B: 1, 3

: -1

:

:

:

B:

:

:

:

:

B: 2, 2

: -2

: -2

:

:

B:

:

:

:

:

A ойыншысы бірінші пунктте-3ұпайға ұтылады. Екінші пунктте A ойыншысы екіжасағын жібереді, ал B жібермейді. Сондықтан A бір ұпайға ұтады. Қорытындысында A ойыншысы 2 ұпайға ұтылады, ал B ойыншысы 2 ұпай ұтады.

Ойынның шешуі. Ойын теориясының есебі ойынның шешуін табу, яғни әрбір ойыншы үшін оның оптималды стратегиясы мен ойын бағасын табу.

Оптималды стратегия дегеніміз ойын бірнеше рет қайталанғанда қарсыласынан тәуелсіз, берілген ойыншы максималды орташа ұтыспен қамтамасыз ету. Ойынның бағасы дегеніміз ойыншылардың оптималды стратегиясына сәйкес ұтысы (ұтылысы) .

Стратегияны таңдағанда әртүрлі принциптерге сүйенуге болады. Ойын теориясын өзінен кем көрмесе, онда ойыншылардың тәртібін ең жақсы деп есептеуге болады. Осыған сәйкес ең тамаша стратегия ретінле қарсыласының әректінен тәуелсіз, ең жоғары ұтысты қаматмасыз ететін стратегияны алуға болады.

минимум B ойыншысының барлық стратегиясы бойынша (төлем матрицасының ⁱ нөмірлі жолы бойынша) . A ойыншысы өзінің әрбір стратегиясы бойынша кепілді ұтыстарды таңдағандықтан, өзінің барлық стратегиясының арасынан өзіне максималды кепілді ұтысты қамтамасыз ететін стратегияны таңдап алады

n ₁ = max min a _{i j}

i j

Жолдардың минимумдарының максималды мәніне сәйкес стратегия максимин стратегиясы деп, ал ^{n 1} шамасы - ойынның төменгі бағасы немес максимин деп аталады.

B ойыншысы да өзінің барлық стратегиясының ішінен өзіне кепілді минималдыұтысты қамтамасыз ететін стратегияны таңдайды

Бағаналардың максимумдарының мәніне сәйкес минималды стратегия, минимакс стратегиясы деп, ал ^{n 2} шамасы - ойынның жоғарғы бағасы немесе минимакс деп аталады.

Егер A ойыншысы максимин стратегиясын ұстаса, онда оның ұтысы максимин мәнінен кем болмайды, яғни

a _{i j} ³max min a _{i j}

i j

Егер B ойыншысы минимакс стратегиясын ұстаса, онда оның ұтылысы минимакс мәнінен артық болмайды, яғни

a _{i j} ³min max a _{i j}

j i

Жалпы жағдайда ойынның төменгі және жоғарғы бағасының ара қатынасы теңсіздікпен көрсетіледі.

n ₁ £ n ₂

^{n1 = n 2} болатын ойындар да кездеседі.

A және B ойыншыларының бұл мәндерге сәйкес стратегиясы оптималды деп, албұл стратегияға сәйкес төлем матрицасының элементі шешу нүктесі деп аталады. Төлем матрицасының шешуші нүктесіне сәйкес элемент ойын бағасы деп есептеледі. Оны ⁿ деп белгілейік. Сонда, егер шешущі нүктесі болатын болса

n = n ₁ = n _2.

Егер ^{n > 0} , A ойыншысы ұтады. Егер ^{n < 0} , B ойыншысы ұтады. Егер ^{n = 0} болса, онда екі ойыншыға бірдей, тең деп аталады.

Мынадай мысал келтірейік. Екі ойыншының әрқайсысында төрт стратегиядан бар және бір-бірінің қандай стратегияны қолданылатынын білмейді. Мәліметтер 7. 2 кестеде берілген.

Кесте

B _j

:

Bj: A _i

: B

: B

:

: B

:

: B

:

: min a _{i j}

:

:

:

:

:

Bj:

:

:

:

: j

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Bj:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Bj:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Bj: A ₁

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Bj: A ₂

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Bj:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Bj: A ₃

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Bj:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Bj: ^A 4

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Bj:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Bj: max a _{i j}

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Bj: i

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

: Бірінші төлем матрицасының әрбір жолы бойынша минимумдарын (

Bj: min a _{i j}

: ) соңғы

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

: j

Bj:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

бағанаға, ал бағана бойынша максимумдарын ( ^{max i ai j} ) кестенің соңғы жолына жазамыз.

Ары қарай ойынның төменгі және жоғарғы бағасы табылып соңғы жол мен соңғы бағананың қиылысқан жеріне жазылады. Берілген мысалда ^{n 1 = n 2 = 7} . Төлем матрицасының шешуші нүктесі бар, ойыншылар үшін оптималды таза стратегиялар ^{A 2} және ^{B 2} болып табылады. Ойын бағасы ^{n = 7} . Бұл дегеніміз, егер A ойыншысы өзінің ^{A 2} оптималды стратегиясын ұстаса, 7-ден кем ұтпайды, бірақ егер ^B ойыншысы ^{B 2} стратегиясынан ауытқыса онда ол көп ұтуы да мүмкін. Осы сияқты B ойыншысы да өзінің оптималды ^{B 2} стратегиясын ұстаса, онда 7 артық ұтылмайды, бірақ, егер A ^{A 1} , ^{A 2} , ^{A 3} стратегияларының бірін таңдаса, онда ол 7-ден кем ұтылуы мүмкін. Шешуші нүктесі бар ойындар таза стратегиямен шешіледі және шешілу процесі күрделі емес. Ал кейбір төлем матрицасында шешуші нүкте біреуден артық болуы да мүмкін.

Егер төлем матрицасының шешуші нүктесі болмаса, онда ол аралас стратегиямен шешіледі.

3. ШЕШУШІ НҮКТЕСІ ЖАҚ ОЙЫНДАРДЫ ШЕШУ.

Жалпы шешуші нүктесі бар ойындар аз кездеседі. Көп ойындардың шешуі нүктесі болмайды. Полковник Блоттоның ойыны да осы ойындарға жатады. Толық информациялы ойындардың әруақытта шешуші нүктесі болатындығы дәлелденген.

Егер ойынның шешуші нүктесі болмаса, онда A ойыншы өзінің максимин стратегисын қолданып отырып ^{n 1} ден кем ұтпайды, ал B ойыншысы ^{n 2} ден артық ұтылмайды. Мұндай ойындардың кезкелген партиясында таза стратегияны қолданып ойыншылардың ұтысын ( ^{n 1} ) арттыру немесе ұтылысын ( ^{n 2} ) кеміту мүмкіндік бермейді. Ал ол мүмкін болуы үшін таза стратегияны жиілігін өзгертіп, кездейсоқ ауыстырып бірнеше рет қайталау керек. Мұндай стратегиялар аралас деп аталады. Олардың элементтері таза стратегиялар.

Біржүрісті ойынның бір партиясында ойыншы бір ғана таза стратегияны қолданады. Сондықтан аралас стратегия ойын бір партиядан артық ойналғанда ғана мәнді болады.

ықтималдықтары ^pi және ^{q j} бар стратегиялары белсенді деп аталады.

Ойын теориясының негізгі теоремасы (минимакс туралы теорема) . Кезкелген қосындысы нөл болатын екі жақтың аяқталған ойынының кем дегенде бір шешімі болады, яғни жалпы жағдайда бағасы ⁿ болатын аралас жұп оптималды стратегиясы болады.

Шешуші нүктесі болмайтын ойындардың шешімі әртүрлі әдістермен алынады. Ондай ойындардың кейбірінің шешімі сызықтық программалау есептеріне келтіріледі.

Реті ( ^{m ´ n} ) болатын шешуші нүктесі жоқ төлем матрицасы берілсін. Ойында сызықтық программалау есептеріне келтіру үшін, артық стратегияларынан құтылып, оңайлату керек. 7. 3 кестесіндегі ойыннның оңайлату процесін қарастырайық.

Кесте

Бірінші A ойыншының стратегиясын қарайық. Матрицаны талдау ^{A 1} стратегиясы ^{A 3} стратегиясын қайталағаны көрініп тұр. Сондықтан біреуін ^{A 3} ( ^{A 1} ) шығарып тастауға болады. ^{A 1} жолындағы барлық ұтыс ^{A 2} жолындағылардан тең немесе үлкен, сондықтан ^{A 1} қарағанда ^{A 2} стратегиясы пайдасыз. Оны алып тастауға болады. Қысқартулардан кейінгі ойын түрі 7. 4 кестеде көрсетілген.

7. 4 кестесі бойынша B ойыншының стратегияларын таңдаймыз.

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс