Сызықтық оператор

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 13 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
М.Х. ДУЛАТИ АТЫНДАҒЫ ТАРАЗ ӨҢІРЛІК УНИВЕРСИТЕТІ
ҰСТАЗ ИНСТИТУТЫ

Кафедра Математика ___________________________________ ____

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Сызықты оператор, оның үзіліссіздігі, шектеулілігі және нормасы

Тобы:М18-3_________________________ ____________
Курс: 3___________________________________ ______
Қабылдаған: Билибай М.______________________
Орындаған:Ермаханова А.Т_____________________

Тараз - 2021ж
МАЗМҰНЫ
Сызықты оператор, оның үзіліссіздігі, шектеулілігі және нормасы
КІРІСПЕ
1 тарау. Кеңістік және оператор - функционалдық анализдың негізгі элементтері
НЕГІЗГІ БӨЛІМ
1.1 Сызықтық кеңістік. Мысалдар
1.2 Оператордың анықтамасы, анықталу облысы
1.3 Оператордың үзіліссіздігі және шектеулілігі
2 тарау. Сызықтық оператор және оның ерекшеліктері
2.1 Сызықтық оператор. Мысалдар
2.2 Сызықтық оператордың үзіліссіздігі және шектеулілігі
2.3 Сызықтық оператордың нормасы
2.4 Нормаланған сызықтық операторлар. Мысалдар.
ҚОРЫТЫНДЫ
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

Кіріспе
Бұл курстық жұмыс функционалдық анализдің сызықты оператор, оның үзіліссіздігі, шектеулілігі және нормасы тақырыбын зерттеуге арналған.
Сызықтық операторлар нормаланған сызықтық кеңістіктерде жұмыс істейтін операторлар ортасын зерттеуге ең қол жетімді. Олар операторлардың маңызды классын білдіреді, өйткені олардың арасында алгебра мен анализ операторларын табуға болады.
Курстық жұмыстың мақсаты - сызықтық операторларды көрсету, олардың үзіліссіздік пен шектілікке зерттеу, шектелген операторлардың нормасын, сонымен қатар операторлардың спектрін және оның шешу жолын табу.
Функционалды талдау дегеніміз - шексіз өлшемді топологиялық векторлық кеңістіктер және олардың кескінделуін зерттейтін талдаудың бөлімі. Мұндай кеңістіктердің функционалдық анализдің негізі ретінде қабылдауға болады.
Әр түрлі дерек көздерінде өлшемдер мен интегралдар теориясы, функциялар теориясы, операторлар теориясы, шексіз өлшемді кеңістіктердегі дифференциалдық есептеу функционалдық талдаудың бөлімдері ретінде қарастырылады. 20 ғасырдың екінші жартысында функционалдық талдау классикалық бөлімге негізделген бірқатар ерекше бөлімдермен толықтырылды.
Функционалды талдау көптеген нақты ғылымдарда қосымшаларды табады; көптеген маңызды теориялық құрылымдар функционалдық талдау тілінде сипатталған. Атап айтқанда, 21 ғасырдың басында функционалдық талдау дифференциалдық теңдеулер теориясында, математикалық физикада, теориялық физикада (оның ішінде кванттық механика, жолдар теориясы), басқару және оңтайландыру теориясында, ықтималдықтар теориясында, математикалық статистика, теорияда кеңінен қолданылады.

1.1 Сызықтық кеңістік. Мысалдар
Сызықтық кеңістік ұғымы математикадағы ең негізгі ұғымдардың бірі. Бұл ұғым тек бір тарауда ғана емес, көп тақырыптарға қатысы болғандықтан да, маңызды рөл атқарады. Сызықтық кеңістіктердің анықтамасы және мысалдары.
Сызықтық кеңістік ұғымы математикадағы ең негізгілердің бірі. Бұл тек осы тарауда ғана емес, бүкіл презентация кезінде де маңызды рөл атқарады. 1. Сызықтық кеңістіктердің анықтамасы және мысалдары. Анықтама 1. x, y элементтерінің бос емес L жиынтығы ... сызықтық немесе векторлық кеңістік деп аталады, егер ол келесі шарттарды қанағаттандырса:
1. Кез келген екі элемент үшін x, y ∈ L, үшінші элемент z ∈ L анықталады, олардың қосындысы деп аталады және х + у деп белгіленеді, және
1) x + y = y + x (коммутативтілік),
2) x + (y + z) = (x+ y) + z (ассоциативтілік),
3) L-де x + 0=x болатын 0 элементі бар барлық x∈L үшін (нөлдің болуы),
4) әрбір x ∈ L үшін x + (- x) = 0 (қарама-қарсы элементтің болуы) болатын x - элементі болады,кез келген а саны мен кез келген x∈L элементі үшін αx∈L элементі (x элементінің а санына көбейтіндісі) анықталады және
1) ∝ (βx) = (∝β) x,
2) 1x = x ,
3)α+βx=αx+βx
4) α (x + y) = α h + α y.
Сандардың қандай қорына (барлық күрделі немесе тек нақты) пайдаланылатындығына байланысты, біз күрделі және нақты сызықтық кеңістіктерді ажыратамыз.) Егер басқаша айтылмаса, біздің құрылымдар нақты және күрделі кеңістіктер үшін жарамды болады. Егер векторларды нақты сандарға көбейтуді шектесек, сызықтық кеңістікті кейбір нақты кеңістік деп санауға болады.
Сызықтық кеңістіктердің кейбір мысалдарын қарастырайық, оқырманға олардың әрқайсысы үшін жоғарыда келтірілген аксиомаларды тексеруге мүмкіндік беріңіз.
1. R 'түзу сызығы, яғни қосу мен көбейтудің әдеттегі арифметикалық амалдарымен нақты сандар жиыны сызықтық кеңістік болып табылады.
2. n нақты сандарының барлық мүмкін жүйелерінің жиынтығы - х, (x, x2, ..., хn,), мұндағы санға көбейту және көбейту формулалармен анықталады, сонымен қатар сызықтық кеңістік. Ол нақты n өлшемді ) арифметикалық кеңістік деп аталады және R таңбасымен белгіленеді. Сол сияқты, күрделі n өлшемді арифметикалық кеңістік n күрделі сандар жүйесінің жиынтығы ретінде анықталады (кез-келген күрделі сандарға көбейте отырып).
3. [a, b] кейбір интервалдағы үздіксіз (нақты немесе күрделі) функциялар әдеттегі функцияларды қосу операциялары және оларды сандарға көбейту сызықтық кеңістікті құрайды [a, b], бұл талдау үшін ең маңыздылардың бірі болып табылады .
4. Конвергенциялы х - (х, х,) сандарға көбейту және көбейту координаталық амалдарымен сызықтық кеңістікті құрайды, оны c деп белгілеңіз.
5. 0-ге ауысатын реттіліктер, қосу және көбейту операциялары бірдей, сонымен қатар сызықтық кеңістікті құрайды. Оны C0 деп белгілейік.
6. 4-6 мысалдардағыдай сандарға көбейту және көбейту амалдары орындалатын барлық шектелген сандық тізбектердің m жиыны да сызықтық кеңістік болып табылады.
7. Соңында, 4-7 мысалдардағыдай сандарға көбейту және көбейту амалдарымен барлық мүмкін сандық тізбектердің R жиыны да сызықтық кеңістік болып табылады. Сызықтық кеңістіктің қасиеттері элементтерді қосу және оларды сандарға көбейту операцияларының қасиеттері болғандықтан, келесі анықтаманы енгізу заңды.
Анықтама 2. L және L* сызықтық кеңістіктері изоморфты деп аталады, егер олардың элементтері арасында L мен L амалдарымен сәйкес келетін бір-біріне сәйкестік орнатуға болады. Изоморфты кеңістікті бір изоморфты сызықтық кеңістіктің әр түрлі іске асырылуы деп санауға болады, арифметикалық n-өлшемді кеңістік (нақты немесе күрделі) және n дәрежелі барлық көпмүшеліктердің кеңістігі

1.2 Оператордың анықтамасы, анықталу облысы
Анықтама-1. Х метрикалық кеңістік болсын . Х-тегі оператор деп, х нүктесіне оның образын-метрикалық Y кеңістігіндегі fx нүктесін сәйкестендіретін f бейнелеуін айтады.
Анықтама-2. Оператордың анықталу облысы деп, fx анықталған х нүктелерінен тұратын Df⊆x ішкі жиынын айтады. Z⊆X ішкі жиынының образы деп барлық нүктелердің образдарының Z∩Df жинағын айтады.
Мысал 1. f:X=C0;1 ,fxt=x't=ⅆxdt болсын. Онда f операторының анықталу облысы үзіліссіз-дифференциалданатын функциялардан, яғни үзіліссіз туындылары бар функциялардан тұрады. Оператор үзіліссіздігі ұғымының маңызы өте зор.

1.3 Оператордың үзіліссіздігі және шектеулілігі
Анықтама -3. f:X--Y операторы метрикалық Х кеңістігінде үзіліссіз деп аталады, егер кез-келген x∈ Df⊆x және кез келген ε0 саны үшін ,радиусы δ центрі х шарды радиусы ε центрі fx болатын шарға бейнелейтін f операторы бар болатындай δ=δε0 бар болса.
Мысал 2. Егер Y=R, X⊆Y болса, онда Х-тағы оператор кәдімгі сандық функция болады. Бұл жағдайда оператордың үзіліссіздігі кәдімгі сандық функцияның үзіліссіздігі анықтамасымен сәйкес келетіндігі айқын.
Метрикалық кеңістіктің Z⊆X ішкі жиыны шектеулі деп аталады, егер ол кейбір шарда жататын болса. Х метрикалық кеңістіктігіндегі оператор шектеулі деп аталады, егер ол шектеулі ішкі жиынды шектеулі ішкі жиынға бейнелесе.
Мысал 3. Бірінші мысалдағы келтірілген f дифференциалдау операторы шектеулі оператор болмайды екен. Шындығында да , Z ішкі жиыны ретінде xnt=tn, n=1,2,..., дәрежелі функциялардың жиынтығын алайық. Z ішкі жиыны шектеулі болады, өйткені, әрбір n үшін xn=x1=1 және Z центрі 0, радиусы 1 болатын B0,1 тұйық шарында жатады. Екінші жағынан, fxn=ntn-1=n--infinity ұмтылады n--infinity ұмтылғанда.

2 тарау. Сызықтық оператор және оның ерекшеліктері
Егер барлық x∈R векторлар үшін сәйкесінше А (х) немесе Ax∈R анықталған вектор сәйкес қойылса, онда R векторлық кеңістікте оператор немесе бейнелеу А- берілді деп айтамыз.
Егер кез-келген ∀x,y∈R векторлары мен ∀α∈R скаляр саны үшін төмендегі теңдіктері:
1.Ax+y=Ax+Ay;
2.Aαx=αAx;
орындалса , онда А операторы сызықты оператор деп аталады. Ax вектор x векторының бейнесі, ал x-векторы А-ны бейнелегенде Ax векторының алғашқы бейнесі болады.
Сызықты операторларға орындалатын амалдар. Сызықты операторларды қосу.
Егер А және ВR кеңістігіндегі екі сызықты операторлар болса, онда олардың А+В қосындысы деп Сх=Ах+Вх теңдігімен кез-келген x∈R үшін анықтайтын С операторын айтады. Сызықты операторлардың қосындысы да сызықты оператор екенін көру қиын емес.
Сызықты операторларды қосу төмендегідей қасиеттерге ие:
А+В=В+А
(А+В) +С=А+(В+С)
А+0=А кез-келген оператор үшін
Егер (-А) арқылы (-А)х=-Ах теңдігін анықтайтын операторды белгілесек, онда барлық x∈R үшін А сызықты оператор болады және (-А)+А=0. (-А) операторының матрицасын (-А) арқылы белгілейміз, онда -A=an екені анық.
Сызықтық оператор анықтамасы және мысалдары. Е және E1 екі сызықты топологиялық кеңістік болсын. Сызықтық оператордың қолданыстағы бірі . Е ,E1 деп аталатын бейнелеуі:
y=ax, x∈E,y∈E1
қанағаттандыратын шарт.
Aαx1+By2=αAx1+BAx2

DA дисплейі анықталған барлық x∈E жиынтығы А операторының анықтама аймағы деп аталады; жалпы айтқанда , DA= E деп болжанбайды, бірақ біз әрқашан DA сызықтық көпбұрыш деп санаймыз , яғни егер х ,y∈DA, αx+By∈DA.

Енді Х,У -сызықты нормаланған кеңістіктер болсын. Онда барлық операторлардың ішіндегі кейбіреулері сызықтық кеңістіктің құрылымын қабылдаумен ерекшеленеді.
Анықтама 1. A:X--Y операторы сызықты деп аталады, егер оның анықталу облысы DA Х-тегі ішкі кеңістік болса және кез-келген x1,x2∈DA және кез-келген α саны үшін
Ax1+x2=Ax1+Ax2
және Aαx=αAx1 орын алса.
Теорема 1.A:X--Y операторы сызықты болсын. Онда А операторы үзіліссіз болады сонда тек сонда ғана , егер ол шектеулі болса.
Анықтама-2.A:X--Y сызықты операторы ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.