Чебышев торындағы квадратуралық формуласының қалдық мүшесінің бағалауы

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министірлігі

«Л. Н. Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық Университеті»

СӘРСЕНҚҰЛОВА НҰРЛЫҚЫЗ АЙБЕКҚЫЗЫ

Фурье-Чебышев коэффициенттері үшін квадратуралық формулалар

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Мамандық 5B060100 - «Математика»

Нұр-Сұлтан 2021

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министірлігі

«Л. Н. Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық Университеті»

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Фурье-Чебышев коэффициенттері үшін квадратуралық формулалар

Мамандығы: 5В060100-Математика

Орындады: Сәрсенқұлова Н. А.

(қолы) (аты-жөні )

Жетекші: Наурызбаев Н. Ж.

(қолы) (аты-жөні)

«Қорғауға жіберілді»

Кафедра меңгерушісі Алдай М.

(қолы) (аты-жөні )

Нұр-сұлтан 2021

Л. Н. Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық Университеті

Механика-математика факультеті

5B060100 - «Математика» мамандығы

Іргелі математика кафедрасы

«Бекітемін»

Кафедра меңгерушісі

Алдай М.

«__»2021 ж

Студент Сәрсенқұлова Нұрлықыз Айбекқызы

(тегі, аты, әкесінің аты)

4 курс, М-41, 5В060100-Математика, Күндізгі

(курс, топ, мамандық, оқу түрі)

Дипломдық жұмыс орындауға арналған

Тапсырма

1. Дипломдық жұмыстың тақырыбы: «Фурье-Чебышев коэффициенттері үшін квадратуралық формулалар» 2020 жылы «22» желтоқсан айында №67-П ректор бұйрығымен бекітілген.
2. Студент аяқталған жұмыстың тапсыру мерзімі
3. Жұмыстың бастапқы деректері: Дипломдық жұмыстың тақырыбына байланысты көптеген әдебиеттерге шолу жасалды.
4. Дипломдық жұмыста қарастырылатын сұрақтар тізбегі:

Фурье-Чебышев коэффиценттері үшін квадратуралық формулалар.

5. Графикалық материалдар тізбесі (сызбалар, кестелер т. с. с) .
6. Негізгі әдебиеттер тізімі:

1. Levin M. Қос интегралды бағалау туралы// Math. Comput. -1982. -V. 39. № 159. -Б. 173-177.
2. Левин М., Гиршович Дж. Квадратураның оңтайлы формулалары. Лейпциг: Тубнер-Верлаг, 1979 ж.
3. Абилов В. А., Абилова Ф. В. Квадратуралық формула бойынша// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -2002. -Т. 42. № 4. -Б. 451-458.
4. Абилов В. А., Керимов М. К. Бірнеше Фурье - Чебышев қатарларының қалдық бөліктерін бағалау және Чебышев типіндегі кубатуралық формулалар// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -2003. -Т. 43. № 5. -Б. 643-663.

7. Жұмыс бойынша берілген кестелер (тиісті бөлімдері көрсетілген)

8. Дипломдық жұмысты орындау кестесі

9. Тапсырманың берілген уақыты «» 2021 ж

Ғылыми жетекші Іргелі математика кафедрасының доценті, PhD Наурызбаев Н. Ж. .

Тапсырманы орындауға алдым Сәрсенқұлова Н. А.

Мазмұны

КІРІСПЕ6

НЕГІЗГІ БӨЛІМ9

1 Есептің қойылымы. Зерттеу тарихы9

1. 1 Чебышев торы бойынша квадратуралық формула9

1. 2 Алдын-ала қажетті ұғымдар9

1. 3 Жұмыстың зерттелу тарихы11

2 Квадратуралық формуланың қалдық мүшесін бағалау туралы функцияларға арналған Чебышев торындағы екі айнымалыдан тұратын формулалар16

2. 1 Екі айнымалылы функциялар үшін Чебышев торындағы квадратуралық формуласы16

2. 2 Чебышев торындағы квадратуралық формуласының қалдық мүшесінің бағалауы17

3 Фурье-Чебышев қатары және Чебышев типіндегі квадратуралық формулаларының қалдықтарын бағалау туралы26

3. 1 Анықтамалар. Функциялардың класстары26

3. 2 Көмекші тұжырымдар30

3. 3 Негізгі нәтижелер38

ҚОРЫТЫНДЫ59

ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ60

КІРІСПЕ

Квадратуралық формулалар - математикадағы есептеудің негізгі құралдарының бірі және бірнеше интегралдар шамамен есептеу мәселелері туындаған жерде кеңінен қолданылады. Кубатуралық формулаларға үлкен әдебиет тізімі арналған. Қалдық мүшелер үшін қатаң бағалар алынған формулалар ерекше маңызды болып табылады.

Осыған байланысты біз тек екі жұмысты көрсетумен шектелеміз ([1], [2] қараңыз), оңтайлы кубатуралық деп аталатын формулаларға арналған.

Бұл жұмыстарда квадратуралық формулалардың төмендегідей түрлері қарастырылады

$$\int_{0}^{1}{\int_{0}^{1}{f(x, y) }}dxdy = \sum_{k = 1}^{m}{\sum_{l = 1}^{m}C_{k, l}}f\left( x_{k}, y_{l} \right) + R(f),$$

мұнда функциялардың кейбір класында

$$W_{q_{1}, q_{2}}^{2}L_{p} = \left\{ f(x, y) :\frac{d^{l + 1}f(x, y) }{dx^{l}dy^{s}}, \ l, s \leq r \right\},$$

$D = \lbrack 0, 1\rbrack \times \lbrack 0, 1\rbrack, \ 1\ < \ p\ < \ \infty$ кесекті үзіліссіз облысында біз осындай бағалауды аламыз

$$R = sup\left R(f) \right = O\left( m^{- r}\ \right), f \in W_{q_{1}, q_{2}L_{2}}^{2}.$$

Бұл жұмыста біз Чебышев торындағы қалдық формуласы үшін осындай түрдегі бағалауды дәлелдейміз. Бір және екі айнымалыдан тұратын функцияларға ұқсас есептер [3], [4] -де зерттелген.

Квадратуралық формулалар теориялық және қолданбалы математикада интеграл түрінде ұсынылған өрнектерді жуықтау үшін (анықталған, дұрыс емес, жекеше, еселіктер) кеңінен қолданылады.

Көптеген нақты квадратуралық және кубатуралық формулалары жасалынған (Гаусстың формулалары - Легендре, Гаусс - Якоби, Гаусс - Чебышев, Соболев, Люстерник пенквадратураның формулалары және т. б. ) . Осы формулалардың көпшілігіне түйіндер мен салмақтардың кең кестелері құрастырылды, ал қалдық мүшелеріне бағалаулары алынды. Мұндай формулалардың түйіндері мен салмақтарын есептеудің теориясы мен әдістері көптеген монографиялар мен журнал мақалаларында көрсетілген. Мысалы, Дэвис пен Рабиновиц [5], Крылов [6], Крылов пен Шулыгина [7], Мысовских [8], Соболев [9], Строуд [10], Ривлин [11], Ван Деун мен Бултхел [12] , Берд пен Сбалла [13], Эслахчи, Дехган және Мажед Джамей [14], Голуб және Вельш [15], Мысовских [16], Франке [17], Диткин [19], Люстерник [20], Иванова [21], Ермаков [22], Кузменков [23] және т. б.

Мұнда біз екі айнымалыдағы функциялардың белгілі бір класы үшін Чебышев торы бойынша кубтық формуланың қалдықтарын бағалаумен айналысамыз. Осы типтегі квадратура формулалары [24] - [27] те қарастырылды.

Чебышев көпмүшелері алғаш рет 1854 жылы белгілі орыс математигі Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) енгізген және зерттеген (қараңыз [28, 23-51 б. ] ), олар теориялық және қолданбалы математикада, математикалық физикада және көптеген басқада ғылымдарда кеңінен қолданылады. Осы көпмүшеліктерге жүздеген ғылыми мақалалар мен ондаған монографиялар арналған. Бізді олардың есептеу математикасында қолданылуы ерекше қызықтырады, сондықтан біз тек осы көпмүшеліктерге арналған монографияларды көрсетумен шектелеміз. Олардың әрқайсысында осы көпмүшеліктердің теориясы мен қолданылуына арналған құжаттардың үлкен тізімдері бар. Біріншіден, бұл кітаптар [29] - [38] .

[35] - [39] -де, көпмүшелердің өздері немесе Чебышев көпмүшелері бойынші әр түрлі функциялардың ыдырау коэффициенттері мәндерінің үлкен кестелері келтірілген. Бір айнымалылы Чебышев көпмүшелері функциялар теориясында, дифференциалдық және интегралдық теңдеулердің сандық шешімі үшін, интегралдарды квадратуралық формулалармен есептеу үшін және тағы басқаларында кеңінен қолданылады. Алайда, екі немесе одан да көп айнымалылардан тұратын практикалық есептерді Чебышев көпмүшеліктері арқылы шешуге арналған жұмыстар өте аз. Бірқатар қазіргі заманғы физикалық мәселелер туындап, олар, бірнеше айнымалы Чебышев көпмүшелерін қарастыруға әкеледі. Сонымен қатар, екі немесе одан да көп айнымалысы бар Чебышев көпмүшелері енгізіліп, зерттелетін теориялық жұмыстар бар (мысалы, [40] - [42] қараңыз) .

Екі айнымалылы Чебышев көпмүшелерін практикалық қолданылуы тек кітаптарда қысқаша көрсетілген [29, XVI Б. ], [30, §16] . Әсіресе, бұл көпмүшелер математикалық физиканың кейбір дифференциалды және интегралдық теңдеулерін сандық шешуге ыңғайлы болып табылады (мысалы, [30, III бөлім] қараңыз) . Бұл мақала негізінен бірнеше айнымалылы функциялардың бірнеше Фурье қатарына Чебышев көпмүшеліктері арқылы ыдырауына байланысты теориялық мәселелерге арналған, олардың жинақталу жылдамдығын зерттеу, қатардың қалған мүшелерінің бағалау және соларға байланысты Чебышев формулалар және т. б. Теоремалардың тұжырымдамасы мен оларды дәлелдеудің қысқалығы үшін біз екі айнымалылы функцияларымен және олардың екі Фурье-Чебышев қатарына ыдырауымен шектелеміз. Мақаланың көлемі шектеулі болғандықтан, біз нақты функциялардың ыдырауын оның нәтижелерін бұл жерде ұсынбаймыз, кейде осы сұрақтарға [29], [30] келтірілген бірнеше қол жетімді нәтижелерге сілтеме жасайды.

2π-периодты Фурье тригонометриялық қатарларының жинақтылығы туралы сұрақтарда белгілі функцияларын ауыстыру операторы $T_{h}f(x) = f(x + h)$ және оның көмегімен анықталған әр түрлі ретті үздіксіздік модульдері маңызды рөл атқарады. Фурье қатарларының әр түрлі ортогоналды көпмүшелердегі(Лагерре, Гермит, Якоби) жинақтылығына байланысты сұрақтарда және арнайы функциялардағы (мысалы, Бессель), жалпыланған ауысу операторлары және олардың кеңейтілген үздіксіздіктің жалпыланған модульдері ұқсас рөл атқарады (мысалы, [43], [44] қараңыз) . Периодты емес функциялардың Фурье қатарларының жинақтылығын зерттеуде (бір және көптеген айнымалылар) жалпыланған ауысу операторлары аппараты Фурье қатарларының қалдық мүшелері үшін бірқатар жаңа нәтижелер алуға мүмкіндік берді, Чебышев типіндегі квадратуралық формулалар және т. б. (қараңыз, мысалы, [45] - [47] ) .

Сонымен қатар, біз өз жұмысымызда жалпыланған ауысу операторларымен сипатталатын бірнеше айнымалы функциялардың кейбір кластарының Колмогоров ені үшін айқын немесе әлсіз балама бағаларын аламыз.

Дипломдық жұмыста Фурье-Чебышев коэффиценттері үшін квадратуралық формулалар туралы жалпы түсінік беріп олардың есептеу жолдарын көрсетеді.

Жұмыстың бірінші бөлімінде негізгі әдістерге қысқаша шолу, сондай-ақ есеп қойылымы және жоба есебі бойынша белгілі нәтижелер келтірілген.

Екінші бөлімде Квадратуралық формуланың қалдық мүшесін бағалау туралы функцияларға арналған Чебышев торындағы екі айнымалыдан тұратын формулалар алу қарастырылады.

Үшінші бөлімде Фурье-Чебышев қатары және Чебышев типіндегі квадратуралық формулаларының қалдықтарын бағалау туралы Соңында жұмыстың негізгі нәтижесінің дәлелдемесі келтіріледі.

Дипломдық жұмыс 64 беттен, 58 дереккөздерден тұрады.

НЕГІЗГІ БӨЛІМ 1 Есептің қойылымы. Зерттеу тарихы 1. 1 Чебышев торы бойынша квадратуралық формула

Теорема. $f\ (x, \ y) \ \$ функциясын нормасын $Q\ = \ \lbrack -1, \ 1\rbrack \times \ \lbrack -1, \ 1\rbrack$ квадратындағы $C\ (Q)$ үзіліссіз кеңістігі арқылы төмендегідей белгілейміз

$$\left\ f \right\ = \max\left f(x, y) \right$$

$(x, y) \in Q$ .

Чебышев торындағы кубатуралық формула

$$\iint_{- 1 - 1}^{11}{\frac{1}{\sqrt{\left( 1 - x^{z} \right) \left( 1 - y^{2} \right) }}f(x, y) dx\mathbb{d}y = \frac{\pi^{2}}{mn}\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j = 1}^{m}{f\left( \cos{\frac{2\mathbb{i} - 1}{2n}\pi}, \cos{\frac{2j - 1}{2m}\pi} \right) }} + R_{m, n}(f) }$$

$f \in C(Q) \$ функциясы кейбір $H\left( r_{1}, r_{2} \right)$ класында, жалпыланған ауысу операторы арқылы анықталған. $R_{m, n}(f) \$ қалдық мүшесі үшін келесі бағалауы [1] жұмысында дәлелденді

$$\sup_{f \in \ H\left( r_{1}, r_{2} \right) }{{R}_{m, n}(f) = O\left( n^{- r_{1} + 1} + m^{- r_{2} + 1} \right), }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 1. 1)$$

мұндағы $\ r_{1}, r_{2} > 1$ , $\lambda^{- 1}$ ≤ $\frac{n}{m}$ ≤ $\lambda$ , $\lambda$ > 0; тұрақты, $O(1)$ құрамына кіретін $\lambda$ -ге байланысты.

1. 2 Алдын-ала қажетті ұғымдар

Келесі түрдегі кубатуралық формуланы қарастырымыз

$\int_{- 1}^{1}{\int_{- 1}^{1}{\frac{1}{\sqrt{\left( 1 - x^{z} \right) \left( 1 - y^{2} \right) }}f(x, y) dx\mathbb{d}y = \frac{\pi^{2}}{mn}\sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j = 1}^{m}{f\left( \cos{\frac{2\mathbb{i} - 1}{2n}\pi}, \cos{\frac{2j - 1}{2m}\pi} \right) + \ R_{m, n}(f) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ (1. 2. 1)

екі айнымалылы $\ f(x, \ y)$ үздіксіз функциялар класында $Q\ = \ \lbrack - 1, \ 1\rbrack \times \lbrack - 1, 1\rbrack$ квадратында анықталған. $Q$ облысындағы $\ C(Q)$ үздіксіз кеңістіктің $f(x, \ y)$ нормасы арқылы белгілейміз

$$\left\ f \right\ = \max_{(x, y) \in Q}\left f(x, \ y\ ) \right\ .$$

$C(Q)$ кеңістігінде біз бірінші айнымалы бойынша жалпыланған ығысу операторын анықтаймыз:

$$F_{h_{1}}f(x, y) = \frac{1}{2}\left\lbrack f\left( xcosh_{1} + \sqrt{1 - x^{2}}\sin h_{1}, y \right) + f\left( xcosh_{1} - \sqrt{1 - x^{2}}\sin h_{1}, y \right) \right\rbrack, \ h_{1} > 0$$

және дәл солай екінші айнымалы бойынша анықтаймыз

$$F_{h_{2}}f(x, y) = \frac{1}{2}\left\lbrack f\left( x, ycosh_{2} + \sqrt{1 - y^{2}}\sin h_{2} \right) + f\left( x, ycosh_{1} - \sqrt{1 - y^{2}}\sin h_{2} \right) \right\rbrack, \ h_{2} > 0$$

Бірінші ретті айырымды

$${\mathrm{\Delta}_{h}}_{1}f(x, \ y\ ) = F_{h_{1}}f(x, \ y\ ) - f(x, \ y\ ),$$

$${\mathrm{\Delta}_{h}}_{2}f(x, \ y\ ) = F_{h_{2}}f(x, \ y\ ) - f(x, \ y\ )$$

тиісінше, бірінші және екінші айнымалы үшін анықтаймыз.

Әрі қарай,

$$r_{1} = 2p_{1} + \alpha_{1}, \ \ r_{2} = 2p_{2} + \alpha_{2},$$

$$p_{1}p_{2} = 0, 1, \ldots, \ \alpha_{1}\alpha_{2} > 0$$

болсын және

$$D_{x} = \left( 1 - x^{2} \right) \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - x\frac{\partial}{\partial x}, \ D_{y} = \left( 1 - y^{2} \right) \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} - y\frac{\partial}{\partial y}$$

- екінші ретті дифференциалдық операторлар.

$f \in C(Q)$ функциясы $H\left( r_{1}, {\ r}_{2} \right)$ класына жатады, егер

$$\left\ {\mathrm{\Delta}_{h}}_{1}D_{x}^{p_{1}}f \right\ \leq K_{1}h_{1}^{\alpha_{1}}, \ \ \left\ {\mathrm{\Delta}_{h}}_{2}D_{y}^{p_{2}}f \right\ \leq K_{2}h_{2}^{\alpha_{2}}$$

мұндағы $K_{1}, \ {K\ }_{2} > \ 0$ - $h_{1\ }$ және $h_{2}$ тәуелсіз тұрақты.

1. 3 Жұмыстың зерттелу тарихы

Мұнда жұмыстың негізгі нәтижесі дәлелденеді.

1. 1 тараудағы теореманы қарастырып дәлелдейік.

Дәлелдеуі. $\ \ f \in H\left( r_{1}, r_{2} \right)$ болсын, содан кейін ([4] қараңыз) Фурье екі еселенген қатарына ыдырауы әділетті

$$f(x, y) = \sum_{i = 0}^{\infty}{\sum_{j = 0}^{\infty}{c_{ij}(f) T_{i}(x) T_{j}(y) }, }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 3. 1)$$

мұңдағы

$$c_{ij}(f) = \int_{- 1}^{1}{\int_{- 1}^{1}{\frac{1}{\left( 1 - x^{2} \right) \left( 1 - y^{2} \right) }f(x, y) T_{i}(x) T_{j}(y) }}$$

${T\ }_{n}(t) (n\ = \ 0, \ 1, \ \ldots)$ - бірінші ретті Чебышев көпмүшелерінің ортонормаланған жүйесі.

[4] бұл дәлелденді

$$R_{m, n}(\ f\ ) = \sqrt{2\pi}\sum_{i = 1}^{\infty}( - 1) ^{l + 1}c_{2ln, 0}(f) + \sqrt{2\pi}\sum_{k = 1}^{\infty}( - 1) ^{k + 1}c_{0, 2km}(f) - 2\pi\sum_{i = 1}^{\infty}{\sum_{k = 1}^{\infty}{( - 1) ^{l + k}c_{2ln, 2km}(f) }}$$

Демек, осыдан шығады

$$R_{m, n}(\ f\ ) = O\left\{ \sum_{i = 1}^{\infty}{\left c_{2ln, 0}(f) \right +}\sum_{k = 1}^{\infty}{\left c_{0, 2km}(f) \right + \sum_{i = 1}^{\infty}{\sum_{k = 1}^{\infty}\left c_{2ln, 2km}(f) \right}} \right\}$$

немесе

$$R_{m, n}(\ f\ ) = O\left\{ \sum_{i = n}^{\infty}{\left c_{i, 0}(f) \right +}\sum_{j = m}^{\infty}{\left c_{0, j}(f) \right + \sum_{i = n}^{\infty}{\sum_{j = m}^{\infty}\left c_{i, j}(f) \right}} \right\}$$

Енді $H\ \left( r_{1}, {\ r}_{2} \right)$ класының кез-келген $f\ (x, \ y)$ функциясы үшін келесі бағалаулар әділетті екенін көрсетейік:

$$\sum_{i = n}^{\infty}{\sum_{j = 0}^{\infty}{c_{i, \ j}^{2}(f) = O\left( n^{{- 2r}_{1}} \right), \ \ \ \ }}\sum_{i = 0}^{\infty}{\sum_{j = m}^{\infty}{c_{i, \ j}^{2}(f) = O\left( m^{{- 2r}_{2}} \right), \ \ \ \ }}$$

Екі қосынды да симметриялы болғандықтан, біз олардың бірін қарастырамыз және қарапайымдылық үшін $r_{1}, {\ p}_{1}, {\ h}_{1}, \ \alpha_{1}$ үшін 1 индексін алып тастаймыз.

... жалғасы

Сандық әдістер пәнінен дәрістер

Еселі интегралдардың қолданулары

Есептеу математикасына кіріспе пәні бойынша оқу-әдістемелік кешен

Математиканы тереңдетіп оқытудағы туындының алгебралық қолданылуы

Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру

Сызықты емес теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері

Балаларды санға үйретуге ақыл-ойдың әдістері

Аппроксимацияның негізгі әдістері

Функцияны интерполяциялау

ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДАРДЫҢ ҚОЛДАНУЛАРЫ. ҚИСЫҚ СЫЗЫҚТЫ ИНТЕГРАЛДАР

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс