Чебышев торындағы квадратуралық формуласының қалдық мүшесінің бағалауы

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 39 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министірлігі
Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық Университеті

СӘРСЕНҚҰЛОВА НҰРЛЫҚЫЗ АЙБЕКҚЫЗЫ

Фурье-Чебышев коэффициенттері үшін квадратуралық формулалар

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Мамандық 5B060100 - Математика

Нұр-Сұлтан 2021
Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министірлігі
Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық Университеті

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Фурье-Чебышев коэффициенттері үшін квадратуралық формулалар
Мамандығы: 5В060100-Математика

Орындады: ________________ Сәрсенқұлова Н.А.
(қолы) (аты-жөні )

Жетекші:________________ Наурызбаев Н.Ж.
(қолы) (аты-жөні)

Қорғауға жіберілді

Кафедра меңгерушісі _______________ Алдай М.
(қолы) (аты-жөні )

Нұр-сұлтан 2021
Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық Университеті
Механика-математика факультеті
5B060100 - Математика мамандығы
Іргелі математика кафедрасы

Бекітемін
Кафедра меңгерушісі
Алдай М.
__________2021 ж

Студент________Сәрсенқұлова Нұрлықыз Айбекқызы _____
(тегі, аты, әкесінің аты)
___________4 курс, М-41, 5В060100-Математика, Күндізгі_____________
(курс, топ, мамандық, оқу түрі)

Дипломдық жұмыс орындауға арналған
Тапсырма

Дипломдық жұмыстың тақырыбы: Фурье-Чебышев коэффициенттері үшін квадратуралық формулалар 2020 жылы 22 желтоқсан айында №67-П ректор бұйрығымен бекітілген.
Студент аяқталған жұмыстың тапсыру мерзімі
Жұмыстың бастапқы деректері: Дипломдық жұмыстың тақырыбына байланысты көптеген әдебиеттерге шолу жасалды.
Дипломдық жұмыста қарастырылатын сұрақтар тізбегі:
Фурье-Чебышев коэффиценттері үшін квадратуралық формулалар.
Графикалық материалдар тізбесі (сызбалар, кестелер т.с.с).
Негізгі әдебиеттер тізімі:
Levin M. Қос интегралды бағалау туралы Math. Comput. -1982. -V. 39. № 159. -Б. 173 - 177.
Левин М., Гиршович Дж. Квадратураның оңтайлы формулалары. Лейпциг: Тубнер-Верлаг, 1979 ж.
Абилов В.А., Абилова Ф.В. Квадратуралық формула бойынша Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -2002. -Т. 42. № 4.-Б. 451 - 458.
Абилов В.А., Керимов М.К. Бірнеше Фурье - Чебышев қатарларының қалдық бөліктерін бағалау және Чебышев типіндегі кубатуралық формулалар Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -2003. -Т. 43. № 5. -Б. 643 - 663.
Жұмыс бойынша берілген кестелер (тиісті бөлімдері көрсетілген)
Бөлім
Ғылыми жетекші, консультант
Тапсырманы алу мерзімі
Тапсырма бердім
Тапсырма алдым
Кіріспе бөлімі
Наурызбаев Н.Ж.
11.10.2020

Негізгі бөлім. Есептің қойылымы. Зерттеу тарихы
Наурызбаев Н.Ж.
9.11.2020

Негізгі бөлім. Кубатураның қалдық мүшесін бағалау туралы функцияларға арналған Чебышев торындағы екі айнымалыдан тұратын формулалар
Наурызбаев Н.Ж.
18.12.2020

Негізгі бөлім Фурье-Чебышев қатары және Чебышев типіндегі квадратура формулаларының қалдықтарын бағалау туралы
Наурызбаев Н.Ж.
25.01.2021

Негізгі бөлім. Негізгі нәтижелер
Наурызбаев Н.Ж.
25.03.2021

Қорытынды бөлім
Наурызбаев Н.Ж.
25.04.2021

Дипломдық жұмысты орындау кестесі
№
Жұмыстың кезеңі
Орындау мерзімі
Ескертулер
1
Дипломдық жұмыс тақырыбы бойынша әдебиеттер мен мақалаларға шолу жасау, қажетті материалдарды жинақтау
30.11.2020

2
Зерттеу тақырыбының тарихы, кіріспе бөлімді дайындау
11.12.2021

3
Қажетті белгілеулер, анықтамалар мен тұжырымдарды жинақтау, жазу
18.01.2021

4
Қойылған есепті шешу
16.02.2021

5
Алынған нәтижелерді жинақтау
17.03.2021

6
Қорытынды жасау
31.03.2021

7
Дипломдық жұмысты жазу
13.04.2021

8
Дипломдық жұмысты алдын-ала қорғауға ұсыну
05.05.2021

9
Дипломдық жұмысты пікірлеме алу үшін рецензентке жіберу

10
Дипломдық жұмысты қорғау

Тапсырманың берілген уақыты ____ ___________2021 ж

Ғылыми жетекші ____________ Іргелі математика кафедрасының доценті, PhD Наурызбаев Н.Ж..

Тапсырманы орындауға алдым ___________Сәрсенқұлова Н.А.
Мазмұны

КІРІСПЕ 6
НЕГІЗГІ БӨЛІМ 9
1 Есептің қойылымы. Зерттеу тарихы 9
1.1 Чебышев торы бойынша квадратуралық формула 9
1.2 Алдын-ала қажетті ұғымдар 9
1.3 Жұмыстың зерттелу тарихы 11
2 Квадратуралық формуланың қалдық мүшесін бағалау туралы функцияларға арналған Чебышев торындағы екі айнымалыдан тұратын формулалар 16
2.1 Екі айнымалылы функциялар үшін Чебышев торындағы квадратуралық формуласы 16
2.2 Чебышев торындағы квадратуралық формуласының қалдық мүшесінің бағалауы 17
3 Фурье-Чебышев қатары және Чебышев типіндегі квадратуралық формулаларының қалдықтарын бағалау туралы 26
3.1 Анықтамалар. Функциялардың класстары 26
3.2 Көмекші тұжырымдар 30
3.3 Негізгі нәтижелер 38
ҚОРЫТЫНДЫ 59
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 60

КІРІСПЕ

Квадратуралық формулалар - математикадағы есептеудің негізгі құралдарының бірі және бірнеше интегралдар шамамен есептеу мәселелері туындаған жерде кеңінен қолданылады. Кубатуралық формулаларға үлкен әдебиет тізімі арналған. Қалдық мүшелер үшін қатаң бағалар алынған формулалар ерекше маңызды болып табылады.
Осыған байланысты біз тек екі жұмысты көрсетумен шектелеміз ([1], [2] қараңыз), оңтайлы кубатуралық деп аталатын формулаларға арналған.
Бұл жұмыстарда квадратуралық формулалардың төмендегідей түрлері қарастырылады

0101fx,ydxdy=k=1ml=1mCk,lfxk,yl+Rf,

мұнда функциялардың кейбір класында

Wq1,q22Lp=fx,y:dl+1fx,ydxldys, l,s=r,

D=0,1x0,1, 1 p infinity кесекті үзіліссіз облысында біз осындай бағалауды аламыз

R=supRf=Om-r ,f∈Wq1,q2L22.

Бұл жұмыста біз Чебышев торындағы қалдық формуласы үшін осындай түрдегі бағалауды дәлелдейміз. Бір және екі айнымалыдан тұратын функцияларға ұқсас есептер [3], [4] -де зерттелген.
Квадратуралық формулалар теориялық және қолданбалы математикада интеграл түрінде ұсынылған өрнектерді жуықтау үшін (анықталған, дұрыс емес, жекеше, еселіктер) кеңінен қолданылады.
Көптеген нақты квадратуралық және кубатуралық формулалары жасалынған (Гаусстың формулалары - Легендре, Гаусс - Якоби, Гаусс - Чебышев, Соболев, Люстерник пенквадратураның формулалары және т.б.). Осы формулалардың көпшілігіне түйіндер мен салмақтардың кең кестелері құрастырылды, ал қалдық мүшелеріне бағалаулары алынды. Мұндай формулалардың түйіндері мен салмақтарын есептеудің теориясы мен әдістері көптеген монографиялар мен журнал мақалаларында көрсетілген. Мысалы, Дэвис пен Рабиновиц [5], Крылов [6], Крылов пен Шулыгина [7], Мысовских [8], Соболев [9], Строуд [10], Ривлин [11], Ван Деун мен Бултхел [12] , Берд пен Сбалла [13], Эслахчи, Дехган және Мажед Джамей [14], Голуб және Вельш [15], Мысовских [16], Франке [17], Диткин [19], Люстерник [20], Иванова [21], Ермаков [22], Кузменков [23] және т.б.
Мұнда біз екі айнымалыдағы функциялардың белгілі бір класы үшін Чебышев торы бойынша кубтық формуланың қалдықтарын бағалаумен айналысамыз. Осы типтегі квадратура формулалары [24] - [27] те қарастырылды.
Чебышев көпмүшелері алғаш рет 1854 жылы белгілі орыс математигі Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) енгізген және зерттеген (қараңыз [28, 23-51 б.]), олар теориялық және қолданбалы математикада, математикалық физикада және көптеген басқада ғылымдарда кеңінен қолданылады. Осы көпмүшеліктерге жүздеген ғылыми мақалалар мен ондаған монографиялар арналған. Бізді олардың есептеу математикасында қолданылуы ерекше қызықтырады, сондықтан біз тек осы көпмүшеліктерге арналған монографияларды көрсетумен шектелеміз. Олардың әрқайсысында осы көпмүшеліктердің теориясы мен қолданылуына арналған құжаттардың үлкен тізімдері бар. Біріншіден, бұл кітаптар [29] - [38].
[35] - [39]-де, көпмүшелердің өздері немесе Чебышев көпмүшелері бойынші әр түрлі функциялардың ыдырау коэффициенттері мәндерінің үлкен кестелері келтірілген. Бір айнымалылы Чебышев көпмүшелері функциялар теориясында, дифференциалдық және интегралдық теңдеулердің сандық шешімі үшін, интегралдарды квадратуралық формулалармен есептеу үшін және тағы басқаларында кеңінен қолданылады. Алайда, екі немесе одан да көп айнымалылардан тұратын практикалық есептерді Чебышев көпмүшеліктері арқылы шешуге арналған жұмыстар өте аз. Бірқатар қазіргі заманғы физикалық мәселелер туындап, олар, бірнеше айнымалы Чебышев көпмүшелерін қарастыруға әкеледі. Сонымен қатар, екі немесе одан да көп айнымалысы бар Чебышев көпмүшелері енгізіліп, зерттелетін теориялық жұмыстар бар (мысалы, [40] - [42] қараңыз).
Екі айнымалылы Чебышев көпмүшелерін практикалық қолданылуы тек кітаптарда қысқаша көрсетілген [29, XVI Б.], [30, §16]. Әсіресе, бұл көпмүшелер математикалық физиканың кейбір дифференциалды және интегралдық теңдеулерін сандық шешуге ыңғайлы болып табылады (мысалы, [30, III бөлім] қараңыз). Бұл мақала негізінен бірнеше айнымалылы функциялардың бірнеше Фурье қатарына Чебышев көпмүшеліктері арқылы ыдырауына байланысты теориялық мәселелерге арналған, олардың жинақталу жылдамдығын зерттеу, қатардың қалған мүшелерінің бағалау және соларға байланысты Чебышев типіндегіквадратуралық формулалар және т.б. Теоремалардың тұжырымдамасы мен оларды дәлелдеудің қысқалығы үшін біз екі айнымалылы функцияларымен және олардың екі Фурье-Чебышев қатарына ыдырауымен шектелеміз. Мақаланың көлемі шектеулі болғандықтан, біз нақты функциялардың ыдырауын оның нәтижелерін бұл жерде ұсынбаймыз, кейде осы сұрақтарға [29], [30] келтірілген бірнеше қол жетімді нәтижелерге сілтеме жасайды.
2PI-периодты Фурье тригонометриялық қатарларының жинақтылығы туралы сұрақтарда белгілі функцияларын ауыстыру операторы Thfx=fx+h және оның көмегімен анықталған әр түрлі ретті үздіксіздік модульдері маңызды рөл атқарады. Фурье қатарларының әр түрлі ортогоналды көпмүшелердегі(Лагерре, Гермит, Якоби) жинақтылығына байланысты сұрақтарда және арнайы функциялардағы (мысалы, Бессель), жалпыланған ауысу операторлары және олардың кеңейтілген үздіксіздіктің жалпыланған модульдері ұқсас рөл атқарады (мысалы, [43], [44] қараңыз). Периодты емес функциялардың Фурье қатарларының жинақтылығын зерттеуде (бір және көптеген айнымалылар) жалпыланған ауысу операторлары аппараты Фурье қатарларының қалдық мүшелері үшін бірқатар жаңа нәтижелер алуға мүмкіндік берді, Чебышев типіндегі квадратуралық формулалар және т.б. (қараңыз, мысалы,[45] - [47]).
Сонымен қатар, біз өз жұмысымызда жалпыланған ауысу операторларымен сипатталатын бірнеше айнымалы функциялардың кейбір кластарының Колмогоров ені үшін айқын немесе әлсіз балама бағаларын аламыз.
Дипломдық жұмыста Фурье-Чебышев коэффиценттері үшін квадратуралық формулалар туралы жалпы түсінік беріп олардың есептеу жолдарын көрсетеді.
Жұмыстың бірінші бөлімінде негізгі әдістерге қысқаша шолу, сондай-ақ есеп қойылымы және жоба есебі бойынша белгілі нәтижелер келтірілген.
Екінші бөлімде Квадратуралық формуланың қалдық мүшесін бағалау туралы функцияларға арналған Чебышев торындағы екі айнымалыдан тұратын формулалар алу қарастырылады.
Үшінші бөлімде Фурье-Чебышев қатары және Чебышев типіндегі квадратуралық формулаларының қалдықтарын бағалау туралы Соңында жұмыстың негізгі нәтижесінің дәлелдемесі келтіріледі.
Дипломдық жұмыс 64 беттен, 58 дереккөздерден тұрады.

НЕГІЗГІ БӨЛІМ
1 Есептің қойылымы. Зерттеу тарихы

1.1 Чебышев торы бойынша квадратуралық формула

Теорема. f x, y функциясын нормасын Q = - 1, 1x - 1, 1 квадратындағы C Q үзіліссіз кеңістігі арқылы төмендегідей белгілейміз

f=maxfx,y
x,y∈Q.

Чебышев торындағы кубатуралық формула

-1-11111-xz1-y2fx,ydxⅆy=PI2mni=1nj= 1mfcos2ⅈ-12nPI,cos2j-12mPI+Rm,nf

f∈CQ функциясы кейбір Hr1,r2 класында, жалпыланған ауысу операторы арқылы анықталған. Rm,nf қалдық мүшесі үшін келесі бағалауы [1] жұмысында дәлелденді

supf∈ Hr1,r2Rm,nf=On-r1+1+m-r2+1, 1.1.1

мұндағы r1,r21, λ-1= nm=λ, λ 0; тұрақты, O(1) құрамына кіретін λ-ге байланысты.

1.2 Алдын-ала қажетті ұғымдар

Келесі түрдегі кубатуралық формуланы қарастырымыз

-11-1111-xz1-y2fx,ydxⅆy=PI2mni=1nj= 1mfcos2ⅈ-12nPI,cos2j-12mPI+ Rm,nf (1.2.1)

екі айнымалылы fx, y үздіксіз функциялар класында Q = -1, 1x-1,1 квадратында анықталған. Q облысындағы CQ үздіксіз кеңістіктің fx, y нормасы арқылы белгілейміз

f=maxx,y∈Qfx, y .

C(Q) кеңістігінде біз бірінші айнымалы бойынша жалпыланған ығысу операторын анықтаймыз:

Fh1fx,y=12fxcosh1+1-x2sinh1,y+fxcos h1-1-x2sinh1,y, h10

және дәл солай екінші айнымалы бойынша анықтаймыз

Fh2fx,y=12fx,ycosh2+1-y2sinh2+fx,yc osh1-1-y2sinh2, h20

Бірінші ретті айырымды

∆h1fx, y =Fh1fx, y -fx, y ,
∆h2fx, y =Fh2fx, y -fx, y

тиісінше, бірінші және екінші айнымалы үшін анықтаймыз.
Әрі қарай,

r1=2p1+α1, r2=2p2+α2,
p1p2=0,1,..., α1α20

болсын және

Dx=1-x2d2dx2-xddx, Dy=1-y2d2dy2-yddy

- екінші ретті дифференциалдық операторлар.
f∈CQ функциясы Hr1, r2 класына жатады, егер

∆h1Dxp1f=K1h1α1, ∆h2Dyp2f=K2h2α2

мұндағы K1, K 2 0 - h1 және h2 тәуелсіз тұрақты.

1.3 Жұмыстың зерттелу тарихы

Мұнда жұмыстың негізгі нәтижесі дәлелденеді.
1.1 тараудағы теореманы қарастырып дәлелдейік.
Дәлелдеуі. f∈Hr1,r2 болсын, содан кейін ([4] қараңыз) Фурье екі еселенген қатарына ыдырауы әділетті

fx,y=i=0infinityj=0infinitycijfTixT jy, 1.3.1

мұңдағы

cijf=-11-1111-x21-y2fx,yTixTjy

T ntn = 0, 1, ... - бірінші ретті Чебышев көпмүшелерінің ортонормаланған жүйесі.
[4] бұл дәлелденді

Rm,n f =2PIi=1infinity-1l+1c2ln,0f+2PIk=1i nfinity-1k+1c0,2kmf-2PIi=1infinityk =1infinity-1l+kc2ln,2kmf

Демек, осыдан шығады

Rm,n f =Oi=1infinityc2ln,0f+k=1infinityc0, 2kmf+i=1infinityk=1infinityc2ln,2km f

немесе

Rm,n f =Oi=ninfinityci,0f+j=minfinityc0,jf +i=ninfinityj=minfinityci,jf

Енді H r1, r2 класының кез-келген f x, y функциясы үшін келесі бағалаулар әділетті екенін көрсетейік:

i=ninfinityj=0infinityci, j2f=On-2r1, i=0infinityj=minfinityci, j2f=Om-2r2,

Екі қосынды да симметриялы болғандықтан, біз олардың бірін қарастырамыз және қарапайымдылық үшін r1, p1, h1, α1 үшін 1 индексін алып тастаймыз.
(1.1.1), (1.2.1) және (1.3.1) ескере отырып,

fx,y=i=0infinityj=0infinitycijfTixT jy

(мысалы, [3], [4] қараңыз),

Fh fx,y=i=0infinityj=0infinitycosihcij fTixTjy

теңдігін аламыз.
Сондықтан, Парсеваль теңдігінің арқасында

-11-1111-x21-y2∆hDxpf2dxdy=i=0∝j=0∝ 1-cosih2i4pcij2f

теңдігін аламыз. H r1, r2 класының анықтамасынан шығады

i=0infinityj=0infinity1-cosih2i4pci j2f=Oh2α

1 -cosih= 2sin2 ih2 болғандықтан, онда

4i=0infinityj=0infinitysin4 ih 2i4pcij2f=Oh2α

Демек, осыдан шығады

i=n2n-1j=0infinitysin4 ih 2i4pcij2f=Oh2α

h = PI 2n-ді орнатсақ, аламыз

i=n2n-1j=0infinitycij2f=On-2r

Бұдан басқа, назар аударыңыз

i=0infinityj=0infinitycij2f=i=0infi nityi=2ln2l+1n-1j=0infinitycij2f=Oi =0infinity2ln-2r=On-2r

яғни

i=ninfinityj=0infinitycij2f=On-2r

Енді R m, nf бағасына оралайық.
Әділ бағалау

i=ninfinityci,0f=l=0infinityi=2ln2l +1n-1ci,0f
=l=0infinity2lni=2ln2l+1n-1ci,0f=O l=0infinity2ln122ln-r1=On-r1+12

яғни

i=ninfinityci,0f= On-r1+12 1.3.2

Сол сияқты, біз мұны табамыз

j=minfinityc0,jf= Om-r2+12 1.3.3

Енді оның суммасын анықтайық

=i=ninfinityj=1infinitycijf

Айқындық үшін r1=r2 деп қабылдаймыз. Сонда, теореманың шарттарына сәйкес табуға болады кейбір λ 0, сондықтан бағаланады

=i+j=λncijf

және

i+j=λncij2f=i=ninfinityj=0infinit ycij2f+i=0infinityj=minfinitycij2f= On-2r1+m-2r2=On-2r1

немесе

i+j=λncij2f=Oλn-2r1

Демек, біз бұған қол жеткізетініміз анық

i+j=n2n-1cij2f= On-2r1

Сондықтан, бізде бар

i+j=λncij2f=l=0infinityi+j=2ln2l+ 1n-1cijf=l=0infinityi+j=2ln2l+1n-1 1i+j=2ln2l+1n-1cij2f =Ol=0infinity2ln2ln-r1=On-r1+1l=0in finity2l1-r1=On-r1+1

яғни

i+j=λncijf= On-r1+1 1.3.4

Алынған бағаларды (1.2.2) - (1.2.4) біріктіріп, Rm, n f үшін қажетті бағаны аламыз.

2 Квадратуралық формуланың қалдық мүшесін бағалау туралы функцияларға арналған Чебышев торындағы екі айнымалыдан тұратын формулалар

2.1 Екі айнымалылы функциялар үшін Чебышев торындағы квадратуралық формуласы

Келесі түрдегі кубатуралық формуланы қарастырайық

02PI02PIfx,ydxdy=4PI2mni=0n-1j=0m-1 f2PIin,2PIjm+Rn,mf 2.1.1

f (x, y) функциясының кейбір класында.
Периоды 2PI болатын екі айнымалының үздіксіз функциялар кеңістігін С 2PI арқылы белгілейміз айнымалылардың әрқайсысы үшін және норма бойынша
f=maxfx,y, x,y∈-PI,PI x-PI,PI

C (2PI) кеңістігінде бірінші айнымалыдағы жалпыланған ауысу операторын (Стеклов функциясы) анықтаймыз:

Fh1fx,y=12h1x-h1x+h1ft,ydt, h10

және, дәл солай,

Fh2fx,y=12h2x-h2x+h2ft,ydt, h20

екінші айнымалы бойынша да анықтаймыз.
Сәйкесінше бірінші және екінші айнымалылардағы бірінші ретті айырмашылықтар

∆h1fx,y=Fh1fx,y-fx,y, ∆h1fx,y=Fh1fx,y-fx,y

арқылы белгілейік.
Әрі қарай,

r1=p1+α1, r2=p2+α2, p1,p2=0,1,2,..., α1,α20.

f∈ C 2PI функциясы Hr1,r2 класына жатады, егер теңсіздіктер

∆h1fxp1=K1h1α1, ∆h2fxp2=K2h2α2,

болса, мұндағы K1, K2 0 h1 және h2-ге тәуелді емес тұрақтылар.
Енді кубатуралық формуланың қателігін (1.1.1) бағалауға көшейік.

2.2 Чебышев торындағы квадратуралық формуласының қалдық мүшесінің бағалауы

1.1 тараудағы теореманы қарастырып дәлелдейік.
Дәлелдеме. f∈ H r1, r2 болсын. F x, y функциясын екі еселенген Фурье қатарында кеңейтеміз

fx,y=ν=0infinityμ=0infinityλνμaνμfc osνxcosμy+bνμfsinνxcosμy 2.2.1+cνμfcosνxsinμy+dνμfsinνxsinμy

мұңдағы

aνμf=1PI2-PIPI-PIPIfx,ycosνxcosμydx dy
bνμf=1PI2-PIPI-PIPIfx,ysinνxcosμydx dy
cνμf=1PI2-PIPI-PIPIfx,ycosνxsinμydx dy
dνμf=1PI2-PIPI-PIPIfx,ysinνxsinμydx dy
λνμ=14, ν=μ=0,12, ν=1,2,..., μ=0; ν=0, μ=1,2,...,1, ν=1,2,..., μ=1,2,...

Сондықтан, бізде бар

Rn,mf=02PI02PIfx,ydxdy-4PI2mni=0n-1 j=0m-1f2PIin,2PIjm=02PI02PIfx,ydxdy -4PI2mni=0n-1j=0m-1 ν=0infinityμ=0infinityλνμaνμfcosνxc osμy+bνμfsinνxcosμy+cνμfcosνxsinμy+ dνμfsinνxsinμy=02PI02PIfx,ydxdy-4PI 2mni=0n-1j=0m-1λ00a00f+ν=1infinityλ ν0aν0fcosν2PIin+bν0fsinν2PIin+μ=1in finityλ0μa0μfcosμ2PIin+b0μfsinμ2PIi n+ν=0infinityμ=0infinityλνμaνμfcosν 2PIincosμ2PIjm+bνμfsinν2PIincosμy+c νμfcosν2PIinsinμ2PIjm+dνμfsinν2PIin sinμ2PIjm

мұңдағы

λ00=14, λν0=λ0μ=12, λνμ=1, ν,μ=1,2,...,

болғандықтан

4PI2mni=0n-1j=0m-1λ00a00f=02PI02PIf x,ydxdy,
4PI2mni=0n-1j=0m-1ν=1infinityλν0aν0 fcosν2PIin+bν0fsinν2PIin=2PI2nν=1in finityaν0fi=0n-1cosν2PIin+2PI2nν=1i nfinitybν0fi=0n-1sinν2PIin,
4PI2mni=0n-1j=0m-1μ=1infinityλ0μa0μ fcosμ2PIjm+b0μfsinμ2PIjm=2PI2mμ=1in finitya0μfj=0m-1cosμ2PIjm+2PI2mμ=1i nfinityb0μfj=0m-1sinμ2PIjm,
4PI2mni=0n-1j=0m-1 ν=1infinityμ=1infinityλνμaνμfcosν2P Iincosμ2PIjm+bνμfsinν2PIincosμ2PIjm +cνμfcosν2PIinsinμ2PIjm+dνμfsinν2PI insinμ2PIjm=4PI2mnν=1infinityμ=1inf inityaνμfi=0n-1cosν2PIinj=0m-1cosμ2 PIjm+4PI2mnν=1infinityμ=1infinitybν μfi=0n-1sinν2PIinj=0m-1cosμ2PIjm+4P I2mnν=1infinityμ=1infinitycνμfi=0n- 1cosν2PIinj=0m-1sinμ2PIjm+4PI2mnν=1 infinityμ=1infinitydνμfi=0n-1sinν2P Iinj=0m-1sinμ2PIjm

Мұны көрсету оңай

p=0q-1sink2PIpq=0,
p=0q-1cosk2PIpq=-1lq-1q, k=ql0, k!=ql.

Демек, алдыңғы теңдіктерден келесі теңдік шығады

Rn,mf=-2PI2l=1infinity-1ln-1anl,0f- 2PIs=1infinity-1ln-1a0,msf-4PI2l=1i nfinitys=1infinity-1ln-1+sm-1anl,ms .

Демек, біз

Rn,mf=Ol=1infinityanl,0f+s=1infinit ya0,msf+l=1infinitys=1infinityanl,m sf=Ol=ninfinityai,0f+s=minfinitya0, jf+l=ninfinitys=minfinityai,jf

теңдігін аламыз.
Енді H r1, r2 класының кез-келген f x, y функциясы үшін келесі есептеулер болатынын көрсетейік:

i=ninfinityj=0infinityai,j2f=On-2r1 , i=0infinityj=minfinityai,j2f=Om-2r2

Екі қосынды да симметриялы болғандықтан, солардың бірін қарастырамыз және қарапайымдылық үшін r1, p1, h1, α1 үшін 1 индексін алып тастаймыз.
f x, y функциясының Фурье қатарын (2.2.2) күрделі түрде жазамыз:

fx,y=n=-infinity+infinitym=-infinit y+infinitycnmeinx+my,
cnm=14PI2-PIPI-PIPIfξ,ηe-inξ+mηdξdη .

Сонда біз

Fhfx,y=n=-infinity+infinitym=-infin ity+infinitysinnhnhcnmeinx+my.

теңдігін аламыз.
Сондықтан, Парсеваль теңдігінің арқасында біз аламыз

14PI2-PIPI-PIPI∆hfxp2dxdy=n=-infini ty+infinitym=-infinity+infinity1-si nnhnh2n2pcnm2.

Демек, H (r1, r2) класының анықтамасы бойынша

i=ninfinityj=0infinity1-sinnhih2i2p aij2f=Oh2α
шығады.
Сондықтан

i=n2n-1j=0infinity1-sinnhih2i2paij2 f=Oh2α

мұндағы h = PI 4PI болады десек, біз төмендегідей теңдікті аламыз

i=n2n-1j=0infinityaij2f=On-2r

Бұдан басқа ескере кететін жағдай

i=ninfinityj=0infinityaij2f=l=0infi nityi=2ln2l+1n-1j=0infinityaij2f=Ol =0infinity2ln-2r=On-2r

яғни

i=ninfinityj=0infinityaij2f=On-2r

Енді Rn, m f үшін (2.2.1) бағалауға оралайық.
Ескерту
i=ninfinityai,0f=l=0infinityi=2ln2l +1n-1ai,0f=l=0infinity2lni=2ln2l+1 n-1ai,02f=Ol=0infinity2ln122ln-r1=O n-r1+12,

яғни

i=ninfinityai,0f=On-r1+12. 2.2.2

Дәл солай, бізде

i=minfinitya0,jf=On-r2+12. 2.2.3

Енді оның мөлшерін анықтайық

=i=ninfinityj=minfinityai,jf.

Айқындық үшін r1=r2 деп қабылдаймыз.
Теореманың шарттары бойынша теңсіздіктер болатындай λ 0 санын табуға болады

=i+j=λninfinityai,jf

және

i+j=λninfinityaij2f=i=ninfinityj= 0infinityaij2f+i=0infinityj=minfini tyaij2f=On-2r1+m-2r2=On-2r1

немесе

i+j=λninfinityaij2f=Oλn-2r1.

Осы бағалаулардан

i+j=n2n-1aij2f=On-2r1

шығады
Сондықтан, бізде бар

i+j=ninfinitya0,jf=l=0infinityi+j= 2ln2l+1n-1ai,jf=l=0infinityi+j=2ln 2l+1n-11i+j=2ln2l+1n-1ai,j2f=Ol=0in finity2ln2ln-r1=On-r1+1l=0infinity2 l1-r1

Демек, осыдан шығады

i,j=na0,jf=On-r1+1. 2.2.4

Алынған бағаларды (2.2.2), (2.2.3), (2.2.4) біріктіріп, Rn, m f үшін (2.2.1) бағаны аламыз. Теорема дәлелденді.

3 Фурье-Чебышев қатары және Чебышев типіндегі квадратуралық формулаларының қалдықтарын бағалау туралы
3.1 Анықтамалар. Функциялардың класстары

L2=L2-1,1x-1,1;1-x21-y2-12 болсын квадраттағы екі айнымалының квадраттық -1,1x-1,1 жиынтық функцияларының f x, y кеңістігі 1-x21-y2-12 және норма

f=-11-1111-x21-y2f2x,ydxdy

L2 кеңістігінде операторды қарастырымыз

Fhf=Fhfx,y=14fxcosh+1-x2sinh,ycosh+ 1-y2sinh++fxcosh+1-x2sinh,ycosh-1-y 2sinh+fxcosh--1-x2sinh,ycosh+1-y2si nh+fxcosh-1-x2sinh,ycosh--1-y2sinh,

біз оны жалпыланған ауысым операторы деп атаймыз.
Біз енді классикалық жағдайдағыдай бірінші және жоғары ретті айырмашылықтарды келесідей анықтаймыз:

∆hf=∆hf;x,y=Fhfx,y-fx,y=Fh-Efx,y,
∆hkf=∆∆hk-1f=∆h∆hk-1f;x,y;x,y=Fh-Ek fx,y==i=0k-1k-ikiFhifx,y,

мұндағы Fh0fx,y=fx,y, Fhifx,y=FhFhi-1fx,y
i=1,2,...,k, k=1,2,..., 0h1 және E-бірлік L2 операторы.
Мәні

Ωkf;δ=sup0h=δ∆hkfx,y

f∈L2 функциясының k-ретті жалғастықтың жалпыланған модулі деп аталады.
f∈L2 функциясы, егер бар болса, dfdx деп белгіленетін x∈-1, 1 айнымалысына қатысты Леви мағынасында жалпыланған ішінара туындыға ие екені белгілі (30, 172 б. қараңыз). f * x, y функциясы, функциясына тең fx, y квадрат -1, 1x-1,1 және x∈ -1, 1 e абсолютті үздіксіз барлық дерлік y∈-1, 1 үшін, ал dfdx- df*dx квадратына тең кез келген функция -1, 1x -1, 1. df*dx функциясы -1, 1x -1, 1 квадратының барлық жерінде дерлік бар. Сол сияқты dfdy туындысы анықталады. Жалпыланған жоғары ретті ішінара туындысы төмендегідей анықталады
d2fdx2=ddxdfdx, d2fdxdy=ddxdfdy

және де с.с.
Төменде барлық жерде

D=1-x2d2dx2+1-y2d2dy2-xddx-yddy

екінші ретті дифференциалдық оператор болып табылады.
Енді функциялардың келесі кластарын қарастырамыз:
W2rD - жалпыланған ішінара туындылары бар f∈L2 функциялар класы

dkdxidyjfx,y, i+j=k, k=1,2,...,

L2 кеңістігіне жататын және теңсіздікті қанағаттандыратын

Drf=1, r=1,2,...;

Wφr,kD - бұл жоғарыда көрсетілген ішінара туындылары бар f∈L2 функциялар класы

ΩkDrf;δ=Oφδk, r=0,1..., k=1,2,...,

мұндағы φ t - 0, +infinity бойынша үздіксіз монотонды түрде өсетін функция, ол үшін φ 0= 0;
KHα - -1, 1x -1, 1 квадратында берілген және онда шартты қанағаттандыратын f x, y үздіксіз функциялар класы

Fhfx,y-fx,y=Khα, 0h1,

мұндағы K 0, a 0 - тұрақтылар;
CWφr,kD - -1, 1x-1, 1 квадратындағы f x, y үздіксіз дифференциалданатын функциялар класы, ондағы жағдайды қанағаттандыру

sup0h=δmaxx,y∈-1, 1x-1, 1∆hkDrf;x,y=Oφδk, r=0,1,2,..., k=1,2, ...

CWφr,kD⊂Wφr,kD екені анық.
Тағы екі ұғым еңгізейік:

Rn,mf=-11-1111-x21-y2fx,ydxdy-PI2nm i=1nj=1mfcos2i-12nPI,cos2j-12mPI,

ERCWφr,kD=supf∈Wφr,kDRn,mf, R=minn,m.

ωt арқылы біз берілген үздіксіздік модулін, яғни 0, + infinity аралығында анықталған функцияны белгілейміз және келесі шарттарды қанағаттандыратын:
limt--0+ωt=ω0
0=ωt2-ωt1=ωt2-t1,t1=t2
Әрі қарай

T0x=1PI, Tnx=2PIcosnarccosx, n=1,2,...,

L2 кеңістігіндегі Чебышев көпмүшелшерінің ортонормальды жүйесі болып табылады ([49, 42 б. қараңыз) және
fx,y=i=0infinityj=0infinitycijfTixT jy, 3.1.1

мұңдағы

cijf=-11-11-11-1111-x21-y2fx,yTixTj ydxdy, 3.1.2

f∈L2 функциясының Фурье-Чебышев екі еселенген қатары болып табылады;

SRf;x, y=0=i2+j2R2cijfTixTjy

мағынасы қатардың дөңгелек ішінара қосындылары (1).
Келесідей белгілеулер енгізейік

ERf=ERf;L2=infPRf-PR

L2 кеңістігіндегі

PRx,y=0=i2+j2R2aijxiyj, R0

түрдегі f∈L2 функциясының алгебралық көпмүшелеріне ең жақын жуықтауы.

f=i=0infinityj=0infinitycij2f, 3.1.3
ERf=f-SRf=i2+j2=R2cij2f 3.1.4

екені бізге жақсы белгілі.
M⊂L2 жиынындағы Колмогоровтың n-диаметрі деп келесі шама аталатынын еске сала кетейік

dnM=dnM;L2=infGn⊂L2supf∈Minfg∈Gnf-g

мұнда соңғы реттегі дәл төменгі шек n∈N өлшемді Gn⊂L2-дегі барлыұ ішкі кеңістіктерінен алынады ([51, 186 б. қараңыз)].

3.2 Көмекші ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.