ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
КІРІСПЕ
Қазіргі кездегі мектеп бағдарламасында дифференциал теңдеулер туралы мағлұматтар беріледі. Атап айтқанда, дифференциал теңдеулер деген не, оның шешімі және олардың математикалық, физикалық және техникалық есептерді шығаруға қолданылуы т.б.
Қазіргі қоғамның әлеуметтік сұраныстарына байланысты мектеп бағдарламасына енгізілген дифференциалдық теңдеулер теориясы ғылымының әртүрлі облыстарында кеңінен қолданылады.
Оқушыларға жоғары алгебра элементтері бар есептерді теориялық негізде әзірлеп, жалпы орта білімді мектептердегі әдістеменің базисын құру жолдарына талдау жасау.
Жалпы орта білімді мектептерде жоғары алгебра элементтерін мектеп курсында оқытудың әдістемесі - оқушыларды оқытудағы негізгі орта білім деңгейімен және жоғары білім арасындағы сабақтастық пен болашақты қамтамасыз ететін оқыту әдісі болып табылады. Алгебра және анализ бастамалары курсымен орта мектептегі алгебраны оқыту аяқталады. Бұл жұмыс анализ бастамаларына қатысты ұғымдарды, тұжырымдар мен әдістерді мазмұндық ашумен, оқушылардың ой-өрісін, логикалық пайымдау, дәлелдеулер жүргізу, практикалық есептерді шығару барысында жоғары алгебра элементтері білімдерін қолдану біліктігін дамытуға бағытталған; математикалық оқу қызметіне оқушыларды қатыстыруға, олардың жоғары алгебраның кейбір элементері бар материалды түсінуіне бағытталған жұмыстардың белсенді түрлерін көбейтуді көздейді.
Айнымалылары ажыратылатын қарапайым дифференциалдық теңдеу теңіз деңгейінен биіктігіне байланысты атмосфералық қысымның өзгеру процессін де, радийдің түсу процесін де, тұрғындар санының өзгеру процессін де, суыту процесін де және т.б. сипаттайды.
Дипломдық жұмыс тақырыбының өзектілігі:
- математикалық талдау және дифференциалдық теңдеулер негізінен болашақ студенттердің математикалық біліміне үлкен үлес қосады.
- дифференциалдық теңдеулер мектептің математика курсында оқытудың әдістемесіне арналған зерттеулердің кемдігі.
Дипломдық жұмыс тақырыбының ғылыми жаңашылдығы және практикалық маңыздылығы: Дифференциалдық теңдеулер теориясының мазмұны абстрактылы - теориялық ойлауды, шығамашылық қабілетті жетілдіруді керек етеді және соған жетелейді. Жетілдіре оқытудың маңызды құрамының бірі ретінде оқушылардың танымдық, шығармашылық ойлау қабілетін жандандыру саналады.
Сонымен қатар игерілетін материалдың математикалық қабілетін қарқынды дамытатын, оларға терең тәрбиелік ықпалын тигізетін ұстанымдардың да маңызы айырықша.
Ғылыми мәселенің ағымдағы жағдайы: дифференциалдық теңдеулерді оқу қиял ойдың дамуына нәр береді, оқушыларға дифференциалдық теңдеулердің абстрактілігі табиғат құбылыстарын математикалық модельдер көмегімен оқып білудің құралы болып табылады.
Дифференциалдық теңдеулер болашақ студенттің фундаметальды дайындығында, атап айтқанда оқушының ғылыми дүниетанымын, математикалық мәдениетінің белгілі бір дәрежесін қалыптастыруда үлкен роль атқарады.
Диплом жұмысының мақсаты: осы пән туралы мағлұмат беру және қарапайым теңдеулерді шығару жолдарын көрсету.
Мектеп курсында дифференциал теңдеулерге сағат аз болғандықтан біз мұнда негізгі анықтамалар мен ұғымдарды беріп, соларға көптеп мысалдар келтірумен шектелеміз. Дифференциалдық теңдеулерді оқыту мазмұны мектептерде математиканы оқытуда қосымша, дарынды оқушыларымен жұмыс ретінде қарастыру.
Диплом жұмысының міндеттері:
oo дифференциалдық теңдеулер теориясының мазмұны абстрактылы - теориялық ойлауды;
oo шығармашылық қабілетті жетілдіруді;
oo оқытудың маңызды құрамының бірі ретінде оқушылардың танымдық, шығармашылық ойлау қабілетін жандандыру;
oo сонымен қатар игерілетін материалдың математикалық қабілетін қарқынды дамытатын, оларға терең тәрбиелік ықпалын тигізетін ұстанымдардың да маңызы айырықша.
Дипломдық зерттеудің объектісі; алгебра және анализ бастамалары, математикалық анализ курсы
Диплом жұмысының теориялық және әдіснамалық негіздері: Қазақстан Республикасы Білім туралы заңы, мемлекеттік білім беру стандарттары, математиканы оқытудың теориялық және әдістемелік негіздері, алгебра және анализ бастамалары.
Есептерді шығаруда табылған жалпы шешімдер қарапайым, сапалы талдау жүргізуге, модельдің орнықты шешімдері мен құрылғының жұмысындағы орнатылған тәртіптің нақты сипаты арасында сәйкестік орнатуға болады.
Дифференциалдық теңдеулер мен олардың әдістерін оқып үйрену біз өмір сүретін әлемді тану үшін тағы бір құралды береді, яғни нақты физикалық кеңістік туралы бейнелік және ғылыми түсінікті қалыптастыруға мүмкіндік береді.
Дипломдық жұмыс жазылуының тәжірибелік базасы: Арқалық қалалық кітапханасы. Ы.Алтынсарин атындағы Арқалық мемлекеттік педагогикалық институты кітапханасы.
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ФАКУЛЬТАТИВ САБАҚТАРДА ОҚЫТУДЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
1.1 Дифференциалдық теңдеулердің математикада алар орны
Дифференциалдық теңдеу негізгі математикалық ұғымдардың бірі болып табылады. Дифференциалдық теңдеу - бұл туындыларды (немесе дифференциалдары) қандайда бір алдынала берілген шарттарды қанағаттандыратын теңдеу. Қандайда бір нақты құбылыс пен процессті зерттеудің нәтижесінде алынған дифференциалдық теңдеу дифференциалдық модель деп аталады.
Дифференциалдық модельдер - бірі бізді қоршаған әлемді оқып үйренуде құрылуы мүмкін математикалық модельдер жиынының дербес жағдайы екені түсінікті. Сонымен қатар, дифференциалдық модельдердің өздерінің де түрлі типтері бар екенін атап өту қажет. Біз бұл жұмыста тек қарапайым дифференциалдық теңдеулермен сипатталатын модельдерді ғана қарастырамыз, оларға тән ерекшеліктердің бірі бұл теңдеулердегі белгісіз функциялар тек бір ғана айнымалыға тәуелді болады.
Қарапайым дифференциалдық модельдерді құру процесінде зерттеліп жатқан есептің табиғатына қатысты ғылым заңдарын білу маңызды және алдыңғы мәнге ие. Мысалға, механикада бұл Ньютонның заңдары, ал электрлік тізбектік теориясында - Кирхгоф заңдары, химиялық реакциялардың жылдамдығы теориясында - салмақтың әсер ету заңы және т.б.
Әрине іс жүзінде дифференциалдық теңдеулерді құруға мүмкіндік беретін белгісіз заңдарды да кездестіруге болады, сондықтан параметрлердің - айнымалылардың аз өзгерісінде процесстің жүруіне қатысты әртүрлі жорамалдарға (гипотезаларға) сүйену қажет. Онда дифференциалдық теңдеулерге шектік ауысу келтіреді. Мұнда, егер математикалық модель ретінде алынған дифференциалдық теңдеуді зерттеу нәтижесі тәжірибелік берілгендермен сәйкес келсе, онда тұжырымдалған гипотеза заттардың шынайы күйін дұрыс көрсететінін білдіреді [1].
Кейбір жағдайларда ғана дифференциалдық теңдеулерді тұйық форма деп аталатын түрде шығаруға, яғни элементар функциялармен қарапайым операциялардың шектеулі санын пайдаланатын шешімді аналитикалық формула түрінде көрсетуге болады. әрине, бұл дифференциалдық теңдеулердің шешімі бар екені белгілі болған кезде.
Басқаша айтқанда, дифференциалдық теңдеулердің шешімдері өздерінің көптүрлілігімен мынадай, олардың саны шектеулі аналитикалық операциялармен тұйық формада көрсету үшін жеткіліксіз. Бұл жағдай алгебралық теңдеулер теориясындағыға ұқсас: бірінші және екінші дәрежелі алгебралық теңдеулер жағдайында олардың шешімдері радикалдарда оңай алынуы мүмкін; егер үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулерге келсек, онда радикалдардағы шешімдер алынуы мүмкін, бірақ формалар едәуір қиын болады; ал дәрежесі төрттен жоғары жалпы түрдегі алгабралық теңдеулерді қарастырсақ, онда бұндай теңдеулердің радикалдардағы шешімдерді, жалпы айтқанда, алынуы мүмкін емес.
Дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін көрсету үшін қандай да бір түрдегі шексіз қатарларды пайдалансақ, онда тұйық формалардағыға қарағанда едеуір көп теңдеуді шешуге тура келеді. Бірақ, шешімнің орынды және тиімді қасиеттерін, алынған қатар түрінен анықтау еш мүмкін емес. Сонымен қатар, тіпті дифференциалдық теңдеуді тұйық формада шығара алсақ та, мұндай шешімді талдау мүмкін емес, немесе әр түрлі параметрлер арасындағы тәуелділік өте қиын болып шығады.
Осылайша, дифференциалдық теңдеулердің өзін шығармай-ақ шешімдердің қайсыбір қасиеттері туралы қажетті мағлұматтар алуға мүмкіндік беретін әдістер мен тәсілдердің қажеттілігі анық болып отырады. Мысалыға, бұндай әдістер мен тәсілдер бар және олар дифференциалдық теңдеулердің сапалық теориясының мазмұнын құрайды, олардың негізінде шешімдердің бар болуы мен жалғыз болуы, шешімнің бастапқы берілгендер мен параметрлерге үзіліссіз тәуелділігі туралы жалпы теориялар жатыр.
Қарапайым дифференциалдық теңдеудің сапалық теориясы А.Пуанкаре мен А.М.Ляпуновтың (ХІХ-шы ғасырдың соңы) жұмыстарынан бастап дамып келеді және оның әдістері бізді қоршаған ортаны тану процессінде кең қолданылады [2].
1.2 Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың педагогикалық - психологиялық негіздері
Мектептегі математика курсының негізгі мақсаттарының бірі оқушыларды ғылыми дүниетанымға тәрбиелеу деп есептелінеді. Жоғарыда аталған мақсатты жүзеге асыру мағынасында дифференциалдық теңдеулер тақырабы тиімді.
Қазіргі заманда, жалпы мойындаған жағдай математиканы оқытудың кез келген сатысында (мектепте, лицейде, колледжде, ЖОО-да және т.б.) әрдайым методология, философия, тарих, яғни оқытудың методологиялық аспекті деп аталатындарды құрайтындармен байланыстыру қажет. Бұл аспект дербес шығуы мен дамуы, математиканың тарихи даму процесінде оқушының ойында әрқашан нақтыланып және кеңейіп отыратын оның зерттеу пәнінің анықтамасы, математиканың нақты өмірмен, адамдардың қоғамдық іс-әрекетімен байланысы, іс-тәжірибенің математикадағы ролі және ең соңында қазіргі заманғы ғылыми білімнің математизациялану мағынасының ашылуымен байланысты мәселелерді әрдайым талқылау қажеттілігі енеді.
Оқушыларды рухани дамыта отырып, олардың әлемге деген іс-тәжірибелік көзқарастың негізі ретінде ғылыми дүниетанымды қалыптастыру қажет. Олар математиканың жалпы ұғымдарының нақты әлемнің белгілі бір бейнелерін көре білуі, математикаға редукцияланған философияның негізгі сұрағына дұрыс жауап бере алуы керек.
Математикалық - жаратылыс ғылымдарының матедологиясының дифференциалдық теңдеулермен тұтас байланысын, дифференциалдық теңдеулердің матодологиялық бағытын көрсететін дифференциалдық теңдеулер теориясының даму тарихын қарастырамыз. Негізінен дифференциалдық теңдеулер теориясына Россия, Қазақстан және басқа ТМД елдерінің ғалымдарының үлесі үлкен.
Оқушылардың ғылыми дүниетанымын және жалпы мәдениетін қалыптастыруға осы пәнді оқытудың қолданбалы бағыты, оны дұрыс ұйымдастырғанда, яғни оқытудың жалпы принциптерінің - оқытудың өмірмен, теорияның практикамен байланысы принциптерінің бірін орындағандағы ұйымдастыруда, орынды үлес қосады [3].
Математиканы оқытудың қолданбалы бағытының мәселесі математиктер мен әдіскерлердің зеттеулерінде кең қарастырылған. Оның теориялық негізделуі В.Г. Болтянскийдің, Е.С.Венцельдің, А.Н. Колмогоровтың, А.Н. Тихоновтың, З.И. Халиловтың, Д.П. Костомарованың, Ю. М. Колягиннің, В.М. Монахованың, В.А. Гусевтің, С.И Швацбурдтың, В.В. Фиреовтың, Г.В. Дрофееваның, М.И. Башмакованың, И.Д. Шарышнаның, К.К. Пономареваның, Н.Я. Виленкинаның, А.Д. Мышкистің, Л.Д. Кудрявцевтің, Г. Трелиньски, В.В. Амелькинаның, А.П. Садовскийдің, И.И. Бавриннің, А.В.Латышеваның, Н.А. Тереишнаның, М.С. Сабурованың және т.б. жұмыстарында келтірілген.
Жоғарыда аталған авторлардың барлығы математиканы мектепте оқытудың қолданбалы бағыттағы мәселелерін зерттейді.
Б.А.Найманов өзінің кандидаттық диссертациясында дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы бағыттының үш компонентін атап өтеді.
oo абстрактілі ұғымдар мен теориялық білімдерді нақтылау;
oo математиканың теориялық мәселерінің математикалық теорияның қосымшаларымен өзара байланысы.
oo студенттерге оқушыларды математиканың қолданбалы бағытымен таныстыру тәсілдерін оқыту.
Оқыту процессінде қолданбалы мәселелерді пайдалану тек қана ғылымның негіздерін түсінуге емес, ғылыми танымның тәсілдерін меңгеругеде әсер етеді.
Дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы бағытынан оқушы нақты процесті математикалық модельдермен байланыстыру тәжірибесін алады.
Нақты процесстің математикалық моделі деп, әдетте, бұл процес математика тілінде жуықтап сипатталуын түсінеміз.
Математикалық модельдеу өнері нақты есепті математикалық тілге аудара білуден тұрады.
Матетикалық модельдеу өзінің қарапайымдылығымен процесті жақсы түсінуге көмектесді, процестің қалпының сапалық және сандық сипатын орнатуға мүмкіндік береді.
Әр түрлі есептерде нақты процестердің математикалық моделі көбіне дифференциалдық теңдеулермен өрнектеледі [4].
Бұл есептердің сипаты мен шығару әдістемесін схемалық түрде сипаттауға болады. Қандай да бір процесс жүріп жатыр делік, мысалы, физикалық, химиялық, биологиялық. Бізді бұл процестің белгілі бір функционалдық сипаттамасы, мысалы, уақытқа қатысты температураның немесе қысымның, массаның, кеңістіктегі қалпының өзгеру заңдылығы қызықтырады. Егер бұл процестің жүруі туралы толық ақпарат бар болса, онда оның математикалық моделін құруға әрекет жасауға болады. Көп жағдайларда бұндай модель дифференциалдық сипаттамасы болып табылады. Дифференциалдық теңдеу, процестің эволюциясын материалдық жүйемен болып жатқан өзгерістер сипатын, бұл
жүйе өзгерістерінің бастапқы күйін байланыстыратын нұсқауларды сипаттайды.
Кез келген процесті оқып үйрену оның жеке моменттерін анықтау мен оның ағымының жалпы заңын орнатуға келіп тіреледі.
Процесстен (қарапайым процесстің) жеке моменттегі процестің айнымалы шамаларын олардың дифференциалдарды және туындыларымен байланыстыратын дифференциалдық теңдеулермен өрнектеледі. Интегралдаудан кейін алынатын құбылыстың жалпы орындалу заңдылығы процестің айнымалы шамаларын байланыстыратын теңдеумен өрнектеледі.
Дифференциалдық теңдеулерді құрудың қатаң тәртібі жоқ. Көптеген жағдайларда қарапайым дифференциалдық теңдеулерді қолданумен байланысты қолданбалы есептерді шығарудың әдістемесі келесіге келтіріледі:
oo есептің шартын талдап, оның мәнін айқындайтын сызбаны салу;
oo қарастырылып отырған процестің дифференциалдық теңдеуін құру;
oo осы теңдеуді интегралдап, оның жалпы шешімін анықтау;
oo берілген бастапқы шарттардың негізінде есептің дербес шешімін анықтау;
oo қажет болған жағдайда көмекші параметрлерді (мысалы, пропорционалдық коэффициентін және т.б.) анықтау, бұл мақсат үшін есептің қосымша шарттары пайдаланылады;
oo қарастырылып отырған процестің жалпы заңын тұжырымдау және ізделінді шамалардың сандық мәнін анықтау;
oo жауапты талдау және есептің бастапқы қалпын тексеру.
Модельдеу икемділігі танымдылық іс-әрекеттің ажыратылмас бөлігі болып табылады. Модельдеудің психологиялық аспектісі, адам санасында сыртқы әлемді оның көптүрлілігі мен ішкі және сыртқы байланыстарның толықтығында емес, тұрпайыланған жуық түрде бейнелеуден тұрады.
Біз нақты құбылыс туралы сезіну мен түсіну арқылы алатын толық емес ақпарат біздің санамызда толық емес түрде елестетулер мен бейнелер жүйесі ретінде қалыптасатындар негізіне құбылыстың модельдері болып табылады. Сондықтан, біздің қоршаған әлем туралы түсінігіміз принципиалды модельды сипатқа ие.
Соңғы жылдары психикалық іс әрекеттің жемісі ретінде модельдің мәні сезілуде. Сонымен қатар модель мидың құбылысы ретінде әр түрлі аспектілірде қарастырады. Бірқатар ғалымдар модельді адамның қоршаған ортамен қатынасындағы психикалық іс-әрекетінің негізгі жемісі ретінде қарастырылады. Кейбір зерттеушілер оқытудағы модельдеуге үлкен роль бөлетіні соншалық оны жеке принципке бөледі. Мысалы, В.В. Давыдов традициялық дидактикалық көрнектілік принципінің шектеулілігін, оны модельдеу принципімен алмастыруды ұсынады.
Л.М. Фридман, В.В. Давыдовтың орта мектепте математиканы оқытудағы модельдің тәсіл идеясын дамытып, былай деп жазады:
... математиканы оқытудағы модельдеу принципі, біріншіден, мектеп курсындағы математика мазмұнын модельдік көзқараспен меңгеруді, екіншіден, оқушыларда әртүрлі құбылыстар мен жағдайларды математикалық модельдеу біліктілігі мен икемділігін қалыптастыруды, үшіншіден, ішкі ойды, ойлаудың ғылыми-теориялық стилін дамыту үшін сыртқы тірек ретінде соларды кеңінен қолдануды білдіреді.
Бұдан оқушыларды нақты процестерді құру әдістемесімен оқыту математика курсының және ең алдымен дифференциалдық теңдеулердің негізгі шарттарының бірі.
Дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы бағыты арқылы біз оқыту процесіндегі шынайы пән аралық байланысты орнатамыз [5].
Жалпы математиканы оқыту әдістемесінің түрлері бағыттарында: оқыту процесін жақсарту, оқу пәндеріне қызығу бағытында жүргізіледі. Мазмұны жақын пәндердің өзара байланысы, тек оқушылардың білімдерінің сапасын арттырып қана қоймай, алынған білімдерді іс-тәжірибеде пайдалану дайындығына ықпал етеді, оқушылардың ғылыми дүниетанымын дамытады.
Соңғы жылдары зерттеушілердің пәнаралық байланысты ортануға қызығушылықтары да арта түсті. Біз пән аралық байланысты мәселені тұжырымдау сандары да арта түсті. Біз пән аралық байланысты жүйеліліктің көрінуі, табиғи құбылыстардың объективті өзара байланысының бейнесі ретінде қарастыруды дұрыс көрдік.
Пәнаралық байланыстар, оқытудың барлық қызметтерінің, атап айтқанда, білімділіктің, дамытушылық және тәрбиелік мәнінің орындалуына ықпал етеді. Бұл қызметтері өзара байланыста орындалады және бір бірін толықтырады.
Жоғарыда айтылғандардың бәрін жалпылап, дифференциалдық теңдеулердің гуманитарлық құраушысының негізгі бағыттарын тұжырымдауға тырысып көрейік.
Ең алдымен, бұл дифференциалдық теңдеулердің оқушыға қоршаған орта туралы дұрыс түсінікті қалыптастырудағы мүмкіндік беретін дүниетанымдылық, метадологиялық аспекті. Белгілі шамада бұған тақырыптың тарихи-математикалық, бөлігі ықпал етеді. Әрі қарай, дифференциалдық теңдеудің математикалық модельдеу әдісімен және пәнралық байланысты орнату мәселесімен тікелей байланысты аспектілерді ерекшелеу керек.
Ең соңында, дифференциалдық теңдеулер - бұл табиғат сөйлейтін тіл. Математика курсының тілдік аспектісі соңғы кезде математиканы оқыту әдістемесі облысындағы зерттеушілерді күннен күнге қызықтырып отыр. Математикалық тілді меңгеру, қазіргі заманда, адамның жалпы мәдениетін құрайтыны туралы ой соңғы жылдары тіпті жоққа шығарылмайды. Болашақ студенттер бұл ойды түсінуі үшін дифференциалдық теңдеулердің алатын орнын белгілеулері керек.
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
2.1 Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы түсінік
Физиканың негізгі заңдарының бірі Ньютонның екінші заңына сәйкес тұрақты m массасы бар, материалды нүктенің түзу сызықты қозғалысында қозғалысты тудырушы күші m масса мен үдеудің көбейтіндісіне тең, F=m*a. F күші өз кезегіңде x координатасына, оның v жылдамдығына және t уақыт моментіне тәуелді болуы мүмкін. Сондықтан F=m*a теңдігін былай қайта жазуға болады:
(1)
Енді нүктенің жылдамдығы координатаның уақыт бойынша туындысына тең , ал үдеу - координатаның уақыт бойынша екінші туындысына тең . Сондықтан теңдеу (1) келесіні білдіреді.
(2)
Біз (қозғалыс заңы) аргументі -ға тәуелді белгісіз x функциясымен оның бірінші және екінші ретті туышдысы және t аргументінің өзі енетін теңдеуді алдық. Бұл теңдеуді шешіп, біз нүктеге әсер етуші күштер бойынша нүктенің қозғалу заңын біле аламыз. Осындай және бұдан күрделірек теңдеуге машинаның, ракетаның, планета және т.б. бөліктердің қозғалу заңын келтіруге болады. Осындай теңдеулерді дифференциал теңдеулер деп атайды.
Анықтама 1 Дифференциалдық теңдеу деп ізделінді функцияның қандай да бір туындысымен қатар, осы функцияның өзін және оның дифференциалын біріктіретін теңдеулерді айттамыз.
Дифференциалдық теңдеулерге мыналар мысал бола алады:
және т.б.
Соңғы теңдеулерде ізделінуші функция у және оның бірінші және туындылары бар. Ал тәуелсіз айнымалы ретінде х еніп тұр.
Мысал 1. Космостан жерге түсіп келе жатқан материалдық нүктенің қозғалысының дифференциалдық теңдеуін жазыңыз.
Шешуі. Бүкіл әлемдік тартылыс заңы бойынша нүктеге күші әсер етеді, мұндағы М - жердің массасы, m - нүктенің массасы - пропорционалдық коэффициенті және х-нүктеден жердің бетіне дейінгі арақашықтық (минус таңбасы қойылғанының себебі күштің бағыты координаттар осінің бағытана қарама-қарсы). Ньютонның екінші заңы бойынша болғандықтан, немесе Бірақ болғандықтан ізделінді дифференциалдық теңдеу
түрінде жызылады [6].
Символдық түрде дифференциалдық теңдеу былай жазылады.
Жалпы алғанда, егер ізделінді функция бір белгісіз айнымалыға тәуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу қарапайым дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Көрсеткіштік өсудің және көрсеткіштік кемудің дифференциалдық теңдеуі физикалық, техникалық, биологиялық және әлеуметтік ғылымдардың көптеген есептерінің мынадай дифференциалдық теңдеуді.
(3)
қанағаттандыратындай функцияларды табуда келтіріледі, мұндағы k - қандай да бір константа.
Көрсеткіштік функцияның формуласын біле отырып, мына теңдеудің
(4)
шешімі кез келген функция болатынын байқау қиын емес, мұндағы С-тұрақты. Ал С еркімізше алынатындықтан, дифференциалдық теңдеудің шешімдері шектеусіз көп болады.
(3) теңдеудің (4) түрдегі функциялардан өзге, басқа шешімдерінің болмайтынын дәлелдейік. Ол үшін (4) теңдеуді қанағаттандыратын кез келген f функциясын және
(5)
көмекші функциясын қарастырамыз. g функцияның туындысын табамыз:
- тің орнына (3) теңдеудегі -ті қойып, мынаны шығарып аламыз:
g функцияның туындысы нөлге тең болғандықтан, барлық х үшін болады. (4) - тен мынау шығады:
бұдан
дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Ескерту: Жоғарыда келтірілген талқылауларда біз f фунциясын бүкіл сандық түзуде анықталған және (3) теңдеуді қанағаттандырады деп ұйғарған болатынбыз. Нақтылы есептерде (3) теңдеуді тек қандай да бір аралықта ғана қанағаттандыратын функцияларды қарастыруға тура келеді. Әрине, ондай жағдайда (4) формуладан жалпы шешімді (3) теңдеу орындалатындай аралықта ғана табатынымыз түсінікті. (3) дифференциалдық теңдеудің мағынасы мынау - функцияның х нүктесіндегі өзгеру жылдамдығы сол функцияның осы нүктедегі мәніне пропорционал. Бұл теңдеу практикалық есептерді шешкенде жиі кездеседі.
Мысал 2. (Радиоактивтік ыдырау). Айталық, бастапқы уақыт мезетінде радиоактивті заттың массасы мынадай болсын:
Ал уақыт өтуімен заттың m (t) массасының кему жылдамдығы оның мөлшеріне пропоционал болатыны белгілі, яғни мына теңдеу орындалады:
мұндағы k 0. Жоғарыда тағайындалған қасиет бойынша
(6)
С константасы (6) шарттан табылады. Атап айтқанда, t=0 болғанда
яғни
Соңында, былай болып шығады:
Осы қарастырылған мысал типтік сипатты: дифференциалдық теңдеулердің шектеусіз көп шешімдерінің ішінен бір шешімін жекелеп айырып алу үшін, әдетте тағы да бір бастапқы шарты енгізу қажет (қарастырылып отырған жағдайда ол - (6) шарт).
Радиоактивті заттың массасы екі есе кемитін уақыт аралығы Т - ні білсек, k - ны табуға болады. Өйткені
яғни
бұдан шығатын
Олай болса, бұдан
Мысалы 3. радий үшін жыл. Сондықтан (егер уақыт жылмен есептелетін болса)
Миллион жылдан кейін радийдің бастапқы массасынан қалатыны тек мынау ғана
Гармоникалық тербеліс f функциясының туындысынан алынған туындыны f функциясының екінші туындысы деп атайды және деп белгілейді (оқылуы: эф екі штрих). Мысалы 1.
(7)
Функцияның сипатын неғұрлым толық зерттегенде екінші туындының тигізер септігі мол. Бірінші туынды функция өзгерісінің жылдамдығы болса, ал екінші туынды сол жылдамдықтың өзгеру жылдамдығы, яғни үдеу.
(7) формуланы талдай келе, синус пен косинустың екінші туындыларының сол функциялардың өздерінен айырмашылығы тек таңбасында ғана екенін аңғарамыз. Басқаша айтқанда, бұл функциялардың екеуі де, t аргументінің барлық мәндерінде, мына теңдеуді қанағаттандырады:
Физикада, атап айтқанда, механикада, мына теңдеуді
(8)
қанағаттандыратын f функциялары үлкен роль атқарады, мұндағы - оң тұрақты.
Осы тектес теңдеуге саятын бір есепті механика саласынан келтірейік. Айталық, массасы кішкентай шарға горизонталь орналасқан серіппе бекітілген де, оның екінші ұшы бекітілген (1-суретке сәйкес) және де шар центрінің х координатасы тепе-теңдік қалыпта нөлге тең делік.
1 - сурет. Серіппе
Шар центрін координатасы нүктеге орын ауыстырғанда, шарды тепе-теңдік қалыпқа қайтаратындай күш пайда болады. Гук заңы бойынша ол күш орын ауыстыру шамасы х-ке пропорционал, яғни мұндағы k - оң константы (2-суретке сәйкес). Ньютонның екінші заңы бойынша, түзу бағытта қозғалғандағы үдеу координатаның екінші туындысы екенін ескеріп, мынаны табамыз:
2-сурет. Түзу сызықты қозғалыс үдеуі
яғни
басқаша айтқанда, шар центрінің серпімділік күшінің әсерінен қозғалысы болғандағы (8) теңдеуге бағынады.
теңдеу (8)-ға сәйкес уақыт өткенде физикалық шама гармоникалық тербеліс жасайтынын көрсетейік. Ал, (8) теңдеудің өзін гармоникалық тербелістердің дифференциалдық теудеуі деп атайды [7].
А мен тұрақтылары қандай болғанда да
(9)
функциясы (8) теңдеудің шешімі екенін тексерейік. Шынында да, күрделі функцияның туындысына арналған формуланы пайдаланып, мынаны табамыз:
Кері ұйғарым орын алады: (8) теңдеуінің кез келген шешімі (9) түріндегі функция, сонымен бірге, әдетте былай таңдап алынады: Мұның дәлелдемесі мектеп курсының көлемінен шығып кетеді.
Егер бастапқы шарттар алдын ала берілсе, онда А мен тұрақтыларын анықтауға болады.
Дененің атмосфералық ортада құлауы
Енді күрделі бір мысалды қарастырайық. Дене атмосферада құлаған жағдайда ауаның оған көрсетер кедергісін ескерту қажет болады. Эксперимент жүзінде мынау тағайындалған: денеге әсері ететін F күші мұндағы m- дененің массасы, g-еркін түсу үдеуі, түзу бойындағы координатасы (Oh осі вертикаль төмен бағытталған), k - пропорционалдық коэффициенті, сондықтан мынадай теңдеу шығады.
яғни
мұнда деп белгілеп қозғалыс жылдамдығына қатысы төмендегідей дифференциалдық теңдеуді қарастыру қолайлы:
мұндағы (10)
Бұл теңдеуді өзімізге таныс түрге келтіру үшін белгісіз функция енгіземіз сонда және (9) теңдеу мына түрде жызылады.
яғни,
Ал бұл теңдеудің шешімдері белгілі: . Олай болса, функциясы R жиынында кемиді, сонымен бірге t өскенде (яғни жағдайда кез келген с үшін оның мәндері шектеусіз кемиді ( Мұның мәнісі қозғалыс жылдамдығы тұрақты шамасына жуықтап, бұл болса, пропорционалдық коэффициент k мен масса m - ге тәуелді. Мысалы, созылыңқы секіру кезінде (парашют ашылмай қалған) ол жылдамдық шамамен 50 мс-қа тең, ал парашюттің жерге түскендегі жылдамдығы (k шамасы едәуір үлкен болғанда) шамамен 4-5 мсағ.
Қандай да бір процесс бағынатын жеңіл-желпі заңдар көбінесе дифференциалдық теңдеулер түрінде жазылады, ал процестің уақыт барысында қалайша өрістейтінін айқандау үшін, ол дифференциалдық теңдеулерді шешуге тура келеді [8].
Жаттығулар
1. функциясы қандай теңдеуді қанағаттандыратын дәлелде.
2. функциясы теңдеуін қанағаттандыратынын дәлелде.
3. функциясы теңдеудің қанағаттандыратынын дәлелде.
4. Гармоникалық тербелістің дифференциалдық теңдеуін жаз
2.2 Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер
Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу деп
түріндегі теңдеулерді айтамыз. Бұл теңдеуді шешу үшін алдымен айнымалыларды ажыратып алу қажет:
Сонан соң осы теңдеуді интегралдау қажет:
теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: Айнымалыларды ажыратып мынаны аламыз:
Алынған теңдеулердің екі бөлігін де интегралдаймыз
Қандай да бір тұрақты С кез келген сандық мәнді қабылдай алатындықтан, кейінгі түрлендірулерге ыңғайлы болу үшін С тұрақтының орнына бір деп жаздық. Соңғы теңдікті потенциалдап келесіге ие боламыз.
Бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі.
2. болғанда бастапқы шартын қанағаттандыратын теңдеуінің дербес шешімін табу керек.
Шешуі: Айнымалыларды ажыратып, мынаны аламыз.
Алынған теңдеудің екі бөлігін интегралдаймыз:
немесе
Бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі С тұрақтысының мәнін табу үшін және S = 4 мәндерін жалпы шешімнің өрнегіне қоямыз:
немесе бұдан С =8.
Ендеше, аталған бастапқы шарттарды қанағаттандыратын ізделінді дербес шешім келесі түрге ие:
Жаттығулар
1) a)
в)
2) б)
3) б)
4) б)
в)
Көрсетілген бастапқы шарттарды қанағаттандыратын теңдеудің дербес шешімдерін табыңыз.
x = - 2 болғанда y = 4;
х = 2 болғанда y = 6;
6) t = 2 болғанда s = 4
7) x = 0 болғанда y = 2
8) x = 0 болғанда y = 4
9) x = -2 болғанда y = 3
10) x = 1 болғанда y = 1
11) x = 0 болғанда y = 1
12) болғанда .
2.3 Дифферециалдық теңдеулерді құруға арналған есептер
Есеп 1. Егер дене М(0,4) нүктесінен бастап жылдамдығымен қозғала бастаса онда осы дененің Ох осі бойындағы қозғалу заңын табыңыз.
Шешуі: Түзу сызықты қозғалыста жылдамдық жолдың уақыт бойынша туындысы болып табылады. Жолды х арқылы белгілеп, екенін аламыз. Сонда
немесе
Интегралдап, келесіні аламыз: Бастапқы шарттарды пайдаланып С- тұрақтысын табамыз. болғанда болғандықтан, бұл мәндерді жалпы шешімге қойып, C = 4 екенін табамыз. Сонымен, дененің қозғалу заңы мына түрге ие .
Есеп 2. нүктесі арқылы өтетін және бұрыштық коэффициенті болатын жанамасы бар қисықтың теңдеуін құрыңыз.
Шешуі: Шартқа сәйкес есептің дифференциалдық теңдеуі7
немесе
Соңғы теңдеуді интегралдап, алатынымыз және болғанда болатын бастапқы шарттарды пайдаланып, екенін табамыз. Ендеше, ізделінді теңдеу келесі түрге ие
Есеп 3. Ашық резервуалардағы судың алғашқы температурасы 700 болатын, 10 минуттан кейін судың температурасы 650 болды, резервуарды қоршаған ортаның температурасы 150. Анықтау керек: бастапқы моменттен 30 минут өткеннен кейінгі резервуардың температурасын, резервуардағы судың температурасы 200 - қа тең болатын уақыт моментін.
Шешуі: t уақыт моментіндегі температураны Т деп белгілейміз. Судың салқындау жылдамдығы t мен Т-ні байланыстыратын функцияның, яғни туынды өзгеру жылдамдығы болып табылады.
шамасы резервуардағы судың және оны қоршаған ортаның температурасына пропорционал, яғни мұндағы - пропорционалдық коэффициенті. Ендеше, . Айнымалыларды ажыратып, келесіні аламыз.
Алынған теңдеуді интегралдаймыз:
немесе
бұдан
(11)
Бұл қатынас судың салқындау заңын өрнектейді.
болғанда болатын бастапқы шартты пайдаланып, С1-ді табайық. Алатынымыз
немесе яғни
С1-дің алынған мәнін (11) теңдігіне қойып, мынаны аламыз.
(12)
шамасын табайық. Шарт бойынша, t=10 мин болғанда T = 650.
Бұл мәндерді (12) қатынасына қойып, келесіні аламыз.
650 = 550 ek*10 + 150, немесе , немесе 1011e10k
соңғы теңдікті логарифмдеп, келесіге ие боламыз.
бұдан
- ның мәнін (2) қатынасқа қойып, t мен Т айнымалыларын байныстырушы салқындау заңын аламыз:
(13)
Бастапқы моменттен 30 минут өткеннен кейін судың температурасын табамыз. Бұл үшін мәнін (13) теңдеуіне қоямыз.
немесе
Есептеулер жүргізейік.
Сонда
Енді қанша уақыттан кейін резевуардағ судың температурасы 200 - қа тең болатынын табамыз. (3) қатынасына мәнін қойып, мынаны аламыз.
немесе
бұдан
немесе
яғни
Есеп 4. Сұйықта айналатын диск үйкеліс әсерінен өзінің бұрыштық жылдамдығын баяулатады және үйкеліс күші бұрыштық жылдамдыққа пропорционал. Табу керек:
1) егер болғанда ол 12 радс жылдамдығымен, ал болғанда оның жылдамдығы 8 радс болса, моментіндегі дискінің айналу жылдамдығын;
2) дискінің айналу жылдамдығы 1 радс - қа тең болғандағы уақыт моментін.
Шешуі: уақыт моментіндегі дискінің айналуының бұрыштық жылдамдығы болсын, онда үйкеліс күшінің әсерінен дискінің айналуының баяулауы болады. Шартқа сәйкес, , мұндағы - пропорцио -налдық коэффициенті. Айнымалыларды ажыратып, интегралдап, мынаны аламыз.
бұдан
немесе (14)
болғанда радс бастапқы шартын пайдаланып, С1 тұрақты шамасын табамыз. Бұл мәндерді (14) теңдігіне қойып, келесіге ие боламыз яғни Осылайша,
(15)
Келесі берілгендер бойынша k -ның сандық мәнін табамыз:
және радс. Бұл мәндерді (15) теңдігіне қойып:
бұдан
k - ның мәнін (2) теңдігіне қойып, келесіні аламыз:
(16)
уақыт моментіндегі дискінің айналу жылдамдығын табамыз. Ол үшін (16) теңдігіне мәнін қоямыз [10]:
(радс)
Қандай уақыт моментінде диск 1 радс жылдамдығымен айналатынын анықтайық. мәнін (***) қатынасына қоямыз, одан
2.4 Дифференциалдық теңдеулер арқылы пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру
Ғылымның дамып келе жатқан салаларының бірі - дифференциалдық теңдеу теориясын толығынан түсінуге, игеруге қажетті білімділік пен машықтықты бойға дарытатын тиянықты ілгері білімдер көлемін анықтау және ғылым мен техниканың дамуына сай дифференциалдық теңдеулер теориясының өрбуінің бағыттаушы идеялары мен тенденцияларын анықтау қажет болады.
Дифференциалдық теңдеулерді оқыту мазмұны мектептерде математиканы оқытуда қосымша, дарынды оқушыларымен жұмыс ретінде қарастыруға болады.
Дифференциалдық теңдеулер теориясының мазмұны абстрактылы - теориялық ойлауды, шығамашылық қабілетті жетілдіруді керек етеді және соған жетелейді. Жетілдіре оқытудың маңызды құрамының бірі ретінде оқушылардың танымдық, шығармашылық ойлау қабілетін жандандыру саналады. Сонымен қатар игерілетін материалдың математикалық қабілетін қарқынды дамытатын, оларға терең тәрбиелік ықпалын тигізетін ұстанымдардың да маңызы айырықша.
Дифференциалдық теңдеулердің табиғи және өміршең есептерді шығаруда пайдаланатын ғажайып мүмкіндіктері оның сырттай қарағанда салқын,қызықсыз ғылым сияқты көрінетіндігін жеңеді. Ол оқушылардың математикаға деген ынтасын арттылып, қызығуға, ізденіске, біліммен сусындауға жетелейді. Сондықтан оқушыларды қызықтыра оқытып, оларды қолдай отыра, өз бетінше білім жинақтауға құштар ету оқыту үрдісінің барлық кезеңін жандандыруға әкеліп соғады.
Дифференциалдық теңдеулерге келтіретін есептерді шығару үшін оның теориясы мен әдістерін, көршілес пәндердің негізгі заңының, теориялық пайымдауларын қисынды теориялық және практикалық бағытта түсіне отырып пайдалану керек.
Дүниетанымдық көзқарасты қалыптастыруда дифференциалдық теңдеулер теориясының маңызы зор. Себебі оның ұғымдарын, формулаларын, әдістерін, алгоритмдерін механиктер, биологтар, экономистер жэне басқа да ғылым саласының мамандары жиі қолданылады. Сондықтан дифференциялдық теңдеулер пәні теориялық маңыздылығымен бірге қолданбалы математика саласына да жатады жэне ол жаратылыстану ғылымы мен техниканың көптеген мәселелерін зерттейді. Сол себептен мектептегі дарынды оқушылардың білімінің деңгейін кеңейту мақсатында дифференциалдық теңдеулерді математикадан факультатив сабақтарында қолдануға болады. Өйткені механиканың, астрономияның, физиканың, химияның, биологияның, космостық зерттеудің көптеген мәселелері дифференцалдық теңдеу қүрып, оның шешімдерін табуға тіреледі. Дифференциалдық теңдеулерді оқыту кезінде, инженер - техникалық, химия -биологиялық, ақпараттық есептеу, физика және де басқа саладағы есептерді шығару барысында орнығатын біліктілік пен әрекет тәсілдері негізінде пәнаралық жаңа байланыстар қалыптасады. Ол есептердің шарттарын жүйелі түсіну, алға қойған мақсатты анықтап, оны жүзеге асыру үшін жоспар қүру, жоспарды орындау үшін әдістер тану, шешу барысын кезендерге бөліп жүргізу, алған нәтижені зерттеп -- сұрыптау, есептің жауабын тауып дәл тұжырым жасау үрдісі әртүрлі пәндерге сай өз өзгешіліктері болғанымен, ортақ қисынға, заңдылыққа бағынады. Ол заңдылықты пайдалану пәнаралық қатынасты жандандыра түседі. Дифференциалдық теңдеулер курсы оқушылардың белгілі бір математикалық мәдениетін қалыптастырады және олардың ғылыми, әсіресе математиканың практикалық және қолданбалы бағыттарын түсінуінің маңызы зор.Дифференциалдық теңдеудің көмегімен жаратылыстану ғылымдарындағы ең негізгі проблеманың бірі - өзімізді қоршап түрған табиғат құбылыстарының кейбір жасырын сырының қалай ашылғаның, оның өмірде қалай пайдаланатынын көрсетуге болады.
Соның бір мысалы дифференциалдық теңдеуді популяция (мекендес өсіп - өну) санының қарапайым моделі ретінде көрсету жатады. Популяция саны қоршаған ортаны қорғаудың, яғни биоэкологияның ең маңызды мәселесі болып табылады. Популяцияның математикалық моделін қүру биологиялық түрдің сан жағынан өсуінің жылдамдығын анықтайтын есеп ретінде қарастырылады. Осындай математикалық моделдер көптеген физикалық, химиялық, биологиялық т.б. процесстерді айқындауға мүмкіндік береді. Дифференциалдық теңдеулер курсын білген оқушы дүниенің біртұтас екендігіне көзін жеткізеді және де оқушылардың алдыңғы ең бір маңызды қадамды, өз мамандығын тандауға ықпалын тигізеді, өйткенідифференциалдық теңдеулердің пәнаралық байланысы өте зор.
Дифференциалдық теңдеулердің басқа пәндермен байланысы жоғарыда атап өтілген байланыс түрлерін сұрыптай сипаттауға, әрқайсысының ішкі мазмұның, мәнін ашып, оларды жүзеге асырудың обьективтік заңдылықтарын тиімді пайдалануға, сол арқылы оқушылардың дүниетанымдық көзқарасын кеңейтіп, білімін терендетуге ықпалын тигізеді [11].
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫ
1.1 Туындының физика және геометрия саласында қолданылуы
Практика көрсеткендей, бастапқы математикалық талдау курсын оқыған кезде, студенттер туындыларды өмірлік шындықпен ешнәрсе ұғымсыз дерексіз функция ретінде қабылдайды. Әрине, олай емес. Мектепті бітіргеннен кейін болашақ студенттің туынды туралы нақты физикалық параметрлер арасындағы қатынасты білдіретін функция ретінде ұғымы қалыптасқаны өте маңызды. Сонымен қатар, көптеген студенттер туындының геометриялық және физикалық маңыздылығын іске асырмай, шаблон бойынша ұсынылған тапсырмаларды сәтті шешеді. Сондықтан осы материалмен қарапайым дифференциалдық теңдеулерді оқу курсын бастау керек. Сондай-ақ, функцияның шегі туралы тұжырымдамасы бар мәселелер бар екенін байқадық. Студент осы терминнің мәнін түсінбей-ақ, функцияның шегін дербес шеше алады. Бірақ шешімді табысты іздеу үшін белгілі формулалар мен әдістерді қолдану мүмкіндігі аз - бұл шексіз жуықтау ұғымының мәнін сезіну маңызды. Сол себепті, оқушылар туындының анықтамасымен таныс болғандықтан, оның физикалық мағынасын түсіндіреміз, сонымен бірге, оны тікелей енгізбей-ақ, функцияның шегі туралы идеяларды қалыптастырамыз.
Туынды жалпы анықтамасын еске түсіру үшін мағынасын қарастырайық: Туынды - дифференциалдық есептеулердің аргументі өзгерген кездегі функциясының өзгеру жылдамдығымен сипатталатын негізгі түсінігі. Кез келген үшін қатынасының шегі арқылы анықталатын функция Туынды деп аталады және түрінде белгіленеді. Туындысы бар функция үзіліссіз. Егер функциясының туындысы бар болса, онда ол сол нүктеде дифференциалданатын деп аталады.
Түзу қозғалыстың бірқалыпты емес қозғалыс жылдамдығын есептеу есебі туындының тұжырымдамасына әкеледі.
Нүктенің қозғалыс жылдамдығы туралы есеп.
Мәселе ось ретінде қабылдайтын түзу сызық бойымен нүктесі жылжиды делік (3-суретке сәйкес). Әрбір уақыт белгілі бір қашықтыққа сәйкес келеді. Сондықтан қозғалыс нүктесінің абсциссасы уақыттың функциясы деп айтуға болады:
.
3-сурет. Нүктенің түзу сызықты қозғалысы
Қозғалыс теңдеуі деп аталатын бұл теңдеу нүктенің қозғалыс заңын білдіреді. Қозғалыс заңын біле отырып, уақыттың кез келген нүктесіне қозғалыс нүктесінің жылдамдығын таба аласыз. Қозғалыстағы нүкте бір сәтте ұстанымына ие болсын, тең. уақыт сәтінде нүкте орыны алды, мұндағы . Осыдан . Сәйкесінше, уақытында нүтесінің орын ауыстыруы тең болады:
Егер нүктесі уақыт аралығында бір бағытта жүрсе, онда уақытында нүктемен жүріп өткен жолдың сандық мәні болады. қатынасы уақыт аралығында агрументінің орташа өзгеру жылдамдығын сипаттайды, әдетте нүктенің орташа қозғалыс жылдамдығы деп аталады. Егер енді уақыт аралығын одан сайын төмендеде бастаса, қатынасы кейбір сандық мәнге ұмтылады- шегке. ұмтылған кезде, нақты мәнге ұмытылады - уақыт сәтіндегі нүктенің қозғалыс жылдамдығына. Оны деп белгілейік. Сонымен болған кезде,
, немесе
мұндағы жазуы болғанда қатынасы ұмтылатын шектік мәнді білдіреді.
Алынған өрнек айнымалы бойынша функциясының туындысын ұсынады, яғни
Осылай түзусызықты қозғалыстың жылдамдығы уақыт бойынша жолдың туындысына тең болады.
Негізінде туынды бізге функцияның өзгеру сипатын зерттеуге мүмкіндік береді. Модульдің туындысы жоғары болған сайын, агрументі өзгерген кезде функциясы қаттырақ өзгереді. Егер туынды оң шама болса, онда агрументі өскен сайын функциясы да өседі. Егер туынды теріс шама болса, онда аргумен өскен сайын функцияның төмендегенін білдіреді.
Физикалық мағынамен қоса туындының жанама мағынасымен байланысқан геометриялық мағынасы да бар.
Алгебраның мектеп оқулығында және бастапты талдауда жанама келесі тапқырлы тәсілмен еңгізіледі: нүктесінде функциясының графигіна жанаманы түзумен түсіндіреді, онымен нүктесінің кейбір қиылысында функциясының графигі практикалық бірлеседі. Практикалық берлеседі көмескі сәйкестігі математикалық қатаң болып табылмайды және түсінкті талап етеді.
орныққан нүктесі берілген үзіліссіз қисық болсын (4 -суретке сәйкес).
4-сурет. Қисыққа жанама
нүктесі арқылы өтетін қиылысын қарастырайық. нүктесі қисық бойымен шектеусіз нүктесіне жақындайды алады, қиылысы кейбір шекті орнына ұмтылады, яғни бұрышы болғанда. Сонда шекті түзу жанама деп аталады. Сонымен берілген нүктесінде үздіксіз қисыққа берілген жанама нүктесі арқылы өтетін қиылысының шекті орны деп аталады, онда қиылысудың екінші нүктесі біріншісіне қисық бойымен шексіз жақындайды. Егер болғанда қиылысы шекті орынға ие болмаса, онда нүктесіндегі берілген жолақта жанама ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Қазіргі кездегі мектеп бағдарламасында дифференциал теңдеулер туралы мағлұматтар беріледі. Атап айтқанда, дифференциал теңдеулер деген не, оның шешімі және олардың математикалық, физикалық және техникалық есептерді шығаруға қолданылуы т.б.
Қазіргі қоғамның әлеуметтік сұраныстарына байланысты мектеп бағдарламасына енгізілген дифференциалдық теңдеулер теориясы ғылымының әртүрлі облыстарында кеңінен қолданылады.
Оқушыларға жоғары алгебра элементтері бар есептерді теориялық негізде әзірлеп, жалпы орта білімді мектептердегі әдістеменің базисын құру жолдарына талдау жасау.
Жалпы орта білімді мектептерде жоғары алгебра элементтерін мектеп курсында оқытудың әдістемесі - оқушыларды оқытудағы негізгі орта білім деңгейімен және жоғары білім арасындағы сабақтастық пен болашақты қамтамасыз ететін оқыту әдісі болып табылады. Алгебра және анализ бастамалары курсымен орта мектептегі алгебраны оқыту аяқталады. Бұл жұмыс анализ бастамаларына қатысты ұғымдарды, тұжырымдар мен әдістерді мазмұндық ашумен, оқушылардың ой-өрісін, логикалық пайымдау, дәлелдеулер жүргізу, практикалық есептерді шығару барысында жоғары алгебра элементтері білімдерін қолдану біліктігін дамытуға бағытталған; математикалық оқу қызметіне оқушыларды қатыстыруға, олардың жоғары алгебраның кейбір элементері бар материалды түсінуіне бағытталған жұмыстардың белсенді түрлерін көбейтуді көздейді.
Айнымалылары ажыратылатын қарапайым дифференциалдық теңдеу теңіз деңгейінен биіктігіне байланысты атмосфералық қысымның өзгеру процессін де, радийдің түсу процесін де, тұрғындар санының өзгеру процессін де, суыту процесін де және т.б. сипаттайды.
Дипломдық жұмыс тақырыбының өзектілігі:
- математикалық талдау және дифференциалдық теңдеулер негізінен болашақ студенттердің математикалық біліміне үлкен үлес қосады.
- дифференциалдық теңдеулер мектептің математика курсында оқытудың әдістемесіне арналған зерттеулердің кемдігі.
Дипломдық жұмыс тақырыбының ғылыми жаңашылдығы және практикалық маңыздылығы: Дифференциалдық теңдеулер теориясының мазмұны абстрактылы - теориялық ойлауды, шығамашылық қабілетті жетілдіруді керек етеді және соған жетелейді. Жетілдіре оқытудың маңызды құрамының бірі ретінде оқушылардың танымдық, шығармашылық ойлау қабілетін жандандыру саналады.
Сонымен қатар игерілетін материалдың математикалық қабілетін қарқынды дамытатын, оларға терең тәрбиелік ықпалын тигізетін ұстанымдардың да маңызы айырықша.
Ғылыми мәселенің ағымдағы жағдайы: дифференциалдық теңдеулерді оқу қиял ойдың дамуына нәр береді, оқушыларға дифференциалдық теңдеулердің абстрактілігі табиғат құбылыстарын математикалық модельдер көмегімен оқып білудің құралы болып табылады.
Дифференциалдық теңдеулер болашақ студенттің фундаметальды дайындығында, атап айтқанда оқушының ғылыми дүниетанымын, математикалық мәдениетінің белгілі бір дәрежесін қалыптастыруда үлкен роль атқарады.
Диплом жұмысының мақсаты: осы пән туралы мағлұмат беру және қарапайым теңдеулерді шығару жолдарын көрсету.
Мектеп курсында дифференциал теңдеулерге сағат аз болғандықтан біз мұнда негізгі анықтамалар мен ұғымдарды беріп, соларға көптеп мысалдар келтірумен шектелеміз. Дифференциалдық теңдеулерді оқыту мазмұны мектептерде математиканы оқытуда қосымша, дарынды оқушыларымен жұмыс ретінде қарастыру.
Диплом жұмысының міндеттері:
oo дифференциалдық теңдеулер теориясының мазмұны абстрактылы - теориялық ойлауды;
oo шығармашылық қабілетті жетілдіруді;
oo оқытудың маңызды құрамының бірі ретінде оқушылардың танымдық, шығармашылық ойлау қабілетін жандандыру;
oo сонымен қатар игерілетін материалдың математикалық қабілетін қарқынды дамытатын, оларға терең тәрбиелік ықпалын тигізетін ұстанымдардың да маңызы айырықша.
Дипломдық зерттеудің объектісі; алгебра және анализ бастамалары, математикалық анализ курсы
Диплом жұмысының теориялық және әдіснамалық негіздері: Қазақстан Республикасы Білім туралы заңы, мемлекеттік білім беру стандарттары, математиканы оқытудың теориялық және әдістемелік негіздері, алгебра және анализ бастамалары.
Есептерді шығаруда табылған жалпы шешімдер қарапайым, сапалы талдау жүргізуге, модельдің орнықты шешімдері мен құрылғының жұмысындағы орнатылған тәртіптің нақты сипаты арасында сәйкестік орнатуға болады.
Дифференциалдық теңдеулер мен олардың әдістерін оқып үйрену біз өмір сүретін әлемді тану үшін тағы бір құралды береді, яғни нақты физикалық кеңістік туралы бейнелік және ғылыми түсінікті қалыптастыруға мүмкіндік береді.
Дипломдық жұмыс жазылуының тәжірибелік базасы: Арқалық қалалық кітапханасы. Ы.Алтынсарин атындағы Арқалық мемлекеттік педагогикалық институты кітапханасы.
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ФАКУЛЬТАТИВ САБАҚТАРДА ОҚЫТУДЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
1.1 Дифференциалдық теңдеулердің математикада алар орны
Дифференциалдық теңдеу негізгі математикалық ұғымдардың бірі болып табылады. Дифференциалдық теңдеу - бұл туындыларды (немесе дифференциалдары) қандайда бір алдынала берілген шарттарды қанағаттандыратын теңдеу. Қандайда бір нақты құбылыс пен процессті зерттеудің нәтижесінде алынған дифференциалдық теңдеу дифференциалдық модель деп аталады.
Дифференциалдық модельдер - бірі бізді қоршаған әлемді оқып үйренуде құрылуы мүмкін математикалық модельдер жиынының дербес жағдайы екені түсінікті. Сонымен қатар, дифференциалдық модельдердің өздерінің де түрлі типтері бар екенін атап өту қажет. Біз бұл жұмыста тек қарапайым дифференциалдық теңдеулермен сипатталатын модельдерді ғана қарастырамыз, оларға тән ерекшеліктердің бірі бұл теңдеулердегі белгісіз функциялар тек бір ғана айнымалыға тәуелді болады.
Қарапайым дифференциалдық модельдерді құру процесінде зерттеліп жатқан есептің табиғатына қатысты ғылым заңдарын білу маңызды және алдыңғы мәнге ие. Мысалға, механикада бұл Ньютонның заңдары, ал электрлік тізбектік теориясында - Кирхгоф заңдары, химиялық реакциялардың жылдамдығы теориясында - салмақтың әсер ету заңы және т.б.
Әрине іс жүзінде дифференциалдық теңдеулерді құруға мүмкіндік беретін белгісіз заңдарды да кездестіруге болады, сондықтан параметрлердің - айнымалылардың аз өзгерісінде процесстің жүруіне қатысты әртүрлі жорамалдарға (гипотезаларға) сүйену қажет. Онда дифференциалдық теңдеулерге шектік ауысу келтіреді. Мұнда, егер математикалық модель ретінде алынған дифференциалдық теңдеуді зерттеу нәтижесі тәжірибелік берілгендермен сәйкес келсе, онда тұжырымдалған гипотеза заттардың шынайы күйін дұрыс көрсететінін білдіреді [1].
Кейбір жағдайларда ғана дифференциалдық теңдеулерді тұйық форма деп аталатын түрде шығаруға, яғни элементар функциялармен қарапайым операциялардың шектеулі санын пайдаланатын шешімді аналитикалық формула түрінде көрсетуге болады. әрине, бұл дифференциалдық теңдеулердің шешімі бар екені белгілі болған кезде.
Басқаша айтқанда, дифференциалдық теңдеулердің шешімдері өздерінің көптүрлілігімен мынадай, олардың саны шектеулі аналитикалық операциялармен тұйық формада көрсету үшін жеткіліксіз. Бұл жағдай алгебралық теңдеулер теориясындағыға ұқсас: бірінші және екінші дәрежелі алгебралық теңдеулер жағдайында олардың шешімдері радикалдарда оңай алынуы мүмкін; егер үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулерге келсек, онда радикалдардағы шешімдер алынуы мүмкін, бірақ формалар едәуір қиын болады; ал дәрежесі төрттен жоғары жалпы түрдегі алгабралық теңдеулерді қарастырсақ, онда бұндай теңдеулердің радикалдардағы шешімдерді, жалпы айтқанда, алынуы мүмкін емес.
Дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін көрсету үшін қандай да бір түрдегі шексіз қатарларды пайдалансақ, онда тұйық формалардағыға қарағанда едеуір көп теңдеуді шешуге тура келеді. Бірақ, шешімнің орынды және тиімді қасиеттерін, алынған қатар түрінен анықтау еш мүмкін емес. Сонымен қатар, тіпті дифференциалдық теңдеуді тұйық формада шығара алсақ та, мұндай шешімді талдау мүмкін емес, немесе әр түрлі параметрлер арасындағы тәуелділік өте қиын болып шығады.
Осылайша, дифференциалдық теңдеулердің өзін шығармай-ақ шешімдердің қайсыбір қасиеттері туралы қажетті мағлұматтар алуға мүмкіндік беретін әдістер мен тәсілдердің қажеттілігі анық болып отырады. Мысалыға, бұндай әдістер мен тәсілдер бар және олар дифференциалдық теңдеулердің сапалық теориясының мазмұнын құрайды, олардың негізінде шешімдердің бар болуы мен жалғыз болуы, шешімнің бастапқы берілгендер мен параметрлерге үзіліссіз тәуелділігі туралы жалпы теориялар жатыр.
Қарапайым дифференциалдық теңдеудің сапалық теориясы А.Пуанкаре мен А.М.Ляпуновтың (ХІХ-шы ғасырдың соңы) жұмыстарынан бастап дамып келеді және оның әдістері бізді қоршаған ортаны тану процессінде кең қолданылады [2].
1.2 Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың педагогикалық - психологиялық негіздері
Мектептегі математика курсының негізгі мақсаттарының бірі оқушыларды ғылыми дүниетанымға тәрбиелеу деп есептелінеді. Жоғарыда аталған мақсатты жүзеге асыру мағынасында дифференциалдық теңдеулер тақырабы тиімді.
Қазіргі заманда, жалпы мойындаған жағдай математиканы оқытудың кез келген сатысында (мектепте, лицейде, колледжде, ЖОО-да және т.б.) әрдайым методология, философия, тарих, яғни оқытудың методологиялық аспекті деп аталатындарды құрайтындармен байланыстыру қажет. Бұл аспект дербес шығуы мен дамуы, математиканың тарихи даму процесінде оқушының ойында әрқашан нақтыланып және кеңейіп отыратын оның зерттеу пәнінің анықтамасы, математиканың нақты өмірмен, адамдардың қоғамдық іс-әрекетімен байланысы, іс-тәжірибенің математикадағы ролі және ең соңында қазіргі заманғы ғылыми білімнің математизациялану мағынасының ашылуымен байланысты мәселелерді әрдайым талқылау қажеттілігі енеді.
Оқушыларды рухани дамыта отырып, олардың әлемге деген іс-тәжірибелік көзқарастың негізі ретінде ғылыми дүниетанымды қалыптастыру қажет. Олар математиканың жалпы ұғымдарының нақты әлемнің белгілі бір бейнелерін көре білуі, математикаға редукцияланған философияның негізгі сұрағына дұрыс жауап бере алуы керек.
Математикалық - жаратылыс ғылымдарының матедологиясының дифференциалдық теңдеулермен тұтас байланысын, дифференциалдық теңдеулердің матодологиялық бағытын көрсететін дифференциалдық теңдеулер теориясының даму тарихын қарастырамыз. Негізінен дифференциалдық теңдеулер теориясына Россия, Қазақстан және басқа ТМД елдерінің ғалымдарының үлесі үлкен.
Оқушылардың ғылыми дүниетанымын және жалпы мәдениетін қалыптастыруға осы пәнді оқытудың қолданбалы бағыты, оны дұрыс ұйымдастырғанда, яғни оқытудың жалпы принциптерінің - оқытудың өмірмен, теорияның практикамен байланысы принциптерінің бірін орындағандағы ұйымдастыруда, орынды үлес қосады [3].
Математиканы оқытудың қолданбалы бағытының мәселесі математиктер мен әдіскерлердің зеттеулерінде кең қарастырылған. Оның теориялық негізделуі В.Г. Болтянскийдің, Е.С.Венцельдің, А.Н. Колмогоровтың, А.Н. Тихоновтың, З.И. Халиловтың, Д.П. Костомарованың, Ю. М. Колягиннің, В.М. Монахованың, В.А. Гусевтің, С.И Швацбурдтың, В.В. Фиреовтың, Г.В. Дрофееваның, М.И. Башмакованың, И.Д. Шарышнаның, К.К. Пономареваның, Н.Я. Виленкинаның, А.Д. Мышкистің, Л.Д. Кудрявцевтің, Г. Трелиньски, В.В. Амелькинаның, А.П. Садовскийдің, И.И. Бавриннің, А.В.Латышеваның, Н.А. Тереишнаның, М.С. Сабурованың және т.б. жұмыстарында келтірілген.
Жоғарыда аталған авторлардың барлығы математиканы мектепте оқытудың қолданбалы бағыттағы мәселелерін зерттейді.
Б.А.Найманов өзінің кандидаттық диссертациясында дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы бағыттының үш компонентін атап өтеді.
oo абстрактілі ұғымдар мен теориялық білімдерді нақтылау;
oo математиканың теориялық мәселерінің математикалық теорияның қосымшаларымен өзара байланысы.
oo студенттерге оқушыларды математиканың қолданбалы бағытымен таныстыру тәсілдерін оқыту.
Оқыту процессінде қолданбалы мәселелерді пайдалану тек қана ғылымның негіздерін түсінуге емес, ғылыми танымның тәсілдерін меңгеругеде әсер етеді.
Дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы бағытынан оқушы нақты процесті математикалық модельдермен байланыстыру тәжірибесін алады.
Нақты процесстің математикалық моделі деп, әдетте, бұл процес математика тілінде жуықтап сипатталуын түсінеміз.
Математикалық модельдеу өнері нақты есепті математикалық тілге аудара білуден тұрады.
Матетикалық модельдеу өзінің қарапайымдылығымен процесті жақсы түсінуге көмектесді, процестің қалпының сапалық және сандық сипатын орнатуға мүмкіндік береді.
Әр түрлі есептерде нақты процестердің математикалық моделі көбіне дифференциалдық теңдеулермен өрнектеледі [4].
Бұл есептердің сипаты мен шығару әдістемесін схемалық түрде сипаттауға болады. Қандай да бір процесс жүріп жатыр делік, мысалы, физикалық, химиялық, биологиялық. Бізді бұл процестің белгілі бір функционалдық сипаттамасы, мысалы, уақытқа қатысты температураның немесе қысымның, массаның, кеңістіктегі қалпының өзгеру заңдылығы қызықтырады. Егер бұл процестің жүруі туралы толық ақпарат бар болса, онда оның математикалық моделін құруға әрекет жасауға болады. Көп жағдайларда бұндай модель дифференциалдық сипаттамасы болып табылады. Дифференциалдық теңдеу, процестің эволюциясын материалдық жүйемен болып жатқан өзгерістер сипатын, бұл
жүйе өзгерістерінің бастапқы күйін байланыстыратын нұсқауларды сипаттайды.
Кез келген процесті оқып үйрену оның жеке моменттерін анықтау мен оның ағымының жалпы заңын орнатуға келіп тіреледі.
Процесстен (қарапайым процесстің) жеке моменттегі процестің айнымалы шамаларын олардың дифференциалдарды және туындыларымен байланыстыратын дифференциалдық теңдеулермен өрнектеледі. Интегралдаудан кейін алынатын құбылыстың жалпы орындалу заңдылығы процестің айнымалы шамаларын байланыстыратын теңдеумен өрнектеледі.
Дифференциалдық теңдеулерді құрудың қатаң тәртібі жоқ. Көптеген жағдайларда қарапайым дифференциалдық теңдеулерді қолданумен байланысты қолданбалы есептерді шығарудың әдістемесі келесіге келтіріледі:
oo есептің шартын талдап, оның мәнін айқындайтын сызбаны салу;
oo қарастырылып отырған процестің дифференциалдық теңдеуін құру;
oo осы теңдеуді интегралдап, оның жалпы шешімін анықтау;
oo берілген бастапқы шарттардың негізінде есептің дербес шешімін анықтау;
oo қажет болған жағдайда көмекші параметрлерді (мысалы, пропорционалдық коэффициентін және т.б.) анықтау, бұл мақсат үшін есептің қосымша шарттары пайдаланылады;
oo қарастырылып отырған процестің жалпы заңын тұжырымдау және ізделінді шамалардың сандық мәнін анықтау;
oo жауапты талдау және есептің бастапқы қалпын тексеру.
Модельдеу икемділігі танымдылық іс-әрекеттің ажыратылмас бөлігі болып табылады. Модельдеудің психологиялық аспектісі, адам санасында сыртқы әлемді оның көптүрлілігі мен ішкі және сыртқы байланыстарның толықтығында емес, тұрпайыланған жуық түрде бейнелеуден тұрады.
Біз нақты құбылыс туралы сезіну мен түсіну арқылы алатын толық емес ақпарат біздің санамызда толық емес түрде елестетулер мен бейнелер жүйесі ретінде қалыптасатындар негізіне құбылыстың модельдері болып табылады. Сондықтан, біздің қоршаған әлем туралы түсінігіміз принципиалды модельды сипатқа ие.
Соңғы жылдары психикалық іс әрекеттің жемісі ретінде модельдің мәні сезілуде. Сонымен қатар модель мидың құбылысы ретінде әр түрлі аспектілірде қарастырады. Бірқатар ғалымдар модельді адамның қоршаған ортамен қатынасындағы психикалық іс-әрекетінің негізгі жемісі ретінде қарастырылады. Кейбір зерттеушілер оқытудағы модельдеуге үлкен роль бөлетіні соншалық оны жеке принципке бөледі. Мысалы, В.В. Давыдов традициялық дидактикалық көрнектілік принципінің шектеулілігін, оны модельдеу принципімен алмастыруды ұсынады.
Л.М. Фридман, В.В. Давыдовтың орта мектепте математиканы оқытудағы модельдің тәсіл идеясын дамытып, былай деп жазады:
... математиканы оқытудағы модельдеу принципі, біріншіден, мектеп курсындағы математика мазмұнын модельдік көзқараспен меңгеруді, екіншіден, оқушыларда әртүрлі құбылыстар мен жағдайларды математикалық модельдеу біліктілігі мен икемділігін қалыптастыруды, үшіншіден, ішкі ойды, ойлаудың ғылыми-теориялық стилін дамыту үшін сыртқы тірек ретінде соларды кеңінен қолдануды білдіреді.
Бұдан оқушыларды нақты процестерді құру әдістемесімен оқыту математика курсының және ең алдымен дифференциалдық теңдеулердің негізгі шарттарының бірі.
Дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы бағыты арқылы біз оқыту процесіндегі шынайы пән аралық байланысты орнатамыз [5].
Жалпы математиканы оқыту әдістемесінің түрлері бағыттарында: оқыту процесін жақсарту, оқу пәндеріне қызығу бағытында жүргізіледі. Мазмұны жақын пәндердің өзара байланысы, тек оқушылардың білімдерінің сапасын арттырып қана қоймай, алынған білімдерді іс-тәжірибеде пайдалану дайындығына ықпал етеді, оқушылардың ғылыми дүниетанымын дамытады.
Соңғы жылдары зерттеушілердің пәнаралық байланысты ортануға қызығушылықтары да арта түсті. Біз пән аралық байланысты мәселені тұжырымдау сандары да арта түсті. Біз пән аралық байланысты жүйеліліктің көрінуі, табиғи құбылыстардың объективті өзара байланысының бейнесі ретінде қарастыруды дұрыс көрдік.
Пәнаралық байланыстар, оқытудың барлық қызметтерінің, атап айтқанда, білімділіктің, дамытушылық және тәрбиелік мәнінің орындалуына ықпал етеді. Бұл қызметтері өзара байланыста орындалады және бір бірін толықтырады.
Жоғарыда айтылғандардың бәрін жалпылап, дифференциалдық теңдеулердің гуманитарлық құраушысының негізгі бағыттарын тұжырымдауға тырысып көрейік.
Ең алдымен, бұл дифференциалдық теңдеулердің оқушыға қоршаған орта туралы дұрыс түсінікті қалыптастырудағы мүмкіндік беретін дүниетанымдылық, метадологиялық аспекті. Белгілі шамада бұған тақырыптың тарихи-математикалық, бөлігі ықпал етеді. Әрі қарай, дифференциалдық теңдеудің математикалық модельдеу әдісімен және пәнралық байланысты орнату мәселесімен тікелей байланысты аспектілерді ерекшелеу керек.
Ең соңында, дифференциалдық теңдеулер - бұл табиғат сөйлейтін тіл. Математика курсының тілдік аспектісі соңғы кезде математиканы оқыту әдістемесі облысындағы зерттеушілерді күннен күнге қызықтырып отыр. Математикалық тілді меңгеру, қазіргі заманда, адамның жалпы мәдениетін құрайтыны туралы ой соңғы жылдары тіпті жоққа шығарылмайды. Болашақ студенттер бұл ойды түсінуі үшін дифференциалдық теңдеулердің алатын орнын белгілеулері керек.
2 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
2.1 Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы түсінік
Физиканың негізгі заңдарының бірі Ньютонның екінші заңына сәйкес тұрақты m массасы бар, материалды нүктенің түзу сызықты қозғалысында қозғалысты тудырушы күші m масса мен үдеудің көбейтіндісіне тең, F=m*a. F күші өз кезегіңде x координатасына, оның v жылдамдығына және t уақыт моментіне тәуелді болуы мүмкін. Сондықтан F=m*a теңдігін былай қайта жазуға болады:
(1)
Енді нүктенің жылдамдығы координатаның уақыт бойынша туындысына тең , ал үдеу - координатаның уақыт бойынша екінші туындысына тең . Сондықтан теңдеу (1) келесіні білдіреді.
(2)
Біз (қозғалыс заңы) аргументі -ға тәуелді белгісіз x функциясымен оның бірінші және екінші ретті туышдысы және t аргументінің өзі енетін теңдеуді алдық. Бұл теңдеуді шешіп, біз нүктеге әсер етуші күштер бойынша нүктенің қозғалу заңын біле аламыз. Осындай және бұдан күрделірек теңдеуге машинаның, ракетаның, планета және т.б. бөліктердің қозғалу заңын келтіруге болады. Осындай теңдеулерді дифференциал теңдеулер деп атайды.
Анықтама 1 Дифференциалдық теңдеу деп ізделінді функцияның қандай да бір туындысымен қатар, осы функцияның өзін және оның дифференциалын біріктіретін теңдеулерді айттамыз.
Дифференциалдық теңдеулерге мыналар мысал бола алады:
және т.б.
Соңғы теңдеулерде ізделінуші функция у және оның бірінші және туындылары бар. Ал тәуелсіз айнымалы ретінде х еніп тұр.
Мысал 1. Космостан жерге түсіп келе жатқан материалдық нүктенің қозғалысының дифференциалдық теңдеуін жазыңыз.
Шешуі. Бүкіл әлемдік тартылыс заңы бойынша нүктеге күші әсер етеді, мұндағы М - жердің массасы, m - нүктенің массасы - пропорционалдық коэффициенті және х-нүктеден жердің бетіне дейінгі арақашықтық (минус таңбасы қойылғанының себебі күштің бағыты координаттар осінің бағытана қарама-қарсы). Ньютонның екінші заңы бойынша болғандықтан, немесе Бірақ болғандықтан ізделінді дифференциалдық теңдеу
түрінде жызылады [6].
Символдық түрде дифференциалдық теңдеу былай жазылады.
Жалпы алғанда, егер ізделінді функция бір белгісіз айнымалыға тәуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу қарапайым дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Көрсеткіштік өсудің және көрсеткіштік кемудің дифференциалдық теңдеуі физикалық, техникалық, биологиялық және әлеуметтік ғылымдардың көптеген есептерінің мынадай дифференциалдық теңдеуді.
(3)
қанағаттандыратындай функцияларды табуда келтіріледі, мұндағы k - қандай да бір константа.
Көрсеткіштік функцияның формуласын біле отырып, мына теңдеудің
(4)
шешімі кез келген функция болатынын байқау қиын емес, мұндағы С-тұрақты. Ал С еркімізше алынатындықтан, дифференциалдық теңдеудің шешімдері шектеусіз көп болады.
(3) теңдеудің (4) түрдегі функциялардан өзге, басқа шешімдерінің болмайтынын дәлелдейік. Ол үшін (4) теңдеуді қанағаттандыратын кез келген f функциясын және
(5)
көмекші функциясын қарастырамыз. g функцияның туындысын табамыз:
- тің орнына (3) теңдеудегі -ті қойып, мынаны шығарып аламыз:
g функцияның туындысы нөлге тең болғандықтан, барлық х үшін болады. (4) - тен мынау шығады:
бұдан
дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Ескерту: Жоғарыда келтірілген талқылауларда біз f фунциясын бүкіл сандық түзуде анықталған және (3) теңдеуді қанағаттандырады деп ұйғарған болатынбыз. Нақтылы есептерде (3) теңдеуді тек қандай да бір аралықта ғана қанағаттандыратын функцияларды қарастыруға тура келеді. Әрине, ондай жағдайда (4) формуладан жалпы шешімді (3) теңдеу орындалатындай аралықта ғана табатынымыз түсінікті. (3) дифференциалдық теңдеудің мағынасы мынау - функцияның х нүктесіндегі өзгеру жылдамдығы сол функцияның осы нүктедегі мәніне пропорционал. Бұл теңдеу практикалық есептерді шешкенде жиі кездеседі.
Мысал 2. (Радиоактивтік ыдырау). Айталық, бастапқы уақыт мезетінде радиоактивті заттың массасы мынадай болсын:
Ал уақыт өтуімен заттың m (t) массасының кему жылдамдығы оның мөлшеріне пропоционал болатыны белгілі, яғни мына теңдеу орындалады:
мұндағы k 0. Жоғарыда тағайындалған қасиет бойынша
(6)
С константасы (6) шарттан табылады. Атап айтқанда, t=0 болғанда
яғни
Соңында, былай болып шығады:
Осы қарастырылған мысал типтік сипатты: дифференциалдық теңдеулердің шектеусіз көп шешімдерінің ішінен бір шешімін жекелеп айырып алу үшін, әдетте тағы да бір бастапқы шарты енгізу қажет (қарастырылып отырған жағдайда ол - (6) шарт).
Радиоактивті заттың массасы екі есе кемитін уақыт аралығы Т - ні білсек, k - ны табуға болады. Өйткені
яғни
бұдан шығатын
Олай болса, бұдан
Мысалы 3. радий үшін жыл. Сондықтан (егер уақыт жылмен есептелетін болса)
Миллион жылдан кейін радийдің бастапқы массасынан қалатыны тек мынау ғана
Гармоникалық тербеліс f функциясының туындысынан алынған туындыны f функциясының екінші туындысы деп атайды және деп белгілейді (оқылуы: эф екі штрих). Мысалы 1.
(7)
Функцияның сипатын неғұрлым толық зерттегенде екінші туындының тигізер септігі мол. Бірінші туынды функция өзгерісінің жылдамдығы болса, ал екінші туынды сол жылдамдықтың өзгеру жылдамдығы, яғни үдеу.
(7) формуланы талдай келе, синус пен косинустың екінші туындыларының сол функциялардың өздерінен айырмашылығы тек таңбасында ғана екенін аңғарамыз. Басқаша айтқанда, бұл функциялардың екеуі де, t аргументінің барлық мәндерінде, мына теңдеуді қанағаттандырады:
Физикада, атап айтқанда, механикада, мына теңдеуді
(8)
қанағаттандыратын f функциялары үлкен роль атқарады, мұндағы - оң тұрақты.
Осы тектес теңдеуге саятын бір есепті механика саласынан келтірейік. Айталық, массасы кішкентай шарға горизонталь орналасқан серіппе бекітілген де, оның екінші ұшы бекітілген (1-суретке сәйкес) және де шар центрінің х координатасы тепе-теңдік қалыпта нөлге тең делік.
1 - сурет. Серіппе
Шар центрін координатасы нүктеге орын ауыстырғанда, шарды тепе-теңдік қалыпқа қайтаратындай күш пайда болады. Гук заңы бойынша ол күш орын ауыстыру шамасы х-ке пропорционал, яғни мұндағы k - оң константы (2-суретке сәйкес). Ньютонның екінші заңы бойынша, түзу бағытта қозғалғандағы үдеу координатаның екінші туындысы екенін ескеріп, мынаны табамыз:
2-сурет. Түзу сызықты қозғалыс үдеуі
яғни
басқаша айтқанда, шар центрінің серпімділік күшінің әсерінен қозғалысы болғандағы (8) теңдеуге бағынады.
теңдеу (8)-ға сәйкес уақыт өткенде физикалық шама гармоникалық тербеліс жасайтынын көрсетейік. Ал, (8) теңдеудің өзін гармоникалық тербелістердің дифференциалдық теудеуі деп атайды [7].
А мен тұрақтылары қандай болғанда да
(9)
функциясы (8) теңдеудің шешімі екенін тексерейік. Шынында да, күрделі функцияның туындысына арналған формуланы пайдаланып, мынаны табамыз:
Кері ұйғарым орын алады: (8) теңдеуінің кез келген шешімі (9) түріндегі функция, сонымен бірге, әдетте былай таңдап алынады: Мұның дәлелдемесі мектеп курсының көлемінен шығып кетеді.
Егер бастапқы шарттар алдын ала берілсе, онда А мен тұрақтыларын анықтауға болады.
Дененің атмосфералық ортада құлауы
Енді күрделі бір мысалды қарастырайық. Дене атмосферада құлаған жағдайда ауаның оған көрсетер кедергісін ескерту қажет болады. Эксперимент жүзінде мынау тағайындалған: денеге әсері ететін F күші мұндағы m- дененің массасы, g-еркін түсу үдеуі, түзу бойындағы координатасы (Oh осі вертикаль төмен бағытталған), k - пропорционалдық коэффициенті, сондықтан мынадай теңдеу шығады.
яғни
мұнда деп белгілеп қозғалыс жылдамдығына қатысы төмендегідей дифференциалдық теңдеуді қарастыру қолайлы:
мұндағы (10)
Бұл теңдеуді өзімізге таныс түрге келтіру үшін белгісіз функция енгіземіз сонда және (9) теңдеу мына түрде жызылады.
яғни,
Ал бұл теңдеудің шешімдері белгілі: . Олай болса, функциясы R жиынында кемиді, сонымен бірге t өскенде (яғни жағдайда кез келген с үшін оның мәндері шектеусіз кемиді ( Мұның мәнісі қозғалыс жылдамдығы тұрақты шамасына жуықтап, бұл болса, пропорционалдық коэффициент k мен масса m - ге тәуелді. Мысалы, созылыңқы секіру кезінде (парашют ашылмай қалған) ол жылдамдық шамамен 50 мс-қа тең, ал парашюттің жерге түскендегі жылдамдығы (k шамасы едәуір үлкен болғанда) шамамен 4-5 мсағ.
Қандай да бір процесс бағынатын жеңіл-желпі заңдар көбінесе дифференциалдық теңдеулер түрінде жазылады, ал процестің уақыт барысында қалайша өрістейтінін айқандау үшін, ол дифференциалдық теңдеулерді шешуге тура келеді [8].
Жаттығулар
1. функциясы қандай теңдеуді қанағаттандыратын дәлелде.
2. функциясы теңдеуін қанағаттандыратынын дәлелде.
3. функциясы теңдеудің қанағаттандыратынын дәлелде.
4. Гармоникалық тербелістің дифференциалдық теңдеуін жаз
2.2 Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер
Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу деп
түріндегі теңдеулерді айтамыз. Бұл теңдеуді шешу үшін алдымен айнымалыларды ажыратып алу қажет:
Сонан соң осы теңдеуді интегралдау қажет:
теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: Айнымалыларды ажыратып мынаны аламыз:
Алынған теңдеулердің екі бөлігін де интегралдаймыз
Қандай да бір тұрақты С кез келген сандық мәнді қабылдай алатындықтан, кейінгі түрлендірулерге ыңғайлы болу үшін С тұрақтының орнына бір деп жаздық. Соңғы теңдікті потенциалдап келесіге ие боламыз.
Бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі.
2. болғанда бастапқы шартын қанағаттандыратын теңдеуінің дербес шешімін табу керек.
Шешуі: Айнымалыларды ажыратып, мынаны аламыз.
Алынған теңдеудің екі бөлігін интегралдаймыз:
немесе
Бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі С тұрақтысының мәнін табу үшін және S = 4 мәндерін жалпы шешімнің өрнегіне қоямыз:
немесе бұдан С =8.
Ендеше, аталған бастапқы шарттарды қанағаттандыратын ізделінді дербес шешім келесі түрге ие:
Жаттығулар
1) a)
в)
2) б)
3) б)
4) б)
в)
Көрсетілген бастапқы шарттарды қанағаттандыратын теңдеудің дербес шешімдерін табыңыз.
x = - 2 болғанда y = 4;
х = 2 болғанда y = 6;
6) t = 2 болғанда s = 4
7) x = 0 болғанда y = 2
8) x = 0 болғанда y = 4
9) x = -2 болғанда y = 3
10) x = 1 болғанда y = 1
11) x = 0 болғанда y = 1
12) болғанда .
2.3 Дифферециалдық теңдеулерді құруға арналған есептер
Есеп 1. Егер дене М(0,4) нүктесінен бастап жылдамдығымен қозғала бастаса онда осы дененің Ох осі бойындағы қозғалу заңын табыңыз.
Шешуі: Түзу сызықты қозғалыста жылдамдық жолдың уақыт бойынша туындысы болып табылады. Жолды х арқылы белгілеп, екенін аламыз. Сонда
немесе
Интегралдап, келесіні аламыз: Бастапқы шарттарды пайдаланып С- тұрақтысын табамыз. болғанда болғандықтан, бұл мәндерді жалпы шешімге қойып, C = 4 екенін табамыз. Сонымен, дененің қозғалу заңы мына түрге ие .
Есеп 2. нүктесі арқылы өтетін және бұрыштық коэффициенті болатын жанамасы бар қисықтың теңдеуін құрыңыз.
Шешуі: Шартқа сәйкес есептің дифференциалдық теңдеуі7
немесе
Соңғы теңдеуді интегралдап, алатынымыз және болғанда болатын бастапқы шарттарды пайдаланып, екенін табамыз. Ендеше, ізделінді теңдеу келесі түрге ие
Есеп 3. Ашық резервуалардағы судың алғашқы температурасы 700 болатын, 10 минуттан кейін судың температурасы 650 болды, резервуарды қоршаған ортаның температурасы 150. Анықтау керек: бастапқы моменттен 30 минут өткеннен кейінгі резервуардың температурасын, резервуардағы судың температурасы 200 - қа тең болатын уақыт моментін.
Шешуі: t уақыт моментіндегі температураны Т деп белгілейміз. Судың салқындау жылдамдығы t мен Т-ні байланыстыратын функцияның, яғни туынды өзгеру жылдамдығы болып табылады.
шамасы резервуардағы судың және оны қоршаған ортаның температурасына пропорционал, яғни мұндағы - пропорционалдық коэффициенті. Ендеше, . Айнымалыларды ажыратып, келесіні аламыз.
Алынған теңдеуді интегралдаймыз:
немесе
бұдан
(11)
Бұл қатынас судың салқындау заңын өрнектейді.
болғанда болатын бастапқы шартты пайдаланып, С1-ді табайық. Алатынымыз
немесе яғни
С1-дің алынған мәнін (11) теңдігіне қойып, мынаны аламыз.
(12)
шамасын табайық. Шарт бойынша, t=10 мин болғанда T = 650.
Бұл мәндерді (12) қатынасына қойып, келесіні аламыз.
650 = 550 ek*10 + 150, немесе , немесе 1011e10k
соңғы теңдікті логарифмдеп, келесіге ие боламыз.
бұдан
- ның мәнін (2) қатынасқа қойып, t мен Т айнымалыларын байныстырушы салқындау заңын аламыз:
(13)
Бастапқы моменттен 30 минут өткеннен кейін судың температурасын табамыз. Бұл үшін мәнін (13) теңдеуіне қоямыз.
немесе
Есептеулер жүргізейік.
Сонда
Енді қанша уақыттан кейін резевуардағ судың температурасы 200 - қа тең болатынын табамыз. (3) қатынасына мәнін қойып, мынаны аламыз.
немесе
бұдан
немесе
яғни
Есеп 4. Сұйықта айналатын диск үйкеліс әсерінен өзінің бұрыштық жылдамдығын баяулатады және үйкеліс күші бұрыштық жылдамдыққа пропорционал. Табу керек:
1) егер болғанда ол 12 радс жылдамдығымен, ал болғанда оның жылдамдығы 8 радс болса, моментіндегі дискінің айналу жылдамдығын;
2) дискінің айналу жылдамдығы 1 радс - қа тең болғандағы уақыт моментін.
Шешуі: уақыт моментіндегі дискінің айналуының бұрыштық жылдамдығы болсын, онда үйкеліс күшінің әсерінен дискінің айналуының баяулауы болады. Шартқа сәйкес, , мұндағы - пропорцио -налдық коэффициенті. Айнымалыларды ажыратып, интегралдап, мынаны аламыз.
бұдан
немесе (14)
болғанда радс бастапқы шартын пайдаланып, С1 тұрақты шамасын табамыз. Бұл мәндерді (14) теңдігіне қойып, келесіге ие боламыз яғни Осылайша,
(15)
Келесі берілгендер бойынша k -ның сандық мәнін табамыз:
және радс. Бұл мәндерді (15) теңдігіне қойып:
бұдан
k - ның мәнін (2) теңдігіне қойып, келесіні аламыз:
(16)
уақыт моментіндегі дискінің айналу жылдамдығын табамыз. Ол үшін (16) теңдігіне мәнін қоямыз [10]:
(радс)
Қандай уақыт моментінде диск 1 радс жылдамдығымен айналатынын анықтайық. мәнін (***) қатынасына қоямыз, одан
2.4 Дифференциалдық теңдеулер арқылы пәнаралық байланыстарды жүзеге асыру
Ғылымның дамып келе жатқан салаларының бірі - дифференциалдық теңдеу теориясын толығынан түсінуге, игеруге қажетті білімділік пен машықтықты бойға дарытатын тиянықты ілгері білімдер көлемін анықтау және ғылым мен техниканың дамуына сай дифференциалдық теңдеулер теориясының өрбуінің бағыттаушы идеялары мен тенденцияларын анықтау қажет болады.
Дифференциалдық теңдеулерді оқыту мазмұны мектептерде математиканы оқытуда қосымша, дарынды оқушыларымен жұмыс ретінде қарастыруға болады.
Дифференциалдық теңдеулер теориясының мазмұны абстрактылы - теориялық ойлауды, шығамашылық қабілетті жетілдіруді керек етеді және соған жетелейді. Жетілдіре оқытудың маңызды құрамының бірі ретінде оқушылардың танымдық, шығармашылық ойлау қабілетін жандандыру саналады. Сонымен қатар игерілетін материалдың математикалық қабілетін қарқынды дамытатын, оларға терең тәрбиелік ықпалын тигізетін ұстанымдардың да маңызы айырықша.
Дифференциалдық теңдеулердің табиғи және өміршең есептерді шығаруда пайдаланатын ғажайып мүмкіндіктері оның сырттай қарағанда салқын,қызықсыз ғылым сияқты көрінетіндігін жеңеді. Ол оқушылардың математикаға деген ынтасын арттылып, қызығуға, ізденіске, біліммен сусындауға жетелейді. Сондықтан оқушыларды қызықтыра оқытып, оларды қолдай отыра, өз бетінше білім жинақтауға құштар ету оқыту үрдісінің барлық кезеңін жандандыруға әкеліп соғады.
Дифференциалдық теңдеулерге келтіретін есептерді шығару үшін оның теориясы мен әдістерін, көршілес пәндердің негізгі заңының, теориялық пайымдауларын қисынды теориялық және практикалық бағытта түсіне отырып пайдалану керек.
Дүниетанымдық көзқарасты қалыптастыруда дифференциалдық теңдеулер теориясының маңызы зор. Себебі оның ұғымдарын, формулаларын, әдістерін, алгоритмдерін механиктер, биологтар, экономистер жэне басқа да ғылым саласының мамандары жиі қолданылады. Сондықтан дифференциялдық теңдеулер пәні теориялық маңыздылығымен бірге қолданбалы математика саласына да жатады жэне ол жаратылыстану ғылымы мен техниканың көптеген мәселелерін зерттейді. Сол себептен мектептегі дарынды оқушылардың білімінің деңгейін кеңейту мақсатында дифференциалдық теңдеулерді математикадан факультатив сабақтарында қолдануға болады. Өйткені механиканың, астрономияның, физиканың, химияның, биологияның, космостық зерттеудің көптеген мәселелері дифференцалдық теңдеу қүрып, оның шешімдерін табуға тіреледі. Дифференциалдық теңдеулерді оқыту кезінде, инженер - техникалық, химия -биологиялық, ақпараттық есептеу, физика және де басқа саладағы есептерді шығару барысында орнығатын біліктілік пен әрекет тәсілдері негізінде пәнаралық жаңа байланыстар қалыптасады. Ол есептердің шарттарын жүйелі түсіну, алға қойған мақсатты анықтап, оны жүзеге асыру үшін жоспар қүру, жоспарды орындау үшін әдістер тану, шешу барысын кезендерге бөліп жүргізу, алған нәтижені зерттеп -- сұрыптау, есептің жауабын тауып дәл тұжырым жасау үрдісі әртүрлі пәндерге сай өз өзгешіліктері болғанымен, ортақ қисынға, заңдылыққа бағынады. Ол заңдылықты пайдалану пәнаралық қатынасты жандандыра түседі. Дифференциалдық теңдеулер курсы оқушылардың белгілі бір математикалық мәдениетін қалыптастырады және олардың ғылыми, әсіресе математиканың практикалық және қолданбалы бағыттарын түсінуінің маңызы зор.Дифференциалдық теңдеудің көмегімен жаратылыстану ғылымдарындағы ең негізгі проблеманың бірі - өзімізді қоршап түрған табиғат құбылыстарының кейбір жасырын сырының қалай ашылғаның, оның өмірде қалай пайдаланатынын көрсетуге болады.
Соның бір мысалы дифференциалдық теңдеуді популяция (мекендес өсіп - өну) санының қарапайым моделі ретінде көрсету жатады. Популяция саны қоршаған ортаны қорғаудың, яғни биоэкологияның ең маңызды мәселесі болып табылады. Популяцияның математикалық моделін қүру биологиялық түрдің сан жағынан өсуінің жылдамдығын анықтайтын есеп ретінде қарастырылады. Осындай математикалық моделдер көптеген физикалық, химиялық, биологиялық т.б. процесстерді айқындауға мүмкіндік береді. Дифференциалдық теңдеулер курсын білген оқушы дүниенің біртұтас екендігіне көзін жеткізеді және де оқушылардың алдыңғы ең бір маңызды қадамды, өз мамандығын тандауға ықпалын тигізеді, өйткенідифференциалдық теңдеулердің пәнаралық байланысы өте зор.
Дифференциалдық теңдеулердің басқа пәндермен байланысы жоғарыда атап өтілген байланыс түрлерін сұрыптай сипаттауға, әрқайсысының ішкі мазмұның, мәнін ашып, оларды жүзеге асырудың обьективтік заңдылықтарын тиімді пайдалануға, сол арқылы оқушылардың дүниетанымдық көзқарасын кеңейтіп, білімін терендетуге ықпалын тигізеді [11].
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫ
1.1 Туындының физика және геометрия саласында қолданылуы
Практика көрсеткендей, бастапқы математикалық талдау курсын оқыған кезде, студенттер туындыларды өмірлік шындықпен ешнәрсе ұғымсыз дерексіз функция ретінде қабылдайды. Әрине, олай емес. Мектепті бітіргеннен кейін болашақ студенттің туынды туралы нақты физикалық параметрлер арасындағы қатынасты білдіретін функция ретінде ұғымы қалыптасқаны өте маңызды. Сонымен қатар, көптеген студенттер туындының геометриялық және физикалық маңыздылығын іске асырмай, шаблон бойынша ұсынылған тапсырмаларды сәтті шешеді. Сондықтан осы материалмен қарапайым дифференциалдық теңдеулерді оқу курсын бастау керек. Сондай-ақ, функцияның шегі туралы тұжырымдамасы бар мәселелер бар екенін байқадық. Студент осы терминнің мәнін түсінбей-ақ, функцияның шегін дербес шеше алады. Бірақ шешімді табысты іздеу үшін белгілі формулалар мен әдістерді қолдану мүмкіндігі аз - бұл шексіз жуықтау ұғымының мәнін сезіну маңызды. Сол себепті, оқушылар туындының анықтамасымен таныс болғандықтан, оның физикалық мағынасын түсіндіреміз, сонымен бірге, оны тікелей енгізбей-ақ, функцияның шегі туралы идеяларды қалыптастырамыз.
Туынды жалпы анықтамасын еске түсіру үшін мағынасын қарастырайық: Туынды - дифференциалдық есептеулердің аргументі өзгерген кездегі функциясының өзгеру жылдамдығымен сипатталатын негізгі түсінігі. Кез келген үшін қатынасының шегі арқылы анықталатын функция Туынды деп аталады және түрінде белгіленеді. Туындысы бар функция үзіліссіз. Егер функциясының туындысы бар болса, онда ол сол нүктеде дифференциалданатын деп аталады.
Түзу қозғалыстың бірқалыпты емес қозғалыс жылдамдығын есептеу есебі туындының тұжырымдамасына әкеледі.
Нүктенің қозғалыс жылдамдығы туралы есеп.
Мәселе ось ретінде қабылдайтын түзу сызық бойымен нүктесі жылжиды делік (3-суретке сәйкес). Әрбір уақыт белгілі бір қашықтыққа сәйкес келеді. Сондықтан қозғалыс нүктесінің абсциссасы уақыттың функциясы деп айтуға болады:
.
3-сурет. Нүктенің түзу сызықты қозғалысы
Қозғалыс теңдеуі деп аталатын бұл теңдеу нүктенің қозғалыс заңын білдіреді. Қозғалыс заңын біле отырып, уақыттың кез келген нүктесіне қозғалыс нүктесінің жылдамдығын таба аласыз. Қозғалыстағы нүкте бір сәтте ұстанымына ие болсын, тең. уақыт сәтінде нүкте орыны алды, мұндағы . Осыдан . Сәйкесінше, уақытында нүтесінің орын ауыстыруы тең болады:
Егер нүктесі уақыт аралығында бір бағытта жүрсе, онда уақытында нүктемен жүріп өткен жолдың сандық мәні болады. қатынасы уақыт аралығында агрументінің орташа өзгеру жылдамдығын сипаттайды, әдетте нүктенің орташа қозғалыс жылдамдығы деп аталады. Егер енді уақыт аралығын одан сайын төмендеде бастаса, қатынасы кейбір сандық мәнге ұмтылады- шегке. ұмтылған кезде, нақты мәнге ұмытылады - уақыт сәтіндегі нүктенің қозғалыс жылдамдығына. Оны деп белгілейік. Сонымен болған кезде,
, немесе
мұндағы жазуы болғанда қатынасы ұмтылатын шектік мәнді білдіреді.
Алынған өрнек айнымалы бойынша функциясының туындысын ұсынады, яғни
Осылай түзусызықты қозғалыстың жылдамдығы уақыт бойынша жолдың туындысына тең болады.
Негізінде туынды бізге функцияның өзгеру сипатын зерттеуге мүмкіндік береді. Модульдің туындысы жоғары болған сайын, агрументі өзгерген кезде функциясы қаттырақ өзгереді. Егер туынды оң шама болса, онда агрументі өскен сайын функциясы да өседі. Егер туынды теріс шама болса, онда аргумен өскен сайын функцияның төмендегенін білдіреді.
Физикалық мағынамен қоса туындының жанама мағынасымен байланысқан геометриялық мағынасы да бар.
Алгебраның мектеп оқулығында және бастапты талдауда жанама келесі тапқырлы тәсілмен еңгізіледі: нүктесінде функциясының графигіна жанаманы түзумен түсіндіреді, онымен нүктесінің кейбір қиылысында функциясының графигі практикалық бірлеседі. Практикалық берлеседі көмескі сәйкестігі математикалық қатаң болып табылмайды және түсінкті талап етеді.
орныққан нүктесі берілген үзіліссіз қисық болсын (4 -суретке сәйкес).
4-сурет. Қисыққа жанама
нүктесі арқылы өтетін қиылысын қарастырайық. нүктесі қисық бойымен шектеусіз нүктесіне жақындайды алады, қиылысы кейбір шекті орнына ұмтылады, яғни бұрышы болғанда. Сонда шекті түзу жанама деп аталады. Сонымен берілген нүктесінде үздіксіз қисыққа берілген жанама нүктесі арқылы өтетін қиылысының шекті орны деп аталады, онда қиылысудың екінші нүктесі біріншісіне қисық бойымен шексіз жақындайды. Егер болғанда қиылысы шекті орынға ие болмаса, онда нүктесіндегі берілген жолақта жанама ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz