МАГНИТ ЖӘНЕ ЭЛЕКТР ӨРІСІНДЕГІ ЗАРЯДТАЛҒАН БӨЛШЕКТЕРДІҢ ҚОЗҒАЛЫСЫ

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 54 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

Қорқыт Ата атындағы Қызылорда университеті

Едігеев Нұрислам Темірғалиұлы

МАГНИТ ЖӘНЕ ЭЛЕКТР ӨРІСІНДЕГІ ЗАРЯДТАЛҒАН БӨЛШЕКТЕРДІҢ ҚОЗҒАЛЫСЫ

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

6В01582 (5В011000) - Физика

Қызылорда 2021

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігіҚорқыт Ата атындағы Қызылорда университеті«Қорғауға жіберілді»Кафедра меңгерушісіЛ. С. КаинбаеваДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫСТақырыбы:Магнит және электр өрісіндегі зарядталған бөлшектердің қозғалысы6В01582 (5В011000) - Физика мамандығыОрындаған Н. Т. ЕдігеевҒылыми жетекшісіф. -м. ғ. к., проф. Н. АбдрахмановҚызылорда 2021:

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

Қорқыт Ата атындағы Қызылорда университеті

«Қорғауға жіберілді»

Кафедра меңгерушісі

Л. С. Каинбаева

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Магнит және электр өрісіндегі зарядталған бөлшектердің қозғалысы

6В01582 (5В011000) - Физика мамандығы

Орындаған Н. Т. Едігеев

Ғылыми жетекшісі

ф. -м. ғ. к., проф. Н. Абдрахманов

Қызылорда 2021

МАЗМҰНЫ

Кіріспе

1-тарау. ЭЛЕКТР ЖӘНЕ МАГНИТ ӨРІСІНДЕГІ ЗАРЯДТАЛҒАН БӨЛШЕКТЕР МЕН ӨТКІЗГІШТЕР ҚОЗҒАЛЫСЫ

Зарядталған бөлшекке әсер ететін күш. Қозғалыс теңдеуі
Электр және магнит өрісіндегі электрондар қозғалысы
Зарядталған бөлшектерге магнит өрісінің әсері
Электронның біртекті және біртекті емес магнит өрісіндегі қозғалысы
Лоренц күші. Магнит өрісінде тоғы бар өткізгіштің қозғалуы
Магнит өрісінің техникада қолданылуы

2-ТАРАУ. ЭЛЕКТР ЖӘНЕ МАГНИТ ӨРІСІНДЕГІ ЗАРЯДТАЛҒАН БӨЛШЕКТЕРДІҢ ҚОЗҒАЛЫСЫН ОҚЫТУДЫҢ МАҢЫЗЫ

Электр және магнит өрісіндегі зарядталған бөлшектердің қозғалысын оқыту.

Электр және магнит өрісіне қатысты жасалатын зертханалық жұмыстар.

Лоренц күші тақырыбын талдау.
Электр және магнит өрісіндегі зарядталған бөлшектердің қозғалысын есептер шығару арқылы қарастыру.

3. Қорытынды

4. Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

Кіріспе

Физика - материя козғалысының жалпы және қарапайым формаларын, қасиеттері мен заңдылықтарын зерттейді. Ол осы заманғы жаратылыстануда жетекші роль атқарады. Мұның өзі физикалық заңдардың, теориялардың және зерттеу әдістерінің барлық жаратылыстану ғылымдары үшін шешуші мәні барлығымен байланысты.

Қазіргі заманғы физика ғылымы жаратылыстану білімі мен ғылыми-техникалық прогресстің іргетасы болып табылады. Электротехника, автоматика, радиотелеметрия және техниканың басқа да көптеген салалары физиканың сәйкес бөлімдерінен дамып өрістеді. Ғылым мен техниканың ары қарай дамуы физика жетістіктерінің техника мен өндірістің түрлі салаларына одан әрі неғұрлым терең енуіне алып келеді.

Жаратылыстану үшін және техниканы дамыту үшін физиканың мәні арта беруіне байланысты, физиканы білу қазіргі коғамның әрбір адамына қажет бола түсуде.

Адамның табиғи ақыл-ой қабілеті оның дамуының қуатты қозғаушы күші болып табылады. Білім берудің негізгі мақсаты - жеке тұлғаның ақыл-ой қабілетінің көзін ашу және оның үздіксіз дамуы мен жетілуін камтамасыз ету. Физиканы оқытудың бүкіл оқу-әдістемелік жүйесі осы негізгі мақсатты жүзеге асыруға қызмет етуі керек.

Жұмыстың өзектілігі:

Мектептік физикалық білім берудің нақты мақсаттары оқушылардың ақыл-ойын, олардың танымдық және шығармашылық қабілеттерін дамыту, физиканың қазіргі қоғам өміріндегі және жалпы адамзаттық мәдениеттің дамуындағы рөлі жайлы түсініктерін қалыптастыру, табиғатқа ғылыми көзқарасты, адамның дүниеге қатынасына жеке тұлғаның құндылық жүйесіне, білімді түрлі проблемаларды шешуге шығармашылықты қолдану біліктілігіне алғы шарт болатын әлеуметтік мәні бар бағдармаларды қалыптастыру болып табылады.

Зерттеудің мақсаты: Зарядталған бөлшектердің пайда болу физикасын, осы пайда болған бөлшектің электр және магнит өрістерімен әсерлесу процесін түсіндіру. Сонымен қатар, электр және магнит өрістері зарядталған бөлшекке әсер еткендегі бөлшек қозғалысын анықтау.

Жоғарыда келтірілген мақсаттар физикалық білімнің стандартына , мазмұнына және құрылымына нақты талаптар кояды. Бұл мақсаттарға жету физиканы оқытудың базалық деңгейінде бірқатар мәселелерді шешу арқылы қамтамасыз етіледі.

Физиканы оқыту әдістемесінің ең басты мақсат және міндеттерін қысқаша былай жинақтауға болады:

оқушылардың айналадағы табиғи құбылыстар мен - материалистік түрғыдан дұрыс түсінуі үшін, олардыңөмір мен техникада колданылуын білуі үшін, мен дағдыларын калыптастыру үшін, физикалық шамалармен өлшемдерді меңгеру үшін мектепте физиканы оқыту қажет;
физиканы оқыту процессінде оқушыларды табиғат құбылыстарынбақылай білуге, оларды талдауға, олардың заңдылықтарын түсініп, практикада қолдана білу ебдейліктеріне үйретеміз, сөйтіп жасжеткіншектерді материалистік ойлауға дағдыландырамыз;
физиканы оқыту процессі нәтижелі болу үшін оқушылардың логикалықсанасы мен диалектикалық ойлауын дамыту мақсатында, әр түрлі әдіс-тәсілдерді кеңінен қолданамыз, оқу материалын және көрнекілік түрде түсіндіреміз.

Физиканы оқыту үрдісінде оқушыларды физиканың өнеркәсіп пен ауылшаруашылығындағы, транспорт пен медицинадағы аса маңызды қолданыстарымен таныстыруға, автоматика туралы түсінік беруге, практикада кеңінен қолданылатын өлшеу приборларымен және құрал-жабдықтарымен жұмыс істеу дағдыларын қалыптастыруға мүмкіндік туды.

Сондықтан физиканы оқыту - окушыларды ғылыми-таным әдістерімен қаруландыруға, олардың жасына және білім деңгейіне сәйкес табиғи құбылыстар мен технологиялық процестерді өз бетінше зерттей алатындай жоғары интеллектуалдық және практикалық біліктіліктерін дамытуға бағдарлануы тиіс.

Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі тараудан, қорытындыдан және әдебиеттер тізімінен тұрады. Кіріспеде тақырыптың ауқымдылығы мен маңыздылығы қарастырылады. Ал бірінші тарауда электр және магнит өрісіндегі зарядталған бөлшектердің қозғалысы мен оларға әсері қарастырылса, екінші тарауда электр және магнит өрісіндегі зарядталған бөлшектердің қозғалысын оқытудың маңыздылығы қарастырылады.

1-ТАРАУ. ЭЛЕКТР ЖӘНЕ МАГНИТ ӨРІСІНДЕГІ ЗАРЯДТАЛҒАН БӨЛШЕКТЕР МЕН ӨТКІЗГІШТЕР ҚОЗҒАЛЫСЫ

1. 1. Зарядталған бөлшекке әсер етуші күш. Қозғалыс теңдеуі

Кеңістіктің қандайда бір облысында кернеулігі Е электр өрісі және кернеулігі Н магнит өрісі бар болсын. Жалпы жағдайда Е және Н векторлары кординат және уақыт функциясы болады. Сонымен бірге қарастырылып отырған облыста зарядталған бөлшек болсын. Тәжірибеден байқалатыны, оған әсер ететін $\overrightarrow{F}\ \$ күш келесі формула түрінде өрнектеледі.

$F = eE + \frac{e}{c}\left\lbrack \overrightarrow{v}\ \overrightarrow{H} \right\rbrack$ (1)

Мұндағы е- бөлшектің зарядының шамасы, v- оның жылдамдығы, с- жарық жылдамдығы.

Келтірілген формула нақты бір белгі жағдай үшін орынды басып табылады. Айталық, бөлшек өлшемі айтарлықтай кіші, оны нүктелік заряд деп есептейміз. Тек осындай жағдайда ғана бөлшек көлемі бойынша таралған заряд пайда ететін қосымша күшті ескермеуге болады. Болашақта біз бөлшектің өзінің меншікті магниттік моменті жоқ деп ұйгарамыз. Сонымен бірге (1. 1) формулада сәулелік үйкеліс күші ескерілмейді.

Берілген өрістегі бөлшек қозғалысы қарапайым түрде келесі түрде жазылады.

$\frac{d}{dt}\left( m\overrightarrow{\vartheta} \right) = \overrightarrow{F}$ (2)

Бұл жерде біз бөлшек массасын тұрақты деп есептейміз. Онда қозғалыс жылдамдығы жарық жылдамдығынан көп кіші болады. Масса m шамасы тұрақты болғанда (1. 2) келесі тұрақтылықты қабылдайды.

$m\frac{d\overrightarrow{\vartheta}}{dt} = e\overrightarrow{E} + \frac{e}{c\ }\left\lbrack \overrightarrow{\vartheta}\overrightarrow{H} \right\rbrack$ (3)

Электромагниттік өрістегі қозғалыстағы бөлшек үшін энергияның сақталу заңын жазайық. Магнит өрісі тарапынан бөлшекке әсер етуші күш, барлық уақытта бөлшек жылдамдығына перпендикуляр бағытталған, бұл жұмысты пайла етілмейді. Сондықтан бөлшек кинетикалық энегиясының өзгерісі электр өрісі арқылы ғана орындалады:

$\left( \frac{m\vartheta^{2}}{2} \right) _{2} - \left( \frac{m\vartheta^{2}}{2} \right) _{1} = \int_{1}^{2}{e\overrightarrow{E}dS}$ (4)

Мұнда интеграл тек бөлшек траекториясы бойымен алынады. Егер электр өрісі потенцилды болса, уақытқа байланыссыз, онда (4) өрнектің оң бөлігі е( $U_{1 -}U_{2}$ ) шамасында тең болады. Бастапқы кезде тыныштықта болған бөлшек үшін (4) өрнектен

$\frac{m\vartheta^{2}}{2} = e\left( U_{1} - U_{2} \right)$ (5)

Сонымен зарядты бөлшектің статистикалық потенциальды өрістегі қозғалуы кезінде кинетикалық энергия шамасы потециал айырымы арқылы анықталады.

Зарядталған бөлшектің электр өрісіндегі қозғалысы тартылыс өрісіндегі дененің қозғалыс заңдылығына ұқсас.

Зарядталған бөлшекке әсер етуші күш шамасы е $\overrightarrow{Е}$ (е-заряд, $\overrightarrow{Е}$ -кернеулік) . Осы әсер етуші күш әсерінен, массасы $m_{i}$ болатын оң ион, шамасы $\frac{е\overrightarrow{Е}}{m_{i}}$ болатын вертикаль ось бойымен жоғары бағытталған үдеу алады.

Ал электронның үдеу бағыты, төмен қарай бағытталғанда да сан жағынан алғанда $\frac{e\overrightarrow{E}}{m_{e}}$ тең ( $m_{e}$ -электрон массасы) .

1-сурет

Айталық, электр өрісі у осі бойымен ал бөлшектің бастапқы жылдамдығы $\vartheta_{0}$ , х осі бойымен бағытталсын. Бұл жағдайда бөлшектің х осі бойымен бағытымен қозғалысы бірқалыпты, үдемелі болады. Уақыт өтуіне байланысты бөлшектің координатасы өзгереді.

$x = \vartheta_{0}t$

$y = \frac{eE}{2m}. t^{2}$ немесе $y = \frac{eE}{2m\vartheta_{0}2}t^{2}$ (6)

Бұл жағдайда біз парабола теңдеуін алып отырамыз.

Зарядталған бөлшектің кинематикалық энергиясы $\ \frac{1}{2}m\vartheta^{2}$ тең, ол қозғалыс кезінде электр өрісі жасаған жұмысы нәтижесі әсерінен өзгереді. Бұл жұмыстың шамасы бөлшекке әсер ететін күштің, күш әсер ету бағыты бойындағы бөлшектің жүріп өткен қашықтық шамасына тең.

$A = eE(\mathsf{U}_{2} - \mathsf{U}_{1})$

Сонда

$\frac{{m\vartheta}_{2}^{2}}{2} - \frac{{m\vartheta}_{1}^{2}}{2} = eE(\mathsf{U}_{2} - \mathsf{U}_{1})$ (7)

$\vartheta_{1}\ және{\ \vartheta}_{2}$ - бөлшектің $М_{1}\ және{\ М}_{2}$ нүктелеріндегі жылдамдық шамасы. Бұдан біздің байқайтынымыз Е( $u_{1} - u_{2}$ ) шамасы $М_{1}\ және\ М_{2\ }$ нүктелеріндегі потенциалдар айырмасы. Сонда (1) формуланың сол жағында заряд шамасының потенциалдар айырмасына көбейтіндісі келіп шығады.

Егер бөлшек бастапқы кезде тыныштық күйде болса, онда оның қозғалыс траекториясының кез-келген нүктесіндегі кинеметикалық энергия шамасы e $\mathsf{U}$ тең болады (U-потенциалдар айырмасы) .

U шамасын практикалық өлшем бірлік вольт (В) арқылы өрнектесек, онда кинематикалық энергия шамасы мен потенциал айырмасы арсындағы байланысты келесі өрнек түрінде бере аламыз .

$\frac{{m\vartheta}^{2}}{2} = Ze\frac{U}{300} = Z \bullet U \bullet 1. 6 \bullet 10^{- 12}$ (8)

Бұл (1. 8) өрнекпен байқалатыны, бір зарядты бөлшек, потенциалдар айырмасы 1В қашықтықта жүріп өткенде ${1, 6 \bullet 10}^{- 12}$ эрг энергия шамасына ие болады.

Энергияның бүл өлшем бірлігі, атом және ядролық физикада, физика плазмасында кең түрде қолданылады. Бұл бірлік электронвольт (эв) деген атауға ие. 1эв= ${1, 6 \bullet 10}^{12}$ эрг .

Энергия шамасы 1эв тең электрон ${6 \bullet 10}^{7}$ см/c шамасында жылдамдыққа ие болады, ал сутегі атомның ионы (протон), осындай энергия шамасында ${\ \ 1, 4 \bullet 10}^{6}$ см/c жылдамдықпен қозғалады.

Енді тез өзгеретін электр өрісіндегі электрон және ион қозғалысын қарастырайық.

Айталық кеңістікте электр өрісінің кернеулігі уақытқа байланысты өзгеретін болсын.

2-сурет

Е шамасынан уақытқа байланысты суретте косинусоида түрінде берілген жиілік v, тербеліс периоды Т $v = \frac{1}{T}$

Дөңгелектік жиілік w= $\frac{2\pi}{T}$ суретте көрсетілген косинусоида теңдеуін келесі түрде жазуға болады.

$E = E_{0}\cos\frac{2\pi t}{T} = E_{0}cos\omega t$ (9)

1. 2 Электр және магнит өрісіндегі электрондар қозғалысы

Электр тогы - электр қозғаушы күштің әсерінен зарядтардың бағытталған қозғалысы. Зарядталған бөлшектер өткізгіштерде - электрондар, электролиттерде - иондар (катиондар мен аниондар), газда -иондар мен электрондар, арнайы жағдайдағы вакуумда- электрондар, жартылай өткізгіштерде - электрондар мен кемтіктер болып табылады.

Ағын сызықтары деп бойымен оң зарядталған бөлшектер қозғалатын сызықтарды айтады. Егер тогы бар өткізгіштің ішінен ойша бүйір беті ағын сызықтарынан тұратын түтікше бөліп алсақ, онда зарядталған бөлшектер қозғалған кезде түтікшенің бүйір бетін қиып өтпейтін болады. Мұндай түтікше ағын түтікшесі деп аталады (3-сурет) . Изоляторда орналасқан металл өткізгіштің беті ағын түтікшелерінің бірі. Электр тогын сан тұрғысынан сипаттау үшін ток тығыздығы және ток күші деген негізгі екі шама пайдаланылады.

Бір өлшем уақытта ағын сызығына перпендикулияр бір өлшем беттен өтетін зарядтың шамасын ток тығыздығы деп атайды. Ток тығыздығының неге тәуелді екенін анықтайық. Өткізгіштің ішінен биіктігі бөлшектің реттелген қозғалысының жылдамдығы $\vartheta$ -ға тең және табаны S=1 әрі $\vartheta$ -ға перпендикулияр болатын тік параллелепипед бөліп алайық. Бір өлшем уақытта S табаны арқылы өтетін бөлшектердің саны параллелепипедтің ішінде болатын бөлшектер санына тең болады.

n - бір өлшем көлемдегі бөлшек саны, е - бір бөлшектің (мысалы, электронның) заряды болсын дейік. Сонда бөлшектер таситын заряд пе $\vartheta$ болады. Токтың тығыздығы

$\overrightarrow{j}$ =ne $\overrightarrow{\vartheta}$ (10)

п және е скаляр шамалар, ал жылдамдық вектор болатындықтан, ток тығыздығының векторын енгізуге болады: $\overrightarrow{j}$ =ne $\overrightarrow{\vartheta}$ . Ток тығыздығының векторы өткізгіштің берілген нүктесіндегі электр тогын анықтайды. Егер өткізгіштің ішінен шексіз кішкене dS ауданы бөлініп алынатын болса, онда одан dt уақытта өтетін зарядтің шамасы мынаған тең:

$dq = j_{n}dSdt$ (11)

мұндағы $j_{n} - \overrightarrow{j}$ -дің dS-тің нормаліне түсірілген проекциясы.

Бір өлшем уақытта өткізгіштің толық қимасынан өтетін зарядтың шамасын ток күші немесе жай ғана ток I деп атайды:

$I = \frac{dq}{dt}$ (12)

Өткізгіштің әрбір нүктесіндегі ток тығыздығның векторын біле отырып, бұл арқылы ток күшін өрнектеуге болады:

$I = \int_{s}^{}{j_{n}dS}$ (13)

мұндағы интегралдау өткізгіштің кез-келген қимасының түгелдей S беті бойынша жүргізіледі. Бірліктердің халықаралық жүйесінде ток күші ампермен (А) өлшенеді.

Егер токтың тығыздығы мен ток күші уақыт бойынша өзгермейтін болса, онда өткізгіштен тұрақты немесе станционар ток өтеді. Егер ток күші тұрақты болса, онда біз айнымалы туралы айтамыз. Электротехникада кеңінен пайдаланылатын айнымалы-синусоидалы ток айнымалы токтың дербес жағдайы болып табылады.

Енді біртекті электр өрісіндегі электрон қозғалысын қарастырайық. Вакумдағы электрондар ағынының қозғалысына негізделген электрондық приборлар электрондық техника саласында маңызды рөл атқарады. Вакуумда электр тогының жүру процесінің ерекшеліктерін қарастырайық. Ол үшін геометриялық формасы барынша қарапайым электродтармен ғана шектеліп, солардың негізінде вакуумдағы электрондар қозғалысының жалпы заңдылықтарын анықтаймыз.

Кернеулігі $\overrightarrow{Е\ }$ элетр өрісінде электронға $\overrightarrow{Е\ }$ векторына қарама-қарсы бағытталған $\overrightarrow{F}$ =-e $\overrightarrow{E}$ күш әсер етеді. Индукциясы $\overrightarrow{В}$ магнит өрісінде қозғалған электронға F=-e[ $\overrightarrow{\vartheta}$ B] Лоренц күші әсер етеді, мұндағы [ $\overrightarrow{\vartheta}\ \overrightarrow{В}$ ] - $\overrightarrow{\vartheta}$ жылдамдық векторы мен $\overrightarrow{В\ }$ индукция векторының векторлық көбейтіндісі. Сонда электр және магнит өрісі бар болғанда электронға әсер ететін күш

$\overrightarrow{F}$ = e $\overrightarrow{E}$ - e[ $\overrightarrow{\vartheta}\ \overrightarrow{В}$ ] (14)

Егер вакуумдағы электрон қозғалыс бағыты мен шамасы өзгеретіндей соқтығысқа ұшырамаған болса, онда (1. 14) теңдеуінен электронның қозғалыс теңдеуін шығарып алуға болады:

m $\ \frac{d\overrightarrow{\vartheta}}{dt} = - e\overrightarrow{E} - e\lbrack\overrightarrow{\vartheta}\ \overrightarrow{В}\rbrack\$ (15)

Егер алғы шарттар белгілі болса, онда бұл теңдеу арқылы электрон қозғалысын толық өрнектеп, оның кез-келген нүктедегі жылдамдығы мен траекториясын анықтауға болады.

Ондай алғы шарттар: координаталар, жолдың бастапқы нүктесіндегі жылдамдықтың шамасы мен бағыты, электр өрісі кернеулігі $\overrightarrow{Е\ }$ және магниттік индукция $\overrightarrow{В\ }$ векторлары координаталарға байланысты функция ретінде берілген өріс бейнесі. Яғни, өрістің бейнесін анықтау - әр түрлі конфигурациялы электродтар аралығындағы кеңістікте жекелеген электрондардың қозғалысы жайлы мәселені шешудің бірінші сатысы болып табылады. Жеке электронның немесе тығыздығы аз электрондар ағынының қозғалысын қарастырғанда электр өрісінің кернеулігі мен потенциалының таралу бейнесін алу үшін Лаплас теңдеуін пайдалануға болады:

$\mathrm{\Delta}U = 0$ (16)

Электрондар немесе басқа зарядталған бөлшектер электродтар аралығындағы кеңістікте айтарлықтай көп мөлшерде болса, онда олар электр өрісінің бейнесіне едәуір әсер етеді. Ондай жағдайда есептеу үшін Пуассон теңдеуін пайдалану қажет:

$\mathrm{\Delta}U = - \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$ (17)

(мұндағы $\rho\ көлемдік\$ зарядтың тығыздығы) . Алайда, Пуассон және Лаплас теңдеулерінің шешуін тек қарапайым электродтар конфигурациясы үшін ғана табуға болады. Көптеген жағдайларда өрістің бейнесін анықтау үшін тәжірибе немесе жуықтап есептеу әдістері қолданылады. Магнит өрісінің бейнесін де аналитикалық түрде тек қарапайым жағдайлар үшін ғана алуға болады. Электр және магнит өрістерінің электронға әсерінің тағы бір аса маңызды ерекшелігін көрсету үшін (15) теңдеуіне қайта оралайық. Бұл теңдеудің екі жағын да жылдамдыққа скалярлы түрде көбейтсек:

$\frac{d}{dt}\left( \frac{m\vartheta^{2}}{2} \right) = - e\overrightarrow{\vartheta}\overrightarrow{E}$ (18)

Лоренц күшінің электронның қозғалыс бағытына перпендикуляр болуына байланысты, оң жақтағы екінші мүше нөлге айналып кетеді. Қорыта айтатын болсақ, магнит өрісінің әсерінен электрон жылдамдығының бағыты ғана өзгеріп, шамасының тұрақты болып қалатынын көреміз.

(18) теңдеуіндегі айнымалыларды ( $\vartheta dt = ds$ деп ауыстырып ) бөлсек және электронның бастапқы энергиясы

$Е_{0} = \frac{{m\vartheta}_{0}^{2}}{2}$ (19)

екендігін ескере отырып теңдеуді интегралдасақ, біз еркін электронның энергиясы мен U потенциалдар айырымының арасындағы байланысты көрсететін бұрын қолданылып жүрген, белгілі теңдеуге ораламыз:

$\frac{{m\vartheta}^{2}}{2} = \frac{{m\vartheta}_{0}^{2}}{2} + eU$ (20)

Егер электронның бастапқы энергиясын қандай да бір потенциалдар айырымы $U_{0}$ арқылы сипаттасақ, онда U потенциалдар айырымынан өткен электронның жылдамдығы:

$\vartheta = \sqrt{\frac{2e(U + U_{0}) }{m}}$ (21)

Келтірілген барлық теңдеулердегі масса релятивистік масса болуы керек, бірақ есептеулерге қарағанда электрон бірнеше ондаған киловольт потенциалдар айырымы арқылы үдетілген жағдайда ғана релятивистік эффект ескерерліктей шамада болады. Сондықтан да алдағы уақытта электронның массасын тұрақты деп есептей береміз. Үлкен көлемдік заряд болмаған кездегі, электр және магнит өрістеріндегі электрон қозғалысының кейбір жеке жағдайларын қарастырайық. Өріс біртекті өріс деп санайық. Мұндай өрісті практикалық жағдайда жазық А және В электродтарының аралығында, өрістің шеткі бөлігінің бұзылуы ескерілмейтіндей, пластинкалардың шетінен жеткілікті қашықтықта алуға болады. Тікбұрышты координаталар системасының осьтерін оң зарядталған электрод хОz жазықтығында, екіншісі - одан d қашықтықта орналасатындай етіп бағыттаймыз (4-сурет) . Мұндай жағдайда өріс бейнесін табу оңайырақ болады, өйткені

$\frac{d^{2}U}{dy^{2}} = 0$ (22)