Күрделі шартты есептер

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 25 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..2

І. Қарапайым шартты есептер

Концентрация мен процентке қатысты есептерді шешу
әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4

1.2 Қозғалысқа арналған есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .9

1.3 Айнымалылар саны теңдеулер санынан
көп болатын есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16

ІІ. Күрделі шартты есептер

2.1 Теңсіздіктер көмегімен шешілетін есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19

2.2 Бүтін белгісізі бар есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...23

2.3 Балама шарты бар есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .25

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 30

Қолданылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .31

Кіріспе

Теңдеулер құруға арналған есептер немесе алгебралық мәселе есептер элементар математика бір бөлімін құрайтындығы белгілі. Мұндай есептерді шешу оқушылардың логикалық ойлау шеберлігін және ғылыми қөзқарасын дамытуға үлкен септігін тигізеді.
Теңдеулер құруға арналған есептер элементар математиканың көптеген оқулықтарында кездеседі. Мысалы [1]-[6].
Бұл курстық жұмысында теңдеулер құруға арналған есептер қарастырылады.
Курстық жұмысым ІІ тараудан тұрады.
Қарапайым шартты есептер - деп аталатын бірінші тарауда, концентрация, қозғалыс және теңдеулер санынан айнымалылар саны көп есептер қарастыралады. Бұл есептердің шарттары қарапайым болғандықтан, онда әртүрлі мүмкін жағдайларды қарастырудың қажеті жоқ.
Күрделі шартты есептер - деп аталатын екінші тарауда теңсіздіктер көмегімен, алтернативті шартты және функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін табуға арналған есептер қарастырылады. Бұл тараудағы есептер күрделі шартты болып келеді, себебі мұндай есептерді шешу үшін әртүрлі мүмкін жағдайлар қарастырып, соның ішінде есептің шартын қанағаттандыратын жағдайды алу қажеттілігі туындайды. Мысалы келесі есепті қарастырайық.
Есеп. Дойбышылардың А және В екі командасы жарысқа қатысуда. Жарыстың шарты бойынша, әрбір команданың ойыншысы екінші команданың ойыншысымен бір партия ойнайды. Жалпы ойындардың саны екі командадағы ойыншылардың санынан төрт есе артық болу керек еді. Алайда екі ойыншы ауырып қалуына байланысты, жарысқа қатыса алмай қалды. Сондықтан ойын саны жоспарланғаннан 17 - ге аз болды. А командасы үшін жарысқа неше ойыншы қатысқандығын анықтаңыз, егер ондағы дойбышылар саны В командасындағы дойбышылар санынан аз болғандығы белгілі болса.
Шешуі. А және В командалары үшін ойынға қатысқан дойбышылар санын сәйкесінше m және n деп белгілейік nm.
Жоспарланған ойындар саны n⋅m болатындығы түсінікті. Сонда есептің бірінші шартынан

mn=4m+n

теңдеуін аламыз. Ал екінші теңдеуді бірден жазу мүмкін емес, себебі ауырып қалған ойыншылар қай командаға тиесілі екені белгісіз. Келесі үш жағдай болуы мүмкін:

егер А командасының ойыншылары ауырып қалса, онда

m-2n=mn-17;

егер А командасының ойыншылары ауырып қалса, онда

n-2m=mn-17;

егер әрбір командадан бір ойыншыдан ауырып қалса, онда

n-1m-1=mn-17.

Яғни берілген есептің шешімін анықтау үшін, осы мүмкін жағдайлардың қайсысы есептің шартын қанағаттандыратындығын анықтау керек.
Қорыта айтқанда, бұл курстық жұмысым мектеп оқушыларына мәселе есептерді шешуді үйрету үшін көмекші құрал ретінде пайдалануына болады.

І. Қарапайым шартты есептер

1.1 Концентрация мен процентке қатысты есептерді шешу әдістері.

Концентрация мен процентке қатысты есептерді шешкенде, әртүрлі қоспаларды, қорытпаларды және ерітінділерді алу есептері қарастырылады.
Мұндай есептерді шешу үшін, төмендегі негізгі ұйғарымдар орындалады деп есептелінеді:
а) барлық алынған қорытпалар мен ерітінділер біртекті деп есептелінеді;
б) көлемдері V1 және V2 болатын екі қорытпаны біріктіргенде, пайда болатын ерітіндінің көлемі, олардың көлемдерінің қосындысына тең болады, яғни

V0=V1+V2. (1)

Келесі жайтты ескере кеткен жөн. Негізінде, физикалық тұрғыдан, екі қоспадан ерітінді алғанда, пайда болған ерітіндінің көлемі, олардың көлемдерінің қосындысына тең бола бермейді.
Нақтылық үшін, A, B және C - үш компоненттен тұратын қорытпаны қарастырайық. Сонда ерітіндінің көлемі (1) бойынша келесі түрде анықталады:

V0=VA+VB+VC, (1.1.2)

ал

cA=VAV0, cB=VBV0, cC=VCV0 (1.1.3)

әрбір компоненттің көлемі, толық көлемнің қандай бөлігін құрайтындығын көрсетеді және

VA=cAV0, VB=cBV0, VC=cCV0 (1.1.4)

Ерітіндідегі әрбір компоненттің көлемінің, ерітіндінің толық көлеміне қатынасы

cA=VAV0=VAVA+VB+VC (1.1.5)

компоненттің көлемдік концентрациясы деп аталады.

Концентрация - ол өлшемсіз шама. Ерітіндіні құрайтын барлық компоненттердің концентрациясының қосындысы бірге тең, яғни

cA+cB+cC=1. (1.1.6)

Сондықтан, n компоненттен тұратын ерітіндінің құрамын анықтау үшін, n-1 компоненттің концентрациясын білу жеткілікті.
Егер ерітіндіні құрайтын компоненттердің концентрациялары белгілі болса, онда ерітіндінің әрбір компонентінің көлемін келесі түрде схема 1 арқылы анықтауға болады

A: B: C
ерітіндісінің
көлемі

схема 1

және

V0=cAV0+cBV0+cCV0. (1.1.7)

pA=cA100% (1.1.8)

шамасы A компонентасының проценттік мөлшері деп аталады.
Егер A заттының проценттік мөлшері белгілі болса, онда оның концентрациясы келесі формуламен анықталады:

cA=pA100. (1.1.9)

Мысалы, A затының проценттік мөлшері 70% болса, онда оның концентрациясы 0,7 - ге тең, ал B затының проценттік мөлшері 10% болса, онда оның концентрациясы 0,1 - ге тең және т.с.с.
Тура осы сияқты, ерітіндідегі компоненттердің салмақтық концентрациясын анықтауға болады, яғни

cA=mAm0, cB=mBm0, cC=mCm0 (1.1.10)

және мұнда да

cA+cB+cC=1, (11)

мұндағы mA, mB, mC - әрбір компонентінің салмағы, ал m0 - ерітіндінің жалпы салмағы.
Көбіне, қарастырылып отырған есептерде құрамында A1, A2,...,An компоненттерінің біреуі немесе бірнешесі болатын қоспалардан белгілі бір қатынас құрайтын жаңа ерітінді алу керек. Сонымен қатар, кейбір есептерде алынған ерітіндегі A1, A2,...,An салмақтық немесе концентрациялық мөлшерін алу қажет.
Мұндай есептерді шешкенде, ерітіндінің көлемдік немесе салмақтық концентрациясын енгізген ыңғайлы, яғни формулада көрсетілгендей әрбір компонентке ыдыратқан жөн. Сонан соң, есептің шарттарын қанағаттандыратын жаңа ерітіндіні алу керек. Бұл жағдайда әрбір компоненттің мөлшерін анықтау оңай болады.
Жоғарыдағы айтылғандарды ескере отырып, келесі мысалдарды қарастырайық.
Есеп 1. Әрбірінде мыстың проценттік мөлшері p% және q% болатын, мыс пен цинктен тұратын екі түйір қорытпа берілген. Проценттік мөлшері r% болатын ерітінді алу үшін, екі қорытпаны қандай мөлшерде алу керек?
Шешуі. Бұл есепті шешу келесі схема 2 бойынша жүзеге асырылады.
Бірінші қоспадағы мыстың концентрациясы p100, ал екіншісінде q100.
Егер бірінші қорытпадан х кг, ал екінші қорытпадан y кг алсақ, онда

x=x⋅p100 кг мыс+x⋅1-p100 кг цинк

және

y=y⋅q100 кг мыс+y⋅1-q100 кг цинк.

Zn

Cu

Cu

Cu+Zn

Cu

x кг
Cu+Zn

y кг

Zn

Zn

схема 2

Алынған қоспада мыстың мөлшері:

x⋅p100 +y⋅q100,

ал бұл қоспаның жалпы салмағы x+y кг. Сондықтан, анықтамаға сәйкес, қоспадағы мыстың концентрациясы келесі өрнекпен анықталады:

x⋅p100 +y⋅q100x+y.

Есептің шарты бойынша, бұл концентрация r100 болуы керек. Сондықтан:

x⋅p100 +y⋅q100x+y=r100

немесе

px +qyx+y=r.

Алынған теңдеуді шешейік. Бұл теңдеу екі айнымалыдан тұрады. Сондықтан олардың әрқайсысын табу мүмкін емес. Бірақ есептің шартында оларды табу талап етілмейді, яғни олардың қатынасын табу керек. Сонда:

x(p-r)=y(r-q).

Мүмкін болатын жағдайларды қарастырайық.

p=r=q.

Бұл жағдайда барлық корытпалардың концентрациялары бірдей, сондықтан есептің шексіз көп шешімі болады. Физикалық мағынасы: бірінші және екінші қоспадан қалағанымызша алуға болады.

p=r!=q.

Бұл жағдайда теңдеу келесі түрге келеді

x⋅0=y(r-q),

яғни x - кез-келген, ал y=0. Алынған нәтиженің физикалық мағнасы келесі: егер алынуға тиіс қоспаның концентрациясы бірінші қоспаның концентрациясымен сәйкес келсе, бірақ екінші қоспаның концентрациясымен тең болмаса, онда бірінші қоспадан қалаған мөлшерде алып, ал екінші қоспадан алмай-ақ қойсақ болады дегенді білдіреді.

p!=r=q.

Бұл жағдайда теңдеу келесі түрге келеді

x(p-r)=y⋅0

Мұнда y - кез-келген, ал x=0. Физикалық мағнасы алдыңғы жағдайға ұқсас.

p!=r!=q.

Бұл жағдайда, y!=0 болғандықтан, теңдеуді келесі түрде жазуға болады:

xy=r-qp-r.

Бұл теңдеудің шешімі болады, егер r-qp-r0 болса.
Берілген мысал қоспаларға қатысты есепті шешудің негізгі әдісін меңгеруге мүмкіндік береді.
1.2 Қозғалысқа арналған есептер.

Бұл параграфта қозғалысқа қатысты есептер қарастырылады. Құрылатын теңдеулер жүйесі негізінен келесі параметрлерге қатысты құрылады:
s,l,r - жүрілген жол;
u,v,w - қозғалыстағы дененің жылдамдығы;
t,T - қозғалысқа кететін уақыт.
Бұл белгілеулер есепті шешкенде қателік жібермеу үшін енгізіліп отыр.
Қозғалысқа қатысты есептерді шешкенде келесі болжамдар орындалады деп есептейміз:
а) белгілі бір жол бөліктерінде қозғалыс бірқалыпты, яғни жүрілген жол

s=vt

формуласымен анықталады.
б) Қозғалыстағы дененің бұрылуы лездік, яғни дене бұрылған кезде жылдамдығын жоғалтпайды және бұрылу үшін уақыт кетірмейді.
в) Егер дене өзен ағысымен қозғалса, онда өзен ағысының жылдамдығы мен дене жылдамдығы қосылады

w=u+v,

ал егер дене өзен ағысына қарсы қозғалса, онда дене жылдамдығынан өзен ағысының жылдамдығы алынып тасталады

w=v-u.

Егер есептің мәтінінде салдың қозғалысы жайында айтылса, онда оның жылдамдығы өзен ағысының жылдамдығымен тең деген сөз.
Қозғалыс есептеріне қандай да бір жұмысты орындау, су қоймаларын толтыру немесе босату жұмыстарына қатысты есептер де жатады. Мұндай типтегі есептерде барлық жұмыс немесе су қоймасының толық көлемі жүрілген жолды, ал объектілердің өнімділігі жылдамдықты білдіреді.
Қозғалысқа қатысты есептерді шешпес бұрын, иллюстративтік сызба салып алған дұрыс. Бұл сызбада барлық кездесулер, іркілістер және бұрылыстар айқындалғаны дұрыс. Жақсы келтірілген сызба есептің мәтінін толық түсінуге мүмкіндік береді.
Мұндай сызбалардың кейбіреулері төменде келтірілген:
а) бір-біріне қарсы қозғалыс (сурет 1). Егер бір-біріне v1 және v2 жылдамдықтармен қарсы қозғалған екі нүктенің арақашықтығы s0 болса, онда олардың кездесу уақыты

T=s0v1+v2

формуласымен анықталады.

сурет 1

б) бір-бірімен бір бағытта қозғалыс (сурет 2). Егер бір-бірімен бір бағытта v1 және v2 жылдамдықтарымен қозғалған екі нүктенің арақашықтығы s0 болса, онда екінші нүктенің (жылдамдығы v2) бірінші нүктені (жылдамдығы v1) қуып жету уақыты

T=s0v2-v1 v2v1

формуласымен анықталады.

сурет 2

Енді есептің мәтініне қатысты есептерді құруға кірісейік.
Есеп 1. А және В қалалары өзеннің жағасында орналасқан және судың ағысы А қаласынан В қаласына қарай бағытталған. Сағат таңғы 9-да А қаласынан В қаласына қарай сал шықты. Тура осы уақытта В қаласынан А қаласына қарай қайық шығып, ол салмен 5 сағаттан кейін кездескен. А қаласына жеткеннен соң, қайық кері бұрылып, В қаласына сал екеуі бір мезетте жеткен. Қайық пен сал В қаласына сол күнгі кешкі сағат 9-да жете ала ма?
Шешуі. Бұл есептің шарттарына сай келесі сызбаны саламыз (сурет 3).

сурет 3

Енді есептен теңдеуді құруға мүмкіндік беретін шарттарды бөліп алайық. Олар екеу:
қайық пен сал бір-біріне қарсы бір мезетте шығады және олар 5 сағаттан кейін кездеседі;
қайық В қаласына салмен бірге бір мезетте қайтып жетеді.
Бұл сөйлемдерді жазу үшін, алдымен қандай айнымалыларды енгізу керектігін шешіп алған дұрыс. Айнымалыларды енгізер кезде, есеп шарттары қарапайым болатындай етіп енгізген дұрыс және бұл шарттарда ізделінді шаманың қатыспауы да мүмкін. Мысалы берілген есепте су ағысының (салдың) жылдамдығын u деп, ал қайық жылдамдығын v деп белгілеп алған дұрыс. Ал А және В қалаларының арақашықтығын s арқылы белгілейік (Ізделінді уақыт болғанымен, ол үшін қосымша айнымалы енгізудің қажеті жоқ). Сонда

Есептің шарты
Теңдеуі

қайық пен сал бір-біріне қарсы бір мезетте шығады және олар 5 сағаттан кейін кездеседі;

su+v-u=5 vu

қайық В қаласына салмен бірге бір мезетте қайтып жетеді.

su=sv-u+sv+u
Соңғы қатыстағы su сал қозғалысының уақыты, sv-u - қайыққа ағысқа қарай жүзгенде кететін уақыты және sv+u - қайықтың ағыспен жүзгенде кететін уақыты.
Сонымен, үш белгісізі бар екі теңдеулер жүйесін аламыз. Бұл теңдеулер жүйесінен s, v, u шамаларын бірмәнді анықтау мүмкін еместігі белгілі. Енді есептің шартына қайта оралайық, яғни не табу керек? Есептің шарты бойынша қайық пен сал В қаласына сол күнгі кешкі сағат 9-да жете ала ма деген сұрақ, яғни қозғалысты 12 сағатпен салыстыру керек.
Қозғалыс уақыты su болғандықтан, s, v, u айнымалыларын емес, su қатынасын табу керек.
Бөлшек - сызықты функцияның қасиетін пайдаланып, теңдеулер жүйесін келесі түрде жазуға болады:

sv=5

немесе

sv=5.

Сонда теңдеулер жүйесі su, sv екі айнымалыдан ғана тәуелді болады. Екінші теңдеуден uv қатынасын табайық. Ол 2-1 тең. Сонымен

sv=5, uv=2-1.

Бұл екі қатынасты пайдаланып, su қатынасын табамыз, яғни

su=svuv=52-1=52+112.

Бұдан қайық пен сал сол күнгі кешкі сағат 9-да В қаласына бір мезетте жүзіп келуі мүмкін емес екендігі шығады.
Тағы бір есеп қарастырайық.
Есеп 2. Екі велосипедші мен жаяу жолаушы бір мезетте А қаласынан В қаласына қарай шықты. Бір сағаттан аса уақыттан кейін бірінші велосипедшінің велосипеді бұзылып, ол қалған жолды велосипедпен жүргенге қарағанда 4,5 есе жай жаяу жүреді. Оны велосипед бұзылғаннан 58 сағаттан кейін, екінші велосипедші, ал велосипед бұзылғаннан 10,8 сағаттан кейін, жаяу жүруші озып өтеді. Велосипед бұзылғанға дейін, екінші велосипедші жаяу жүрушінің велосипед бұзылғанға дейінгі жүрген жолы мен онан кейінгі 536 сағатта жүрген жолынан екі есе көп жол жүрген. Қозғалыс басталғаннан кейін, велосипед неше сағаттан кейін бұзылған?
Шешуі. Бұл есептің сызбасы 4 суретте келтірілген. Бұл есеп үшін төрт айнымалы енгізген дұрыс. v1, v2 - сәйкесінше бірінші және екінші велосипедшілердің жылдамдығы, u - жаяу жүрушінің жылдамдығы және t - велосипед бұзылған уақыт.

сурет 4

Есептің шарты бойынша v1v2u; v14,5u; t1 болатындығы түсінікті. Есеп мәтінінен теңдеулерді құруға болатын шарттарды бөліп алайық.

Есептің шарты
Теңдеуі

Бірінші велосипедшіні бұзылғаннан 58 сағаттан кейін екінші велосипедші озып өтті;

v2t+58=v1t+v14,5⋅58

Бірінші велосипедшіні бұзылғаннан 10,8 сағаттан кейін жаяу жүруші озып өтті;

ut+10,8=v1t+v14,5⋅10,8
Велосипед бұзылғанға дейін, екінші велосипедші жаяу жүрушінің велосипед бұзылғанға дейінгі жүрген жолы мен онан кейінгі 536 сағатта жүрген жолынан екі есе көп жол жүрген

v2t=2ut+536

Сонымен құрылған теңдеулер жүйесінде үш теңдеу төрт белгісіз бар. Сондықтан барлық айнымалыларды табу мүмкін емес. Бірақ құрылған теңдеулер v1, v2 және u айнымалыларына қатысты сызықты біртекті екенін ескерген жөн. Егер теңдеулердің барлығын u - ға бөлсек, онда v1u, v2u, t үш белгісізі бар үш теңдеулер жүйесін аламыз:

v2ut+58=v1ut+v1u⋅14,5⋅58t+10,8=v1ut +v1u⋅14,5⋅10,8 .

Екінші теңдеуден v1u тауып, бірінші теңдеуге қойсақ:

v2u=t+10,8t+2,4⋅t+536t+58.

Үшінші теңдеуді пайдалансақ, онда

t+10,8t+2,4⋅tt+58=2

немесе

t2-4,75⋅t+3=0.

Квадрат теңдеуді шеше отырып, келесі мәндерді анықтаймыз:

t1=34, t2=4.

Есептің шарты бойынша, велосипед бір сағаттан кейін бұзылған. Сондықтан есептің жауабы: t=4.
Қозғалыс есептеріне жататын айналмалы жол есептерін қарастырайық.
Есеп 3. Туннель қазушы екі машина бір-біріне қарсы жүре отырып, жұмысты 60 күнде бітірді. Егер бірінші машина 18 күн, ал екіншісі 16 күн жұмыс істегенде, олар туннелдің 60 метрін жүруші еді. Егер бірінші машина екінші машинаның барлық жұмысының 23 бөлігін, ал екінші машина бірінші машинаның 0,3 жұмысын істесе, онда бірінші машинаға екінші машинаға қарағанда 6 күн қажет болар еді. Әрбір машина күніне неше метр туннель қазады?
Шешуі. Қозғалысқа қатысты есептерге ұқсас, мұнда да әрбір машинаның өнімділігін сәйкесінше v1 (метркүніне) және v2 (метркүніне) деп белгілейік. Сонда туннельдің ұзындығы

60v1+60v2

анықталады. Мұнда 60v1 - бірінші машинаның орындаған жұмыс көлемі, ал60v2 - екінші машинаның орындаған жұмыс көлемі.
Есепке қатысты теңдеулерді құрайық.

Есептің шарты
Теңдеуі

Егер бірінші машина 18 күн, ал екіншісі 16 күн жұмыс істегенде, олар туннелдің 60 метрін жүруші еді;

18v1+16v2=60

Егер бірінші машина екінші машинаның барлық жұмысының 23 бөлігін, ал екінші машина бірінші машинаның 0,3 жұмысын істесе, онда бірінші машинаға екінші машинаға қарағанда 6 күн қажет болар еді;

2360v2v1-0,360v1v2=6

Кейбір ықшамдаулардан кейін, теңдеулер жүйесі келесі түрге келтіріледі:

9v1+8v2=30.

Екінші теңдеуді v2 бөлсек, онда

9v1v12+3v1v2-20=0.

Квадрат теңдеуді шешсек:

v1v2=43, немесе 3v1=4v2.

Табылған мәнді бірінші теңдеуге қойсақ, онда

v1=2мкүніне, v2=1,5мкүніне.

Айнымалылылар саны теңдеулер санынан көп болатын
есептер.

Өткен параграфта біз айнымалылар саны теңдеулер санынан көп болатын есептерді көрген болатынбыз. Мұндай есептердің пайда болуы, негізінен есептің шартына байланысты болады. Мысалы, егер айнымалыларды теңдеуді құруға ыңғайлы етіп енгізсек, онда ізделінді айнымалы теңдеулерде кездеспеуі мүмкін. Бірақ ол енгізілген айнымалылардың комбинациясы болуы мүмкін. Сондықтан теңдеулер жүйесіндегі барлық айнымалыларды бірмәнді анықтау мүмкін емес. Дегенмен, ізделінді комбинация бірмәнді анықталуы мүмкін.
Осындай кластарға жататын есептерді қарастырайық.
Есеп 1. Оқушы сөмке, қалам және кітап сатып алу үшін, белгілі бір сома жұмсады. Егер сөмке 5 есе, қалам 2 есе, ал кітап 2,5 есе арзан болғанда, онда оқушы небары 8 теңге жұмсайтын еді. Егер сөмке 2 есе, қалам 4 есе, ал кітап 3 есе арзан болғанда, онда оқушы 12 теңге жұмсайтын еді. Негізінде, барлық жұмсалған сома неше теңге және сөмке мен қаламның қайсысына көп сома төленді?
Шешуі. Теңдеу құру үшін, үш айнымалы енгізу жеткілікті, яғни x - ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.