Кеңістіктегі жазықтық теңдеуі

Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 11 бет
Таңдаулыға:

РЕФЕРАТ

тақырыбы: Кеңістіктегі түзулер және жазықтықтар

Орындаған: Сатаева С

Тексерген: Ажымбаев Д

2022 жыл

Мазмұны

Кіріспе

: 1.

Кіріспе: Кеңістіктегі түзудің теңдеулері

: 2.

Кіріспе: Кеңістіктегі жазықтық теңдеуі

: 3.

Кіріспе: Кеңістіктегі түзу мен жазықтық

Кіріспе:

КІРІСПЕ

Геометрия (көне грекше: γεωμετρία; көне грекше: γῆ - жер и көне грекше: μετρέω - «өлшеу») - математиканың кеңістіктік пішіндер (формалар) мен қатынастарды, сондай-ақ, оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды зерттейтін саласы. Ғылым ретінде Ежелгі Грекияда математиканың бір бөлігі болып қалыптасқан, оның алғашқы аксиомалары Эвклидтың «Бастама» кітабында сипатталған.

Геометрия табиғатты зерттеуде, техниканы дамытуда қуатты құрал болып табылады. Ол математикалық анализге, механикаға, физикаға, астрономияға, геодезияға, картографияға, кристаллографияға, тағыда басқа ғылымдарға елеулі ықпал етеді.

Конустың қималары: шар, эллипс, парабола, гипербола

Фигуралар - кеңістіктік пішіндер болып есептеледі. Геометрия тұрғысынан сызық - “сым” емес, шар - “домалақ дене” емес, олардың барлығы да - кеңістіктік пішіндер. Ал кеңістіктік қатынастар - фигуралардың мөлшері мен орналасуын анықтайды. Мысалы, центрлері ортақ, радиустары 3 см және 5 см шеңберлер қиылыспайды, “біріншісі екіншісінің ішінде жатады” дегенде - шеңберлердің мөлшері мен орналасуы жөнінде айтылып тұр. Мұнда бірінші шеңбер - кішісі, екіншісі - үлкені, біріншісі екіншісінің ішінде орналасқан. Осыған орай кеңістіктік қатынастар “үлкен”, “кіші”, “ішінде”, “сыртында” сөздері арқылы анықталған. “Тең”, “параллель”, тағыда басқа сөздер де кеңістіктік қатынастарды сипаттайды. [1]

Дененің шекарасы - бет. Ол денені қаптап, қоршап, шектеп, кеңістіктен бөліп тұрады. Бет шектеусіз жұқа болып есептеледі. Жіңішке жіп, бір тал қыл, сәуле, сым, тағыда басқа негізінде шектеусіз жіңішке сызық ұғымы шыққан. Геометриялық денелерді ойша топшылап, шектеусіз кішірейте беруге болады. Осыдан нүкте ұғымы шығады. Нүкте дененің әбден кішірейіп, тоқтаған шектік жағдайы деп есептеледі. Геометрия тұрғысынан алғанда нүктені одан әрі кішірейтуге болмайды. Геометриялық денелердің, беттердің, сызықтардың және нүктелердің кез келген жиыны фигура деп аталады. Айтылып отырған негізгі ұғымдар - нүкте, сызық, бет, дене дүниедегі заттардан (яғни, материядан) алынған. Бірақ материяның физикалық қасиеттерінен абстракцияланған. Мысалы, призма жөніндегі теоремаларды ағаштан, тастан, металдан жасалған призмалардың бәріне де және әрдайым қолдана беруге болады. Геометрия алғашқы кезде фигуралардың мөлшерлерін, өзара орналасу тәртібін, бір түрден екінші түрге көшу жолдарын зерттейтін ғылым болды. Онда фигуралардың түрлендірілуі берілген фигура мен кейін пайда болған фигураның арасындағы белгілі бір қатынастар ретінде түсіндірілді. Мұндай түсінік осы күнгі геометрияда да бар. Алайда қазіргі геометрия байырғы түсініктер шебінен ұзап шығып кетті. Соңғы ғасырларда геометрияның үйреншікті ұғымдары мен қағидаларын талдау, жалпылау, жартылай өзгерту және одан әрі абстракциялау нәтижесінде математиканың бірталай жемісті теориялары шықты. Геометрияның жаңа салаларының көпшілігі ертеде қалыптасқан дәстүрлі салаларына мүлдем ұқсамайды. Мысалы, Георг Фридрих Бернхард Риман кеңістігіндегі “ара қашықтық”, Гильберт кеңістігіндегі “призма” ұғымдарын, жалпы түрде алғанда, ешқандай сурет, модель бойынша сипаттауға болмайды. Оларды дүниеде кездесетін нақты нәрселердің пішіндері мен қатынастары арқылы түсіндіру өте қиын. Сөйтсе де, Геометрияның байырғы салалары жаңа салаларының қарапайым дербес көріністері болып табылады. Сөз болып отырған жаңа теориялардың қайшылықсыздығы мұқият дәлелденген және олар күмәнсіз. Соңғы салалар да, тарихи жағынан геометрия шаңырағының астында туғандықтан және олардың заңдары бұрынғы геометрияның заңдарына сырттай ұқсас болғандықтан, геометрияға жатқызылады. Сөйтіп, геометрияның өрісі мүлдем кеңейіп кетті. Оның жоғарыда келтірілген анықтамасына “сондай-ақ, оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды зерттейтін” деген сөздер сондықтан қосылған. Осылай кең мағынада түсінген жағдайда ғана геометрия математиканың көптеген саласымен астасып жатады.

Кеңістіктегі түзудің теңдеулеріТүзудің векторлық теңдеуі

Түзудің кез-келген нүктесі және осы түзуге параллель векторымен анықталады. векторы түзудің бағыттауыш векторы деп аталады. түзуі өзінің нүктесімен және бағыттауыш векторымен берілсін. Түзудің бойынан кез-келген нүктесін белгілеп алайық. және нүктелерінің радиус векторларын және арқылы белгілейік. , , үш векторы

http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/3.5.files/image022.gif

(1. 1)

қатынасымен байланысты. L түзуінің бойында жатқан векторы бағыттауыш векторына параллель, сондықтан , мұндағы t-параметр деп аталатын скалярлық көбейткіш, ол түзудің М нүктесінен тәуелді әр түрлі мәндер қабылдайды. (1. 1) формуласын

http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/3.5.files/image026.gif

(1. 2)

түрінде жазуға болады. Бұл шыққан теңдеуді түзудің векторлық теңдеуі деп аталады.

1. 2. Түзудің параметрлік теңдеуі

, , ескере отырып (1. 2) теңдеуін

http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/3.5.files/image034.gif

(1. 3)

түрінде жазуға болады. Бұдан

http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/3.5.files/image036.gif

(1. 4)

теңдігі шығады. Бұл теңдеуді түзудің параметрлік теңдеуі деп атайды.

1. 3. Түзудің канондық теңдеуі

векторы L түзуінің бағытауыш векторы, ал M ₀ (x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) нүктесі осы түзуде жататын нүктесі. L түзуінің бойындағы M(x; y; z) нүктесін M ₀ нүктесімен қосып, векторына параллель векторын жүргіземіз. Сондықтан, және пропорционал болады:

http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/3.5.files/image046.gif

(1. 5)

(1. 4) теңдеуі түзудің канондық теңдеуі деп аталады.

1. 4. Екі нүкте арқылы өтетін кеңістіктегі түзудің теңдеуі

және нүктелері арқылы өтетін L түзуі берілсін. Бағыттауыш векторы ретінде векторын алуға болады, яғни . Түзу M ₁ (x ₁ ; y ₁ ; z ₁ ) нүктесі арқылы өтетін болғандықтан, (1. 4) теңдеуі бойынша, L түзуінің теңдеуі келесі түрде болады

http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/3.5.files/image056.gif

(1. 6)

(1. 6) теңдеуі берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі деп аталады.

$Описание: D:\Учебники2017\МатематикаІ\Теория\3.4.files\image168.jpg$

: 1. 1-сурет-Кеңістіктегі түзу

1. 5. Түзудің жалпы теңдеуі

Кеңістіктегі түзудің теңдеуі параллель емес екі жазықтық қиылсықанда пайда болған сызық арқылы беріледі

$Описание: D:\Учебники2017\МатематикаІ\Теория\3.4.files\image169.png$

(1. 7)

теңдеулер жүйесін қарастырайық. Бұл жүйенің әрбір теңдеуі жазықтықты анықтайды. Егер жазықтықтар параллель емес болса, онда (1. 7) жүйесі, координаталары осы жүйенің әрбір теңдеуін қанағаттандыратын, кеңістіктегі геометриялық орны болатын L түзуін анықтайды. (1. 7) жалпы теңдеуінен (1. 4) канондық теңдеу түріне келтіруге болады. (1. 7) жүйесіндегі теңдеулеріндегі координаталардың кез-келген біреуін нөлге теңестіріп, L түзуінің M ₀ нүктесінің координаталарын табамыз. L түзуі және векторларына перпендикуляр болғандықтан, L түзуінің бағыттауыш векторы ретінде векторлық көбейтіндісін алуға болады:

http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/3.5.files/image064.gif

Кеңістіктегі жазықтық теңдеуі

Қарапайым беттердің бір түрі жазықтық. O xyz кеңістіктегі жазықтықты әр түрлі түрде беруге болады. Олардың әрқайсысына сәйкес теңдеулері болады.

2. 1 Берілген нүкте арқылы өтетін, берілген векторға перпендикуляр жазықтықтың теңдеуі

O xyz кеңістігінде жазықтығы нүктесімен және осы жазықтыққа перпендикуляр векторымен берілген. жазықтығының теңдеуін қорытып шығарайық. Жазықтықтан кез-келген нүктесін алайық және векторын құрайық.

http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/3.4.files/image012.gif

(2. 1)

(2. 1):

$Описание: D:\Учебники2017\МатематикаІ\Теория\3.4.files\image041.jpg$

: 2. 1 -сурет-O xyz кеңістігінде Q жазықтығы

М нүктесі жазықтығында қалай орналассада және векторлары өзара перпендикуляр болады, сондықтан олардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең: , яғни

A(x-x ₀ ) +B (y-y ₀ ) +C (z-z ₀ ) =0

(2. 2)

жазықтығының кез-келген нүктесі (10. 2) теңдеуін қанағаттандырады, ал жазықтығында жатпайтын нүктелер қанағаттандырмайды. (10. 3) теңдеу берілген. нүктесі арқылы өтетін, нормаль векторына перпендикуляр жазықтықтың теңдеуі деп аталады. x, y, және z координаталарына байланысты жазықтықтың теңдеуі бірінші дәрежелі болады. векторы жазықтықтың нормаль векторы деп аталады.

(2. 2) теңдеудегі A , B , C коэффициенттеріне мәндер беріп, нүктесі арқылы өтетін кез-келген жазықтықтың теңдеуін алуға болады. Берілген нүкте арқылы өтетін жазықтықтар жиынын жазықтықтар байланысы деп, ал (2. 2) -жазықтықтар байланысының теңдеуі деп аталады.

2. 2 Жазықтықтың жалпы теңдеуі

, және үш белгісізді бірінші дәрежелі теңдеуді қарастырайық:

Ax+By+Cz+D=0

(2. 3)

Осы теңдеуді коэффициенттерінің бірдей нөлге тең емес болсын, мысалы, B 0, онда (2. 2) теңдеуін былайша жазуға болады:

A(x-x ₀ ) +B

http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/3.4.files/image034.gif

+C (z-0) =0

(2. 4)

(2. 4) және (2. 2) теңдеулерін салыстырып, біз (2. 3) және (2. 4) теңдеулері нормаль векторы бар. нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеулері екенін көрініп тұр. (2. 3) теңдеуі O xyz координаталар жүйесіндегі қандай да бір жазықтықты анықтайды. (2. 3) теңдеуі жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталады.

Жазықтықтың жалпы теңдеуінің дербес жағдайы

1. Егер болса, онда жазықтық түрінде болады. Бұл теңдеуді O(0; 0; 0) нүктесі қанағаттандырады. Демек бұл жағдайда жазықтық координаталардың бас нүктесі арқылы өтеді.

2. Егер болса, онда жазықтық . нормаль векторы осіне перпендикуляр болады. Демек, жазықтық осіне параллель; егер болса, онда осіне параллель; егер болса, онда осіне параллель болады.

3. болса, онда жазықтық O( 0; 0; 0 ) нүктесі арқылы өтіп жазықтығына параллель болады, яғни жазықтығы осі арқылы өтеді. Тура осылайша және жазықтықтары сәйкес және осьтері арқылы өтеді. p>

4. Егер онда, (10. 3) теңдеуі түріне келеді, яғни . Бұл O xy жазықтығына параллель жазықтық. Тура осылайша, және жазықтықтары сәйкес, және жазықтықтарына параллель жазықтықтарды анықтайды.

5. болса, онда (2. 3) теңдеуі түріне келеді, яғни . Бұл жазықтығының теңдеуі. Тура осылайша, - жазықтығының теңдеуі, жазықтығының теңдеуі.

2. 3 Берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі

Кеңістікте бір түзудің бойында жататын үш нүкте бір ғана жазықтықты анықтайды. Бір түзуде жатпайтын , және нүктелері арқылы өтетін жазықтығының теңдеуін табайық.

Жазықтықтан қалауымызша кез-келген M( x; y; z ) нүктесін алайық және

(2. 5)

векторларын құрайық. Бұл векторлар жазықтығында жатады, олар компланарлы векторлар. Векторлардың компланар шартын қолданып (олардың аралас көбейтіндісі нөлге тең), , аламыз, яғни

http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/3.4.files/image106.gif

(2. 6)

(2. 6) теңдеуі берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі.

2. 4 Жазықтықтың кесінділер арқылы берілген теңдеуі

Жазықтық , Oy және осьтерін , және c кесінділерін қияды, яғни ол A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) нүктелері арқылы өтеді. Осы нүктелердің координаталарын (2. 5) теңдеуіне қойып, келесі анықтауышты аламыз

http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/3.4.files/image112.gif

(2. 7)

Анықтауышты ашып bcx-abc+abz+acy =0 аламыз, яғни bcx+acy+abz=abc немесе

http://elib.kstu.kz/fulltext/books/2018/VM/Mahmetova/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F/3.4.files/image114.gif

(2. 8)

(2. 7) теңдеуі координаталар осьтеріндегі жазықтық кесінділер бойынша теңдеуі деп аталады. Бұл теңдеу жазықтықтарды салғанда қолданған ыңғайлы.

2. 5 Жазықтықтың нормаль теңдеуі

ОК=р болсын, болсын онда бірлік векторының O x , O y , O z остерімен жасайтын бұрыштары және болады. Онда жазықтықпен кез-келген M( x ; y ; z ) нүктесін алып, оны координаталар басымен қосайық. Сонда векторын аламыз: