Жиындарға қолданатын амалдар қасиеттері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 50 бет
Таңдаулыға:

КІРІСПЕ

КІРІСПЕ: І "Мектеп-ЖОО" жүйесінде дискретті математиканы оқытудың негізгі әдістемелік аспектілері

5: 8

КІРІСПЕ: 1. 1 Оқушыларға арналған оқулықтардағы дискретті математика элементтерін талдау

5: 9

КІРІСПЕ: 1. 2 Жалпы білім беретін оқу орындарының жоғары сынып оқушыларының дискретті математиканы оқытудың мақсаттары мен мазмұны

5: 12

КІРІСПЕ: 1. 3 Граф және екілік қатынас ұғымдарын зерттеу әдістемесінің ерекшеліктері

5: 15

КІРІСПЕ: 1. 3. 1 Граф теориясының тарихы

5: 15

КІРІСПЕ: 1. 3. 2 Граф теориясының негізгі түсініктері

5: 16

КІРІСПЕ: 1. 4 Комбинаториканың алғашқы ұғымдары мен фактілерін зерттеу әдістемесінің ерекшеліктері

5: 20

КІРІСПЕ: 1. 5 Математикалық модель ұғымын зерттеу әдістемесінің ерекшеліктері

5: 21

КІРІСПЕ: 1. 6 Математикалық тілді, алгоритмді және алгоритмдік шешуді үйренудің ерекшеліктері

5: 22

КІРІСПЕ: ІІ "МЕКТЕП-ЖОО" ЖҮЙЕСІНДЕ ДМ ОҚЫТУДЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІН ЭКСПЕРИМЕНТТІК ТЕКСЕРУ

5: 30

КІРІСПЕ: 2. 1 Жиындар. Жиындарға қолданылатын операциялар

5: 30

КІРІСПЕ: 2. 1. 1 Жиындар қиылысуы мен бірігуі

5: 31

КІРІСПЕ: 2. 1. 2 Эйлер-Венн диаграммасы

5: 35

КІРІСПЕ: 2. 1. 3 Қатынастар мен олардың қасиеттері

5: 38

КІРІСПЕ: 2. 1. 4 Қатынас матрицасына есептер

5: 39

КІРІСПЕ: 2. 2 Декарттық көбейтінді, функциялар, қатынастардың оң және сол жақтары

5: 42

КІРІСПЕ: 2. 3 Комбинаторика элементтері

5: 44

КІРІСПЕ: 2. 3. 1 Орналастыру

5: 45

КІРІСПЕ: 2. 3. 2 Алмастыру

5: 45

КІРІСПЕ: 2. 3. 3 Теру

5: 45

КІРІСПЕ: 2. 4 «Графтар теориясының элементтері» факультативтік курсын әдістемелік қамтамасыз ету

5: 48

КІРІСПЕ: 2. 5 Кейбір логикалық амалдарды пайдаланып, параметрлерді есептеу автоматизациясы

5: 51

КІРІСПЕ: ҚОРЫТЫНДЫ

5: 55

КІРІСПЕ: ӘДЕБИЕТТЕР

5: 57

КІРІСПЕ: Қосымша1. Жиындар теориясына презентация

5: 58

КІРІСПЕ: Қосымша 2. Графтар теориясы

5: 60

КІРІСПЕ

Жиырма бірінші ғасыр түбегейлі жаңа экономика мен ақпараттық технологиялар жағдайында басталды, бұл білім беруді жаңғыртуды қажет етеді. Білім беруді жаңғыртудың басты мақсаты оның сапасын арттыру болып табылады, оны оның мазмұнын таңдауды оңтайландырусыз шешу мүмкін емес.

Өткен ғасырда математикада үлкен өзгерістер болды, бұл оны талдау, зерттеу және болжаудың қуатты құралдарына айналдырды. Сондықтан білім сапасын арттыру үшін мамандыққа байланысты математиканы оқыту мазмұнын оңтайландыру қажет.

Информатиканың негізін қалаушылардың бірі В. М. Глушков болжағандай, XXI ғасырдың басындағы математика "үздіксіз емес, дискретті шамалардың математикасы көп болады" [1], бұл бірінші кезекте математиканы оқыту мазмұнын оңтайландыру кезінде басталуы керек.

Информатика саласындағы тағы бір көрнекті маман А. П. Ершов дискретті шамалар математикасының негізгі рөлін атап өтті, яғни дискретті математиканың (ДM) қазіргі терминологиясында, "ақпаратты өңдеуді ең жақсы университеттерде оқытылатын математикалық талдау курсы деңгейіне дейін " заңдар жүйесіне жеткізу.

Компьютерлердегі есептеу процесі дискретті болғандықтан, ДM-нің басты ерекшелігі - классикалық математикаға тән шекті ауысу мен үздіксіздіктің болмауы. "Аяқ-қолдар" ұғымы (санды жазудағы маңызды сандар саны, операциялар саны және т. б. ) компьютер жұмысында да шешуші болып табылады.

Сондықтан, ДM қалыптастыру процесінде математиканың осы жағдайды идеялық және мазмұнды түрде көрсететін бөлімдері пайда болды: соңғы математика, компьютерлік математика, нақты математика, дискретті талдау (функционалды анализге ұқсас) .

Шын мәнінде, компьютерлерді қолдана отырып модельдеуде, компьютерлік математика жүйелерін (КМЖ), жаңа компьютерлік технологияларды (КТ) дамытуда іргелі рөл атқаратын осы бөлімдердің негізгі ұғымдары мен фактілері біртіндеп ДМ-нің негізгі мазмұнын анықтай бастады. Кезінде В. М. Глушков "білімді математикаландыру саласын кеңейту математиканың жаңа бөлімдерін, ең алдымен дискретті математиканың жаңа бөлімдерін дамытуды талап етеді және оған сүйенетін болады" деп атап көрсеткен [2] .

Жоғарыда айтылғандардың бәрі соңғы онжылдықта ақпараттандырудың (компьютерлендірудің) математикалық негіздерінің жалпыға бірдей танылған атауы "Дискретті математика" атауына айналуына себеп болды, бұл соңғы онжылдықтарда бізде және шетелде шыққан көптеген кітаптардың мазмұнында көрініс тапты.

Өкінішке орай, ДM туралы көптеген зерттеулер мен жарияланымдарға қарамастан, қазіргі уақытта математика саласы ретінде ДM туралы жалпы қабылданған идеялар жүйесі жоқ. Мұндай идеялардың дамуы ДM тақырыбы мен функцияларын талдаудан көрініп тұрғандай, "дискретті" көріністердің белгілі бір шеңбері тарихи және табиғи түрде іс жүзінде қалыптасқандығымен жеңілдейді.

Мұны "шектеу, туынды, интеграл, дифференциалдық теңдеу, функционалды қатар, кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы, бөлу заңы" және т. б. ұғымдарымен қатар, заманауи математиканы білетін кез-келген маман өз кәсібіне лайықты екендігін растайды, ДM негізгі түсініктерін "комбинаторлық конфигурация, екілік қатынас, алгебралық операция, мәлімдеме, предикат, квантор, формализацияланған тіл, график, алгоритм, алгоритм орындаушысы" және т. б. біледі.

Дискретті математика маманының терең білімі компьютерлерді қолданудың толық тізбегін құру қабілетінде жақсы көрінеді: нақты жағдай, математикалық модель, алгоритм, бағдарлама, шешімді модельдеу, нәтижелерді талдау. Сондықтан компьютерлерді пайдалану тізбегі тұрғысынан Л. Д. Кудрявцев қазіргі математикалық білімнің алдында тұрған негізгі мақсаттарды сипаттайды[3] :

математикалық есептерді қоя білуге үйрету (басқаша айтқанда - нақты жағдайды, есептерді математикалық тілге аударуды үйрету),

математикалық модельдерді құру,

есептерді шешудің қолайлы математикалық әдісі мен алгоритмін таңдау,

жүргізілген математикалық талдау негізінде практикалық қорытындылар жасау.

Компьютерлерді қолданудың толық тізбегін құруға үйрету математика мен информатика және басқа пәндердің табиғи байланысын қамтамасыз ететін ДM негізінде модельдеуді кешенді оқытудың мәнін терең көрсетеді.

Н. Н. Красовский, А. Г. Мордкович, А. А. Кузнецов, С. А. Бешенков және т. б. еңбектерінде компьютерлерді қолдана отырып модельдеуге мектеп оқушыларын оқытуды енгізу қажеттілігі негізделген.

"Мектеп-ЖОО" жүйесінде модельдеуді кешенді оқыту қажеттілігі кәсіби білім беруді дамытудың шындығымен байланысты, бұл іс жүзінде А. М. Новиковтың ұстанымынан[4] көрінеді, онда ол кәсіби білім беруді ізгілендіру және демократияландыру идеяларымен қатар, "өмір бойы білім беру" - озық кәсіби білім беру және үздіксіз білім беру идеяларын тұжырымдайды.

Үздіксіз озық кәсіптік білім беру тұрғысынан мектепте ақпараттандырудың математикалық негіздерін, яғни дискретті математиканы оқу қажет. Бұл жерде 1967 жылы көрнекті математик А. И. Мальцевтің кенеттен мерзімінен бұрын қайтыс болуы оған көптеген бөлімдер мен бөлімшелерден дискретті математика және математикалық логика институтын нақты құру туралы арманын жүзеге асыруға мүмкіндік бермегенін, атап айтқанда, ғылыми әзірлемелер мен ғылыми кадрларды даярлау жоспарланғанын, бұл үздіксіз кәсіби білім беру тәжірибесінің дамуына ықпал ететіндігін өкінішпен айту керек.

Сонымен, жоғарыда айтылғандай, қазіргі дискретті математика мектеп-университет жүйесінде математиканы оқыту мазмұнын оңтайландыруда іргелі рөл атқарады.

Зерттеу мақсаты - дискретті математиканың пәндік мазмұнын әдіснамалық талдау арқылы "мектеп-ЖОО" жүйесінде дискретті математиканы оқыту заңдылықтарын анықтау; оларды анықтайтын факторларды бағалау және талдау; мектеп пен ЖОО-да осындай оқытудың теориялық негізделген және эксперименттік тексерілген әдістемелік жүйесін әзірлеу.

"Мектеп-ЖОО" жүйесіндегі дискретті математиканы оқытудың әдістемелік жүйесі, егер оны әзірлеу кезінде дискретті математиканың рөлінен туындайтын болса, тиімді болады:

- компьютерлерді қолданудың толық тізбегін құруға оқытудың математикалық негізі;

- математика мен информатиканы және басқа пәндерді оқыту интеграциясының мазмұндық негізін;

- компьютерді қолдана отырып, зерттеудің көптеген салаларында ең жақсы нәтижелерге қол жеткізуге мүмкіндік беретін ойлау стилінің дискретті компонентін дамыту негіздері.

- оқушылардың қазіргі математика туралы түсініктерін ішкі логикасы бар біртұтас ғылым ретінде қалыптастыру үшін қажет, әсіресе қазіргі модельдік әдіснамада айқын көрінетін жүйелік және әдіснамалық оқу пәні.

І Мектеп пен ЖОО-да дискретті математиканы үздіксіз оқытудың әдістемелік жүйесі

Әрине, жалпы білім беретін мектептің математика курсына абстрактілі алгебраны, математикалық логиканы, алгоритмдер теориясын, комбинаторлық талдауды (алайда, функционалдық талдау сияқты) және т. б. енгізуге тырысу ақылға қонымды емес. Төменгі сыныптан бастап қызықтыру және практикалық тапсырмалар негізінде дискретті математиканың кейбір түсініктері мен фактілерін зерттеуге болады.

Осылайша, қазіргі уақытта дискретті математиканы үздіксіз бейіндік оқытуды енгізу проблемасына байланысты туындаған қайшылықтар бар:

дискретті математиканының ақпараттандырудың математикалық негізі ретіндегі объективті рөлі (атап айтқанда, компьютерді пайдалана отырып модельдеу) мен "мектеп-ЖОО" жүйесінде дискретті математиканы үздіксіз бейіндік оқытудың әдістемелік жүйесінің болмауы арасындағы қайшылық;

компьютерлерді қолданудың толық тізбегін құруда және математика мен информатиканы жүйелі интеграцияланған оқытуда осы маңызды жағдайды елемей, "көпсайыс" ойлау стилін қалыптастыруға қажетті пән ретіндегі дискретті математиканың психологиялық-педагогикалық рөлі арасындағы қайшылық.

Осы негізгі қарама-қайшылықтардың құрамдас бөліктері, атап айтқанда, мыналар:

Жалпы білім беретін мектепте математиканы оқытудың "функционалды" бағытталған бағдарламасы мен бағдарлама мазмұнындағы дискретті математика элементтерінің болмауы арасындағы қайшылық. Жоғарыда айтылғандардан көрініп отырғандай, мектеп үшін әдістемелік әдебиеттерде ұсынылған комбинаторика, логика, графтар теориясы немесе алгоритмдер теориясы элементтерін бөлек зерттеу енді модельдеуді мамандандырылған оқыту үшін қажет математика мен информатиканы оқытудағы жүйелік интеграциялық тәсілдің талаптарына сәйкес келмейді.

Жоғары оқу орындарының мамандықтарында графтар теориясы, алгоритмдер, комбинаторлық талдау элементтерін немесе ДМ басқа бөлімдерін бытыраңқы оқыту мен дискретті математика тиісті бейіндік оқытудың болмауы арасындағы қайшылық, бұл жоғары (орта) кәсіптік білім берудің мемлекеттік стандарттарын дайындаудың бірқатар бағыттарында (топтарында) модельдеуге оқытудың фрагментарлығына, жүйесіздігіне әкеп соғады.

Анықталған қарама-қайшылықтар "Мектеп-ЖОО" жүйесінде дискретті математиканы үздіксіз бейіндік оқыту тұжырымдамасын әзірлеу мәселесін тұжырымдауға мүмкіндік береді, соның арқасында оқу процесінде компьютерлерді қолдана отырып (математика тілі мен болашақ маман оқитын арнайы ғылымның бейресми тілі негізінде) таңдаған мамандыққа сәйкес келетін модельдеу деңгейіне қол жеткізіледі.

1. 1 Оқушыларға арналған оқулықтардағы дискретті математика элементтерін талдау

Математикалық құрылымдардың және есептердiң шектелген жиындарда зерттелетiн саласын - дискреттi математика (ДМ) деп атайды. Математиканың үздiксiз және дискреттi бөлiнуi көпшiлiк мақұлдаудан туған едi.

Дискреттi математиканың есептерiнiң ерекшелiгi, бiрiншiден, классикалық математиканың негiзгi ұғымдарында болатын шек пен үздiксiздiктi қабылдамау болып табылады. Сондықтан ДМ есептерi үшiн классикалық талдаудың дағдылы тәсiлдерi көмекшi ретiнде қолданылады.

ДМ - қазiргi математиканың өз бетiмен бағытталған түрi. ДМ нақты ортада пайда болатын техникада, информатикада жане басқа бiлiм салаларында қолданылатын заттардың, үрдiстердiң (процесстердiң), тәуелдiліктердiң, математикалық модельдердi зерттейтiн ғылым.

Дискреттi және үздiксiз математика бiр-бiрiне қолданылады. Үздiксiз, не дискреттi моделдiң қайсысының алынуына байланысты бiр алынған зат екi түрлi көзқарас тұрғысынан қарастырылады.

Математикада XIX ғасырдың екінші жартысында жиын ұғымы пайда болды. Жиын ұғымының математикаға енуі жиын теориясын қалыптастырды. Жиын теориясының негізін қалаушы Георг Кантор 1 болды.

Жиындар теориясы ресми түрде 1897 жылы қабылданған. Ең алғаш халықаралық математиктер конгресінде Адамар2 мен Гурвиц3 бұл теорияға көптеген алуан түрлі мысалдар көрсеткен болатын.

Жиындар теориясы алгебралық системаның құрылуының негізі болды, ЭВМ математикалық қамтамасыз етуінде де үлкен практикалық қолданысқа ие болған.

70-ші жылдардың орта кезінде күрделі тапсырмаларды «тұжырымдау, не істеу керек, қалай екенін анықтамай » шешу үшін үлкен қадам жасалды, және бұл қадам жиындар тілінің көмегімен - СЕТЛ тілімен жасалды, яғни, құрылымының негізі жиындар болып саналатын, қиын объектілерді программада модельдеуге рұқсат етілетін тіл.

Белгілі бір ортақ қасиеттерге ие болып, белгілі бір заңдылықпен біріккен нәрселер, нысандар жиын құрайды. Мысалы: аспандағы жұлдыздар жиыны, кітап бетіндегі әріптер жиыны, геометриялық фигуралар жиыны, компьютер бөлшектерінің жиыны, бөлімі 5 саны болатын дұрыс бөлшектер жиыны т. с. с.

Жиындар элементтерден құралады. Жиындардың элементтері аталып беріледі немесе сол жиын элементтеріне ғана тән қасиет (белгі) көрсетіледі. Жиынды латынның бас әрпімен белгілеп, оның элементтерін фигуралық жақшаның ішіне алып жазу келісілген. Мысалы, “компьютер” сөзіндегі әріптер жиынын K әрпімен белгілесек, K={к, о, п, м, ь, е, т, р, ю} немесе P={ю, к, о, м, п, р, е, ь, т} элементтер ретін әр-түрлі жазуға болады.

Жиындар шектеулі жиын, шектеусіз жиын болып бөлінеді.

Мысалы, цифрлар жиыны A - шектеулі жиын, оған 10 элемент енеді. A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} жиынының элементтер санын көрсетіп жазсақ: n(A) =10.

Ал натурал сандар жиыны N - шектеусіз жиын.

Егер a элементі B жиынына тиісті болса, оның жазылуы: a $\in$ B.

Оқылуы: “a B жиынының элементі” немесе “a B жиынына тиісті”.

Мысалы, 7 саны натурал сандар жиынына тиісті: 7 $\in$ N.

Егер c элементі A жиынына тиісті болмаса, оның жазылуы: c ∈ A. Оқылуы:”c элементі A жиынына тиісті емес”. Мысалы, 0 саны натурал сандар жиынына тиісті емес: 0 $\ \notin$ N

Егер жиында бірде-бір элемент болмаса, оны бос жиын деп атайды. Бос жиынның белгіленуі: Ø. Мысалы, 74 және 79 сандарының арасындағы жай сандар жиыны - бос жиын. Әріптер жазылмаған дәптер бетіндегі әріптер жиыны - бос жиын.

Егер B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті болса, онда B жиыны A жиынының ішкі жиыны деп аталады.

Мысалы, A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}жиынындағы жұп сандар жиыны - B={2, 4, 6}.

B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті.

Белгіленуі: B∈A. Оқылуы: B жиыны - A жиынының ішкі жиыны. Жиындардың байланыстары мен арақатынастары Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы кескінделеді.

1. 1-сурет. Эйлер-Венн дөңгелектері

Суретте B жиыны A жиынының ішкі жиыны екені Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы кескінделген.

Бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болады. Белгіленуі: Ø $\in$ A. Мұндағы A - қандай да бір жиын.

Егер екі жиын бірдей элементтерден тұрса, онда олар тең жиындар деп аталады. Мысалы, A={a, b, c}; B={c, a, b}, онда A=B.

Оқылуы: A жиыны B жиынына тең.

Жиындарға қолданылатын амалдар мен олардың қасиеттерін қарастыралық.

Олар келесі кестелерде көрсетілген.

Кесте1. Амалдардың белгіленуі

Амалдар мен белгіленуі

Анықтамасы

Диаграмма

Амалдар мен белгіленуі:

Бірігуі

С=А∪В

Анықтамасы:

С={cc∈A или c∈B}

Диаграмма:

Амалдар мен белгіленуі:

Қиылысуы

С=A∩B

Анықтамасы:

С={cc∈A и c∈B}

Диаграмма:

Амалдар мен белгіленуі:

Айырымы

С=A-B немесе

С=A\B

Анықтамасы:

С={cc∈A и c $\notin$ B}

Диаграмма:

Амалдар мен белгіленуі:

Симметриялық айырым

С=A ⊕ B немесе С=А ∆ В

Анықтамасы:

С= (A\B) ∪(B\A)

Диаграмма:

Амалдар мен белгіленуі:

A-ны U-ға дейін толықтыру

С $= \overline{A}$

Анықтамасы:

С=U\A

C={c $\notin$ A}

Диаграмма:

Жиындарға қолданатын амалдар қасиеттері

Бірігу амалына қатысты жиын қасиеттері

1 ⁰ . Коммутативтілік

А∪В = B∪A

2 ⁰ . Ассоциативтілік

(А∪В) ∪С= A∪ (B∪С)

3 ⁰ . Дистрибутивтілік

(А∩В) ∪С= (A ∩ B) ∪ (А ∩С)

4 ⁰ . Идемпотенция

А∪А = А

5 ⁰ . Де морган заңдылығы

$\overline{А \cup В} = \overline{A} \cap \overline{B}$

6 ⁰ . ∅ бос жиынмен амалдар

А ∪ ∅ = А

7 ⁰ . U жиынымен амалдар

А∪U = U => U= $\overline{\varnothing}$ => $\overline{U} = \varnothing$

8 ⁰ . Айырым амалдарының

A\(B∪C) =(A\B) ∩(A\C)

(А∪В) \С= (A\C) ∪ (B\С)

(А\В) \С= A\(B∪С)

А\(В \С) = (A\B) ∪(A∩С)

9 ⁰ . Симметриялық айырым

А∆В=В∆А

А∆В= (А∪В) \ (А∩В)

(А∆В) ∆С= А∆(В∆С)

А∩(В∆С) = (А∩В) ∆(А∩С)

Қиылысу амалына қатысты жиын қасиеттері

A∩ B=B∩A

(A∩B) ∩С=A∩(B∩С)

А∪(В ∩С) = (A ∪ B) ∩ (А∪ С)

А ∩ А = А

$\overline{А \cap В} = \overline{A} \cup \overline{B}$

А ∩ ∅ =∅

A∩ U = А

қасиеттері

A\B=A∩ $\overline{B}$ , A\A=∅

А\(В ∩С) = (A \ B) ∪ (А \ С)

(А∩В) \ С= (A \ C) ∩ (B \ С)

А\(A \B) = A∩B

амалдарының қасиеттері

1. 2 Жалпы білім беретін оқу орындарының жоғары сынып оқушыларының дискретті математиканы оқытудың мақсаттары мен мазмұны

Математикалық логика - бұл амалдардың талқылау анализі, сонымен қатар бірінші кезекте олардың құрылымы емес, талқылаулар формасы зерттеледі.

Талқылаулар формализациясы сонау заманғы Аристотельге келіп кіреді. Қазіргі заманның аристотельдік логикасы XIX ғасырдың екінші жартысында Джордж Бульдің «ой заңдары»(«законы мысли») атты кітабында жарық көрді. Сонымен қатар, пікір логикаларының құрылуына сол заманның П. С. Порецкий, де Морган, Фреге, Пирс, Шредер және т. б. сынды алпауыт ғалымдары үлкен үлестерін қосты.

Математилық логика өткен ғасырдың 50-інші жылдары, цифрлы техниканың дамуна байланысты қарқынды түрде ілгері дамыды.

1910 жылы орыс физигі П. Эренфест пікір логикасын байланыс телефонында қосып-сөндіргіш ретінде қолданылуы мүмкіндігін сипаттаған.

1938-1940 жж. бір уақытта, совет ғалымы В. И. Шестаков, америкалық ғалым Шеннон және жапон ғалымдары Накашима мен Ханазаваның математика логикасын цифрлы техникадан қолдануы жайында жұмыстары шыққан болатын.

1951 жылы КСРО-да С. А. Лебедевтің басқаруымен Еуропадағы ең алғаш - МЭСМ («Малая электронная счетная машина») есептеуіш машинасы эксплуатацияға енген еді.

Цифрлы аппаратураны қолдану үшін, математикалық логиканы қолдану жайындағы ең алғаш монографияны, 1950 жылы КСРО елінде совет ғалымы М. А. Гаврилов жариялаған. Дискретті математикадағы бұл бөлімнің дамуына совет ғалымы П. С. Новиковпен, оның оқушылары да орасан зор үлес қосқан.

Пікірлерді қолдану арқылы, нәтижиесінде пікір алатын болсақ оны логикалық амал деп атаймыз. Шын және жалған пікіріне 1 және 0 санын қою арқылы амалдарды есептеуге болады. Яғни, егер пікір шын болса 1 мәнін, жалған болса сәйкесінше 0 мәні қойылады. Логикалық амалдарды есептеу жолын шындық кестесі арқылы анықтаймыз.

Логикалық амалдардың бес негізгі және үш қосымша түрі бар.

А пікіріне теріс амал, яғни, А жалған болса шын деп, А шын болса жалған деп қабылдайтын пікір және оны мынадай түрде «┐А» белгілеп (Ᾱ), «А емес» деп оқимыз. Бұл анықтаманы келесі түрдегі шындық кестесі ретінде қарастырсақ:

1- кесте. А пікірінің толықтауышы

\overline{А}

А: 0

А¯\overline{А}: 1

А: 1

А¯\overline{А}: 0

А мен В пікірлерінің екеуі де шын болса ғана шын болатын амалды «конъюнкция» деп атайды. Және бұл пікірді А&B деп белгілеп, «А және В» деп оқылады.

2- кесте. А және В пікірлерінің конъюнкциясы

А∧В

А: 0

В: 0

А∧В: 0

А: 0

В: 1

А∧В: 0

А: 1

В: 0

А∧В: 0

А: 1

В: 1

А∧В: 1

3. А мен В пікірлерінің ең болмағанда біреуі шын болса ғана шын болатын пікірді «дизъюнкция» деп атайды. Және бұл пікірді АVB деп белгілеп, «А немесе В» деп оқылады.

3-кесте. А және В пікірлерінің дизъюнкциясы

А∨В

А: 0

В: 0

А∨В: 0

А: 0

В: 1

А∨В: 1

А: 1

В: 0

А∨В: 1

А: 1

В: 1

А∨В: 1

4. А және В пікірлері белгілі ретпен алынып, А пікірі шын ал В пікірі жалған болғанда ғана жалған болатын пікірді «импликация» деп атайды. Және бұл пікірді А→В деп белгілеп, «А импликация В» деп оқылады.

4-кесте. А және В пікірлерінің импликациясы

А→В

А: 0

В: 0

А→В: 1

А: 0

В: 1

А→В: 1

А: 1

В: 0

А→В: 0

А: 1