МАТЕМАТИКАЛЫҚ МАЯТНИК ТЕРБЕЛІСТЕРІН МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУ

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 43 бет
Таңдаулыға:

Кіріспе . . . 3-4

І ТАРАУ. МЕХАНИКАЛЫҚ ТЕРБЕЛІСТЕР

§1. 1. Гармониялық тербелістер және олардың сипаттамалары . . .

§ 1. 2. Еркін өшетін механикалық тербелістер . . .

§ 1. 3. Еріксіз механикалық тербелістер . . .

§ 1. 4. Параметрлік тербелістер . . .

ІІ ТАРАУ. МАТЕМАТИКАЛЫҚ МАЯТНИК ТЕРБЕЛІСТЕРІН МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУ

§ 2. 1. Математикалық модель туралы . . .

§ 2. 2. Дифференциалдық теңдеуді шешуге арналған сандық әдістер . . .

§ 2. 3. Жай дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы түсінік . . .

§ 2. 4. Математикалық маятник тербелістерінің математикалық моделі . . .

ІІІ ТАРАУ.

§ 3. 1. Физиканы оқытуда компьютерлік технологияны қолданудың негізгі бағыттары . . .

§ 3. 2. Физикалық құбылыстарды компьютерде модельдеп оқыту әдістері

ҚОРЫТЫНДЫ

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР

ҚОСЫМША

«Математикалық маятник тербелістерін математикалық модельдеу» қосымшасының

Кіріспе

Ғылым мен техниканың әр түрлі саласындағы физикалық процестер мен

құбылыстарды математикалық модельдеу ғылымның бүгінгі таңдағы

маңызды салаларының бірі. Сандық эксперимент негізінде сандык әдістер

арқылы математикалық модельдеудің есептерін шешу жатыр. Сандық әдістер

күшті, қуатты математикалық құрал. Қазіргі заманғы физика және

техникадағы процестерді сипаттайтын параметрлері әр түрлі болып келетін

математикалық модельдеумен сипатталынады. Бұл теңдеулерді

аналитикалық немесе графикалық әдістер арқылы шығару қиын, мұндай

есептер сандық әдістер арқылы компьютердің көмегімен шығарылады.

Сандық әдістер дамуы, алгоритмдік тілдердің пайда болуы және арнаулы

программалардың жасалуы физика мен техниканын қолданбалы есептерін.

компьютер арқылы шығару аналитикалық әдістерге қарағанда күрделі

есептеулер керек етпейді. Компьютер әр түрлі физикалық жүйелердегі

процестерді зерттеуге мүмкіндік береді.

Сандық теңдеулер жүйесін алгоритм деңгейіне дейін алып келу керек.

Программалау тілдерінің дүниеге келуі есептеу машиналарының дүниеге

келуімен байланысты емес, ол адамзат баласының Жер бетіндегі өмірімен

тығыз байланысты. Біздің ерте заманда өмір сүрген ата-бабаларымыз Жер

бетінде өмір сүрудің тиімді алгоритмдерін ойлап тапқан.

Шындығында, Жер бетінде өмір сүріп жатқан адамдар үлкенді немесе

кішілі программистер. Себебі біз күнделікті өмірімізге жоспар (программа)

жасаймыз және соны шешудің (алгоритм) жолдарын іздейміз.

Компьютерлік программа - машиналық командалардың жиыны, яғни

берілген алгоритмді компьютерде орындататын, яғни программалық форма.

Машиналық кодта компьютерде орындататын, яғни программалық форма.

Машиналық кодта жасалған программалар өте қиын, сондықтан да өткен

ғасырдың 50-жылдарында алгоритмдік программалау тілдері дүниеге келді.

Компьютерлік программа физикалық жүйелердегі процестерді модельдейді

және сандық экспериментін сипаттайды. Сонымен программа

лабораториялық эксперимент пен теориялық есептеуді байланыстыратын

элемент. Алынған нәтижелерді практикалық эксперимент негізінде алынған

нәтижелермен байланыстыра отырып сандық модельдеудің дұрыстылығы

анықталады.

Математикалық модельдеу төменде көрсеткен бөлімдерден тұрады:

Есеп беріледі
Сол есептің Математикалық моделі құрылады;
Математикалық моделдеуге Есептеу математикасының әдістері қолданылады(сандық әдіс) ;
Алгоритм жазылады
Программа жазылады
Жазылған программа компьютерде теріледі. .

Төменде берілген физикалық есептерде Ньютонның екінші заңы - барлық динамиканың негізі іргелі роль атқарады.

Белгілі уақыт моментіндегі дененің алатын үдеуі, осы моменттегі осы денеге әсер ететін күшке тура пропорционал да, дененің массасына кері пропорционал.

Ньютонның екінші заңының өрнегі:

$\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}(t) }{m(t) }, \ \ \ \ үдеуге\ байланысты\ берген\ өрнегі$

$\ \ \ \frac{\ d\overrightarrow{\upsilon}}{dt} = \frac{\overrightarrow{F}(t) }{m(t) }, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ жылдамдыққа\ байланысты\ берген\ өрнегі$

$\frac{d^{2}\overrightarrow{S}}{dt^{2}} = \frac{\overrightarrow{F}(t) }{m(t) }\ және\ орын\ ауыстыруға\ байланысты\ алатын\ болсақ$

Физикалық шамалардың ілездік мәндерін байланыстыра отырып, Ньютонның екінші заңы күш пен массаның әртүрлі өзгерістерінде денелердің қозғалысын зерттеуге мүмкіндік береді.

І ТАРАУ. МЕХАНИКАЛЫҚ ТЕРБЕЛІСТЕР

§1. 1. Гармониялық тербелістер және олардың сипаттамалары

Гармоникалық тербелмелі қозғалыс деп нүкте қозғалысының тепе-теңдік қалпынан ауытқу шамасының синусоида немесе косинусоида бойымен периодты түрде қайталанып отыруын айтамыз.

Егер тербелістегі нүктенің тепе-теңдік қалпынан ауытқу шамасынын х арқылы белгілесек, онда осы ауытқудың уақытқа байланысты өзгеруі мына формуламен өрнектеледі:

$x = Acos(\omega t + \varphi_{0})$

немесе

$y = Asin(\omega t + \varphi_{0})$ (1. 1)

Енді қозғалыстағы нүктенің кинетикасын қарастарайық . А нүктесі радиусы R шеңбер бойымен тұрақты $\omega$ бұрыштық жылдамдықпен сағат тіліне қарсы бағытта бірқалыпты қозғалсын.

1-сурет

Егер алғашқы t = 0 уақыт мезетіндегі К ₀ -ге сәйкес келсе, онда нүкте t уақыттан кейін шеңбер бойымен қозғала отырып, $\varphi = \omega t\$ бұрышына бұрылады.

К1 нүктесінің Х және Ү осьтеріндегі проекцияларын M және N арқылы белгілейік. К ₁ нүктесі шеңбер бойымен қозғалғандықтан M, N нүктелері Х, Ү осьтері бойынша периодты түрде қайталанып орын ауыстырады. Сөйтіп, M, N нүктелері О нүктесінің маңында Х, Ү осьтері бойымен тербелмелі қозғалыс жасайды. Олай болса, M және N нүктелерінің уақытқа байланысты ауытқуы (1. 1) формулалар бойынша анықталады, яғни 1-суретте көрсетілгендей, бұл формулаларды мына түрде жазуға болады:

$OM\ = \ x\ = \ Acos\varphi\ = \ Acos\omega t$

$OMN\ = \ y\ = \ Asin\varphi\ = \ Asin\omega t$ (1. 2)

Егер t = 0 мезетте тербелістегі нүкте өзінің тепе-теңдік қалпында болмаса, онда оның алғашқы фазасы ( $\varphi_{0}$ ) туралы сөз болады. Сонда соңғы теңдеулер (1. 1) формулаға ұқсас болып шығады.

Сонымен, егер нүкте шеңбер бойымен бірқалыпты айналмалы қозғалатын болса, онда оның диаметрге түсірілген проекциялары сол диаметр бойымен гармоникалық тербелмелі қозғалыс жасайды. Бұл айтылған пікір гармоникалық тербелмелі қозғалыстың кинематикалық анықтамасын сипаттайды.

Тербелістегі нүктенің тепе-теңдік қалпынан ең үлкен ауытқуын оның (А) амплитудасы деп атайды. Ал тербеліс периодына кері шама $\nu$ тербеліс периодының жиілігі делінеді. Бұл шама бірлік уақыт ішіндегі тербеліс санын көрсетедеі. Егер нүкте шеңберді толық бір айналып шықса, онда $\varphi = 2\pi$ , олай болса бұрыштық жылдамдық мына түрде жазылады:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu,$

Өйткені $\nu = 1/Т$ тең. Сонымен (1. 1) формуладағы А-тербелістегі нүктенің амплитудасы, $\omega t + \varphi_{0}$ -оның фазасы. Ал $\varphi_{0}$ -тербелістің алғашқы фазасы.

Енді гармоникалық тербелмелі қозғалыс жасайтын нүктенің жылдамдығы мен үдеуін анықтайық. Ол үшін $\vartheta = dx\text{/}dt$ ; 2yt $a = d\vartheta\text{/}dt$ ескеріп, (1. 1) формуланы жазайық:

$\vartheta = \frac{dx}{dt} = A\omega cos\left( \omega t + \varphi_{0} \right) = \frac{2\pi}{T}Acos\left( \omega t + \varphi_{0} \right) ;$

$a = \frac{d\vartheta}{dt} = - A\omega^{2}\sin\left( \omega t + \varphi_{0} \right) = \omega^{2}x = - \frac{4\pi}{T^{2}}x.$ (1. 3)

(1. 3) формуладағы (-) таңбасы үдеудің ауытқу бағытына қарама-қарсы екендігін көрсетеді.

Сөйтіп, гармоникалық тербелістегі нүктенің жылдамдығы тепе-теңдік қалыптың маңында, ал үдеуі ауытқудың шеткі мәндерінде максимум мәніне ие болады.

Енді нүктенің қандай күштің әсерінен гармоникалық тербеліске келетіндігін табайық. Ньютонның екінші заңы бойынша $F = ma$ . (1. 3) формуланы пайдаланып бұл теңдікті былай жазайық:

$F = \ - \ mA\omega^{2}\sin\left( \omega t + \varphi_{0} \right) = {\ - \ ma}^{2}x.$

Бұдан тербелістегі нүктеге әсер етуші күш оның ауытқу шамасына тура пропорционал және әрдайым тепе-теңдік қалыпқа қарай бағытталатындығы анықталады. Сондықтан мұндай күшті қайтарушы күш деп атайды. Олай болса, күштің периоды мен фазасы үдеудің периоды мен фазасына дәл келіп отырады.

Мысал ретінде серпімді күштерді, яғни Гук заңын алайық:

$F = \ - kx,$

мұндағы: $\ k = {\ ma}^{2}$ -қа тең.

Егер тербеліс х осінің бойымен түзусызықты болады десек, онда үдеу $a = d^{2}x\text{/}dt^{2}$ болар еді. Сонда Ньютонның екінші заңы бойынша:

$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = \ - \ kx; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m = \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + kx = 0. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ (1. 4)

Осы формула гармоникалық тербелмелі қозғалыстың дифференциал теңдеуі деп аталады.

Сонымен, гармоникалық тербеліске мынадай динамикалық анықтама беруге болады. Нүктенің гармоникалық тербелісі деп ауытқу шамасында тербелетін және тербелістің орташа мәніне қарай бағытталған тербелісті айтамыз.

§ 1. 2. Еркін өшетін механикалық тербелістер

Барлық реалды тербелістегі жүйелер диссипативті болып табылады Мұндай жүйенің тербелісінің механикалық энергиясы үйкеліс күшіне қарсы жұмыс істеуге жұмсалатындықтан, еркін тербелістер амплитудалары ары біртіндеп кеміп, өшеді. Бұл құбылыстарды айналу осінің екі ұшына жіп оралған Д. Максвелл маятнигімен тәжірибе жасау арқылы байқауға болады (2-сурет)

2-сурет. Максвелл маятнигі

Ауырлық күшінің әсерінен Д. Максвелл маятнигі тік вертикаль бағытта өзінің осімен айналу тербелістерін жасайды. Маятниктің осін жіпке орау арқылы H биіктікке көтеріп, оған mgH потенциалдық энергия берейік. Маятник алғашқы тепе-теңдік күйіне жеткенде потенциалдық энергия толық кинетикалық энергияға айналады. Маятник тоқтап қалмай қайтадан айналу осіне жіпті орап көтеріле бастайды (кинетикалық энергиия потенциалдық энергияға алмасады) . Бірақ жіппен айналу осінің арасындағы пайда болатын үйкеліс және ауаның кедергі күшінің әсерінен, маятник бастапқы биіктігінен кіші биіктікке көтеріледі (энергияның бір бөлігі үйкеліс және кедергі күштерін жеңуге жұмсалады) . Осылайша маятник амплитудалары кеміп отыратын бірнеше тербелістер жасап, тепе-теңдік орнында тоқтайды. Көптеген жағдайларда (құрғақ үйкеліс жоқ болғанда) үлкен емес жылдамдықтарда механикалық тербелістерді өшіретін күш дененің жылдамдығына пропорционал болатындығы тәжірибе жүзінде дәлелденген, Бұл күшті оның табиғатына байланыссыз үйкеліс күші деп атайық:

${\overrightarrow{F}}_{уй} = - r\overrightarrow{\vartheta}$ (2. 1)

Мұндағы, r - кедергінің коэффициенті, $\vartheta$ - дененің жылдамдығы. Теріс таңба үйкеліс күші әрқашан қозғалысқа қарсы бағытталдығын көрсееді. ОХ осінің бойымен тербелетін сызықты өшетін тербеліс үшін Ньютонның екінші заңын жазайық:

$ma_{x} = - kx - r\vartheta_{x}$ (2. 2)

Мұндағы, m - тербелістегі дененің массасы, $\vartheta_{x}$ және $a_{x}$ жылдамдық пен үдеудің ОХ осіндегі проекциялары, $- kx, r\vartheta_{x}$ , қайтарушы және үйкеліс күштерінің ОХ осіндегі проекциялары.

$U. \ = \ dx/dt$ , $a_{x} = \frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ , шамаларын (2. 2) теңдігіне қойып, түрлендірген соң мына теңдеуді аламыз:

$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + r\frac{dx}{dt} + kx = 0$ (2. 3)

m массасы, r кедергі және k серпімділік коэффициентін тербелістегі жүйенің параметрлері деп атайды. Егер болса $\frac{r}{2m} \leq \sqrt{\frac{k}{m}}\ \ \$ (2. 3) дифференциалды теңдеуін шешудің нәтижесінде орын ауыстырудың уақытқа тәуелділік заңы шығады:

$x = A_{0}e^{\frac{r}{2m}t}sin(wt + \varphi_{0})$ (2. 4)

Мұндағы, е-натурал логарифмнің негізі:

$A = A_{0}e^{\frac{r}{2m}t}$ (2. 5)

өрнегі өшетін тербелістің амплитудасы.

Өшетін тербелістердің амплитудасы уақыт өтуіне байланысты кедер коэффициенті артқан, ал массасы азайған сайын (жүйенің инерттілік кемігенде) жылдам кемиді:

$\omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - {(\frac{r}{2m}) }^{2}}$ (2. 6)

шамасы диссипативті жүйенің меншікті циклдік жиілігі, $\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}\$ үйкеліс күшін ескермегендегі, жүйенің еркін өшпейтін тербелісінің меншікт жиілігі. t және t+T уақыт мезетіндегі өшетін тербелістердің амплитудаларының қатынасын табайық. Т - тербеліс периоды.

Өшетін тербелістер периодты емес, өйткені оларда орын ауыстырудың жылдамдықтың, үдеудің максимал мәндері ешқашан қайталанбайды. Сондықтан $\omega$ шамасы, $\pi\$ секундта тербелістегі жүйе қанша рет тепе-теңдік күйден өтетіндігін көрсетсе ғана, оны шартты түрде өшетін тербелістің цикльдік жиілігі ретінде қарастыра аламыз. Сондықтан

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\omega^{2} - {(\frac{r}{2m}) }^{2}}}$ (2. 7)

шамасын өшетін тербелістің периоды, дәлірек айтсақ, өшетін тербелістің шартты периоды деп атайды. Өшетербелістердің t және t+T уақыт мезетіндегі амплитуданың қатынастарын анықтайық:

$\frac{A_{n}}{A_{n + 1}} = \frac{A_{0}e^{- \frac{r}{2m}t}}{A_{0}e^{- \frac{r}{2m}(t + T) }} = e^{\frac{r}{2m}T}$ (2. 8)

немесе

$\frac{A_{n}}{A_{n + 1}} = e^{\beta T}$ (2. 9)

Мұндағы, $\beta = \frac{r}{2m}\$ өшу коэффициенті деп аталады.

Т уақыт аралығында бірінен соң бірі келетін амплитудалардың орын уыстыруларының қатынастарының натурал логорифмін өшудің логарифмдік декременті деп атайды:

$\delta = ln\frac{A_{n}}{A_{n + 1}} = \beta T$ (2. 10)

$\beta$ және $\delta$ шамаларының физикалық мағынасын түсіндіру мақсатында $\tau$ арқылы тербелістің амплитудасы е есе кемитін уақытты белгілейік:

$\frac{A_{0}}{A_{r}} = e^{\beta\tau} = e$

Бұдан $\beta\tau$ =1 немесе $\beta = \frac{1}{\tau}$ қатынасы шығады. Олай болса $\beta$ амплитуда е есе кемитін, $\tau$ уақыт аралығына кері физикалық шама.

$\beta = 10^{2}c^{- 1}\$ теңдігі тербеліс амплитудасы 10 ^-2 с уақытта е есе кемитіндігін көрсетеді. N рет тербеліс жасағанда амплитуда е есе кемісе, мына қатынастар алынады:

$\tau = N \bullet T\,$ $\delta = \beta T = \frac{T}{\tau} = \frac{1}{N}$

$\tau$ - релаксация уақыты. Өшудің логарифмдік декременті N тербеліс жасағанда, амплитудасы е есе кемитін тербеліс санына кері физикалық шама. Мысалы, $\delta$ = 0, 01 мәні 100 рет тербелгенде амплитуда е есе кемитіндігін көрсетеді. Егер тербелістің өшу коэффициенті онша үлкен болмаса, онда ол шартты алынған периодқа әсерін тигізбейді (3-сурет) .

3-сурет. Тербелістің өшу коэффиценті үлкен болмаса, периодқа әсерін тигізбейді.

Егер өшу коэффициенті үлкен болса, амплитуда жылдам кеміп, тербеліс периоды артады. Кедергі критикалық мәнге тең болғанда, яғни:

$r = r_{k} = 2m\omega_{0}$ немесе $\beta = \omega_{0}$

(2. 6) теңдеуінен өшетін тербелістердің циклдік жиілігі айналатындығын көреміз. Олай болса, тербеліс тоқтайды. Тепе-теңдік әсер күйінен қандай да бір сыртқы күштің әсерінен ауытқыған жүйе, жойылғаннан соң апериодты түрде тепе-теңдік орныңа оралады. (4-сурет)

Тербелмелі қозғалыста жүйе тепе-теңдік күйге оралған мезетте, онда кинетикалық энергияның қоры болады. Апериодты қозғалыста тербелістегі жүйенің барлық механикалық энергиясы үйкеліс күшін жеңуге жұмсалады Үйкеліс күші өте үлкен болғанда апериодты қозғалыс баяу өтеді.

4-сурет. Апериодты қозғалыс

§ 1. 3. Еріксіз механикалық тербелістер

Тербеліс жасайтын жүйеге серпімді $- \ kx$ және кедергі $- r\vartheta$ күштерінен басқа қосымша периодты $\overrightarrow{F}$ еріксіз күш әсер етсін делік. Мұндай тербеліст астынан жоғары қарай тең уақыт аралығында итеріліп отыратын серіппег ілінген жүк жасайды. Егер мәжбүр күштің периодты жүйенің еркін тербелісінің периодына тең болмаса, алғашқыда бірнеше соғу байқалып, содан соң амплитудасы тұрақты тербеліс орнығады.

5-сурет. Еріксіз тербелістер

Еріксіз және еркін қозғалыстардың қосылуының нәтижесінде, соғу пайда болады. ОХ осінің бойымен еріксіз тербеліс массасы т дене үшін қозғалыс теңдеуін жазайық:

$mа_{х} = - kx - r\vartheta_{x} + F_{x}$ (3. 1)

Мұндағы, F _х - периодты әсер ететін $\overrightarrow{F}$ мәжбүр күштің ОХ осіндегі құраушысы.

(3. 1) теңдеуіндегі жылдамдық пен үдеуді орын ауыстырудың уақыт бойынша бірінші және екінші туындылары арқылы өрнектеп, төмендегі еркекті аламыз:

$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + r\frac{dx}{dt} + kx = F_{x}$ (3. 2)

Мәжбүрлейтін күш гармоникалық заңмен өзгеретін қарапайым қарастырайық:

$F_{x} = F_{0}cos\omega t$ (3. 3

$\overrightarrow{F}\$ күшінің әсерінен пайда болған жүйенің еріксіз тербелісін гармоникалық, ал циклдік жиіліктерін тең деп алып, тербелістің А амплитудасы мен бастапқы фазасын $\varphi_{қ}$ анықтайық:

$x = A\sin{(\omega t + \varphi_{0}) }$ (3. 4)

өрнегінен жылдамдық пен үдеуді табамыз:

$\vartheta_{x} = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left\lbrack Asin\left( \omega t + \varphi_{0} \right) \right\rbrack = A\omega cos(\omega t + \varphi_{0})$

$a_{x} = \frac{d\vartheta}{dt} = \frac{d}{dt}\left\lbrack A\ cos\left( \omega t + \varphi_{0} \right) \right\rbrack = - A\omega^{2}\sin\left( \omega t + \varphi_{0} \right) = A\omega^{2}cos(\omega t + \varphi_{0} + \frac{\pi}{2})$

$x = Acos(\omega t + \varphi_{0} - \frac{\pi}{2})$

Осы өрнектерді (3. 2) теңдігіне қойып, мына теңдеуді аламыз:

$mA\omega^{2}\cos\left( \omega t + \varphi_{0} + \frac{\pi}{2} \right) + rA\omega\cos\left( \omega t + \varphi_{0} \right) + kA^{2}\cos\left( \omega t + \varphi_{0} - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{F}{mA}cos\omega t$