Математикалық индукция әдісі
Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті
Оспанова Ганзира Айтхожаевна
ОҚУШЫЛАРДЫҢ ЖАС ЕРЕКШЕЛІКТЕРІН ЕСКЕРЕ ОТЫРЫП,
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ИНДУКЦИЯ ӘДІСІ ТАҚЫРЫБЫН БЕРУДІҢ ЖАҢА ӘДІСТЕМЕСІ
6М010900 - Математика мамандығы
бойынша математика магистрі академиялық
дәрежесін алуға магистрлік диссертация
(ғылыми - педагогикалық бағыт)
Нұр - Сұлтан 2020
Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті
Қорғауға жіберілді
Механика - математика
факультетінің деканы,
PhD докторы
_______ Д.Х. Қозыбаев
__________2020ж
Магистрлік диссертация
Тақырыбы: Оқушылардың жас ерекшеліктерін ескере отырып,
Математикалық индукция әдісі тақырыбын берудің жаңа әдістемесі
6М010900 - Математика мамандығы бойынша
(ғылыми - педагогикалық зерттеу)
Магистрант: _______________ Г.А.Оспанова
Ғылыми жетекшісі
PhD _________________ Ғ.Е.Тауғынбаева
Кафедра меңгерушісі
PhD ________________ Р.Ж.Наурызбаев
Нұр - Сұлтан 2020
Мазмұны
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
І. ОРТА МЕКТЕПТЕГІ МАТЕМАТИКА ПӘНІ ОҚУЛЫҚТАРЫНДАҒЫ МАТЕМАТИКАЛЫҚ ИНДУКЦИЯ ТАҚЫРЫБЫНА ШОЛУ ЖӘНЕ АНАЛИЗ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6
0.1 Қазақстан Республикасында орта мектептерде қолданыста болған
және қолданыстағы оқулықтарындағы Математикалық индукция
тақырыбына шолу және оларға анализ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...6
0.2 Ресей орта мектептерде қолданыста болған және қолданыстағы
оқулықтарындағы Математикалық индукция тақырыбына шолу және
оларға анализ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..9
0.3 Шетел мектептерінде қолданыста болған және қолданыстағы
оқулықтарындағы Математикалық индукция тақырыбына шолу және
оларға анализ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
ІІ МАТЕМАТИКАЛЫҚ ИНДУКЦИЯ ӘДІСІН МЕКТЕПТЕ БЕРУ
2.1. Математикалық индукция әдісінің берілу тарихы ... ... ... ... ... ... ... . ..17
2.2. 2019-2020жылдары математикалық индукция әдісі қай сыныптарда
қанша сағат берілді ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
2.3. Математикалық индукция әдісі Н.Н.Темірғалиевтің беруі ... ... ... ... ..28
2.4. Факультатив сабақ (34 сабақ математикалық индукция жоспары,
талқылануы, материалдары) ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..31
2.5.Эксперимент (8,9,10,11) қорытындылау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .54
ІІІ. Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..65
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..67
КІРІСПЕ
Ақыл-ойды тәртіпке келтіретін математика екенін әлімсақтан белгілі. Ал осы біздің мектептеріміздегі математика мазмұны қалай жасалуда? Қандай тақырыптарға өз деңгейінде сағаттар бөлініп, қай деңгейде оқытылып жатыр? Математикалық индукция әдісі қаншалықты керек? Оны түсіндірудің қиындықтары неде? Қоғамның өзгеруі мен дамуының осы типтес сұрақтарға берер жауабы қандай? Математикалық индукция әдісін қолданудың қандай жолдары бар? Математикалық индукция әдісін берудің жаңа қандай әдістерін ұсынған тиімді ?-деген сұрақтар ұстаздар қауымында көптеп қойылуда. Осы және де басқа сұрақтарға мейлінше дәл жауап беру үшін осы тақырыпты зерттеуді қолға алдық.
Мектепте берілетін математикалық білімніің мазмұны қоғамның дамуымен бірге заман ағымына қарай түбегейлі болмағанмен өзгеріске ұшырайтыны рас. Осы орайда ой-түйіндеу мен қорытындылау нәтижесінде қол жеткізілетін тапсырмалар мен математикалық индукция әдісімен шығарылуы әдеттегіден оңайлау есептер кездесіп тұрады. Негізінен математикалық индукция әдісін нақты 9 сыныпта қарастырғанмен жалқыдан жалпыға өту мәселесі, осы жолмен тұжырымға келу есептері одан ертерек қолға алынады.
Білім алушыларға бүгінде тек есептерді техникалық жолмен шығара беруден гөрі оларды ой-тұжырымдауға баулитын, шешім қабылдау барысында логикалық реттілікті үйрететін әдістің бірі - математикалық индукция әдісі деп білеміз. Тепе-теңдіктер мен теңсіздіктерді дәлелдеу, бөлінгіштіктің қасиеттері, геометрия есептерін шығаруда математикалық индукция әдісі есепті дұрыс шығару процесін едәуір жеңілдетеді.
Өзектілігі: Метематикалық индукция әдісін пайдаланып есептерді шығару екінің бірінің қолынан келе бермейтіні рас.Бұл салыстырмалы түрде - күрделі тақырыптардың бірі. Алайда, математикалық индукция әдісі арқылы дәләлденетін көптеген есептерді шығаруға оңайырақ жолмен жету мақсатында бұл тақырыпты меңгерудің ролі зор. Жалқыдан жалпыға өту мәселесі жасанды интеллекті дамыту мен бірге қоғам дамуына қарай ілгерілеп отырған математикалық білім мазмұнында өзінің ойып тұрып алатын орны бар екендігі ғылымның қаншалықты қарыштап даумуымен байланысты. Сондықтан да осы әдісті үйретудің бірден-бір жолы жаңа тәсілмен берудің сапалы жағын қарастыру болып табылады.
Мақсаты: Оқушылардың жас ерекшелігіне қарай математикалық білім мазмұнын жасау белгілі нәрсе болғанымен, тақырыпты беру барысында олардың психологиялық ахуалын да бақылаған дұрыс. Осы орайда математикалық индукция әдісін беруде жас ерекшелігін сақтай отырып есептерді жүйелеу, тақырыптардың күрделілігіне қарай есептер мазмұнын құрастыру сияқты нәрсеге көңіл бөлу.
Міндеттері:
Мектеп оқулықтарындағы математикалық индукция әдісіне шолу жасау,
Мектеп оқулықтарындағы математикалық индукция әдісіне анализ жасау,
Математикалық индукция әдісіне берудің әдістемесін ұсыну,
Эксперимент жасау арқылы математикалық индукция әдісін беру жас ерекшеліктерін анықтау,
Факультативтік сабақ бағдарламасын ұсыну.
1. Орта мектептегі математика пәні оқулықтарындағы математикалық индукция тақырыбына шолу және анализ
0.1 Қазақстан Республикасында орта мектептерде қолданыста болған және қолданыстағы оқулықтарындағы Математикалық индукция тақырыбына шолу және оларға анализ
Математиалық индукция әдісі мектеп математикасындағы математикалық анализді түсінуге, әрі түйсінуге бағыттайтын бірден-бір тақырып болып табылады.. Бүгінгі күнге дейін математикалық индукция тақырыбын түсінікті беру, мектеп математика оқулықтарына енгізу үшін көптеген оқулықтар мен оқу құралдары пайдалаылды.
Оқулықтардағы математикалық индукция әдісінің берілуі аясында жұмыс жасау мақсатында Отандық және Ресей оқулықтарын [1-11] және тағы басқа оқулықтар мен оқу құралдарын қарастырдым.
Ә.Н.Шыныбеков, Д.Ә. Шыныбеков, Р.Н.Жұмабаев. Жалпы білім беретін мектептің 9 сыныбына арналған Алгебра оқулығында математикалық индукция әдісінің анықтамасын бермес бұрын толымсыз және толық индукцияға тоқталып өткен.
Математикалық индукция анықтамасын бермес бұрын қарастырылып отырған мысалдар жүйесіздеу берілген.
Бәрін оқушы біледі деп жорамалдаған сияқты. Бұл оқушыға қиын тиеді. Математикалық индукция тақырыбындағы тапсырмалар деңгейі де бірден күрделі болып берілген.
Оқулыққа көз жүгіртетін болсақ алдымен математика үшін пікір дегеніміз не?Алақай, бүгін мереке! Күн жылы ма? - осылардың барлығы пікір ма?Сол анықтамасы белгісіз пікір ақиқат дегеніміз не?
Ал осы екі қадамнан өтсек не болады? Егер осы кезеңдердің екеуі де дәлелденсе, онда A(n) сөйлемі математикалық индукция принціпі бойынша кезкелген натурал n саны үшін орындалады.
Енді (1) теңдіктің ақиқаттығына оралайық. Дәлелдеуіміз бойынша А(1) ақиқат және А(k)-ның ақиқаттығынан A(k+1)-дің ақиқаттығына көз жеткіздік. Олай болса, теңдік кез келген натурал саны үшін орындалады. Алайда, анықтаманы беру және мысалды көрсету бірі басында, екіншісі аяғында келгендіктен оқушы ойы шашырап өз бетінше түсінуіне мүмкіндік болмайды.
Десек те, анықтамаға дейінгі мысалдың күрделілігі анықтаманы толық түсінуге кедергі жасайды. Жалпы осы оқулықтағы тапсырмаларда да бөлінгіштік тақырыбына есептер берілмегенімен оған тақырыпты беру барысында түсіндіру мысалы қарастырылмаған.
Әбілқасымова А.Е., Кучер Т.П., Корчевский В.Е., Жумагулова З.А. Жалпы білім беретін орта мектептің 9 сынып Алгебра оқулығында математикалық индукция әдісітеорема түрінде берген де бірақ оның дәлелдеуі түсініксіз берілген. Мысалдың түрі көрсетілген де бірақ дәлелдеуі келтірілмеген.
Тағы да сол қателік, тақырып тұжырым дегеннің не екенін анықтамастан, 3 мысалға сүйеніп, үшеуінде де натурал сандар қатысады делінген.Артынша, дәлелдеудің бір түрі - математикалық индукция әдісін теорема арқылы берген. Теоремада A(n)тұжырымын да солай натурал санды қамтитын деп алып, екі қадамнан кейін ол кез келген натурал сан үшін орындалатындығын айтады. Мысалдарды бергенімен де шығару жолы оқулықта түсіндірілмеген.
9сыныпқа арналған Г.Н.Солтан, А.Е.Солтан, А.Ж.Жумадилованың Алгебра оқулығы, бұл оқулықта математикалық индукция әдісін аксиома негізінде берген. Бірақ анықтаманы бермес бұрын натурал сандар негізінде мысал дәледенбеген. Бірден тұжырым туралы айтылады да, оған түсінік кейін беріледі. Бұл оқулықта да берілген қателіктер жоғарыдағыдай.
Оқулықта тапсырмалар іріктеліп, математикалық индукцияны пайдаланып дәлелдейтін көптеген мысалдар мен есептер берілген. Бірақ толымсыз, толық индукциялар туралы жақ ашпапты. Тақырып толық емес, тек ойып алынған деңгейде берілген. Жүйе жетіспейді.
Келесі оқулық Н.Т.Темірғалиевтың, Б.Әубәкір, Е.Баилов, М.К.Потапов, 10 сыныпқа арналған Алгебра және анализ бастамалары оқулығында математикалық индукция тақырыбы өте жақсы берілген.Оқулық жоба түрінде болғанымен математикалық индукция әдісі өте сауатты берілген. Тақырып ты түсіндіру барысында анықтамаға дейін пікір ұғымын жақсылап бекіткендіктен анықтама мейлінше түсінікті.
Теориясы да мысалдармен астасып, жүйелі түрде берілген. Меніңше осы оқулықтағы математикалық индукция тақырыбының берілуі ең жүйелісі сияқты.
А.Е.Әбылқасымова, Н.Р.Майкотов,Қ.А. Қаңлыбаев, Ә.С.Кенеш, жалпыбілім беретін мектептің 9 сыныбына арналған Алгебра оқулығында математикалық индукция тақырыбы прогрессиялардан соң берілген. Математикалық индукция әдісін беруде натурал сандарға тоқталып барып берген.
Алайда, математикалық индукцияның анықтамасын бергенде дерексіздік орын алатын сияқты, яғни n=n0 ,болған жағдайдың өзі оқушыға түсінуіне қиындық туғызары анық. Тақырыпты бекітуге берілген есептер әртүрлі болғанымен деңгейленуі дұрыс емес. Бірді айтып бірге кеткен сияқты, немесе әр тақырыптан жүйесіз жиналған есептер сияқты.
Десе де математикалық индукция тақырыбын сан тізбегі, прогрессиялардан соң беретіндігі дұрыс деп ойлаймын.
1.2 Ресей орта мектептерде қолданыста болған және қолданыстағы оқулықтарындағы Математикалық индукция тақырыбына шолу және оларға анализ
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. және басқалар,. Жижченко А.Б редакциялауымен Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) оқулығында математикалық индукция тақырыбы мысалдан басталған. Жаңадан басталған тақырып оқушыларға түсіндірілместен толық емес индукция, толық индукция әдісі бойынша дәлелдейік деген. Оны оқушылар бірден түсіне қоймайды. Одан кейін бары математикалық индукция әдісі төмендегідей берілген:
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Анықтамаға назар аударсақ, алдымен айтылым-утверждение берілсін дейді, ал ол не?! Оның анықтамасы да түсіндірмесі де берілмейді.
1) және 2) қадамдар дәлелденгеннен кейін неге 2,3,4 сандары үшін орындалатындығын ашып айтпаған. Оны мектеп жасындағы оқушының өз бетімен түсінуі мүмкін емес.
Келесі оқулық Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова және С.А.Теляковскийдің Алгебра 9 сынып (учебник для общеобразовательных учереждений) оқулығы.
Аталмыш оқулықта тақырыптың методологиясы көп оқулықтарға қарағанда дұрыс берілген. Ең бастысы көп оқулықтарда математикалық индукция әдісінің мүлдем мән берілмейтін жағы қарастырылған: ол - дәлелденіп отырылған тұжырымның неге екі қадамды дәлелдеу арқылы кез келген натурал сан үшін дұрыс деген қорытынды шығара алатындығын мысал арқылы көрсеткен. Бір ғана кемшілігі оқулықтағы математикалық индукция тақырыбына берілген тапсырмалар саны аз және 2 мысалда көрсетілген сандардың бөлінгіштік қасиетін дәлелдеуге мүлде тапсырма жоқ. Математикалық индукция тақырыбы дәл осы бөлінгіштік тақырыбындағы дәлелдеулерге таптырмас құрал немесе аппарат деуге болады. Яғни 2 мысал бойынша бекіту тапсырмалары жоқ.
И.Я.Виленкин, Г.С.Сурвилло, А.С.Симонов, А.И.Кудрявцев. Алгебра 9-класс Математикалық Индукция анықтамасы келесі түрде берілген. Бұл оқулықта математикалық индукцияның анықтамасын берудің алдында түсінікті етін мысал берілген. Анықтаманы бергенде тұжырымды бірден айтып кететін жері күрлелілеу, яғни оқушының түсінуіне қиындық келтіреді. Тапсырмалары да күрделі болып келген. Алайда, тапсырма легі көп болғанымен деңгейлері дұрыс қойылмаған.
Сондай - ақ 9 сынып кейінгі жылдарда шыққан жалпы білім беретін мектептерге арналған оқулықтарда математикалық индукция әдісі туралы мүлдем айтылмаған. Атап айтсақ, Г.В. Дорофеевтің 9 сыныпқа арналған алгебраларында, Муравин Г.К, Кузнецова Е.П, Шнеперман Л.Б. 9 сыныпқа арналған оқулығы, Алимов Ш. т.б. 9 сыныпқа арналған жалпы білім беретін мектепке арналған оқулықта және т.б. бұл әдіске тоқталмаған.
1.3 Шетел мектептерінде қолданыста болған және қолданыстағы оқулықтарындағы Математикалық индукция тақырыбына шолу және оларға анализ
Диссертацияны жазу барысында, яғни өз зерттеулерімді бастағанда бірден әдебиеттермен жұмыс жасауыма тура келді. Осы орайда Отандық, Ресей, ТМД елдерінің математикалық индукция тақырыбын беруі мен бірге шетелдік оқулықтар туралы жазылған мақалалармен де таныстым. Көптеген Әлемдік деңгейдегі педагог-математиктердің жұмысын [11-14] қарасырып, зерттеп, зерделедім. Солардың біразына тоқталып өткім келіп отыр.
Австралиялық ғалым Мэтью т. Майклсон [11] Квинсленд технологиялық университеті профессорының математикалық индукцияны берудегі педагогикалық зерттеу шолу жасаған мақаласында бұл әдісті берудің ерекшеліктері мен құндылығына тоқталған. Және оның қай жастан бастап беру керектігінің тиімділігін мақаланың негізгі арқауы ретінде қарастырған.
Математикалық индукция-бұл математикалық тұжырымдардың шынайылығын анықтау үшін қолданылуы мүмкін дәлелдемелер әдісі. Бұл кәсіби практикалық құжат математикалық индукция түсінігін ұсынады, ол австралиялық оқу бағдарламасына қалай қатысты: математика және орта мектеп мұғалімдері бұл техникаға студенттер үшін жақындай алады. Атап айтқанда, дәлелдеме бойынша әдебиет ұсынылады - атап айтқанда, математикалық индукция және бірнеше пысықталған мысалдар шешуге байланысты негізгі қадамдарды бейнелейтін болады. Сабақ беру және оқыту саласындағы әртүрлі ескертулерді зерделегеннен кейін мақала орта сыныпта пайдаланылуы мүмкін математикалық индукция міндеттерінің кейбір мысалдарымен аяқталады.
Математикалық индукциямен техникалық мәселелер дәлелдемелерді әзірлеу үшін қажетті қадамдар арқылы жұмыс істей алмайтын студенттерді қамтиды. Жоғары сынып оқушыларына да, жоғары оқу орындарының студенттеріне да арналған зерттеуде Бейкер (1996)" формальды математикалық фон жеткіліксіз "(16-бет) және" математикалық мазмұнды жеткіліксіз білу " (15-бет) студенттердің математикалық индукция көмегімен дәлелдеме жасауға қабілетсіздігіне ықпал ететін іргелі факторлар болып табылады. Авиталь және Либескинд (1978) сияқты негізгі алгебралық аргументтерді жүзеге асыра алмайтынын, сондай-ақ студенттер математикалық білім берудің дәлелдемелерін индукциялау кезеңінде алгебралық манипуляцияларда кездесетін мәселелерге кеңінен түсініктеме берді. Сол сияқты Эрнест (1984) индукция кезеңінде k + 1 n-ге ауыстыру көптеген студенттер үшін проблема болып табылатынын атап өтті.- дейді Мэтью Австралия математикалық журналындағы мақаласында. Жалпы жұмыста мектептен көпжылдар бойы алынып тасталынған, ал кейбір мектептерде 11 сыныпта берілгендіктен жоғары сынып оқушылары математикалық индукция ідісін толық меңгеруге іргелі математикалық білімдері жеткіліксіз екендігін айтып өткен.
Гил Рон және Томми Дрейфус [ 12] (Тель-Авив университеті, Израиль) Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу оқыту модельдерін қолдану атты мақаласында да оқытушылармен сұхбаттасып, осы тақырыпты оқушыларға қай сыныптан беру керектігін зерттеген.
Математикалық индукция көмегімен дәлел жоғары сынып оқушылары үшін тұжырымдамалық қиын екені белгілі. Бұл мақалада математикалық индукцияны оқытуда модельдерді қолдануға қатысты орта мектептің алты тәжірибелі оқытушыларымен сұхбат нәтижелері берілген. Модельдерді шығармашылық және барабар пайдаланумен қатар біз олардың негізінде жатқан математикалық идеяларды бұрмалайтын және мұғалімдердің концептуалды қиындықтарын көрсететін түсініктер, модельдер мен мысалдар таптық. Израиль орта мектебінің оқу бағдарламасы жоғары және орта деңгейдегі сыныптар үшін математикалық индукция арқылы дәлелдемелерді қамтиды. Әдетте 11-сыныпта математикалық индукция көмегімен теңдеу, теңсіздік және бөлінудің қасиеттері сияқты алгебралық қатынастарды дәлелдеуге үйретеді. Математикалық индукция арқылы дәлелдеме-бұл әрбір натурал сан үшін шынайы тұжырымдарды дәлелдеу әдісі. Математикалық индукцияның көмегімен дәлелдеу үшін N әрбір натурал сан үшін шынайы, екі шарттың әділдігін орнату қажет: N=1 үшін шынайы; егер бекіту k кез келген натурал сан үшін шынайы болса, онда ол сондай-ақ оның мұрагері k+1 үшін шынайы. Осы жұмыста бірінші шарттағы валидация кейде индукциялық базис деп аталады, ал екінші шарттағы валидация кейде индукциялық қадам деп аталады. Сонымен қатар, екінші жағдайда қолданылатын болжам, атап айтқанда, K үшін шынайы мәлімдеме индукция гипотезасы деп аталады, яғни математикалық индукция арқылы дәлелдемелерді оқыту үшін модельдерді пайдалану туралы білу болып табылады. Мұғалімдер қандай модельдерді пайдаланады? Олар осы модельдердің көмегімен нені және қалай түсінуге ниетті? Атап айтқанда, біз мұғалімдердің модельдерді қолдануы олардың елестетуді, көрсетуді немесе бейнелеуді қалайтын математикалық идеяларға сәйкес келетін мағынада барабар екенін білгіміз келеді. Бұл мақалада біз индукциялық Базис үшін модельдерді пайдалануға қатысты, атап айтқанда N=1 үшін тексеру және индукциялық қадам үшін модельдерді пайдалануға, атап айтқанда индукциялық гипотезаны дәлелдеуде пайдалануға қатысты қорытындылар ұсынамыз. Орта мектептің алты тәжірибелі математика пәні мұғалімі 30-60 минут бойы сұралды. Мұғалімдер, егер олардың ең болмағанда 10 жылдық педагогикалық өтілі болса, тәжірибелі деп саналды. Екі оқытушы математикалық білім беру саласында магистр дәрежесіне ие, ал үшеуі қазіргі уақытта осы дәрежені оқиды. Бір мұғалім (T6) - экономика және статистика факультетінің математика мұғалімі болу үшін ұзақ оқу курсынан өткен түлегі. Бұл мұғалім сондай-ақ математика мұғалімдерінің біліктілігін арттырудың үш жылдық бағдарламасына қатысты. Барлық мұғалімдер дәлелдемелерді математикалық индукция көмегімен кем дегенде екі рет сабақ берді, олардың кем дегенде екі жылда бір рет тікелей әңгімелесу алдында. Сұхбат жартылай құрылымды болды. Мұғалімдер біздің негізгі қызығушылығымыз модельді пайдалану болып табылатыны туралы хабардар болған жоқ. Бұл ғалымдар Израиль мектептерінің математикалық индукция тақырыбын беруде қалай түсіндіретінін зерттегенін айтады. Сонда олар негізінен доминоны пайдаланып математикалық индукция әдісін үйрететіндігіне көз жеткізген. Және мұны ең тиімді жолдардың бірі ретінде қарастырады. Алайда сандардың бөлінгіштігі тақырыбын түсіндіргенде де математикалық индукция әдісін пайдаланатындығына тоқталған. Демек олар бұл әдісті жоғары сыныптар емес 5-6 сыныптарда да дейгейлеп берген дегенге тоқталуға негіз бар. Осы жұмыста біз математикалық индукцияны оқыту үшін модельдерді пайдаланудың кейбір аспектілерін қарастырамыз. Осылайша, біз модель ұғымын кең мағынада қолданамыз, физикалық модельдермен міндетті түрде шектелмейді. Модельдердің рөлі математикалық индукция көмегімен дәлелдеу әдісін көрсету, иллюстрациялау және түсіндіру, осылайша, математикалық индукцияны оқытуда қолданылатын формальды тілге қарағанда оқушылар үшін анағұрлым қолжетімді болуы мүмкін бейнелеу тілінің көмегімен түсінуді қолдау болып табылады- деген ойда Израиль ғалымдары.
Габриэль Дж. Стилианидис - Андреас Дж. Стилианидис-Джордж Н. Филиппу [13] Пенсильвания университеті, Оксфорд университеті, Кипр университеті ғалым-педагогтарының Математикалық индукция арқылы дәлелдеме туралы мұғалімдердің білімін сақтау-атты мақаласында осы турасын өте жақсы зерттеген.
Барлық сыныптардағы барлық оқушылардың математикалық тәжірибесінің орталық элементіне дәлелдеуге көп күш-жігер жұмсайды. Бұл мақсатқа қол жеткізудегі табыс мұғалімдердің дәлелдер туралы біліміне байланысты, бірақ шектеулі зерттеулер осы білімді зерттеді. Бұл мақала математикалық индукция арқылы дәлелдеме туралы бастауыш және орта мектептердің математика мұғалімдерінің білімдерін сақтауды зерттей отырып, осы зерттеу саласына өз үлесін қосады. Бұл зерттеу математика оқытушыларына консервативті көзқарастағы мұғалімдерге дәлелдеулерді тиімді үйрету үшін қажет консервативті оқытушылары туралы хабарлай алады. Біздің талдау 95 қатысушының жазбаша жауаптарына негізделген, арнайы әзірленген тапсырмалар мен олардың 11-і жартылай құрылымдалған сұхбат. Дәлел бастауыш сыныптардағы барлық оқушылардың математикалық тәжірибесінің орталық элементі болуы тиіс деген идеяның өсіп келе жатқан түсінігі бар Дәлелдемелерге осындай ерекше назар аударудың үш негізгі себептері бар. Біріншіден, дәлел математиканы терең зерделеу үшін қажет және классикалық ортада кішкентай балалардың да концептуалды қол жетімділігі шегінде. Екіншіден, студенттердің математикалық шеберлігін барынша кең мағынада арттыра алады, өйткені дәлел 'қорытынды жасалуы және шешім қабылдануы тиіс барлық жағдайларда қолданылады". Үшіншіден, дәлелдемелермен байланысты көптеген жоғары сынып оқушылары мен университет студенттері кездесетін қиындықтар, кем дегенде ішінара, студенттердің орта мектепте дәлелдемелерге шұғыл енгізілуімен түсіндіріледі сондықтан оқушыларға оқытудың ерте кезеңдерінде дәлелдемелермен тиісті жұмыс тәжірибесін ұсыну маңызды. Мектеп математикасы үшін орталық дәлел жасауға ұмтылудың қажетті шарты-барлық деңгейдегі мұғалімдердің дәлелдеме біліміне ие, яғни оған қарама-қайшылықтарды тудыру әрекеттеріне қарсы тұратын мықты білімге ие.
Десек те шетел оқулықтарын зерттеу үшін оқулықтарын таба алмай, олардағы математикалық индукция әдісін қалай, қай жастан, қай деңгейде беруге болатындығы туралы айтқан мақалаларды зерттеуге тырыстым. Ол үшін мақалаларды оқып, өзіме ұнаған ғалымдыардың мақалаларын талдауға тырыстым. Дәлелдеуге үйрету іргелі математиканың басты принціптерінің бірі екендігі бәрімізге аян. Дәлелсіз математикада логикалық тұрақ жоқ. Осы орайда матиндукция әдісі берілсе, бірақ жүйелі түрде, әйтеуір өту емес арнайы модельмен берілгенін қалар едім. Шетелдік ғалымдар жұмыстарын зерделеу барысында көз жеткізгеніміз олардың осы әдісті үйрету барысында домино мысалымен байланыстыруы өте сәтті мысалдардың бірі дер едім. Өйткені бұл жерде қолданбалылық алдыңғы орынға шығады.
2. МАТЕМАТИКАЛЫҚ ИНДУКЦИЯ ӘДІСІН МЕКТЕПТЕ БЕРУ
2.1 Математикалық индукция әдісі тарихы
Осы күні дедукцияға алынатын негізгі мағлұматтар аксиомалардың белгілі бір систамсынан қортылып шығарылады. Сондықтан дедукцтя әдісін аксиоматикалық әдіс деп те атайды.
Дедукция әдісін ежелгі грек ғалымдары қалыптастырған. Евклид геометрияны негізінен алғанда осы дедукция әдісімен баяндаған.
Кейде дербес жағдайлардан жиналған мағлұматтар бойынша жалпы заңдылықты қорытуға тура келеді. Мәселен, 1+5=6, 7+11=18, 13+25=38,... Бұлардың: екі тақ санның қосындысы жұп сан болады деп қорытамыз. Қорытындыны бұлай шығару жолы индукция әдісі немесе индукция деп аталады (латынша индукцио - аңғарту деген сөз).
Индукция әдісі ертеден мәлім. Оны әуелде Мысыр мен Вавилонның абыздары қолданған. Бұл әдіс тәжірибелерге сүйенетін жаратылыс ғалымдарында маңызды роль атқарады. Мәселен, бірнеше рет тәжірибе жасап, өткізгіш ссымды магнит өрісінде ерсілі - қарсылы қозғағанда сымның бойында ток пайда болатынын көреміз.Бұдан қорытынды жасаған ұлы физик Фарадей (1791-1867) электромагнетизм құбылысын ашқан Индукция әдісін Ферма да көп қолданған.
Әдетте индкуция әдісі дедукция әдісінен гөрі жеңілірек. Сондықтан мектептердің бастауыш кластарында көрнекілік пен индукция басым болады да, жоғары кластарда дедукцияға көшеді. Зерттеулерде бірыңғай индукция сирек кездеседі. Олар көбінесе бірін бірі толықтыра, тараласып келеді.
2.1 Математикалық индукция әдісі
Айтылым деп аталатын тұжырымның не жалған, не дұрыс деген екі мәні болады. Әр сөйлем, мәселен, лепті және сұраулы сөйлемдер айтылым бола бермейді.
Айтылымдар тізбегі берілген болсын, яғни әр оң бүтін санға бір айтылым сәйкес қойылсын. Бұндай тізбектегі айтылымдар саны ақырсыз болғандықтан оның әрбір мүшесінің жалған не дұрыс екендігін тексеру мүмкін емес. Соған байланысты, саны ақырлы болатын амалдар арқылы айтылымдар тізбегінің саны ақырсыз әрбір мүшесі дұрыс болатындығын көрсететін (тәртіп, принціп, тіпті, теорема) мәселе тұжырымдалады.
Барлығы дұрыс деген нені білдіреді? Кез келген үлкен n санын алдық делік (мейлі айға дейін жазылатын үлкен сан), дұрыс болуы дәлелденіп (1 қадам), деп алғанда екінші қадам бойынша үшін дұрыс болатынын дәлелдесек, сонан соң дұрыс болатындығын тағы қолданып, дұрыс екендігін дәлелдесек, онда осылай жалғастыра беріп, n-ге жетеміз. Сонда тұжырымы әр оң бүтін n үшін дәлелденген болып шығады, ал бұл болса, барлық оң бүтін n үшін дәлелдеген болып шығады да, - ол айтылымдарының бәрі де дұрыс деген сөз.
Бұл теореманың маңыздылығы оның екі амалдан ғана тұратындығында.
1.Математикалық индукция әдісі. Әуелі Математикалық индукция әдісін баяндауға қажетті мәліметтерді келтірейік.
Натурал (оң бүтін) сандар жиынының анықтамасына математикалық дәлелдеулердің маңызды әдістерінің бірі - математикалық индукция әдісі негізделген.
Натурал сандар жиыны (тізбегі) деп нақты сандар жиынының анықтамасындағы 9 және 1 аксиомалар бойынша бірте-бірте анықталған
сандар аталады да, әдеттеәрпімен белгіленеді. Бұндағы әр сан натурал сан (қолданымдарда нөмір деп те) деп аталады. Қысқа түрде жиыны мына екі қасиет арқылы толық суреттеледі:
және . (1)
Барлық натурал сандар жиынының (1) анықтамасы дәлірек былай да оқылады: 1 санын және әр элементімен бірге оның 1 санымен қосындысын да қамтитын ең кіші жиын.
10. Айтылым. Не дұрыс, не жалған болатын сөйлем айтылым деп аталады. Әрбір сөйлем айтылым бола бермейді. Лепті және сұраулы сөйлемдер, мысалы, Бүгін ауа-райы керемет!, Болса ше? сияқты сөйлемдер, сонымен қоса, анықтамалар айтылым болмайды.
20. Айтылымдар тізбегі ақырсыз көп айтылымдардың дұрыстығын тексеру мәселесін тудырады. Айтылымдар тізбегі берілген делік, яғни әрбір n натурал санына немесе, басқаша айтқанда, нөмірге, қандай да бір айтылымы сәйкес қойылсын, ол
не
түрінде жазылады.
Әрбір n нөмірдегі айтылымы дұрыс та, жалған да болуы мүмкін. Натурал сандар жиынының ақырсыз болғандықтан әрбір айтылымды немесе, басқаша айтқанда, барлық айтылымдарын тексеру мүмкін емес.
Бірақ, барлық n нөмірлер үшін айтылымының дұрыстығын екі амалмен тексеруге мүмкіндік бар.
30. Математикалық индукция әдісі. Айтылымдар тізбегі берілген болсын.
Егер келесі екі шарт орындалса (қанағаттандырылса):
10-шарт: 1 нөмірлі T1 айтылымының дұрыстығы дәлелденеді (тексеріледі, көрсетіледі),
20-шарт: кез келген (әрбір) k нөмірі үшін айтылымының дұрыстығынан (айтылымының расында да дұрыстығы немесе жалғандығы жайлы ешқандай да сұрақ қозғалмастан дұрыс айтылым деп қабылданады) келесі нөмірлі айтылымының дұрыстығы (бұнда расында да) дәлелденеді,
онда
Қорытынды: кез келген (әрбір) n нөмірі үшін Tn айтылымы дұрыс, не, сол мағынада басқаша айтқанда, айтылымдарының барлығы дұрыс.
Дәлелдеме.арқылы айтылымы дұрыс болатын барлық нөмірлерінен құрылған жиынды белгілейік:
-дұрыс айтылым.
Онда жиындар теңдігін дәлелдеу математикалық индукция әдісінің дәлелдемесі болып шығады. 10-шарты орындалуы кірістіруінің дәл өзі болады. Ары қарай, 20-шарты түрінде бейнеленеді. Бұдан айтылымы дұрыс болатын барлық нөмірлерінің жиыны А және барлық натурал сандардан құрылған жиынының (1) анықтамасы бойынша барлық нөмірлерінің жиыны N беттеседі:. Сонымен, - барлық нөмірлер жиыны болып шықты. Демек, анықтама бойынша нөмірлер жиыны дұрыс болатын барлық нөмірлерінен құрылғандықтан әр нөмірі үшін айтылымы дұрыс болады және дәлелдеу керегі де осы еді.
4. Математикалық индукция әдісінің негізінде жатқан идея (түйіні). Математикалық индукция әдісі келесіден тұрады: егер 1 нөміріне сәйкес T1 айтылымы дұрыс болса (бұл дәлелденеді) және егер кез келген k нөмірі үшін Tk айтылымын дұрыс деп дәлелдеусіз қабылдағаннан одан кейінгі Tk+1 айтылымының дұрыстығы дәлелденсе, онда барлық айтылымдары дұрыс болады.
Бұл әдістеменің тоқетер түйіні мынадай. 2 шарты болғанда былай оқылады: егер расында қалай болатындығына қарамай T1 айтылымының дұрыстығын қабылдасақ, онда T2 де дұрыс болады. Бірақ әдістің 10 шарты бойынша T1 расында да дұрыс, сондықтан да T2 айтылымы да дұрыс деген қорытындыға келеміз. Одан кейін осы талқылаулардың барлыған k=2 үшін қайталасақ, тексеріліп қойған T2 айтылымының дұрыстығынан T3 айтылымының дұрыстығына келеміз. Жалғастыра отырып, және жалпы айтқанда, кез келген (қандай үлкен болса да, солардың арасында, бірінші цифрі 1 және қалғандары Айға дейін созылған нөлдермен бейнеленген сан) n нөмірі үшін айтылымының дұрыстығына көз жеткіземіз.
Ескерту. Математикалық әдебиетте математикалық индукция әдісі Қайсібір қасиет (соның ішінде логикалық өрнек) натурал параметрге тәуелді болсын жағдайында қолданылады. Олардың бәрін айтылымдар тізбегі тіліне көшіріп алып, ары қарай қолдана берсе болады.
50. Математикалық индукция әдісін қолдану әдістемесі. Математикалық индукция әдісін қолданған кезде айтылымының оң бүтін (нөмірінен) санынан тәуелділігін мүмкіндігінше анық етіп көрсету қажет. Оған қоса, алдында әртүрлі етіп айтылып кеткендей
1. Бастапқы 1 нөмірлі T1 айтылымының дұрыстығы дәлелденеді (көбінесе, дәлелдеу жазылған сандық теңдеудің немесе теңсіздіктің дұрыстығын тексеру ғана болады).
2. Кез келген бекітілген натурал (бүтін оң) санды бейнелейтін k жазылады (таңдап алынады). болғандағы айтылымының жазылуы Tk айтылымының дұрыстығы дәлелдеусіз қабылданады да, соның негізінде келесі нөмірлі Tk+1 айтылымының дұрыстығы дәлелденеді.
Айтылымдар туралы дұрыс сөзімен бірге, оған, ыңғайына қарай, синоним ретіндегі орындалады, орын алады сияқты сөздер де қолданылады.
2.3 Математикалық индукция әдісінің қолданысы
Индукция әдісі үш түрге бөлінеді. Олар: толымсыз индукция, толық индукция және математикалық индукция. Енді осыларға жеке-жеке тоқталайық.
Толымсыз индукция.Тікелей есептеу арқылы мына теңдіктердің дұрыстығына көз жеткіземіз:
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52 , ...
Бұл теңдіктерден 1-ден бастап алынатын тетелес тақ сандардың қосындылары квадрат сандар болып отыратындығын және екі қосылғыш болса, 32,...т.с.с. шығатындығын көреміз:
1+3+5+7+9+...+(2k-1)=k2
Натурал тізбек сандарының кубтарының қосындысын қарастырайық.
13=12,
13+23=(1+2)2,
13+23+33=(1+2+3)2,
13+23+33+43=(1+2+3+4)2,
13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2,...
Бұлардан:
13+23+33+43+...+k3=(1+2+3+4+...+k)2
деп қорытамыз.
Қысқаша бөлу формулаларын еске түсірейік:
x2-1=(x-1)(x+1),
x3-1=(x-1)(x2 +x+1),
x4-1=(x-1)(x3 +x2 +x+1),
x5-1=(x-1)(x4 +x3 +x2 +x+1),
Сонда:
xk-1=(x-1)(xk-1 +xk-2 +xk-3 +...+x2 +x+1)
болады (k - оң бүтін сан).
Толымсыз индукция әдісі бойынша қоыртынды жасау, теорема дәлелдеу жолы осылай болып келеді. Онда бірнеше дербес жағдайдан байқалған қасиет, ереже немесе заңдылық жалпыланады, бәріне ортақ деп есептеледі.
Бұл мысалдарда жасалған қорытындылар - дұрыс қорытындылар. Оларды түсіну оңай. Бірақ толымсыз индукцияның елеулі кемшілігі бар: ол кейде қате қортындыға әкеледі, үнемі айтқаны келе бермейді. Ферманың толымсыз индукция бойынша жасаған тұжырымдарының кейбіреулерінің қате болып шыққандығы алдыңғы тақырыптарда айтылған болатын. Ондай мысалдарды көптеп келтіруге болады. Эйлер көрсеткен
x2 +x+41 триномды алайық. х-ке әр түрлі бүтін мәндер берейік. Сонда
x=0 болғанда: x2 +x+41=41,
x=1 x2 +x+41=43,
x=2 x2 +x+41=47,
x=3 x2 +x+41=53,
x=4 x2 +x+41=61,
x=5 x2 +x+41=71,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
x=38 x2 +x+41=1523,
x=39 x2 +x+41=1601,
Бұл табылған 40 түрлі санның бәрі жай сандар Соған қарағанда:
x2 +x+41 триномынан үнемі жай сан шығып отырады деген ой келеді. Бірақ үміт ақталмайды, x=40 болғанда x2 +x+41=1681=412 шығады, бұл құрама сан. 40 күн от болып, 41-нші күні жоқ болған деген осы.
Қазақ халқының Ұлы Октябрь социалистік революциясына дейін қолданып, келген календарында мүшелдің төртінші жылы қоян жылы деп аталған. Қоян жылдары көбінесе мал жұтап, ел ашаршылыққа ұшырап отырған. Мәселен, 1867-1868жылғы жалпақ қоян жұты, 1879-1880жылғы үлкен қоян жұты, 1891-1892 жылғы кіші қоян жұты, 1915-1916жылғы тақыр қоян жұты осындай жұттар болған. Жұтты басының кешірген шаруалар қоян жылдары әрдайым жұт болады деп ойлаған. Бірақ бұл толымсыз индукциядан туған қорытынды қате болатын. Өйткені 1903-1904жылы (қоян жылы) жұт болған жоқ. Ал совет заманында жұт дегенді жұрт ұмытып кетті.
Сөйтіп, әлденеше рет дұрыс қорытындыға да әкелетін болып шықты. Шөлмек мың кун сынбас, бір күні сынар дейтін қазақ мәтелі осы толымсыз индукцияға арналып айтылғандай. Бірақ өкінішті жері толымсыз индукция арқылы жасалатын қорытындылардың қайсысы дұрыс, қайсысы қате болатындығын алдын ала айтуға болмайды. Сондықтан толымсыз индукция әдісі сенімсіз. Одан байқалған заңдылықты дәлелдеу мен қорытудың сенімді әдістері бойынша тексеру керек.
Толық индукция. Зерттелетін құбылыстың бірнеше ғана дербес жағдайы болуы мүмкін. Ондайда дербес жағдайлардың бәрі де тексеріледі. Егер бәрінен де бірдей қорытынды шығатын болса, ол қорытынды құбылыстың жалпы заңдылығын сипаттайды. Мысал үшін Герон формуласын алайық. АВС үшбұрышы берілген, BC=a, AC=b, AB=c, осы үшбұрыштың ауданын анықтау керек.
1. Үшбұрыш сүйір бұрышты болсын. АС табанына BD биіктікті түсіреміз. Сонда Пифагор теоремасы бойынша:
BD2=c2-AD2
Үшбұрыштың сүйір бұрышына қарсы орналасқан қабырғаның квадраты туралы теорема бойынша:
a2=b2+c2-2b*AD
Осыдан AD-нің тауып, алдыңғы теңдікке қоямыз. Сонда BD биіктік анықталады. Ал
S=12b*BD,S=12bc2-(b2+c2-a2)24b2,
S=144b2c2-(b2+c2-a2)2.
Радикал астындағы квадраттар айырмасын көбейткіштерге жіктейміз:
4b2c2-(b2+c2-a2)2=2bc+b2+c2-a22bc-b 2-c2+a2;
4b2c2-(b2+c2-a2)2=[(b+c)2-a2][a2-(b -c)2];
4b2c2-(b2+c2-a2)2=a+b+c-a+b+ca-b+ca +b-c.
S=14a+b+c-a+b+ca-b+ca+b-c.
Үшбұрыштың ауданы анықталды. Соңғы формуланы түрлендіріп, ықшамырақ түрге келтіруге болады. Ол үшін үшбұрыштың периметрін 2р деп белгілейміз. Сонда:
a+b+c=2p,-a+b+c=2p-a,
a-b+c=2p-b,a+b-c=2p-c.
Соңғы үш теңдік бірінші теңдіктен 2a, 2b,2c сандарын шегеру арқылы табылған. Бұл мәндерді радикал астындағы орындарына қойып, 2∙2∙2∙2=16, оның түбірі 4 болатындығын еске алып, алдыңғы бөлшекті қысқартып,
S=pp-ap-b(p-c)
B
B
c a a
A C c
b D C b A D
Герон формуласына
2. Үшбұрыш доғал бұрышты болсын, СА табанының жалғасына BD биіктікті түсіреміз.
BD2=c2-AD2,
Үшбұрыштың доғал бұрышына қарсы орналасқан қабырғаның квадраты туралы теорема бойынша
a2=b2+c2+2b∙AD
Осыдан AD - ні, одан әрі ВD - ні табамыз.Ақыры жоғарыдағы формулаға келеміз.
3. Үшбұрыш тік бұрышты болсын. Оның катеттері b мен а, гипотенузасы с делік. Тік бұрышты үш бұрыштың ауданы S=12ab болады.Мұны былай жазайық:
S=144a2b2
Ал Пифагор теоремасы бойынша a2+b2-c2=0 , болатындығын еске алып,
S=144b2c2-(b2+c2-a2)2
деуге болады. Жоғарыдағыдай түрлендіргенде бұдан да алдыңғы формула шығады.
Сонымен, Герон формуласы үшбұрыш қандай болса да дұрыс. Ол практикада жиі қолданылады. Есептер шығарғанда периметр 2р деп алынатынын, формуладағы р сол периметрдің жартысы екендігін ұмытпау керек. Біз формуланы толық индукция әдісімен қорытып шығардық.
Мысал. Қабырғалары 13, 14, 15 болатын үшбұрыштың ауданын табыңдар
Шешуі. 2p=13+14+156=42, p=21, p-a=8, p-b=7, p-c=6.
Сонда: S=21∙8∙7∙6= 7∙3∙2∙∙
Адам ойымен, қиялы өте шексіз. Жылдар, ғасырларға кейіндеп те, ілгерілеп алға да оза алады. Саналы адам көрсем, үйренсем, білсем деп тұрады. Көрген - білгенінен ой түйіндейді, қорытынды шығарады. Табиғатта, қоғамда, ғылым мен техникада, өндіріс орындарында, күнделікті өмірде қандай да бір оқиғаның мүмкін болатын жағдайларын орналастыру немесе санаудың нұсқалар санын табуды қажет ететін есептер жиі кездеседі. Прогрессияларға, тригонометриялық есептерді шешуді және теңсіздіктерді дәлелдеуді математикалық индукция әдісімен шығару қаншалықты жеңіл екенін дәлелдейміз.
Мектеп оқушылары арасында математиканы кең насихаттау мақсатында әр деңгейдегі математикалық олимпиадалар жүйелі түрде өткізіліп тұрады. Олимпиадаларды өткізудегі негізгі мақсат оқушылардың математикаға деген қызығушылығын арттыру, олардың бойындағы бейімділіктің ашылып, одан әрі дамуына жәрдем ету екедігі белгілі. Соңғы жылдары әрқилы аймақтық, жекелеген оқу орындары, математикалық журналдар ұйымдастырған олимпиадалар да өткізіліп жүр.Олимпиадаларда ұсынылатын есептер математика курсының әр алуан тақырыптарын қамтиды. Сондай тақырыптардың бірі сандардың бөлінгіштігі. Ондай есептерді шығару үшін орта мектеп программасындағы теориялық білім, негізінен жеткілікті.
Сыныпта немесе ашық сабақтарда оқушылар мен төмендегідей жұмыстар жасау ескеріледі.
Орта сыныптар да мектепте кейбір есептерді шығаруда, математикалық сөйлемдерді дәлелдеуде, сонымен қатар формулаларды қорытып шығару кезінде қолданылатын талдау математикалық индукция әдісі деп аталады. Индукция әдісі Жалқыдан жалпыға қарай тексеру әдісі - деген мағыналарға ие болады. Яғни тексеру, бақылау. Мәселен тепе-теңдікті, теңсіздікті, бөліндіні және тағы басқаларды нақтылап дәлелдеу, тексеру жөнінде кеңінен қолданылатын ұғым. Математикада индуктивтіктің рөлі ертеректе аксиома ретінде ғана қолданған. Ұзақ зерттеулердің арқасында индукцияның рөлі артты. Индукция әдісі тура жол болып табылды. Расында индукция әдісі әлі бізге ашылмаған теоремаларды ашуға көмектеседі.
Индукцияның қазақша баламасы қорытындылау деген сөзбен тең. Яғни жалқыдан жалпыға өту. Мысалы біз күн сайын күннің шығыстан шығатынын көреміз. Сол себепті сенімді түрде күннің шығыстан шығатынын айтуға болады. Бұл қорытындыны біз ешқандай болжамдарға сүйеніп айтпаймыз, тек күннің қозғалысынан білеміз. Дегенмен бұл индуктивтік қорытынды біз жасаған бақылаумен сәйкес келеді. Бақылаудың тиімді жолы да, тиімсіз жолдары да бар, міне осы жағдайларда индукция әдісін пайдалану тиімді жолы көрсетіледі.
Математикалық индукция (латын тілінен inductio - ой салу, бағыттау) - дербес жеке түсініктер негізінде ақиқаттығы пайымдалатын жалпылама түсінік тұжырымдау.
Математикалық индукция принципін бірқатар ежелгі грек ғалымдары қолданған. Алайда оны алғаш рет 1321 жылы Герсонид айқын көрсеткен. Математикалық индукция принципінің сипаттамасы XVI ғ. итальян математигі, Архимедтің аудармашысы Ф.Мавролико еңбектерінде қамтылған.Блез Паскаль
Ф.Мавролико Блез Паскаль
Математикалық индукция әдісі теоремаларды, тепе-теңдіктерді, теңсіздіктерді дәлелдегенде, сандардың бөлінетіндігін анықтағанда және әртүрлі есептер шығарғанда кеңінен қолданылады. Математикалық индукция принципі төмендегі аксиомамен тұжырымдауға болады.
Натурал n айнымалыға тәуелді А(n) тұжырым сол айнымалының барлық мәндері үшін дұрыс болады, егер төмендегі үш шарт орындалса.
Индукция базасы:n = 1болғанда А(n) тұжырым дұрыс болса.
Индукцияны болжау:n = k үшін А(n) тұжырымды дұрыс деп жорығанда (мұндағы k - кез-келген натурал сан)
Индукциялық ауысу: индукция болжамынан шыға отырып, n = k + 1 үшін тұжырымның дұрыс екендігі шығатын болса.
Осы айтылған принципті математика принципі деп атайды. Сонымен, егер де р(n) тұжырымын барлық n натурал сандары үшін дұрыстығын тексергіміз келсе, онда: біріншіден осы тұжырымның n = 1 болғандағы ақиқаттығын; екіншіден, осы тұжырымның n = k үшін дұрыс деген болжаудан, оның келесі n = k + 1 саны үшін де дұрыс болатынын тексеруіміз керек. Сонда осы шарттар орындалғанда р(n) тұжырымы, математикалық индукция принципі бойынша, барлық натурал сандары үшін дұрыс болады.
Қазіргі кезде ғылым мен техниканың даму деңгейі әрбір адамды сапалы және терең білім мен іскерліктің болуы, ойлау қабілетінің жоғары, шығармашылықпен жұмыс істеуін талап етеді. Оқушылардың математикалық білімін жоғары деңгейде оқыту, яғни тереңдету әр ұстаздың алдындағы міндет. Мұғалім шеберлігінің негізгі көрсеткіштерінің бірі-әдістеме саласындағы ғылыми жаңалықтар мен озық тәжірибені жетік игеру.
Оқушылардың білімділік және тәжірибелік деңгейі шешуші дәрежеде мұғалімге байланысты, яғни мұғалім ізденісін қажет етеді. Дарынды балалардың қабілетін дамытудың жолдары көп. Соның ішінде олимпиадалардың рөлі ерекше. Оқушылардың пәнге қызығушылығын оятатын, олардың математикалық ой-өрісінің, шығармашылық қабілетінің дамуына дәнекер болатын қосымша тақырыптар көп әсерін тигізеді.
2.3. Математикалық индукция әдісінің мектеп бағдарламасындағы берілу көлемі
Мектептердің миссиясына қарай жалпы білім беретін, дарынды балаларға арналған, қоғамдық-гуманитарлық бағыттағы, жаратылыстану бағытындағы, математиканы тереңдетіп оқытуға арналған сыныптардың әртүрлілігіне қарай олардың бағдарламалары, оқулықтары әртүрлі. Алайда, сараптама жұмысын жасау барысында аталған тақырып бойынша берілген анықтамалар мен тақырып деңгейіндегі қателіктер көрініп тұрды. Осы орайда математикалық индукция тақырыбын берудің олқылықтарын дұрыстап, кітап сарапшыларына осы мәселеге көңіл аударса екен деймін.
9-сыныпта Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 9-сыныбына арналған оқулық. Ә.Н.Шыныбеков, Р.Н.Жұмабаев - Алматы: Атамұра, 2019-240 бет. Оқулық жалпы білім беретін мектептердің 9-сыныбына арналған, оның бірқатар өзіндік ерекшеліктері бар. Материалдардың математикалық олимпиадаларға және түрлі ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті
Оспанова Ганзира Айтхожаевна
ОҚУШЫЛАРДЫҢ ЖАС ЕРЕКШЕЛІКТЕРІН ЕСКЕРЕ ОТЫРЫП,
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ИНДУКЦИЯ ӘДІСІ ТАҚЫРЫБЫН БЕРУДІҢ ЖАҢА ӘДІСТЕМЕСІ
6М010900 - Математика мамандығы
бойынша математика магистрі академиялық
дәрежесін алуға магистрлік диссертация
(ғылыми - педагогикалық бағыт)
Нұр - Сұлтан 2020
Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті
Қорғауға жіберілді
Механика - математика
факультетінің деканы,
PhD докторы
_______ Д.Х. Қозыбаев
__________2020ж
Магистрлік диссертация
Тақырыбы: Оқушылардың жас ерекшеліктерін ескере отырып,
Математикалық индукция әдісі тақырыбын берудің жаңа әдістемесі
6М010900 - Математика мамандығы бойынша
(ғылыми - педагогикалық зерттеу)
Магистрант: _______________ Г.А.Оспанова
Ғылыми жетекшісі
PhD _________________ Ғ.Е.Тауғынбаева
Кафедра меңгерушісі
PhD ________________ Р.Ж.Наурызбаев
Нұр - Сұлтан 2020
Мазмұны
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
І. ОРТА МЕКТЕПТЕГІ МАТЕМАТИКА ПӘНІ ОҚУЛЫҚТАРЫНДАҒЫ МАТЕМАТИКАЛЫҚ ИНДУКЦИЯ ТАҚЫРЫБЫНА ШОЛУ ЖӘНЕ АНАЛИЗ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6
0.1 Қазақстан Республикасында орта мектептерде қолданыста болған
және қолданыстағы оқулықтарындағы Математикалық индукция
тақырыбына шолу және оларға анализ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...6
0.2 Ресей орта мектептерде қолданыста болған және қолданыстағы
оқулықтарындағы Математикалық индукция тақырыбына шолу және
оларға анализ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..9
0.3 Шетел мектептерінде қолданыста болған және қолданыстағы
оқулықтарындағы Математикалық индукция тақырыбына шолу және
оларға анализ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
ІІ МАТЕМАТИКАЛЫҚ ИНДУКЦИЯ ӘДІСІН МЕКТЕПТЕ БЕРУ
2.1. Математикалық индукция әдісінің берілу тарихы ... ... ... ... ... ... ... . ..17
2.2. 2019-2020жылдары математикалық индукция әдісі қай сыныптарда
қанша сағат берілді ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
2.3. Математикалық индукция әдісі Н.Н.Темірғалиевтің беруі ... ... ... ... ..28
2.4. Факультатив сабақ (34 сабақ математикалық индукция жоспары,
талқылануы, материалдары) ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..31
2.5.Эксперимент (8,9,10,11) қорытындылау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .54
ІІІ. Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..65
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..67
КІРІСПЕ
Ақыл-ойды тәртіпке келтіретін математика екенін әлімсақтан белгілі. Ал осы біздің мектептеріміздегі математика мазмұны қалай жасалуда? Қандай тақырыптарға өз деңгейінде сағаттар бөлініп, қай деңгейде оқытылып жатыр? Математикалық индукция әдісі қаншалықты керек? Оны түсіндірудің қиындықтары неде? Қоғамның өзгеруі мен дамуының осы типтес сұрақтарға берер жауабы қандай? Математикалық индукция әдісін қолданудың қандай жолдары бар? Математикалық индукция әдісін берудің жаңа қандай әдістерін ұсынған тиімді ?-деген сұрақтар ұстаздар қауымында көптеп қойылуда. Осы және де басқа сұрақтарға мейлінше дәл жауап беру үшін осы тақырыпты зерттеуді қолға алдық.
Мектепте берілетін математикалық білімніің мазмұны қоғамның дамуымен бірге заман ағымына қарай түбегейлі болмағанмен өзгеріске ұшырайтыны рас. Осы орайда ой-түйіндеу мен қорытындылау нәтижесінде қол жеткізілетін тапсырмалар мен математикалық индукция әдісімен шығарылуы әдеттегіден оңайлау есептер кездесіп тұрады. Негізінен математикалық индукция әдісін нақты 9 сыныпта қарастырғанмен жалқыдан жалпыға өту мәселесі, осы жолмен тұжырымға келу есептері одан ертерек қолға алынады.
Білім алушыларға бүгінде тек есептерді техникалық жолмен шығара беруден гөрі оларды ой-тұжырымдауға баулитын, шешім қабылдау барысында логикалық реттілікті үйрететін әдістің бірі - математикалық индукция әдісі деп білеміз. Тепе-теңдіктер мен теңсіздіктерді дәлелдеу, бөлінгіштіктің қасиеттері, геометрия есептерін шығаруда математикалық индукция әдісі есепті дұрыс шығару процесін едәуір жеңілдетеді.
Өзектілігі: Метематикалық индукция әдісін пайдаланып есептерді шығару екінің бірінің қолынан келе бермейтіні рас.Бұл салыстырмалы түрде - күрделі тақырыптардың бірі. Алайда, математикалық индукция әдісі арқылы дәләлденетін көптеген есептерді шығаруға оңайырақ жолмен жету мақсатында бұл тақырыпты меңгерудің ролі зор. Жалқыдан жалпыға өту мәселесі жасанды интеллекті дамыту мен бірге қоғам дамуына қарай ілгерілеп отырған математикалық білім мазмұнында өзінің ойып тұрып алатын орны бар екендігі ғылымның қаншалықты қарыштап даумуымен байланысты. Сондықтан да осы әдісті үйретудің бірден-бір жолы жаңа тәсілмен берудің сапалы жағын қарастыру болып табылады.
Мақсаты: Оқушылардың жас ерекшелігіне қарай математикалық білім мазмұнын жасау белгілі нәрсе болғанымен, тақырыпты беру барысында олардың психологиялық ахуалын да бақылаған дұрыс. Осы орайда математикалық индукция әдісін беруде жас ерекшелігін сақтай отырып есептерді жүйелеу, тақырыптардың күрделілігіне қарай есептер мазмұнын құрастыру сияқты нәрсеге көңіл бөлу.
Міндеттері:
Мектеп оқулықтарындағы математикалық индукция әдісіне шолу жасау,
Мектеп оқулықтарындағы математикалық индукция әдісіне анализ жасау,
Математикалық индукция әдісіне берудің әдістемесін ұсыну,
Эксперимент жасау арқылы математикалық индукция әдісін беру жас ерекшеліктерін анықтау,
Факультативтік сабақ бағдарламасын ұсыну.
1. Орта мектептегі математика пәні оқулықтарындағы математикалық индукция тақырыбына шолу және анализ
0.1 Қазақстан Республикасында орта мектептерде қолданыста болған және қолданыстағы оқулықтарындағы Математикалық индукция тақырыбына шолу және оларға анализ
Математиалық индукция әдісі мектеп математикасындағы математикалық анализді түсінуге, әрі түйсінуге бағыттайтын бірден-бір тақырып болып табылады.. Бүгінгі күнге дейін математикалық индукция тақырыбын түсінікті беру, мектеп математика оқулықтарына енгізу үшін көптеген оқулықтар мен оқу құралдары пайдалаылды.
Оқулықтардағы математикалық индукция әдісінің берілуі аясында жұмыс жасау мақсатында Отандық және Ресей оқулықтарын [1-11] және тағы басқа оқулықтар мен оқу құралдарын қарастырдым.
Ә.Н.Шыныбеков, Д.Ә. Шыныбеков, Р.Н.Жұмабаев. Жалпы білім беретін мектептің 9 сыныбына арналған Алгебра оқулығында математикалық индукция әдісінің анықтамасын бермес бұрын толымсыз және толық индукцияға тоқталып өткен.
Математикалық индукция анықтамасын бермес бұрын қарастырылып отырған мысалдар жүйесіздеу берілген.
Бәрін оқушы біледі деп жорамалдаған сияқты. Бұл оқушыға қиын тиеді. Математикалық индукция тақырыбындағы тапсырмалар деңгейі де бірден күрделі болып берілген.
Оқулыққа көз жүгіртетін болсақ алдымен математика үшін пікір дегеніміз не?Алақай, бүгін мереке! Күн жылы ма? - осылардың барлығы пікір ма?Сол анықтамасы белгісіз пікір ақиқат дегеніміз не?
Ал осы екі қадамнан өтсек не болады? Егер осы кезеңдердің екеуі де дәлелденсе, онда A(n) сөйлемі математикалық индукция принціпі бойынша кезкелген натурал n саны үшін орындалады.
Енді (1) теңдіктің ақиқаттығына оралайық. Дәлелдеуіміз бойынша А(1) ақиқат және А(k)-ның ақиқаттығынан A(k+1)-дің ақиқаттығына көз жеткіздік. Олай болса, теңдік кез келген натурал саны үшін орындалады. Алайда, анықтаманы беру және мысалды көрсету бірі басында, екіншісі аяғында келгендіктен оқушы ойы шашырап өз бетінше түсінуіне мүмкіндік болмайды.
Десек те, анықтамаға дейінгі мысалдың күрделілігі анықтаманы толық түсінуге кедергі жасайды. Жалпы осы оқулықтағы тапсырмаларда да бөлінгіштік тақырыбына есептер берілмегенімен оған тақырыпты беру барысында түсіндіру мысалы қарастырылмаған.
Әбілқасымова А.Е., Кучер Т.П., Корчевский В.Е., Жумагулова З.А. Жалпы білім беретін орта мектептің 9 сынып Алгебра оқулығында математикалық индукция әдісітеорема түрінде берген де бірақ оның дәлелдеуі түсініксіз берілген. Мысалдың түрі көрсетілген де бірақ дәлелдеуі келтірілмеген.
Тағы да сол қателік, тақырып тұжырым дегеннің не екенін анықтамастан, 3 мысалға сүйеніп, үшеуінде де натурал сандар қатысады делінген.Артынша, дәлелдеудің бір түрі - математикалық индукция әдісін теорема арқылы берген. Теоремада A(n)тұжырымын да солай натурал санды қамтитын деп алып, екі қадамнан кейін ол кез келген натурал сан үшін орындалатындығын айтады. Мысалдарды бергенімен де шығару жолы оқулықта түсіндірілмеген.
9сыныпқа арналған Г.Н.Солтан, А.Е.Солтан, А.Ж.Жумадилованың Алгебра оқулығы, бұл оқулықта математикалық индукция әдісін аксиома негізінде берген. Бірақ анықтаманы бермес бұрын натурал сандар негізінде мысал дәледенбеген. Бірден тұжырым туралы айтылады да, оған түсінік кейін беріледі. Бұл оқулықта да берілген қателіктер жоғарыдағыдай.
Оқулықта тапсырмалар іріктеліп, математикалық индукцияны пайдаланып дәлелдейтін көптеген мысалдар мен есептер берілген. Бірақ толымсыз, толық индукциялар туралы жақ ашпапты. Тақырып толық емес, тек ойып алынған деңгейде берілген. Жүйе жетіспейді.
Келесі оқулық Н.Т.Темірғалиевтың, Б.Әубәкір, Е.Баилов, М.К.Потапов, 10 сыныпқа арналған Алгебра және анализ бастамалары оқулығында математикалық индукция тақырыбы өте жақсы берілген.Оқулық жоба түрінде болғанымен математикалық индукция әдісі өте сауатты берілген. Тақырып ты түсіндіру барысында анықтамаға дейін пікір ұғымын жақсылап бекіткендіктен анықтама мейлінше түсінікті.
Теориясы да мысалдармен астасып, жүйелі түрде берілген. Меніңше осы оқулықтағы математикалық индукция тақырыбының берілуі ең жүйелісі сияқты.
А.Е.Әбылқасымова, Н.Р.Майкотов,Қ.А. Қаңлыбаев, Ә.С.Кенеш, жалпыбілім беретін мектептің 9 сыныбына арналған Алгебра оқулығында математикалық индукция тақырыбы прогрессиялардан соң берілген. Математикалық индукция әдісін беруде натурал сандарға тоқталып барып берген.
Алайда, математикалық индукцияның анықтамасын бергенде дерексіздік орын алатын сияқты, яғни n=n0 ,болған жағдайдың өзі оқушыға түсінуіне қиындық туғызары анық. Тақырыпты бекітуге берілген есептер әртүрлі болғанымен деңгейленуі дұрыс емес. Бірді айтып бірге кеткен сияқты, немесе әр тақырыптан жүйесіз жиналған есептер сияқты.
Десе де математикалық индукция тақырыбын сан тізбегі, прогрессиялардан соң беретіндігі дұрыс деп ойлаймын.
1.2 Ресей орта мектептерде қолданыста болған және қолданыстағы оқулықтарындағы Математикалық индукция тақырыбына шолу және оларға анализ
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. және басқалар,. Жижченко А.Б редакциялауымен Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) оқулығында математикалық индукция тақырыбы мысалдан басталған. Жаңадан басталған тақырып оқушыларға түсіндірілместен толық емес индукция, толық индукция әдісі бойынша дәлелдейік деген. Оны оқушылар бірден түсіне қоймайды. Одан кейін бары математикалық индукция әдісі төмендегідей берілген:
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Анықтамаға назар аударсақ, алдымен айтылым-утверждение берілсін дейді, ал ол не?! Оның анықтамасы да түсіндірмесі де берілмейді.
1) және 2) қадамдар дәлелденгеннен кейін неге 2,3,4 сандары үшін орындалатындығын ашып айтпаған. Оны мектеп жасындағы оқушының өз бетімен түсінуі мүмкін емес.
Келесі оқулық Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова және С.А.Теляковскийдің Алгебра 9 сынып (учебник для общеобразовательных учереждений) оқулығы.
Аталмыш оқулықта тақырыптың методологиясы көп оқулықтарға қарағанда дұрыс берілген. Ең бастысы көп оқулықтарда математикалық индукция әдісінің мүлдем мән берілмейтін жағы қарастырылған: ол - дәлелденіп отырылған тұжырымның неге екі қадамды дәлелдеу арқылы кез келген натурал сан үшін дұрыс деген қорытынды шығара алатындығын мысал арқылы көрсеткен. Бір ғана кемшілігі оқулықтағы математикалық индукция тақырыбына берілген тапсырмалар саны аз және 2 мысалда көрсетілген сандардың бөлінгіштік қасиетін дәлелдеуге мүлде тапсырма жоқ. Математикалық индукция тақырыбы дәл осы бөлінгіштік тақырыбындағы дәлелдеулерге таптырмас құрал немесе аппарат деуге болады. Яғни 2 мысал бойынша бекіту тапсырмалары жоқ.
И.Я.Виленкин, Г.С.Сурвилло, А.С.Симонов, А.И.Кудрявцев. Алгебра 9-класс Математикалық Индукция анықтамасы келесі түрде берілген. Бұл оқулықта математикалық индукцияның анықтамасын берудің алдында түсінікті етін мысал берілген. Анықтаманы бергенде тұжырымды бірден айтып кететін жері күрлелілеу, яғни оқушының түсінуіне қиындық келтіреді. Тапсырмалары да күрделі болып келген. Алайда, тапсырма легі көп болғанымен деңгейлері дұрыс қойылмаған.
Сондай - ақ 9 сынып кейінгі жылдарда шыққан жалпы білім беретін мектептерге арналған оқулықтарда математикалық индукция әдісі туралы мүлдем айтылмаған. Атап айтсақ, Г.В. Дорофеевтің 9 сыныпқа арналған алгебраларында, Муравин Г.К, Кузнецова Е.П, Шнеперман Л.Б. 9 сыныпқа арналған оқулығы, Алимов Ш. т.б. 9 сыныпқа арналған жалпы білім беретін мектепке арналған оқулықта және т.б. бұл әдіске тоқталмаған.
1.3 Шетел мектептерінде қолданыста болған және қолданыстағы оқулықтарындағы Математикалық индукция тақырыбына шолу және оларға анализ
Диссертацияны жазу барысында, яғни өз зерттеулерімді бастағанда бірден әдебиеттермен жұмыс жасауыма тура келді. Осы орайда Отандық, Ресей, ТМД елдерінің математикалық индукция тақырыбын беруі мен бірге шетелдік оқулықтар туралы жазылған мақалалармен де таныстым. Көптеген Әлемдік деңгейдегі педагог-математиктердің жұмысын [11-14] қарасырып, зерттеп, зерделедім. Солардың біразына тоқталып өткім келіп отыр.
Австралиялық ғалым Мэтью т. Майклсон [11] Квинсленд технологиялық университеті профессорының математикалық индукцияны берудегі педагогикалық зерттеу шолу жасаған мақаласында бұл әдісті берудің ерекшеліктері мен құндылығына тоқталған. Және оның қай жастан бастап беру керектігінің тиімділігін мақаланың негізгі арқауы ретінде қарастырған.
Математикалық индукция-бұл математикалық тұжырымдардың шынайылығын анықтау үшін қолданылуы мүмкін дәлелдемелер әдісі. Бұл кәсіби практикалық құжат математикалық индукция түсінігін ұсынады, ол австралиялық оқу бағдарламасына қалай қатысты: математика және орта мектеп мұғалімдері бұл техникаға студенттер үшін жақындай алады. Атап айтқанда, дәлелдеме бойынша әдебиет ұсынылады - атап айтқанда, математикалық индукция және бірнеше пысықталған мысалдар шешуге байланысты негізгі қадамдарды бейнелейтін болады. Сабақ беру және оқыту саласындағы әртүрлі ескертулерді зерделегеннен кейін мақала орта сыныпта пайдаланылуы мүмкін математикалық индукция міндеттерінің кейбір мысалдарымен аяқталады.
Математикалық индукциямен техникалық мәселелер дәлелдемелерді әзірлеу үшін қажетті қадамдар арқылы жұмыс істей алмайтын студенттерді қамтиды. Жоғары сынып оқушыларына да, жоғары оқу орындарының студенттеріне да арналған зерттеуде Бейкер (1996)" формальды математикалық фон жеткіліксіз "(16-бет) және" математикалық мазмұнды жеткіліксіз білу " (15-бет) студенттердің математикалық индукция көмегімен дәлелдеме жасауға қабілетсіздігіне ықпал ететін іргелі факторлар болып табылады. Авиталь және Либескинд (1978) сияқты негізгі алгебралық аргументтерді жүзеге асыра алмайтынын, сондай-ақ студенттер математикалық білім берудің дәлелдемелерін индукциялау кезеңінде алгебралық манипуляцияларда кездесетін мәселелерге кеңінен түсініктеме берді. Сол сияқты Эрнест (1984) индукция кезеңінде k + 1 n-ге ауыстыру көптеген студенттер үшін проблема болып табылатынын атап өтті.- дейді Мэтью Австралия математикалық журналындағы мақаласында. Жалпы жұмыста мектептен көпжылдар бойы алынып тасталынған, ал кейбір мектептерде 11 сыныпта берілгендіктен жоғары сынып оқушылары математикалық индукция ідісін толық меңгеруге іргелі математикалық білімдері жеткіліксіз екендігін айтып өткен.
Гил Рон және Томми Дрейфус [ 12] (Тель-Авив университеті, Израиль) Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу оқыту модельдерін қолдану атты мақаласында да оқытушылармен сұхбаттасып, осы тақырыпты оқушыларға қай сыныптан беру керектігін зерттеген.
Математикалық индукция көмегімен дәлел жоғары сынып оқушылары үшін тұжырымдамалық қиын екені белгілі. Бұл мақалада математикалық индукцияны оқытуда модельдерді қолдануға қатысты орта мектептің алты тәжірибелі оқытушыларымен сұхбат нәтижелері берілген. Модельдерді шығармашылық және барабар пайдаланумен қатар біз олардың негізінде жатқан математикалық идеяларды бұрмалайтын және мұғалімдердің концептуалды қиындықтарын көрсететін түсініктер, модельдер мен мысалдар таптық. Израиль орта мектебінің оқу бағдарламасы жоғары және орта деңгейдегі сыныптар үшін математикалық индукция арқылы дәлелдемелерді қамтиды. Әдетте 11-сыныпта математикалық индукция көмегімен теңдеу, теңсіздік және бөлінудің қасиеттері сияқты алгебралық қатынастарды дәлелдеуге үйретеді. Математикалық индукция арқылы дәлелдеме-бұл әрбір натурал сан үшін шынайы тұжырымдарды дәлелдеу әдісі. Математикалық индукцияның көмегімен дәлелдеу үшін N әрбір натурал сан үшін шынайы, екі шарттың әділдігін орнату қажет: N=1 үшін шынайы; егер бекіту k кез келген натурал сан үшін шынайы болса, онда ол сондай-ақ оның мұрагері k+1 үшін шынайы. Осы жұмыста бірінші шарттағы валидация кейде индукциялық базис деп аталады, ал екінші шарттағы валидация кейде индукциялық қадам деп аталады. Сонымен қатар, екінші жағдайда қолданылатын болжам, атап айтқанда, K үшін шынайы мәлімдеме индукция гипотезасы деп аталады, яғни математикалық индукция арқылы дәлелдемелерді оқыту үшін модельдерді пайдалану туралы білу болып табылады. Мұғалімдер қандай модельдерді пайдаланады? Олар осы модельдердің көмегімен нені және қалай түсінуге ниетті? Атап айтқанда, біз мұғалімдердің модельдерді қолдануы олардың елестетуді, көрсетуді немесе бейнелеуді қалайтын математикалық идеяларға сәйкес келетін мағынада барабар екенін білгіміз келеді. Бұл мақалада біз индукциялық Базис үшін модельдерді пайдалануға қатысты, атап айтқанда N=1 үшін тексеру және индукциялық қадам үшін модельдерді пайдалануға, атап айтқанда индукциялық гипотезаны дәлелдеуде пайдалануға қатысты қорытындылар ұсынамыз. Орта мектептің алты тәжірибелі математика пәні мұғалімі 30-60 минут бойы сұралды. Мұғалімдер, егер олардың ең болмағанда 10 жылдық педагогикалық өтілі болса, тәжірибелі деп саналды. Екі оқытушы математикалық білім беру саласында магистр дәрежесіне ие, ал үшеуі қазіргі уақытта осы дәрежені оқиды. Бір мұғалім (T6) - экономика және статистика факультетінің математика мұғалімі болу үшін ұзақ оқу курсынан өткен түлегі. Бұл мұғалім сондай-ақ математика мұғалімдерінің біліктілігін арттырудың үш жылдық бағдарламасына қатысты. Барлық мұғалімдер дәлелдемелерді математикалық индукция көмегімен кем дегенде екі рет сабақ берді, олардың кем дегенде екі жылда бір рет тікелей әңгімелесу алдында. Сұхбат жартылай құрылымды болды. Мұғалімдер біздің негізгі қызығушылығымыз модельді пайдалану болып табылатыны туралы хабардар болған жоқ. Бұл ғалымдар Израиль мектептерінің математикалық индукция тақырыбын беруде қалай түсіндіретінін зерттегенін айтады. Сонда олар негізінен доминоны пайдаланып математикалық индукция әдісін үйрететіндігіне көз жеткізген. Және мұны ең тиімді жолдардың бірі ретінде қарастырады. Алайда сандардың бөлінгіштігі тақырыбын түсіндіргенде де математикалық индукция әдісін пайдаланатындығына тоқталған. Демек олар бұл әдісті жоғары сыныптар емес 5-6 сыныптарда да дейгейлеп берген дегенге тоқталуға негіз бар. Осы жұмыста біз математикалық индукцияны оқыту үшін модельдерді пайдаланудың кейбір аспектілерін қарастырамыз. Осылайша, біз модель ұғымын кең мағынада қолданамыз, физикалық модельдермен міндетті түрде шектелмейді. Модельдердің рөлі математикалық индукция көмегімен дәлелдеу әдісін көрсету, иллюстрациялау және түсіндіру, осылайша, математикалық индукцияны оқытуда қолданылатын формальды тілге қарағанда оқушылар үшін анағұрлым қолжетімді болуы мүмкін бейнелеу тілінің көмегімен түсінуді қолдау болып табылады- деген ойда Израиль ғалымдары.
Габриэль Дж. Стилианидис - Андреас Дж. Стилианидис-Джордж Н. Филиппу [13] Пенсильвания университеті, Оксфорд университеті, Кипр университеті ғалым-педагогтарының Математикалық индукция арқылы дәлелдеме туралы мұғалімдердің білімін сақтау-атты мақаласында осы турасын өте жақсы зерттеген.
Барлық сыныптардағы барлық оқушылардың математикалық тәжірибесінің орталық элементіне дәлелдеуге көп күш-жігер жұмсайды. Бұл мақсатқа қол жеткізудегі табыс мұғалімдердің дәлелдер туралы біліміне байланысты, бірақ шектеулі зерттеулер осы білімді зерттеді. Бұл мақала математикалық индукция арқылы дәлелдеме туралы бастауыш және орта мектептердің математика мұғалімдерінің білімдерін сақтауды зерттей отырып, осы зерттеу саласына өз үлесін қосады. Бұл зерттеу математика оқытушыларына консервативті көзқарастағы мұғалімдерге дәлелдеулерді тиімді үйрету үшін қажет консервативті оқытушылары туралы хабарлай алады. Біздің талдау 95 қатысушының жазбаша жауаптарына негізделген, арнайы әзірленген тапсырмалар мен олардың 11-і жартылай құрылымдалған сұхбат. Дәлел бастауыш сыныптардағы барлық оқушылардың математикалық тәжірибесінің орталық элементі болуы тиіс деген идеяның өсіп келе жатқан түсінігі бар Дәлелдемелерге осындай ерекше назар аударудың үш негізгі себептері бар. Біріншіден, дәлел математиканы терең зерделеу үшін қажет және классикалық ортада кішкентай балалардың да концептуалды қол жетімділігі шегінде. Екіншіден, студенттердің математикалық шеберлігін барынша кең мағынада арттыра алады, өйткені дәлел 'қорытынды жасалуы және шешім қабылдануы тиіс барлық жағдайларда қолданылады". Үшіншіден, дәлелдемелермен байланысты көптеген жоғары сынып оқушылары мен университет студенттері кездесетін қиындықтар, кем дегенде ішінара, студенттердің орта мектепте дәлелдемелерге шұғыл енгізілуімен түсіндіріледі сондықтан оқушыларға оқытудың ерте кезеңдерінде дәлелдемелермен тиісті жұмыс тәжірибесін ұсыну маңызды. Мектеп математикасы үшін орталық дәлел жасауға ұмтылудың қажетті шарты-барлық деңгейдегі мұғалімдердің дәлелдеме біліміне ие, яғни оған қарама-қайшылықтарды тудыру әрекеттеріне қарсы тұратын мықты білімге ие.
Десек те шетел оқулықтарын зерттеу үшін оқулықтарын таба алмай, олардағы математикалық индукция әдісін қалай, қай жастан, қай деңгейде беруге болатындығы туралы айтқан мақалаларды зерттеуге тырыстым. Ол үшін мақалаларды оқып, өзіме ұнаған ғалымдыардың мақалаларын талдауға тырыстым. Дәлелдеуге үйрету іргелі математиканың басты принціптерінің бірі екендігі бәрімізге аян. Дәлелсіз математикада логикалық тұрақ жоқ. Осы орайда матиндукция әдісі берілсе, бірақ жүйелі түрде, әйтеуір өту емес арнайы модельмен берілгенін қалар едім. Шетелдік ғалымдар жұмыстарын зерделеу барысында көз жеткізгеніміз олардың осы әдісті үйрету барысында домино мысалымен байланыстыруы өте сәтті мысалдардың бірі дер едім. Өйткені бұл жерде қолданбалылық алдыңғы орынға шығады.
2. МАТЕМАТИКАЛЫҚ ИНДУКЦИЯ ӘДІСІН МЕКТЕПТЕ БЕРУ
2.1 Математикалық индукция әдісі тарихы
Осы күні дедукцияға алынатын негізгі мағлұматтар аксиомалардың белгілі бір систамсынан қортылып шығарылады. Сондықтан дедукцтя әдісін аксиоматикалық әдіс деп те атайды.
Дедукция әдісін ежелгі грек ғалымдары қалыптастырған. Евклид геометрияны негізінен алғанда осы дедукция әдісімен баяндаған.
Кейде дербес жағдайлардан жиналған мағлұматтар бойынша жалпы заңдылықты қорытуға тура келеді. Мәселен, 1+5=6, 7+11=18, 13+25=38,... Бұлардың: екі тақ санның қосындысы жұп сан болады деп қорытамыз. Қорытындыны бұлай шығару жолы индукция әдісі немесе индукция деп аталады (латынша индукцио - аңғарту деген сөз).
Индукция әдісі ертеден мәлім. Оны әуелде Мысыр мен Вавилонның абыздары қолданған. Бұл әдіс тәжірибелерге сүйенетін жаратылыс ғалымдарында маңызды роль атқарады. Мәселен, бірнеше рет тәжірибе жасап, өткізгіш ссымды магнит өрісінде ерсілі - қарсылы қозғағанда сымның бойында ток пайда болатынын көреміз.Бұдан қорытынды жасаған ұлы физик Фарадей (1791-1867) электромагнетизм құбылысын ашқан Индукция әдісін Ферма да көп қолданған.
Әдетте индкуция әдісі дедукция әдісінен гөрі жеңілірек. Сондықтан мектептердің бастауыш кластарында көрнекілік пен индукция басым болады да, жоғары кластарда дедукцияға көшеді. Зерттеулерде бірыңғай индукция сирек кездеседі. Олар көбінесе бірін бірі толықтыра, тараласып келеді.
2.1 Математикалық индукция әдісі
Айтылым деп аталатын тұжырымның не жалған, не дұрыс деген екі мәні болады. Әр сөйлем, мәселен, лепті және сұраулы сөйлемдер айтылым бола бермейді.
Айтылымдар тізбегі берілген болсын, яғни әр оң бүтін санға бір айтылым сәйкес қойылсын. Бұндай тізбектегі айтылымдар саны ақырсыз болғандықтан оның әрбір мүшесінің жалған не дұрыс екендігін тексеру мүмкін емес. Соған байланысты, саны ақырлы болатын амалдар арқылы айтылымдар тізбегінің саны ақырсыз әрбір мүшесі дұрыс болатындығын көрсететін (тәртіп, принціп, тіпті, теорема) мәселе тұжырымдалады.
Барлығы дұрыс деген нені білдіреді? Кез келген үлкен n санын алдық делік (мейлі айға дейін жазылатын үлкен сан), дұрыс болуы дәлелденіп (1 қадам), деп алғанда екінші қадам бойынша үшін дұрыс болатынын дәлелдесек, сонан соң дұрыс болатындығын тағы қолданып, дұрыс екендігін дәлелдесек, онда осылай жалғастыра беріп, n-ге жетеміз. Сонда тұжырымы әр оң бүтін n үшін дәлелденген болып шығады, ал бұл болса, барлық оң бүтін n үшін дәлелдеген болып шығады да, - ол айтылымдарының бәрі де дұрыс деген сөз.
Бұл теореманың маңыздылығы оның екі амалдан ғана тұратындығында.
1.Математикалық индукция әдісі. Әуелі Математикалық индукция әдісін баяндауға қажетті мәліметтерді келтірейік.
Натурал (оң бүтін) сандар жиынының анықтамасына математикалық дәлелдеулердің маңызды әдістерінің бірі - математикалық индукция әдісі негізделген.
Натурал сандар жиыны (тізбегі) деп нақты сандар жиынының анықтамасындағы 9 және 1 аксиомалар бойынша бірте-бірте анықталған
сандар аталады да, әдеттеәрпімен белгіленеді. Бұндағы әр сан натурал сан (қолданымдарда нөмір деп те) деп аталады. Қысқа түрде жиыны мына екі қасиет арқылы толық суреттеледі:
және . (1)
Барлық натурал сандар жиынының (1) анықтамасы дәлірек былай да оқылады: 1 санын және әр элементімен бірге оның 1 санымен қосындысын да қамтитын ең кіші жиын.
10. Айтылым. Не дұрыс, не жалған болатын сөйлем айтылым деп аталады. Әрбір сөйлем айтылым бола бермейді. Лепті және сұраулы сөйлемдер, мысалы, Бүгін ауа-райы керемет!, Болса ше? сияқты сөйлемдер, сонымен қоса, анықтамалар айтылым болмайды.
20. Айтылымдар тізбегі ақырсыз көп айтылымдардың дұрыстығын тексеру мәселесін тудырады. Айтылымдар тізбегі берілген делік, яғни әрбір n натурал санына немесе, басқаша айтқанда, нөмірге, қандай да бір айтылымы сәйкес қойылсын, ол
не
түрінде жазылады.
Әрбір n нөмірдегі айтылымы дұрыс та, жалған да болуы мүмкін. Натурал сандар жиынының ақырсыз болғандықтан әрбір айтылымды немесе, басқаша айтқанда, барлық айтылымдарын тексеру мүмкін емес.
Бірақ, барлық n нөмірлер үшін айтылымының дұрыстығын екі амалмен тексеруге мүмкіндік бар.
30. Математикалық индукция әдісі. Айтылымдар тізбегі берілген болсын.
Егер келесі екі шарт орындалса (қанағаттандырылса):
10-шарт: 1 нөмірлі T1 айтылымының дұрыстығы дәлелденеді (тексеріледі, көрсетіледі),
20-шарт: кез келген (әрбір) k нөмірі үшін айтылымының дұрыстығынан (айтылымының расында да дұрыстығы немесе жалғандығы жайлы ешқандай да сұрақ қозғалмастан дұрыс айтылым деп қабылданады) келесі нөмірлі айтылымының дұрыстығы (бұнда расында да) дәлелденеді,
онда
Қорытынды: кез келген (әрбір) n нөмірі үшін Tn айтылымы дұрыс, не, сол мағынада басқаша айтқанда, айтылымдарының барлығы дұрыс.
Дәлелдеме.арқылы айтылымы дұрыс болатын барлық нөмірлерінен құрылған жиынды белгілейік:
-дұрыс айтылым.
Онда жиындар теңдігін дәлелдеу математикалық индукция әдісінің дәлелдемесі болып шығады. 10-шарты орындалуы кірістіруінің дәл өзі болады. Ары қарай, 20-шарты түрінде бейнеленеді. Бұдан айтылымы дұрыс болатын барлық нөмірлерінің жиыны А және барлық натурал сандардан құрылған жиынының (1) анықтамасы бойынша барлық нөмірлерінің жиыны N беттеседі:. Сонымен, - барлық нөмірлер жиыны болып шықты. Демек, анықтама бойынша нөмірлер жиыны дұрыс болатын барлық нөмірлерінен құрылғандықтан әр нөмірі үшін айтылымы дұрыс болады және дәлелдеу керегі де осы еді.
4. Математикалық индукция әдісінің негізінде жатқан идея (түйіні). Математикалық индукция әдісі келесіден тұрады: егер 1 нөміріне сәйкес T1 айтылымы дұрыс болса (бұл дәлелденеді) және егер кез келген k нөмірі үшін Tk айтылымын дұрыс деп дәлелдеусіз қабылдағаннан одан кейінгі Tk+1 айтылымының дұрыстығы дәлелденсе, онда барлық айтылымдары дұрыс болады.
Бұл әдістеменің тоқетер түйіні мынадай. 2 шарты болғанда былай оқылады: егер расында қалай болатындығына қарамай T1 айтылымының дұрыстығын қабылдасақ, онда T2 де дұрыс болады. Бірақ әдістің 10 шарты бойынша T1 расында да дұрыс, сондықтан да T2 айтылымы да дұрыс деген қорытындыға келеміз. Одан кейін осы талқылаулардың барлыған k=2 үшін қайталасақ, тексеріліп қойған T2 айтылымының дұрыстығынан T3 айтылымының дұрыстығына келеміз. Жалғастыра отырып, және жалпы айтқанда, кез келген (қандай үлкен болса да, солардың арасында, бірінші цифрі 1 және қалғандары Айға дейін созылған нөлдермен бейнеленген сан) n нөмірі үшін айтылымының дұрыстығына көз жеткіземіз.
Ескерту. Математикалық әдебиетте математикалық индукция әдісі Қайсібір қасиет (соның ішінде логикалық өрнек) натурал параметрге тәуелді болсын жағдайында қолданылады. Олардың бәрін айтылымдар тізбегі тіліне көшіріп алып, ары қарай қолдана берсе болады.
50. Математикалық индукция әдісін қолдану әдістемесі. Математикалық индукция әдісін қолданған кезде айтылымының оң бүтін (нөмірінен) санынан тәуелділігін мүмкіндігінше анық етіп көрсету қажет. Оған қоса, алдында әртүрлі етіп айтылып кеткендей
1. Бастапқы 1 нөмірлі T1 айтылымының дұрыстығы дәлелденеді (көбінесе, дәлелдеу жазылған сандық теңдеудің немесе теңсіздіктің дұрыстығын тексеру ғана болады).
2. Кез келген бекітілген натурал (бүтін оң) санды бейнелейтін k жазылады (таңдап алынады). болғандағы айтылымының жазылуы Tk айтылымының дұрыстығы дәлелдеусіз қабылданады да, соның негізінде келесі нөмірлі Tk+1 айтылымының дұрыстығы дәлелденеді.
Айтылымдар туралы дұрыс сөзімен бірге, оған, ыңғайына қарай, синоним ретіндегі орындалады, орын алады сияқты сөздер де қолданылады.
2.3 Математикалық индукция әдісінің қолданысы
Индукция әдісі үш түрге бөлінеді. Олар: толымсыз индукция, толық индукция және математикалық индукция. Енді осыларға жеке-жеке тоқталайық.
Толымсыз индукция.Тікелей есептеу арқылы мына теңдіктердің дұрыстығына көз жеткіземіз:
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52 , ...
Бұл теңдіктерден 1-ден бастап алынатын тетелес тақ сандардың қосындылары квадрат сандар болып отыратындығын және екі қосылғыш болса, 32,...т.с.с. шығатындығын көреміз:
1+3+5+7+9+...+(2k-1)=k2
Натурал тізбек сандарының кубтарының қосындысын қарастырайық.
13=12,
13+23=(1+2)2,
13+23+33=(1+2+3)2,
13+23+33+43=(1+2+3+4)2,
13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2,...
Бұлардан:
13+23+33+43+...+k3=(1+2+3+4+...+k)2
деп қорытамыз.
Қысқаша бөлу формулаларын еске түсірейік:
x2-1=(x-1)(x+1),
x3-1=(x-1)(x2 +x+1),
x4-1=(x-1)(x3 +x2 +x+1),
x5-1=(x-1)(x4 +x3 +x2 +x+1),
Сонда:
xk-1=(x-1)(xk-1 +xk-2 +xk-3 +...+x2 +x+1)
болады (k - оң бүтін сан).
Толымсыз индукция әдісі бойынша қоыртынды жасау, теорема дәлелдеу жолы осылай болып келеді. Онда бірнеше дербес жағдайдан байқалған қасиет, ереже немесе заңдылық жалпыланады, бәріне ортақ деп есептеледі.
Бұл мысалдарда жасалған қорытындылар - дұрыс қорытындылар. Оларды түсіну оңай. Бірақ толымсыз индукцияның елеулі кемшілігі бар: ол кейде қате қортындыға әкеледі, үнемі айтқаны келе бермейді. Ферманың толымсыз индукция бойынша жасаған тұжырымдарының кейбіреулерінің қате болып шыққандығы алдыңғы тақырыптарда айтылған болатын. Ондай мысалдарды көптеп келтіруге болады. Эйлер көрсеткен
x2 +x+41 триномды алайық. х-ке әр түрлі бүтін мәндер берейік. Сонда
x=0 болғанда: x2 +x+41=41,
x=1 x2 +x+41=43,
x=2 x2 +x+41=47,
x=3 x2 +x+41=53,
x=4 x2 +x+41=61,
x=5 x2 +x+41=71,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
x=38 x2 +x+41=1523,
x=39 x2 +x+41=1601,
Бұл табылған 40 түрлі санның бәрі жай сандар Соған қарағанда:
x2 +x+41 триномынан үнемі жай сан шығып отырады деген ой келеді. Бірақ үміт ақталмайды, x=40 болғанда x2 +x+41=1681=412 шығады, бұл құрама сан. 40 күн от болып, 41-нші күні жоқ болған деген осы.
Қазақ халқының Ұлы Октябрь социалистік революциясына дейін қолданып, келген календарында мүшелдің төртінші жылы қоян жылы деп аталған. Қоян жылдары көбінесе мал жұтап, ел ашаршылыққа ұшырап отырған. Мәселен, 1867-1868жылғы жалпақ қоян жұты, 1879-1880жылғы үлкен қоян жұты, 1891-1892 жылғы кіші қоян жұты, 1915-1916жылғы тақыр қоян жұты осындай жұттар болған. Жұтты басының кешірген шаруалар қоян жылдары әрдайым жұт болады деп ойлаған. Бірақ бұл толымсыз индукциядан туған қорытынды қате болатын. Өйткені 1903-1904жылы (қоян жылы) жұт болған жоқ. Ал совет заманында жұт дегенді жұрт ұмытып кетті.
Сөйтіп, әлденеше рет дұрыс қорытындыға да әкелетін болып шықты. Шөлмек мың кун сынбас, бір күні сынар дейтін қазақ мәтелі осы толымсыз индукцияға арналып айтылғандай. Бірақ өкінішті жері толымсыз индукция арқылы жасалатын қорытындылардың қайсысы дұрыс, қайсысы қате болатындығын алдын ала айтуға болмайды. Сондықтан толымсыз индукция әдісі сенімсіз. Одан байқалған заңдылықты дәлелдеу мен қорытудың сенімді әдістері бойынша тексеру керек.
Толық индукция. Зерттелетін құбылыстың бірнеше ғана дербес жағдайы болуы мүмкін. Ондайда дербес жағдайлардың бәрі де тексеріледі. Егер бәрінен де бірдей қорытынды шығатын болса, ол қорытынды құбылыстың жалпы заңдылығын сипаттайды. Мысал үшін Герон формуласын алайық. АВС үшбұрышы берілген, BC=a, AC=b, AB=c, осы үшбұрыштың ауданын анықтау керек.
1. Үшбұрыш сүйір бұрышты болсын. АС табанына BD биіктікті түсіреміз. Сонда Пифагор теоремасы бойынша:
BD2=c2-AD2
Үшбұрыштың сүйір бұрышына қарсы орналасқан қабырғаның квадраты туралы теорема бойынша:
a2=b2+c2-2b*AD
Осыдан AD-нің тауып, алдыңғы теңдікке қоямыз. Сонда BD биіктік анықталады. Ал
S=12b*BD,S=12bc2-(b2+c2-a2)24b2,
S=144b2c2-(b2+c2-a2)2.
Радикал астындағы квадраттар айырмасын көбейткіштерге жіктейміз:
4b2c2-(b2+c2-a2)2=2bc+b2+c2-a22bc-b 2-c2+a2;
4b2c2-(b2+c2-a2)2=[(b+c)2-a2][a2-(b -c)2];
4b2c2-(b2+c2-a2)2=a+b+c-a+b+ca-b+ca +b-c.
S=14a+b+c-a+b+ca-b+ca+b-c.
Үшбұрыштың ауданы анықталды. Соңғы формуланы түрлендіріп, ықшамырақ түрге келтіруге болады. Ол үшін үшбұрыштың периметрін 2р деп белгілейміз. Сонда:
a+b+c=2p,-a+b+c=2p-a,
a-b+c=2p-b,a+b-c=2p-c.
Соңғы үш теңдік бірінші теңдіктен 2a, 2b,2c сандарын шегеру арқылы табылған. Бұл мәндерді радикал астындағы орындарына қойып, 2∙2∙2∙2=16, оның түбірі 4 болатындығын еске алып, алдыңғы бөлшекті қысқартып,
S=pp-ap-b(p-c)
B
B
c a a
A C c
b D C b A D
Герон формуласына
2. Үшбұрыш доғал бұрышты болсын, СА табанының жалғасына BD биіктікті түсіреміз.
BD2=c2-AD2,
Үшбұрыштың доғал бұрышына қарсы орналасқан қабырғаның квадраты туралы теорема бойынша
a2=b2+c2+2b∙AD
Осыдан AD - ні, одан әрі ВD - ні табамыз.Ақыры жоғарыдағы формулаға келеміз.
3. Үшбұрыш тік бұрышты болсын. Оның катеттері b мен а, гипотенузасы с делік. Тік бұрышты үш бұрыштың ауданы S=12ab болады.Мұны былай жазайық:
S=144a2b2
Ал Пифагор теоремасы бойынша a2+b2-c2=0 , болатындығын еске алып,
S=144b2c2-(b2+c2-a2)2
деуге болады. Жоғарыдағыдай түрлендіргенде бұдан да алдыңғы формула шығады.
Сонымен, Герон формуласы үшбұрыш қандай болса да дұрыс. Ол практикада жиі қолданылады. Есептер шығарғанда периметр 2р деп алынатынын, формуладағы р сол периметрдің жартысы екендігін ұмытпау керек. Біз формуланы толық индукция әдісімен қорытып шығардық.
Мысал. Қабырғалары 13, 14, 15 болатын үшбұрыштың ауданын табыңдар
Шешуі. 2p=13+14+156=42, p=21, p-a=8, p-b=7, p-c=6.
Сонда: S=21∙8∙7∙6= 7∙3∙2∙∙
Адам ойымен, қиялы өте шексіз. Жылдар, ғасырларға кейіндеп те, ілгерілеп алға да оза алады. Саналы адам көрсем, үйренсем, білсем деп тұрады. Көрген - білгенінен ой түйіндейді, қорытынды шығарады. Табиғатта, қоғамда, ғылым мен техникада, өндіріс орындарында, күнделікті өмірде қандай да бір оқиғаның мүмкін болатын жағдайларын орналастыру немесе санаудың нұсқалар санын табуды қажет ететін есептер жиі кездеседі. Прогрессияларға, тригонометриялық есептерді шешуді және теңсіздіктерді дәлелдеуді математикалық индукция әдісімен шығару қаншалықты жеңіл екенін дәлелдейміз.
Мектеп оқушылары арасында математиканы кең насихаттау мақсатында әр деңгейдегі математикалық олимпиадалар жүйелі түрде өткізіліп тұрады. Олимпиадаларды өткізудегі негізгі мақсат оқушылардың математикаға деген қызығушылығын арттыру, олардың бойындағы бейімділіктің ашылып, одан әрі дамуына жәрдем ету екедігі белгілі. Соңғы жылдары әрқилы аймақтық, жекелеген оқу орындары, математикалық журналдар ұйымдастырған олимпиадалар да өткізіліп жүр.Олимпиадаларда ұсынылатын есептер математика курсының әр алуан тақырыптарын қамтиды. Сондай тақырыптардың бірі сандардың бөлінгіштігі. Ондай есептерді шығару үшін орта мектеп программасындағы теориялық білім, негізінен жеткілікті.
Сыныпта немесе ашық сабақтарда оқушылар мен төмендегідей жұмыстар жасау ескеріледі.
Орта сыныптар да мектепте кейбір есептерді шығаруда, математикалық сөйлемдерді дәлелдеуде, сонымен қатар формулаларды қорытып шығару кезінде қолданылатын талдау математикалық индукция әдісі деп аталады. Индукция әдісі Жалқыдан жалпыға қарай тексеру әдісі - деген мағыналарға ие болады. Яғни тексеру, бақылау. Мәселен тепе-теңдікті, теңсіздікті, бөліндіні және тағы басқаларды нақтылап дәлелдеу, тексеру жөнінде кеңінен қолданылатын ұғым. Математикада индуктивтіктің рөлі ертеректе аксиома ретінде ғана қолданған. Ұзақ зерттеулердің арқасында индукцияның рөлі артты. Индукция әдісі тура жол болып табылды. Расында индукция әдісі әлі бізге ашылмаған теоремаларды ашуға көмектеседі.
Индукцияның қазақша баламасы қорытындылау деген сөзбен тең. Яғни жалқыдан жалпыға өту. Мысалы біз күн сайын күннің шығыстан шығатынын көреміз. Сол себепті сенімді түрде күннің шығыстан шығатынын айтуға болады. Бұл қорытындыны біз ешқандай болжамдарға сүйеніп айтпаймыз, тек күннің қозғалысынан білеміз. Дегенмен бұл индуктивтік қорытынды біз жасаған бақылаумен сәйкес келеді. Бақылаудың тиімді жолы да, тиімсіз жолдары да бар, міне осы жағдайларда индукция әдісін пайдалану тиімді жолы көрсетіледі.
Математикалық индукция (латын тілінен inductio - ой салу, бағыттау) - дербес жеке түсініктер негізінде ақиқаттығы пайымдалатын жалпылама түсінік тұжырымдау.
Математикалық индукция принципін бірқатар ежелгі грек ғалымдары қолданған. Алайда оны алғаш рет 1321 жылы Герсонид айқын көрсеткен. Математикалық индукция принципінің сипаттамасы XVI ғ. итальян математигі, Архимедтің аудармашысы Ф.Мавролико еңбектерінде қамтылған.Блез Паскаль
Ф.Мавролико Блез Паскаль
Математикалық индукция әдісі теоремаларды, тепе-теңдіктерді, теңсіздіктерді дәлелдегенде, сандардың бөлінетіндігін анықтағанда және әртүрлі есептер шығарғанда кеңінен қолданылады. Математикалық индукция принципі төмендегі аксиомамен тұжырымдауға болады.
Натурал n айнымалыға тәуелді А(n) тұжырым сол айнымалының барлық мәндері үшін дұрыс болады, егер төмендегі үш шарт орындалса.
Индукция базасы:n = 1болғанда А(n) тұжырым дұрыс болса.
Индукцияны болжау:n = k үшін А(n) тұжырымды дұрыс деп жорығанда (мұндағы k - кез-келген натурал сан)
Индукциялық ауысу: индукция болжамынан шыға отырып, n = k + 1 үшін тұжырымның дұрыс екендігі шығатын болса.
Осы айтылған принципті математика принципі деп атайды. Сонымен, егер де р(n) тұжырымын барлық n натурал сандары үшін дұрыстығын тексергіміз келсе, онда: біріншіден осы тұжырымның n = 1 болғандағы ақиқаттығын; екіншіден, осы тұжырымның n = k үшін дұрыс деген болжаудан, оның келесі n = k + 1 саны үшін де дұрыс болатынын тексеруіміз керек. Сонда осы шарттар орындалғанда р(n) тұжырымы, математикалық индукция принципі бойынша, барлық натурал сандары үшін дұрыс болады.
Қазіргі кезде ғылым мен техниканың даму деңгейі әрбір адамды сапалы және терең білім мен іскерліктің болуы, ойлау қабілетінің жоғары, шығармашылықпен жұмыс істеуін талап етеді. Оқушылардың математикалық білімін жоғары деңгейде оқыту, яғни тереңдету әр ұстаздың алдындағы міндет. Мұғалім шеберлігінің негізгі көрсеткіштерінің бірі-әдістеме саласындағы ғылыми жаңалықтар мен озық тәжірибені жетік игеру.
Оқушылардың білімділік және тәжірибелік деңгейі шешуші дәрежеде мұғалімге байланысты, яғни мұғалім ізденісін қажет етеді. Дарынды балалардың қабілетін дамытудың жолдары көп. Соның ішінде олимпиадалардың рөлі ерекше. Оқушылардың пәнге қызығушылығын оятатын, олардың математикалық ой-өрісінің, шығармашылық қабілетінің дамуына дәнекер болатын қосымша тақырыптар көп әсерін тигізеді.
2.3. Математикалық индукция әдісінің мектеп бағдарламасындағы берілу көлемі
Мектептердің миссиясына қарай жалпы білім беретін, дарынды балаларға арналған, қоғамдық-гуманитарлық бағыттағы, жаратылыстану бағытындағы, математиканы тереңдетіп оқытуға арналған сыныптардың әртүрлілігіне қарай олардың бағдарламалары, оқулықтары әртүрлі. Алайда, сараптама жұмысын жасау барысында аталған тақырып бойынша берілген анықтамалар мен тақырып деңгейіндегі қателіктер көрініп тұрды. Осы орайда математикалық индукция тақырыбын берудің олқылықтарын дұрыстап, кітап сарапшыларына осы мәселеге көңіл аударса екен деймін.
9-сыныпта Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 9-сыныбына арналған оқулық. Ә.Н.Шыныбеков, Р.Н.Жұмабаев - Алматы: Атамұра, 2019-240 бет. Оқулық жалпы білім беретін мектептердің 9-сыныбына арналған, оның бірқатар өзіндік ерекшеліктері бар. Материалдардың математикалық олимпиадаларға және түрлі ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz