МӘСЕЛЕ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУ МӘСЕЛЕЛЕРІ КІРІСПЕ
МӘСЕЛЕ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУ МӘСЕЛЕЛЕРІ
КІРІСПЕ
Зерттеудің өзектілігі. Мәтін есептерін шешудің классификациясын
терең жасау арқылы есепті шығарудың тиімді тәсілдерін көрсету. Мәтін
есептердің моделін жасаудың негізін көрсету. Мәтін есептерді шешудің
әдістемелік аспектісін жасау. Элективті сабақтың бағдарламасын жасау арқылы
мәтін есептің білім мазмұнындағы ролін көтеру.
Зерттеудің мақсаты. Мәтін есептің мазмұнын түсіну арқылы оқушының
логикалық ойын жетілдіру. Мәтін есептерді тиімді тәсілмен түсіндірудің
әдістері және мәтін есептерінің қолданбалы тұстарын анықтау. Мәтін
есептерінің моделін құру және классификациясын тереңдете жасаудың
аспектілері.
Зерттеудің міндеттері.
1. Мәтін есептерді оқушы білімінің ең қажетті бөлігі екендігін
дәлелдеу.
2. Оқушының логикалық ойын дамытудағы мәтін есептің ролі мен оның
пәнаралық байланыстағы ролін көрсету.
3. Оқушылардың бойындағы мәтін есептерді шығару шеберлігін арттыру.
4. Табиғи құбылыстар мен қозғалыстар шеңберіндегі есептерге байланысты
қосымшаны ұсыну және элективті пәнге арналған авторлық бағдарламаны
ұсыну. Осы тақырып бойынша психологиялық-педагогикалық және
әдістемелік әдебиеттерді үйрену;
5. Мәселе есептерді жаңаша классификациялау мәселесі;
6. Қазақстан Республикасы мен Ресей оқулықтарын әрқайсысын жеке жеке
салыстыру жұмыстарын жүргізу;
7. Ескі жаңа оқулықтармен, оқу құралдарын тауып, оларды зерттеу жұмысы
барысында саралауды сапалы жүргізу; Мәселе есептерді шешуде оның
моделін жасаудың қажеттілігін анықтау;
Зерттеу әдістері.
Зерттеудің нәтижесі.
Зерттеудің ғылыми және практикалық маңыздылығы.
Есептері шешу шеберлігі оқушы дағдысын қалыптастыру арқылы келеді. Бұл
математиканы оқытудың ең бірінші критерийінің бірі десек дұрыс. Сондай –ақ
мәселе есептер өмірде үлкен ролі бар, математиканың басты саласы.
Оқушылардың есептерді шешу шеберлігі мен дағдыларын қалыптастыру
мәселесі математиканы оқыту әдістемесіндегі басты мәселелердің бірі болып
табылады. Сонымен бірге мәселе есептерді шешу үшін оның моделін құру,
анықтау ең негізгі проблеманың бірі болып табылады. Зерттеу барысында
мәселе есептердің моделін жасау, ол арқылы негізгі тоқталатын шешімдер
туралы арнайы тұжырымдарға келдік. Жаңа ақпараттық технологияны меңгергісі
келетін оқушыға ең бірінші алдында тұрған есептің моделін жасай білу.
Мәселе есеп өміршең, қолданбалы болғандықтан, ең бірінші біз олардың
моделін жасай білуіміз қажетті деген тұжырымға келдім.
Мәселе есептердің мектеп математика мазмұнында өзіндік орны бар,
өзіндік атқаратын қызметі бар. Логикалық ойлау жүйесін қалыптастыру,
есептің өміршеңдігін, математиканың қолданбалы тұстарын дәлелдейтін бірден
–бір құрал. Мәселе есептер математика курсының түсінігі мен әдістерін
меңгеруде басты функцияны атқарады. [1-5]
Есеп шығарудың дағдыларын қалыптастыру, есептің тәжірибелік тұстарын
көрсету, оқушыға математикалық тәрбие беру де мәселе есептердің атқарар
жүктерінен болса керек. Математика мазмұны қашанда есептың басты миссиясын
айқындайды. Мазмұнды есептерді математикалық білімі жоқ ата-бабаларымыз да
меңгерген тұстары тарихта аз кездеспейді. Бұл ретте негізінен математикалық
логикасы дұрыс болса болғаны. Осыдан барып мазмұнды есептеді шешудің түрлі
тәсілдері шығады. Мәселе есептерді шешудің түрлі әдістері бар. Диссертация
барысында негізінен мәселе есептерді оқушыға оқулық арқылы беретіндіктен
негізінен мектеп математика оқулықтарын зерттедім. Содан кейінгі негізгі
мәселенің бірі- мәтін есептердің классификациясы. Мәтін есептің
классификациясын жасаудың түрлі аспектілері бар. Мен өзімнің зерттеу
жұмысымда соны толық көрсетуге тырыстым. Себебі көбіне мәселе есептер
оқулықта тақырыптан кейін, әр сабақтың соңын ала немесе қайталау
есептерінің ішінде, сондай-ақ тараулар бойында берілетіндіктен, мұғалім
классификациясын толоық меңгермесе әр кезде әртүрлі түсіндіруі мүмкін.
Сондықтан, мәтін есептер берілгенде классификациясы бойынша белгілі жүйемен
түсіндірсек ол оқушыға есепті шығару барысында өте қиындық туғыза қоймайды.
Кейде теңдеу құрып, тіпті жүйе құрып шығаратын мәтін есептің
арифметикалық жолмен шешілу жағдайлары да кездесіп жатады. Осы орайда
тәуелсіздікпен бірге ашылған шегарадан сырттан ағылған тауармен бірге түрлі
ақпараттар легінің де толассыз ағуының оң тұстарын байқауға болады.
Шетелдік білім мазмұны есепті босқа шығару, автоматты түрде тапсырманы
қайталай бергеннен, кез келген оқулықта есептер мазмұнына мән беретіндігіне
көз жеткіздік. Оған SAT тестерінің көптеп енуі мен шетелде білім алғысы
келген талапкерлердің сұранысымен біздің Ұлттық бірыңғай тесттерде де
кездесетін болды. Аталмыш тесттердің мазмұны негізінен функцияны зерттеу,
мәтін есептер және ықтималдықтар теориясының есептерінен тұратындығын
байқадық. Бұрынғы оқулықтар мен жаңа мазмұндағы оқулықтарды салыстыра
келгенде ескі оқулықтар мен бүгінгі жаңа бағдарлама мен оқытылатын
оқулықтардың сағаттары мен мазмұн деңгейі мектеп миссиясы, яғни гимназия,
лицей және жалпы білім беретін мекемелердің ұстанымына қарай бөлінетіндігін
байқадым.
Осы орайда айта кететін жайт, Отандық оқулықтарды саралау барысында
А.Е.Әбілқасымованың 5-6 сыныптарға арналған оқулықтарының мазмұ
ерекшелігіне тоқталғым келіп отыр. 5-6 сыныптарға арнвлған оқулықтар да аз.
Бәсекеге қабілетті деп айту қиын. Десек те А.Е.Әбілқасымованың
оқулықтарындағы ерекше атап айтатын нәрсе оқушыларды Отансүйгіштікке
тәрбиелеу, пәнаралық қатынастарды берік ұстану, екі қала аралығы туралы
есептерде біздің елеіміздің қалалары бойынша нақты есептер, масштаб
тақырыбын бергенде де нақты қалалар мен карталар туралы есептер көңілімнен
шыққандығын айта аламын. Математиканы қабылдау көп оқушыларға өзінің
абстрактылығымен қиын көрінеді. Осы орайда нақты оқушы білетін объектімен
болған оқиғалар, нақты оқушы күнделікті көріп жүрген оқиғалар барысын тілге
тиек еткен мәселе есептер олардың қызығушылығын арттыратын бірден-бір
құрал!
Оқулықтардағы мәселе есеп құрамы да СССР кезіндегіден, қайта-құрудың
алғашқы кезеңдеріндегіден қарағанда әлдеқайда сын көтеретіндігіне көз
жеткіздім. Десек те ана тілімізде жарияланған оқу құралдары, оқулықтар саны
басқа елдерден қарағанда әлдеқайда аз. Бәсеке болмаған жерде альтернатива
да аз. Сондықтан, оқулықтарды жазуға конкурстар жасап, олардың санын
көбейтсе, нұр үстіне нұр болтыны сөзсіз еді. Алайда мәселе есептерді
шешудің әдістемелік құралдары жоқтың қасы. Көп оқу құралдары бар
болғанымен олардың әдістемесі аз екендігін байқадым.
Мәселе есептердің шешілу тәсілдеріне байланысты зерттеулерімді жүргізу
барысында жаңа ақпаратттық технологияны пайдаланып та, яғни анимациялық
қозғалыстарды пайдаланып та түсіндіруге оңай шешімдерді табуға
болатындығына көз жеткіздім.
Қазіргі уақытта ҰБТ тестілерінде де мәселе есептер пайызы жоғары, яғни
мәтін есептерді шешу білудің маңызды екендігі байқалады. Менің зерттеп
отырған тақырыбым, осы диссертациялық жұмыс негізінен механика-математика
факультеті, педагогикалық жоғарғы оқу орындарының математика мамандығы
студенттеріне өте қажетті мағлұмат болып табылады деп ойлаймын [6-8].
Зерттеу мәселесі диссертациялық жұмыстың жұмыстың тақырыбын
анықтайды: "ЖАЛПЫ БІЛІМ БЕРЕТІН МЕКТЕПТЕ МӘТІН ЕСЕПТЕРДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІН
ЖЕТІЛДІРУ "
Зерттеу объектісі - математиканың мектеп курсында мәтіндік есептерді шешуге
оқыту әдістемесін жетілдіру мәселелері.
Зерттеу пәні - 5-9 сынып математика курсында есептерді шешуге үйретудің
теориялық аспектілері.
Мақсаты: оқушылардың мәтінді тапсырмаларды шешуде оқытудың тиімділігін
арттыру жолдарын, шарттары мен құралдарын анықтап, әдістемелік тұрғыдан
жаңашаландыру процесін жасау.
Осы жұмыстың міндеттері:
Диссертациялық жұмыс 3 тараудан, кіріспе, мазмұны, пайдаланылған
әдебиеттерден және қосымшадан тұрады. Менің Республикалық физика-
математика мектебінде оқып жүргеннен өзіме ұнайтын, оқушы кезімнен
көңілімнің төрінен орын алған математиканың қызықты саласы ретінде
қарайтын дәл осы мәселе есептерді шешу әдістері бойынша жасаған жұмысым
студенттер мен оқушылар және ата-анналарға өз кезегінде пайдалы болады
деп ойлаймын. Осы орайда зерттеу барысында жасаған көптеген тапсырмалар
мен есептерді жинақ етіп шығару да менің қорғаудан кейінгі мақсатым болып
қалмақ.
Отандық оқулықтар мен Ресей оқулықтарын салыстыра отырып, бүгінде
мәтін есептерге берілетін есептер сағатпен өлшегенде жақсы деңгейді
еншіледі. Десе де, мәтін есептерден ана тіліміздегі көрнекілік, оқу
құралдары өз аз екендігі бәрімізге мәлім. Осы олқылықтардың орнын
толтыру мақсатында таңдалған диссертациялық жұмыстың міндеті де осы
типтес сұрақтарға жауап іздеу болса, сонымен бірге білім дегейін,
логикалық ойлау қабілетін тереңдету үшін қол жеткізуге қадам ретінде
қабылдауға да болады. Осы орайда, біз өмір сүріп отырған әлем, біздің
экономикамыз, табиғи ресурстарымыз мәселе есепті шығара білу арқылы
ешкімге есе бермейтін дамыған елдер қатарына кіретін мемелекеттің білімді
ұрпағына өз деңгейінде білім алуға бағыттауға мүмкіндік беретін жұмыстар
қатарынан табылса нұр үстіне нұр болары анық.
1 ЖАЛПЫ БІЛІМ БЕРЕТІН МЕКТЕПТЕ МӘТІН ЕСЕПТЕРДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІН ЖЕТІЛДІРУ
1.1 Мәтіндік есептің ұғымы
Математиканы оқытудың жалпы жүйесінде мәтіндік есептерді шығару тиімді
жаттығулардың бір түрі болып табылады. Мәтіндік есептерді шығаруға үйрету
оқушыларда негізгі математикалық ұғымдарды қалыптастырып, олардың
бағдарламада анықталған теориялық білімді меңгеруіне маңызды орын алады.
Математикалық мәтіндік есептер оқушыларға жаңа білімді қалыптастыратын
және бұрыннан бар білімдерін пайдалану жолында пысықтала түсетін нақты
материал болып табылады. Есеп шығару арқылы оқушылар танымдық және
тәрбиелік маңызды ұғымдармен танысады.
Есеп шығару оқушылардың ақыл-ойының дамуына игі әсерін тигізеді,
себебі ол анализ және синтез, нақтылау және абстракциялау, салыстыру,
жалпылау сияқты ойлаумен жүргізілетін кезеңді талап етеді.
Есеп термині және оның элементтерімен оқушыларды айқын түрде алғаш
таныстыруға дейінгі уақытты мазмұнды есептерді енгізудің дайындық кезеңі
деп айтуға болады.
Күнделікті тұрмыста мәтіндік есептерді шешуді көп кездестіреміз. Есеп
шығара білу – әр адамның математикалық, логикалық, аналитикалық және сын
тұрғысынан ойлау қабілетінің даму көрсеткіші. Мәтіндік есептер бастауыш
сынып математикасынан бастап барлық орта мектеп математика курсында бар.
Бірақ берілген тақырыпта оларды өз дәрежесінде меңгеру мүмкін бола
бермейді.
Мәтіндік есептер өте алуан түрлі болып келеді, оқушылар кейде есептің
мазмұнын толық түсіне алмай қалады, сондықтан қиындық тудыратын
тақырыптардың бірі болып табылады [9].
Оқушыны мәтіндік есептерді шығаруға үйрететін әртүрлі амалдар бар.
Алайда, оқытушы қандай тәсілді таңдап алса да, мұндай есептердің құрылымын
түсініп, оларды түрлі жолмен, бәрінен бұрын арифметикалық жолмен шығара
білу керек.
Мәтіндік есептерді шешу ерекше ой жұмысы екені белгілі. Қандай да бір
жұмысты тиянақты орындау оны алдын-ала зерттеп, қалай жүзеге асырудың
жолдарын таңдауды қажет етеді. Демек, мәтіндік есептерді шешуді үйрету
үшін олардың құрылу ерекшеліктерін, қандай негізгі бөліктерден тұратынын,
сәйкесінше, қандай оңтайлы амалдарды қолдану керектігін реттеп алу керек.
Сонымен, мәтіндік есеп деген не? Кез келген мәтіндік есеп қандай да
бір құбылыстың (жағдайдың, процестің) бейнесі болып табылады. Осы тұрғыдан,
мәтіндік есеп - құбылыстың (жағдайдың, процестің) сөздік моделі. Кез келген
модельдегі сияқты, мәтіндік есепте құбылыс толық баяндалмайды, оның тек
сандық сипаттамалары ғана келтіріледі. Есептің моделін дұрыс құрастыру,
оның шығару жолын едәуір жеңілдетеді [10-12].
1.2 Мәтіндік есептердің математикалық мазмұнының ерекшеліктері
Бүгіндері мектеп түлектерінің көпшілігі күрделі мәтіндік есептерді
шығаруда дәрменсіздік танытатыны белгілі. Бұл жағдай бастауыш сыныптан
бастап мәтіндік есептерге көп көңіл аудармағандықтан оқушы есептің
мағынасын толық түсінбей, есептерді шығарудың ұтымды тәсілдерін игеріп
кетуге қиындықтар туғызып жатады. Содан барып жоғарғы сыныптарда оқушы ҰБТ-
ға дайындалу барысында күрделі есептердің жауабын жаттап, тек жеңіл
есептерді шығаруға дағдыланады. Бұндай әрекет оқушылардың математикаға
деген қызығушылығын бәсеңдетіп, математикадан алшақтатады. Сондықтан да
болар, олардың басым бөлігінің гуманитарлық бағыттағы мамандықтарды таңдап,
ал техникалық мамандықты таңдағандарының өзі базалық білім деңгейлерінің
төмендігінен математикадан басқа мамандықтың арнаулы пәндерінен де
қиыншылықтарға кезігеді [13].
Осы тұрғыда орта мектептегі білім беру мен білімді бағалау жүйесіне
түбегейлі өзгерістер қажет. Бұл жерде оқытушылар түрлі тәсілдерді қолданып,
сабақты барынша қызықты етіп өткізуге ізденістер жасау керек. Қазіргі таңда
білім беруде Елбасымыз түрлі тапсырмалар беруде. Соның бірі цифрлық білім
беру жүйесіне біртіндеп көшу болып отыр. Әрбір оқытушы осы тұрғыдан сабақ
өткізудің әдістемелерін толықтыра отырып, ақпараттық–компьютерлік
технологияны тиімді пайдалану арқылы сабақты барынша тартымды етіп өткізуі
қажет. Сонда ғана оқушылар тақырыпты толық көлемде игермесе де оның негізгі
мәні мен мақсатын түсінетін дәрежеге жетеді, қандай да бір машықтану
деңгейіне сәйкес әрекет жасауға үйренеді.
Мысалы, мектеп оқушылары үшін Мәтіндік есептерді шешу алынбас
қамалға айналып барады. Олар есеп мәтінін, мазмұнын түсініп, берілген
ақпарат пен табуға қажетті шамаларды ажыратып, байланыстырып, есеп моделін
құрып, оны шығару алгоритімін айқындау қажеттігін көз алдарына елестете
алмайды. Көпшілігі ой қорытып, есепті шығаруға аса талпынбайды да, тек
табылған жауапты тексерумен шектеледі. Осы мәселені шешуде
ақпараттық–компьютерлік технология бірден-бір көмекші құрал бола алады
[14].
1.3 Мәтіндік есептер және оның қызметтері
Мектеп математикасындағы өзекті мәселенің бірі – мәтіндік есептерді
шешу. Мәтіндік есептер дегеніміз – аты айтып тұрғандай, мәтін арқылы
берілген және теңдеу құруға негізделген есептер болып табылады. Мұны кейде
мәселе есептер, кейде сөздік есептер деп те атайды. Мәтіндік есептерді шешу
жалпы математикалық есептерді шешу сияқты ерік-жігерді тәрбиелейді, жүйелік
ақыл-ой еңбегіне, өзін-өзі басқаруға тәрбиелейді, ой-өрісін дамытады.
Мәтіндік есептерді шығару процесінде оқушылардың шынайы объектілер мен
құбылыстарды моделдеу білімдері мен дағдылары қалыптасады.
Оқушыларға есептерді шығаруды үйрету математиканы оқытудың негізгі
әдістемелерінің бірі болып қарастырылады.
Есепті шығару процесі аналитикалық-синтетикалық процесс сияқты күрделі
анализ, синтез, жалпылау, абстрактілеу және т.б. сияқты ойлау әдістерін
қалыптастырумен тығыз байланысты. Мәтіндік есептерді шешу жалпы
математикалық есептерді шешу сияқты ерік-жігерді тәрбиелейді, жүйелік ақыл-
ой еңбегіне өзін-өзі басқаруға тәрбиелейді, ой-өрісін дамытады. Мәтіндік
есептерді шығару процесінде оқушылардың шынайы объектілер мен құбылыстарды
моделдеу білімдері мен дағдылары қалыптасады.
Есептерді шығару оқушыларда өз қызметін жоспарлай алу, білімдік
ақпаратты мұқият қабылдау әрекеттерінің әрбір қадамын мотивациялау
нәтижелерін көрнекі жүргізу және т.с.с.
Осыдан есеп шығаруға үйрету мақсаттары келіп шығады.
Есеп шығару әдістемесін төрт негізгі қызметке бөлуге болады:
үйретуші, тәрбиелеуші, дамытушы және бақылаушы.
Үйретуші қызметі математикалық білім, білік және дағдылар жүйесін
игеру процесінде оқушыларға қалыптастыруға бағытталған.
Есептің дамытушылық қызметі оқушылардың ой-өрісін дамытуға, олардың
ақыл-ой әрекеттерінің әдістерін қалыптастыруға бағытталған.
Есептердің тәрбиелік қызметі оқушылардың пәнге деген қызығушылығын,
оқу еңбегінің дағдыларын қалыптастыруға, тәрбиелеуге бағытталған. Олардың
ақыл-ой әрекеттерінің әдістерін қалыптастыруға бағытталған.
Есептердің бақылаушылық қызметі оқушылардың оқу материалын игеру
деңгейін математиканың мектеп курсын өз бетінше үйренуге, даму деңгейі мен
оқушылардың танымдық қызығушылығының даму деңгейі мен қалыптасу деңгейін
анықтауға бағытталған.
Есептердің қызметі оқытуда өзара байланысты, бірақ әрбір нақты
жағдайда оларды мақсатты түрде қолдануына сәйкес есептің басты қызметі
белгіленіп, жүзеге асырылады.
Есептерді шығара алу шығарылған есептердің санына байланысты емес,
сондықтан психологиялық-дидактикалық және әдістемелік зерттеулерде есепке
оны үйрену, талдау объектісі ретінде қолданудың қалыптастыру әдістеріне
басымдық беріледі.
1.4 Еліміздегі білім беру тарихындағы мәтіндік есептер
Қоғамдағы білімнің және білімді адамдардың рөлі туралы мәселе ежелгі
дәуірден бастап күн тәртібінде тұрған болатын. Платон Егер Сіз білімнің
мағынасы мен пайдасы қандай деп сұрасаңыз, жауабым қарапайым: білім жақсы
адамдарды дайындайды, ал жақсы адамдар бар уақытта жақсылық жасайды деп
жазған болатын.
Ерте кезден бастап адамдарда әр түрлі практикалық есептерді шешу
қажеттілігі туындауда. Оларды шешу әдістерін іздеуге тура келген. Мәтіндік
есептер о бастан математиканың дамуында қозғаушы күші болған.
Математикалық білімдер адамдардың практикалық қажеттіліктеріне
байланысты болған: мал басын санау, малдың бағасы, өнімнен түскен пайданы
анықтау және т.б. Біздің заманымызға дейін сақталған ежелгі орысша
математикалық қолжазба 1136 жылда шыққан. Оның авторы Кирич деген кісі
болған. Қолжазбада қосуға, прогрессияға арналған сиырлар мен қойлардың
көбеюі, әлем жаратылғаннан бастап айлардың, апта мен күндердің санын
есептеулер, астрономиялық мәліметтер бойынша күн мен айдың көлемін
есептеулер бар.
XVI – XVII ғасырда Ресейде қолжазба түрінде математикалық әдебиеттер
пайда болып, тарала бастады. Көбінесе олар көпестерге, ремесленниктерге,
жер өлшеушілерге арналды және ол тек практикалық сипатта болды. Бұл
математикалық еңбектердегі материалдар мақалалар бойынша бөлінді, онда
қандай да бір есептерді шешуде не істеу керектігі айтылған. Ережелер әр
түрлі есептер мен мысалдармен түсіндірілді.
XVI – XVII ғасырдағы қолжазбалар ХVIII ғасырдағы оқу әдебиеттерін
құруға негіз болды. Көптеген есептер ХVIII ғасырдағы ескі қолжазбалардан
арифметика мен алгебра оқулығына өтті.
І Петр жүргізген реформалар елдің мемлекеттік, қоғамдық және мәдени
өміріне және білім беруге әсер етті. Құрылған білім беру мекемелері үшін
оқулықтар қажет болды. 1703 жылы математика оқулығы шықты, оның авторы ұлы
педагог-математик Леонтий Филиппович Магницкий болды, ол Арифметика,
есептеу туралы ғылым деп аталды, және ол ХҮІІІ ғасырдың ортасына дейін
мектеп оқулығы ретінде жүрді. Есептер адамның өмір бойы қасында жүреді.
Қазақ халқының ауыз әдебиетінде жұмбақтар ерекше орын алады.
Ал енді жұмбақ деген не? Жұмбақтар тақпақпен беріледі, оны шешу үшін
мұқият болу керек, ой жүйріктігі, логика, кейде таза математикалық білім
қажет. Мәтіндік есептер математиктердің, педагогтардың, психологтардың
әрдайым назарында. Есептер теориясымен айналысқан ғалымдар: В.И.Крупич,
Л.М.Фридман және т.б. Қазіргі уақытта оқытудың негізгі құралы ретінде
білімді, білікті, дағдыны бақылау құралы ретінде, білімді гуманизациялау
мен гуманитаризациялау құралы ретінде үлкен мән беріледі.
1.5 Мәтіндік есептерді шығаруды оқыту әдістері тарихына шолу
Бастапқыда математиканы үйрету практикалық есептерді шешуге үйрету
арқылы жүргізілді. Оқушылар мұғалімдерге еліктей отырып, ережелерге сәйкес
есептер шығарды. Ол кезде оқушылар қандай да бір амалдардың әрекеттерін
жақсы игере алмады. Ежелгі авторлардың пікірінше түсінудің қажеті бар
мекен? ... сенің еш нәрсе түсінбейтіндігің ештеңе етпейді, ары қарай да
ештеңе түсінбейтін боласың деп оларды жұбатады, оларды түсінудің орнына
жаттатқызған, содан кейін барып, оны іске пайдаланған. Ол кездегі оқу
әдебиеттері түсінуге бағытталмаған еді.
Дәл осылай атақты Ресей математигі Л.Ф. Магницкийдің (1703 ж.) оқулығы
да есеп шығаруға осылай үйреткен. Ереже бойынша оқыту А.П. Киселевтің
Арифметика оқулығында жазылған. Оның ережелері шешу әдістерінің мұқият
реттелген және негізделуін жалпылау ретінде берілген.
ХХ ғасырдың ортасында есептердің дамыған типтері пайда болды, екі
санның қосындысы мен айырымына байланысты, олардың қатынастары, қосындылары
(айырымы), бөлшекке, пайызға, бірлесіп жұмыс істеуге және т.б. тұратын
бөлімдерден тұрды.
Есептерді шығаруды үйрету әдістемесі дұрыс жасалмаған еді, бірақ оны
жүзеге асыру қиынға соқты. Дәстүрлі оқыту әдістемесінің сыншылары оқу
процесін тездету үшін мұғалімдер оқушыларды типтік есептерді шешуге
мәжбүрлегендігін түсінді. Олар оқушыларға мұндай типті есептерді басқа көп
есептердің ішінен бөліп алып, оның шығару жолдарын үйретіп отырды. Әдістеме
мен мектеп практикасы жетілдіруді қажет етті. Бұл 60-шы жылдардың соңындағы
мектеп математикасын оқыту реформалары барысында жүзеге асты. Ол кезде
теңдеуге ерте кірісті, есеп шығаруға үйретуді жаңаша ұйымдастыруға
мүмкіндік береді деп, ол оқушыларға арифметиканың алдында алгебралық
әдістердің артықшылықтары ашылып, және ары қарай оқушыларға өздері есеп
шығару әдістерін таңдауларына мүмкіндік береді деп есептеген.
Ол 1971-72 оқу жылындағы 4-5 сыныптардың математика бойынша
бағдарламаға түсіндірме жазбада жазылған. Іс жүзінде жаңа идеялар жүзеге
аспаған себебі, ол кездегі жалғыз оқулықтың авторы шешкен, есеп шығару
әдістерін оқушылар өздері таңдамаған. Есептерді шешудің дәстүрлі
арифметикалық әдістері одан кейін оқытылмады. Ең басында 4-сыныпта (қазіргі
5) теңдеудің көмегімен есептерді шешуге оқушыларды бағыттаған. Есепті
шешудің арифметикалық әдістері мұндай қатынас сол кездегі оқулық авторлары
мен көптеген әдіскерлердің пікірінде айтылып жатты.
Бірақ, оқу процесіндегі есепті шешудің алгебралқ әдісінің ролі тым
әсіреленіп кетті, сол себепті мектеп курсынан арифметикалық шешу әдісі
алынып тасталған.
Бұған дейінгі есепті шещудің бұл әдісінде оқушылардың ойының
жеткілікті дайындығынсыз үлкен тиімділік бермейді. Өйткені тарихи тұрғыдан
адамдар куча және т.б. деп аталатын белгісіз санмен жұмыс істеуге тура
келгенде есепті шығаруды жалпылай отырып, теңдеуді қолданатын болған.
Балалар осы әдіспен жүру керек, яғни нақты заттармен, шамалармен
ойлаған әрекеттерге сүйене отырып, алдымен бөліктер туралы талқылап, және
содан кейін барып, теңдеуді қолданады. Өйткені 5-6 сынып оқушыларының ойлау
ерекшеліктері абстрактты модельдермен емес, көрнекі бейнелермен жұмыс
істеуге қызықтырады.
Оқытудың бұл этапында есепті шығарудың арифметикалық әдістері
алгебралық әдіске қарағанда артықшылықтары бар. Өйткені әрбір қадамның
нәтижесі әрекеттер бойынша шешімінде оқушыларды тәжірибелерінде болған
көрнекі және нақты талқылаулары болады.
1.6 Қозғалысқа арналған есептер
Қозғалысқа арналған есептерде қолданылатын шамалар – дененің
жылдамдығы, дененің қозғалыс уақыты, дененің жүрген жолы. Осы шамалардың
әрқайсысының өлшем бірлігі бар. Жолдың негізгі өлшем бірліктері: километр,
метр, дециметр, сантиметр, миллиметр. Уақыттың негізгі өлшем бірліктері:
сағат, минут, секунд. Дененің бірлік уақытта жүрген жолы жылдамдық деп
аталады. Жылдамдықтың негізгі өлшем бірліктері: кмсағ (сағатына километр),
ммин (минутына метр), мсек (секундына метр). Қозғалыс есептерін шығару
барысында мынадай жағдайлар қолданылады:
1. Егер дене бірдей уақыт аралықтарында бірдей жол жүрсе, оның қозғалысы
бірқалыпты деп есептеледі.
2. Дененің жылдамдығы, қозғалыс уақыты және жүрген жолы нақты жағдайда оң
шама деп есептеледі.
3. Қозғалыстағы дененің бұрылуы өте тез болады деп саналады, яғни бұрылу
процесіне уақыт кетпейді; сәйкесінше дененің жылдамдығы да лезде
өзгереді, яғни лездік жылдамдық болып есептеледі.
Бірқалыпты қозғалыстың негізгі формуласы:
Мұндағы:дененің жүрген жолы,дененің жылдамдығы,дененің
қозғалыс уақыты.
Қозғалыс есептерін шығару барысында сызба суретті пайдаланған ыңғайлы
[15]. Суретті салғанда уақыттың әр мезетіне сәйкес қозғалыс динамикасын
сипаттайтын белгілерді (кездесу координаталары, аялдамалар, бұрылыстар)
көрсеткен абзал. Мазмұнды дұрыс салынған сурет есептің шартын толық дұрыс
түсінуге көмектеседі. Екі дененің қозғалысын қарастырайық.
Екі дененің бір-біріне қарай бірқалыпты қозғалысы (Сурет 1)
Сурет 1
• Егер екі дене және жылдамдықпен бір-біріне қарай бір
мезгілде бірқалыпты қозғалса, олардың жақындау жылдамдығы жеке
жылдамдықтарының қосындысына тең болады:
• Егер және жылдамдықпен бір-біріне қарай бір мезгілде бірқалыпты
қозғалған екі дененің бастапқы арақашықтығыболса, олар t уақыттан
кейін кездеседі:
Екі дененің қарсы бағытта бір-бірінен бірқалыпты алыстауы
(Сурет 2)
Сурет 2
• Егер екі дене және жылдамдықпен қарама-қарсы бағытта бір
мезгілде бірқалыпты алыстаса, олардың бір-бірінен өзара алыстау жылдамдығы
жеке жылдамдықтарының қосындысына тең болады:
• Егер екі дене және жылдамдықпен қарама-қарсы бағытта бір
мезгілде бірқалыпты алыстаса, t уақыттан кейін олардың арақашықтығы:
Мұндағы денелердің бастапқы ара қашықтығы. Егер денелердің қозғалысы
бір нүктеден басталса, онда
Екі дененің бір бағыттағы қозғалысы (Сурет 3)
1-ші жағдай 2-ші
жағдай
Сурет 3
Бастапқы S қашықтықта орналасқан екі дененің бір бағытта және
жылдамдықпен бірқалыпты қозғалысында екі жағдайды қарастыру
керек.
1-ші жағдай. Жылдамдығы үлкен дене жылдамдығы кіші денені қуып жетеді.
Мұнда денелердің жақындау жылдамдығы олардың жеке жылдамдықтарының
айырымына тең:
Екінші дененің бірінші денені қуып жететін уақыты:
2-ші жағдай. Жылдамдығы үлкен дене жылдамдығы кіші денеден алшақтай береді.
Денелердің бір-бірінен алыстау жылдамдығы олардың жеке жылдамдықтарының
айырымына тең:
Денелердің t уақыттан кейін арақашықтығы:
1) Егер екі дене қозғалысты әртүрлі уақытта бастаса, ерте бастаған дене көп
уақыт қозғалады.
2) Егер екі дене бір бағытта қозғалса (), бірінші дененің екіншісін
қуып жету уақыты
Келесі есепті қарастырайық.
Екі дененің бастапқы арақашықтығы 34 км. Бірінші дене 4,5 кмсағ
жылдамдықпен, екінші дене одан 1,2 есе артық жылдамдықпен бір мезгілде
қозғалды. Қозғалыс басынан 3 сағат өткенде олардың арасы қандай болады?
Есептің шартында денелердің қандай бағытта қозғалғаны көрсетілмеген.
Сондықтан келесі жағдайларды жекелеп қарастыру керек.
1) Денелер бір- біріне қарай қозғалады (Сурет 4)
Сурет 4
1. 4,5·1,2 = 5,4 (кмсағ) – екінші дененің жылдамдығы.
2. 4,5 + 5,4 = 9,9 (кмсағ) – денелердің жақындау жылдамдығы.
3. 9,9·3 = 29,7 (км) – денелердің 3 сағатта жүрген жолы.
4. 34 – 29, 7 = 4,3 (км) – денелердің 3 сағат өткендегі арақашықтығы.
2) Денелер қарама-қарсы бағытта алыстап барады (Сурет 5)
Сурет 5
1. 4,5 ·1,2 = 5,4 (кмсағ) – екінші дененің жылдамдығы.
2. 4,5 + 5,4 = 9,9 (кмсағ) – денелердің алыстау жылдамдығы.
3. 9,9 · 3 = 29,7 (км) – денелердің 3 сағатта жүрген жолы.
4. 34 + 29, 7 = 63,7 (км) – денелердің 3 сағат өткендегі арақашықтығы.
3) Екінші дене бірінші денеге қарай қозғалды. Бірінші дене де екінші
дененің бағытымен қозғалды (Сурет 6)
Сурет 6
1. 4,5 ·1,2 = 5,4 (кмсағ) – екінші дененің жылдамдығы.
2. 5,4 – 4,5 = 0,9 (кмсағ) – екінші дененің бірінші денені қуып бара
жатқан жылдамдығы .
3. 0,9 · 3 = 2,7 (км) – денелердің 3 сағатта бір-біріне жақындау қашықтығы.
4. 34 – 2, 7 = 31,3 (км) – денелердің 3 сағат өткендегі арақашықтығы.
4) Бірінші дене екінші денеге қарай қозғалды. Екінші дене де бірінші
дененің бағытымен қозғалды (Сурет 7)
Сурет 7
1. 4,5 ·1,2 = 5,4 (кмсағ) – екінші дененің жылдамдығы.
2. 5,4 – 4,5 =0,9 (кмсағ)– екінші дененің біріншіден алыстау жылдамдығы.
3. 0,9 · 3 = 2,7 (км) – екінші дененің бірінші денеден 3 сағатта алыстаған
қашықтығы.
4. 34 + 2,7 = 36,7 (км) – денелердің 3 сағат өткендегі арақашықтығы.
Күрделі есептерді шығару алгоритмі. Егер берілген есеп екі белгілі
шама бойынша үшінші белгісіз шаманы табу есебінен күрделі болса не істеу
керек? Мұндай жағдайда осындай есептерді шығарудың нұсқаулары, шығару
алгоритмі бар [16].
1-есеп. Жаяу адам А пунктінен В пунктіне қарай 5 кмсағ жылдамдықпен
шықты. Бір сағаттан кейін оған қарсы бағытта В пунктінен 10 кмсағ-қа артық
жылдамдықпен шыққан велосипедші екі сағаттан кейін жаяу адаммен кездесті.
А және В пункттерінің арақашықтығы қандай?
Шешуі:
1-қадам. Есепте көрсетілген шамалардың барлығын белгілеп алу керек.
Берілген А және В пункттерінің арасы
– жаяу адамның велосипедшімен кездескенге дейін жүрген жолы.
– жаяу адамның жылдамдығы.
– жаяу адамның велосипедшімен кездескенге дейін жүрген уақыты.
Велосипедші де белгілі бір жылдамдықпен келе жатыр, сәйкесінше:
–велосипедшінің жаяу адаммен кездескенге дейін жүрген жолы.
– велосипедшінің жылдамдығы.
– велосипедшінің жаяу адаммен кездескенге дейін жүрген уақыты.
2-қадам. Әріптік белгілер бойынша есептің барлық шартын жазу керек. Бір
сағаттан кейін қарсы бағытта ..., демек, велосипедші бір сағатқа кеш
шықты, жаяу адаммен салыстырғанда 1 сағат аз жүрді немесе жаяу
адам велосипедшімен салыстырғанда 1 сағатқа көп жүрді. Немесе ... 10
кмсағ артық жылдамдықпен шыққан велосипедші ...... 2 сағаттан кейін
жаяу адаммен кездесті, яғни t2=2 сағатқа тең. А және В пункттерінің
арақашықтығы қандай?
Сонымен, барлық шамалар белгіленіп (алгоритмнің 1- қадамы), есептің
шарты математикалық тілде жазылды (алгоритмнің 2- қадамы).
3-қадам. Есептің шарты бойынша А және В пункттерінің арақашықтығы.
Жүрілген және жолдардың сан мәндері белгілі болса, бірден
есептеуге болар еді. Белгісіз болғандықтан жолды жылдамдық пен уақыттың
көбейтіндісі арқылы өрнектейміз.
Жаяу адамның велосипедшімен кездескенге дейін жүрген жолы:
Велосипедшінің жаяу адаммен кездескенге дейін жүрген жолы:
.
Бізге және белгілі, ал және белгісіз, бірақ олар
үшін келесі өрнектер бар:
,
Сонымен, ізделінген жол:
.
Теңдеудің оң жағындағы шамалардың белгілі мәндерін қоямыз:
Қорытынды
Жылдамдыққа берілген есепте әрқашан үш шама бар: – қашықтық;
уақыт; – жылдамдық. Егер екі шама белгілі болса, үшінші шаманы
табуға болады. Бізде ол үшін үш формула бар:
.
Жылдамдыққа берілген есепті шығару үшін мынадай алгоритм қолданылады:
1. Барлық шамаларды әріптермен белгілеу керек.
2. Есептің барлық шартын осы әріптермен жазып шығу керек.
3. Ізделінетін шама бар шартты таңдап алу керек.
4. Соған басқа шарттарды қою керек.
5. Теңдеуді шешу керек.
2-есеп. А және В қалалары өзен жағасына орналасқан. В қаласы А қаласына
қарағанда өзен ағысы бойымен төмен орналасқан. Таңертеңгі сағат тоғызда А
қаласынан В қаласына бөрене ағып келеді. Осы уақытта В қаласынан А
қаласына қайық шығады да 5 сағаттан соң бөренемен кездесіп қалады. Қайық
ары қарай А қаласына дейін жүзіп барады да кері қарай В қаласына бөренемен
бірдей уақытта жүзіп жетеді. Қайық пен бөрене осы күннің кешкі сағат 2100-
ге дейін В қаласына жүзіп келіп үлгереді ме?
Шешуі: Теңдеулер жүйесін жазуға мүмкіндік беретін математикалық
сөйлемді бөліп алып қарастырамыз. Олар екеу:
а) қайық пен бөрененің бір мезгілде шығуы мен 5 сағаттан соң
кездесуі;
ә) қайықтың В қаласына бөренемен бір уақытта келуі.
Бұл есепте белгісіз ретінде іздейтініміз қалалардың арасындағы
арақашықтық деп белгілейік өзен ағысының жылдамдығы және тұрған судағы
қайықтың жылдамдығы, сәйкесінше деп белгілейміз.
Бұл айнымалылар есеп шартын қарапайым түрде жазуға мүмкіндік береді.
Есеп шарты Теңдеу
Қайық пен бөрене бір мезгілде
шығып 5 сағаттан соң кездесті
Қайық пен бөрене В қаласына бір
мезгілде жетті
Соңғы теңдеудегі -қатынасы бөрененің қозғалыс уақытын, ал
-қайықтың өзен ағысына қарсы қозғалыс кездегі уақытын, -қайықтың өзен
ағысымен қозғалғандағы уақытын білдіреді.
Есеп шарты үш белгісізі бар екі теңдеу жазуға мүмкіндік береді
Берілген жүйеден үш белгісізді табу мүмкін емес, бірақ бізден сұрап
отырғаны тек қайық пен бөрененің кешкі сағат 21-ге үлгеретін,
үлгермейтіні ғана. Бөрененің қозғалыс уақыты болғандықтан теңдеулер
жүйесінен өздерін емес, олардың қатынасын тапсақ жеткілікті. Екінші
теңдеуді екі жағын да бөліп жібереміз, нәтижесінде алатынымыз
сонда жүйеде екі айнымалы шамалар қалады: және
Жүйенің екінші теңдеуінен алатынымыз Есептің мағынасына сәйкес
қатынасының бір ғана мәні келеді, яғни Енді қатынасын
табамыз, , - қатынасының мәні , яғни шамасының мәні 12 ден
үлкен екенін дәлелдеу қиын емес;
Демек, қайық пен бөрене кешкі сағат 2100-де пунктіне барып үлгере
алмайды.
Жауабы : үлгермейді.
3-есеп. қаласынан қаласына 800 сағатта жүрдек пойыз шықты. Осы
уақытта қаласынан қаласына қарай жолаушылар және курьерлік
пойыздары шықты. Жолаушылар пойызының жылдамдығы курьерлік пойыздың
жылдамдығынан екі есе кем. Жүрдек пойыз қаласына 13 сағат 50 минутта
жетті, ал жүрдек пойыз курьерлік пойызды осы күннің 10 сағат 30
минутынан ерте кездестірмейді. Егер жүрдек пойыздың курьерлік пойызбен,
және жүрдек пойыздың жолаушылар пойызымен кездесу мезетіне бір сағаттан
артық уақыт кетпесе, онда жолаушылар пойызының қаласына келу уақытын
тап.
Шешуі: Есеп шартын жазу үшін келесі белгілеулерді енгіземіз:
(км) қалалар арасындағы ара қашықтық километрмен өлшенеді; (кмсағ)
деп жүрдек пойыздың жылдамдығын; (кмсағ) деп жолаушылар пойызының
жылдамдығын белгілейміз. Сонда курьерлік пойыздың жылдамдығы (кмсағ)
болады. Енді есеп шарттарын теңдеулер мен теңсіздіктер жүйесі түрінде
жазамыз.
Есеп шарты Теңдеу мен
теңсіздіктер
Жүрдек пойыз қаласына 13 сағат 50
минут, яғни 5сағат 50 минуттан кейін келді
Жүрдек пойыз курьерлік пойызбен таңертеңгі 10
сағат 30 минуттан ерте емес уақытта кездесті,
яғни кем дегенде 2сағат 30 минут
Жүрдек пойызбен курьерлік пойыз және
жолаушылар пойызымен кездесетін уақыт мезеті
бір сағаттан көп емес.
Соңғы теңсіздіктердің құрылуын келесі түрде көрсетуге болады; -шамасы
қозғалыс басталғаннан жүрдек пойызбен курьерлік пойызға кездескенге дейінгі
уақытты көрсетеді, ал жүрдек пойызбен жолаушылар пойызының қозғалғанынан
кездескенге дейінгі уақыты . Осы екі қатынас, жүрдек пойызбен
курерлік пойыздың кездесу уақытының айырмасы болып табылады. Есептің
берілген шартындағы теңсіздіктерді оған тең мағыналы теңсіздіктер түрінде
төмендегідей жазуға болады: -қатынасының мәнін
белгілеп алып, оңай түрлендіруден кейін келесі теңсіздіктер жүйесін аламыз:
немесе
Соңғы теңсіздіктің жалғыз ғана шешімі бар, ол .
Есептің берілгені бойынша жолаушылар пойызының қаласына келу уақытын
табу керек, яғни : .
Сонымен, жолаушылар пойызы жолға 8 сағат 45 минут уақытын жұмсап,
қаласына 16 сағат 45 минутта келіп жетті.
Жауабы: 16 сағат 45 минут.
4-есеп. Ұзындығы 1 метр бір шеңбердің бойымен екі бағытта тұрақты
жылдамдықпен қозғалып бара жатқан екі дене әрбір 6 секундта кездесіп
тұрады. Егер осы екі дене бір бағытта қозғалса, онда бірінші дене
екіншісіне әрбір 48 секундта жетіп алып отыратын еді. Осы екі дененің
сызықты жылдамдықтарын табыңыз.
Шешуі: Бірінші және екінші дененің жылдамдықтарын сәйкесінше ,
деп белгілейік. Онда есеп шарты бойынша келесі теңдеулер жүйесін аламыз:
.
Бұл теңдеулерден екендігі шығады.
Жауабы :
5-есеп. Шоссенің бір нүктесінен бастап үш спортшы машинасымен бір мезгілде,
шеңбер бойымен бір бағытта, бірқалыпты жылдамдықпен жарысып келе жатыр.
Бірінші спорт машинасымен алға шарты басталғанда, яғни бесінші айналым
басталғанда старт нүктесіне қарама-қарсы беттегі диаметральді нүктеде
екінші спортшыны машинамен қуып жетті, ал енді жарты сағаттан соң алға
шарты басталғаннан бергі уақытта үшінші спортшыны екінші рет қуып жетті. Ал
екінші спортшы үшінші спортшыны алға шарты басталғаннан кейінгі 3
сағатта бірінші рет қуып жетті. Егер екінші спортшы шеңбер бойымен әр
айналымын кемінде 20 минутта жүріп өтсе, онда бірінші спортшы бір сағатта
шеңбер бойымен неше айналым жасайды?
Шешуі: Сақина бойымен жүрілген жолдың ұзындығын (км) деп
белгілейік, ал машиналардағы спортшылардың жылдамдығын сәйкесінше
(кмсағ), (кмсағ), (кмсағ) деп белгілейік, .
Бірінші машинадағы спортшы екіншіні жылдамдықпен қуып жетті, үшіншіні
жылдамдықпен қуып жетті, ал екінші машинадағы спортшы үшіншіні
жылдамдықпен қуып жетті. Бір спортшыны екіншісі қуып жеткен мезетте, ол
қашықтықты артық жүріп өтті деген сөз, яғни екінші рет қуып жетсе
-ке артық тағы солай кете береді.
Есеп шартын келесі теңдеу мен теңсіздіктер түрінде жазуға болады.
Есептің шарты Теңдеулер мен теңсіздіктер
Бірінші машинадағы спортшы
бірінші рет екіншіні өзінің бесінші
айналымында старт нүктесінің
диаметраль екі жағындағы нүктеде
қуып жетті, (яғни 4,5 айналым).
Екінші машинадағы спортшыны бірінші
қуып жеткеннен соң жарты сағаттан
соң үшіншіні екінші рет қуып жетеді,
(яғни бірінші машинадағы спортшы
үшіншіден 2 айналым көп жүрді.)
Екінші машинадағы спортшы үшіншіні
бірінші рет 3 сағаттан соң қуып
жетті.
Екінші машинадағы спортшы бір
айналымды 20 минуттан кем емес
уақытта жүріп өтеді.
Есеп шартын пайдалана отырып соңғы теңсіздікті жазған себебіміз, ол есептің
бір мәнді шешімін табу үшін қажетті болып отыр. Есептің шарты бойынша
белгісіздерін емес, олардың қатынастарын тапсақ жеткілікті, яғни жаңа
белгісіздерді енгіземіз: , , . Бұл
қатынастар әрбір спортшының бір сағатта неше айналым жасайтынын көрсетеді.
Енді осы белгісіздер үшін теңдеулер жүйесі келесі түрге келеді:
Бірінші және үшінші теңдеулерді қосып, шыққан теңдеуден екінші теңдеуді
алып -ке байланысты келесі квадрат теңдеуді аламыз:
.
Бұл жерден -тің екі мәнін табамыз: . Енді жүйенің
бірінші теңдеуінен -тің екі мәнін табамыз: және
жүйенің екінші теңдеуіне қарап сәйкес табамыз;
мәні теңсііздігін қанағаттандырмайды, сондықтан ;
жүйенің шешімі бола алмайды. Ал мәні соңғы теңсіздікті
қанағаттандырады, бұдан шығатыны берілген есептің жалғыз шешімі.
Демек, бірінші машинадағы спортшы бір сағатта 3 айналымды жүріп өтеді.
Жауабы: 3 айналым.
1.7 Пайызға арналған есептер
Пайыз сөзі (процент) латынның pro centum деген сөзтіркесінен
алынған аудармасы, жүзге немесе жүздік бөлік деген мағына береді.
Бір пайыз деген санның жүзден бір бөлігі. Пайыз сөзінің
орнына % таңбасы қолданылады және ол таңба саннан кейін жазылады. Мысалы,
жүздің бір пайызы бірге тең.
1 – есеп. 200 санының 18 %–ын табайық.
Шешуі: Анықтама бойынша бір пайыз санның жүзден бір бөлігіне тең
болғандықтан, 18 % берілген санның жүзден 18- іне тең болады. Демек, 200
санын жүзден он сегізіне көбейту керек. Осы амалды жай бөлшек түрінде
жазуға болады:
немесе ондық бөлшекпен жазуға болады:
Пайыз не үшін керек? Математикада ондық бөлшек те, жүздік бөлшек те
болғандықтан пайыздың аса қажеттігі жоқ. Пайыз экономика, бухгалтерия,
статистика, әлеуметтану сияқты ғылымдарда сандық мағлұматтарды өзара ортақ
мағынамен қолдануға ыңғайлы шама.
2 – есеп. Бір сыныпта 25 оқушы бар, оның 21 жақсы оқиды. Басқа сыныпта
30 оқушы бар, бұл сыныпта 24 оқушы жақсы оқиды. Қай сыныпта оқу үлгерімі
жақсы?
Шешуі: Бір сыныпта жақсы оқитын оқушылар барлық санының бөлігін,
басқа сыныпта бөлігін құрайды. Қай сыныпта көрсеткіш жоғары? Оны
анықтау үшін бөлшектерді бірдей бөлімге келтіріп жазу керек. Содан кейін
салыстыруға болады.
Кейбір мамандықтарда (экономика, қаржы) мұндай көрсеткіштерді бөлімі
100 болатын өрнекпен санауға ұйғарылған.
Жоғарыда берілген бөлшектердің бөлімін 100-ге келтірейік:
Осыдан:
немесе . Ал бұл дегеніміз пайыз:
Енді жазудың бір түрінен екінші түріне және керісінше жазуға
жаттығайық (бөлшекті пайызбен және пайызды бөлшекпен). Мысалы, қаймақтың
майлылығы 15% құрайды. Осыны басқаша қалай айтуға болады? деген –
бұл
Немесе, биыл жауын-шашын мөлшері қалыптағының 125% құрады. Осыны
басқаша қалай айтуға болады? Біріншіден, 125% шамасы жағынан 100%- дан 25%
-ға артық. Яғни, жауын –шашын әдеттегіден 25% -ға көп жауды деп айтуға
болады. Ал егер ондық бөлшекке аударса, биыл жауын-шашын қалыптағының 1,25
құрады немесе әдеттегіден 0,25-ке көп болды деп айтуға болады:
немесе
Пайызға арналған есептің негізгі үш түрін қарастырайық. Олардың барлығы
қарапайым бір ереже бойынша шығарылады. Үш түрлі тәсілді жеке-жеке
қарастырудың қажеті болмайды.
Санның пайызын табу
cанның немесе қандай да бір шаманың –ын табу үшін ол санды
немесе шаманы 100 –ге бөлу керек немесе 0,01 көбейту керек:
cанның пайызын табу үшін пайызды жай бөлшек немесе
ондык бөлшекпен өрнектейміз және сол санды осы бөлшекке көбейтеміз:
3 – есеп. Зауытта ай сайын 500 мұздатқыш шығарылады, оның 60 %-ының
сапасы жоғарғы санатта. Сапасы жоғары мұздатқыштың саны қанша?
Шешуі: 500 санының 60 %-ын табайық. 60 %–бұл 0,6. Яғни, 5000,6 = 300
мұздатқыштың сапасы жоғарғы санатты.
Жауабы: Сапасы жоғарғы санатты мұздатқыштың саны 300.
Пайызы бойынша санды табу
пайызы бойынша санды табу үшін пайызды жай бөлшек немесе
ондық бөлшек арқылы өрнектейміз және санның пайызын бөлшекке бөлеміз:
4 – есеп. Егер санның 90%-ы 459-ға тең болса, ол сан неге тең?
Шешуі: А0,9=459А=459:0,9=510.
Жауабы: 510.
Бірінші сан екінші санның неше пайызын құрайды
Бір сан басқа санның неше пайызын құрайтынын табу үшін бірінші санды
екінші санға бөліп, шыққан бөліндіні 100%-ға көбейту керек.
5 – есеп. 200 қарбыздың 16-сы піспеген болып шықты. Піспеген қарбыздар
барлығының неше пайызын құрайды?
Шешуі: Сұрақ не туралы? Пісіп жетпеген қарбыздар туралы. Олай болса, 16
санын жалпы саны 200-ге бөліп, 100%-ға көбейтеміз.
Жауабы: барлық қарбыздың 8%-ы піспеген.
Есептерде келесі формула жиі қолданылады: пайызбен байланысты
есептерді пропорция құру арқылы шығару, сонымен қатар, егер шамасы
пайызға өзгерсе, онда оның жаңа мәні келесі формула бойынша
анықталады:
Шыққан өлшемнің тағы да пайызға өзгеруінде
мәнін аламыз, т.с.с. және сандарының таңбасы есеп шартына
байланысты: пайыз артқанда – оң, кемігенде – теріс болады [17]
6-есеп. 90 литр мұнайда 10% қышқыл бар. Қышқылдың концентрациясы 5% болу
үшін қанша таза мұнай қосу керек?
Шешуі: литр қышқыл бар. Егер литр таза мұнай қоссақ,
онда (литр) болады. Демек, қышқылдың концентрациясы 5 % болуы үшін 90
литр таза мұнай қосу керек.
Жауабы: 90л.
7-есеп. 950 пробалық алтын мен 800 пробалық мысты 2 кг таза алтынмен
қорытады. Нәтижесінде салмағы 25 кг болатын 906 пробалы жаңа қорытпа пайда
болады. Алғашқы екі қорытпаның салмақтарын есептеңіз.
Шешуі: - қорытпаның жалпы салмағы, - “асыл металдың”
салмағы, -проба деп белгілеу енгізейік. екені белгілі. Айталық,
бірінші қорытпадан кг, екінші қорытпадан кг алынсын. Сонда
мынадай теңдеулер жүйесін құрамыз:
, .
Демек, алтынның қорытпасы 15 кг, мыс 8 кг болған.
Жауабы: 15 кг, 8 кг.
8-есеп. Қандай да бір қорытпа біреуінде 1:2 қатынасындай, екіншісінде 2:3
қатынасындай болатын екі металдың қоспасынан тұрады. Құрамында осы металдар
17:27 қатынасында болатындай етіп осы қоспаның неше бөлігінен үшінші
қорытпаны алуға болады?
Шешуі: Айталық, үшінші қорытпа бірінші қоспаның бөлігін,
екінші ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
КІРІСПЕ
Зерттеудің өзектілігі. Мәтін есептерін шешудің классификациясын
терең жасау арқылы есепті шығарудың тиімді тәсілдерін көрсету. Мәтін
есептердің моделін жасаудың негізін көрсету. Мәтін есептерді шешудің
әдістемелік аспектісін жасау. Элективті сабақтың бағдарламасын жасау арқылы
мәтін есептің білім мазмұнындағы ролін көтеру.
Зерттеудің мақсаты. Мәтін есептің мазмұнын түсіну арқылы оқушының
логикалық ойын жетілдіру. Мәтін есептерді тиімді тәсілмен түсіндірудің
әдістері және мәтін есептерінің қолданбалы тұстарын анықтау. Мәтін
есептерінің моделін құру және классификациясын тереңдете жасаудың
аспектілері.
Зерттеудің міндеттері.
1. Мәтін есептерді оқушы білімінің ең қажетті бөлігі екендігін
дәлелдеу.
2. Оқушының логикалық ойын дамытудағы мәтін есептің ролі мен оның
пәнаралық байланыстағы ролін көрсету.
3. Оқушылардың бойындағы мәтін есептерді шығару шеберлігін арттыру.
4. Табиғи құбылыстар мен қозғалыстар шеңберіндегі есептерге байланысты
қосымшаны ұсыну және элективті пәнге арналған авторлық бағдарламаны
ұсыну. Осы тақырып бойынша психологиялық-педагогикалық және
әдістемелік әдебиеттерді үйрену;
5. Мәселе есептерді жаңаша классификациялау мәселесі;
6. Қазақстан Республикасы мен Ресей оқулықтарын әрқайсысын жеке жеке
салыстыру жұмыстарын жүргізу;
7. Ескі жаңа оқулықтармен, оқу құралдарын тауып, оларды зерттеу жұмысы
барысында саралауды сапалы жүргізу; Мәселе есептерді шешуде оның
моделін жасаудың қажеттілігін анықтау;
Зерттеу әдістері.
Зерттеудің нәтижесі.
Зерттеудің ғылыми және практикалық маңыздылығы.
Есептері шешу шеберлігі оқушы дағдысын қалыптастыру арқылы келеді. Бұл
математиканы оқытудың ең бірінші критерийінің бірі десек дұрыс. Сондай –ақ
мәселе есептер өмірде үлкен ролі бар, математиканың басты саласы.
Оқушылардың есептерді шешу шеберлігі мен дағдыларын қалыптастыру
мәселесі математиканы оқыту әдістемесіндегі басты мәселелердің бірі болып
табылады. Сонымен бірге мәселе есептерді шешу үшін оның моделін құру,
анықтау ең негізгі проблеманың бірі болып табылады. Зерттеу барысында
мәселе есептердің моделін жасау, ол арқылы негізгі тоқталатын шешімдер
туралы арнайы тұжырымдарға келдік. Жаңа ақпараттық технологияны меңгергісі
келетін оқушыға ең бірінші алдында тұрған есептің моделін жасай білу.
Мәселе есеп өміршең, қолданбалы болғандықтан, ең бірінші біз олардың
моделін жасай білуіміз қажетті деген тұжырымға келдім.
Мәселе есептердің мектеп математика мазмұнында өзіндік орны бар,
өзіндік атқаратын қызметі бар. Логикалық ойлау жүйесін қалыптастыру,
есептің өміршеңдігін, математиканың қолданбалы тұстарын дәлелдейтін бірден
–бір құрал. Мәселе есептер математика курсының түсінігі мен әдістерін
меңгеруде басты функцияны атқарады. [1-5]
Есеп шығарудың дағдыларын қалыптастыру, есептің тәжірибелік тұстарын
көрсету, оқушыға математикалық тәрбие беру де мәселе есептердің атқарар
жүктерінен болса керек. Математика мазмұны қашанда есептың басты миссиясын
айқындайды. Мазмұнды есептерді математикалық білімі жоқ ата-бабаларымыз да
меңгерген тұстары тарихта аз кездеспейді. Бұл ретте негізінен математикалық
логикасы дұрыс болса болғаны. Осыдан барып мазмұнды есептеді шешудің түрлі
тәсілдері шығады. Мәселе есептерді шешудің түрлі әдістері бар. Диссертация
барысында негізінен мәселе есептерді оқушыға оқулық арқылы беретіндіктен
негізінен мектеп математика оқулықтарын зерттедім. Содан кейінгі негізгі
мәселенің бірі- мәтін есептердің классификациясы. Мәтін есептің
классификациясын жасаудың түрлі аспектілері бар. Мен өзімнің зерттеу
жұмысымда соны толық көрсетуге тырыстым. Себебі көбіне мәселе есептер
оқулықта тақырыптан кейін, әр сабақтың соңын ала немесе қайталау
есептерінің ішінде, сондай-ақ тараулар бойында берілетіндіктен, мұғалім
классификациясын толоық меңгермесе әр кезде әртүрлі түсіндіруі мүмкін.
Сондықтан, мәтін есептер берілгенде классификациясы бойынша белгілі жүйемен
түсіндірсек ол оқушыға есепті шығару барысында өте қиындық туғыза қоймайды.
Кейде теңдеу құрып, тіпті жүйе құрып шығаратын мәтін есептің
арифметикалық жолмен шешілу жағдайлары да кездесіп жатады. Осы орайда
тәуелсіздікпен бірге ашылған шегарадан сырттан ағылған тауармен бірге түрлі
ақпараттар легінің де толассыз ағуының оң тұстарын байқауға болады.
Шетелдік білім мазмұны есепті босқа шығару, автоматты түрде тапсырманы
қайталай бергеннен, кез келген оқулықта есептер мазмұнына мән беретіндігіне
көз жеткіздік. Оған SAT тестерінің көптеп енуі мен шетелде білім алғысы
келген талапкерлердің сұранысымен біздің Ұлттық бірыңғай тесттерде де
кездесетін болды. Аталмыш тесттердің мазмұны негізінен функцияны зерттеу,
мәтін есептер және ықтималдықтар теориясының есептерінен тұратындығын
байқадық. Бұрынғы оқулықтар мен жаңа мазмұндағы оқулықтарды салыстыра
келгенде ескі оқулықтар мен бүгінгі жаңа бағдарлама мен оқытылатын
оқулықтардың сағаттары мен мазмұн деңгейі мектеп миссиясы, яғни гимназия,
лицей және жалпы білім беретін мекемелердің ұстанымына қарай бөлінетіндігін
байқадым.
Осы орайда айта кететін жайт, Отандық оқулықтарды саралау барысында
А.Е.Әбілқасымованың 5-6 сыныптарға арналған оқулықтарының мазмұ
ерекшелігіне тоқталғым келіп отыр. 5-6 сыныптарға арнвлған оқулықтар да аз.
Бәсекеге қабілетті деп айту қиын. Десек те А.Е.Әбілқасымованың
оқулықтарындағы ерекше атап айтатын нәрсе оқушыларды Отансүйгіштікке
тәрбиелеу, пәнаралық қатынастарды берік ұстану, екі қала аралығы туралы
есептерде біздің елеіміздің қалалары бойынша нақты есептер, масштаб
тақырыбын бергенде де нақты қалалар мен карталар туралы есептер көңілімнен
шыққандығын айта аламын. Математиканы қабылдау көп оқушыларға өзінің
абстрактылығымен қиын көрінеді. Осы орайда нақты оқушы білетін объектімен
болған оқиғалар, нақты оқушы күнделікті көріп жүрген оқиғалар барысын тілге
тиек еткен мәселе есептер олардың қызығушылығын арттыратын бірден-бір
құрал!
Оқулықтардағы мәселе есеп құрамы да СССР кезіндегіден, қайта-құрудың
алғашқы кезеңдеріндегіден қарағанда әлдеқайда сын көтеретіндігіне көз
жеткіздім. Десек те ана тілімізде жарияланған оқу құралдары, оқулықтар саны
басқа елдерден қарағанда әлдеқайда аз. Бәсеке болмаған жерде альтернатива
да аз. Сондықтан, оқулықтарды жазуға конкурстар жасап, олардың санын
көбейтсе, нұр үстіне нұр болтыны сөзсіз еді. Алайда мәселе есептерді
шешудің әдістемелік құралдары жоқтың қасы. Көп оқу құралдары бар
болғанымен олардың әдістемесі аз екендігін байқадым.
Мәселе есептердің шешілу тәсілдеріне байланысты зерттеулерімді жүргізу
барысында жаңа ақпаратттық технологияны пайдаланып та, яғни анимациялық
қозғалыстарды пайдаланып та түсіндіруге оңай шешімдерді табуға
болатындығына көз жеткіздім.
Қазіргі уақытта ҰБТ тестілерінде де мәселе есептер пайызы жоғары, яғни
мәтін есептерді шешу білудің маңызды екендігі байқалады. Менің зерттеп
отырған тақырыбым, осы диссертациялық жұмыс негізінен механика-математика
факультеті, педагогикалық жоғарғы оқу орындарының математика мамандығы
студенттеріне өте қажетті мағлұмат болып табылады деп ойлаймын [6-8].
Зерттеу мәселесі диссертациялық жұмыстың жұмыстың тақырыбын
анықтайды: "ЖАЛПЫ БІЛІМ БЕРЕТІН МЕКТЕПТЕ МӘТІН ЕСЕПТЕРДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІН
ЖЕТІЛДІРУ "
Зерттеу объектісі - математиканың мектеп курсында мәтіндік есептерді шешуге
оқыту әдістемесін жетілдіру мәселелері.
Зерттеу пәні - 5-9 сынып математика курсында есептерді шешуге үйретудің
теориялық аспектілері.
Мақсаты: оқушылардың мәтінді тапсырмаларды шешуде оқытудың тиімділігін
арттыру жолдарын, шарттары мен құралдарын анықтап, әдістемелік тұрғыдан
жаңашаландыру процесін жасау.
Осы жұмыстың міндеттері:
Диссертациялық жұмыс 3 тараудан, кіріспе, мазмұны, пайдаланылған
әдебиеттерден және қосымшадан тұрады. Менің Республикалық физика-
математика мектебінде оқып жүргеннен өзіме ұнайтын, оқушы кезімнен
көңілімнің төрінен орын алған математиканың қызықты саласы ретінде
қарайтын дәл осы мәселе есептерді шешу әдістері бойынша жасаған жұмысым
студенттер мен оқушылар және ата-анналарға өз кезегінде пайдалы болады
деп ойлаймын. Осы орайда зерттеу барысында жасаған көптеген тапсырмалар
мен есептерді жинақ етіп шығару да менің қорғаудан кейінгі мақсатым болып
қалмақ.
Отандық оқулықтар мен Ресей оқулықтарын салыстыра отырып, бүгінде
мәтін есептерге берілетін есептер сағатпен өлшегенде жақсы деңгейді
еншіледі. Десе де, мәтін есептерден ана тіліміздегі көрнекілік, оқу
құралдары өз аз екендігі бәрімізге мәлім. Осы олқылықтардың орнын
толтыру мақсатында таңдалған диссертациялық жұмыстың міндеті де осы
типтес сұрақтарға жауап іздеу болса, сонымен бірге білім дегейін,
логикалық ойлау қабілетін тереңдету үшін қол жеткізуге қадам ретінде
қабылдауға да болады. Осы орайда, біз өмір сүріп отырған әлем, біздің
экономикамыз, табиғи ресурстарымыз мәселе есепті шығара білу арқылы
ешкімге есе бермейтін дамыған елдер қатарына кіретін мемелекеттің білімді
ұрпағына өз деңгейінде білім алуға бағыттауға мүмкіндік беретін жұмыстар
қатарынан табылса нұр үстіне нұр болары анық.
1 ЖАЛПЫ БІЛІМ БЕРЕТІН МЕКТЕПТЕ МӘТІН ЕСЕПТЕРДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІН ЖЕТІЛДІРУ
1.1 Мәтіндік есептің ұғымы
Математиканы оқытудың жалпы жүйесінде мәтіндік есептерді шығару тиімді
жаттығулардың бір түрі болып табылады. Мәтіндік есептерді шығаруға үйрету
оқушыларда негізгі математикалық ұғымдарды қалыптастырып, олардың
бағдарламада анықталған теориялық білімді меңгеруіне маңызды орын алады.
Математикалық мәтіндік есептер оқушыларға жаңа білімді қалыптастыратын
және бұрыннан бар білімдерін пайдалану жолында пысықтала түсетін нақты
материал болып табылады. Есеп шығару арқылы оқушылар танымдық және
тәрбиелік маңызды ұғымдармен танысады.
Есеп шығару оқушылардың ақыл-ойының дамуына игі әсерін тигізеді,
себебі ол анализ және синтез, нақтылау және абстракциялау, салыстыру,
жалпылау сияқты ойлаумен жүргізілетін кезеңді талап етеді.
Есеп термині және оның элементтерімен оқушыларды айқын түрде алғаш
таныстыруға дейінгі уақытты мазмұнды есептерді енгізудің дайындық кезеңі
деп айтуға болады.
Күнделікті тұрмыста мәтіндік есептерді шешуді көп кездестіреміз. Есеп
шығара білу – әр адамның математикалық, логикалық, аналитикалық және сын
тұрғысынан ойлау қабілетінің даму көрсеткіші. Мәтіндік есептер бастауыш
сынып математикасынан бастап барлық орта мектеп математика курсында бар.
Бірақ берілген тақырыпта оларды өз дәрежесінде меңгеру мүмкін бола
бермейді.
Мәтіндік есептер өте алуан түрлі болып келеді, оқушылар кейде есептің
мазмұнын толық түсіне алмай қалады, сондықтан қиындық тудыратын
тақырыптардың бірі болып табылады [9].
Оқушыны мәтіндік есептерді шығаруға үйрететін әртүрлі амалдар бар.
Алайда, оқытушы қандай тәсілді таңдап алса да, мұндай есептердің құрылымын
түсініп, оларды түрлі жолмен, бәрінен бұрын арифметикалық жолмен шығара
білу керек.
Мәтіндік есептерді шешу ерекше ой жұмысы екені белгілі. Қандай да бір
жұмысты тиянақты орындау оны алдын-ала зерттеп, қалай жүзеге асырудың
жолдарын таңдауды қажет етеді. Демек, мәтіндік есептерді шешуді үйрету
үшін олардың құрылу ерекшеліктерін, қандай негізгі бөліктерден тұратынын,
сәйкесінше, қандай оңтайлы амалдарды қолдану керектігін реттеп алу керек.
Сонымен, мәтіндік есеп деген не? Кез келген мәтіндік есеп қандай да
бір құбылыстың (жағдайдың, процестің) бейнесі болып табылады. Осы тұрғыдан,
мәтіндік есеп - құбылыстың (жағдайдың, процестің) сөздік моделі. Кез келген
модельдегі сияқты, мәтіндік есепте құбылыс толық баяндалмайды, оның тек
сандық сипаттамалары ғана келтіріледі. Есептің моделін дұрыс құрастыру,
оның шығару жолын едәуір жеңілдетеді [10-12].
1.2 Мәтіндік есептердің математикалық мазмұнының ерекшеліктері
Бүгіндері мектеп түлектерінің көпшілігі күрделі мәтіндік есептерді
шығаруда дәрменсіздік танытатыны белгілі. Бұл жағдай бастауыш сыныптан
бастап мәтіндік есептерге көп көңіл аудармағандықтан оқушы есептің
мағынасын толық түсінбей, есептерді шығарудың ұтымды тәсілдерін игеріп
кетуге қиындықтар туғызып жатады. Содан барып жоғарғы сыныптарда оқушы ҰБТ-
ға дайындалу барысында күрделі есептердің жауабын жаттап, тек жеңіл
есептерді шығаруға дағдыланады. Бұндай әрекет оқушылардың математикаға
деген қызығушылығын бәсеңдетіп, математикадан алшақтатады. Сондықтан да
болар, олардың басым бөлігінің гуманитарлық бағыттағы мамандықтарды таңдап,
ал техникалық мамандықты таңдағандарының өзі базалық білім деңгейлерінің
төмендігінен математикадан басқа мамандықтың арнаулы пәндерінен де
қиыншылықтарға кезігеді [13].
Осы тұрғыда орта мектептегі білім беру мен білімді бағалау жүйесіне
түбегейлі өзгерістер қажет. Бұл жерде оқытушылар түрлі тәсілдерді қолданып,
сабақты барынша қызықты етіп өткізуге ізденістер жасау керек. Қазіргі таңда
білім беруде Елбасымыз түрлі тапсырмалар беруде. Соның бірі цифрлық білім
беру жүйесіне біртіндеп көшу болып отыр. Әрбір оқытушы осы тұрғыдан сабақ
өткізудің әдістемелерін толықтыра отырып, ақпараттық–компьютерлік
технологияны тиімді пайдалану арқылы сабақты барынша тартымды етіп өткізуі
қажет. Сонда ғана оқушылар тақырыпты толық көлемде игермесе де оның негізгі
мәні мен мақсатын түсінетін дәрежеге жетеді, қандай да бір машықтану
деңгейіне сәйкес әрекет жасауға үйренеді.
Мысалы, мектеп оқушылары үшін Мәтіндік есептерді шешу алынбас
қамалға айналып барады. Олар есеп мәтінін, мазмұнын түсініп, берілген
ақпарат пен табуға қажетті шамаларды ажыратып, байланыстырып, есеп моделін
құрып, оны шығару алгоритімін айқындау қажеттігін көз алдарына елестете
алмайды. Көпшілігі ой қорытып, есепті шығаруға аса талпынбайды да, тек
табылған жауапты тексерумен шектеледі. Осы мәселені шешуде
ақпараттық–компьютерлік технология бірден-бір көмекші құрал бола алады
[14].
1.3 Мәтіндік есептер және оның қызметтері
Мектеп математикасындағы өзекті мәселенің бірі – мәтіндік есептерді
шешу. Мәтіндік есептер дегеніміз – аты айтып тұрғандай, мәтін арқылы
берілген және теңдеу құруға негізделген есептер болып табылады. Мұны кейде
мәселе есептер, кейде сөздік есептер деп те атайды. Мәтіндік есептерді шешу
жалпы математикалық есептерді шешу сияқты ерік-жігерді тәрбиелейді, жүйелік
ақыл-ой еңбегіне, өзін-өзі басқаруға тәрбиелейді, ой-өрісін дамытады.
Мәтіндік есептерді шығару процесінде оқушылардың шынайы объектілер мен
құбылыстарды моделдеу білімдері мен дағдылары қалыптасады.
Оқушыларға есептерді шығаруды үйрету математиканы оқытудың негізгі
әдістемелерінің бірі болып қарастырылады.
Есепті шығару процесі аналитикалық-синтетикалық процесс сияқты күрделі
анализ, синтез, жалпылау, абстрактілеу және т.б. сияқты ойлау әдістерін
қалыптастырумен тығыз байланысты. Мәтіндік есептерді шешу жалпы
математикалық есептерді шешу сияқты ерік-жігерді тәрбиелейді, жүйелік ақыл-
ой еңбегіне өзін-өзі басқаруға тәрбиелейді, ой-өрісін дамытады. Мәтіндік
есептерді шығару процесінде оқушылардың шынайы объектілер мен құбылыстарды
моделдеу білімдері мен дағдылары қалыптасады.
Есептерді шығару оқушыларда өз қызметін жоспарлай алу, білімдік
ақпаратты мұқият қабылдау әрекеттерінің әрбір қадамын мотивациялау
нәтижелерін көрнекі жүргізу және т.с.с.
Осыдан есеп шығаруға үйрету мақсаттары келіп шығады.
Есеп шығару әдістемесін төрт негізгі қызметке бөлуге болады:
үйретуші, тәрбиелеуші, дамытушы және бақылаушы.
Үйретуші қызметі математикалық білім, білік және дағдылар жүйесін
игеру процесінде оқушыларға қалыптастыруға бағытталған.
Есептің дамытушылық қызметі оқушылардың ой-өрісін дамытуға, олардың
ақыл-ой әрекеттерінің әдістерін қалыптастыруға бағытталған.
Есептердің тәрбиелік қызметі оқушылардың пәнге деген қызығушылығын,
оқу еңбегінің дағдыларын қалыптастыруға, тәрбиелеуге бағытталған. Олардың
ақыл-ой әрекеттерінің әдістерін қалыптастыруға бағытталған.
Есептердің бақылаушылық қызметі оқушылардың оқу материалын игеру
деңгейін математиканың мектеп курсын өз бетінше үйренуге, даму деңгейі мен
оқушылардың танымдық қызығушылығының даму деңгейі мен қалыптасу деңгейін
анықтауға бағытталған.
Есептердің қызметі оқытуда өзара байланысты, бірақ әрбір нақты
жағдайда оларды мақсатты түрде қолдануына сәйкес есептің басты қызметі
белгіленіп, жүзеге асырылады.
Есептерді шығара алу шығарылған есептердің санына байланысты емес,
сондықтан психологиялық-дидактикалық және әдістемелік зерттеулерде есепке
оны үйрену, талдау объектісі ретінде қолданудың қалыптастыру әдістеріне
басымдық беріледі.
1.4 Еліміздегі білім беру тарихындағы мәтіндік есептер
Қоғамдағы білімнің және білімді адамдардың рөлі туралы мәселе ежелгі
дәуірден бастап күн тәртібінде тұрған болатын. Платон Егер Сіз білімнің
мағынасы мен пайдасы қандай деп сұрасаңыз, жауабым қарапайым: білім жақсы
адамдарды дайындайды, ал жақсы адамдар бар уақытта жақсылық жасайды деп
жазған болатын.
Ерте кезден бастап адамдарда әр түрлі практикалық есептерді шешу
қажеттілігі туындауда. Оларды шешу әдістерін іздеуге тура келген. Мәтіндік
есептер о бастан математиканың дамуында қозғаушы күші болған.
Математикалық білімдер адамдардың практикалық қажеттіліктеріне
байланысты болған: мал басын санау, малдың бағасы, өнімнен түскен пайданы
анықтау және т.б. Біздің заманымызға дейін сақталған ежелгі орысша
математикалық қолжазба 1136 жылда шыққан. Оның авторы Кирич деген кісі
болған. Қолжазбада қосуға, прогрессияға арналған сиырлар мен қойлардың
көбеюі, әлем жаратылғаннан бастап айлардың, апта мен күндердің санын
есептеулер, астрономиялық мәліметтер бойынша күн мен айдың көлемін
есептеулер бар.
XVI – XVII ғасырда Ресейде қолжазба түрінде математикалық әдебиеттер
пайда болып, тарала бастады. Көбінесе олар көпестерге, ремесленниктерге,
жер өлшеушілерге арналды және ол тек практикалық сипатта болды. Бұл
математикалық еңбектердегі материалдар мақалалар бойынша бөлінді, онда
қандай да бір есептерді шешуде не істеу керектігі айтылған. Ережелер әр
түрлі есептер мен мысалдармен түсіндірілді.
XVI – XVII ғасырдағы қолжазбалар ХVIII ғасырдағы оқу әдебиеттерін
құруға негіз болды. Көптеген есептер ХVIII ғасырдағы ескі қолжазбалардан
арифметика мен алгебра оқулығына өтті.
І Петр жүргізген реформалар елдің мемлекеттік, қоғамдық және мәдени
өміріне және білім беруге әсер етті. Құрылған білім беру мекемелері үшін
оқулықтар қажет болды. 1703 жылы математика оқулығы шықты, оның авторы ұлы
педагог-математик Леонтий Филиппович Магницкий болды, ол Арифметика,
есептеу туралы ғылым деп аталды, және ол ХҮІІІ ғасырдың ортасына дейін
мектеп оқулығы ретінде жүрді. Есептер адамның өмір бойы қасында жүреді.
Қазақ халқының ауыз әдебиетінде жұмбақтар ерекше орын алады.
Ал енді жұмбақ деген не? Жұмбақтар тақпақпен беріледі, оны шешу үшін
мұқият болу керек, ой жүйріктігі, логика, кейде таза математикалық білім
қажет. Мәтіндік есептер математиктердің, педагогтардың, психологтардың
әрдайым назарында. Есептер теориясымен айналысқан ғалымдар: В.И.Крупич,
Л.М.Фридман және т.б. Қазіргі уақытта оқытудың негізгі құралы ретінде
білімді, білікті, дағдыны бақылау құралы ретінде, білімді гуманизациялау
мен гуманитаризациялау құралы ретінде үлкен мән беріледі.
1.5 Мәтіндік есептерді шығаруды оқыту әдістері тарихына шолу
Бастапқыда математиканы үйрету практикалық есептерді шешуге үйрету
арқылы жүргізілді. Оқушылар мұғалімдерге еліктей отырып, ережелерге сәйкес
есептер шығарды. Ол кезде оқушылар қандай да бір амалдардың әрекеттерін
жақсы игере алмады. Ежелгі авторлардың пікірінше түсінудің қажеті бар
мекен? ... сенің еш нәрсе түсінбейтіндігің ештеңе етпейді, ары қарай да
ештеңе түсінбейтін боласың деп оларды жұбатады, оларды түсінудің орнына
жаттатқызған, содан кейін барып, оны іске пайдаланған. Ол кездегі оқу
әдебиеттері түсінуге бағытталмаған еді.
Дәл осылай атақты Ресей математигі Л.Ф. Магницкийдің (1703 ж.) оқулығы
да есеп шығаруға осылай үйреткен. Ереже бойынша оқыту А.П. Киселевтің
Арифметика оқулығында жазылған. Оның ережелері шешу әдістерінің мұқият
реттелген және негізделуін жалпылау ретінде берілген.
ХХ ғасырдың ортасында есептердің дамыған типтері пайда болды, екі
санның қосындысы мен айырымына байланысты, олардың қатынастары, қосындылары
(айырымы), бөлшекке, пайызға, бірлесіп жұмыс істеуге және т.б. тұратын
бөлімдерден тұрды.
Есептерді шығаруды үйрету әдістемесі дұрыс жасалмаған еді, бірақ оны
жүзеге асыру қиынға соқты. Дәстүрлі оқыту әдістемесінің сыншылары оқу
процесін тездету үшін мұғалімдер оқушыларды типтік есептерді шешуге
мәжбүрлегендігін түсінді. Олар оқушыларға мұндай типті есептерді басқа көп
есептердің ішінен бөліп алып, оның шығару жолдарын үйретіп отырды. Әдістеме
мен мектеп практикасы жетілдіруді қажет етті. Бұл 60-шы жылдардың соңындағы
мектеп математикасын оқыту реформалары барысында жүзеге асты. Ол кезде
теңдеуге ерте кірісті, есеп шығаруға үйретуді жаңаша ұйымдастыруға
мүмкіндік береді деп, ол оқушыларға арифметиканың алдында алгебралық
әдістердің артықшылықтары ашылып, және ары қарай оқушыларға өздері есеп
шығару әдістерін таңдауларына мүмкіндік береді деп есептеген.
Ол 1971-72 оқу жылындағы 4-5 сыныптардың математика бойынша
бағдарламаға түсіндірме жазбада жазылған. Іс жүзінде жаңа идеялар жүзеге
аспаған себебі, ол кездегі жалғыз оқулықтың авторы шешкен, есеп шығару
әдістерін оқушылар өздері таңдамаған. Есептерді шешудің дәстүрлі
арифметикалық әдістері одан кейін оқытылмады. Ең басында 4-сыныпта (қазіргі
5) теңдеудің көмегімен есептерді шешуге оқушыларды бағыттаған. Есепті
шешудің арифметикалық әдістері мұндай қатынас сол кездегі оқулық авторлары
мен көптеген әдіскерлердің пікірінде айтылып жатты.
Бірақ, оқу процесіндегі есепті шешудің алгебралқ әдісінің ролі тым
әсіреленіп кетті, сол себепті мектеп курсынан арифметикалық шешу әдісі
алынып тасталған.
Бұған дейінгі есепті шещудің бұл әдісінде оқушылардың ойының
жеткілікті дайындығынсыз үлкен тиімділік бермейді. Өйткені тарихи тұрғыдан
адамдар куча және т.б. деп аталатын белгісіз санмен жұмыс істеуге тура
келгенде есепті шығаруды жалпылай отырып, теңдеуді қолданатын болған.
Балалар осы әдіспен жүру керек, яғни нақты заттармен, шамалармен
ойлаған әрекеттерге сүйене отырып, алдымен бөліктер туралы талқылап, және
содан кейін барып, теңдеуді қолданады. Өйткені 5-6 сынып оқушыларының ойлау
ерекшеліктері абстрактты модельдермен емес, көрнекі бейнелермен жұмыс
істеуге қызықтырады.
Оқытудың бұл этапында есепті шығарудың арифметикалық әдістері
алгебралық әдіске қарағанда артықшылықтары бар. Өйткені әрбір қадамның
нәтижесі әрекеттер бойынша шешімінде оқушыларды тәжірибелерінде болған
көрнекі және нақты талқылаулары болады.
1.6 Қозғалысқа арналған есептер
Қозғалысқа арналған есептерде қолданылатын шамалар – дененің
жылдамдығы, дененің қозғалыс уақыты, дененің жүрген жолы. Осы шамалардың
әрқайсысының өлшем бірлігі бар. Жолдың негізгі өлшем бірліктері: километр,
метр, дециметр, сантиметр, миллиметр. Уақыттың негізгі өлшем бірліктері:
сағат, минут, секунд. Дененің бірлік уақытта жүрген жолы жылдамдық деп
аталады. Жылдамдықтың негізгі өлшем бірліктері: кмсағ (сағатына километр),
ммин (минутына метр), мсек (секундына метр). Қозғалыс есептерін шығару
барысында мынадай жағдайлар қолданылады:
1. Егер дене бірдей уақыт аралықтарында бірдей жол жүрсе, оның қозғалысы
бірқалыпты деп есептеледі.
2. Дененің жылдамдығы, қозғалыс уақыты және жүрген жолы нақты жағдайда оң
шама деп есептеледі.
3. Қозғалыстағы дененің бұрылуы өте тез болады деп саналады, яғни бұрылу
процесіне уақыт кетпейді; сәйкесінше дененің жылдамдығы да лезде
өзгереді, яғни лездік жылдамдық болып есептеледі.
Бірқалыпты қозғалыстың негізгі формуласы:
Мұндағы:дененің жүрген жолы,дененің жылдамдығы,дененің
қозғалыс уақыты.
Қозғалыс есептерін шығару барысында сызба суретті пайдаланған ыңғайлы
[15]. Суретті салғанда уақыттың әр мезетіне сәйкес қозғалыс динамикасын
сипаттайтын белгілерді (кездесу координаталары, аялдамалар, бұрылыстар)
көрсеткен абзал. Мазмұнды дұрыс салынған сурет есептің шартын толық дұрыс
түсінуге көмектеседі. Екі дененің қозғалысын қарастырайық.
Екі дененің бір-біріне қарай бірқалыпты қозғалысы (Сурет 1)
Сурет 1
• Егер екі дене және жылдамдықпен бір-біріне қарай бір
мезгілде бірқалыпты қозғалса, олардың жақындау жылдамдығы жеке
жылдамдықтарының қосындысына тең болады:
• Егер және жылдамдықпен бір-біріне қарай бір мезгілде бірқалыпты
қозғалған екі дененің бастапқы арақашықтығыболса, олар t уақыттан
кейін кездеседі:
Екі дененің қарсы бағытта бір-бірінен бірқалыпты алыстауы
(Сурет 2)
Сурет 2
• Егер екі дене және жылдамдықпен қарама-қарсы бағытта бір
мезгілде бірқалыпты алыстаса, олардың бір-бірінен өзара алыстау жылдамдығы
жеке жылдамдықтарының қосындысына тең болады:
• Егер екі дене және жылдамдықпен қарама-қарсы бағытта бір
мезгілде бірқалыпты алыстаса, t уақыттан кейін олардың арақашықтығы:
Мұндағы денелердің бастапқы ара қашықтығы. Егер денелердің қозғалысы
бір нүктеден басталса, онда
Екі дененің бір бағыттағы қозғалысы (Сурет 3)
1-ші жағдай 2-ші
жағдай
Сурет 3
Бастапқы S қашықтықта орналасқан екі дененің бір бағытта және
жылдамдықпен бірқалыпты қозғалысында екі жағдайды қарастыру
керек.
1-ші жағдай. Жылдамдығы үлкен дене жылдамдығы кіші денені қуып жетеді.
Мұнда денелердің жақындау жылдамдығы олардың жеке жылдамдықтарының
айырымына тең:
Екінші дененің бірінші денені қуып жететін уақыты:
2-ші жағдай. Жылдамдығы үлкен дене жылдамдығы кіші денеден алшақтай береді.
Денелердің бір-бірінен алыстау жылдамдығы олардың жеке жылдамдықтарының
айырымына тең:
Денелердің t уақыттан кейін арақашықтығы:
1) Егер екі дене қозғалысты әртүрлі уақытта бастаса, ерте бастаған дене көп
уақыт қозғалады.
2) Егер екі дене бір бағытта қозғалса (), бірінші дененің екіншісін
қуып жету уақыты
Келесі есепті қарастырайық.
Екі дененің бастапқы арақашықтығы 34 км. Бірінші дене 4,5 кмсағ
жылдамдықпен, екінші дене одан 1,2 есе артық жылдамдықпен бір мезгілде
қозғалды. Қозғалыс басынан 3 сағат өткенде олардың арасы қандай болады?
Есептің шартында денелердің қандай бағытта қозғалғаны көрсетілмеген.
Сондықтан келесі жағдайларды жекелеп қарастыру керек.
1) Денелер бір- біріне қарай қозғалады (Сурет 4)
Сурет 4
1. 4,5·1,2 = 5,4 (кмсағ) – екінші дененің жылдамдығы.
2. 4,5 + 5,4 = 9,9 (кмсағ) – денелердің жақындау жылдамдығы.
3. 9,9·3 = 29,7 (км) – денелердің 3 сағатта жүрген жолы.
4. 34 – 29, 7 = 4,3 (км) – денелердің 3 сағат өткендегі арақашықтығы.
2) Денелер қарама-қарсы бағытта алыстап барады (Сурет 5)
Сурет 5
1. 4,5 ·1,2 = 5,4 (кмсағ) – екінші дененің жылдамдығы.
2. 4,5 + 5,4 = 9,9 (кмсағ) – денелердің алыстау жылдамдығы.
3. 9,9 · 3 = 29,7 (км) – денелердің 3 сағатта жүрген жолы.
4. 34 + 29, 7 = 63,7 (км) – денелердің 3 сағат өткендегі арақашықтығы.
3) Екінші дене бірінші денеге қарай қозғалды. Бірінші дене де екінші
дененің бағытымен қозғалды (Сурет 6)
Сурет 6
1. 4,5 ·1,2 = 5,4 (кмсағ) – екінші дененің жылдамдығы.
2. 5,4 – 4,5 = 0,9 (кмсағ) – екінші дененің бірінші денені қуып бара
жатқан жылдамдығы .
3. 0,9 · 3 = 2,7 (км) – денелердің 3 сағатта бір-біріне жақындау қашықтығы.
4. 34 – 2, 7 = 31,3 (км) – денелердің 3 сағат өткендегі арақашықтығы.
4) Бірінші дене екінші денеге қарай қозғалды. Екінші дене де бірінші
дененің бағытымен қозғалды (Сурет 7)
Сурет 7
1. 4,5 ·1,2 = 5,4 (кмсағ) – екінші дененің жылдамдығы.
2. 5,4 – 4,5 =0,9 (кмсағ)– екінші дененің біріншіден алыстау жылдамдығы.
3. 0,9 · 3 = 2,7 (км) – екінші дененің бірінші денеден 3 сағатта алыстаған
қашықтығы.
4. 34 + 2,7 = 36,7 (км) – денелердің 3 сағат өткендегі арақашықтығы.
Күрделі есептерді шығару алгоритмі. Егер берілген есеп екі белгілі
шама бойынша үшінші белгісіз шаманы табу есебінен күрделі болса не істеу
керек? Мұндай жағдайда осындай есептерді шығарудың нұсқаулары, шығару
алгоритмі бар [16].
1-есеп. Жаяу адам А пунктінен В пунктіне қарай 5 кмсағ жылдамдықпен
шықты. Бір сағаттан кейін оған қарсы бағытта В пунктінен 10 кмсағ-қа артық
жылдамдықпен шыққан велосипедші екі сағаттан кейін жаяу адаммен кездесті.
А және В пункттерінің арақашықтығы қандай?
Шешуі:
1-қадам. Есепте көрсетілген шамалардың барлығын белгілеп алу керек.
Берілген А және В пункттерінің арасы
– жаяу адамның велосипедшімен кездескенге дейін жүрген жолы.
– жаяу адамның жылдамдығы.
– жаяу адамның велосипедшімен кездескенге дейін жүрген уақыты.
Велосипедші де белгілі бір жылдамдықпен келе жатыр, сәйкесінше:
–велосипедшінің жаяу адаммен кездескенге дейін жүрген жолы.
– велосипедшінің жылдамдығы.
– велосипедшінің жаяу адаммен кездескенге дейін жүрген уақыты.
2-қадам. Әріптік белгілер бойынша есептің барлық шартын жазу керек. Бір
сағаттан кейін қарсы бағытта ..., демек, велосипедші бір сағатқа кеш
шықты, жаяу адаммен салыстырғанда 1 сағат аз жүрді немесе жаяу
адам велосипедшімен салыстырғанда 1 сағатқа көп жүрді. Немесе ... 10
кмсағ артық жылдамдықпен шыққан велосипедші ...... 2 сағаттан кейін
жаяу адаммен кездесті, яғни t2=2 сағатқа тең. А және В пункттерінің
арақашықтығы қандай?
Сонымен, барлық шамалар белгіленіп (алгоритмнің 1- қадамы), есептің
шарты математикалық тілде жазылды (алгоритмнің 2- қадамы).
3-қадам. Есептің шарты бойынша А және В пункттерінің арақашықтығы.
Жүрілген және жолдардың сан мәндері белгілі болса, бірден
есептеуге болар еді. Белгісіз болғандықтан жолды жылдамдық пен уақыттың
көбейтіндісі арқылы өрнектейміз.
Жаяу адамның велосипедшімен кездескенге дейін жүрген жолы:
Велосипедшінің жаяу адаммен кездескенге дейін жүрген жолы:
.
Бізге және белгілі, ал және белгісіз, бірақ олар
үшін келесі өрнектер бар:
,
Сонымен, ізделінген жол:
.
Теңдеудің оң жағындағы шамалардың белгілі мәндерін қоямыз:
Қорытынды
Жылдамдыққа берілген есепте әрқашан үш шама бар: – қашықтық;
уақыт; – жылдамдық. Егер екі шама белгілі болса, үшінші шаманы
табуға болады. Бізде ол үшін үш формула бар:
.
Жылдамдыққа берілген есепті шығару үшін мынадай алгоритм қолданылады:
1. Барлық шамаларды әріптермен белгілеу керек.
2. Есептің барлық шартын осы әріптермен жазып шығу керек.
3. Ізделінетін шама бар шартты таңдап алу керек.
4. Соған басқа шарттарды қою керек.
5. Теңдеуді шешу керек.
2-есеп. А және В қалалары өзен жағасына орналасқан. В қаласы А қаласына
қарағанда өзен ағысы бойымен төмен орналасқан. Таңертеңгі сағат тоғызда А
қаласынан В қаласына бөрене ағып келеді. Осы уақытта В қаласынан А
қаласына қайық шығады да 5 сағаттан соң бөренемен кездесіп қалады. Қайық
ары қарай А қаласына дейін жүзіп барады да кері қарай В қаласына бөренемен
бірдей уақытта жүзіп жетеді. Қайық пен бөрене осы күннің кешкі сағат 2100-
ге дейін В қаласына жүзіп келіп үлгереді ме?
Шешуі: Теңдеулер жүйесін жазуға мүмкіндік беретін математикалық
сөйлемді бөліп алып қарастырамыз. Олар екеу:
а) қайық пен бөрененің бір мезгілде шығуы мен 5 сағаттан соң
кездесуі;
ә) қайықтың В қаласына бөренемен бір уақытта келуі.
Бұл есепте белгісіз ретінде іздейтініміз қалалардың арасындағы
арақашықтық деп белгілейік өзен ағысының жылдамдығы және тұрған судағы
қайықтың жылдамдығы, сәйкесінше деп белгілейміз.
Бұл айнымалылар есеп шартын қарапайым түрде жазуға мүмкіндік береді.
Есеп шарты Теңдеу
Қайық пен бөрене бір мезгілде
шығып 5 сағаттан соң кездесті
Қайық пен бөрене В қаласына бір
мезгілде жетті
Соңғы теңдеудегі -қатынасы бөрененің қозғалыс уақытын, ал
-қайықтың өзен ағысына қарсы қозғалыс кездегі уақытын, -қайықтың өзен
ағысымен қозғалғандағы уақытын білдіреді.
Есеп шарты үш белгісізі бар екі теңдеу жазуға мүмкіндік береді
Берілген жүйеден үш белгісізді табу мүмкін емес, бірақ бізден сұрап
отырғаны тек қайық пен бөрененің кешкі сағат 21-ге үлгеретін,
үлгермейтіні ғана. Бөрененің қозғалыс уақыты болғандықтан теңдеулер
жүйесінен өздерін емес, олардың қатынасын тапсақ жеткілікті. Екінші
теңдеуді екі жағын да бөліп жібереміз, нәтижесінде алатынымыз
сонда жүйеде екі айнымалы шамалар қалады: және
Жүйенің екінші теңдеуінен алатынымыз Есептің мағынасына сәйкес
қатынасының бір ғана мәні келеді, яғни Енді қатынасын
табамыз, , - қатынасының мәні , яғни шамасының мәні 12 ден
үлкен екенін дәлелдеу қиын емес;
Демек, қайық пен бөрене кешкі сағат 2100-де пунктіне барып үлгере
алмайды.
Жауабы : үлгермейді.
3-есеп. қаласынан қаласына 800 сағатта жүрдек пойыз шықты. Осы
уақытта қаласынан қаласына қарай жолаушылар және курьерлік
пойыздары шықты. Жолаушылар пойызының жылдамдығы курьерлік пойыздың
жылдамдығынан екі есе кем. Жүрдек пойыз қаласына 13 сағат 50 минутта
жетті, ал жүрдек пойыз курьерлік пойызды осы күннің 10 сағат 30
минутынан ерте кездестірмейді. Егер жүрдек пойыздың курьерлік пойызбен,
және жүрдек пойыздың жолаушылар пойызымен кездесу мезетіне бір сағаттан
артық уақыт кетпесе, онда жолаушылар пойызының қаласына келу уақытын
тап.
Шешуі: Есеп шартын жазу үшін келесі белгілеулерді енгіземіз:
(км) қалалар арасындағы ара қашықтық километрмен өлшенеді; (кмсағ)
деп жүрдек пойыздың жылдамдығын; (кмсағ) деп жолаушылар пойызының
жылдамдығын белгілейміз. Сонда курьерлік пойыздың жылдамдығы (кмсағ)
болады. Енді есеп шарттарын теңдеулер мен теңсіздіктер жүйесі түрінде
жазамыз.
Есеп шарты Теңдеу мен
теңсіздіктер
Жүрдек пойыз қаласына 13 сағат 50
минут, яғни 5сағат 50 минуттан кейін келді
Жүрдек пойыз курьерлік пойызбен таңертеңгі 10
сағат 30 минуттан ерте емес уақытта кездесті,
яғни кем дегенде 2сағат 30 минут
Жүрдек пойызбен курьерлік пойыз және
жолаушылар пойызымен кездесетін уақыт мезеті
бір сағаттан көп емес.
Соңғы теңсіздіктердің құрылуын келесі түрде көрсетуге болады; -шамасы
қозғалыс басталғаннан жүрдек пойызбен курьерлік пойызға кездескенге дейінгі
уақытты көрсетеді, ал жүрдек пойызбен жолаушылар пойызының қозғалғанынан
кездескенге дейінгі уақыты . Осы екі қатынас, жүрдек пойызбен
курерлік пойыздың кездесу уақытының айырмасы болып табылады. Есептің
берілген шартындағы теңсіздіктерді оған тең мағыналы теңсіздіктер түрінде
төмендегідей жазуға болады: -қатынасының мәнін
белгілеп алып, оңай түрлендіруден кейін келесі теңсіздіктер жүйесін аламыз:
немесе
Соңғы теңсіздіктің жалғыз ғана шешімі бар, ол .
Есептің берілгені бойынша жолаушылар пойызының қаласына келу уақытын
табу керек, яғни : .
Сонымен, жолаушылар пойызы жолға 8 сағат 45 минут уақытын жұмсап,
қаласына 16 сағат 45 минутта келіп жетті.
Жауабы: 16 сағат 45 минут.
4-есеп. Ұзындығы 1 метр бір шеңбердің бойымен екі бағытта тұрақты
жылдамдықпен қозғалып бара жатқан екі дене әрбір 6 секундта кездесіп
тұрады. Егер осы екі дене бір бағытта қозғалса, онда бірінші дене
екіншісіне әрбір 48 секундта жетіп алып отыратын еді. Осы екі дененің
сызықты жылдамдықтарын табыңыз.
Шешуі: Бірінші және екінші дененің жылдамдықтарын сәйкесінше ,
деп белгілейік. Онда есеп шарты бойынша келесі теңдеулер жүйесін аламыз:
.
Бұл теңдеулерден екендігі шығады.
Жауабы :
5-есеп. Шоссенің бір нүктесінен бастап үш спортшы машинасымен бір мезгілде,
шеңбер бойымен бір бағытта, бірқалыпты жылдамдықпен жарысып келе жатыр.
Бірінші спорт машинасымен алға шарты басталғанда, яғни бесінші айналым
басталғанда старт нүктесіне қарама-қарсы беттегі диаметральді нүктеде
екінші спортшыны машинамен қуып жетті, ал енді жарты сағаттан соң алға
шарты басталғаннан бергі уақытта үшінші спортшыны екінші рет қуып жетті. Ал
екінші спортшы үшінші спортшыны алға шарты басталғаннан кейінгі 3
сағатта бірінші рет қуып жетті. Егер екінші спортшы шеңбер бойымен әр
айналымын кемінде 20 минутта жүріп өтсе, онда бірінші спортшы бір сағатта
шеңбер бойымен неше айналым жасайды?
Шешуі: Сақина бойымен жүрілген жолдың ұзындығын (км) деп
белгілейік, ал машиналардағы спортшылардың жылдамдығын сәйкесінше
(кмсағ), (кмсағ), (кмсағ) деп белгілейік, .
Бірінші машинадағы спортшы екіншіні жылдамдықпен қуып жетті, үшіншіні
жылдамдықпен қуып жетті, ал екінші машинадағы спортшы үшіншіні
жылдамдықпен қуып жетті. Бір спортшыны екіншісі қуып жеткен мезетте, ол
қашықтықты артық жүріп өтті деген сөз, яғни екінші рет қуып жетсе
-ке артық тағы солай кете береді.
Есеп шартын келесі теңдеу мен теңсіздіктер түрінде жазуға болады.
Есептің шарты Теңдеулер мен теңсіздіктер
Бірінші машинадағы спортшы
бірінші рет екіншіні өзінің бесінші
айналымында старт нүктесінің
диаметраль екі жағындағы нүктеде
қуып жетті, (яғни 4,5 айналым).
Екінші машинадағы спортшыны бірінші
қуып жеткеннен соң жарты сағаттан
соң үшіншіні екінші рет қуып жетеді,
(яғни бірінші машинадағы спортшы
үшіншіден 2 айналым көп жүрді.)
Екінші машинадағы спортшы үшіншіні
бірінші рет 3 сағаттан соң қуып
жетті.
Екінші машинадағы спортшы бір
айналымды 20 минуттан кем емес
уақытта жүріп өтеді.
Есеп шартын пайдалана отырып соңғы теңсіздікті жазған себебіміз, ол есептің
бір мәнді шешімін табу үшін қажетті болып отыр. Есептің шарты бойынша
белгісіздерін емес, олардың қатынастарын тапсақ жеткілікті, яғни жаңа
белгісіздерді енгіземіз: , , . Бұл
қатынастар әрбір спортшының бір сағатта неше айналым жасайтынын көрсетеді.
Енді осы белгісіздер үшін теңдеулер жүйесі келесі түрге келеді:
Бірінші және үшінші теңдеулерді қосып, шыққан теңдеуден екінші теңдеуді
алып -ке байланысты келесі квадрат теңдеуді аламыз:
.
Бұл жерден -тің екі мәнін табамыз: . Енді жүйенің
бірінші теңдеуінен -тің екі мәнін табамыз: және
жүйенің екінші теңдеуіне қарап сәйкес табамыз;
мәні теңсііздігін қанағаттандырмайды, сондықтан ;
жүйенің шешімі бола алмайды. Ал мәні соңғы теңсіздікті
қанағаттандырады, бұдан шығатыны берілген есептің жалғыз шешімі.
Демек, бірінші машинадағы спортшы бір сағатта 3 айналымды жүріп өтеді.
Жауабы: 3 айналым.
1.7 Пайызға арналған есептер
Пайыз сөзі (процент) латынның pro centum деген сөзтіркесінен
алынған аудармасы, жүзге немесе жүздік бөлік деген мағына береді.
Бір пайыз деген санның жүзден бір бөлігі. Пайыз сөзінің
орнына % таңбасы қолданылады және ол таңба саннан кейін жазылады. Мысалы,
жүздің бір пайызы бірге тең.
1 – есеп. 200 санының 18 %–ын табайық.
Шешуі: Анықтама бойынша бір пайыз санның жүзден бір бөлігіне тең
болғандықтан, 18 % берілген санның жүзден 18- іне тең болады. Демек, 200
санын жүзден он сегізіне көбейту керек. Осы амалды жай бөлшек түрінде
жазуға болады:
немесе ондық бөлшекпен жазуға болады:
Пайыз не үшін керек? Математикада ондық бөлшек те, жүздік бөлшек те
болғандықтан пайыздың аса қажеттігі жоқ. Пайыз экономика, бухгалтерия,
статистика, әлеуметтану сияқты ғылымдарда сандық мағлұматтарды өзара ортақ
мағынамен қолдануға ыңғайлы шама.
2 – есеп. Бір сыныпта 25 оқушы бар, оның 21 жақсы оқиды. Басқа сыныпта
30 оқушы бар, бұл сыныпта 24 оқушы жақсы оқиды. Қай сыныпта оқу үлгерімі
жақсы?
Шешуі: Бір сыныпта жақсы оқитын оқушылар барлық санының бөлігін,
басқа сыныпта бөлігін құрайды. Қай сыныпта көрсеткіш жоғары? Оны
анықтау үшін бөлшектерді бірдей бөлімге келтіріп жазу керек. Содан кейін
салыстыруға болады.
Кейбір мамандықтарда (экономика, қаржы) мұндай көрсеткіштерді бөлімі
100 болатын өрнекпен санауға ұйғарылған.
Жоғарыда берілген бөлшектердің бөлімін 100-ге келтірейік:
Осыдан:
немесе . Ал бұл дегеніміз пайыз:
Енді жазудың бір түрінен екінші түріне және керісінше жазуға
жаттығайық (бөлшекті пайызбен және пайызды бөлшекпен). Мысалы, қаймақтың
майлылығы 15% құрайды. Осыны басқаша қалай айтуға болады? деген –
бұл
Немесе, биыл жауын-шашын мөлшері қалыптағының 125% құрады. Осыны
басқаша қалай айтуға болады? Біріншіден, 125% шамасы жағынан 100%- дан 25%
-ға артық. Яғни, жауын –шашын әдеттегіден 25% -ға көп жауды деп айтуға
болады. Ал егер ондық бөлшекке аударса, биыл жауын-шашын қалыптағының 1,25
құрады немесе әдеттегіден 0,25-ке көп болды деп айтуға болады:
немесе
Пайызға арналған есептің негізгі үш түрін қарастырайық. Олардың барлығы
қарапайым бір ереже бойынша шығарылады. Үш түрлі тәсілді жеке-жеке
қарастырудың қажеті болмайды.
Санның пайызын табу
cанның немесе қандай да бір шаманың –ын табу үшін ол санды
немесе шаманы 100 –ге бөлу керек немесе 0,01 көбейту керек:
cанның пайызын табу үшін пайызды жай бөлшек немесе
ондык бөлшекпен өрнектейміз және сол санды осы бөлшекке көбейтеміз:
3 – есеп. Зауытта ай сайын 500 мұздатқыш шығарылады, оның 60 %-ының
сапасы жоғарғы санатта. Сапасы жоғары мұздатқыштың саны қанша?
Шешуі: 500 санының 60 %-ын табайық. 60 %–бұл 0,6. Яғни, 5000,6 = 300
мұздатқыштың сапасы жоғарғы санатты.
Жауабы: Сапасы жоғарғы санатты мұздатқыштың саны 300.
Пайызы бойынша санды табу
пайызы бойынша санды табу үшін пайызды жай бөлшек немесе
ондық бөлшек арқылы өрнектейміз және санның пайызын бөлшекке бөлеміз:
4 – есеп. Егер санның 90%-ы 459-ға тең болса, ол сан неге тең?
Шешуі: А0,9=459А=459:0,9=510.
Жауабы: 510.
Бірінші сан екінші санның неше пайызын құрайды
Бір сан басқа санның неше пайызын құрайтынын табу үшін бірінші санды
екінші санға бөліп, шыққан бөліндіні 100%-ға көбейту керек.
5 – есеп. 200 қарбыздың 16-сы піспеген болып шықты. Піспеген қарбыздар
барлығының неше пайызын құрайды?
Шешуі: Сұрақ не туралы? Пісіп жетпеген қарбыздар туралы. Олай болса, 16
санын жалпы саны 200-ге бөліп, 100%-ға көбейтеміз.
Жауабы: барлық қарбыздың 8%-ы піспеген.
Есептерде келесі формула жиі қолданылады: пайызбен байланысты
есептерді пропорция құру арқылы шығару, сонымен қатар, егер шамасы
пайызға өзгерсе, онда оның жаңа мәні келесі формула бойынша
анықталады:
Шыққан өлшемнің тағы да пайызға өзгеруінде
мәнін аламыз, т.с.с. және сандарының таңбасы есеп шартына
байланысты: пайыз артқанда – оң, кемігенде – теріс болады [17]
6-есеп. 90 литр мұнайда 10% қышқыл бар. Қышқылдың концентрациясы 5% болу
үшін қанша таза мұнай қосу керек?
Шешуі: литр қышқыл бар. Егер литр таза мұнай қоссақ,
онда (литр) болады. Демек, қышқылдың концентрациясы 5 % болуы үшін 90
литр таза мұнай қосу керек.
Жауабы: 90л.
7-есеп. 950 пробалық алтын мен 800 пробалық мысты 2 кг таза алтынмен
қорытады. Нәтижесінде салмағы 25 кг болатын 906 пробалы жаңа қорытпа пайда
болады. Алғашқы екі қорытпаның салмақтарын есептеңіз.
Шешуі: - қорытпаның жалпы салмағы, - “асыл металдың”
салмағы, -проба деп белгілеу енгізейік. екені белгілі. Айталық,
бірінші қорытпадан кг, екінші қорытпадан кг алынсын. Сонда
мынадай теңдеулер жүйесін құрамыз:
, .
Демек, алтынның қорытпасы 15 кг, мыс 8 кг болған.
Жауабы: 15 кг, 8 кг.
8-есеп. Қандай да бір қорытпа біреуінде 1:2 қатынасындай, екіншісінде 2:3
қатынасындай болатын екі металдың қоспасынан тұрады. Құрамында осы металдар
17:27 қатынасында болатындай етіп осы қоспаның неше бөлігінен үшінші
қорытпаны алуға болады?
Шешуі: Айталық, үшінші қорытпа бірінші қоспаның бөлігін,
екінші ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz