Зерттеу пәні - шамалардың шамадан тыс шамаларын табу және оларды шешу әдістері

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 51 бет
Таңдаулыға:

Тақырыптың өзектілігі
Математикада сан ұғымынан кейінгі негізгі ұғым функция ұғымы екендігі
белгілі. Мектеп оқулықтарының барлық тақырыптары функция ұғымымен тығыз
байланыста [1-5].
Функция ұғымы ғылымға XVII ғасырда алдымен геометриялық және
механикалық мағынада енді. Математикалық анализдің дамуымен байланысты XIX
ғасырда оның алғашқы анықтамасы жалпы түрде берілді. Дәлірек айтқанда,
неміс математигі Дирихле 1837 жылы енгізді. Қазіргі кезде орта мектепте
Функция және оның графигі, Функцияны зерттеу тарауын берудің әр түрлі
тәжірибелері жинақталған. Оны оқыту әдістемесін оқулықтар мен журналдарда
жарияланып жүрген мақалалардан көруге болады.
Мектеп математикасында функция тақырыбын оқыту мәселесі, әр заманда
белгілі математиктер мен әдіскерлердің назарынан тыс қалмаған. Атап айтсақ
А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, Г.В. Дopoфeeв, М.К. Потапов, С.М.
Никольский т.б. еңбектерінде функцияға қатысты мәселелер қарастырылған [6-
8].
Қазақстан ғалымдары мен әдіскерлері де осы мәселе төңірегінде ой
қозғаған. Атап айтсақ, Н.Тeміpғaлиeв, М.Жайнибекова, Г.Воказе, Г.Aлeнoвa,
М.Бeкжігітoвa еңбектері де осы тақырыпқа арналған [9-12].
Қазіргі таңдағы еліміздегі білім беру жүйесінің ең басты міндеттерінің
бірі білім берудің ұлттық моделіне өту арқылы жас ұрпақтың білім деңгейін
халықаралық дәрежеге көтеру. Елдің алға қарай дамуының басты шарты
–білімділік пен интелект, адамдардың рухани саулығы, дамудың жан–жақтылығы,
оның кәсіби дайындығының кеңдігі мен икемділігі.
Дипломдық жұмыста ұсынылып отырған теориялық материалдар мен
топтастырылған есептерді қарастыру, оқушылардың математикалық білім
деңгейін көтеруде белгілі бір нәтижелерге жетуге септігі тиер деген
ойдамыз.
Дипломдық жұмыстың мақсаты
Функцияны зерттеудің әртүрлі әдістеріне қатысты негізгі ұғымдарды
анықтап, тақырыпқа қатысты есептерді іріктеу. Мектеп оқушыларының бойында
функцияны зерттеудің әртүрлі әдістерінің жүйесін қалыптастыру – оларды
ғылыми білім жүйесімен қаруландыру, әртүрлі пәндік бағыттардағы экстремалды
есептерді шешу әдістерін жүйелеу және жалпылау.

Дипломдық жұмыстың құрылымы
Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі тараудан және қорытынды мен
пайдаланылған әдебиеттер тізімінен, қосымшадан тұрады.
Кіріспеде жұмыстың өзектілігі, мақсаты айқындалған.
І тарауда функция және дифференциалдық есептеудің негізгі ұғымдарының
пайда болуы мен дамуы, орта мектептегі математика сабағында есеп шығарудың
маңыздылығы қарастырылған.
ІІ тарауда функцияның ең үлкен және ең кіші мәндеріне байланысты
берілген физикалық және экономикалық есептерді шешудің әдістемелік
аспектілеріне тоқталы. Пайдаланылған дерек көздерінің тізімі көрсетілген.
Қосымшада Функцияны зерттеудің әртүрлі әдістері тақырыбы бойынша
сабақ жоспары келтірілген.

1 Функция ұғымының қалыптасуы мен дамуы

1. Функция ұғымының қалыптасу кезеңдері

Функция ұғымының қоршаған ортаны тануда үлкен рөл атқаратындығы
белгілі. Шамалар арасындағы алғашқы математикалық қатынастардан, сандарға
қолданылатын алғашқы ережелерден, фигуралардың ауданы мен көлемін табудың
алғашқы формулаларынан бастау алған функционалдық тәуелділік осы идеяның
ертеден басталғанын білдіреді [13-14]. Математикаға айнымалы ұғымының
енуімен XVIIғ. функционалдық тәуелділікті қолдану және оны зерттеу
басталды. Функция туралы алғашқы анықтаманы Декарт Геометрия атты
еңбегінде ұсынды. Бұл еңбегінде ол алгебралық теңдеулер көмегімен ғана дәл
бейнелейтін қисықтарды қарастырды. Біртіндеп функция ұғымы оның
аналитикалық сипаттамасы-формуламен берілді. Функция сөзін (лат.function-
аяқтау, орындау) Г.В. Лейбниц берілген немесе басқа бір міндеттерді
орындаушы шама мағынасында қолданды. x-тен функция терминін алғаш
Г.В. Лейбниц пен оның шәкірті И. Бернулли қолданды. Сондай-ақ 1698
жылдан бастап Г.В. Лейбниц айнымалы және константа (тұрақты) терминдерін
енгізді. 1718 ж. Швейцариялық математик И. Бернулли функцияға дәл анықтама
берді:
Функция деп айнымалы шама мен тұрақтыдан қандайда да бір тәсілмен
құрылған шаманы айтады. Л.Эйлер Анализге кіріспе (1748ж.) атты кітабында
функция анықтамасын былай тұжырымдайды: Айнымалы шаманың функциясы
дегеніміз - осы айнымалы шамамен сандардан немесе тұрақты шамадан құрылған
аналитикалық өрнек. Л.Эйлер қазіргі кезде қабылданған функцияның
белгілеулерін енгізген. Функцияның берілу тәсілі қолданылмайтын сандық
функцияның қазіргі анықтамасын орыс математигі Н.И.Лобачевский (1834 ж.)
мен неміс математигі П.Дирихле (1837 ж.) бір-біріне тәуелсіз берген. Бұл
анықтамалардың негізгі мағынасы мынандай: Егер x-тің әрбір мәніне y-тің
белгілі бір мәні сәйкес келсе, онда y бұл сәйкестіктің формуламен,
графикпен, кесте түрінде немесе сөзбен берілгеніне қарамастан, x
айнымалысының кесіндісінде) функциясы болады. Анықталу облысы мен
мәндер жиыны таңдап алынатын қазіргі кездегі функция туралы түсінік
XX ғ. бірінші жартысында жиындар теориясын жасаған Г.Кантордың (1845-
1918) еңбегінде тұжырымдалды.
Экстремалды есептер – максимум және минимумға арналған есептер біздің
өмірімізде үлкен рольатқарады.Мұндай есептерді әр түрлі мамандықтардың
өкілдерінің шешуіне тура келеді.Технологиялық инженерлер өндірісті
мүмкіндігінше көп өнім өндіретін етіп ұйымдастыруға тырысады; дизайнерлер
ғарыш кемесіне оның массасы ең аз болатындай етіп құрылысты жасауға
тырысуда; экономистер зауыттың шикізат көздерімен байланысын көлік
шығындары минималды болатындай етіп жоспарлауға тырысады. Әрбір ұйым
біршама жұмыс жасау қажеттілігіне тап болады, ресурстарды мүмкіндігінше аз
жұмсайды. Мұнда оңтайландыру мәселелерін шешудің әдістері көмекке келеді,
олар менің жұмысымда талқыланады. Осы проблемалардың болуы және оларды
шешудің әдістері біздің өмірімізде математиканың қажеттілігінің айқын
мысалы болып табылады.
Ғылым мен техниканың дамуы математиканың әртүрлі бағыттарының дамуына
байланысты. Қазіргі уақытта математика өндірісті ұйымдастыру мәселелерін
шешудің, еңбек өнімділігін арттыруға көмектесетін оңтайлы шешімдерді табуға
көмектесетін құралға айналуда.
Көптеген қолданбалы проблемалар экстремумдағы функцияларды зерттеуге
дейін азаяды. Атап айтқанда, экономикалық теорияда математикалық
бағдарламалау мәселесі көбінесе шартты экстремум проблемасына түседі.
Функцияның экстремумын оның айнымалыларына шектеулер болған жағдайда
іздеудің ең ыңғайлы тәсілдерінің бірі, яғни шартты оңтайландыру мәселесін
шешу, Лагранж көбейткіштерінің әдісі болып табылады. Лагранж әдісінің
негізгі практикалық құндылығы - бұл шартты оптимизациядан шартсызға көшуге
мүмкіндік береді.
Алгебра курсы әртүрлі материалдарды қамтиды, алайда оның бөлімдерінің
бірі экстремалды шамаларды табу мәселесі болып табылады. Сонымен, мұндай
мәселені қалай шешу керектігін білу көптеген мәтіндік мәселелерді шешуде
пайдалы, өйткені олардың шешілуін едәуір жеңілдетеді.
Шектен тыс мәселелерді шешу тек теориялық қызығушылық тудырмайды.
Кейде адамның практикасы мен күнделікті қызметіне байланысты
тапсырмалар осындай мәселелерді шешуге дейін азаяды. Сондай-ақ, мұндай
теңдеулер кейде физика мен геометрияда, эконимикада көптеп кездеседі.
Жоғарыда айтылғандардың барлығы дипломдық жұмыстың таңдалған
тақырыбының өзектілігін көрсетеді.
Зерттеудің мақсаты - Зерттеу нысандары математикалық талдау әдістері
болды.
Зерттеу пәні - шамалардың шамадан тыс шамаларын табу және оларды шешу
әдістері.
Зерттеу мақсаты, объектісі және тақырыбы келесі тапсырмаларды таңдауды
анықтады:
- функцияның экстремумы туралы ұғымды қарастыру, жергілікті және
ғаламдық экстремумды, сонымен қатар функцияның экстремумының нүктелерін
зерттеу;
- функцияның экстремумы үшін қажетті және жеткілікті жағдайларды
зерттеу;
- функцияның экстремумының нүктелерін табу алгоритмін сипаттаңыз;
- алгебра және геометриядағы төтенше мәселелерді қарастыру;
- экстремалдың экономикалық және өндірістік проблемалардың
ерекшеліктерін бөліп көрсету;
- басқа ғылымдардағы төтенше мәселелерді қарастыру.

1.2 Дифференциалдық есептеудің негізгі ұғымдарының пайда болуы мен
дамуы

Дифференциалдық есептеудің негізгі ұғымы-туынды физика, механика және
математика есептерін, атап айтсақ, түзусызықты бір қалыпсыз қозғалыстың
жылдамдығы мен кез келген қисыққа жанама жүргізуге байланысты есептерді
шешу кезінде XVI ғасырда пайда болды. XV- XVII ғасырларда кез келген
нүктеге жанама жүргізудің жалпы әдісін табу мәселесі көптеген
математиктерді қатты ойландырды [1, 128-бет].
Жалпы есептерді шешудің кейбір дербес жағдайлары ежелгі заманда
берілген еді. Мысалы, Евклидтің Бастамалар еңбегінде шеңберге жанама
жүргізу әдісі берілген. Архимед өз атымен аталатын ширатылымға (спиральға)
жанама жүргізсе, ал Апполоний жанаманы эллипс, гипербола және параболаға
жүргізген. Алайда ежелгі грек ғалымдары есепті аяғына дейін шешкен жоқ,
яғни қандай да бір қисықтың кез келген нүктесіне жанама жүргізудің тиімді
жалпы әдісін таппаған.
XVII ғ. басында кейбір ғалымдар, оның ішінде Торричелли, Вивиани,
Роберваль, Барроу бұл сұрақтың шешімін кинематикалық тұрғыда іздей
бастайды. Алгебралық қисыққа жанама жүргізудің бірінші жалпы әдісі
Декарттың Геометрия атты еңбегінде көрсетілген. Ферманың жанамалар
жүргізу әдісі дифференциалдық есептеулерді дамытудағы жалпы және маңызды
әдіс болып табылады. Ферманың нәтижелері мен кейбір басқа да қорытындыларға
негіздей отырып Лейбниц сәйкес алгоритм құрған және есепті алдыңғы
ғалымдарға қарағанда толығырақ шешкен.
Қазіргі кезде қолданылып жүрген туынды символын Лейбниц
көрсеткен. Бірақ ол негізгі ұғымды туынды емес, дифференциал деп берген.
XVIII ғ. ортасында Эйлер айнымалы шаманың өсімшелерін белгілеу үшін
гректің ∆ әрпін қолданған, әғни , және т.с.с. Бұл белгілеу
қазірге дейін сақталған.
Туындының және белгілеулерін Лагранж негізген.
Туынды ұғымының ғылым мен техникада қандай үлкен рөл атқаратынын
көрсететін мысалдарды көптеп келтіруге болады. Мысалы, үдеу – уақыт бойынша
жылдамдықтың туындысы, дененің жылу сыйымдылығы – температура бойынша жылу
көлемінің туындысы, радиактивті ыдырау жылдамдығы – уақыт бойынша
радиоактивті зат массасының туындысы болып табылады және т.с.с. Туындыларды
есептеу әдістері мен қасиеттерін игеру және оларды функцияларды зерттеуде
қолдану дифференциалдық есептеудің негізін құрайды.
Maximum және minimum сөздерін латын тілінен аударғанда, сәйкесінше ең
үлкен және ең кіші деген мағына береді. Геометриялық шамалардың ең үлкен
және ең кіші мәндерін табудың кейбір дербес сұрақтарымен ежелгі грек
математиктері де айналысқан.
Ежелгі грек математигі Евклид өзінің Бастамалар атты еңбегінде
мағынасы мынадай ұғымды білдіретін сөйлемді дәлелдейді (таза геометриялық
тұрғыда): берілген үшбұрышқа іштей сызылған барлық параллелограмдардың
арасынан табаны үшбұрыштың табанының жартысына тең параллелограмның ауданы
ең үлкен болып табылады.
Жаңа ғасырдың басында жаратылыстану, ғылым мен техника есептері
шамалардың ең үлкен және ең кіші мәндерін табу үшін жалпы әдісті қажет
етеді. Сол кездің өзінде неміс математигі И. Кеплер (1615) шаманың максимум
маңайындағы өзгерісі шамалы ғана дей отырып, экстремумды табу кезінде
туындыны нөлге теңестіру туралы идея айтқан. Француз математигі П. Ферма
өзінің Максимумдар мен минимумдарды зерттеу әдісі деп аталатын еңбегінде
шек және туынды ұғымдарын қолданбаған, оның экстремумдарды анықтау әдісі
біз қолданып жүрген және негізінде туындыны нөлге теңестіру болып табылатын
Г. Лейбниц пен И. Ньютонның әдістеріне сәйкес келеді.
П.Ферма берілген шарға көлемі ең үлкен конусты, беті ең үлкен болатын
цилиндрді іштей сызу есептерінен басқа есептерге де өз әдісін қолданған.
Сонымен қатар өз әдісін тек бүтін алгебралық функцияларға ғана қолданып, ал
экстремумдарды ажырату (максимумды минимумнан) критерийін қолданбағанын
айта кеткен жөн. 1958 ж. голландиялық математик Б. Гудденің де берген
максимумдар мен минимумдарды табу ережесі туралы осыны айтуға болады.
И.Ньютон (1671 ж.) шамалардың ең үлкен және ең кіші мәндерін
анықтауды, әғни кідіру принципін былай тұжырымдаған: Егер шама барлық
мүмкін болатын мәндердің ең үлкені немесе ең кішісі болса, онда осы мезетте
ол өзгермейді. И. Ньютон өз ережесінің иррацианалдыққа да қолдануға
болатындықтан Гудде ережесінің жалпы түрі болатынын екі мысалмен келтірген.
Максимумдар және минимумдар проблемаларын зерттеуге Лейбниц те маңызды
үлес қосқан. Өзінің Жаңа әдіс (1684) атты еңбегінде ол функцияның өсу
және кему аралығын зерттеуде біз қолданып жүрген дифференциал ұғымын
пайдаланды, егер функциясының туындысы қандай да бір аралықта функция
аргументінің өзгерісі кезінде оң болса, онда берілген функция осы аралықта
өседі, ал туынды теріс болса, функция кемиді деген теореманы тұжырымдайды.
Функцияның (экстремум болған жағдайда) ең үлкен немесе ең кіші ординатасы
жанаманың көлбеу болмайтын шартымен, әғни дифференциал шартымен
анықталады. Бұл жағдайда ординаталар өспейді де, кемімейді де, бір қалыпта
тұрады.
Эйлер (1755) өзінің Дифференциалдық есептеу атты еңбегінде
функцияның мәні, мысалы, максимум нүктесінде осы функцияның ең үлкен
мәнімен мүлдем сәйкес келмейтінін ескере отырып, абсолют экстремумдарды
негізгі сипаттамасы деп аталатын салыстырмалы экстремумдардан ажыратты.
Сондай-ақ ол көп айнымалы функциясының максимум және минимумдарын
қарастырады. Функцияларды максимум мен минимумға зерттеу үшін Эйлер бірінші
және екінші туындылармен ғана шектелмей, жоғары ретті туындыларды да
қолданды.
Максимумдар мен минимумдар туралы ілім біздің заманымызда уақытты
тиімді пайдалану, өндірісті қажетті шикізатпен қамтамасыз етіп, еңбек
өнімділігін арттыру жалпы экономиканы дамыту мәселелерінде маңызды
ілімдердің бірі болып табылады.

1.3 Функцияны зерттеудің әдістері
1.3.1 Функцияны туындының көмегімен зерттеу

Функцияның туындысы және үзіліссіздігі ұғымдары

Анықтама. функциясы аралығында анықталсын. Егер
үшін

нақты мәнді шегі бар болса, онда функциясын нүктесінде
дифференциалданады, ал шектің мәнін функциясының нүктесіндегі
туындысы дейді де, белгісімен белгілейді.
Осы амалды функцияны дифференциалдау, ал оның нәтижесін, яғни шектің
мәнін функцияның туындысы дейді [17].
Туындының анықтамасын шекті белгілейтін белгілерді қолданып, келесідей
жазуға болады:

1(. , 2(. ,

3(. , 4(. .

Соңғы екі жазуда , немесе , белгілеулері
қолданылған.
-ті функция аргументінің немесе тәуелсіз айнымалының өсімшесі, ал
-ті функцияның өсімшесі деп атайды.
Туынды ұғымы – локальді ұғым.
Функцияның жиында дифференциалдануы, нүктеде дифференциалдануы арқылы
анықталады:
функциясы жиынында анықталсын. Егер жиынының әрбір
нүктесінде функциясының ақырлы туындысы бар болса, онда
функциясының жиынында туындысы бар немесе функциясы
жиынында дифференциалданады дейді де, символымен белгілейді.
“ функциясы жиынында дифференциалданбайды” деген “
функциясының кемінде бір нүктесінде ақырлы туындысы жоқ” дегенмен
пара-пар.
1-теорема. Егер функциясының нүктесінде туындысы
бар болса, онда сол нүктеде үзіліссіз болады.
1-теоремаға кері теорема дұрыс емес: егер функциясы
нүктесінде үзіліссіз болса оның сол нүктеде туындысы әрқашанда бола
бермейді. Демек, функция нүктесінде үзіліссіз бола тұрып, ол нүктеде
дифференциалдануы да, дифференциалданбауы да мүмкін.
Салдар. Егер нүктесі функциясының үзіліс нүктесі болса,
онда сол нүктеде – тің ақырлы туындысы болмайды [17, 197-бет].
Функцияның үзіліссіздігі
Анықтама. Егер кез келген саны бойынша саны табылып,
, теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық үшін
теңсіздігі орындалатын болса, онда функциясын нүктесінде
үзіліссіз деп атайды. Яғни,

(3)

Жоғарыда берілген анықтамадан, функциясының нүктеде
үзіліссіздігі келесі үш шарттың орындалуын білдіреді:
1) функциясы нүктесінде және оның қандай да бір
маңайында анықталған;
2) функциясының нүктесінде шегі бар;
3) функциясының нүктесіндегі шегі функцияның сол
нүктедегі мәніне тең.
болғандықтан, үзіліссіздіктің анықтамасындағы (3)-теңдікті былай
да жазуға болады.
Демек, үзіліссіздікті шек таңбасы lim пен функция белгісі -
ті өзара орын ауыстыру мүмкіндігі деп те анықтауға болады.
(3) - теңдікті - ді теңдіктің сол жағына шек таңбасының астына
көшіріп, болса екендігін ескеріп,

(4)

түрінде жаза аламыз. Мұндағы, айырымын аргументтің өсімшесі, ал
айырымын функцияның өсімшесі деп атайды.

Егер арқылы белгілесек, онда болса болатындықтан
(4) - ті келесідей жаза аламыз:

(5)

Өсімше терминін қолданып, үзіліссіздіктің анықтамасын былай айтуға
болады: егер тәуелсіз айнымалының нүктедегі өсімшесі нөлге
ұмтылғанда, оған сәйкес функциясының өсімшесі нөлге ұмтылса,
онда функциясын нүктесінде үзіліссіз деп атайды.
Мысалы, функциясы әрбір нүктесінде үзіліссіз.

болғандықтан, үшін.
Сонымен, (5)-бойынша, функциясы нүктесінде үзілліссіз.
Егер болса, онда функциясын нүктесінде оң
жақты үзіліссіз деп атайды;
Егер болса, онда функциясын нүктесінде сол
жақты үзіліссіз деп атайды.
Егер функциясының анықталу аралығы сегменті болса,
онда функциясының нүктесінде тек қана оң жақты, ал
нүктесінде тек қана сол жақты үзіліссіздігі туралы айтуға болады.
Үзіліссіз функциялардың кейбір қасиеттері
3-теорема. Егер функциясы нүктесінде үзіліссіз болса,
онда
нүктесінің қандай да бір маңайында:
1) функциясы шенелген;
2) егер және функциялары нүктесінде үзіліссіз
болса, онда және функциялары да сол нүктелерде
үзіліссіз;
3) егер функциясы нүктесінде, ал функциясы
нүктесінде үзіліссіз болса, онда күрделі функциясы
нүктесінде үзіліссіз болады.
4-теорема. функциясы кесіндісінде қатаң монотонды және
үзіліссіз болса, онда оған кері функциясы кесіндісінде қатаң
монотонды және үзіліссіз болады.
Анықтама. Егер функциясы нүктесінде анықталмаса немесе
нүктесі анықталу жиынында жатып, сол нүктеде үзіліссіз болмаса,
онда нүктесін -тің үзіліс нүктесі деп атап, -ті
нүктесінде үзіледі дейді.
Анықтама. Егер нүктесі функциясының үзіліс нүктесі
болып, сол нүктеде біржақты ақырлы шектері

,

бар болса, онда функциясы нүктесінде жай немесе бірінші
түрдегі үзілісті дейді.
санын функциясының нүктесіндегі секірмесі деп
атайды.
Егер болса онда - ді жөнделетін үзіліс нүктесі деп
атайды.
Егер функциясы нүктесінде үзілісті болып, бірақ
үзілісі бірінші түрдегі үзіліс болмаса, дәлірек айтқанда,
нүктесінде - тің кемінде бір біржақты ақырлы шегі болмаса, онда
функциясын нүктесінде күрделі немесе екінші түрдегі үзілісті
дейді.
Сонымен, функциясы нүктесінде үзіліссіз болуы үшін
, , сандарының мағыналы болып, олардың өзара тең болуы
қажетті және жеткілікті, яғни .
Мысалы, функциясын нүктесінде үзіліссіздікке зерттейік.

және

болғандықтан, функцияның нүктесіндегі біржақты шектері ақырлы,
бірақ өзара тең емес. Демек, бірінші түрдегі үзіліс нүктесі.
Негізгі элементар функциялар өздерінің анықталу жиынында үзіліссіз.
Анықтама. кесіндісінің әрбір нүктесінде үзіліссіз
функциясын кесіндіде үзіліссіз функция дейді.
Вейерштрасстың бірінші теоремасы. Егер функциясы
кесіндіде анықталған және үзіліссіз болса, онда оның мәндерінің жиыны
шенелген жиын болады.
Вейерштрасстың екінші теоремасы. Егер функциясы кесіндіде
анықталған және үзіліссіз болса, онда осы кесіндіде ол ең үлкен және ең
кіші мәндерін қабылдайды.
Больцано-Коши теоремасы. Егер функциясы сегментінде
үзіліссіз болып, сегменттің ұштарындағы мәндері , болса, онда
мен - ның арасында жатқан кез келген үшін
теңдігін қанағаттандыратын кемінде бір нүктесі табылады.
Ескертулер.
1. Вейерштрасстың бірінші теоремасы екінші теоремасының салдары
болады, өйткені ең үлкен және ең кіші элементтері бар болатын нақты сандар
жиыны сол екі санмен сәйкес жоғарыдан және төменнен шенелген.
2. Сегменттен өзге болатын әрбір аралықта үзіліссіз функция шенелмеген
де, шенелсе де ең үлкен және ең кіші мәндері болмауы да мүмкін.
Мысалы, 1) функциясы ақырлы интегрвалында үзіліссіз,
шенелген бірақ ең үлкен де, ең кіші де мәндері жоқ, яғни бірде-бір
үшін саны -ға да, -ға да тең болмайды.
2) функциясы ақырлы интервалында үзіліссіз, жоғарыдан
шенелмеген, төменнен шенелген.
3) функциясы интервалында үзіліссіз, шенелген, бірақ ең
үлкен де, ең кіші де мәндері жоқ [17,190-бет].

1.3.2 Функцияның экстремумдарын анықтау

5-теорема. функциясы сегментінде үзіліссіз болып,
интервалында дифференциалдансын. Онда кемімейтін (өспейтін)
болуы үшін әрбір нүктесінде шартының орындалуы қажетті
және жеткілікті.
6-теорема (экстремумның қажетті шарттары). нүктесінің қандай да
бір маңайында анықталған функциясының экстремум нүктесі
болсын. Онда, нүктесінде функциясының ақырлы туындысы жоқ
немесе нүктесінде ақырлы туынды бар және нөлге тең, яғни .
Локальді экстремумның қажетті шарты болатын бұл жағдайлардың әрқайсысы
да жеткілікті шарт емес.
7-теорема (экстремумның жеткілікті шарттары). функциясы
нүктесінің - маңайында үзіліссіз болып, оның ойылған -
маңайында дифференциалдансын (демек, нүктесінің өзінде
функциясының ақырлы туындысы болуы да, болмауы да мүмкін).
және интервалдарының әрқайсысында функциясы оң
немесе теріс таңбалы болсын. Онда
1) егер барлық үшін және барлық үшін
болса, онда - локальді қатаң максимум нүктесі,
2) егер барлық үшін және барлық болса,
онда - локальді қатаң минимум нүктесі.
Мысалы, функциясының монотонды аралықтарын және экстремум
нүктелерін анықтайық.
Берілген функцияның анықталу облысы .

.

Туындыны нөлге теңестіріп, функцияның анықталу облысын сол нүктелер
арқылы интервалдарға бөліп, туындының таңбасын анықтаймыз.
Демек, функциясы және аралықтарында кемімелі,
ал және аралықтарында өспелі (1-сурет).

1-сурет

7-теорема бойынша, нүктесі берілген функцияның локальді
максимум, ал - локальді минимум нүктесі.

Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу

функциясы сегментінде үзіліссіз болса, онда Вейерштрасс
теоремасы бойынша функциясының ең үлкен және ең кіші мәндері бар
болады. Кейбір дербес жағдайларда туынды көмегімен сол мәндерді табуға
болады [17, 275-бет].
1. Егер интервалында дифференциалданып, оның туындысы
нөлге айналмаса, онда болғанда – ең кіші, ал – ең
үлкен мәндер болады, өйткені өспелі. Ал барлық үшін
болса, онда – ең үлкен, ал – ең кіші мәндер болады, өйткені
кемімелі.
2. Егер функциясы үшін интервалында локальді
экстремумның қажетті шартын (6-теорема) қанағаттандыратын нүктелер жиыны
ақырлы жиын болып, қалған нүктелерде ақырлы туындысы бар болса, онда

Сандарының ең үлкені және ең кішісі функциясының сегментіндегі
сәйкесінше, ең үлкен және ең кіші мәндері болады.
Мысалдар қарастырайық.
1. функциясының ең үлкен мәнін табайық.
Функцияның периоды екендігін ескеріп, оны аралығында
зерттесек жеткілікті.

, немесе .

Осыдан .
Функцияның аралықтағы ең үлкен мәнін анықтау үшін
нүктелерін қарастырамыз. Сонда, болады. болса, онда
болғандықтан .
Демек, функциясының аралығындағы ең үлкен мәні.
2. және сандарының қайсысы үлкен?
Шешуі. функциясын қарастырайық.
болғандықтан, кемімейтін функция. Онда Демек,

Функцияны зерттеуде қажетті теоремаларды қарастырайық.
8-теорема. функциясының болғанда ең кіші мәні , ал
болғанда ең кіші мәні болады. Осы ең кіші және ең үлкен мәндер
болғанда қабылданады.
Дәлелдеуі. Бұл теорема толық квадратты бөліп алу арқылы дәлелденеді

Егер болса функциясының ең үлкен мәні болмайды, ал ең
кіші мәні -ны болғанда қабылдайды.
Егер болса функциясының ең кіші мәні болмайды, ал ең
үлкен мәні -ны болғанда қабылдайтынын көру қиын емес.
9-теорема. (Екі сан үшін Коши теңсіздігі) [18].
Кез келген теріс емес және сандары үшін

теңсіздігі орындалады.

Дәлелдеуі.

Кез келген теріс емес және сандары үшін болғандықтан
болады.
1-салдар. (Төрт сан үшін Коши теңсіздігі)
Кез келген теріс емес және сандары үшін келесі

теңсіздік орындалады.
Дәлелдеуі. Теңсіздікті дәлелдеу үшін 1-теореманы пайдаланамыз.

2-салдар. (Үш сан үшін Коши теңсіздігі)
Кез келген теріс емес сандары үшін

теңсіздігі орындалады.
Дәлелдеуі. Теңсіздікті дәлелдеу үшін 9-теореманы мен 1-салдарды
пайдаланамыз. деп белгілейік.Сонда

Яғни, . Осыдан .
Егер болса, онда Бұл жағдайда теңдік орындалады.
Ал егер болса, онда болады. Осыдан немесе .
Демек, .
Жалпы жағдайда, теріс емес сандары үшін

теңсіздігі орындалады.
10-теорема. функциясының ең кіші мәні болады. Осы
ең кіші мәнін болғанда қабылдайды. Мұндағы және [19].

Дәлелдеуі. Расында да, арифметикалық және геометрикалық орта туралы
теңсіздікті (9-теорема) қолдана отырып, мынаны аламыз:

,
немесе

(мұнда теңдік тек қана , яғни болғанда орындалады).
Жоғарыдағы теңсіздіктен функциясының ең кіші мәні –ға тең
және ол болғанда қабылданатындығын көреміз.
Егер ( тұрақты сандар) болса, онда

екендігін көреміз.

Демек, болғанда функциясы -дан үлкен не оған
тең болады. Теңдік , яғни болғанда орындалады. Сонымен,
функциясы минимум мәні -ны нүктесінде қабылдайды.
11-теорема. Егер екі оң айнымалы шамалардың қосындысы тұрақты болса,
онда осы айнымалы шамалардың көбейтіндісі, екі көбейткіш бірдей мәні
қабылдаған кезде ең үлкен мәнге ие болады.
Дәлелдеуі. х және у – оң айнымалы шама болсын және болсын, мұнда
с – тұрақты.
Коши теңсіздігін (9-теорема) қолдана отырып, мынаны аламыз:

немесе .

осыдан

Бұдан көріп тұрғанымыздай, ху көбейтіндісінің ең үлкен мәні тең
және ол болғанда қабылданады. Яғни, болғанда.
12-теорема. Егер оң айнымалы шаманың қосындысы тұрақты болса,
онда барлық айнымалылар бірдей мән қабылдағанда, осы айнымалылардың
көбейтіндісі ең үлкен мәнге ие болады. (Бұл теорема 11-теореманың жалпылауы
болып табылады).
Дәлелдеуі. - оң айнымалы шамалар және болсын, мұндағы с
тұрақты. Коши теңсіздігі (9-теорема) бойынша төмендегіні аламыз:

Осыдан . Теңдік тек қана болғанда орындалатындықтан,
көбейтіндісінің ең үлкен мәні -ға тең және ол болғанда
қабылданады.

Функцияның кіші және ең үлкен мәндерін кесіндіде қалай табуға болады
Төмендегі суреттерде функцияның ең кіші және үлкен мәнге жететін жерін
көрсетеді. Сол жақ суретте ең кіші және ең үлкен мәндері функцияның
локальді минимумы мен максимумының нүктелерінде белгіленеді. Оң жақ суретте
- сегменттің ұштарында.

Егер у = f (x) функциясы [a, b] интервалында үздіксіз болса, онда ол
осы интервалдағы минималды және максималды мәндерге жетеді. Бұл, жоғарыда
айтылғандай, экстремум нүктелерінде де, сегменттің ұштарында да пайда болуы
мүмкін. Сондықтан [a, b] аралығында үзіліссіз болатын функцияның ең кіші
және ең үлкен мәндерін табу үшін оның мәндерін барлық сындық нүктелерде
және кесіндінің ұштарындағы мәндерін есептеу керек, содан кейін олардың
ішіндегі ең кіші және ең үлкенін таңдау керек.
Айталық, f (x) функциясының [a, b] аралығындағы ең үлкен мәнін
анықтағымыз келеді делік. Ол үшін оның [a, b] аралығындағы барлық сындық
нүктелерін табамыз.
4. функциясының аралығында ең үлкен және ең кіші мәндерін табу
керек.
Шешуі: Берілген функцияның туындысын табамыз, яғни болады. Табылған
туындыны нолге теңестіріп сындық нүктелерін табамыз. Онда екі нүкте
табылады: және Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу
үшін кесіндінің шеткі нүктелеріндегі және кеісндінің ішінде жататын сындық
нүктенің мәнін табамыз: ,,. Сонымен функцияның ең кіші мәні
болғанда , ал ең үлкен мәні болғанда .

Егер функция белгілі бір интервалда үздіксіз болса және бұл аралық
кесінді болмаса (бірақ, мысалы, аралық; интервал мен сегмент арасындағы
айырмашылық: интервалдың шекаралық нүктелері интервалға жатпайды, ал
сегменттің шекаралық нүктелері кесіндіге жатады), онда функцияның мәндері
арасында ең үлкен және үлкен бол. Мәселен, мысалы, төмендегі суретте
бейнеленген функция үзіліссіз] -∞, + ∞ [ және оның ең үлкен мәні болмайды.

Алайда кез-келген аралық үшін (жабық, ашық немесе шексіз) үздіксіз
функциялардың келесі қасиеті жарамды.
Егер функция интервалда үздіксіз болса және жалғыз экстремум болса, онда ол
минимум жағдайында ең кіші, ал максимум жағдайында ең үлкен болады.

Функцияның ең кіші мәні де, оның ең үлкен мәні де берілген аралыққа жататын
бір нүктеде ғана емес, сонымен бірге, мысалы, әрі қарай екеу болуы да
мүмкін.
5. функциясының аралығындағы ең үлкен және ең кіі мәндерін
табу керек.
Шешуі: Берілген функцияның туындысын табалық . Табылған туындыны нөлге
теңестіріп сындық нүктелерін табамыз: болады. Сосын үш сындық
нүктелерін табамыз: , , . Барлық сындық нүктелер берілген
аралықта жатқандықтан функцияның сындық нүктелердегі және кесінді
ұштарындағы барлық мәнінде тексереміз.
, , , , .

Функция екі нүктеде -13-ке тең, яғни ең төменгі мәнге, ал 12-ге тең ең
үлкен мәнге, сонымен қатар екі нүктеде (яғни сегменттің соңында) жететінін
көреміз.
Функцияның туындысын нөлге теңестіруден алынған теңдеудің нақты шешімдері
болмайтын жағдайлар жиі кездеседі. Сонда функцияның ең кіші және ең үлкен
мәндерін сегменттің ұштарында ғана табуға болады. Бұл келесі мысал.
6. функциясының аралығындағы ең үлкен және ең кіші мәндерін
анықтаңыз.
Шешуі: Берілген функцияның туындысын табамыз . Туындыны нөлге
теңестіріп, бұл теңдеудің нақты түбірлері жоқ екендігі белгілі болады.
Сондықтан кесіндінің ең үлкен және ең кіші мәндерін кесіндінің ұштарында
ғана анықтай аламыз. Функцияның ұштарындағы мәндерін табамыз:
, .

Шарт бойынша екі мән де функцияның ең кіші және ең үлкен мәні дегенге
лайықты, яғни , , ал болғанда . Бұдан шығатыны
функцияның ең үлкен мәні , ең кіші мәні .
Қолданбалы экстремалды проблемаларда функцияның ең кіші (үлкен)
мәндерін табу, әдетте, минимумды (максимум) табуға дейін азаяды. Бірақ
минимум немесе максимумның өзі емес, олардың сол нәтижегедегі аргументтің
мәні болып табылады. Сондай-ақ дәлелдеудің құндылықтары үлкен практикалық
қызығушылық тудырады. Қолданбалы есептерді шешу кезінде қосымша қиындық
туындайды, яғни қарастырылып жатқан құбылысты немесе процесті сипатайтын
функциялардың жиынтығын табу.
Оқушының математиканы меңгеру деңгейі, көп жағдайда оның есептерді
шығаруға қаншалықты төсілгендігі арқылы бағаланатындығы белгілі. Бір типтес
есептерді шығарудың әртүрлі жолдарын қарастыру қандай да бір математикалық
материалды меңгеруде оң әсер ететіндігі сөзсіз.
Математиканы оқыту барысында кейбір есептерді бірнеше рет, әр
кезендерде қарастыруға тура келеді. Бұлай еткен жағдайда оқушы есептің
мағынасына терең бойлап, есепті шығару тәсілдерінің бірін екіншісімен
салыстырып, олардың қандай артықшылықтары барын байқай алады.
Мектеп курсында кездесетін осындай есептердің бірі функцияларды
зерттеу есептері. Мұндай есептерді шығару үшін математиканың әр бөлімінің
әдіс-тәсілдерін пайдалануға болады. Жоғарғы сыныптарда дифференциалдық
есептеулерді пайдаланып зерттесе, орта буын сыныптарында элементарлық
математикадан белгілі мағлұматтарға сүйеніп (туындыны пайдаланбай)
зерттеуге болады [18-20].
Енді осындай есептерді қарастырайық.
7. өрнегінің ең кіші мәнін табыңыз. Мұндағы оң сан.
1-тәсіл. Оқушыларға есепті шығарудың графиктік тәсілін ұсынуға болады.
Берілген өрнекті келесідей түрлендірейік:

.

болсын. Осы функциялардың графиктерін бір координаттар
жүйесінде сызып, абсциссалардың бірдей мәндеріне сәйкес келетін
ординаталардың мәндерін қосамыз.
Есеп шарты бойынша болғандықтан (есепті шешуді жеңілдету
үшін деп алынған), берілген өрнектің графигі 1- ширекте
орналасқан, ал болғанда графиктегі ең төменгі нүктені аламыз,
яғни (2-сурет).

y

O
x

2-сурет

2-тәсіл. болса екендігі белгілі.
Шынында да, , бұдан . Соңғы теңсіздіктің екі жағында
санына бөлсек, онда болады.
Енді берілген өрнекті келесідей түрлендірейік

.

және өзара кері өрнектер болғандықтан, жоғарыдағы теңсіздік
негізінде, оның ең кіші мәні .
Демек, берілген өрнектің ең кіші мәні болады.

3-тәсіл. Енді осы есепті туындыны пайдаланып шығарайық.
болғандықтан, . Онда және нүктелерінде
туынды нөлге теңеседі. болғандықтан нүктесін аламыз.
Егер болса , ал болғанда болғандықтан,
нүктесі минимум нүктесі болады. Демек, .
8. функциясының ең үлкен мәнін табыңыз.
1-тәсіл. (Қосымша бұрыш енгізу тәсілі). Берілген функцияны келесідей
түрлендірейік:

.

болатындай бұрышы бар болатындығын ескерсек ,
онда болады. Бұл функцияның ең үлкен мәні 5 екендігі айқын.
2-тәсіл. Есепті туындыны пайдаланып шығарсақ, онда функцияның периоды
екендігін ескеріп, аралығында зерттесек жеткілікті.

болғандықтан, , немесе .

Осыдан .
Функцияның аралықтағы ең үлкен мәнін анықтау үшін
нүктелерін қарастырамыз. Сонда, болады. болса, онда
болғандықтан .
Демек, .
3-тәсіл. Есепті шығару үшін екі вектордың скалярлық көбейтіндісін де
пайдалануға болады.
болсын, онда берілген өрнекті түрінде жаза аламыз.

,

болғандықтан, белгілі қос теңсіздікті қолданып,
теңсіздігіне келеміз. Яғни, .
Демек, берілген функцияның ең үлкен мәні болады.
9. Парақ бетіне, жоғарғы және төменгі жиектерінен , ал сол
және оң жиектерінен жолақ қалдырып, ауданы болатын мақаланы
басу керек. Қағаз ең аз жұмсалатындай парақтың өлшемдері қандай?
1-тәсіл. Парақтың мақала басылған бөлігінің өлшемдері және
болсын. Онда, есеп шарты бойынша , ал парақтың ауданы
болады. Сонда

.

Яғни, функциясы ең кіші мән қабылдайтындай ті
анықтауымыз керек. Жоғарыда айтылғандарды ескерсек, онда
болғандықтан, функциясы болғанда ең кіші мән қабылдайды.
Демек, парақ өлшемдері және болғанда қағаз ең аз жұмсалады
(3-сурет).

3-сурет

2-тәсіл. функциясын туындының көмегімен зерттесек, онда
болғандықтан, функцияның кризистік нүктесі болады.
аралығында , ал болғанда екендігіне көз жеткізу қиын
емес. Яғни, болғанда функциясы минимум мәнін қабылдайды.
Онда болғандықтан, парақтың өлшемдері және болуы
қажет.

2.1 Функцияның ең үлкен, ең кіші мәндерін пайдаланып физикаға
байланысты есептер шешу

Туынды ұғымы жаратылыстану-техникалық мазмұнды және математиканың өзінің
ішкі проблемаларына байланысты есептерді математикалық түрде сипаттау
(немесе, басқаша айтқанда, модельдеу) кезінде туындайды.

Солардың физикадан және геометриядан алынған екеуіне тоқталайық.

А денесі a түзуінің бойымен қозғалады деп ұйғарайық. Осы қозғалысты
сандармен өрнектейік, басқаша айтқанда, оның математикалық моделін құрайық
(физикада қалыптасқандай, А денесі материалдық нүкте деп саналады).
Алдымен а түзуінде координаталар жүйесін енгіземіз (түзуді
арифметикаландырамыз) және А нүктесінің х уақыт мезетіндегі орнын
(координаталарын) f(x) арқылы белгілейміз, мұндағы , ал x0 –
қозғалыстың басталған уақыты (1-сурет). Бұл х уақыт мезетінде А денесі
координатасы f(x) - ке тең нүктеде болатынын білдіреді, демек, таңдап
алынған координаталар жүйесіне қатысты А денесінің қозғалысы толығымен
анықталған (әрине, ұзындық және уақыт бірліктерін ескергенде).

1-сурет
t уақыт мезетін белгілейміз. Бұл мезеттегі А денесінің координатасы
f(t), ал һ уақыт өткеннен кейін нүктенің t+һ уақыт мезетіне сәйкес
координатасы f(t+һ) болады. Сондықтан дененің һ уақыт ішінде жүріп өткен
қашықтығы f(t+һ)-f(t) өрнегінің мәніне тең, ал А нүктесінің t мезетінен
t+һ мезетіне дейінгі һ уақыт ішіндегі орташа қозғалыс жылдамдығы А денесі
жүріп өткен қашықтықтың осы қозғалыс болған уақытқа қатынасына тең:
. (1)
А нүктесінің қозғалыс заңдылығы f(x)=x2 квадраттық функция болатын нақты
жағдайды қарастырайық.
Белгіленген (бірақ кез келген) t уақыт мезетіндегі А нүктесінің t-ден
t+һ-қа(мұндағы һ0) дейінгі орташа жылдамдығы мынаған тең ((1)
формула):.
һ0 шарты орындалған жағдайда шығарылған

теңдігінің һ=0 болғанда да мағынасы бар (ол 2t+0=2t өрнегінің мәніне тең)
екенін байқаймыз және бұдан маңызды келесідей салдар туындайды.
һ=0 болғанда кесіндісі координатасы t болатын нүктеге, ал орташа
жылдамдық 2t - ға айналатыны түсінікті.
Айтылғандарды ой елегінен өткізейік. Ұзақтығы нөльге тең уақыт аралығы t-
лездік уақыты болып табылады және осы уақыт мезетіндегі, осы сәттегі оның
жылдамдығы 2t , яғни лездік жылдамдық 2t-ға тең.
Сөйтіп, егер таңдап алған бірліктеріміз бар болса: яғни ұзындық – 1 м,
уақыт – 1 сек. болса, онда А денесінің t=3 сек. мезетіндегі лездік
жылдамдығы 2t=6 мcек, t=17 сек болғанда, лездік жылдымдық 34 мсек, ал
t=21 сек болғанда, 42 мсек. т. с. с. болады.

1. [-2;5] болатын функцияcының жылдамдығы аргументтің қандай
мәндерінде өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды.

Шешуі: те, яғни функция анықталу облысында үзіліссіз және
дифференциалданады

десек, бұл функция өзгеруінің жылдамдығы.

Енді оның өзгеруінің ең үлкен, ең кіші мәнін табу үшін одан туынды табамыз

Кризистік нүктесін табамыз: ,

Енді аралықтағы жылдамдықтың ең үлкен және ең кіші мәндерін табамыз.

3. Конусқа іштей сызылған цилиндрдің көлемінің ең үлкен мәнін табыңыз.

Шешу жолы: Айталық конус биіктігі , оның радиусы болсын. Оған
іштей сызылған цилиндр биіктігі , ал цилиндр радиусын делік.
деп белгілейік. Онда

және

Цилиндр көлемі

Цилиндр конусқа іштей сызылғандықтан .

Енді тің қандай мәнінде цилиндр көлемінің ең үлкен мән қабылдайтынын
анықтаймыз.

Осылайша ті табамыз.

болғанда, болады. Ал болғанда және болғанда
болады. Бұдан шығатыны, нүктесінде функциясы өзінің
максимумын қабылдайды. Енді тің ден ге дейін өзгеретінін
ескерсек, сондай-ақ болса, онда

мәні іштей сызылған цилиндр көлемінің ең үлкен мәні болады.

4. Табаны квадрат, формасы тікбұрышты параллелипипед түріндегі беті
ашық бактың ішіне 13,5л сұйықтық сиюы керек. Бактың өлшемдері
(биіктігі, ені, ұзындығы) қандай болғанда оны жасауға ең аз металл
кетеді?

Шешуі: мұндай көлемге табан қабырғасы кетеді делік.

Айталық бактың табанының қабырғасы, биіктігін оның көлемі мен табан
( болсын), қабырғасы арқылы өрнектейік:

Бөшкенің бүйір бетінің ауданының формуласын жазамыз.

функциясымен өрнектеледі, және аралығында оның ең кіші мәнін
табамыз.

сандық нүкте.

функциясы кемиді, ал аралығында өседі.

Бұдан шығатыны .

4. Сыйымдылығы , табаны шаршы болып келетін беті ашық параллелипипед
тәрізді резервуар ішіне қоланы жағып шығу керек. Оған жағатын қоланың
материалы аз кету үшін резервуар өлшемдері қандай болу керек?
Шешуі: Айталық, – табанының қабырғасы, - биіктігі болсын. -
қақпағының ауданын есептемегендегі толы бетінің ауданы, яғни бұл жерде
қақпағының ауданын есептемейміз. - оның көлемі. Резервуардың қақпағын
есептемегендегі бетінің ауданы , яғни бұл функция екі айнымалыдан
тәуелді . Мұндағы беттің ауданын бір айнымалыдан тәуелді функция
ретінде жазсақ, онда . Табылған –ты бет ауданының
формуласына қойып алатынынмыз .
Осы функцияны экстремумға зерттейміз. Ол аралығында анықталған және
барлық нүктесінде дифференциалданады, яғни
.
Туындыны нөлге теңестіріп табатынымыз:
. Сонымен бірге нүктесінде туындысы болмайды және
бұл нүкте анықталу облысына кірмейтіндіктен экстремум нүктесі бола алмайды.
Сөйтіп, жалғыз сындық нүктесі болып табылады. Енді екінші
жеткілікті шарттың орындалатындығын тексерейік, яғни экстремумға зерттейік.
. болғанда .
Демек, болғанда функция өзінің минимумын қабылдайды .
Бұл минимум осы функцияның жалғыз экстремумы болғандықтан, ол оның ең
кіші мәні болып табылады. Сонымен, резервуардың түбінің жағы 2 м-ге тең, ал
оның биіктігі болуы керек.

5. Қабырғасы а болатын темір шаршыдан беті ашық қорап, яғни бұрыштарын
қиып, шетін қайырып жасау керек. Оның көлемі ең үлкен болу үшін
қораптың қабырғасы қандай болу керек? [1, 155 б.]

Шешуі: Қорап қабырғасын а делік,онда кесіліп алынып тасталған кішкене
шаршылар қабырғасы . Мұндағы . Осылайша есепті
интервалындағы функцияның ең үлкен мәнін табуға әкелеміз.
фунциясы сан осінде үзіліссіз, сондықтан -да функцияның ең үлкен мәнін
іздейміз. яғни немесе .

Функция өзінің ең үлкен мәнін кесіндісінде, яғни
интервалында қабылдайды. Берілген шарт бойынша ең үлкен көлем үшін, -
қораптың табанының қандай мән қабылдайтынына байланысты. Табан қабырғасы
болатын қорап, ең үлкен қорап болатынын алынған нәтиже растайды.

6. Әр текті темір шыбық берілсін дейік және оның кез келген ұзындығы
-ге тең бөлігінің массасы белгілі болсын. ( шыбықтың белгі
салынған ұшынан бастап есептеледі). Шыбық әр текті болғанмен, оның
кішкентай бөлігінің (-ден -ге дейінгі учаскедегі) шамамен бірдей
болатыны түсінікті және неғұрлым аз болса, сол бөліктегі
тығыздықтың өзгеру шектері де соғұрлым аз болды. Шыбықтың тығыздығының
-ге тәуелді үлестіріліп бөлінуінің сипаты ретінде сызықтық тығыздық
алынады.

7. Механиканың көптеген есептерінде нүктенің жазықтық бетіндегі немесе
кеңістіктегі қозғалысы қарастырылады. Сонда жылдамдық – векторлық шама.
Егер нүктенің мезетіндегі және координаттары тең болса,
онда жылдамдық векторының координаттары мен тең болады
екен. Осыны пайдаланып, тригонометриялық функциялардың туындыларының
формулаларын кинематика негізінде ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.