Кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы және үлестіру тығыздығы

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 63 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
ТҮРКІСТАН ОБЛЫСЫНЫҢ АДАМИ ӘЛЕУЕТТІ ДАМЫТУ БАСҚАРМАСЫ
Ғ.МҰРАТБАЕВ АТЫНДАҒЫ ЖЕТІСАЙ ГУМАНИТАРЛЫҚ-ТЕХНИКАЛЫҚ КОЛЛЕДЖІ

Математика және физика кафедрасы
Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика пәнінен
ӘДІСТЕМЕЛІК ЖИНАҚ

Дайындаған: Н.Е.Ажибеков

ЖЕТІСАЙ - 2020

Әдістемелік құрал
Ғ. Мұратбаев атындағы Жетісай гуманитарлық - техникалық колледжінің Математика және физика кафедрасында талқыланып, оқу - әдістемелік кеңесінде бекітілді.

№ _____ хаттама

___ __________2020ж

Пікір жазған:

Ғ. Мұратбаев атындағы Жетісай гуманитарлық - техникалық колледжінің директордың оқу ісі жөніндегі орынбасары педагогика ғылымының кандидаты: Баймаханова Л.А.

Дайындаған:

Математика және физика кафедрасының оқытушысы: Ажибеков. Н.Е

Әдістемелік құрал орта кәсіптік білім беретін оқу орындарының жас мамандары мен студенттеріне арналған.

Алғы сөз
Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика пәні - классикалық университеттердің математика және математикаға жақын бағыттар (информатика, механика, математикалық және компьютерлік модельдеу, ақпараттық жүйелер т.с.с.) мамандықтары үшін мамандықтардың жалпыға міндетті білім стандарттарының оқытылуға міндетті пәндерінің құрамына кіретін іргелі математикалық пәндердің бірі. Бұл пән сонымен қатар көптеген жаратылыстану салалары, техникалық және экономикалық мамандықтар бойынша оқытылатын жоғары математика курсының аса маңызды бөліміне жатады, тіпті, кейбіреулері (әсіресе, жаңа экономикалық бағыттардағылары) үшін бірегейі де болып табылатыны.
Жаңа түсініктеме элементар оқиғалар кеңсітігі, Оқиға, А және В оқиғаларының қосындысы, көбейтіндісі, Ықтималдықтың классикалық анықтамасы, Ықтималдық аксиомалары, А оқиғасының В оқиғасы пайда болғандағы ықтималдығы, А және В оқиғалары тәуелсіз, Толық ықтималдық формуласы, Байес формуласы, Бернулли сұлбасы, Қарастырылып отырған оқиға п тәжірибеде т рет пайда болу ықтималдығы, Кездейсоқ шама, Дискретті кездейсоқ шама, Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық үміті, Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы, Кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімінің интегралдық функциясы, Үзіліссіз кездейсоқ шама, Ықтималдықтың үлестірім тығыздығы, Үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық үміті,дисперсиясы, аралығындағы бірқалыпты үлестірім ықтималдығы, Х кездейсоқ шаманың қалыпты үлестірім тығыздығы, Чебышев теңсіздігі, үлкен сандар заңы. Чебышев теоремасы, Бас жиынтық, Таңдама жиынтығы, жиынтық көлемі, Вариациялық қатар, Салыстырмалы жиілік, Таңдаманың статистикалықүлестірімі, Бас орта (таңдаулы орта), Бас дисперсия . Бас орта квадраттық ауытқу, Таңдаулы дисперсия . Ығыстырылған дисперсия (эмпирикалық) дисперсия ., Белгісіз параметр -ның бағасының сенімділік интервалы қарастырылады.
Пререквизиттер:
-Математикалық анализ
-Алгебра және геометрия
-Жиындар теориясы
- ғылыми көзқарас пен логикалық ойлау қабілетін қалыптастыру
Постреквизиттер:
Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика - практикалық есептері комбинаторикалық әдістерді қолдану арқылы шешуге болатыны және болашақ мамандарға негізгі математикалық білім беретін пән- кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын қарастыратыны ескертіледі.
Осы пәннің әдістері практиканаң сан алуан салаларында кеңінен қолданылып, физика, химия, биология құбылыстарының, техника мен экономика процестерінің заңдылықтарын жан - жақты және терең түсінуге орасан зор ықпалын тигізуде.
Пәннің мақсаты: Математикалық талдаудың моделдеуі және ғылыми негізін кездейсоқ оқиғалар мен процесстерде олардың сипаттамалық қасиеттерін үйретуде студенттердің білімін қалыптастыру.
Пәннің міндеті:
- ықтималдықтар теориясы мен матматикалық статистиканың негізгі ұғымдары мен заңдылықтарын және олардың түрлі салаларда қолданын зерттеу;
- нақтылы есептерді шешу тәсілдері мен әдістерін меңгеру;
- табиғи процестердің математикалық модельдерін түзе және түзілген модельді сынақтау тәсілдерін таңдай білу;
- ғылыми және ақпаратты әдебиеттерді пайдалана білу;
- математикалық интуицияны дамыту;
- математикалық мәдениеттілікті тәрбиелеу.
Студенттер білуі керек: Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистиканың негізгі ұғымдары мен заңдылықтарын еркін қолдануға;
- математикалық есептерді қоя білуге;
- ықтималдықтар модельдерін құра білуге;
- қолайлы ықтималдық тәсілдерді және есеп шешімінің алгоритімін таңдай алуға;
- сапалы статистикалық зерттеулер жүргізуге;
-жүргізілген талдаулар негізінде қолдануға қажетті және тиімді іс жүзінде нұсқаулар ұсынуға- міндетті.
М.В. Ломоносов атындағы Мәскеу мемлекеттік университетінің механика-математика факультетінің ықтималдықтар теориясы кафедрасын басқарған аса көрнекті математик, тамаша педагог Б.В. Гнеденконың бұрынғы КСРО ғана емес, басқа да көптеген әлем елдерінің студент жастарының ықтималдықтар теориясын оқып үйренуіне негіз болған Ықтималдықтар теориясы курсы атты оқулығының 6-басылымының алғы сөзінде жазған "Мен математикалық пәндермен, әсіресе ықтималдықтар теориясымен алғашқы танысыу кезінде өзіндік теориялық-ықтималдықтық интуицияны, абстрактылы идеялар мен әдістерді практикалық жағдайлармен ұштастыру қабілетін дамытуға көмектесетін көптеген мысалдарды қарастыру қажет деп есептеймін. Бұл жетістік әрбір математикке, әсіресе қолданбалылық бағыттағы ғылыми-зерттеу институттарында жұмыс істеу күтіп тұрған математик студенттердің басым көпшілігіне қажет. Оның үстіне бүгінгі күні көптеген мамандар ықтималдықтар теориясымен танысуға мәжбүр, өйткені олардың күнделікті жұмысында теориялық-ықтималдықтық концепциялар аса қажет" деген ой - пікірін еске ала отырып іске кіріс.
Педагогика ғылымының кандидаты: Баймаханова. Л.А

Мазмұны

1. Алғы сөз ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
2. Дәріс оқулар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .7
3. Практикалық сабақтар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..61
4. Студенттің өздік жумысы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ..7 4
5. Пайдалынылған әдебиет тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..83

2 ДӘРІС ОҚУЛАР
Дәріс сабақтардың құрылымы
1-дәріс. . Комбинаторика элементтері.
1. Комплексті шарт, сынау, оқиға, жағдайлар
2. Оқиғалар классификациясы
3. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы

1 Комплексті шарт, сынау, оқиға, жағдайлар
Бұл ұғымдарды түсіндіру үшін мысалға жүгінейік.
Мысал. Біртектес материалдан жасалған симметриялы дұрыс кубтың әрбір жағын 1-ден 6-ға дейінгі цифрлармен нөмірлейік. Оны бір рет лақтырғанда (комлексті шарт орындалғанда) 6 жағының бірі жоғары қарап түседі? Қай жағы (нөмері) түссе де мұнымыз оқиға болады.
Комплексті шарт деген терминнің орнына сынау, тәжірибе, эксперимент терминдерін де пайдаланады. Біз көбінесе сынау терминін қолданатын боламыз. Бұдан былай сынау нәтижесін оқиға деп түсінетін боламыз. Әдетте оқиғаларды А,В,С,... бас әріптерімен белгілейді.
Сынау кезінде бірі пайда болғанда, екіншісі пайда болмайтын нәтижелерді (оқиғаларды) жағдайлар дейміз. Оларды А1, А2, ...,Ап әріптерімен белгілейміз. Осы сыналатын жағдайлардың барлық (жалпы) санын п-мен белгілейміз. Мысалы, тенгені лақтырғанда жағдайлар саны n=2, ал кубты лақтырғандағы жағдайлар саны n=6 болады.
2. Оқиғалар классификациясы
Сынау жүргізілгенде А оқиғасы пайда болуы да, пайда болмау да мүмкін болса, ондай оқиғаны кездейсоқ оқиға дейді. Сынау нәтижесінде оқиға (А оқиғасы) сөзсіз пайда болатын болса, ондай оқиғаны ақиқат оқиға дейді. Сынау нәтижесінде оқиға (А оқиғасы) сөзсіз пайда болмайтын болса, ондай оқиғаны мүмкін емес оқиға дейді.
Сынау жүргізгенде оқиғаның бірі пайда болғанда, екіншісі пайда болмайтын екі оқиғаны үйлесімсіз оқиғалар дейді.
Кез келген екі-екіден алынған оқиғалар үйлесімсіз болса, ондай оқиғаларды қос-қостан үйлесімсіз дейді.
Сынау жүргізгенде оқиғаның бірі пайда болғанда, екіншісінің де пайда болуы мүмкін болатын екі оқиғаны үйлесімді оқиғалар деп атайды. Мысалы, кубтың жұп нөмірінің шығуы (А оқиғасы) және үш санына еселік нөмірдің шығуы (В оқиғасы) үйлесімді. Өйткені кубтың 6-нөмірінің шығуын көрсететін А6 оқиғасы А оқиғасы пайда болғанда да, В оқиғасы пайда болғанда да пайда болуы мүмкін.
Сынау нәтижесінде оқиғалардың тек әйтеуір біреуінің сөзсіз пайда болуы ақиқат болса, ондай оқиғаларды жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар дейді. Мысалы, сынау нәтижесінде кубтың алты жағының біреуі (А оқиғасы) шығуы сөзсіз, сондықтан А1, А2, ...,А6 оқиғалары жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар, бұлар оқиғалардың толық тобын құрайды деп атайды. Сондықтан бұл оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық жүйесін құрайды.
.3. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы
Жоғарыда біз оқиға түрлеріне мысалдар келтірдік, енді оқиғаның пайда болуы мүмкіндігінің сандық өлшеуішін көрсетеміз. Жалпы айтқанда, А оқиғасының пайда болу мүмкіндігінің сандық мөлшеріне р(А) функциясының мәні алынады. Мұны осы А оқиғасының ықтималдығы деп атайды.
Қандай болмасын математикалық теория белгілі бір ұғымдар негізінде құралатын болғандықтан, біз ықтималдықтар теориясының құрылуын ықтималдықтың классикалық анықтамасына негіздейміз.
Ықтималдықтың классикалық анықтамасын алғаш рет берген Лаплас еді.
Ықтималдықтың классикалық анықтамасы оқиғалардың тең мүмкіндіктеріне (тең ықтималдығына) сүйенеді.
Тең мүмкіндік немесе тең ықтималдық ұғымдары алғашқы ұғымдарға жатады, олар логикалық (формальді) анықтама беруді қажет етпейді. Жалпы сынау нәтижесінде бірнеше оқиғалар пайда болуы мүмкін болса және олардың біреуінің пайда болуы мүмкіндігінің, екіншісіне қарағанда, артықшылығы бар деп айта алмайтын болсақ, яғни сынаулар нәтижесінің симметриялы қасиеті болса, мұндай оқиғалар тең мүмкіндікті делінеді.
Бірнеше оқиғалар тең мүмкіндікті, қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құраса, онда ол оқиғаларды сынаудың мүмкін нәтижелерінің толық тобы деп атайды. Бұл терминнің орнына тең мүмкіндікті барлық жағдайлар немесе жалпы жағдайлар саны не, қысқаша жағдайлар деп атайды.
Ал тең мүмкіндікті үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын оқиғалардың (жағдайлардың) бірнешеуі бір А оқиғасының пайда болуын тудыруы мүмкін. Бұл оқиғаларды қолайлы жағдайлар деп атайды.
Анықтама. А оқиғасы қолайлы жағдайлар санының (т) сынаудың тең мүмкіндікті барлық жағдайлар санын (п) қатынасын А оқиғасының ықтималдығы деп атайды және былай жазады:
(1)
Ықтималдықтың бұл анықтамасын классикалық анықтама дейміз. Бұдан төмендегі салдар шығады.
1. Ақиқат оқиға ықтималдығы 1-ге тең.
Шынында, оқиға ақиқат болу үшін А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны т сынаудың барлық тең мүмкіндікті жағдайлар саны п-ге тең, яғни m=n болады. Онда (1) бойынша
(2)
2. Мүмкін емес оқиға ықтималдығы нөлге тең.
Шынында да, егер оқиға мүмкін емес болса, онда А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны т нөльге тең болады. Олай болса
(3)
3. А оқиғасының ықтималдығы р(А) нөль мен бір аралығындағы оң таңбалы сан. Шынында, А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны т нөльден п-ге дейінгі, өздерін қоса алғандағы, мәндерді қабылдайды, яғни
,
немесе
(4)

2 дәріс. Кездейсоқ оқиғалар. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.
Ықтималдықтарды тікелей есептеуге мысалдар
2. Қосу теоремасы
3. Қосудың кеңейтілген теоремасы
2 Ықтималдықтарды тікелей есептеуге мысалдар
1-мысал. Жәшікте 3 ақ шар, 5 қызыл шар, 2 жасыл шар бар. Бұл шарлардың формасы және салмағы бірдей. Жәшіктен кез келген бір шар алынды. Алынған шар: а) ақ шар (А оқиғасы), ә) қызыл шар (В оқиғасы), б) жасыл шар (С оқиғасы) болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі: Шарлардың үлкендігі мен салмағы бірдей болғандықтан, олардың шығу мүмкіндіктері де бірдей. Бір түсті шар шыққанда екінші түсті шар пайда болмайды. Сонымен, тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлар саны n=10. А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m=3. Демек,
немесе 30% болады.
ә) немесе 50% болады.
б) немесе 20% болады.
2-мысал. Монета екі рет лақтырылды. Кем дегенде бір рет герб жағы пайда болуы ықтималдығын анықтау керек.
Төменгі тең мүмкіндікті 4 жағдай болады. Олар: ГТ, ТГ, ГГ, ТТ.
немесе 75% болады.
3-мысал. Бірден екі ойын кубы лақтырылады. Екі куб еденге түскенде шыққан нөмірлерінің қосындысы 7 болуы ықтималдығы неге тең?
Шешуі: Барлық мүмкін жағдайларды есептейік. Бірінші куб жақтарының нөмірлері әр түрлі алты тәсілмен түсуі мүмкін. Бұлар әр жолы екінші кубтың алты нөмірінің бірімен комбинацияланады. Сонда n=6636 болады. Қолайлы жағдайлар саны: 1+67, 2+57, 3+47, 4+37, 5+27, 6+17
m=6. .
Қосу теоремасы
Ықтималдықтарды есептеу сынаудың жалпы саны мен оқиғаның пайда болуына қолайлы нәтижелер санын анықтауға келіп тіреледі. Бұларды тікелей есептеу көп жағдайда үлкен қиындыққа ұшыратады. Оның үстіне, практикада кездесетін оқиғалар күрделі болып келеді де, олардың ықтималдығын табу үшін, ол оқиғаларды бірнеше қарапайым оқиғалардың қосындысы не көбейтіндісі түрінді жазып, солардың ықтималдықтары арқылы күрделі оқиға ықтималдығын анықтайды. Ол үшін негізінен ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларын пайдаланады.
Қосу теоремасы. Үйлесімсіз А және В оқиғаларының қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдықтардың қосындысына тең, яғни
(1)
Дуі: Теореманы дәлелдеу үшін (1) теңдіктегі үш ықтималдықты есептеп, ол мәндерді (1) теңдікке қойып, оның дұрыстығына көз жеткізу жеткілікті.

Қосудың кеңейтілген теоремасы
Егер А1, А2, ...,Ап қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар болса, онда бұлардың қосындысының ықтималдығы олардың әрқайсысының ықтималдықтарының қосындысына тең болады, яғни
(2)
1-салдар. Оқиғалардың толық тобын құрайтын қос-қостан үйлесімсіз сынау нәтижелері ықтималдықтарының қосындысы бірге тең.

2-салдар. Қарама-қарсы екі оқиға ықтималдықтарының қосындысы бірге тең, яғни
.
3 дәріс. Қосу және көбейту теоремалары.
1. Тәуелсіз және тәуелді оқиғалар.
2. Шартты ықтималдық
3. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы
1 Тәуелсіз және тәуелді оқиғалар.
Егер екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын өзгертпесе, ондай екі оқиғаны тәуелсіз деп атайды.
Егер екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын өзгертетін болса, ондай оқиғаны тәуелді оқиғалар деп атайды.
А оқиғасының пайда болуы В оқиғасының пайда болуына байланысты, яғни А оқиғасының пайда болу ықтималдығы В оқиғасының пайда болуына байланысты өзгереді. Мұндай ықтималдықты шартты ықтималдық деп атайды. Шартты ықтималдықты былай белгілейді: - В оқиғасы орындалғанда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы.
- оқиғалары орындалғанда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы.
3 Ықтималдықтарды көбейту теоремасы
Теорема. Екі тәуелді оқиға көбейтіндісінің ықтималдығы біреуінің шартсыз ықтималдығын сол оқиға пайда болды деп алынғандағы екінші оқиғаның шартты ықтималдығына көбейткенге тең:
(1)
немесе
(1)
Мысал. М О С К В А сөзін құрастыратын кеспе әріптер әбден араластырылып, 4 кеспе әріпті қатарынан қойғанда К В А С сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі: Бірінші алынған кеспе әріп К болуы А1 оқиғасы болсын, екіншісі В болуы - А2, үшіншісі А болуы - А3, төртіншісі С болуы А4 оқиғасы болсын десек, онда КВАС сөзінің пайда болуы А оқиғасы болады. Көбейту теоремасы бойынша

болып шығады.
Теорема. Екі тәуелсіз оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығы олардың шартсыз ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең, яғни

болады.

4 дәріс . Ең болмағанда бір оқиғаның пайда болуының ықтималдығы
1. Ықтималдықтарды қосудың жалпы теоремасы
2. Ықтималдықтың толық (орта) формуласы
3. Байес формуласы
1. Ықтималдықтарды қосудың жалпы теоремасы
Теорема. Екі оқиғаның кемінде біреуінің пайда болу ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысынан оқиғалардың бірден пайда болу ықтималдығын шегерткенге тең болады.
(1)
Мысал. Колодада 36 карта бар. Кездейсоқ алынған бір картаның көзір немесе тұз болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі: Шыққан картаның көзір болуы А оқиғасы, тұз болуы В оқиғасы болсын. Сонда көзір тұздың шығуы АВ оқиғасы болады. Мұның ықтималдығы

А және В оқиғалары үйлесімді, өйткені көзір карта тұз болуы да мүмкін. Олай болса,

немесе 33,3%, өйткені
2. Ықтималдықтың толық (орта) формуласы
Айталық, Н1, Н2, ...,Нп оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын болсын. Ал В оқиғасы осы оқиғалардың тек біреуімен ғана бірігіп орындалады дейік. Оның үстіне р(Н1), р(Н2), ...,р(Нп) және ықтималдықтары белгілі болсын. Осы берілгендер бойынша В оқиғасының ықтималдығын анықтауға бола ма және ол неге тең деген сұрақ туады. Мұның жауабын ықтималдықтың толық формуласы береді.
Шынында,
(1)
Ал Н1, Н2, ...,Нп қос-қостан үйлесімсіз болғандықтан, оқиғалары да қос-қостан үйлесімсіз. Олай болса, бұл оқиғаларға қосу теоремасын қолдануға болады. Сонда

шығады.
Көбейту теоремасы бойынша

болады.
Демек,

немесе
(2)
жоғарыдағы берілгендері бойынша В-нің ықтималдығын осы (2) формуламен анықтайды. Бұл формуланы ықтималдықтардың толық формуласы деп атайды. Әдетте, Н1, Н2, ...,Нп оқиғаларын гипотезалар (болжамдар) деп атайды.
Байес формуласы
Осы уақытқа дейін қарастырып келген ықтималдықтар интуитивті түрде теориялық болжамдарға сүйеніп, тәжірибе жүргізбей-ақ, комплекс шарт жөніндегі білім (түсінік) негізінде анықталып келді. Тәжірибеге дейінгі Н1, Н2, ...,Нп гипотезалар (оқиғалар) ықтималдығы сәйкес түрде р(Н1), р(Н2), ...,р(Нп) болатынды.
Тәжірибе жүргізілді делік, соның нәтижесінде В оқиғасының пайда болғаны анықталды, енді осы В оқиғасының пайда болуына байланысты Н1, Н2, ...,Нп гипотезаларының ықтималдығын қайта қарауға тура келеді. Яғни ықтималдықтар мәнін анықтауға тіреледі. Бұл ықтималдықты анықтау үшін, көбейту теоремасы мен ықтималдықтардың толық формуласын пайдаланамыз.
Тәуелді оқиғалар В мен үшін
(1)
Бұдан
(2)
шығады. Бұл формулаға толық ықтималдық формуласынан мәнін қойсақ, онда
(3)
шығады. Осы (3) формуланы Байес формуласы деп айтады.

5 дәріс. Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы
1. Сынауды қайталау
2. -нің жуық формуласы
3. Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы
Сынауды қайталау
Ықтималдықтар теориясы мен оның қолданылуында осы уақытқа дейін қарастырылып келген жеке сынау нәтижесінің іс тұрғысынан қарағанда қажеттігі шамалы. Өйткені практика жүзінде жеке сынау нәтижесін алдын-ала болжау мақсат етілмейді. Мұның орнына сынаудың сан алуан қайталанып отыратын жағдайы мен осыған тиісті ықтималдықтарды есептеуді мақсат етеді. Осы айтылғандарды жай мысалдармен түсіндірейік.
Сынау жүргізгенде бірнеше нәтиженің пайда болуын күтуімізге болады. Бұлардың ішіндегі ең қарапайым сынау нәтижесі тек екі оқиға. А және оған қарама-қарсы болатын және әрбір тәуелсіз сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты (пайда болмауы ) тең болатын схемасы. Мұндай қарапайым схеманы тұңғыш қарастырған Швецаря ғалымы Я. Бернулли (1654-1705), сондықтан бұл схеманы Бернулли схемасы немесе тәуелсіз сынауларды қайталау схемасы деп атайды.
Мысал. Нысананы көздеп 3 рет оқ атылды. Әрқайсысының дәл тию ықтималдығы бірдей, яғни ол -ге тең. Нысанаға дәл екі оқтың тию ықтималдығы неге тең.
Шешуі: Оқтың нысанаға тиюуі А десек, тимеуі оқиғасы болады. Олардың ықтималдығы берілген шарт бойынша

Оқтың екі рет дәл тиюуі В оқиғасы болсын. Әрине, бұл күрделі оқиға.

Теорема. Егер әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты және ол р-ге тең болса, онда п рет тәуелсіз сынау жүргізгенде ол оқиғаның дәл т рет пайда болу ықтималдығы мынаған тең:
.
формуласын ықтималдықтардың биномдық үлестірімділігі не биномдық үлестірімділік заңы деп атайды.

-нің жуық формуласы
Сынау саны п үлкен болған сайын ықтималдықта Бернулли формуласымен есептеу қиындай түседі. Сондықтан ғалымдар осы формула жарық көрісімен-ақ, оған жуық формулаларды іздестіре бастаған. п жеткілікті үлкен болғанда, ол р мәні 0 мен 1-ге мейілінше жуық болмаған жағдайда төмендегі формуланы пайдаланады:
(1)
мұнда
(2)
(1) формуламен ықтималдықтың жуық мәнін табу өте оңай. Ол үшін
(3)
функциясының кестесін пайдаланамыз. (1-қосымша) функциясы симметриялы, яғни болғандықтан, кестеде х-тің оң мәндері ғана келтірілген. Сонымен, (1) формула
(4)
түрінде жазылады.

Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы
Муавр-Лапластың теоремасы. Егер әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты және ол болса, онда сынау саны жағдайда оқиғаның орындалу санының және аралығында болу ықтималдығы

интегралына ұмытылады, яғни
(5)
болады, мұндағы
,
(5) теңдіктің оң жақ бөлігіндегі интеграл элементар функциялар арқылы есептелмейді. Сондықтан мына Лаплас функциясын енгіземіз:
(6)
Бұл функцияның таблицасы кітап соңында беріледі. (2-қосымша). Мұның қасиетін пайдалану арқылы (5) теңдікті ықшам түрде былай жазамыз:
(7)
немесе
(7)
Мұны Лапластың интегралдық формуласы дейміз.
Лаплас функциясының мынадай қасиеттері бар.
1. функциясы тақ функция, яғни .
2. функциясы монотонды өспелі, яғни болса, онда болады.
3. х шектеусіз өскенде функциясы 0,5-ке ұмтылады, яғни болады. Сондықтан .
4. қисығы координаталар бас нүктесіне қатысты симметриялы. Мұның екі горизонтал асимптотасы бар, өйткені ; . Ал болғанда .
5. функциясының мәні х-тің аз мәнінде де 0,5-ке жуық, сондықтан мәндерінде есептеудің қажеті жоқ. Таблицада х-тің 5-ке дейінгі мәні келтірілген.

6 дәріс. Бернулли, Лаплас және Пуассон формулары
Муавр-Лапластың шектік интегралдық формуласы теория мен практикада ерекше орын алады. Алдымен мынадай қасиеттерін келтірейік:
10. (8)
теңдігінің орындалуын дәлелдейік.
Дуі: теңсіздігін өзіне пара-пар теңсіздіктермен ауыстыруға болады, бірақ бұдан ықтималдық мәні өзгермейді. Сонда , не болады. Бұдан . Сонда
,
Олай болса, (7) формуладан (8) формуланы аламыз.
20. (9)
теңдігінің орындалуын дәлелдейік.
Дуі: теңсіздігінен екені шығады. Олай болса, орнына -ді қойып, 10-қасиеттен (9)-формуланы аламыз. Енді мынадай енгізулер жүргізейік:
(10)
(11)
мұндағы р-ны сенімділік ықтималдық (доверительная вероятность или надежность), п-ді сынау (таңдама көлемі), -ді абсолюттік қате (дәлдік) деп атайық.
Сонда (11) формуласы көмегімен төменде келтірілген үш типті есептер шешіледі.
1-есеп. Әрбір сынаудағы ықтималдық р тұрақты болып, берілген қате , сынау саны п бойынша сенімділік ықтималдық р-ны анықтаймыз. Ол үшін (11) теңдігінен х-тің мәнін табамыз, одан соң таблицадан - ті анықтап, екіге көбейтеміз.
2-есеп. Берілген р, сынау саны п, сенімділік ықтималдық р бойынша қате - ды мына формуламен табамыз:
(12)
мұндағы х-ті анықтау үшін р-ны екіге бөліп, таблицадан мәнін табу жеткілікті.
3-есеп. Берілген р, қате , сенімділік ықтималдық Р бойынша сынау саны п-ды мына формуламен табамыз:
(13)
мұнда да х-тің мәні 2-есептегідей анықталады.

7 дәріс . Дискретті кездйсоқ шама және олардың сипаттамалары
1. Бернулли формуласындағы үлкен сандар заңы
2. Пуассонның шектік теоремасы
Бернулли формуласындағы үлкен сандар заңы
Теорема. Әр қандай үшін сынау саны п мейлінше үлкен болғанда теңсіздігінің ықтималдығы бірге ұмтылады, яғни
.
Дуі: Теореманы дәлелдеу үшін теңдігінің екі жағынан болғанда шек аламыз. Сонда болады. Өйткені -ның кез келген тиянақты мәнінде , ал Лаплас функциясының 30 қасиеті бойынша д.к.о.е.
Бұл теорема салыстырмалы жиілік , сынау көлемі п және сенімділік ықтималдық р мәндері бойынша ықтималдық р-ны бағалайтын интервалды анықтауға мүмкіндік береді. Оны мынадай жолмен табамыз:
теңсіздігінен болады немесе екені шығады, мұндағы -тің мәні тәжірибеден алынады, ал -нің мәні былай табылады:
.
Пуассонның шектік теоремасы
Р-ның мәні 0-ге не 1-ге мейлінше жуық болмағанда және жағдайда Лаплас формуласының жуық асимптотикалық формула болатынын көрдік. болған жағдайдың ерекше мәні бар. Бұл жағдайда мына теорема орын алады.
Пуассон теоремасы. А оқиғасының әрбір сынауда пайда болу ықтималдығы болса ( -тұрақты және п-нен тәуелсіз), онда өзара тәуелсіз п сынаудан құрылған серияда А оқиғасының дәл т рет пайда болу ықтималдығы

яғни ; мұндағы .
Бұл асимптотикалық формула өте сирек пайда болатын оқиғаларға тән заң. Мұны Пуассон формуласы немесе Пуассон заңы деп атайды.

8 дәріс. Дискретті кездейсоқ шамалардың кейбір үлістірімі
Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестіру заңдары
Тәжірибе нәтижесінде кездейсоқ Х шамасы мәндерінің бірін қабылдап, яғни қос - қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын жасайтын оқиғаларының бірі пайда болсын. Бірақ бұл жеткіліксіз. Өйткені мәнін қандай ықтималдықпен қабылдайтынын да білу қажет. Бұл оқиғалардың ықтималдықтарын сәйкес арқылы белгілейміз, яғни оқиғалардың толық тобын жасағандықтан,

яғни кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндері ықтималдықтарының қосындысы бірге тең. Бұл ықтималдықтар қандай да бір жолмен -дің дербес мәндеріне үлестіріп таратылып отыр.
Сонымен, кездейсоқ шама мәндерімен оларға сәйкес ықтималдықтарды байланыстыратын ереже дискретті кездейсоқ шаманың үлестіру заңы делінеді. Бұл заң таблица, график немесе формула түрінде өрнектелуі мүмкін.
І. Үлесіру таблицасы
Кездейсоқ шама мәндері
Х
Х1
Х2
...
Хn
қосынды
Кездейсоқ шама мәніне сәйкес ықтималдық

P1
P2
...
Pn

1-мысал. Екі ойын кубы ұпайлары қосындысының ықтималдықтарының үлестіруін көрсету керек.
1-куб ұпайлары
2-куб ұпайлары

1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)

Сонда үлестіру таблицасы төмендегідей болады.
Ұпай саны
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
қосынды
ықтималдығы

9. Оқушылардың математикалық кешіне арналған жиында лотерея ұйымдастырылды. Онда 100 лотерея билеті сатылған. Лотереяда үш түрлі деңгейде ойналады: 50-і 1 тенгеден, 10-ы 2 тенгеден, 5-еуі 3 тенгеден тұрады. Бір билет алған оқушы ұтысының үлестіру заңын анықтау керек.
Х
0
1
2
3
қосынды
Р
0,35
0,5
0,1
0,05
1

3-мысал. Атқыштың нысанаға тигізу ықтималдығы р-ға тең. Атқыш қашан нысанаға тигенше оқ атады, нысанаға тиісімен ату тоқтатылады. Үлестіру кестесін құру керек.

1
2
3
...
п
...

р

.
ІІ. Үлестіру көпбұрышы.
Енді кесте түрінде келтірілген кездейсоқ шама үлестіруін график түрінде де көрсетуге болатынын қарастырайық. Ол үшін абсциссалар осі бойына Х кездейсоқ шамасы мәндерін, ординаталар осі бойына сәйкес ықтималдық мәндерін саламыз. Сөйтіп ықтималдықтар үлестіруінің графигін жасаймыз. Ол екі түрде көрсетіледі.

Енді үлестіру заңының формула түрін қарастырайық. Биномдық, пуассондық, геометриялық үлестірулерді қарастырайық.
1. Биномдық үлестіру формуласымен берілетінді, мұнда .
10. Оқушы бір-біріне ұқсас емес үш есеп шығарады. Оқушының әрбір есепті шығару ықтималдығы бірдей және ол 0,6-ға тең. Әрбір шығарылған есеп үшін оқушыға 5 ұпайдан есептейді. Шығарылған есептердің үлестіру кестесін анықтау керек.
Шешуі: Х арқылы ұпай санын белгілейік.
Х - тің мәндері: болады.
Бернулли формуласы бойынша
: . ; ;

Х
0
5
10
15
қосынды

0,064
0,288
0,432
0,216
1

2. Пуассондық үлестіру. формуласымен өрнектеледі.
3. Геометриялық үлестіру. формуласымен өрнектеледі.
9 дәріс. Үзіліссіз кездейсоқ шамалар және олрадың сипаттамалары.
1. Кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы және үлестіру тығыздығы
2. Үлестіру функциясының қасиеттері
3. Ықтималдықтар үлестіруінің тығыздығы
Кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы
және үлестіру тығыздығы
Кездейсоқ шамаларды қарастырғанымызда дискретті және үздіксіз шамалардың болатынын айттық. Дискретті кездейсоқ шаманы оның барлық мәніне сәйкес ықтималдықтарымен берілген таблица арқылы көрсеттік, ал мұндай таблицаны үздіксіз кездейсоқ шама үшін құра алмаймыз. Сондықтан осыған байланысты үздіксіз кездейсоқ шамалар үлестіруін сипаттайтын заңды іздестіруге тура келеді. Әрине әрі дискретті, әрі үздіксіз кездейсоқ шамаларды сипаттайтын кейбір универсал үлестіру заңын табу қолайлы болар еді.
Кездейсоқ шама үздіксіз болғанда мәндеріндегі оқиғалар ұғымын пайдаланбайды, мұның орнына теңсіздігін алады. Мұндағы х-айнымалы шама. Бұл теңсіздікті, кездейсоқ шама х-тен кіші болатын барлық мүмкін мәндерді қабылдайды деп аталады, яғни . Сөйтіп, оның ықтималдығын түрінде жазады. Сондықтан бұл ықтималдық х-тің кейбір функциясы болады, оны деп белгілесек, онда немесе
(1)
болады. Бұл функцияны үлестіру функциясы немесе үлестірудің интегралдық функциясы деп атаймыз.
Х дискретті кездейсоқ шама болса, онда ол шекті немесе санамалы шексіз мәнді қабылдайды және оның әрбір мәніндегі ықтималдық болады. Сондықтан

Үлестіру функциясының қасиеттері

1. х-тің әрбір мәнінде болады.
Дуі: дейік. Ал болғандықтан, болады.
2. Кездейсоқ шама Х-тің үлестіру функциясы аргументтің теріс емес, кемімейтін функциясы болады, яғни болғанда, болады.
Дуі: болса, . Мұнда және оқиғалары үйлесімсіз. Олай болса,
.
Бұдан

Демек, .
3. аралығындағы мәндерді қабылдайтын кездейсоқ шама Х-тің ықтималдығы осы интервалдағы функциясының өсімшесіне тең, яғни
.
4. функциясы аралығының кез келген нүктесінде сол жағынан үздіксіз, яғни
.
5. Егер Х кездейсоқ шамасы аралығындағы барлық мәндерді қабылдаса, онда х-тің а-дан кіші барлық мәндерінде , ал мәндерінде .
Дуі: болса, онда мүмкін емес оқиға болады, олай болса, . Егер болса, онда ақиқат оқиға, демек, .
6. Егер кездейсоқ шама аралығындағы кез келген мәнді қабылдаса, онда болады.
7. Үздіксіз шаманың әрбір жеке мәніндегі ықтималдығы нөльге тең, яғни .
Мұны пайдаланып мынаны жазуға болады:
.

Ықтималдықтар үлестіруінің тығыздығы
Үздіксіз кездейсоқ шаманы ықтималдық тығыздығы (дифференциалдық функция) деп аталатын функциямен де беруге болады. интервалын алып, кездейсоқ шама Х-тің осы аралықта болу ықтималдығын анықтайық. Алдыңғы пункттегі 3-қасиет бойынша

бұл шама ықтималдықтың орташа тығыздығы делінеді. Егер
(2)
Бұл функция ықтималдық тығыздығы немесе ықтималдықтар үлестіруінің тығыздығы деп аталады.
Бұдан ықтималдық тығыздығы үлестіру функциясының туындысы екенін байқаймыз. Ал үлестіру функциясы болса, ықтималдық тығыздығы үшін бастапқы функция болып отыр. Сондықтан ықтималдық тығыздығы деу орнына ықтималдықтар үлестіруінің дифференциалдық заңы (функциясы деп те атайды). Үлестіру функциясын ықтималдық тығыздығы арқылы да анықтауға болады. Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша

Үлестіру функциясының 3-қасиеті бойынша

десек, онда
(3)
Бұдан дифференциалдық функция пен интегралдық функция бірін-бірі анықтайтынын байқаймыз.
Үлестіру тығыздығы үлестіру функциясы сияқты үлестіру заңының бір түрі болып есептеледі. Бірақ үлестіру функциясы дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамаларды сипаттайтын болғандықтан, олардың универсал заңы болады. Ал үлестіру тығыздығы болса, тек үздіксіз кездейсоқ шамаларды ғана сипаттайды.
Үлестіру тығыздығының қасиеттері:
10. х-тің барлық мәнінде үлестіру тығыздығы теріс емес, яғни .
Бұл (2) теңдігінен тікелей шығады, өйткені кемімейтін функция, ал .
20. Кездейсоқ шаманың мүмкін мәніндегі интервалдың барлық ұзындығы бойынша алынған үлестіру тығыздығының интегралы бірге тең, яғни
(4)
Мысалдар. 1. Бірқалыпты үлестіру
Егер ықтималдық тығыздығы
f(x)
b
a
x

болса, онда Х кездейсоқ шамасының үлестіруін бірқалыпты делінеді.
Енді бойынша мәнін анықтайық. Егер болса, онда анықтамасы бойынша
болғанда

болғанда

Демек,

2. Үлестірудің нормаль (қалыпты) заңы.
Тығыздығы функциясы болған үздіксіз кездейсоқ шама ықтималдықтарының үлестіруін нормаль заң (үлестіру) делінеді. Мұндағы - математикалық күтім, - орташа квадраттық ауытқу деп аталатын параметрлер.
f(x)
b
a
x
функциясы графигін нормаль қисық немесе Гаусс қисығы деп аталады. функциясының болғандағы дербес түрі функциясы толық зерттелген болатын.
Нормаль заңымен үлестірілген кездейсоқ шаманың интервалында болу ықтималдығы

формуласымен есептеледі.
Егер десек, онда .
Бұл тұжырымды үш алма ережесі деп атайды, оны нормаль заңға бағынатын кездейсоқ шаманың аралығынан шықпауын мейлінше бірге жуық ықтималдықпен айтамыз.

10 дәріс.Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың кейбір заңдары
Кездейсоқ шама функциясы,
кездейсоқ шамаларға қолданылатын операциялар
1. Кездейсоқ шама Х пен тұрақты К-ның көбейтіндісінен шыққан жаңа кездейсоқ шама мәндері сол кездейсоқ шама Х мәндерін к еселегенге тең де ықтималдықтары Х-тің ықтималдығындай болады.
Х
х1
х2
х3

р1
р2
р3

кх1
кх2
кх3

р1
р2
р3

2. Егер
Х
х1
х2
х3

р1
р2
р3
болса, онда
Х

р1
р2
р3
болады.
1-мысал.
Х
0
5
10
15

0,06
0,29
0,43
0,22
онда

0
10
20
30

0,06
0,29
0,43
0,22

0
1
2
3

0,06
0,29
0,43
0,22

0
25
100
225

0,06
0,29
0,43
0,22

3. Алдымен екі Х және У дискретті тәуелсіз кездейсоқ шамаларын қарастырайық. Бұлардың үлестіру заңдары және болсын. Олай болса, Х және У-тің тәуелсіздігінен екі өлшемді кездейсоқ шаманың үлестіру заңы толық анықталады, өйткені

Демек, Х және У шамалары қосындысының, айырмасының, көбейтіндісінің әртүрлі функциялары да анықталған деуімізге болады. болсын. Әрине -те дискретті кездейсоқ шама болады.
3-мысал.
Х
2
3

0,3
0,7

У
1
2
3

0,2
0,5
0,3

Кестелерінде келтірілген Х және У үлестіруі бойынша үлестіру функцияларын құру керек.

1
2
3
4
5
6
7
1
2
1
3
1
2

2
2
2
4
0
4

3
2
3
5
-1
6

4
3
1
4
2
3

5
3
2
5
1
6

6
3
3
6
0
9

3
4
5
6

0,06
0,29
0,44
0,21

-1
0
1
2

0,09
0,36
0,41
0,14

2
3
4
6
9

0,06
0,14
0,15
0,44
0,21

11 дәріс .Үлкен сандар заңдылығы
1. Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары
2. Математикалық күтім (орта). Математикалық күтімнің қасиеттері
3. Дисперсия. Дисперсияның қасиеттері

Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары
Үлестіру заңы кездейсоқ шаманы сипаттайтынын көрдік. Көптеген практикалық мәселелерді шешкенде кездейсоқ шаманың үлестіру заңын іздестірмей-ақ, сол үлестірудің маңызды ерекшелігін қамтитын кейбір сандық сипаттамаларымен қанағаттануға болады.
Ықтималдықтар теориясында бұл сандық сипаттамалар мен оларға қолданылатын амалдардың ролі өте-мөте зор. Осы сандық сипаттамаларды білу нәтижесінде көптеген ықтималдықтар есептерін шешу жеңілденеді. Әрине, мұндай сандық сипаттамалар көп-ақ. Біз солардың ішінен математикалық күтім, дисперсия, орташа квадраттық ауытқу және реттік моменттерді қарастырамыз.
Математикалық күтім (орта)
Анықтама. Дискретті кездейсоқ шама Х-тің математикалық күтімі деп оның барлық мүмкін мәндерін сәйкес ықтималдықтарына көбейтілген қосындысын айтамыз, оны деп белгілейміз, сонда
(1)
Ал Х үздіксіз кездейсоқ шама болса
(2)
болады.
1-мысал.
Х
1
2
3

0,5
0,2
0,3

;
2-мысал. аралығында бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық күтімін анықтау керек.
;
Бернулли схемасы бойынша үлестірілген кездейсоқ шама үшін . Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шама үшін болады.

Математикалық күтімнің қасиеттері
10-қасиет. Тұрақты шаманың математикалық күтімі сол тұрақтыға тең, яғни .
20-қасиет. Тұрақтыны математикалық күтім таңбасының сыртына шығаруға болады, яғни .
30-қасиет. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің қосындысына тең, яғни .
1-салдар. .
2-салдар. Екі кездейсоқ шама айырымының математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің айырымына тең, яғни .
3-салдар. Кездейсоқ шама мен тұрақтыны шама қосындысының (айырмасының) математикалық күтімі сол кездейсоқ шаманың математикалық күтімі мен сол тұрақтының қосындысына (айырымына) тең, яғни .
4-салдар. сызықтық функциясының математикалық күтімі аргументтен алынған математикалық күтімнің сызықтық функциясына тең, яғни .
40-қасиет. Тәуелсіз екі кездейсоқ шама көбейтіндісінің математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің көбейтіндісіне тең, яғни
Дисперсия
Қандай да тәжірибе болмасын көптеп қайталаудан шыққан нәтиже туралы мәлімет қажет болғанда, математикалық күтім мәнінің ролі зор екенін көрдік.
Анықтама. Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтімі айырымының квадратының математикалық күтімін дисперсия дейді және деп белгілейді.
Сонда, анықтама бойынша
(1)
Егер Х дискретті кездейсоқ шама болса,
(2)
формуласымен өрнектеледі.
Егер Х үздіксіз болса, онда дисперсия
(3)
формуласымен есептеледі.
Квадраттық түбірден алынған дисперсияны орташа квадраттық ауытқу дейміз және деп белгілейміз.
(4)

Дисперсияның қасиеттері
10-қасиет. Тұрақтының дисперсиясы нөльге тең, яғни .
Дуі:
20-қасиет. Тұрақтыны дисперсия таңбасының сыртына квадрат дәрежелеп шығаруға болады, яғни .
30-қасиет. Екі тәуелсіз кездейсоқ шама қосындысының (айырмасының) дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең, яғни .
1-салдар. Кездейсоқ шама мәніне тұрақты С-ны қосқаннан (азайтқаннан) дисперсия мәні өзгермейді, яғни .
2-салдар. .
40-қасиет. Кездейсоқ шаманың дисперсиясы сол кездейсоқ шама квадратының математикалық күтімі мен оның математикалық күтімі квадраттарының айырмасына тең, яғни .
50-қасиет. Тәуелсіз екі пен кездейсоқ шамалары көбейтіндісінің дисперсиясы мына формуламен анықталады.
.
1-мысал. Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шама дисперсиясын анықтау керек.
Шешуі: Пуассон үлестіруінің

формуласымен өрнектелетінін білеміз. болатынын тапқанбыз.
болады.
, яғни немесе .
Қорыта келгенде, Пуассон заңындағы параметрлері әрі математикалық орташа, әрі дисперсияға тең екенін білеміз.
2-мысал. аралығында бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шама Х-тің дисперсиясын анықтау керек.
Шешуі: екені мәлім. Дисперсияны есептейміз.

яғни

12 дәріс .Математикалық статистиканың элементтері
Математикалық статистика
1. Статистикалық жиынтық. Жиынтық бірліктері
2. Вариациалық қатар
3. Эмпирикалық үлестіру функциясы
4. Вариациялық қатарларды графиктік кескіндеу
5. Үлестіру сипаттамалары
6. Арифметикалық орта
7. Құрылымдық орталар
8. Медиана
9. Квартильдер
10. Мода

Әрқашанда статистикалық бақылау объектілер жиынтығын қарастырудан басталады. Бұл объектілер әрқайсысы бір объектіден екінші объектіге өткенде өзгеріп отыратын көптеген белгілерімен сипатталады. Ал барлық белгілерді бірден қарастыру мүмкін емес. Сондықтан зерттеуші олардың ішіндегі біреуіне көңіл аударады да қалған белгілер үшін жиындағы объектілерді тең праволы деп ұйғарады, сөйтіп мұндай объектілер жиынын біртекті дейтін болады. Осындай тәсілмен жасалған біртекті жиынды статистикалық жиынтық деп атаймыз, ал оны объектілердің жиынтық бірліктері дейміз.
Статистикалық жиынтық сандық немесе сапалық белгіге ие болатын барлық біртекті объектілерді біріктірсе, ондай жиынтықты бас жиынтық деп атаймыз. Бас жиынтықтың бірліктер саны шекті де, шексіз де болуы мүмкін. Егерде бас жиын шексіз немесе өте көп болса, оны зерттеу үшін алынған оның бөлігін таңдама жиынтық деп атайды.

Вариациялық қатар
Бақылау нәтижесінде қарастырып отырған белгінің жиынтықтағы әрбір бірлікке қатысты сандық немесе сапалық өзгерісі туралы мәлімет аламыз. Ал белгінің мүмкін ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.