Ньютон формуласы

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 13 бет
Таңдаулыға:

2.ДӘРІС ТЕЗИСТЕРІ

№ апта
Дәріс тақырыбы және тезистер
Сағат көлемі
№1-2 дәріс

Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1. Қателіктер теориясы.
2. Қателіктердің жіктелуі.
3. Арифметикалық амалдар нәтижелерінің қателіктері.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Есептеу кезінде анализдік әдістерді пайдалану қиындық келтіргенде немесе тіпті пайдалану мүмкін болмаған жағдайда есептеу математикасының сандық әдістері қолданылады. Ол әдістер бастапқы берілген есепті мағынасы бойынша соған жуық басқа есеппен алмастыру мүмкіндігіне негізделген. Ал соңғы есеп кейбір шарттарды қанағаттандыруы тиіс. Мәселен, шешімінің бар болуы, орнықты, жинақты болуы және т.с.с. Бұл есептің шешімі алғашқы есептің жуық шешімін беруі тиіс немесе оған белгілі бір дәлдікпен жинақталуы қажет.
Дәл шешім мен жуық шешім айырмасы әдіс қателігі немесе дөңгелектеу қателігі деп аталады.
Қателіктер 3 түрге бөлінеді:
1 .Әдіс қателігі;
2 .Жөнделмейтін (түзетілмейтін) қателік;
3 .Есептеу қателігі.
Әдіс қателігі берілген есепті шешу үшін таңдалған сандық әдістен тәуелді болады. Осыған байланысты әр әдістің қателігін бағалау формуласы әртүрлі болады.
Жөнделмейтін (түзетілмейтін) қателіктер - есептің бастапқы берілгендерінен, коэффициенттерінен, шарттарынан тәуелді қателіктер.
Есептеу қателігі жуық шешімдерді алу барысында қолданылатын математикалық есептеулер кезінде қолданылатын сандарды дөңгелектеуден тәуелді.
Егер x саны - дәл мән, x[*] саны оған белгілі жуықтау болса, онда жуықтаудың абсолютті қателігі деп - олардың айырымын, ал шектік абсолютті қателігі деп мына шартты қанағаттандыратын қателікті айтады: .
Жуықтаудың салыстырмалы қателігі деп келесі шартты қанағаттандыратын шартты айтады:
немесе .
Санның мәнді цифрлары деп оның жазылуындағы солдан бастағанда нөлден өзгеше барлық цифрларын айтады.
Мәнді цифрды дұрыс дейді, егер санның абсолютті қателігі осы цифрге сәйкес разряд бірлігінің жартысынан аспаса, кері жағдайда күмәнді цифр деп атайды.
Арифметикалық амалдар нәтижелерінің қателіктері:
1. Қосындының қателіктері. F(x)=x=x1+x2+x3+...+xn қосындысы берілсін.
a) қосындының абсолютті қателігі: .
Егер болса, онда , ал n=10 болса, Чеботарев формуласы қолданылады: .
b) қосындының салыстырмалы қателігі:
. Мұндағы , , .
2. Айырымның қателіктері. X=x1-x2, x1x20 болсын және азайғыш пен азайтқыштың жуық мәндері мен абсолютті қателіктері белгілі болсын.
a) айырымның абсолютті қателігі: .
b) айырымның салыстырмалы қателігі:
.
3. Көбейтіндінің қателіктері. x=x1*x2*...*xn көбейтіндісі берілсін. Көбейткіштердің жуық мәндері және абсолютті, салыстырмалы қателіктері белгілі болсын.
a) көбейтіндінің абсолютті қателігі:
.
b) көбейтіндінің салыстырмалы қателігі:
4 Бөліндінің қателігі: бөліндісі берілсін. Алымы мен бөлімінің жуық мәндері, абсолютті, салыстырмалы қателіктері берілген болсын.
a) бөліндінің абсолютті қателігі: .
b) бөліндінің салыстырмалы қателігі: .

2
№3 дәріс

Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1. Графиктік әдіс.
2. Жартылай қақ бөлу (дихотомия) әдісі.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Графиктік әдіс.
Айталық
(1)
теңдеуінің түбірлерін анықтау керек, мұнда - қандай да бір ақырлы немесе ақырсыз аралығында анықталған және үзіліссіз функция.
Анықтама 1. фунқциясын нөлге айналдыратын, қандай да бір x мәні (1) теңдеудің түбірі деп аталады.
Анықтама 2. f(x) функциясының анықталу облысына тиісті (1) теңдеудің тек бір ғана түбірі жататын аралықтарын анықтау теңдеудің түбірлерін жекешелеу деп аталады.
Анықтама 3. Түбірлерді жекешелеу кезінде анықталған аралықтағы теңдеудің түбірі үшін қабылданған бастапқы жуықтауды дәлдіктің дәрежесіне дейін жеткізуді түбірді дәлдеу деп атайды.
(1) теңдеудің тек бір түбірі жатқан кіші аралықты анықтау үшін математикалық талдау курсынан келесі теорема колданылады.
Теорема. Егер аралығында анықталған, әрі үзіліссіз фунқциясы және нүктелерінде қарама-қарсы таңбалы мәндерді қабылдаса, яғни
(2)
теңсіздігі орындалса, онда осы аралықта (1) теңдеуінің кем дегенде бір түбірі болады.
Ал егер осындай функциясының туындысы бар болып және ол осы аралығында таңбасын өзгертпесе, онда аралығында (1) теңдеудің жалғыз түбірі болады.
(1)-ші теңдеудің нақты түбірлері қайсысының Ох осімен қиылысқан нүктелерінің абсциссалары болғандықтан түбірлерді жекешелеуді графиктік әдіспен анықтасақ болады.
Графиктік әдісінің алгоритмі:
1) (1) теңдеуді өзімен пара-пар теңдеумен алмастыруға болады

мұндағы - функциялары функциясына қараған-да қарапайым фунқциялар болуы тиіс;
2) және функцияларының графиктерін саламыз;
3) осы графиктердің қиылысу нүктелерінің абсциссаларын анықтаймыз;
4) Егер табылған абсциссалар мәндері (2) теңсіздікті қанағаттандырса, онда осы графиктердің қиылысу нүктелерінің абсциссалары берілген теңдеудің ізделінді түбірлері болып табылады. Егер (2) теңсіздік орындалмаса, онда 3-ші пунктке ораламыз.
Жартылай қақ бөлу (дихотомия) әдісі.
(1) теңдеу берілсін. функциясы кесіндісінде үзіліссіз болсын және (2) теңсіздік орындалсын. кесіндіде жатқан (1) теңдеудің түбірін табу үшін осы кесіндіні қақ ортасынан бөлеміз.
Егер болса, онда берілген теңдеудің түбірі болып табылады, ал кері жағдайда, егер ,
онда кесіндіні қарастырамыз, әйтпесе кесіндіні қарастырамыз.
Әрі қарай , яғни немесе кесіндісін тағы қақ бөлеміз. Нәтижесінде қандай да бір қадамда не (1) теңдеудің дәл түбірін аламыз, не бір бірінің ішінде орналасқан шектеусіз тізбектерді аламыз.
(3)
жағдайда итерациялық процесті тоқтатамыз. Шешімнің қателік бағасының формуласы
.
1
№4 дәріс

Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1.Хорда әдісі.
2.Жанамалар (Ньютон) әдісі.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Хорда әдісі.
теңдеуінің аралығындағы берілген дәлдік-пен түбірін табу керек. Екі жағдай болуы мүмкін
1) , 2) .
Бірінші жағдайда және нүктелерінен өтетін хорда мен Ох осінің қиылысу нүктесін табу үшін болғанда келесі формуланы қолданамыз:
(4)
Екінші жағдайда хорда әдісі үшін келесі негізгі формуланы аламыз
(5)
Егер теңдеуінің -дағы дәл түбірін деп, ал хорда әдісімен табылған түбірінің жуық мәнін деп алсақ, онда осы жуык мәннің қателік бағасы

Итерация процесін

болғанда тоқтатамыз, мұнда 0 қандай да бір аз шама.
Жанамалар (Ньютон) әдісі.
теңдеуінің түбірі кесіндісінде жекеленген, үзіліссіз және анықталған таңбаны сақтайтын, сонымен қатар кесіндісінде үзіліссіз болсын. Ньютон әдісі у=f(x) қисығынын доғасын қисыктың қандайда бір нүктесінде жүргізілген жанамамен алмастырғанмен пара-пар.
Жанамалар (Ньютон) әдісінің негізгі формуласы:
(6)
Қателік бағасы

мұндағы х* - түбірдің дәл мәні;
- түбірдің жуық мәні.

1
№5-6 дәріс
Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1. Гаусс әдісі.
2. Квадрат түбірлер әдісі.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Гаусс әдісі.
Гаусс әдісі белгісіздерді біртіндеп жою негізінде әртүрлі сұлба бойынша іске асырылуы мүмкін. Есептеу сұлбасын қандай да бір нақты мысалда қарастырған ыңғайлы. Сондықтан төртінші ретті теңдеулер жүйесін қарастырайық:

(1)

( - бас элемент деп аталады) деп ұйғарайық. Гаусс әдісімен (1) сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу процесі үшбұрышты теңдеулер жүйесін
(2)
құрумен пара-пар. Бас элементтің нөлден өзге болуы Гаусс әдісінің қолданылуының қажетті және жеткілікті шарты болып табылады.
Гаусс әдісінің тура жүрісі- коэффициенттерін табу
1) ,
2) , мұнда
3) , мұнда
4) .
Гаусс әдісінің кері жүрісі - белгісіздердің мәнін есептеу процесі.
Квадрат түбірлер әдісі.
сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін, мұндағы А симметриялы матрица, яғни .
Тура жүрісі. А матрицасын өзара транспонирленген екі үшбұрышты матрицаларының көбейтіндісі ретінде жазуға болады
, (1)
мұндағы
,

Т матрицасының элементтерін аныктау үшін және Т матрицаларын көбейтіп А матрицасына теңестіреміз.
(2)
(5) қатынас орындалса, (1) теңдеу келесі екі теңдеумен пара-пар
. (3)
Кері жүрісі. (7) теңдеулерді жүйе арқылы жазамыз

және

Осы жүйелерден біртіндеп у және х мәндерін табамыз:

2
№7-8 дәріс

Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1. Жай итерациялық әдіс.
2. Зейдель әдісі.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Жай итерация әдісі.
Сызықтық теңдеулер жүйесінде белгісіздер саны көп болған жағдайда жүйенің түбірлерін табу үшін жуықталған сандық әдістерді қолданған ыңғайлы.
(1)
сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін және деп үйғарайық Берілген (1) жүйені нормаль (келтірілген) жүйеге келтірейік
(2)
мұндағы
егер ;
, егер .
Бастапқы жуықтау ретінде бос мүшелерді аламыз
.
Жалпы алғанда (2) жүйеден -ші жуықтау келесі формулалар арқылы табылады
(3)
Егер келесі шарттардың ең болмағанда біреуі орындалса
(4)
немесе
. (5)
онда (3) итерация процесі бастапқы жуықтауды таңдауға тәуелсіз осы жүйенің жалғыз шешіміне жинақталады, яғни
.
Итерация процесін
(6)
болғанда тоқтатамыз, мұнда қандайда бір аз шама.
Зейдель әдісі.
(2)-ші келтірілген сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін. Түбірдің бастапқы жуықтауын еркін түрде таңдаймыз. Зейдель әдісі бойынша түбірдің +1 жуықтауын келесі формула бойынша есептейміз

Итерация әдісінде қарастырылған шарттар Зейдель әдісі үшін де тура. Зейдель әдісі итерация әдісіне қарағанда жақсы жинақталады.
2
№9 дәріс

Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1. А.Н.Крылов әдісі.
2. А.П.Данилевский әдісі.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
А.Н.Крылов әдісі.
Кез келген бастапқы вектор берiлсiн, ал мына формуламен анықталады:

Сонда (1) сипаттамалық теңдеуiнiң коэффициентi мына жүйенi бередi

-лердiң мәндерiн анықтағаннан кейiн меншiктiк векторы мына формуламен есептеледi

мұндағы

А.П.Данилевский әдісі.
Бұл әдiстiң мәндiлiгi n-1 түрлендiруiнен кейiн берiлген А матрицасы өсiне сәйкес Фробениус В матрицасына көшедi.
(1) сипаттамалық теңдеуiнде Рk iзделiндi коэффициенттерi бар.

В матрицасының элементтерi мына формуламен есептеледi:

мұндағы - түрлендiру, сондықтан . нөлге жақындағанда процесс туындауы мүмкiн. Меншiктiк вектор меншiктiк мәнiне сәйкес мына формуладан анықталады.

.
Мұндағы

1
№10-11 дәріс

Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1. Функцияны жуықтау әдістері.
2. Тең емес арақашықтықта орналасқан түйiндерге арналған Лагранждың интерполяциялық формуласы.
3. Ньютонның интерполяциялық формулалары.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Функцияны интерполяциялау мәселесі.
функциясы берiлген және оның мәндерi кесте түрiнде берiлген. - функциясы сияқты - кез келген функциясы да нүктелерiнде дәл сондай мәндердi қабылдайды, ал берiлген аралықтағы өзге нүктелерде функциясының қабылдайтын мәнiне, таңдалынған дәлдiкпен ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.