Бастауыш сыныптарда геометриялық ұғымдарды оқыту

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 65 бет
Таңдаулыға:

Бастауыш сыныптарда геометриялық ұғымдарды оқыту

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫC

Ф 7. 02-14

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ . . . 3

1 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ҰҒЫМДАРДЫ ОҚЫТУДЫҢ ПЕДАГОГИКАЛЫҚ-ПСИХОЛОГИЯЛЫҚ НЕГІЗІ

1. 1 Геометрияның шығу тарихы . . . 5

1. 2 Геометрияны оқытудың міндеттері . . . 13

2 Бастауыш сыныптарда геометриялық ұғымдарды оқыту әдістемесі

2. 1 Геометрия фигуралары және оларды жіктелуі . . . 22

2. 2 Геометрия фигураларын кескіндеу және салу . . . 36

2. 3 Нүкте кординаттары және қозғалыс бағыты . . . 40

ҚОРЫТЫНДЫ . . . 63

ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР. . . . 64

КІРІСПЕ

Зерттеудің өзектілігі: Елбасымыз Н. Ә. Назарбаев «Қазақстан жол-2050: Бір мақсат, бір мүдде, бір болашақ» атты Қазақстан Жолдауында білім берудің басымдықтарын атап өтті. Жолдауда: «Барлық дамыған елдерде өзіндік сапалы оқыту жүйесі бар. Ұлттық білім берудің барлық сатысында білім сапасын арттыруға біздің міндетте тұр» делінген болатын[1] .

Осыған орай бүгінгі таңда қоғамымыздың даму бағытында жан-жақты дамыған сауатты, саналы азамат тәрбиелеу мәселесі жүктеліп отыр, бұдан келешек ел болашағы − жас ұрпактың белсенділігі мен іскерлігіне тікелей байланысты болмақ. Сондықтан саналы, салауатты, ұғымды, халқымыздың барлық дәстүріне де, әлем мәдениетіне де қанық ел тізгінін берік ұстай білетін ұрпақ тәрбиелеу бізге сеніп тапсырылып отыр. Білім беруге қазіргі заманғы қойылатын басты талап - оның сапасын арттыру.

Олай болса, ұстаздар алдындағы басты міндет ХХІ ғасыр - білім ғасырының есігін еркін ашып кіре алатын, дүние жүзілік мәдениетті танып, ұлттық төл мәдениетті қадірлей білетін, рухани жан - дүниесі бай, ой - өрісі дамыған жоғары білімді, заман талабына сәйкес белсенді ұрпақ тәрбиелеу ұстаздар қаумының басты міндеті болып қала бермек.

Білім беру жүйесіндегі математика пәні мұғалімдерінің алдында тұрған басты мақсаттың бірі - әрбір баланы тұлға ретінде интелектуалдығын, шығармашылық қабілетін дамытуға балалардың бейімділігін және қабілетін ескеріп, олардың математикалық мәдениетін, геометрия туралы түсініктерін қалыптастыруға, оның қазіргі замандағы орны мен ролін көрсетуге бағытталған осы заманның талаптарына сай мектеп геометрия курсын оқыту болып табылады.

Бүгінгі ел болашағын айқындайтын басты көрсеткіштің бірі сапалы білім болып табылады. Бүгінгі мектеп партасында отырған бүлдіршіндер ертең ел тағдырын шешетін азаматтар. Ал, олардың сапалы білім алуын бүгін қамтамасыз ету − мұғалімнің басты міндеті. Әрине, бұл білім беру жүйесінің барлық буындарына, соның ішінде бастауыш буынға, зор жауапкершілік жүктейтіні белгілі. Себебі, бастауыш білім - үздіксіз білім берудің алғашқы бастапқы сатысы, бұл оқушы тұлғасы мен санасының дамуы қуатты жүретін ерекше құнды қайталанбайтын кезеңі болып табылады. Сонымен бастауыш сынып балаларының білуге деген ынтасы мен мүмкіндіктерін толық пайдалану, оқу үрдісінде үздіксіз дамыту және сабақ барысында алатын білімдерін тәжірибеде қолдану дағдыларын қалыптастыру, жаңртылған бағдарлама негізінде геометриялық ұғымдарды оқыту ең бір маңызды болып табылады.

Бастауыш сыныпта геометриялық ұғымдарды оқыту және оны жалпы түрде дамыту аса маңызды мәселелердің бірі болып табылады.

Бастауыш сыныптарда жаңартылған бағдарлама негізінде геометриялық ұғымдарды оқып үйренуде балаларда геометриялық фигуралар жəне олардың жіктелуі, геометриялық фигураларды кескіндеу жəне салу, нүктелер кординаттары жəне қозғалыс бағыты, геометриялық есептер туралы айқын түсініктерін және алғашқы ұғымдарын қарастырылады. Мұнда геометриялық жаттығулар мен есептер жүйесі және олармен жұмыс істеу әдістемесі балаларда кеңістік ұғымының, бақылау, салыстыру, абстракциялау және жалпылау біліктерінің дамуына ықпал жасайды және оқушыларда сызбалық және өлшеуіш аспаптардың көмегімен және оларсыз (көз мөлшерімен өлшеу, қолдан сызу т. с. с. ) өлшеудің және геометриялық фигураларды салудың практикалық біліктері қалыптастырылады.

Өйткені бастауыш сынып балаларының білуге деген ынтасы мен мүмкіндіктерін толық пайдалану, олардың оқу үрдісінде үздіксіз пайдаланып отыру және сабақ барысында алған білімдерін тәжірибеде қолдану дағдыларын қалыптастыру үшін геометриялық ұғымдарды оқыту арқылы балалардың ой-өрісін дамыту өзекті мәселе.

Зерттеудің мақсаты - бастауыш сыныптарда геометриялық ұғымдарды оқыту арқылы балалардың ой-өрісін дамыту.

Зерттеу объектісі - бастауыш мектептегі математика пәнін оқыту үрдісі.

Зерттеу әдістері - зерттеу тақырыбы бойынша психологиялық және педагогикалық, әдістемелік әдебиеттерді талдау, салыстыру, бақылау және қорыту.

Зерттеудің міндеттері:

1. Зерттеу тақырыбына байланысты әдебиеттермен танысып, шолу жасау және талдау;

2. Бастауыш сыныптарда геометриялық ұғымдарды оқыту арқылы балалардың ой-өрісін дамытудың мүмкіндіктерін айқындау.

3. Бастауыш сыныптарда геометриялық ұғымдарды оқыту арқылы балалардың ой-өрісін дамыту әдістемесін жасау.

Зерттеудің практикалық құндылығы - бастауыш сыныпта математикасын оқытуда; «Бастауыш оқыту педагогикасы мен әдістемесі» мамандығы студенттермен математиканы оқыту әдістемесі, есеп шығару практикумы пәндері мен практикалық сабақтарында; студенттердің педагогикалық практикасында қолдануға болады.

Зерттеу нәтижелерін қабылдау және енгізу: «Бастауыш сыныпта геометриялық мазмұнды есептерді оқыту» тақырыбындағы мақала «Ақпараттық қоғам және жастар» атты студенттердің дәстүрлі республикалық VII ғылыми-тәжірибелік конференция материалдары. 2-бөлім, Шымкент 2018 жылы сәуір айында жарық көрді.

Зерттеу жұмысының құрылымы: кіріспеден, екі тараудан және қорытынды мен қолданылған әдебиеттерден тұрады.

1 ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ҰҒЫМДАРДЫ ОҚЫТУДЫҢ ПЕДАГОГИКАЛЫҚ-ПСИХОЛОГИЯЛЫҚ НЕГІЗІ

1. 1 Геометрияның шығу тарихы

Геометриялық ұғымдар ежелгі уақытта - ақ пайда болған. Табиғаттағы денелердің әр түрлі формаларын (пішіндерін), атап айтқанда, өсімдік мен хайуанаттардың, таулар мен өзендердің иірімдерінің, айдың дөңгелек және орақ тәрізді және т. с. с. пішіндерін адам ерте кезден-ақ байқаған. Сонымен қатар адам табиғатты байқап қоймай, оның байлығын игерген, пайдаланған және практикалық іс - әрекет үрдісінде геометриялық мағлұматтарды жинақтаған.

«Геометрия» сөзі грек сөзінен шыққан, аудармасы жер өлшеу дегенді білдіреді. Осындай болып аталуы геометрияның жердегі өлшеу жұмыстарында қолданылуымен байланысты.

Геометрия ежелден келе жатқан денелердің формасы (пішіні) мен кеңістік қатынастарды оқытатын математиканың бөлімі болып табылады.

Бұл адамдар материалдық мұқтаждықтарынан еңбек қаруларын жасауға, тастарды тегістеп үйлер салуға, балшықтан ыдыс - аяқ мүсіндеуге және садаққа керме тартуға және т. б. мәжбүр еткенті.

Бұл адамның практикалық іс - әрекеті (іс - тәжірибесі) дерексіз ұғымдардың ұзақ уақыт ішінде қалыптасуына және қарапайым геометриялық тәуелдіктер мен қатынастардың ашылуына негіз болды [2] .

Таза практикалық мәселелерді шешуден геометрияның бастамасы ертерек туындаған, өйткені берілген мағлұматтар бойынша геометрияның тууы мен табыстары жердегі өлшеу есептерімен, көлем және ауданды есептеулерге байланысты болған(Ертедегі Египет, Вавилон, Ертедегі Греция) .

Сол уақыттың өзінде - ақ абстракты (дерексіз) ұғым ретінде қашықтық, ұзындығы сияқты ұғымдармен байланысты емес басқада қасиеттері ескерілмей, сәйкес физикалық дененің кеңістіктік қасиеттері сақталатын геометриялық дене ұғымы пайда болған.

Геометрия нақты дүниенің қасиеттерін, дүниеге келген күннен бастап (дәлірек айтқанда, геометриялық) зерттеген. Геометрияның шындық дүниемен жоғарыда аталған байланысы геометрияның бүкіл даму барысының мәнді белгісі болып табылады, сонымен қатар оқытылатын объектінің абстрактылық дәрежесі үнемі жоғары деңгейге көтеріліп отырады.

Логикалық байланыстар мен дәлелдеулерді тағайындау мұқтаждығынан уақыт өткен сайын, көптеген фактілер жинақталды да оларды қорытындылау мен жалпылау, сондай - ақ қандай да бір элементтердің басқаларына тәуелділігін айқындауды адамдар сезіне бастады. Осыдан бастап біртіндеп геометрия ғылымы жасалды.

Вавилон, Египет, Қытай, Үнді елдерінің математикалық шығармаларында геометрияның практикалық және қолданбалы салаларына үлкен мән берілген.

Өз дамуының алғашқы кезеңінде геометрия өнерге (мүсіндеу, архитектура) жақын тұрды да нақты дүниені көркем бейнелейді. Мысалы, ежелгі халықтар қамыстан себет тоқығанда, киім тіккенде, орамал және кілем тоқығанда кейбір қарапайым геометриялық фигураларды қолданған болатын. Мыңдаған жылдардан кейін геометрияның өнермен байланысын бізге келіп жеткен ол үй іргесіндегі және ішіндегі әшекейлер оны дәлелдеп отыр.

Кипр, Египет, Үнді және тағы басқа елдерде сақталған ыдыстар, геометриялық әшекейлердің паралель және перпендикуляр кесінділерден ғана тұратын қарапайым фигуралардан басталып, түзу және қисық сызықтардың күрделі комбинациясына (алма - кезек келуі) дейін дамығандығы жөнінде түсінік береді.

Күнделікті тіршілік, тұрмыс, еңбек қаруы тұрғысынан ғана алмай, өнер, мүсіндеу, архитектураға байланысты біршама кеңірек мағынада түсінілетін практика геометрия ғылымына жол ашты.

Біздің эрамызға дейінгі VII-IX ғасырларда Геометрия ежелгі Грецияда, онда логикалық дәлелдемелер жүргізу жүйелі түрде қолданыла бастағаннан кейін және негізіне бірнеше аксиомаларды алып бірінен екіншісі ой қорыту арқылы шығарылатын геометриялық сөйлемдерді бір жүйеге келтірген кезде ғылым ретінде қалыптасты[3] .

Ежелгі Грецияда шамамен біздің эрамызға дейінгі VI-X ғасырларда геометрия дамуының жаңа кезеңі басталды. Грецияда біздің эрамызға дейінгі V ғасырдың өзінде геометрияны жүйелі түрде баяндаған шығармалар болған еді. Алайда оның келелі табыс алғаны Евклидтің әйгілі «Бастамалары» (б. э. д. III ғасыр) еді.

Қазіргі мектептің деңгейіндегі геометриялық білімнің деңгейі Евклидтің «Бастамаларында» (бұдан 2200 жылдан бұрын) берілген болатын. Өз жұмысында Евклид өзінен бұрынғы ондаған ғалымдардың соның ішінде Фалес пен Пифагор, Демокрит пен Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс және т. б. еңбектеріне сүйенді[4] .

Адамдардың практикалық іс әрекетінде жинақталған жекелеген ғасырлар бойы геометриялық мағлұматтардан басталатын геометрия ғылымын жоғарыда аталған ғалымдар 3-4 жүз жылдың ішінде жетілдірудің жоғары деңгейіне көтерген. Өзіне дейінгілердің алған нәтижелерін Евклидтің тарихи еңбегі біріктірді және ретке келтірді де, сол кездегі геометриялық негізгі бөлімдерді бір жүйеге келтіріп «Бастамалар» атты еңбегін жарияланған.

Екі мың жылдың шамасында Евклид «Бастамаларында» геометрия берілген көлем мен баяндалу жолына сәйкес оқытылып келеді. Бұл еңбектің бастапқы алты кітабы планиметрияға, VII-X кітабы сандарды оқытуға, XI-XIII кітабы стереометрияға арналған.

Евклидтің «Бастамалары» бірнеше елде басылып шықты және әлденеше рет қайта басылып, ондаған тілге аударылып шықты. «Бастамалар» XVIII ғасырда орыс тілінде үш рет, ал XIX ғасырда төрт рет басылып шықты. Оның ең соңғы және біршама жетілдірілген (грек тілінен орыс тіліне) аудармасын біздің елдің ғалымы профессор Д. Л. Мордухай − Болтовский жасап, 1948-1950 жылдары жариялады.

Бүкіл әлемдегі Евклид кітабының өңделген түрі элементаралық геометрияның көптеген оқулықтары болып отыр, ал «Бастамалар» болса бірнеше ғасырлар бойы атақты математиктердің жиі қолданылатын кітабы болды. Геометрия алғаш рет адамзат тарихында «Бастамаларда» аксиоманың көмегімен және осы аксиомалардан логикалық тұрғыда келіп шығатын қорытындылар-теоремалар арқылы түсіндірілді.

Алгебра көмегімен Декарт координаталық әдіс арқылы XVII ғасырда геометриялық фигуралардың қасиеттерін оқытудың мүмкіндігін көрсетіп берді де, сол ғасырдың екінші жартысынан бастап геометрия ғылымында әрі қарай сапалық өрлеу басталды.

Сол уақыттан бастап аналитикалық геометрияның дамуы басталады. Ал, XVII-XVIII ғасырларда математикалық анализдің көмегімен фигуралардың қасиеттерін оқып-үйренетін дифференциалдық геометрия туындап өрбіді. Француз математиктері Ж. Дезарг пен Б. Паскаль негізі салына бастаған проективті геометрияның пайда болуы еңбектерінде осы кезеңге (XVII ғасырдың бірінші жартысы) дәл келеді. Француз математиктері Г. Монж бен Ш. Понселенің есімдерімен проективті геометрияның онан әрі дамуы байланысты болды.

XIX ғасырдың бірінші жартысында алғаш рет евклидтік емес, кейіннен Лобачевский геометриясы деп аталып кеткен жаңа геометрияны шығарған ұлы орыс математигі Н. И. Лобачевский геометрияда түбірлі өзгеріс жасады.

Геометрияның дамуындағы Лобачевскийдің жаңалығы жаңа кезеңнің бастамасы болды, ол адамзаттың нақты физикалық кеңістіктің қасиеттеріне деген көзқарасын өзгертті. Бұдан кейін көптеген жаңалықтар ашылды.

Геометрияны оқып-үйренудегі геометрияның дамуындағы маңызды қадам, кейіннен риман кеңістіктері деп аталатын, жаңа объектілер мен әдістердің ашылуына себеп болған неміс математигі Б. Риманның (1826-1866) жұмыстары болып табылады.

Геометрияда түрлендірулер топтарының (группаларының) теориясы XIX ғасырдың екінші жартысынан бастап аса маңызды орын алды. Норвегия математигі С. Лиман (1842-1899) теорияның үздіксіз топтарға (группаларға) байланысты негіздерін қалады. Оны ғылым терминдерінде неміс математигі Ф. Клейн (1849-1925) геометрияның, берілген түрлендірулер топтарына қатысты инвариантты қасиеттерін зерттейтін ғылым ретіндегі жаңа тұрғыдағы түсініктемесін тұжырымдаған болатын.

Француз математигі Э. Картонның (1869-1951) есімімен XX ғасырда геометрияның аса ірі жетістіктері байланысты болды. Ол симметриялық кеңістіктерді ашты және зерттеді, сондай-ақ геометриялық объектілерді сипаттайтын дифференциалдық теңдеулер жүйесін зерттейтін әдісті жасады.

Жеке математикалық пән боп геометрияның дамуында қалыптасқан алгебралық геометрия, сондай-ақ көпөлшемді риман кеңістігін зерттеудің қуатты әдісі тензорлық анализ туралы айтпау мүмкін емес еді[4] .

Қазіргі уақытта геометрия математиканың көптеген салаларымен ұштасып, тығыз байланысқан. Математиканың басқа салалары сияқты, геометрияда жаңа ұғымдардың жасалуы мен дамуының қайнар көзінің бірі - жаратылыстанудың, физиканың және техниканың қазіргі заманғы мәселелері болып табылады.

Геометрияны оқып-үйренуге мектепте математика курсында айтарлықтай орын берілген. Қазіргі оқылып жүрген жаңартылған оқу бағдарламасы негізінде мектепте оқытылатын дәстүрлі геометриялық білім мазмұнына да, оны оқыту жүйесіне де үлкен өзгерістер енгізді. Мектеп геометриясы курсын қазіргі заманғы ғылыми-техникалық прогрестің өскелең талаптарына сәйкес, аксиоматикалық тұрғыда құруда ұғымдар мен анықтамалар жүйесін жасауда қатаңдық күшейтіледі.

Евклид аксиомалары жүйесі негізінде барлық дүние жүзінің елдеріне геометрия курсы пән ретінде өзінің бүкіл өмір сүру кезеңінде құрылған.

Евклид геометриясының логикалық құрылымын математиканы дамыту барысында көптеген ғалымдардың жетілдірумен айналысуы түсінікті. Бастапқыда мұндай жетілдірулерді кейбір ғалымдар (Дж. Пеано, М. Пиери, М. Пэш, В. Ф. Каган) евклид геометриясының жекелеген бөлімдерін енгізе бастады. Кейін Давид Гильберт (1862-1943) геометрия аксиомаларының толық жүйесін құруды жүзеге асырды.

Дүние жүзінің көптеген елдерінде Д. Гильберттің «Геометрия негіздемелері» деп аталатын жұмысы мектеп геометриясы курсын құруға негіз болды.

Белгілі математик Г. Вейльдің 1918 жылы (1885-1955) «Векторлық» деп аталатын евклид геометриясының негіздемесі ұсынылды. Ол Вейль аксиоматикасы евклидтік (нүктелік) кеңістіктің теориясын сызықтық алгебра тіліне аударды. Бұл теоремалардың дәлелдемелерін алгоритмдеуді жүзеге асыруға мүмкіндік береді және геометрияны оқып-үйренудің жаңа «патшалық жолын» ашты. Н. Бурбакидің жұмыстарына байланысты математиканы «алгебраизациялау» қозғалысы пайда болды[5] . Бұл Вейль аксиоматикасы негізінде құрылған өлшемді геометрияның ерекше ролін мүмкін болатын ғылыми қолданулар тарапынан ғана емес, сонымен бірге орта мектептің оқу пәні ретіндегі Евклид-Гильберт геометриясын осы геометриямен ауыстыру мүмкіндігі тарапынан бағалауға алып келеді.

Кеңестер Одағында VI-VIII сынып оқушыларын стереометрия курсын (планиметрияны жалпылау) В. Г. Болтянский мен И. М. Ягломның Вейль аксиоматикасы негізінде оқып-үйренуге дайындау мақсатын көздеген эксперименттік оқулықтары, сондай-ақ стерометрия курсын Г. Вейль аксиоматикасына жақындатылған аксиоматика негізінде құрудың варианттарының бірін қамтитын Н. М. Рогановский мен А. А. Столярдың оқулығы шығарылды [6] .

Қазіргі уақытта мектеп геометриясы курсын Евклид геометриясының әртүрлі аксиоматикалық жүйелер негізінде құру идеясы өз жемісін бермей отырған жоқ.

Евклид жазықтығының аксиомалар жүйесін басшылыққа ала отырып мектеп геометриясының әртүрлі курстарын қарастырамыз.

Геометриялық ұғымдарды оқыту, геометриялық мазмұнды жаттығулар, салу есептер ғалымдар А. Н. Колмогоров [7], М. А. Бантова [8], В. М. Колягин [9], В. П. Стрикозин[10], Н. Г. Уткина [11], Л. П. Стойлова[12], Л. М. Дьякова [13], Д. Рахымбек[14], Т. Қ. Оспанов[15], М. Жакипова[16], А. Е. Әбілқасымова[17] еңбектерінде қарастырылған.

Геометриялық ұғымдарды оқытудағы оқушылардың психологиялық ерекшеліктері, геометрияның шығу тарихы, геометриялық салу есептері мен оқушылардың геометриялық білімін жетілдірудегі жаттығулар жүйесі туралы Әбілқасымова А. Е, Қоянбаев Б. М [18], Стрекозин В. П [19], Қосанов Б. М [20], Мұсабеков М. О[21], Т. С. Садықов [22], Г. Бекмурзина[23] еңбектерінде қарастырылған.

А. Н. Колмогоров[24] ұсынған планиметрия курсында аксиомалар жүйесі бойынша құрылған негізгі (анықталмайтын) ұғымдар ретінде төрт ұғым: нүкте, түзу, арақашықтық, жазықтық алынған, ал негізгі (дәлелденбейтін) сөйлемдер ретінде бес топқа бөлінген 12 аксиома алынған.

І. Тиістілік аксиомалары:

1. Әрбір түзу нүктелер жиыны болады.

2. Бір-бірінен өзгеше екі нүкте үшін оларды қамтитын бір, тек бір ғана түзу болады.

3. Кемінде бір түзу болады және әр түзуге кемінде бір нүкте тиісті болады.

ІІ. Ара қашықтықтар аксиомалары:

1. Кез - келген А мен В екі нүкте үшін А - дан В - ге дейінді ара қашықтық деп келіп аталатын теріс емес шама болады. А мен В нүктелері дәл келіп беттескенде, тек сонда ғана ара қашықтық нөлге тең болады.

2. А - дан В - ға дейінгі ара қашықтық В - дан А - ға дейінгі ара қашықтыққа тең болды: АВ = ВА.

3. Кез-келген А, В, С үш нүкте үшін А - дан С - ға дейінгі ара қашықтық А - дан В - ға дейінгі және В - дан С - ға дейінгі ара қашықтықтардың қосындысынан артық болмайды: АС ≤ АВ + ВС.

ІІІ. Реттік аксиомалары:

1. р түзуінің кез - келген 0 нүктесі р түзуінің 0 - дан өзгеше барлық нүктелерінің жиынын бос емес екі жиынға былайша бөледі:

а) әр түрлі жиынға тиісті кез - келген А мен В екі нүкте үшін 0 нүктесі А

мен В арасында жатады;

ә) егер де А мен В нүктелері бір ғана жиынға тиісті болса, онда олардың

біреуі екінші нүкте мен 0 нүктесінің арасында жатады.

2. Басы 0 нүктесіндегі, берілген сәуле бойындағы кез-келген а ара қашықтық үшін 0 нүктесінен ара қашықтығы а- а тең болатын бір, тек бір ғана А нүктесі болады: 0А = а .

3. Егерде С нүктесі А және В нүктелерінің арасында жатса, онда А, В, С нүктелері бір түзуге тиісті болады.

4. Кез-келген р түзуі жазықтықтың ол түзуге тиісті емес нүктелерін бос емес екі жиынға былайша бөледі:

а) әр жиынға тиісті кез-келген екі нүкте р түзуімен бөлінеді;

ә) бір ғана жиынға тиісті кез-келген екі нүкте р түзуімен бөлінбейді.

ІV. Жазықтықтың қозғалғыштық аксиомасы :

1. Егер АВ ара қашықтығы оң болып және ол А ₁ В ₁ ара қашықтығына тең

болса, онда екі, тек екі орын ауыстыру ғана болады да, олардың әрқайсысы А нүктесін А ₁ нүктесіне, ал В нүктесін В ₁ нүктесіне бейнелейді.

Егер α~АВ түзуімен шектелген жарты жазықтық болса, онда ол осы екі орын ауыстыру арқылы А ₁ В ₁ түзуімен шектелген әр түрлі α ₁ және β ₁ жарты жазықтықтарға бейнелейді.

V. Паралельдер аксиомасы:

1. А нүктесі арқылы берілген р түзуіне паралель болатын біреуден артық емес түзу өтеді.

Аксиомалар жүйесі бойынша құрылған А. В. Погорелов ұсынған планиметрия курсында негізгі ұғымдар ретінде түзу және нүкте, ал негізгі қатыс ретінде «тиісті болады», «арасында жатады» (түзудегі нүктелер үшін), «өлшеуші болады» (кесінді үшін ұзындық, бұрыш үшін градустық өлшем) алынған және де 6 топқа бөлінген 10 аксиома алынған[25] .

1. Нүктелер мен түзулердің негізгі тиістілік қасиеттері:

1. Қандай түзуді алсақ та, ол түзуге тиісті болатын нүктелер де, оған тиісті емес нүктелер де бар болады.

2. Кез-келген екі нүкте арқылы түзу жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

ІІ. Нүктелердің түзуде және жазықтықта өзара орналасуының негізгі қасиеттері:

1. Түзудегі үш нүктенің біреуі және тек біреуі ғана қалған екеуінің арасында жатады.

2. Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.

ІІІ. Кесінділерді және бұрыштарды өлшеудің негізгі қасиеттері:

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.