Айнымалыға тәуелді теңсіздіктер

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 58 бет
Таңдаулыға:

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: «Мектеп математика курсында тамаша теңсіздіктерді пайдалану әдістемесі»

МАЗМҰНЫ

Нормативтік сілтемелер

Анықтамалар

Белгілеулер мен қысқартулар

Кіріспе . . . 3

1. МЕКТЕП МАТЕМАТИКА КУРСЫНДАҒЫ ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫ ШЕШУ ЖОЛДАРЫ . . . 5

1. 1 Мектепте «теңсіздік» ұғымын енгізу және оқыту (бағдарлама бойынша) . . . 5

1. 2 Сандық теңсіздіктер . . . 6

1. 3 Айнымалыға тәуелді теңсіздіктер. Сызықтық теңсіздіктер . . . 8

1. 4 Квадраттық теңсіздіктер . . . 11

1. 5 Квадраттық радикалдарға байланысты теңдеулер мен теңсіздіктер

. . . . . . 14

2. ТАМАША ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫ ТҮРЛІ ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ДӘЛЕЛДЕУДЕ ПАЙДАЛАНУ ӘДІСТЕМЕСІ . . . 17

2. 1 Оггустин Луи Коши жайлы қысқаша мәліметтер . . . 18

2. 2 Коши теңсіздігі және оны дәлелдеу әдістері . . . 19

2. 3 Коши теңсіздігінің түрлі теңсіздіктерді дәлелдеуде және математика мен физика есептерін шешуде пайдаланылуы . . . 23

2. 4 Якоб Бернулли жайлы мәліметтер . . . 31

2. 5 Бернулли теңсіздіктері . . . 32

2. 6 Виктор Яковлевич Буняковский жайлы мәліметтер . . . 37

2. 7 Коши-Буняковский теңсіздігі . . . 38

2. 8 Коши-Буняковский теңсіздігін қолдану . . . 39

2. 9 Пафнутий Львович Чебышев . . . 47

2. 10 Чебышев теңсіздігі және оны пайдалану . . . 49

2. 11 Иоган Виллем Людвиг Вальдемар Йенсен . . . 54

2. 12 Йенсен теңсіздігі және оны қолдану . . . 54

Қорытынды . . . 58

Пайдаланылған әдебиеттер . . . 60

Қосымша

Кіріспе

Математика қазіргі кезде ғылым саласында ерекше орын алады. Математиканың ғылыми теориялық ізденістерімен бірге тәжірибелік қолданыстарының да ауқымының кең екені белгілі. Математиканы оқытуда математика ғылымынан мағлұмат алып, математикалық әдістерді меңгеріп, математикалық ойлауын дамытуға міндетті түрде қажет деп саналатын математикалық білім таңдап алынады.

Мектеп курсының алгебра пәнінде теңсіздіктерді дәлелдеу, сонымен қатар арифметикалық орта ұғымы мен геометрия сабағында геометриялық ортаны зерттеу қарастырылады. Аталған арифметикалық орта мен геометриялық орта және теңсіздіктер арасында байланысты орнату мәселесі қызықтыруы мол мәселелердің бірі екендігі анық. Бұл дипломдық жұмыста теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері белгілі бір нысаны бар теңсіздіктердің стандартты емес шешімін табуға бағытталған.

Дипломдық жұмыста осы мәселені тереңірек зерттеу нәтижесінде теңсіздіктерді пайдалану арқылы арифметикалық және геометриялық орталарының байланысын Коши теңсіздігі негізінде шешуге болатындығына арналған. Дипломдық арнайы әдебиеттерден танысып, жалпы теңсіздіктер тақырыбы мен тамаша теңсіздіктер, олардың колданылуын толық зерттеуге арналған. Гипотезаларды дәлелдеудің әртүрлі әдістерімен толық танысу мен зерттеу теңсіздіктер жайлы білімді толықтыру үшін ғана емес, сонымен қатар көптеген есептерді (соның ішінде олимпиадалық есептерді) шешу аталған принципке негізделгендіктен де пайдалы болуы мүмкін. Теңсіздіктерді дәлелдеу және шешуге арналған есептерді шығару, теңдеулер мен теңдеулер жүйесін, геометриялық және физикалық есептерді шығаруда түрлі теңсіздіктерді дәлелдеу принципі кеңінен қолдануға арналған зерттеулер қарастырылады.

Математикадан қорытынды емтихандар мен олимпиадаларда ұсынылатын есептерді шешу кезінде бітірушілерге кез келген белгілі математикалық әдістерді қолдануға болады. Қорытынды емтихандар мен олимпиадалар есептерін шешуде жалпы білім беретін мектепте оқытылған да, оқытылмаған да түрлі тәсілдерді ақпараттық мақсатта пайдалануға мүмкіндік беріледі. Осының барлығы жалпы білім беретін мектептің математикалық оқу бағдарламасына енбеген тұжырымдамалар мен ережелерге негізделген математикалық әдістерді түлектердің өз бетінше меңгеру қажеттілігін көрсетеді. Мұндай ұғымдарға, мысалы, Коши, Бернулли, Чебышев, Йенсен теңсіздіктерін жатқызуға болады. Бұл теңсіздіктерді пайдалану дәлелдеулер жүргізуді жеңілдетеді.

Бұл жұмыс мектеп бағдарламасы аясында да, одан тыс математика саласында да жеткілікті жоғары деңгейде білім алған, бірақ оны әлі де жетілдіргісі келетін оқушыларға арналған.

Дипломдық жұмыста жоғары сыныптардың алгебра курсының тапсырмаларын шешуде жалпы «тамаша теңсіздіктер» деп аталатын түрлі теңсіздіктердің қолданылуы сипатталған. «Тамаша теңсіздіктер» мектеп курсында арнайы , оларды қолдану жеке теңсіздіктерді шешуді қарапайым түрде шешуге мүмкіндік береді.

Арнайы әдебиеттермен танысу арқылы «тамаша теңсіздіктер» көмегімен әртүрлі типтегі есептерді шығаруға болатындықтан, түрлі гипотезаларды дәлелдеудің тиімді әдісі болып табылатындықтан және оны математика мен физиканың көптеген есептерін шешу үшін қолдануға болады.

Зерттеу объектісі - алгебралық теңсіздіктер.

Зерттеу пәні - тамаша теңсіздіктерді қолдану міндеттері.

Зерттеудің мақсаты - Теңсіздіктерді шешудің негізгі әдістерін жүйелеу, айнымалыдан тәуелді теңсіздіктерді шешудің арнайы әдістері бойынша теориялық материалдарды жүйелеу және оны есептерді шешудің жалпы әдістерін қалыптастыру.

Зерттеу міндеттері:

1) тамаша теңсіздіктердің пайда болу тарихын зерттеу;

2) тамаша теңсіздіктерді пайдалану теоремаларын және олардың салдарын сипаттау;

3) теңсіздіктерді шешу мен дәлелдеуде тамаша теңсіздіктерді қолдану әдістері мен тәсілдерін қарастыру;

Қойылғaн міндеттерді шешy үшін зерттеyдің түрлі әдістері қолдaнылaды:

зерттеy мәселесі бойыншa жaзылғaн мaтемaтикaдaн, психологиядaн, педaгогикaдaн және мaтемaтикaны оқытy әдістемесінен отaндық және шетел әдебиеттерін оқып, тaлдay;
мaтемaтикaдaн ортa мектеп оқyлықтaрынa, оқy құрaлдaры мен бaғдaрлaмaлaрынa тaлдay жaсay;
мектептердің іс-тәжірибесін оқып, үйренy;

Зерттеyдің ғылыми жaңaлығы:

Мaтемaтикaны оқытy процесінде оқyшылaрдың мaтемaтикaғa қызығyшылығын aрттырyды қaмтaмaсыз ететін теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің түрлі әдіс-тәсілдері қaрaстырылды.
ұсынылып отырғaн мaтериaлдaр бойыншa мектеп мұғaлімдерінің дипломдық жұмыстағы материалдарды қaндaй оқyлықпен сaбaқ өткізілгеніне қaрaмaстaн, еркін қолдaнyынa болaды.

Зерттеyдің прaктикaлық құндылығы: Емтихан жұмыстарында, тест есептерін шешуде теңдеулер мен теңсіздіктер шешу оқушылардың қиындықтар тудырады. Диплом жұмысы осы қиындықтарды азайтуға бағытталған.

Дипломдық жұмыстың құрылымы мен көлемі. Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдaн, пaйдaлaнылғaн әдебиеттер тізімінен тұрaды.

1. МЕКТЕП МАТЕМАТИКА КУРСЫНДАҒЫ ТЕҢСІЗДІКТЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫ ШЕШУ ЖОЛДАРЫ

1. 1 Мектепте «теңсіздік» ұғымын енгізу және оқыту (бағдарлама бойынша)

Негізгі мектеп бағдаламасында (5-9 сыныптар бойынша) теңсіздіктер ұғымын енгізуге оны оқытуға төмендегідей сағаттар қарастырылған:

5-сыныпта

Координаталық сәуле. Натурал сандарды салыстыру. Қос теңсіздік

Жай бөлшектер мен аралас сандарды координаталық сәуледе кескіндеу

Жай бөлшектерді және аралас сандарды салыстыру

Ондық бөлшектерді координаталық сәуледе кескіндеу. Ондық бөлшектерді салыстыру

6-сыныпта

Координаталық түзу

Рационал сандарды салыстыру

Сандық теңсіздіктер және олардың қасиеттері

Сандық аралықтар. Сандық аралықтардың бірігуі мен қиылысуы

Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздік. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктерді шешу

Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер жүйесі. Бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер жүйесін шешу

Айнымалысы модуль таңбасының ішінде берілген бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздік

8-сыныпта

Квадрат теңсіздік

Рационал теңсіздік

Теңсіздіктер жүйелерін шешу

9-сыныпта

Екі айнымалысы бар теңсіздіктер

Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңсіздіктер жүйелері

Мектепте математиканы оқытудың негізгі міндеттері-қазіргі қоғам мүшесіне күнделікті өмірде және еңбек ету барысында, сыбайлас пәндерді оқуда және оқуды одан әрі жалғастыруда қажетті болатын жүйелі математикалық білімдер мен біліктіліктердің саналы және сапалы түрде игерілуін қамтамасыз ету. Осы негізгі міндеттерімен, қатар математиканы тереңдетіп оқыту, оқушының пәнге деген қызығушылығының тұрақты болуын, математикалық қабілетті анықтауды және оны дамытуды, математикамен байланысты кәсіби бағдар беруді, жоғары оқу орынында оқуға дайындықты қамтамасыз етеді.

1. 2 Сандық теңсіздіктер

Теңсіздік ұғымы жазылу тәсіліне байланысты анықталатыны белгілі. Сонымен, ≠ (тең емес), < ( кіші), > (үлкен), ≤ (кіші немесе тең) немесе ≥ (үлкен немесе тең) таңбалары арқылы құрылған алгебралық өрнектер теңсіздіктер деп аталады. Сандық теңсіздіктер анықтамасын берейік:

Анықтама. Сандық теңсіздік деп теңсіздік белгісінің екі жағында да сандар немесе сандық өрнектер болатын теңсіздіктерді айтады.

Сандық теңсіздіктердің анықтамасынан мынадай қасиеттері шығады:

aсаныbсанынан үлкен, егерa−bайырмасы оң сан болса ғана;
aсаныbсанынан кіші, егера−bайырмасы теріс сан болса ғана;
aсаныbсанына тең, егерa−bайырмасы нөлге тең болса ғана.

Жоғарыда аталған үш негізгі теңсіздікке байланысты, < және > салыстыру белгілерін қолдану мынадай қасиеттерге байланысты қарастырылады:

Кез келген а саны үшін a<a және a>a теңсіздіктері ақиқат болмайтынын білдіретін антирефлексивтілік қасиеті.

Шынында да, кез келген а саны үшін a−a=0 теңдігі орындалатыны белгілі, осыдан тең сандардың айырымдық анықтамасы арқылы a=a теңдігі шығады. Демек , a<a және a>a жалған теңсіздіктер.

Мысалы, 5 <5, $- 3\frac{2}{13} > - 3\frac{2}{13}$ жалған теңсіздіктер

Антисиметриялық қасиеті: егер а және b сандары үшін a<b теңсіздігі орындалса, онда b>a теңсіздігі дұрыс болады, ал а>b теңсіздігі орындалса, онда b<a теңсіздігі дұрыс болады.

Мысалы, 17 < 19 теңсіздігін 19 > 17 түрінде жазуға болады, сол сияқты -2, 78 >- 5, 16, - 5, 16 < -2, 78.

Транзитивтілі к қасиеті: a , b және c сандары a<b және b<c болатындай болса, онда a<c , ал а>b және b> c болса, онда а>c .

Транзитивтілік қасиетінің бірінші тұжырымын дәлелдеп көрейік. a<b және b<c шарттары a−b және b−c теріс сандар екенін білдіреді. a−c айырмасын (a−b) +(b−c) түрінде көрсетуге болады, ол теріс сандарды қосу ережесінен туындайтын a − b және b−c екі теріс сандарының қосындысы ретінде теріс сан болып шығады. Осылайша, a − c теріс сан, ол дәлелденуі тиіс a<c дегенді білдіреді. Транзитивтілік қасиетінің екінші бөлігі дәл осылай дәлелденеді.

Мысалы, -2 <7, 7<13 болғанынан -2<13 теңсіздігі шығады .

Оны жоғарыдағы «көп» және «аз» қатынастарының анықтамасына сілтеме жасай отырып негіздейік. Бірінші бөлімнен бастайық. a<b болғандықтан, a−b теріс сан болады. Бұл жағдайда b−a=−(a−b) оң сан, а−b теріс санына қарама-қарсы сан. Сондықтан b>a. Қарастырылып отырған мүліктің екінші бөлігі де дәл осылай дәлелденеді.

Кез келген а және b сандары үшін мынадай теңсіздіктер өзара теңкүштес деп есептеледі : а<b, b>a, a-b<0 және b-a>0. Сонымен қатар мына теңсіздіктер де теңкүштес болады: а≤b, b≥a, a-b≤0 и b-a≥0. Бұл теңсіздіктерді дәлелдеу үшін көбіне мынадай қасиетті пайдаланылады : егер а≤b және b≤а болса , онда а=b. Есептерді шешуде жиі қолданылатын сандық теңсіздіктердің қасиеттерін атап өтейік : кез келген а, b, с және d сандары үшін : 1) мынадай теңсіздіктерден а≤b және b≤с мына теңсіздіктер алынады : а≤с; 2) а≤b теңсіздігіне мына теңсіздік теңкүштес а+с≤b+с; 3) с саны оң сан болғанда а≤b теңкүштес а⋅с≤b⋅с; 4) с саны теріс сан болғанда а≤b теңкүштес b⋅с≤а⋅с; 5) а≤b және с≤d теңсіздіктерінен а+с≤b+d және а-d≤b-с шығады ; 6) a, b, c, d сандары оң сан болғанда а≤b және c≤d теңсіздіктерінен a⋅c≤b⋅d және a/d b/c шығады .

Барлық көрсетілген 1) -6) қасиеттерінде “≤ ” таңбасының орнына “<” таңбасын қоюға болады.

Сандық теңсіздіктердің мынадай қасиеттерін пайдалануға болады: 7) кез келген $a \geq 0, b > 0$ және натурал n сандары үшін a<b теңкүштес $a^{n} \leq b^{n}$ .

Мынадай сандық теңсіздіктерді шешу мысалдарын қарастырайық.

Мысал 1. 2. 1 Сандарды салыстырыңыздар : а) $5^{300}$ және $3^{500}$ ;

б) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ және $\sqrt{10}$ .

Шешуі. а) $5^{300} = {{(5}^{3}) }^{100}$ және $3^{500} = {{(3}^{5}) }^{100} = 243^{100}$ . Ал 125<243, онда дәрежелік сандардың қасиеті бойынша 7) $125^{100} < 243^{100}$ ал енді $5^{300} < 3^{500}$ .

б) көрсетілген сандардың квадраттарын салыстыру жеткілікті болады. ${(\sqrt{2} + \sqrt{3}) }^{2} = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$ және ${(\sqrt{10}) }^{2} = 10$ . Айталық , * - теңсіздіктің қандай да бір белгісі болсын және $5 + 2\sqrt{6}*10$ . Бұл теңсіздік 2) қасиет бойынша (екі жағына да (-5) санын қоссақ) $2\sqrt{6}*5$ санымен тең күштес болады, ал ол өз кезегінде 7) қасиет бойынша ${(2\sqrt{6}) }^{2}*5$ , яғни 24*25 санымен тең күштес. Осыдан шығатыны, * белігісіндегі - “<“ белгісін береді және қорытындысында $\sqrt{2} + \sqrt{6} < \sqrt{10}$ шығады.

Мысал 1. 2. 2 . Сандарды салыстырыңыздар: $\log_{2}3 - \log_{5}8 = \log_{2}3 - \frac{\log_{2}8}{\log_{2}5} = \frac{\log_{2}3 \bullet \log_{2}5 - 3}{\log_{2}5} > 0,$ олай болса $\ a > b$ .

2-тәсіл. $a$ және $b$ сандарын 1-ге дейінгі дәлдікпен бағалаймыз.
$\log_{2}2 < \log_{2}3 < \log_{2}4,$ яғни $1 < а < 2$

$\log_{5}5 < \log_{5}8 < \log_{5}25,$ яғни $1 < b < 2$ .

$a, b \in (1; 2) a, b$ сандарының әрқайсынан осы аралықтан (интервалдың) ортасымен, $\frac{3}{2}$ санымен саластырамыз.
$\log_{2}3 > \frac{3}{2}$ делік, сонда $\ 3 > 2^{\frac{3}{2}} \Leftrightarrow 3^{2} > 2^{3} \Leftrightarrow 9 > 8\ \ a > \frac{3}{2} \Leftrightarrow 9 > 8,$ онда

$a > \frac{3}{2} -$ теңсіздігі тура теңсіздік болып шығады.
Енді $b > \frac{3}{2}$ десек, $\log_{2}8 > \frac{3}{2} \Rightarrow 8 > 5^{\frac{3}{2}} \Rightarrow \ 8^{2} > 5^{3} \Rightarrow \ 64 > 125.$
Соңғы шыққан теңсіздік тура теңсіздік емес, $b > \frac{3}{2}$ дегеніміз қате, олай болса $\ b < \frac{3}{2}$ . Сонымен, $a > \frac{3}{2}$ , $b < \frac{3}{2}, \ a > b$ болады.

Оқушыларға орындауға мынадай тапсырмаларды беруге болады.

Есеп1. Айталық $a, b > 0$ болсын. а) егер a⋅b=100 болса, a+b қосындысы ең аз шама қабылдайындай мәндерді табыңыздар; б) егер a+b=100 болса, a⋅b көбейтіндісі ең үлкен шама қабылдайындай мәндерді табыңыздар .

Нұсқау: Коши теңсіздігін қолдануға болады .

Есеп 2. Кез келген a және b екі саны үшін төмендегі теңсіздіктердің орындалатынын дәлелдеңіздер :

а) $a^{2} - 3ab + {3b}^{2} \geq 0$ ; б) $a^{2} + b^{2} - 6a + 2b + 10 \geq 0$ .

Есеп 3 . Сандарды салыстырыңыздар : а) $6^{55}$ және $9^{54}$ ;

б) $\sqrt{5} + 2\sqrt{7}$ және $\sqrt{10} + \sqrt{19}$ .

Олимпиадалық есептердің көпшілігінде бүтін сандарға байланысты есептерді шығару керек болады. Сондықтан мынадай қасиетті пайдалану маңызды болып есептеледі: $a < b$ теңсіздігі a және b бүтін сандары үшін $a \leq b - 1$ теңсіздігімен тең күштес болады.

Есеп 4. Карабастың сауда дүкенінде тасбақалар мен сүліктер рубльмен сатылады, сонымен қатар, 42 сүліктердің бағасы 35 рубльден қымбат, бірақ олар 36 тасбақаның бағасынан арзан болады. Буратинода 100 рубль болса, 8 тасбақаны сатып алуына бола ма?

Нұсқау: егер m руб. - сүліктің бағасы мен n руб. - тасбақаның бағасы (m, n - натурал сандар) болса, онда $6m \geq 5n + 1$ және $6n \geq 7m + 1$ , осыдан $n \geq 13$ болып шығады.

Есеп 5. а) Үшбұрыштың екі медианасының қосындысы оның периметрінен кіші болатынын дәлелдеңіздер. б) Егер a, b , c - үшбұрыш қабырғаларының ұзындығы болса, онда $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{b + a} < 2$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіздер.

1. 3 Айнымалыға тәуелді теңсіздіктер. Сызықтық теңсіздіктер

Теңсіздіктер те теңдіктер сияқты айнымалыға тәуелді болуы мүмкін. Мысалы, x >2, x <-5, 7x +2>18, 3x -15<0 теңсіздіктері x айнымалысына тәуелді теңсіздіктер және оларды шешуге болады.

Теңсіздікті шешу дегеніміз, берілген теңсіздік ақиқат болатын х айнымалысының мәндерін табу.

Теңсіздік ақиқат болатын айнымалының мәні теңсіздіктің шешімі деп аталады.

x > 2 теңсіздігінің оң жағында орналасқан 2 саны осы теңсіздіктің шекарасы деп аталады. Теңсіздіктің белгісіне қарай шекара теңсіздік шешімдерінің жиынына жатуы да, жатпауы да мүмкін.

x > 2 теңсіздігін қатаң теңсіздік деп атайды да, оны былай оқуға болады: «x 2-ден қатаң үлкен». Яғни, x айнымалысы қабылдайтын барлық мәндер 2-ден үлкен болуы керек. Әйтпесе, теңсіздік ақиқат болмайды.

Егер бізге қатаң емес x ≥ 2 теңсіздігі берілсе, онда бұл теңсіздіктің шешімдері 2 санының өзін қоса алғандағы 2-ден үлкен барлық сандар болар еді. Бұл теңсіздікте 2 шекарасы шешімдер жиынына жатады. Теңсіздік 2 саны ≥ 2 болғанда, біз 2 ≥ 2 шынайы теңсіздікті аламыз. Қатаң емес теңсіздік оның шарттарының ең болмағанда біреуі орындалса, ақиқат теңсіздікке айналады. 2 ≥ 2 теңсіздігі 2 = 2 шартын 2 ≥ 2 теңсіздігі ақиқат болады.

Теңсіздіктерді шешу кезінде мынадай қасиеттерді қолданылады: теңсіздіктің бір бөлігінен екінші бөлігіне мүшелерді ауыстыру, таңбасын өзгерту; теңсіздіктің екі жағын бірдей санға көбейту (немесе бөлу) . Бұл қасиеттерді пайдалану бастапқы берілген теңсіздікке эквивалентті теңсіздікті алуға мүмкіндік береді. Шешімдері бірдей теңсіздіктер эквивалентті теңсіздіктер деп аталады.

Теңсіздіктерді шешу кезінде осы теңсіздіктің сол жағында айнымалы, ал оң жағында шекаралық мәні қалғанша, бастапқы теңсіздікті оған эквивалентті теңсіздікке ауыстыра беру керек.

Мынадай теңсіздіктерді қарастырайық:

kx + b > 0, kx + b ≥ 0, kx + b < 0, kx + b ≤ 0,

(1)

мұндағы $k, \ b\ \in \ \mathbf{R}$ , x - айнымалы, сызықтық теңсіздіктер (немесе бірінші дәрежелі теңсіздіктер) деп аталады.

(1) түріндегі берілген айнымалысы бар теңсіздікті ақиқат сандық теңсіздікке айналдыратындай айнымалының әрбір мәні теңсіздіктің шешеімі деп аталады.

Айнымалысы бар теңсіздіктерді шешу - оның барлық шешімдерін табу немесе шешімдері жоқ екенін дәлелдеу. Шешімдері беттесетін бір айнымалысы бар екі теңсіздік пара-пар теңсіздік деп аталады, дербес жағдайда шешімдері жоқ екі теңсіздік пара-пар деп аталады.

(1) түріндегі берілген теңсіздіктерінің шығарылу тәсілдері ұқсас болады, тек бірінші тұрған теңсіздікті шығаруға тоқталайық, яғни kx + b > 0 теңсіздігінің шешімдерін табуды қарастырайық. Ол үшін мынадай жағдайлар қарастырылады:

k> 0 деп ұйғарайық, сонда

kx + b > 0 ⇔ kx > - b ⇔ x > - ^b / _k

осыдан, kx + b > 0 теңсіздігінде ( k > 0) шешімдері мынадай түрде жазылады (- ^b / _k ; + ∞) ;

k< 0 деп ұйғарайық, сонда

kx + b > 0 ⇔ kx > - b ⇔ x < - ^b / _k

осыдан, kx + b > 0 теңсіздігінде ( k < 0) шешімдері түрде жазылады (-∞; - ^b / _k )

k= 0 болғанда теңсіздік 0·x+b> 0 түріне келеді де, b> 0 болатын барлық нақты сан теңсіздікке шешім бола алады, алb≤ 0 болғанда қарастырылып отырған теңсіздіктің шешімі болмайды.

Сызықтық (бірінші дәрежелі) теңсіздіктің шешімдері жайлы жоғарыда көрсетілгендерді көбінесе былай жазады: kx + b ( $k \neq 0)$ бірінші дәрежелі көпмүшелігі: а) k>0 болғанда барлық $x \in ( - \infty; - \frac{b}{k})$ үшін теріс; $x \in ( - \frac{b}{k}; + \infty)$ үшін оң болады б) k<0 болғанда барлық $x \in ( - \infty; - \frac{b}{k})$ үшін оң және барлық $x \in ( - \frac{b}{k}; + \infty)$ үшін теріс болады. Дербес жағдайда, $x - \frac{b}{k}\ \$ екі мүшелігі $\frac{b}{k}\ \$ санын білдіретін сандық осьтің нүктесінің оң жағында орналасқан барлық тер үшін оң сан, ал сол нүктенің сол жағында орналасқан барлық тер үшін теріс сан болады. Сонымен, $\frac{b}{k}\ \$ нүктесі сандық осьтің екі бөлігінде орналасады: $\frac{b}{k}\ \$ нүктесінің оң жағы үшін $x - \frac{b}{k}$ екімүшелігі оң, ал $\frac{b}{k}\ \$ нүктесінің сол жағы үшін, ол - теріс сан болады.

Сызықтық теңсіздіктерді шешуге мынадай мысалдар қарастырайық:

a) 3 x + 6 > 0 6 санын теңсіздіктің оң жағына шығарайық, сонда 3 x > -6 болады. Теңсіздіктің екі жағын да 3-ке бөліп жібереміз, сонда x > -2, демек, берілген теңсіздіктің шешімдер жиыны (-2; + $\infty$ ) болады.

б) -2 x + 3 ≥ 0. 3 санын теңсіздіктің оң жағына шығарамыз: -2 x ≥ -3. Енді теңсіздіктің екі жақтағы бөліктерін (-1) -ге көбейтіп жібереміз, сонда теңсіздіктің таңбасы қарама-қарсыға өзгереді, сонан соң теңсіздіктің екі жақ бөлігі 2-ге бөліп, мынадай шешімін табамыз x ≤ ³ / ₂ , немесе бұл табылған шешімді мынадай жиындар түрінде көрсетуге де болады (-∞; ³ / ₂ ] .

в) 2(x+1) +x<3x+1. Алдымен элементар түрлендірулер жасаймыз да сызықтық теңсіздікке келтіреміз: 2( x + 1) + x < 3 x + 1 $\Leftrightarrow$ 2 x + 2 + x < 3 x + 1 $\Leftrightarrow$ 0· x + 1 < 0. 1 < 0 - жалған сандық теңсіздік шыққандықтан, бастапқы берілген теңсіздіктің шешімдері болмайды.