Теңдеудің сандық шешімі

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 32 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі

Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті

Абай Диас Ермекұлы

БЮРГЕРС ТЕҢДЕУІН САНДЫҚ ШЕШУДІҢ ЖӘНЕ СИМУЛЯЦИЯЛАУДЫҢ ПРОГРАММАЛЫҚ ҚОСЫМШАСЫН ӘЗІРЛЕУ

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

5B070400 - Eсeптeу тeхникaсы жәнe бaғдapлaмaлық қaмтaмaсыз eту

Алматы 2022

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті

Ақпараттық технологиялар факультеті

Информатика кафедрасы

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

тақырыбы: БЮРГЕРС ТЕҢДЕУІН САНДЫҚ ШЕШУДІҢ ЖӘНЕ СИМУЛЯЦИЯЛАУДЫҢ ПРОГРАММАЛЫҚ ҚОСЫМШАСЫН ӘЗІРЛЕУ

5B070400 - Eсeптeу тeхникaсы жәнe бaғдapлaмaлық қaмтaмaсыз eту

Орындаған
_________________________
(қолы)

Абай Диас

Ғылыми жетекші,
PhD, аға оқытушы
_________________________
(қолы)

Алтыбай А.

Қорғауға жіберілді:

Хаттама № , _________ 2022 ж.
Кафедра меңгерушісі ________________________ Дарибаев Б.С.
(қолы және мөрі)
Норма-бақылаушы _________________________ Алимбаева Б.К.
(қолы)

Алматы 2022
АҢДАТПА

Жұмыс 41 беттен, 21 суреттен тұрады
Кiлттiк сөздер: БЮРГЕРС ТЕҢДЕУІ, БЛОК-СХЕМА, БАҒДАРЛАМАЛАУ, СОЛИТОН, АҚЫРЛЫ АЙЫРЫМДЫЛЫҚ СХЕМАСЫ, PyQt, PyCharm, СИМУЛЯЦИЯЛАУ, САНДЫҚ ШЕШУ.
Диплом жұмысының тaқырыбы Бюргерс теңдеуін сандық шешудің және симуляциялаудың программалық қосымшасын әзірлеу болды. PyCharm бағдарламалау ортасы мен Python бағдарламалау тілін қолдану арқылы Бюргерс теңдеуін симуляциялайтын және сандық шешуін жазып шығаратын бағдарламалық қосымша дайындалды.
Жұмыстың мaқсaты - Бюргерс теңдеуі - таяз су аумағындағы толқындардың математикалық моделі. Бұл жоба Бюргерс теңдеуін сандық шешу мен модельдеуге арналған программалық қосымшаны әзірлеуді қарастырады.
Жұмыс нысaны - Бюргерс теңдеуін математикалық модельдейтін бағдарламалық қосымшаны дайындау.
Жұмыс барысында оқшауланған толқындардың ашылуы, тарихы, сипаттамалары, артықшылықтар мен ерекшеліктері көрсетілді. Сондай-ақ аталған теңдеуді сандық шешудің түрлі әдістері қарастырылды. Бюргерс теңдеуінің маңыздылығы, аумақта таралуы, зерттеліп жинақталған ақпарат берілді. Сандық шешімдер алу үшін PyCharm бағдарламалау ортасында интерфейс жазылып шықты. QtDesigner плaтaлaры турaлы толықтaй aқпaрaт берiлдi, олaрдың түрлерi, кеңейту тaқтaлaры мен олaрдың қaсиеттерi де кiрiстiрiлген. QtDesigner бaғдaрлaмaлaу ортaлығының интерфейсi мен оның негiзгi құрaлдaры қaрaстырылды.
Жұмыс нәтижесінде Бюргерс теңдеуін математикалық моделдейтін, сандық шешімдерін шығаратын бағдарламалық қосымша жасалды.

РЕФЕРAТ

Работа состоит из 41 страниц, 21 рисунков
Ключевые слова: УРАВНЕНИЕ БЮРГЕРСА, БЛОК-СХЕМА, ПРОГРАММИРОВАНИЕ, СОЛИТОН, КОНЕЧНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА, PYQT, PYCHARM, СИМУЛЯЦИЯ, ЧИСЛОВОЕ РЕШЕНИЕ.
Темой дипломной работы стала разработка программного приложения численного решения и симуляции уравнения Бюргерса. С помощью среды программирования PyCharm и языка программирования Python было разработано программное приложение, которое симулирует и записывает численное решение уравнения Бюргерса.
Цель работы - уравнение Бюргерса - математическая модель волн в области мелководья. Данный проект предусматривает разработку программного приложения для численного решения и моделирования уравнения Бюргерса.
В ходе работы были показаны открытия, история, характеристики, преимущества и особенности изолированных волн. Также были рассмотрены различные методы численного решения данного уравнения. В Бюргерсе была дана информация о важности уравнения Фриза, распространении на территории, изученном и обобщенном. Для получения цифровых решений в среде программирования PyCharm был записан интерфейс. Была предоставлена полная информация о платах QtDesigner, включая типы, платы расширения и их свойства. Рассмотрены интерфейс центра программирования QtDesigner и его основные инструменты.
В результате работы разработано программное приложение, которое математически моделирует уравнение Бюргерса, вырабатывает численные решения.
ABSTRAСT

The work consists of 41 pages, 21 drawings
Keywords: BURGERS EQUATION, FLOWCHART, PROGRAMMING, SOLITON, FINITE DIFFERENCE SCHEME, PYQT, PYCHARM, SIMULATION, NUMERICAL SOLUTION.
The topic of the thesis was the development of a software application for numerical solution and simulation of the Korteweg-De Vries equation. With the help of the PyCharm programming environment and the Python programming language, a software application has been developed that simulates and records the numerical solution of the Burgers equation.
The purpose of the work is the Burgers equation - a mathematical model of waves in shallow water. This project provides for the development of a software application for the numerical solution and simulation of the Burgers equation.
During the work, the discoveries, history, characteristics, advantages and features of isolated waves were shown. Various methods of numerical solution of this equation were also considered. In Burgers, information was given about the importance of the Burgers equation, distribution in the territory, studied and generalized. To obtain digital solutions, an interface was written in the PyCharm programming environment. Full information about QtDesigner boards was provided, including types, expansion boards and their properties. The interface of the QtDesigner programming center and its main tools are considered.
As a result of the work, a software application has been developed that mathematically models the Burgers equation and develops numerical solutions.

МАЗМҰНЫ
КIРIСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..6
1. Бюргерс теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .7
1.1. Бюргерс теңдеуінің қолданылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .7
1.2. Бір және екі өлшемді Бюргерс теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
1.3. Ақырлы айырымдылық схемасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..21
1.4. Есептеу алгоритмді ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...21
1.5. Теңдеудің сандық шешімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .21
2. Бағдарламалық қосымша ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...23
2.1. Бағдарламалық қосымшаны әзірлеу технологиясы ... ... ... ... ... ... ... ...23
2.2. Бағдарламалық қосымша архитектурасы ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... 27
2.3. Бағдарламалық қосымша интерфейсі ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ..29
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .41
ПAЙДAЛAНЫЛҒAН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...41
ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .43

КІРІСПЕ

Қарастырылған жұмыс "Бюргерс теңдеуін сандық шешудің және симуляциялаудың программалық қосымшасын әзірлеу" тақырыбына арналған. Бұл зерттеудің мәселесі қазіргі жағдайда өзекті болып табылады. Бұл тұжырымдамаға тақырыптың жиі зерттелуі дәлел бола алады. Зерттелген тақырып бірден бірнеше өзара байланысты пәндердің қиылысында зерттеледі. Көптеген жұмыстар зерттеу мәселелеріне арналған. Алайда, аталған тақырыптың проблемаларын зерттеу кезінде заманауи жағдайларды ескеру қажет. Бұл жұмыста солитонды шешім дегеніміз-кішкене аймақта локализацияланған, локализация аймағынан алыстаған кезде тез нөлге ұмтылатын және уақыт өте келе профилі өзгермейтін жалғыз толқын. Әдетте, солитон түрінің аналитикалық шешімін алу мүмкін емес. Барлық белгілі эволюциялық емес сызықтық теңдеулер үшін солитондық шешімдерді іздеу үшін теңдеудің ерекшеліктерін ескере отырып, олардың айырмашылық сызбаларын жасау керек. Бұл жұмыста дифференциалдық теңдеуге кіретін сызықтық емес оператордың түріне іс жүзінде тәуелді емес әдіс ұсынылады және осы мағынада әмбебап әдіс болып табылады. Бюргерс теңдеуі сызықты емес теңдеулер теориясында маңызды орын алады. Бұл теңдеудің бірқатар керемет қасиеттері бар, олар қазіргі уақытта жақсы зерттелген. Мысалы, Бюргерс үшін сақтау заңдарының шексіз саны бар. Бұл ретте зерттеу нысанасы осы зерттеудің міндеттері ретінде тұжырымдалған жекелеген мәселелерді қарау болып табылады. Бұл жұмыс Бюргерс теңдеуінің қысқаша сипаттамасына арналған, оның шешімдерінің ерекше қасиеттеріне назар аударады. Бір өлшемді және екі өлшемді Бюргерс теңдеулерінің сандық шешімдерінің алгоритмдерін құрылады. Бюргерс теңдеуін апроксимациялау арқылы ақырлы айырымдылық схемасы сызылады. Бағдарламау ортасын және тілін пайдалану нәтижесінде компьютерлік бағдарламалық қосымша жасалынады. Теңдеуді симулациялау барысында параметрлер ретінде кеңістік және уақыт айнымалылары қолданылады. Теңдеудің бірөлшемді және екіөлшемді симуляциялары жасалады. Жұмыс дәстүрлі құрылымға ие және кіріспе, үш таратудан тұратын негізгі бөлім, қорытынды, пайдаланылған әдебиеттер тізімді қамтиды.

1. БЮРГЕРС ТЕҢДЕУІ

1.1. Бюргерс теңдеуінің қолданылуы

Бюргерс теңдеуі немесе Бейтман - Бюргерс теңдеуі - сұйық механика, сызықты емес акустика, газ динамикасы және көлік ағындары сияқты қолданбалы математиканың әртүрлі салаларында кездесетін жартылай Дифференциалдық теңдеу. Бұл теңдеуді алғаш рет Гарри Бейтман 1915 жылы енгізген, содан кейін 1948 жылы Иоганн Мартинус Бюргерс зерттеген.
Берілген өріс үшін u (x, t) және диффузия коэффициенті (немесе сұйықтық механикасының бастапқы контекстіндегідей кинематикалық тұтқырлық) v Бюргерс теңдеуінің жалпы формасы (сонымен қатар бюргерс тұтқыр теңдеуі деп те аталады) бір кеңістіктік өлшемде диссипативті жүйе болып табылады:

dudt+ududx=vd2udx2 (1.1)

мұндағы u - ағын жылдамдығы, t - уақыт, х - ағынның бойындағы координатасы, v - тұтқырлық.
Бюргерс теңдеуі сызықты емес толқындық қозғалысты сызықтық диффузиямен біріктіру нәтижесінде алынған және сызықты емес адвекция мен диффузияның аралас әсерін талдаудың қарапайым моделі болып табылады. Тұтқыр мүшенің болуы толқындардың бұзылуын басуға, соққы үзілістерін тегістеуге көмектеседі, сондықтан біз жақсы басқарылатын және тегіс шешім күтеміз. Сонымен қатар, тұтқыр емес шектерде, диффузиялық мүше жоғалып кететін кезде, тегіс тұтқыр шешімдер тиісті жарылыс толқынына біркелкі емес жиналады, бұл консервативті сызықты емес динамикалық процестерді талдаудың балама механизміне әкеледі.
Тарихи түрде (1.1) теңдеуді алғаш рет өзінің тұрақты шешімдерін берген Бейтман енгізді. Оны кейінірек Бургерс турбуленттіліктің математикалық моделі ретінде қарастырды және одан кейін мұндай теңдеу Бургер теңдеуі деп кеңінен аталды. Көптеген есептерді Бургер теңдеуі арқылы модельдеуге болады. Мысалы, Бургерс теңдеуін Навье-Стокс теңдеулеріне тәсіл ретінде қарастыруға болады, өйткені екеуі де түрдің сызықты емес мүшелерін қамтиды: бірінші туындыға көбейтілген белгісіз функциялар және екеуі де шағын параметрге көбейтілген жоғары ретті мүшелерден тұрады. Бургерс теңдеуі - b(x) бастапқы функциясының шектелген жиыны үшін дәл шешілетін өте аз сызықты емес ішінара дифференциалдық теңдеулердің бірі. Газдинамикалық контекстте Хопф пен Коул бұл теңдеуді сызықтық диффузия теңдеуіне түрлендіруге және ерікті бастапқы шарт үшін дәл шешуге болатынын дербес көрсетті. Бургер теңдеуінің жалпы қасиеттерін зерттеу оның сан теориясы, газ динамикасы, жылу өткізгіштік, серпімділік және т.б. сияқты салаларда қолданылуына байланысты үлкен назар аударды. Бір өлшемді Бургер теңдеуінің нақты шешімдері зерттелді. Бертон және Плацман. Көптеген басқа авторлар динамикалық толқын пішіндерінің таралуындағы тік фронттарға сәйкес келетін, әсіресе кинематикалық тұтқырлықтың v шағын мәндері үшін теңдеуді шешуге тырысқанда ақырлы айырмашылық, ақырлы элемент және шекаралық элементтер әдістеріне негізделген сандық әдістердің әртүрлілігін пайдаланды.
Бургер теңдеуі қысым мүшесі мен үздіксіздік теңдеуі жоқ сығылмайтын Навье-Стокс теңдеуінің ерекше түрі болып табылады. Бургерс теңдеуі сұйықтық динамикасынан маңызды парциалды дифференциалдық теңдеу болып табылады және газ динамикасы мен қозғалыс ағынын, соққы толқындарын модельдеу, таяз су толқындарын зерттеу, химиялық реакция-диффузияны зерттеу сияқты әртүрлі физикалық қолданбаларда кеңінен қолданылады. Брюсселатор моделі. Ол сонымен қатар бірнеше сандық алгоритмдерді тексеру үшін қолданылады. Бургер теңдеуін аналитикалық жолмен шешудің бірінші әрекетін Дж.М.Бургер турбуленттілік модельдеу үшін пайдаланған қарапайым бір өлшемді Бургер теңдеуінің тұрақты шешімін шығарған Бейтман жасады. Кез келген бастапқы шарт үшін бір өлшемді Бургер теңдеуін дәл шешуге болатын сызықты біртекті жылу теңдеуіне келтіруге болады, осылайша бір өлшемді Бургер теңдеуінің дәл шешімін Фурье қатары түрінде көрсетуге болады. . Дегенмен, тиімді сандық әдіс әлі де қажет, әсіресе бастапқы жағдай біркелкі болмаса немесе тек дискретті жерлерде қол жетімді болса. Фурье сериясының шешіміне қатысты тағы бір мәселе оның баяу жинақтылығы; сондықтан дәл жуықтауды алу үшін айтарлықтай ұзақ қатар қажет. Соңғы бірнеше жылда бір өлшемді Бургер теңдеуінің сандық шешімі және көпөлшемді Бургер теңдеулері жүйесі көп назар аударды, соның нәтижесінде әр түрлі ақырлы айырмашылық, ақырлы элемент және шекаралық элементтер әдістері пайда болды. Кейбіреулерін атасақ, А.Рефик Бахадир толық жасырын схеманы ұсынды, ал Арминжон П, Боучам С тікбұрышты элементтерді пайдалана отырып, соңғы элементтер әдісін әзірледі. Ақырғы айырмашылық әдістерін екі кең категорияға жіктеуге болады, яғни айқын және жасырын. Айқын әдістер тиімді және іске асыру оңай, бірақ шартты түрде тұрақты.
Бургер теңдеулері көбінесе күрделірек және күрделі модельді жеңілдету ретінде пайда болады. Сондықтан ол әдетте ойыншық үлгісі ретінде қарастырылады, атап айтқанда, жалпы мәселенің кейбір ішкі әрекеттерін түсіну үшін қолданылатын құрал.
Термофизикалық қасиеттердің температураға тәуелділігі, ағынның әртүрлі гидродинамикалық режимдері, дене күштерінің болуы және т.б. сияқты нақты физикалық жағдайларды ескере отырып, арнадағы тұтқыр сұйықтықтың тұрақсыз ағынының күрделі есебін шешу азаяды. Дифференциалдық теңдеулер жүйесін, соның ішінде шешімдердің бар болуы мен тегістігінің белгілі есептері бар Навье-Стокс теңдеуін шешу. Навье-Стокс теңдеулерін қолдану кезінде әртүрлі есептерді шешудің әдебиеттерде кездесетін негізгі әдісі - ақырлы айырмашылықты жуықтау. Бұл жағдайда негізгі мәселе тұрақтылық пен конвергенцияға қол жеткізу болып табылады. Салыстырмалы қарапайым есептер үшін алынған жинақтау шарттары белгілі. Дегенмен, мәселенің қойылымын нақты шарттарға жақындатқанда белгілі бір модель бойынша сандық эксперимент нәтижесінде ғана жинақтылықты қамтамасыз етуге болады. Осы мақсатта таңдалған айырмашылық сұлбаларының жинақтылық пен тұрақтылық параметрлерін сандық зерттеу әдістемесін қолдану ұсынылады. Мұндай әдістемені жасау үшін белгілі бір модельдік теңдеу және оның нақты шешімі болуы керек. Әрі қарай, мұндай теңдеу ретінде өзінің нысаны бойынша газ динамикасының стандартты теңдеулеріне жақын Бургерс теңдеуін қолдану ұсынылады.

1.2. Бір және екі өлшемді Бюргерс теңдеуі

Дифференциалдық теңдеулерде негізгі дифференциалдық теңдеудің қосымшасы ретінде бастапқы шарт және шекаралық шектеулер қолданылады. Бұл шарттар теңдеуді бастапқы уақытта не болмаса қандай да бір қарастырылып отырған аумақтың шекарасында қарастырылуын қамтамасыз етеді.
Математикада, әсіресе динамикалық жүйелерде, бастапқы шарт, кейбір контексте бастапқы мән деп аталады, белгілі бір уақытта өзгеретін айнымалының мәні бастапқы уақыт ретінде белгіленеді. k ретті жүйесі мен n өлшемі үшін, әдетте, уақыт өте келе жүйенің айнымалыларын бақылау үшін nk бастапқы шарттары қажет.
Үздіксіз уақыттағы дифференциалдық теңдеулерде де, дискретті уақыттағы айырмашылық теңдеулерінде де бастапқы шарттар кез-келген болашақ уақытта динамикалық айнымалылардың мәніне әсер етеді. Үздіксіз уақытта уақыт пен бастапқы жағдайларға байланысты күй айнымалылары үшін жабық форманың шешімін табу мәселесі бастапқы мән мәселесі деп аталады. Дискретті уақыт жағдайлары үшін тиісті мәселе бар. Жабық түрдегі шешімді алу әрдайым мүмкін болмаса да, дискретті уақыт жүйесінің болашақ мәндерін Итерация үшін бір уақыт ішінде алға қарай Итерация арқылы табуға болады, дегенмен дөңгелектеу қатесі оны үлкен горизонттарда мүмкін емес етуі мүмкін.
Дифференциалдық теңдеуде әдетте бір шешім емес, бірнеше шешімдер өатар кездеседі. Бастапқы және шекаралық шарттар мен жағдайлар белгілі бір гидродинамикалық процеске немесе құбылысқа сай таңдауға болатындығын қамтамасыз етеді. Жай дифференциалдық теңдеулерде есептерді бастапқы шартпен шешудің бар екендігі және бірегейлігі туралы теорема дәлелденді. Дербес дифференциалдық теңдеулер үшін алғашқы және шектеуші есептердің белгілі бір категорияларына арнайы шешімдердің болуы мен әмбебаптылығы туралы кейбір теоремалар алынды.
Математикалық физика тапсырмалары анық физикалық тәжірбиелерді сипаттайды, осы себептен физикалық процестердің дизайны төмендегі талаптарға сәйкестенуі керек:
Шешім кез келген функционалдық класқа жатуы керек;
Және бұл шешім функция класында жалғыз болу керек
Шешімнің үздіксіз тәуелділігінің талабы физикалық деректердің әдетте экспериментке жақын болуымен анықталады, сондықтан таңдалған математикалық модель шеңберінде есептің шешімі айтарлықтай тәуелді емес екеніне сенімді болу керек.
t 0 және -infinity x infinity шарттары орындалған барлық жағдайда Бюргерс теңдеуі үшін бастапқы шарт төмендегідей қарастырылады:

ux, 0=φ1x; x ∈ 0; l; (1.2)

мұндағы φ1x функциясы дегеніміз - кез-келген тригонметриялық функция бола алады. Біз алып отырған жағдайда бұл sin(PIx) функциясы.
Бюргерс теңдеуінің шекаралық шарты деп төмендегі теңдеуді қарастырамыз:

ut,0=0 (1.3)
ut,l=0

Шекаралық шарттар интервал шарттарына байланысты. Егер арқалықтың соңы қатаң бекітілген болса, онда орын ауыстыру және бұралу бұрышы y нөлге тең, ал арқалықтың соңы топсалы болса, онда жылжу y нөлге тең, бұралу бұрышы белгісіз. Сонымен, консольдық арқалық үшін шекаралық шарттар былай жазылады: x = 0 үшін у = 0, екі тірек арқалық үшін x = 0, x = l үшін у = 0, x = l үшін у = 0. Егер арқалық бірнеше бөлікке бөлінсе, онда интегралдау константаларын анықтау үшін шекаралық шарттар жеткіліксіз және бұл жағдайда оларға сәуленің көршілес бөліктері үшін сәйкестік шартын қосу қажет. Арқалықтың қисық осі айналатындықтан және үздіксіз болып қалатындықтан, оң және сол бөліктер үшін орын ауыстыру және бұралу бұрышы бөліктердің шекарасында бірдей болады.
Бір өлшемді Бюргерс теңдеуі:

dudt+ududx-1Red2udx2=0 (1.4)

Бастапқы шарт:

ut,0=ut, l=0 (1.5)

Шекаралық шарт:

u0,t=u0, t=0 (1.6)

Екі өлшемді Бюргерс теңдеуі:

dudt+ududx+vdudy-1Red2udx2+d2udx2=0
(1.7)
dvdt+vdvdx+udvdy-1Red2vdx2+d2vdy2=0

Бастапқы шарт:

u0,x, y=φ1x,y, (x,y)∈0,l
v0,x, y=φ2x,y, (x,y)∈0,l (1.8)

Шекаралық шарт:

u0,y,t=u1,y,t=vx,0,t=vx,1,t=0 (1.9)

1.3. Ақырлы айырымдылық схемасы

Ақырғы айырымдылық схемасы - бұл бір өлшемді де, көп өлшемді жүйелерде де шекаралық жағдайлары бар мәселелерді шешуге бағытталған әмбебап сандық әдіс. Сонымен қатар, ақырлы айырымдылық схемасы дербес дифференциалдық теңдеулермен сипатталған үлестірілген параметрлері бар процестердің (объектілердің) математикалық модельдерін шешу үшін қолдануға болатын бірнеше сандық әдістердің бірі болып табылады. Бұл жағдайда зерттелетін модельдің айнымалылары екі өлшемді жағдайда t уақытына да, кеңістіктік координаттарға да (x, y) және үш өлшемді жағдайда (x, y, z) байланысты болуы мүмкін. Ақырғы айырымдылық схемасының басты идеясы - бастапқы артқы және шекаралық шарттармен (шекаралық есеп) сызықтық немесе сызықты емес алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің қарапайым есебіне дейін азайту. Алынған алгебралық теңдеулер жүйесінің түрі бастапқы дифференциалдық теңдеудің түріне байланысты болады.
Айырымдылық схемасы - дифференциалдық теңдеу және қосымша шарттар (мысалы, шекті шарттар жәненемесе бастапқы үлестіру) бар кез-келген дифференциалдық есептерге сәйкес келетін алгебралық теңдеулердің соңғы жүйесі. Осылайша, дифференциалдық схемалар үздіксіз бола алатын туынды есептің сандық шешімі компьютерде толығымен мүмкін болатын теңдеулер жүйесінің соңғы жүйесіне енгізу үшін қолданылады.
Дифференциалдық теңдеуге сәйкестенетін математикалық теңдеулер айырмашылық тізбегінің теориясын дифференциалды есептерді шешудің басқа сандық әдістерінен (мысалы, Галеркин әдісі сияқты проекциялық әдістерден) ерекшелейтін айырмашылық әдісін қолдану арқылы алынады. Айырымдылық схемасының шешімі дифференциалды мәселенің жуық шешімі деп аталады. Ресми анықтама алгебралық теңдеулердің түріне айтарлықтай шектеулер қоймаса да, іс жүзінде дифференциалдық есепке қандай да бір түрде жауап беретін схемаларды ғана қарастырған жөн. Айырмашылық схемалары теориясының маңызды ұғымдары конвергенция, жуықтау, тұрақтылық, консерватизм ұғымдары болып табылады.
Кез келген жағдайда, соңғы айырмашылық әдісі үш негізгі кезеңнен тұрады:
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Шешім саласындағы қажетті функцияның түйіндік мәндерінің торын құру кезеңі;
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Ақырғы дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бастапқы дифференциалдық теңдеуі негізінде құру кезеңі, олардың көршілес тор түйіндері арасындағы функционалды байланыстарын сипаттаймын;
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Cандық әдістердің бірімен n белгісіз шексіз теңдеулерден жүйені шешу кезеңі.
Белгісіз n саны қалаған функцияның мәні анықталатын түйін мәндерінің санына сәйкес келеді. Осы қадамдарды толығырақ қарастырайық.
Сандық шешім табу үшін тор құрамыз:

1-сурет. Ақырлы айырымдылық схемасы

1-суретте шешім саласында тор құру үшін бастапқы деректер модельдің тәуелсіз айнымалыларының шекаралық мәндері (хн, хк) сондай-ақ координаттардың әрқайсысы бойынша h қадамымен берілген шешімнің қажетті дәлдігі болып табылады. Мысалы, осы слайдтың суретінде координаталармен (x) берілген шешімнің екі өлшемді аймағында тор көрсетілген, ал x координатасы бойынша шешім қадамы hx -ке тең.
Координаталар мәндерінің өзгеруі олардың өрнектерімен анықталады:

xi=xн+i*hx (3.6)

мұндағы i = 1,2,...,n; координаталар бойынша сәйкесінше түйіндердің нөмірлері
Түйіндердің мәнін есептеу үшін қандай түйін нүктелері алынғанына байланысты ақырлы айырымдылық схемасының бірнеше түрлері бар. Ақырғы айырымдылық оң, сол және орталық деп үш түрге бөлінеді.
Дербес туындыларды есептейтін оң ақырғы айырымдылық схемасы:

uxx=d2udx2=uxi+2h-2uxi+h+u(xi)h2=ui +2-2ui+1+uih2 (3.7)

Дербес туындыларды есептейтін сол ақырғы айырымдылық схемасы:

ux=dudx=uxi-u(xi-h)h=ui-ui-1h (3.8)

uxx=d2udx2=uxi-2uxi-h+u(xi-2h)h2=ui -2ui-1+ui-2h2 (3.9)

Дербес туыныларды ең дәл есептейтін ол орталық ақырғы айырымдылық схемасы болып табылады:

ux=dudx=uxi+h-u(xi-h)2h=ui+1-ui-12h (3.10)

uxx=d2udx2=uxi+h-2uxi+u(xi-h)h2=ui+ 1-2ui+ui-1h2 (3.11)

Іс жүзінде шексіз айырмашылық әдісін қолдану нәтижесінде алынған сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешу өте жиі кездеседі және бұл үшін Ньютон әдісі жиі қолданылады. Алайда, сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдері неғұрлым маңызды . Бұл жағдайда сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің өзектілігі олардың кейбір ерекшеліктерімен байланысты. Сызықтық теңдеулер жүйелерінің шекті шарттар есептерін ақырғы айырмашылықтар әдісімен шешудегі ерекшелігі-жүйенің сол жағындағы коэффициенттер матрицасы өте сирек кездеседі, яғни. көптеген нөлдік элементтерден тұрады. Бұл, әрине, айырмашылық өрнектерінде белгілі бір нүктеде туынды есептеу үшін барлық тор түйіндерін емес, бірнеше көрші түйіндерді қолданатындығына байланысты. Мұндай жүйелердің екінші ерекшелігі-үлкен өлшем, бірнеше мыңға дейін белгісіз, шешімнің қажетті дәлдігімен анықталады. Сондықтан, іс жүзінде осы ақырғы айырымдылық схемаларында алынған жүйені шешу үшін итерациялық әдістер қолданылады. Итерация әдетте тапсырмалар бастауыш жақындау мәндердің функциялары тораптық нүктелерінде бастайды. Содан кейін тор түйіндеріндегі айнымалылардың бастапқы мәндері берілген дәлдікке жеткенше дәйекті түрде өзгереді. Мұндай шарттар әдетте төмендегідей жазылады:

uk+1xi-ukxi=ξ (3.12)

мұндағы k - итерация саны
Айта кету керек, сызықтық теңдеулер жүйесін шешу үшін ақырлы айырмашылық әдісі қарапайым итерация әдісіне (Якоби әдісі) және Зейдель әдісіне ұқсас әдістерді қолданады. Олар бір мезгілде орын ауыстыру әдісі және кезекті орын ауыстыру әдісі деп аталады
Бастапқы мән u0(xi) түйіндеріне беріледі, мысалы, шекаралық шарттармен берілген аймақтағы сызықтық интерполяцияны қолдану.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Функция барлық түйіндерде жаңа функция мәндері алынғанға дейін бастапқы жуықтауды қолдана отырып, барлық түйіндерде дәйекті түрде есептеледі.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Сонымен қатар, бастапқы мәндер алдыңғы қадамда алынған жаңаларына ауыстырылады. Итерация процесі қайтадан қайталанады, белгілі бір мәнге жеткенге дейін функция орындалады.
Кезекті ығысу әдісі Зейдель әдісіне ұқсас, өйткені түйіндегі әрбір есептелген мән келесі түйіндік мәнді есептеу үшін бірден қолданылады. Бұл жағдайда дифференциалдық теңдеуді шешу барысы тор түйіндерін айналып өту тәртібіне байланысты болатындығын ескеру қажет. Түйіндерді айналып өту тәртібі мәселенің физикалық мағынасымен анықталады және итерациялық процестің конвергенция жылдамдығына айтарлықтай әсер етуі мүмкін

1.4. Есептеу алгоритмі

1. Жасалынған интерфейстен Бюргерс теңдеуінің аргументтері енгізіледі:

2. Тұрақтылар, нөлдік матрица, уақыт қадамы беріледі:

3. Цикл арқылы бастапқы толқын беріледі:

4. Цикл арқылы U1 табылып, сақталып отырылады:

5. Шекаралық шарттар орнатылады:

6. ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.