Канал арқылы таралатын жалғыз толқын және оның параметрлері

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 40 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі

Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті

Абдразакұлы Нұрасыл

КОРТЕВЕГ-ДЕ ФРИЗ ТЕҢДЕУІН САНДЫҚ ШЕШУДІҢ ЖӘНЕ СИМУЛЯЦИЯЛАУДЫҢ ПРОГРАММАЛЫҚ ҚОСЫМШАСЫН ӘЗІРЛЕУ

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

5B070400 - Eсeптeу тeхникaсы жәнe бaғдapлaмaлық қaмтaмaсыз eту

Алматы 2022

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті

Ақпараттық технологиялар факультеті

Информатика кафедрасы

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

тақырыбы: КОРТЕВЕГ-ДЕ ФРИЗ ТЕҢДЕУІН САНДЫҚ ШЕШУДІҢ ЖӘНЕ СИМУЛЯЦИЯЛАУДЫҢ ПРОГРАММАЛЫҚ ҚОСЫМШАСЫН ӘЗІРЛЕУ

5B070400 - Eсeптeу тeхникaсы жәнe бaғдapлaмaлық қaмтaмaсыз eту

Орындаған
_________________________
(қолы)

Абдразакұлы Н.

Ғылыми жетекші,
PhD, аға оқытушы
_________________________
(қолы)

Алтыбай А.

Қорғауға жіберілді:

Хаттама № , _________ 2022 ж.
Кафедра меңгерушісі ________________________ Дарибаев Б.С.
(қолы және мөрі)
Норма-бақылаушы _________________________ Алимбаева Б.К.
(қолы)

Алматы 2022
АҢДАТПА

Жұмыс 41 беттен, 19 суреттен тұрады
Кiлттiк сөздер: КОРТЕВЕГ-ДЕ-ФРИЗ ТЕҢДЕУІ, БЛОК-СХЕМА, БАҒДАРЛАМАЛАУ, СОЛИТОН, АҚЫРЛЫ АЙЫРЫМДЫЛЫҚ СХЕМАСЫ, PyQt, PyCharm, СИМУЛЯЦИЯЛАУ, САНДЫҚ ШЕШУ.
Диплом жұмысының тaқырыбы Кортевег-Де фриз теңдеуін сандық шешудің және симуляциялаудың программалық қосымшасын әзірлеу болды. PyCharm бағдарламалау ортасы мен Python бағдарламалау тілін қолдану арқылы Кортевег-Де Фриз теңдеуін симуляциялайтын және сандық шешуін жазып шығаратын бағдарламалық қосымша дайындалды.
Жұмыстың мaқсaты - Кортевег-Де Фриз теңдеуі - таяз су аумағындағы толқындардың математикалық моделі. Бұл жоба Кортевег-Де Фриз теңдеуін сандық шешу мен модельдеуге арналған программалық қосымшаны әзірлеуді қарастырады.
Жұмыс нысaны - Кортевег-Де Фриз теңдеуін математикалық модельдейтін бағдарламалық қосымшаны дайындау.
Жұмыс барысында оқшауланған толқындардың ашылуы, тарихы, сипаттамалары, артықшылықтар мен ерекшеліктері көрсетілді. Сондай-ақ аталған теңдеуді сандық шешудің түрлі әдістері қарастырылды. Кортевег-Де Фриз теңдеуінің маңыздылығы, аумақта таралуы, зерттеліп жинақталған ақпарат берілді. Сандық шешімдер алу үшін PyCharm бағдарламалау ортасында интерфейс жазылып шықты. QtDesigner плaтaлaры турaлы толықтaй aқпaрaт берiлдi, олaрдың түрлерi, кеңейту тaқтaлaры мен олaрдың қaсиеттерi де кiрiстiрiлген. QtDesigner бaғдaрлaмaлaу ортaлығының интерфейсi мен оның негiзгi құрaлдaры қaрaстырылды.
Жұмыс нәтижесінде Кортевег-Де Фриз теңдеуін математикалық моделдейтін, сандық шешімдерін шығаратын бағдарламалық қосымша жасалды.

РЕФЕРAТ

Работа состоит из 41 страниц, 19 рисунков
Ключевые слова: УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГ-ДЕ-ФРИЗА, БЛОК-СХЕМА, ПРОГРАММИРОВАНИЕ, СОЛИТОН, КОНЕЧНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА, PYQT, PYCHARM, СИМУЛЯЦИЯ, ЧИСЛОВОЕ РЕШЕНИЕ.
Темой дипломной работы стала разработка программного приложения численного решения и симуляции уравнения Кортевега-Де Фриза. С помощью среды программирования PyCharm и языка программирования Python было разработано программное приложение, которое симулирует и записывает численное решение уравнения Кортевега-Де Фриза.
Цель работы - уравнение Кортевега-Де Фриза - математическая модель волн в области мелководья. Данный проект предусматривает разработку программного приложения для численного решения и моделирования уравнения Кортевега-Де Фриза.
Форма работы-подготовка программного приложения, математически моделирующего уравнение Кортевега-Де Фриза.
В ходе работы были показаны открытия, история, характеристики, преимущества и особенности изолированных волн. Также были рассмотрены различные методы численного решения данного уравнения. В кортевеге была дана информация о важности уравнения Фриза, распространении на территории, изученном и обобщенном. Для получения цифровых решений в среде программирования PyCharm был записан интерфейс. Была предоставлена полная информация о платах QtDesigner, включая типы, платы расширения и их свойства. Рассмотрены интерфейс центра программирования QtDesigner и его основные инструменты.
В результате работы разработано программное приложение, которое математически моделирует уравнение Кортевега-Де Фриза, вырабатывает численные решения.
ABSTRAСT

The thesis consists of 41 pages, 19 drawings
Keywords: KORTEWEG-DE VRIES EQUATION, FLOWCHART, PROGRAMMING, SOLITON, FINITE DIFFERENCE SCHEME, PYQT, PYCHARM, SIMULATION, NUMERICAL SOLUTION.
The topic of the thesis was the development of a software application for the numerical solution and simulation of the Korteweg-De Vries equation. With the help of the PyCharm programming environment and the Python programming language, a software application has been developed that simulates and records the numerical solution of the Korteweg-De Vries equation.
The purpose of the thesis is the Korteweg-De Vries equation - a mathematical model of waves in shallow water. This project provides for the development of a software application for the numerical solution and simulation of the Korteweg-De Vries equation.
The form of work is the preparation of a software application mathematically modeling the Korteweg-De Vries equation.
In the course of the thesis, the discoveries, history, characteristics, advantages and features of isolated waves were shown. Various methods of numerical solution of this equation were also considered. In Korteweg, information was given about the importance of the Frieze equation, distribution in the territory, studied and generalized. To obtain digital solutions, an interface was written in the PyCharm programming environment. Full information about QtDesigner boards was provided, including types, expansion boards and their properties. The interface of the QtDesigner programming center and its main tools are considered.
As a result of the thesis, a software application has been developed that mathematically models the Korteweg-De Vries equation and develops numerical solutions.

МАЗМҰНЫ
КIРIСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6
1. МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... .7
1.1. Физикалық маңыздылығы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..7
1.2. Бір өлшемді Кортефег-Де Фриз теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...19
1.3. Екі өлшемді Кортевег-Де Фриз теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
2. АҚЫРЛЫ АЙЫРЫМДЫЛЫҚ СХЕМАСЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 23
2.1. Айырымдылық схемасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...23
2.2. Есептеу алгоритмі ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .27
2.3. Сандық нәтиже ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..29
3. БАҒДАРЛАМАЛЫҚ ҚАМТАМА ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..32
3.1. Бағдарлалау ортасы ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32
3.2. Бағдарламалау тілі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3 4
3.3. PyQt графикалық құрылымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 37
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .41
ПAЙДAЛAНЫЛҒAН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... 42
ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..43

КІРІСПЕ

Қарастырылған жұмыс "Кортевег-Де Фриз теңдеуін сандық шешудің және симуляциялаудың программалық қосымшасын әзірлеу" тақырыбына арналған. Бұл зерттеудің мәселесі қазіргі жағдайда өзекті болып табылады. Бұл тұжырымдамаға тақырыптың жиі зерттелуі дәлел бола алады. Зерттелген тақырып бірден бірнеше өзара байланысты пәндердің қиылысында зерттеледі. Көптеген жұмыстар зерттеу мәселелеріне арналған. Алайда, аталған тақырыптың проблемаларын зерттеу кезінде заманауи жағдайларды ескеру қажет. Бұл жұмыста солитонды шешім дегеніміз-кішкене аймақта локализацияланған, локализация аймағынан алыстаған кезде тез нөлге ұмтылатын және уақыт өте келе профилі өзгермейтін жалғыз толқын. Әдетте, солитон түрінің аналитикалық шешімін алу мүмкін емес. Кортевег - де-Фриз теңдеуі таяз суда ұзын толқындардың таралуын сипаттайды, N-солитонды шешімдер де бар, оларды нақты түрде жазуға болады, сонымен қатар политонды емес шешімдер де бар. Барлық белгілі эволюциялық емес сызықтық теңдеулер үшін солитондық шешімдерді іздеу үшін теңдеудің ерекшеліктерін ескере отырып, олардың айырмашылық сызбаларын жасау керек. Бұл жұмыста дифференциалдық теңдеуге кіретін сызықтық емес оператордың түріне іс жүзінде тәуелді емес әдіс ұсынылады және осы мағынада әмбебап әдіс болып табылады. Кортевег-де-Фриз теңдеуі сызықты емес теңдеулер теориясында маңызды орын алады. Бұл теңдеудің бірқатар керемет қасиеттері бар, олар қазіргі уақытта жақсы зерттелген. Мысалы, Кортевег-Де Фриз үшін сақтау заңдарының шексіз саны бар. Бұл ретте зерттеу нысанасы осы зерттеудің міндеттері ретінде тұжырымдалған жекелеген мәселелерді қарау болып табылады. Бұл жұмыс Кортевег-де-Фриз теңдеуінің қысқаша сипаттамасына арналған, оның шешімдерінің ерекше қасиеттеріне назар аударады. Соңғылардың ішінде бізде "солитондар" деп аталатындар бар, олар 1834 жылы Дж. Рассел А. Кортевег-Де-Фриз теңдеуін гидродинамикаға сүйене отырып шығарамыз, содан кейін оның қосымша қасиеттерін талданады. Дипломдық жоба барысында бір өлшемді және екі өлшемді Кортевег-Де Фриз теңдеулерінің ақырлы айырымдылық схемаларын зерттелінеді. Бір өлшемді және екі өлшемді Кортевег-Де-Фриз теңдеулерінің сандық шешімдерінің алгоритмдерін құрылады. Кортевег-Де-Фриз теңдеуін апроксимациялау арқылы ақырлы айырымдылық схемасы сызылады. Бағдарламау ортасын және тілін пайдалану нәтижесінде компьютерлік бағдарламалық қосымша жасалынады. Теңдеуді симулациялау барысында параметрлер ретінде кеңістік және уақыт айнымалылары қолданылады. Теңдеудің бірөлшемді және екіөлшемді симуляциялары жасалады. Жұмыс дәстүрлі құрылымға ие және кіріспе, үш таратудан тұратын негізгі бөлім, қорытынды, пайдаланылған әдебиеттер тізімді қамтиды.

МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛІ

Физикалық маңыздылығы

Толқын - физикалық шамалардың белгілі бір жиынтығының өзгеруі, ол өзінің пайда болу орнынан алыстай отырып немесе кеңістіктің шектеулі аймақтарында тербеле алады. Толқындық процесс әртүрлі физикалық сипатқа ие болуы мүмкін: механикалық, химиялық, электромагниттік, гравитациялық, айналдыру, ықтималдық тығыздығы және т.б. әдетте, толқынның таралуы энергияны тасымалдаумен бірге жүреді, бірақ масса тасымалымен емес. Толқындық процестердің әртүрлілігі толқындардың абсолютті жалпы қасиеттерін бөлуге болмайтындығына әкеледі. Толқындардың жиі кездесетін белгілерінің бірі-қоршаған ортаның немесе өрістің көршілес нүктелеріндегі бұзылулардың өзара қарым-қатынасында көрінетін өзара әрекеттесу болып саналады, бірақ жалпы жағдайда ол болмауы мүмкін. Толқындардың барлық алуан түрлерінің ішінде оларды сипаттайтын физикалық заңдардың математикалық ұқсастығына байланысты көптеген физикалық жағдайларда пайда болатын қарапайым түрлері бар. Бұл заңдар толқындық теңдеулер сияқты айтылады. Үздіксіз жүйелер үшін бұл жүйенің фазалық кеңістігіндегі жартылай дифференциалдық теңдеулер, орта үшін көбінесе осы бұзылулардың кеңістіктік және уақытша туындылары арқылы көрші нүктелердегі бұзылуларды байланыстыратын теңдеулерге дейін азаяды. Толқындардың маңызды ерекше жағдайы-бұл сызықтық толқындар, олар үшін суперпозиция принципі әділетті. Негізінен, физикалық толқындар материяға шыдамайды, бірақ тек энергияны ғана емес, материяның толқындық ауысуы мүмкін. Мұндай толқындар абсолютті бос орын арқылы тарала алады. Мысалы, толқындар стационарлы емес бола алады: сәуле газ вакуум, толқыны ықтималдылығын электрон және басқа да бөлшектер, толқындар жану толқыны, химиялық реакция, толқын тығыздығы. Толқынның табиғаты бойынша тербелмелі және оқшауланған толқындарға бөлінеді [1].
Судағы толқындар ежелден зерттеушілердің назарын аударды. Бұл олардың табиғатта кең таралған құбылыс болып табылатындығына және сонымен қатар кемелердің суда қозғалуымен қатар жүретіндігіне байланысты.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Судағы қызықты толқынды 1834 жылы шотланд ғалымы Джон Скотт Расселл байқады. Ол бірнеше жылқы тартқан қайығынығың канал арқылы қозғалуын зерттеді. Кенеттен қайық тоқтайды да, бірақ баржа қозғалысқа әкелген судың массасы тоқтамайды, бірақ кеменің алдыңғы бөлігіне жиналып, артқы жағына қарай өтеді. Әрі қарай, судың бұл массасы өз пішінін өзгертпестен және жылдамдықты төмендетпестен оқшау биіктік түрінде жоғары жылдамдықпен канал бойымен жүрді.
Расселл өмір бойы осы толқынның бақылауына бірнеше рет оралды, өйткені ол өзі ашқан жалғыз толқын табиғаттағы көптеген құбылыстарда маңызды рөл атқаратынына сенді. Ол осы толқынның бірнеше қасиеттерін орнатты. Біріншіден, ол тұрақты жылдамдықпен және пішінді өзгертпестен қозғалатынын байқады. Екіншіден, осы толқынның С жылдамдығы каналдың h тереңдігінен және a толқынның биіктігіне тәуелді екенін тапты:

C=√g(a+h) (1.1)

мұндағы g -- еркін түсу үдеуі, және a h. Үшіншіден, Расселл бір үлкен толқынның бірнеше толқынға ыдырауы мүмкін екенін анықтады. Төртіншіден, ол эксперименттерде тек биіктік толқындары байқалатынын атап өтті. Бірде ол өзі ашқан жалғыз толқындар су бетінде пайда болған кішкентай толқындар сияқты бір-бірінен еш өзгеріссіз өтетініне назар аударды. Алайда, соңғы өте маңызды қасиетке ол айтарлықтай назар аудармады [2].
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
1844 жылы "Толқындар туралы есеп" деп жарияланған Расселлдің жұмысы ғалымдар арасында біркелкі емес реакция тудырды. Құрлықта ол мүлдем байқалмады, ал Англияда Г.Р.Эйри мен Дж.Г.Эйри Расселл байқаған тәжірбиелердің нәтижелерін сынға алды. Ол Расселлдің тұжырымдары таяз судағы ұзын толқындар теориясынан алынбайтынын атап өтті және ұзын толқындар өзгермейтін пішінді сақтай алмайды деп сендірді. Және, ақыр соңында, жұмысындағы бақылаулардың дұрыстығына күмән келтірді. Қазіргі гидродинамиканың негізін қалаушылардың бірі Джордж Габриэль Сток Расселл жасаған бақылаулардың нәтижелерімен келіспеді және оқшауланған толқынның бар екендігіне сыни көзқараспен қарады.
Оқшауланған толқынның ашылуына осындай теріс көзқарастан кейін, ғалымдар бұл туралы ұзақ уақыт бойы есіне алмады. Расселдің бақылауына Дж.Буссинеск (1872 жыл) мен Дж.В.Рейлидің (1876) көздері түсті. Олар бір-біріне тәуелсіз гиперболалық секанстың квадраты түрінде, судағы бос бетті көтерудің аналитикалық формуласын тапты, суда жалғыз толқынның таралу жылдамдығын есептеді. Кейінірек Расселлдің тәжірибелері басқа зерттеушілермен қайталанып, расталды. Әр түрлі ортадағы толқындардың таралуын сипаттау кезінде математикалық модельдер ретінде жартылай туынды теңдеулер жиі қолданылады. Бұл қарастырылып отырған құбылыстың сипаттамаларының белгісіз туындылары бар теңдеулер. Сонымен қатар, сипаттама (мысалы, дыбыстың таралуы кезінде ауаның тығыздығы) ресурстан және уақытқа дейінгі қашықтыққа байланысты болғандықтан, теңдеуде бір емес, екі (кейде одан да көп) туынды қолданылады. Қарапайым толқындық теңдеу келесідей түрде беріледі:

utt=c2uxx (1.2)

Бұл теңдеудегі толқынның сипаттамасы х кеңістіктік координатасына және t уақытына байланысты. Ал айнымалыдағы индекстер екінші туынды және уақыт (ut) және екінші туынды және X(uxx) айнымалысын білдіреді. (1.2) теңдеу жалпақ бір өлшемді толқынды сипаттайды, оның аналогы жіптегі толқын бола алады. Бұл теңдеуде, мысалы, ауадағы дыбыстық толқын туралы айтатын болсақ, ауа тығыздығын сапа және қабылдауға болады. Егер электромагниттік толқындар қарастырылса, онда электрлік немесе магниттік өрістің кернеуін қарастыру керек [3].
1748 жылы Ж.Д'Аламбер алғаш рет алған толқындық теңдеудің шешімін қарастырды:

ux,t=fx-ct+g(x+ct) (1.3)

мұндағы f және g функцияларын и функциясының бастапқы шартынан табуға болады. (1.3) теңдеу u-дан t-ға дейінгі екінші туындыны қамтиды, сондықтан оған екі бастапқы шарт қойылуы керек: t = 0 кезіндегі u мәні және t = 0 болғандағы u туындысы.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Толқындық теңдеу өте маңызды қасиетке ие, оның мәні келесідей. Егер біз осы теңдеудің кез-келген екі шешімін алсақ, онда олардың қосындысы қайтадан сол теңдеудің шешімі болатыны белгілі болды. Бұл қасиет (1.3) теңдеу шешімдерінің суперпозиция принципін көрсетеді және ол сипаттайтын құбылыстың сызықтығына сәйкес келеді. Сызықтық емес модельдер үшін бұл қасиет орындалмайды, бұл тиісті модельдердегі процестердің айтарлықтай айырмашылықтарына әкеледі. Атап айтқанда, Расселл байқаған жалғыз толқынның жылдамдығы туралы өрнектен оның мәні амплитудаға байланысты, ал (1.1) теңдеумен сипатталған толқын үшін мұндай тәуелділік жоқ.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Теңдеуіне тікелей ауыстыру арқылы тәуелділіктің бар екеніне көз жеткізуге болады
----------------------------------- ----------------------------------- ----------

ux,t=a cos⁡(kx-ωt) (1.4)

мұндағы а, k, ω -- тұрақтылар, ω =+-k болғанда теңдеудің шешімі болып табылады. Бұл шешімде а -- амплитуда, k -- толқындық сан, ω -- жиілік. Берілген шешім - бұл фазалық жылдамдықпен ортада тасымалданатын монохроматикалық толқын. Мұндағы жылдамдық:

cp=ωk (1.5)

Зерттеушінің қандай (сызықтық немесе сызықтық емес) модельмен айналысатынын анықтау әрдайым оңай емес, бірақ математикалық модель қалыптасқан кезде, бұл мәселені шешу жеңілдетіліп, шешімдердің суперпозиция принципін тексеруге болады.
Судағы толқындарға оралсақ, оларды сызықтық емес екендігі белгілі гидродинамика теңдеулерін қолдана отырып талдауға болатындығын ескеріңіз. Сондықтан судағы толқындар жалпы жағдайда сызықты емес. Шағын амплитудалардың шекті жағдайында ғана бұл толқындарды сызықтық деп санауға болады.
Дыбыстың таралуы барлық жағдайларда сызықтық теңдеумен сипатталмайды. Расселл өзінің бақылауларын оқшауланған толқынына негіздеген кезде, зеңбіректің атуынан шыққан дыбыс ауада командаға қарағанда тезірек таралатынын атап өтті. Бұл қуатты дыбыстың таралуы енді толқындық теңдеумен емес, газ динамикасының теңдеулерімен сипатталатындығына байланысты [4].
Дидерик Иоханнес Кортевег (1848 ж. 31 наурыз - 1941 ж. 10 мамыр) Хертогенбос қаласында сот отбасында дүниеге келді. Ол оқуын Дельфт политехникалық мектебінде бастады, инженер болуды жоспарлады, бірақ кейіннен математикаға деген сүйіспеншілігі оны мектепті тастап, математика пәнінің мұғалімі болуға мәжбүр етті. 1878 жылы Амстердам университетінде философия докторы дипломын серпімді құбырлардағы толқындардың таралуына арналған дипломдық жұмысымен алды.
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
1881 жылдан 1918 жылға дейін Кортевег Амстердам университетінде математика, механика және астрономия профессоры болып жұмыс істеді. Осы уақытта өзінің студенті Густав де Фризмен бірге оның ең танымал шығармасын жариялады:"Тікбұрышты арнада пайда болатын ұзын толқындардың пішінін өзгерту және ұзын стационарлық толқындардың жаңа түрі туралы".
----------------------------------- ----------------------------------- ----------
Густав де Фриз (1866 ж.22 қаңтар - 1934 ж. 16 желтоқсан) Амстердамда дүниеге келді. Амстердам университетінде оқыды. 1894 жылы Дидерик Кортевегтің жетекшілігімен докторлық диссертациясын қорғады: "Ұзын толқындарды тануға қосқан үлесі". Осыда кейін ұстасзымен бірлесіп диссертациялық жұмыс жасап шықты:"Тікбұрышты арнада таралатын ұзын толқындардың пішінін өзгерту және ұзын стационарлық толқындардың жаңа түрі туралы".Бұл еңбек ғалымның ең үлкен жетістігі болды.
Бір өлшемді толқындардың таралу процесін сызықтық дифференциалдық теңдеумен кеңістіктік айнымалы x және t уақытындағы дербес туындысы:

Lu=0 (1.6)

мұндағы L - тұрақты коэффициенттері бар сызықтық дифференциалды оператор; ux,t- толқынның сипаттамасын сипаттайтын функция, мысалы, ортаның тығыздығы немесе қысым.
(1.6) теңдеудің шешімін монохроматикалық толқын түрінде іздейміз:

ux,t=a exp-iwt-kx. (1.7)

(1.7) өрнекті (1.6) ауыстырғаннан кейін, w жиілігі мен k толқындық саны арасындағы D(w, k)=0 қатынасын аламыз, оны дисперсия қатынасы деп атайды. Дифференциалдық теңдеу (1.6) мен оның дисперсиялық қатынасы арасында бір мәнді байланыс бар екені анық. Кейбір жағдайларда дисперсиялық қатынасты толқын жиілігіне қатысты шешуге болады және оны келесі түрде жазуға болады

w=w(k). (1.8)

w -де бөлігінің болуы толқын амплитудасының (1.7) өзгеруіне физикалық сәйкес келетінін ескеріңіз. Im=w0 жағдайында толқынның амплитудасы төмендеген кезде толқын энергиясының диссипациясы бар орта туралы айтылады. Егер Im w = 0 болса, онда орта массасыз деп аталады. Толқындардың белсенді ортада, мысалы, лазерлердің жұмыс денелеріндегі электромагниттік толқындарда таралу процесін қарастырғанда, толқын күшейген кезде және уақыт өте келе оның амплитудасы жоғарылаған кезде im w0 жағдайын жүзеге асыруға болады.
Егер d2wdk2!=0, болса, онда толқынның фазалық жылдамдығы: vф=wk топтық жылдампен сәйкес келмейді: vг=dwdk. Мұндай орта (және кейде толқынның өзі) дисперсиясы бар орта немесе дисперсті орта деп аталады. Дисперсия болған кезде әр түрлі жиіліктегі монохроматикалық толқындар әртүрлі жылдамдықпен таралады. Сонымен, кездейсоқ профилі бар кез-келген күрделі формадағы монохроматикалық емес толқын монохроматикалық толқындардың қосындысы ретінде Фурье қатарына немесе интегралына ыдырау арқылы ұсынылуы мүмкін, содан кейін дисперсті ортада, бұл монохроматикалық компоненттер әртүрлі жылдамдықпен таралады, олардың қосындысы уақыттың әртүрлі нүктелерінде монохроматикалық емес толқынның әртүрлі профильдерін береді. Дисперсия, сызықтық емес сияқты, таралатын толқын профилінің бұрмалануына әкеледі [5].
Қарапайым дисперсиялық арақатынас: w=v0k сызықтық дифференциалдық теңдеуге сәйкес келеді.

dudt+v0dudx=0, v0=const (1.9)

мұндағы шешім түрлі f болғандағы дисперсиялық емес теңдеулерді көрсетеді: ux,t=f(x-v0t)
Неғұрлым күрделі дисперсиялық қатынас w=v0k-β дисперсиялық сызықтық теңдеуге сәйкес келеді:

dudt+v0dudx+βd3udx3=0, v0=const; β=const (2.0)

Дисперсияны және сызықты емес сызықты бір уақытта есепке алу мына теңдеуге әкеледі:

dudt+ududx+βd3udx3=0 (2.1)

Бұл теңдеу Кортевега - де Фриз теңдеуі деп аталады
Алғаш рет (2.1) теңдеуді Кортевег және оның шәкірті де Фриз 1895 жылы бос беті бар тікбұрышты каналда суда ұзын толқындардың таралуын сипаттау кезінде алған. Мұндай гидродинамикалық модельде u деп сұйықтық бетінің тепе-теңдік деңгейінен жылжуын түсіну керек [6].
(2.1) теңдеудің шексіздікке тез енетін функциялар класындағы маңызды ерекшелігі - түрдің сақталатын шамаларының шексіз жиынтығы:

In=-infinity+infinitywn(η, ηx, ...)dx, n=1, 2, ..., (2.2)

мұндағы wn(η, ηx, ...) - u және оның x туындыларына байланысты сақталатын шаманың тығыздығы; η=β-1u. Міне, алғашқы бірнеше тығыздық:

w1=η; w2=12η2; w3=13η3-ηx2;
w4=14η4-3ηηx2+95ηxx2. (2.3)

Сақталу заңдарының шексіз санының болуы Кортевег-Де-Фриз теңдеуінің интеграциялануы туралы нақты қорытынды жасауға мүмкіндік береді.
Кортевег-Де Фриз теңдеуінің толқындық шешімдерін іздей отырып, конвективті сызықты емес болғандықтан толқын профилінің бұрмалануы дисперсия әсерінен туындаған таралатын толқын профилінің өзгеруімен өтелуі мүмкін деп күтуге болады. Осындай өтемақы алу мүмкіндігін ескере отырып, біз тұрақты профилі бар толқын түрінде Кортевег-Де Фриз теңдеуінің шешімін іздейміз. Ол үшін ауыстыруды жүргіземіз ξ=x-vt және (2.2) теңдеуді функция үшін теңдеуге түрлендіреміз u=u(ξ):

-vdudξ+ududξ+βd3udξ3=0 (2.4)

мұндағы v=const; β=const.
Бұл теңдеуді оның тәртібін төмендету арқылы біріктіруге болады. Интеграция нәтижесінде біз аламыз:

-vu+12u2+βd2udξ2=a, a=const. (2.5)

Бұл теңдеуді dudξ-ке көбейту және алынған қатынасты біріктіру арқылы біз табамыз

-v2u2+16u3+β2dudξ2=au+b, b=const. (2.6)

(2.6) теңдеуді келесі түрге келтіруге болады:

3βdudξ2=F(u) (2.7)
мұндағы Fu=-u3+3vu2+6au+6b.

x және t айнымалыларына оралсақ, Кортевег-Де Фриз теңдеуінің табылған шешімін өзгермейтін формадағы сызықты емес толқын түрінде жазамыз

ux,t=A x-vt∆ (2.8)

мұндағы A=u1 - толқынның амплитудасы; v=A3 - толқын жылдамдығы; ∆=12βA - бұзылу аймағының тиімді мөлшерін сипаттайтын параметр, u0,5A.
Мұндай шешім (2.8) Кортевег-Де-Фриз теңдеулері оқшауланған толқын (1-сурет) немесе солитон деп аталады.

1 - сурет. Оқшауланған толқын

1-суретте оқшауланған толқынның қарапайым сұлбасы берілген. Мұндағы u толқын функциясы, А-амплитудасы
Уақыт өте келе өзгермейтін қоңырау тәрізді форманың мұндай бұзылуы v=a3 соңғы жылдамдығымен солитон түрінде таралады, оның мәні солитонның амплитудасына байланысты. Солитонның амплитудасы неғұрлым үлкен болса, соғұрлым ол жылдамдықпен қозғалады. Таралу жылдамдығының амплитудаға тәуелділігі барлық сызықты емес толқындарға, соның ішінде сызықты емес оқшауланған толқынға тән. Солитонның тиімді ені оның амплитудасының өсуімен азаяды [7].
Расселлдің оқшауланған толқындардағы тәжірибелерінен кейін туындаған мәселенің түпкілікті айқындығы даниялық ғалымдардың жұмысынан кейін пайда болды. Кортевег пен Густав де Фриз, олар Расселдің бақылауларының бар екенін түсінуге тырысты. Рэйлей әдісін қорытындылай келе, бұл ғалымдар 1895 жылы судағы ұзын толқындарды сипаттайтын теңдеуді шығарды. Кортевег пен де Фриз гидродинамика теңдеулерін қолдана отырып,құйындар болмаған кезде және судың тығыздығы тұрақты болған кезде су бетінің тепе-теңдік жағдайынан ауытқуды және (х, t) қарастырды. Олар жасаған алғашқы жуықтау табиғи болды. Олар сонымен қатар толқын таралған кезде өлшемсіз параметрлер үшін екі шарт орындалады деп болжады:

ε=ah≪1; δ=hl (2.9)

----------------------------------- ----------------------------------- ----------
2-сурет. Канал арқылы таралатын жалғыз толқын және оның параметрлері
----------------------------------- ----------------------------------- ----------

2-суретте а -- толқын амплитудасы, h -- бассейн тереңдігі l -- толқын ұзындығы.
Бассейннің тереңдігі, бірақ сонымен бірге толқын ұзындығы бассейннің тереңдігінен көп болды. Осылайша, Кортевег пен де Фриз ұзын толқындарды қарастырды. Алынған теңдеу келесідей түрде:

ut+6uux+uxxx=0 (2.10)

мұндағы u(x,t) - су бетінің тепе-теңдік жағдайынан ауытқу (толқын пішіні) - x координатасына және t уақытына байланысты. u сипаттамасындағы индекстер t және x бойынша тиісті туындыларды білдіреді, бұл теңдеу (2.10) сияқты жартылай туынды теңдеу болып табылады. Оның зерттелген сипаттамасы (бұл жағдайда u) x кеңістіктік координатына және t уақытына байланысты.
Осы типтегі теңдеуді шешу дегеніміз- u-дің x және t-ге тәуелділігін табу, оны теңдеуге ауыстырғаннан кейін біз сәйкестендіруге келеміз.
(2.10) теңдеуінде өткен ғасырдың аяғынан белгілі толқындық шешім бар. Ол Карл Якоби зерттеген арнайы эллиптикалық функция арқылы көрінеді, ол қазір оның есімімен аталады.
Кейбір жағдайларда якобидің эллиптикалық функциясы гиперболалық секансқа өтеді және шешім келесідей болады

ux,t=2k2ch-2{kx-4k2t+φ0} (2.11)

мұндағы ϕ0 -- еркін тұрақты.
(2.11) теңдеудің (2.10) шешімі-толқынның шексіз үлкен кезеңінің шекті жағдайы. Дәл осы шекті жағдай 1834 жылы Расселлдің бақылауына сәйкес келетін жалғыз толқын болып табылады.
Кортевег - де-Фриз теңдеуінің (2.10) шешімі-қозғалатын толқын. Бұл оның айнымалы арқылы x координатасы мен t уақытына байланысты екенін білдіреді: ξ=x-c0t. Бұл айнымалы 0 толқынының жылдамдығымен қозғалатын координат нүктесінің орнын сипаттайды, яғни ол толқынның шыңында үнемі болатын бақылаушының орнын білдіреді. Сонымен, Кортевег-де-Фриз теңдеуі, Д'Алемберт шешімінен (2.11) айырмашылығы, толқындық шешімнің (2.11) тек бір бағытта таралатын толқыны бар. Алайда, uux және uxxx қосымша терминдеріне байланысты күрделі әсерлердің көрінісін ескереді [8].
Әрине, судағы ұзын толқындар үшін теңдеуді шығарған кезде e және 6 параметрлерінің әсерін дәлірек ескеруге болады, бірақ содан кейін теңдеуден (2.11) және жоғары ретті туындылардан гөрі көп терминдер бар теңдеу алынады. Жоғарыда айтылғандардан толқындарды сипаттау үшін Кортевег-де-Фриз теңдеуін шешу тек толқын пайда болған жерден белгілі бір қашықтықта және белгілі бір уақыт аралығында болады. Өте үлкен қашықтықта сызықты емес толқындар енді Кортевег-де-Фриз теңдеуімен сипатталмайды және процесті сипаттау үшін дәлірек модель қажет болады. Кортевег-де-Фриз теңдеуі, осы мағынада, толқындардың суда таралуының нақты процесіне белгілі бір дәлдік деңгейіне сәйкес келетін кейбір жуықтау (математикалық модель) ретінде қарастырылуы керек.
Қазіргі уақытта Расселлдің ашылуы және оның Кортевег пен де Фриз жұмысындағы расталуы ғылымда айтарлықтай резонанс тудырмағаны таңқаларлық болып көрінеді. Бұл жұмыстар 70 жылға жуық уақыт ұмытылды. Теңдеудің авторларының бірі Д.Д.Кортевег ұзақ өмір сүрді және әйгілі ғалым болды. Бірақ 1945 жылы ғылыми қауымдастық оның 100 жылдық мерейтойын атап өткен кезде, оның де Фризбен жасаған жұмысы ең жақсы Жарияланымдар тізімінде болған жоқ. Тізімді құрастырушылар Кортевегтің бұл жұмысын назардан тыс қалдырды. Ширек ғасырдан кейін ғана бұл жұмыс Кортевегтің басты ғылыми жетістігі болып саналды [9].
Алайда, егер сіз бұл туралы ойласаңыз, онда Расселлдің жалғыз толқынына назар аудармау түсінікті болады. Оның ерекшелігіне байланысты бұл жаңалық ұзақ уақыт бойы жеке факт болып саналды. Шынында да, ол кезде физикалық әлем сызықты болып көрінді және суперпозиция принципі көптеген физикалық теориялардың негізгі принциптерінің бірі болып саналды. Сондықтан зерттеушілердің ешқайсысы суда экзотикалық толқынның ашылуына үлкен мән берген жоқ.
Суда жалғыз толқынның ашылуына оралу белгілі бір дәрежеде кездейсоқ болды және басында оған ешқандай қатысы жоқ сияқты көрінді. Бұл оқиғаның кінәсі біздің ғасырдың ұлы физигі Энрико Ферми болды. 1952 жылы Ферми екі жас физик С.Улам мен Д.Пастадан компьютердегі сызықтық емес міндеттердің бірін шешуді сұрады.. Сонымен қатар, сызықты емес қосымша k негізгі күшімен салыстырғанда аз болуы керек еді l. бастапқы тербелісті жасай отырып, зерттеушілер бұл бастапқы режимнің барлық басқа режимдерге қалай бөлінетінін көргісі келді. Бұл тапсырманы компьютерде есептегеннен кейін олар күткен нәтижеге қол жеткізе алмады, бірақ есептеудің бастапқы кезеңінде энергияны екі-үш сәнге ауыстыру шынымен жүретінін анықтады, бірақ содан кейін бастапқы күйге оралу байқалады. Бастапқы тербелісті қайтаруға байланысты бұл парадокс бірнеше математиктер мен физиктерге белгілі болды. Атап айтқанда, бұл мәселені американдық физиктер М. Крускал мен Н. Забуски білді, олар Ферми ұсынған модельмен есептеу эксперименттерін жалғастыруға шешім қабылдады [10].
Есептеулер мен ұқсастықтарды іздегеннен кейін, бұл ғалымдар Ферми, Паста және Улам қолданған теңдеу жүктемелер арасындағы қашықтықты азайтып, олардың санының шексіз өсуімен Кортевег-де-Фриз теңдеуіне ауысатынын анықтады. Яғни, Ферми ұсынған есеп 1895 жылы Расселлдің жалғыз толқынын сипаттау үшін ұсынылған Кортевег-де-Фриз теңдеуінің сандық шешіміне дейін азайтылды. Шамамен сол жылдары Кортевег-де-Фриз теңдеуі плазмадағы ион-дыбыстық толқындарды сипаттау үшін де қолданылатындығы көрсетілді. Содан кейін бұл теңдеу физиканың көптеген салаларында кездесетіні белгілі болды, сондықтан осы теңдеумен сипатталған жалғыз толқын-кең таралған құбылыс.
Мұндай толқындардың таралуын модельдеуге арналған есептеу тәжірибелерін жалғастыра отырып, Крускал мен Забуски олардың соқтығысуын қарастырды. Осы керемет фактіні талқылауға толығырақ тоқталайық. Кортевег-де-Фриз теңдеуімен сипатталған екі жалғыз толқын болсын, олар амплитудасымен ерекшеленеді және бір-бірінен кейін бір бағытта қозғалады (2-сурет). Оқшауланған толқындар формуласынан мұндай толқындардың жылдамдығы неғұрлым жоғары болса, олардың амплитудасы соғұрлым үлкен болады және шыңның ені амплитудасының өсуімен төмендейді. Осылайша, жоғары оқшауланған толқындар тезірек қозғалады. Үлкен амплитудасы бар толқын алға қарай төмен амплитудасы бар Толқынға жетеді. Әрі қарай, біраз уақыттан кейін екі толқын бір-бірімен өзара әрекеттесіп, бірлік ретінде бірге қозғалады, содан кейін олар ажыратылады. Бұл толқындардың керемет қасиеті-олардың өзара әрекеттесуінен кейін формасы [11].

3 - сурет. Кортевег-де-Фриз теңдеуімен сипатталған екі солитон,
өзара әрекеттесуден бұрын (жоғарыда) және кейін (төменде)

3-суретте толқындардың жылдамдығы қалпына келетінін көруге болады. Соқтығысудан кейінгі екі толқын тек өзара әрекеттесусіз қозғалумен салыстырғанда белгілі бір қашықтыққа ауысады.
Толқындардың өзара әрекеттесуінен кейін пішіні мен жылдамдығы сақталатын Процесс екі бөлшектің серпімді соқтығысуына ұқсайды. Сондықтан Крускал мен Забускийлер осындай оқшауланған толқындарды солитондар деп атады (ағылшын тілінен. solitary-жалғыз). Электронға, протонға және басқа да көптеген элементар бөлшектерге сәйкес келетін оқшауланған толқындардың ерекше атауы қазіргі уақытта жалпыға ортақ.
Расселл ашқан және бөлшектер сияқты әрекет ететін жалғыз толқындар. Үлкен толқын өзара әрекеттескенде кіші толқыннан өтпейді. Жалғыз толқындар жанасқан кезде үлкен толқын баяулайды және азаяды, ал кішкентай толқын, керісінше, жеделдейді және өседі. Кішкентай толқын үлкен мөлшерге дейін өсіп, үлкені кіші мөлшерге дейін төмендегенде, солитондар бөлініп, үлкені алға қарай жылжиды. Осылайша, солитондар серпімді теннис доптары сияқты әрекет етеді.
Солитон-бұл сызықты емес жалғыз толқын, ол өзінің қозғалысы мен жылдамдығын өзіндік қозғалыс кезінде сақтайды және өзіне ұқсас жалғыз толқындармен соқтығысады, яғни тұрақты қалыптасуды білдіреді. Солитондардың өзара әрекеттесуінің жалғыз нәтижесі кейбір фазалық ығысу болуы мүмкін [12].
Кортевег-де-Фриз теңдеуімен байланысты ашылымдар солитонның ашылуымен аяқталған жоқ. Осы керемет теңдеуге қатысты келесі маңызды қадам жартылай туынды сызықтық емес теңдеулерді шешудің жаңа әдісін жасау болды. Сызықтық емес теңдеулердің шешімін табу өте қиын екені белгілі. Біздің ғасырдың 60-жылдарына дейін мұндай теңдеулерде арнайы берілген бастапқы шарттарды қанағаттандыратын кейбір жеке шешімдер болуы мүмкін деп есептелді. Алайда, Кортевег-де-Фриз теңдеуі бұл жағдайда ерекше жағдайда болды.
1967 жылы американдық физиктер К. С. Гарднер, Дж.М.Грин, М. Крускал және Р.Миура Кортевег-де-Фриз теңдеуінің шешімі координатаны шексіздікке ұмтылған кезде белгілі бір жолмен нөлге айналатын барлық бастапқы жағдайлар үшін алынуы мүмкін екенін көрсетті. Олар Кортевег - де-Фриз теңдеуін Қазіргі Лакс жұбы деп аталатын екі теңдеулер жүйесіне түрлендіруді қолданды (солитон теориясының дамуына үлкен үлес қосқан американдық математик Питер Лакстың атымен) және бірқатар маңызды сызықты емес теңдеулерді шешудің жаңа әдісін тапты.жартылай туынды. Бұл әдіс кері шашырау есебінің әдісі деп аталды, өйткені ол кванттық механиканың шашырау деректері бойынша потенциалды қалпына келтіру мәселесін шешуді айтарлықтай қолданады. Үздіксіз уақыттағы дифференциалдық теңдеулерде де, дискретті уақыттағы айырмашылық теңдеулерінде де бастапқы шарттар кез-келген болашақ уақытта динамикалық айнымалылардың мәніне әсер етеді. Үздіксіз уақытта уақыт пен бастапқы жағдайларға байланысты күй айнымалылары үшін жабық форманың шешімін табу мәселесі бастапқы мән мәселесі деп аталады. Дискретті уақыт жағдайлары үшін тиісті мәселе бар. Жабық түрдегі шешімді алу әрдайым мүмкін болмаса да, дискретті уақыт жүйесінің болашақ мәндерін Итерация үшін бір уақыт ішінде алға қарай Итерация арқылы табуға болады, дегенмен дөңгелектеу қатесі оны үлкен горизонттарда мүмкін емес етуі мүмкін [13].

Бір өлшемді Кортефег-Де Фриз теңдеуі

Дифференциалдық теңдеулерде негізгі дифференциалдық теңдеудің қосымшасы ретінде бастапқы шарт және шекаралық шектеулер қолданылады. Бұл шарттар теңдеуді бастапқы уақытта не болмаса қандай да бір қарастырылып отырған аумақтың шекарасында қарастырылуын қамтамасыз етеді.
Математикада, әсіресе динамикалық жүйелерде, бастапқы шарт, кейбір контексте бастапқы мән деп аталады, белгілі бір уақытта өзгеретін айнымалының мәні бастапқы уақыт ретінде белгіленеді. k ретті жүйесі мен n өлшемі үшін, әдетте, уақыт өте келе жүйенің айнымалыларын бақылау үшін nk бастапқы шарттары қажет.
Үздіксіз ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.