Сандар теориясы

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 73 бет
Таңдаулыға:

Сандар теориясы

Құрастырушы: Жолмағанбет Ақерке Әділханқызы,

Есалина Айзада Піралықызы - математика пәні мұғалімдері

Ақтөбе облыстық мамандандырылған физика-математикалық мектеп-интернаты

Пікір берушілер:

Ж. Әнеш- Ақтөбе облыстық ғылыми-тәжірибелік орталығының әдіскері, п. ғ. магистрі

Ғ. Байсейтова - Мектепке дейінгі және жалпы орта білім беру ұйымының әдіскері

Аннотация

Оқу құралында математика пәнінен «Сандар теориясы» бойынша есептердің басым көпшілігі қарастырылған. Авторлар алдымен, берілген тақырыптар түсініктірек болу үшін және өз бетімен жұмыс істей алуын жетілдіру мақсатында әр тақырыпқа мағынаны тереңірек ашатын есептерді шығарудың мысалдарын келтірген. Яғни, бұл оқу құралы арқылы мұғалім өзіне есептер қорын жинай алса, оқушыларға өз бетімен сабаққа дайындалуда қиындық туғызатын күрделі тақырыптардағы есептерді шешуде нұсқаулық берілген.

Алғы сөз

Сандар теориясы -математиканың бүтін, рационал және алгебралық сандардың қасиеттерін зерттейтін саласы. Әсіресе оң натурал сандар 1, 2, 3, …, оның қасиеттері мен оларға арифметикалық амалдар қолдану Сандар теориясының зерттеу аясында ерекше орын алады. Грекияда б. з. б. 6 ғ-да (Пифагор мектебінде) бүтін сандардың бөлінгіштігі зерттеліп, бүтін сандардың жеке түрлері (мысалы, жай сандар, құрама сандар, квадрат сандар) ажыратылды, кемел сандардың құрылымы қарастырылды. Евклид “Негіздерінде” Евклид алгоритміне сүйеніп, екі бүтін санның ең үлкен ортақ бөлгішін табуға арналған жүйелі бөлінгіштік теориясы құрылды. Онда Евклид жай сандардың шексіз көп болатынын дәлелдеді. Диофанд (б. з. б. 3 ғ. ) “Арифметика” деген еңбегінде теңдеулердің бүтін санды шешулерін табумен айналысып, Сандар теориясын дамытуға үлкен үлес қосты. Сандар теориясының кейбір мәселелері Қытайда (2 ғ-дан бастап), Үндістанда (7 ғ-дан бастап), Шығыс араб елдерінде (9 ғ-дан бастап) қарастырылды. Еуропада Сандар теориясының дамуы П. Ферма (1601 - 65) зерттеулерінен басталады. Ферма өзінің атақты теоремасын дәлелдеген және бұл теорема салыстыру теориясында үлкен рөл атқарған кіші теорема болды. Л. Эйлер (1707 - 83) аналитикалық Сандар теориясының негізін қаласа, К. Гаусс жүйелі салыстыру теориясын жасады. 19 ғ-дың ортасында П. Дирихле (1805 - 59) арифметикалық прогрессия туралы теоремасын дәлелдеп, өзінің функционалдық қатарын енгізді. Сандар теориясының дамуына ресейлік ғалымдар П. Чебышев (1821 - 94), А. Марков (1856 - 1922), И. Виноградов (1891 - 1983), т. б. үлес қосқан. Қазақстанда Сандар теориясының дамуын арттыруда Б. Оразбаев шәкірттерімен бірге жемісті еңбек етті. Аналитикалық әдістерді алгебрада қолдануды қажет ететін есептерді, яғни абсолют абельдік өрістердің асимптотикалық таралу заңдылығы (Оразбаев), абсолют абельдік өрістер санының натурал қатарда орналасу заңдылығы

(С. Кенжебаев, А. Бөленов), Дирихленің L-қатарларының теор. -функционалдық қасиеттері (Р. Тұрғаналиев, т. б. ), жазық облыстардағы бүтін нүктелер санының бағасы (С. Әбләлимов), кейбір мультипликативтік функциялардың бағасы (И. Ильясов) зерттелді. Қазақстанда, негізінен, сандардың аналитик. теориясы дамуда. Қазіргі кезде Сандар теориясының шешілмеген мәселелері көп: жай егіз сандар мәселелері, $n^{2}$ +1 түріндегі жай сандардың шексіздігі, шеңбер ішіндегі және гипербола астындағы бүтін нүктелер, p+е сандарының трансценденттігі, т. б.

Бұл оқу-әдістемелік құралды жазудағы ең негізгі мақсат мектеп оқушыларына білім беру бағдарламасынан тыс олимпиадалар мен ғылыми жобаларға дайындалуға бағыт-бағдар беру.

Жалпыға ортақ білім бағдарламасы математикаға бейімі бар кейбір оқушылар үшін оңай болуы мүмкін. Бұл кей жағдайда оқушылардың қызығушылығының төмендеуіне әкеліп соғады. Осындай жайттарды болдырмаудың алдын алу үшін арнайы осы оқулық сияқты материалдарды оқушылардың әрі қарай математикаға қызығушылығын арттырып, ынталандыру үшін қолдануға болады. Екінші бір маңыздылығы, Республикалық, Халықаралық олимпиадаға дайындайтын оқулықтардың көпшілігі ағылшын тілінде жазылған. Бұл тілдік бұғат қазақ, орыс тілінде оқитын оқушылардың Халықаралық математикалық олимпиада аренасында бәсекеге қабілеттілігін біршама төмендетеді. Сондықтан, сандар теориясы кітабы көп оқушыларға мүмкіндік ашатын таптырмас олжа.

Бұл кітаптың кейбір есептерінде АҚШ-тың Халықаралық Математика Олимпиада құрамасының олимпиадаға дайындық материалдары қамтылған. Кітап сатылы түрде құрастырылған. Яғни, оқушылардың сандық-теориялық дағдылары мен тәсілдерін біртіндеп дамытады. Кітаптың алғашқы тарауы сандар теориясы мен математикалық құрылымдарымен жан-жақты таныстырады. Тақырыптар сандардың бөлінгіштік қасиеті мен Евклид алгоритмдерінен бастау алып, арифметиканың фундаметалды теормасын қамтиды.

Кітаптың келесі бөлігі Ферма, Эйлер теоремаларын қамтумен басталып, Мерсен, Ферма, керемет сандарды түсіндірумен қорытындыланады. Жоғарыда көрсетілген материалдар сандар теориясының таңдау курсының оқулығы бола алады. Бұл жұмыс оқушылардың математикаға деген көзқарасын кеңейтуге және оларды түрлі математикалық олимпиадаларға қатысуға жақсы дайындауға бағытталған. Бұл кітап оқушылардың проблемаларды шешу тактикалары мен стратегияларын дамытып, жетілдіру арқылы сандар теориясының маңызды салаларына тереңірек үңілуге септігін тигізеді. Кітап оқушылардың болашақта математиканы оқуға деген қызығушылығын арттырады.

Бөлінгіштік

Біз төменгі сыныптарда (бүтін сандар) сандармен орындауға болатын төрт негізгі амалды үйрендік, атап айтқанда қосу (+), азайту (-), көбейту $( \bullet )$ , бөлу $( \div )$ . Кез келген екі бүтін a және b сандары үшін олардың қосындысы a+b , айырмасы a-b, a+b , көбейтіндісі ab -бүтін сан, ал олардың бөліндісі $\frac{a}{b}$ немесе $\frac{b}{a}$ бүтін сан болуы міндетті емес.

Кез келген m және нөлден айрықша n бүтін сандары үшін, m саны n санына бөлінеді дейміз, егер m=kn болатындай k бүтін саны табылса. Біз оны келесідей белгілейміз: m $\ \vdots n$ немесе nm. Егер m саны n санына бөлінсе, онда m саны n санының еселігі деп аталады және n саны m санының бөлгіші деп аталады.

0 = 0 · n болғандықтан, барлық n бүтін сандары үшін n 0. Бекітілген n бүтін саны үшін, n санының еселіктері 0, ± n, ±, 2n, . . . Демек, әрбір n бүтін сандар қатарында n санының еселігі бар деген сөз. Егер m саны n санына бөлінбесе, онда n $\nmid$ m арқылы белгілейміз. (Нөлден айрықша барлық m сандары үшін

0 $\nmid$ m екенін ескереміз, өйткені барлық k бүтін сандары үшін m $\neq 0 = k \bullet 0.$ )

Сөйлем 1. 1. x, y және z - бүтін сандар болсын. Онда келесі қасиеттерге ие болады:

(a) х x (рефлексиялық қасиеті) ;

(b) Егер x у және у z , онда x z (транзитивтілік қасиеті) ;

(d) Егер x у және х z , онда кез келген α және β бүтін сандары үшін x αy + βz;

(e) Егер x у және х y ± z , онда x z ;

(f) Егер x у және у x , онда x = у ;

(g) Егер x у және y $\neq 0$ , онда $\frac{y}{x}\ x$ ;

(h) z $\neq 0$ үшін x у сонда тек қана сонда егер, xz у $z$

Дәлелдеуі: (а) үшін x = 1 · x екенін ескереміз. (b) -ден (h) -ге, х у шарты берілген; яғни кейбір бүтін k үшін y = kx.

(b) үшін бізде у z екені белгілі; яғни k ₁ бүтін саны үшін z = k ₁ y . Онда z = (kk ₁ ) x , немесе x z .

(d) үшін біз одан әрі z = k ₂ x деп есептейміз. Сонда αy + βz = (kα + k ₂ β) x.

(e) үшін y ± z = k ₃ x , немесе ± z = k ₃ x - y = (k ₃ −k) x аламыз. Бұдан z = ± (k - k ₃ ) x.

(f) x у және у х болғандықтан, бұдан х = 0 және у = 0 шығады. (c) бойынша, у ≥ х және x ≥ у екендігі белгілі. Демек x = у .

(g) y = x · k, k у болғандықтан $\frac{y}{x}$ = k $\neq$ 0 бүтін сан болады.

(h) z $\neq$ 0, x $\neq$ 0 сонда тек қана сонда, егер xz $\neq$ 0 . y = kx сонда тек қана сонда, егер yz = kxz .

(g) қасиеті қарапайым, бірақ пайдалы. Нөлден айрықша n бүтін саны үшін n -нің оң бөлгіштерінің саны жұп болады, егер n толық квадрат болса, яғни қандай да бір m бүтін саны үшін n = m ² . (Егер бүтін сан бір де бір толық квадратқа бөлінбесе, онда ол квадратсыз деп аталады. Егер қандай да бір m бүтін саны үшін n = m ³ , онда n тамаша квадрат деп аталады. Жалпы жағдайда, m және s, s ≥ 2 бүтін сандары үшін n = m ^s болса, онда n керемет күш деп аталады. )

Себебі, y -тің барлық екі-екіден екі-екіден, атап айтқанда x және $\frac{x}{y}$ ( y толық квадрат болмаса, онда x $\neq \frac{y}{x}$ ескереміз) . Келесі классикалық басқатырғышқа назар салайық:

Есеп 1 . Жиырма студент 1-ден 20-ға дейін нөмірленген жабық шкафтар қатары бар дәлізде жүріп келеді. Бірінші студент барлық шкафты ашады; екінші студент 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 нөмірлі шкафтарды жабады; үшінші студент 3, 6, 9, 12, 15, 18 нөмірлі шкафтар: егер жабық болса, ол оны ашады, ал егер ашық болса, ол оны жабады, және сол сияқты.

i -ші студент i санына еселік болатын шкафтармен жұмыс жасайды: яғни, егер шкаф жабық болса, онда ол оны ашады, ал егер ашық болса, ол оны жауып кетеді. Барлық студенттер өткен соң қанша шкаф ашық қалады?

Шешуі: i -ші шкаф j студентімен басқарылады сонда тек қана сонда, егер j i. (g) қасиеті бойынша бұл орындалуы мүмкін сонда тек қана сонда егер шкаф $\frac{i}{j}$ студентімен де басқарылатын болса. Осылайша, 1=1 ² , 4=2 ² , 9=3 ² және 16=4 ² нөмірлері бар шкафтар ғана тақ сан рет қозғалады және осы шкафтар ғана барлық операциялардан кейін ашық қалады. Демек, жауабы: 4.

Z бүтін сандар жиынын екі ішкі жиынға бөлуге болады, жұп бүтін сандар жиыны және тақ бүтін сандар жиыны:

{±1 , ±3 , ±5 , . . . } және {0 , ±2 , ±4 , . . . } ,

қандай да бірkбүтін саны үшін тақ сан 2k + 1 түрінде болады;
қандай да бірmбүтін саны үшін жұп сан2mтүрінде болады;
екі тақ санның қосындысы жұп сан;
екі жұп санның қосындысы - жұп сан;
тақ және жұп санның қосындысы тақ сан;
екі тақ сандардың көбейтіндісі тақ сан;
жұп сандардың көбейтіндісі жұп сан болады, сонда тек қана сонда, егер көбейткіштердің кем дегенде біреуі жұп болса.

Есеп 2. n $\geq 1$ бүтін сан болсын.

(а) кез келген екі тақ тізбектес бүтін жұп сандардың қосындысы - 2 ⁿ ;

(б) кез келген үш тізбектес бүтін сандардың қосындысы - 3 ⁿ болатынын дәлелдеңіз.

Шешуі: (а) үшін 2 ⁿ = ( 2 k − 1 ) + ( 2 k + 1 ) қатынасы k = 2 ^n-2 екендігін білдіреді және біз 2 ⁿ =(2 ^n-1 -1) +(2 ^n-1 +1) аламыз.

(а) үшін 3 ⁿ = (s − 1 ) + s + (s + 1 ) қатынасы s= 3 ^n-1 екендігін білдіреді және біз

3 ⁿ = (3 ^n-1 − 1) + 3 ^n-1 + (3 ^n-1 + 1) аламыз.

Есеп 3 . k -жұп сан болсын. 1 санын бүтін тақ k сандарының кері сандарының қосындысы түрінде жазуға бола ма?

Шешуі: Кейбір $n_{1}, \ldots, \ n_{k}$ тақ сандары үшін

1= $\frac{1}{n_{1}} + \ldots + \frac{1}{n_{k}}$

болсын делік; бөлшектің бөлімінен құтылу арқылы n ₁ $\cdots n$ _k =s ₁ + $\cdots + s$ _k , мұндағы s _i барлығы тақ. Бірақ бұл мүмкін емес, себебі, сол жағы тақ, оң жағы жұп.

Егер k тақ болса, онда тұжырым дұрыс. k=9 және n ₁ , …, n ₉ -әртүрлі тақ оң бүтін сандар үшін бір мысал келтірейік.

$1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{45} + \frac{1}{231}$ .

Есеп 4. Алмаз {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } берілген сандар қатарының ішінен бес санды таңдап алды. Егер ол Айшаға таңдап алған сандарының көбейтіндісін айтса, бұл ол сандардың қосындысы жұп немесе тақ деп айтуға жеткіліксіз ақпарат еді. Таңдап алған сандардың көбейтіндісі нешеге тең екенін анықтаңыз.

Шешуі: Таңдап алынған сандардың көбейтіндісі екі таңдалмаған сандардың көбейтіндісіне эквивалентті. Бірден көп сандар жұбына ие болатын мүмкін жағдай, ол 12 ({3, 4} және {2, 6}) және 6 ({1, 6} және {2, 3}) .

Бірақ екінші жағдайда екі (таңдалмаған) санның қосындысы тақ (сондықтан бес таңдалған сандардың қосындысы да таң болады) . Сәйкесінше, бірінші жағдай орындалу керек және таңдалған бес санның көбейтіндісі:

$\frac{1 \bullet 2 \bullet 3\cdots 7}{12} = 420$ .

Бөлу алгоритмі

Келесі алгоритм бөлу алгоритмі деп аталады және ол сандар теориясында маңызды рөл атқарады:

Теорема 1. Кез келген a және b натурал сандары үшін b = aq + r және r <a болатын теріс емес бүтін сандарының жалғыз (q, r) жұбы бар болады. Мұндағы, q -бөлінді, ал r - b санын а санына бөлгендегі қалдық.

Мұндай жұптың бар болуын және оның жалғыздығын дәлелдейміз.

Дәлелдеуі: Бар болуын дәлелдеу үшін үш жағдайды қарастырамыз:

a> bболсын. Бізq = 0жәнеr = b <aқоя аламыз; яғни(q, r) = (0, b) .
a = bболсын. Бізq = 1иr = 0 <aқоя аламыз; яғни(q, r) = (1, 0) .
a <bболсын. na> bболатындайnнатурал саны бар болады.

q - ( q+1) a> b болатын ең кіші натурал сан болсын. Онда qa ≤ b .

r = b - aq болсын. Бұдан b = aq + r және 0 ≤ r <a.

Біз бар болуын дәлелдедік.

Жалғыздығын дәлелдеу үшін, b = a $q' + r'$ бар болсын делік, мұндағы $q'$ және $r'$ та 0 ≤ $r'$ <a шартын қанағаттандыратын теріс емес бүтін сандар. Онда aq + r = a $q'$ + $r'$ , онда a(q - $q'$ ) = $r'$ - r , сондықтан a $r'$ - r. Демек, $r'$ , - r ≥ a немесе $r'$ - r = 0 . 0 ≤ r, $r'$ <a болғандықтан $r'$ - r <a, $r'$ - r = 0 , бұдан r = $r'$ , сәйкесінше $q' = q$ .

Есеп 5. n - натурал сан болсын. $3^{2^{n}}$ +1 саны 2 -ге бөлінетінін, бірақ 4 -ке бөлінбейтінін дәлелдеңіз.

Шешуі: $3^{2^{n}}$ саны тақ, $3^{2^{n}}$ +1 саны жұп екендігі белгілі. $3^{2^{n}} = {(3^{2}) }^{2^{n - 1}} = 9^{2^{n - 1}} = {(8 + 1) }^{2^{n - 1}}.$ Ньютон биномын қолданамыз:

${(x + y) }^{m} = x^{m} + \left( \begin{array}{r} m \\ 1 \end{array} \right) x^{m - 1}y + \left( \begin{array}{r} m \\ 2 \end{array} \right) x^{m - 2}y^{2} + \ldots + \left( \begin{array}{r} n \\ n - 1 \end{array} \right) xy^{m - 1} + y^{m}.$

x = 8, y = 1 және m = 2 ^n-1 қою арқылы соңғы қосылғыштан (яғни, y ^m =1 ) басқа қосылғыштардың барлығы 8 -ге ( бұл 4 -ке еселік) еселік болатынын көреміз. Демек, $3^{2^{n}}\$ санын 4 -ке бөлгенде 1 қалдық, ал $3^{2^{n}} + 1$ санын 4 -ке бөлгенде қалдық 2 -ге тең.

Бөлу алгоритмін бүтін сандарға кеңейтуге болады:

Теорема 1. 2. a, а $\neq 0$ және b кез келген бүтін сандары үшін b = aq + r және 0 ≤ r < a шарттары орындалатын бүтін сандардың (q, r) ерекше жұбы бар.

Жай сандар

p > 1 саны жай сан деп аталады, егер d > 1 және d = p үшін d p болатындай d бүтін саны табылмаса. Кез келген n> 1 бүтін санының кем дегенде бір жай бөлгіші бар. Егер n жай сан болса, онда бұл санның жай бөлгіші n санының өзі. Егер n жай сан болмаса, онда a> 1 оның ең кіші бөлгіші болсын. Сонда n = ab , мұндағы 1 <a ≤ b . Егер а жай сан болмаса, онда 1 <a ₁ ≤ a ₂ және a ₁ n болатын a = a ₁ a ₂ - а санының кішілігіне қайшы келеді.

Жай сан болып табылмайтын n> 1 бүтін саны құрама сан деп аталады. Егер n - құрама сан болса, онда оның p жай бөлгіші $\sqrt{n}$ аспайды.

Шынында да, жоғарыдағыдай n = ab , мұндағы 1 <a ≤ b және а саны n санының ең кіші бөлгіші. Онда $n \geq a^{2};$ сәйкесінше $a \leq \sqrt{n}$ .

Бұл идея ежелгі грек математигі Эратосфенге тиесілі.

2-жалғыз жұп (ең кіші) жай сан. Қалған жай сандар тақ; яғни олар 2 -ге бөлінбейді. Шынында, жай сандардың саны шексіз бе? Төмендегі 1. 3-теореманы қараңыз. Екі шексіз жиындардағы элементтер санын салыстыру мүмкін емес болуы мүмкін, бірақ жай сандарға қарағанда құрама сандар көп екені анық. Біз 2 және 3 тізбектес жалғы жай сандар екенін білеміз. 3 және 5, 5 және 7, 41 және 43 сияқты тізбектес тақ жай сандары қосарлы жай сандар деп аталады. Қосарлы жай сандар саны шексіз көп пе деген сұраққа әлі жауап табылмады. Брюн қосарлы жай сандар саны шексіз көп болса да, олардың қосындысы жинақталатындығын дәлелдеді.

Есеп 1. 6. 3n-4, 4n-3 5n-3 сандары жай сан болатындай барлық мүмкін n натурал сандарын табыңыз.

Шешуі: Үш санның қосындысы жұп сан болады, онда олардың кем дегенде біреуі жұп сан. Жалғыз жұп жай сан - 2 . 3n-4 және 5n-3 сандары ғана жұп болуы мүмкін. 3n-4=2 және 5n-3=2 теңдеулерінен n = 2 және n = 1 екендігі шығады. n=2 қойсақ үш сан да жай болады.

Есеп 1. 7. Егер p және q жай сандар болса және x ² -px+q=0 теңдеуінің түбірлері әр түрлі оң бүтін сандар болса, онда p және q сандарын табыңыз.

Шешуі: х ₁ және x ₂ сандары- x ₁ <x ₂ шартын қанағаттандыратын әр түрлі оң бүтін түбірлері болсын. Онда x ² -px+q=(x-x ₁ ) (x-x ₂ ), бұдан p=x ₁ +x ₂ және q=x ₁ x ₂ . q жай сан болғандықтан х ₁ =1 . Сол себептен, q = x ₂ және p = x ₂ + 1 -екі тізбектес жай сандар; яғни q = 2 және p = 3 .

Есеп 1. 8. 20 тізбектес құрама сандарды табыңыз.

Шешуі: 20! + 2, 20! + 3, . . . , 20! + 21 .

Келесі Евклидтің результаты 2000 жылдан астам уақыттан бері белгілі:

Теорема 1. 3a. Жай сандардың саны шексіз көп.

Дәлелдеуі: Кері жориық, жай сандардың саны ақырлы болсын: p ₁ <p ₂ <· · · <p _m .

P = p ₁ p ₂ · · · p _m + 1 санын қарастырайық.

Егер P жай сан болса, онда P> p _m , pm -ның үлкендігіне қайшы келеді. Сәйкесінше, P -құрама сан, яғни оның p> 1 жай бөлгіші бар, ол p1, p2, · · ·, p _m жай сандарының біреуі, айталық ол p _k . Демек p _k саны - p ₁ p ₂ · · · p _m + 1 санының бөлгіші. p _k саны - p ₁ p ₂ · · · p _m + 1 санына бөлінеді деген сөз, яғни 1 саны p _k санына бөлінеді деген сөз, ал бұл қайшылық.